H. Garnier 1

Hugues GARNIER

hugues.garnier@univ-lorraine.fr

Modélisation & Commande des Systèmes I

------ Quelque rappels du cours d’Automatique continue (3A)

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Etapes de conception d’une commande en boucle fermée

Stabilité, caractéristiques principales

Modélisation

Analyse

Synthèse du régulateur

Analyse

Objectifs atteints ?

Objectifs/performances

à atteindre Système

à réguler/asservir

Fonction de transfert

Stabilité, précision, rapidité, robustesse

Paramètres du régulateur

OUI

NON

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Définition - Système

•  C’est l’objet que l’on désire étudier possédant un ou des signaux d’entrée et un ou des signaux de sortie Exemples : voiture, avion, circuit électrique, bras de robot,…

•  En automatique, on représente un système par un schéma fonctionnel

Système entrée sortie

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Classification des systèmes

Systèmes

biologiques écologiques sociaux,…

vivants

évolutifs, difficile

à prévoir ou contrôler

modèles peu précis

naturels artificiels

construits par l’homme : mécaniques,…

comportement choisi, facile à prévoir ou

contrôler

modèles précis

environnementaux,

…

comportement subi, plus ou moins facile à prévoir ou

contrôler

modèles assez précis

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Définition - Système statique (ou instantanée)

•  C’est un système dont l’état (ensemble de grandeurs suffisant à qualifier le système) à un instant donné ne dépend que de l’entrée à cet instant

–  Un système statique est dit sans mémoire car sa sortie à l’instant t ne dépend que des valeurs de l’entrée à l’instant t

•  L’étude d’un système statique nécessite la connaissance de : –  sa loi d’évolution, qui prend la forme d’une équation algébrique du

type y(t)=f [x(t)]

•  Exemples : y(t)=R x(t)

y(t ) = 2x2(t )5cos x(t )( )+1

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Définition - Système dynamique

•  C’est un système dont l’état (ensemble de grandeurs suffisant à qualifier le système) évolue en fonction du temps

–  Un système dynamique est dit à mémoire car sa sortie dépend de ses valeurs et de celles de l’entrée dans le passé

•  L’étude d’un système dynamique nécessite la connaissance de : –  sa loi d’évolution, qui prend la forme d’une équation différentielle –  son état initial, c’est-à-dire son état à l’instant t=0

•  Exemple : bras de robot rigide

ml2 d2θ( t )dt2

+mgl sinθ( t ) = u(t )

θ(0) =15°; !θ(0) = 0

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Système linéaire invariant dans le temps (LTI) et causal

•  Un système dynamique d’entrée x(t) et de sortie y(t) décrit par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

est linéaire, invariant dans le temps (LTI) et causal « Linear systems are important because we can solve them », Richard Feynman

Dans la suite du cours, on supposera que les systèmes dynamiques sont LTI et causal

Visionner la vidéo de Brian Douglas : Control Systems Lectures-LTI Systems

a0y(t )+a1dy(t )dt

+…+andny(t )

dtn= b0x(t )+b1

dx(t )dt

+…+bmdmx(t )

dtmn ≥m

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Définition - Modèle

•  C’est un ensemble de relations mathématiques entre le ou les signaux d’entrée et le ou les signaux de sortie d’un système –  Il doit approcher le comportement réel du système

–  Sa complexité/précision dépend de son utilisation

entrée Sortie physique réelle

Sortie simulée

Système

Modèle

Visionner la vidéo de Brian Douglas : Control Systems Lectures-Modeling Physical Systems, An Overview

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•  Définition : c’est le rapport de la transformée de Laplace de la sortie du système Y(s) sur la transformée de Laplace de l’entrée X(s) lorsque les conditions initiales sont nulles

•  Remarque importante :

En Automatique continue, on représente souvent un système par sa fonction de transfert G(s)

Fonction de transfert

G(s) = Y(s )X(s )

Lorsque les conditions initiales des signaux d’entrée/sortie sont nulles

Visionner la vidéo de Brian Douglas : Control Systems Lectures-Transfer functions

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•  Ce concept de fonction de transfert ne s’applique qu’aux systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI)

•  G(s) ne dépend que du système. Elle ne dépend ni de l’entrée, ni des conditions initiales des signaux d’E/S

•  La fonction de transfert d’un système s’écrit •  souvent comme une fonction rationnelle : rapport de 2 polynômes

•  mais pas toujours ! •  Ex : système linéaire invariant dans le temps avec retard pur

Fonction de transfert - Propriétés

G s( ) = Y(s )X(s )=b0 +b1s +…+bm s

m

a0 +a1s +…+an sn

!y(t)=x(t-τ ) ⇔ G(s) = Y(s )X(s )

= e−τs

s

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Ordre d’un système

•  Soit un système linéaire décrit par la fonction de transfert :

