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  • Partie

    Module 2 Fondamentaux d’Analyse Année universitaire 2009-2010

    Cléo BARAS cleo.baras@ujf-grenoble.fr

    IUT1 Réseaux et Télécoms - 1ère année

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  • Partie Introduction

    Les Maths en RT

    ▶ Objectif : Maîtriser les outils mathématiques utiles pour les réseaux et les télécoms

    ▶ Les modules : ▶ M1 (S1) : « Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie » ▶ M2 (S1) : « Fondamentaux d’analyse » ▶ M3 (S1) : « Calcul intégral et équations différentielles » ▶ M4 (S2) : « Éléments de mathématiques appliquées » ▶ M5 (S2) : « Outils mathématiques pour l’analyse de Fourier » ▶ M6 (S3) : « Mathématiques pour le signal discret »

    ▶ MC1 (S4) : « Algèbre linéaire » (PE) ▶ MC2 (S4) : « Probabilités »

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  • Partie Introduction

    Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)

    ▶ Calendrier : 30 heures ▶ 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30), 1 DS (1h30)

    Semaine 43 44 45 46 47 48 49 50 Cours 3h v 3h 1h30 1h30 1h30

    TD v 3h 3h 4h30 1h30 3h TP 3h DS 1h30

    ▶ Évaluation ▶ Contrôle continue : coeff 20% ▶ Compte rendu de TP : coeff 30% ▶ DS final : coeff 50%

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  • Partie Introduction

    Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)

    ▶ Encadrants TD ▶ Amélie LELONG, amelie.lelong@gipsa-lab.inpg.fr ▶ Mathieu PARVAIX, mathieu.parvaix@gipsa-lab.inpg.fr ▶ Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr

    ▶ Documentation http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM2/

    login : n˚ groupe TD mot de passe : n˚ carte étudiant

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  • Partie Introduction

    Objectifs du module

    1. Maîtriser la notion fonctionnelle et les outils d’étude des fonctions :

    ▶ limites, dérivées, graphe, ...

    2. Maîtriser les outils d’approximation de fonctions : ▶ équivalence, développements limités

    3. Connaître les fonctions usuelles utilisées en RT et leurs propriétés :

    ▶ logarithmes, exponentielles, sinus cardinal

    Sans calculatrice...

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  • Partie Introduction

    Pourquoi faire ce module

    1. Faciliter les calculs en RT Électronique, Télécom

    ▶ Éviter d’être bloqué ▶ Avoir les outils/réflexes adéquates

    2. Comprendre rapidement des formules complexes à partir des fonctions mathématiques simples

    Électronique, Télécom 3. Développer la rigueur

    Informatique

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  • Partie Introduction

    Les Maths selon ...

    1. Les Maths, c’est comme le ski, çà s’apprend par la pratique (Luc Alphand)

    2. Les Maths, c’est savoir se poser des questions (Fred & Jami)

    3. Un matin un matheux m’a dit tout est possible Que tous les rêves du monde te seront accessibles ...

    (Ridan) 4. ... Ecoute ce message et le dis pas à ton voisin

    (Pas Ridan)

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  • Partie Introduction

    Plan du cours

    1. Généralités sur les fonctions de la variable réelle 2. Limites 3. Continuité et dérivation des fonctions de la variable réelle 4. Étude de fonctions 5. Développements limités

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  • Partie Généralités sur les fonctions

    Première partie I

    Généralités sur les fonctions

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  • Partie Généralités sur les fonctions

    Plan : Généralités sur les fonctions

    Définitions Fonctions Ensembles Graphe Règles de définition Fonction paramétrée

    Catalogue de fonctions Fonctions "simples" Fonctions "avancées"

    Racines n-ièmes Fractions rationnelles Logarithmes Exponentielle

    Opérations sur les fonctions

    Exercices type

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  • Partie Généralités sur les fonctions Définitions

    Fonctions

    Définitions : Fonction

    Définition : FONCTION

    Une fonction f est une relation qui relie chaque élément x d’un ensemble de départ Ef avec au plus un élément y d’un ensemble d’arrivée Af . L’élément y se note f (x).

