Modélisation DC et AC des alimentations à découpage

CD:\SE\Chap11.doc M. Correvon

SYSTEMES ELECTRONIQUES

Chapitre 11

Modlisation DC et AC des alimentations dcoupage

T A B L E D E S M A T I E R E S

PAGE 11. MODELISATION DC ET AC DES ALIMENTATIONS A DECOUPAGE..................................................1

11.1 MODLISATION DC.................................................................................................................................................1 11.1.1 Gnralits ...................................................................................................................................................1 11.1.2 Dfinition du modle DC dun transformateur ..........................................................................................1 11.1.3 Exemple 1 .....................................................................................................................................................4 11.1.4 Exemple 2 ...................................................................................................................................................10 11.1.5 Exemple 3 ...................................................................................................................................................15

11.2 MODLISATION AC...............................................................................................................................................20 11.2.1 Introduction................................................................................................................................................20 11.2.2 Moyenne glissante du courant et de la tension pour une inductance ......................................................22 11.2.3 Moyenne du courant et de la tension pour un condensateur ...................................................................24 11.2.4 Linarisation des quations diffrentielles................................................................................................26 11.2.5 Montage abaisseur de tension (Buck) .......................................................................................................29 11.2.6 Montage lvateur de tension (Boost).......................................................................................................33 11.2.7 Montage stockage inductif (Buck - Boost) .............................................................................................37 11.2.8 Fonction de transfert des alimentations dcoupage de base en conduction continue.........................41 11.2.9 Modle des alimentations dcoupage sous forme canonique ...............................................................43 11.2.10 Exemple : Modle canonique dune alimentation stockage inductif ....................................................46 11.2.11 Synthse de la forme canonique des alimentations dcoupage tudies..............................................49

Bibliographie

MODELISATION DC ET AC DES ALIMENTATIONS A DECOUPAGE

11. MODELISATION DC ET AC DES ALIMENTATIONS A DECOUPAGE

Page 1

CD:\SE\Chap11.doc

11.1 MODLISATION DC

11.1.1 Gnralits Dans ce paragraphe, nous allons tenter de modliser les diverses alimentations dcoupage tudies aux cours de Systmes lectroniques par des circuits quivalents. Cette modlisation du mode de conduction continu doit permettre de calculer les tensions et courants moyens pour chaque maille, respectivement chaque nud du circuit. De plus il est primordial de dfinir les pertes et par consquent le rendement du systme pour un point de fonctionnement donn. Afin de facilit lanalyse dun circuit, il est judicieux dignorer les ondulations de courant dans les inductances et les ondulations de tension aux bornes des capacits pour ne tenir compte que de la composante continue (DC) des signaux. Lintroduction du transformateur DC est utilise pour modliser le comportement idal des alimentations dcoupage. Ce modle, trs simple doit donner une reprsentation correcte des relations liant tensions et courants. Le modle peut galement tre ralis en tenant compte des pertes telles que les chutes de tension dans les semiconducteurs, les pertes cuivre des inductances, etc

11.1.2 Dfinition du modle DC dun transformateur Comme le montre la Figure 11-1 nimporte quelles alimentations dcoupage contient trois parties principales, une entre, une sortie et une commande. Lentre, contrle par une commande est transforme afin de rpondre aux critres de la charge. Dans le cas idal, cette transformation est ralise sans pertes, cest--dire avec un rendement de 100%. On peut donc crire

outin PP = 11.1 ou

SSEE IUIU = 11.2 Ces relations sont utilisables quen rgime permanent. Durant les transitoires, lnergie fournie lentre peut tre en partie stocke dans lalimentation a dcoupage et donc les relations 11.1 et 11.2 ne sont plus applicables.

UE USAlimentation dcoupage

D

IE IS

Entre

Commande

Sortie

Figure 11-1 : Phase de transfert d'nergie

MODELISATION DC ET AC DES ALIMENTATIONS A DECOUPAGE Page 2

CD:\SE\Chap11.doc

L'tude des alimentations dcoupage inductance simple, a dmontr quil existe une relation liant la tension dentre la tension de sortie, ceci en fonction du rapport cyclique D. On peut exprimer cette relation sous la forme

ES UDfU = )( 11.3 o f(D) reprsente la fonction de conversion en rgime permanent. Par exemple f(D)=D pour le montage abaisseur de tension (Buck), f(D) = 1/(1-D) pour le montage lvateur de tension (Boost) et f(D) = -D/(1-D) pour le montage stockage inductif (Buck Boost). De faon gnrale, pour les alimentations dcoupage idales travaillant en mode de conduction continue et en rgime permanent, il peut tre montr que le rapport de conversion f(D) est indpendant de la charge. En substituant la relation 11.3 dans la relation 11.2, on peut galement crire

SE IDfI = )( 11.4 Les relations 11.3 et 11.4 montrent que les alimentations dcoupage pourraient tre modlises par lutilisation de sources dpendantes.

UE US

IE IS

f(D)IS f(D)UEEntre Sortie

Figure 11-2 : Modlisation par des sources dpendantes

Un modle quivalent tenant mieux compte des proprits physiques des alimentations dcoupage peut tre obtenu en utilisant les relations 11.1 11.4 qui concident avec les quations rgissant le comportement du transformateur idal. En effet dans un transformateur idal, la puissance fournie lentre de celui-ci se retrouve la sortie (relations 11.1 et 11.2). De mme il existe une relation entre la tension dentre et la tension de sortie sous forme dun rapport de transformation constant et indpendant de la charge (relation 11.3). Finalement, le rapport entre le courant de sortie et le courant dentre est le mme que pour les tensions (relation 11.4)

UE US

IE IS

Entre Sortie

Commande

D

1 : f(D)

Figure 11-3 : Transformateur DC idal


CD:\SE\Chap11.doc

Ce symbole reprsente la transformation DC idale des tensions et courants avec un rendement de 100% et donc le rapport de transformation est commandable laide du rapport cyclique D. La ligne solide horizontale indique que cet lment est idal et permet la transformation de grandeurs continues. Les rgles dutilisation et de simplification des circuits contenant des transformateurs peuvent tre sans autres utiliss pour la modlisation des alimentations dcoupage. Comme exemple, considrons le montage de la Figure 11-4 (a) dans lequel une rsistance de charge R est connecte la sortie de lalimentation dcoupage, et la source est modlise par une source quivalente de Thvenin constitue dune source de tension idale U1 et dune rsistance R1. Lalimentations dcoupage est remplace par le modle du transformateur DC (Figure 11-4 (b)). La source de tension U1 et la rsistance R1 peuvent ensuite tre ramene au secondaire du transformateur en multipliant la valeur de la tension de source par le rapport de transformation f(D) et en multipliant la valeur de la rsistance R1 par le rapport de transformation au carr f2(D). Le circuit peut maintenant tre analys. La relation suivante donne

121 )(

)(RDfR

RUDfU S += 11.5

Il apparat donc vident que lutilisation dun transformateur DC est un puissant outil pour lanalyse et la comprhension des rseaux contenant des alimentations dcoupage.

UE US

R1

RAlimentation dcoupageU1

D (a)

UE US

1 : f(D)R1

RU1

(b)

f2(D)R1

Rf(D)U1 US

(c)

Figure 11-4 : Exemple dutilisation du transformateur DC


CD:\SE\Chap11.doc

11.1.3 Exemple 1

11.1.3.1 Insertion des pertes cuivre dans linductance dun montage lvateur de tension La modlisation par transformateur DC peut tre tendue aux autres proprits des alimentations dcoupage. En effet il peut tre ncessaire dintroduire une source de tension non idale en insrant sa sortie une rsistance ou encore tenir compte des pertes cuivre dune inductance. Comme exemple, considrons les pertes globales de linductance place dans un montage lvateur de tension. Pratiquement cette inductance est le sige de deux types de pertes Les pertes cuivre dues la rsistivits du fils de cuivre utilis pour le bobinage Les pertes fer dues la surface du cycle dhystrse ainsi que les pertes dues la

circulation dun courant de Foucault dans le circuit magntique Un modle intgrant les pertes cuivre est donn la Figure 11-5. Linductance relle peut tre reprsente par une inductance idale en srie avec une rsistance correspondant la rsistance du fils du bobinage.

