modélisation BRGM géoprospectiveinfoterre.brgm.fr/rapports/89-SGN-432-STO.pdf · 2008. 1. 21. ·...

BRGM

COMMUNAUTES EUROPEENNES DE L'ENERGIE ATOMIQUECOMMISSION DES COMMUNAUTÉS EUROPÉENNES

Direction Générale de la Science, de la Recherche et du Développement200, rue de la Loi - B 1049 - BRUXELLES (Belgique)

.o-^'^>0^^^

contrat n^ Fl 1 WT-0048-F (CD)

géoprospectivedéveloppement de la modélisation

simulation couplée de l'altération et de l'érosion :

le modèle Hérode

J.-J. SeguinDépartement Eau - Environnement - Energie

mai 198989 SGN 432 STO

BUREAU DE RECHERCHES GEOLOGIQUES ET MINIERESSERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL

Département StockagesB.P. 6009 - 45060 ORLÉANS CEDEX 2 - France - Tél.: (33) 38.64.34.34

BRGM

COMMUNAUTES EUROPEENNES DE L'ENERGIE ATOMIQUECOMMISSION DES COMMUNAUTÉS EUROPÉENNES

Direction Générale de la Science, de la Recherche et du Développement200, rue de la Loi - B 1049 - BRUXELLES (Belgique)

.o-^'^>0^^^

contrat n^ Fl 1 WT-0048-F (CD)

géoprospectivedéveloppement de la modélisation

simulation couplée de l'altération et de l'érosion :

le modèle Hérode

J.-J. SeguinDépartement Eau - Environnement - Energie

mai 198989 SGN 432 STO

BUREAU DE RECHERCHES GEOLOGIQUES ET MINIERESSERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL

Département StockagesB.P. 6009 - 45060 ORLÉANS CEDEX 2 - France - Tél.: (33) 38.64.34.34

RESUME

Le travail présenté dans ce rapport a été réalisé dans le cadre duProgramme de Recherche et de Développement de la Commission des CommunautésEuropéennes sur la gestion et le stockage des déchets radioactifs. Sonaboutissement est concrétisé par la mise au point d'un modèle d'érosionreprésenté par le logiciel HERODE : calcul des Hauteurs d'un relief soumisà des processus EROsifs se Développant à l'Echelle de 100.000 ans.

HERODE est un modèle d'érosion conçu pour une échelle de temps deplusieurs milliers ou dizaines de milliers d'années, incluant dans sonfonctionnement non seulement le transport des matériaux arrachés le longdes versants, mais encore les processus d'altération d'xin substratvun.

Le modèle est construit à partir d'une équation (analogue à l'équationde la diffusion) classiquement utilisée en géomorphologie pour décrire letransport des matériaux et l'évolution des hauteurs d'un relief. Sonoriginalité, parmi les types de modèle qui lui sont apparentés, réside dansla prise en compte de lois d'altération (mécanique et chimique) couplées àl'équation de transport.

Il s'agit d'un modèle maillé et le logiciel, écrit en FORTRAN 77,résoud le système d'équations transport-altération suivant un schéma auxdifférences finies .

Le modèle permet de simuler l'évolution d'un relief dans un bassinversant sous l'action de tout ou partie des facteurs érosifs pris encompte : en particulier actions du ruissellement, de la saltation pluvialeet du creep, pour ce qui est relatif au transport.

L'influence du creusement d'un cours d'eau peut également êtresimulée.

Deux exemples sont proposés pour illustrer les possiblités du modèle :

l'un montre, sur une coupe verticale, quels peuvent être les résultats surle relief des actions combinées du transport et de l'altération (qui peutdevenir facteur limitant) ; l'autre permet de suivre, dans un bassin, laformation de bassins secondaires à partir de zones de moindre résistanceaux agents érosifs.

Le financement de l'étude a été assuré conjointement par la C.C.E etle B.R.G.M.

RESUME

Le travail présenté dans ce rapport a été réalisé dans le cadre duProgramme de Recherche et de Développement de la Commission des CommunautésEuropéennes sur la gestion et le stockage des déchets radioactifs. Sonaboutissement est concrétisé par la mise au point d'un modèle d'érosionreprésenté par le logiciel HERODE : calcul des Hauteurs d'un relief soumisà des processus EROsifs se Développant à l'Echelle de 100.000 ans.

HERODE est un modèle d'érosion conçu pour une échelle de temps deplusieurs milliers ou dizaines de milliers d'années, incluant dans sonfonctionnement non seulement le transport des matériaux arrachés le longdes versants, mais encore les processus d'altération d'xin substratvun.

Le modèle est construit à partir d'une équation (analogue à l'équationde la diffusion) classiquement utilisée en géomorphologie pour décrire letransport des matériaux et l'évolution des hauteurs d'un relief. Sonoriginalité, parmi les types de modèle qui lui sont apparentés, réside dansla prise en compte de lois d'altération (mécanique et chimique) couplées àl'équation de transport.

Il s'agit d'un modèle maillé et le logiciel, écrit en FORTRAN 77,résoud le système d'équations transport-altération suivant un schéma auxdifférences finies .

Le modèle permet de simuler l'évolution d'un relief dans un bassinversant sous l'action de tout ou partie des facteurs érosifs pris encompte : en particulier actions du ruissellement, de la saltation pluvialeet du creep, pour ce qui est relatif au transport.

L'influence du creusement d'un cours d'eau peut également êtresimulée.

Deux exemples sont proposés pour illustrer les possiblités du modèle :

l'un montre, sur une coupe verticale, quels peuvent être les résultats surle relief des actions combinées du transport et de l'altération (qui peutdevenir facteur limitant) ; l'autre permet de suivre, dans un bassin, laformation de bassins secondaires à partir de zones de moindre résistanceaux agents érosifs.

Le financement de l'étude a été assuré conjointement par la C.C.E etle B.R.G.M.

SOMMAIRE

Pages

INTRODUCTION 1

PREMIERE PARTIE - PRCESSÜS EROSIFS ET MODELISATION

1 - LES PROCESSUS EROSIFS - RAPPELS 3

1.1 - Définitions 3

1.1.1 - L'érosion 3

1.1.2 - L'altération 3

1.1.3 - Le transport 4

1.2 - Processus modélisés 41.2.1 - Saltation pluviale 5

1.2.2 - Le transport par ruissellement 5

1.2.3 - Le "creep" 6

2 - LES MODELES EN GEOMORPHOLOGIE - BREF APERÇU 7

2.1 - Modèles de "dégradation" 7

2.2 - Modèles de transport 102.2.1 - Présentation générale 102.2.2 - Modèles basés sur l'équation de la chaleur 11

2.3 - Un modèle d'altération et de transport : le modèle SL0P3Dd'Ahnert 142.3.1 - Présentation générale 142.3.2 - Les lois de transport dans SL0P3D 152.3.3 - Présentation d'un exemple 16

DEUXIEME PARTIE - LE MODELE HERODE - UN MODELE COUPLED 'ALTERATION-TRANSPORT

1 - EQUATIONS DU MODELE 19

1.1 - Transport des matériaux 191.1.1 - Equations générales 191.1.2 - Examen du cas monodimensionnel 201.1.3 - Conclusions 211.1.4 - Généralisation : 3 dimensions spatiales 22

1.2 - L' altération 221.2.1 - Altération mécanique 231.2.2 - Altération chimique 23

1.3 - Conclusion 24

SOMMAIRE

Pages

INTRODUCTION 1

PREMIERE PARTIE - PRCESSÜS EROSIFS ET MODELISATION

1 - LES PROCESSUS EROSIFS - RAPPELS 3

1.1 - Définitions 3

1.1.1 - L'érosion 3

1.1.2 - L'altération 3

1.1.3 - Le transport 4

1.2 - Processus modélisés 41.2.1 - Saltation pluviale 5

1.2.2 - Le transport par ruissellement 5

1.2.3 - Le "creep" 6

2 - LES MODELES EN GEOMORPHOLOGIE - BREF APERÇU 7

2.1 - Modèles de "dégradation" 7

2.2 - Modèles de transport 102.2.1 - Présentation générale 102.2.2 - Modèles basés sur l'équation de la chaleur 11

2.3 - Un modèle d'altération et de transport : le modèle SL0P3Dd'Ahnert 142.3.1 - Présentation générale 142.3.2 - Les lois de transport dans SL0P3D 152.3.3 - Présentation d'un exemple 16

DEUXIEME PARTIE - LE MODELE HERODE - UN MODELE COUPLED 'ALTERATION-TRANSPORT

1 - EQUATIONS DU MODELE 19

1.1 - Transport des matériaux 191.1.1 - Equations générales 191.1.2 - Examen du cas monodimensionnel 201.1.3 - Conclusions 211.1.4 - Généralisation : 3 dimensions spatiales 22

1.2 - L' altération 221.2.1 - Altération mécanique 231.2.2 - Altération chimique 23

1.3 - Conclusion 24

Pages2 - DESCRIPTION DU MODELE 26

2.1- Définition du maillage 26

2.2 - Organisation des données du maillage 262.2.1 - Nature des données 262.2.2 - Codification des limites , 262.2.3 - Affectation de données par zones 28

2.3 - Définition du temps 28

2.4 - Paramètres du modèle et modifications des variables par pasde temps 292.4.1 - Paramètres 292.4.2 - Modification des données par zone et par pas de

temps 322.4.2.1 - Modification par zone 322.4.2.2 - Modifications au cours de la simulation. 33

2.5 - Les calculs : déroulement et principes 342.5.1 - Principales séquences 342.5.2 - Calcul des aires drainées 352.5.3 - Résolution de l'équation de diffusion.., 38

3 - VALIDATION DU MODELE 39dz 9^z

3.1 - Comparaison avec quelques solutions de -c 393t Sx*

3.2 - Comparaison avec des solutions de (Vm+c) ^^ôt 3x1 3xJ

4 - LES POSSIBILITES DU MODELE- ILLUSTRATIONS 45

4.1 - Evolution d'un profil : étude monodimensionnelle 45

4.2 - Etude à trois dimensions d'espace : influence de l'éroda-bilité sur l'évolution d'un bassin. ....................... 54

5 - CONCLUSION 60

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Pages2 - DESCRIPTION DU MODELE 26

2.1- Définition du maillage 26

2.2 - Organisation des données du maillage 262.2.1 - Nature des données 262.2.2 - Codification des limites , 262.2.3 - Affectation de données par zones 28

2.3 - Définition du temps 28

2.4 - Paramètres du modèle et modifications des variables par pasde temps 292.4.1 - Paramètres 292.4.2 - Modification des données par zone et par pas de

temps 322.4.2.1 - Modification par zone 322.4.2.2 - Modifications au cours de la simulation. 33

2.5 - Les calculs : déroulement et principes 342.5.1 - Principales séquences 342.5.2 - Calcul des aires drainées 352.5.3 - Résolution de l'équation de diffusion.., 38

3 - VALIDATION DU MODELE 39dz 9^z

3.1 - Comparaison avec quelques solutions de -c 393t Sx*

3.2 - Comparaison avec des solutions de (Vm+c) ^^ôt 3x1 3xJ

4 - LES POSSIBILITES DU MODELE- ILLUSTRATIONS 45

4.1 - Evolution d'un profil : étude monodimensionnelle 45

4.2 - Etude à trois dimensions d'espace : influence de l'éroda-bilité sur l'évolution d'un bassin. ....................... 54

5 - CONCLUSION 60


UN MODELE COUPLE

D'EROSION - ALTERATION

PRESENTATION DU LOGICIEL HERODE

Février 1989

UN MODELE COUPLE

D'EROSION - ALTERATION

PRESENTATION DU LOGICIEL HERODE

Février 1989

INTRODUCTION

Il y a quelques années naissait le logiciel CASTOR (ConstructionAutomatique de scénarios d'évolution d'un site de STOckage de déchetsRadioactifs) conçu pour quantifier l'impact, sur un site de stockage dedéchets radioactifs, d'un certain nombre de facteurs géodjmamiques suscep¬tibles d'intervenir de façon sensible au cours d'une période de temps del'ordre de 100 000 ans environ (réf. 3).

Parmi les nombreux facteurs pris en compte dans CASTOR (érosion,sédimentation, mise en place d'une calotte glaciaire, fonte des glaces,mouvements glacio- isostatiques , mouvements verticaux,...) certains sontmodélisés très simplement. C'est, par exemple, le cas de l'érosion, intro¬duite sous la forme d'une vitesse d'abrasion supposée constante dans letemps et à laquelle sont attribuées des valeurs différentes selon lamorphologie existante, deux types de morphologie seulement étant distinguésplaines et collines d'une part, montagnes d'autre part avec une vitessed'érosion dix fois plus forte pour les montagnes que pour les collines. Parailleurs, en présence de roches meubles ou d' altérites, la vitesse estmultipliée par un facteur 1000.

Pour un phénomène qui revêt de multiples formes et dont l'action n'estnullement constante ni dans le temps ni dans l'espace (même à petiteéchelle), on conçoit donc aisément qu'une approche moins simplificatrice,s'appuyant sur une analyse plus détaillée des mécanismes agissant puisseseule permettre de parvenir à une meilleure évaluation des effets érosifs àlong terme.

C'est la raison pour laquelle l'étude des mécanismes d'érosion estl'un des thèmes majeurs du programme de recherche géoprospective 1987-1988(réf. 1 et 2) avec comme aboutissement l'élaboration d'un modèle mathéma¬tique permettant de simuler l'action de différents processus érosifs sur unrelief donné et à l'échelle de 100 000 ans.

La présentation d'un tel modèle fait l'objet de ce rapport. Il s'agitd'un modèle d'érosion au sens large, c'est-à-dire de transport de matériatixet d'altération d'un substratum (ce dernier phénomène n'étant pas pris encompte dans CASTOR) .

Dans une première partie, on rappelle succintement quels sont lesdifférents processus susceptibles d'agir sur un relief et l'on présente, àl'issue d'une étude bibliographique quelques modèles plus ou moins simplesd'érosion.

La deuxième partie du rapport est consacrée à une analyse et à unemise en équation des mécanismes des processus érosifs retenus (transport etaltération) . On présente ensuite de façon détaillée le logiciel de simula¬tion (appelé HERODE : calcul des Hauteurs d'un relief soumis à des proces¬sus EROsifs se Développant à l'Echelle de 100 000 ans) et l'on proposequelques exemples d'application pour illustrer les possiblités du modèle.

INTRODUCTION

Il y a quelques années naissait le logiciel CASTOR (ConstructionAutomatique de scénarios d'évolution d'un site de STOckage de déchetsRadioactifs) conçu pour quantifier l'impact, sur un site de stockage dedéchets radioactifs, d'un certain nombre de facteurs géodjmamiques suscep¬tibles d'intervenir de façon sensible au cours d'une période de temps del'ordre de 100 000 ans environ (réf. 3).

Parmi les nombreux facteurs pris en compte dans CASTOR (érosion,sédimentation, mise en place d'une calotte glaciaire, fonte des glaces,mouvements glacio- isostatiques , mouvements verticaux,...) certains sontmodélisés très simplement. C'est, par exemple, le cas de l'érosion, intro¬duite sous la forme d'une vitesse d'abrasion supposée constante dans letemps et à laquelle sont attribuées des valeurs différentes selon lamorphologie existante, deux types de morphologie seulement étant distinguésplaines et collines d'une part, montagnes d'autre part avec une vitessed'érosion dix fois plus forte pour les montagnes que pour les collines. Parailleurs, en présence de roches meubles ou d' altérites, la vitesse estmultipliée par un facteur 1000.

Pour un phénomène qui revêt de multiples formes et dont l'action n'estnullement constante ni dans le temps ni dans l'espace (même à petiteéchelle), on conçoit donc aisément qu'une approche moins simplificatrice,s'appuyant sur une analyse plus détaillée des mécanismes agissant puisseseule permettre de parvenir à une meilleure évaluation des effets érosifs àlong terme.

C'est la raison pour laquelle l'étude des mécanismes d'érosion estl'un des thèmes majeurs du programme de recherche géoprospective 1987-1988(réf. 1 et 2) avec comme aboutissement l'élaboration d'un modèle mathéma¬tique permettant de simuler l'action de différents processus érosifs sur unrelief donné et à l'échelle de 100 000 ans.

La présentation d'un tel modèle fait l'objet de ce rapport. Il s'agitd'un modèle d'érosion au sens large, c'est-à-dire de transport de matériatixet d'altération d'un substratum (ce dernier phénomène n'étant pas pris encompte dans CASTOR) .

Dans une première partie, on rappelle succintement quels sont lesdifférents processus susceptibles d'agir sur un relief et l'on présente, àl'issue d'une étude bibliographique quelques modèles plus ou moins simplesd'érosion.

La deuxième partie du rapport est consacrée à une analyse et à unemise en équation des mécanismes des processus érosifs retenus (transport etaltération) . On présente ensuite de façon détaillée le logiciel de simula¬tion (appelé HERODE : calcul des Hauteurs d'un relief soumis à des proces¬sus EROsifs se Développant à l'Echelle de 100 000 ans) et l'on proposequelques exemples d'application pour illustrer les possiblités du modèle.

PREMIERE PARTIE

PROCESSUS EROSIFS ET MODELISATION

PREMIERE PARTIE

PROCESSUS EROSIFS ET MODELISATION

1 - LES PROCESSUS EROSIFS - RAPPELS

On définit dans ce qui suit ce que l'on entend par érosion et l'oncaractérise brièvement les principaux processus érosifs intervenant dansl'évolution d'un relief. Cette brève analyse qualitative permettra desituer parmi tous ces processus ceux qui ont été retenus dans la modéli¬sation entreprise, tout en justifiant les sélections effectuées.

Pour tous les aspects quantitatifs (en particulier estimations desvitesses d'érosion en fonction du climat, de la lithologie, de la"vigueur" du relief) , on renvoie à différentes synthèses qui ont été faitesdans le cadre du "Programme de Recherche et de Développement de laCommission des Communautés Européennes", en particulier :

- Géoprospective - développement de la modélisation : contratn°FIl WT-0048F (réf. 2) ;

- Etude géoprospective d'un site de stockage. Evaluation de lavitesse d'altération et d'érosion. Contrat n° 222. 81. 7 WAS-F (RS)(réf. 1) ;

- Etude géoprospective d'un site de stockage. Mécanismes d'altéra¬tion et d'érosion. Contrat n°222.81.7 WAS-F (RS) (réf. 3).

On pourra également se reporter à une publication de Saunders etYoung : "Rates of surface processes on slopes, slope retreat and denuda¬tion" (réf. 35) qui synthétise des résultats extraits de plus de 400publications.

1.1 - Définitions

1.1.1 - L'érosion

Dans cette étude on désigne sous le nom d'érosion l'ensemble desprocessus d'altération d'un substratum et de transport des matériauxmobilisables le long des versants ainsi que le résultat de l'action de cesprocessus, c'est-à-dire une modification des formes du relief.

Sont exclues de cette définition l'érosion éolienne et l'érosionglaciaire.

C'est la définition que donne par exemple YOUNG (cf. "Slopes", réf. 9)en employant le terme de "denudation" plus couramment utilisé dans les paysanglo-saxons que le terme "érosion" généralement réservé pour désignerl'action des rivières.

1.1.2 - L'altération

On rappelle simplement que le rôle de l'altération dans l'évolutiond'un relief est essentiel, en particulier dans le cas de versants consti¬tués de roches cohérentes ; par son action de désagrégation, d'ameublis-sement, l'altération favorise l'action des différents agents de transport.

1 - LES PROCESSUS EROSIFS - RAPPELS

On définit dans ce qui suit ce que l'on entend par érosion et l'oncaractérise brièvement les principaux processus érosifs intervenant dansl'évolution d'un relief. Cette brève analyse qualitative permettra desituer parmi tous ces processus ceux qui ont été retenus dans la modéli¬sation entreprise, tout en justifiant les sélections effectuées.

Pour tous les aspects quantitatifs (en particulier estimations desvitesses d'érosion en fonction du climat, de la lithologie, de la"vigueur" du relief) , on renvoie à différentes synthèses qui ont été faitesdans le cadre du "Programme de Recherche et de Développement de laCommission des Communautés Européennes", en particulier :

- Géoprospective - développement de la modélisation : contratn°FIl WT-0048F (réf. 2) ;

- Etude géoprospective d'un site de stockage. Evaluation de lavitesse d'altération et d'érosion. Contrat n° 222. 81. 7 WAS-F (RS)(réf. 1) ;

- Etude géoprospective d'un site de stockage. Mécanismes d'altéra¬tion et d'érosion. Contrat n°222.81.7 WAS-F (RS) (réf. 3).

On pourra également se reporter à une publication de Saunders etYoung : "Rates of surface processes on slopes, slope retreat and denuda¬tion" (réf. 35) qui synthétise des résultats extraits de plus de 400publications.

1.1 - Définitions

1.1.1 - L'érosion

Dans cette étude on désigne sous le nom d'érosion l'ensemble desprocessus d'altération d'un substratum et de transport des matériauxmobilisables le long des versants ainsi que le résultat de l'action de cesprocessus, c'est-à-dire une modification des formes du relief.

Sont exclues de cette définition l'érosion éolienne et l'érosionglaciaire.

C'est la définition que donne par exemple YOUNG (cf. "Slopes", réf. 9)en employant le terme de "denudation" plus couramment utilisé dans les paysanglo-saxons que le terme "érosion" généralement réservé pour désignerl'action des rivières.

1.1.2 - L'altération

On rappelle simplement que le rôle de l'altération dans l'évolutiond'un relief est essentiel, en particulier dans le cas de versants consti¬tués de roches cohérentes ; par son action de désagrégation, d'ameublis-sement, l'altération favorise l'action des différents agents de transport.

- 4

Les facteurs de l'altération sont à la fois physiques (variations detempérature par exemple) et chimiques (dissolution des minéraux ou des¬truction par hydrolyse). Une partie des produits de l'altération peut êtrevéhiculée par les eaux souterraines et être ainsi exportée hors d'unbassin-versant mais il ne s'agit pas d'un "phénomène morphogénétiquemajeur" (cf. BIROT, réf. 5).

Cet aspect du transport de matériaux sera délaissé dans la modélisa¬tion entreprise qui s'intéresse uniquement aux processus de surface, maisl'action de désagrégation des roches sera quant à elle prise en compte.

1.1.3 - Le transport

On peut distinguer deux grandslong des pentes d'un relief :

types de transport des matériaux le

LSS mouvements de mssse, caractérisés par un déplacement collectif de"particules" restant solidaires les unes des autres au cours du déplace¬ment ; les unités de volume concerné peuvent être de plusieurs mètres -cubes .

A cette catégorie se rattachent :

- les glissements de terrain, les coulées boueuses ;

- la solifluction, phénomène des climats froids défini comme unglissement lent d'une masse de terre saturée d'eau libérée ausein de cette masse au moment du dégel ;

- différents phénomènes de "reptation" lente qui sont des mouve¬ments de contraction et de dilatation déterminés par exemple parles alternances d'humectation-dessication.

Les mouvements parti cul ai res :

Dans les mouvements de ce type la cohésion des "particules" de matièreest faible : les "particules" sont entraînées indépendamment les unes desautres. Il en est ainsi :

- de la saltation due à 1 ' impact de la pluie sur les aggrégats desol ("rainsplash") ;

- de l'arrachement et de 1 ' entraînement des particules sous l'effetd'une lame d'eau ruisselant à la surface du sol ("surfacewash") ;

- du transport de minéraux en solution dans l'eau infiltrée dansles horizons superficiels du sol ("subsurface wash").

On peut rattacher également à cette catégorie, des mouvements trèslents dont l'action n'est sensible que sur de longues périodes de temps etqui sont déterminés par tout un ensemble de facteurs se manifestant dansles horizons superficiels du sol : le creep (cf. 1.2.3).

1.2 - Processus modélisés

Bien que les mouvements de masse puissent avoir une action parfoisspectaculaire à l'échelle humaine sur le relief, ils sont néanmoins discon¬tinus dans le temps et relèvent d'un traitement physique bien spécifique.Leur modélisation ne sera pas abordée.

- 4

Les facteurs de l'altération sont à la fois physiques (variations detempérature par exemple) et chimiques (dissolution des minéraux ou des¬truction par hydrolyse). Une partie des produits de l'altération peut êtrevéhiculée par les eaux souterraines et être ainsi exportée hors d'unbassin-versant mais il ne s'agit pas d'un "phénomène morphogénétiquemajeur" (cf. BIROT, réf. 5).

Cet aspect du transport de matériaux sera délaissé dans la modélisa¬tion entreprise qui s'intéresse uniquement aux processus de surface, maisl'action de désagrégation des roches sera quant à elle prise en compte.

1.1.3 - Le transport

On peut distinguer deux grandslong des pentes d'un relief :

types de transport des matériaux le

LSS mouvements de mssse, caractérisés par un déplacement collectif de"particules" restant solidaires les unes des autres au cours du déplace¬ment ; les unités de volume concerné peuvent être de plusieurs mètres -cubes .

A cette catégorie se rattachent :

- les glissements de terrain, les coulées boueuses ;

- la solifluction, phénomène des climats froids défini comme unglissement lent d'une masse de terre saturée d'eau libérée ausein de cette masse au moment du dégel ;

- différents phénomènes de "reptation" lente qui sont des mouve¬ments de contraction et de dilatation déterminés par exemple parles alternances d'humectation-dessication.

Les mouvements parti cul ai res :

Dans les mouvements de ce type la cohésion des "particules" de matièreest faible : les "particules" sont entraînées indépendamment les unes desautres. Il en est ainsi :

- de la saltation due à 1 ' impact de la pluie sur les aggrégats desol ("rainsplash") ;

- de l'arrachement et de 1 ' entraînement des particules sous l'effetd'une lame d'eau ruisselant à la surface du sol ("surfacewash") ;

- du transport de minéraux en solution dans l'eau infiltrée dansles horizons superficiels du sol ("subsurface wash").

On peut rattacher également à cette catégorie, des mouvements trèslents dont l'action n'est sensible que sur de longues périodes de temps etqui sont déterminés par tout un ensemble de facteurs se manifestant dansles horizons superficiels du sol : le creep (cf. 1.2.3).

1.2 - Processus modélisés

Bien que les mouvements de masse puissent avoir une action parfoisspectaculaire à l'échelle humaine sur le relief, ils sont néanmoins discon¬tinus dans le temps et relèvent d'un traitement physique bien spécifique.Leur modélisation ne sera pas abordée.

- 5

Les mouvements particulaires présentent par contre un caractère trèscontinu (surtout si l'on se place dans une perspective de longue duréecomme celle de la présente étude) et un formalisme différentiel classiquepeut leur être appliqué. Ils contribuent très largement à façonner lerelief ; on les caractérise rapidement dans ce qui suit.

1.2.1 - Saltation pluviale

Les gouttes de pluie qui touchent le sol peuvent provoquer, en raisonde leur énergie cinétique, l'éjection de particules de terre dans toutesles directions (jusqu'à des distances qui peuvent atteindre parfois 10 cmpour des particules de quelques mm de diamètre) .

Le long d'un versant, les trajectoires des "grains" partant versl'aval sont bien sûr plus longues, par effet gravitaire, que celles desgrains propulsés vers l'amont. Il en résulte un déplacement net de maté¬riaux vers 1 ' aval .

Le flux des matériaux ainsi déplacés vers le bas des versants a puêtre relié à l'inclinaison du versant par une loi expérimentale de laforme :

0 75Q = k (sina)

où Q est exprimé en m^/an/m

et où k est une constante fonction de l'agressivité des pluies et de larésistance du sol (les sables où la cohésion des particules est faible sontplus sensibles au "splash" que les argiles).

L'évolution d'un versant uniquement soumis au splash est bien sûr unphénomène très lent ; pour fixer un ordre de grandeur, on peut citerl'exemple (emprunté à BIROT, réf. 5) d'un versant sableux long de 1000 m

couvert par une savane claire (au Kinshasa) où l'usure moyenne calculée estde quelques mètres sur une période de 100 000 ans .

1.2.2 - Le transport par ruissellement

C'est le mode d'érosion prédominant et le plus sensible à l'échellehumaine. Le ruissellement se déclenche lorsque l'intensité de la pluiedépasse la capacité d'infiltration du sol.

L'action erosive est le résultat de deux types d'écoulement de l'eausur les versants :

- un écoulement en nappe ("sheet wash"), caractérisé par le dévelop¬pement d'une lame d'eau couvrant toute la surface du sol et dontla capacité de transport est limité aux particules les plus fines(argiles et limons) ;

- un écoulement en chenaux, qui peuvent être d'abord des rigolesmal hiérarchisées ("rillwash") ou bien, à un stade érosif déjàbien avancé, des ravines organisées en réseau bien ramifié etstable dans le temps (stade du "gullying"). La charge solide dece ruissellement "concentré" peut alors être très importante.

- 5

Les mouvements particulaires présentent par contre un caractère trèscontinu (surtout si l'on se place dans une perspective de longue duréecomme celle de la présente étude) et un formalisme différentiel classiquepeut leur être appliqué. Ils contribuent très largement à façonner lerelief ; on les caractérise rapidement dans ce qui suit.

