Modélisation - Université Paris-Saclay...Université Paris-Sud 11 Faculté de Médecine M1 de...
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Université Paris-Sud 11 Faculté de Médecine M1 de Santé Publique DU SSV Modélisation Résumé de cours – tables Claire Dandine-Roulland – Hervé Perdry Ce document sera le seul autorisé à l’examen.
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Université Paris-Sud 11Faculté de Médecine
M1 de Santé PubliqueDU SSV
ModélisationRésumé de cours – tables
Claire Dandine-Roulland – Hervé Perdry
Ce document sera le seul autorisé à l’examen.
Chapitre 1
Expériences aléatoires
Chapitre de statistiques descriptives.
Variables qualitatives : tables d’effectifs / de fré-quences.
Variables quantitatives : tables pour les variablesdiscrètes, histogrammes pour les variables conti-nues. Polygone des fréquences, fonction de réparti-tion empirique.
Mesures de localisation : Moyenne
x = 1n (x1 +·· ·+xn).
Médiane x0,5 : quantile de niveau 0,5. Le quantilede niveau α est la mesure xα de rang αn (arrondirà l’entier supérieur).
Mesures de dispersion : variance de l’échantillon
S2 = 1n
((x1 −x
)2 +·· ·+ (xn −x
)2)
.
Écart-type : racine carrée de la variance.
Écart-absolu moyen :
ea = 1
n
(∣∣x1 −x∣∣+·· ·+
∣∣xn −x∣∣) .
Écart inter-quartile :
IQR = x0,75 −x0,25.
Boîte à moustaches : bords du premier quartile autroisième quartile ; trait dans la boîte à la médiane.Les moustaches finissent aux dernières mesures àune distance < 1,5 × IQR du bord de la boîte. Lesdonnées qui ne sont pas dans l’intervalle figuré parles moustaches sont des mesures « exceptionnelles »(outliers), et on les représente par des points.
Coefficients d’asymétrie et d’applatissement
Le ke moment centré est
mk = 1
n
n∑
i=1
(xi −x
)k .
Le coefficient d’asymétrie est
γ1 =m3
m3/22
= 1
n
∑
i
(xi −xp
S2
)3
Le coefficient d’applatissement
κ= m4
m22
= 1
n
∑
i
(xi −xp
S2
)4
Cas de plusieurs mesures simultanées : tables decontingence dans le cas quantitatif ou discret.
Dans le cas de deux mesures continues : nuages depoints, covariance de l’échantillon
σx y =1
n
n∑
i=1
(xi −x
)(yi − y
).
Coefficient de corrélation
rx y =σx y
σxσy.
Une mesure continue et une mesure quantitative oudiscrète : une boîte à moustaches par niveau de laseconde variable.
1
Chapitre 2
Probabilités
Espaces probabilisés
On note :
. Ω un ensemble d’expériences aléatoires
. ω ∈Ω une expérience aléatoire
. A,B ⊂Ω des événements
. P une loi de probabilité sur l’ensemble Ω.
On considère un lancer de dé à 6 faces, on a Ω =1,2,3,4,5,6. Un lancer a pour résultat ω ∈ Ω. Si ledé est équilibré, la loi de probabilité est défini parP[ω] = 1
6 pour tous ω ∈Ω.
On note A et B deux évènements possibles dansnotre espace probabilisé. Par exemple pour un lancéde dé à 6 faces, on peut avoir A = lancé pair etB = 2 ou 3.
Définitions :
. Complémentaire d’un évènement A : "non A"noté A
. Union de deux évènements A et B : "A ou B"notée A∪B
. Intersection de deux évènements A et B : "A etB" notée A∩B
Définitions :
. A et B sont dits incompatibles si A∩B =∅ ( ∅est l’espace nul)
. A1, . . . , An sont dits incompatiblessi A1 ∩ . . .∩An =∅
. A et B sont dits indépendantssi P[A∩B] =P[A]×P[B]
. A1, . . . , An sont dits indépendantssi P[A1 ∩ . . .∩An] =P[A1]× . . .×P[An]
Propriétés :
. P[Ω] = 1
. P[∅] = 0
. A∪B = A∩B
. A∩B = A∪B
. P[A] = 1−P[A]
. P[A∪B] =P[A]+P[B]−P[A∩B]
. Si A1, . . . , An sont deux à deux incompatiblesalorsP[A1 ∪ . . .∪An] =P[A1]+ . . .+P[An]
2
CHAPITRE 2. PROBABILITÉS 3
Probabilité conditionnelleOn considère deux évènements A et B avec B de pro-babilité non nulle. La probabilité de A sachant B est
P[A|B] = P[A∩B]
P[B]
Propriétés :
. Si B est de probabilité non nulle, A et B sont in-dépendants si et seulement si P[A|B] =P[A]
. Si B est de probabilité non nulle, A et B sont in-compatibles si et seulement si P[A|B] = 0.
Formule des probabilités totalesSoit B un évènement et A1, . . . , An une famille d’évè-nements deux à deux incompatibles, telle que A1 ∪. . .∪An =Ω. On a :
P[B] =P[B|A1]P[A1]+ . . .+P[B|An]P[An]
En particulier, si A un évènement,
P[B] =P[B|A]P[A]+P[
B|A]P
[A]
Formule de BayesSoit A et B deux évènements de probabilité nonnulle. On a :
P[A|B] = P[B|A]P[A]
P[B]
= P[B|A]P[A]
P[B|A]P[A]+P[
B|A]P
[A]
Dénombrement
On se place dans le cas où Ω est un ensemble finimuni de la loi de probabilité uniforme. On note |A|le cardinal de l’ensemble A.On a
P[A] = |A||Ω| =
Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
Propriété : Si A1, . . . , An sont disjoints alors
|A1 ∪ . . .∪An | = |A1|+ . . .+|An |.
Définitions utiles pour le dénombrement
. Nombre de permutations de k objets (on veutsavoir le nombre d’ordres possibles pour k ob-jets) :
k ! = k × (k −1)× . . .×2×1.
Le k ! se lit k factorielle.
. Choix de k objets parmi n lorsque l’ordre desobjets importe. Dans ce cas, le nombre d’arran-gements possibles est :
n!
(n −k)!= n × (n −1)× . . .× (n −k +1).
. Choix de k objets parmi n lorsque l’ordre desobjets n’importe pas. Dans ce cas, le nombred’arrangements possibles est :
(nk
)= n!
k !(n −k)!.
(nk
)se lit k parmi n et est appelé coefficient bi-
nomial.
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Chapitre 3
Variables aléatoires
On considérera des variables aléatoires discrètes etdes variables aléatoires continues.
Variables aléatoires discrètes
Une variables aléatoire est discrète si elle peutprendre un nombre fini ou dénombrable de valeurs(ex : les valeurs de N).La loi d’une variable aléatoire X est entièrement dé-terminée par les valeurs de P[X = k] pour tous les kpossibles. On a pour tout évènement A :
P[X ∈ A] =∑
k∈AP[X = k]
La fonction P[X = k] est appelée fonction de masse.
Exemples :
. Loi binomiale : n tirages avec remise dansune urne contenant des boules pouvant êtreblanches ou noires avec p la proportions deboules noires. On note la variable aléatoire X ∼B(n,p) le nombre de boules noires.
P[X = k] =
(nk
)pk (1−p)n−k si k ∈ 0, . . . ,n
0 sinon
. Loi hypergéométrique : n tirages sans remisedans une urne contenant N boules pouvantêtre blanches ou noires avec M le nombre deboules noires. On note la variable aléatoire X ∼H (N,M,n) le nombre de boules noires.
P[X = k] =
M
k
N−M
n −k
N
n
si k ∈ 0, . . . ,n
0 sinon
Espérance d’une variable discrète X
E[X] =∑
k∈X(Ω)kP[X = k]
avec X(Ω) l’ensemble des valeurs possibles de X.
Variables aléatoires continues
La loi d’une variable aléatoire continue X est entiè-rement déterminée par sa fonction de densité f :
P[X ∈ [a,b]] =P[a ≤ X ≤ b] =∫ b
af (x)dx.
La fonction de densité f vérifie :
. f ≥ 0
.∫ ∞−∞ f (x)dx = 1
Espérance d’une variable continue X
E[X] =∫ ∞
−∞x f (x)dx
avec f la fonction de densité de X.
Propriétés de l’espérance :
. Soit φ une fonction de R dans R, on a dans lecas discret
E[φ(X)] =∑
kφ(k)P[X = k]
et dans le cas continu
E[φ(X)] =∫ ∞
−∞φ(x) f (x)dx.
Exemple : E[X2] =∑k∈X(Ω) k2P[X = k].
. Soit X et Y deux variables discrètes et a et bdeux constantes
E[aX+bY] = aE[X]+bE[Y]
(linéarité de l’espérance)
Variance
Définition
var[X] = E[
(X−E[X])2]= E
[X2
]−E [X]2
Propriété
var[aX+b] = a2var[X]
4
CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES 5
Fonction de répartition
Définition
F(t ) =P[X ≤ t ]
Propriétés
. F croissante
. F ∈ [0;1]
. P[a ≤ X ≤ b] = F(b)−F(a)
. Dans le cas continu, sa dérivée F′(t ) = f (t )
Quantiles
Le quantile d’ordre α ∈]0;1[ d’une variable X est lavaleur xα qui vérifie
F(xα) =P[X ≤ xα] = α
Intervalle de pari
Intervalle de pari de niveau γ= 1−α (ou de risque α)pour X : intervalle [a,b] tel que
P(a É X É b) = γ.
Valeur typique γ= 0,95 (ou 95%).
Construction avec les quantiles :
P(qα/2 É X É q1−α/2) = 1−α.
Modélisation Fiches Résumé
Chapitre 4
Variables aléatoires simultanées
On considère un couple de variables aléatoires(X,Y).
Description par les lois marginales et condition-nelles On donne la loi marginale de X et pour tout xla loi de Y|X = x (loi Y conditionnellement à X = x).
Par ex. lois discrètes P[X = x] et P[Y = y |X = x] oucontinues densités f (x) et g (y |X = x) (ou même unmélange des deux).
Fonction de répartition conjointe : FX,Y
FX,Y(x,y) =P[X ≤ x et Y ≤ y]
Si X et Y sont des variables discrètes
F(x,y) =∑
u≤x
∑v≤y
P[X = u et Y = v]
La fonction de masse conjointe vérifieP[X = x et Y = y] =P[X = x]P[Y = y |X = x].
Si X et Y sont des variables continues
F(x,y) =∫ x
u=−∞
∫ y
v=−∞φ(u,v)dud v
avec φ la densité conjointe (elle a les même pro-priété qu’une densité classique).Elle vérifie φ(x,y) = f (x)g (y |X = x).
Dans le cas de variables continues, φ(x,y) =∂2
∂x∂y FX,Y(x,y).
Loi marginale (de X)
. Variables discrètesP[X = x] =∑
y P[X = x et Y = y]
. Variables continuesfX(x) = ∫
y fX,Y(x,y)d y
Loi conditionnelle (de X)
. Variables discrètes
P[X = x|Y = y] = P[X = x et Y = y]
P[Y = y]
. Variables continues
fX|Y=y (x) = fX,Y(x,y)
fY(y)
Covariance
cov(X,Y) = E [ (X−E[X])(Y−E[Y]) ]
= E[XY]−E[X]E[Y]
Propriétés :
. cov(X,X) = var(X)
. cov(X,Y) = cov(Y,X)
. cov(aX1 +bX2 + c,Y) = acov(X1,Y)+bcov(X2,Y)
. var(X+Y) = var[X]+2cov(X,Y)+var[Y]
Corrélation
rX,Y = cor(X,Y) = cov(X,Y)pvar[X]var[Y]
∈ [−1;1]
Propriétés :
. cor(X,X) = 1
. cor(X,Y) = cor(Y,X)
. cor(aX+b,cY+d) = cor(X,Y)
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CHAPITRE 4. VARIABLES ALÉATOIRES SIMULTANÉES 7
Variables indépendantes
Définition et caractérisation
. Cas généralP[X ∈ A et Y ∈ B] =P[X ∈ A]P[Y ∈ B] avec A,B ∈R
. Variables discrètesP[X = x et Y = y] =P[X = x]P[Y = y]
. Variables continuesfX,Y(x,y) = fX(x) fY(y)
Propriété
Si X et Y indépendantes, alors cov(X,Y) = 0 et var(X+Y) = var(X)+var(Y). La réciproque n’est pas vraie.
Variables aléatoires indépendantes de mêmeloi
X1, . . . ,Xn indépendantes de même loi, d’espéranceµ et de variance σ2. Leur moyenne
Xn = 1n (X1 +·· ·+Xn)
a pour espérance µ et pour variance 1nσ
2.
Loi des grands nombres : Xn tend vers µ quand ntend vers l’infini.
