MODÉLISATION, ANALYSE ET VÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE D'UN …

UNIVERSITÉ DE SHERBROOKEFaculté de génie

Département de génie mécanique

MODÉLISATION, ANALYSE ETVÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE D'UN

DÉTECTEUR DE MASSEULTRA-SENSIBLE UTILISANT LE

COMPORTEMENT OSCILLATOIRE NONLINÉAIRE D'UNE MICROGOUTTE DE

LIQUIDE

Mémoire de maitriseSpécialité : génie mécanique

Andréane d'Arcy-Lepage

Sherbrooke (Québec) Canada

Décembre 2018

MEMBRES DU JURY

Julien SylvestreDirecteur

Hachimi FellouahÉvaluateur

Luc FréchetteÉvaluateur

RÉSUMÉ

La détection de faibles masses est utilisée dans de nombreux domaines tels que la phy-sique, la pharmacologie, la médecine, etc. La technologie se développe an d'atteindre unesensibilité qui permet d'identier des molécules et même des atomes.

À cette échelle, on se tourne vers des MEMS qui oscillent près de leur fréquence de réso-nance. Ces oscillateurs mécaniques sont grandement perturbés par un changement dansleur composition, comme l'ajout d'une faible masse. Cette sensibilité provient du com-portement non linéaire de leur oscillation. Les oscillateurs présentement utilisés sont desmicropoutres de silicium ainsi que des nanotubes de carbone. Les gouttes de liquide n'ontpas encore été utilisées pour cette application. Elles présentent toutefois un grand potentielen raison de leur méthode de fabrication simple et peu coûteuse.

Ce projet franchit les premières étapes du développement d'un capteur de masse liquideultra-sensible. Un modèle numérique de volumes nis d'une goutte en résonance a étédéveloppé pour bien cerner l'eet d'une modication de ses propriétés. Les résultats dumodèle ont été validés expérimentalement sur une goutte de gallium liquide d'environ 600µm de diamètre. Finalement, un modèle dynamique masse-ressort-amortisseur non linéairea été développé an d'analyser la sensibilité du capteur. Ce modèle simple a permis detrouver une approche de mesure permettant potentiellement la détection d'une massed'environ 1 nanogramme. Si l'on extrapole les résultats pour une goutte de 10 nm dediamètre, on pourrait détecter une masse d'environ 4 yoctogramme (4×10−24g) avec cetteméthode, soit moins que la masse d'un atome d'hélium.

Mots-clés : goutte de liquide, non linéaire, oscillation, capteur de masse

ABSTRACT

MODELING, ANALYSIS AND EXPERIMENTAL VERIFICATION OF ANULTRA-SENSITVE MASS SENSOR USING THE NON LINEAR OSCILLA-TORY BEHAVIOR OF A LIQUID MICRODROPLET

The detection of small masses is used in many elds such as physics, pharmacology,medicine, etc. The technology is evolving to achieve a sensitivity to identify moleculesand even atoms.

At this scale, MEMS that oscillate near their resonance frequency are used. These mechan-ical oscillators are very sensitive to a change in their composition, such as a small massadded. This sensitivity comes from the non-linear behavior of their oscillation. Oscillatorscurrently used are silicon microbeams as well as carbon nanotubes. Liquid drops have notbeen used yet for this application. However, they have a great potential due to their simpleand cheap manufacturing method.

This project takes the rst steps of developing an ultra-sensitive liquid mass sensor. Anumerical nite volume model of a droplet in resonance has been developed to understandthe eect of a modication of its properties. The results of the model were validatedexperimentally on a gallium liquid droplet of about 600 µm in diameter. Finally, a non-linear mass-spring-damper dynamic model was developed to analyze the sensitivity ofthe sensor. This simple model has helped develop a measurement approach that couldpotentially detect a mass of about 1 nanogram. Extrapolating the results to a 10 nmdiameter droplet, we could detect a mass of about 4 yoctogram (4 × 10−24g) with thismethod, which is less than a helium atom.

Keywords: sessile drop, nonlinear, oscillation, mass sensor

TABLE DES MATIÈRES

1 INTRODUCTION 1

2 ÉTAT DE L'ART 32.1 Oscillateurs non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Non linéarité d'un oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.1.2 Modèles non linéaires d'oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3 Oscillateurs mécaniques non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Capteurs ultra-sensible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.1 Capteurs non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Capteurs de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 ANALYSE PAR VOLUMES FINIS 213.1 Modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Paramètres du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Résultats de l'analyse numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Inuence des diérents paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Comparaison avec la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.3 Hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 VALIDATION EXPÉRIMENTALE 294.1 Méthode de fabrication d'une goutte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.1 Traitement du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.2 Étalonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.3 Balayage en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.4 Hysteresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.4 Validation du modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4.1 Résultats numériques dimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4.2 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 APPLICATION À UN CAPTEUR 415.1 Modèle dynamique simplié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1 Optimisation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2 Méthode de mesure de faibles masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.3 Sensibilité d'un capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 CONCLUSION 47

7 ENGLISH CONCLUSION 49

LISTE DES RÉFÉRENCES 51

vii

viii TABLE DES MATIÈRES

LISTE DES FIGURES

2.1 Bifurcation à la résonance d'un oscillateur non linéaire. Au centre, un os-cillateur linéaire, puis l'eet non linéaire en fonction de la rigidité à gaucheet à droite. Pour une augmentation de la fréquence d'excitation (suivant lesèches), l'amplitude d'oscillation passe par A, B et C, mais par C, D et Apour une diminution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Système masse-ressort-amortisseur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Bistabilité d'un oscillateur de Dung (β > 0) où Ω est la fréquence d'ex-citation (les èches indiquent le sens de la variation de Ω) et a/|F | estl'amplitude d'oscillation sur la force d'excitation. . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Bifucation multiple d'un oscillateur à amortissement et rigidité non linéaire.Les segments I, III et IV sont stables, alors que les segments pointillés II et Vsont instables. La èche verte représente le trajet lors d'une augmentationde la fréquence d'excitation et les rouges les trajets possibles pour unediminution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Type de poutres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Non linéarité de l'oscillation d'une poutre doublement encastrée lors d'unbalayage en fréquence passant par sa résonance. . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Hystérésis d'une poutre lors d'un balayage en fréquence où a est l'amplituded'oscillation de la poutre. Les courbes rouges représentent l'augmentation etles courbes bleues la diminution de la fréquence d'excitation. Vpp représentel'amplitude de la tension électrique appliquée sur la poutre an de la faireosciller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.8 Type de disques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.9 Impact de l'ajout des fentes sur la déformation radial d'un disque qui oscille. 10

2.10 Oscillateur utilisant un nanotube de carbone. a) Conguration de l'oscilla-teur b) Résultat expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.11 Oscillation d'une goutte de liquide sur un substrat. . . . . . . . . . . . . . 11

2.12 Modes de résonance d'une goutte de liquide. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.13 Rapport hauteur/largeur (a/b)m lors d'un balayage en fréquence Ω des troispremiers modes d'une goutte de liquide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.14 Rapport hauteur/largeur (a/b)m lors d'un balayage en fréquence Ω des deuxpremiers modes d'une goutte de liquide en fonction de l'amplitude d'oscil-lation du substrat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.15 Rapport hauteur/largeur (a/b)m lors d'un balayage en fréquence Ω des deuxpremiers modes d'une goutte de liquide en fonction de la gravité G. . . . . 13

2.16 Hystérésis d'une goutte de liquide où (ab)m est le rapport hauteur/largeur de

la goutte et Ω la fréquence. Les èches représentent le sens de la variationde la fréquence d'excitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

ix

x LISTE DES FIGURES

2.17 Déformation de la goutte lors d'un cycle d'oscillation où chaque image estdécallée d'un quart de période. Le premier cycle (a-d) correspond à labranche inférieure de l'hystérésis (augmentation de la fréquence d'excita-tion) et le deuxième cycle (a-h) représente la branche suppérieure, soit lorsde la diminution de la fréquence d'excitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.18 Amplitude d'oscillation (mesurée en V) d'une goutte soumise à une impul-sion (déplacement vertical du substrat). En a) en fonction du temps et enb) le résultat après une transformée de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.19 Balayage en fréquence pour diérentes concentrations de glycérol (a) résul-tats expérimentaux (b) masse-ressort-amortisseur non linéaire (Dung) oùYm

Ysest le rapport entre l'amplitude d'oscillation du centre de masse de la

goutte et du substrat et ff3

est le rapport entre la fréquence d'excitation etla fréquence de résonance du 3e mode de la goutte. . . . . . . . . . . . . . 16

2.20 Décalage de la fréquence de résonance d'une nanopoutre lors de l'ajoutindividuel de protéines BSA (≈ 1.1× 10−19g) et β-amylase (≈ 3.32× 10−19g). 18

3.1 Modèle numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Oscillation d'une goutte de liquide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Paramètres de la goutte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Forme de la goutte en fonction du temps t, où T est la période et l'échelle

de couleur du bleu (faible) au rouge (élevée) représente la vorticité. . . . . 233.5 Hauteur de la goutte en fonction du temps (A = 0.00625, µ = 0.033 et

