Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux...

143
Partie Module 2 Fondamentaux d’Analyse Année universitaire 2009-2010 Cléo BARAS [email protected] IUT1 Réseaux et Télécoms - 1ère année 1 / 130

Transcript of Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux...

Page 1: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie

Module 2Fondamentaux d’AnalyseAnnée universitaire 2009-2010

Cléo [email protected]

IUT1 Réseaux et Télécoms - 1ère année

1 / 130

Page 2: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Introduction

Les Maths en RT

▶ Objectif : Maîtriser les outils mathématiques utiles pour lesréseaux et les télécoms

▶ Les modules :▶ M1 (S1) : « Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie »▶ M2 (S1) : « Fondamentaux d’analyse »▶ M3 (S1) : « Calcul intégral et équations différentielles »▶ M4 (S2) : « Éléments de mathématiques appliquées »▶ M5 (S2) : « Outils mathématiques pour l’analyse de Fourier »▶ M6 (S3) : « Mathématiques pour le signal discret »

▶ MC1 (S4) : « Algèbre linéaire » (PE)▶ MC2 (S4) : « Probabilités »

2 / 130

Page 3: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Introduction

Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)

▶ Calendrier : 30 heures▶ 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30), 1 DS (1h30)

Semaine 43 44 45 46 47 48 49 50Cours 3h v 3h 1h30 1h30 1h30

TD v 3h 3h 4h30 1h30 3hTP 3hDS 1h30

▶ Évaluation▶ Contrôle continue : coeff 20%▶ Compte rendu de TP : coeff 30%▶ DS final : coeff 50%

3 / 130

Page 4: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Introduction

Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)

▶ Encadrants TD▶ Amélie LELONG, [email protected]▶ Mathieu PARVAIX, [email protected]▶ Cléo BARAS, [email protected]

▶ Documentationhttp ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM2/

login : n˚ groupe TDmot de passe : n˚ carte étudiant

4 / 130

Page 5: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Introduction

Objectifs du module

1. Maîtriser la notion fonctionnelle et les outils d’étude desfonctions :

▶ limites, dérivées, graphe, ...

2. Maîtriser les outils d’approximation de fonctions :▶ équivalence, développements limités

3. Connaître les fonctions usuelles utilisées en RT et leurspropriétés :

▶ logarithmes, exponentielles, sinus cardinal

Sans calculatrice...

5 / 130

Page 6: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Introduction

Pourquoi faire ce module

1. Faciliter les calculs en RTÉlectronique, Télécom

▶ Éviter d’être bloqué▶ Avoir les outils/réflexes adéquates

2. Comprendre rapidement des formules complexes à partir desfonctions mathématiques simples

Électronique, Télécom3. Développer la rigueur

Informatique

6 / 130

Page 7: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Introduction

Les Maths selon ...

1. Les Maths, c’est comme le ski, çà s’apprend par la pratique(Luc Alphand)

2. Les Maths, c’est savoir se poser des questions(Fred & Jami)

3. Un matin un matheux m’a dit tout est possibleQue tous les rêves du monde te seront accessibles ...

(Ridan)4. ... Ecoute ce message et le dis pas à ton voisin

(Pas Ridan)

7 / 130

Page 8: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Introduction

Plan du cours

1. Généralités sur les fonctions de la variable réelle2. Limites3. Continuité et dérivation des fonctions de la variable réelle4. Étude de fonctions5. Développements limités

8 / 130

Page 9: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions

Première partie I

Généralités sur les fonctions

9 / 130

Page 10: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions

Plan : Généralités sur les fonctions

DéfinitionsFonctionsEnsemblesGrapheRègles de définitionFonction paramétrée

Catalogue de fonctionsFonctions "simples"Fonctions "avancées"

Racines n-ièmesFractions rationnellesLogarithmesExponentielle

Opérations sur les fonctions

Exercices type

10 / 130

Page 11: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Définitions

Fonctions

Définitions : Fonction

Définition : FONCTION

Une fonction f est une relation qui relie chaque élément x d’unensemble de départ Ef avec au plus un élément y d’un ensembled’arrivée Af . L’élément y se note f (x).

Notation : f :

{Ef −→ Afx 7−→ y = f (x)

Définition : IMAGE ET ANTÉCÉDENT

▶ y = f (x) est l’image de x par f▶ x est un antécédent de y = f (x) par f

Exemple : carre :

{IR −→ IRx 7−→ x2

11 / 130

Page 12: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Définitions

Ensembles

Définitions : Ensemble de définition, image

Définition : ENSEMBLES DE DÉFINITION Df , IMAGE If

▶ L’ensemble de définition Df de f est le sous-ensemble de Efconstitué par les x qui ont une et une seule image par f :

Df = {x ∈ Ef/f (x) existe }

▶ L’ensemble formé par les images de tous les éléments x de Dfpar f est appelé ensemble image If :

If = {f (x) ∈ Af/x ∈ Df}

Exemple : carre :

{IR −→ IRx 7−→ x2 , Dcarre = IR, Icarre = IR+

12 / 130

Page 13: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Définitions

Graphe

Définitions : Graphe géométrique

Définition : GRAPHE GÉOMÉTRIQUE

Le graphe géométrique Gf de f est l’ensemble des points M du planP, d’abscisse x et d’ordonnée y = f (x), tel que x ∈ Df :

Gf = {M(x , f (x)) ∈ P/x ∈ Df}

Exemple : Cube restreint :{[−3; 3] −→ IRx 7−→ x3

13 / 130

Page 14: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Définitions

Règles de définition

Règle de définition et variable muette

Définition : RÈGLE DE DÉFINITION

La règle de définition de f est l’expression de l’image y de x par fen fonction de x , autrement dit l’expression de f (x)

Exemple : f (x) =x + 2

3x2 − 5

Remarques :▶ Dans f (x), x est une variable muette▶ Pour calculer l’image de n’importe quel réel toto, il suffit

d’utiliser la règle de définition en remplaçant x par toto

Exemple : f (toto) =toto + 2

3toto2 − 5

14 / 130

Page 15: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Définitions

Fonction paramétrée

Fonction paramétrée

Définition : FONCTION PARAMÉTRÉE

Une fonction f peut être définie en fonction d’un paramètre P ; sarègle de définition est alors notée fP(x).

Exemple :

▶ Fonction porte ΠT (t) :

ΠT (x) =⎧⎨⎩ 0 , si t < −T/21/T , si − T/2 ≤ t < T/20 , si T/2 < t

15 / 130

Page 16: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Catalogue de fonctions

Brainstorming

▶ Quelle fonction connaissez-vous ?

16 / 130

Page 17: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "simples"

Catalogue des fonctions "simples"

Fonction f Expression Df Ifconstante f (x) = c IR IR

identité f (x) = Id(x) = x IR IRaffine f (x) = ax + b IR IR

Monôme f (x) = xn IR IRpolynomiale f (x) = a0 + a1x + ...+ anxn IR IR

Racine carrée f (x) =√

x IR+ IR+

Inverse x 7−→ 1x

IR∗ IR∗

Sinus f (x) = sin(x) IR [−1; 1]Cosinus f (x) = cos(x) IR [−1; 1]

Tangente f (x) = tan(x) =sin(x)

cos(x)IR ∖

{�2

+ k�, k ∈ ZZ}

IR

17 / 130

Page 18: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "simples"

Exemples d’application

▶ En électronique :

▶ Fonction affine :U = f (I) = −R.I + E

▶ Fonction carrée :P = f (I) = R.I2

+−

IRU

▶ En télécommunications :▶ Sinus : s(t) = e(t) sin (2�ft + �)

▶ Racine carrée : TEB = 12 erfc

(√EbN0

)▶ En réseaux :

▶ Polynôme : P(x) = 1 + x2 + x7

18 / 130

Page 19: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Catalogue des fonctions "avancées"

Rappel sur les fonctions :▶ Racines n-ième▶ Fractions rationnelles▶ Logarithmes

▶ Logarithme népérien▶ Logarithme à base 10

▶ Exponentielles▶ Exponentielle▶ Monômes de puissances réelles▶ Fonctions puissances

Plus tard :▶ Fonctions trigonométriques : Arccos, Arcsin, Arctan

19 / 130

Page 20: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Racines n-ièmes

Racines n-ièmes

f (x) = x1n = n√

x avec n ∈ IN∗

▶ Déf. :▶ Df = IR+ si n pair▶ Df = IR si n impair

▶ Image :▶ If = IR+ si n pair▶ If = IR si n impair

▶ Prop. math. :▶ n⋅m√x = n

√(m√

x)

▶nm√

x = n√

(xm)▶ n√

(x ⋅ y) = n√

x ⋅ n√

y▶ n√

x/y = n√

x/ n√

y

20 / 130

Page 21: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Fractions rationnelles

Fractions rationnelles

f (x) =Num(x)

Denom(x)=

a0 + a1x + ...+ anxn

b0 + b1x + ...+ bmxm

▶ Déf. : Df = l’ensembledes réels x tel queDenom(x) ∕= 0

▶ Image : dépendantedes limites de f

▶ Pôles/Zéros

21 / 130

Page 22: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Logarithmes

Logarithme népérienou logarithme à base e

f (x) = ln(x) = loge(x)

▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR

Application Réseaux▶ Capacité maximale

d’un canal

D = Wln(1 + Ps/Pb)

ln(2)

22 / 130

Page 23: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Logarithmes

Logarithme népérienou logarithme à base e

f (x) = ln(x) = loge(x)

▶ Prop. maths. :

1. ln(x .y) = ln(x) + ln(y)

2. ln(

1x

)= − ln(x)

3. ln (xy ) = y ln(x)

4. Attention :ln (x + y) ∕= ln(x) + ln(y)

22 / 130

Page 24: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Logarithmes

Logarithme à base 10

f (x) = log10(x) =ln(x)

ln(10)

▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR

Application Échelle Logarithmique

0 1 2 3 401 10 100 1000

−∞ +∞

−∞ +∞LogarithmiqueLinéaireExemple : Diagramme de Bode en Électronique

23 / 130

Page 25: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Logarithmes

Logarithme à base 10

f (x) = log10(x) =ln(x)

ln(10)

▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR

Application Puissance en décibel PdB = 10 log10(P)

PdB P

Murmure 40 dB 104

Poids lourd 90 dB 109

Ratio ≈ 2 ≈ 105

23 / 130

Page 26: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Exponentielle

Exponentielle

f (x) = exp(x) = ex

▶ Déf. : Df = IR▶ Image : If = IR∗+

Application Electronique

I RCUU(t) = U0 exp

(− t�

)24 / 130

Page 27: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Exponentielle

Exponentielle

f (x) = exp(x) = ex

▶ Prop. maths. :

1. e(x+y) = ex .ey

2. (ex )y

= (ey )x

= e(x⋅y)

3.1ex = e−x

4. Attention :ex + ey ∕= ex+y

24 / 130

Page 28: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Exponentielle

Monômes de puissances réelles

f (x) = x� = e� ln(x) avec � ∈ IR

▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR∗+

▶ Prop. maths :cf exp et ln

▶ Cas particuliers :� = 0, � = 1

25 / 130

Page 29: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions

Fonctions "avancées"

Exponentielle

Fonctions puissances

f (x) = ax = ex ln(a) avec a ∈ IR∗+

▶ Déf. : Df = IR▶ Image : If = IR∗+

▶ Prop. maths :cf exp et ln

▶ Cas particuliers :a = 1

26 / 130

Page 30: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions

Opérations sur les fonctions (1/2)

▶ Une fonction peut être définie comme un assemblage d’autresfonctions

Fonction Régle de définitionSomme de f et g (f + g)(x) = f (x) + g(x)

Opposée de f (−f )(x) = −f (x)

Différence de f et g (f − g)(x) = f (x)− g(x)

Produit de f et g (fg)(x) = f (x)g(x)

Inverse de f(

1f

)(x) =

1f (x)

Quotient de f et g(

fg

)(x) =

f (x)

g(x)Amplification de f par � (�f )(x) = �f (x)

(� ∈ ℝ)

27 / 130

Page 31: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions

Opérations sur les fonctions (2/2)

▶ Fonction composée ou composition : mise en cascade defonction

Fonction Régle de définitionComposée de f par g (g ∘ f )(x) = g(f (x))

Exemple :

∙ Fonction puissance x 7→ x� = e� ln(x), composée def (x) = � ln(x) avec g(x) = ex

∙ Composées de f (x) = 1− x + x2 et g(x) = 1/(1 + x)

▶ Remarque : quelques composées utiles :▶ Composée de exp et ln : exp(ln(x)) = ln(exp(x)) = x

▶ Composée de racine carré et carré :

{ √(x2) = ∣x ∣(√x)2

= x

28 / 130

Page 32: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions

Ensemble de définition (1/2)

Fonction Ensemble de définitionSomme f + g Df +g = Df ∩ Dg

Opposée −f D−f = DfDifférence f − g Df +g = Df ∩ Dg

Produit fg Dfg = Df ∩ Dg

Inverse1f

D1/f = {x ∈ Df/f (x) ∕= 0}

Quotientfg

Df/g = {x ∈ Df ∩ Dg/g(x) ∕= 0}Amplification �f (avec � ∈ IR) D�f = Df

Composition g ∘ f Dg∘f = {x ∈ Df/f (x) ∈ Dg}

29 / 130

Page 33: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions

Ensemble de définition (2/2)

Remarque

Avant d’utiliser toutes fonctions, il faut toujours déterminer sonensemble de définition

Exemple :

DS 2007 ; ou comment éviter des calculs inutiles :résoudre

ln(x + 2) + ln(x + 3) = ln(−x − 11)

30 / 130

Page 34: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Exercices type

Exercices type (1/3)

▶ Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction∙ f (x) =

x − 23x2 − 2x + 1

∙ g(x) =√

x2 − 3x + 2 +1x

Méthodologie

1. Identifier les fonctions usuelles présentes dans la règle dedéfinition et indiquer leur domaine de définition d’après la table

2. Identifier le (ou les) assemblage(s) des fonctions identifiées etleur ordonnancement pour la construction de la fonction

3. Appliquer les règles d’assemblage en fonction des assemblagesidentifiés et dans leur ordre

31 / 130

Page 35: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Exercices type

Exercices type (2/3)

▶ Tracer un graphe géométrique "simple" :▶ Graphe de Π3T (t − 3T ) où T ∈ ℝ∗+

Méthodologie

1. Identifier la fonction usuelle dont découle la fonction demandée,donner son expression et tracer rapidement son graphe

2. Déduire de la fonction usuelle celui de la fonction demandée

32 / 130

Page 36: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Généralités sur les fonctions Exercices type

Exercices type (3/3)

▶ Résolution d’équation :▶ Résoudre xxx

= xx2

Méthodologie/Astuce

1. Identifier les fonctions usuelles2. Utiliser leur propriété mathématique pour simplifier l’écriture3. Isoler l’inconnue à gauche et les constantes à droite dès que

l’équation le permet

33 / 130

Page 37: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites

Deuxième partie II

Limites

34 / 130

Page 38: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites

Plan

DéfinitionsLimite finie en un pointLimite infinie en un pointLimite finie en l’infiniLimite infinie en l’infini

Calcul de limitesFonctions usuellesOpérations sur les limitesÉquivalence

Exercices typeCroissance comparée

35 / 130

Page 39: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites

Notions de limites

Exemple : La fonction inverse : f (x) =1x

Table de valeursx f (x)

1 10.1 100.01 100

0.001 103

... ...1.10−6 106

▶ Lorsque x → 0 (parvaleurs supérieures),f (x) croit indéfiniment

▶ limx→0+

f (x) = +∞

36 / 130

Page 40: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites

Notions de limites

Exemple : La fonction inverse : f (x) =1x

Table de valeursx f (x)