L r

Figure 11-5 : Inductance avec insertion des pertes cuivre

Le modle de linductance est ensuite insr dans le montage lvateur de tension.

U uC

L r

iC

C

i

R

Figure 11-6 : Montage lvateur de tension avec pertes cuivre dans linductance

Le circuit peut maintenant tre analys en utilisant le principe de la valeur moyenne de tension nulle aux bornes de linductance, de la valeur moyenne de courant nulle dans le condensateur et en ngligeant en premire approximation londulation de tension aux bornes du condensateur et l'ondulation de courant dans l'inductance. En dcomposant le circuit en deux topologies en fonction de lintervalle de conduction des contacteurs statiques, on obtient

11.1.3.2 Analyse du circuit par la mthode classique

Pour lintervalle de temps 0 < t DTp


CD:\SE\Chap11.doc

U uC

L r

iC

C

i=iL

R

iR

Figure 11-7 : 0 < t DTp

En valeur instantane, on peut crire

rtiUtuR

tutiti

L

CRC

=

==

)()(

)()()( 11.6

Et en faisant lhypothse que i(t) I et uC(t) UC

rIUtuRUti

L

CC

=

=

)(

)( 11.7

Pour lintervalle de temps DTp < t Tp

U uC

L r

iR

C

i=iL

R

iC

Figure 11-8 : DTp < t Tp

En valeur instantane, on peut crire

)()()(

)()()(

turtiUtuR

tutiti

CL

CC

=

= 11.8

Et en faisant lhypothse que i(t) I et uC(t) UC

CL

CC

UrIUtuR

UIti

=

=

)(

)( 11.9

En utilisant le principe des valeurs moyennes pour la tension aux bornes de linductance et du courant moyen dans le condensateur


CD:\SE\Chap11.doc

0)()1()()(

0)()1()()(

0

0

=+==

=+

==

C

T

LL

CCT

CC

UrIUDrIUDdttuU

RUID

RUDdttiI

P

P

11.10

Et aprs simplification

0)1(

0)1(

=

=

CUDrIURUID

11.11

De cette dernire relation, on peut crire

RrD

DU

UC

+

=

2)1(

)1( 11.12

avec une valeur maximale pour RrD = 1 , soit

rR

UU

MAX

C =21 11.13

La Figure 11-9 illustre le rapport UC/U pour diverses valeurs de RL/R

UC/U=f(D,r/R)UC/U

D0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

r/R=0.001

r/R=0.005

r/R=0.01

Figure 11-9 : Caractristique statique UC/U = f(D) en conduction continue


CD:\SE\Chap11.doc

11.1.3.3 Construction dun modle quivalent Dfinissons le modle utilisant le transformateur DC quivalent, ceci en tenant compte des pertes cuivre. Des relations du paragraphe prcdent, nous en retiendrons deux afin de crer le modle quivalent que nous cherchons

11.1.3.3.1 Tension aux bornes de linductance La relation qui nous intresse est celle dune maille que nous pouvons crire sous la forme

CL UDrIUU == )1(0 11.14 Le circuit quivalent de cette relation peut tre dessin sous la forme suivante

UL=0V

r

IU (1-D)UC

Figure 11-10 : Circuit quivalent dentre

11.1.3.3.2 Courant dans le condensateur La relation qui nous intresse est celle du nud contenant une borne du condensateur

RUIDI CC == )1(0 11.15

Ce qui donne le circuit quivalent suivant

IC=0A

(1-D)I UC R

Noeud

Figure 11-11 : Circuit quivalent de sortie

11.1.3.3.3 Circuit quivalent Le pas suivant est la combinaison des Figure 11-10 et Figure 11-11 pour former un seul circuit.


CD:\SE\Chap11.doc

r

IU (1-D)UC (1-D)I UC R

Figure 11-12 : Circuit quivalent de llvateur de tension

Le circuit peut encore tre simplifi en utilisant le fait que les sources dpendantes de tension et de courant constituent un transformateur DC idal. La source dpendante de tension (1-D)UC dpend de la tension de sortie UC aux bornes de la source dpendante de courant. De mme la source dpendante de courant (1-D)I dpend du courant circulant dans la source dpendante de tension. Dans les deux cas, le coefficient de dpendance est identique et vaut (1-D). Le fait que la source de tension apparaisse au primaire plutt quau secondaire na aucune importance. La Figure 11-13 montre le circuit quivalent rsultant. A noter que le rapport de transformation du transformateur DC idal est invers par rapport celui dfini la Figure 11-3.

U RUC

(1-D) : 1r

Figure 11-13 : Circuit quivalent du modle du montage lvateur de tension (Boost)

Ce circuit quivalent peut tre modifi. On peut par exemple rapporter les lments du primaire au secondaire pour finalement obtenir le circuit de la Figure 11-14.

U/(1-D) RUC

r/(1-D)2(1-D)I

Figure 11-14 : Circuit quivalent simplifi du modle du montage lvateur de tension (Boost)

11.1.3.3.4 Caractristique statique Avec ce circuit quivalent simplifi, il devient facile de dterminer la caractristique statique UC/U = f(D,r,R).


CD:\SE\Chap11.doc

RrD

DU

DrR

RD

UUC+

=

+

=2

2 )1(

)1(

)1(1

11.16

Ce rsultat est identique celui dfini par la relation 11.12. Le circuit peut galement tre rapport au primaire afin de dterminer le courant moyen circulant dans linductance L. Dans ce cas, on peut crire la relation

RDrUI

+= 2)1(

11.17

11.1.3.3.5 Rendement Le circuit quivalent permet galement de calculer le rendement de lensemble en conduction continue.

)1()1( DUU

IUIDU

PP CC

E

S =

== 11.18

En substituant UC/U par la relation 11.16, on obtient finalement

RrD

DPP

E

S

+

==

2

2

)1(

)1( . 11.19

La Figure 11-12 illustre le rendement du montage lvateur de tension pour diverses valeurs du rapport r/R.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 [%]

D

r/R=0.001

r/R=0.005

r/R=0.01

Figure 11-15 : Rendement en conduction continue


CD:\SE\Chap11.doc

On voit que le rendement maximum est fortement diminu en fonction du rapport entre la rsistance srie quivalente de l'inductance et la rsistance quivalente de la charge. Dans la ralit, il faudra encore tenir compte des pertes de commutation et de conduction des semiconducteurs de puissance.