1.2.1 - Saltation pluviale

Les gouttes de pluie qui touchent le sol peuvent provoquer, en raisonde leur énergie cinétique, l'éjection de particules de terre dans toutesles directions (jusqu'à des distances qui peuvent atteindre parfois 10 cmpour des particules de quelques mm de diamètre) .

Le long d'un versant, les trajectoires des "grains" partant versl'aval sont bien sûr plus longues, par effet gravitaire, que celles desgrains propulsés vers l'amont. Il en résulte un déplacement net de maté¬riaux vers 1 ' aval .

Le flux des matériaux ainsi déplacés vers le bas des versants a puêtre relié à l'inclinaison du versant par une loi expérimentale de laforme :

0 75Q = k (sina)

où Q est exprimé en m^/an/m

et où k est une constante fonction de l'agressivité des pluies et de larésistance du sol (les sables où la cohésion des particules est faible sontplus sensibles au "splash" que les argiles).

L'évolution d'un versant uniquement soumis au splash est bien sûr unphénomène très lent ; pour fixer un ordre de grandeur, on peut citerl'exemple (emprunté à BIROT, réf. 5) d'un versant sableux long de 1000 m

couvert par une savane claire (au Kinshasa) où l'usure moyenne calculée estde quelques mètres sur une période de 100 000 ans .

1.2.2 - Le transport par ruissellement

C'est le mode d'érosion prédominant et le plus sensible à l'échellehumaine. Le ruissellement se déclenche lorsque l'intensité de la pluiedépasse la capacité d'infiltration du sol.

L'action erosive est le résultat de deux types d'écoulement de l'eausur les versants :

- un écoulement en nappe ("sheet wash"), caractérisé par le dévelop¬pement d'une lame d'eau couvrant toute la surface du sol et dontla capacité de transport est limité aux particules les plus fines(argiles et limons) ;

- un écoulement en chenaux, qui peuvent être d'abord des rigolesmal hiérarchisées ("rillwash") ou bien, à un stade érosif déjàbien avancé, des ravines organisées en réseau bien ramifié etstable dans le temps (stade du "gullying"). La charge solide dece ruissellement "concentré" peut alors être très importante.

On peut rappeler ici l'équation universelle de perte de sol utiliséedepuis de nombreuses années à des fins agricoles pour obtenir une estima¬tion de l'érosion pluviale.

Cette équation, établie par ti/ISHMEIER et SMITH peut s'écrire :

E - R.K. (LS).(CP)

. E est la perte de sol par unité de surface pendant une période detemps déterminée ;

. R caractérise le pouvoir érosif des pluies (érosivité) ;

. K caractérise la sensibilité des sols à l'érosion (érodabilité) ;

. (LS) est un terme englobant l'influence des facteurs topographi¬ques : longueur et inclinaison de la pente ;

. (CP) est un terme prenant en compte l'action de protection de lavégétation et d'aménagements anti-érosifs .

1.2.3 - Le "creep"

Ce terme (qui n'a pas vraiment d'équivalent français) désigne desmouvements quasiment imperceptibles des particules du sol déterminés partout un ensemble de facteurs agissant au sein des horizons superficiels :

- alternance de dilatation et de contraction thermique ;

- alternance d'humectation et de dessication ;

- action de la micro -faune ;

- micro-séismes , . . .

Le "creep" qui ne peut être mis en évidence que par des mesuress 'étendant sur une longue période de temps, n'est bien sûr pas un processusdominant dans l'évolution du relief. Sur de faibles pentes le départ departicules en solution dans les eaux de subsurface l'emporte et sur despentes plus fortes, les mouvements de masse ont une action plus importante.Par contre on admet que l'influence du creep est plus sensible près deslignes de crête (où la capacité de transport du ruissellement est encorefaible).

On peut assimiler le "creep" à des mouvements aléatoires de particulespossédant une résultante dirigée vers le bas des versants et migrant deszones de fortes "concentrations" vers des zones de moins fortes "concen¬trations" (la surface du sol) . La formalisation du problème conduit alors àl'équation classique de la diffusion (cf. CULLING, réf. 25).

On peut rappeler ici l'équation universelle de perte de sol utiliséedepuis de nombreuses années à des fins agricoles pour obtenir une estima¬tion de l'érosion pluviale.

Cette équation, établie par ti/ISHMEIER et SMITH peut s'écrire :

E - R.K. (LS).(CP)

. E est la perte de sol par unité de surface pendant une période detemps déterminée ;

. R caractérise le pouvoir érosif des pluies (érosivité) ;

. K caractérise la sensibilité des sols à l'érosion (érodabilité) ;

. (LS) est un terme englobant l'influence des facteurs topographi¬ques : longueur et inclinaison de la pente ;

. (CP) est un terme prenant en compte l'action de protection de lavégétation et d'aménagements anti-érosifs .

1.2.3 - Le "creep"

Ce terme (qui n'a pas vraiment d'équivalent français) désigne desmouvements quasiment imperceptibles des particules du sol déterminés partout un ensemble de facteurs agissant au sein des horizons superficiels :

- alternance de dilatation et de contraction thermique ;

- alternance d'humectation et de dessication ;

- action de la micro -faune ;

- micro-séismes , . . .

Le "creep" qui ne peut être mis en évidence que par des mesuress 'étendant sur une longue période de temps, n'est bien sûr pas un processusdominant dans l'évolution du relief. Sur de faibles pentes le départ departicules en solution dans les eaux de subsurface l'emporte et sur despentes plus fortes, les mouvements de masse ont une action plus importante.Par contre on admet que l'influence du creep est plus sensible près deslignes de crête (où la capacité de transport du ruissellement est encorefaible).

On peut assimiler le "creep" à des mouvements aléatoires de particulespossédant une résultante dirigée vers le bas des versants et migrant deszones de fortes "concentrations" vers des zones de moins fortes "concen¬trations" (la surface du sol) . La formalisation du problème conduit alors àl'équation classique de la diffusion (cf. CULLING, réf. 25).

- 7 -

2 - LES MODELES EN GEOMORPHOLOGIE - BREF APERÇU

2.1 - Modèles de "dégradation"

Les premiers modèles "quantitatifs" construits pour simuler l'évolu¬tion des formes du relief étaient d'abord des modèles de "dégradation" danslesquels le lien avec les mécanismes de transport des matériaux n'était pasétabli.

Reposant sur des équations différentielles plus ou moins simples,établies à partir de situations physiques extrêmement idéalisées (méca¬nismes de dégradation, mode d'action de ces mécanismes, conditions auxlimites...) ils ont d'abord été utilisés pour tenter de reproduire lesphénomènes de retrait des falaises.

SCHEIDEGGER, en 1961, dans un article de synthèse ("Mathematicalmodels of slope development", réf. 36) étudie un certain nombre de modèlesde dégradation bâtis à partir des trois cas de figures suivants où lavariation au cours du temps de la cote z(x) d'un point donné M(x) du profilconsidéré, soit ôz/3t est supposée être :

1 - indépendante de la pente et constante en tout point du profil :

dz

dt= -k (modèle Ml)

2 - proportionnelle à l'altitude même du point M(x)

dz

dt-k.z(x) (modèle M2)

3 - proportionnelle à la pente du profil en M :

dz dz-k. (modèle M3)

dt dx

Les types de profil obtenus en résolvant ces équations peuvent êtreillustrés par les figures la, Ib, le empruntées à SCHEIDEGGER (réf. 36).

Pour affiner ces trois modèles simples, voire peu réalistes,SCHEIDEGGER considère que la dégradation agit non plus suivant une verti¬cale mais normalement à la pente du profil (figure 2).

- 7 -

2 - LES MODELES EN GEOMORPHOLOGIE - BREF APERÇU

2.1 - Modèles de "dégradation"

Les premiers modèles "quantitatifs" construits pour simuler l'évolu¬tion des formes du relief étaient d'abord des modèles de "dégradation" danslesquels le lien avec les mécanismes de transport des matériaux n'était pasétabli.

Reposant sur des équations différentielles plus ou moins simples,établies à partir de situations physiques extrêmement idéalisées (méca¬nismes de dégradation, mode d'action de ces mécanismes, conditions auxlimites...) ils ont d'abord été utilisés pour tenter de reproduire lesphénomènes de retrait des falaises.

SCHEIDEGGER, en 1961, dans un article de synthèse ("Mathematicalmodels of slope development", réf. 36) étudie un certain nombre de modèlesde dégradation bâtis à partir des trois cas de figures suivants où lavariation au cours du temps de la cote z(x) d'un point donné M(x) du profilconsidéré, soit ôz/3t est supposée être :

1 - indépendante de la pente et constante en tout point du profil :

dz

dt= -k (modèle Ml)

2 - proportionnelle à l'altitude même du point M(x)

dz

dt-k.z(x) (modèle M2)

3 - proportionnelle à la pente du profil en M :

dz dz-k. (modèle M3)

dt dx

Les types de profil obtenus en résolvant ces équations peuvent êtreillustrés par les figures la, Ib, le empruntées à SCHEIDEGGER (réf. 36).

Pour affiner ces trois modèles simples, voire peu réalistes,SCHEIDEGGER considère que la dégradation agit non plus suivant une verti¬cale mais normalement à la pente du profil (figure 2).

0,1 0,2 0.3 0.^ OJ 0.6 0.7 0,8 0.9

-t T 1 1 1 1 1

0.1 0.2 0,3 0,4 «S 0,6 0,7 O.t 0,9

0,5

0.4.

0.3.

0,2-

0,1

/ 7"/ // /

/ // / X

1 - ' r- - 1" 1 >

0,1 0,2 0.3 0.4 03 0,« 0,7 ifi 0.9

a) Modèle Ml b) Modèle M2 c) Modèle M3

Figure 1 : Trois modèles linéaires de dégradation (d'après SCHEIDEGGER,réf. 36)

0,1 0,2 0,3 0,4 0.S 0,« 0.7 O.t 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 es 0,« 0.7 0,t 0.9

a) Modèle M'I b) Modèle M' 2 c) Modèle M' 3

Figure 3 : Trois modèles non linéaires de dégradation (d'après SCHEIDEGGER,réf. 36)

0,1 0,2 0.3 0.^ OJ 0.6 0.7 0,8 0.9

-t T 1 1 1 1 1

0.1 0.2 0,3 0,4 «S 0,6 0,7 O.t 0,9

0,5

0.4.

0.3.

0,2-

0,1

/ 7"/ // /

/ // / X

1 - ' r- - 1" 1 >

0,1 0,2 0.3 0.4 03 0,« 0,7 ifi 0.9

a) Modèle Ml b) Modèle M2 c) Modèle M3

Figure 1 : Trois modèles linéaires de dégradation (d'après SCHEIDEGGER,réf. 36)

0,1 0,2 0,3 0,4 0.S 0,« 0.7 O.t 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 es 0,« 0.7 0,t 0.9

a) Modèle M'I b) Modèle M' 2 c) Modèle M' 3

Figure 3 : Trois modèles non linéaires de dégradation (d'après SCHEIDEGGER,réf. 36)

Figure 2 : Effet vertical d'une action de dégradation normale au profil

Il en résulte que l'abaissement du profil en un point est déterminépar l'effet vertical de l'action de dégradation, effet et action étant liéspar la relation (déduite de l'examen de la figure 2) :

J dx^+dz^Effet sur le profil = . Action sur le profil

dx

et donc

dz

dtAction

l'action au point M étant quant à elle supposée :

- constante (modèle M'I)- proportionnelle à l'altitude z(x) du point M (modèle M' 2)

dz- proportionnelle à la pente du profil en M (modèle M' 3)

ax

Ces nouveaxix modèles se déduisent donc des modèles (Ml) , (M2) et (M3)en multipliant leur second membre par :

Les équations obtenues, non linéaires, n'admettent plus de solutionanalytique simple. Leur résolution par des schémas aux différences finiespermet d'obtenir, pour les trois cas envisagés ci-dessus, des profils dutype de ceux présentés par les figures 3a, 3b et 3c (réf. 36).

Figure 2 : Effet vertical d'une action de dégradation normale au profil

Il en résulte que l'abaissement du profil en un point est déterminépar l'effet vertical de l'action de dégradation, effet et action étant liéspar la relation (déduite de l'examen de la figure 2) :

J dx^+dz^Effet sur le profil = . Action sur le profil

dx

et donc

dz

dtAction

l'action au point M étant quant à elle supposée :

- constante (modèle M'I)- proportionnelle à l'altitude z(x) du point M (modèle M' 2)

dz- proportionnelle à la pente du profil en M (modèle M' 3)

ax

Ces nouveaxix modèles se déduisent donc des modèles (Ml) , (M2) et (M3)en multipliant leur second membre par :

Les équations obtenues, non linéaires, n'admettent plus de solutionanalytique simple. Leur résolution par des schémas aux différences finiespermet d'obtenir, pour les trois cas envisagés ci-dessus, des profils dutype de ceux présentés par les figures 3a, 3b et 3c (réf. 36).

10 -

L'examen de ces figures montre que les possibilités de simulation del'évolution d'un relief par le biais des modèles de la "théorie nonlinéaire" sont beaucoup plus grandes que celles offertes par les modèleslinéaires Ml, M2 ou M3 (le modèle M' 3 est sans doute le plus satisfaisant).

2.2 - Modèles de transport

2.2.1 - Présentation générale

Ces modèles reposent sur l'équation de continuité des matériauxtransportés le long des versants. Cette équation de continuité exprimesimplement que toute différence entre les capacités de transport à l'amontet à l'aval d'une section donnée d'un versant se traduit par une accumu¬lation nette de matériaux dans cette section si la capacité aval estmoindre que la capacité amont ou bien par un enlèvement net dans le cascontraire. Elle peut s'écrire, dans le cas monodimensionnel :

dz dqs(1)

at dx

- z désigne l'altitude du point M(x) à la date t ;

- qs représente le débit solide (de dimension L^ T"^).

A l'équation de continuité, longuement commentée par KIRKBY (Hillslopeprocess -response models based on the continuity equation, réf. 30) estadjointe une loi de transport qui permet de relier le débit solide àdifférents facteurs qui en déterminent l'importance en un point donné, parexemple :

- la pente du versant en ce point ;

- l'aire drainée relative à ce point dans le cas d'une érosion parle ruissellement de l'eau (ou la distance à la ligne de crête sil'on considère deux variables d'espace seulement, soit la coor¬donnée X et la cote z).

Cette approche aboutit à une seconde catégorie de modèles qui, contrai¬rement à ceux du premier groupe présentés ci-dessus, partent d'une analysedes mécanismes réglant le transport des matériaux disponibles d'un point àun autre d'un versant. Elle permet de traiter, en utilisant une loi detransport appropriée des processus érosifs tels que :

- le ruissellement ("wash") ;

- la saltation pluviale ("rainsplash") ;

- le "creep".

Ces lois de transport seront examinées de façon détaillée dans ladeuxième partie de ce travail (cf. 1-1). On se bornera ici à la présenta¬tion de quelques modèles, déjà anciens, construits à partir de l'équationde la chaleur.

Tous ces modèles ont en commun le fait de ne pas considérer l'altéra¬tion comme un facteur limitant du transport, qui est donc supposé toujoursagir à sa pleine capacité.

10 -

L'examen de ces figures montre que les possibilités de simulation del'évolution d'un relief par le biais des modèles de la "théorie nonlinéaire" sont beaucoup plus grandes que celles offertes par les modèleslinéaires Ml, M2 ou M3 (le modèle M' 3 est sans doute le plus satisfaisant).

2.2 - Modèles de transport


Ces modèles reposent sur l'équation de continuité des matériauxtransportés le long des versants. Cette équation de continuité exprimesimplement que toute différence entre les capacités de transport à l'amontet à l'aval d'une section donnée d'un versant se traduit par une accumu¬lation nette de matériaux dans cette section si la capacité aval estmoindre que la capacité amont ou bien par un enlèvement net dans le cascontraire. Elle peut s'écrire, dans le cas monodimensionnel :

dz dqs(1)

at dx

- z désigne l'altitude du point M(x) à la date t ;

- qs représente le débit solide (de dimension L^ T"^).

A l'équation de continuité, longuement commentée par KIRKBY (Hillslopeprocess -response models based on the continuity equation, réf. 30) estadjointe une loi de transport qui permet de relier le débit solide àdifférents facteurs qui en déterminent l'importance en un point donné, parexemple :

- la pente du versant en ce point ;

- l'aire drainée relative à ce point dans le cas d'une érosion parle ruissellement de l'eau (ou la distance à la ligne de crête sil'on considère deux variables d'espace seulement, soit la coor¬donnée X et la cote z).

Cette approche aboutit à une seconde catégorie de modèles qui, contrai¬rement à ceux du premier groupe présentés ci-dessus, partent d'une analysedes mécanismes réglant le transport des matériaux disponibles d'un point àun autre d'un versant. Elle permet de traiter, en utilisant une loi detransport appropriée des processus érosifs tels que :

- le ruissellement ("wash") ;

- la saltation pluviale ("rainsplash") ;

- le "creep".

Ces lois de transport seront examinées de façon détaillée dans ladeuxième partie de ce travail (cf. 1-1). On se bornera ici à la présenta¬tion de quelques modèles, déjà anciens, construits à partir de l'équationde la chaleur.

Tous ces modèles ont en commun le fait de ne pas considérer l'altéra¬tion comme un facteur limitant du transport, qui est donc supposé toujoursagir à sa pleine capacité.

- 11

2.2.2 - Modèles basés sur l'équation de la chaleur

En combinant l'équation de continuité (1) ci-dessus avec une loi detransport qui exprime que le débit solide en un point est simplementproportionnel à la pente du versant en ce point :

dzqs -= - C C = constante de dimension L^T-1

dx

CULLING (Analytical theory of erosion, réf. 24) abouti à l'équationclassique de la chaleur qui s'écrit dans le cas d'une seule coordonnéed'espace :

(M4)

Une toute autre façon de procéder conduit également CULLING à l'équa¬tion de la chaleur : pour cela il suppose que le "creep" est un processusstochastique engendré par les mouvements aléatoires des particules de sol,mouvements aléatoires possédant une résultante dirigée vers le bas desversants (cf. Soil creep and the development of hillside slopes, réf. 25).

Différents modèles d'évolution ont été également construits encombinant le modèle de diffusion (M4, ci-dessus) et l'un des trois modèlesde dégradation présentés en 2 . 1 (Ml, M2 , ou M3) .

POLLACK (cité par HARBAUGH , réf. 7) propose ainsi en 1969 le modèlesuivant :

(M5)

Dans cette équation le coefficient C est fonction de l'altitude z etcaractérise des strates de différentes résistances ; le terme A (x,z)correspond à un taux de creusement imputable par exemple à un ou plusieurscours d'eau, localisables à l'aide de la coordonnée x.

Cette équation a été appliquée par POLLACK pour simuler l'évolution ducreusement d'un canyon (figures 4a et 4b).

HIRANO (1975, réf. 28) combine quant à lui le modèle de diffusion M4 etle modèle de dégradation M3, ce qui donne :

dz d^z(M6a) C.

dz+ B,

C de dimension L^T"^B de dimension LT"^

dt Ôx2 dx

- 11

2.2.2 - Modèles basés sur l'équation de la chaleur

En combinant l'équation de continuité (1) ci-dessus avec une loi detransport qui exprime que le débit solide en un point est simplementproportionnel à la pente du versant en ce point :

dzqs -= - C C = constante de dimension L^T-1

dx

CULLING (Analytical theory of erosion, réf. 24) abouti à l'équationclassique de la chaleur qui s'écrit dans le cas d'une seule coordonnéed'espace :

(M4)

Une toute autre façon de procéder conduit également CULLING à l'équa¬tion de la chaleur : pour cela il suppose que le "creep" est un processusstochastique engendré par les mouvements aléatoires des particules de sol,mouvements aléatoires possédant une résultante dirigée vers le bas desversants (cf. Soil creep and the development of hillside slopes, réf. 25).

Différents modèles d'évolution ont été également construits encombinant le modèle de diffusion (M4, ci-dessus) et l'un des trois modèlesde dégradation présentés en 2 . 1 (Ml, M2 , ou M3) .

POLLACK (cité par HARBAUGH , réf. 7) propose ainsi en 1969 le modèlesuivant :

(M5)

Dans cette équation le coefficient C est fonction de l'altitude z etcaractérise des strates de différentes résistances ; le terme A (x,z)correspond à un taux de creusement imputable par exemple à un ou plusieurscours d'eau, localisables à l'aide de la coordonnée x.

Cette équation a été appliquée par POLLACK pour simuler l'évolution ducreusement d'un canyon (figures 4a et 4b).

HIRANO (1975, réf. 28) combine quant à lui le modèle de diffusion M4 etle modèle de dégradation M3, ce qui donne :

dz d^z(M6a) C.

dz+ B,

C de dimension L^T"^B de dimension LT"^

dt Ôx2 dx

12

(a)

(b)

Figure 4 : Séquences d'évolution d'un canyon obtenues en utilisant lemodèle M5 :

(a) : le profil est dû à l'action d'un seul cours d'eau(b) : plusieurs cours d'eau concourent au creusement

D'après POLLACK (réf. 7)

a) récessiondz

dt- B

dz

dx

b) récession + diffusion

dz d^z 5z » C + B dt dx^ dx

Figure 5 : Effets d'un modèle de récession (a) et d'un modèle de récession+ diffusion (b) sur une pente. D'après HIRANO (cité par YOUNG

réf. 14).

12

(a)

(b)

Figure 4 : Séquences d'évolution d'un canyon obtenues en utilisant lemodèle M5 :

(a) : le profil est dû à l'action d'un seul cours d'eau(b) : plusieurs cours d'eau concourent au creusement

D'après POLLACK (réf. 7)

a) récessiondz

dt- B

dz

dx

b) récession + diffusion

dz d^z 5z » C + B dt dx^ dx

Figure 5 : Effets d'un modèle de récession (a) et d'un modèle de récession+ diffusion (b) sur une pente. D'après HIRANO (cité par YOUNG

réf. 14).

- 13 -

Ce modèle (M6) permet de conjuguer les effets d'un processus dediffusion et d'un recul de la pente ; le terme B. dz/dx intervenant seulcorrespondrait à un retrait de la pente parallèlement à elle même (figures5a et b) .

La généralisation à trois variables d'espace x, y et z a été étudiéepav HIRANO (1976, réf. 29).

Une représentation graphique d'une solution analytique de l'équationrésultante :

(M6b)dz

dt

a^z d^z \ / az azCl + 1+ bI +

ax2 dy'' dx dy

est fournie, à titre d'illustration, par la figure 6

T= O.IQ T= 0.2D

Figure 6 Bloc diagramme montrant l'évolution d'un relief simulée à l'aided'une solution analytique du modèle M6b (d'après HIRANO, réf. 29)

La solution utilisée correspond aux conditions suivantes :

z = Zq à t = 0 pour - xo < X < xo

- yo < y < yo

az

dx0 en X - 0

By" 0 en y - 0

Les valeurs retenues étaient :

xo - yo - 1 ; C - 0.25 et B - 2.0

- 13 -

Ce modèle (M6) permet de conjuguer les effets d'un processus dediffusion et d'un recul de la pente ; le terme B. dz/dx intervenant seulcorrespondrait à un retrait de la pente parallèlement à elle même (figures5a et b) .

La généralisation à trois variables d'espace x, y et z a été étudiéepav HIRANO (1976, réf. 29).

Une représentation graphique d'une solution analytique de l'équationrésultante :

(M6b)dz

dt

a^z d^z \ / az azCl + 1+ bI +

ax2 dy'' dx dy

est fournie, à titre d'illustration, par la figure 6

T= O.IQ T= 0.2D

Figure 6 Bloc diagramme montrant l'évolution d'un relief simulée à l'aided'une solution analytique du modèle M6b (d'après HIRANO, réf. 29)

La solution utilisée correspond aux conditions suivantes :

z = Zq à t = 0 pour - xo < X < xo

- yo < y < yo

az

dx0 en X - 0

By" 0 en y - 0

Les valeurs retenues étaient :

xo - yo - 1 ; C - 0.25 et B - 2.0

14

2.3 - Un modèle d'altération et de transport : le modèle SL0P3Dd'Ahnert


Le modèle SL0P3D présenté par AHNERT en 1976 (Brief description of acomprehensive three-dimensional process-response model of landform develop¬ment, réf. 17) et utilisé par l'auteur comme outil de compréhension decertains faits d'observations géomorphologiques est un modèle permettant desimuler l'évolution d'un relief sous les effets combinés :

- de l'altération d'un substratum (qui peut . être constitué deplusieurs couches de résistance différente) ; cette altérationest le résultat de processus mécaniques et chimiques ;

- du transport des matériaux mobilisables d'un point à un autre durelief ; ce transport est simulé à l'aide d'un certain nombre delois expérimentales, chaque loi pouvant agir seule ou en combi¬naison avec d'autres lois ;

- de modifications du niveau de base (conséquences d'une incisionfluviale par exemple) .

SL0P3D est un modèle maillé : la surface soumise à l'érosion estinscrite dans un maillage de 10 lignes x 10 colonnes.

Dans chaque maille, l'action combinée, durant un pas de temps At, desprocessus d'altération et de transport, détermine :

- une nouvelle cote du relief dans la maille :

z (t+At) = z(t) + (Q^ - QAv)-^t

ÂM ®®^ ^^ quantité de matériaux venant de l'amont et s 'ajoutant àl'épaisseur préexistante des matériaux mobilisables dans la maille(dimension : LT-1).

*ÂV ®^^ ^^ quantité de matériaux issus de la maille et en sortant(dimension LT-1).

- une nouvelle épaisseur de matériaux mobilisable dans la maille,calculée à l'aide de l'équation de bilan suivante :

e (t+At) - e(t) + (Q^LT "^ ÂM " ÂV^-^^-

ÂLT ®^^ ^^ quantité de matériaux issus, par unité de temps, de ladésagrégation du substratum par altération chimique et mécanique (dimensionLT-1).

Les lois d'altération utilisées par Ahnert ont été introduites dans lemodèle que l'on présente en deuxième partie de ce rapport ; elles serontdonc décrites dans cette partie .

14

2.3 - Un modèle d'altération et de transport : le modèle SL0P3Dd'Ahnert


Le modèle SL0P3D présenté par AHNERT en 1976 (Brief description of acomprehensive three-dimensional process-response model of landform develop¬ment, réf. 17) et utilisé par l'auteur comme outil de compréhension decertains faits d'observations géomorphologiques est un modèle permettant desimuler l'évolution d'un relief sous les effets combinés :

- de l'altération d'un substratum (qui peut . être constitué deplusieurs couches de résistance différente) ; cette altérationest le résultat de processus mécaniques et chimiques ;

- du transport des matériaux mobilisables d'un point à un autre durelief ; ce transport est simulé à l'aide d'un certain nombre delois expérimentales, chaque loi pouvant agir seule ou en combi¬naison avec d'autres lois ;

- de modifications du niveau de base (conséquences d'une incisionfluviale par exemple) .

SL0P3D est un modèle maillé : la surface soumise à l'érosion estinscrite dans un maillage de 10 lignes x 10 colonnes.

Dans chaque maille, l'action combinée, durant un pas de temps At, desprocessus d'altération et de transport, détermine :

- une nouvelle cote du relief dans la maille :

z (t+At) = z(t) + (Q^ - QAv)-^t

ÂM ®®^ ^^ quantité de matériaux venant de l'amont et s 'ajoutant àl'épaisseur préexistante des matériaux mobilisables dans la maille(dimension : LT-1).

*ÂV ®^^ ^^ quantité de matériaux issus de la maille et en sortant(dimension LT-1).

- une nouvelle épaisseur de matériaux mobilisable dans la maille,calculée à l'aide de l'équation de bilan suivante :

e (t+At) - e(t) + (Q^LT "^ ÂM " ÂV^-^^-

ÂLT ®^^ ^^ quantité de matériaux issus, par unité de temps, de ladésagrégation du substratum par altération chimique et mécanique (dimensionLT-1).

Les lois d'altération utilisées par Ahnert ont été introduites dans lemodèle que l'on présente en deuxième partie de ce rapport ; elles serontdonc décrites dans cette partie .

15

2.3.2 - Les lois de transport dans SL0P3D

Des lois de transport variées, issues de travaux expérimentaux, ontété introduites dans SL0P3D. Les modes de transport envisagés sont lessuivants :

Ruissellement -.

L'enlèvement des matériaux en un point a été exprimé sous la formed'une fonction du sinus de l'angle 6 du profil avec l'horizontale et del'épaisseur h au point considéré de la lame d'eau qui ruisselle :

%UI ° '^l ^^ (sinG)" (dimension LT"-*")

*^RUI ®®^ ^^ quantité de matériaux transportés durant l'unité detemps ;

. m et n sont deux exposants constants ;

. K-i est un facteur d' érodabilité, traduisant la résistance du solau ruissellement.

Saltation sous l'effet de la pluie :

Le flxix net de matériaux transporté vers l'aval est supposé propor¬tionnel à la puissance 0.75 du sinus de l'angle 9 du profil avec l'hori¬zontale :

Qg^LT " ^2 (sine)°-'^^ (dimension LT-1)

K2 est un coefficient introduit pour représenter à la fois l'énergiecinétique de la pluie et la résistance du sol.

