MODÈLE ALM : APPORT DE LA LOGIQUE FLOUE DANS LA

MODÉLISATION DES COMPORTEMENTS

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Le 27 Septembre 2013 Sandrine Mouret Sylvain Detroulleau

INTRODUCTION (1/2) ¢  Solvabilité II : valorisation du bilan selon le principe

de la « juste valeur » :

�  Actifs : en valeur de marché �  Passifs : vision « Best Estimate »

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¢  Le Best Estimate :

�  Représente la valeur actualisée des cash flows futurs de l’assureur ( Prestation, Frais,…) �  Repose sur des hypothèses réalistes et non nécessairement prudentes (vision 50/50).

¢  Dans les sociétés d’assurance vie commercialisant des contrats d’épargne, un modèle ALM (Gestion Actif/Passif) est souvent nécessaire afin de capter l’ensemble des interactions entre l’actif et le passif

¢  Pour valoriser le passif en « Best Estimate », le modèle ALM doit tenir compte des incertitudes liées :

�  Aux comportements des assurés (rachats, décès,...) �  Aux actions futures du management (politique de taux servis, allocation d’actif,…)

INTRODUCTION (2/2)

�  Pour résoudre des problèmes complexes, les être humains utilisent des données approximatives de par une connaissance imparfaite de l’environnement qui les entoure.

�  Leurs raisonnements se basent sur des critères plus qualitatifs que quantitatifs.

è La logique floue en permettant de modéliser les imprécisions et les incertitudes du raisonnement humain, apparait alors comme alternative de modélisation des comportements

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SI le feu est rouge… SI ma vitesse est élevée… ET SI le feu est proche… ALORS je freine fort.

¢  Le raisonnement humain Attitude devant un feu tricolore

¢  Bien que relevant d’un enjeu important dans la détermination du Best Estimate, les lois comportementales soulèvent des difficultés sur leur calibrage, leur modélisation et plus largement leur justification.

¢  Objectif : trouver une modélisation proche de la réalité

SOMMAIRE ¢  Le modèle ALM

�  Interactions Actif/Passif �  Fonctionnement du modèle ALM �  Lois comportementales

¢  Modélisation des rachats conjoncturels par la Logique floue

�  Méthodologie de la logique floue �  Sensibilités des rachats conjoncturels

¢  Modélisation de la politique de taux servis par la Logique floue

¢  Analyses des résultats

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LE MODÈLE ALM Calcul du Best Estimate d’une compagnie d’assurance vie fictive :

- Interactions Actif/Passif - Fonctionnement du modèle ALM - Lois comportementales

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LES INTERACTIONS ACTIF/PASSIF

¢  Options et garanties des contrats épargnes : interactions entre l’actif et le passif

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�  Le taux minimum garantie (TMG)

�  La participation aux bénéfices (PB)

�  L’option de rachat

�  Allocation d’actifs

�  Réalisation de plus-values

�  Politique de taux servis

�  …

Interactions

¢  Les techniques de simulations sont préférées pour évaluer le coût des options et garanties

FONCTIONNEMENT DU MODÈLE ALM

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Générateur de scénarios économiques

Model points Passif

Portefeuille d’Actifs

Bilan d’ouverture

…

Données

Allocation d’actifs

Rachats, Décès

Politique de taux servis

…

Paramètres

Projection dans le temps

Sortie

Cash-Flows

Modèle ALM

Scénario i

Best Estimate

Actualisation

Feront l’objet d’une modélisation par la logique floue

LOIS COMPORTEMENTALES : RACHATS

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¢  Rachats structurels (RS) �  Liés à la structure du portefeuille �  Estimés à partir de l’historique de l’assureur

¢  Rachats conjoncturels (RC) �  Liés à la conjoncture économique et à la performance de l’assureur �  Absence de données. �  Modélisés traditionnellement à partir d’une loi proposée par l’ACP

¢  Limites de la « loi ACP » : �  Absence d’éléments permettant la justification du calibrage �  Suppose les assurés rationnels �  Repose sur un seul critère : l’écart de taux servis �  Une loi pour tous

LOIS COMPORTEMENTALES : MOTIFS DES RACHATS CONJONCTURELS

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D’autres facteurs peuvent expliquer le comportement des assurés en matière de rachats conjoncturels

¢  L’âge de l’assuré �  Les jeunes sont peu réactifs et disposent d’un encours faible, ils seront moins sensibles à l’écart

entre le taux servi et le taux concurrent

¢  L’ancienneté �  Les assurés dont l’ancienneté est élevée ont une meilleure connaissance du marché �  Les assurés dont l’ancienneté est faible ne bénéficieront pas d’abattement fiscal en cas de rachat

¢  L’inertie des assurés �  Un assuré ne rachète pas nécessairement son contrat si l’assureur lui sert un taux moins

avantageux que la concurrence mais si cela fait plusieurs années qu’il lui propose des taux moins attractifs