11.1.4 Exemple 2

11.1.4.1 Insertion des pertes de conduction des semiconducteurs dans un montage lvateur de tension.

Dans cet exemple, on considre un montage lvateur de tension dans lequel on intgre les pertes de conduction des semiconducteurs en prsence. La chute de tension aux bornes dun MOSFET ou dun transistor bipolaire peut tre modlise par une rsistance de passage Ron. Par contre pour une diode ou un IGBT une source de tension UD plus une rsistance de passage RD conduiront une meilleure prcision du modle. Dans ce dernier cas, la rsistance de passage peut tre omise si lalimentation dcoupage travaille sur un point de fonctionnement. En admettant lutilisation dun MOSFET, on obtiendra la structure dfinie la Figure 11-16

U uQ uC

L(r)

QR

i iD

iCiRD

C

iQ

Figure 11-16 : Montage lvateur de tension

11.1.4.1.1 Intervalle de temps 0 < t DTp Lorsque le transistor MOSFET est ferm, la diode se trouve polarise ngativement et le circuit se rsume la forme illustre la Figure 11-17

r

U uCRon

L

RC

i

iC


Dans cet intervalle, on peut crire les relations

RU

Rtuti

RIrIURtirtiUtu

CCC

ononL

==

=)()(

)()()( 11.20


CD:\SE\Chap11.doc

11.1.4.1.2 Intervalle de temps DTp < t Tp Lorsque le transistor est ouvert, la diode se trouve polarise dans le sens passant et le circuit se rsume la forme illustre la Figure 11-18

r

U

RDi L

uC RCiC

UD


Dans cet intervalle on peut crire les relations

RUI

Rtutiti

URIUrIUtutiRUrtiUtu

CCC

CDDCDDL

==

=)()()(

)()()()( 11.21

11.1.4.1.3 Circuit quivalent dentre En moyennant les relations 11.20 et 11.21 des deux intervalles de commutation du MOSFET pour la tension aux bornes de linductance, on obtient la relation

0)1()1()1())(1()(

==+=

CDDon

CDDonL

UDRDIUDRDIrIUURIUrIUDRIrIUDU

11.22

Cette relation dcrit la composante DC de la maille contenant linductance avec un courant de maille correspondant au courant DC dans cette inductance. Le circuit quivalent de cette maille est illustre la Figure 11-19.

r

IU (1-D)UC

DRon (1-D)RD(1-D)UD


11.1.4.1.4 Circuit quivalent de sortie En moyennant les relations 11.20 et 11.21 des deux intervalles de commutation du MOSFET pour le courant circulant dans le condensateur, on obtient la relation


CD:\SE\Chap11.doc

0)()1()( =+=R

UIDR

UDI CCC 11.23

Cette relation dcrit la composante DC du nud contenant une borne du condensateur. Le circuit quivalent de cette maille est illustre la Figure 11-20

(1-D)I UC R


11.1.4.1.5 Circuit quivalent Les circuits quivalent dentre et de sortie peuvent tre runis pour former le circuit quivalent global du montage lvateur de tension. La Figure 11-21 montre ce circuit quivalent global.

r

IU (1-D)UC

DRon (1-D)RD(1-D)UD

(1-D)I UC R

Figure 11-21 : Circuit quivalent de llvateur de tension

La Figure 11-21 peut, partir des critres dfinis au 11.1.3.3.3, tre modifie afin de profiter des relations rgissant le comportement dun transformateur DC.

r

IU

DRon (1-D)RD(1-D)UD

UC R

(1-D) : 1


et finalement en rapportant le secondaire du transformateur au primaire, le schma quivalent final prend la forme suivante


CD:\SE\Chap11.doc

r

IU

DRon (1-D)RD(1-D)UD

(1-D)UC R(1-D)2


11.1.4.1.6 Caractristique statique A laide de la Figure 11-22, on peut crire

( )

+++

=

DonDC RDRDrRD

RDUDUD

U)1()1(

)1()1(1

12

2

11.24

Puis en divisant par U

++

+

=

RDRDRDrU

UDDU

UDon

DC

2)1()1(1

1)1(11

1 11.25

Cette dernire relation montre que leffet des pertes de conduction des semiconducteurs (UD, Ron, et RD) ainsi que la rsistance quivalente srie de linductance (r) provoquent une diminution de la tension de sortie pour un rapport cyclique donn.

11.1.4.1.7 Rendement Le rendement du montage lvateur de tension devient

RDRDRDr

UUD

DU

UIU

IDUPP

Don

D

CC

E

S

++

+

=

=

==

2)1()1(1

)1(1

)1()1(

11.26

De cette relation, on peut voir que pour obtenir un rendement lev, il faut les conditions suivantes

Don

D

RDRDrRD

UD

U

++>>

>>

)1()1(1

2

11.27


CD:\SE\Chap11.doc

11.1.4.2 Remarques sur la prcision du modle Il peut paratre trange que le modle quivalent de la Figure 11-22 contienne les rsistances effectives DRon et (1-D)RD, lesquelles varient avec le rapport cyclique D. La raison de cette dpendance est que les rsistances de passage des semiconducteurs sont actives que lorsque les semiconducteurs respectifs sont conducteurs. Par exemple pour D=0, le MOSFET ne conduit jamais et ds lors la rsistance effective DRon disparat du modle. Le circuit quivalent montre galement que la puissance dissipe dans le MOSFET vaut I2DRon. Dans la ralit, les pertes de conduction du MOSFET valent I2Ron lorsque le MOSFET conduit et zro lorsquil est bloqu. Puisque le MOSFET conduit avec un rapport cyclique D, les pertes de conduction moyenne sont bien I2DRon, ce qui correspond avec le modle. En gnral, pour calculer les pertes dans une rsistance R, il faut calculer la valeur efficace du courant IRMS dans la rsistance plutt que la valeur moyenne. La puissance moyenne est alors donne par I2RMSR. Nanmoins, le modle dfini sur des valeurs moyennes de la Figure 11-22 donne une bonne estimation des puissances dissipes si lon admet que londulation du courant dans linductance est faible. En effet, on peut admettre que pour la dtermination des courants efficaces on peut ngliger l'ondulation de courant dans les inductances. On peut montrer que pour un courant continu avec ondulation superpose croissance et dcroissance linaire

2

)( 1211

+=

IiII rms 11.28

t

i(t)

I

i

DTp Tp

Figure 11-24 : Courant continu avec ondulation superpose

pour un courant puls avec croissance linaire du courant

2

)( 1211

+=

IiDII rms 11.29

t

i(t)

I

i

DTp Tp


CD:\SE\Chap11.doc

Figure 11-25 : Courant puls avec ondulation superpose

Le tableau comparatif ci-dessous permet d'estimer l'erreur faite lorsque l'on s'affranchit de l'ondulation superpose

Ondulation de courant rapporte au courant I Courant continu avec ondulation Courant puls

Ii = 0 I ID Ii = 2.0 I1.00167 ID 1.00167 Ii = 5.0 I1.01036 ID 1.01036

Ii = 1 I1.04083 ID 1.04083 Ii = 2 I1.15470 ID 1.15470

Tableau 11-1 Comparaison entre valeurs moyennes et valeurs efficaces

11.1.5 Exemple 3

11.1.5.1 Montage Flyback en conduction continue Dans cet exemple, on considre le montage Flyback idalis, cest--dire sans pertes. La Figure 11-26 illustre le montage en question

Dn1 : n2

iCiR

uC

U

i2i1

Q

CR

Figure 11-26 : Montage Flyback

11.1.5.1.1 Intervalle de temps 0 < t DTp Lorsque le transistor MOSFET est ferm, la diode se trouve polarise ngativement et le circuit se rsume la forme illustre la Figure 11-27 Dans cet intervalle, on peut crire les relations


CD:\SE\Chap11.doc

hh

CCC

L

ItitiR

UR

tuti

Utu

=

=

=

)()(

)()(

)(

11.30

D : OFFn1 : n2

u2

iCiR

uC

U

u1

ih

Lh

i

Transformateur

RC

i1

i2

Q : ON


11.1.5.1.2 Intervalle de temps DTp < t Tp Lorsque le transistor est ouvert, la diode se trouve polarise dans le sens passant et le circuit se rsume la forme illustre la Figure 11-28 Dans cet intervalle on peut crire les relations