Mouvements de masse de type visco-pl astique :

Ce sont des mouvements qui peuvent se produire pour une certaineépaisseur critique d' altérites (caractérisée par une certaine teneur eneau) sous l'effet de contraintes de cisaillement.

Pour des déformations de type plastique, la quantité de matériavixtransférés d'un point à un autre du profil est donnée par :

QPLAS - ^3 (E.sinG-K^)

E est l'épaisseur d' altérites ;

Kn est un coefficient de plasticité des matériaux ;

K. est un coefficient caractérisant la cohésion de maté

Les déplacements ne se produisent que si E sin6 > K^.

15

2.3.2 - Les lois de transport dans SL0P3D

Des lois de transport variées, issues de travaux expérimentaux, ontété introduites dans SL0P3D. Les modes de transport envisagés sont lessuivants :

Ruissellement -.

L'enlèvement des matériaux en un point a été exprimé sous la formed'une fonction du sinus de l'angle 6 du profil avec l'horizontale et del'épaisseur h au point considéré de la lame d'eau qui ruisselle :

%UI ° '^l ^^ (sinG)" (dimension LT"-*")

*^RUI ®®^ ^^ quantité de matériaux transportés durant l'unité detemps ;

. m et n sont deux exposants constants ;

. K-i est un facteur d' érodabilité, traduisant la résistance du solau ruissellement.

Saltation sous l'effet de la pluie :

Le flxix net de matériaux transporté vers l'aval est supposé propor¬tionnel à la puissance 0.75 du sinus de l'angle 9 du profil avec l'hori¬zontale :

Qg^LT " ^2 (sine)°-'^^ (dimension LT-1)

K2 est un coefficient introduit pour représenter à la fois l'énergiecinétique de la pluie et la résistance du sol.

Mouvements de masse de type visco-pl astique :

Ce sont des mouvements qui peuvent se produire pour une certaineépaisseur critique d' altérites (caractérisée par une certaine teneur eneau) sous l'effet de contraintes de cisaillement.

Pour des déformations de type plastique, la quantité de matériavixtransférés d'un point à un autre du profil est donnée par :

QPLAS - ^3 (E.sinG-K^)

E est l'épaisseur d' altérites ;

Kn est un coefficient de plasticité des matériaux ;

K. est un coefficient caractérisant la cohésion de maté

Les déplacements ne se produisent que si E sin6 > K^.

- 16

D'autres phénomènes sont encore considérés dans le modèle d'Ahnert,par exemple :

- des glissements rapides au-delà d'une certaine pente critique(45°) avec transfert immédiat des matériaux au bas du versant ;

- une évacuation directe de particules par des écoulements desubsurface .

2.3.3 -Présentation d'un exemple

L'exemple suivant, emprunté à Ahnert (réf. 17) illustre les possi¬bilités du modèle SL0P3D.

La configuration initiale est représentée par une surface horizontalesituée à la cote 80. Sous cette surface, le substratum présente troisdirections de fracturation, dont deux orthogonales (figure 7) ; ces zonesfracturées sont caractérisées par une résistance à l'altération plus faibleque dans le reste du domaine.

Lors de la simulation un abaissement du niveau de base est imposé àdevix extrémités du maillage : le coin supérieur droit et le coin supérieurgauche (la vitesse d'abaissement n'est pas la même pour les deux extrémi¬tés, plus forte pour le coin N-0) .

Les processus érosifs agissant sont l'altération et le transport desmatériatix par ruissellement.

La figure 7a présente la surface obtenue après un certain nombre depas de temps .

Les zones les plus creusées sont bien sûr les extrémités nord- ouest etnord- est. Dans la partie ouest du domaine, une vallée s'est développéemarquée par un thalweg empruntant la direction de fracturation SO-NE.

L'asymétrie du relief reflète l'inégale vitesse d'abaissement duniveau de base aux deux extrémités supérieures du maillage et l'ajustementprogressif du relief aux différentes structures géologiques introduites (lafracturation en particulier) .

La carte des cote du substratum, présentée par la figure 7b montreplus clairement l'influence de la fracturation mettant en évidence une zoneen "dépression" à l'intersection des deux couloirs de fracturation. C'estau niveau de cette zone , et plus généralement au niveau des zones demoindre résistance du substratum que l'on pourra trouver des épaisseursd' altérites importantes.

- 16

D'autres phénomènes sont encore considérés dans le modèle d'Ahnert,par exemple :

- des glissements rapides au-delà d'une certaine pente critique(45°) avec transfert immédiat des matériaux au bas du versant ;

- une évacuation directe de particules par des écoulements desubsurface .

2.3.3 -Présentation d'un exemple

L'exemple suivant, emprunté à Ahnert (réf. 17) illustre les possi¬bilités du modèle SL0P3D.

La configuration initiale est représentée par une surface horizontalesituée à la cote 80. Sous cette surface, le substratum présente troisdirections de fracturation, dont deux orthogonales (figure 7) ; ces zonesfracturées sont caractérisées par une résistance à l'altération plus faibleque dans le reste du domaine.

Lors de la simulation un abaissement du niveau de base est imposé àdevix extrémités du maillage : le coin supérieur droit et le coin supérieurgauche (la vitesse d'abaissement n'est pas la même pour les deux extrémi¬tés, plus forte pour le coin N-0) .

Les processus érosifs agissant sont l'altération et le transport desmatériatix par ruissellement.

La figure 7a présente la surface obtenue après un certain nombre depas de temps .

Les zones les plus creusées sont bien sûr les extrémités nord- ouest etnord- est. Dans la partie ouest du domaine, une vallée s'est développéemarquée par un thalweg empruntant la direction de fracturation SO-NE.

L'asymétrie du relief reflète l'inégale vitesse d'abaissement duniveau de base aux deux extrémités supérieures du maillage et l'ajustementprogressif du relief aux différentes structures géologiques introduites (lafracturation en particulier) .

La carte des cote du substratum, présentée par la figure 7b montreplus clairement l'influence de la fracturation mettant en évidence une zoneen "dépression" à l'intersection des deux couloirs de fracturation. C'estau niveau de cette zone , et plus généralement au niveau des zones demoindre résistance du substratum que l'on pourra trouver des épaisseursd' altérites importantes.

17

74 75 76

a) carte de la surfacetopographique aprèsfonctionnement dumodèle sur plusieurspas de temps

Couloir de fracturation

Courbe de niveau

b) carte du substratum àla même date

Figure 7 : un exemple d'application du modèle SL0P3D d'Ahnert (réf. 17)surface topographique (7a) après transport de matériaux parruissellement et substratum (7b) après altération

17

74 75 76

a) carte de la surfacetopographique aprèsfonctionnement dumodèle sur plusieurspas de temps

Couloir de fracturation

Courbe de niveau

b) carte du substratum àla même date

Figure 7 : un exemple d'application du modèle SL0P3D d'Ahnert (réf. 17)surface topographique (7a) après transport de matériaux parruissellement et substratum (7b) après altération

18

DEUXIEME PARTIE

LE MODELE HERODE

UN MODELE COUPLE D' ALTERATION-TRANSPORT

18

DEUXIEME PARTIE

LE MODELE HERODE

UN MODELE COUPLE D' ALTERATION-TRANSPORT

19 -

1 - EQUATIONS DU MODELE

Elles sont relatives :

- au transport des matériaux le long des pentes d'une part ;

- à l'altération du substratum d'autre part.

1.1 - Transport des matériaux

1.1.1 - Equations générales

Deux équations sont très généralement utilisées pour décrire letransport de matériaux.

Une équation de continuité (conservation de la masse)

az(1) + div (n.qs) = 0

at

z - z(x,y,t) est l'équation de la surface soumise à l'érosion ;

n est le vecteur unitaire parallèle à la direction de plus grandepente (orienté vers l'aval hydraulique) ; au point M(x,y) , la penteest donnée par :

gradz

; le d£

largeur aval de l'aire drainée relative au point M(x,y)

9 1

qs est le débit solide (de dimension L .T ) évacué par l'unité de

L'équation de continuité (1) exprime simplement que la variationd'altitude du point M(x,y) par unité de temps est égale à la différenceentre le débit solide entrant à l'amont de M et le débit solide évacué vers1 ' aval .

Une loi de transport, qui permet de relier le débit solide qs transi¬tant par M(x,y) :

à la pente S de la surface en M ;

au débit d'eau q ruisselant sur la pente.

(2) qs - f (S,q)

19 -

1 - EQUATIONS DU MODELE

Elles sont relatives :

- au transport des matériaux le long des pentes d'une part ;

- à l'altération du substratum d'autre part.

1.1 - Transport des matériaux

1.1.1 - Equations générales

Deux équations sont très généralement utilisées pour décrire letransport de matériaux.

Une équation de continuité (conservation de la masse)

az(1) + div (n.qs) = 0

at

z - z(x,y,t) est l'équation de la surface soumise à l'érosion ;

n est le vecteur unitaire parallèle à la direction de plus grandepente (orienté vers l'aval hydraulique) ; au point M(x,y) , la penteest donnée par :

gradz

; le d£

largeur aval de l'aire drainée relative au point M(x,y)

9 1

qs est le débit solide (de dimension L .T ) évacué par l'unité de

L'équation de continuité (1) exprime simplement que la variationd'altitude du point M(x,y) par unité de temps est égale à la différenceentre le débit solide entrant à l'amont de M et le débit solide évacué vers1 ' aval .

Une loi de transport, qui permet de relier le débit solide qs transi¬tant par M(x,y) :

à la pente S de la surface en M ;

au débit d'eau q ruisselant sur la pente.

(2) qs - f (S,q)

20

Par extension des lois de transport solide en rivière, on exprimesouvent qs par la relation :

(3) qs - k.q^.s" m, n > 0

1.1.2 - Examen du cas à deux dimensions spatiales

On trouve très fréquemment dans l'approche des géomorphologues une loide transport de la forme :

(4) qg(x) - k'.x^.sin^

avec :

. X la distance du point M(x) à la ligne de crête ;

. 0 l'angle de la pente en M(x) avec l'horizontale.

Cette loi revêt la même forme que la relation (3) ci-dessus. Le débitq(x) au point M y est remplacé par la distance à la ligne de crête et lapente S du profil (c'est-à-dire tg8) par le sinus de l'angle 9.

Il est possible d'établir une équivalence entre la forme (3) et laforme (4) grâce à deux approximations fréquemment faites engéomorphologie :

az1ère approximation : sin9 est remplacé par S-tg9 - -

dx

2éme approximation -. on peut considérer à l'échelle de temps qui est;celle du présent modèle que l'on a un régime de ruissellement quasi-permanent. L'intégration de l'équation de continuité pour l'eau qui ruis¬selle conduit alors à une expression du débit fonction de la distance x àla ligne de crête :

q(x) = r.x (q(o) - o en x = o)

r est une fraction de la pluie alimentant le ruisselement . On peutécrire r - «.I avec « un coefficient de ruissellement.

La loi de transport (3) peut donc s'écrire, compte tenu de cettedeuxième approximation :

qs(x) - k(a.I.x)(tg9)'^ = k' .x'"(tg9)'^

ou encore , avec la première approximation :

qs(x) - k' .x°'.(sin9)"

On retiendra donc en définitive une loi de transport (combinant (3) et(4) ) de la forme :

qs(x) - K.x.(tg9)^

20

Par extension des lois de transport solide en rivière, on exprimesouvent qs par la relation :

(3) qs - k.q^.s" m, n > 0

1.1.2 - Examen du cas à deux dimensions spatiales

On trouve très fréquemment dans l'approche des géomorphologues une loide transport de la forme :

(4) qg(x) - k'.x^.sin^

avec :

. X la distance du point M(x) à la ligne de crête ;

. 0 l'angle de la pente en M(x) avec l'horizontale.

Cette loi revêt la même forme que la relation (3) ci-dessus. Le débitq(x) au point M y est remplacé par la distance à la ligne de crête et lapente S du profil (c'est-à-dire tg8) par le sinus de l'angle 9.

Il est possible d'établir une équivalence entre la forme (3) et laforme (4) grâce à deux approximations fréquemment faites engéomorphologie :

az1ère approximation : sin9 est remplacé par S-tg9 - -

dx

2éme approximation -. on peut considérer à l'échelle de temps qui est;celle du présent modèle que l'on a un régime de ruissellement quasi-permanent. L'intégration de l'équation de continuité pour l'eau qui ruis¬selle conduit alors à une expression du débit fonction de la distance x àla ligne de crête :

q(x) = r.x (q(o) - o en x = o)

r est une fraction de la pluie alimentant le ruisselement . On peutécrire r - «.I avec « un coefficient de ruissellement.

La loi de transport (3) peut donc s'écrire, compte tenu de cettedeuxième approximation :

qs(x) - k(a.I.x)(tg9)'^ = k' .x'"(tg9)'^

ou encore , avec la première approximation :

qs(x) - k' .x°'.(sin9)"

On retiendra donc en définitive une loi de transport (combinant (3) et(4) ) de la forme :

qs(x) - K.x.(tg9)^

- 21

K étant un coefficient faisant intervenir à la fois :

- 1' érodabilité propre du sol ;

- l'agressivité climatique.

Dans le tableau 1, emprunté à KIRKBY (réf. 30) sont mentionnées quel¬ques valeurs des exposants m et n relatives aux processus érosifs pris encompte dans le modèle .

Processus

Soil creepRainsplash

Soil wash

m

o

o

1.3-1.7

n

1

1-2

1.3-2

Sources

C. DAVISON, 1889 ; CULLING, 1963SCHUMM, 1964 ; KIRiUBY

MUSGRAVE, 1947, U.S. Agrie. Res.Serv. , 1961 ; ZINGG, 1940 ;

KIRKBY, 1969

Tableau 1 : valeurs des exposants m et n de la loi de transport (4) pourdifférents processus érosifs (d'après KIRBY réf. 30).

On prend très généralement m = 1 et n = 1 dans le cas de l'érosion parruissellement et on englobe "creep" et "splash" dans le même formalisme enprenant pour ce dernier mécanisme n = 1 comme dans le cas du creep.

1.1.3 - Conclusions

En définitive, on peut modéliser les différents processus érosifsretenus à l'aide des équations suivantes :

az aqs + 0at dx

éqtiation de continuité

qs - - K x'maz

dxloi de transport (m-o ou m=l)

L'équation résultante s'écrit

az d / dz \ iK.x." m - 0at ax \ dx J

ou m = 1

Si m - 0, on retrouve l'équation classique de la chaleur proposée dès1960 par CULLING (réf. 24, 25) pour modéliser un processus érosif de type"creep" .

- 21

K étant un coefficient faisant intervenir à la fois :

- 1' érodabilité propre du sol ;

- l'agressivité climatique.

Dans le tableau 1, emprunté à KIRKBY (réf. 30) sont mentionnées quel¬ques valeurs des exposants m et n relatives aux processus érosifs pris encompte dans le modèle .

Processus

Soil creepRainsplash

Soil wash

m

o

o

1.3-1.7

n

1

1-2

1.3-2

Sources

C. DAVISON, 1889 ; CULLING, 1963SCHUMM, 1964 ; KIRiUBY

MUSGRAVE, 1947, U.S. Agrie. Res.Serv. , 1961 ; ZINGG, 1940 ;

KIRKBY, 1969

Tableau 1 : valeurs des exposants m et n de la loi de transport (4) pourdifférents processus érosifs (d'après KIRBY réf. 30).

On prend très généralement m = 1 et n = 1 dans le cas de l'érosion parruissellement et on englobe "creep" et "splash" dans le même formalisme enprenant pour ce dernier mécanisme n = 1 comme dans le cas du creep.

1.1.3 - Conclusions

En définitive, on peut modéliser les différents processus érosifsretenus à l'aide des équations suivantes :

az aqs + 0at dx

éqtiation de continuité

qs - - K x'maz

dxloi de transport (m-o ou m=l)

L'équation résultante s'écrit

az d / dz \ iK.x." m - 0at ax \ dx J

ou m = 1

Si m - 0, on retrouve l'équation classique de la chaleur proposée dès1960 par CULLING (réf. 24, 25) pour modéliser un processus érosif de type"creep" .

22 -

1.1.4 - Généralisation : 3 dimensions spatiales

Dans le cas ou les deux dimensions d'espace x et y interviennent, latroisième étant représentée par la variable z cherchée, on peut substituerà la notion de distance du point M(x) à la ligne de crête, la notion d'airedrainée relative au point M(x,y) (cf. KIRKBY, réf. 30).

Si A(x,y) désigne cette aire, plus précisemment une aire par unité delargeur aval franchie (et donc de dimension équivalente à celle d'unelongueur), l'équation devient :

az p ^ - = div K(x,y) .A(x,y) .Gradzat L

En combinant les trois processus érosifs du tableau 1 ci-dessus, onobtiendra donc en définitive, en désignant par C le terme de "creep" et de"splash".

Elaz |- -J

= divUK(x,y).A(x,y) + C (x,y)jG?^d z\

On appellera par la suite l'expression :

K(x.y).A(x,y) + C(x.y)

facteur global d'érosion FEROS (x,y).

Le terme K(x,y) étant, quant à lui, le produit de l'érodabilité du solau point M, soit EROS (x,y) et d'un terme d'agressivité climatique, AGCL

K(x,y) = EROS (x, y) .AGCL

1.2 - L'altération

Le couplage avec le transport se fait par l'intermédiaire de l'épais¬seur de sol (on utilisera aussi, de façon équivalente, le terme d' altéritespour désigner les matériaux susceptibles d'être entraînés le long despentes) .

Si E(x,y) est l'épaisseur d'altérites au point M(x,y) et si a(x,y) estla cote du substratum au même point, la relation de couplage est :

E(x,y) = z(x,y) - a(x,y)

Si la vitesse d'altération est plus faible que la capacité d'ablationdes différents agents de transport, l'épaisseur d'altérites diminue jusqu'àaffleurement du substratum rocheux ; l'évolution, du relief est alorsfortement ralentie jusqu'à la manifestation d'une tendance inverse (casd'une période de faible agressivité climatique par exemple avec possibilitéde reconstitution des sols) .

22 -

1.1.4 - Généralisation : 3 dimensions spatiales

Dans le cas ou les deux dimensions d'espace x et y interviennent, latroisième étant représentée par la variable z cherchée, on peut substituerà la notion de distance du point M(x) à la ligne de crête, la notion d'airedrainée relative au point M(x,y) (cf. KIRKBY, réf. 30).

Si A(x,y) désigne cette aire, plus précisemment une aire par unité delargeur aval franchie (et donc de dimension équivalente à celle d'unelongueur), l'équation devient :

az p ^ - = div K(x,y) .A(x,y) .Gradzat L

En combinant les trois processus érosifs du tableau 1 ci-dessus, onobtiendra donc en définitive, en désignant par C le terme de "creep" et de"splash".

Elaz |- -J

= divUK(x,y).A(x,y) + C (x,y)jG?^d z\

On appellera par la suite l'expression :

K(x.y).A(x,y) + C(x.y)

facteur global d'érosion FEROS (x,y).

Le terme K(x,y) étant, quant à lui, le produit de l'érodabilité du solau point M, soit EROS (x,y) et d'un terme d'agressivité climatique, AGCL

K(x,y) = EROS (x, y) .AGCL

1.2 - L'altération

Le couplage avec le transport se fait par l'intermédiaire de l'épais¬seur de sol (on utilisera aussi, de façon équivalente, le terme d' altéritespour désigner les matériaux susceptibles d'être entraînés le long despentes) .

Si E(x,y) est l'épaisseur d'altérites au point M(x,y) et si a(x,y) estla cote du substratum au même point, la relation de couplage est :

E(x,y) = z(x,y) - a(x,y)

Si la vitesse d'altération est plus faible que la capacité d'ablationdes différents agents de transport, l'épaisseur d'altérites diminue jusqu'àaffleurement du substratum rocheux ; l'évolution, du relief est alorsfortement ralentie jusqu'à la manifestation d'une tendance inverse (casd'une période de faible agressivité climatique par exemple avec possibilitéde reconstitution des sols) .

23 -

Toute la complexité des phénomènes d'altération ne pourra bien surêtre modélisée. On considérera simplement (cf. BIROT, réf. 5, AHNERT,réf. 17) qu'une épaisseur d'altérites se constitue sous les actions combi¬nées :

- d'une désagrégation mécanique qui sera supposée d'autant plusimportante que l'épaisseur au dessus du substratum sera faible(la sensibilité du substratum aux facteurs physiques en particu¬lier aux variations de température, est alors plus grande). Onadmet en général une loi de type exponentiel ;

- d'une météorisation chimique qui, elle, ne peut intervenirefficacement que s'il existe une épaisseur minimale de sol. Onadmet que l'agressivité des eaux infiltrées (fonction de sateneur en ions acides) augmente jusqu'à une certaine épaisseur desol (épaisseur dite optimale) puis décroit au-delà de cetteépaisseur.

Les équations utilisées pour représenter l'action de ces deux modesd'altération sont celles introduites par Ahnert dans son modèle SL0P3D.

1.2.1 - Altération mécanique

La quantité de matériaux produite par unité de temps est donnée par :

qm «= q exp(-k-|E) (dimension LT" )

où : E est l'épaisseur d'altéritesq est le taux d'altération lorsque le substratum est à nu (E-0).kl est une constante.

L'altération mécanique apparaît donc comme une fonction décroissantede l'épaisseur d'altérites. Elle est maximale lorsque cette épaisseur estnulle .

1.2.2 - Altération chimique

Elle fournit, par unité de temps, une quantité de matériaux donnépar :

qc - q^^ll + k2.E

Ecpour E < Ec

Ec est une épaisseur de sol dite critique.kî est une constante.

Cette quantité est maximale lorsque l'épaisseur de sol atteint unevaleur dite optimale reliée à l'épaisseur critique par la relation :

"opt Ec

23 -

Toute la complexité des phénomènes d'altération ne pourra bien surêtre modélisée. On considérera simplement (cf. BIROT, réf. 5, AHNERT,réf. 17) qu'une épaisseur d'altérites se constitue sous les actions combi¬nées :

- d'une désagrégation mécanique qui sera supposée d'autant plusimportante que l'épaisseur au dessus du substratum sera faible(la sensibilité du substratum aux facteurs physiques en particu¬lier aux variations de température, est alors plus grande). Onadmet en général une loi de type exponentiel ;

- d'une météorisation chimique qui, elle, ne peut intervenirefficacement que s'il existe une épaisseur minimale de sol. Onadmet que l'agressivité des eaux infiltrées (fonction de sateneur en ions acides) augmente jusqu'à une certaine épaisseur desol (épaisseur dite optimale) puis décroit au-delà de cetteépaisseur.

Les équations utilisées pour représenter l'action de ces deux modesd'altération sont celles introduites par Ahnert dans son modèle SL0P3D.

1.2.1 - Altération mécanique

La quantité de matériaux produite par unité de temps est donnée par :

qm «= q exp(-k-|E) (dimension LT" )

où : E est l'épaisseur d'altéritesq est le taux d'altération lorsque le substratum est à nu (E-0).kl est une constante.

L'altération mécanique apparaît donc comme une fonction décroissantede l'épaisseur d'altérites. Elle est maximale lorsque cette épaisseur estnulle .

1.2.2 - Altération chimique

Elle fournit, par unité de temps, une quantité de matériaux donnépar :

qc - q^^ll + k2.E

Ecpour E < Ec

Ec est une épaisseur de sol dite critique.kî est une constante.

Cette quantité est maximale lorsque l'épaisseur de sol atteint unevaleur dite optimale reliée à l'épaisseur critique par la relation :

"opt Ec

- 24

Lorsque l'épaisseur de sol dépasse la valeur critique, on substitue àl'équation (E3) l'équation suivante :

I"" = 'ïoc^S ®^P [-^4 (^-^c^J

où kj et k^ sont deux autres constantes.

La traduction graphique de ces différentes lois d'altération estprésenté par la figure 8 empruntée à Ahnert (réf. 17).

L'intervention simultanée des deux types d'altération, chimique etmécanique, est exprimée au travers de la relation :

'Ialt " P-*? " (^P)^'^p étant un coefficient de pondération : 0 < p < 1

1.3 - Conclusion

En résumé, les équations prises en compte sont les suivantes :

- pour le transport, (z étant la cote inconnue cherchée) :

az ,. ^ -,

Elat

div (K(x,y). A(x,y) + C(x,y) ) .gradz

K(x,y) = paramètre reflétant l'érodabilité des sols et 1' aggress ivi tédes pluies.

A(x,y) " aire drainée relativement au point M(x,y).C(x,y) - terme de creep et de saltation pluviale.

- pour l'altération, (£T étant la cote du substratum) :

daE2

atp.qm + (l-p)qc

avec (E désignant l'épaisseur d'altérites)

^^ "= <îom®^P^"^l-^)E3

E4 qc = q^^^ (1 + k.E

Ec

0 < p < 1

altération mécanique

e2 ) si E < Ec

E,2

E5 qc = qoc-1^3 ^xp \-k¿^ (E-E^)J si E > Ec

altérationchimique

q et q sont les taux d'altération mécanique et chimique lorsquele substratum est à nu.E est une épaisseur seuil de sol (épaisseur "critique")kl, k2 , k^ , k, sont des constantes.

- pour le couplage entre altération et transport :

E6 E(x,y) - z(x,y) - a(x,y)

- 24

Lorsque l'épaisseur de sol dépasse la valeur critique, on substitue àl'équation (E3) l'équation suivante :

I"" = 'ïoc^S ®^P [-^4 (^-^c^J

où kj et k^ sont deux autres constantes.

La traduction graphique de ces différentes lois d'altération estprésenté par la figure 8 empruntée à Ahnert (réf. 17).

L'intervention simultanée des deux types d'altération, chimique etmécanique, est exprimée au travers de la relation :

'Ialt " P-*? " (^P)^'^p étant un coefficient de pondération : 0 < p < 1

1.3 - Conclusion

En résumé, les équations prises en compte sont les suivantes :

- pour le transport, (z étant la cote inconnue cherchée) :

az ,. ^ -,

Elat

div (K(x,y). A(x,y) + C(x,y) ) .gradz

K(x,y) = paramètre reflétant l'érodabilité des sols et 1' aggress ivi tédes pluies.

A(x,y) " aire drainée relativement au point M(x,y).C(x,y) - terme de creep et de saltation pluviale.

- pour l'altération, (£T étant la cote du substratum) :

daE2

atp.qm + (l-p)qc

avec (E désignant l'épaisseur d'altérites)

^^ "= <îom®^P^"^l-^)E3

E4 qc = q^^^ (1 + k.E

Ec

0 < p < 1

altération mécanique

e2 ) si E < Ec

E,2

E5 qc = qoc-1^3 ^xp \-k¿^ (E-E^)J si E > Ec

altérationchimique

q et q sont les taux d'altération mécanique et chimique lorsquele substratum est à nu.E est une épaisseur seuil de sol (épaisseur "critique")kl, k2 , k^ , k, sont des constantes.

- pour le couplage entre altération et transport :

E6 E(x,y) - z(x,y) - a(x,y)

25

Taux d'altération q alt = ^-4

épaisseur critique

Id'appès réf. 21)

altérationpurementmécanique

(coefficient departage de 1)

chimiquetage de 0)

Epaisseur d'altérites

Dans ce diagramme E ^ = Ec (K2 =2)

Figure 8 : représentation graphique des lois d'altération (mécanique etchimique) utilisées dans le modèle SL0P3D d' AHNERT et reprisesdans le modèle HERODE

25

Taux d'altération q alt = ^-4

épaisseur critique

Id'appès réf. 21)

altérationpurementmécanique

(coefficient departage de 1)

chimiquetage de 0)

Epaisseur d'altérites

Dans ce diagramme E ^ = Ec (K2 =2)

Figure 8 : représentation graphique des lois d'altération (mécanique etchimique) utilisées dans le modèle SL0P3D d' AHNERT et reprisesdans le modèle HERODE

26

2 - DESCRIPTION DU MODELE

Le logiciel de modélisation est appelé HERODE. Il est rédigé enFORTRAN 77 et est implanté sur un ordinateur VAX 8500 avec lequel il peuttraiter plusieurs milliers de mailles. Il est issu de l'adaptation et de lafusion de deux logiciels opérationnels au département EAU- ENVIRONNEMENT -ENERGIE du B.R.G.M :

- MARTHE, utilisé pour les calculs hydrodynamiques ;

- VIKING, employé pour les calculs de trajectoires.

HERODE résoud le système d'équations établi ci-dessus (cf. 1-3) àl'aide d'un schéma aux différences finies. L'utilisation du modèle néces¬site donc la constitution d'un maillage. Les caractéristiques de ce mail¬lage et les codifications utilisées sont celles définies dans le logicielMARTHE (réf. 40). L,a mise en forme des données du maillage procède égalementde la même logique que celle de MARTHE.

2.1 - Définition du maillage

La longueur maximale de la zone à modéliser est définie par un nombrede colonnes NCOL et la largeur maximale par un nombre de lignes NLI ,

Les mailles sont, dans un cas général, des rectangles dont les lon¬gueurs peuvent être variables le long d'une ligne et les largeurs variablesle long d'une colonne (figure 9a).