α = 0.5, ω = 1.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Amplitude d'oscillation en fonction de la fréquence d'excitation (A = 0.00625,

µ = 0.033 et α = 0.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7 Modes symétriques d'oscillation, où l'échelle de couleur du bleu (faible) au

rouge (élevée) représente la vorticité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.8 Variation de l'angle de contact pour µ = 0.033 et Aexc = 0.025. . . . . . . . 253.9 Variation de l'amplitude d'excitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.10 Variation de la viscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.11 Rapport hauteur-largeur en fonction de la fréquence d'excitation (α = 0). . 263.12 Rapport hauteur-largeur en fonction de la fréquence d'excitation (α = 0.5). 273.13 Hystérésis en amplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.14 ω = 3.4, µ = 0.033, α = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Fabrication d'une goutte de gallium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Électrodéposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Goutte de gallium électro-déposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Goutte de gallium oxydée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Schéma expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6 Intensité lumineuse selon la forme de la goutte . . . . . . . . . . . . . . . . 324.7 Amplicateur à détection synchrone MFLI Zurich Instruments . . . . . . . 334.8 Étalonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.9 Mesure du diamètre et angle de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

LISTE DES FIGURES xi

4.10 Balayage en fréquence pour diérentes amplitudes d'excitation (R = 317.7µm et α = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.11 Balayage en fréquence pour diérentes amplitudes d'excitation . . . . . . . 354.12 Hystérésis observé près de la fréquence de résonance . . . . . . . . . . . . . 364.13 Validation expérimentale du modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . 374.14 Validation expérimentale du modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . 384.15 Courbes normalisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1 Modèle dynamique simplié d'une goutte de liquide, où k est la constantede raideur et c1 + c2y le coecient d'amortissement . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 DCL de l'oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3 Correspondance du modèle dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4 Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5 Ajustement proportionnel de l'amplitude d'excitation . . . . . . . . . . . . 435.6 Variation de l'excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.7 Ratio signal/bruit en fonction de la variation de fréquence . . . . . . . . . 45

xii LISTE DES FIGURES

LISTE DES TABLEAUX

2.1 Capteurs non linéaires ultra-sensibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Capteurs de masse ultra-sensibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1 Paramètres xes de l'analyse adimensionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Paramètres expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

xiii

xiv LISTE DES TABLEAUX

LISTE DES SYMBOLES

Symbole Dénition˙[ ] Dérivée première selon le référentiel inertiel

[ ] Dérivée seconde selon le référentiel inertielt Variable temporelleF Forcem Massea AccélérationR RayonV Volumeα et θ Angle de contactω et Ω FréquenceT PériodeA Amplitudek Constante de raideurc Coecient d'amortissementρ Densitéλ Tension de surface

xv

xvi LISTE DES SYMBOLES

LISTE DES ACRONYMES

Acronyme Dénition

MRA Système masse-ressort-amortisseurRLC Circuit résistance-inductance-condensateurUdeS Université de SherbrookeDCL Diagramme du corps libreMEMS Microsystème électromécaniqueNEMS Nanosystème électromécanique

xvii

xviii LISTE DES ACRONYMES

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

L'utilisation d'oscillateurs non linéaires pour mesurer de faibles masses a déjà été explorée

et prouvée [5, 7, 15, 19, 32, 35] . Les oscillateurs présentement utilisés sont des micro

ou nanopoutres de silicium [5, 19, 32, 35] ainsi que des nanotubes de carbone [7, 15]

dont le comportement oscillatoire est non linéaire lorsqu'ils sont grandement déformés.

L'inconvénient majeur de ces oscillateurs est que leur fabrication est complexe, coûteuse

et demande des équipements de micro et nanofabrication spécialisés.

Il a également été démontré qu'une goutte de liquide déposée sur un substrat a un com-

portement oscillatoire non linéaire [4, 8, 26, 30, 31] . Ceci mène à considérer la possibilité

d'utiliser une goutte de liquide à titre de capteur de masse ultra-sensible. Une simple

goutte déposée sur un substrat pourrait alors rendre abordable et accessible la détection

de faibles masses, par exemple pour identier des virus ou des bactéries, ainsi que pour

détecter des explosifs. C'est pourquoi l'objectif de cette maîtrise est de démontrer qu'une

microgoutte de liquide peut être utilisée comme détecteur de masse ultra-sensible et d'es-

timer sa sensibilité.

An de conrmer cette théorie, il faut démontrer que déposer une faible masse sur une

goutte change radicalement son amplitude d'oscillation, cette variation était directement

liée à la masse ajoutée. Il faut par la suite déterminer quelle sensibilité pourrait avoir un

capteur composé d'une goutte de liquide an de conrmer le type d'applications possibles

de ce capteur.

Une analyse de la littérature a permis de mieux comprendre les oscillateurs mécaniques

en général ainsi que les diérents comportements oscillatoires non linéaires. Un survol des

méthodes de mesure des capteurs ultra-sensibles déjà développés a également aidé à bien

cibler les aspects critiques du projet, comme le type et l'intensité de la non-linarité du

capteur ainsi que la méthode de mesure de son oscillation. Ces recherches ont mené à un

modèle numérique qui utilise la méthode des volumes nis an de représenter la goutte.

An de conrmer ce modèle, des essais expérimentaux ont été réalisés. Pour ce faire,

une méthode de mesure optique a été développée, puisque les méthodes traditionnelles de

mesure d'oscillation nécessitent de mesurer une surface plane, ce qui n'est pas le cas d'une

goutte. La création d'un modèle dynamique simplié de type masse-ressort-amortisseur

1

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

non linéaire a nalement permis d'optimiser la méthode de mesure de faible masse ainsi

que de déterminer sa sensibilité.

CHAPITRE 2

ÉTAT DE L'ART

Plusieurs concepts entrent en jeux lors de la conception d'un capteur de masse utilisant

la non linéarité de l'oscillation d'une goutte de liquide. Il faut d'abord bien comprendre

ce qu'est un oscillateur non linéaire et comment modéliser sa dynamique (section 2.1).

Diérents modèles et leur particularités ont été étudiés [9, 11, 18, 20] an de mener à un

modèle qui représente le mieux un oscillateur non linéaire. Ces modèle servent à représenter

des oscillateurs mécaniques à l'état solide tels que les micropoutres [6, 12, 13, 19, 24, 29],

les microdisques [14, 16, 17] et les nanotubes de carbone [20, 32]. Pour la goutte de liquide,

qui est autre type d'oscillateur mécanique non linéaire, son comportement oscillatoire a

aussi été analysé au travers des études disponibles dans la littérature [4, 8, 26, 30, 31].

C'est ce comportement que nous voulons exploiter an de détecter de faibles masses. C'est

pourquoi un survol des capteurs ultra-sensibles de toutes sortes qui utilisent la non linéarité

d'un oscillateur non-linéaire [5, 7, 15, 19, 32, 35] est eectué, incluant plus spéciquement

les capteurs de masse (section 2.2). La méthode utilisée pour ce projet s'inspire de ce qui

a déjà été fait et conrmé par le passé lors de ces recherches.

2.1 Oscillateurs non linéaires

2.1.1 Non linéarité d'un oscillateur

D'abord, un oscillateur peut être décrit comme un système qui oscille autour de sa po-

sition d'équilibre en emmagasinant de l'énergie, puis en la libérant à travers le temps.

Par exemple, un système masse-ressort qui transfère son énergie potentielle en énergie

cinétique et vice versa. On peut également penser à un pendule, un circuit RLC, etc.

Lorsqu'un oscillateur linéaire est soumis à une force externe qui varie sinusoïdalement, il

vibre à cette fréquence. Un oscillateur entre en résonance lorsque la variation de sa ré-

ponse n'est pas proportionnelle à la variation de son excitation. Par exemple, la variation

de son amplitude d'oscillation n'est pas proportionnelle à la variation de l'amplitude ou

de la fréquence d'excitation de l'oscillateur. En observant l'amplitude de l'oscillation en

fonction de la fréquence d'excitation, on remarque donc un pic à cette fréquence. Lorsque

l'oscillateur est linéaire, ce pic est symétrique et l'amplitude d'oscillation varie de la même

façon si la fréquence d'excitation augmente ou diminue. Dans le cas d'un oscillateur non

3

4 CHAPITRE 2. ÉTAT DE L'ART

linéaire, il peut être stable à deux amplitudes diérentes selon son état initial. Le saut

entre ces deux amplitudes est très abrupte et cette bifurcation peut être utilisée comme

amplicateur. En eet, dans cette zone de bistabilité, l'oscillateur est extrêmement sen-

sible aux perturbations, d'où l'intérêt pour les détecteur de masse. La gure 2.1 montre

cette bifurcation ainsi que l'inuence de la non linéarité sur la résonance d'un oscillateur.

Au centre, on observe le comportement d'un oscillateur linéaire, à gauche un oscillateur

dont la non linéarité est causée par une diminution de la rigidité quand il se déforme et à

droite le même phénomène pour une augmentation de la rigidité. Les èches indiquent le

sens de la variation de la fréquence.