0)(

)()()(

)()(

1

2

1

2

1

2

1

2

1

=

==

=

tiR

UnnI

Rtu

nntiti

nnU

nntutu

Ch

ChC

CCL

11.31


CD:\SE\Chap11.doc

D : ONn1 : n2

u2

i

iCiR

uC

U

i2

u1

ih

Lh

i

Transformateur

CR

i2

i1

Q : OFF



CD:\SE\Chap11.doc

11.1.5.1.3 Tension aux bornes de linductance La relation qui nous intresse est celle dune maille que nous pouvons crire sous la forme

2

1)1(0nnUDUDU CL == 11.32

Ce qui permet dcrire

CUnnDUD =

2

1)1( 11.33

Le circuit quivalent de cette relation peut tre dessin sous la forme suivante

Ih

DU (1-D) UCn1n2

Figure 11-29 : Circuit quivalent intermdiaire

11.1.5.1.4 Courant dans le condensateur La relation qui nous intresse est celle du nud contenant une borne du condensateur

+

==

RU

nnID

RUDI ChCC

2

1)1(0 11.34

Ce qui permet dcrire

RUI

nnD Ch =

2

1)1( 11.35

Ce qui donne le circuit quivalent suivant

RUC(1-D) Ihn1n2


11.1.5.1.5 Circuit quivalent dentre Les relations 11.33 et 11.35 ne permettent pas la ralisation complte du circuit quivalent, en effet il manque une source de courant quivalente au terme DU de la relation. Il sagit maintenant de dfinir une relation pour le courant de la source primaire. Des relations 11.30 et 11.31 on peut crire pour le courant moyen de la source primaire


CD:\SE\Chap11.doc

hDII =1 11.36

Ce qui permet de dfinir le circuit quivalent dentre

DIhU I1


11.1.5.1.6 Circuit quivalent Le pas suivant est la combinaison des Figure 11-29, Figure 11-30 et Figure 11-31 pour former un seul circuit.

DIhU

Ih

RUC(1-D) Ihn1n2

DU (1-D) UCn1n2

I1

Figure 11-32 : Circuit quivalent du montage Flyback

De la Figure 11-32, on en dduit le modle quivalent avec transformateur DC

U RUC

1 : D n1(1-D): n2

I1 Ih

Figure 11-33 : Circuit quivalent du montage Flyback avec transformateur DC


CD:\SE\Chap11.doc

11.2 MODLISATION AC

11.2.1 Introduction Les alimentations dcoupage sont, dans la majeure partie des applications, intgres dans une boucle dasservissement. En effet, il sagit de maintenir la tension de sortie constante, quelles que soient les variations de la tension dentre u(t) ou les variations de charge. Cette exigence est accomplie en contrlant la tension de sortie laide dune commande permettant une variation du rapport cyclique d(t) de telle manire ce que la tension de sortie uc(t) soit proportionnelle une tension de rfrence uref(t). La Figure 11-34 illustre un tel asservissement partir dune topologie dalimentation abaisseuse de tension.

U

L

Q R

i

D C

Commandedu transistor

d(t) GC(s)

H(s)

Uref

Mesurede

tension

Rgulateur

uC

Figure 11-34 : Alimentation abaisseuse de tension avec boucle dasservissement

La boucle de contre-raction doit tre dimensionne de manire ce que la sortie soit rgule de manire prcise selon les spcifications requises. Il sagit galement de contrler le temps dtablissement lenclenchement, la stabilit lors de perturbation rapide, etc Pour dimensionner la boucle dasservissement, nous avons besoin de connatre le modle dynamique de lalimentation dcoupage utilise. Dans le cas de la conduction continue, ltude du comportement dynamique peut tre ralise en utilisant une mthode assez similaire celle dveloppe pour la modlisation DC au 11.1. Dans la modlisation que nous allons effectuer, nous allons nous attacher dfinir ce qui doit tre pris en compte et ce qui peut tre nglig. En effet un modle mathmatique complet conduit des relations non linaires qui, pour des raisons videntes de ralisation pratique, ne peuvent tre utilises telles quelles. Par contre avec des approximations judicieuses, il est possible dobtenir un modle dynamique permettant une bonne comprhension des phnomnes et par-l mme la possibilit de raliser un asservissement.

11.2.1.1 Rponse en boucle ouverte En imposant un rapport cyclique d(t) variant de manire sinusodale dans le temps,

)2sin()( tfDDtd mm += 11.37


CD:\SE\Chap11.doc

et en faisant lhypothse que la frquence de modulation fm est trs infrieure la frquence de pulsation fp, la commande du transistor et ainsi que la tension de sortie uc(t) prennent la forme illustre la Figure 11-35.

uC(t)

t

t

d(t)

[uC(t)]Tp

uC(t)

Figure 11-35 : Rponse en boucle ouverte

Le spectre frquentiel de la tension de sortie est reprsent la Figure 11-36.

uC(f)

f

Signal de modulation Signal de pulsation

Signal de pulsation(harmonique)

fm fp 2fp Figure 11-36 : Spectre frquentiel de la tension de sortie uc(t)

Ce spectre contient une composante la frquence de pulsation ainsi que ces harmoniques plus quelques composantes latrales. Ces composantes sont faibles en amplitude si londulation de tension est faible. En plus, le spectre contient galement une composante basse frquence, la frquence de modulation fm. Lamplitude et la phase de cette composante dpendent non seulement de la variation du rapport cyclique mais galement de la rponse en frquence de lalimentation dcoupage. Si nous ngligeons londulation de la tension de sortie, seule la composante basse frquence reste. Lobjectif de la modlisation AC est de dcrire cette composante basse frquence. En travaillant avec des moyennes glissantes sur une priode de pulsation, on supprime les ondulations la frquence de pulsation. En effet, la moyenne glissante jouant le rle de filtre passe-bas. Notons que si la moyenne glissante est constante on se trouve dans le cas du rgime permanent, dans le cas contraire, on ne peut plus annuler la tension moyenne aux bornes dune inductance et le courant moyen dans un condensateur. Une variation de la valeur moyenne glissante entrane donc une variation autour dun point dquilibre.


CD:\SE\Chap11.doc

Comme dans tout systme non linaire, ltude du comportement dynamique se fait par une linarisation de la caractristique autour dun point de fonctionnement. La Figure 11-37 illustre ce propos

D

UC/U

0.5

1

Caractristiquerelle

Linarisation

Point de fonctionnement

Figure 11-37 : Linarisation dune fonction autour dun point de fonctionnement

11.2.2 Moyenne glissante du courant et de la tension pour une inductance Faisons lhypothse que la tension aux bornes dune inductance varie entre les deux valeurs suivantes dans lintervalle pp TdntTn +


CD:\SE\Chap11.doc

La moyenne glissante de la tension uL(t) aux bornes de linductance scrit

)())(1()()()(1)( ][2][

1][ tutdtutddu

Ttu PP

P

P TTTt

tL

P

TL +==

+

11.38

La partie de droite de cette relation ne contient aucune harmoniques dues la commutation. Elle modlise uniquement la composante basse frquence de la tension aux bornes de linductance

uL(t)

dTp Tp

uL (t)=d u1 (t)+(1-d) u2 (t)u1 (t)

u2 (t)

t

[TP]

[TP]

[TP] [TP][TP]

Figure 11-39 : Tension aux bornes de linductance

iL(t)

iL(0) iL(Tp)

iL(dTp)u1 (t)

L

u2 (t)L

tdTp Tp

[TP]

[TP]

Figure 11-40 : Courant circulant dans linductance

On a galement la relation liant les valeurs moyennes de la tension aux bornes de linductance au courant que la traverse

)()( ][][

tutdt

diL PP

TL

TL = . 11.39

Finalement on peut crire

)())(1()()()( ][2][

1

][

tutdtutdtdt

diL PPP

TTT

L += 11.40

Cette relation peut tre illustre par la Figure 11-41


CD:\SE\Chap11.doc

iL(t)

iL(0)

t

iL (t)

d u1 (t)+(1-d) u2 (t)

