MODELISATION DU TRANSPORT DE PARTICULES DANS UN ECOULEMENT GAZEUX TURBULENT P. Villedieu (ONERA &...

MODELISATION DU TRANSPORT DE

PARTICULES DANS UN ECOULEMENT

GAZEUX TURBULENTP. Villedieu

(ONERA & INSA Toulouse)

2

CONTEXTE (1/5)

On rencontre des écoulements gaz - particules (solides ou liquides) dans de nombreux processus d'origine naturelle ou humaine. On peut citer par exemple :

• les moteurs d'automobile ou d'avion, • les moteurs fusée à propergol solide ou cryogéniques, • les lits fluidisés circulants, • les échangeurs thermiques à air, • les filtres à particules, • les aérosols, • certains phénomènes météorologiques: brouillards, nuages, etc. • les nuées ardentes, • la dispersion atmosphérique de polluants. • etc.….

3

CONTEXTE (2/5)

Possibilité d'ingestion de gouttelettes d'eau, de particules de glace, de

sable, etc.…

Injection de gouttelettes de kérosène dans la chambre de combustion

Turbojet engine

Cryogenic rocket engine

Injection de gouttelettes d'oxygène liquide dans un

jet d'hydrogène gazeux très chaud.

Présence de gouttelettes d'aluminium et d'alumine dans les gaz issus de la

combustion du propergol.

Solid propellant rocket engine

Solid propellant

Alumina particle

EXEMPLE : SYSTEMES PROPULSIFS DES AVIONS ET DES FUSEES

4

diamètre des particules : entre 0.1 m to 200 m dans le domaine aérospatial : Dm = 10 m

nombre de particules par unité de volume :

dans le domaine aérospatial, np est typiquement de l'ordre de 103 à 109 cm-3

10)1(

10 3

gp

ppp

3p

pp D

n

Quelques ordres de grandeur (contexte aérospatial)

CONTEXTE (3/5)

densité des particules p >> densité du gaz g :

concentration volumique : (spray dilué) 10-6 < p < 10-2 (spray dense)

Impossible de "suivre" chaque particule individuellement !Recherche de modèles portant uniquement sur les

propriétés moyennes de la distribution de gouttelettes.

concentration massique :

310g

p

5

Dans la plupart des cas, l'écoulement gazeux est turbulent si bien que l'accélération d'une particule est la somme • d'une contribution déterministe, associée à la valeur moyenne, , du champ de vitesse de la phase gazeuse ;• d'une contribution aléatoire, associée à la composante dite "fluctuante", u'g(t,x du champ de vitesse de la phase gazeuse.

p

t

dt

d

dt

d

ppgp

pp v)x,(v

; vx

U

)x,(Ug t

CONTEXTE (4/5)

Équation du mouvement d'une particule dans un écoulement gazeux

Il s'agit ici du modèle le plus simple (modèle de Stokes, absence de forces extérieures). p est une constante fonction du rayon et de la densité de la particule :

g

ppp

r

9

2 2

(temps de relaxation dynamique de la particule)

6

dR

pp

p tftn

t dv)vx,,(v )x,(

1)x,(U

CONTEXTE (5/5)

Concrètement cela signifie que Zp(t)= (xp(t),vp(t)) est un processus aléatoire que l'on peut notamment chercher à caractériser, selon le degré de précision souhaité, par :

• sa densité de probabilité : fp(t,x,v) => Équation aux dérivées

partielles de type Fokker-Planck.

Problème : détermination des coefficients de cette équation en fonction des "caractéristiques" de la turbulence gazeuse ?

• ses premiers moments : np(t,x), Up(t,x)

(np = loi marginale de xp)dR

pp tftn dv)vx,,()x,(

( Up(t,x) = E(vp(t) | xp(t) = x) )

Problème : Existe t'il une relation entre Up – Ug et ∂xinp (loi de diffusion des

particules) ? De quels paramètres dépend cette relation lorsqu'elle existe ?