LinéaireRigidité Rigidité

Fréquence d'excitation

Amplitud

ed'oscillation

B

C

D

A

D

A

B

C

Figure 2.1 Bifurcation à la résonance d'un oscillateur non linéaire.Au centre, un oscillateur linéaire, puis l'eet non linéaire en fonction de la rigiditéà gauche et à droite. Pour une augmentation de la fréquence d'excitation (suivantles èches), l'amplitude d'oscillation passe par A, B et C, mais par C, D et Apour une diminution.

2.1.2 Modèles non linéaires d'oscillateurs

Un oscillateur linéaire peut être représenté par un simple système masse-ressort-amortisseur

(gure 2.2).

2.1. OSCILLATEURS NON LINÉAIRES 5

m

k c

y

Fsin(ωt)

Figure 2.2 Système masse-ressort-amortisseur.

Lorsqu'une force externe qui varie sinusoïdalement est appliquée au système, on peut

représenter sa dynamique par :

my = F sin(ωt)− ky − cy, (2.1)

où ω est la fréquence d'excitation, F est l'amplitude de la force d'excitation, k est la

constante de raideur du ressort et c son coecient d'amortissement. La fréquence de

résonance du système est de√

km[10], et ce, peu importe les forces appliquées au système.

Un système masse-ressort-amortisseur peut également représenter un oscillateur non li-

néaire. Par contre, la raideur et/ou l'amortissement ne sont alors pas directement propor-

tionnels au déplacement (y) et à la vitesse (y). Cette non linéarité entraine un décalage de

la fréquence de résonance du système en fonction du mouvement de l'oscillateur. Plusieurs

modèles d'oscillateurs non linéaires ont été étudiés, par exemple, l'oscillateur de Van der

Pol [3] dont la raideur est linéaire, mais dont l'amortissement dépend du déplacement. La

dynamique de cet oscillateur est représentée par :

y = −λ(y2 − 1)y − y, (2.2)

où λ est une constante qui déni l'amortissement du système. Ce modèle est utilisé pour

représenter certains circuits électriques [18], des poutres en porte-à-faux [9], etc. Il y a

également l'oscillateur de Dung [11] qui a un amortissement linéaire et une raideur non

linéaire. Lorsqu'il est soumis à une force externe variant sinusoïdalement, sa dynamique

est représentée par :

my = F cos(ωt)− cy − ky − βy3. (2.3)


Le signe de la constante β indique si l'oscillateur se rigidie (β > 0) ou s'amollit (β < 0)

lorsqu'il se déforme. Les poutres grandement déformées sont souvent modélisées par un

oscillateur de Dung, car c'est un modèle très simple qui décrit bien leur comportement

[22].

Comme expliqué précédemment, un oscillateur non linéaire peut être stable à deux ampli-

tudes diérentes selon que la fréquence d'excitation augmente ou diminue lorsqu'il oscille

près de sa fréquence de résonance [11]. La gure 2.3 montre cette bistabilité pour un oscil-

lateur de Dung qui se rigidie en se déformant (β > 0). Lorsque la fréquence d'excitation

augmente, l'amplitude d'oscillation chute rapidement au point S3 et l'oscillateur revient

stable à seulement une amplitude au point S4. Pour une diminution, l'amplitude d'oscil-

lation passe par le point S4, puis S1 pour ensuite revenir stable à une seule amplitude au

point S2.

Figure 2.3 Bistabilité d'un oscillateur de Dung (β > 0) où Ω est la fréquenced'excitation (les èches indiquent le sens de la variation de Ω) et a/|F | estl'amplitude d'oscillation sur la force d'excitation.

(Source : [11])

Diérents types de modèles servent à représenter les phénomènes non linéaires présents

dans le comportement des oscillateurs. Dans le cas de l'analyse de Papariello [20], ce sont

des nanotubes de carbone qui sont modélisés et plusieurs sauts d'amplitudes près de la

fréquence de résonance de l'oscillateur peuvent être observés (gure 2.4). Ces sauts d'am-

plitude (d'une branche stable à un autre, soit I, III et IV) surviennent lorsque l'oscillateur

est instable (branche II et V). La èche verte représente le saut d'amplitude lors de l'aug-

mentation de la fréquence d'excitation et les èches rouges les sauts possibles lors de la

diminution.


Figure 2.4 Bifucation multiple d'un oscillateur à amortissement et rigidité nonlinéaire. Les segments I, III et IV sont stables, alors que les segments pointillésII et V sont instables. La èche verte représente le trajet lors d'une augmen-tation de la fréquence d'excitation et les rouges les trajets possibles pour unediminution.

(Source : [20])

Le modèle représentant ces nanotubes de carbone comprend à la fois un amortissement et

une raideur non linéaires [20]. Sa dynamique est représentée par :

my = F cos(ωt)−mω20(1− λ cos(2ω0t))y − γy − αy3 − ηy2y, (2.4)

où ω0 est la fréquence naturelle de l'oscillateur non perturbé, les autres constantes dé-

nissent sa rigidité (λ et α) ainsi que l'amortissement (γ et η ). Le coecient de rigidité

varie en fonction du temps (t) et en fonction du déplacement (y2) et le coecient d'amor-

tissement est aussi inuencé par le déplacement (y2).

2.1.3 Oscillateurs mécaniques non linéaires

Micro et nanopoutres

Les poutres en général ont un comportement non linéaire lorsqu'elles sont grandement

déformées. L'utilisation de micro et nanopoutres est avantageux, car l'évolution de la

technologie mène à des systèmes électroniques de plus en plus petits et peu d'énergie est

nécessaire pour les déformer. Les plus communes (gure 2.5) sont les poutres doublement

encastrées [12, 19, 24] et les poutres en porte-à-faux [6, 13, 29].


(a) Poutre doublement en-

castrée [19]

(b) Poutre en porte-à-

faux [13]

Figure 2.5 Type de poutres.

La gure 2.6 montre l'impact de l'amplitude d'excitation d'une poutre lors d'un balayage

en fréquence (dans ce cas-ci une augmentation graduelle). Chaque courbe représente une

amplitude d'excitation diérente : plus elle augmente, plus l'amplitude d'oscillation de la

poutre augmente également. On observe aussi un décalage de la fréquence de résonance et

un changement de la forme du pic de résonance qui intensie la bifurcation. Ce compor-

tement conrme la non linéarité d'une poutre grandement déformée.

Figure 2.6 Non linéarité de l'oscillation d'une poutre doublement encastrée lorsd'un balayage en fréquence passant par sa résonance.

(Source : [12])

La bistabilité selon l'augmentation et la diminution de la fréquence d'excitation est égale-

ment observable sur une poutre. À la gure 2.7, un balayage en fréquence en augmentation

(courbes rouges) et en diminution (courbes bleues) est eectué pour diérentes amplitudes

d'excitation. Pour une même fréquence, la poutre est stable pour deux amplitudes d'os-

cillations diérentes selon son état initial (hystérésis).


Figure 2.7 Hystérésis d'une poutre lors d'un balayage en fréquence où a estl'amplitude d'oscillation de la poutre. Les courbes rouges représentent l'aug-mentation et les courbes bleues la diminution de la fréquence d'excitation. Vppreprésente l'amplitude de la tension électrique appliquée sur la poutre an de lafaire osciller.

(Source : [33])

Micro et nanodisques

Les micros et nanodisques [14, 16, 17] sont également utilisés pour leur propriétés non

linéaires (gure 2.8). Diérentes formes et congurations ont été étudiées an de proter

des diérents comportements non linéaires.

(a) Disques couplés [17] (b) Disque avec fentes[14]

Figure 2.8 Type de disques.


Comme présenté à la gure 2.8b, des chercheurs ont modiés les disques conventionnels

an d'augmenter les eets de la non linéarité, dans ce cas-ci en ajoutant des fentes, ce qui

augmente la déformation (gure 2.9).

Figure 2.9 Impact de l'ajout des fentes sur la déformation radial d'un disquequi oscille.

(Source : [17])

Nanotubes de carbone

Les nanotubes de carbone peuvent également être utilisés à titre d'oscillateurs non linéaires

[7, 15, 20]. La gure 2.10 présente un nanotube de carbone utilisé comme résonateur.

Comme on peut voir, seule la partie centrale du tube oscille et il est encastré aux deux

extrémités.

Figure 2.10 Oscillateur utilisant un nanotube de carbone. a) Conguration del'oscillateur b) Résultat expérimental .

(Source : [15])


Microgouttes de liquides

Le comportement des gouttes de liquide déposées sur un substrat oscillant a été étudié par

le passé [4, 8, 26, 30, 31]. La goutte oscille en fonction du déplacement vertical du substrat

Aexc sin(ωt) où Aexc est l'amplitude d'excitation, ω la fréquence et t le temps [30, 31].

La variation sinusoïdale de l'excitation peut également être selon la force d'excitation

Fexc sin(ωt) où Fexc est la force d'excitation maximale [4]. Les paramètres qui inuencent

le comportement oscillatoire sont le rayon R, l'angle de contact α, la densité ρ, la viscosité

µ ainsi que la tension de surface γ. La gure 2.11 montre la forme d'une goutte qui oscille

lors d'un cycle à son amplitude maximale (gauche), minimale (droite) et à sa position

d'équilibre (centre). L'angle de contact avec le substrat α est déni à la position d'équilibre.