Chaque centre de maille est repéré par ses coordonnées dans xon réfé-rentiel choisi par l'utilisateur (par exemple coordonnées Lambert dans unrepère géographique). Ces coordonnées sont calculées par un pré-processeur(utilisé pour la constitution du fichier des données) à partir d'un pointorigine et des dimensions des mailles (figure 9b).

2.2 - Organisation des données du maillage

2.2.1 - Nature des données

Les valeurs affichées dans les mailles sont donc organisées entableaux de NCOL colonnes et NLI lignes (figures 9b). Il y a autant detableaux de valeurs que de types de données ; ces tableaux sont remplispar :

- des valeurs d' érodabilité ;

- des cotes topographiques ;

- des cotes de substrattun (autant de tableaux que de couches desubstratum) ;

- des codes de définition des limites (cf. 2-2-2) ;

- des numéros de zones (cf 2-2-3).

2.2.2 - Codification des limites

Les limites du modèle peuvent être :

- à "flux nul" (une ligne de crête) ; elles sont alors repérées parune valeur d' érodabilité nulle ;

26

2 - DESCRIPTION DU MODELE

Le logiciel de modélisation est appelé HERODE. Il est rédigé enFORTRAN 77 et est implanté sur un ordinateur VAX 8500 avec lequel il peuttraiter plusieurs milliers de mailles. Il est issu de l'adaptation et de lafusion de deux logiciels opérationnels au département EAU- ENVIRONNEMENT -ENERGIE du B.R.G.M :

- MARTHE, utilisé pour les calculs hydrodynamiques ;

- VIKING, employé pour les calculs de trajectoires.

HERODE résoud le système d'équations établi ci-dessus (cf. 1-3) àl'aide d'un schéma aux différences finies. L'utilisation du modèle néces¬site donc la constitution d'un maillage. Les caractéristiques de ce mail¬lage et les codifications utilisées sont celles définies dans le logicielMARTHE (réf. 40). L,a mise en forme des données du maillage procède égalementde la même logique que celle de MARTHE.

2.1 - Définition du maillage

La longueur maximale de la zone à modéliser est définie par un nombrede colonnes NCOL et la largeur maximale par un nombre de lignes NLI ,

Les mailles sont, dans un cas général, des rectangles dont les lon¬gueurs peuvent être variables le long d'une ligne et les largeurs variablesle long d'une colonne (figure 9a).

Chaque centre de maille est repéré par ses coordonnées dans xon réfé-rentiel choisi par l'utilisateur (par exemple coordonnées Lambert dans unrepère géographique). Ces coordonnées sont calculées par un pré-processeur(utilisé pour la constitution du fichier des données) à partir d'un pointorigine et des dimensions des mailles (figure 9b).

2.2 - Organisation des données du maillage

2.2.1 - Nature des données

Les valeurs affichées dans les mailles sont donc organisées entableaux de NCOL colonnes et NLI lignes (figures 9b). Il y a autant detableaux de valeurs que de types de données ; ces tableaux sont remplispar :

- des valeurs d' érodabilité ;

- des cotes topographiques ;

- des cotes de substrattun (autant de tableaux que de couches desubstratum) ;

- des codes de définition des limites (cf. 2-2-2) ;

- des numéros de zones (cf 2-2-3).

2.2.2 - Codification des limites

Les limites du modèle peuvent être :

- à "flux nul" (une ligne de crête) ; elles sont alors repérées parune valeur d' érodabilité nulle ;

27 -

Colonne : 3

*3

NKOL

»NKOL

Li^e3

Lipic4

a «

.'2

.'3

NIL fKlL

Figure 9a : Exemple de découpage en mailles rectangulaires

Nombre totalde panneaux

abscisses descentres des colonnes

13 L GNES par7S 325

Origine des coordonnées(coin en bas à gauche dela maille en bas à gaucheici colonne 1 ligne 13)

PANNEAU no 2525 575

EXEMPLE970

842.85 870.72859.4 B91 .17

875.28 910. 2<888.68 927.34899.35 912.19907.17 954. 5<

22 944.4914.86 972.02915.53 977.92914.94 983.34914.63 990.14

920 100013 LIGNES rar

990.131020.31050.81084.11117.5

11 SO000000

010101050108011201160

0000000

870897.74

922.894S.71

944.7985.651002.31016.31027.91037.31046.31057.7

108012 COL

955.08 988.29981.40 10171006.31029.51050.31068.11083.21094.21103.51110. S

1130XO»

1045.71073.51099.1

11201140115011401160

00 Ï0«

ordonnéesdes centresdes lignes

6255755254754253753252752251751257525

0

625,575

52547542537532527S2251751257525

Figure 9b : Exemple de semis de données (sous forme de deux panneaux)

27 -

Colonne : 3

*3

NKOL

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Li^e3

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Figure 9a : Exemple de découpage en mailles rectangulaires

Nombre totalde panneaux

abscisses descentres des colonnes

13 L GNES par7S 325

Origine des coordonnées(coin en bas à gauche dela maille en bas à gaucheici colonne 1 ligne 13)

PANNEAU no 2525 575

EXEMPLE970

842.85 870.72859.4 B91 .17

875.28 910. 2<888.68 927.34899.35 912.19907.17 954. 5<

22 944.4914.86 972.02915.53 977.92914.94 983.34914.63 990.14

920 100013 LIGNES rar

990.131020.31050.81084.11117.5

11 SO000000

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870897.74

922.894S.71

944.7985.651002.31016.31027.91037.31046.31057.7

108012 COL

955.08 988.29981.40 10171006.31029.51050.31068.11083.21094.21103.51110. S

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1045.71073.51099.1

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ordonnéesdes centresdes lignes

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52547542537532527S2251751257525

Figure 9b : Exemple de semis de données (sous forme de deux panneaux)

28 -

à "cote imposée" (par exemple un cours d'eau). Ces cotes imposéessont indiquées dans le tableau de la topographie et peuvent êtremodifiées à chaque pas de temps pour simuler par exemple unevariation de niveau d'un cours d'eau, (cf 2-4-2-2).

Remarque

Un cours d'eau traversant le domaine sera, considéré lui aussi, parextension, comme une limite (à cote imposée).

Toutes les "mailles limites" (à cote imposée et à flux nul) sontrepérées à l'aide d'un code numérique lu comme donnée initiale dans untableau particulier (ce tableau est utilisé en cours d'exécution du program¬me pour le calcul à chaque pas de temps des "flux de matière" dans lesmailles. Ce type de tableau, editable sur option à chaque pas de temps,permet de contrôler le bilan des "flux" dans les mailles.

2-2-3 - Affectation de données par zones

Le tableau "ZONES" permet de définir des zones homogènes relativementà un type de donnée (érodabilité par exemple) : toutes les mailles d'unemême zone, affectées chacune du même numéro pourront alors être caractéri¬sées par une valeur unique pour le type de donnée considéré.

On peut ainsi modifier rapidement, en introduisant une seule valeur,toute une zone du maillage (ce qui est pratique pour une variable suscep¬tible d'évoluer au cour du temps par exemple).

Remarque :

Ces valeurs sont alors introduites dans le fichier des paramètres(cf. 2-4 et figure 10) .

2.3 - Définition du temps

Le calcul est effectué pour un certain nombre de pas de temps précisépar l'utilisateur (= "pas de temps utilisateur").

Pour chaque pas de temps (dont la durée peut être variable au cours dela simulation) on précise :

- la date de la fin de ce pas de temps ;

- les éventuelles modifications portant soit sur la géométrie dudomaine (migration latérale d'une limite à cote imposée parexemple) soit sur les données elles-mêmes (érodabilité parexemple) ;

- les éditions souhaitées (tableaux, cartes...).

A chaque pas de temps, les cotes topographiques calculées sur uncertain nombre de mailles choisies par l'utilisateur peuvent être mémori¬sées. Les "historiques" par maille ainsi obtenus peuvent en fin de simula¬tion être rapidement visualisés.

Pour effectuer les calculs , chaque pas de temps peut être découpé en

28 -

à "cote imposée" (par exemple un cours d'eau). Ces cotes imposéessont indiquées dans le tableau de la topographie et peuvent êtremodifiées à chaque pas de temps pour simuler par exemple unevariation de niveau d'un cours d'eau, (cf 2-4-2-2).

Remarque

Un cours d'eau traversant le domaine sera, considéré lui aussi, parextension, comme une limite (à cote imposée).

Toutes les "mailles limites" (à cote imposée et à flux nul) sontrepérées à l'aide d'un code numérique lu comme donnée initiale dans untableau particulier (ce tableau est utilisé en cours d'exécution du program¬me pour le calcul à chaque pas de temps des "flux de matière" dans lesmailles. Ce type de tableau, editable sur option à chaque pas de temps,permet de contrôler le bilan des "flux" dans les mailles.

2-2-3 - Affectation de données par zones

Le tableau "ZONES" permet de définir des zones homogènes relativementà un type de donnée (érodabilité par exemple) : toutes les mailles d'unemême zone, affectées chacune du même numéro pourront alors être caractéri¬sées par une valeur unique pour le type de donnée considéré.

On peut ainsi modifier rapidement, en introduisant une seule valeur,toute une zone du maillage (ce qui est pratique pour une variable suscep¬tible d'évoluer au cour du temps par exemple).

Remarque :

Ces valeurs sont alors introduites dans le fichier des paramètres(cf. 2-4 et figure 10) .

2.3 - Définition du temps

Le calcul est effectué pour un certain nombre de pas de temps précisépar l'utilisateur (= "pas de temps utilisateur").

Pour chaque pas de temps (dont la durée peut être variable au cours dela simulation) on précise :

- la date de la fin de ce pas de temps ;

- les éventuelles modifications portant soit sur la géométrie dudomaine (migration latérale d'une limite à cote imposée parexemple) soit sur les données elles-mêmes (érodabilité parexemple) ;

- les éditions souhaitées (tableaux, cartes...).

A chaque pas de temps, les cotes topographiques calculées sur uncertain nombre de mailles choisies par l'utilisateur peuvent être mémori¬sées. Les "historiques" par maille ainsi obtenus peuvent en fin de simula¬tion être rapidement visualisés.

Pour effectuer les calculs , chaque pas de temps peut être découpé en

29

un nombre constant de pas de calcul de durées variables (la durée des pasde calcul augmente linéairement jusqu'à la moitié du "pas de temps utili¬sateur" , puis reste constante pendant la seconde moitié) .

2.4 - Paramètres du modèle et modifications des variables par pas detemps

L'introduction des paramètres et les modifications éventuelles desdonnées du maillage au cours d'une simulation se font par l'intermédiaired'un même fichier dont une image est fournie par la figure 10.

2.4.1 - Paramètres

Les paramètres précisent :

* 1) les caractéristiques de la discrétisation :

en espace

- le nombre de lignes du maillage

- le nombre de colonnes

- le nombre de pas de temps dans la simulation

. en temps - le nombre de pas de calcul par pas de temps(1 par défaut)

- la date de la fin de chaque pas de temps

* 2) les critères d'arrêt du processus itératif de calcul des cotestopographiques :

- le nombre maximum d'itérations que l'on se fixe a priori par pasde calcul ;

- l'écart moyen entre deux itérations successives (somme desdifférences de cotes topographiques entre deux itérations succes¬sives divisée par le nombre de mailles de calcul) que l'on jugeadmissible pour mettre fin au processus itératif.

Le calcul prend fin lorsque l'une ou l'autre des valeurs de ces deuxcritères d'arrêt est atteinte (la convergence reste à vérifier au niveau dubilan des flux) .

* 3) les unités des données :

Si l'on admet que les unités de base sont le mètre et le millierd'années, toutes les unités des données devront être exprimées en fonctionde ces deux unités de base de façon à constituer un système dimensionnel-lement homogène. Les unités à introduire concernent :

- le temps ; si l'unité de base est le millier d'années, on intro¬duira par exemple comme unité 1 ou 5, 10... selon que l'onsouhaite définir des pas de temps en milliers d'années, ou en5 X (1000 ans), 10 x (1000 ans),...

29

un nombre constant de pas de calcul de durées variables (la durée des pasde calcul augmente linéairement jusqu'à la moitié du "pas de temps utili¬sateur" , puis reste constante pendant la seconde moitié) .

2.4 - Paramètres du modèle et modifications des variables par pas detemps

L'introduction des paramètres et les modifications éventuelles desdonnées du maillage au cours d'une simulation se font par l'intermédiaired'un même fichier dont une image est fournie par la figure 10.

2.4.1 - Paramètres

Les paramètres précisent :

* 1) les caractéristiques de la discrétisation :

en espace

- le nombre de lignes du maillage

- le nombre de colonnes

- le nombre de pas de temps dans la simulation

. en temps - le nombre de pas de calcul par pas de temps(1 par défaut)

- la date de la fin de chaque pas de temps

* 2) les critères d'arrêt du processus itératif de calcul des cotestopographiques :

- le nombre maximum d'itérations que l'on se fixe a priori par pasde calcul ;

- l'écart moyen entre deux itérations successives (somme desdifférences de cotes topographiques entre deux itérations succes¬sives divisée par le nombre de mailles de calcul) que l'on jugeadmissible pour mettre fin au processus itératif.

Le calcul prend fin lorsque l'une ou l'autre des valeurs de ces deuxcritères d'arrêt est atteinte (la convergence reste à vérifier au niveau dubilan des flux) .

* 3) les unités des données :

Si l'on admet que les unités de base sont le mètre et le millierd'années, toutes les unités des données devront être exprimées en fonctionde ces deux unités de base de façon à constituer un système dimensionnel-lement homogène. Les unités à introduire concernent :

- le temps ; si l'unité de base est le millier d'années, on intro¬duira par exemple comme unité 1 ou 5, 10... selon que l'onsouhaite définir des pas de temps en milliers d'années, ou en5 X (1000 ans), 10 x (1000 ans),...

EROSION ; Il X K H ^^ L EITERATIONS PAR PAS ME CALCULNOMBftK HAXl 01:: PAS m: MFJSUlît:REFERENCE PES HAUTEURS

30 -

* MODEI.>; = HEftOOE NB COLONNES.;!200UAftIAT.TON MAXIMA. í'.ht UNITE50N0HBRE DE PAG OE CALCUL PAR

0 COEFFICIENT HE RlfLAX

OVÎN» DES PAR MA

PAS OEA) ION

ERODABILITESFLUXCOTt:S TOPOGRAHIOUEIKZONES DE DONNEESTEMPSDECOUPAGE

F.n:en:en:

en:en:

MW l000r3n->;M27/] OOOans

METRE

tOOO années;METRE

-0.500E-00= 1 .OOOE-00n .OOOE-00

LIGNES-v

ILt.E:- U-HtrSURE-^

EDITIONIffil I IONEDITIONEDITION

OH

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= 1

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NOMBRE DE COUCHES DE SUBSTRATUM:COTK DE REFERENCE D.v:S SUBSTRATUMS ;

f-:DITION

ISO-COTliS HTNI-ISO-ECARTS MINI

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lOO.ESPA^:îo.espa-

10.*.10. «

COEFFICIENT D AGRESSIVITE CLIMATIQUETERME 0 EROSilON »t: TYPt: 'CREEP' < M/1 000 3ns)

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20.0!0!

COEFFTCIENfCOEFFICIENTCOEFF tCtCNT

1.1 ALTERAT t OND ALTERATIONDE PARTAGE

MECANIQUECHIMIQUE ,5!

,5!

EPAISSEUR CRITIQUE OE SOL ( «n M.) 1 .0!

NOMBRt:OPTION

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LONG.GMt:NrS

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4 10!i !

S.?aiJoncG 3 r3utont de f'ticouches «le

(Í I

¡p rodui r¤.i :. ou H de'jbstretuBi

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OPTION ZOOM SUR LE GRAPHIQUE ECRANFENETRE DU <?00MSAUTS DE VISUALISATION (

'10/ \3 parti r de

historiQ<j<3íiL 2!C 2L 2!C 3L9L 2IC lOL :!!C IIL

17L 2!C 18L 2!C 19L2Í5L 2!C '¿éL 2!C 27L33L 2!C 34L 2!C 35L-IIL 2!C A2L 2!C 'I.ÎL49L 2!C 50L 2!C 51L57L 2!C 58L 2!C SVLÓ5L 2!C 6ÓL 2!C 67L73L 2!C 7 AL 2!C 75L81 L 2!C 82L 2!C G:'.L99L 2!C VOL .î ! C 91 L97L 2!C 98L 2!C 99L

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C

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8888RESI- 8888

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FINPAS

FINPAS

FINPAS

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PAS 33M00H

PAS 44M0DH

PAS 55M0DH

OMODO

OMODO

OMODO

OMODO

2, TAB COT=OMODP OHODZ

3 .TAB COT =OMODP 0M0D2

4. TAB COT-OMODP OMCinZ

3. TAB COf^-OMODP OKODZ

2CAR0

2CAR0

2CAR0

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OCAR

OCAR

OCAR

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ECA- 0

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Figure 10 : Un exemple de fichier paramètres du logiciel HERODE

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30 -

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1.1 ALTERAT t OND ALTERATIONDE PARTAGE

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FINPAS

FINPAS

FINPAS

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PAS 22M0DH

PAS 33M00H

PAS 44M0DH

PAS 55M0DH

OMODO

OMODO

OMODO

OMODO

2, TAB COT=OMODP OHODZ

3 .TAB COT =OMODP 0M0D2

4. TAB COT-OMODP OMCinZ

3. TAB COf^-OMODP OKODZ

2CAR0

2CAR0

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2CAIÍ0

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2FLUX

2FLUX

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ECA-

ECA-T

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OCAR

OCAR

OCAR

OCAR

£CA= 0

ECA-- 0

ECA- 0

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r

r

.r

e

Figure 10 : Un exemple de fichier paramètres du logiciel HERODE

- 31

- le découpage spatial, par exemple en mètre ou kilomètre (onintroduira alors comme unité 1 ou 1000, si l'unité de base est lemètre) ;

- les cotes topographiques et celles du substratum (par exemple lemètre) ;

- l'érodabilité (par exemple le m/1000 ans et l'on introduit uneunité de 1, ou le m/10 OOOans l'unité à introduire étant alors de0.1) ;

- le creep (en m /lOOO ans, ou en m /lO 000 ans,...).

Ce système de conversion d'unités a deux avantages :

- d'une part il permet à l'utilisateur d'avoir ses propres unitésde données dans le fichier des données du maillage ;

- d'autre part il permet une modification d'ensemble de l'ordre degrandeur d'un type de donnée dans le maillage (par exemplemultiplication par 0.5, 10 etc...).

* 4) Les cotes de référence de la topographie et du substratum et le nombrede couches de substratum

Les cotes topographiques sont définies par rapport à une hauteur deréférence HREFER ; si cette hauteur n'est pas nulle, on a dans le modèle :

Cote modèle - cote lue + HREFER

on peut ainsi diminuer éventuellement (HREFER<0) toutes les cotes (issuesd'une digitalisation par exemple) pour augmenter la précision numérique descalculs .

Par exemple, pour des cotes comprises entre 1010 m et 1060 m, on peutfixer HREFER - -1000 m ce qui permet des calculs plus précis, avec descotes comprises entre 10 et 60 m.

La même correction doit alors être faite sur les cotes du substratumqui sont aussi définies par rapport à une hauteur de référence SREFER :

Substratum modèle = substratum lu + SREFER

Remarque :

Si le paramètre "nombre de couches de substratum" est nul, il n'y aalors pas de "tableau substratum" à lire ; dans ce cas on ne fait pasintervenir l'altération, le transport étant supposé toujours agir à sapleine capacité.

* 5) Les valeurs des constantes (dans l'espace) intervenant dans lesprocessus de transport :

- aggressivité climatique (sans dimension) ;

- terme de creep (dans l'unité adéquate).

- 31

- le découpage spatial, par exemple en mètre ou kilomètre (onintroduira alors comme unité 1 ou 1000, si l'unité de base est lemètre) ;

- les cotes topographiques et celles du substratum (par exemple lemètre) ;

- l'érodabilité (par exemple le m/1000 ans et l'on introduit uneunité de 1, ou le m/10 OOOans l'unité à introduire étant alors de0.1) ;

- le creep (en m /lOOO ans, ou en m /lO 000 ans,...).

Ce système de conversion d'unités a deux avantages :

- d'une part il permet à l'utilisateur d'avoir ses propres unitésde données dans le fichier des données du maillage ;

- d'autre part il permet une modification d'ensemble de l'ordre degrandeur d'un type de donnée dans le maillage (par exemplemultiplication par 0.5, 10 etc...).

* 4) Les cotes de référence de la topographie et du substratum et le nombrede couches de substratum

Les cotes topographiques sont définies par rapport à une hauteur deréférence HREFER ; si cette hauteur n'est pas nulle, on a dans le modèle :

Cote modèle - cote lue + HREFER

on peut ainsi diminuer éventuellement (HREFER<0) toutes les cotes (issuesd'une digitalisation par exemple) pour augmenter la précision numérique descalculs .

Par exemple, pour des cotes comprises entre 1010 m et 1060 m, on peutfixer HREFER - -1000 m ce qui permet des calculs plus précis, avec descotes comprises entre 10 et 60 m.

La même correction doit alors être faite sur les cotes du substratumqui sont aussi définies par rapport à une hauteur de référence SREFER :

Substratum modèle = substratum lu + SREFER

Remarque :

Si le paramètre "nombre de couches de substratum" est nul, il n'y aalors pas de "tableau substratum" à lire ; dans ce cas on ne fait pasintervenir l'altération, le transport étant supposé toujours agir à sapleine capacité.

* 5) Les valeurs des constantes (dans l'espace) intervenant dans lesprocessus de transport :

- aggressivité climatique (sans dimension) ;

- terme de creep (dans l'unité adéquate).

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* 6) Les valeurs des coefficients caractérisant les processus d'altération(cf. 1.3) :

- constante qom de l'équation E3 de la loi d'altération mécanique ;

- constante qoc des équations E4 et E5 des lois d'altérationchimique ;

- coefficient de pondération entre altération chimique et mécanique ;

- épaisseur critique de sol pour l'altération chimique.

* 7) Les paramètres de dimensionnement des lignes de pente délimitant lesaires drainées (cf. 2.5.2) :

- nombre maximum de tronçons d'une ligne de pente (- une "trajec¬toire" ) ;

- nombre de points définissant chaque tronçon (4, 6 , 10 ou 15points) .

* 8) Les options de sortie des résultats, c'est-à-dire :

- les dates de sortie souhaitées ;

- la forme de la sortie, à savoir :

. une structure des fichiers de sortie identique à celle desfichiers d'entrée (fichiers "semis") ;

. une structure séquentielle (coordonnées X, Y et valeur de lavariable) ;

. une carte sur imprimante (carte de la variable topographique) .

* 9) Les options de visualisation de "profils en long" sur écran :

- les numéros des mailles (colonne, ligne) définissant le profil(100 mailles au maximum) ;

- les dates où l'on souhaite une visualisation du profil ;

- les numéros des mailles définissant une portion seulement duprofil (pour obtenir un "zoom").

Remarque :

Si le premier emplacement de numéro de maille n'est pas valorisé iln'y a pas de visualisation sur écran.

2-4-2 - Modification des données par zone et par pas de temps

2.4.2.1 - Modification par zone

On peut introduire dans le fichier ci -dessus un certain nombre delignes (cf. figure 10) permettant, après lecture des données desmailles, d'affecter globalement une même valeur, pour une

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* 6) Les valeurs des coefficients caractérisant les processus d'altération(cf. 1.3) :

- constante qom de l'équation E3 de la loi d'altération mécanique ;

- constante qoc des équations E4 et E5 des lois d'altérationchimique ;

- coefficient de pondération entre altération chimique et mécanique ;

- épaisseur critique de sol pour l'altération chimique.

* 7) Les paramètres de dimensionnement des lignes de pente délimitant lesaires drainées (cf. 2.5.2) :

- nombre maximum de tronçons d'une ligne de pente (- une "trajec¬toire" ) ;

- nombre de points définissant chaque tronçon (4, 6 , 10 ou 15points) .

* 8) Les options de sortie des résultats, c'est-à-dire :

- les dates de sortie souhaitées ;

- la forme de la sortie, à savoir :

. une structure des fichiers de sortie identique à celle desfichiers d'entrée (fichiers "semis") ;

. une structure séquentielle (coordonnées X, Y et valeur de lavariable) ;

. une carte sur imprimante (carte de la variable topographique) .

* 9) Les options de visualisation de "profils en long" sur écran :

- les numéros des mailles (colonne, ligne) définissant le profil(100 mailles au maximum) ;

- les dates où l'on souhaite une visualisation du profil ;

- les numéros des mailles définissant une portion seulement duprofil (pour obtenir un "zoom").

Remarque :

Si le premier emplacement de numéro de maille n'est pas valorisé iln'y a pas de visualisation sur écran.

2-4-2 - Modification des données par zone et par pas de temps

2.4.2.1 - Modification par zone

On peut introduire dans le fichier ci -dessus un certain nombre delignes (cf. figure 10) permettant, après lecture des données desmailles, d'affecter globalement une même valeur, pour une

33

certaine variable, à toutes les mailles d'une même zone (cette valeurremplace donc la valeur qui aurait pu être lue précédemment) . Les variablessusceptibles d'être ainsi modifiées sont :

- 1) l'érodabilité ;

- 2) les cotes topographiques (par exemple au niveau d'un coursd'eau qui aura été repéré par un numéro de zone particulierdans le fichier des données du maillage) ;

- 3) le code des "cotes imposées" (par exemple pour un coursd'eau) ;

- 4) les cotes du substratum (au niveau d'une structureparticulière, par exemple une faille) ;

- 5) un facteur de résistance du substratum à l'altération quiinterviendrait pour moduler le coefficient qom d'altérationmécanique s'il y avait lieu ; par exemple une alternance destrates "dures" et de strates "tendres" nécessite la prise encompte d'un coefficient qom variable dans l'espace.

Remarque :

Si l'on ne souhaite pas utiliser ce système de modifications, ilsuffit de mettre un numéro de zone négatif. Si une modification est effec¬tuée sur un type de données , il faudra fixer une valeur code aux autres(8888) pour éviter que ne leur soit affectée la valeur 0.

2.4.2.2 - Modifications au cours de la simulation

Au cours de la simulation, à chaque pas de temps, il est possible demodifier les valeurs des données du maillage, soit par zone (comme ci-dessus) , soit maille par maille. Dans ce dernier cas, on indique le nombrede modifications que l'on souhaite effectuer sur tel ou tel type de donnée(sont prévus les cotes topographiques, les codes de cote imposée,l'érodabilité, les cotes du substratum). On introduit alors dans le fichierdes lignes supplémentaires pour préciser les mailles concernées et lesnouvelles valeurs qu'il faut leur attribuer.

On peut alors par ce biais simuler :

- l'action de creusement d'im cours d'eau ; on impose à chaque pasde temps des cotes calculées suivant une certaine loi de varia¬tion dans le temps ;

- le déplacement du lit d'un cours d'eau : cette migration latéraleest simulée en affectant aux mailles concernées le code de coteimposée tout en 1 ' ôtant des mailles qui ne sont plus traverséespar le cours d'eau.

33

certaine variable, à toutes les mailles d'une même zone (cette valeurremplace donc la valeur qui aurait pu être lue précédemment) . Les variablessusceptibles d'être ainsi modifiées sont :

- 1) l'érodabilité ;

- 2) les cotes topographiques (par exemple au niveau d'un coursd'eau qui aura été repéré par un numéro de zone particulierdans le fichier des données du maillage) ;

- 3) le code des "cotes imposées" (par exemple pour un coursd'eau) ;

- 4) les cotes du substratum (au niveau d'une structureparticulière, par exemple une faille) ;

- 5) un facteur de résistance du substratum à l'altération quiinterviendrait pour moduler le coefficient qom d'altérationmécanique s'il y avait lieu ; par exemple une alternance destrates "dures" et de strates "tendres" nécessite la prise encompte d'un coefficient qom variable dans l'espace.

Remarque :

Si l'on ne souhaite pas utiliser ce système de modifications, ilsuffit de mettre un numéro de zone négatif. Si une modification est effec¬tuée sur un type de données , il faudra fixer une valeur code aux autres(8888) pour éviter que ne leur soit affectée la valeur 0.

2.4.2.2 - Modifications au cours de la simulation

Au cours de la simulation, à chaque pas de temps, il est possible demodifier les valeurs des données du maillage, soit par zone (comme ci-dessus) , soit maille par maille. Dans ce dernier cas, on indique le nombrede modifications que l'on souhaite effectuer sur tel ou tel type de donnée(sont prévus les cotes topographiques, les codes de cote imposée,l'érodabilité, les cotes du substratum). On introduit alors dans le fichierdes lignes supplémentaires pour préciser les mailles concernées et lesnouvelles valeurs qu'il faut leur attribuer.

