MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine Séance 2

MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET

ENSAE - DEA MASE Université Paris IX DauphineSéance 2

Philippe PRIAULETHSBC-CCF

Plan de la Séance

Les modèles de reconstitution de la courbe des taux Introduction, Rappels et Notations La courbe d’Etat

Sélection des paniers

Méthode théorique directe et bootstrapping

Différents types d’interpolation

Méthodes indirectes: modèle de Nelson et Siegel, splines cubiques et exponentielles

La courbe interbancaire Les courbes «corporate» Exemple d’application: l’analyse rich/cheap

voir MP p. 19 à 34 et 167 à 178

Introduction

Cette séance a pour but la reconstitution de la courbe des taux zéro-coupon au comptant («spot»).

Connaître la courbe des taux zéro-coupon au comptant est très important en pratique car cela permet aux acteurs du marché:

- d’évaluer et de couvrir à la date de reconstitution les produits de taux délivrant des flux futurs connus (obligation à taux fixe, par exemple)

=> certaines applications comme l’analyse «rich and cheap» (bond picking) qui consiste à détecter les produits sur-et sous-évalués par le marché pour tenter d’en tirer profit.

Introduction (2)

- de dériver les autres courbes implicites: la courbe des taux forward, la courbe des taux de rendement au pair et la courbe des taux de rendement instantanés.

- enfin, la courbe spot est le point de de départ pour la mise en place de modèles stochastiques de déformation de cette courbe dans le temps.

Introduction (3)

La reconstitution de cette courbe est rendue nécessaire par le fait qu’il n’existe pas suffisamment d’obligation zéro-coupon («strips») cotées sur le marché.

Par conséquent, il n’est pas possible d’obtenir les taux zéro-coupon pour un continuum de maturité.

En outre, les obligations zéro-coupon ont souvent une moindre liquidité que les obligations à coupons.

:

Introduction (4)

Nous allons distinguer trois grands types de courbe de taux zéro-coupon:

- la courbe Trésor (ou courbe d’Etat).

- la courbe interbancaire

- et les courbes «corporate»

La courbe Trésor est construite à partir des obligations émises par l’Etat (OAT, BTAN et BTF en France).

Il s’agit de la courbe dite sans risque dans les pays du G7 dans la mesure où les Etats de ces pays sont censés ne jamais faire défaut.

Les Etats de ces pays sont notés AAA par les agences de rating, i.e. disposent de la meilleure notation possible.

:

Introduction (5)

La courbe interbancaire comme son nom l’indique résulte d’opérations financières entre banques.

Elle est construite à partir des taux de dépôt, des futures et des swaps.

Il ne s’agit pas d’une courbe sans risque puisque les banques ne jouissent pas du meilleur rating des agences de notations. Leur rating moyen se situe entre A et AA pour S&P et A1 et Aa1 pour Moody’s.

Les courbes «corporate» sont les courbes qui caractérisent les entreprises du secteur privé. Il y en a de multiples qui dépendent du rating des entreprises et de leur secteur économique. On peut par exemple tracer:

- la courbe des taux zéro-coupon des entreprises disposant du rating A

:

Introduction (6)

- la courbe des taux zéro-coupon des entreprises du secteur Télécom disposant du rating BB

- la courbe des taux zéro-coupon de France Telecom

Chacune de ces courbes est construite en utilisant les obligations des entreprises concernées.

On verra qu ’il est courant de construire la courbe des spreads «corporate». Elle est obtenue en soustrayant la courbe Trésor ou interbancaire à la courbe «corporate».