α = 0

t

y

Aexcsin(ωt)R

Figure 2.11 Oscillation d'une goutte de liquide sur un substrat.

La goutte se déforme diéremment selon la fréquence lorsqu'elle entre en résonance. Les

premiers modes de résonance d'une goutte qui oscille sur un substrat sont présentés à la

gure 2.12.

Figure 2.12 Modes de résonance d'une goutte de liquide.

(Source : [4])

Wilkes et Basaran ont étudiés l'inuence de diérents paramètres sur l'oscillation d'une

goutte de liquide soumise à une vibration. D'abord, l'angle de contact de la goutte avec


le substrat inuence la fréquence de résonance et l'amplitude d'oscillation (gure 2.13 et

2.14).

(a) Wilkes et Basaran [30]

α = 0.5

Asin(Ωt)Asin(Ωt)

R

(b) Paramètres adimensionnels de la

goutte simulée en a) où R = 1, α =

0.5, A = 0.05, µ = 0.05, ρ = 1 et

γ = 1

Figure 2.13 Rapport hauteur/largeur (a/b)m lors d'un balayage en fréquenceΩ des trois premiers modes d'une goutte de liquide.

À la gure 2.14, on voit également que l'amplitude d'excitation de la goutte inuence son

comportement.



α = 0

A sin(Ωt)Asin(Ωt)

R

(b) Paramètres adimensionnels de la

goutte simulée en a) où R = 1, α = 0,

µ = 0.01, ρ = 1 et γ = 1

Figure 2.14 Rapport hauteur/largeur (a/b)m lors d'un balayage en fréquenceΩ des deux premiers modes d'une goutte de liquide en fonction de l'amplituded'oscillation du substrat.

La gravité peut également changer le comportement oscillatoire d'une goutte (gure 2.15).

Toutefois, à l'échelle microscopique, l'impact de ce paramètre est négligeable.


α = 0

~g

G < 0

G > 0

Asin(Ωt)

Asin(Ωt)

R

R α = 0

(b) Paramètres

adimensionnels de la

goutte simulée en a)

où R = 1, α = 0,

A = 0.1, µ = 0.01,

ρ = 1 et γ = 1

Figure 2.15 Rapport hauteur/largeur (a/b)m lors d'un balayage en fréquenceΩ des deux premiers modes d'une goutte de liquide en fonction de la gravité G.


De la même façon qu'une poutre, une goutte de liquide grandement déformée a les pro-

priétés d'un oscillateur non linéaire. Wilkes et Basaran [31] se sont intéressés à cette non

linéarité. La gure 2.16 montre le phénomène d'hystérésis discuté précédemment observé

lors d'analyses numériques d'une goutte de liquide. Dans le cas d'une goutte, elle s'amolie

quand elle se déforme (β < 0).

Figure 2.16 Hystérésis d'une goutte de liquide où (ab)m est le rapport hau-

teur/largeur de la goutte et Ω la fréquence. Les èches représentent le sens dela variation de la fréquence d'excitation.

(Source : [31])

Pour une même fréquence, la déformation de la goutte peut être diérente près de sa

fréquence de résonance. La gure 2.17 présente la forme de la goutte à diérents moments

lors d'un cycle d'oscillation. Lorsque la fréquence d'excitation augmente (a-d), l'amplitude

est plus petite que lorsque la fréquence diminue (e-h).


Figure 2.17 Déformation de la goutte lors d'un cycle d'oscillation où chaqueimage est décallée d'un quart de période. Le premier cycle (a-d) correspond àla branche inférieure de l'hystérésis (augmentation de la fréquence d'excitation)et le deuxième cycle (a-h) représente la branche suppérieure, soit lors de ladiminution de la fréquence d'excitation.

(Source : [31])

Par la suite, Sharp [26] a réalisé des tests expérimentaux sur des gouttes, pour étudier l'in-

uence de la viscosité sur le temps d'oscillation après une impulsion (déplacement vertical

du substrat). L'expérience consistait à envoyer une impulsion à la goutte et d'analyser sa

réaction à l'aide d'un laser an de mesurer l'oscillation de la goutte. La gure 2.18 présente

les résultats obtenus.

Figure 2.18 Amplitude d'oscillation (mesurée en V) d'une goutte soumise àune impulsion (déplacement vertical du substrat). En a) en fonction du tempset en b) le résultat après une transformée de Fourier.

(Source : [26])

Cette étude conrme que l'augmentation de la viscosité (tout en conservant une tension

de surface similaire) augmente l'amortissement conformément au modèle théorique.


Une comparaison expérimentale et numérique de la réponse d'une goutte en amplitude

d'un balayage en fréquence de la force d'excitation a récemment été réalisée par Deepu

[8]. Le modèle numérique utilisé est un masse-ressort-amortisseur non linéaire de Dung

(coecient de rigidité proportionnel à y2). À la gure 2.19, on voit la comparaison entre

le modèle et des données expérimentales lors d'un balayage en fréquence pour diérentes

concentrations de glycérol.

Figure 2.19 Balayage en fréquence pour diérentes concentrations de glycérol(a) résultats expérimentaux (b) masse-ressort-amortisseur non linéaire (Dung)où Ym

Ysest le rapport entre l'amplitude d'oscillation du centre de masse de la

goutte et du substrat et ff3

est le rapport entre la fréquence d'excitation et lafréquence de résonance du 3e mode de la goutte.

(Source : [8])

Des études sur un modèle qui représente la forme de la goutte lors de son oscillation ont

également été abordés dans cet article, mais dans le cadre de cette recherche, il est surtout

intéressant de constater qu'un modèle masse-ressort-amortisseur 1D peut bien reprsenter

l'oscillation d'une goutte.

Par contre, la non linéarité de Dung est habituellement utilisée pour modéliser des

poutres. La variation de la rigidité est symétrique par rapport au centre de masse de

l'oscillateur dans ce modèle, ce qui fait que le comportement d'une goutte ne peut pas être

totalement représenté par ce modèle. En eet, les gouttes se compressent moins qu'elles

ne s'étirent contrairement à une poutre qui s'étire d'un côté, puis de l'autre avec la même

amplitude lors de son oscillation. C'est pourquoi il serait intéressant de pousser plus loin

cet approche en utilisation un autre type de modèle masse-ressort-amortisseur an de

mieux représenter le comportement asymétrique d'une goutte.

2.2. CAPTEURS ULTRA-SENSIBLE 17

2.2 Capteurs ultra-sensible

2.2.1 Capteurs non linéaires

La précision exigée des capteurs de position, de vitesse, d'accélération, de force, de pression,

de masse, etc. augmente considérablement à mesure que la technologie avance. Ils sont

principalement utilisés dans les domaines tels que la physique, l'ingénierie, la robotique,

l'environnement, la médecine, le transport, etc. L'utilisation de MEMS à titre de capteurs

a permis de réduire la taille des dispositifs tout en augmentant leur précision. Beaucoup de

capteurs MEMS utilisent la non linéarité du comportement oscillatoire de ses composantes

en se servant de la bifurcation à la fréquence de résonance comme un amplicateur. Cette

non linéarité est utilisée pour faire diérents types de capteurs ultra-sensibles. Le tableau

2.1 présente quelques systèmes utilisant la non linéarité d'un oscillateur.

Source Application Composante Sensibilité

Y.T. Yang [32] Masse Micropoutre de carbure de silicium 7× 10−21 g

L. Papariello [20] Force Nanotube de carbone 45× 10−18 N

R.B. Karabalin [13] Amplicateur de signal Nanopoutre de gallium arsenide 1.6× 10−24 CHz

O. Cakmak [6] Viscosité Micropoutre de nickel 1 Pas

O. Cakmak [6] Densité Micropoutre de nickel 0.18 kgm3

Tableau 2.1 Capteurs non linéaires ultra-sensibles.

2.2.2 Capteurs de masse

Comme présenté précédemment, plusieurs capteurs utilisent la non linéarité des oscil-

lateurs. L'ajout d'une petite masse sur un oscillateur a un impact sur sa fréquence de

résonance. De plus, un petit changement de la fréquence de résonance peut avoir un eet

considérable sur son comportement en raison de la bifurcation de l'amplitude d'oscillation

discuté précédemment. Le tableau 2.2 présente plusieurs composantes utilisées an de me-

surer une faible masse et la sensibilité atteinte avec cette méthode. Comme référence, une

molécule de TNT pèse environ 4 × 10−22 g, un virus environ 1 × 10−17 g et une bactérie

1× 10−13 g.


Source Composante Sensibilité (g)

J. Chaste [7] Nanotube de carbone 1.7× 10−24

T. P. Burg [5] Micropoutre de silicium monocristallin 1.7× 10−24

A. K. Naik [19] Micropoutre de carbure de silicium 1.7× 10−24

Y.T. Yang [32] Micropoutre de carbure de silicium 7× 10−21

B. Lassagne [15] Nanotube de carbone 1.4× 10−21

W. Zhang [35] Micropoutre de silicium monocristallin 1× 10−12

Tableau 2.2 Capteurs de masse ultra-sensibles.