Loi de la somme de variables indépen-dantes
La loi de la somme de variables indépendantes Z =X+Y est donnée par le produit de convolution :
. Variables discrètesP[Z = z] =∑
k P[X = k]P[Y = z −k]
. Variables continuesfZ(z) = ∫
t fX(t ) fY(z − t )d t
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Chapitre 5
Processus de Bernoulli et processus de
Poisson
Processus de Bernoulli
Une expérience de Bernoulli est une expériencealéatoire qui n’a que deux issues possibles (succès,échec). Le processus de Bernoulli consiste à répéterdes expériences de Bernoulli indépendantes.
Une variable de Bernoulli est discrète et peutprendre les valeurs 0 (échec) ou 1 (succès).
Loi de Bernoulli : X ∼B(p)
P(X = k) =
p si k = 1
1−p si k = 0
On a E[X] = p et var[X] = p(1−p).
Loi binomiale : X ∼Bin(n,p)Elle correspond au nombre de succès d’une loi deBernoulli B(p) après n expériences :
X = X1 + . . .+Xn ∼Bin(n,p) avec Xi ∼B(p).
On a, avec k ∈Z,
P(X = k) =(
n
k
)pk (1−p)n−k pour k ∈ 0,n
On a E[X] = np et var[X] = np(1−p).
Loi géométrique de paramètre p. Elle correspondau rang du premier succès :
P(X = k) =
(1−p)k−1p si k ≥ 1
0 sinon.
On a E[X] = 1p et var[X] = 1−p
p2 .
Remarque : Le processus de Bernoulli est sans mé-moire ; si X suit une loi geométrique de paramètre p,on a
P[X > k +`|X > k] =P[X > `]).
Loi binomiale négative de paramètres p et rElle correspond au rang du r e succès :
P(X = k) =(k−1
r−1
)(1−p)k−r pr si k ≥ r
0 sinon.
On a E[X] = rp et var[X] = r (1−p)
p2 .
Remarque : Si r = 1, on retrouve la loi géométrique.
Processus de Poisson
Le processus de Poisson consiste à compter desévénements qui surviennent au hasard, « en tempscontinu », indépendamment les uns des autres(exemple des voitures sur une route de campagne).
La loi de Poisson est une loi discrète dans N.
Loi de Poisson : X ∼P(λ)
P(X = k) =λk
k ! e−λ si k ≥ 0
0 sinon.
On a E[X] = var[X] = λ.
Après un temps t , pour un processus de Poissond’intensité λ0, le nombre d’événements observéssuit une loi P(λ= λ0t )
Loi exponentielle : X ∼ E (λ)Cette loi est continue de densité :
f (x) =λe−λx si x ≥ 0
0 sinon.
Sa fonction de répartition est :
F(t ) =P[X ≤ t ] =
1−e−λt si t ≥ 0
0 sinon.
On a E[X] = 1λ et var[X] = 1
λ2 .
C’est la loi du temps à attendre avant le premier évé-nement dans un processus de Poisson d’intensité λ.Le processus étant sans mémoire on a, si X ∼ E (λ)
P[X > t + s|X > t ] =P[X > s]).
On a aussi pour a > 0 (aX) ∼ E(λa
)(changement
d’unité de temps).
8
CHAPITRE 5. PROCESSUS DE BERNOULLI ET PROCESSUS DE POISSON 9
Loi Gamma : X ∼ Γ(λ,r )Une variable de loi de Gamma est la somme de rvariables indépendantes de même loi E (λ).
f (x) =
λr
(r−1)! xr−1e−λx si x ≥ 0
0 sinon.
On a E[X] = rλ et var[X] = r
λ2 .
Superposition de processus de Poisson
La superposition de n processus de Poisson deparamètres λ1, . . . ,λn est un processus de Poissonde paramètre λ= λ1 +·· ·+λn .
On en déduit les résultat suivants :
. Soient X1, . . . ,Xn des variables aléatoires indépen-dantes de lois respectives P(λ1), . . . ,P(λn).Alors X = X1 +·· ·+Xn suit une loi P(λ).
. Soient T1, . . . ,Tn des variables aléatoires indépen-dantes de lois respectives E (λ1), . . . ,E (λn).Alors T = min(T1, . . . ,Tn) suit une loi E (λ).
Processus de Poisson comme limited’un processus de Bernoulli
On peut voir le processus de Poisson comme lecas limite d’un grand nombre d’expériences de Ber-noulli avec p très petit (une expérience par ins-tant, très petite probabilité de succès à chaque ex-périence).
On en tire par exemple que si n grand et p petit, laloi Bin (n,p) peut être approchée par une loi P (λ=np).
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Chapitre 6
Loi de Gauss
Loi normale (ou loi de Gauss)
La loi normale est continue et dépend de deux pa-ramètres ; son espérance µ et sa variance σ2.
Densité de la loi normale X ∼N (µ,σ2)
f (x) = 1p2πσ2
exp
(− (x −µ)2
2σ2
)
La loi normale centrée réduite est la loi N (0,1).
Si X ∼N (µ,σ2), alors (aX+b) ∼N (aµ+b,a2σ2).
On peut toujours revenir à une loi normale centréeréduite : si X ∼N (µ,σ2) alors X−µp
σ2∼N (0,1).
Si X1 ∼ N (µ1,σ21) et X2 ∼ N (µ2,σ2
2) sont indépen-dantes, alors X1 +X2 ∼N (µ1 +µ2,σ2
1 +σ22).
Loi bivariée : La loi de (X,Y) est une loi de Gauss bi-variée si X ∼N (µX,σ2
X), et si Y|X = x est normale, devariance τ, d’espérance
E(Y|X = x) = α+βx
Alors Y ∼N (µY,σ2Y) avec
β= rσY
σXet α=µy − r
σY
σXµx ,
où r = cor(X,Y). On a cov(X,Y) = σXY = rσXσY et τ=var(Y|X = x) = (1− r 2)σ2
Y.
Si (X,Y) suit une loi normale bivariée alorscov(X,Y) = 0 ssi X ⊥⊥ Y.
Loi bivariée : La loi de (X1, . . . ,Xn) est une loi deGauss multivariée si la loi de (X1, . . . ,Xn−1) en estune, et si la loi de Xn conditionnellement à X1 =x1, . . . ,Xn−1 = xn−1 est normale de variance τ, etd’espérance
E(Xn |x1, . . . , xn−1) = α+β1x1 +·· ·+βn−1xn−1
Alors la loi marginale de Xn est normale.
Cette loi ne dépend que de l’espérance (µ1, . . . ,µn)et de chacune des composantes, des valeurs desvariances σ2
i = var(Xi ) et des covariances σi j =cov(Xi ,X j ).
Loi du χ2
La loi du χ2 de degrés d , X ∼ χ2d est la loi de la
somme des carrés de d variables normales Zi ∼N (0,1) indépendantes.
X = Z21 + . . .+Z2
d .
On a E[X] = d et var[X] = 2d .
. Soient deux variables indépendantes X1 ∼ χ2d1
et
X2 ∼ χ2d2
, alors X1 +X2 ∼ χ2d1+d2
.
. Si X1 et X2 indépendantes et si X1 ∼ χ2d1
et X1+X2 ∼χ2
d , alors X2 ∼ χ2d−d1
.
Le théorème central limite
Théorème central limite :Soient X1,X2, . . . des variables aléatoires indépen-dantes et de même loi, admettant une espérance µet une variance σ2.On pose Sn = X1 + ·· · +Xn . Quand n tend vers l’in-fini, la loi de Yn = Sn−nµ
σp
ns’approche de la loi normale
centrée réduite N (0,1).
Exemple : Loi binomiale Bin(n,p)On peut approcher la loi binomiale (somme de Ber-noulli) par une loi normale N
(np,np(1−p))
).
Dinc si X ∼Bin(n,p) et Z ∼N (0,1), on a
P[a ≤ X ≤ b] 'P[
a −µσ
≤ Z ≤ b −µσ
].
avec µ = np et σ =√
np(1−p). On peut calculercette valeur à l’aide d’une table de la loi normalecentrée réduite.Cette approximation est parfois médiocre. On peutl’améliorer avec une correction de continuité :
P[a ≤ X ≤ b] =P[a −0,5 ≤ X ≤ b +0,5]
=P[
a −0,5−µσ
≤ Z ≤ b +0,5−µσ
].
(pour a,b entiers).
10
Chapitre 7
Méthode du Delta
Fonction d’une variable aléatoire
On considère Y =φ(X) avec X une variable aléatoirede loi connue.
On rappelle qu’on a
E(Y) =∑
kφ(k)P(X = k)
dans le cas discret et
E(Y) =∫ +∞
−∞φ(x) f (x)dx
dans le cas continu. On peut calculer de la mêmefaçon E(Y2), et donc var(Y).
Densité de Y
On passe par la fonction de répartition
FY(t ) =P[Y ≤ t ] =P[φ(X) ≤ t ] = . . .
qu’on peut ensuite dériver.
Approximation de l’espérance ou de lavariance
On note µ = E[X] et σ2 = var[X]. On peut utiliser laméthode du delta pour obtenir une approximationde l’espérance et de la variance de Y.
E[Y] ≈φ(µ) (1er ordre)
E[Y] ≈φ(µ)+ 1
2φ′′(µ)σ2 (2e ordre)
var[Y] ≈φ′(µ)2σ2 (1er ordre)
avec φ′ et φ′′ les dérivées successives de φ.
Méthode du Delta : théorème limite
Les approximations fournies par la méthode duDelta sont d’autant meilleures que la variance est
petite. Dans le cas de la moyenne Xn de n variablesindépendantes, la méthode du Delta donne égale-
ment une approximation de la loi de Φ(Xn
):
Soient X1, . . . ,Xn indépendantes d’espérance µ et devariance σ2. Soit
Xn = X1 + . . .+Xn
n
. Si n assez grand, la loi de Xn peut être approchée
par une loi normale N(µ, σ
2
n
).
. Si n assez grand, la loi de Φ(Xn
)peut être appro-
chée par une loi normale N(Φ(µ),Φ′(µ)2 σ2
n
).
Plus généralement, si Z1,Z2, . . . ont variancesσ2
1,σ22, . . . telles que σ2
n −→n→+∞0 et si la loi de
Zn −µσn
s’approche de la loi N (0,1) quand n →+∞ (la loi deZn peut être approchée par la loi N
(µ,σ2
n
)dès que
n est assez grand), alors, si φ′(µ) 6= 0, la loi de
φ(Zn)−φ(µ)
φ′(µ)σn
s’approche de la loi N (0,1) (autrement dit, dès quen assez grand, la loi de φ(Zn) peut être approchéepar la loi N (φ(µ),φ′(µ)2σ2
n)).
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Chapitre 8
Estimations
On observe n variables X1, . . . ,Xn indépendantes demême loi. On cherche alors à estimer certaines ca-ractéristiques de cette loi.
Remarque : On notera x1, . . . , xn (des valeurs) lesréalisations de X1, . . . ,Xn (des variables aléatoires).
Premiers estimateurs
La moyenne empirique :
X = 1
n
n∑
i=1Xi
On a E[X] =µ et var[X] = σ2
n avec µ et σ2 l’espéranceet la variance des Xi .
La variance empirique : Un estimateur naturel de lavariance est
S2 = 1
n
n∑
i=1(Xi −X)2 = 1
n
n∑
i=1X2
i −X2
On a E[S2] = n−1n σ2. On définit donc la variance em-
pirique corrigée :
S2 = 1
n −1
n∑
i=1(Xi −X)2
= 1
n −1
n∑
i=1X2
i −n
n −1X
2
= 1
n −1
n∑
i=1X2
i −1
n
(n∑
i=1Xi
)2
On a E[S2] =σ2.
Le modèle normal
On suppose X1, . . . ,Xn indépendantes de même loiN (µ,σ2). On peut alors préciser la loi des estima-teurs définis plus haut.
X ∼N
(µ,σ2
n
)
S2 ∼ σ2
n −1χ2
n−1
On en déduit var(S2) = 2n−1σ
4.
Remarque : Dans ce cas, X et S2 sont indépendants.
Qualité d’un estimateur
Soient X1, . . . ,Xn des variables indépendantes demême loi, et soit θ un paramètre (inconnu) de cetteloi. Soit T = t (X1, . . . ,Xn) un estimateur de θ (T estune variable aléatoire). Le biais de T est
Biais(T) = E[T−θ] = E[T]−θ.
Si Biais[T] = 0, on dit que T est sans biais.
L’erreur quadratique moyenne de T est
eqm[T] = E[
(T−θ)2]= Biais[T]2 +var[T]
avec var[T] la variance de l’estimateur T.