¢  Frais d’acquisition

¢  Pénalité de rachat

¢  …

LOIS COMPORTEMENTALES : ACTION DU MANAGEMENT

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¢  Les actions du management dans les modèles ALM sont traditionnellement transposées sous la forme de fonctions statiques ou sous la forme de problèmes d’optimisations sous contraintes

¢  Exemples d’actions du management dans notre modèle :

�  Objectif de taux servis servir le taux concurrent �  Allocation d’actif 70% d’obligation, 10% d’action, 15% d’immobilier et 5% de monétaire

¢  Limites :

�  Le management n’est pas impliqué dans la modélisation �  Modélisation pouvant devenir complexe �  Les simplifications usuelles ne sont pas réalistes

¢  Alternative possible

Ø  Modélisation des comportements par la théorie de la logique floue…

MODÉLISATION DES RACHATS CONJONCTURELS PAR LA LOGIQUE FLOUE

Méthodologie de la logique floue - Pré-requis et définitions - Le raisonnement en logique floue

* La fuzzification * L’inférence floue * La défuzzification

Sensibilités des rachats conjoncturels

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MÉTHODOLOGIE DE LA LOGIQUE FLOUE

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PRÉREQUIS ET DÉFINITIONS ¢  Limites de la théorie classique des ensembles :

�  La taille d’un individu (moyen, grand?)

è Nécessité de créer des ensembles flous

¢  Variables et ensembles flous �  Une variable linguistique correspond à un triplet (X,U,R) :

¢  X = la variable (ex: la taille) ¢  U = univers du discours = valeurs prises par la variable (ex: mètre ) ¢  R = ensemble de sous-ensemble flous (ex: petit, moyen, grand)

�  Un ensemble flou A est caractérisé par sa fonction d’appartenance :

¢  Opérateurs flous

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]1,0[)(; ∈∈∀ xXx Aµ

Opérateurs de Zadeh

Intersection : ET

Réunion : OU

))(),(()( xxMINx BABA µµµ =∩

))(),(()( xxMAXx BABA µµµ =∪

LE RAISONNEMENT EN LOGIQUE FLOUE

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Fuzzification Passage du

quantitatif au qualitatif

Inférence floue Simulation du raisonnement

humain

Défuzzification

Prise de décisions

Domaine flou Valeurs numériques

Valeurs numériques

Entrées Sorties

ETAPE 1 : FUZZIFICATION La fuzzification est l’étape qui permet de passer du monde réel au monde flou.

¢  Méthode : �  Déterminer les variables floues d’entrée et de sortie du modèle �  Déterminer pour chacune de ces variables leurs ensembles flous associés �  Déterminer la fonction d’appartenance de chacun de ces ensembles flous

Dans le cadre des rachats conjoncturels:

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Variables  Entrées   Sor0e  

Ecart  de  rendement   Ancienneté  du  contrat   Age  de  l'assuré   Taux  de  rachat  

Ensembles  flous  

Fortement  néga,f            Faiblement  néga,f                          

Proche  de  0                                              Faiblement  posi,f              Fortement  posi,f  

Faible                                                                      Moyenne                                                Importante  

Jeune-­‐Adulte                                Adulte                                                      Retraité  

Très  néga,f                      Néga,f                                        

Proche  de  0                          Posi,f                                                        

Très  posi,f  

Univers  du  discours   [-­‐6%;  4%]   [0  ans;  40  ans]   [18  ans;  100  ans]   [-­‐5%;  20%]  

è Les fonctions d’appartenance des variables d’entrée et de sortie

16 Remarque : Les fonctions choisies sont linéaires par morceaux en vue de simplifier les calculs futurs mais il est possible d’utiliser d’autre formes de fonctions d’appartenance : hyperboliques, normales,…

•  Les fonctions d’appartenance sont déterminées à l’aide de jugements d’experts et d’intuitions

Taux  de  rachat  Ancienneté  du  contrat  &  Age  de  l'assuré  

Faible   Moyenne   Importante  

Ecart  de  rendements   Jeune-­‐Adulte   Adulte   Retraité   Jeune-­‐Adulte   Adulte   Retraité   Jeune-­‐Adulte   Adulte   Retraité  

Fortement  néga,f   Proche  de  0   Posi,f   Posi,f   Posi,f   Posi,f   Posi,f   Posi,f   Très  posi,f   Posi,f  

Faiblement  néga,f   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Posi,f   Proche  de  0   Proche  de  0   Posi,f   Proche  de  0  

Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0  

Faiblement  posi,f   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Proche  de  0   Néga,f   Proche  de  0   Proche  de  0   Néga,f   Proche  de  0  