On peut alors par ce biais simuler :

- l'action de creusement d'im cours d'eau ; on impose à chaque pasde temps des cotes calculées suivant une certaine loi de varia¬tion dans le temps ;

- le déplacement du lit d'un cours d'eau : cette migration latéraleest simulée en affectant aux mailles concernées le code de coteimposée tout en 1 ' ôtant des mailles qui ne sont plus traverséespar le cours d'eau.

- 34 -

2.5 - Les calculs : déroulement et principes

2.5.1 - Principales séquences

Dans chaque maille i, le logiciel calcule :

* l'aire drainée AIRE(i) relative à cette maille ;

* le facteur global d'érosion, produit de 3 facteurs partiels quisont :

. l'érodabilité des sols EROS(i) ;

. 1' aggressivité climatique AGCL ;

. l'aire drainée AIRE(i).

et auquel s'ajoute le terme de "creep" CREEP(i) (englobant aussi la salta¬tion pluviale)

FEROS (i) - EROS(i)*AGCL*AIRE(i)+CREEP(i)

* l'épaisseur de sol (jusqu'à la roche "saine"), différence entrela cote topographique H(i) et la cote du substratum 0(i) à ladate t .

EPSOL(i) = H(i) - a(i) ;

* la nouvelle cote du substratum après action des mécanismesd'altération :

ALTERATIONa(t) O (t-l-At)

Lorsque plusieurs couches de substratiom sont présentes, un test dereconnaissance de la couche qui subira l'altération au pas de calculsuivant est effectué (afin de prendre en compte les caractéristiquespropres de cette couche) .

* la nouvelle cote topographique après érosion. Cette cote H(t-i-At)est obtenue après résolution de l'équation de diffusion

EROSIONH(t) H(t+At).

- 34 -

2.5 - Les calculs : déroulement et principes

2.5.1 - Principales séquences

Dans chaque maille i, le logiciel calcule :

* l'aire drainée AIRE(i) relative à cette maille ;

* le facteur global d'érosion, produit de 3 facteurs partiels quisont :

. l'érodabilité des sols EROS(i) ;

. 1' aggressivité climatique AGCL ;

. l'aire drainée AIRE(i).

et auquel s'ajoute le terme de "creep" CREEP(i) (englobant aussi la salta¬tion pluviale)

FEROS (i) - EROS(i)*AGCL*AIRE(i)+CREEP(i)

* l'épaisseur de sol (jusqu'à la roche "saine"), différence entrela cote topographique H(i) et la cote du substratum 0(i) à ladate t .

EPSOL(i) = H(i) - a(i) ;

* la nouvelle cote du substratum après action des mécanismesd'altération :

ALTERATIONa(t) O (t-l-At)

Lorsque plusieurs couches de substratiom sont présentes, un test dereconnaissance de la couche qui subira l'altération au pas de calculsuivant est effectué (afin de prendre en compte les caractéristiquespropres de cette couche) .

* la nouvelle cote topographique après érosion. Cette cote H(t-i-At)est obtenue après résolution de l'équation de diffusion

EROSIONH(t) H(t+At).

35 -

2.5.2 - Calcul des aires drainées

Il s'agit de calculer l'aire drainée relative à un centre de maille.Pour cela on considère un segment S inclus dans la maille, passant par soncentre et orthogonal au vecteur "vitesse" (figure 11). A chaque extrémitéde ce segment aboutit une "ligne de pente" (que l'on peut appeler "trajec¬toire" T d'un filet liquide ruisselant) ; ces deux lignes de pente, quiconstituent l'enveloppe de toutes les trajectoires franchissant le segmentS, sont issues d'une ligne de crête C.

La surface drainée est donc délimitée par le contour ST^CT^ (figure 11)Si l'on désigne par A l'aire de cette surface et par L la longueur dusegment S, l'aire drainée relative au centre de la maille i est donnéepar :

A(i)AIRE(i) = (dimension L)

L(i)

L'essentiel du problème réside donc dans le calcul des deux trajec¬toires "enveloppe". Il a été résolu par intégration dans HERODE du logicielVIKING utilisé pour le calcul de trajectoires en hydrodjmamique souter¬raine. Le principe des calculs est exposé brièvement ci -dessous :

1ère étape :

Calcul des gradients topographiques aux quatre frontières de chacunedes mailles du modèle. On définit ainsi un champ de "vitesses" (V--Grad H)que l'on peut exprimer dans chaque maille par une loi analytique linéaire.

Connaissant dans une maille i le vecteur vitesse passant par le centrede la maille, on calcule alors les coordonnées des extrémités d'un segmentinclus dans cette maille, passant par son centre, et orthogonal au vecteurvitesse.

Ce calcul est fait pour toutes les mailles du modèle. On dispose ainsid'un ensemble de 2n points "d'arrivée" de trajectoires qui seront, quant àelles, déterminées dans une deuxième étape.

2éme étape :

Chaque trajectoire est définie par la loi de mouvement d'une "parti¬cule" soumise au champ de vitesse calculé. La méthode adoptée consistealors à résoudre analytiquement 1 ' équation de mouvement pour chaque tronçonde trajectoire traversant une maille du domaine (figure 12). La trajec¬toire, de son origine au point d'arrêt, est alors constituée par 1' enchaîne¬ment, de maille en maille, de tous les tronçons (le point d'arrêt est situésur vme crête topographique) .

Le calcul comprend deux phases, répétées autant de fois que de maillestraversées :

- calcul du tronçon traversant une maille ;

- identification de la maille suivante à traverser.

35 -

2.5.2 - Calcul des aires drainées

Il s'agit de calculer l'aire drainée relative à un centre de maille.Pour cela on considère un segment S inclus dans la maille, passant par soncentre et orthogonal au vecteur "vitesse" (figure 11). A chaque extrémitéde ce segment aboutit une "ligne de pente" (que l'on peut appeler "trajec¬toire" T d'un filet liquide ruisselant) ; ces deux lignes de pente, quiconstituent l'enveloppe de toutes les trajectoires franchissant le segmentS, sont issues d'une ligne de crête C.

La surface drainée est donc délimitée par le contour ST^CT^ (figure 11)Si l'on désigne par A l'aire de cette surface et par L la longueur dusegment S, l'aire drainée relative au centre de la maille i est donnéepar :

A(i)AIRE(i) = (dimension L)

L(i)

L'essentiel du problème réside donc dans le calcul des deux trajec¬toires "enveloppe". Il a été résolu par intégration dans HERODE du logicielVIKING utilisé pour le calcul de trajectoires en hydrodjmamique souter¬raine. Le principe des calculs est exposé brièvement ci -dessous :

1ère étape :

Calcul des gradients topographiques aux quatre frontières de chacunedes mailles du modèle. On définit ainsi un champ de "vitesses" (V--Grad H)que l'on peut exprimer dans chaque maille par une loi analytique linéaire.

Connaissant dans une maille i le vecteur vitesse passant par le centrede la maille, on calcule alors les coordonnées des extrémités d'un segmentinclus dans cette maille, passant par son centre, et orthogonal au vecteurvitesse.

Ce calcul est fait pour toutes les mailles du modèle. On dispose ainsid'un ensemble de 2n points "d'arrivée" de trajectoires qui seront, quant àelles, déterminées dans une deuxième étape.

2éme étape :

Chaque trajectoire est définie par la loi de mouvement d'une "parti¬cule" soumise au champ de vitesse calculé. La méthode adoptée consistealors à résoudre analytiquement 1 ' équation de mouvement pour chaque tronçonde trajectoire traversant une maille du domaine (figure 12). La trajec¬toire, de son origine au point d'arrêt, est alors constituée par 1' enchaîne¬ment, de maille en maille, de tous les tronçons (le point d'arrêt est situésur vme crête topographique) .

Le calcul comprend deux phases, répétées autant de fois que de maillestraversées :

- calcul du tronçon traversant une maille ;

- identification de la maille suivante à traverser.

36

Mailles limites (ligne de crête)

^Pè- aire drainée decontour ST1CT2

ligne de pente T

Maille de calculdirection du gradienttopographique dans lamaille

Ligne de pente T2

Figure 11 : Délimitation de l'aire drainée relative à un centre de maille

36

Mailles limites (ligne de crête)

^Pè- aire drainée decontour ST1CT2

ligne de pente T

Maille de calculdirection du gradienttopographique dans lamaille

Ligne de pente T2

Figure 11 : Délimitation de l'aire drainée relative à un centre de maille

37

/i

GXl, GX2 = gradients suivant la direction X aux frontières de la maille(I.J).

GYl, GY2 = gradients suivant la direction Y aux frontières de la maille(I.J).

E point d'entrée de la "trajectoire" dans la maile (I,J) de coordonnéesXg, Yg.

S point de sortie de la "trajectoire" dans la maille (I,J) de coordonnéesXg, Yg.

Figure 12 : Principe de calcul des lignes de pente (- des "trajectoires")

37

/i

GXl, GX2 = gradients suivant la direction X aux frontières de la maille(I.J).

GYl, GY2 = gradients suivant la direction Y aux frontières de la maille(I.J).

E point d'entrée de la "trajectoire" dans la maile (I,J) de coordonnéesXg, Yg.

S point de sortie de la "trajectoire" dans la maille (I,J) de coordonnéesXg, Yg.

Figure 12 : Principe de calcul des lignes de pente (- des "trajectoires")

38

2.5.3 - Résolution de l'équation de diffusion

La résolution de l'équation de diffusion est effectuée à l'aide d'unschéma aux différences finies et d'une méthode implicite pure. La cotetopographique au centre d'une maille est obtenue par itérations conformé¬ment à la relation :

4 Ax.Ay H(t-At)2 C.H.(t) +

i-1 AtH(t)

4 Ax . Ay2 C¿ +

1=1 At

avec :

H(t) cote dans la maille de calcul à la date t

H£(t) cote dans la maille adjacente i (1=1,4) à la même date

C^ coefficients d'échange entre la maille de calcul et une maillevoisine i.

Ax, Ay les cotés de la maille.

At le pas de temps ,

38

2.5.3 - Résolution de l'équation de diffusion

La résolution de l'équation de diffusion est effectuée à l'aide d'unschéma aux différences finies et d'une méthode implicite pure. La cotetopographique au centre d'une maille est obtenue par itérations conformé¬ment à la relation :

4 Ax.Ay H(t-At)2 C.H.(t) +

i-1 AtH(t)

4 Ax . Ay2 C¿ +

1=1 At

avec :

H(t) cote dans la maille de calcul à la date t

H£(t) cote dans la maille adjacente i (1=1,4) à la même date

C^ coefficients d'échange entre la maille de calcul et une maillevoisine i.

Ax, Ay les cotés de la maille.

At le pas de temps ,

- 39 -

3 - VALIDATION DU MODELE

Le modèle a été validé à l'aide de quelques solutions analytiques.

dz 3^z3.1 - Comparaison avec quelques solutions de l'équation : = C

at 3x2

Dans cette équation, applicable par exemple au creep, z est la varia¬ble topographique [z = z (x,t)] et C est une constante de dimension L^T-^.De nombreuses solutions, pour différentes conditions aux limites et ini¬tiales, ont été publiées par CULLING entre 1960 et 1965 :

- Analytical theory of erosion, 1960 (cf. réf. 24) ;

- Soil creep and development of hillside slopes, 1963 (cf. réf. 25)- Theory of erosion on soil-covered slopes, 1965 (cf. réf. 26).

Les cinq solutions qui ont été utilisées ici peuvent correspondre àdes cas d'érosion très idéalisés. Ces solutions et les conditions auxlimites et initiales correspondantes ont été reportées en annexe et seulesdes comparaisons, sous forme graphique, avec les résultats du modèle sontici présentées.

Le maillage utilisé par le modèle comprend trois lignes de 102 colon¬nes. Les mailles sont carrées, avec un côté de 5m. Des conditions de fluxnul sont appliquées sur la première et troisième rangée de mailles. Lesconditions sur la première et dernière colonne de la rangée centrale sontles conditions aux limites des différentes solutions analytiques (cf.annexe). La condition initiale correspond à la cote topographique, danschaque maille, du profil de départ (horizontal, linéaire ou parabolique).

Le pas de temps est de 10 000 ans.

Le coefficient C (terme de creep) a été pris égal à 10 m^/lOOO ans.

Les résultats obtenus sont présentés par les figures qui suivent. Onnotera, dans tous les cas, l'excellente concordance entre la solutionanalytique et la solution numérique.

- 39 -

3 - VALIDATION DU MODELE

Le modèle a été validé à l'aide de quelques solutions analytiques.

dz 3^z3.1 - Comparaison avec quelques solutions de l'équation : = C

at 3x2

Dans cette équation, applicable par exemple au creep, z est la varia¬ble topographique [z = z (x,t)] et C est une constante de dimension L^T-^.De nombreuses solutions, pour différentes conditions aux limites et ini¬tiales, ont été publiées par CULLING entre 1960 et 1965 :

- Analytical theory of erosion, 1960 (cf. réf. 24) ;

- Soil creep and development of hillside slopes, 1963 (cf. réf. 25)- Theory of erosion on soil-covered slopes, 1965 (cf. réf. 26).

Les cinq solutions qui ont été utilisées ici peuvent correspondre àdes cas d'érosion très idéalisés. Ces solutions et les conditions auxlimites et initiales correspondantes ont été reportées en annexe et seulesdes comparaisons, sous forme graphique, avec les résultats du modèle sontici présentées.

Le maillage utilisé par le modèle comprend trois lignes de 102 colon¬nes. Les mailles sont carrées, avec un côté de 5m. Des conditions de fluxnul sont appliquées sur la première et troisième rangée de mailles. Lesconditions sur la première et dernière colonne de la rangée centrale sontles conditions aux limites des différentes solutions analytiques (cf.annexe). La condition initiale correspond à la cote topographique, danschaque maille, du profil de départ (horizontal, linéaire ou parabolique).

Le pas de temps est de 10 000 ans.

Le coefficient C (terme de creep) a été pris égal à 10 m^/lOOO ans.

Les résultats obtenus sont présentés par les figures qui suivent. Onnotera, dans tous les cas, l'excellente concordance entre la solutionanalytique et la solution numérique.

40 -

Cas n'I : Dégradation d'un plateau initialement horizontal et de longueurfinie L : figure 13

ne.

\m

SB.

BI9.

7B.

ee .

50.

iZ .

3e.

20.

le.

» <

H

tioo.^

t200~/_

1 H

1 1 H

y //p^ f3oo

/yC/^UOO

' tsoo

1 1 h

1

n D «

1

1 1 1

0 0 e e 0 0

OOO modèle solution analytique

t en milliers d'années

1 1 1

1

-«

1

e 1>

-

-

..

-.

-

se 15e zee 250 see 35e iiee ^5e 5ee

mètres

Figure 13 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn'I

Cas n''2 : Evolution d'un profil initialement linéaire (de pente constante)compris entre une limite de cote imposée (un niveau de base) etune ligne de crête : figure 14

mètres

12

lie

-+- -+-

000 modèle solution analytique

t en milliers dannèes

Figure 14 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn«2

40 -

Cas n'I : Dégradation d'un plateau initialement horizontal et de longueurfinie L : figure 13

ne.

\m

SB.

BI9.

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50.

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-

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mètres

Figure 13 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn'I

Cas n''2 : Evolution d'un profil initialement linéaire (de pente constante)compris entre une limite de cote imposée (un niveau de base) etune ligne de crête : figure 14

mètres

12

lie

-+- -+-


t en milliers dannèes

Figure 14 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn«2

- 41

Cas n'S : Evolution d'un profil initialement parabolique compris entre unelimite de cote imposée et une ligne de crête

mètr

12e

lie ..

-+- -+-



ise see

mètres

Figure 15 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn-S

Cas n*4 : Evolution d'un profil initialement horizontal sous l'action d'unabaissement du niveau de base ("downcutting")

mètres

12e

ne.. ligne de crête

, j. . . _

solution analytique

Figure 16 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn°4

Le profil est ici symétrique et les extrémités est et ouests'abaissent à la même vitesse

- 41

Cas n'S : Evolution d'un profil initialement parabolique compris entre unelimite de cote imposée et une ligne de crête

mètr

12e

lie ..

-+- -+-



ise see

mètres

Figure 15 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn-S

Cas n*4 : Evolution d'un profil initialement horizontal sous l'action d'unabaissement du niveau de base ("downcutting")

mètres

12e

ne.. ligne de crête

, j. . . _

solution analytique

Figure 16 : Comparaison solution du modèle, solution analytique dans le casn°4

Le profil est ici symétrique et les extrémités est et ouests'abaissent à la même vitesse

42

Cas n'5 : Evolution d'un profil initialement horizontal sous l'action d'undéplacement horizontal du niveau de base ("Lateral undercutting")

mètres

ne..

t100

-^^ déplacement

OOO modèle. solution analytique


OOOnnîinnr

se ise 2ee 25e sm dse see

mètres

Figure 17 : Comparaison solution du modèle , solution analytique dans le casn°5

42

Cas n'5 : Evolution d'un profil initialement horizontal sous l'action d'undéplacement horizontal du niveau de base ("Lateral undercutting")

mètres

ne..

t100

-^^ déplacement

OOO modèle. solution analytique


OOOnnîinnr

se ise 2ee 25e sm dse see

mètres

Figure 17 : Comparaison solution du modèle , solution analytique dans le casn°5

43

3.2 - Comparaison avec des solutions de l'équation

dz d

dt dx h*" ir]Dans cette équation k et c sont des constantes ; on compare ici les

résultats du modèle avec deux solutions :

- l'une a été proposée par TROFIMOV et MOSKOVKIN (Diffusions modelsof slope development, réf 39) dans le cas où c=o (ce qui corres¬pond à l'action du ruissellement seul) ;

- l'autre a été établie dans le cadre de cette étude en considérantle coefficient c non nul (ce qui correspond aux actions combinéesdu ruisselement et du creep) . Une méthode de résolution (quigénéralise celle de TROFIMOV) est donnée en annexe.

Dans les deux cas, les conditions aux limites et initiale sont lessuivantes :

en X - o : z(o,t)-= o Vt (niveau de base fixe)

dzen X - 1 : | ] = o Vt (ligne de crête)

dx II

à t=o : z(x=o) = f(x) o < X < 1

Dans les dexix cas traités (cas n°6 et 7, figures 18 et 19) le profilX

initial a été choisi linéaire, (f(x) - h , avec h hauteur du profil1

en x-1) .

Comme dans les cas précédents , les résultats du modèle coïncidentparfaitement avec la solution analytique (le maillage du modèle est iden¬tique à celui décrit ci-dessus en 3.1).

43

3.2 - Comparaison avec des solutions de l'équation

dz d

dt dx h*" ir]Dans cette équation k et c sont des constantes ; on compare ici les

résultats du modèle avec deux solutions :

- l'une a été proposée par TROFIMOV et MOSKOVKIN (Diffusions modelsof slope development, réf 39) dans le cas où c=o (ce qui corres¬pond à l'action du ruissellement seul) ;

- l'autre a été établie dans le cadre de cette étude en considérantle coefficient c non nul (ce qui correspond aux actions combinéesdu ruisselement et du creep) . Une méthode de résolution (quigénéralise celle de TROFIMOV) est donnée en annexe.

Dans les deux cas, les conditions aux limites et initiale sont lessuivantes :

en X - o : z(o,t)-= o Vt (niveau de base fixe)

dzen X - 1 : | ] = o Vt (ligne de crête)

dx II

à t=o : z(x=o) = f(x) o < X < 1

Dans les dexix cas traités (cas n°6 et 7, figures 18 et 19) le profilX

initial a été choisi linéaire, (f(x) - h , avec h hauteur du profil1

en x-1) .

Comme dans les cas précédents , les résultats du modèle coïncidentparfaitement avec la solution analytique (le maillage du modèle est iden¬tique à celui décrit ci-dessus en 3.1).

44

Cas n°6 : Action du ruissellement seul : le coefficient k (érodabilité) aété pris égal à lm/1000 ans

mètres12e

ne

H i 1 1 H 1 1 1-



se lee ise 2ee 2se see 3se lae ise see

mètres

Figure 18 : Comparaison solution du modèle et solution analytique dans lecas n°6

On remarquera la concavité du profil, conforme aux observations faitespour ce type d'action erosive.

Cas n"? : Action du ruissellement et du couple saltation- creep

mètres

12e

n H 1 1 1 1 1 1 1-

lie .j. 000 modèle._- solution analytique

180 4- 1 en milliers d'années

mètres

Figure 19 : Comparaison solution du modèle solution analytique dans le casn''7

le coefficient k (érodabilité) a été fixé à 0.5 m/lOOO ans et le terme decreep à été choisi égal à 10 m^/lOOO ans.

Le profil est ici caractérisé par une forme convexo-concave laconvexité sommitale étant due au creep (et à la saltation) .

44

Cas n°6 : Action du ruissellement seul : le coefficient k (érodabilité) aété pris égal à lm/1000 ans

mètres12e

ne

H i 1 1 H 1 1 1-



se lee ise 2ee 2se see 3se lae ise see

mètres

Figure 18 : Comparaison solution du modèle et solution analytique dans lecas n°6

On remarquera la concavité du profil, conforme aux observations faitespour ce type d'action erosive.

Cas n"? : Action du ruissellement et du couple saltation- creep

mètres

12e

n H 1 1 1 1 1 1 1-

lie .j. 000 modèle._- solution analytique

180 4- 1 en milliers d'années

mètres

Figure 19 : Comparaison solution du modèle solution analytique dans le casn''7

le coefficient k (érodabilité) a été fixé à 0.5 m/lOOO ans et le terme decreep à été choisi égal à 10 m^/lOOO ans.

Le profil est ici caractérisé par une forme convexo-concave laconvexité sommitale étant due au creep (et à la saltation) .

45

4 - LES POSSIBILITES DU MODELE -ILLUSTRATIONS

Deux exemples de l'évolution d'un relief soumis à l'ensemble desprocessus érosifs intégrés dans le modèle ont été traités à l'aide dulogiciel HERODE.

4.1 - Evolution d'un profil : étude à deux dimensions d'espace

Le profil choisi, d'une longueur de 500 m, comprend (figure 20 ettableau 2) :

- un point haut H à l'Est, correspondant à une ligne de crête ;

- un point bas B à l'ouest représentant un cours d'eau évacuant lesmatériaux arrivés en bas de pente ;

- un point intermédiaire (noté B' sur la figure) qui définit lepoint bas d'un val non drainé s 'étendant entre les points H' etH.

Sous la surface du sol, de cote z-=z(x) (tableau 2) est placé unsubstratum de cote s = s(x).

La différence z(x) - s(x) définit une épaisseur initiale d'altérites.

Le maillage utilisé comprend 3 lignes de 102 colonnes (figure 21). Surla première et troisième ligne des flux nuls sont imposés. Sont aussiimposés :

- une cote , invariable au cours du temps , sur la colonne n° 1 :

z(o)=o ;

- un flux nul sur la colonne n°102 (ligne de crête).

L'érodabilité est uniforme sur tout le maillage, égale à 0.5m/ 1000 ans.

Le terme de creep et de saltation est fixé à 20m2/1000 ans.

La valeur de départ du coefficient d'agressivité climatique est égaleà 1.

Les différents coefficients d'altération (dans les équations E2, E3 etE4 (cf. 1.3) sont pris égaux à 0.5m/1000 ans.

Il y a partage égal entre altération mécanique et altération chimique(coefficient de partage de 0.5).

Les simulations ont été réalisées sur un mode inter-actif avec visua¬lisation à chaque pas de temps du profil calculé (topographie et subs¬tratum) .

A chaque pas de temps, il est possible de modifier le coefficientd'agressivité climatique afin de ralentir ou d'accélérer le transport desmatériaxix.

45

4 - LES POSSIBILITES DU MODELE -ILLUSTRATIONS

Deux exemples de l'évolution d'un relief soumis à l'ensemble desprocessus érosifs intégrés dans le modèle ont été traités à l'aide dulogiciel HERODE.

4.1 - Evolution d'un profil : étude à deux dimensions d'espace

Le profil choisi, d'une longueur de 500 m, comprend (figure 20 ettableau 2) :

- un point haut H à l'Est, correspondant à une ligne de crête ;

- un point bas B à l'ouest représentant un cours d'eau évacuant lesmatériaux arrivés en bas de pente ;

- un point intermédiaire (noté B' sur la figure) qui définit lepoint bas d'un val non drainé s 'étendant entre les points H' etH.

Sous la surface du sol, de cote z-=z(x) (tableau 2) est placé unsubstratum de cote s = s(x).

La différence z(x) - s(x) définit une épaisseur initiale d'altérites.

Le maillage utilisé comprend 3 lignes de 102 colonnes (figure 21). Surla première et troisième ligne des flux nuls sont imposés. Sont aussiimposés :

- une cote , invariable au cours du temps , sur la colonne n° 1 :

z(o)=o ;

- un flux nul sur la colonne n°102 (ligne de crête).

L'érodabilité est uniforme sur tout le maillage, égale à 0.5m/ 1000 ans.

Le terme de creep et de saltation est fixé à 20m2/1000 ans.

La valeur de départ du coefficient d'agressivité climatique est égaleà 1.

Les différents coefficients d'altération (dans les équations E2, E3 etE4 (cf. 1.3) sont pris égaux à 0.5m/1000 ans.

Il y a partage égal entre altération mécanique et altération chimique(coefficient de partage de 0.5).

Les simulations ont été réalisées sur un mode inter-actif avec visua¬lisation à chaque pas de temps du profil calculé (topographie et subs¬tratum) .

A chaque pas de temps, il est possible de modifier le coefficientd'agressivité climatique afin de ralentir ou d'accélérer le transport desmatériaxix.