    Notation : f : {

    Ef −→ Af x 7−→ y = f (x)

    Définition : IMAGE ET ANTÉCÉDENT

    ▶ y = f (x) est l’image de x par f ▶ x est un antécédent de y = f (x) par f

    Exemple : carre : {

    IR −→ IR x 7−→ x2

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  • Partie Généralités sur les fonctions Définitions

    Ensembles

    Définitions : Ensemble de définition, image

    Définition : ENSEMBLES DE DÉFINITION Df , IMAGE If

    ▶ L’ensemble de définition Df de f est le sous-ensemble de Ef constitué par les x qui ont une et une seule image par f :

    Df = {x ∈ Ef/f (x) existe }

    ▶ L’ensemble formé par les images de tous les éléments x de Df par f est appelé ensemble image If :

    If = {f (x) ∈ Af/x ∈ Df}

    Exemple : carre : {

    IR −→ IR x 7−→ x2 , Dcarre = IR, Icarre = IR

    +

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  • Partie Généralités sur les fonctions Définitions

    Graphe

    Définitions : Graphe géométrique

    Définition : GRAPHE GÉOMÉTRIQUE

    Le graphe géométrique Gf de f est l’ensemble des points M du plan P, d’abscisse x et d’ordonnée y = f (x), tel que x ∈ Df :

    Gf = {M(x , f (x)) ∈ P/x ∈ Df}

    Exemple : Cube restreint :{ [−3; 3] −→ IR x 7−→ x3

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  • Partie Généralités sur les fonctions Définitions

    Règles de définition

    Règle de définition et variable muette

    Définition : RÈGLE DE DÉFINITION

    La règle de définition de f est l’expression de l’image y de x par f en fonction de x , autrement dit l’expression de f (x)

    Exemple : f (x) = x + 2

    3x2 − 5

    Remarques : ▶ Dans f (x), x est une variable muette ▶ Pour calculer l’image de n’importe quel réel toto, il suffit

    d’utiliser la règle de définition en remplaçant x par toto

    Exemple : f (toto) = toto + 2

    3toto2 − 5

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  • Partie Généralités sur les fonctions Définitions

    Fonction paramétrée

    Fonction paramétrée

    Définition : FONCTION PARAMÉTRÉE

    Une fonction f peut être définie en fonction d’un paramètre P ; sa règle de définition est alors notée fP(x).

    Exemple : ▶ Fonction porte ΠT (t) :

    ΠT (x) =⎧⎨⎩ 0 , si t < −T/21/T , si − T/2 ≤ t < T/20 , si T/2 < t

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  • Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

    Catalogue de fonctions

    Brainstorming

    ▶ Quelle fonction connaissez-vous ?

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  • Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

    Fonctions "simples"

    Catalogue des fonctions "simples"

    Fonction f Expression Df If constante f (x) = c IR IR

    identité f (x) = Id(x) = x IR IR affine f (x) = ax + b IR IR

    Monôme f (x) = xn IR IR polynomiale f (x) = a0 + a1x + ...+ anxn IR IR

    Racine carrée f (x) = √

    x IR+ IR+

    Inverse x 7−→ 1 x

    IR∗ IR∗

    Sinus f (x) = sin(x) IR [−1; 1] Cosinus f (x) = cos(x) IR [−1; 1] Tangente f (x) = tan(x) =

    sin(x) cos(x)

    IR ∖ {�

    2 + k�, k ∈ ZZ

    } IR

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  • Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

    Fonctions "simples"

    Exemples d’application

    ▶ En électronique :

    ▶ Fonction affine : U = f (I) = −R.I + E

    ▶ Fonction carrée : P = f (I) = R.I2

    + −

    I RU

    ▶ En télécommunications : ▶ Sinus : s(t) = e(t) sin (2�ft + �) ▶ Racine carrée : TEB = 12 erfc

    (√ Eb N0

    ) ▶ En réseaux :

    ▶ Polynôme : P(x) = 1 + x2 + x7

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  • Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

    Fonctions "avancées"

    Catalogue des fonctions "avancées"

    Rappel sur les fonctions : ▶ Racines n-ième ▶ Fractions rationnelles ▶ Logarithmes

    ▶ Logarithme népérien ▶ Logarithme à base 10

    ▶ Exponentielles ▶ Exponentielle ▶ Monômes de puissances réelles ▶ Fonctions puissances

    Plus tard : ▶ Fonctions trigonométriques : Arccos, Arcsin, Arctan

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  • Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

    Fonctions "avancées"

    Racines n-ièmes

    Racines n-ièmes

    f (x) = x 1 n = n √

    x avec n ∈ IN∗

    ▶ Déf. : ▶ Df = IR+ si n pair ▶ Df = IR si n impair

    ▶ Image : ▶ If = IR+ si n pair ▶ If = IR si n impair

    ▶ Prop. math. : ▶ n⋅m √

    x = n √(

    m √

    x )

    ▶ n m √

    x = n √

    (xm) ▶ n √

    (x ⋅ y) = n √

    x ⋅ n √

    y ▶ n √

    x/y = n √

    x/ n √

    y

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  • Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

    Fonctions "avancées"

    Fractions rationnelles

    Fractions rationnelles

    f (x) = Num(x)

    Denom(x) =

    a0 + a1x + ...+ anxn

    b0 + b1x + ...+ bmxm

    ▶ Déf. : Df = l’ensemble des réels x tel que Denom(x) ∕= 0

    ▶ Image : dépendante des limites de f

    ▶ Pôles/Zéros

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  • Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions