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Modélisation de la dynamique des systèmes mobiles

L. NEHAOUA

lamri.nehaoua @ ufrst.univ-evry.fr

M2 E3A SAM, 2015-2016

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Véhicule automobile: représentation

un véhicule automobile peut être décrit comme étant l’assemblage de quatreparties:

I un système de direction,I un train-avant (les suspensions, les porte-fusées, les roues avants, la barre

anti-roulis),I un train-arrière(les suspension, les porte-fusée, les roues arrières, la barre anti-roulis),I un chassis de véhicule qui englobe l’abitacle et les siège.

le système de direction, le train-avant et le train-arrière représente ensemble lamasse non-suspendue du véhicule.

le chassis représente la masse suspendue du véhicule.

Figure : En bleu la masse suspendue (chassis). Le reste et la masse non suspendue.

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Véhicule automobile: représentation

Figure : : Les quatre parties prises en compte pour représenter le véhicule automobile.

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Véhicule automobile: les suspensions

les suspensions permettent d’isoler le châssis du véhicule des irrégularités de laroute, et par conséquent, d’améliorer le confort du conducteur.

plusieurs types de suspensions existent: McPherson, double triangle etmulti-liaisons.

Figure : suspension type McPherson, double triangle et multi-liaisons.

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Véhicule automobile: les suspensions

l’axe de pivot est la droite (ab). C’est l’axe de braquage de la roue.

En réalité, l’axe de débattement des suspensions et l’axe de pivot ne sont pasconfudus. Il existe un offset.

Figure : suspension type McPherson: axe de pivot et offset.

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Véhicule automobile: les suspensions

La roue est montée sur une porte-fusée liée aux système de direction qui luipermet une rotation dite de braquage δ.

Le braquage des roues s’effectue autour de l’axe eδ, appelé axe de pivot.

la position de l’axe de pivot est caractérisée par: l’angle γp (angle de pivot),l’angle γc (angle de chasse), la longueur cp ( le déport latéral de pivot) et lalongueur cg (la chasse géométrique).

l’inclinaison de la roue par rapport au plan vertical est appelée l’angle decarrossage (γ).

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Véhicule automobile: système de direction

un système classique de direction est constitué:I d’un volant et une colonne de direction.I un système pignon-crémaillère: transformer la rotation en linéaire.I deux biellettes: transferer la force de la crémaillère aux porte-fusées.I porte-fusée: fixation de la roue.

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Véhicule automobile: système de direction

Pourquoi une direction assistée?I le braquage doit s’effectuer avec précision et sans grand effort.I congestion accrue du trafic routier → déplacements à basses vitesses → couple de

braquage important.I multitude de systèmes mécatroniques → charge importante.I pour toute ces raisons, un dispositif d’assistance est mis en place.

Dans le marché, divers types d’assistance sont proposés:I suivant sa position: l’assistance type colonne, type pinion ou type crémaillère.I suivant son actionnement: électrique, hydraulique et pneumatique.

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Véhicule automobile: système de direction

Figure : (a) DA type colonne. (b) DA type crémaillère

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Véhicule automobile: système de directionUne direction à assistance électrique est composé d’une direction classique couplée àun dispositif d’assistance:

Un capteur de couple: pour mesurer l’effort appliqué sur le volant par leconducteur. Il détermine aussi le sens de rotation du volant.Un moteur électrique: pour produire le couple d’assistance nécessaire.Un calculateur : pour déterminer le niveau d’assistance à injecter.

Figure : une direction éléctrique (DAE) type colonne

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Véhicule automobile: système de direction

Figure : (a)Le capteur de couple utilise une jauge de torsion. En cas de torsion, les créneaux de chaquebague de détection se décalent les uns par rapport aux autres modifiant ainsi l’inductance des bobinesinternes. (b) Le réducteur est composé d’une roue dentée et d’une vis sans fin. La roue est solidaire à lacolonne de direction et la vis est reliée à l’arbre du moteur d’assistance. Le rapport de démultiplicationdu réducteur est un paramètre prémordial car il détermine le couple que l’assistance peut délivrer.

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Véhicule automobile: système de direction

Figure : Niveau d’assistance en fonction de la vitesse du véhicule.

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Véhicule automobile: système de directionle braquage de la roue extérieure et intérieure n’est pas symétrique. Pour effectuer unvirage, une condition cinématique entre les angles de braquage des deux roues avantdoit être vérifiée, c’est la condition d’Ackermann:

1tan δe

−1

tan δi= 2

sdv

le

δe , δi sont respectivement le braquage de la roue extérieure et intérieure, sdvdemi-voie du train-avant et le est l’empattement entre le train-avant et le train-arrière.

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Véhicule automobile: système de direction

Figure : condition d’Ackermann: condition théorique que le braquage de la roue interne et externedoivent vérifier. Cependant, en pratique, il est difficile de réaliser des système mécanique qui puissentreproduire cette figure. Généralement, des méthodes d’optimisation sont utilisées afin de se rapporcherau mieux de cette courbe. Si le braquage des deux roue est symétrique cette courbe aurait l’allure d’unedroite passant par l’origine est de pente de 45◦

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Véhicule automobile: pneumatique

les pneumatiques constituent l’élément essentiel d’interaction avecl’environnement extérieur.

les performances dynamiques d’un véhicule sont fortement affectées par lescaractéristiques de ses pneumatiques.

ils permettent de transmettre les efforts de traction, de freinage et de guidageentre le véhicule et le sol.

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Véhicule automobile: pneumatique

Non chargé, le pneu est caractérisé par son rayon nominal rn.

chargé, le pneu est caractérisé par son rayon effectif r où (r ≤ rn)

la différence entre les deux rayons est appelée pénétration du pneu dans le sol.

la pénétration du pneu génère une force verticale (appelée aussi la charge).

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Véhicule automobile: pneumatique

la vitesse v(c, x) du point de contact C n’est proportionelle à la vitesse derotation de la roue ωr , c’est-à-dire v(c, x) 6= ωr .la différence entre les deux vitesses est appelé glissement longitudinal κ. Cettequantité est toujours normalisée:

κ =rωr − vc,x

max(rωr − vc,x )≤ 1

En phase d’accélération rωr > vc,x donc κ > 0En phase de freinage rωr < vc,x donc κ < 0Si κ = 0, donc lz vitesse du véhicule est constante.Toutefois, si le taux de glissement est important, on parle de glissement total(pneu saturée) et la roue entre en patinage.Le glissement de longitudinal génère une force Fx indisponsable pour la tractionet le freinage du véhicule.

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Véhicule automobile: pneumatique

Lorsqu’une roue est soumise à une sollicitation latérale (un braquage du volant),la surface du contact tend à glisser dans le sens opposé.

la déformation résultante de ce glissement crée un angle entre l’axe longitudinalde la roue et la direction de son déplacement.

cet angle est appelé angle de glissement latéral ou angle de dérive pneumatique:

tanα =vc,y

vc,x

en réaction à cette déformation, le pneumatique produit une force latérale Fynécessaire pour le guidage du véhicule.

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Véhicule automobile: pneumatique

le point de contact pneu-sol est a été considéré au centre de la bande deroulement. En réalité, la déformation de cette bande n’est pas symétrique vul’élasticité du pneumatique. Donc, les forces générées par l’interaction pneu-sol nesont pas appliquées au centre du patch. Le point de contact pneu-sol se déplacelongitudinalement d’une distance ct (chasse pneumatique) et latéralement d’unedistance cy , générant ainsi deux couples autour de l’axe vertical de la roue, lecouple d’auto-alignement Mz et le couple de renversement Mx .

l’existence du frottement entre la bande de roulement du pneu et la chausséegénère un couple de résistance au roulement autour de l’axe ey,r . Cette forcedépend de la nature de revêtement et de la charge verticale.

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Véhicule automobile: pneumatique

Figure : Système de forces/couple appliqués au point de contact pneu-sol.

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Véhicule automobile: pneumatique

deux approches pour représenter les efforts pneumatiques:approches statiques: la force/couple est donnée en fonction de l’adhérence, lacharge verticale et le glissement. De nombreux modèles existent:

I description linéaire: les forces/couples sont décrits par des équations linéaires.

y(x) = Kx

I description empirique: les forces/couples sont décrits par des équations non linéaires.

y(x) = D sin{C tan−1[Bx − E(Bx − tan−1(Bx))]}

approches dynamique: permettent de décrire des phénomènes que les modèlesstatiques ne peuvent restituer (les retards, l’hystérésis). Parmi ces approches:

I description mécanique: assimiler chaque partie élémentaire de la surface de contactpneu-sol par un système ressort-amortisseur.

I description de brosse: ssimiler chaque partie élémentaire de la surface de contactpneu-sol par un poil de brosse.

I description des élements finis: par maillage.

linéaire: Fy = Kαα, Mz = Kzγ.

formule de pacejka (Formule magique):Fy = D sin{C tan−1[Bα− E(Bα− tan−1(Bα))]}

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Véhicule automobile: pneumatique

Figure : Force de glissement latéral en fonction de l’angle de glissement latéral (calculée par laformule de Pacejka).

On remarque l’apparaition de deux zones, d’une part une zone linéaire |α| < 5◦ pourFy et |α| < 2◦ pour Mz et d’autre part, une zone non linéaire dont laquelle, les effortspneumatiques commencent à se saturer. De plus, le carrossage γ de la roue affectesensiblementt ces efforts.

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Véhicule automobile: pneumatique

Figure : Force de glissement longitudinal en fonction de l’angle de glissement longitudinal(calculée par la formule de Pacejka).

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Véhicule automobile: pneumatique

Figure : Tracé de la force latérale et de couple d’auto-alignement en utilisant la formule de Pacejka.Exemple d’un pneu Michelin 195/65 R 15 91 V HX MX VA pour Fz = 3000N .

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Véhicule automobile: Dynamique latérale

Figure : deux types de système de coordonnées: (1) ISO. (2) SAE

un véhicule automobile peut se déplacer suivant les 6DDL:I 3 translations: suivant l’axe X (déplacement longitudinal), le long de l’axe Y

(déplacement latéral) et suivant l’axe Z (déplacement vertical).I 3 rotations: ψ autour de l’axe Z (lacet), ϕ autour de l’axe X (roulis) et θ autour de

l’axe Y (tangage).

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Véhicule automobile: Dynamique latérale

modélisation: représentation mathématique du comportement de véhicule.

prédire ou étudier le comportement d’un système.

la modélisation conduit généralement à un ensemble d’équationsalgébro-différentielles issues des lois de la mécanique.outils de modélisation:

I approche analytique: développement symbolique des équations. Utilisation debibliothèque mathématique (Autolev 6, SD/Fast 7, Neweul 8, AutoSim9,TsiProPac) implémentés dans des logiciels de calcul algébriques tels queMathematica ou Maple..

I approche numérique: en utilisant des outils numériques (Msc Adams, Lms Dads,Modelica, simMechanics).

un véhicule routier constitue un système complexe et rapide → difficultés:I présence d’organes de liaison génèrent des couplages.I l’environnement de conduite est source de perturbations externes de nature aléatoire.I l’interface roue-sol est complexe et certaines grandeurs sont difficilement

quantifiables.I l’interaction homme-véhicule est susceptible d’affecter les propriétés intrinsèques du

système et de changer son comportement dynamique.

formuler des suppositions simplificatrices:I découplage des mouvements,I linéarisation autour d’un point de fonctionnement → idée locale sur la dynamique

du système.

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Véhicule automobile: Dynamique latérale

une des suppositions: représentation 4 roues. Simplification: modèle 2-roues(bicyclette).

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Véhicule automobile: Dynamique latérale

un véhicule est sujet à plusieurs entrées connues:I couple moteur et couple de freinage transmis aux roues: le conducteur régule ces

couples à travers l’accélérateur, frein, embrayage et boite de vitesse. Ces coupleconcernent la dynamique longitudinale et verticale.

I braquage des roues directrices: à travers le système de direction. Le braquageconcerne la dynamique latérale et beaucoup moins la dynamique verticale (le roulisétant limité sur un véhicule automobile et les virages sont négociés par des vitessesconstantes).

mais aussi des entrées inconnues:I rafale de vent longitudinal et latéral: influent sur les dynamiques correspondante.

Cette entrée est à différencier de la force aérodynamique qui résulte de lapénétration du véhicule, à une vitesse donnée, dans l’air.

I irrégularité de la chaussée: cette entrée inconnue influe sur la dynamique verticale.Rouler sur une route lisse et plus confortable que de rouler sur une piste rugueuse ousur du pavé.

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Véhicule automobile: Dynamique latérale

Hypothèses: on s’intéresse seulement à la dynamique latérale qui décrit le mouvementlatéral et le lacet. L’entrée utilisées est l’angle de braquage des roues directrices (etnon pas l’angle volant!).

ATTENTION: chaque modèle dynamique doit être associé à des hypothèses.1. la vitesse longitudinale est constante vx = cte),2. roulis limité (< 6◦), la dynamique du roulis serait négligée (ϕ = 0),3. les roues directrices sont les roues avant,4. de petits angle de braquage roue δ < 10◦

conséquences de ces hypothèses:1. sin δ = δ, cos δ = 1 et les termes croisés serons négligés (δ2, δδ),2. découplage des trois dynamiques: longitudinale, latérale et verticale,3. le modèle résultant n’est valable que pour étudier certaines maneuvres (maintien de

voie, changement de voie)4. modèle valable pour un fonctionnement nominal 10 < vx < 25m/s, faible

accélérations longitudinale et latérale (si on veut étudier le comportement d’unvéhicule dans un virage un peu serré à 110kmh, il faudra changer les hypothèses).

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Véhicule automobile: Dynamique latérale

vx : vitesse longitudinale,

vy : vitesse latérale,

ψ: lacet (cap) du véhicule

δ: braquage des roues

β angle de dérive du véhicule tanβ =vyvx, approximée par β =

vyvx

V vitesse de déplacement du véhicule (tangente à la trajectoire du véhicule)

Ra(Oa, ia, ja): repère absolue fixé à un point Oa

Rv (Ov , iv , jv ): repère véhicule fixé au point Ov ; projection du centre de masse duvéhicule sur la chaussée.

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Véhicule automobile: Dynamique latérale

on obtient une DAE sous forme d’espace d’état x = Ax + Bu

[vyψ

]=

cf +crmvx

cr lr−cf lfmvx

− vxcr lr−cf lf

Izvx− cr l2r +cf l2f

Izvx

[ vyψ

]+

[ cfm

cf lfIz

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Véhicule automobile: Dynamique verticale

Le mode vertical permet de simuler le mouvement des suspensions, et par conséquent,de déterminer la rotation de tangage et le déplacement vertical du châssis. Plusieursmodèles existent.

Figure : Dynamique latérale à 4DDL

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Véhicule automobile: Dynamique verticale

Figure : Dynamique latérale à 16DDL

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Véhicule automobile: Dynamique Latérale

dans le repère Rv

rvovw1 = 0

rvovw2 = cte → rv

ovw2 = 0

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Véhicule automobile: Dynamique Latérale

dans le repère Ra

raoa i = ra

oaov + raov i → ra

oa i = raoaov + Rψrv

ov i

vaoa i = va

oaov + ωaψ × Rψrv

ov i + Rψ rvov i

On revenant au repère Rv :

vvoa i = vv

oaov + ωvψ × rv

ov i + rvov i

dans le repère Rvvaoa i = va

oaov + ωaψ × Rψrv

ov i + Rψ rvov i

aaoa i = aa

oaov + ωaψ × Rψrv

ov i + ωaψ × (ωa

ψ × Rψrvov i + Rψ rv

ov i ) + ωaψ × Rψ rv

ov i + Rψ rvov i

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Véhicule automobile: Dynamique Latérale

avoa i = av

oaov + ωvψ × rv

ov i + ωvψ × (ωv

ψ × rvov i + rv

ov i ) + ωvψ × rv

ov i + rvov i

avoa i = av

oaov + ωvψ × rv

ov i + ωvψ × (ωv

ψ × rvov i + 2rv

ov i ) + rvov i

Je n’est qu’un seul corps supposé au point v :

avoa i = av

oaov εvoa i = ωvψ

avoaov =?

vooaov = Rψvv

oaov → aooaov = ωa

ψ × Rψvvoaov + Rψ vv

oaov

avoaov = ωv

ψ × vvoaov + vv

oaov

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Véhicule automobile: Dynamique Latérale

mavoaov =

∑i

F vi I εvoav =

∑i

Mvi

m(ωvψ × vv

oaov + vvoaov ) = RδF v

y1 + F vy2

m

00ψ

× vx

vy0

+

vxvy0

=

cos δ − sin δ 0sin δ cos δ 00 0 1

0Fy10

+

0Fy20

m

vx − vy ψ

vy + vx ψ0

=

−Fy1 sin δFy1 cos δ + Fy2

0

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Véhicule automobile: Dynamique Latérale

Ix 0 00 Iy 00 0 Iz

00ψ

=

−Fy1 sin δFy1 cos δ

0

× −lf

00

+

0Fy20

× lr

00

0

0Iz ψ

=

00

lf Fy1 cos δ

+

00

−lrFy2

m(vy + vx ψ) = Fy1 + Fy2

Iz ψ = lf Fy1 − lrFy2

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Véhicule automobile: Dynamique Latérale

vvoa i = vv

oaov + ωvψ × rv

ov i + rvov i

rvovw1 = 0 rv

ovw2 = 0

vvoaw1 =

vxvy0

+

00ψ

× lf

00

→ vvoaw1 =

vxvy + lf ψ

0

vvoaw2 =

vxvy0

+

00ψ

× −lr

00

→ vvoaw2 =

vxvy − lr ψ

0

evy,r =

cos δ − sin δ 0sin δ cos δ 00 0 1

010

=

− sin δcos δ0

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Véhicule automobile: Dynamique Latérale

evx,r =

cos δ − sin δ 0sin δ cos δ 00 0 1

100

=

− cos δsin δ0

tanα1 =evy,r .vv

oaw1

evx,r .vv

oaw1

=−vx sin δ + (vy + lf ψ) cos δ−vx cos δ + (vy + lf ψ) sin δ

α1 =−vxδ + vy + lf ψ

−vx→ α1 = δ −

vy + lf ψvx

α2 =vy − lr ψ

vx