:

Introduction (7)Rappel de l’échelle des ratings Moody’s et S&P

:

Notation Moody's SignificationAaa Meilleure qualité de signature

Aa1, Aa2, Aa3 Haute qualitéA1, A2, A3 Qualité supérieure obligation moyenne catégorie

Baa1, Baa2, Baa3 Qualité moyenneBa1, Ba2, Ba3 Présence de facteurs spéculatifs

B1, B2, B3 Absence de facteurs propice à l'investissementCaa Qualité médiocre

Ca Hautement spéculatifC Pas propice à l'investissement

Notation Standard and Poor'sAAA Capacité à rembourser extrêmement forte

AA Capacité à rembourser très forteA Forte capacité à rembourser mais sensibilité aux aléas

économiquesBBB Capacité suffisante mais grande sensibilité aux aléas

économiquesBB et B Caractère spéculatif et incertitude du paiement

CCC, CC, C Créance douteuseD Défaut de paiement

Introduction (8)Rappels et notations

Définition du taux zéro-couponIl est implicitement défini dans la relation suivante:

où:

- B(0,t): prix de marché à la date 0 d’une obligation zéro-coupon délivrant 1 euro à la date t. On appelle aussi B(0,t), le facteur d’actualisation en 0 pour la maturité t.

- R(0,t): taux de rendement en 0 de l’obligation zéro-coupon délivrant 1 euro en t. R(0,t) est aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t.

:

ttRtB

),0(1

1),0(

Introduction (9)Rappels et notations

Evaluation d’obligations à flux connusLe prix V de l’obligation à la date t s’écrit donc plus justement

Exemple 1: Soit l’obligation de montant nominal 100$, de maturité 3 ans et de taux de coupon 10%.

Les taux zéro-coupon à 1 an, 2 ans et 3 ans sont de 7%, 9% et 10%. Le prix P de l’obligation est égal à

m

ti

m

titii itBiF

titR

iFtV

11

),()(),(1

)()(

$407.100

%101

110

%91

10

%71

1032

P

La courbe d’EtatSélection des titres

Elle est construite à partir d’obligations d’Etat.

Il est important de faire une sélection rigoureuse des titres qui servent à la reconstitution. Il faut éliminer:

- les titres qui présentent des clauses optionnelles car la présence d’options rend le prix de ces titres non homogènes avec ceux qui n’en contiennent pas.

- les titres qui présentent des erreurs de prix, typiquement dues à des erreurs de saisie.

- les titres qui sont soit illiquides, soit surliquides, et présentent donc des prix qui ne sont pas dans le marché.

Il ne faut pas tracer la courbe des taux sur des segments de maturité où l’on ne dispose pas de titres. Par exemple, ne pas tracer la courbe sur le segment [20-30 ans] si l’on ne dispose pas de titres de maturités supérieures à 20 ans dans le panier.

La courbe d’EtatLa méthode théorique de reconstitution

Elles permettent de déduire directement les taux zéro-coupon des obligations à coupons. Elles requièrent les deux conditions suivantes:

- elles ont les mêmes dates de tombée de coupon

- elles ont des maturités multiples de la fréquence de tombée des coupons.

Cette méthode n’est que théorique car dans la pratique il est très rare de pouvoir trouver un échantillon d’obligations ayant ces deux caractéristiques.

La courbe d’EtatLa méthode théorique de reconstitution (2)

Notations et résolution

Pt =(Pt1, Pt

2,....., Ptn)T le vecteur des prix à l’instant t des n

obligations à coupons du panier

F = (Fti(j))i=1,...,n, j=1,...,n la matrice n x n correspondant aux flux des n

titres. Les dates de tombées des flux sont identiques pour tous les titres.

Bt =(B(t,t1), B(t,t2), ,....., B(t,tn))T le vecteur des facteurs d’actualisation

Par AOA, on obtient le vecteur des facteurs d’actualisation

Pt = F . Bt soit Bt = F-1 . Pt car F est inversible


On extrait le vecteur des taux zéro-coupon à l’aide de la relation

Si l’on souhaite utiliser des taux continus, on utilise alors

),(ln1

),( ii

i ttBtt

tttR

1),(

1),(

1

tt

ii

i

ttBtttR


Exemple

On obtient le système d’équation suivant:

101 = 105 B(0,1)101.5 = 5.5 B(0,1) + 105.5 B(0,2) 99 = 5 B(0,1) + 5 B(0,2) + 105 B(0,3)100 = 6 B(0,1) + 6 B(0,2) + 6 B(0,3) + 106 B(0,4)

soit B(0,1)=0.9619, B(0,2)=0.9119, B(0,3)=0.8536, B(0,4)= 0.7890

et R(0,1)=3.96%, R(0,2)=4.717%, R(0,3)=5,417%, R(0,4)=6,103%

Coupon Maturité (années) PrixTitre 1 5 1 101Titre 2 5.5 2 101.5Titre 3 5 3 99Titre 4 6 4 100

La courbe d’EtatLa méthode du bootstrap

Il s’agit d’une procédure en plusieurs étapes qui permet de reconstituer une courbe zéro-coupon au comptant «pas à pas» i.e. segment par segment de maturité.

1- Pour le segment de la courbe inférieur à 1 an:

Extraction des taux zéro-coupon grâce aux prix des titres zéro-coupon cotés sur le marché puis obtention d’une courbe continue par interpolation linéaire ou cubique (voir plus loin).

La courbe d’EtatLa méthode du bootstrap (2)

2- Pour le segment de la courbe allant de 1 an à 2 ans:

Parmi les obligations de maturité comprise entre 1 an et 2 ans, on choisit l’obligation à l’échéance la plus rapprochée. Ce titre verse deux flux. Le facteur d’actualisation du premier flux est connu grâce à l ’étape 1. Le facteur d’actualisation du second flux est solution de l’équation non linéaire

P = C B(0, t1) + (100 + C) B(0, t2) avec t1 <= 1 et 1< t2 <= 2

On obtient alors un premier point de courbe sur ce segment.

On réitère alors le même procédé avec l’obligation de maturité immédiatement supérieure mais toujours inférieure à 2 ans.


3- Pour le segment de la courbe allant de 2 ans à 3 ans:

On réitère l’opération précédente à partir des titres ayant une maturité comprise entre 2 ans et 3 ans.

...etc...


Exemple de Bootstrap

Taux à 1 an et 2 moissoit 5.41%

Taux à 1 an et 9 moissoit 5.69%

Maturité ZCOvernight 4.40%1 mois 4.50%2 mois 4.60%3 mois 4.70%6 mois 4.90%9 mois 5.00%1 an 5.10%

Coupon Maturité (années) PrixTitre 1 5% 1 an et 2 mois 103.7Titre 2 6% 1 an et 9 mois 102Titre 3 5.50% 2 ans 99.5

6/116/1 )1(

105

%)6.41(

57.103

x

12/9112/9 )1(

6

%)51(

6102

x


Exemple de Bootstrap (2)

Taux à 2 anssoit 5.79%

Taux à 3 anssoit 5.91%

On obtient le tracé de courbe suivant pour les maturités comprises entre 1 jour et 3 ans, en supposant que l’on raccorde linéairement l’ensemble des points.

21 )1(

5.105

%)1.51(

5.55.99

x

321 %)1(

105

%)79.51(

5

%)1.51(

56.97

x


4.00%

4.20%

4.40%

4.60%

4.80%

5.00%

5.20%

5.40%

5.60%

5.80%

6.00%

6.20%

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Maturity

Zer

o-C

ou

po

n R

ate

La courbe d’EtatLes différents types d’interpolation

Quand on utilise la méthode théorique directe ou le bootstrap, il est nécessaire de choisir une méthode d’interpolation entre deux points.

Deux sont particulièrement utilisées: les interpolations linéaire et cubique.

Interpolation linéaire:

On connaît les taux zero-coupon de maturités t1 et t2. On souhaite interpoler le taux de maturité t avec t1< t <t2

Exemple: R(0,3) =5.5% et R(0,4)=6%

)(),0()(),0()(

),0(12

2112

tttRtttRtt

tR

%875.51

%675.0%5.525.0)75.3,0( x

R

La courbe d’EtatLes différents types d’interpolation (2)

Interpolation cubique:

On procède à une interpolation cubique par segment de courbes. On définit un premier segment entre t1 et t4 où l’on dispose de 4 taux R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4).

Le taux R(0, t) de maturité t est défini par

sous la contrainte que la courbe passe par les quatre points de marché R(0, t1), R(0, t2), R(0, t3), R(0, t4). D’où le système à résoudre:

dctbtattR 23),0(

dctbtattR

dctbtattR

dctbtattR

dctbtattR

42

43

44

32

33

33

22

23

22

12

13

11

),0(

),0(

),0(

),0(


Exemple

On se donne les taux suivants :

R(0, t1) = 4%, R(0, t2) =5%, R(0, t3) = 5.5% et R(0, t4) = 6%

Calculer le taux de maturité 2.5 ans ?