7

PLAN DE L'EXPOSE

1. Transport de particules dans une turbulence homogène isotrope stationnaire en l'absence de forces extérieures.

( A hierarchy of models for turbulent dispersed two-phase flows derived from a kinetic equation for the joint particle-gas equation, K. Domelevo & P. Villedieu, Commun. Math. Sc., 5(2), pp. 331-353, 2007)

2. Influence d'un champ de forces extérieures uniforme: effet de "croisement de trajectoires".

3. Autres "jolis" problèmes: phénomènes de turbophorèse et de concentration préférentielle.

8

1. Transport de particules dans une THI stationnaire

Hypothèses de modélisation :

• le champ de vitesse moyenne de la phase gazeuse est uniforme et indépendant du temps => on peut donc supposer : Ug(t,x) = 0 (quitte à changer de référentiel).

• le champ de vitesse "fluctuante", u'g(t,x), est statistiquement homogène, isotrope et stationnaire.

• l'influence des particules sur la phase gazeuse est négligeable (hypothèse de "spray dilué").

• la seule force agissant sur les particules est la force de traînée exercée par le gaz, donnée par la loi de Stokes.

9

Hypothèses sur les propriétés statistiques du champ turbulent u'g:

• corrélations spatiales.

• corrélation temporelles. - point de vue eulérien :

- point de vue lagrangien :

jiijgij rgrfrgu'u' ))()(()( )(y)t,(x)t,( 2jg,g,i rE Q ξr )yx(r

ijgijegEij

E

(t-s)hstu'u' e )(x)s,(x)t,(

s-t-

22jg,g,i RE


avec

ijgijlgLij

L

(t-s)hstu'u' e )())xx(s,s,())xx(t,t,(

s-t-

220jg,0g,i RE

f et g sont les fonctions d'auto-corrélation spatiales, longitudinale et transversale.

Sachant que (résultat expérimental) , on supposera que le long de la trajectoire d'une particule inertielle, on a également :

LE

ijgu'u' e ))x(x,xs,())x(t,xt,( g

s-t-

2p0pjg,p0pg,i E avec g = L

10

dssvsxtxt

iii )()(2)(0

2

)()(2)( 2 tvtxtxdt

diii

t s

ii

t s

iii dudsusvvdudssvuvtx0 00 0

2 )()0(2)()(2)(


Importance du tenseur d'auto-corrélation lagrangien pour la diffusion d'un traceur passif (d'après l'analyse de Taylor, Proc. Of London Math. Soc., 1921)

0)0( ; )()( iii xtvt

dt

dx

dzzRtztdsdzzRtxt L

ii

t t

z

Liii

00

2 )()/1(2)(2)(

dzzRttxt L

iii 0

2 )(2)(

Coefficient de diffusion

(pour t grand)

11

tg

gp

gp

p

ppp

pp

dt

dt

dt

Wuu

vuv

vx

d21

d

d

d

2


Equations du mouvement d'une particule.

On pose : up(t) = u'g(t,xp(t,xp0))

Par construction, le processus up(t) ainsi défini vérifie :

ijgLijjpip stuu

e )(s)(t)( g

s-t-

2,, RE

Processus Zp = (xp,vp,up)

Références: Shuen, Chen et Faeth (1983), Sawford (1984), Pope (1985), Simonin, Deutsch et Minier (1993), Minier-Peirano (2001), etc.

12

0 - . 2

.

pgpgpgpgpg ffff

t

f

g

g

gp

.

u

uvuv uvx


Equation vérifiée par la densité de probabilité jointe fpg(t,x,v,u) :

Forme adimensionnée de l'équation.

On pose : t = T t' ; x = L x' ; v = L / T v'; u = L/T u' ; g = L/T g' ; Kp = p / T ; Kg = g/ T ; S = p/g (Stokes number)

0 ''

' ' '.'

1

1 ' ')''('.

'

' 2

''

pgf

pgf

KK gg

pgp

pgpg ff

t

f.

uu

uv vuvx

13


On peut envisager trois limites :

• Kp fixé ; Kg 0 c'est-à-dire S = Kp/Kg ∞ : cas des très grosses particules

• Kg fixé ; Kp 0 c'est-à-dire S = Kp/Kg 0 : cas des très petites particules

• S fixé ; Kp 0 et Kg 0 : particules quelconques, temps d'observation grand.

0 ''

' ' '.'

1

1 ' ')''('.