Fortement  posi,f   Proche  de  0   Néga,f   Néga,f   Néga,f   Néga,f   Néga,f   Néga,f   Très  néga,f   Néga,f  

ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (1/4) ¢  Déterminer la matrice de décisions

Etablir l’ensemble des règles de décisions possibles pour un individu

�  SI prémisse 1… ET prémisse 2… ALORS conclusion ¢  Liens logiques : ET è chaque variable influence conjointement la décision

�  Calibrage de la matrice ¢  Expertise ¢  Argumentation soutenue

Matrice de décisions pour les rachats conjoncturels :

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Encours faible et faibles connaissances du marché è Pas réactifs

Encours important et désire de s’assurer une bonne retraite è Très réactifs

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Il y a donc 8 règles de décisions à prendre en compte :

Exemple : (Ecart de rendements -1.7%; Ancienneté 3.5 ans; Age 61 ans) =0x

Remarque : Pour chaque combinaison d’entrée, plusieurs règles de décisions peuvent être déclenchées. D’après la forme des fonctions d’appartenance, on peut prendre en compte jusqu’à 8 règles de décisions

Ecart  des  rendements   Ancienneté  du  contrat   Age  de  l'assuré  Ensembles  flous   Y_rdmt   Ensembles  flous   Y_ancien   Ensembles  flous   Y_age  Fortement  néga,f   0,40   Faible     0,75   Jeune-­‐Adulte   0,00  

Faiblement  néga,f   0,60   Moyenne   0,25   Adulte   0,86  

Proche  de  0   0,00   Importante   0,00   Retraité   0,14  

Faiblement  posi,f   0,00  

Fortement  posi,f   0,00  

Règles   Ecart  de  rendement   ET   Ancienneté     ET   Age  de  l'assuré   ALORS   Rachat  

R1   Fortement  néga,f   ET   Faible     ET   Adulte   ALORS   Posi,f  

R2   Fortement  néga,f   ET   Moyenne   ET   Adulte   ALORS   Posi,f  

R3   Fortement  néga,f   ET   Faible     ET   Retraité   ALORS   Posi,f  

R4   Fortement  néga,f   ET   Moyenne   ET   Retraité   ALORS   Posi,f  

R5   Faiblement  néga,f   ET   Faible     ET   Adulte   ALORS   Proche  de  0  

R6   Faiblement  néga,f   ET   Moyenne   ET   Adulte   ALORS   Posi,f  

R7   Faiblement  néga,f   ET   Faible     ET   Retraité   ALORS   Proche  de  0  

R8   Faiblement  néga,f   ET   Moyenne   ET   Retraité   ALORS   Proche  de  0  

Conclusions déterminées à l’aide de la matrice de

décisions

ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (2/4) ¢  Définir le degré d’activation de la règle R :

Déterminer la véracité des propositions de chacune des règles floues

Niveau de vérité des propositions è MINIMUM entre les degrés d’appartenance Pour R1 :

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)( 0xRµ

%40)( 01=xRµ

Règles   Ecart  de  rendement   MIN   Ancienneté     MIN   Age  de  l'assuré   Degré  d'ac:va:on   Rachat  R1   0,40   MIN   0,75   MIN   0,86   0,40   Posi,f  

ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (3/4) ¢  Implication :

Préciser la conclusion par rapport au niveau de vérité de la proposition

è Evaluer la fonction d’appartenance de la conclusion de la règle R

¢  Méthode Mamdani

Pour R1:

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))(),(()( 0' yxMINy

RR conclusionRyconclusion µµµ =

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

-5% 0% 5% 10% 15% 20% 0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

-5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

Implication

)('

1y

RPositifµ)(1y

RPositifµ

ETAPE 2 : INFÉRENCES FLOUES (4/4)

¢  Agrégation des conclusions Caractériser la décision floue

�  Les fonctions d’appartenance des conclusions de chaque règle floue sont reliées par un « OU » logique è un « MAX » en logique floue

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NiyMAXyiRconclusionyFINALE ≤≤∀= 1));(()( 'µµ

Agrégation

ETAPE 3 : DÉFUZZIFICATION Cette étape permet de repasser dans l’univers réel pour prendre une décision

¢  Deux méthodes de défuzzification : �  Méthode du centre de gravité (COG) :

�  Méthode de la moyenne des maxima (MM) :

è Prise de décision réelle 22

∑

∑

∫∫

=

=

×== n

ii

n

iii

G

x

xx

dxx

dxxxx

0

0

)(

)(

)(

)(

µ

µ

µ

µ

N

x

dx

xdxx

N

ii

MM

∑

∫∫ === 0

SENSIBILITÉS DES RACHATS CONJONCTURELS

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¢  Les différentes méthodes de défuzzification

¢  Cohérence avec la matrice de décisions

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•  Résultats proches des préconisations de l’ACP •  Résultats plus stables avec la défuzzification par centre de gravité