Exemple : estimation d’une propor-tion
On estime une proportion p dans une populationpar p la proportion observée dans un échantillonde taille n. Quand n grand, sa loi est approximati-vement normale (théorème central limite).
p ∼N
(p,
p(1−p)
n
)
Il arrive qu’on utilise la tranformation arcsin(p
p) ;alors arcsin(
√p) est approximativement normale
(méthode du Delta).
arcsin(√
p) ∼N
(arcsin(
pp),
1
4n
)
Intervalle de confiance
Soient X1, . . . ,Xn des variables indépendantes demême loi, et soit θ un paramètre de cette loi. Soient
12
CHAPITRE 8. ESTIMATIONS 13
T1 et T2 qui se calculent à partir des Xi .On dit que [T1,T2] est un intervalle de confiance deniveau γ= 1−α (ou au risque α) pour θ si on a
P[T1 ≤ θ≤ T2) Ê γ.
Valeur typique de γ : γ = 0,95 (ou 95%) (correspondà α= 0.05).
Modélisation Fiches Résumé
Chapitre 9
Intervalles de conance usuels
Moyenne
Loi de Student
Soient Z ∼ N (0,1) et Y ∼ χ2d indépendantes. La va-
riable X = Z√Yd
suit une loi de Student de degrés d ,
td .
Proposition : Soient X1, . . . ,Xn des variables indé-pendantes de loi N (µ,σ2). On note X et S2 lamoyenne et la variance corrigée empiriques des Xi .On a
T = X−µ√S2
n
∼ tn−1
Grâce à ce résultat, on peut définir un intervalle deconfiance de la moyenne µ.
P
X− t n−1
1−α/2
√S2
n≤µ≤ X+ t n−1
1−α/2
√S2
n
= 1−α
avec t n−11−α/2 le quantile d’ordre 1− α
2 de la loi tn−1.
Remarque : Dans le cas d’un n très grand, on peutapprocher la loi de Student tn−1 par une loi normaleN (0,1).
Différence de moyennes
On se restreint au cas de deux échantillons indé-pendants issus de deux lois normales de même va-riance : un premier échantillon de taille n1 issud’une loi N (µ1,σ2) et un second de taille n2 issud’une loi N (µ2,σ2).
On note X1 et X2 les moyennes empiriques et S21 et
S22 les variances empiriques corrigées.
On cherche un intervalle de confiance de d =µ1−µ2
estimée par d = X1 −X2 :
S2 = (n1 −1)S21 + (n2 −1)S2
2
n1 +n2 −2
d −d
S√
1n1
+ 1n2
∼ tn1+n2−2.
On en tire l’intervalle de confiance classique :
P
(d − t n1+n2−2
1−α/2 S
√1
n1+ 1
n2< d
< d + t n1+n2−21−α/2 S
√1
n1+ 1
n2
)= 1−α
où t d1−α/2 est le quantile d’ordre 1− α
2 de la loi td .
Variance d’une loi normale
Soient X1, . . . ,Xn des variables indépendantes de loiN (µ,σ2). On a :
Y = n −1
σ2 S2 ∼ χ2n−1.
Soit xn−1a le quantile d’ordre a de la loi χ2
n−1. On a
P
((n −1)S2
xn−11−α/2
<σ2 < (n −1)S2
xn−1α/2
)= 1−α.
Rapport de variances de lois normales
Loi de Fisher
Soient Y1 ∼ χ2(d1) et Y2 ∼ χ2(d2) indépendantes. Lavariable aléatoire
X = Y1/d1
Y2/d2
suit une loi continue appelée loi F de Fisher à d1 etd2 degrés de liberté, notée F (d1,d2).
On considère un premier échantillon de taille n1
issu d’une loi N (µ1,σ21) et un second de taille n2
issu d’une N (µ2,σ22). Les variances empiriques des
échantillons sont S21 et S2
2.
Proposition : Si σ21 =σ2
2 (même variance), alors
S21
S22
∼ F(n1 −1,n2 −1).
14
CHAPITRE 9. INTERVALLES DE CONFIANCE USUELS 15
Proposition : Si σ21 6=σ2
2 (variances différentes), alors
S21/σ2
1
S22/σ2
2
∼ F(n1 −1,n2 −1).
D’où l’intervalle de confiance
P
(S2
2
S21
Fn1−1,n2−1α/2 < σ2
2
σ21
< S22
S21
Fn1−1,n2−11−α/2
)= 1−α
avec Fd1,d2α le quantile d’ordre α de F (d1,d2)
Une proportion
Soient X1, . . . ,Xn des variables indépendantes de loiBp . On estime p par p = X1+...+Xn
n . On a l’approxi-
mation p ∼N(p, p(1−p)
n
). Donc
P
p − z1−α/2
√p(1− p)
n< p < p + z1−α/2
√p(1− p)
n
= 1−α.
Différence de deux proportions
On considère un échantillon de taille n1 issu d’uneloi Bp1 et un de taille n2 issu d’une loi Bp2 . On veutun intervalle de confiance sur d = p1 −p2.
On approche la loi de p1 par N(p1, p1(1−p1)
n1
)et
celle de p2 par N(p2, p2(1−p2)
n2
). La loi de d = p1 −
p2 est donc approchée par N(d , p1(1−p1)
n1+ p2(1−p2)
n2
).
Comme précédemment on en tire l’intervalle deconfiance
P
d − z1−α/2
√p1(1− p1)
n1+ p2(1− p2)
n2< d < d + z1−α/2
√p1(1− p1)
n1+ p2(1− p2)
n2
= 1−α.
Modélisation Fiches Résumé
Chapitre 10
Tests d'hypothèses
On réalise une ou plusieurs expérience(s) aléa-toire(s) (recueil de données), afin de tester unehypothèse H0 qui porte sur les probabilités sous-jacentes. On appelle H0 « l’hypothèse nulle ». On estamené à formuler une « hypothèse alternative » H1.
Règle de décisionLa plupart des tests reposent sur le principe suivant :
. On calcule une statistique de test T (qui récapituleles expériences aléatoire réalisées)
. On décide de rejeter ou non H0 en se basant surla valeur de T
On note A l’ensemble des valeurs de pour lesquelleson ne rejette pas H0 : c’est la zone d’acceptation.Son complémentaire A est la zone de rejet.
Si la règle est de la forme « on rejette H0 quand T > s», la zone d’acceptation A est A = t : t É s. s est leseuil de rejet.
Erreurs et risquesIl y a deux façons de se tromper en faisant un test :
. L’erreur de première espèce consiste à trancheren faveur de H1 à tort. Le risque de première es-pèce est la probabilité α=P(T ∉ A|H0).
. L’erreur de seconde espèce consiste à trancher enfaveur de H0 à tort. Le risque de seconde espèceest la probabilité β=P(T ∈ A|H1).
PuissanceLa puissance est la probabilité de trancher en faveurde H1 à raison : Puissance = 1−β=P(T ∉ A|H1).
Degré de significationOn se place dans le contexte d’un test défini par unseuil de rejet s (c’est-à-dire « on rejette H0 quand T >s »).
Le degré de signification d’une valeur observéet = t (x1, . . . , xn) de la statistique de test, ou p-valeur,est la probabilité p = P(T > t |H0). La règle devient« on rejette H0 quand p < α » où α est le risque depremière espèce du test (on prend souvent α= 0,05).
Classification
Tests diagnostiques : sensibilité et spécificitéOn peut faire le parallèle avec un test diagnostique,l’hypothèse nulle étant « l’individu est sain », et l’hy-pothèse alternative « l’individu est malade ». Le testest positif si on a rejeté H0 et négatif sinon.
La spécificité est la proportion d’individus sainsqui sont correctement diagnostiqués, ou la proba-bilité d’accepter H0 quand H0 est vraie :
Sp =P(T−|H0) = 1−P(T+|H0) = 1−α.
(T− signifie T ∈ A ou test négatif et T+ signifie T ∉ Aou test positif)
La sensibilité est la proportion d’individus atteintsqui sont correctement diagnostiqués, ou la proba-bilité de rejeter H0 quand H1 est vraie :
Se =P(T+|H1) = 1−P(T−|H1) = 1−β.
Valeurs prédictivesSi on connaît P = P(H1), la prévalence de la mala-die à diagnostiquer, on peut calculer la valeur pré-dictive positive :
VPP =P(H1|T+) = P(T+|H1)P(H1)
P(T+)
= (1−β)P
α(1−P )+ (1−β)P
et la valeur prédictive négative :
VPN =P(H0|T−) = P(T−|H0)P(H0)
P(T−)
= (1−α)(1−P )
(1−α)(1−P )+βP .
Courbes ROCLa courbe ROC est l’ensemble des points de co-ordonnées (1 − Spécificité,Sensibilité) = (α,1 − β)quand le seuil de rejet s du test varie.
16
CHAPITRE 10. TESTS D’HYPOTHÈSES 17
Tests et intervalles de confiance
De l’intervalle de confiance au testSi on dispose d’un intervalle de confiance au niveauγ = 1 − α, du type P(T1 < θ < T2) Ê γ = 1 − α onpeut construire un test pour l’hypothèse nulle H0 :θ = θ0 contre H1 : θ 6= θ0, au risque α, en rejetantl’hypothèse nulle quand θ0 ∉ [T1,T2].
Du test à l’intervalle de confianceSi on sait tester pour un risque α donné, l’hypo-thèse nulle H0 : θ = θ0 contre H1 : θ 6= θ0, on peutconstruire un intervalle de confiance pour θ, de ni-veau γ= 1−α, en y incluant toutes les valeurs de θ0
pour lesquels le test ne rejette pas H0 : θ= θ0.
Modélisation Fiches Résumé
Chapitre 11
Tests usuels
Ici, on exposera les procédures pour des tests bilaté-raux, le cas unilatéral se déduit facilement.
Moyenne, cas gaussien
Soient X1, . . . ,Xn indépendantes de loi N (µ,σ2). Onteste
H0 :µ=µ0 vs H1 :µ 6=µ0 (test bilatéral)
On pose T = X−µ0pS2/n
; sous H0, T ∼ t (n −1). Un test de
risque α est obtenu en rejetant H0 quand
|T| > t n−11−α/2.
Moyenne, grands échantillons
Quand les échantillons sont grands, l’hypothèse denormalité devient inutile : on se repose sur le théo-rème central limite. On considère que pour n as-
sez grand, Z = X−µ0pS2/n
suit approximativement une loi
normale centrée réduite. Un test de risque α est ob-tenu en rejetant H0 quand |Z| > z1−α/2.
Comparaison de deux moyennes, cas gaussien
Soient un échantillon de taille n1 issu d’une loiN (µ1,σ2) et un échantillon de taille n2 issu d’uneloi N (µ2,σ2) (même variance). On va tester
H0 :µ1 =µ2 vs H1 :µ1 6=µ2 (test bilatéral)
Les moyennes empiriques des deux échantillonssont X1 et X2. L’estimateur de σ2 est
S2 = (n1 −1)S21 + (n2 −1)S2
2
n1 +n2 −2,
où S21 et S2
2 les estimateurs de la variance communedans les deux échantillons.Sous H0,
T = X1 −X2
S√
1n1
+ 1n2
∼ tn1+n2−2.
Un test de risque α est obtenu en rejetant H0 quand|T| > t n−1
1−α/2.
Comparaison de deux moyennes, grandséchantillons
En supposant n1 et n2 assez grands, on fait l’ap-proximation
Z = X1 −X2√S2
1n1
+ S22
n2
∼N (0,1).
Un test de risque α est obtenu en rejetant H0 quand|Z| > z1−α/2.
Variance d’une loi normale
Soient X1, . . . ,Xn indépendantes de loi N (µ,σ2). Onteste
H0 :σ2 =σ20 vs H1 :σ2 6=σ2
0 (test bilatéral)
Sous H0 on a Y = n −1
σ20
S2 ∼ χ2n−1. On obtient un test
de risque α en rejetant H0 quand
Y < xn−1α/2 ou Y > xn−1
1−α/2.
Comparaison de deux variances
On considère un échantillon de taille n1 issu d’uneloi N (µ1,σ2
1) et un échantillon de taille n2 issud’une loi N (µ2,σ2
2). On teste
H0 :σ21 =σ2
2 vs H1 :σ21 6=σ2
2 (test bilatéral)
Sous H0 on aS2
1
S22
∼ F (n1 −1,n2 −1). On obtient un
test de risque α en rejetant H0 quand
S21
S22
< Fn1−1,n2−1α/2 ou
S21
S22
> Fn1−1,n2−11−α/2 .
Proportion
Soient X1, . . . ,Xn indépendantes de loi B(p). Onteste
H0 : p = p0 vs H1 : p 6= p0 (test bilatéral)
18
CHAPITRE 11. TESTS USUELS 19
Sous H0 et pour n grand, la loi de p est approxima-
tivement normale : p ∼ N(p0, p0(1−p0)
n
). On obtient
un test de risque α en rejetant H0 quand
∣∣∣∣∣∣∣
p −p0√p0(1−p0)
n
∣∣∣∣∣∣∣> z1−α/2.
Comparaison de deux proportions
On considère un échantillon de taille n1 issu d’uneloi B(p1) et un de taille n2 issu d’une loi B(p2). Onteste
H0 : p1 = p2 vs H1 : p1 6= p2 (test bilatéral)
Sous H0, en notant p = p1 = p2, si n est assez grandon a
(p1 − p2) ∼N
(0, p(1−p)
(1
n1+ 1
n2
)).
Pour estimer la variance on pose p = n1p1+n2p2
n1+n2et on
obtient un test de risque α en rejetant H0 quand
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
p1 − p2√p(1− p)
(1
n1+ 1
n2
)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣> z1−α/2.
Séries appariées
On considère un échantillon de n variables gaus-siennes X1, . . . ,Xn , de même variance σ2, chaqueXi étant d’espérance µi : Xi ∼ N (µi ,σ2). On a undeuxième échantillon Y1, . . . ,Yn avec Yi ∼ N (µi +δ,σ2). On veut tester
H0 : δ= 0 vs H1 : δ 6= 0 (test bilatéral)
On pose Zi = Yi −Xi . Chaque Zi suit une loi normaleN (δ,2σ2). On peut donc tester δ= 0 au moyen d’untest t .
Test du χ2
Test d’ajustement à une loi donnéeOn suppose qu’on a n observations catégorielles,dans d catégories différentes. On note O1, . . . ,Od
le nombre d’observations (valeurs observées) dans
chaque catégorie. On veut tester H0 : la probabi-lité de la catégorie i est pi avec pi des probabili-tés définies a priori. On calcule les effectifs attendusEi = Npi . Sous H0,
T =∑
i
(Oi −Ei )2
Ei∼ χ2
d−1
On obtient un test de risque α en rejetant H0 quandT > xd−1
1−α avec xd−11−α le quantile d’ordre 1−α de la loi
χ2d−1.
Test d’ajustement à une famille de loisOn suppose qu’on a n observations catégorielles,dans d catégories différentes. On note O1, . . . ,Od
le nombres d’observations (valeurs observées) quitombent dans les catégories 1, . . . ,d . On veut testerH0 : Il existe θ = (θ1, . . . ,θk ) tel que la probabilité dela catégorie i est pi (θ1, . . . ,θk ). On estime (θ1, . . . , θk )à partir des observations. On calcule alors les effec-tifs attendus Ei = Npi (θ1, . . . , θk ). Sous H0,
T =∑
i
(Oi −Ei )2
Ei∼ χ2
d−k−1
On retire un degré de liberté par paramètre.On obtient un test de risque α en rejetant H0 quandT > xd−k−1
1−α .
Test d’indépendance et d’homogénéitéOn considère deux variables catégorielles de a et bcatégories. On a donc n observations réparties end = a × b catégories, organisées dans une table decontingence à a lignes et b colonnes. On note les ef-fectifs observés Oi , j pour i = 1, . . . ,a et j = 1, . . . ,b. Onveut tester H0 : la probabilité de la catégorie (i , j ) estégale à pi q j , où les pi et les q j sont les probabilitésmarginales des catégories ou indépendance des deuxvariables catégorielles. On calcule alors les effectifs
attendus Ei =∑
i Oi , j ×∑
j Oi , j
N. Sous H0,
T =∑
i , j
(Oi , j −Ei , j )2
Ei , j∼ χ2
(a−1)(b−1)
On obtient un test de risque α en rejetant H0 quandT > x(a−1)(b−1)
1−α .
Conditions de validité : Pour appliquer ces troistests, les données doivent respecter les conditionsde Cochran ie tous les effectifs attendus Ei doiventêtre supérieurs ou égaux à 5.
Modélisation Fiches Résumé
Chapitre 12
Analyse de la variance à un facteur
On a p groupes, correspondant à p (niveaux de) trai-tements distincts. La question posée est de savoir s’ily a une différence entre les groupes ?
. On peut faire des comparaisons deux à deux.Mais, si on fait plusieurs tests, il se pose le problèmedu choix du niveau α auquel on fait ces tests (pro-blème des tests multiples).
Correction de Šidák Si on veut que le risque globalsoit α0, on fera chaque test au niveau α = 1 − (1 −α0)
1k .
Correction de Bonferroni Si on veut que le risqueglobal soit α0, on fera chaque test au niveau α= 1
kα0.
Si les tests ne sont pas indépendants, cette correc-tion reste valable : le risque global est plus petit quekα= α0.
. On pourrait choisir de comparer tous les groupes2 à 2, en adaptant le niveau auquel est fait chaquetest ; l’inconvénient serait une perte importante depuissance.
Le modèle de l’anova
On a n observations réparties en p groupes d’effec-tifs n1, . . . ,np . Les observations sont notées Xi j aveci = 1, . . . , p et j = 1, . . . ,ni : Xi j est la j e observationdu groupe i .
Hypothèses :
. Chaque Xi j suit une loi normale dont l’espé-rance dépend du groupe i : Xi j ∼N (µi ,σ2)
. La variance de cette loi ne dépend pas dugroupe (homoscédasticité)
On va tester l’hypothèse nulle
H0 :µ1 =µ2 = ·· · =µp vs
vs H1 : au moins deux des µi sont différents.
Notations
Un + indique la sommation sur un indice :
Xi+ =ni∑
j=1Xi j et X++ =
∑
i jXi j =
p∑
i=1Xi+
Un • indique la moyenne sur un indice :
Xi• =1
niXi+ et X•• =
1
nX++ = 1
n
p∑
i=1ni Xi•
Et un carré indique qu’on a sommé les carrés :
X2i+ =
ni∑
j=1X2
i j et X2++ =
∑
i , jX2
i j
Les sommes de carrés
La somme des carrés des résidus du groupe i :
SCi =ni∑
j=1(Xi j −Xi•)2 = X2
i+− 1
ni(Xi+)2
La variance empirique (corrigée) du groupe i est lecarré moyen CMi = 1
ni−1 SCi . On a
SCi ∼σ2χ2(ni −1).
La somme des carrés résiduels :
SCR =p∑
i=1SCi ∼σ2χ2(n −p).
Le carré moyen résiduel CMR = 1n−p SCR est donc
un estimateur sans biais de σ2.
La somme des carrés totaux : C’est la somme descarrés calculée sur les données rassemblées en unseul groupe.
SCT =∑
i j(Xi j −X••)2 = X2
++− 1
n(X++)2
20
CHAPITRE 12. ANALYSE DE LA VARIANCE À UN FACTEUR 21
Sous H0, SCT ∼σ2χ2(n −1), et le carré moyen totalCMT = 1
n−1 SCT est un estimateur sans biais de σ2.
La somme des carrés factoriels est
SCF =p∑
i=1ni (Xi•−X••)2 =
p∑
i=1ni X2
i•−1
n(X++)2
Théorème fondamental de l’anova
. Avec les notations introduites ci-dessus, on a
SCT = SCF+SCR
Les variables aléatoires SCF et SCR sont indépen-dantes.
. On a SCR ∼ σ2χ2(n − p), et sous H0, SCT ∼σ2χ2(n −1) et SCF ∼σ2χ2(p −1).
. Le quotient
F = CMF
CMR= SCF/(p −1)
SCR/(n −p)
suit une loi F de degrés de liberté p −1 et n −p.
. On obtient un test de risque α en rejetant H0
quand
F > Fp−1,n−p1−α .
Réalisation pratique du test
Somme degrés de CarrésSource des carrés liberté moyens Ffacteur(variance inter-groupe)
SCF p −1 CMF = SCFp−1 F = CMF
CMR
résidus(variance intra-groupe)
SCR n −p CMR = SCRn−p
Total SCT n - 1
Tests partiels
Notons I ⊂ 1, . . . , p l’ensemble des numéros desgroupes pour lesquels on veut tester l’hypothèseH0I : µi = µk , i ,k ∈ I, et pI le nombre de groupesdans I.Le test se fait contre l’hypothèse H1 : au moins deuxdes µi (i ∈ I) sont différents.On conserve la SCR calculée sur l’ensemble desgroupes pour l’estimation de la variance ; il suffitde calculer une SCF qui correspond à nos groupes
d’intérêt. On peut par exemple utiliser la formule
SCFI =1
nI
∑i<k
i ,k∈I
ni nk (Xi•−Xk.)2.
Sous H0I on a SCFI ∼σ2χ2(pI −1).Le carré moyen factoriel CMFI = SCFI/(pI − 1) es-time σ2 sans biais sous H0I et la statistique de testFI = CMFI
CMR suit une loi F(pI − 1,n − p) degrés de li-berté.On teste H0I au risque α en rejetant H0I quand FI >FpI−1,n−p
1−α .
Modélisation Fiches Résumé
Tables
Tables
z
α = P(Z < z)
Fonction de répartition de la loi normale
La table donne les valeurs F(z) = P(Z É z) où Z ∼ N (0,1). Lesrépétitions de la décimale 9 sont indiquées en exposant ; par ex-emple, 946253 se lit 0,99996253.
• On a F(−z) = 1−F(z), ou encore P(Z <−z) = 1−P(Z < z).
• P(a É Z É b) = F(b)−F(a).
• P(|Z| < z) =P(Z < z)−P(Z <−z) = 2P(Z < z)−1 = 2F(z)−1.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 5000 5040 5080 5120 5160 5199 5239 5279 5319 53590.1 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 57530.2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 61410.3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 65170.4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879
0.5 6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 72240.6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 75490.7 7580 7611 7642 7673 7704 7734 7764 7794 7823 78520.8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 81330.9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389
1.0 8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 86211.1 8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 88301.2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 901471.3 90320 90490 90658 90824 90988 91149 91309 91466 91621 917741.4 91924 92073 92220 92364 92507 92647 92785 92922 93056 93189
1.5 93319 93448 93574 93699 93822 93943 94062 94179 94295 944081.6 94520 94630 94738 94845 94950 95053 95154 95254 95352 954491.7 95543 95637 95728 95818 95907 95994 96080 96164 96246 963271.8 96407 96485 96562 96638 96712 96784 96856 96926 96995 970621.9 97128 97193 97257 97320 97381 97441 97500 97558 97615 97670
2.0 97725 97778 97831 97882 97932 97982 98030 98077 98124 981692.1 98214 98257 98300 98341 98382 98422 98461 98500 98537 985742.2 98610 98645 98679 98713 98745 98778 98809 98840 98870 988992.3 98928 98956 98983 920097 920358 920613 920863 921106 921344 9215762.4 921802 922024 922240 922451 922656 922857 923053 923244 923431 923613
2.5 923790 923963 924132 924297 924457 924614 924766 924915 925060 9252012.6 925339 925473 925604 925731 925855 925975 926093 926207 926319 9264272.7 926533 926636 926736 926833 926928 927020 927110 927197 927282 9273652.8 927445 927523 927599 927673 927744 927814 927882 927948 928012 9280742.9 928134 928193 928250 928305 928359 928411 928462 928511 928559 928605
3.0 928650 928694 928736 928777 928817 928856 928893 928930 928965 9289993.1 930324 930646 930957 931260 931553 931836 932112 932378 932636 9328863.2 933129 933363 933590 933810 934024 934230 934429 934623 934810 9349913.3 935166 935335 935499 935658 935811 935959 936103 936242 936376 9365053.4 936631 936752 936869 936982 937091 937197 937299 937398 937493 937585
3.5 937674 937759 937842 937922 937999 938074 938146 938215 938282 9383473.6 938409 938469 938527 938583 938637 938689 938739 938787 938834 9388793.7 938922 938964 940039 940426 940799 941158 941504 941838 942159 9424683.8 942765 943052 943327 943593 943848 944094 944331 944558 944777 9449883.9 945190 945385 945573 945753 945926 946092 946253 946406 946554 946696
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
22
Tables
z
α = P(Z > z)
Fonction de répartition de la loi normale
La table donne les valeurs 1−F(z) = P(Z > z) où Z ∼ N (0,1). Lesrépétitions de la décimale 0 sont indiquées en exposant ; par ex-emple, 044427 se lit 0,00004427.
• E(Z) = 0, Var(Z) = 1.
• Si X ∼N (µ,σ2), X−µσ ∼N (0,1).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90.0 5000 4960 4920 4880 4840 4801 4761 4721 4681 46410.1 4602 4562 4522 4483 4443 4404 4364 4325 4286 42470.2 4207 4168 4129 4090 4052 4013 3974 3936 3897 38590.3 3821 3783 3745 3707 3669 3632 3594 3557 3520 34830.4 3446 3409 3372 3336 3300 3264 3228 3192 3156 3121
0.5 3085 3050 3015 2981 2946 2912 2877 2843 2810 27760.6 2743 2709 2676 2643 2611 2578 2546 2514 2483 24510.7 2420 2389 2358 2327 2296 2266 2236 2206 2177 21480.8 2119 2090 2061 2033 2005 1977 1949 1922 1894 18670.9 1841 1814 1788 1762 1736 1711 1685 1660 1635 1611
1.0 1587 1562 1539 1515 1492 1469 1446 1423 1401 13791.1 1357 1335 1314 1292 1271 1251 1230 1210 1190 11701.2 1151 1131 1112 1093 1075 1056 1038 1020 1003 098531.3 09680 09510 09342 09176 09012 08851 08691 08534 08379 082261.4 08076 07927 07780 07636 07493 07353 07215 07078 06944 06811
1.5 06681 06552 06426 06301 06178 06057 05938 05821 05705 055921.6 05480 05370 05262 05155 05050 04947 04846 04746 04648 045511.7 04457 04363 04272 04182 04093 04006 03920 03836 03754 036731.8 03593 03515 03438 03362 03288 03216 03144 03074 03005 029381.9 02872 02807 02743 02680 02619 02559 02500 02442 02385 02330
2.0 02275 02222 02169 02118 02068 02018 01970 01923 01876 018312.1 01786 01743 01700 01659 01618 01578 01539 01500 01463 014262.2 01390 01355 01321 01287 01255 01222 01191 01160 01130 011012.3 01072 01044 01017 029903 029642 029387 029137 028894 028656 0284242.4 028198 027976 027760 027549 027344 027143 026947 026756 026569 026387
2.5 026210 026037 025868 025703 025543 025386 025234 025085 024940 0247992.6 024661 024527 024396 024269 024145 024025 023907 023793 023681 0235732.7 023467 023364 023264 023167 023072 022980 022890 022803 022718 0226352.8 022555 022477 022401 022327 022256 022186 022118 022052 021988 0219262.9 021866 021807 021750 021695 021641 021589 021538 021489 021441 021395
3.0 021350 021306 021264 021223 021183 021144 021107 021070 021035 0210013.1 039676 039354 039043 038740 038447 038164 037888 037622 037364 0371143.2 036871 036637 036410 036190 035976 035770 035571 035377 035190 0350093.3 034834 034665 034501 034342 034189 034041 033897 033758 033624 0334953.4 033369 033248 033131 033018 032909 032803 032701 032602 032507 032415
3.5 032326 032241 032158 032078 032001 031926 031854 031785 031718 0316533.6 031591 031531 031473 031417 031363 031311 031261 031213 031166 0311213.7 031078 031036 049961 049574 049201 048842 048496 048162 047841 0475323.8 047235 046948 046673 046407 046152 045906 045669 045442 045223 0450123.9 044810 044615 044427 044247 044074 043908 043747 043594 043446 043304
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
23
Tables
zα
α
Quantiles de la loi t de Student
La table donne les valeurs t dα telles que F(tα) = P(T É t d
α ) = α avecT ∼ t (d).
α= 0.75 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 0.9995d = 1 1.0000 3.0777 6.3138 12.706 31.821 63.657 318.31 636.62
2 0.81650 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 22.327 31.5993 0.76489 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 10.215 12.9244 0.74070 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 7.1732 8.61035 0.72669 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 5.8934 6.8688
6 0.71756 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 5.2076 5.95887 0.71114 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 4.7853 5.40798 0.70639 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 4.5008 5.04139 0.70272 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 4.2968 4.7809
10 0.69981 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 4.1437 4.5869
11 0.69745 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 4.0247 4.437012 0.69548 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 3.9296 4.317813 0.69383 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 3.8520 4.220814 0.69242 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 3.7874 4.140515 0.69120 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025 2.9467 3.7328 4.0728
16 0.69013 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 3.6862 4.015017 0.68920 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.6458 3.965118 0.68836 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.6105 3.921619 0.68762 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.5794 3.883420 0.68695 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 3.5518 3.8495
21 0.68635 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.5272 3.819322 0.68581 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.5050 3.792123 0.68531 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.4850 3.767624 0.68485 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.4668 3.745425 0.68443 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.4502 3.7251
26 0.68404 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.4350 3.706627 0.68368 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.4210 3.689628 0.68335 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.4082 3.673929 0.68304 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.3962 3.659430 0.68276 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.3852 3.6460
31 0.68249 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.7440 3.3749 3.633532 0.68223 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 3.3653 3.621833 0.68200 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 3.3563 3.610934 0.68177 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.3479 3.600735 0.68156 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 3.3400 3.5911
36 0.68137 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 3.3326 3.582137 0.68118 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 3.3256 3.573738 0.68100 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 3.3190 3.565739 0.68083 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 3.3128 3.558140 0.68067 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 3.3069 3.5510
1−α= 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005
24
Tables
Quantiles de la loi t de Student
• Si Z ∼N (0,1) et Y ∼ χ2(d), T = Z√Yd
∼ t (d).
• E(T) = 0 pour d > 1, Var(T) = dd−2 pour d > 2.
• Quand d tend vers l’infini, la loi t (d) s’approche de la loi N (0,1).
α= 0.75 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 0.9995d = 42 0.68038 1.3020 1.6820 2.0181 2.4185 2.6981 3.2960 3.5377
44 0.68011 1.3011 1.6802 2.0154 2.4141 2.6923 3.2861 3.525846 0.67986 1.3002 1.6787 2.0129 2.4102 2.6870 3.2771 3.515048 0.67964 1.2994 1.6772 2.0106 2.4066 2.6822 3.2689 3.505150 0.67943 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 3.2614 3.4960
52 0.67924 1.2980 1.6747 2.0066 2.4002 2.6737 3.2545 3.487754 0.67906 1.2974 1.6736 2.0049 2.3974 2.6700 3.2481 3.480056 0.67890 1.2969 1.6725 2.0032 2.3948 2.6665 3.2423 3.472958 0.67874 1.2963 1.6716 2.0017 2.3924 2.6633 3.2368 3.466360 0.67860 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 3.2317 3.4602
62 0.67847 1.2954 1.6698 1.9990 2.3880 2.6575 3.2270 3.454564 0.67834 1.2949 1.6690 1.9977 2.3860 2.6549 3.2225 3.449166 0.67823 1.2945 1.6683 1.9966 2.3842 2.6524 3.2184 3.444168 0.67811 1.2941 1.6676 1.9955 2.3824 2.6501 3.2145 3.439470 0.67801 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 3.2108 3.4350
72 0.67791 1.2934 1.6663 1.9935 2.3793 2.6459 3.2073 3.430874 0.67782 1.2931 1.6657 1.9925 2.3778 2.6439 3.2041 3.426976 0.67773 1.2928 1.6652 1.9917 2.3764 2.6421 3.2010 3.423278 0.67765 1.2925 1.6646 1.9908 2.3751 2.6403 3.1980 3.419780 0.67757 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 3.1953 3.4163
82 0.67749 1.2920 1.6636 1.9893 2.3727 2.6371 3.1926 3.413284 0.67742 1.2917 1.6632 1.9886 2.3716 2.6356 3.1901 3.410286 0.67735 1.2915 1.6628 1.9879 2.3705 2.6342 3.1877 3.407388 0.67729 1.2912 1.6624 1.9873 2.3695 2.6329 3.1854 3.404590 0.67723 1.2910 1.6620 1.9867 2.3685 2.6316 3.1833 3.4019
92 0.67717 1.2908 1.6616 1.9861 2.3676 2.6303 3.1812 3.399494 0.67711 1.2906 1.6612 1.9855 2.3667 2.6291 3.1792 3.397196 0.67705 1.2904 1.6609 1.9850 2.3658 2.6280 3.1773 3.394898 0.67700 1.2902 1.6606 1.9845 2.3650 2.6269 3.1755 3.3926
100 0.67695 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 3.1737 3.3905
110 0.67673 1.2893 1.6588 1.9818 2.3607 2.6213 3.1660 3.3812120 0.67654 1.2886 1.6577 1.9799 2.3578 2.6174 3.1595 3.3735130 0.67638 1.2881 1.6567 1.9784 2.3554 2.6142 3.1541 3.3669140 0.67625 1.2876 1.6558 1.9771 2.3533 2.6114 3.1495 3.3614150 0.67613 1.2872 1.6551 1.9759 2.3515 2.6090 3.1455 3.3566
160 0.67603 1.2869 1.6544 1.9749 2.3499 2.6069 3.1419 3.3524170 0.67594 1.2866 1.6539 1.9740 2.3485 2.6051 3.1389 3.3487180 0.67586 1.2863 1.6534 1.9732 2.3472 2.6034 3.1361 3.3454190 0.67578 1.2860 1.6529 1.9725 2.3461 2.6020 3.1337 3.3425200 0.67572 1.2858 1.6525 1.9719 2.3451 2.6006 3.1315 3.3398
1−α= 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005
25
Tables
zα
α
Quantiles de la loi χ2(d)
La table donne les valeurs xdα telles que F(xd
α ) =P(X É xdα ) = α avec
X ∼ χ2(d).
α= 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.25 0.5 0.75 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995d = 1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 0.1015 0.4549 1.3233 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794
2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107 0.5754 1.3863 2.7726 4.6052 5.9915 7.3778 9.2103 10.5973 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 1.2125 2.3660 4.1083 6.2514 7.8147 9.3484 11.345 12.8384 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 1.9226 3.3567 5.3853 7.7794 9.4877 11.143 13.277 14.8605 0.4117 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103 2.6746 4.3515 6.6257 9.2364 11.070 12.833 15.086 16.750
6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041 3.4546 5.3481 7.8408 10.645 12.592 14.449 16.812 18.5487 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331 4.2549 6.3458 9.0371 12.017 14.067 16.013 18.475 20.2788 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 5.0706 7.3441 10.219 13.362 15.507 17.535 20.090 21.9559 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 5.8988 8.3428 11.389 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 2.1559 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 6.7372 9.3418 12.549 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 7.5841 10.341 13.701 17.275 19.675 21.920 24.725 26.75712 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 8.4384 11.340 14.845 18.549 21.026 23.337 26.217 28.30013 3.5650 4.1069 5.0088 5.8919 7.0415 9.2991 12.340 15.984 19.812 22.362 24.736 27.688 29.81914 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 10.165 13.339 17.117 21.064 23.685 26.119 29.141 31.31915 4.6009 5.2293 6.2621 7.2609 8.5468 11.037 14.339 18.245 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 11.912 15.338 19.369 23.542 26.296 28.845 32.000 34.26717 5.6972 6.4078 7.5642 8.6718 10.085 12.792 16.338 20.489 24.769 27.587 30.191 33.409 35.71818 6.2648 7.0149 8.2307 9.3905 10.865 13.675 17.338 21.605 25.989 28.869 31.526 34.805 37.15619 6.8440 7.6327 8.9065 10.117 11.651 14.562 18.338 22.718 27.204 30.144 32.852 36.191 38.58220 7.4338 8.2604 9.5908 10.851 12.443 15.452 19.337 23.828 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997
21 8.0337 8.8972 10.283 11.591 13.240 16.344 20.337 24.935 29.615 32.671 35.479 38.932 41.40122 8.6427 9.5425 10.982 12.338 14.041 17.240 21.337 26.039 30.813 33.924 36.781 40.289 42.79623 9.2604 10.196 11.689 13.091 14.848 18.137 22.337 27.141 32.007 35.172 38.076 41.638 44.18124 9.8862 10.856 12.401 13.848 15.659 19.037 23.337 28.241 33.196 36.415 39.364 42.980 45.55925 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 19.939 24.337 29.339 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928
26 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 20.843 25.336 30.435 35.563 38.885 41.923 45.642 48.29027 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 21.749 26.336 31.528 36.741 40.113 43.195 46.963 49.64528 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 22.657 27.336 32.620 37.916 41.337 44.461 48.278 50.99329 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 23.567 28.336 33.711 39.087 42.557 45.722 49.588 52.33630 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 24.478 29.336 34.800 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672
31 14.458 15.655 17.539 19.281 21.434 25.390 30.336 35.887 41.422 44.985 48.232 52.191 55.00332 15.134 16.362 18.291 20.072 22.271 26.304 31.336 36.973 42.585 46.194 49.480 53.486 56.32833 15.815 17.074 19.047 20.867 23.110 27.219 32.336 38.058 43.745 47.400 50.725 54.776 57.64834 16.501 17.789 19.806 21.664 23.952 28.136 33.336 39.141 44.903 48.602 51.966 56.061 58.96435 17.192 18.509 20.569 22.465 24.797 29.054 34.336 40.223 46.059 49.802 53.203 57.342 60.275
36 17.887 19.233 21.336 23.269 25.643 29.973 35.336 41.304 47.212 50.998 54.437 58.619 61.58137 18.586 19.960 22.106 24.075 26.492 30.893 36.336 42.383 48.363 52.192 55.668 59.893 62.88338 19.289 20.691 22.878 24.884 27.343 31.815 37.335 43.462 49.513 53.384 56.896 61.162 64.18139 19.996 21.426 23.654 25.695 28.196 32.737 38.335 44.539 50.660 54.572 58.120 62.428 65.47640 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 33.660 39.335 45.616 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766
1−α= 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
26
Tables
Quantiles de la loi χ2(d)
• Si Z1, . . . ,Zd ∼N (0,1) indépendantes, X =∑di=1 Z2
i ∼ χ2(d).
• E(X) = d , Var(X) = 2d .
• X1 ∼ χ2(d1), X2 ∼ χ2(d2) indépendantes : (X1 +X2) ∼ χ2(d1 +d2).
• X1, . . . ,Xn ∼ N (µ,σ2) indépendantes ; S2 = 1n−1
∑ni=1(Xi − X)2 ;
n−1σ2 S2 ∼ χ2(d −1).
α= 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.25 0.5 0.75 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995d = 42 22.138 23.650 25.999 28.144 30.765 35.510 41.335 47.766 54.090 58.124 61.777 66.206 69.336
44 23.584 25.148 27.575 29.787 32.487 37.363 43.335 49.913 56.369 60.481 64.201 68.710 71.89346 25.041 26.657 29.160 31.439 34.215 39.220 45.335 52.056 58.641 62.830 66.617 71.201 74.43748 26.511 28.177 30.755 33.098 35.949 41.079 47.335 54.196 60.907 65.171 69.023 73.683 76.96950 27.991 29.707 32.357 34.764 37.689 42.942 49.335 56.334 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490
52 29.481 31.246 33.968 36.437 39.433 44.808 51.335 58.468 65.422 69.832 73.810 78.616 82.00154 30.981 32.793 35.586 38.116 41.183 46.676 53.335 60.600 67.673 72.153 76.192 81.069 84.50256 32.490 34.350 37.212 39.801 42.937 48.546 55.335 62.729 69.919 74.468 78.567 83.513 86.99458 34.008 35.913 38.844 41.492 44.696 50.419 57.335 64.857 72.160 76.778 80.936 85.950 89.47760 35.534 37.485 40.482 43.188 46.459 52.294 59.335 66.981 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952
62 37.068 39.063 42.126 44.889 48.226 54.171 61.335 69.104 76.630 81.381 85.654 90.802 94.41964 38.610 40.649 43.776 46.595 49.996 56.050 63.335 71.225 78.860 83.675 88.004 93.217 96.87866 40.158 42.240 45.431 48.305 51.770 57.931 65.335 73.344 81.085 85.965 90.349 95.626 99.33068 41.713 43.838 47.092 50.020 53.548 59.814 67.335 75.461 83.308 88.250 92.689 98.028 101.7870 43.275 45.442 48.758 51.739 55.329 61.698 69.334 77.577 85.527 90.531 95.023 100.43 104.21
72 44.843 47.051 50.428 53.462 57.113 63.585 71.334 79.690 87.743 92.808 97.353 102.82 106.6574 46.417 48.666 52.103 55.189 58.900 65.472 73.334 81.803 89.956 95.081 99.678 105.20 109.0776 47.997 50.286 53.782 56.920 60.690 67.362 75.334 83.913 92.166 97.351 102.00 107.58 111.5078 49.582 51.910 55.466 58.654 62.483 69.252 77.334 86.022 94.374 99.617 104.32 109.96 113.9180 51.172 53.540 57.153 60.391 64.278 71.145 79.334 88.130 96.578 101.88 106.63 112.33 116.32
82 52.767 55.174 58.845 62.132 66.076 73.038 81.334 90.237 98.780 104.14 108.94 114.69 118.7384 54.368 56.813 60.540 63.876 67.876 74.933 83.334 92.342 100.98 106.39 111.24 117.06 121.1386 55.973 58.456 62.239 65.623 69.679 76.829 85.334 94.446 103.18 108.65 113.54 119.41 123.5288 57.582 60.103 63.941 67.373 71.484 78.726 87.334 96.548 105.37 110.90 115.84 121.77 125.9190 59.196 61.754 65.647 69.126 73.291 80.625 89.334 98.650 107.57 113.15 118.14 124.12 128.30
92 60.815 63.409 67.356 70.882 75.100 82.524 91.334 100.75 109.76 115.39 120.43 126.46 130.6894 62.437 65.068 69.068 72.640 76.912 84.425 93.334 102.85 111.94 117.63 122.72 128.80 133.0696 64.063 66.730 70.783 74.401 78.725 86.327 95.334 104.95 114.13 119.87 125.00 131.14 135.4398 65.694 68.396 72.501 76.164 80.541 88.229 97.334 107.05 116.32 122.11 127.28 133.48 137.80
100 67.328 70.065 74.222 77.929 82.358 90.133 99.334 109.14 118.50 124.34 129.56 135.81 140.17
110 75.550 78.458 82.867 86.792 91.471 99.666 109.33 119.61 129.39 135.48 140.92 147.41 151.95120 83.852 86.923 91.573 95.705 100.62 109.22 119.33 130.05 140.23 146.57 152.21 158.95 163.65130 92.222 95.451 100.33 104.66 109.81 118.79 129.33 140.48 151.05 157.61 163.45 170.42 175.28140 100.65 104.03 109.14 113.66 119.03 128.38 139.33 150.89 161.83 168.61 174.65 181.84 186.85150 109.14 112.67 117.98 122.69 128.28 137.98 149.33 161.29 172.58 179.58 185.80 193.21 198.36
160 117.68 121.35 126.87 131.76 137.55 147.60 159.33 171.68 183.31 190.52 196.92 204.53 209.82170 126.26 130.06 135.79 140.85 146.84 157.23 169.33 182.05 194.02 201.42 208.00 215.81 221.24180 134.88 138.82 144.74 149.97 156.15 166.87 179.33 192.41 204.70 212.30 219.04 227.06 232.62190 143.55 147.61 153.72 159.11 165.49 176.51 189.33 202.76 215.37 223.16 230.06 238.27 243.96200 152.24 156.43 162.73 168.28 174.84 186.17 199.33 213.10 226.02 233.99 241.06 249.45 255.26
1−α= 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
27
Tables
Quantiles 0,975 de la loi F(d1,d2)
La table donne le α = 0,975e quantile de F(d1,d2), c’est-à-dire lesvaleurs Fd1,d2
0,975 telles que P(X É Fd1,d20,975 ) = 0,975.
• Y1 ∼ χ(d1), Y2 ∼ χ2(d2) indépendantes. X = Y1/d1
Y2/d2= d2Y1
d1Y2∼
F(d1,d2).
• On a 1/Fd1,d20,975 = Fd2,d1
0,025 .
d2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13d1 = 1 647.8 38.51 17.44 12.22 10.01 8.813 8.073 7.571 7.209 6.937 6.724 6.554 6.414
2 799.5 39.00 16.04 10.65 8.434 7.260 6.542 6.059 5.715 5.456 5.256 5.096 4.9653 864.2 39.17 15.44 9.979 7.764 6.599 5.890 5.416 5.078 4.826 4.630 4.474 4.3474 899.6 39.25 15.10 9.605 7.388 6.227 5.523 5.053 4.718 4.468 4.275 4.121 3.9965 921.8 39.30 14.88 9.364 7.146 5.988 5.285 4.817 4.484 4.236 4.044 3.891 3.767
6 937.1 39.33 14.73 9.197 6.978 5.820 5.119 4.652 4.320 4.072 3.881 3.728 3.6047 948.2 39.36 14.62 9.074 6.853 5.695 4.995 4.529 4.197 3.950 3.759 3.607 3.4838 956.7 39.37 14.54 8.980 6.757 5.600 4.899 4.433 4.102 3.855 3.664 3.512 3.3889 963.3 39.39 14.47 8.905 6.681 5.523 4.823 4.357 4.026 3.779 3.588 3.436 3.312
10 968.6 39.40 14.42 8.844 6.619 5.461 4.761 4.295 3.964 3.717 3.526 3.374 3.250
11 973.0 39.41 14.37 8.794 6.568 5.410 4.709 4.243 3.912 3.665 3.474 3.321 3.19712 976.7 39.41 14.34 8.751 6.525 5.366 4.666 4.200 3.868 3.621 3.430 3.277 3.15313 979.8 39.42 14.30 8.715 6.488 5.329 4.628 4.162 3.831 3.583 3.392 3.239 3.11514 982.5 39.43 14.28 8.684 6.456 5.297 4.596 4.130 3.798 3.550 3.359 3.206 3.08215 984.9 39.43 14.25 8.657 6.428 5.269 4.568 4.101 3.769 3.522 3.330 3.177 3.053
16 986.9 39.44 14.23 8.633 6.403 5.244 4.543 4.076 3.744 3.496 3.304 3.152 3.02717 988.7 39.44 14.21 8.611 6.381 5.222 4.521 4.054 3.722 3.474 3.282 3.129 3.00418 990.3 39.44 14.20 8.592 6.362 5.202 4.501 4.034 3.701 3.453 3.261 3.108 2.98319 991.8 39.45 14.18 8.575 6.344 5.184 4.483 4.016 3.683 3.435 3.243 3.090 2.96520 993.1 39.45 14.17 8.560 6.329 5.168 4.467 3.999 3.667 3.419 3.226 3.073 2.948
21 994.3 39.45 14.16 8.546 6.314 5.154 4.452 3.985 3.652 3.403 3.211 3.057 2.93222 995.4 39.45 14.14 8.533 6.301 5.141 4.439 3.971 3.638 3.390 3.197 3.043 2.91823 996.3 39.45 14.13 8.522 6.289 5.128 4.426 3.959 3.626 3.377 3.184 3.031 2.90524 997.2 39.46 14.12 8.511 6.278 5.117 4.415 3.947 3.614 3.365 3.173 3.019 2.89325 998.1 39.46 14.12 8.501 6.268 5.107 4.405 3.937 3.604 3.355 3.162 3.008 2.882
26 998.8 39.46 14.11 8.492 6.258 5.097 4.395 3.927 3.594 3.345 3.152 2.998 2.87227 999.6 39.46 14.10 8.483 6.250 5.088 4.386 3.918 3.584 3.335 3.142 2.988 2.86228 1000 39.46 14.09 8.476 6.242 5.080 4.378 3.909 3.576 3.327 3.133 2.979 2.85329 1001 39.46 14.09 8.468 6.234 5.072 4.370 3.901 3.568 3.319 3.125 2.971 2.84530 1001 39.46 14.08 8.461 6.227 5.065 4.362 3.894 3.560 3.311 3.118 2.963 2.837
35 1004 39.47 14.06 8.433 6.197 5.035 4.332 3.863 3.529 3.279 3.086 2.931 2.80540 1006 39.47 14.04 8.411 6.175 5.012 4.309 3.840 3.505 3.255 3.061 2.906 2.78050 1008 39.48 14.01 8.381 6.144 4.980 4.276 3.807 3.472 3.221 3.027 2.871 2.74460 1010 39.48 13.99 8.360 6.123 4.959 4.254 3.784 3.449 3.198 3.004 2.848 2.72070 1011 39.48 13.98 8.346 6.107 4.943 4.239 3.768 3.433 3.182 2.987 2.831 2.703
