Modelisation Des Mecanismes1

7/23/2019 Modelisation Des Mecanismes1

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Lyce Michelet - Vanves Page 1 /23

CPGE - Sciences de lIngnieur - Chapitre 5 PCSI

Modlisation des mcanismes Cours

Comptences vises: B2-10, B2-11, B2-12, B2-21,B2-22, C2-11, C2-12, F1-06, F2-07

v1.1

Lyce Michelet 5 Rue Jullien - 92170 Vanves - Acadmie de Versailles

Comptences vises :

B2-10 Paramtrer les mouvements dun solide indformable

B2-11 Associer un repre un solide

B2-12 Identifier les degrs de libert dun solide par rapport un autre solide

B2-21 Proposer une modlisation des liaisons avec une dfinition prcise de leurs caract. gomtriques

B2-22 Associer le paramtrage au modle retenu

C2-11 Dterminer la loi entre - sortie gomtrique dune chane cinmatique

C2-12 Dterminer les relations de fermeture de la chaine cinmatique

F1-06 Lire et dcoder un schma

F2-07 Raliser un schma cinmatique


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CPGE PCSI - S2I Modlisation des mcanismes Cours

Sommaire

1 Prambule 4

2 Hypothses Dfinitions 4

2.1 Les solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Les contacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Contact ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Contact linique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Contact surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Degrs de libert autoriss par un contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.1 Repres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2 Paramtres de position dun solide dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.3 Degrs de libert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Liaisons normalises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.1 Hypothses de modlisation des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.2 Liaisons lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4.3 Liaisons composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.4 Tableau des liaisons normalises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Modlisation cinmatique dun mcanisme 12

3.1 Classes dquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2 Rgles respecter pour la dtermination des classes dquivalence. . . . . . . . 13

3.2 Graphe de liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.2 Mthode de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Reprsentation dun modle : le schma cinmatique 17

4.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Mthode de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17


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5 Modlisation plane 17

5.1 Dfinition du mouvement plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 Modles de liaisons planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 Schma cinmatique dune modlisation plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Analyse gomtrique dun mcanisme 19

6.1 Construction gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.2 Paramtrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.3 Loi entre-sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.3.1 Aspect angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.3.2 Aspect linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.3.3 Mthodologie : obtenir une loi entre-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Conclusion 21

8 Annexe : vecteurs, projections et produit scalaire 21

8.1 Dfinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2 Reprage des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2.2 Base orthonorme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2.3 Expression dun vecteur dans diffrents repres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.3.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.3.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8.3.3 Expression analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.3.4 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.4 Changement de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


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1 Prambule

De nombreuses performances dun systme sont lies ses mouvements, la manire dont ceux-cisont obtenus. Ltude ou le dimensionnement de ces systmes mcaniques ncessite la mise en placedune modlisation de lassemblage de pices entre elles.

Lobjectif du chapitre est de montrer les outils permettant de modliser des systmes mcaniquespour ensuite pouvoir mener diffrentes tudes partir de ce modle. Un tel modle pourra tre implantdans un logiciel de simulation pour prvoir le comportement du mcanisme et valider le cahier descharges ou pour amliorer ses performances.

2 Hypothses Dfinitions

2.1 Les solides

Considrons un systme constitu dun seul lment (par exemple, une hlice). Ltape fondamentalede la modlisation consiste choisir lchelle laquelle le mouvement de llment sera tudi. Plusieurschoix dchelles sont alors possibles :

on peut considrer les atomes (ou les lments microscopiques) qui constituent cet lment(exemple : matriau composite fibres de carbone et rsine thermodurcissable) ;

on peut considrer que la matire est continue et que llment peut se dformer, se casser(domaine de la Mcanique des Milieux Continus - niveau cole dingnieur) (exemple : fissuration,rupture des fibres, dommages de la rsine . . . ) ;

on peut tudier la dformation uniquement dans une direction privilgie (rsistance des mat-riaux - flexion des pales) ;

on peut enfin considrer que la matire est continue mais que llment ne se dforme pas (domainede la mcanique du solide indformable).

Matriau composite Fissure dans un matriau Flexion des pales

Dans tout ce cours, on fait lhypothse que les lments tudis ne se dforment pas.

Dfinition Solide indformable

On dfinit donc un solide indformable par un ensemble de points dont la distance entre euxne varie pas au cours du temps :

A

S,

B

S,

AB

=cste

t


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Remarque

Un solide est, par dfinition, un ensemble de points matriels (point + masse). On confond dansce cours, solide et solide indformable.

Modliser un systme revient proposerunereprsentation simplifie de la ralit, afin de ne faireapparatre que les proprits indispensables pour ltude considre. Il peut donc, pour un systmedonn, y avoir plusieurs modlisations.

2.2 Les contacts

Lorsquun systme est constitu de plusieurs solides indformables, certains sont en contact ; on ditalors quils sont en liaison les uns avec les autres.

Dfinition Liaison entre solides

Une liaison entre deux solides est une relation de contact entre ces deux solides.

Ce contact est caractris par sa gomtrie (point, droite, arc de cercle, plan...) et par les mouve-ments relatifs quil autorise.

Lanalyse des liaisons se fait toujours en considrant la nature des surfaces de contact. Si uncontact change de nature, la liaison change et le modle dfini nest alors plus valable.

Remarque

Dun point de vue physique, les zones de contact relles entre deux solides sont surfaciques. Par

contre, la modlisation par solides rigides des pices relles introduit la notion de zone de contactponctuelle et linque.

2.2.1 Contact ponctuel

Dfinition Contact ponctuel

Deux solidesS1et S2sont en contact ponctuel si lintersection de leur reprsentation gomtriqueest un point.

Exemple : contact sphre/sphre, sphre/plan, cne/plan, cylindre/cylindre...

Sphre sur plan Sommet de cnes Cylindres axesorthogonaux

Figure 1 Exemples de contacts ponctuels


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2.2.2 Contact linique

DfinitionContact linique

Deux solidesS1et S2sont en contact linique si lintersection de leur reprsentation gomtriqueest une ligne.

En pratique, on se limitera deux type de lignes : la droite (contact linique rectiligne) et le cercle(contact linique circulaire).

Exemple : contact cylindre/plan, sphre/cylindre, dentures dengrenages ...

Cylindre axesparallles

Cylindre sur plan Arte sur arte Sphre dans uncylindre

Engrenages

Figure 2 Exemples de contacts liniques

2.2.3 Contact surfacique

Dfinition Contact surfaciqueLe cas gnral est davoir autour dun point A, pour deux solides S1et S2, deux surfaces qui ontla mme forme gomtrique en contact. S1et S2 peuvent avoir en commun une surface qui peuttre gauche ou plane.

Exemple : contact plan/plan, arbre/alsage de mme diamtre, sphre dans sphre...

Plan sur plan Arbre dans alsage Sphre dans sphre

Figure3 Exemples de contacts surfaciques

2.3 Degrs de libert autoriss par un contact

2.3.1 Repres

Pour caractriser la taille et la position des lments dun systme, il est ncessaire de dfinir un

(ou plusieurs) repre qui sera attach un rfrentiel donn.


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Dfinition Repre

Un repre est constitu dune origine et dune base orthonorme b constitue de 3 axes. Ainsi,R0= (O0,

x0,y0,z0) = (O0, b1)est le repre dorigine O0et de base b1.

z1x1y1

O1

tudier le mouvement dun solide S1 par rapport un solide S0 munidun repre R0revient ltudier par rapport ce repre :

MvtS1/S0 =MvtS1/R0

On distingue plusieurs types de repres pour exprimer la position dun point dans lespace (Figure4). Le repre cartsien est le plus utilis car le plus simple mettre en uvre. Le repre cylindriqueest utile quand on veut mettre en vidence une rotation. Le repre sphrique est surtout utilis lorsque

lon a trois rotations.

Figure4 Expressions dun point Mdans un repre partir des 3 types de coordonnes

2.3.2 Paramtres de position dun solide dans lespace

y0

z0

x0O0

z1x1y1

O1

Afin de positionner un solide dans lespace, il est n-cessaire de connatre le nombre de paramtres ncessaires

au positionnement dun solide S1 par rapport un rf-rentiel S0 muni dun repre R1(O0, b0). Le solide S1 estmuni dun repre R1(O1, b1).

Il est usuel en mcanique de considrer :

les trois coordonnes du point origine du repreR1 dans le repre R0dfinissant 3 translations;

les trois angles qui dfinissent la position de la base du repre R1 par rapport celle du repreR0, dfinissant 3 rotations.

Quand un angle est dfini, on lui associe une figure de calcul ou figure gomtrale (ou figure plane)

permettant de raliser facilement des projections (cf. Annexes).