46 -

mètres

450 50Í

mètres

Figure 20 : Forme initiale du profil étudié

1

2

1 2

h%/

/

A

3.

z

d

100 101 102

//

/ /

/cote imposée flux nul

Figure 21 : Le maillage utilisé (mailles carrées de coté 5 m)

46 -

mètres

450 50Í

mètres

Figure 20 : Forme initiale du profil étudié

1

2

1 2

h%/

/

A

3.

z

d

100 101 102

//

/ /

/cote imposée flux nul

Figure 21 : Le maillage utilisé (mailles carrées de coté 5 m)

47

PANNEAUO

cots to0.000.000.00

PANNEAU50

cote to10.001 0 . 0010.00

PANNEAU100

cote to20.0020.0020.00

PANNEAUISO

cote to30.0030.0030.00

PANNEAU200

cote to40,0040.0040.00

PANNEAU250

cote to50.0050.0050.00

PANNEAU300

COtR to40.0040.0040.00

PANNEAU350

cote to34.0034.0034.00

PANNEAU400

cote to¿4.0064.0064.00

PANNEAU450

cote to90.0090.0090.00

PANNEAU500

cote to100.00

lio 1

5

portrohi1.001.001.00

no 255

ponrahi11. OO11.0011.00no X

105poarohi

21.0021.0021.00nn i

155pQsrohi

31.0031,0031.00no S

205poflrohi

41.0041.0041.00no ó

255roarshi

49.0019.0049.00no 7

305Poflrohi

39.0039.0039.00no 8

355PoSrahl

37.0037.0037.00no 9

405ro(lr.ihx

67.0067.0067.00no 10

455poijrohi

91.00?1 .0091.00no 11

505poarahi101.00

/ 11 ti'10

Bue ini2.002.002.00

/ 11 d60

one ini12.0012.0012.00

/ 11 d'110

ouc ini22.0022.0022.00

/ il d'160

aue ini32.00.12.0032.00

/ 11 d210

Que ini42.0042.0042.00

/ 11 d260

a<je ini48.0048.0048.00

/ 11 d310

sue ini38.0038.0038.00

/ 11 d360

aue ini40.0040.0040.00

/ 11 d410

oue ini70.0070.0070.00

/ 11 d460

a<je ini92.0092.0092.00

/ 1 l d

un SEM15

tisis3.003.003,00

un SEH65

tisle13,0013,0013,00

un SEH115

tisle23,0023.0023,00

un SEM165

tisle33.0033.0033,00

un SEM215

tiale43,0043.0043.00

un SEM265

tisle47,0047.0047,00

un SEM315

tiale37,0037.0037.00

un SEM365

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un SEM415

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un SEM465

tisle93.0093.0093.00

un SEH

IS de20

3 LIGNES psr 102 COl.J XO^^25 30 3S 40

4.00«t.OO4.00

IS- de70

14.0014.00]4.00

15 lie120

24.0024 .0024.00

IS deJ70

34.0034.0034,00

ÍS dfi220

44,0044,0044,00

IS de270

46.0046.0046.00

IS de320

36.0036.0036.00

IS de370

46.0046.0046.00

IS de420

76.0076.0076.00

IS de470

94.0094,0094.00

ts de

aue initiale

5.00 6.005.00 6.005.00 6.00

7.007.007.00

8.008.00S. 00

3 LIGNES PAT 102 COL. 5 XO-75 80 85 90

15,00 16.00 17.00 18.0015,00 16,00 17.00 18.0015.00 16.00 17.00 18.003 LIGNES r»r 102 COL! XO»

125 330 135 140

25,00 26.00 27.00 28.0025.00 26.00 27.00 28.0025.00 26,00 27.00 28.003 LIGNES p.'ir 102 COLÎ X0=

175 180 ISS 190

35.00 36.0035.00 36.0035.00 36.003 LIGNKS par

225 230

45.00 46.0045.00 46.0045.00 46.003 LIGNES par

275 280

45,00 44.0045.00 44.0045,00 44.003 LIGNES par

325 330

35.00 34.0035.00 34.0035.00 34.003 LIGNES p.tr

375 380

49.00 52,004 9,00 52.0049.00 52,00

37.00 38.0037.00 38.0037.00 38.00

102 col; xo=235 240

47.00 48.0007.00 48.0047.00 46.00

102 CULî XO"285 290

43.00 42.0043.00 42.0043.00 42.00

102 COLÎ XO-335 340

33.00 32,0033.00 32.0033.00 32.00

102 COLÎ XO»»385 390

55.00 58,0055,00 58,0055.00 58,00

3 LIGNES P3P 102 CtlLÎ XO-425 430 435 440

79.00 82.0079.00 Í12.0079.00 82.003 LIGNES Prtr

475 480

85.00 88,0035.00 88.0085,00 88,00

102 CUL! X0=485 490

95,00 96.00 97.00 98,0095,00 96.00 97.00 98.0095.00 96.00 97,00 98.003 LIGNt:S psr 102 COLÎ XO»'

-2.5 YO.-'45

9.009.009,00

-2,5 Y0=95

19,0019.0019.00-2,5 YO-'

145

29 , 0029,0029,00-2,5 Y0=

195

39.0039.0039,00-2,5 Y0=

245

49,0049,0049,00-2.5 Y0=

295

-7,5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

41 .0041 .0041 .00-2.5 Y0=

345

31 .0031 ,0031 ,00-2.5 Y0=

395

61 .0061.006] ,00-2.5 YO.-í

445

89.0089.0089.00-2.5 YO"

495

99.0099.0099.002.5 YO-

100.00 101,00100.00 101.00

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5,000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

S. 000.00

-5.00-7.5

5.00

0.00-5.00

Tableau 2 : Tableau des cotes topographiques initiales

47

PANNEAUO

cots to0.000.000.00

PANNEAU50

cote to10.001 0 . 0010.00

PANNEAU100

cote to20.0020.0020.00

PANNEAUISO

cote to30.0030.0030.00

PANNEAU200

cote to40,0040.0040.00

PANNEAU250

cote to50.0050.0050.00

PANNEAU300

COtR to40.0040.0040.00

PANNEAU350

cote to34.0034.0034.00

PANNEAU400

cote to¿4.0064.0064.00

PANNEAU450

cote to90.0090.0090.00

PANNEAU500

cote to100.00

lio 1

5

portrohi1.001.001.00

no 255

ponrahi11. OO11.0011.00no X

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21.0021.0021.00nn i

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31.0031,0031.00no S

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41.0041.0041.00no ó

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49.0019.0049.00no 7

305Poflrohi

39.0039.0039.00no 8

355PoSrahl

37.0037.0037.00no 9

405ro(lr.ihx

67.0067.0067.00no 10

455poijrohi

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/ 11 ti'10

Bue ini2.002.002.00

/ 11 d60

one ini12.0012.0012.00

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ouc ini22.0022.0022.00

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aue ini32.00.12.0032.00

/ 11 d210

Que ini42.0042.0042.00

/ 11 d260

a<je ini48.0048.0048.00

/ 11 d310

sue ini38.0038.0038.00

/ 11 d360

aue ini40.0040.0040.00

/ 11 d410

oue ini70.0070.0070.00

/ 11 d460

a<je ini92.0092.0092.00

/ 1 l d

un SEM15

tisis3.003.003,00

un SEH65

tisle13,0013,0013,00

un SEH115

tisle23,0023.0023,00

un SEM165

tisle33.0033.0033,00

un SEM215

tiale43,0043.0043.00

un SEM265

tisle47,0047.0047,00

un SEM315

tiale37,0037.0037.00

un SEM365

tisle43.0043.0043.00

un SEM415

tiale73.0073.0073.00

un SEM465

tisle93.0093.0093.00

un SEH

IS de20

3 LIGNES psr 102 COl.J XO^^25 30 3S 40

4.00«t.OO4.00

IS- de70

14.0014.00]4.00

15 lie120

24.0024 .0024.00

IS deJ70

34.0034.0034,00

ÍS dfi220

44,0044,0044,00

IS de270

46.0046.0046.00

IS de320

36.0036.0036.00

IS de370

46.0046.0046.00

IS de420

76.0076.0076.00

IS de470

94.0094,0094.00

ts de

aue initiale

5.00 6.005.00 6.005.00 6.00

7.007.007.00

8.008.00S. 00

3 LIGNES PAT 102 COL. 5 XO-75 80 85 90

15,00 16.00 17.00 18.0015,00 16,00 17.00 18.0015.00 16.00 17.00 18.003 LIGNES r»r 102 COL! XO»

125 330 135 140

25,00 26.00 27.00 28.0025.00 26.00 27.00 28.0025.00 26,00 27.00 28.003 LIGNES p.'ir 102 COLÎ X0=

175 180 ISS 190

35.00 36.0035.00 36.0035.00 36.003 LIGNKS par

225 230

45.00 46.0045.00 46.0045.00 46.003 LIGNES par

275 280

45,00 44.0045.00 44.0045,00 44.003 LIGNES par

325 330

35.00 34.0035.00 34.0035.00 34.003 LIGNES p.tr

375 380

49.00 52,004 9,00 52.0049.00 52,00

37.00 38.0037.00 38.0037.00 38.00

102 col; xo=235 240

47.00 48.0007.00 48.0047.00 46.00

102 CULî XO"285 290

43.00 42.0043.00 42.0043.00 42.00

102 COLÎ XO-335 340

33.00 32,0033.00 32.0033.00 32.00

102 COLÎ XO»»385 390

55.00 58,0055,00 58,0055.00 58,00

3 LIGNES P3P 102 CtlLÎ XO-425 430 435 440

79.00 82.0079.00 Í12.0079.00 82.003 LIGNES Prtr

475 480

85.00 88,0035.00 88.0085,00 88,00

102 CUL! X0=485 490

95,00 96.00 97.00 98,0095,00 96.00 97.00 98.0095.00 96.00 97,00 98.003 LIGNt:S psr 102 COLÎ XO»'

-2.5 YO.-'45

9.009.009,00

-2,5 Y0=95

19,0019.0019.00-2,5 YO-'

145

29 , 0029,0029,00-2,5 Y0=

195

39.0039.0039,00-2,5 Y0=

245

49,0049,0049,00-2.5 Y0=

295

-7,5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

41 .0041 .0041 .00-2.5 Y0=

345

31 .0031 ,0031 ,00-2.5 Y0=

395

61 .0061.006] ,00-2.5 YO.-í

445

89.0089.0089.00-2.5 YO"

495

99.0099.0099.002.5 YO-

100.00 101,00100.00 101.00

5.000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

5,000.00

-5.00-7.5

5.000.00

-5.00-7.5

S. 000.00

-5.00-7.5

5.00

0.00-5.00

Tableau 2 : Tableau des cotes topographiques initiales

48 -

PAfí tiE MESURE NO ! 1PANNEAU no 1 / 3 1 d'un

0 5 10SURFACES AMONT DRAINEES

0 0 0

B 250 245 2400 0 0

PANNEAU nci 2 / 11 d'un50 55 60

SURFACES AMONT DRAINEES0 0 0

200 19S 1900 0 0

PANNEAU no 3 / 11 d'un100 305 110

SURFACES AHONT DRAINEES0 0 0

150 I4n 1400 0 0

PANNEAU no 4 / 1 t d ' un150 155 160


100 95 900 0 0

PANNEAU no S / 11 d'un200 205 210

SURFACES AMONT DRAINEES,0 0 0

n 50 45 40OOO

PANNEAU no 6/11 d'un250 255 260

SURFACES AMONT DRAINEES0 0 00 5 100 0 0

PANNEAU no 7/11 d'un300 305 310


50 55 60OOO

PANNEAU no 8/11 d'un350 355 360


SEMIS de15 20

( en m'^/n )0 0

235 2300 0

SEMIS de65 70

( on «12/111 )0 0

18S 1800 0

SEHtS dn315 120< en «2/1» )

0 0135 130

0 0SEMIS de165 370( en n2/n >

0 085 80

0 0SEMIS de215 220( on m2/i» )

0 035 30

0 0SEMIS de265 270< fin m2/iii )

0 015 20

0 0SEMIS de315 320( c?n ik2/n >

0 065 70

0 0SEMIS tli?365 370< en n2/iii )

0 0152. S 147.;» 142.5 137.5 132.5

0 0 0PANNEAU OO 9/11 d'un


0 0 0

0 0SEMIS de415 420( (?n ii>2/ni >

0 0102.5 97,3 92. S 87. S 82. S

0 0 0PANNEAU no 10 / It d'un


0 0 052. S 47. r> 42.5

0 0 0PANNEAU no 11 / 11 d'un

500 505SURFACES AMONT DRAINEES

0 02.5 0

0 0

0 0SEMIS de465 470< cn m2/iii )

0 0?7.3 32.5

0 0SEMIS de

( en mi/» )

3

3

3

3

3

3

3

3

LIGNES25

0225

0LIGNES

75

0175

0LIGNES125

0125

0LIGNES175

0

750

LIGNES225

025

0LIGNES275

0

250

LIGNES325

0

750

LIGNES375

0

par

se

0

2200

par

80

0170

0par

130

0120

0pa r

leo

0

700

P.ir

230

020

0par

280

030

0par

330

080

0par

380

0127.5 122.5

30

LIGNES425

077,5

30

LIGNES475

027.5

30

LIGN£-:S

0par

430

0?2.5

0p.'ir

480

022.5

0par

10

10

10

10

10

10

10

10

2 COL Í

35

0

2150

2 COLÎ85

0165

0

2 COI. 7

135

0lis

02 COLÎ

185

0

650

2 COLÎ235

015

02 COLÎ

285

035

02 COLÎ

335

085

02 COLÎ

355

0

117.5

10

10

10

02 COLÎ

435

067.5

02 CULÎ

485

0

17.50

2 COL. Í

XO-40

0210

0X0=

90

0160

0X0=

140

0110

0X0=

190

060

0X0=

240

010

0X0=

290

040

0X0=

340

090

0xo=

390

0112.5

0xo-

440

062. S

0X0=

490

012.5

0X0=

-2,5 Y0--45

0205

0-2.5 Y0=

95

0155

0-2.5 Y0=

145

0105

0-2.5 Y0=

195

055

0-2,5 Y0=

245

050

-2.5 YO'295

015

0-2.5 YO-'

345

0157.5

0-2.5 YO'

395

0107.5

0-2.5 YO'

445

057.5

0-2.5 YO'

495

07,5

0-2.5 YO'

-7.5

50

-S-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

S0

-5

Tableau 3 : Valeur des aires drainées (en m^/m) calculées au cours dupremier pas de temps

48 -

PAfí tiE MESURE NO ! 1PANNEAU no 1 / 3 1 d'un


0 0 0

B 250 245 2400 0 0

PANNEAU nci 2 / 11 d'un50 55 60


200 19S 1900 0 0

PANNEAU no 3 / 11 d'un100 305 110

SURFACES AHONT DRAINEES0 0 0

150 I4n 1400 0 0

PANNEAU no 4 / 1 t d ' un150 155 160


100 95 900 0 0

PANNEAU no S / 11 d'un200 205 210

SURFACES AMONT DRAINEES,0 0 0

n 50 45 40OOO

PANNEAU no 6/11 d'un250 255 260

SURFACES AMONT DRAINEES0 0 00 5 100 0 0

PANNEAU no 7/11 d'un300 305 310


50 55 60OOO

PANNEAU no 8/11 d'un350 355 360


SEMIS de15 20

( en m'^/n )0 0

235 2300 0

SEMIS de65 70

( on «12/111 )0 0

18S 1800 0

SEHtS dn315 120< en «2/1» )

0 0135 130

0 0SEMIS de165 370( en n2/n >

0 085 80

0 0SEMIS de215 220( on m2/i» )

0 035 30

0 0SEMIS de265 270< fin m2/iii )

0 015 20

0 0SEMIS de315 320( c?n ik2/n >

0 065 70

0 0SEMIS tli?365 370< en n2/iii )

0 0152. S 147.;» 142.5 137.5 132.5

0 0 0PANNEAU OO 9/11 d'un


0 0 0

0 0SEMIS de415 420( (?n ii>2/ni >

0 0102.5 97,3 92. S 87. S 82. S

0 0 0PANNEAU no 10 / It d'un


0 0 052. S 47. r> 42.5

0 0 0PANNEAU no 11 / 11 d'un

500 505SURFACES AMONT DRAINEES

0 02.5 0

0 0

0 0SEMIS de465 470< cn m2/iii )

0 0?7.3 32.5

0 0SEMIS de

( en mi/» )

3

3

3

3

3

3

3

3

LIGNES25

0225

0LIGNES

75

0175

0LIGNES125

0125

0LIGNES175

0

750

LIGNES225

025

0LIGNES275

0

250

LIGNES325

0

750

LIGNES375

0

par

se

0

2200

par

80

0170

0par

130

0120

0pa r

leo

0

700

P.ir

230

020

0par

280

030

0par

330

080

0par

380

0127.5 122.5

30

LIGNES425

077,5

30

LIGNES475

027.5

30

LIGN£-:S

0par

430

0?2.5

0p.'ir

480

022.5

0par

10

10

10

10

10

10

10

10

2 COL Í

35

0

2150

2 COLÎ85

0165

0

2 COI. 7

135

0lis

02 COLÎ

185

0

650

2 COLÎ235

015

02 COLÎ

285

035

02 COLÎ

335

085

02 COLÎ

355

0

117.5

10

10

10

02 COLÎ

435

067.5

02 CULÎ

485

0

17.50

2 COL. Í

XO-40

0210

0X0=

90

0160

0X0=

140

0110

0X0=

190

060

0X0=

240

010

0X0=

290

040

0X0=

340

090

0xo=

390

0112.5

0xo-

440

062. S

0X0=

490

012.5

0X0=

-2,5 Y0--45

0205

0-2.5 Y0=

95

0155

0-2.5 Y0=

145

0105

0-2.5 Y0=

195

055

0-2,5 Y0=

245

050

-2.5 YO'295

015

0-2.5 YO-'

345

0157.5

0-2.5 YO'

395

0107.5

0-2.5 YO'

445

057.5

0-2.5 YO'

495

07,5

0-2.5 YO'

-7.5

50

-S-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

S0

-5

Tableau 3 : Valeur des aires drainées (en m^/m) calculées au cours dupremier pas de temps

49

Les coefficients d'altération peuvent également être modifiés à chaquepas de temps par l'intermédiaire d'un facteur multiplicatif qui peut êtredifférent pour l'altération mécanique et chimique.

Coefficient d'agressivité climatique et facteurs permettant de modi¬fier les vitesses d'altération sont introduits par l'utilisateur en inter¬actif.

Remarque :

Le tableau 3 permet de vérifier que les aires drainées calculées aucours du premier pas de temps sont bien égales aux distances des centres demailles aux deux lignes de crête, soit :

250 m de B en H' (centre de maille à90 m de B' à H' centre de maille)

157,5 m de B' à H (on s'arrête ici à la limite interne de ladernière maille).

Pour illustrer les effets conjugués du transport et de l'altérationagissant à des vitesses différentes au cours du temps, on a visualisé lesrésultats des calculs à certains stades de la simulation en superposant(figures 22 à 25) :

- le profil topographique obtenu ;

- le profil topographique initial ;

- la position du substratum après altération ;

- la position initiale du substratum.

Commentaires :

Figure 22 : Elle montre l'allure des profils obtenus au bout de 5 pas detemps ; durant ces 5 pas de temps, 1' aggressivité climatique et les vites¬ses d'altération sont restées constantes. On remarque un léger aplanisse-ment au niveau du point haut H' et un comblement déjà sensible du vallon(point B') .

Compte tenu d'une épaisseur encore importante d'altérites, il n'y apas eu altération du substratum.

Figure 23 : Les profils représentés correspondent à la fin du pas du tempsn'IO. Au début du pas de temps n°6, on a imposé une augmentation ducoefficient d' aggressivité climatique ; les vitesses d'altération n'ont pasété modifiées. Le vallon se comble (une dizaine de mètres d'altérites) ; lelong de la pente BH' , la baisse du relief est plus sensible à l'amont qu'àl'aval. L'épaisseur d'altérites ayant diminué à l'aval de H' et à l'amontimmédiat, le substratum a pu être altéré : au niveau du point H' sa posi¬tion initiale coïncide à peu près avec la surface du sol.

49

Les coefficients d'altération peuvent également être modifiés à chaquepas de temps par l'intermédiaire d'un facteur multiplicatif qui peut êtredifférent pour l'altération mécanique et chimique.

Coefficient d'agressivité climatique et facteurs permettant de modi¬fier les vitesses d'altération sont introduits par l'utilisateur en inter¬actif.

Remarque :

Le tableau 3 permet de vérifier que les aires drainées calculées aucours du premier pas de temps sont bien égales aux distances des centres demailles aux deux lignes de crête, soit :

250 m de B en H' (centre de maille à90 m de B' à H' centre de maille)

157,5 m de B' à H (on s'arrête ici à la limite interne de ladernière maille).

Pour illustrer les effets conjugués du transport et de l'altérationagissant à des vitesses différentes au cours du temps, on a visualisé lesrésultats des calculs à certains stades de la simulation en superposant(figures 22 à 25) :

- le profil topographique obtenu ;

- le profil topographique initial ;

- la position du substratum après altération ;

- la position initiale du substratum.

Commentaires :

Figure 22 : Elle montre l'allure des profils obtenus au bout de 5 pas detemps ; durant ces 5 pas de temps, 1' aggressivité climatique et les vites¬ses d'altération sont restées constantes. On remarque un léger aplanisse-ment au niveau du point haut H' et un comblement déjà sensible du vallon(point B') .

Compte tenu d'une épaisseur encore importante d'altérites, il n'y apas eu altération du substratum.

Figure 23 : Les profils représentés correspondent à la fin du pas du tempsn'IO. Au début du pas de temps n°6, on a imposé une augmentation ducoefficient d' aggressivité climatique ; les vitesses d'altération n'ont pasété modifiées. Le vallon se comble (une dizaine de mètres d'altérites) ; lelong de la pente BH' , la baisse du relief est plus sensible à l'amont qu'àl'aval. L'épaisseur d'altérites ayant diminué à l'aval de H' et à l'amontimmédiat, le substratum a pu être altéré : au niveau du point H' sa posi¬tion initiale coïncide à peu près avec la surface du sol.

50

195 215 235 255 275 295 315 335

Figure 22 : Relief et substratum au bout de 5 pas de temps

355 375 395

surface topo, à la fin du pas de tempsposition du substratum à la fin du pas de temps

OOO position initiale du substratum position initiale surface topo.

1450 50Dm

70

60 ,

50

yo

30 .,

20

début d'altérationdu substratum

135 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395


50

195 215 235 255 275 295 315 335


355 375 395

surface topo, à la fin du pas de tempsposition du substratum à la fin du pas de temps

OOO position initiale du substratum position initiale surface topo.

1450 50Dm

70

60 ,

50

yo

30 .,

20

début d'altérationdu substratum

135 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395


51

Figure 24 : Au bout de 15 pas de temps, l'intensité erosive est telle quele vallon a pratiquement disparu et que le substratum affleure au niveau dela zone H' .

Figure 25 : A la fin du pas de temps n"'15 l'agressivité climatique a étéréduite tandis que les vitesses d'altération ont été augmentées. A la findu pas de temps n°20, le vallon n'existe plus et le relief tend vers unprofil rectiligne. Compte tenu de l'augmentation des constantesd' latération, et d'une intensité erosive moindre, une couverture de sol apu être reconstituée au niveau de la zone où le substratum affleurait aupas de temps n°15.

Remarque -.

Après la disparition du val, les aires drainées calculées au premierpas de temps ne sont bien sûr plus les mêmes et correspondent, à partir dupas de temps n°14, à une pente unique, du cours d'eau B à la ligne de crêteH (tableau 4) .

51

Figure 24 : Au bout de 15 pas de temps, l'intensité erosive est telle quele vallon a pratiquement disparu et que le substratum affleure au niveau dela zone H' .

Figure 25 : A la fin du pas de temps n"'15 l'agressivité climatique a étéréduite tandis que les vitesses d'altération ont été augmentées. A la findu pas de temps n°20, le vallon n'existe plus et le relief tend vers unprofil rectiligne. Compte tenu de l'augmentation des constantesd' latération, et d'une intensité erosive moindre, une couverture de sol apu être reconstituée au niveau de la zone où le substratum affleurait aupas de temps n°15.

Remarque -.

Après la disparition du val, les aires drainées calculées au premierpas de temps ne sont bien sûr plus les mêmes et correspondent, à partir dupas de temps n°14, à une pente unique, du cours d'eau B à la ligne de crêteH (tableau 4) .

52

lio

U50 500m

20

affleurement dusubstratum \ |-|'

195 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395


-surface topo, à la fin du pas de temps OOO position initiale du substratumposition du substratum à la fin du pas de temps position initiale surface topo.

70

450 500m

60 ..

reconstitution duH sol

20

195 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395

Figure 25 : Relief et substratum au bout de 20 pas de temps,

52

lio

U50 500m

20

affleurement dusubstratum \ |-|'

195 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395


-surface topo, à la fin du pas de temps OOO position initiale du substratumposition du substratum à la fin du pas de temps position initiale surface topo.

70

450 500m

60 ..

reconstitution duH sol

20

195 215 235 255 275 295 315 335 355 375 395

Figure 25 : Relief et substratum au bout de 20 pas de temps,

53

PAí I3E MESUIÎE NO í 14PANNEAU no í / 11 d'un SEMIS de

0 5 10 15 20SURFACES AMONT DRAINEES ( cn «.2/» )

0 0 0 0 0502,5 4y7.S 492.5 487.5 482 > 5

0 0 0 0 0PANNEAU no 2 / 11 d'un SEMIS de

50 55 60 65 70SURFACES AMONT DRAINEES ( en «2/1» )

0 0 0 0 0452.5 447.5 4î;.>.S 437.5 432.5


100 105 310 335 120SURFACES AMONT DRAINEES < on «2/1» )

0 0 0 0 0402.5 397.5 392.5 387. S :i82.5

0 0 0 0 0PANNEAU no 4 / 1 1 d ' un SEMIS di?

150 155 160 165 170SURFACES AMONT DRAINEES < on «2/i» )

0 0 0 0 0352.5 347.5 342.5 337.5 332.5

0 0 0 0 0PANNEAU no S / 1 1 d ' un SEMIS de

200 205 210 23 5 220SURFACES AMONT DRAINEES < en i»2/« )

0 0 0 0 0302.5 297. S 292.5 2f!7.3 282.5


250 255 260 265 270SURFACES AMONT DRAINEES < cn «2/n. )

0 0 0 0 0

252.5 247. S 242.5 237.5 232.50 0 0 0 0

PANNEAU no 7 / 1 1 d ' un SEMIS de300 305 330 335 320

SURFACES AMONT DRAINEES < on «2/i« )0 0 0 0 0

202.5 197. S 192. S 187. 5 15Î2.50 0 0 0 0

PANNEAU no 8 / 11 d'un SEMIS de350 355 360 365 370

SURFACES AMONT DRAINEES < cn ffl2/«i )0 0 0 0 0

152. S 147.5 142.5 137.5 l'J2.50 0 0 0 0

PANNEAU no 9 / 11 d'un SEMIS de400 405 410 4J5 420

SURFACES AMONT DRAINEES ( cn o2/m )0 0 0 0 0

102. S 97. K 92.5 87.5 82.50 0 0 0 0


SURFACES AMONT DRAINEES ( cn 112/111 >

0 0 0 0 052.5 47. S 42.5 37.5 32.5

0 0 0 0 0PANNEAU OO 11 / 11 d'un SEMIS de

500 505SURFACES AMONT DRAINEES ( en «2/n )

0 02.5 0

0 0

3 LIfjNES par25

0177.5

0

30

0472,5

03 LIGNES p^r

75

0427,5

0

eo

0422.5

03 LIGNES Par

125

0377.5

0

330

0372.5

03 LIGNES par

175

0327.5

0

180

0322.5

03 LIGNES Par

225

0

277.50

3 LIGN275

0227.5

0

230

0272.5

0ES Par

280

0222,5

03 LIONES par

325

0177.5

0

330

0172.5

03 LIGNES par

375

0127.5

0

380

0122.5

03 LIGNt:S Par

425

077,5

0

4 30

072.5

03 LIGNES Par

475

027.5

0

480

022.5

03 LIGNfS P3P

302 COL35

0467. S

0102 COL

85

0

417.50

102 COL135

0367.5

0102 COL

185

0

317.50

102 COL235

0267.5

0102 COL

285

0

217,50

102 COL335

0167,5

0102 COL

385

0117.5

0102 COL

435

0

67.50

102 COL485

017.5

0102 COL

! XO"40

0462.5

0i XO"

90

0412.5

0i XO=î

140

0362.5

0i X0=

3 90

0312.5

0î X0=

240

0262.5

0î X0=

290

0212.5

0î X0=

340

0162,5

0; XO'

390

0112.5

0î X0«

440

062.5

0î XO'

490

012. S

0î XO'

-2.5 YO-45

0457.5

0-2.5 YO-

95

0407.5

0-2.5 Y0=

145

0357.5

0-2.5 Y0=

I9S

0307.5

0-2.5 Y0=

245

0257.5

0-2.5 Y0=

295

0

207.50

-2. S Y0=345

0157.5

0-2.5 YO'

395

0107,5

0-2.5 YO»

445

0

57.50

-2.5 Y0=495

07,5

0-2.5 Y0=

-7.5

50

-S-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7,5

50

-5-7,5

5

0-5

-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7,5

S

0-5

-7,5

5

0-5

"7,5

50

-5

Tableau 4 : Aires drainées calculées après 14 pas de temps

53

PAí I3E MESUIÎE NO í 14PANNEAU no í / 11 d'un SEMIS de

0 5 10 15 20SURFACES AMONT DRAINEES ( cn «.2/» )

0 0 0 0 0502,5 4y7.S 492.5 487.5 482 > 5


50 55 60 65 70SURFACES AMONT DRAINEES ( en «2/1» )

0 0 0 0 0452.5 447.5 4î;.>.S 437.5 432.5


100 105 310 335 120SURFACES AMONT DRAINEES < on «2/1» )

0 0 0 0 0402.5 397.5 392.5 387. S :i82.5

0 0 0 0 0PANNEAU no 4 / 1 1 d ' un SEMIS di?

150 155 160 165 170SURFACES AMONT DRAINEES < on «2/i» )

0 0 0 0 0352.5 347.5 342.5 337.5 332.5

0 0 0 0 0PANNEAU no S / 1 1 d ' un SEMIS de

200 205 210 23 5 220SURFACES AMONT DRAINEES < en i»2/« )

0 0 0 0 0302.5 297. S 292.5 2f!7.3 282.5


250 255 260 265 270SURFACES AMONT DRAINEES < cn «2/n. )

0 0 0 0 0

252.5 247. S 242.5 237.5 232.50 0 0 0 0

PANNEAU no 7 / 1 1 d ' un SEMIS de300 305 330 335 320

SURFACES AMONT DRAINEES < on «2/i« )0 0 0 0 0

202.5 197. S 192. S 187. 5 15Î2.50 0 0 0 0


SURFACES AMONT DRAINEES < cn ffl2/«i )0 0 0 0 0

152. S 147.5 142.5 137.5 l'J2.50 0 0 0 0

PANNEAU no 9 / 11 d'un SEMIS de400 405 410 4J5 420

SURFACES AMONT DRAINEES ( cn o2/m )0 0 0 0 0

102. S 97. K 92.5 87.5 82.50 0 0 0 0


SURFACES AMONT DRAINEES ( cn 112/111 >

0 0 0 0 052.5 47. S 42.5 37.5 32.5

0 0 0 0 0PANNEAU OO 11 / 11 d'un SEMIS de

500 505SURFACES AMONT DRAINEES ( en «2/n )

0 02.5 0

0 0

3 LIfjNES par25

0177.5

0

30

0472,5

03 LIGNES p^r

75

0427,5

0

eo

0422.5

03 LIGNES Par

125

0377.5

0

330

0372.5

03 LIGNES par

175

0327.5

0

180

0322.5

03 LIGNES Par

225

0

277.50

3 LIGN275

0227.5

0

230

0272.5

0ES Par

280

0222,5

03 LIONES par

325

0177.5

0

330

0172.5

03 LIGNES par

375

0127.5

0

380

0122.5

03 LIGNt:S Par

425

077,5

0

4 30

072.5

03 LIGNES Par

475

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0

480

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03 LIGNfS P3P

302 COL35

0467. S

0102 COL

85

0

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102 COL135

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185

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317.50

102 COL235

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0102 COL

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102 COL335

0167,5

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0102 COL

435

0

67.50

102 COL485

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-2.5 YO-45

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-2. S Y0=345

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0-2.5 YO'

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-2.5 Y0=495

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50

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50

-5-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7,5

50

-5-7,5

5

0-5

-7.5

50

-5-7.5

50

-5-7,5

S

0-5

-7,5

5

0-5

"7,5

50

-5

Tableau 4 : Aires drainées calculées après 14 pas de temps

54

4,2 - Etude à trois dimensions d'espace : influence de l'érodabilitésur l'évolution d'un bassin

Partant d'un relief très simple, schématisé par un système de deuxpentes uniformes situés de part et d'autre d'un cours d'eau central (figure 26),on se propose ici de simuler l'évolution du relief lorsque le champ d' éroda¬bilité n'est pas homogène.