La méthode fréquemment utilisée est de faire vibrer l'oscillateur près de sa fréquence de

résonance. Une fois la masse ajoutée, le changement de comportement de l'oscillateur

peut directement être relié à cette masse. La gure 2.20 montre le décalage de fréquence

de résonance (∆f) causé par l'ajout graduel de molécules sur le capteur, soit une poutre

doublement encastrée dans ce cas.

Figure 2.20 Décalage de la fréquence de résonance d'une nanopoutre lors del'ajout individuel de protéines BSA (≈ 1.1 × 10−19g) et β-amylase (≈ 3.32 ×10−19g).

(Source : [19])

Le graphique en a) présente les variations de la fréquence de résonance de la poutre lors

du dépôt de protéines BSA (≈ 1.1× 10−19g) et β-amylase (≈ 3.32× 10−19g) sur la poutre.

2.2. CAPTEURS ULTRA-SENSIBLE 19

Chacun des sauts de fréquence correspond à l'ajout d'une molécule individuelle et est

directement proportionnel à la masse ajoutée.

CHAPITRE 3

ANALYSE PAR VOLUMES FINIS

3.1 Modèle numérique

D'abord, on désire modéliser un oscillateur constitué d'une goutte de liquide déposée sur

un substrat qui se déplace sinusoïdalement. La phase liquide et la phase gazeuse du sys-

tème sont modélisées à l'aide de la méthode des surfaces libres. Le but est de simuler le

comportement oscillatoire d'une goutte en fonction de ses propriétés. Ces simulations ont

été faites avec la méthode des volumes nis à l'aide du logiciel Gerris [23] qui résout les

équations de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible. Dans les analyses adimen-

sionnelles 2D eectuées, un maillage dynamique a été utilisé et la gravité a été négligée

par rapport à la tension de surface. Une condition de symétrie est imposée au centre de

la goutte et de non-glissement en dessous. Les autres murs sont des surfaces ouvertes. Fi-

nalement, l'oscillation du substrat, Aexcsin(ωt), est simulée par une accélération verticale,

Aexcω2sin(ωt), appliquée au système. La gure 3.1 représente le modèle.

Symétrie

Non-glissement

Gaz

Liquide

Surface ouverte

Surfaceouverte

Figure 3.1 Modèle numérique.

3.1.1 Paramètres du modèle

Comme présenté à la gure 3.2, l'amplitude d'oscillation du substrat est représentée par

Aexc, sa fréquence angulaire d'excitation par ω, l'amplitude d'oscillation de la goutte par

∆y et la hauteur maximale de la goutte par ymax.

21

22 CHAPITRE 3. ANALYSE PAR VOLUMES FINIS

α = 0

t

y∆y

Aexcsin(ωt)

ymax

R

Figure 3.2 Oscillation d'une goutte de liquide.

Les paramètres physiques (gure 3.3) du système sont le rayon de la goutte en contact

avec le substrat R, son angle de contact α, sa densité ρ, sa viscosité µ ainsi que la tension

de surface γ.

α = 0 α = 0.5α = −0.5RRR

Figure 3.3 Paramètres de la goutte.

Comme on peut voir, le volume V dépend du rayon R et de l'angle de contact en radian

θ. Il est déni par [26] :

V =πR3

3(cos3 θ − 3 cos θ + 2). (3.1)

Dans le cadre de cette analyse adimensionnelle, certains paramètres ont été xés (tableau

3.1).

Paramètre Liquide Gaz

Rayon (R) 1 -

Densité (ρ) 1 0.00021

Tension de surface (γ) 1

Tableau 3.1 Paramètres xes de l'analyse adimensionnelle.

La gure 3.4 montre un exemple de résultat obtenu avec ce modèle (α = 0.5) . Le point p

est au milieu de la goutte à l'interface liquide/gaz.

3.1. MODÈLE NUMÉRIQUE 23

y

t

pp

pp

t = 0 t = T6

t = T3

t = T2

Figure 3.4 Forme de la goutte en fonction du temps t, où T est la période etl'échelle de couleur du bleu (faible) au rouge (élevée) représente la vorticité.

Dans le cadre de cette recherche, c'est le mouvement du point p (gure 3.4) qui est analysé.

La gure 3.5 représente sa hauteur y en fonction du temps t pour une fréquence d'excitation

ω xe.

0 10 20 30 40 50

1.68

1.7

1.72

1.74

1.76

1.78

1.8

1.82

1.84

Temps (t)

Hauteur(y)

Figure 3.5 Hauteur de la goutte en fonction du temps (A = 0.00625, µ = 0.033et α = 0.5, ω = 1.9).

L'amplitude d'oscillation ∆y et la hauteur maximale ymax peuvent ensuite être extraites

de cette analyse lorsque le régime permanent est atteint. Cette analyse a été répétée pour

une plage de fréquence couvrant les deux premiers modes de résonance (gure 3.6).


0 1 2 3 4 5 60

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Frequence d’excitation (ω)

Amplituded’oscillation(∆

y) Premier mode

Deuxieme mode

Figure 3.6 Amplitude d'oscillation en fonction de la fréquence d'excitation(A = 0.00625, µ = 0.033 et α = 0.5).

L'allure de ces modes de résonance est présentée à la gure 3.7.

y

t

t = 0 t = T6 t = T

3 t = T2

(a) Premier mode

y

t

t = 0 t = T6 t = T

3 t = T2

(b) Deuxième mode

Figure 3.7 Modes symétriques d'oscillation, où l'échelle de couleur du bleu(faible) au rouge (élevée) représente la vorticité.

3.2 Résultats de l'analyse numérique

3.2.1 Inuence des diérents paramètres

An de mieux comprendre le comportement oscillatoire d'une goutte et de l'utiliser à

notre avantage, plusieurs analyses ont été faites en variant les paramètres tels que son

angle de contact avec le substrat (α), sa viscosité (µ) et l'amplitude d'excitation (Aexc).

La fréquence de résonance d'une goutte de liquide ainsi que son amplitude d'oscillation

(∆y) sont principalement inuencées par ces paramètres. D'abord, la gure 3.8 montre

l'inuence de l'angle de contact α.

3.2. RÉSULTATS DE L'ANALYSE NUMÉRIQUE 25

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Hauteurmaxim

ale

(ymax)

α =0α =0.25α =0.5

Figure 3.8 Variation de l'angle de contact pour µ = 0.033 et Aexc = 0.025.

Comme on peut le constater, plus une goutte a un grand volume pour le même rayon

R en contact avec le substrat (α élevé), plus sa fréquence de résonance est basse et plus

son oscillation à cette fréquence est ampliée. Ensuite, la gure 3.9 montre l'inuence de

l'amplitude d'excitation Aexc.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4



y)

Aexc=0.00625Aexc=0.025Aexc=0.05Aexc=0.075Aexc=0.1

(a) µ = 0.033 et α = 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8



y)

Aexc=0.00625Aexc=0.025Aexc=0.05Aexc=0.075Aexc=0.1

(b) µ = 0.033 et α = 0.5

Figure 3.9 Variation de l'amplitude d'excitation.

L'augmentation de l'amplitude d'excitation décale la fréquence de résonance vers les plus

basses fréquences. Ce comportement est dû à la diminution de la rigidité ou de l'amortis-

sement pour les gouttes plus déformées. La pente menant à la fréquence de résonance est

également de plus en plus abrupte, ce qui est avantageux dans le cas d'un capteur. Pour

nir, la gure 3.10 montre l'inuence de la viscosité µ.


0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5



y)

µ=0.05

µ=0.033

µ=0.025

(a) Aexc = 0.025 et α = 0

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9



y)

µ=0.05

µ=0.033

µ=0.025

(b) Aexc = 0.025 et α = 0.5

Figure 3.10 Variation de la viscosité.

Le principal eet d'une réduction de la viscosité est d'augementer l'amplitude d'oscillation

à la fréquence de résonance.

3.2.2 Comparaison avec la littérature

Des analyses numériques du comportement oscillatoire d'une goutte ont déjà été réalisées

par le passé [4, 8, 26, 30, 31]. An de valider le modèle, les résultats pour une goutte ayant

une angle de contact α = 0 (gure 3.11) ainsi que α = 0.5 (gure 3.12) ont été comparés.

(a) Wilkes and Basaran [30]

2 4 6 8 101

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5


Rapport

hauteur-largeu

r(y

max/R)

Aexc=0.05 (W&B)Aexc=0.075 (W&B)Aexc=0.1 (W&B)Aexc=0.05Aexc=0.075Aexc=0.1

(b) Comparaison avec le modèle

Figure 3.11 Rapport hauteur-largeur en fonction de la fréquence d'excitation(α = 0).

3.2. RÉSULTATS DE L'ANALYSE NUMÉRIQUE 27

(a) Wilkes and Basaran [30]

2 4 6 8 101.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5


Rapport

hauteur-largeu

r(y

max/R)

Aexc=0.05 (W&B)Aexc=0.05

(b) Comparaison avec le modèle

Figure 3.12 Rapport hauteur-largeur en fonction de la fréquence d'excitation(α = 0.5).

Comme vu dans la section précédente, les diérents paramètres ont une grande inuence

sur le comportement d'une goutte. Le décalage de la fréquence de résonance et la diérence

d'amplitude sont probablement causées par certains paramètres qui dièrent, tel que la

densité du gaz dans le modèle qui n'est pas spéciée dans l'article. L'allure globale des

courbes semble toutefois concorder, ce qui conrme la validité du modèle.

3.2.3 Hystérésis

L'hystérésis peut se manifester lors d'un balayage en amplitude ou en fréquence d'excita-

tion. On retrouve à la gure 3.13 la bistabilité discutée précédement.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Amplitude d’excitation (Aexc)

Hauteur(y)

(a) Augmentation de Aexc

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


Hauteur(y)

(b) Diminution de Aexc

Figure 3.13 Hystérésis en amplitude.


La gure 3.14 représente l'amplitude d'oscillation extraite de la gure 3.13.

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


Hauteurmaxim

ale

(ymax)

Augmentation de Aexc

Diminution de Aexc

Figure 3.14 ω = 3.4, µ = 0.033, α = 0.

Ces courbes représentent la bifurcation qui sera utilisée an de mesurer de faibles masses.

CHAPITRE 4

VALIDATION EXPÉRIMENTALE

4.1 Méthode de fabrication d'une goutte

Pour la validation expérimentale, une goutte de gallium a été utilisée. C'est un liquide qui

apporte beaucoup d'avantages. En eet, sa viscosité est semblable à celle de l'eau, donc la

goutte peut se déformer facilement. Aussi, son opacité aide la prise de mesures optiques

et le fait qu'il ne s'évapore pas permet de garder constant le volume de la goutte. De plus,

le gallium étant un métal, il est possible de prendre des mesures d'oscillations électriques,

ce qui serait particulièrement intéressant pour un capteur. Finalement, la fabrication de

gouttes peut être faite par électrodéposition sur une électrode de tungstène. Cette méthode

permet de faire des gouttes d'un diamètre de l'ordre du nanomètre.

Pour fabriquer une goutte de gallium, on doit d'abord déposer une ne couche de tungstène

sur une gaufre de silicium par pulvérisation cathodique. Ensuite, une photolithographie

est faite pour dénir le rayon de l'électrode et, par le fait même, le rayon de la goutte.

Puis, l'électrodéposition ajoute graduellement du gallium aux endroits où le tungstène

est exposé, le temps de cette étape inuence directement l'angle de contact de la goutte.

Finalement, la résine est dissoute et le tungstène est gravé à l'aide de peroxyde d'hydrogène.

La gure 4.1 montre ces diérentes étapes de fabrication.

Dépôt de la résine

Électrodéposition du gallium

Gaure de silicium Dépôt de tungstène

Dissolution de la résineExposition etet gravure du tungstènedéveloppement

Figure 4.1 Fabrication d'une goutte de gallium

L'étape d'électrodéposition est présentée plus précisément à la gure 4.2.

29

30 CHAPITRE 4. VALIDATION EXPÉRIMENTALE

−+

GaCl3

Platine (cathode) Silicium

Tungstène (anode)

Gallium

Résine

Figure 4.2 Électrodéposition

Le résultat de ce procédé est présenté à la gure 4.3. Il est ensuite possible de l'utiliser

pour valider le modèle numérique présenté précédemment.

Figure 4.3 Goutte de gallium électro-déposée

Par contre, le gallium doit être chaué, car il est liquide seulement à partir de 27C.

Il doit également être protégé de l'oxygène, car le gallium s'oxyde, ce qui peut modier

le comportement de la goutte et même bloquer son oscillation. La gure 4.4 montre la

couche d'oxyde qui se développe lorsqu'une goutte de gallium est exposée à l'oxygène.

C'est pourquoi la goutte est d'abord déoxydée à l'aide d'une solution de HCl, puis est

placée dans une chambre sous atmosphère d'azote chauée à 32C pour la validation

expérimentale.

4.2. MONTAGE EXPÉRIMENTAL 31

Figure 4.4 Goutte de gallium oxydée

4.2 Montage expérimental

D'abord, la goutte est déposée sur un actionneur piézoélectrique (PiezoDrive SA030310

[21]) qui est excité par un générateur de signal. La surface courbe de la goutte limite

les possibilités en terme de prise de mesure. Donc, l'oscillation de la goutte est mesurée

optiquement avec un laser qui est pointé sur la goutte pour que le mouvement vertical

de celle-ci bloque plus ou moins le faisceau. Un photodétecteur (Thorlabs PDA100A [28])

peut alors capter la variation de l'intensité lumineuse causée par l'oscillation de la goutte

de liquide. La gure 4.5 démontre la méthode utilisée.

Laser He-Ne

Photodétecteur

Actionneur piezoélectrique

GoutteAzote Chambre scellée

Génerateur de signal

32C

Fente

Figure 4.5 Schéma expérimental

La gure 4.6 présente plus précisément l'eet de la forme de la goutte et de la fente sur

l'intensité lumineuse captée par le photodétecteur pour les deux premiers modes.


t

y

Fente Faisceau laser


Goutte

(a) Premier mode

t

y

Fente Faisceau laser


Goutte

(b) Deuxième mode

Figure 4.6 Intensité lumineuse selon la forme de la goutte

4.3 Résultats expérimentaux

4.3.1 Traitement du signal

L'amplicateur à détection synchrone MFLI de Zurich Instruments [1] a été utilisé an

d'envoyer un signal sinusoïdal à l'actionneur piézoélectrique Aexcsin(ωt), où Aexc est en

Volt, ω en rad/s et t en secondes et traiter le signal retourné par le photodétecteur. La

détection synchrone permet d'extraire le faible signal hautement bruité en visant une

fréquence en particulier, dans ce cas-ci ω. La principale source de bruit est causée par les

uctuations de l'intensité du laser utilisé, mais également le circuit électrique, les vibrations

du montage, etc. Comme on peut le voir sur le schéma du démodulateur du MFLI (gure

4.7), le signal bruité est multiplié par un signal sinusoïdal de la fréquence recherchée. Un

ltre passe bas est ensuite appliqué au signal.

4.3. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX 33

Figure 4.7 Amplicateur à détection synchrone MFLI Zurich Instruments

(Source : [1])

Dans ce cas, on extrait l'enveloppe du déplacement de la goutte, soit son amplitude d'os-

cillation.

4.3.2 Étalonnage

L'oscillation de l'actionneur piézoélectrique a été mesurée (gure 4.8) et comparée au

signal en Volt envoyé par le photodétecteur. La mesure de l'oscillation a été faite à l'aide

d'un capteur (Attocube Sensor Head D4/F8 [2]).

Capteur


GoutteAzote Chambre scellée

Génerateur de signal

32C

Figure 4.8 Étalonnage


L'oscillation de la goutte n'a pas pu être mesurée à l'aide de cet appareil, car il peut

seulement mesurer les déplacements d'une surface plane, c'est pourquoi la méthode de

mesure par ombrage présentée précédemment a été utilisée.

Finalement, an de faire le lien entre la tension mesurée (V) et le déplacement réel (µm)

de la goutte, la mesure prise au bas des pics de résonance est utilisée comme valeur de

référence, puisqu'à ces fréquences, la goutte n'amplie pas l'oscillation de l'actionneur

piezoélectrique.

4.3.3 Balayage en fréquence

An de conrmer le modèle numérique, le même type de balayage en fréquence a été fait

sur une goutte d'un rayon R de 317.7 µm et un angle de contact α de 0.5. Ces paramètres

ont été mesurés à l'aide d'un microscope électronique à balayage (Zeiss LEO 1530 VP [34])

(gure 4.9).

Figure 4.9 Mesure du diamètre et angle de contact

Comme on peut voir à la gure 4.10, on retrouve les deux premiers modes observés numé-

riquement. L'amplitude d'oscillation de l'actionneur piezoélectrique à 6 kHz a été utilisée

pour étalonner les résultats .

4.3. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX 35

6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Frequence d’excitation (kHz)

Amplituded’oscillation(µm)

Aexc=0.0071954 µm

Aexc=0.014391 µm

Aexc=0.028781 µm

Figure 4.10 Balayage en fréquence pour diérentes amplitudes d'excitation(R = 317.7 µm et α = 0.5)

La gure 4.11 conrme le décalage vers les basses fréquences lorsqu'on augmente l'am-

plitude d'excitation, comme prédit par le modèle numérique. Le rayon de cette goutte

n'a malheureusement pas pu être mesuré précisément, ce qui empêche l'étalonnage des

courbes.

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

1

2

3

4

5

6

7x 10

−5

Frequence (kHz)

Amplituded’oscillation(V

)

Aexc =0.05 VAexc =0.075 VAexc =0.100 VAexc =0.125 VAexc =0.150 V

Figure 4.11 Balayage en fréquence pour diérentes amplitudes d'excitation


4.3.4 Hysteresis

Le phénomène d'hystérésis a également été observé près de la fréquence de résonance de

la goutte (gure 4.12). Encore une fois, cette goutte n'a pas pu être caractérisée, donc son

étalonnage n'a pas été fait.