'

' 2

''

pgf

pgf

KK gg

pgp

pgpg ff

t

f.

uu

uv vuvx

Analyse asymptotique basée sur des développements (formels) de type Chapman – Enskog en fonction de 1/S, S ou de K = max(Kp, Kg)

14

2

2

2/2 2exp

2

1)(

gd

gg

M

u

u

)1

(),(.1

),()(),,(2S

O,tfS

,tfM,tf pppg g

vxuvxuuvx v

0 .

v

ppp

p fDfft

f

p

. vvx

vv


1ère limite : Kp fixé (T ≈ p ) ; Kg 0 (càd S ∞)

On a (formellement) :

où

et où fp est solution de l'équation réduite (de type Fokker – Planck) :

avec : )1

(2

2

v SOD

p

gg

15

On part de l'équation de la densité de probabilité sous forme adimensionnelle :

avec

On déduit de l'équation (1) que A(fpg) = O(1/S). Il est donc naturel de poser :

avec par définition :

En résolvant (3a)-(3b) on obtient:

. )A( 2 fff g uu u

0 )(A )(1

.

pg

ppg

ppg

pg fK

Sf.

Kf

t

fvu

vv

x

(3c) 0d ; (3b) dd ; (3a) 0)( (1)(0)(0) ddd R

pgp

R

def

pg

R

pgpg ffff fA uuu


Démonstration formelle (1/2)

(1)

(2) 1

(1)(0)pgpgpg f

S ff

),(t, )(),,,( (0) vxuuvx ppg fM t fg

16

En injectant (2) dans (1) et en intégrant pas rapport à u on obtient :

En n'intégrant pas par rapport à u, on trouve :

Ce qui en se servant de (4) donne finalement :

Il en résulte :

avec fp solution de

On conclut ensuite facilement.

)S

1O( ),,(. )(,,(t,)1( vxuuu)vx v tfM f ppg g

)S

1O( d .

1

1 .

)1(

dR

pgp

pp

pp f

SKf.

Kf

t

fu u

vv

vv

x

)S

1O( .

1

1 .

)() (A )1(

p

pp

pp

pppg f

Kf.

Kf

t

f MKf

g vuv

vv

xu


Démonstration formelle (2/2)

(5)

(4)

)S

1O( . )() (A )1( pppg f MKf

g vuu

)S

1O( ),,(.

S

1),,( )(,,(t,

2

vxuvxuu)vx v tftfM f pppg g

)S

1O(

1 .

2

2

pg

pp

pp f

Sf.

Kf

t

fvv

vv

x

17


2ème limite : Kg fixé (T ≈ g) ; Kp 0 (càd S 0)

Idée : on pose w = (v-u)/S1/2, et on écrit l'équation vérifiée par

hpg(t,x,w,u) = Sd/2 fpg(t,x, u+S1/2 w,u) fpg(t,x,v,u) = S-d/2 hpg(t,x,(v-u)/S1/2,u) Élimination de la singularité. Puis développement asymptotique à l'ordre 0 uniquement en fonction de S.

)(),(2

exp )2(

1),,(

2

2

d/22SO,tf

S S,tf g

ggpg

ux

uvuvx

0 .

u

ggg

g fDfft

f

g

. uux

uu


où fp est solution de l'équation :

avec :g

gD 2

u

18

2exp

)det()2(

1)(

1

2/,

u)(v,u)(v,uv,

TΣΣdS g

M

)(),(.)2(),()(),,( 2, KOtn- StnM,tf pgpSpg g

xu vxvu,uvx x

ggD 2


3ème limite : S fixé, K = max(Kp,Kg) 0 ( T >> max(g, p) )

Preuve : cas similaire à celui de la limite 1 avec opérateur A(f) plus complexe faisant inter-venir les deux variables v et u. Unicité de la distribution d'équilibre plus complexe à prouver.

0 .

pp nD

t

nxx


où

et où np est solution de l'équation de diffusion:

avec

Remarques : • D est indépendant de p !• A l'équilibre, on a :

dd

dd

II

II

1

112

2

22

gg

gg

S

SS

Σavec

dIvvE 1

)(2

Sg

pp

1

,S

gip

v

19


Autres travaux sur le même sujet.

•Littérature mathématique• Clouet – Domelevo, M3AS, 7(2), 1997• Goudon – Poupaud, M2AN, 38(4), 2004• etc.