1 110 0.1

100 0.011000 0.001

... ...106 10−6

▶ Plus x augmente, etplus f (x) se rapprochede 0

▶ limx→+∞

f (x) = 0+

36 / 130

Page 41: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Définitions

Limites

▶ Etude du comportement local (en un point a ∈ IR) ou ducomportement asymptotique (en +∞, en −∞) d’une fonction f

limx→Point d’étude a

f (x) = Limite L ou f (x) −→x→a

L

▶ Point d’étude▶ Comportement local : on fait tendre x → a, x → a+ (si x > a) 1,

x → a− par (si x < a) 2

▶ Comportements asymptotiques : on fait tendre x → +∞, x → −∞

▶ Limite▶ finie : L ∈ IR, L+ (si f (x) > L), L− (si f (x) < L)▶ infinie : +∞, −∞

1. valeurs supérieures2. valeurs inférieures

37 / 130

Page 42: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Définitions

Limite finie en un point

Limite finie en un point a

Limite finie L ∈ IR en a ∈ IR

limx→a

f (x) = lima

f = L

Exemple : Sinus cardinal

sinc(x) =sin(x)

x−→x→0

0

Application : Télécom→conversion numériqueanalogique

38 / 130

Page 43: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Définitions

Limite infinie en un point

Limite infinie en un point a

Limite +∞ en un point a ∈ IR

limx→a

f (x) = lima

f = +∞

Exemple :

f (x) =1∣x ∣ −→x→0

+∞

39 / 130

Page 44: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Définitions

Limite infinie en un point

Limite infinie en un point a (2/2)

Limite −∞ en un point a ∈ IR

limx→a

f (x) = lima

f = −∞

Exemple :

f (x) = tan(x) −→x→(−�

2 )+−∞

40 / 130

Page 45: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Définitions

Limite finie en l’infini

Limite finie en l’infini

Limite finie L ∈ IR en +∞

limx→+∞

f (x) = lim+∞

f = L

Exemple :

f (x) =1x−→

x→+∞0+

Remarque : Idem pour unelimite finie en −∞

41 / 130

Page 46: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Définitions

Limite infinie en l’infini

Limite infinie en l’infini

Limite +∞ en +∞

limx→+∞

f (x) = lim+∞

f = +∞

Exemple :

f (x) = ∣x ∣ −→x→+∞

+∞

Remarque : Idem pour unelimite en −∞ et pour unelimite −∞

42 / 130

Page 47: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Fonctions usuelles

Limites des fonctions usuelles

Fonction f (x) Limite en −∞ Limite en +∞ Limite en 0Constante c c c cPuissance xn (n ∈ IN∗) +∞ si n pair +∞ 0

−∞ si n impairRacine carrée

√x n.d. 3 +∞ 0+

Inverse1x

0 0 +∞ si x → 0+

−∞ si x → 0−

Log népérien ln(x) n.d. +∞ −∞ pour x → 0+

Exponentielle ex 0 +∞ 1Sin sin(x) p.d.l. 4 p.d.l. 0Cos cos(x) p.d.l. p.d.l. 1Tan tan(x) p.d.l. p.d.l. 0

3. non défini4. pas de limite

43 / 130

Page 48: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Opérations sur les limites

Opérations algébriques sur les limites

Somme Produit Quotientf g f + g f× g f/gL L′ L + L′ LL′ L/L′ si L, L′ ∕= 0

∞ si L ∕= 0 et L′ = 0FI si L = L′ = 0

∞ L′ ∞ ∞ si L′ ∕= 0 ∞FI si L′ = 0

L +∞ ∞ ∞ si L ∕= 0 0FI si L = 0

+∞ +∞ +∞ +∞ FI−∞ −∞ −∞ +∞ FI+∞ −∞ FI −∞ FI−∞ +∞ FI −∞ FI

où∙ ∞ : l’infini dont le signe dépendant du signe des limites de f et g∙ FI = Forme Indéterminée

44 / 130

Page 49: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Opérations sur les limites

Exercices type▶ Calculer les limites suivantes :

▶ limx→+∞

x3 ln(x)

▶ limx→+∞

e−x

x▶ lim

x→0

tan(x)

2 + 1x

Méthodologie

1. Identifier les fonctions usuelles et donner leurs limites2. Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles et l’ordre

d’assemblage puis calculer la limite de proche en proche enutilisant les règles sur les limites

3. En cas de forme indéterminée :▶ Quelques astuces (cf TD)▶ Utiliser des outils plus puissants, comme l’équivalence ou les

développements limités45 / 130

Page 50: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Opérations sur les limites

Relations d’ordre

THÉORÈME : Relations d’ordre

Pour deux fonctions f et g,▶ Si g(x) ≤ f (x) avec lim

+∞g(x) = +∞, alors lim

+∞f (x) = +∞

▶ Si f (x) ≤ g(x) avec lim+∞

g(x) = −∞, alors lim+∞

f (x) = −∞

Remarque : Idem lorsque x → −∞

THÉORÈME du gendarme

Étant donnée trois fonctions f , g et h telles que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x).Alors si lim g = lim h (en un point comme en l’infini),lim g = lim f = lim h.

Remarque : Théorèmes très utiles pour les limites incluant desfonctions trigonométriques

46 / 130

Page 51: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Opérations sur les limites

Exercices Type

▶ Calcul de limite∙ Calcul de lim

x→+∞(2 + cos(x)) x3

∙ Calcul de limx→+∞

sin(x)

x2

Méthodologie

1. Encadrer la fonction (au voisinage du point où la limite estrecherchée) par des fonctions plus simples dont on connaît lalimite

2. Utiliser le théorème d’encadrement (du gendarme)

47 / 130

Page 52: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Équivalence

Équivalence

DÉFINITION

f et g sont équivalentes au voisinage de a (∈ IR, ±∞)SSI f (x) = g(x) (1 + �(x)) avec lim

x→a�(x) = 0

Notation :

f ∼a

g ou f (x) ∼x→a

g(x)

Exemple : tan(x) ∼x→0

x

Remarque :Comportement identiquedes équivalents auvoisinage du pointd’équivalence

48 / 130

Page 53: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Équivalence

Équivalence et limites

Deux fonctions équivalentes en un point ont une même limite en cepoint !

Théorème

Si f ∼a

g (avec a ∈ IR ou a = ±∞) alors limx→a

f (x) = limx→a

g(x)

Exemple : Calcul de limx→0

tan(x)

x

49 / 130

Page 54: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Équivalence

Équivalences usuelles (1/3)

Quand x est au voisinage de 0 :

(1 + x)� ∼x→0

1 + �x (avec � ∈ IR+∗)

(1− x)� ∼x→0

1− �x1

(1− x)�∼

x→01 + �x (avec � ∈ IR+∗)

1(1 + x)�

∼x→0

1− �x

ln(1 + x) ∼x→0

x

ln(1− x) ∼x→0−x

sin(x) ∼x→0

x

cos(x) ∼x→0

1

tan(x) ∼x→0

x

50 / 130

Page 55: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Équivalence

Équivalences usuelles (2/3)

THÉORÈME : Equivalent d’un polynôme

Un polynôme de degré n, P(x) = anxn + ...+ a1x + a0, admet pouréquivalent :

▶ en ±∞ : le monôme de plus haut degré muni de son coefficient.▶ en 0 : le monôme de plus petit degré muni de son coefficient non

nul.

Exemple :

∙ P(x) = 3x4 − 2x = 3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0▶ P(x) ∼

x→+∞3x4

▶ P(x) ∼x→−∞

3x4

▶ P(x) ∼x→0−2x1

51 / 130

Page 56: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Équivalence

Équivalences usuelles (3/3)

THÉORÈME : Equivalent d’une fraction rationnelle

Une fraction rationnelle de type F (x) =P(x)

Q(x)où

P(x) = anxn + ...+ a1x + a0 de degré n etQ(x) = bmxm + ...+ b1x + b0 de degré m admet pour équivalent (en±∞ comme en 0) le quotient des équivalents de P(x) et Q(x).