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2.3.3 Degrs de libert

DfinitionDegrs de libert

6 paramtres sont donc ncessaires pour reprer un solide par rapport un autre solide. On parlededegrs de libert.

3 Rotations 3 Translations

Rx, rotation daxe (A,x) Tx, translation daxex

Ry, rotation daxe (A, y) Ty, translation daxe y

Rz, rotation daxe (A, z) Tz , translation daxe z

Table1 Possibilits de mouvement dun solide dans lespace

Ces possibilits de mouvement sont notes gnralement dans un tableau deux colonnes appel tableau des degrs de libert :

Rx Tx

Ry Ty

Rz Tz

Dfinition

Une liaison entre deux solides supprime des degrs de libert.

Pour caractriser ces liaisons, on dfinit un repre local R (A,x , y ,z) partir des caractristiquesgomtriques des contacts (point, droite, centre, axe, normale...).

(1)

(2)

#x

#yA

#z

(1)

(2) A

#z

#x

#y

(1)

(2)

#x

#y

A

#z

Figure5 Nature du contact et repre local associ

Ce repre est ensuite associ chaque solide. On dtermine alors lespossibilits de mouvementsautoriss entre les solides (dun repre par rapport lautre), sans changer la nature du contact.

Le nombre de degrs de libert dune liaison entre deux solides est le nombre de mouvementsrelatifs indpendants que la liaison autorise entre ces deux solides sans changer la nature ducontact. Ce nombre est gal au plus 6. Sil est gal 0, la liaison est appele liaison encastrement.Sil est gal 6 la liaison est dite libre.

DfinitionMcanisme

Un mcanisme ou systme mcanique est un ensemble de solides relis entre eux par des liaisons.

Application : voir TD0 - Systme dorientation de phare - Q1


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2.4 Liaisons normalises

2.4.1 Hypothses de modlisation des liaisons

Les liaisons courantes rencontres en mcanique sont normalises par lAFNOR. Un nom et uneschmatisation sont associs chaque liaison. Ces liaisons sont considres comme gomtriquementparfaites, cest dire quelles vrifient les hypothses suivantes :

les pices mcaniques sont des solides indformables;

les surfaces sont gomtriquement parfaites (Figure6) ;

les jeux sont nuls (Figure 7) ;

le type de contact reste le mme au cours du mouvement.

Rel

S1

S2

Modle

S1

S2

Figure 6 Surface relle (avec des dfautsamplifis) et modle associ

S1

S2

RelS1

S2

Modle

Figure 7 Guidage rel avec jeu (avec desdfauts amplifis) et modle associ

La liaison parfaite est donc une liaison thorique tant dun point de vue gomtrique que dun pointde vue de la nature physique du contact.

2.4.2 Liaisons lmentaires

Une liaison lmentaire entre deux solides S1 et S2 est obtenue partir du contact dune surfacegomtrique lmentaire lie S1 sur une surface gomtrique lmentaire lie S2. Les surfacesgomtriques lmentaires obtenues partir des principaux procds dusinage sont :

le plan (par fraisage, tournage, lamage);

le cylindre (par tournage, perage, alsage) ;

et la sphre (par tournage).

Le Tableau2 donne les diffrentes combinaisons de surfaces et les noms de 6 liaisons normalises :

contact plan/sphre : liaison ponctuelle ou liaison sphre-plan ;

contact plan/cylindre : liaison linaire rectiligne ou liaison cylindre-plan;

contact plan/plan : liaison appui plan ;

contact cylindre/sphre : liaison linaire annulaire ou liaison sphre-cylindre ;

contact cylindre/cylindre : liaison pivot glissant ;

contact sphre/sphre : liaison rotule ou liaison sphrique.


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(a) Tournage : rotation de lapice, translation de loutil

(b) Fraisage : rotation et transla-tion de loutil

Figure 8 Obtention des surfaces de contact par usinage

Plan Cylindre Sphre

Sphre

Cylindre

Plan

Table2 Association de surfaces lmentaires

2.4.3 Liaisons composes

Une liaison compose est obtenue par association cohrente de liaisons lmentaires. Le tableauTableau3 donne quelques associations possibles.