5.5 5.55 5.6 5.65 5.7 5.751

2

3

4

5

6

7

8x 10

−5


Amplituded’oscillation(V

)

ր ω

ց ω

Figure 4.12 Hystérésis observé près de la fréquence de résonance

4.4 Validation du modèle numérique

4.4.1 Résultats numériques dimensionnels

Les paramètres expérimentaux sont présentés dans le tableau 4.1

Tableau 4.1 Paramètres expérimentaux

Rayon R Angle de contact α Densité ρ Viscosité µ Tension de surface γ

317.7 µm 0.5 6080 kgm3 [27] 0.0019 kg

ms[27] 0.708 N

m[25]

An de comparer les résultats numériques et expérimentaux, les résultats numériques ont

été adaptés selon les paramètres expérimentaux. On obtient :

∆y = ∆yµ2Re2

ργ, (4.1)

ainsi que :

4.4. VALIDATION DU MODÈLE NUMÉRIQUE 37

ω = ωργ2

µ3Re3(4.2)

où sont les variables adimensionnelles et Re est le nombre de Reynolds.

4.4.2 Comparaison

Une fois le passage des données adimensionelles vers le dimensionnel eectué, les résultats

expérimentaux et numériques peuvent être comparés (gure 4.13).

6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1



Aexc=0.0071954 µm

Aexc=0.014391 µm

Aexc=0.028781 µm

(a) Résultats expérimentaux

3 4 5 6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1



Aexc=0.0071954 µm

Aexc=0.014391 µm

Aexc=0.028781 µm

(b) Modèle numérique

Figure 4.13 Validation expérimentale du modèle numérique

Comme on peut le constater, le premier pic de résonance des résulats numériques est décalé

par rapport aux résultats expérimentaux. On suppose que la tension de surface joue un

rôle dans le décalage, la valeur utilisée était de 0.708 Nm[25]. Cette valeur de la littérature

dière peut-être des conditions de l'expérimentation (Azote dans la chambre, pression,

oxydation, etc.). Elle a donc été ajustée (2.395 Nm) an d'aligner le premier mode (gure

4.14). Une hypothèse pour expliquer cette diérence serait que le gallium était près de sa

température de fusion, ce qui pourrait inuencer sa tension de surface.


6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1



Aexc=0.0071954 µm

Aexc=0.014391 µm

Aexc=0.028781 µm

(a) Résultats expérimentaux

6 8 10 12 14 16 180

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1



Aexc=0.0071954 µm

Aexc=0.014391 µm

Aexc=0.028781 µm

(b) Modèle numérique avec γ = 2.395Nm

Figure 4.14 Validation expérimentale du modèle numérique

Un problème persiste, le deuxième mode de résonance ne correspond également pas. C'est

probablement en lien avec un mode asymétrique détecté expérimentalement, mais que le

modèle numérique symétrique ne peut pas simuler. Dans le cas de cette étude, seul le

premier mode est étudié, c'est alors uniquement celui-ci qui sera comparé. De plus, en

raison d'un problème d'instabilité du modèle numérique, l'amplitude d'oscillation a dû

être normalisée par rapport aux données expérimentales. À basse et à haute amplitude, la

hauteur de la goutte monte ou descend continuellement jusqu'à des valeurs physiquement

impossibles pour la dimension de la goutte. Les valeurs ne sont donc pas directement

vériées, mais l'allure des courbes ont été comparées pour le premier mode (gure 4.15).

Expérimentalement et numériquement, l'amplitude d'excitation de la courbe verte est deux

fois celle de la courbe bleue et la rouge deux fois celle de la courbe verte.

4.4. VALIDATION DU MODÈLE NUMÉRIQUE 39

6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8 80

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1



Aexc exp=0.0051435 µm



Aexc num=0.002

Aexc num=0.004

Aexc num=0.008

Figure 4.15 Courbes normalisées

CHAPITRE 5

APPLICATION À UN CAPTEUR

5.1 Modèle dynamique simplié

Pour la conception du capteur, un modèle dynamique simplié a été développé an de

réduire le temps de calcul lors de l'optimisation. Un modèle masse-ressort-amortisseur

non linéaire peut représenter le comportement d'une goutte. Ce modèle doit tenir compte

du fait qu'une goutte a un comportement asymétrique, lorsqu'elle s'étire par rapport à

lorsqu'elle se compresse. Une analyse a été faite an de déterminer quel type de non-

linéarité représente le mieux une goutte. L'optimisation des paramètres du modèle qui

représente la dynamique d'une goutte qui oscille a mené aux paramètres suivants (gure

5.1), soit un masse-ressort-amortisseur avec amortissement non-linéaire en fonction de la

vitesse verticale (y) de la goutte.

m

k c1 + c2y

y

Figure 5.1 Modèle dynamique simplié d'une goutte de liquide, où k est laconstante de raideur et c1 + c2y le coecient d'amortissement

Les forces appliquées sur la masse lorsqu'on fait osciller le substrat sont montrées à la

gure 5.2.

m

ky (c1 + c2y)y

yFexcsin(ωt)

Figure 5.2 DCL de l'oscillateur

Le comportement oscillatoire d'une goutte de liquide sur un substrat est donc décrit par :

41

42 CHAPITRE 5. APPLICATION À UN CAPTEUR

my = Fexcsin(ωt)− ky − (c1 + c2y)y, (5.1)

où m est la masse équivalente de la goutte, ω la fréquence d'excitation, t le temps et Fexc

l'amplitude de la force d'excitation.

5.1.1 Optimisation des paramètres

L'équation diérentielle 5.1 a été obtenue en optimisant les paramètres de l'équation gé-

nérique suivante :

my = Fexcsin(ωt)− (k1 +k2y+k3y2 +k4y+k5y

2)y− (c1 + c2y+ c3y2 + c4y+ c5y

2)y. (5.2)

La méthode des moindres carrés a été utilisée an de déterminer quels paramètres permet-

taient de mieux représenter le comportement de la goutte près de sa fréquence de résonance

par rapport aux résultats du modèle numérique présenté précédement (Gerris [23]). Lors

des analyses, les paramètres k2, k3, k5, k5, c3, c4 et c5 se sont avérés être près de zéro. Les

minimums locaux de l'erreur pour plusieurs valeurs aléatoires des paramètres recherchés

ont été comparés et les constantes obtenues sont k = 25.363, c1 = 0.105 et c2 = −2.513. La

gure 5.3 montre la correspondance entre le modèle adimensionnel numérique et le modèle

simplié pour une hémisphère (α = 0) de rayon R = 1 pour une augmentation linéaire de

la force d'excitation Fexc.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Force d’excitation (Fexc)

Hauteurmaxim

ale

(ymax)

Volumes finisModele dynamique

Figure 5.3 Correspondance du modèle dynamique

5.2. MÉTHODE DE MESURE DE FAIBLES MASSES 43

5.2 Méthode de mesure de faibles masses

La bistabilité de l'amplitude d'oscillation ∆y d'une goutte près de sa fréquence de réso-

nance permet de détecter un changement minime dans la composition de celle-ci ou de son

excitation. En eet, si l'on observe le comportement oscillatoire d'une goutte près de sa

fréquence de résonance, on retrouve la bifurcation causée par un changement minime de

fréquence d'excitation ω (gure 5.4). Le point Q est en fait le centre de la partie linéaire

de la courbe, soit la partie où le système est le plus sensible aux changements.

Q

Fréquence d'excitation (ω)

Amplitud

ed'oscillation

(∆y)

Temps (s)

Fréquenced'excitation

(ω)

Figure 5.4 Bifurcation

Le principe est également applicable si la fréquence d'excitation ω reste la même, mais que

la fréquence de résonance de la goutte varie, comme lorsqu'on ajoute une masse sur celle-

ci. An de mesurer une masse, un gain dans une boucle fermée ajuste proportionnellement

la force d'excitation Fexc de la goutte an de la maintenir au point milieu Q (gure 5.5).

G

y(Q)mesure

y(Q)desire

Fexc ajusteeGoutte

∆y(Q)∆Fexc

+−Fexc

−+

Figure 5.5 Ajustement proportionnel de l'amplitude d'excitation


Cette partie de la courbe est linéaire et la pente de cette droite est très abrupte, ce qui

implique qu'un changement minime de la fréquence d'excitation a un eet considérable

sur l'amplitude d'oscillation.

Dans la simulation, une force variant sinusoïdalement Fexcsin(ωt), bruité à 1% selon une

distribution normale, est appliquée sur le masse-ressort-amortisseur non linéaire. Lorsque

le régime permanent est atteint, la fréquence d'excitation ω est légèrement modiée et

le changement du comportement de la goutte change le gain nécessaire pour maintenir

l'oscillation au point Q. L'impact sur la force d'excitation Fexc est donc directement lié à

cette variation de fréquence ∆ω (gure 5.6).

Temps (s)

Forced'excitation

(Fex

c)

Temps (s)

Fréquenced'excitation

(ω)

∆ω

∆Fexc

Figure 5.6 Variation de l'excitation

5.3 Sensibilité d'un capteur

Des tests ont été faits pour plusieurs variations de la fréquence de résonance ∆ω. Pour

chacun de ces tests, la variation de la force nécessaire Fexc pour garder l'oscillation de

la goutte au point Q a été comparée au bruit dans le système (ratio signal/bruit). La

sensibilité du capteur a été xée comme étant la variation de fréquence de résonance ∆ω à

un ratio signal/bruit de 10, ce ratio a été choisi an d'être certain que la variation détectée

ne soit pas du bruit (gure 5.7).