Le maillage utilisé s'inscrit dans un rectangle de 16 lignes et 22colonnes (figure 27) ; le modèle comprend 272 mailles "utiles" ; cesmailles sont carrées, avec un côté de 600 m.

On isole un bassin versant en imposant sur toutes les mailles externesune condition de flux nul. Le cours d'eau central est représenté par descotes imposées (figure 27) .

Dans un champ d' érodabilité uniforme caractérisé par une valeur delOm/1000 ans on impose localement, sur des plages de quelques mailles, desvaleurs 5 fois plus fortes (tableau 5) .

Le terme de "creep" et de saltation pluviale a été fixé à 20m ^/lOOO ans.

Le pas de temps adopté pour la simulation est de 10 000 ans.

On considère que le transport agit à sa pleine capacité (l'altérationn'est pas un facteur limitant).

Le coefficient d'agressivité climatique reste constant durant toute lasimulation.

La durée de simulation a été fixée à 20 pas de temps (200 000 ans). Ala fin de la simulation, les cotes topographiques calculées à chaque pas detemps, sont reprises par un logiciel d'interpolation et de visualisationpour obtenir des cartes en courbes de niveaux.

Trois de ces cartes, correspondant aux pas de temps n°10, 15 et 20sont présentées (figures 28, 29, 30).

On remarquera que les zones de plus forte érodabilités induisent laformation de thalwegs. On notera également l'abaissement du relief (10 à15 m sur les lignes de crêtes) marqué par le "recul" des courbes de niveau(en particulier de la courbe 37.5).

Remarque :

Sur la figure 31, ont été superposés le relief au bout de 20 pas detemps et les aires drainées relatives aux deux rangées de mailles situéesde part et d'autre du cours d'eau. On peut constater la "déformation" deces aires et comparer cette carte à la figure 27 où les aires drainéessont, compte tenu de la régularité du relief initial, de simples rectan¬gles.

54

4,2 - Etude à trois dimensions d'espace : influence de l'érodabilitésur l'évolution d'un bassin

Partant d'un relief très simple, schématisé par un système de deuxpentes uniformes situés de part et d'autre d'un cours d'eau central (figure 26),on se propose ici de simuler l'évolution du relief lorsque le champ d' éroda¬bilité n'est pas homogène.

Le maillage utilisé s'inscrit dans un rectangle de 16 lignes et 22colonnes (figure 27) ; le modèle comprend 272 mailles "utiles" ; cesmailles sont carrées, avec un côté de 600 m.

On isole un bassin versant en imposant sur toutes les mailles externesune condition de flux nul. Le cours d'eau central est représenté par descotes imposées (figure 27) .

Dans un champ d' érodabilité uniforme caractérisé par une valeur delOm/1000 ans on impose localement, sur des plages de quelques mailles, desvaleurs 5 fois plus fortes (tableau 5) .

Le terme de "creep" et de saltation pluviale a été fixé à 20m ^/lOOO ans.

Le pas de temps adopté pour la simulation est de 10 000 ans.

On considère que le transport agit à sa pleine capacité (l'altérationn'est pas un facteur limitant).

Le coefficient d'agressivité climatique reste constant durant toute lasimulation.

La durée de simulation a été fixée à 20 pas de temps (200 000 ans). Ala fin de la simulation, les cotes topographiques calculées à chaque pas detemps, sont reprises par un logiciel d'interpolation et de visualisationpour obtenir des cartes en courbes de niveaux.

Trois de ces cartes, correspondant aux pas de temps n°10, 15 et 20sont présentées (figures 28, 29, 30).

On remarquera que les zones de plus forte érodabilités induisent laformation de thalwegs. On notera également l'abaissement du relief (10 à15 m sur les lignes de crêtes) marqué par le "recul" des courbes de niveau(en particulier de la courbe 37.5).

Remarque :

Sur la figure 31, ont été superposés le relief au bout de 20 pas detemps et les aires drainées relatives aux deux rangées de mailles situéesde part et d'autre du cours d'eau. On peut constater la "déformation" deces aires et comparer cette carte à la figure 27 où les aires drainéessont, compte tenu de la régularité du relief initial, de simples rectan¬gles.

- 55 -

km

308

306

30U

302

300

296

Cuursd'eau _

courbe de niveau'et cote (en m)

\:aut 3il5 3116 347 316 3M9 350 351 352 353 35H 3S5 356 3S7 358 359

km

Figure 26 : Limites du maillage et visualisation du relief initial

km

308

307

306

305

3D>1

303

302

301

300

299

296

L#'X>^XKKXZ XXXz^ XXX X

Mmm

XI 1

X

'

1 iUix>

'

IIitj<x X

3im 3115 3U6 3117 316 3il9 350 351 352 353 351 355 356 357 356 359

km

Figure 27 Maillage utilisé et superposition des aires drainées des deuxrangées de mailles situées de part et d'autre du ruisseau

- 55 -

km

308

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300

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Cuursd'eau _

courbe de niveau'et cote (en m)

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km

Figure 26 : Limites du maillage et visualisation du relief initial

km

308

307

306

305

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km

Figure 27 Maillage utilisé et superposition des aires drainées des deuxrangées de mailles situées de part et d'autre du ruisseau

56

PANNEAU345.3

ER

0.0.0.0.0.0.0.0,

PANNEAU n351.3 3

EROO00

0.5

555

1

no 1 / 3 d'un SEMIK ^ic345.9 346.5 347.1 347.7

ODABILITE0. 0.

0, 1 1

0,

16 LIGNES psr 72 COLÎ X0= 345 YO--348. 3 348.9 349.5 350.1 350.7

0.

o 2 / 3 d'un SEMIS r.t« 16 LIGNES par51,9 352,5 353,3 353,7 354,3 354.9ABILtTE

0.55

51 .

1

1

1

1

1

1

0.

22 COL3f;5.5

X0=356.1

PANNEAU n357.3 3

EROD0000

0

o 357.9APILI

0.0.0.0.0.0.0.0.

3 d'un SEMIS de 16 LIGNES par 22 COLÎ XO-

TE

345 Y0=356.7

0,1

1

1 .

1

1

1

1

1

1

0.

345 YO-

298.4

307.7307.1306,5305.9305,3304,7304.1303,5302,9302 ,

30î ,

301,300.299.299.298.298.

307.307.306,305,305,304.304,303.30?.302,301,301,300.299,299,29S,29»,

307.7307.1306.5305.930S,3304 , 7304.1303,5302 , 9

302,3301 .7301,1300,5299,9299.3298,7

Tableau 5 : Champ d' érodabilité utilisé dans la simulation 3D

56

PANNEAU345.3

ER

0.0.0.0.0.0.0.0,

PANNEAU n351.3 3

EROO00

0.5

555

1

no 1 / 3 d'un SEMIK ^ic345.9 346.5 347.1 347.7

ODABILITE0. 0.

0, 1 1

0,

16 LIGNES psr 72 COLÎ X0= 345 YO--348. 3 348.9 349.5 350.1 350.7

0.

o 2 / 3 d'un SEMIS r.t« 16 LIGNES par51,9 352,5 353,3 353,7 354,3 354.9ABILtTE

0.55

51 .

1

1

1

1

1

1

0.

22 COL3f;5.5

X0=356.1

PANNEAU n357.3 3

EROD0000

0

o 357.9APILI

0.0.0.0.0.0.0.0.

3 d'un SEMIS de 16 LIGNES par 22 COLÎ XO-

TE

345 Y0=356.7

0,1

1

1 .

1

1

1

1

1

1

0.

345 YO-

298.4

307.7307.1306,5305.9305,3304,7304.1303,5302,9302 ,

30î ,

301,300.299.299.298.298.

307.307.306,305,305,304.304,303.30?.302,301,301,300.299,299,29S,29»,

307.7307.1306.5305.930S,3304 , 7304.1303,5302 , 9

302,3301 .7301,1300,5299,9299.3298,7

Tableau 5 : Champ d' érodabilité utilisé dans la simulation 3D

57

km 309

30S

sou

302

300

298

X

37.5-

3111 315 316 317 318 319 350 351 352 353 351 355 356 357 356 359

km

Figure 28 : Carte topographique obtenue après 10 pas de temps

km

307

306 .

301

303

302

301

300

299

296

311 315 316 317 318 319 350 351 352 353 351 355 356 357 356 359

Figure 29 : Carte topographique obtenue après 15 pas de tempskm

57

km 309

30S

sou

302

300

298

X

37.5-

3111 315 316 317 318 319 350 351 352 353 351 355 356 357 356 359

km


km

307

306 .

301

303

302

301

300

299

296

311 315 316 317 318 319 350 351 352 353 351 355 356 357 356 359

Figure 29 : Carte topographique obtenue après 15 pas de tempskm

58

km


km 309

308

307 ,

305

303

302

300

2S8

311 315 316 317 318 319 350 351 352 353 351 355 356 357 358 359

km

Figure 31 : Superposition à la carte de la figure 30 des aires drainéesrelatives aux deux rangées de mailles situées de part etd'autre du cours d'eau

58

km


km 309

308

307 ,

305

303

302

300

2S8

311 315 316 317 318 319 350 351 352 353 351 355 356 357 358 359

km

Figure 31 : Superposition à la carte de la figure 30 des aires drainéesrelatives aux deux rangées de mailles situées de part etd'autre du cours d'eau

59

PANNEAU345,3

no l.345.9

SURFACtrS AMONT0.0.0.0,0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

PANNEALI351 .:!

0.0.0.0,

300.900.

1500.0.

2100.1 SOO .

900.300.

0.0.0.0.

no 2351 .9

SURFACES AMONT0.0.0.

300.900.

1500.2100.

0.3300.2700,2100.1500,

900.300.

0.0,

PANNEAU357.3

0.0,0,0,

300.900.

1500.0.

3300.2700.2100.isoo.

900.300,

0.0.

no 3337.9

SURFACES AMONT0.0.0.0.0.

300.900.

0.2700.2100.1300.

900.300,

0,0,0,

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

/ 3 d7.46.5

un SEMIS de347.1

DRAINEES ( nn0.0.

300,900,

3500.2100.2700.

0.2100.1500,

900.300.

0.0.0.0.

/ 3 d'352.3

0.300.900;

1500.2100.2700.3300.

0.2700.2100.1500.

900 .300.

0.0,0.

347.7i»2/iii )

0.300,900.

1500 .23 00.2700.3300.

0.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

un SEMIS de;î53.1

riRAINEES < en0 ,

0,0,0.

300,900,

3 500.0.

3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

/ 3 d

0.0.0.0.

300.900.

3500.0.

3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

353.7«2/1» )

0.0.0.0.

300.900,

iSOO.0.

3900.3300.2700.2100..'iSOO.

900.300.

0.un SEMIS dp

DRAINEES ( <?n

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0,0,

0.0.0.0.0.0,0.0.0.0.0.0,0,0,0.0.

«2/1» )

0.0.0.0.0,0.0.0.0.0.0.0.0.0.0,0.

16 LIGNES par348,3

0.300.900.

1500,2300.2700.3300.

0.3300.2700.2100.1500,

900,300,

0,0,

34f(.9

0.300.900.

1500.2300.2700.3300,

0.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

16 LIPNES POT354.3

0.0.0.0.

300,900.

1500.0.

3900.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.

354.9

0.0.0.0.

300.900.

1500.0.

3900.3300.2700.2100.iSOO.

900.300.

0.16 LIGNES -par

0.0.0.0.0.0,0,0,0.0.0,0,0,0,0,0,

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

22 COL349.5

0.0.

300.900 .

1500.2100.2700.

0.3300,2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

22 COL3ri5.5

0.0.0.0.0.

300.900.

0.3900.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.22 CÜL

0.0.0.0,0,0,0,0.0.0.0.0,0,0,0,0,

î XO-'350.1

0.0.

300,900.

1500,2100,2700,

0,3300,2700,2 3 00,ISOO,

900,300,

0.0,

î XO.'356.1

0,0,0.0.0.

300,900.

0.3V00.3300.2'/00.2100.1500.

900.300.

0.i X0 =

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

345 YO'350,7

0.0.0.

300.900.

1500.2100.

0.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

345 YO-356.7

0.0.0.0.0.

300.900,

0,3300.2700.2100,1500.

900.300,

0,0,

345 Y0=

0,0,0.0,0.0,0,0,0,0.0.0.0.0.0.0.

298.4

307.7307.1306. S

305.9305.3304.7304.1303.5302.9302.3303 .7301,1300,5299.9299,329S.729R,4

307,7307,1306.5305.9305.3304.7304 . 1

303.5302.9302.3301.7301.1300.5299.9299.3298.72VB.4

307.7307.1306.5305.9305,3304,7304,1303.5302.9302.3301.7301 .1300.5299.9299.3298.7

Tableau 6 : Valeurs des aires drainées au début du premier pas de temps dela simulation 3D

59

PANNEAU345,3

no l.345.9

SURFACtrS AMONT0.0.0.0,0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

PANNEALI351 .:!

0.0.0.0,

300.900.

1500.0.

2100.1 SOO .

900.300.

0.0.0.0.

no 2351 .9

SURFACES AMONT0.0.0.

300.900.

1500.2100.

0.3300.2700,2100.1500,

900.300.

0.0,

PANNEAU357.3

0.0,0,0,

300.900.

1500.0.

3300.2700.2100.isoo.

900.300,

0.0.

no 3337.9

SURFACES AMONT0.0.0.0.0.

300.900.

0.2700.2100.1300.

900.300,

0,0,0,

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

/ 3 d7.46.5

un SEMIS de347.1

DRAINEES ( nn0.0.

300,900,

3500.2100.2700.

0.2100.1500,

900.300.

0.0.0.0.

/ 3 d'352.3

0.300.900;

1500.2100.2700.3300.

0.2700.2100.1500.

900 .300.

0.0,0.

347.7i»2/iii )

0.300,900.

1500 .23 00.2700.3300.

0.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

un SEMIS de;î53.1

riRAINEES < en0 ,

0,0,0.

300,900,

3 500.0.

3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

/ 3 d

0.0.0.0.

300.900.

3500.0.

3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

353.7«2/1» )

0.0.0.0.

300.900,

iSOO.0.

3900.3300.2700.2100..'iSOO.

900.300.

0.un SEMIS dp

DRAINEES ( <?n

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0,0,

0.0.0.0.0.0,0.0.0.0.0.0,0,0,0.0.

«2/1» )

0.0.0.0.0,0.0.0.0.0.0.0.0.0.0,0.

16 LIGNES par348,3

0.300.900.

1500,2300.2700.3300.

0.3300.2700.2100.1500,

900,300,

0,0,

34f(.9

0.300.900.

1500.2300.2700.3300,

0.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

16 LIPNES POT354.3

0.0.0.0.

300,900.

1500.0.

3900.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.

354.9

0.0.0.0.

300.900.

1500.0.

3900.3300.2700.2100.iSOO.

900.300.

0.16 LIGNES -par

0.0.0.0.0.0,0,0,0.0.0,0,0,0,0,0,

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

22 COL349.5

0.0.

300.900 .

1500.2100.2700.

0.3300,2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

22 COL3ri5.5

0.0.0.0.0.

300.900.

0.3900.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.22 CÜL

0.0.0.0,0,0,0,0.0.0.0.0,0,0,0,0,

î XO-'350.1

0.0.

300,900.

1500,2100,2700,

0,3300,2700,2 3 00,ISOO,

900,300,

0.0,

î XO.'356.1

0,0,0.0.0.

300,900.

0.3V00.3300.2'/00.2100.1500.

900.300.

0.i X0 =

0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.

345 YO'350,7

0.0.0.

300.900.

1500.2100.

0.3300.2700.2100.1500.

900.300.

0.0.

345 YO-356.7

0.0.0.0.0.

300.900,

0,3300.2700.2100,1500.

900.300,

0,0,

345 Y0=

0,0,0.0,0.0,0,0,0,0.0.0.0.0.0.0.

298.4

307.7307.1306. S

305.9305.3304.7304.1303.5302.9302.3303 .7301,1300,5299.9299,329S.729R,4

307,7307,1306.5305.9305.3304.7304 . 1

303.5302.9302.3301.7301.1300.5299.9299.3298.72VB.4

307.7307.1306.5305.9305,3304,7304,1303.5302.9302.3301.7301 .1300.5299.9299.3298.7

Tableau 6 : Valeurs des aires drainées au début du premier pas de temps dela simulation 3D

60

5 - CONCLUSION

L'utilisation du modèle d'érosion qui a fait l'objet de ce travailpose le problème de l'acquisition des paramètres constitutifs de ce modèle.

Si l'on souhaite utiliser le modèle à des fins de prévision, laconnaissance des paramètres du modèle s'avère indispensable. La tâcheapparaît d'autant plus ardue que l'échelle de temps des simulations(plusieurs milliers ou dizaines de milliers d'années) s'éloigne fort decelle dans laquelle s'incrivent les procédés classiques de mesures deseffets érosifs, ce qui peut rendre très aléatoire une démarche de calage.De plus, on ne dispose bien souvent que de bilans globaux (obtenus enmesurant la charge solide d'un cours d'eau drainant le bassin étudié) quine permettent pas de différencier quantitativement les processus en jeu etles caractéristiques physiques des terrains.

Dans certains cas, il sera possible d'utiliser des méthodesd'évaluation indirecte des paramètres grâce à des jalons géologiquespermettant de reconstituer l'évolution réelle d'un site à partir d'un étatprobable déterminé dans le passé (paléosite) .

Malgré ces difficultés, inhérentes à un modèle multi -paramètres ,

HERODE constitue un progrès important dans la simulation des processusérosifs et son intégration dans le simulateur CASTOR devrait permettre deproduire des scénarios de l'évolution d'un site de stockage plus "nuancés"que ceux qu'il était possible d'obtenir jusqu'alors en utilisant lesous -programme EROS de CASTOR.

60

5 - CONCLUSION

L'utilisation du modèle d'érosion qui a fait l'objet de ce travailpose le problème de l'acquisition des paramètres constitutifs de ce modèle.

Si l'on souhaite utiliser le modèle à des fins de prévision, laconnaissance des paramètres du modèle s'avère indispensable. La tâcheapparaît d'autant plus ardue que l'échelle de temps des simulations(plusieurs milliers ou dizaines de milliers d'années) s'éloigne fort decelle dans laquelle s'incrivent les procédés classiques de mesures deseffets érosifs, ce qui peut rendre très aléatoire une démarche de calage.De plus, on ne dispose bien souvent que de bilans globaux (obtenus enmesurant la charge solide d'un cours d'eau drainant le bassin étudié) quine permettent pas de différencier quantitativement les processus en jeu etles caractéristiques physiques des terrains.

Dans certains cas, il sera possible d'utiliser des méthodesd'évaluation indirecte des paramètres grâce à des jalons géologiquespermettant de reconstituer l'évolution réelle d'un site à partir d'un étatprobable déterminé dans le passé (paléosite) .

Malgré ces difficultés, inhérentes à un modèle multi -paramètres ,

HERODE constitue un progrès important dans la simulation des processusérosifs et son intégration dans le simulateur CASTOR devrait permettre deproduire des scénarios de l'évolution d'un site de stockage plus "nuancés"que ceux qu'il était possible d'obtenir jusqu'alors en utilisant lesous -programme EROS de CASTOR.


A - Rapports B.R.G.M réalisés dans le cadre du "Programme de Recherche etde Développement de la Commision des Communautés Européennes".

1 - AFZALI H., 1988 : Etude géoprospective d'un site de stockage.Evaluation de la vitesse d'altération et d'érosion. Contrat n" 222. 81. 7WAS-F (RS). Rapport B.R.G.M.

2 - FOURNIGÜET J., PEAUDECERF P., 1987 : Géoprospective. Développement dela modélisation. Contrat nTll WT-0048-F (CD). Rapport B.R.G.M87 SGN 721 STO.

3 - CANCEILL M.. COURBOULEIX S., FOURNIGÜET J. , 1984 : Etudegéoprospective d'un site de stockage. Simulation de l'évolution d'unsite à l'aide du programme CASTOR. Contrat n''222-81-7 WAS-F (RS).Rapport B.R.G.M. 84 SGN 229 STO.

4 - LAVILLE P., LAJOINIE J.P., 1983 : Etude géoprospective d'un site destockage. Mécanismes d'altération et d'érosion. Contrat n°222-81-7WAS-F (RS). Rapport B.R.G.M. 83 SGN 541 GEO.

B - Ouvrages généraux

5 - BIROT P., 1981 : Les processus d'érosion à la surface des continents.Masson.

6 - CARSON M. A., KIRKBY M.J. , 1972 : Hillslope form and processes.Cambridge University press.

7 - HARBAUGH J.W. , BONHAM-CARTER G., 1970 : Computer simulation ingeology. Wiley Interscience.

8 - SCHEIDDEGGER A.E. , 1970 : Theoretical Geomorphology . Springer Verlab,Berlin (2nd edition) .

9 - YOUNG A., 1972 : Slopes. Oliver and Boyd Edinburgh.

10 - APPLIED GEOMORPHOLOGY, 1982 : The Binghampton' Symposia inGeomorphology : International Series, n°ll. R.J. Craig and J.L. Craft(Ed.) Allen and Unwin. London.

11 - HILLSLOPE HYDROLOGY, 1978 : M.J. Kirkby (Ed.). John Wiley.

12 - HILLSLOPE PROCESSES, 1986 : The Binghampton' Symposia inGeomorphology : International Series, n°16. A.D. Abrahams (Ed.).Allen and Unwin London.

13 - Space and time in Geomorphology. The Binghampton' Sjrmpos ia inGeomorphology : International Series, n°12. Colin E. Thorn (Ed.).Allen and Unwin. London.


A - Rapports B.R.G.M réalisés dans le cadre du "Programme de Recherche etde Développement de la Commision des Communautés Européennes".

1 - AFZALI H., 1988 : Etude géoprospective d'un site de stockage.Evaluation de la vitesse d'altération et d'érosion. Contrat n" 222. 81. 7WAS-F (RS). Rapport B.R.G.M.

2 - FOURNIGÜET J., PEAUDECERF P., 1987 : Géoprospective. Développement dela modélisation. Contrat nTll WT-0048-F (CD). Rapport B.R.G.M87 SGN 721 STO.

3 - CANCEILL M.. COURBOULEIX S., FOURNIGÜET J. , 1984 : Etudegéoprospective d'un site de stockage. Simulation de l'évolution d'unsite à l'aide du programme CASTOR. Contrat n''222-81-7 WAS-F (RS).Rapport B.R.G.M. 84 SGN 229 STO.

4 - LAVILLE P., LAJOINIE J.P., 1983 : Etude géoprospective d'un site destockage. Mécanismes d'altération et d'érosion. Contrat n°222-81-7WAS-F (RS). Rapport B.R.G.M. 83 SGN 541 GEO.

B - Ouvrages généraux

5 - BIROT P., 1981 : Les processus d'érosion à la surface des continents.Masson.

6 - CARSON M. A., KIRKBY M.J. , 1972 : Hillslope form and processes.Cambridge University press.

7 - HARBAUGH J.W. , BONHAM-CARTER G., 1970 : Computer simulation ingeology. Wiley Interscience.

8 - SCHEIDDEGGER A.E. , 1970 : Theoretical Geomorphology . Springer Verlab,Berlin (2nd edition) .

9 - YOUNG A., 1972 : Slopes. Oliver and Boyd Edinburgh.

10 - APPLIED GEOMORPHOLOGY, 1982 : The Binghampton' Symposia inGeomorphology : International Series, n°ll. R.J. Craig and J.L. Craft(Ed.) Allen and Unwin. London.

11 - HILLSLOPE HYDROLOGY, 1978 : M.J. Kirkby (Ed.). John Wiley.

12 - HILLSLOPE PROCESSES, 1986 : The Binghampton' Symposia inGeomorphology : International Series, n°16. A.D. Abrahams (Ed.).Allen and Unwin London.

13 - Space and time in Geomorphology. The Binghampton' Sjrmpos ia inGeomorphology : International Series, n°12. Colin E. Thorn (Ed.).Allen and Unwin. London.

14 - Spatial Analysis in Geomorphology, 1972 : R.J. Chorley (Ed.), Methuen,London .

G - Publications

15 - AHNERT F. , 1970 : A comparison of theoretical slope models with slopesin the field, Zeitschrift fur Géomorphologie, (Supplement 9), 70, p.88-101.

16 - AHNERT F., 1973 : C0SL0P2 a comprehensive model program for simulatingslope profile development. Geocom Programs 8, 24 p., London.

17 - AHNERT F. , 1976 : Brief description of a comprehensivethree-dimensional process -response model of landform development.Z. Géomorph. N.F. Suppl. 25, 29-49.

18 - AHNERT F. , 1977 : Some comments on the quantitative formulation ofgeomorphological processes in a theoretical model. Earth SurfaceProcesses 2, 191-201.

19 - AHNERT F., 1987 : Approaches to dynamic equilibrium in theoreticalsimulations of slope development, Earth Surface Processes andLandforms, vol. 12, 3-15.

20 - AHNERT F., 1987 : Uses of a theoretical model in the analysis of landform development. Processus et mesure de l'érosion, Ed. C.N.R.S.,pp. 565-571.

21 - AHNERT F., 1987 : Process -response models of denudation at differentspatial scales. Geomorphological models. Theoretical and empiricalaspects. CATENA suppl. 10, pp. 31-50.

22 - ARMSTRONG A.C., 1987 : Slopes, boundary conditions and the developmentof convexo-concave forms. Some numerical experiments. Earth SurfaceProcesses and Landforms, vol; 12, n'l, p. 17-30.

23 - BENNET J.P., 1974 : Concepts of mathematical modeling of sedimentyield. Water Resour. Res. vol. 10, n''3, p. 485-492.

24 - CULLING W.E.H., 1960 : Analytical theory of erosion, J. of Geology,68, 336-344.

25 - CULLING W.E.H., 1963 : Soil creep and the development of hillsideslope. J. of Geology, 71, 127-161.

26 - CULLING W.E.H. , 1965 : Theory of erosion on soil-covered slopes. J.of Geology, 73, 230-254.

27 - COLEMAN S.M.. WATSON K. , 1983 : Ages estimated from a diffusionequation model for scorp degradation. Science, vol. 221, n*4607.

28 - HIRANO M,, 1975 : Simulation of developmental process of interfluvialslopes with reference to graded form, J. of Geology, 83, 113-123.

29 - HIRANO M. , 1976 : Mathematical model and the concept of equilibriumin connection with slope shear ratio. Zeitschrift fur. Géomorphologie,Supplementband, 25, 50-71.

14 - Spatial Analysis in Geomorphology, 1972 : R.J. Chorley (Ed.), Methuen,London .

G - Publications

15 - AHNERT F. , 1970 : A comparison of theoretical slope models with slopesin the field, Zeitschrift fur Géomorphologie, (Supplement 9), 70, p.88-101.

16 - AHNERT F., 1973 : C0SL0P2 a comprehensive model program for simulatingslope profile development. Geocom Programs 8, 24 p., London.

17 - AHNERT F. , 1976 : Brief description of a comprehensivethree-dimensional process -response model of landform development.Z. Géomorph. N.F. Suppl. 25, 29-49.

18 - AHNERT F. , 1977 : Some comments on the quantitative formulation ofgeomorphological processes in a theoretical model. Earth SurfaceProcesses 2, 191-201.

19 - AHNERT F., 1987 : Approaches to dynamic equilibrium in theoreticalsimulations of slope development, Earth Surface Processes andLandforms, vol. 12, 3-15.

20 - AHNERT F., 1987 : Uses of a theoretical model in the analysis of landform development. Processus et mesure de l'érosion, Ed. C.N.R.S.,pp. 565-571.

21 - AHNERT F., 1987 : Process -response models of denudation at differentspatial scales. Geomorphological models. Theoretical and empiricalaspects. CATENA suppl. 10, pp. 31-50.

22 - ARMSTRONG A.C., 1987 : Slopes, boundary conditions and the developmentof convexo-concave forms. Some numerical experiments. Earth SurfaceProcesses and Landforms, vol; 12, n'l, p. 17-30.

23 - BENNET J.P., 1974 : Concepts of mathematical modeling of sedimentyield. Water Resour. Res. vol. 10, n''3, p. 485-492.

24 - CULLING W.E.H., 1960 : Analytical theory of erosion, J. of Geology,68, 336-344.

25 - CULLING W.E.H., 1963 : Soil creep and the development of hillsideslope. J. of Geology, 71, 127-161.