R(0, 2.5) = a x 2.53 + b x 2.52 + c x 2.51 + d = 5.34375%

avec

02.0

07.0

0225.0

0025.0

%6

%5.5

%5

%3

141664

13927

1248

11111

d

c

b

a


Comparaison des deux interpolations

3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

5.00%

5.50%

6.00%

6.50%

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Maturité

Tau

x

LinéaireCubique

La courbe d’EtatLes méthodes indirectes

Ce sont les méthodes les plus utilisées en pratique

Principe: Pour un panier d’obligations à coupons, il s’agit de la minimisation de l’écart au carré entre les prix de marché et les prix reconstitués à l ’aide d’une forme a priori spécifiée des taux zéro-coupon ou de la fonction d’actualisation.

Soit un panier constitué de n titres. On note à la date t:

: prix de marché du j-ème titre.

: prix théorique du j-ème titre

: flux futur du j-ème titre tombant à la date s (s > t)

jtP

j

tP

jsF

La courbe d’EtatLes méthodes indirectes (2)

L’idée consiste à trouver le vecteur des paramètres tel que

On distingue deux grandes classes de modèles:

- les modèles type Nelson et Siegel fondés sur une modélisation des taux zéro-coupon (cf MP 28 à 34). Le prix théorique s’écrit:

g est la fonctionnelle des taux zéro-coupon. Le prix de l’obligation est une fonction non linéaire des paramètres d’estimation. La résolution d’un tel problème s’effectue à l’aide d’un algorithme de Newton modifié (cf MP p. 172 à 175).

2

1

n

j

jt

jt PPMin

s

tsgtsjs

s

js

jt eFstBFP );().(.),(


- les modèles à splines fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation.

f est une fonction linéaire des paramètres d’estimation. Par conséquent, le prix de l’obligation est également une fonction linéaire des paramètres d’estimation La résolution d’un tel problème est donc matricielle.

Cf MP p. 19 à 28 et p. 167 à 172

s

js

s

js

jt tsfFstBFP );(),(


Le modèle de Nelson et Siegel (1987)La fonctionnelle imaginée par Nelson et Siegel s’écrit :

: taux zéro-coupon de maturité 0: facteur de niveau; il s ’agit du taux long.

1: facteur de rotation; il s’agit de l’écart entre le taux court et le taux long

2: facteur de courbure

: paramètre d’échelle destiné à rester fixe au cours du temps

)exp(

)exp(1)exp(1,0( 210

CR

),0( CR


Le modèle de Nelson et Siegel (2)

Il est aisé d’exprimer les dérivées partielles de par rapport à chacun des paramètres béta, ce que l’on appelle les sensibilités des taux zéro-coupon aux paramètres béta (cf graphique suivant).

Ces sensibilités sont très proches de celles que l’on obtient historiquement en appliquant la méthode de l’ACP aux taux zéro-coupon.

On retrouve bien les facteurs de niveau, pente et courbure.

),0( CR


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Maturité des taux

Sen

sib

ilit

é d

es t

aux

béta 0

béta 1

béta 2


Effets de pente et courbure dans le modèle de Nelson et SiegelPour illustrer les effets de pente et courbure, nous allons d’abord tracer une courbe croissante classique en retenant le choix de paramètres suivant:

0 = 7%

1 = -2%

2 = 1%

= 3.33

Puis nous allons faire varier isolément chacun des paramètres 1 et 2 entre -6% et 6%.