Exemple :

▶ F (x) =P(x)

Q(x)=

3x4 − 2x6x3 + 4x2 + 1

=3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0

6x3 + 4x2 + 0x + 1

▶ F (x) ∼x→+∞

3x4

6x3

▶ F (x) ∼x→−∞

3x4

6x3

▶ F (x) ∼x→0

−2x1

52 / 130

Page 57: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Équivalence

Exercices type

Exercices Type

▶ Calcul de limites

∙ Calcul de limx→0

ln(1 + x)

x2

∙ Calcul de limx→+∞

1 +x2 − 1

2x2 + 1

∙ Calcul de limx→1

1− x1/2

(1− x)3

Méthodologie

▶ Identifier la ou les fonctions usuelles, leurs limites, et tester lesméthodes classiques de calcul de limite.

▶ Si polynôme ou fraction rationnelle en ±∞, utiliser l’équivalent▶ Sinon, faire un changement de variable pour se ramener en 0,

puis utiliser les équivalents en 0

53 / 130

Page 58: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Limites Calcul de limites

Croissance comparée

Croissance comparée de log, exp et puissance

Règles de croissance comparée

limx 7−→+∞

ln(x)

x�= 0 et lim

x 7−→+∞

ex

x�= +∞ (avec � ∈ IR∗+)

«ln croit moins vite que lespuissances, qui croissentmoins vite que l’expo vers+∞»Notation :

ln << x� << ex

Exemple :

limx→+∞

ln(x)ex

x 12

54 / 130

Page 59: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité

Troisième partie III

Continuité

55 / 130

Page 60: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité

Plan

Continuité en un pointDéfinitionsDiscontinuitésProlongement par continuité

Ensemble de continuité

56 / 130

Page 61: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité

Notion de continuité

▶ Continuité▶ ≡ "Tracé de la courbe sans lever le stylo"▶ ∕= "Rupture dans le tracé de la courbe"

▶ Applications▶ Pas d’applications directes▶ Utile pour plusieurs théorèmes importants (existence d’une

réciproque)

57 / 130

Page 62: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité Continuité en un point

Définitions

Continuité en un point

DÉFINITION

▶ f est continue en un point x0 de Df SSI limx→x0

f (x) = f (x0).

▶ f est continue à droite de x0 de Df SSI limx→x+

0

f (x) = f (x0).

▶ f est continue à gauche de x0 de Df SSI limx→x−0

f (x) = f (x0).

Continuité en x0 Continuité à droite de x058 / 130

Page 63: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité Continuité en un point

Discontinuités

Exemples de discontinuité (1/2)▶ f définie en x0 mais lim

x→x0f (x) ∕= f (x0)

0 1 2 3−1−2−30

1

2

3

−1

−2

−3

FIGURE: Echelon unité

Exemple : Échelon unité (ouFonction de Heaviside)

U(x) =

{1 si x ≥ 00 sinon

▶ non continue en 0▶ continue à droite de 0

Application Electronique :Caractérisation de filtre

59 / 130

Page 64: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité Continuité en un point

Discontinuités

Exemples de discontinuité (2/2)▶ f définie en x0 mais lim

x→x0f (x) ∕= f (x0)

0 1 2 3−1−2−30

1

2

3

−1

−2

−3

FIGURE: Fonction signe

Exemple : Fonction signe

sign(x) =

⎧⎨⎩ 1 si x > 00 si x = 0−1 si x < 0

▶ non continue en 0, ni à droite,ni à gauche

Application Télécoms :Décision binaire

60 / 130

Page 65: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité Continuité en un point

Prolongement par continuité

Prolongement par continuité▶ f non définie en x0 mais lim

x→x+0

f (x) = limx→x−0

f (x) = l ∈ IR

0 1−10

1

−1

FIGURE: Sinus cardinal

Exemple : Sinus cardinal

sinc(x) ={ sin(x)

xsi x ∕= 0

1 si x = 0

▶ sin(x)x non continue en 0 (car

non définie)▶ sinc(x) continue en 0, comme

prolongement de sin(x)x par

continuité en 0

61 / 130

Page 66: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité Ensemble de continuité

Ensemble de continuité

DÉFINITION

L’ensemble de continuité Cf de la fonction f (x) est l’ensemble des xde Df en lesquels f est continue

Remarques : en général, Cf = Df

▶ Les fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine carré, fractionrationnelle, sin, cos, tan, ln, expo) sont continues sur leurensemble de définition

▶ L’ensemble de continuité de tout assemblage de fonctionsusuelles se détermine suivant les mêmes règles que l’ensemblede définition

62 / 130

Page 67: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Continuité Ensemble de continuité

Exercices type

▶ Donner les ensembles de continuité des fonctions suivantes :∙ f : x 7→ ln(x)e−x

∙ g :

{x 7→ 1/x , si x < 1x 7→ 2− x , si x ≥ 1

Méthodologie

1. Si f a une règle de définition unique en fct. de x ,▶ identifier les fonctions usuelles dans f et leurs ensembles de

continuité▶ identifier l’assemblage de fonctions usuelles et appliquer les règles

d’opération sur les fonctions

2. Si f a plusieurs règles de déf. (en fct. de la valeur de x)▶ Analyser la continuité de chaque règle de définition séparément

(cf. cas n˚1)▶ Étudier les limites de f à gauche et à droite des points de césure

63 / 130

Page 68: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité

Quatrième partie IV

Dérivabilité

64 / 130

Page 69: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité

Plan

DérivabilitéDérivabilité en un pointNon-dérivabilité

DérivéeEnsemble de dérivabilité et Dérivée

Dérivées usuellesOpérations sur les fonctions

Application : Sens de variationApplication : ExtrêmaDérivées à l’ordre n

DifférentiellesDifférentielle en un pointDéfinitionsChangement de variable

65 / 130

Page 70: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivabilité

Dérivabilité en un point

Dérivabilité en un point

DÉFINITIONS

▶ Taux de variation de f entre les points x et a de Df :

Tf (x ,a) =f (x)− f (a)

x − a

▶ f est dérivable en a SSI limx→a

Tf (x ,a) existe et vaut A ∈ IR.

▶ Nombre dérivé de f en a :

A = f ′(a)

66 / 130

Page 71: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivabilité

Dérivabilité en un point

Interprétation géométrique

▶ Taux de variationTf (x ,a) = pente de ladroite orientée reliantM(x , f (x)) etM(a, f (a))

▶ Dérivée f ′(a) = pentede la tangente à lacourbe Gf enM(a, f (a))

▶ Equation de latangente à Gf enM(a, f (a)) :y = f ′(a) (x − a)− f (a)

FIGURE: Sécante et Tangente

67 / 130

Page 72: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivabilité

Non-dérivabilité

Exemples de non dérivabilité (1/2)▶ f non dérivable ni continue

FIGURE: Partie supérieure

Exemple : Partiesupérieure (ceil)

⌈x⌉ = l’entier directementsupérieur ou égal à x

Application RT : Calculdes notes de DS

68 / 130

Page 73: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivabilité

Non-dérivabilité

Exemples de non dérivabilité (2/2)

▶ f non dérivable mais continue

Exemple :

f (x) = 1/3 ∗ ∣x ∣+ x2

Remarques :▶ x → ∣x ∣ non dérivable

en 0▶ Non-dérivabilité ≡

Cassure/Inflexion dansle graphe de la fonction

69 / 130

Page 74: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Ensemble de dérivabilité et Dérivée

Ensemble de dérivabilité

DÉFINITION : Ensemble de dérivabilité

L’ensemble de dérivabilité Bf de f (x) est l’ensemble des x de Df enlesquels f est dérivable

Remarques▶ Si f est dérivable en x = a alors f est continue en x = a (Bf ⊂ Cf )▶ f est dérivable sur l’intervalle I si f est dérivable en tout point

x = a de I▶ Avant de calculer une dérivée, il faut déterminer l’ensemble de

dérivabilité

70 / 130

Page 75: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Ensemble de dérivabilité et Dérivée

Dérivée

DÉFINITION : Dérivée

La fonction dérivée de f , notée f ′, est la fonction définie par :

f ′ :

{Bf → IRx 7→ f ′(x)

Calcul de dérivée▶ A partir de fonctions usuelles▶ En utilisant les règles de calcul de la dérivée sur un assemblage

de fonction

71 / 130

Page 76: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Ensemble de dérivabilité et Dérivée