Encastrement Pivot Glissire Sphrique doigt

Table3 Liaisons composes


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Nom de laliaison

Caractristiquesgomtriques

Degrsde

libert

Schmaspatial

(3D)

Schma(s)plan(s)

(2D)

Mouvement(s)possible(s)

Appui plan Normale au planz 3 ddl2

1

#y

#z

#x

M

2

1#y

#z

#x

M

0 Tx

0 Ty

Rz 0

Sphrecylindre Centre de la

sphreADirectionx

4 ddl

1

2

#z

#x #y

A 2

1

#y

#z

A

#x

2

1

#x

#z

A

#y

Rx Tx

Ry 0

Rz 0

EnA

Sphre planPoint de contact A

Normale au planz5 ddl

2

1

#y

#z

#x

A

1

2

#y

#z

#x

A

Rx Tx

Ry Ty

Rz 0

Sphrique doigt

Centre de lasphreA

Normale au planxDirection du doigt

z

2 ddl 1

2

A

#y

#z

#x

1

2

A

#y

#z

#x

Rx 0

0 0

Rz 0

Linairerectiligne

(oucylindre

plan)

Droite de contact(A,x)

Normale au planz4 ddl

2#x

#y

#z1

A

2

1

#y

#z #x

A

2

#x

#z

#y

1

A

Rx Tx

0 Ty

Rz 0

Table4 Tableau des liaisons normalises

3 Modlisation cinmatique dun mcanisme

Comme on a pu le voir prcdemment, un mcanisme est un ensemble de pices mcaniques (solides)relies entre elles par des liaisons.

La dfinition dun modle du mcanisme ncessite la mise en place :

des classes dquivalence ou groupes de pices sans mouvement relatif ;

des liaisons entre ces classes dquivalence.


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(a) Assemblage par systme vis+crou

(b) Blocage en rotation par clavette, blocage en translation par crou encoche

(c) Blocage en translation par anneau lastique circlips

Figure10 Exemples dassemblages de pices entre elles (liaison encastrement)

3.2 Graphe de liaisons

3.2.1 Dfinition

Dfinition Graphe de liaisons

Le graphe de liaisons est une reprsentation graphique qui rpertorie les classes dquivalence etles modles de liaisons entre celles-ci (exemple Figure11). Dans ce graphe :

chaque classe dquivalence cinmatique est reprsente par un cercle dans lequel le nom dela classe est indiqu ;

chaque liaison est indique par un arc trac entre deux classes dquivalence. Pour chaqueliaison, son nom et ses caractristiques gomtriques sont indiqus.


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4 Reprsentation dun modle : le schma cinmatique

4.1 Description

Le schma cinmatique dun mcanisme est une figure plane ou spatiale qui permet :

daider la comprhension du fonctionnement du mcanisme;

de mener des tudes thoriques (gomtriques, cinmatiques, dynamiques...).

Le schma cinmatique est une reprsentation du graphe des liaisons au moyen des symboles desliaisons normalises. Il doit tre reprsentatif du mcanisme rel.

4.2 Mthode de construction

choisir une reprsentation adapte en utilisant les figures ou les vues donnes (2D : choix daxesreprsentatifs ou 3D perspective isomtrique en gnral) ;

choisir une couleur par classe dquivalence et mettre ces couleurs sur le graphe des liaisons ;

mettre en place les points, les axes, les normales... mis en vidence sur le graphe des liaisons enles positionnant comme sur les images donnes du mcanisme (photo, reprsentation volumique) ;

mettre en place les symboles normaliss des liaisons autour de ces points, de ces axes en utilisantles caractristiques des liaisons pour les dplacer si ncessaire (utiliser obligatoirement les deuxcouleurs des classes dquivalence identifies) ;

relier les sorties des symboles pour reconstituer les classes dquivalence (relier les couleurs entreelles) en respectant le paralllisme. Reporter les numros des classes dquivalence si besoin sur

le schma. Utiliser le symbole du bti (pice fixe) plusieurs endroits si ncessaire .

Remarque

Certaines liaisons peuvent tre regroupes en une seule liaison normalise (on parle de liaisonsquivalentes). Dans ces conditions, le schma cinmatique est simplifi, on parle de schma cinmatiqueminimal. Le graphe des liaisons correspondant est alors dit minimal.

Application : voir TD0 - Systme dorientation de phare - Q3

5 Modlisation plane

5.1 Dfinition du mouvement plan

DfinitionMouvement plan

Le mouvement dun solide S2par rapport un solide S1est dit plan si il existe un plan 2li

S2qui reste concident avec un plan 1li S1au cours du mouvement.


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Exemple : essuie-glace Mercedes

Les plans reprsents par des cadres sur la figure ci-dessus concident entre eux au cours du mou-vement.