80 1012 39.49 13.97 8.335 6.096 4.932 4.227 3.756 3.421 3.169 2.974 2.818 2.69090 1013 39.49 13.96 8.326 6.087 4.923 4.218 3.747 3.411 3.160 2.964 2.808 2.680
100 1013 39.49 13.96 8.319 6.080 4.915 4.210 3.739 3.403 3.152 2.956 2.800 2.671∞ 1018 39.50 13.90 8.257 6.015 4.849 4.142 3.670 3.333 3.080 2.883 2.725 2.595
d2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
28
Tables
Quantiles 0,975 de la loi F(d1,d2)
2,5%
2,5%
F0.025 = 1 F0.975 F0.975
d2 = 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30d1 = 1 6.298 6.200 6.115 6.042 5.978 5.922 5.871 5.827 5.786 5.750 5.717 5.686 5.568
2 4.857 4.765 4.687 4.619 4.560 4.508 4.461 4.420 4.383 4.349 4.319 4.291 4.1823 4.242 4.153 4.077 4.011 3.954 3.903 3.859 3.819 3.783 3.750 3.721 3.694 3.5894 3.892 3.804 3.729 3.665 3.608 3.559 3.515 3.475 3.440 3.408 3.379 3.353 3.2505 3.663 3.576 3.502 3.438 3.382 3.333 3.289 3.250 3.215 3.183 3.155 3.129 3.026
6 3.501 3.415 3.341 3.277 3.221 3.172 3.128 3.090 3.055 3.023 2.995 2.969 2.8677 3.380 3.293 3.219 3.156 3.100 3.051 3.007 2.969 2.934 2.902 2.874 2.848 2.7468 3.285 3.199 3.125 3.061 3.005 2.956 2.913 2.874 2.839 2.808 2.779 2.753 2.6519 3.209 3.123 3.049 2.985 2.929 2.880 2.837 2.798 2.763 2.731 2.703 2.677 2.575
10 3.147 3.060 2.986 2.922 2.866 2.817 2.774 2.735 2.700 2.668 2.640 2.613 2.511
11 3.095 3.008 2.934 2.870 2.814 2.765 2.721 2.682 2.647 2.615 2.586 2.560 2.45812 3.050 2.963 2.889 2.825 2.769 2.720 2.676 2.637 2.602 2.570 2.541 2.515 2.41213 3.012 2.925 2.851 2.786 2.730 2.681 2.637 2.598 2.563 2.531 2.502 2.476 2.37214 2.979 2.891 2.817 2.753 2.696 2.647 2.603 2.564 2.528 2.497 2.468 2.441 2.33815 2.949 2.862 2.788 2.723 2.667 2.617 2.573 2.534 2.498 2.466 2.437 2.411 2.307
16 2.923 2.836 2.761 2.697 2.640 2.591 2.547 2.507 2.472 2.440 2.411 2.384 2.28017 2.900 2.813 2.738 2.673 2.617 2.567 2.523 2.483 2.448 2.416 2.386 2.360 2.25518 2.879 2.792 2.717 2.652 2.596 2.546 2.501 2.462 2.426 2.394 2.365 2.338 2.23319 2.861 2.773 2.698 2.633 2.576 2.526 2.482 2.442 2.407 2.374 2.345 2.318 2.21320 2.844 2.756 2.681 2.616 2.559 2.509 2.464 2.425 2.389 2.357 2.327 2.300 2.195
21 2.828 2.740 2.665 2.600 2.543 2.493 2.448 2.409 2.373 2.340 2.311 2.284 2.17822 2.814 2.726 2.651 2.585 2.529 2.478 2.434 2.394 2.358 2.325 2.296 2.269 2.16323 2.801 2.713 2.637 2.572 2.515 2.465 2.420 2.380 2.344 2.312 2.282 2.255 2.14924 2.789 2.701 2.625 2.560 2.503 2.452 2.408 2.368 2.331 2.299 2.269 2.242 2.13625 2.778 2.689 2.614 2.548 2.491 2.441 2.396 2.356 2.320 2.287 2.257 2.230 2.124
26 2.767 2.679 2.603 2.538 2.481 2.430 2.385 2.345 2.309 2.276 2.246 2.219 2.11227 2.758 2.669 2.594 2.528 2.471 2.420 2.375 2.335 2.299 2.266 2.236 2.209 2.10228 2.749 2.660 2.584 2.519 2.461 2.411 2.366 2.325 2.289 2.256 2.226 2.199 2.09229 2.740 2.652 2.576 2.510 2.453 2.402 2.357 2.317 2.280 2.247 2.217 2.190 2.08330 2.732 2.644 2.568 2.502 2.445 2.394 2.349 2.308 2.272 2.239 2.209 2.182 2.074
35 2.699 2.610 2.534 2.468 2.410 2.359 2.314 2.273 2.237 2.204 2.173 2.146 2.03740 2.674 2.585 2.509 2.442 2.384 2.333 2.287 2.246 2.210 2.176 2.146 2.118 2.00950 2.638 2.549 2.472 2.405 2.347 2.295 2.249 2.208 2.171 2.137 2.107 2.079 1.96860 2.614 2.524 2.447 2.380 2.321 2.270 2.223 2.182 2.145 2.111 2.080 2.052 1.94070 2.597 2.506 2.429 2.362 2.303 2.251 2.205 2.163 2.125 2.091 2.060 2.032 1.920
80 2.583 2.493 2.415 2.348 2.289 2.237 2.190 2.148 2.111 2.077 2.045 2.017 1.90490 2.573 2.482 2.405 2.337 2.278 2.226 2.179 2.137 2.099 2.065 2.034 2.005 1.892
100 2.565 2.474 2.396 2.329 2.269 2.217 2.170 2.128 2.090 2.056 2.024 1.996 1.882∞ 2.487 2.395 2.316 2.247 2.187 2.133 2.085 2.042 2.003 1.968 1.935 1.906 1.787
d2 = 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30
29
Tables
Quantiles 0,975 de la loi F(d1,d2)
d2 = 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 ∞d1 = 1 5.485 5.424 5.377 5.340 5.310 5.286 5.265 5.247 5.232 5.218 5.196 5.179 5.024
2 4.106 4.051 4.009 3.975 3.948 3.925 3.906 3.890 3.876 3.864 3.844 3.828 3.6893 3.517 3.463 3.422 3.390 3.364 3.343 3.324 3.309 3.296 3.284 3.265 3.250 3.1164 3.179 3.126 3.086 3.054 3.029 3.008 2.990 2.975 2.962 2.950 2.932 2.917 2.7865 2.956 2.904 2.864 2.833 2.807 2.786 2.769 2.754 2.741 2.730 2.711 2.696 2.567
6 2.796 2.744 2.705 2.674 2.648 2.627 2.610 2.595 2.582 2.571 2.552 2.537 2.4087 2.676 2.624 2.584 2.553 2.528 2.507 2.489 2.474 2.461 2.450 2.432 2.417 2.2888 2.581 2.529 2.489 2.458 2.433 2.412 2.394 2.379 2.366 2.355 2.336 2.321 2.1929 2.504 2.452 2.412 2.381 2.355 2.334 2.317 2.302 2.289 2.277 2.259 2.244 2.114
10 2.440 2.388 2.348 2.317 2.291 2.270 2.252 2.237 2.224 2.213 2.194 2.179 2.048
11 2.387 2.334 2.294 2.263 2.237 2.216 2.198 2.183 2.170 2.158 2.140 2.124 1.99312 2.341 2.288 2.248 2.216 2.190 2.169 2.151 2.136 2.123 2.111 2.092 2.077 1.94513 2.301 2.248 2.208 2.176 2.150 2.129 2.111 2.095 2.082 2.071 2.051 2.036 1.90314 2.266 2.213 2.172 2.140 2.114 2.093 2.075 2.059 2.046 2.035 2.015 2.000 1.86615 2.235 2.182 2.141 2.109 2.083 2.061 2.043 2.028 2.014 2.003 1.983 1.968 1.833
16 2.207 2.154 2.113 2.081 2.055 2.033 2.015 1.999 1.986 1.974 1.955 1.939 1.80317 2.183 2.129 2.088 2.056 2.029 2.008 1.989 1.974 1.960 1.948 1.929 1.913 1.77618 2.160 2.107 2.066 2.033 2.006 1.985 1.966 1.950 1.937 1.925 1.905 1.890 1.75119 2.140 2.086 2.045 2.012 1.986 1.964 1.945 1.929 1.916 1.904 1.884 1.868 1.72920 2.122 2.068 2.026 1.993 1.967 1.944 1.926 1.910 1.896 1.884 1.864 1.849 1.708
21 2.105 2.051 2.009 1.976 1.949 1.927 1.908 1.892 1.878 1.866 1.846 1.830 1.68922 2.089 2.035 1.993 1.960 1.933 1.911 1.892 1.876 1.862 1.850 1.830 1.814 1.67223 2.075 2.020 1.978 1.945 1.918 1.896 1.877 1.861 1.847 1.835 1.814 1.798 1.65524 2.062 2.007 1.965 1.931 1.904 1.882 1.863 1.847 1.833 1.820 1.800 1.784 1.64025 2.049 1.994 1.952 1.919 1.891 1.869 1.850 1.833 1.819 1.807 1.787 1.770 1.626
26 2.038 1.983 1.940 1.907 1.879 1.857 1.837 1.821 1.807 1.795 1.774 1.758 1.61227 2.027 1.972 1.929 1.895 1.868 1.845 1.826 1.810 1.796 1.783 1.763 1.746 1.60028 2.017 1.962 1.919 1.885 1.857 1.835 1.815 1.799 1.785 1.772 1.752 1.735 1.58829 2.008 1.952 1.909 1.875 1.848 1.825 1.805 1.789 1.774 1.762 1.741 1.725 1.57730 1.999 1.943 1.900 1.866 1.838 1.815 1.796 1.779 1.765 1.752 1.731 1.715 1.566
35 1.961 1.905 1.861 1.827 1.799 1.775 1.755 1.739 1.724 1.711 1.690 1.673 1.52040 1.932 1.875 1.831 1.796 1.768 1.744 1.724 1.707 1.692 1.679 1.657 1.640 1.48450 1.890 1.832 1.788 1.752 1.723 1.699 1.678 1.660 1.645 1.632 1.610 1.592 1.42860 1.861 1.803 1.757 1.721 1.692 1.667 1.646 1.628 1.612 1.599 1.576 1.558 1.38870 1.840 1.781 1.735 1.698 1.668 1.643 1.622 1.604 1.588 1.574 1.551 1.532 1.357
80 1.824 1.764 1.718 1.681 1.651 1.625 1.604 1.585 1.569 1.555 1.531 1.512 1.33390 1.811 1.751 1.705 1.667 1.636 1.611 1.589 1.570 1.554 1.540 1.516 1.496 1.313
100 1.801 1.741 1.694 1.656 1.625 1.599 1.577 1.558 1.542 1.527 1.503 1.483 1.296∞ 1.702 1.637 1.586 1.545 1.511 1.482 1.457 1.436 1.417 1.400 1.371 1.347 1.000
d2 = 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 ∞
30
Tables
Quantiles 0,95 de la loi F(d1,d2)
La table donne le α = 0,95e quantile de F(d1,d2), c’est-à-dire lesvaleurs Fd1,d2
0,95 telles que P(X É Fd1,d20,95 ) = 0,95.
• On a 1/Fd1,d20,95 = Fd2,d1
0,05 .