Dérivées usuelles

Fonctions dérivables usuelles

Fonction f Bf Dérivée

Constante f (x) = k (avec k ∈ IR) IR f ′(x) = 0Monôme f (x) = xn (avec n ∈ IN∗) IR f ′(x) = nx (n−1)

Puissance f (x) = x� (� ∈ R) IR∗+ f ′(x) = �x (�−1)

Racine carrée f (x) =√

x IR∗+ f ′(x) =12

1√

x

Racine n-ième (avec n ∈ IN∗) IR∗+ si n pair f ′(x) =1n

x ( 1n−1)

Inverse f (x) =1x

ℝ∗ f ′(x) = −1x2

f (x) =1xn

ℝ∗ f ′(x) = −n

xn+1

Logarithme népérien f (x) = ln(x) IR∗+ f ′(x) =1x

Exponentielle f (x) = exp(x) IR f ′(x) = exp(x)Cosinus f (x) = cos(x) IR f ′(x) = − sin(x)

Sinus f (x) = sin(x) IR f ′(x) = cos(x)

Tangente f (x) = tan(x) IR ∖{�

2+ k�/k ∈ ZZ

}f ′(x) =

1cos2(x)

= 1 + tan2(x)

72 / 130

Page 77: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Ensemble de dérivabilité et Dérivée

Opérations sur les fonctions

Opérations sur les fonctions (1/2)Si f et g sont définies et dérivables au point x , alors les fonctionssuivantes sont dérivables au point x :

Fonction DérivéeSomme f + g (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

Opposée −f (−f )′(x) = −f ′(x)

Différence f − g (f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x)

Produit fg (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)

Amplification �f (�f )′(x) = �f ′(x)(� ∈ ℝ)

Inverse1f

(1f

)′(x) = − f ′(x)

f 2(x)(si f (x) ∕= 0)

Quotientfg

(fg

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)

g2(x)si g(x) ∕= 0

▶ Même règles pour déterminer l’ensemble de dérivabilité d’unassemblage de fonction que pour l’ensemble de définition

73 / 130

Page 78: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Ensemble de dérivabilité et Dérivée

Opérations sur les fonctions

Opérations sur les fonctions (2/2)

Théorème

Si f est définie et dérivable au point x , et g une fonction définie etdérivable en f (x) alors g ∘ f est dérivable au point x et :

Fonction DérivéeComposition g ∘ f (g ∘ f )′(x) = f ′(x)g′ (f (x))

▶ Même règles pour déterminer l’ensemble de dérivabilité d’unassemblage de fonction que pour l’ensemble de définition

74 / 130

Page 79: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Ensemble de dérivabilité et Dérivée

Opérations sur les fonctions

Exercices type

▶ Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée

∙ f (x) =12

x2 + 31− x

∙ f (x) = ln(1− xe−x)

Méthodologie

▶ Identifier les fonctions usuelles et leur ensemble de dérivabilité▶ Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles et utiliser

les règles correspondantes

75 / 130

Page 80: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Application : Sens de variation

Sens de variation

DÉFINITION : Sens de variation

Étant donné deux réelsqcqs, x1 et x2, d’unintervalle I, f est :

▶ croissante sur ISSI Tf (x1, x2) ≥ 0

▶ strict. a croissantesur ISSI Tf (x1, x2) > 0

a. strictementExemple : Dent de scie

Application Electronique

76 / 130

Page 81: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Application : Sens de variation

Sens de variation

DÉFINITION : Sens de variation

Étant donné deux réelsqcqs, x1 et x2, d’unintervalle I, f est :

▶ décroissante sur ISSI Tf (x1, x2) ≤ 0

▶ strict. décroissantesur ISSI Tf (x1, x2) < 0

Exemple : Dent de scieApplication Electronique

76 / 130

Page 82: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Application : Sens de variation

Formule des accroissements finis

THÉORÈME : Formule des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[. Il existeau moins un réel c ∈]a; b[ tel que :

Tf (b,a) =f (b)− f (a)

b − a= f ′(c)

Conséquences :∙ Sens de variation d’une fonction dépendant du signe de la

dérivée∙ Extrêma de la fonction aux points d’annulation et de

changement de signe de la dérivée

77 / 130

Page 83: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Application : Sens de variation

Dérivée et sens de variation

THÉORÈME : Sens de variation

Une fonction f dérivable sur I est :▶ croissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) ≥ 0▶ strict. croissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) > 0

▶ décroissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) ≤ 0▶ strct. décroissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) < 0

Etude du sens de variation de f▶ Tableau de variation : ensemble de variation de x (Bf ), signe de

la dérivée f ′(x), variation de f (x)

78 / 130

Page 84: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Application : Sens de variation

Exercices type

▶ Déterminer le sens de variation d’une fonction▶ f (x) = 2x − 1− ln(x)

▶ g(x) = 300(x − 6)e−14 x

MÉTHODOLOGIE

▶ Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f▶ Calculer sa dérivée f ′ et étudier son signe en fonction de x▶ Tracer le tableau de variation, en déduisant le sens de variation

du signe de la dérivée

79 / 130

Page 85: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Application : Extrêma

Extrêma (1/2)

DÉFINITION

Pour un intervalle I, f admet :▶ un minimum m sur I

SSI ∀x ∈ I, f (x) ≥ m▶ un maximum M sur I

SSI ∀x ∈ I, f (x) ≤ M

Remarques :▶ Si I = Df , l’extrêmum est

absolu,▶ Sinon, il est local.

Exemple : f (x) = e−x ( 12 + x3)

80 / 130

Page 86: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Application : Extrêma

Extrêma (2/2)

THÉORÈME

▶ Une fonction f , dérivable au voisinage d’un point a, admet unextrêma au voisinage de a si sa dérivée f ′ s’annule en a etchange de signe au voisinage de a.

▶ La nature de l’extrêma dépend des sens de variation

Application Optimisation d’un critère de performance :▶ Gain des révisions de math en fonction du temps :

P(t) = 3t − 0.1t3

▶ Quel est le temps de révision optimal ?

"Toute ressemblance avec des situations réellesou ayant existées serait fortuite"

81 / 130

Page 87: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Dérivées à l’ordre n

Dérivées à l’ordre n

Remarques :▶ Si f est dérivable sur B et si sa dérivée f ′ est elle-même dérivable

sur B de dérivée (f ′)′, on dit que f est dérivable à l’ordre 2 et(f ′)′ est la dérivée seconde/deuxième. On la note f ′′ ou f (2).

▶ En généralisant n fois ...

DÉFINITION : Dérivabilité à l’ordre n (n ∈ ℕ∗)

Une fonction f est dérivable à l’ordre n sur B si tous ses dérivéesd’ordre < n existent et sont dérivables sur B. La dérivée à l’ordre nde f est alors :

f (n)(x) =

n fois︷ ︸︸ ︷(...(

(f ′)′ ...)′)′

(x) (1)

82 / 130

Page 88: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Dérivée

Dérivées à l’ordre n

Applications : Convexité et concavité

THÉORÈME

Si f est dérivable à l’ordre 2sur B, et :

▶ si ∀x ∈ B, f ′′(x) ≥ 0,alors f est convexe

▶ si ∀x ∈ B, f ′′(x) ≤ 0,alors f est concave

▶ Si f est convexe (resp.concave), f esttoujours au-dessus(resp. au-dessous) deses tangentes

(Pas dans le poly !)