•Littérature physique •Tchen, PhD Thesis, Delft, 1947• Hinze, Turbulence, Mc Graw-Hill Book Co, 1975• Reeks, Phys. of Fluids, 3(3), 1991• Zaichik, Fluid Dynamics, 32(2), 1996• etc.

20

PLAN DE L'EXPOSE

1. Transport de particules dans une turbulence homogène isotrope stationnaire (THIS) en l'absence de forces extérieures.



21

g

p

t

dt ppgp ),('

d

vxuv

g

pdt

)()(d pp vv EE

p

t

gvd

)( pvE

2. Influence d'un champ de forces uniforme

• Vitesse relative moyenne d'une particule dans un champ de forces uniforme

• Influence de la "vitesse de dérive" sur le temps d'auto-corrélation lagrangien

Si |vd| ∞, la particule "voit" un champ turbulent figé le temps d'auto-corrélation

g de la turbulence le long de sa trajectoire n'est fonction que de |vd|

et de l'échelle d'auto-corrélation spatiale de la turbulence . Typiquement :

d

* v

gSi |vd| ∞,

Force par unité de masse

22

222

jg,g,i )()( )(t,()t,(r

rrrf

r

rrδrgu'u' jiji

ijgij rrxxE Q

)(t,()t,( 2g,1g,1 rfu'u' g rxxE )(t,()t,(t,()t,( 2

g,3g,3g,2g,2 rgu'u'u'u' g rxxrxx EE


Modèle phénoménologique de Csanady (1/2)

Dans une THIS, on a :

Supposons : r =(r,0,0). On obtient alors :

Corrélations longitudinales Corrélations transversales

f(r) g(r)

0

)( drrfdef

f

Echelle de longueur intégrale longitudinale

ible)incompress écoulement (si

0

2

)( fdef

g drrg

Echelle de longueur intégrale transversale

rr

23

jijiijgij

sδ

ssststu'ttu'

)exp()exp( )(),(,()),(,(

//

2p0jg,p0g,i

LRxxxx ppE

g

g

v

v

d

d

2

2//

//

1g

L

2

dv


Modèle phénoménologique de Csanady (2/2)

avec

//

2

21

g

L

2

dv

où

Par construction le modèle est consistant pour vd 0 et vd ∞.

//

22

//

g

Lg

f

Lg

24

tg

gp

gp

p

ppp

pp

dt

dt

dt

WGGuu

gvuv

vx

d21

d

d

d

1/2

2


Équations du mouvement d'une particule dans une THIS en présence d'un champ de forces uniforme.

On pose : up(t) = u'g(t,xp(t,xp0))

Par construction, le processus up(t) ainsi défini vérifie :

avec

Sans dimension, mais fonction de l'inertie de la particule

jijiijg

sδ

sstt

)exp()exp( ))()(

//

2pp uuE

ζζζζ

//

gg

dIG

25


Équation vérifiée par la densité de probabilité jointe fpg(t,x,v,u) :

Forme adimensionnée de l'équation.

On pose comme précédemment : t = T t' ; x = L x' ; v = L / T v'; u = L/T u' ; vd = L/T vd' ; g = L/T g' ; Kp = p / T ; Kg = g/ T ; S = p/g (Stokes number)

On peut appliquer la même technique que précédemment.

0 1

.

2..

pgpgpg

dpg

pg fffft

fg

gp

. uuvx uGvuv

v

0 1

1

).

2..

pgpg

gpgd

ppg

pg fffft

fg

.

KK uuvx uGvuv(v

26

2exp

)det()2(

1)(

1

2/,

u)(v,u)(v,uv,

TΣΣdS g

M

)(),(.))(2 (),()(),,( 2, KOtn- StnM,tf pgpSpg g

xuG v-vGIxv-vu,uvx x-1

d-1

dd

-1GD gg 2


Cas de la limite : S fixé, K = max(Kp,Kg) 0 ( T >> max(g, p) )