d2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13d1 = 1 161.4 18.51 10.13 7.709 6.608 5.987 5.591 5.318 5.117 4.965 4.844 4.747 4.667
2 199.5 19.00 9.552 6.944 5.786 5.143 4.737 4.459 4.256 4.103 3.982 3.885 3.8063 215.7 19.16 9.277 6.591 5.409 4.757 4.347 4.066 3.863 3.708 3.587 3.490 3.4114 224.6 19.25 9.117 6.388 5.192 4.534 4.120 3.838 3.633 3.478 3.357 3.259 3.1795 230.2 19.30 9.013 6.256 5.050 4.387 3.972 3.687 3.482 3.326 3.204 3.106 3.025
6 234.0 19.33 8.941 6.163 4.950 4.284 3.866 3.581 3.374 3.217 3.095 2.996 2.9157 236.8 19.35 8.887 6.094 4.876 4.207 3.787 3.500 3.293 3.135 3.012 2.913 2.8328 238.9 19.37 8.845 6.041 4.818 4.147 3.726 3.438 3.230 3.072 2.948 2.849 2.7679 240.5 19.38 8.812 5.999 4.772 4.099 3.677 3.388 3.179 3.020 2.896 2.796 2.714
10 241.9 19.40 8.786 5.964 4.735 4.060 3.637 3.347 3.137 2.978 2.854 2.753 2.671
11 243.0 19.40 8.763 5.936 4.704 4.027 3.603 3.313 3.102 2.943 2.818 2.717 2.63512 243.9 19.41 8.745 5.912 4.678 4.000 3.575 3.284 3.073 2.913 2.788 2.687 2.60413 244.7 19.42 8.729 5.891 4.655 3.976 3.550 3.259 3.048 2.887 2.761 2.660 2.57714 245.4 19.42 8.715 5.873 4.636 3.956 3.529 3.237 3.025 2.865 2.739 2.637 2.55415 245.9 19.43 8.703 5.858 4.619 3.938 3.511 3.218 3.006 2.845 2.719 2.617 2.533
16 246.5 19.43 8.692 5.844 4.604 3.922 3.494 3.202 2.989 2.828 2.701 2.599 2.51517 246.9 19.44 8.683 5.832 4.590 3.908 3.480 3.187 2.974 2.812 2.685 2.583 2.49918 247.3 19.44 8.675 5.821 4.579 3.896 3.467 3.173 2.960 2.798 2.671 2.568 2.48419 247.7 19.44 8.667 5.811 4.568 3.884 3.455 3.161 2.948 2.785 2.658 2.555 2.47120 248.0 19.45 8.660 5.803 4.558 3.874 3.445 3.150 2.936 2.774 2.646 2.544 2.459
21 248.3 19.45 8.654 5.795 4.549 3.865 3.435 3.140 2.926 2.764 2.636 2.533 2.44822 248.6 19.45 8.648 5.787 4.541 3.856 3.426 3.131 2.917 2.754 2.626 2.523 2.43823 248.8 19.45 8.643 5.781 4.534 3.849 3.418 3.123 2.908 2.745 2.617 2.514 2.42924 249.1 19.45 8.639 5.774 4.527 3.841 3.410 3.115 2.900 2.737 2.609 2.505 2.42025 249.3 19.46 8.634 5.769 4.521 3.835 3.404 3.108 2.893 2.730 2.601 2.498 2.412
26 249.5 19.46 8.630 5.763 4.515 3.829 3.397 3.102 2.886 2.723 2.594 2.491 2.40527 249.6 19.46 8.626 5.759 4.510 3.823 3.391 3.095 2.880 2.716 2.588 2.484 2.39828 249.8 19.46 8.623 5.754 4.505 3.818 3.386 3.090 2.874 2.710 2.582 2.478 2.39229 250.0 19.46 8.620 5.750 4.500 3.813 3.381 3.084 2.869 2.705 2.576 2.472 2.38630 250.1 19.46 8.617 5.746 4.496 3.808 3.376 3.079 2.864 2.700 2.570 2.466 2.380
35 250.7 19.47 8.604 5.729 4.478 3.789 3.356 3.059 2.842 2.678 2.548 2.443 2.35740 251.1 19.47 8.594 5.717 4.464 3.774 3.340 3.043 2.826 2.661 2.531 2.426 2.33950 251.8 19.48 8.581 5.699 4.444 3.754 3.319 3.020 2.803 2.637 2.507 2.401 2.31460 252.2 19.48 8.572 5.688 4.431 3.740 3.304 3.005 2.787 2.621 2.490 2.384 2.29770 252.5 19.48 8.566 5.679 4.422 3.730 3.294 2.994 2.776 2.610 2.478 2.372 2.284
80 252.7 19.48 8.561 5.673 4.415 3.722 3.286 2.986 2.768 2.601 2.469 2.363 2.27590 252.9 19.48 8.557 5.668 4.409 3.716 3.280 2.980 2.761 2.594 2.462 2.356 2.267
100 253.0 19.49 8.554 5.664 4.405 3.712 3.275 2.975 2.756 2.588 2.457 2.350 2.261∞ 254.3 19.50 8.526 5.628 4.365 3.669 3.230 2.928 2.707 2.538 2.404 2.296 2.206
d2 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
31
Tables
Quantiles 0,95 de la loi F(d1,d2)
5%
5%
F0.05 = 1 F0.95 F0.95
d2 = 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30d1 = 1 4.600 4.543 4.494 4.451 4.414 4.381 4.351 4.325 4.301 4.279 4.260 4.242 4.171
2 3.739 3.682 3.634 3.592 3.555 3.522 3.493 3.467 3.443 3.422 3.403 3.385 3.3163 3.344 3.287 3.239 3.197 3.160 3.127 3.098 3.072 3.049 3.028 3.009 2.991 2.9224 3.112 3.056 3.007 2.965 2.928 2.895 2.866 2.840 2.817 2.796 2.776 2.759 2.6905 2.958 2.901 2.852 2.810 2.773 2.740 2.711 2.685 2.661 2.640 2.621 2.603 2.534
6 2.848 2.790 2.741 2.699 2.661 2.628 2.599 2.573 2.549 2.528 2.508 2.490 2.4217 2.764 2.707 2.657 2.614 2.577 2.544 2.514 2.488 2.464 2.442 2.423 2.405 2.3348 2.699 2.641 2.591 2.548 2.510 2.477 2.447 2.420 2.397 2.375 2.355 2.337 2.2669 2.646 2.588 2.538 2.494 2.456 2.423 2.393 2.366 2.342 2.320 2.300 2.282 2.211
10 2.602 2.544 2.494 2.450 2.412 2.378 2.348 2.321 2.297 2.275 2.255 2.236 2.165
11 2.565 2.507 2.456 2.413 2.374 2.340 2.310 2.283 2.259 2.236 2.216 2.198 2.12612 2.534 2.475 2.425 2.381 2.342 2.308 2.278 2.250 2.226 2.204 2.183 2.165 2.09213 2.507 2.448 2.397 2.353 2.314 2.280 2.250 2.222 2.198 2.175 2.155 2.136 2.06314 2.484 2.424 2.373 2.329 2.290 2.256 2.225 2.197 2.173 2.150 2.130 2.111 2.03715 2.463 2.403 2.352 2.308 2.269 2.234 2.203 2.176 2.151 2.128 2.108 2.089 2.015
16 2.445 2.385 2.333 2.289 2.250 2.215 2.184 2.156 2.131 2.109 2.088 2.069 1.99517 2.428 2.368 2.317 2.272 2.233 2.198 2.167 2.139 2.114 2.091 2.070 2.051 1.97618 2.413 2.353 2.302 2.257 2.217 2.182 2.151 2.123 2.098 2.075 2.054 2.035 1.96019 2.400 2.340 2.288 2.243 2.203 2.168 2.137 2.109 2.084 2.061 2.040 2.021 1.94520 2.388 2.328 2.276 2.230 2.191 2.155 2.124 2.096 2.071 2.048 2.027 2.007 1.932
21 2.377 2.316 2.264 2.219 2.179 2.144 2.112 2.084 2.059 2.036 2.015 1.995 1.91922 2.367 2.306 2.254 2.208 2.168 2.133 2.102 2.073 2.048 2.025 2.003 1.984 1.90823 2.357 2.297 2.244 2.199 2.159 2.123 2.092 2.063 2.038 2.014 1.993 1.974 1.89724 2.349 2.288 2.235 2.190 2.150 2.114 2.082 2.054 2.028 2.005 1.984 1.964 1.88725 2.341 2.280 2.227 2.181 2.141 2.106 2.074 2.045 2.020 1.996 1.975 1.955 1.878
26 2.333 2.272 2.220 2.174 2.134 2.098 2.066 2.037 2.012 1.988 1.967 1.947 1.87027 2.326 2.265 2.212 2.167 2.126 2.090 2.059 2.030 2.004 1.981 1.959 1.939 1.86228 2.320 2.259 2.206 2.160 2.119 2.084 2.052 2.023 1.997 1.973 1.952 1.932 1.85429 2.314 2.253 2.200 2.154 2.113 2.077 2.045 2.016 1.990 1.967 1.945 1.926 1.84730 2.308 2.247 2.194 2.148 2.107 2.071 2.039 2.010 1.984 1.961 1.939 1.919 1.841
35 2.284 2.223 2.169 2.123 2.082 2.046 2.013 1.984 1.958 1.934 1.912 1.892 1.81340 2.266 2.204 2.151 2.104 2.063 2.026 1.994 1.965 1.938 1.914 1.892 1.872 1.79250 2.241 2.178 2.124 2.077 2.035 1.999 1.966 1.936 1.909 1.885 1.863 1.842 1.76160 2.223 2.160 2.106 2.058 2.017 1.980 1.946 1.916 1.889 1.865 1.842 1.822 1.74070 2.210 2.147 2.093 2.045 2.003 1.966 1.932 1.902 1.875 1.850 1.828 1.807 1.724
80 2.201 2.137 2.083 2.035 1.993 1.955 1.922 1.891 1.864 1.839 1.816 1.796 1.71290 2.193 2.130 2.075 2.027 1.985 1.947 1.913 1.883 1.856 1.830 1.808 1.787 1.703
100 2.187 2.123 2.068 2.020 1.978 1.940 1.907 1.876 1.849 1.823 1.800 1.779 1.695∞ 2.131 2.066 2.010 1.960 1.917 1.878 1.843 1.812 1.783 1.757 1.733 1.711 1.622
d2 = 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30
32
Tables
Quantiles 0,95 de la loi F(d1,d2)
d2 = 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 ∞d1 = 1 4.121 4.085 4.057 4.034 4.016 4.001 3.989 3.978 3.968 3.960 3.947 3.936 3.841
2 3.267 3.232 3.204 3.183 3.165 3.150 3.138 3.128 3.119 3.111 3.098 3.087 2.9963 2.874 2.839 2.812 2.790 2.773 2.758 2.746 2.736 2.727 2.719 2.706 2.696 2.6054 2.641 2.606 2.579 2.557 2.540 2.525 2.513 2.503 2.494 2.486 2.473 2.463 2.3725 2.485 2.449 2.422 2.400 2.383 2.368 2.356 2.346 2.337 2.329 2.316 2.305 2.214
6 2.372 2.336 2.308 2.286 2.269 2.254 2.242 2.231 2.222 2.214 2.201 2.191 2.0997 2.285 2.249 2.221 2.199 2.181 2.167 2.154 2.143 2.134 2.126 2.113 2.103 2.0108 2.217 2.180 2.152 2.130 2.112 2.097 2.084 2.074 2.064 2.056 2.043 2.032 1.9389 2.161 2.124 2.096 2.073 2.055 2.040 2.027 2.017 2.007 1.999 1.986 1.975 1.880
10 2.114 2.077 2.049 2.026 2.008 1.993 1.980 1.969 1.959 1.951 1.938 1.927 1.831
11 2.075 2.038 2.009 1.986 1.968 1.952 1.939 1.928 1.919 1.910 1.897 1.886 1.78912 2.041 2.003 1.974 1.952 1.933 1.917 1.904 1.893 1.884 1.875 1.861 1.850 1.75213 2.012 1.974 1.945 1.921 1.903 1.887 1.874 1.863 1.853 1.845 1.830 1.819 1.72014 1.986 1.948 1.918 1.895 1.876 1.860 1.847 1.836 1.826 1.817 1.803 1.792 1.69215 1.963 1.924 1.895 1.871 1.852 1.836 1.823 1.812 1.802 1.793 1.779 1.768 1.666
16 1.942 1.904 1.874 1.850 1.831 1.815 1.802 1.790 1.780 1.772 1.757 1.746 1.64417 1.924 1.885 1.855 1.831 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.752 1.737 1.726 1.62318 1.907 1.868 1.838 1.814 1.795 1.778 1.765 1.753 1.743 1.734 1.720 1.708 1.60419 1.892 1.853 1.823 1.798 1.779 1.763 1.749 1.737 1.727 1.718 1.703 1.691 1.58720 1.878 1.839 1.808 1.784 1.764 1.748 1.734 1.722 1.712 1.703 1.688 1.676 1.571
21 1.866 1.826 1.795 1.771 1.751 1.735 1.721 1.709 1.698 1.689 1.675 1.663 1.55622 1.854 1.814 1.783 1.759 1.739 1.722 1.708 1.696 1.686 1.677 1.662 1.650 1.54223 1.843 1.803 1.772 1.748 1.727 1.711 1.697 1.685 1.674 1.665 1.650 1.638 1.52924 1.833 1.793 1.762 1.737 1.717 1.700 1.686 1.674 1.663 1.654 1.639 1.627 1.51725 1.824 1.783 1.752 1.727 1.707 1.690 1.676 1.664 1.653 1.644 1.629 1.616 1.506
26 1.815 1.775 1.743 1.718 1.698 1.681 1.667 1.654 1.644 1.634 1.619 1.607 1.49627 1.807 1.766 1.735 1.710 1.689 1.672 1.658 1.646 1.635 1.626 1.610 1.598 1.48628 1.799 1.759 1.727 1.702 1.681 1.664 1.650 1.637 1.626 1.617 1.601 1.589 1.47629 1.792 1.751 1.720 1.694 1.674 1.656 1.642 1.629 1.619 1.609 1.593 1.581 1.46730 1.786 1.744 1.713 1.687 1.666 1.649 1.635 1.622 1.611 1.602 1.586 1.573 1.459
35 1.757 1.715 1.683 1.657 1.636 1.618 1.603 1.591 1.580 1.570 1.554 1.541 1.42340 1.735 1.693 1.660 1.634 1.612 1.594 1.579 1.566 1.555 1.545 1.528 1.515 1.39450 1.703 1.660 1.626 1.599 1.577 1.559 1.543 1.530 1.518 1.508 1.491 1.477 1.35060 1.681 1.637 1.603 1.576 1.553 1.534 1.518 1.505 1.493 1.482 1.465 1.450 1.31870 1.665 1.621 1.586 1.558 1.535 1.516 1.500 1.486 1.473 1.463 1.445 1.430 1.293
80 1.652 1.608 1.573 1.544 1.521 1.502 1.485 1.471 1.459 1.448 1.429 1.415 1.27390 1.643 1.597 1.562 1.534 1.510 1.491 1.474 1.459 1.447 1.436 1.417 1.402 1.257
100 1.635 1.589 1.554 1.525 1.501 1.481 1.464 1.450 1.437 1.426 1.407 1.392 1.243∞ 1.558 1.509 1.470 1.438 1.412 1.389 1.370 1.353 1.338 1.325 1.302 1.283 1.000
d2 = 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 90 100 ∞
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