83 / 130

Page 89: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Différentielle en un point

Différentielle en un point a

▶ Autre écriture de ladérivée

DÉFINITION

Différentielle de f en a :

df = f ′(a)dx

▶ dx = x − a : variationautour de a a

▶ df : variation de latangente à Gf en aautour de f (a)

a. Le même que pour le calculd’intégrales

84 / 130

Page 90: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Différentielle en un point

Différentielle en un point aLien avec la physique

▶ En physique, étude des "petites variations" d’une fonction fautour du point d’équilibre (a, f (a))

Exemple : Le pendule delongueur l0 et de période :T0(l0) = 2�

√l0/g

∙ f (a + �x) = f (a) + �f∙ �x = x − a : petite

variation de x∙ �f = f (x)− f (a) =

Tf (x ,a)�x : petitevariation de f autourde a

85 / 130

Page 91: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Différentielle en un point

Différentielle en un point aLien avec la physique

▶ En physique, étude des "petites variations" d’une fonction fautour du point d’équilibre (a, f (a))

Exemple : Le pendule delongueur l0 et de période :T0(l0) = 2�

√l0/g

Si �x ≈ 0

∙ �x → dx∙ Tf (x ,a)→ f ′(a)

∙ �f → df

85 / 130

Page 92: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Définitions

Définitions

Définitions

▶ Différentielle de f : df : x 7→ f ′(x)dx

▶ Différentielle logarithmique de f :dff

: x 7→ d(ln(∣f ∣))

Conséquences :▶ Toutes les différentielles (de fonctions usuelles et résultants

d’opérations sur les fonctions) se déduisent des dérivées,puisque (si x ∈ Bf ) :

f ′(x) =dfdx

▶ Attention à ne pas oublier le dx ! !

86 / 130

Page 93: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Définitions

Opérations sur les fonctions

Fonction DifférentielleSomme f + g d [f + g] = df + dgOpposée −f d [−f ] = −df

Différence f − g d [f − g] = df − dgProduit fg d [fg] = df ⋅ g + f ⋅ dg

Amplification �f (� ∈ IR) d [�f ] = �df

Inverse 1f d

[1f

]= −df

f 2

Quotient fg d

[fg

]=

df ⋅ g − f ⋅ dgg2

ln(f ) d [ln(f )] =dff

exp(f ) d [exp(f )] = exp(f )dff n (avec n ∈ IN∗) d [f n] = nf n−1df

87 / 130

Page 94: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Définitions

Exercices type

Exemple : Calcul de la différentielle :∙ f (x) = ln(x)

∙ g(x) = ex (1 + x2)

88 / 130

Page 95: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Changement de variable

Changement de variableLe petit + des différentielles

PROPRIÉTÉ : Changement de variable

Soit f une fonction de la variable x avec x , elle-même, une fonctionde la variable t : t 7→ x(t) 7→ f (x) = f (x(t)). Alors

dfdt

=dfdx⋅ dx

dt⇐⇒ df = f ′(x) ⋅ x ′(t) ⋅ dt

▶ Calcul de la différentielle d’une composée beaucoup simple quecelui de la dérivée

▶ df/dx s’interprète comme un quotient

Exemple : f (x) = sin(!x + �) et x(t) =2t

t − 1

89 / 130

Page 96: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Dérivabilité Différentielles

Changement de variable

Différentielle à l’ordre n

DÉFINITION : Différentielle à l’ordre n

De la même façon qu’une fonction f de la variable x est dérivable àl’ordre n, on peut calculer la différentielle à l’ordre n de f , notée dnf ,en fonction de la différentielle à l’ordre n de x , notée dxn. Elles sontdonnées par :

f (n)(x) =dnfdxn (2)

▶ Attention ! dnf n’est pas une puissance de n

90 / 130

Page 97: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions

Cinquième partie V

Etude de fonctions

91 / 130

Page 98: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions

Plan

Etude de fonctions : comment tracer le graphe d’unefonction SANS calculatrice

Techniques d’étude de fonctionsMéthodologieEnsemble d’étude

Symétrie graphiqueSens de variationBranches asymptotiquesTransformations géométriques

Quelques fonctions usuellesBijectionFonctions réciproques

PropriétésSinus/ArcsinCosinus/ArccosTangente/Arctan

92 / 130

Page 99: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Méthodologie

Méthodologie

1. Déterminer l’ensemble d’étude2. Déterminer le sens de variation3. Etudier les branches asymptotiques4. Tracer le graphe

Exemples :

▶ f (x) =cos(x)

x

▶ g(x) =x2 + x − 2

x − 2

93 / 130

Page 100: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Ensemble d’étude

Ensemble d’étude

DÉFINITION

L’ensemble d’étude d’une fonction f , noté Ef , est l’ensemble desréels x en lesquels il convient d’étudier la fonction.

▶ Ef est un sous-ensemble de l’ensemble de définition Df

▶ Ef peut être réduit grace aux symétries graphiques de f

94 / 130

Page 101: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Ensemble d’étude

Symétrie graphique

Parité

DÉFINITION

Une fonction f est paireSSI pour tout x ∈ Df :

▶ −x ∈ Df

▶ f (−x) = f (x)

Conséquences▶ Graphe symétrique par

rapport à l’axe (0y)

▶ Ef = {x ∈ Df/x ≥ 0} Exemple : f (x) = x2

95 / 130

Page 102: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Ensemble d’étude

Symétrie graphique

Impaire

DÉFINITION

Une fonction f est impaireSSI pour tout x ∈ Df :

▶ −x ∈ Df

▶ f (−x) = −f (x)

Conséquences▶ Graphe symétrique par

rapport au point 0▶ Ef = {x ∈ Df/x ≥ 0} Exemple : f (x) = x3

96 / 130

Page 103: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Ensemble d’étude

Symétrie graphique

t-Périodicité et Période T

DÉFINITIONS

∙ f est t-périodique SSI ilexiste t ∈ IR tel que pourtout x ∈ Df :

▶ x + t ∈ Df▶ f (x + t) = f (x)

∙ La période T de f est leplus petit réel positifnon nul tel que l’équationprécédente est satisfaite

Exemple : cos(x) : périodique depériode 2�, 2�-périodique,

4�-périodique, ..., 26�-périodique, ...

97 / 130

Page 104: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Ensemble d’étude

Symétrie graphique

t-Périodicité et Période T

Conséquences▶ Motifs dans le graphe, se

répétant périodiquement▶ Ef = tout intervalle de

longueur la période T

Exemple : cos(x) : périodique depériode 2�, 2�-périodique,

4�-périodique, ..., 26�-périodique, ...

97 / 130

Page 105: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Sens de variation

Sens de variation

▶ Méthodologie :1. Calcul de l’ensemble de dérivation2. Calcul de la dérivée3. Analyse du signe de la dérivée4. Tracer du tableau de variation

▶ Informations supplémentaires : Points caractéristiques +Limites

x −∞ +∞

− +

f(x)

3

f ′(x)

Exemple : f (x) = x2 − 6x + 1

98 / 130

Page 106: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Sens de variation

Sens de variation

▶ Méthodologie :1. Calcul de l’ensemble de dérivation2. Calcul de la dérivée3. Analyse du signe de la dérivée4. Tracer du tableau de variation

▶ Informations supplémentaires : Points caractéristiques +Limites

x −∞ +∞

− +

f(x)+∞+∞

3

−8

f ′(x)

Exemple : f (x) = x2 − 6x + 1

98 / 130

Page 107: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Branches asymptotiques

Asymptotes et branches paraboliques (1/2)

Objectifs▶ Evaluer "comment" une fonction tend vers +∞▶ Direction dominante ?

▶ (0x), (0y)▶ de la forme y = ax + b▶ de la forme y = ax2

99 / 130

Page 108: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Branches asymptotiques

Asymptotes et branches paraboliques (2/2)

Méthodologie :

Asymptoteoblique

y = ax + b

Brancheparaboliquede direction

y = ax

b ∞

Brancheparabolique

de direction (0y)de direction (0x)

paraboliqueBranche

0a ∕= 0 ∞

l ∞∞

AsymptoteAsymptoteverticale horizontale

limx→a

f (x) limx→∞

f (x)

limx→∞

f (x)x

limx→∞

f (x)− ax

x = a y = l

100 / 130

Page 109: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Branches asymptotiques

Tracé du graphe

Y a plus qu’à...