5.3. SENSIBILITÉ D'UN CAPTEUR 45

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 10−5

0

5

10

15

20

25

30

35

Variation de la frequence de resonance (∆ω)

Ratio

sign

al/b

ruit

Simulation numerique

∆ωmin

Figure 5.7 Ratio signal/bruit en fonction de la variation de fréquence

Cette variation de fréquence est ensuite reliée à un changement de masse de la goutte.

Dans ce cas, une variation de la fréquence de résonance de 2.9× 10−6 est détectable avec

un ratio signal/bruit de 10. Si l'on applique ce résultat adimensionnel à la goutte testée

expérimentalement (les propriétés sont présentées dans le tableau 4.1), on peut déterminer

sa sensibilité à une variation de la fréquence d'excitation près de sa fréquence de résonance

à l'aide de l'équation 4.2. Donc,

∆ω = ∆ωργ2

µ3Re3= 2.9× 10−6

6080kg

m3× (0.708

N

m)2

(0.0019kg

ms)3 × 6153

= 5.5mHz. (5.3)

La fréquence de résonance d'une goutte déposée sur un substrat qui oscille est [26] :

ωn = επ2

√n3γ

24m

cos3θ − 3cosθ + 2

θ3, (5.4)

où ωn est la fréquence de résonance en rads, ε est une constante (≈ 0.81), n est le mode

de résonance, γ est la tension de surface, m est la masse de la goutte et θ est l'angle de

contact en radian. Si l'on considère que l'angle de contact reste le même, alors

dωn

ωn

=−dm2m

, (5.5)


dm = −2mdωn

ωn

. (5.6)

Sachant que la masse correspond à ρV et que le volume d'une goutte est déterminé avec

l'équation 3.1, la goutte testée expérimentalement a une masse de :

m = 6080× 103 g

m3

π(317.7× 10−6m)3

3(cos3(

2π

3rad)− 3 cos(

2π

3rad) + 2) = 2.69× 10−18g.

(5.7)

Il a été déterminé que le capteur avec une goutte de 600 µm de diamètre a une sensibilité

de 5.5 mHz, ce qui correspond à une masse de :

dm = −2(2.69× 10−18g)−5.5× 10−3Hz

7× 103Hz= 1× 10−9g. (5.8)

En théorie, avec une goutte de dix nanomètre de diamètre, on peut détecter une masse

d'environ 4 yoctogramme (4× 10−24g).

CHAPITRE 6

CONCLUSION

L'objectif du projet était de déterminer s'il est possible de faire un capteur de masse

ultra-sensible en utilisant le comportement oscillatoire non linéaire d'une microgoutte de

liquide. D'abord, une analyse de la littérature concenant les capteurs ultra-sensibles ainsi

que le comportement oscillatoire d'une goutte de liquide a été faite et un résumé de celle-ci

a été présenté au chapitre 2. Ensuite, une analyse numérique par volumes nis a permis de

modéliser une goutte (chapitre 3) et ce modèle a été validé expérimentalement (chapitre

4). Finalement, un modèle dynamique non linéaire simplié, présenté au chapitre 5, a

permis d'estimer la sensibilité du capteur.

Selon ces résultats, on peut armer qu'une goutte de gallium liquide d'environ 600 µm

de diamètre pourrait détecter une masse de 1 nanogramme (1× 10−9g). Si l'on extrapole

les résultats obtenus, on pourrait détecter une masse de 4 yoctogramme (4 × 10−24g)

avec une goutte de 10 nanomètre (1 × 10−8m) de diamètre. Cette sensibilité permettrait

d'identier des explosifs (≈ 4 × 10−22g), des virus (≈ 1 × 10−17g) ainsi que des bactéries

(≈ 1 × 10−13g). Ces résultats conrment qu'il est possible d'utiliser une microgoutte de

liquide pour détecter de faibles masses.

Cette preuve apportée, des travaux futurs utilisant cette technologie seraient intéressants.

Plus de recherche sera nécessaire an d'atteindre expérimentalement la précision prédite

par le modèle et améliorer la répétabilité du système. Pour ce faire, la miniaturisation

du système et le développement d'une méthode de mesure plus précise seront nécessaires.

Le passage à l'excitation et aux mesures capacitives en utilisant une électrode qui excite

électromagnétiquement la goutte de métal liquide et une autre qui mesure la variation de

la capacitance engendrée par l'oscillation de la goutte permettrait d'être plus précis, et ce,

à plus petite échelle. La méthode de mesure en boucle fermée devra également être testée

expérimentalement.

47

48 CHAPITRE 6. CONCLUSION

CHAPITRE 7

ENGLISH CONCLUSION

The project goal was to determine if it's possible to make an ultra-sensitive mass sensor

using the nonlinear oscillatory behavior of a liquid microdroplet. First, an analysis of

the literature concerning ultra-sensitive sensors as well as the oscillatory behavior of a

liquid droplet has been done and a summary of it was presented in chapter 2. Then, a

numerical nite volume analysis has led to a droplet model (chapter 3) and this model has

been validated experimentally (chapter 4). Finally, a simplied nonlinear dynamic model,

presented in chapter 5, provided a way to estimate the sensitivity of the sensor.

According to these results, a gallium liquid droplet of about 600 µm in diameter could

detect a mass of 1 nanogram (1×10−9g). Extrapolating the results, a mass of 4 yoctograms

(4×10−24g) could be detected with a 10 nm (1×10−8m) diameter droplet. This sensitivity

would identify explosives (≈ 4 × 10−22g), viruses (≈ 1 × 10−17g) as well as bacteria (≈1× 10−13g). These results conrm that it's possible to use a liquid microdroplet to detect

small masses.

Accordind to theses results, future work using this technology would be interesting. More

research will be needed to experimentally achieve the precision predicted by the model

and improve system repeatability. To do this, the miniaturization of the system and the

development of a more precise measurement method will be necessary. The transition

to excitation and capacitive measurements using an electrode that electromagnetically

excites the metal liquid droplet and another that measures the variation of the capacitance

generated by the oscillation of the droplet would make it more precise, and this at a smaller

scale. The closed-loop measurement method should also be tested experimentally.

49

50 CHAPITRE 7. ENGLISH CONCLUSION

LISTE DES RÉFÉRENCES

[1] AG, Z. I. (2008). Mi user manual. Dans AG, Z. I., zhinst.https://www.zhinst.com/products/mfli (page consultée le 3 novembre 2017).

[2] Attocube (2017). Attocube WITTENSTEIN Group.http://www.attocube.com/attosensorics/accessories/sensor-head-d4f8/

(page consultée le 6 novembre 2017).

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51

52 LISTE DES RÉFÉRENCES

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[16] Li, S.-S., Lin, Y.-W., Ren, Z. et Nguyen, C. T.-C. (2007). An msi micromechanicaldierential disk-array lter. Dans Solid-State Sensors, Actuators and MicrosystemsConference, 2007. TRANSDUCERS 2007. International, IEEE. p. 307311.

[17] Lin, Y., Li, W.-C., Gurin, I., Li, S.-S., Lin, Y.-W., Ren, Z., Kim, B. et Nguyen,C. T.-C. (2009). Digitally-specied micromechanical displacement ampliers. DansSolid-State Sensors, Actuators and Microsystems Conference, 2009. TRANSDUCERS2009. International, IEEE. p. 781784.

[18] Makouo, L. et Woafo, P. (2017). Experimental observation of bursting patterns invan der pol oscillators. Chaos, Solitons & Fractals, volume 94, p. 95101.

[19] Naik, A. K., Hanay, M. S., Hiebert, W. K., Feng, X. L. et Roukes, M. L. (2009).Towards single-molecule nanomechanical mass spectrometry. Nature Nanotechnology,volume 4, numéro 7, p. 445.

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[23] Popinet, S. (2003). Gerris : a tree-based adaptive solver for the incompressible eulerequations in complex geometries. Journal of Computational Physics, volume 190,numéro 2, p. 572600.

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LISTE DES RÉFÉRENCES 53

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[28] Thorlabs (2017). Thorlabs, PDA-100A. https://www.thorlabs.de/thorproduct.cfm?partnumber=PDA100A(page consultée le 14 novembre 2017).

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[31] Wilkes, E. D. et Basaran, O. A. (1999). Hysteretic response of supported drops duringforced oscillations. Cambridge University Press, volume 393, numéro 1, p. 333356.

[32] Yang, Y. T., Callegari, C., Feng, X. L., Ekinci, K. L. et Roukes, M. L. (2006).Zeptogram-scale nanomechanical mass sensing. Nano Letters, volume 6, numéro 4,p. 583586.

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[34] Zeiss (2017). Zeiss. https://www.zeiss.com/microscopy/int/products/scanning-electron-microscopes/sigma.html(page consultée le 21 novembre 2017).

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MODÉLISATION, ANALYSE ET VÉRIFICATION EXPÉRIMENTALE D'UN …

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