0 .).(

d

ppp nn

t

nxxx Dv


où

et où np est solution de l'équation de dérive - diffusion:

avec

Remarques : • D est un tenseur symétrique dont les coefficients dépendent de l'inertie des particules (par l'intermédiaire de vd=gp) et dont les directions propres sont liées à la direction de g.•A l'équilibre, on a :

dd

dd

IGI

GIGI

)(

)()(21-2

-12-12

gg

gg

S

SS

Σavec

-12 )( )( G Iv'v' dE Sgpp 1 ; 12/1

,

2/1

////, g

ppg

pp

v'v'

27

PLAN DE L'EXPOSE

1. Transport de particules dans une turbulence homogène isotrope stationnaire (THIS) en l'absence de forces extérieures.



28

3. Concentration préférentielle

On considère une nouvelle fois le cas d'une turbulence homogène isotrope stationnaire (avec ou sans champ de forces extérieures) mais on d'intéresse cette fois au comportement collectif des particules. On observe que :

• les particules tendent à se concentrer en périphérie des structures tourbillonnaires par effet de centrifugation ; • l'intensité du phénomène dépend fortement de l'inertie des particules ; on ne l'observe pas pour les particules d'inertie très faible (traceurs passifs, p << K) et le phénomène est beaucoup moins marqué pour les particules d'inertie très élevée (p >> L).

Exemples de résultats de simulation numérique directe

29

;

;

p

212

p

121

22

11

vx

dt

dvvx

dt

dv

vdt

dxv

dt

dx


Le modèle phénoménologique de Bec et Chétrite (2007)

Equations du mouvement d'une particule dans un tourbillon linéaire 2D.

En calculant la solution analytique de ce système, on montre facilement que, si a l'instant initial les particules sont équidistribuées dans le tourbillon (de taille L), la masse m(T) des particules encore situées dans le tourbillon à l'instant T (temps de "vie" du tourbillon) vérifie :

21612

2

11exp()0()( 2S

S

KumTm

avec : S = p (nombre de Stokes) et Ku = T (nombre de Kubo)

30


Le modèle phénoménologique de Bec et Chétrite (2007)

31


Quelques travaux récents en rapport avec le problème. •Etude expérimentale : Eaton et Fessler, 1994

• Simulation numérique directe : Squire et Eaton, Reade et Collins, Simonin et Fede, Bec at al, etc. => limitation forte par rapport au nombre de Reynolds mais possibilité d'étudier finement l'influence de l'inertie des particules.

• Travaux théorique de Bec et al, 2006 : analyse asymptotique dans le cas de particules très inertielles : turbulence processus -corrélé temporellement ; approche basée sur l'étude du système différentiel stochastique vérifié par la position et la vitesse relatives de deux particules.

• Travaux théoriques de L. Zaichik et V. Alipchenkov (2003) : dérivation d'une équation d'évolution pour la distribution de paires de particules dans une THI.

Nombreuses questions encore ouvertes ; en particulier une théorie quantitative de l'influence du nombre de Stokes et de la forme du spectre de la turbulence.

32

3. Turbophorèse

On considère pour finir le cas d'un écoulement inhomogène, dans lequel l'intensité de la turbulence varie fortement sur une distance comparable à l'échelle de longueur intégrale locale (f). C'est le cas par exemple dans une couche limite turbulente au voisinage d'une paroi. On observe alors que: • les particules ont tendance à migrer dans la direction opposée au gradient d'énergie cinétique turbulente et à s'accumuler près de la paroi; • l'intensité du phénomène dépend fortement (et de manière complexe) de l'inertie des particules.

Vitesse moyenne de dérive des particules

33

3. Turbophorèse

Résultats expérimentaux

Définition de + et Vd+ :

Vitesse de frottement

34

3. Turbophorèse

Travaux récents en rapport avec le problème de turbophorèse

• Extension de l'équation de Langevin au cas des écoulements inhomogènes. Première difficulté : il faut au moins que l'équation soit correcte dans le cas limite d'un traceur passif ! (voir notamment MacInnes & Bracco, Phys. of Fluids, 1992 et l'ensemble des Travaux de Pope sur la modélisation lagrangienne de la turbulence).

• Nombreux modèles phénoménologiques pour la vitesse moyenne de diffusion par turbophorèse, permettant de rendre compte au moins qualitativement des observations expérimentales, mais ne reposant pas sur une justification rigoureuse, ni même sur une dérivation formelle à partir d'équations plus fondamentales.

35

Merci de votre attention …….

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