L

dTp Tp

[TP]

[TP] [TP]

Figure 11-41 : Mise en vidence de la variation de courant dans linductance

11.2.3 Moyenne du courant et de la tension pour un condensateur Faisons lhypothse que le courant aux bornes du condensateur varie entre les deux valeurs suivantes dans lintervalle pp TdntTn +


CD:\SE\Chap11.doc

Comme pour la moyenne de la tension aux bornes dune inductance, cette relation ne contient aucune harmoniques dues la commutation. Elle modlise uniquement la composante basse frquence du courant circulant dans le condensateur.

iC(t)

dTp Tp

i1 (t)

i2 (t)

t

iC (t)=d i1 (t)+(1-d) i2 (t)[TP]

[TP]

[TP] [TP] [TP]

Figure 11-43 : Courant traversant le condensateur

uC(t)

uC(0) uC(Tp)

uC(dTp)

i1 (t)C

i2 (t)C

tdTp Tp

[TP]

[TP]

Figure 11-44 : Tension aux bornes du condensateur

On a galement la relation liant les valeurs moyennes glissantes du courant traversant le condensateur la tension ses bornes

)()( ][][

titdt

duC PP

TC

TC = . 11.42

Finalement on peut crire

)())(1()()()( ][2][

1

][

titdtitdtdt

duC PPP

TTT

C += 11.43

Cette relation peut tre illustre par la Figure 11-45


CD:\SE\Chap11.doc

uC(t)

uC(0)

t

uC (t)

d i1 (t)+(1-d) i2 (t)

C

dTp Tp

[TP]

[TP]

[TP]

Figure 11-45 : Mise en vidence de la variation de la tension aux bornes du condensateur

11.2.4 Linarisation des quations diffrentielles. Les relations 11.40 et 11.43 sont non linaires car elles contiennent la multiplication de variables dpendantes du temps. Par exemple, le courant dans le condensateur dpend du produit de la variable de commande d(t) par la composante i1[Tp](t). Cette multiplication est un processus non linaire gnrant des harmoniques. La plupart des techniques danalyse telles que la transforme de Laplace ne sont pas utilisable pour des systmes non linaires. Il est donc ncessaire de linariser les relations 11.40 et 11.43 en construisant un modle pour petits signaux. Sachant que lalimentation dcoupage travaille autour dun point de fonctionnement, on peut crire

)(~)(

)(~)(

)(~)(

)(~)(

)(~)(

22][

2

11][

1

22][

2

11][

1

tdDtd

tiItitiIti

tuUtutuUtu

P

P

P

P

T

T

T

T

+=

+=

+=

+=

+=

11.44

o les signaux )(~),(~),(~),(~),(~ 2121 tdtititutu sont des signaux AC de faibles amplitudes (variation de la moyenne sur TP) superposs aux valeurs continues dfinissant le point de fonctionnement. En rponse aux entres, les moyennes de la tension aux bornes du condensateur et du courant dans linductance prendront la forme

)(~)(

)(~)(

)(~)(

)(~)(

][

][

][

][

tiItituUtu

tiItituUtu

CCT

C

CCT

C

LLT

L

LLT

L

P

P

P

P

+=

+=

+=

+=

11.45

Avec pour hypothse que pour lensemble des variables on a

)(~)(~)(~

tdD

tiItuU

>>

>>

>>

11.46


CD:\SE\Chap11.doc

Ainsi lquation non linaire 11.40 devient

))(~()))(~(1())(~())(~())(~(

2211 tuUtdDtuUtdDdttiIdL LL +++++=+ 11.47

En modifiant la structure cette relation, on obtient

))(~)(~()(~)(~)1()(~)()(~

)1())(~(

21

2121

21

tututd

tuDtuDUUtd

UDUDdt

tiIdL LL

+

+++

+=+

11.48

Le premier terme de droite correspond une composante DC (point de fonctionnement) Le second terme correspond une composante AC du 1er ordre (linaire) Le troisime terme correspond une composante AC du 2me ordre (non linaire) Vu les hypothses faites sous 11.46, on peut ngliger le terme non linaire. On obtiendra donc les relations suivantes

Terme dc, sachant que dIL/dt=0

21 )1(0 UDUD += 11.49

Terme AC du 1er ordre

)(~)1()(~)()(~)(~

2121 tuDtuDUUtddttidL L ++= 11.50

De mme, lquation 11.43

))(~()))(~(1())(~())(~())(~(

2211 tiItdDtiItdDdttuUdC CC +++++=+ 11.51

En modifiant la structure de cette relation, on obtient

))(~)(~()(~)(~)1()(~)()(~

)1())(~(

21

2121

21

tititd

tiDtiDIItd

IDIDdt

tuUdC CC

+

+++

+=+

11.52

En faisant les mmes remarques que pour le cas de linductance (relation 11.48). On obtiendra donc les relations suivantes

Terme dc, sachant que dUC/dt=0

21 )1(0 IDID += 11.53

Terme AC du 1er ordre

)(~)1()(~)()(~)(~

2121 tiDtiDIItddttudC C ++= 11.54


CD:\SE\Chap11.doc


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.5 Montage abaisseur de tension (Buck) Soit le montage abaisseur de tension dfini la Figure 11-46

U ud uC

L

Q R

i iL

iCiR

D C

iD

Figure 11-46 : Montage abaisseur de tension

11.2.5.1 Relations de base Tension moyenne aux bornes de linductance

)()()(

)())(1())()(()()(

][][

][][][][

tututd

tutdtututdtdt

diL

PP

PPPP

TC

T

TC

TC

TT

L

=

= 11.55

Courant moyen dans le condensateur

)()()( ][][][

tiR

tutdt

duC PPP

TL

TC

TC +

= 11.56

Courant moyen dentre

)()()( ][][ titdti PP TLT = 11.57

11.2.5.2 Linarisation Pour la tension aux bornes de linductance

))(~())(~())(~())(~( tuUtuUtdD

dttiIdL CCL +++=

+ 11.58

extraction du terme dc

CUUD =0 11.59

extraction du terme du 1er ordre

)(~)(~)(~)(~

tuUtdtuDdt

tidL CL += 11.60

Pour le courant dans le condensateur

))(~()(~))(~( tiI

RtuU

dttuUdC LLCCCC ++

+=

+ 11.61


CD:\SE\Chap11.doc


LC I

RU

+=0 11.62


)(~)(~)(~ tiR

tudt

tudC LCC +

= 11.63

Pour le courant moyen dentre

))(~())(~()(~ tiItdDtiI LL ++=+ 11.64


LIDI = 11.65


LL ItdtiDti += )(~)(~)(~ 11.66

Des relations prcdentes on en dduit deux sets de relations

Rgime permanent

L

LC

C

IDI

IR

UUUD

=

+=

=

0

0

11.67

Rgime AC du 1er ordre

LL

LCC

CL

ItdtiDti

tiR

tudt

tudC

tuUtdtuDdt

tidL

+=

+

=

+=

)(~)(~)(~

)(~)(~)(~

)(~)(~)(~)(~

11.68

11.2.5.3 Construction dun modle quivalent A partir du set de relation 11.68 et en utilisant la mthode dfinie au 11.1, on peut construire le modle AC du montage abaisseur de tension


CD:\SE\Chap11.doc

DiL(t)

L

RuC(t)

d(t)IL

d(t)U

CDu(t)u(t)

Figure 11-47 : Modle quivalent AC du montage abaisseur de tension

Comme pour la modlisation DC, on peut remplacer les sources dpendantes de courant et de tension par des transformateurs idaux. Le trait horizontal utilis pour la modlisation DC est remplac par un signe alternatif pour indiquer le comportement AC du modle.