26 - CULLING W.E.H. , 1965 : Theory of erosion on soil-covered slopes. J.of Geology, 73, 230-254.

27 - COLEMAN S.M.. WATSON K. , 1983 : Ages estimated from a diffusionequation model for scorp degradation. Science, vol. 221, n*4607.

28 - HIRANO M,, 1975 : Simulation of developmental process of interfluvialslopes with reference to graded form, J. of Geology, 83, 113-123.

29 - HIRANO M. , 1976 : Mathematical model and the concept of equilibriumin connection with slope shear ratio. Zeitschrift fur. Géomorphologie,Supplementband, 25, 50-71.

30 - KIRKBY M.J., 1971 : Slopes, form and processes. Institute of BritishGeographers. Special Publication n°3, January 1971, p. 15-30.

31 - KIRKBY M.J., 1983 : The continuity equation : slope model and basalboundary conditions : a further comment. Earth Surface Processes andLandforms, vol.8, p. 287-288.

32 - KIRKBY M.J., 1977 : Soil development models as a component of slopemodels. Earth Surface Processes. Vol. 2, n''2-3, p. 203-230.

33 - LUKE J.C., 1974 : Special solutions for non linear erosion problems.Journal of Geophys. Res. vol. 79, n°26, p. 4035-4040.

34 - NASH D., 1980 : Forms of bluffs degraded for different lengths of timein Emmet County, Michigan, U.S.A. Earth Surface processes. Vol. 5,p. 331-345.

35 - SAUNDERS I., YOUNG A., 1983 : Rates of surface processes on slopes,slope retreat and denudation. Earth Surface Processes and Landforms,vol. 8, p. 473-501.

36 - SCHEIDEGGER A.E. , 1961 : Mathematical models of slope development.Geological Society of America Bulletin, vol. 72, p. 37-50.

37 - SMITH T.R., BRETHERTON P.P., 1972 : Stability and the conservation ofmass in drainage basin evolution. Water Resour. Res., vol.8, n''6,p. 1506-1529.

38 - TROFIMOV A.M., MOSKOVKIN V.M. , 1984 : The dynamic models ofgeomorphological systems (the qualitative theory of dynamic systems'application) Zeitschrift fur Géomorph. vol. 28, n°l, p. 77-94.

39 - TROFIMOV A.M., MOSKOVKIN V.M. , 1984 : Diffusion models of slopedevelopment. Earth Surface Processes and Landforms, vol.9.

D - Rapports autres

40 - THIERY D., 1987 : Le modèle MARTHE. Modélisation d' aquifère par unmaillage rectangulaire en régime transitoire pour le calculhydrodynamique des écoulements. Rapport B.R.G.M. 87 SGN 545 EAU.

30 - KIRKBY M.J., 1971 : Slopes, form and processes. Institute of BritishGeographers. Special Publication n°3, January 1971, p. 15-30.

31 - KIRKBY M.J., 1983 : The continuity equation : slope model and basalboundary conditions : a further comment. Earth Surface Processes andLandforms, vol.8, p. 287-288.

32 - KIRKBY M.J., 1977 : Soil development models as a component of slopemodels. Earth Surface Processes. Vol. 2, n''2-3, p. 203-230.

33 - LUKE J.C., 1974 : Special solutions for non linear erosion problems.Journal of Geophys. Res. vol. 79, n°26, p. 4035-4040.

34 - NASH D., 1980 : Forms of bluffs degraded for different lengths of timein Emmet County, Michigan, U.S.A. Earth Surface processes. Vol. 5,p. 331-345.

35 - SAUNDERS I., YOUNG A., 1983 : Rates of surface processes on slopes,slope retreat and denudation. Earth Surface Processes and Landforms,vol. 8, p. 473-501.

36 - SCHEIDEGGER A.E. , 1961 : Mathematical models of slope development.Geological Society of America Bulletin, vol. 72, p. 37-50.

37 - SMITH T.R., BRETHERTON P.P., 1972 : Stability and the conservation ofmass in drainage basin evolution. Water Resour. Res., vol.8, n''6,p. 1506-1529.

38 - TROFIMOV A.M., MOSKOVKIN V.M. , 1984 : The dynamic models ofgeomorphological systems (the qualitative theory of dynamic systems'application) Zeitschrift fur Géomorph. vol. 28, n°l, p. 77-94.

39 - TROFIMOV A.M., MOSKOVKIN V.M. , 1984 : Diffusion models of slopedevelopment. Earth Surface Processes and Landforms, vol.9.

D - Rapports autres

40 - THIERY D., 1987 : Le modèle MARTHE. Modélisation d' aquifère par unmaillage rectangulaire en régime transitoire pour le calculhydrodynamique des écoulements. Rapport B.R.G.M. 87 SGN 545 EAU.

ANNEXE 1

SOLUTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUESUTILISÉES DANS LA VALIDATION

DU LOGICIEL HÉRODE

ANNEXE 1

SOLUTIONS ANALYTIQUES CLASSIQUESUTILISÉES DANS LA VALIDATION

DU LOGICIEL HÉRODE

1.1 Solution de l'équation

âz _ ^ïat 8x'

On donne dans ce qui suit les solutions analytiques utilisées dans les tests de validation dulogiciel HERODE. Ces solutions renvoient aux cas numérotés 1 à 5 du chapitre 3 de la deuxièmepartie du rapport.

Cas n'I : profil initial horizontal

Conditions aux limites et initiale :

dzen X = 0 : = 0 (ligne de crête) Vt > 0

dx

en x = L : z = 0 (niveau de base) Vt > 0

àt = 0:z = Zo Vx 0<xsL

Solution :

z = Zo^T / ,Mi ^ (2n-f l)L + x _^(2n + l)L-x

1 - 2. (- 1) e'*^ r. + erfcn = 0

2VbT 2VbT

Cas n''2 : profil initial linéaire


dzenx = 0, = 0 Vt > 0

8x

en x = L, z = 0 Vt > 0

à t = 0, zo(x) = Zo f ~ ^ j

Solution :

= ZoiL-x

^ n = 0

2n L -I- X ^ (2n -I- 2) L - xierfc 7= - lerfc

2Vbt 2Vbr

1.1 Solution de l'équation

âz _ ^ïat 8x'

On donne dans ce qui suit les solutions analytiques utilisées dans les tests de validation dulogiciel HERODE. Ces solutions renvoient aux cas numérotés 1 à 5 du chapitre 3 de la deuxièmepartie du rapport.

Cas n'I : profil initial horizontal


dzen X = 0 : = 0 (ligne de crête) Vt > 0

dx

en x = L : z = 0 (niveau de base) Vt > 0

àt = 0:z = Zo Vx 0<xsL

Solution :

z = Zo^T / ,Mi ^ (2n-f l)L + x _^(2n + l)L-x

1 - 2. (- 1) e'*^ r. + erfcn = 0

2VbT 2VbT

Cas n''2 : profil initial linéaire


dzenx = 0, = 0 Vt > 0

8x

en x = L, z = 0 Vt > 0

à t = 0, zo(x) = Zo f ~ ^ j

Solution :

= ZoiL-x

^ n = 0

2n L -I- X ^ (2n -I- 2) L - xierfc 7= - lerfc

2Vbt 2Vbr

Cas n'S : profîl initial parabolique


dzenx = 0, = 0 Vt > 0

dx

enx = L,z = 0 Vt > 0

àt = 0,zo(x) = Zol2-x2

L X

Solution :

Zo(L^-x^) 2b.tZoz =

Sb.tZo ^+ ^ I (-1)"

L n = 0

2 f2n-l-l)L-x 2 (2n-l- DL -I- X1 erfc == + 1 erfc ==

2Vbr 2Vbt

Cas n''4 : déplacement vertical d'une limite


Solution pour a = p :

àt = 0:z(x, o) = Zo x >0

en X = 0 : z (o, t) = Zo - ot, a > 0

enx = L:z(L,t) = Zo - pt, P>0

z (x, t) = Zo at aX (x - L)

2b

4.k.L 2 «

In^b n = o (2n + l)2

(2 n -I- 1) nxsin ' exp

-b(2n-l- D^n^t

Cas n'S : profîl initial parabolique


dzenx = 0, = 0 Vt > 0

dx

enx = L,z = 0 Vt > 0

àt = 0,zo(x) = Zol2-x2

L X

Solution :

Zo(L^-x^) 2b.tZoz =

Sb.tZo ^+ ^ I (-1)"

L n = 0

2 f2n-l-l)L-x 2 (2n-l- DL -I- X1 erfc == + 1 erfc ==

2Vbr 2Vbt

Cas n''4 : déplacement vertical d'une limite


Solution pour a = p :

àt = 0:z(x, o) = Zo x >0

en X = 0 : z (o, t) = Zo - ot, a > 0

enx = L:z(L,t) = Zo - pt, P>0

z (x, t) = Zo at aX (x - L)

2b

4.k.L 2 «

In^b n = o (2n + l)2

(2 n -I- 1) nxsin ' exp

-b(2n-l- D^n^t

Cas n'S : déplacement latéral d'une limite


àt = 0:z(x,o) = Zo X > 0

enx = 0:z(o,t) = Zg Vt > 0

La région x > o se déplace à une vitesse constante c.

c est négatif pour un déplacement s'eflectuant suivant la direction des x croissants.

Solution :

z(x,t) = Zo- - Zo- Z2 \ °

^ (x - et) f<x\ (x -I- et)erfc 7=- -I- exp I I erfc 7=-

2 Vbt V b / 2 Vbt

1.2 - Solution de réquation

dz

dt

d

dx

dz(kx + b)

L dx

1.2.1 -Cas où b = 0

Une solution est donnée par Trofimov et Moskovkin (Diffusion models of slope development,réf. 39), avec les conditions aux limites et initale suivante :

en X = 1 : z (k, t) = 0 Vt

/az\en X = 0 : 1 ) = o Vt

àt = 0 = z(x, 0) = f(x)

itx) = h(l-x/l)pente initiale

La solution est :

kp^t-

oâ x£ 1

" / k p t \z(x.t)= 2, Cexp(^- -^)jo(p^V5i7r)

n = 1

2 f^Cn= rf(r)Jo(p r)dz

J?(PJ h.=vf

Jo et Ji désignent les fonctions de Bessel d'ordre 0 et 1 respectivement ; les iiq sont les racinespositives de l 'équation Jq (r) = 0

Si f(x) = h(l-^). C^=-^XK '^l^^r?

Cas n'S : déplacement latéral d'une limite


àt = 0:z(x,o) = Zo X > 0

enx = 0:z(o,t) = Zg Vt > 0

La région x > o se déplace à une vitesse constante c.

c est négatif pour un déplacement s'eflectuant suivant la direction des x croissants.

Solution :

z(x,t) = Zo- - Zo- Z2 \ °

^ (x - et) f<x\ (x -I- et)erfc 7=- -I- exp I I erfc 7=-

2 Vbt V b / 2 Vbt

1.2 - Solution de réquation

dz

dt

d

dx

dz(kx + b)

L dx

1.2.1 -Cas où b = 0

Une solution est donnée par Trofimov et Moskovkin (Diffusion models of slope development,réf. 39), avec les conditions aux limites et initale suivante :

en X = 1 : z (k, t) = 0 Vt

/az\en X = 0 : 1 ) = o Vt

àt = 0 = z(x, 0) = f(x)

itx) = h(l-x/l)pente initiale

La solution est :

kp^t-

oâ x£ 1

" / k p t \z(x.t)= 2, Cexp(^- -^)jo(p^V5i7r)

n = 1

2 f^Cn= rf(r)Jo(p r)dz

J?(PJ h.=vf

Jo et Ji désignent les fonctions de Bessel d'ordre 0 et 1 respectivement ; les iiq sont les racinespositives de l 'équation Jq (r) = 0

Si f(x) = h(l-^). C^=-^XK '^l^^r?

ANNEXE 2

RECHERCHE DE LA SOLUTIOND'UNE EQUATION INCLUANT

TERMES EROSIFS DE RUISSELLEMENT ET DE CREEP

ANNEXE 2

RECHERCHE DE LA SOLUTIOND'UNE EQUATION INCLUANT

TERMES EROSIFS DE RUISSELLEMENT ET DE CREEP

On donne ici une solution de l'équation :

-

dt dx

dzk x -H b)

" dx(la)

vérifiant les conditions suivantes :

en X = 0 :

à t = o :

z = 0 Vt

en X = 1 : I, = o Vtdx/l

(Ib)

z = f (x) = "T X

Le système (la) + (Ib) décrit l'évolution au cours du temps d'un versant de cote

z = z(x), de pente initiale uniforme h/i et soumis à l'action de processus érosifs de

type "wash" (terme kox, où ko a la dimension L.T-1) et "creep" (terme b, de

dimension L2.T-1). La condition en x = o correspond à un potentiel imposé (cote

nulle) et la condition en x = 1 à un flux imposé (flux nul à travers la ligne de crête).

La solution que l'on propose généralise celle donnée par Trofimov (Diffusion

Models of Slope Development, in : Earth Surface Processes and Landforms, voL 9, p.

435-453, 1984), solution où le "creep" n'intervenait pas (b = O dans l'équation (1)).

On donne ici une solution de l'équation :

-

dt dx

dzk x -H b)

" dx(la)

vérifiant les conditions suivantes :

en X = 0 :

à t = o :

z = 0 Vt

en X = 1 : I, = o Vtdx/l

(Ib)

z = f (x) = "T X

Le système (la) + (Ib) décrit l'évolution au cours du temps d'un versant de cote

z = z(x), de pente initiale uniforme h/i et soumis à l'action de processus érosifs de

type "wash" (terme kox, où ko a la dimension L.T-1) et "creep" (terme b, de

dimension L2.T-1). La condition en x = o correspond à un potentiel imposé (cote

nulle) et la condition en x = 1 à un flux imposé (flux nul à travers la ligne de crête).

La solution que l'on propose généralise celle donnée par Trofimov (Diffusion

Models of Slope Development, in : Earth Surface Processes and Landforms, voL 9, p.

435-453, 1984), solution où le "creep" n'intervenait pas (b = O dans l'équation (1)).

1 TRANSFORMATION DU SYSTEME (1)

D On pose d'abord :

k l0

r. = v- (. = 0)

o

/ b

o

(x = ¤)

n L'équation (1) se transforme donc de la façon suivante

dz

di

d=

dr

9 dz dr

" dr dx

dr

dx

soit, en simplifiant, sachant que dr 1

dx~ 2ir

ce % d / d2\ 1

di Aï dr \ drJ r

OU

4( dz _ d z 1 dz (2a)

1 TRANSFORMATION DU SYSTEME (1)

D On pose d'abord :

k l0

r. = v- (. = 0)

o

/ b

o

(x = ¤)

n L'équation (1) se transforme donc de la façon suivante

dz

di

d=

dr

9 dz dr

" dr dx

dr

dx

soit, en simplifiant, sachant que dr 1

dx~ 2ir

ce % d / d2\ 1

di Aï dr \ drJ r

OU

4( dz _ d z 1 dz (2a)

D Les conditions aux limites et initiale (cf. Ib) deviennent

ert r = r = V : 2 = o Vf0

^r=r^ = ^Á^: {'fj =0 W (2b)

ài=o: 2 = f[r) = h(r^-rh0

On pose :

4¤

et on introduit les variables réduites suivantes (r est déjà sans dimension) :

7 =K.t;z =-h

L'équation (2a) devient alors :

dz l âz dz

dr^ ' âr aJ

(3a)

avec les conditions suivantes :

pourr= r : z = o V i

pourr ='.:( ) = 0 V it

à Í = 0 : r = Ar) = (r^- r')

(3b)

D Les conditions aux limites et initiale (cf. Ib) deviennent

ert r = r = V : 2 = o Vf0

^r=r^ = ^Á^: {'fj =0 W (2b)

ài=o: 2 = f[r) = h(r^-rh0

On pose :

4¤

et on introduit les variables réduites suivantes (r est déjà sans dimension) :

7 =K.t;z =-h

L'équation (2a) devient alors :

dz l âz dz

dr^ ' âr aJ

(3a)

avec les conditions suivantes :

pourr= r : z = o V i

pourr ='.:( ) = 0 V it

à Í = 0 : r = Ar) = (r^- r')

(3b)

2 - RESOLUTION DU SYSTEME (3)

Dans ce qui suit, on remplace, pour simplifier l'écriture :

t et z par t et z

On sait que la solution générale d'un équation de la forme (3a) est donnée par

" -a^ tz = ALogr + B + Cir+At)+yCU{ar)e "

n = l

avec :

U (an r) = An. Jo (an^r) + Bn . Yo (an.r).

Jo et Yo sont les fonctions de Bessel d'ordre o, respectivement de première

espèce et seconde espèce.

An - Bn et on sont des coefficients.

Les coefficients A, B, C d'une part. An, Bn et an d'autre part, peuvent être

déterminés à l'aide des deux conditions aux limites :

. pourr =r, z 0 Vi (CLl)

dzpourr = r = o \/t (CL2)

^ *^ dr

et de la condition initiale :

. à Í = 0, z = f[r) = {r^- ri) {CD

2 - RESOLUTION DU SYSTEME (3)

Dans ce qui suit, on remplace, pour simplifier l'écriture :

t et z par t et z

On sait que la solution générale d'un équation de la forme (3a) est donnée par

" -a^ tz = ALogr + B + Cir+At)+yCU{ar)e "

n = l

avec :

U (an r) = An. Jo (an^r) + Bn . Yo (an.r).

Jo et Yo sont les fonctions de Bessel d'ordre o, respectivement de première

espèce et seconde espèce.

An - Bn et on sont des coefficients.

Les coefficients A, B, C d'une part. An, Bn et an d'autre part, peuvent être

déterminés à l'aide des deux conditions aux limites :

. pourr =r, z 0 Vi (CLl)

dzpourr = r = o \/t (CL2)

^ *^ dr

et de la condition initiale :

. à Í = 0, z = f[r) = {r^- ri) {CD

2.1 - Calcul des coefñcients A, B, C

n La condition CLl permet d'écrire :

2a

z = o = ALogr, +B-I- C{r, -t- 4 i) -I- Y C Î7(a r,)e " '1 1 ^ " n ni

n=l

Elle est donc vérifiée quel que soit t si :

Ao, B = 0, C = 0 et U (a^r^) = o

n La condition CL2 implique :

dz\ A ^ ^ -° '- =0= - +C+ y C í/'ía rje "ârA=''2 r . " " ^

2 "2 fi=l

Cette relation doit être vérifiée pour r = r2 et quel que soit t, ce qui impose

donc (A et C étant déjà nuls par application de CLl) :

U' (on r2) = O

Quant à la condition initiale CI, elle détermine la relation :

00

fir) = y C Uia r)

n La solution cherchée peut donc s'écrire en définitive ;

- a .Í2= y C i7(a r)e "

n=l

avec :

Uia r) = A .Jo (a .r) + B Yo ia .r)n n n n n

et les deux conditions :

Uia rJ = o et U'ia rJ = oni n £

2.1 - Calcul des coefñcients A, B, C

n La condition CLl permet d'écrire :

2a

z = o = ALogr, +B-I- C{r, -t- 4 i) -I- Y C Î7(a r,)e " '1 1 ^ " n ni

n=l

Elle est donc vérifiée quel que soit t si :

Ao, B = 0, C = 0 et U (a^r^) = o

n La condition CL2 implique :

dz\ A ^ ^ -° '- =0= - +C+ y C í/'ía rje "ârA=''2 r . " " ^

2 "2 fi=l

Cette relation doit être vérifiée pour r = r2 et quel que soit t, ce qui impose

donc (A et C étant déjà nuls par application de CLl) :

U' (on r2) = O

Quant à la condition initiale CI, elle détermine la relation :

00

fir) = y C Uia r)

n La solution cherchée peut donc s'écrire en définitive ;

- a .Í2= y C i7(a r)e "

n=l

avec :

Uia r) = A .Jo (a .r) + B Yo ia .r)n n n n n

et les deux conditions :

Uia rJ = o et U'ia rJ = oni n £

2.2 - Choix des coefficients A^ et B

On choisit les coefficients An et Bn de façon à ce que l'on ait U (anri) = o

comme l'exige la condition CLl. On pose donc :

An = Yo (anri) et Bn = - Jo (anri)

d'où :

U (an) = Yo (anri) ; Jo (anr) - Jo (anri) ; Yo (anr)

Pour r = ri on a bien :

U (anri) = o

2.3 Calcul de a

Les Qn seront tels que la condition U' (anr2) = o soit réalisée (c'est-à-dire pour

que la condition CL2 soit vérifiée).

On a :

U' (anr) = Yo (onri) . J'o (anr) - Jo (anri) . Y'o (anr)

Sachant que :

J'o (anr) = - an Ji (anr)

Y'o (an.r) = - an Yi (anr)

Jl et Yi étant les fonctions de Bessel d'ordre 1, on peut écrire :

U' (an.r) = - an Yo (anri). Ji (an-r) + an Jo (an ri). Yl (anr)

U' (anr2) = o implique :

Yo (anri). Jl (cinr2) " Jo i^n-n) Yi (anr2) = 0

2.2 - Choix des coefficients A^ et B

On choisit les coefficients An et Bn de façon à ce que l'on ait U (anri) = o

comme l'exige la condition CLl. On pose donc :

An = Yo (anri) et Bn = - Jo (anri)

d'où :

U (an) = Yo (anri) ; Jo (anr) - Jo (anri) ; Yo (anr)

Pour r = ri on a bien :

U (anri) = o

2.3 Calcul de a

Les Qn seront tels que la condition U' (anr2) = o soit réalisée (c'est-à-dire pour

que la condition CL2 soit vérifiée).

On a :

U' (anr) = Yo (onri) . J'o (anr) - Jo (anri) . Y'o (anr)

Sachant que :

J'o (anr) = - an Ji (anr)

Y'o (an.r) = - an Yi (anr)

Jl et Yi étant les fonctions de Bessel d'ordre 1, on peut écrire :

U' (an.r) = - an Yo (anri). Ji (an-r) + an Jo (an ri). Yl (anr)

U' (anr2) = o implique :

Yo (anri). Jl (cinr2) " Jo i^n-n) Yi (anr2) = 0

Les an annulant cette expression sont fournis par des tables (cf. Carslaw and

Jaeger, conduction of Heat in solids, 1959).

2.4 - Calcul des coefficients C

Les coefficients Cn sont calculés en tenant compte de la condition z = f(r) en

t = Oî

2 = A'-)= y c .Î7(a .r).¿mm n n

(4)

n=l

La procédure de calcul est alors classique (cf. Muskat, The Flow of

Homogeneous Fluids through porous Media, 1946).

On multiplie les deux membres de l'équation (4) ci-dessus par r.U (an.r) et on

intègre de ri à r2 :

r. fir)U ia .r)dr= Y C rUia .r)Uia . r) . dr (5)^ = 1 '^

n m

2.4.1 Calcul de l'intégrale I,

^1 = rUia r).Uia r)drn m

Si m # n. Pour tout n différent de m, (n = 1 à <»), on a par intégration de Ii

/. =^ ^2 2

a an m.

r.Uia r).Uia r) - rUia .r)C7'(a r)n fn m n

Les an annulant cette expression sont fournis par des tables (cf. Carslaw and

Jaeger, conduction of Heat in solids, 1959).

2.4 - Calcul des coefficients C

Les coefficients Cn sont calculés en tenant compte de la condition z = f(r) en

t = Oî

2 = A'-)= y c .Î7(a .r).¿mm n n

(4)

n=l

La procédure de calcul est alors classique (cf. Muskat, The Flow of

Homogeneous Fluids through porous Media, 1946).

On multiplie les deux membres de l'équation (4) ci-dessus par r.U (an.r) et on

intègre de ri à r2 :

r. fir)U ia .r)dr= Y C rUia .r)Uia . r) . dr (5)^ = 1 '^

n m

2.4.1 Calcul de l'intégrale I,

^1 = rUia r).Uia r)drn m

Si m # n. Pour tout n différent de m, (n = 1 à <»), on a par intégration de Ii

/. =^ ^2 2

a an m.

r.Uia r).Uia r) - rUia .r)C7'(a r)n fn m n

Sim = n

I^=\\uHa^r/. = I r U ia r)dr et en integrant:'1

1

'. = î r'û'^ ia r) -I- --r'^.U^'îa r)

n

Compte tenu de U (an ri) = o et U' (an r2) = o, il reste :

1

an

D'autre part, en dérivant U (an.r) il vient :

U '(an.r) = - an.Yo (an.ri) . Ji (an r) + an. Jo (an ri) . Yi (anr)

U' (an.ri) = an. [Jo (an-ri) . Yi (an ri) - Yo (an ri) . ji (an ri)]

Tenant compte de la relation classique :

J .ix).Y ix) - Yo ix) . J, ix) = -o 1 n.x

U' (a ri) = -n n.r.

ei:7^=~2a

n̂n

Sim = n

I^=\\uHa^r/. = I r U ia r)dr et en integrant:'1

1

'. = î r'û'^ ia r) -I- --r'^.U^'îa r)

n

Compte tenu de U (an ri) = o et U' (an r2) = o, il reste :

1

an

D'autre part, en dérivant U (an.r) il vient :

U '(an.r) = - an.Yo (an.ri) . Ji (an r) + an. Jo (an ri) . Yi (anr)

U' (an.ri) = an. [Jo (an-ri) . Yi (an ri) - Yo (an ri) . ji (an ri)]

Tenant compte de la relation classique :

J .ix).Y ix) - Yo ix) . J, ix) = -o 1 n.x

U' (a ri) = -n n.r.

ei:7^=~2a

n̂n

L'égalité (5) devient donc :

r. fir). Uia .r)dr=C .Lm ni

2.a=» C =

1 2 2rT2/ \r.fir).Uia^r)dr

2.4.2 - Calcul de llntégrale I;

-i:L= I ' r fir). Uia r)dr

D'après (3 b) Ar) = (r2 _ rJ

^2=-'"l r. Uia r)dr +n

r^.Uia r)drn

D Calcul de :^21 = r.Uia r)dr

n

L'évaluation de cette intégrale conduit à :

21 2Q

n

rU'ia .r)n l'i

21 2a

n

'2^'(V2)-^^'^^)

L'égalité (5) devient donc :

r. fir). Uia .r)dr=C .Lm ni

2.a=» C =

1 2 2rT2/ \r.fir).Uia^r)dr

2.4.2 - Calcul de llntégrale I;

-i:L= I ' r fir). Uia r)dr

D'après (3 b) Ar) = (r2 _ rJ

^2=-'"l r. Uia r)dr +n

r^.Uia r)drn

D Calcul de :^21 = r.Uia r)dr

n

L'évaluation de cette intégrale conduit à :

21 2Q

n

rU'ia .r)n l'i

21 2a

n

'2^'(V2)-^^'^^)

or

U ' (an r2) = o et donc :

1 2 - 2

^21= -^'(^'P=- ^'"««"^ ^'(%V=na nr.

21 2na

D Calcul de :

I^=\\\Uia^r)dr

L'intégration conduit à :

1

22~ ~2G

il

(-r^'-l- ^)C7'(a r) + 2r^.i7(a r)2 rt n

an

et, compte tenu toujours de U ' (an r2) = o et U (an ri) = O

et comme :

22 2a

n

r^.U'iar)9 1 n 1 9 9

U'ia^r^)=-nr.

22 2G

nno

n

or

U ' (an r2) = o et donc :

1 2 - 2

^21= -^'(^'P=- ^'"««"^ ^'(%V=na nr.

21 2na

D Calcul de :

I^=\\\Uia^r)dr

L'intégration conduit à :

1

22~ ~2G

il

(-r^'-l- ^)C7'(a r) + 2r^.i7(a r)2 rt n

an

et, compte tenu toujours de U ' (an r2) = o et U (an ri) = O

et comme :

22 2a

n

r^.U'iar)9 1 n 1 9 9

U'ia^r^)=-nr.

22 2G

nno

n

n En définitive :

1=1 -ri2 22 1- 21

2

nna "

2

n

+'2^(^'-2)na

n

2.5 Conclusion

La solution cherchée, en variables réduites est donc (avec r2 = ri et ri = ro)

-aM2 = y C .Î7(a .r)e "

.Í n nn = l

Cn =

n

n.an

Uia .r) = Yo ia .r). Jo (a .r) - Jo (a r ). Yo (g .r)n no n no n

oz = z/h et Í = . Í

4¤

r = V ei r . = V 1 + ° kol « Jbo/

n En définitive :

1=1 -ri2 22 1- 21

2

nna "

2

n

+'2^(^'-2)na

n

2.5 Conclusion

La solution cherchée, en variables réduites est donc (avec r2 = ri et ri = ro)

-aM2 = y C .Î7(a .r)e "

.Í n nn = l

Cn =

n

n.an

Uia .r) = Yo ia .r). Jo (a .r) - Jo (a r ). Yo (g .r)n no n no n

oz = z/h et Í = . Í

4¤

r = V ei r . = V 1 + ° kol « Jbo/

rialisation

service

reprographie

du BRGM

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service

reprographie

du BRGM

89 SGN 432 STO89 SGN 432 STO

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