Consquences : le paramtrage du solide S2 par rapport au solide S1 ne ncessite que 3 paramtres(positionnement dun point dans un plan ou dans lespace) :

2 translations dans le plan ;

1 rotation daxe perpendiculaire au plan (on parle darticulation en un point donn dans cesconditions).

5.2 Modles de liaisons planes

Dans le cas dun mouvement plan, compte tenu des mouvements possibles, on distingue :

la liaison glissire qui permet un mouvement de translation (ci-dessous, le symbole dans le plande la liaison glissire daxex)

1

#x

2

#y#

z

la liaison pivot qui permet un mouvement de rotation (daxe perpendiculaire au plan), on parlegnralement darticulation en un point (ci-dessous, le symbole dune liaison pivot daxe ortho-gonal au plan du mouvement)

2

1 #

x

#y

#z

la liaison sphre-plan qui permet la fois un mouvement de translation dans le plan et unmouvement de rotation daxe perpendiculaire au plan (ci-dessous, le symbole dans le plan duneliaison sphre-plan permettant une translation suivant laxex)

1

2

#x

#y

#z


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7 Conclusion

Ltude gomtrique est pertinente mais souvent insuffisante pour caractriser un systme. Engnral, les actionneurs (moteurs, pompe...) permettent de dfinir non pas des distances ou des anglesmais plutt des vitesses. Cest pourquoi il sera ncessaire pour bien caractriser un systme mcaniquedtudier sa cinmatique ou sa dynamique (cf. chapitre 7).

8 Annexe : vecteurs, projections et produit scalaire

Les thories de la mcanique utilisent des grandeurs qui peuvent mathmatiquement tre reprsen-tes par des vecteurs (vitesse, position, acclration, force...). Ces vecteurs sont des lments despacesvectoriels euclidiens sur R de dimension 3 not (E). Les grandeurs vecteurs sont intrinsques, elles sontindpendantes de la base dans laquelle elles sont reprsentes. Ces espaces sont munis doprations

dfinies ci-dessous.

8.1 Dfinitions

Soient deux points Aet B. (A, B)est appel un bipoint. Un bipoint est dfini par son origine A,son sens (de Avers B), sa direction (droite (AB)) et sa norme (distance de A B).

Un vecteur est lensemble des bipoints quipollents (parallles, mme sens, mme norme) au bipoint(A, B).

A

#

V

B (D)Norm

e

#

V#

V

Pour le vecteur, on dfinit :

son support : la droite (D) = (AB)

le sens : de Avers B

sa norme : la distance de AversB , noteV

.

8.2 Reprage des vecteurs

8.2.1 Base

x

z

y

Lassociation de trois vecteurs indpendants forme une base b de (E),not (x , y ,z). Tout vecteur Vse dcompose de manire unique sur cettebase :

V =vxx + vyy + vzz

8.2.2 Base orthonorme directe

On utilisera en Sciences de lIngnieur des bases orthonormes directes(x , y ,z), cest--dire des vecteurs orthogonaux, de mme norme gale 1.

La base est directe si elle vrifie la rgle de la main droite .


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s2i.pinault-bigeard.com Daprs: A. CAIGNOT - J-M. CHATEAU - N. MALESYS - S. GERGADIER - D. VIOLEAU


8.3.3 Expression analytique

u

p

V

Dans une base orthonorme (x , y ,z), on peut montrer quele produit scalaire entreu etv est dfini par la relation entreles coordonnes :

u v =uxvx+ uyvy+ uzvz

8.3.4 Interprtation gomtrique

Soitp la projection vectorielle dun vecteurVsur une droite de vecteur directeuru ( unitaire )alors : p = (V u).u

8.4 Changement de bases

Dans la pratique, la lecture de figure spatiale tant dlicate, on se ramne toujours des figuresplanes. Dans la plupart des cas, le passage dune base une autre est ralis parune rotation plane.

x1

y1

z1= z2

x2y2

Pour faciliter le calcul des projections, on utilise des figures go-mtrales appeles aussi figures de projection ou figures de calcul oufigures de changement de bases.

Attention

Ces figures seront toujours ralises avec des angles positifsproche de 20, le vecteur commun aux deux bases tant perpen-diculaire la feuille toujours dirig vers le lecteur de la figure.

Les projections des diffrents vecteurs sont ( connatre par cur et savoir retrouver !) :

x2= cos .x1+ sin .y1 y2= cos .y1 sin .x1x1= cos .x2 sin .y2 y1= cos .y2+ sin .x2

Pour viter toute erreur, il est utile de vrifier ses formules de projection en = 0 et = 90.

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