1 : DL

RuC(t)

d(t)IL

d(t)U

Cu(t)

Figure 11-48 : Modle quivalent AC du montage abaisseur de tension avec transformateur idal

11.2.5.4 Fonction de transfert A partir des relations rsultantes 11.68, on peut dfinir la fonction de transfert du montage abaisseur de tension liant la sortie )(~ sCu aux variables indpendantes dentres que sont la

commande )(~ sd et la tension )(~ su . La relation liant ces grandeurs sexprime sous la forme

)(~)()(~)()(~ sdsGsusGsu duC += 11.69

Avec pour les fonctions de transfert Gu(s) et Gd(s)

0)(0)(~ )(~

)(~)()(~)(~)(

==

==su

Cd

sd

Cu sd

susGetsususG 11.70

En effectuant la transforme de Laplace des deux premires relations de 11.68, on a

)(~)(~)(~)(~)(~)(~)(~

siRsusuCRssuUsdsuDsiLs

LCC

CL

+=

+= 11.71

En liminant la variable interne )(~ siL et sachant que U CUD =1


CD:\SE\Chap11.doc

)(~

1

1)(~

1

1)(~22

sdLCs

RLsD

UsuLCs

RLs

Dsu CC ++

+++

= 11.72

Et par consquent

LCsRLs

DsGu21

1)(++

= 11.73

LCsRLsD

UsG Cd21

1)(++

= 11.74


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.6 Montage lvateur de tension (Boost) Soit le montage lvateur de tension dfini la Figure 11-49

U uQ uC

L

QR

i iD

iCiRD

C

iQ

Figure 11-49 : Montage lvateur de tension


)())(1()(

))()(())(1()()()(

][][

][][][][

tutdtu

tututdtutdtdt

diL

PP

PPPP

TC

T

TC

TTT

L

=

+= 11.75


)())(1()(

))()(())(1()()()(

][][

][][][][

titdR

tu

tiR

tutdR

tutdtdt

duC

PP

PPPP

TL

TC

TL

TC

TC

TC

+

=

+

+

= 11.76


)()( ][][ titi PP TLT = 11.77


))(~()))(~(1()(~))(~( tuUtdDtuU

dttiIdL CCLL +++=

+ 11.78


CUDU = )1(0 11.79


))(~)1()(~)(~)(~

tuDUtdtudt

tidL CCL += 11.80



CD:\SE\Chap11.doc

))(~())(~(1())(~())(~( tiItdD

RtuU

dttuUdC LLCCCC +++

+=

+ 11.81


LC ID

RU

+= )1(0 11.82


LLCC ItdtiDR

tudt

tudC += )(~)(~)1()(~)(~ 11.83


)(~)(~ tiItiI LL +=+ 11.84


LII = 11.85


)(~)(~ titi L= 11.86 Des relations prcdentes on en dduit deux sets de relations Rgime permanent

L

LC

C

II

IDR

UUDU

=

+=

=

)1(0

)1(0

11.87


)(~)(~)(~)(~)1()(

~)(~

)(~)1()(~)(~)(~

titi

ItdtiDR

tudt

tudC

tuDUtdtudt

tidL

L

LLCC

CCL

=

+

=

+=

11.88

11.2.6.3 Construction dun modle quivalent A partir du set de relation 11.88 et en utilisant la mthode dfinie au 11.1, on peut construire le modle AC du montage lvateur de tension de tension


CD:\SE\Chap11.doc

(1-D)iL(t) RuC(t)C(1-D)uC(t)u(t)

d(t)UC

d(t)IL

L

iL(t)

Figure 11-50 : Modle quivalent AC du montage lvateur de tension


RuC(t)Cu(t)

d(t)UC

d(t)IL

L

iL(t)

1-D : 1

Figure 11-51 : Modle quivalent AC du montage lvateur de tension avec transformateur idal

11.2.6.4 Fonction de transfert A partir des relations rsultantes 11.88, on peut dfinir la fonction de transfert du montage lvateur de tension liant la sortie )(~ suC aux variables indpendantes dentres que sont la


)(~)()(~)()(~ sdsGsusGsu duC += 11.89 Avec pour les fonctions de transfert Gu(s) et Gd(s)

0)(0)(~ )(~

)(~)()(~)(~)(

==

==su

Cd

sd

Cu sd

susGetsususG 11.90

En effectuant la transforme de Laplace des deux premires relations de 11.68, on a

LLCC

CCL

IRsdsiRDsusuCRs

suDUsdsusiLs

+=

+=

)(~)(~)1()(~)(~)(~)1()(~)(~)(~

11.91

En liminant la variable interne )(~ siL et sachant que RDU

DII CRL

=

=)1(1


CD:\SE\Chap11.doc

)(~

)1()1(1

)1(1

1

)(~

)1()1(1

11

1)(~

22

2

2

22

2

sd

DCLs

RDLs

RDLs

DU

su

DCLs

RDLsD

su

C

C

+

+

+

+

+

=

11.92

Et par consquent

22

2 )1()1(1

11

1)(

DCLs

RDLsD

sGu

+

+

=

11.93

22

2

2

)1()1(1

)1(1

1)(

DCLs

RDLs

RDLs

DUsG Cd

+

+

= 11.94


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.7 Montage stockage inductif (Buck - Boost) Soit le montage stockage inductif dfini la Figure 11-52

U uL uCLQ

R

i

iL iCiR

D

C

iD

Figure 11-52 : Montage stockage inductif


)())(1()()()()( ][][][

][ tutdtutdtdt

diLtu PPP

P TC

TT

LTL +== 11.95


)())(1()(

))()(())(1()()()()(

][][

][][][][

][

titdR

tu

tiR

tutdR

tutdtdt

duCti

PP

PPPP

P

TL

TC

TL

TC

TC

TCT

C

=

+

== 11.96


)()()( ][][ titdti PP TLT = 11.97


))(~()))(~(1())(~())(~())(~( tuUtdDtuUtdD

dttiIdL CCLL +++++=

+ 11.98


CUDUD += )1(0 11.99 extraction du terme du 1er ordre

)(~)1()()(~)(~)(~

tuDUUtdtuDdt

tidL CCL ++= 11.100


CD:\SE\Chap11.doc


))(~())(~(1())(~())(~( tiItdD

RtuU

dttuUdC LLCCCC +++

+=

+ 11.101


LC ID

RU

= )1(0 11.102


LLCC ItdtiDR

tudt

tudC += )(~)(~)1()(~)(~ 11.103


))(~())(~()(~ tiItdDtiI LL ++=+ 11.104 extraction du terme dc

LIDI = 11.105 extraction du terme du 1er ordre

LL ItdtiDti += )(~)(~)(~ 11.106

Des relations prcdentes on en dduit deux sets de relations Rgime permanent

L

LC

C

IDI

IDR

UUDUD

=

=

+=

)1(0

)1(0

11.107


LL

LLCC

CCL

ItdtiDti

ItdtiDR

tudt

tudC

tuDUUtdtuDdt

tidL

+=

+

=

++=

)(~)(~)(~

)(~)(~)1()(~)(~

)(~)1()()(~)(~)(~

11.108


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.7.3 Construction dun modle quivalent A partir du set de relation 11.108 et en utilisant la mthode dfinie au 11.1, on peut construire le modle AC du montage lvateur de tension de tension

DiL(t)

L

d(t)IL

d(t)(U-UC)

Du(t)u(t) (1-D)iL(t) RuC(t)C(1-D)uC(t)

d(t)IL

iL(t)

Figure 11-53 : Modle quivalent AC du montage stockage inductif


L

d(t)IL

d(t)(U-UC)

u(t) RuC(t)C

d(t)IL

1 : D

iL(t)