101 / 130

Page 110: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Transformations géométriques

Quelques transformations géométriquesTranslation

Définition :Translation −→u (a, b)

g est la translatée de f par le vecteur −→u (a,b) ssi :

g(x) = f (x − a) + bM(x , y) ∈ Gf ⇐⇒ M(x + a, y + b) ∈ Gg

(3)

FIGURE: Résultat graphique de la translation

102 / 130

Page 111: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Transformations géométriques

Quelques transformations géométriquesSymétrie centrale

Définition : Symétrie centrale Ω(a, b)

g est la symétrie centrale de centre Ω(a,b) de la fonction f ssi

g(x) = −f (−x + 2a) + 2bM(x , y) ∈ Gf ⇐⇒ M(−x + 2a,−y + 2b) ∈ Gg

(4)

FIGURE: Résultat graphique de la symétrie centrale

103 / 130

Page 112: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions

Transformations géométriques

Transformation géométriqueHomothétie

Définition : Homothétie de rapport k dans la direction (Ox)

g est l’homothétie de f de rapport k dans la direction (Ox) ssi :

g(x) = f (kx)M(x , y) ∈ Gf ⇐⇒ M(kx , y) ∈ Gg

(5)

FIGURE: Résultat graphique de l’homothétie

104 / 130

Page 113: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Bijection

Notion d’injection, de surjection, de bijection

▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différentsde Df sont différentes

▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède aumoins un antécédent par g (dans Dg)

▶ Bijection : h est bijective SSI tout élément de Ah possède ununique antécédent par h

R. CHOLLET

C. SICLET

C. BARAS

Y. DELNONDEDIEU

Prog C

Maths

Reseaux

Unix

x yf

105 / 130

Page 114: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Bijection

Notion d’injection, de surjection, de bijection

▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différentsde Df sont différentes

▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède aumoins un antécédent par g (dans Dg)

▶ Bijection : h est bijective SSI tout élément de Ah possède ununique antécédent par h

Prog C

Maths

Reseaux

Unix

R. CHOLLET

C. SICLET

C. BARAS

Y. DELNONDEDIEU

x yf

105 / 130

Page 115: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Bijection

Notion d’injection, de surjection, de bijection

▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différentsde Df sont différentes

▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède aumoins un antécédent par g (dans Dg)

▶ Bijection : h est bijective SSI tout élément de Ah possède ununique antécédent par h

Prog C

Maths

Reseaux

Unix

R. CHOLLET

C. SICLET

C. BARAS

Y. DELNONDEDIEU

x yh

105 / 130

Page 116: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Bijection

Notion de réciproque▶ La fonction réciproque de f est la fonction inverse f−1 de f

Prog C

Maths

Reseaux

Unix

R. CHOLLET

C. SICLET

C. BARAS

Y. DELNONDEDIEU

x yh

Prog C

Maths

Reseaux

Unix

R. CHOLLET

C. SICLET

C. BARAS

Y. DELNONDEDIEU

x y$h^{−1}$

106 / 130

Page 117: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Bijection

Bijection

DÉFINITION : Bijection

Une fonction f est une bijection (ou est bijective) de l’intervalleI ⊂ Df vers l’intervalle J ⊂ Af SSI :

▶ pour tout y ∈ J, l’eq. y = f (x) admet une unique solution x .▶ ∀x ∈ I,∃!y ∈ J tel que y = f (x)

THÉOREME : CNS d’existence

Si f est continue et strict. monotone sur I = [a,b], alors f est unebijection de I vers l’intervalle J.

▶ Si f est strict. croissante, J = f ([a,b]) = [f (a), f (b)].▶ Si f est strict. décroissante, J = f ([a,b]) = [f (b), f (a)].

107 / 130

Page 118: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Fonction réciproque

DÉFINITION : Fonction réciproque

g est la fonction réciproque (ou inverse) d’une fonction bijective fde I vers J = f (I) SSI :

▶ g est définie en tout point de J▶ pour tout x ∈ Df , y = f (x)⇔ x = g(y)

THEOREME : CNS d’existence

Si f est bijective de I vers J, alors f admet une fonction réciproque, etcette fonction réciproque est unique. On la note f−1.Remarque :

▶ Une fonction f dont le sens de variation change sur IR admet uneréciproque sur chaque intervalle de variation !

108 / 130

Page 119: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Propriétés

Propriétés de la réciproque (1/2)

1. Continuité : f−1 est continue sur f (I)2. Sens de variation : f−1 est strictement monotone sur f (I) et de

même sens de variation que la fonction f .3. Outils de calcul :

▶ La composée de la réciproque de f et de f est l’identité :(f−1 ∘ f )(x) = (f ∘ f−1)(x) = x

▶ La réciproque de la réciproque de f est f :(f−1)−1

(x) = f (x)

Exemple : Des réciproques usuelles :▶ exp et ln sur IR∗+▶ x → xn et x → n

√n sur IR+

109 / 130

Page 120: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Propriétés

Propriétés de la réciproque (2/2)

4. Graphe : Dans unrepère orthonormé, lesgraphes Gf et Gf−1 de fet f−1 sontsymétriques parrapport à la 1ère

bissectrice du plan,c’est à dire la droited’équation y = x .

Exemple : f (x) = x4 et saréciproque sur IR+ :f−1(x) = x1/4

0 1 2 3 4 5 6 7−1−201

2

3

4

5

6

7

−1

−2

y=x4

y=x

y=x1/4

110 / 130

Page 121: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Propriétés

Exercices typeExemples :

▶ Montrer que g(x) = 1 + x est la réciproque de f (x) = x − 1 sur IR

Méthodologie

▶ Montrer que g(f (x)) = f (g(x)) = x

▶ Montrer que f (x) = (x + 1)1/3 + 2 admet une réciproque (sur unintervalle que l’on précisera) et donné l’expression de saréciproque

Méthodologie

▶ Etudier la continuité et le (ou les) sens de variation de f .▶ Poser y = f (x) et manipuler l’équation pour avoir x = g(y). Alors

g = f−1.

111 / 130

Page 122: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Sinus/Arcsin

Sinus et Arcsin

0 1 2 3 4−1−2−3−4−501

2

3

4

−1

−2

−3

−4

y=sin(x)

y=x

DÉFINITIONS

Sinus restreint{ [−�2 ; �2

]→ [−1; 1]

x → sin(x)

Arcsinus{[−1; 1]→

[−�2 ; �2

]x → Arcsin(x)

Remarques :∙ Sinus restreint et Arcsinus sont réciproques.∙ Arcsinus est continue sur [−1; 1]∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x

112 / 130

Page 123: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Sinus/Arcsin

Sinus et Arcsin

0 1.5708−1.57080

1.5708

−1.5708

y=sin(x)

y=x

y=Arcsin(x)

DÉFINITIONS

Sinus restreint{ [−�2 ; �2

]→ [−1; 1]

x → sin(x)

Arcsinus{[−1; 1]→

[−�2 ; �2

]x → Arcsin(x)

Remarques :∙ Sinus restreint et Arcsinus sont réciproques.∙ Arcsinus est continue sur [−1; 1]∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x

112 / 130

Page 124: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Cosinus/Arccos

Cosinus et Arccos

0 1 2 3 4−1−2−3−4−501

2

3

4

−1

−2

−3

−4

y=cos(x)

y=x

DÉFINITIONS

Cosinus restreint{[0;�]→ [−1; 1]x → cos(x)

Arccosinus{[−1; 1]→ [0;�]x → Arccos(x)

Remarques :∙ Cosinus restreint et Arccos sont réciproques.∙ Arccosinus est continue sur [−1; 1].∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x .

113 / 130

Page 125: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Cosinus/Arccos

Cosinus et Arccos

0 1.5708 3.1416−1.57080

1.5708

3.1416

y=cos(x)

y=x

y=Arccos(x)

DÉFINITIONS

Cosinus restreint{[0;�]→ [−1; 1]x → cos(x)

Arccosinus{[−1; 1]→ [0;�]x → Arccos(x)

Remarques :∙ Cosinus restreint et Arccos sont réciproques.∙ Arccosinus est continue sur [−1; 1].∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x .

113 / 130

Page 126: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Tangente/Arctan

Tangente et Arctan

0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8−9012345678

−1−2−3−4−5−6−7−8−9

y=tan(x)

y=x

Définitions

Tangente restreinte{ [−�2 ; �2

]→ [−1; 1]

x → tan(x) = sin(x)cos(x)

Arctangente{[−1; 1]→

[−�2 ; �2

]x → Arctan(x)

Remarques :∙ Tan restreinte et Arctan sont reciproques.∙ Arctan est continue sur ℝ.∙ tan(x) ∼0 x , Arctan(x) ∼0 x .