•  Définition

–  L’ordre n d’un système est le degré le plus élevé du polynôme du dénominateur de G(s), le cas échéant après élimination des facteurs communs au numérateur et au dénominateur

–  Exemples

G(s) = s

s2 +ωo2; n = 2 G(s) = s

s2 + 2s=

1s + 2

; n =1

G s( ) = Y(s )X(s )=bm s

m +…+b1s +b0sn +…+a1s +a0

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Gain statique d’un système

•  Soit un système linéaire décrit par la fonction de transfert :

•  Définition

–  Le gain statique d’un système est la valeur de G(s) pour s=0

•  Pour un système stable, on a aussi

–  Il est parfois utile de définir d’autres gains :

•  Gain en vitesse

•  Gain en accélération

Exemple

G(s) = 2s +1

K = 2Kv = 0Ka = 0

K = lims→0

G(s)

K =limt→+∞

y(t )

limt→+∞

x(t )

Kv = lims→0sG(s )

Ka = lims→0s2G(s)

G s( ) = Y(s )X(s )=b0 +b1s +…+bm s

m

a0 +a1s +…+an sn

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G s( ) = N(s )D(s )=bm s

m +…+b1s +b0sn +…+a1s +a0

=C

s − zj( )j=1

m

∏

s − pi( )i=1

n

∏

Pôles et zéros d’une fonction de transfert

G(s) = s

s2 +ωo2=

s

s + jωo( ) s − jωo( )

Re(s)

Im(s)

0

jωo

-jωo

Diagramme des pôles/zéros

•  Soit une fonction de transfert G(s)

•  Définitions

–  zéros zj : racines du numérateur N(s)=0

–  pôles pi : racines du dénominateur D(s)=0

–  On trace souvent le diagramme des pôles/zéros –  Ils peuvent être réels ou complexes –  S’ils sont complexes, ils apparaissent

en paires conjuguées –  Exemple

H. Garnier 14

En Automatique, on représente un système par un schéma-bloc qui relie la transformée de Laplace de l’entrée X(s) à la transformée de Laplace de la sortie Y(s) via sa fonction de transfert G(s) Du schéma-bloc, on peut en déduire les relations

Schéma-bloc ou schéma fonctionnel

Y(s ) =G(s)X(s )ou

G(s ) = Y(s )X(s )

X(s) Y(s) G(s)

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Types de modèles & d’approches de modélisation

Système physique

Modèle de comportement

(dominant) Modèle de

connaissance

Déterminé analytiquement à partir des lois de la Physique

Déterminé expérimentalement à partir de signaux

d’E/S mesurés

Modélisation Physique

Identification des systèmes

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Modèle de connaissance d’un bras de robot rigide linéarisé

G(s) = Θ(s )U(s )

=1

ml ls2 + g( )

G(s) ?

Domaine temporel Domaine de Laplace

ml2 L d2θ( t )dt2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟+mglL θ( t )( ) =L u(t )( )

ml2 s2Θ(s )( )+mglθ(s ) =U(s )ml2s2 +mgl( )Θ(s )=U(s )G(s ) = Θ(s )

U(s )=

1ml2s2 +mgl

ml2 d2θ( t )dt2

+mgl θ( t ) = u(t )

n = 2; K =1mgl

; p1,2 = ± jgl

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Modèle de connaissance d’un bras de robot rigide

G(s) = Θ(s )U(s )

=1

ml ls2 + g( )

Représentation en Physique Représentation en Automatique

ml2 d2θ( t )dt2

+mgl θ( t ) = u(t )

U(s) Θ(s) G(s)

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Types de modèles & d’approches de modélisation

Système physique

Modèle de comportement

(dominant) Modèle de

connaissance

Déterminé analytiquement à partir des lois de la Physique

Déterminé expérimentalement à partir de signaux

d’E/S mesurés

Modélisation Physique

Identification des systèmes

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Méthode de base par déterminer un modèle de comportement d’un système dynamique

•  On envoie un échelon (ou une suite d’échelon) à l’entrée du système et on relève expérimentalement la réponse du système –  Identification de modèles « simples » d’ordre 1 ou 2 avec retard pur

à partir de la réponse indicielle •  Avantages

–  Très facile à réaliser en pratique

Système

t

u(t)

t

y(t)

entrée sortie

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Rappel : Identification d’un modèle du 1er ordre à partir de la réponse indicielle

H. Garnier 21

Rappel : Identification d’un modèle du 2e ordre sous-amorti à partir de la réponse indicielle

H. Garnier 22

Rappel : Identification d’un modèle du 1er ordre à retard pur à partir de la réponse indicielle

H. Garnier 23

Identification d’un échangeur de chaleur à partir d’un essai indiciel

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Identification d’un échangeur de chaleur à partir d’un essai indiciel

•  Il existe aujourd’hui des méthodes qui déterminent directement les paramètres de modèles à partir de l’enregistrement de données d’entrée/sortie : programme de la suite du cours…