1-D : 1

Figure 11-54 : Modle quivalent AC du montage stockage inductif avec transformateur idal

11.2.7.4 Fonction de transfert A partir des relations rsultantes 11.108, on peut dfinir la fonction de transfert du montage lvateur de tension liant la sortie )(~ suC aux variables indpendantes dentres que sont la


)(~)()(~)()(~ sdsGsusGsu duC += 11.109 Avec pour les fonctions de transfert Gu(s) et Gd(s)

0)(0)(~ )(~

)(~)(

)(~)(~

)(==

==su

Cd

sd

Cu sd

susGetsususG 11.110

En effectuant la transforme de Laplace des premires relations de 11.108, on a

LLC

C

CCL

IsdsiDR

susuCs

suDUUsdsuDsiLs

+

=

++=

)(~)(~)1()(~

)(~

)(~)1()()(~)(~)(~

11.111


CD:\SE\Chap11.doc

En liminant la variable interne )(~ siL et sachant que RDU

DII CRL

=

=)1(1

)(~

)1()1(1

)1(1

)1(

)(~

)1()1(1

11

)(~

22

2

2

22

2

sd

DCLs

RDLs

RDLDs

DDU

su

DCLs

RDLsD

Dsu

C

C

+

+

+

+

+

=

11.112

Et par consquent

22

2 )1()1(1

11

)(

DCLs

RDLsD

DsGu

+

+

=

11.113

22

2

2

)1()1(1

)1(1

)1()(

DCLs

RDLs

RDLDs

DDUsG Cd

+

+

= 11.114


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.8 Fonction de transfert des alimentations dcoupage de base en conduction continue

11.2.8.1 Rsum des caractristiques Des 11.2.5, 11.2.6 et 11.2.7 on peut rsumer les particularits des fonctions de transfert des alimentations dcoupage de base (Buck, Boost, Buck-Boost) sous la forme dun tableau. Les caractristiques principales liant la tension de sortie uC(s) la tension de ligne u(s) ainsi que la tension de sortie uC(s) la grandeur de commande d(s) peuvent tre dcrites laide des deux fonctions de transfert suivantes

20

2

0

0 111

1)(~)(~)(

+

+

==s

Qs

GsususG ucu 11.115

20

2

0

0 111

11

)(~)(~)(

+

+

==

sQ

s

sG

sdsusG zdcd 11.116

Le tableau ci-dessous illustre les diverses valeurs prisent par chaque terme des fonctions de transfert 11.115 et 11.116

Type Gu0 Gd0 0 Q z

Buck D DUC

CL 1

LCR -

Boost D1

1 D

UC1

CLD

1 LCRD )1(

LRD 2)1(

Buck-Boost DD

1

)1( DD

UC

CLD

1 LCRD )1(

LDRD

2)1(

11.2.8.2 Synthse des rsultats obtenus Les montages lvateur de tension (Boost) et stockage inductif (Buck-Boost) montrent que pour les fonctions de transfert Gd(s) liant la tension de sortie uC(s) la grandeur de commande d(s) il existe un zro dans le demi-plan de droite. Par contre le montage abaisseur de tension ne possdent pas de zro. Les rsultats obtenus peuvent facilement tre adapts aux montages possdant un transformateur disolation et dont la structure est drive des trois types de montage dfinis dans le tableau ci-dessus. En effet il suffit de multiplier la fonction de transfert liant la tension de sortie la tension dentre Gu(s) par le rapport de transformation du transformateur disolation. La modlisation des alimentations dcoupage travaillant en mode de conduction intermittente ne fait pas lobjet de ce chapitre.


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.8.3 Signification physique du zro dans le demi-plan de droite La contient le schma block illustrant le comportement dun zro dans le demi-plan de droite.

ue(s) us(s)

1

sz

Figure 11-55 : Schma bloc dune fonction de transfert ayant un zro dans le demi-plan de droite

A basse frquence, le gain s/z est beaucoup plus petit et donc on a u . Par contre frquence leve, lamplitude du gain

es u

zs / est beaucoup plus grand que 1 et par consquent,

ezs usu )/( . Le signe ngatif cause donc une inversion de phase. Ce comportement signifie que lors dun saut indiciel de la grandeur dentre, la sortie tend initialement vers une direction oppose sa valeur finale.


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.9 Modle des alimentations dcoupage sous forme canonique Les alimentations dcoupage tudies prcdemment ayant des proprits physiques similaires, elles devraient galement avoir des modles quivalent similaires. Nos allons donc manipuler les modles AC dfinis la section prcdente afin de trouver une forme canonique de structure unique.

11.2.9.1 Dveloppement du modle canonique Le modle canonique, comme les modles AC dfinis prcdemment doit contenir une tension dentre u~ , une tension de sortie uc~ ainsi quun signal de commande d

~ . La fonction de base dune alimentation dcoupage tant la conversion des niveaux de tension et de courant dune source, un transformateur idal doit galement faire partie du modle canonique. Lalimentation dcoupage doit galement avoir des lments ractifs permettant de filtrer les harmoniques de commutation ainsi que le transfert de lnergie entre les ports dentre et de sortie. Puisque les ondulations de tension et de courant de sortie doivent tre faibles, les lments ractifs doivent comprendre un filtre passe bas dont la frquence de coupure est bien infrieure la frquence de commutation. Le modle devrait donc contenir un filtre quivalent passe-bas. Les variations de signal de commande d~ produisent galement des variations de tension et de courant dans lalimentations dcoupage. Le modle devrait donc galement contenir des sources de tension et de courant commandes par d~ . Les modles AC prcdents montrent que ces sources sont distribues dans tout le modle AC de lalimentation dcoupage. Il est possible de manipuler le modle afin de dplacer les sources du ct de lentre. La Figure 11-56 illustre la structure de la forme canonique recherche.

u(s)~

1 : f(D)

uc(s)~ R

j(s)d(s)~

e(s)d(s)~

Filtrepasse-basquivalent

Figure 11-56 : Modle canonique dune alimentation dcoupage en conduction continue

He(s) est la fonction de transfert du filtre passe-bas charg par la rsistance R. R reprsente la rsistance quivalente de la charge au point de fonctionnement, les variations de charge se faisant autour de cette dernire. De la Figure 11-56 on peut crire pour la fonction de transfert liant la tension dentre u~ la tension de sortie cu~

)()()(~)(~)(

0)(~sHDf

sususG e

sd

Cu ==

=

11.117


CD:\SE\Chap11.doc

La fonction de transfert liant le signal de commande d~ la tension de sortie uc~

)()()()(~)(~)(

0)(~

sHDfsesdsusG e

su

Cd ==

=

11.118

11.2.9.2 Modle canonique pour alimentations inductance et condensateur unique. La Figure 11-57 montre le modle canonique simplifi dune alimentation dcoupage ne contenant quune inductance et quun condensateur. Ce modle est valable pour les trois types dalimentations que nous avons vus durant ce chapitre

u(s)~

1 : f(D)

uc(s)~ R

j(s)d(s)~

e(s)d(s)~

C

Le

iCHARGE(s)~

Figure 11-57 : Modle canonique pour alimentation contenant une inductance et un condensateur

seulement

Fonction de transfert liant le signal de commande u~ la tension de sortie cu~

CLsRLs

DfsHDfsususG

ee

e

sisd

Cu

eCh2

0)(~0)(~ 1

1)()()()(~)(~)(

arg ++===

==

11.119

Fonction de transfert liant le signal de commande d~ la tension de sortie cu~

CLsRLs

seDfsHDfsesdsusG

ee

e

sisu

Cd

eCh2

0)(~0)(~ 1

)()()()()()(~)(~)(

arg ++===

==

11.120

Impdance de sortie

CLsRLs

sLsC

RsLsi

susZe

e

ee

sdsuech

Cout

20)(~0)(~arg 1

1////)(~

)(~)(++

===

==

11.121

De ce modle, il est relativement facile den dduire un schma bloc dasservissement de la tension de sortie grce la forme canonique identique pour les diverses alimentations dcoupage tudies.