114 / 130

Page 127: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Tangente/Arctan

Tangente et Arctan

0 1.57083.14164.7124−1.5708−3.1416−4.71240

1.5708

3.1416

4.7124

−1.5708

−3.1416

−4.7124

y=tan(x)

y=xy=Arctan(x)

Définitions

Tangente restreinte{ [−�2 ; �2

]→ [−1; 1]

x → tan(x) = sin(x)cos(x)

Arctangente{[−1; 1]→

[−�2 ; �2

]x → Arctan(x)

Remarques :∙ Tan restreinte et Arctan sont reciproques.∙ Arctan est continue sur ℝ.∙ tan(x) ∼0 x , Arctan(x) ∼0 x .

114 / 130

Page 128: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles

Fonctions réciproques

Tangente/Arctan

Exercices type

Exemple : Que vaut :▶ Arccos(cos(7�/3))

▶ sin(Arcsin(1/2))

▶ Arctan(tan(3�/4))

115 / 130

Page 129: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs)

Sixième partie VI

Développements limités (DLs)

116 / 130

Page 130: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs)

Plan

Introduction

Notion de négligeabilité

Développement limitéDéfinitionInterprétation graphiqueDL usuelsOpérations sur les DLsDéveloppements limités et limites

117 / 130

Page 131: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Introduction

Principe des DLs

▶ Etude locale d’une fonction, c’est à dire en un point a,généralement en a = 0

▶ Approximation (de plus en plus précise) par une fonction "plussimple"

▶ Equivalent en 0 :Exemple : tan(x) ∼

x→0x

▶ DL en 0 : Polynôme + une fonction (non spécifiée) négligeabledevant un monôme

Exemples :

tan(x) = x +x3

3+ o(x3) (à l’ordre 3)

tan(x) = x +x3

3+

2x5

15+ o(x5) (à l’ordre 5)

118 / 130

Page 132: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Notion de négligeabilité

Négligeabilité

DÉFINITION : Négligeabilité devant un monôme en 0

Une fonction f est négligeable devant le monôme xn (avec n ∈ IN) auvoisinage de 0 SSI :

▶ f est définie au voisinage de 0

▶ limx→0

f (x)

xn = 0

Notation : f (x) = o (xn)

Remarque▶ o(xn) désigne une fonction de x (non explicitée) négligeable

devant la fonction xn

119 / 130

Page 133: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Notion de négligeabilité

Propriétés de négligeabilité

Au voisinage de 0,

1. Négligeabilité des monômes▶ xm = o(xn) si m > n▶ o(xm) + o(xn) = o(xp) avec p = min(m, n)

2. Négligeabilité par rapport à 1

▶ Si f (x) = o(1), alors simplement limx→0

f (x)

1= 0

3. Produit et quotient de fonctions et de monômes▶ Si f (x) = o(xm), alors f (x).xn = o(xm).xn = o(xm+n)

▶ Si f (x) = o(xm), alors pour m ≥ n,f (x)

xn =o(xm)

xn = o(xm−n)

4. Négligeabilité et signe▶ o(xn) = −o(xn)

120 / 130

Page 134: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

Définition

Développement limité (DL) à l’ordre n

DÉFINITION : DL à l’ordre n

f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’ilexiste un polynôme Pn(x) = a0 + a1x + ...+ anxn de degré au pluségal à n (avec a0,a1, ...,an ∈ IR) tel que :

f (x) = Pn(x) + o (xn) ,

où o(xn) désigne une fonction (non spécifiée) négligeable devant xn.

PROPRIÉTÉ

S’il existe ce DL est unique.

121 / 130

Page 135: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

Définition

Calcul de DL

FORMULE DE TAYLOR-YOUNG pour les DL en 0

Une fonction f définie et dérivable n fois en 0 admet un (unique) DL àl’odre n en 0, donné par :

f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)

2!x2 + ...+

f (n)(0)

n!xn + o (xn) ,

où n! est la factorielle de n :{n! = 1× 2× ...× (n − 1)× n , si n ∕= 00! = 1

Exemple : DL de ex à l’ordre 5

122 / 130

Page 136: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

Interprétation graphique

Interprétation numérique et graphique

Exemple :⎧⎨⎩ f (x) =1

1 + x= Pn(x) + o(xn)

avecPn(x) = 1− x + x2− x3 + ...+ (−1)nxn

▶ P0(x) = 1▶ P1(x) = 1− x▶ P2(x) = 1− x + x2

▶ P3(x) = 1− x + x2 − x3

123 / 130

Page 137: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

DL usuels

Développements limités usuels (1/3)

▶ Puissance :▶ (1 + x)� =

1 + �x +�(�− 1)

2!x2 + ...+

�(�− 1) . . . (�− n + 1)

n!xn + o(xn)

▶ Inverse :▶

11 + x

= 1− x + x2 − x3 + . . .+ (−1)nxn + o(xn)

▶1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + . . .+ xn + o(xn)

▶1

(1− x)2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + . . .+ (n + 1)xn + o(xn)

124 / 130

Page 138: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

DL usuels

Développements limités usuels (2/3)

▶ Logarithme :

▶ ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3+ . . .+

(−1)n+1

nxn + o(xn)

▶ ln(1− x) = −x − x2

2− x3

3− . . .− xn

n+ o(xn)

▶ ln(

1 + x1− x

)= 2x +

23

x3 +25

x5 + . . .+2

2p + 1x2p+1 + o(x2p+1)

▶ Exponentielle :

▶ ex = 1 + x +x2

2+

x3

6+ . . .+

1n!

xn + o(xn)

125 / 130

Page 139: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

DL usuels

Développements limités usuels (3/3)

▶ Trigonométrie :

▶ sin(x) = x − x3

6+

x5

120− . . .+

(−1)p

(2p + 1)!x2p+1 + o(x2p+1)

▶ cos(x) = 1− x2

2+

x4

24− . . .+

(−1)p

(2p)!x2p + o(x2p)

▶ tan(x) = x +x3

3+

2x5

15+ o(x5)

▶ arctan(x) = x − x3

3+

x5

120+ o(x5)

126 / 130

Page 140: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

Opérations sur les DLs

Opérations sur les DLsPour f (x) = Pn(x) + o(xn) et g(x) = Qn(x) + o(xn) :

DL Polynôme du DL

(f + g)(x) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) = Pn(x) + Qn(x) tronqué àl’ordre n

(fg)(x) = Sn(n) + o(xn) Sn(x) = Pn(x).Qn(x) tronqué àl’ordre n(

fg

)(x) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) s’obtient par division (polyno-

mial) suivant les puissances crois-santes de Pn(x) par Qn(x) tronquéà l’ordre n

(f ∘ g)(x) = g(f (x)) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) = Qn(Pn(x)) avec troncatureà l’ordre n

(∫

x f ) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) =∫

x Pn puis troncature àl’ordre n

f ′(x) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) = P′n+1(x) (où Pn+1(x) est lepolynôme du DL de f à l’ordre n +1)

127 / 130

Page 141: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

Opérations sur les DLs

Exercices type

Exemple : Ecrire les DL suivants :▶ DL à l’ordre 3 de f (x) = cos(x) + sin(x)

▶ DL à l’ordre 2 de f (x) = ex . cos(x)

▶ DL à l’ordre 2 de f (x) =ln(1 + x)

cos(x)

▶ DL à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 + sin(x))

▶ DL à l’ordre 3 de f (x) =1

(1 + x)2

128 / 130

Page 142: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

Développements limités et limites

DL et limites

THÉOREME : DLet limite

Si une fonction f admet un DL en 0 à l’ordre n de la formePn(x) + o(xn) où Pn(x) est un polynôme de degré n, alors :

limx→0

f (x) = limx→0

Pn(x)

Exemple : f (x) =ln(1− x)

x

129 / 130

Page 143: Module 2 - Gipsa-labcleo.baras/mes_images/...Partie Introduction Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2) I Calendrier: 30 heures I 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30),

Partie Développements limités (DLs) Développement limité

Développements limités et limites

The end

130 / 130