•  Evolution de la réactivité des individus retranscrite dans les résultats

¢  Impacts des changements dans la matrice de décisions Hypothèse : La connaissance joue un rôle plus important que l’encours sur la réactivité

des jeunes adultes d’ancienneté importante

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Remarque : une seule colonne à changer dans notre matrice de décisions

•  Impact de la matrice de décisions immédiat et important

MODÉLISATION DE LA POLITIQUE DE TAUX SERVIS PAR LA LOGIQUE FLOUE

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CARACTÉRISTIQUES RETENUES POUR LA POLITIQUE DE TAUX SERVIS

¢  Variables et ensembles flous

¢  La matrice de décisions

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Poli:que  de  taux  servi  Produits  financiers  &PPE  

Faibles   Appréciables   Importants  

Solvabilité  (ra:o  MSR)   Faible   Convenable   Forte   Faible   Convenable   Forte   Faible   Convenable   Forte  

Passable   Peu  concurrente  

Peu  concurrente  

Peu  concurrente  

Peu  concurrente   Concurrente   Concurrente   Peu  

concurrente   Concurrente   Concurrente  

Bon     Peu  concurrente  

Peu  concurrente  

Peu  concurrente   Concurrente   Concurrente   Concurrente   Concurrente   Concurrente   Très  

concurrente  

Très  bon   Peu  concurrente  

Peu  concurrente   Concurrente   Concurrente   Concurrente   Très  

concurrente   Concurrente   Très  concurrente  

Très  concurrente  

Variables  Entrées   Sor0e  

PPE   Produits  financiers   Ra:o  de  solvabilité   Poli:que  de  taux  servis  

Ensembles  flous  Faible                                              

Convenable                            Elevée  

Faibles                                        Appréciables                                        

Elevés  

Passable                                      Bon                                                        

Très  bon  

Peu  concurrente        Concurrente                                      

Très  concurrente  Univers  de  discours   [0%,  4%]   [20%,  130%]   [100%,  400%]   [85%,  120%]  

SENSIBILITÉS DU MANAGEMENT ACTION

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•  Toutes les décisions prises lors du calibrage de la matrice de décisions se retranscrivent dans les résultats

ANALYSES DES RÉSULTATS 29

APPORTS DE LA LOGIQUE FLOUE

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•  Les résultats obtenus avec notre matrice de décisions sont comparables aux résultats obtenus avec la courbe de rachats « ACP »

•  La vision plus fine du management est au global en adéquation avec la vision ACP

Ø  La logique floue :

•  Permet de justifier et d’argumenter l’utilisation de la fonction ACP

•  Apporte une méthodologie de calibrage

Ecart : 0,09% des fonds propres

Rachats conjoncturels

Ø  La logique floue permet une modélisation individuelle du comportement de rachat

Ø  Méthodologie directement applicable sur des portefeuilles atypiques

Ø  La matrice de décisions est un outil pertinent pour modifier/ajuster le comportement de certaines classes d’assurés

APPORTS DE LA LOGIQUE FLOUE

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Société A : moyenne d’âge = 47 ans Société R : moyenne d’âge = 65 ans Société J : moyenne d’âge = 20 ans

Société A : scénario central Société B : scénario « réactif »

+5,45% +3,79%

-5,24%

•  Meilleure gestion du taux servi par rapport à notre modèle standard

Ø  Réels apports de la logique floue:

•  Niveau d’optimisation flexible •  Etablie un lien concret entre la politique du management et sa

modélisation •  Force le management à prendre position •  Le module logique floue se positionne comme un outil d’aide à la décision

intéressant

APPORTS DE LA LOGIQUE FLOUE

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Politique de taux servis

Ecart : 3,2% des fonds propres

¢  Logique innovante et cadre conceptuel mathématique rigoureux pour traduire les expertises

¢  Apporte des justifications sur un problème où les données sont insuffisantes �  Justification du calibrage et généralisations des courbes de rachats conjoncturels proposées par

l’ACP

¢  Fournie un lien concret entre la politique du management et sa modélisation

¢  Limites : �  Sources d’erreurs difficiles à identifier �  Résultats sensibles aux fonctions d’appartenances et aux univers de discours

¢  Recommandations d’utilisation :

�  Justifications du calibrage de la matrice de décisions contrôlées par le régulateur �  Comprendre ses assurés : questionnaire de souscription, analyses des causes de rachats,…

¢  Axes de développement possibles

�  Allocation d’actif, politique d’extériorisation des PVL,… �  Outil d’aide à la décision au sein de l’ORSA

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CONCLUSION

MERCI DE VOTRE ATTENTION

QUESTIONS/REPONSES

34 Contacts : §  Sandrine.Mouret@fr.ey.com

§  Sylvain.Detroulleau@optimindwinter.com