CD:\SE\Chap11.doc

u(s)~

1 : f(D)

uc(s)~ R

j(s)d(s)~

e(s)d(s)~

C

Le

iCHARGE(s)~

Commandedu transistor

d(s)GC(s)

H(s)

uref

Mesurede

tension

Rgulateur Rfrence (entre)Modulateur delargeur d'impulsion

ucm(s) e(s) H(s) uC(s).1h

~ ~~

~

Figure 11-58 : Schma bloc dasservissement de la tension de sortie dune alimentation dcoupage

De ce qui prcde, il est maintenant possible de dfinir les diverses fonctions de transfert intervenant dans lasservissement et le rglage de la tension de sortie. Grce la forme canonique, il est ais de dfinir et de comparer les fonctions de transfert que sont Gu(s), Gd(s) et Zout(s). Le dtail de ces fonctions de transfert est donn au 11.2.11

GC(s)

Rgulateur

Rfrence (entre)

H(s)

Mesure de tension

1

ModulateurPWM

hGd(s)

Gu(s)

ZOUT(s)

iCHARGE(s)~

ucm(s)~

Variation ducourant de charge

Variation de latension de sortie

Alimentation dcoupage

u(s)~

variation de latension d'entre

d(s)~ uc(s)

~e(s)~

uref~

H(s) uC(s).~

Figure 11-59 : Schma bloc dasservissement et de rglage


CD:\SE\Chap11.doc

11.2.10 Exemple : Modle canonique dune alimentation stockage inductif Pour illustrer ce qui prcde, nous allons chercher la forme canonique de lalimentation dcoupage stockage inductif en partant de son modle AC dfini la Figure 11-54. Donc la structure est rappele ci-dessous

d(s)(U-UC)~

Cu(s)~

ILd(s)~

1 : D L 1-D : 1

ILd(s)~

uc(s)~ R


La source )()(~ CUUsd en srie avec linductance peut tre croise avec cette dernire puis rapporte au primaire du premier transformateur idal en tenant compte du rapport de transformation 1 : D. De plus la source de courant )(~ sdI L peut tre rapporte au primaire du second transformateur idal en tenant compte du rapport de transformation (1-D) : 1.

Cu(s)~

ILd(s)~

1 : D 1-D : 1

uc(s)~ R

d(s)~

D(UC-U)

IL1-D

d(s)~

L


La modification de connexion de la source de courant )(~1

sdD

I L

et ladjonction dune

seconde source identique pour ne pas modifier la somme des courants au nud A peut tre ralise sans modification de ltat du circuit.

Cu(s)~

ILd(s)~

1 : D 1-D : 1

uc(s)~ R

d(s)~

D(U-UC)

IL1-D

d(s)~

L

IL1-D

d(s)~

Noeud A



CD:\SE\Chap11.doc

La source de courant )(~1

sdD

I L

en parallle avec linductance L peut tre transforme en

source de courant.

Cu(s)~

ILd(s)~

1 : D 1-D : 1

uc(s)~ R

d(s)~

D(U-UC)

IL1-D

d(s)~

sLIL1-D

d(s)~

L


La seconde source de courant )(~1

sdD

I L

peut tre rapporte au primaire du premier

transformateur idal en tenant compte du rapport de transformation de ce dernier. Puis cette source subit comme prcdemment une modification de connexion.

Cu(s)~

ILd(s)~

1 : D 1-D : 1

uc(s)~ R

sLIL1-D

d(s)~

L(1-D)2

d(s)~

D(U-UC)

DIL1-D

d(s)~

DIL1-D

d(s)~


La source de courant )(~1

sdDID L

au primaire du premier transformateur qui se trouve en

parallle avec la source de tension D

UUsd C )(~ peut tre supprime. De plus la source de

tension dans le circuit intermdiaire peut tre rapporte au primaire du transformateur en tenant compte du rapport de transformation

Cu(s)~

1 : D 1-D : 1

uc(s)~ R

sLILD(1-D)

d(s)~ L(1-D)2

d(s)~

D(U-UC)

IL1-D

d(s)~



CD:\SE\Chap11.doc

Enfin les deux transformateurs idaux peuvent tre ramens en un seul et simplifis en tenant compte des relations

))1(

1(

)1()1()1(

22

2222

RDLDs

DU

RDDULs

DU

DDILs

DU

DDILs

DUU

C

CCRCLC

=

+=

+=

11.122

Cu(s)~

1-D : D

uc(s)~ R

L(1-D)2

-UC(1-D)2R

d(s)~

DL(1-D)2R

d(s)~-UC ]s[ 1D2


Comme on peut le constater, ce circuit possde bien la structure du modle canonique. Avec

22

22 )1()1(1

11//

)1(

1//)(

DCLs

RDLs

sCR

DLs

sCR

sHe

+

+=

+

= 11.123

))1(

1()( 22 RDLDs

DUse C

= 11.124

RDUsj C

= 2)1(

)( 11.125

DDDf

=1

)( 11.126

Les fonctions de transfert dfinies par les relations 11.119 et 11.120 deviennent

22

2

0)(~0)(~

)1()1(1

11

)()()(~)(~)(

arg

DCLs

RDLsD

D

sHDfsususG e

sisd

Cu

eCh

+

+

=

====

=

11.127


CD:\SE\Chap11.doc

22

2

2

0)(~0)(~

)1()1(1

)1(1

)1(

)()()()(~)(~)(

arg

DCLs

RDLs

RDLDs

DDU

sHDfsesdsusG

C

e

sisu

Cd

eCh

+

+

=

===

=

11.128

Les relations 11.127 et 11.128 correspondent bien aux relations 11.113 et respectivement 11.114. De plus on peut crire pour l'impdance de sortie

22

2

2

0)(~0)(~arg

)1()1(1

)1()(~

)(~)(

DCLs

RDLs

DLs

sisusZ

sdsuech

Cout

+

+

==

==

11.129

11.2.11 Synthse de la forme canonique des alimentations dcoupage tudies On laissera le soin au lecteur de faire les transformations des modles AC, pour les alimentations dcoupage abaisseur et lvateur de tension, afin den dfinir la forme canonique Le tableau ci-dessous rsume les valeurs des paramtres du modle canonique des 3 alimentations dcoupage de base.

Type f(D) Le e(s) j(s)

Buck D L 2DUC

RUC

Boost D1

1 2)1( DL

)

)1(1( 2 RD

LsUC

RDUC

2)1(

Buck-Boost DD

1

2)1( DL

)

)1(1( 22 RD

DLsDUC

RDUC

2)1(


CD:\SE\Chap11.doc

BIBLIOGRAPHIE

[1] LES CONVERTISSEURS DE L'LECTRONIQUE DE PUISSANCE VOLUME 3 : LA CONVERSION CONTINUE CONTINUE (2me dition) Auteurs : Robert Bausire, Francis Labrique, Guy Seguier Chapitre 3 ISBN : 2-7430-0139-9

[2] POWER ELECTRONICS CONVERTERS, APPLICATIONS AND DESIGN Auteurs : Ned Mohan, Tore M. Undeland, William P. Robbins Chapitre 5 ISBN : 0-471-50537-4

[3] FUNDAMENTALS of POWER ELECTRONICS Auteur : Robert W.Erickson Chapitre 2 & 5 ISBN : 0-412-08541-0

Modélisation DC et AC des alimentations à découpage

Documents

Transcript of Modélisation DC et AC des alimentations à découpage