La courbe de départ

0.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0 5 10 15 20 25 30

Maturity

Ze

ro-C

ou

po

n R

ate


Effet de pente dans le modèle de Nelson et Siegel

1.00%

3.00%

5.00%

7.00%

9.00%

11.00%

13.00%

0 5 10 15 20 25 30

Maturity

Ze

ro-C

ou

po

n R

ate


Effet de courbure dans le modèle de Nelson et Siegel

4.00%

4.50%

5.00%

5.50%

6.00%

6.50%

7.00%

7.50%

8.00%

8.50%

0 5 10 15 20 25 30

Maturity

Ze

ro-C

ou

po

n R

ate


Les formes de courbe possibles dans le modèle de Nelson et Siegel

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Maturity

Zer

o-co

up

on r

ate


Exemple d’évolution des paramètres dans le modèle de Nelson et Siegel (France - 1999 et 2000)

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

04/01/1999 17/04/1999 29/07/1999 09/11/1999 20/02/2000 02/06/2000 13/09/2000 25/12/2000

Val

ue

of

the

Par

amet

ers

béta 0

béta 1

béta 2


Inconvénients du modèle de Nelson et Siegel

Le modèle de Nelson et Siegel ne permet pas de reconstituer toutes les formes de courbes de taux que l’on peut rencontrer sur le marché, en particulier les formes à une bosse et un creux (voir slide suivante).

En outre, il manque de souplesse d’ajustement pour les maturités supérieures à 7 ans si bien que les obligations de telles maturités sont parfois mal évaluées par le modèle.

Le premier inconvénient peut être levé en utilisant le modèle de Svensson ou modèle de Nelson-Siegel augmenté.


Forme de courbe à une bosse et un creux

Maturity

Zer

o-co

upon

rat

e


Le modèle de Nelson et Siegel augmenté

La fonctionnelle s’écrit maintenant :

3 : paramètre de courbure supplémentaire qui a surtout une influence sur la partie courte de la courbe

2 : paramètre d’échelle

Cette extension donne plus de flexibilité à la courbe sur le secteur court terme.

)exp()exp(1

)exp()exp(1)exp(1

,0(

22

23

210

CR


Effet de courbure donné par 3

3.00%

3.50%

4.00%

4.50%

5.00%

5.50%

6.00%

6.50%

7.00%

7.50%

0 5 10 15 20 25 30

Maturity

Ze

ro-C

ou

po

n R

ate


Les autres modèles

1- La fonctionnelle des taux zéro-coupon dans le modèle stochastique de Vasicek (1977):

Elle est obtenue en modélisant le taux court sous la forme (voir séances suivantes pour une description complète du modèle)

2- Vasicek augmenté 1 (très proche de Nelson et Siegel)

a

a

aa

arRRRC

4

)exp(1)exp(1)(,0(

2

2

2

0

)()()( tdWdttrbatdr

a

a

a

arRRRC

4

)exp(1)exp(1)(,0(

2

00


Les autres modèles (2)

3- Vasicek augmenté 2 (très proche de Nelson-Siegel augmenté)

4- Fonctionnelle CIR et bien d’autres encore

b

b

a

a

a

arRRRC

4

)exp(1

4

)exp(1

)exp(1)(,0(

2

0

2

0

0


Exemples de reconstitution

Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations»

pages 6 à 12


Conclusion sur les modèles de type Nelson et Siegel

Le reproche souvent formulé à l’encontre de cette classe de modèles est leur insuffisante flexibilité. En revanche les variables de ces modèles sont interprétables financièrement.

Cette classe de modèles est en pratique le plus souvent utilisée pour l’analyse et la couverture du risque de taux de portefeuilles à flux connus (cf séance 2).

Nous allons à présent aborder les modèles à splines qui sont beaucoup plus flexibles mais présentent au contraire des paramètres qui ne sont pas interprétables d’un point de vue financier.


Les modèles à splines

Ils sont fondés sur une modélisation de la fonction d’actualisation.

Les plus célèbres sont les splines polynomiaux (cf Mc Culloch (1971,1975)) et les splines exponentielles (cf Vasicek et Fong (1982)).

Leur avantage tient à leur grande flexibilité qui leur permet de reconstruire toutes les formes de courbe rencontrées sur le marché.

Ils sont utilisés pour l’analyse «rich and cheap».


Principe des modèles à splinesIl faut d ’abord faire le choix d’une forme spécifique pour la fonction d’actualisation f(s-t;ß).

La méthode consiste à estimer les paramètres en minimisant l’écart au carré entre prix de marché et prix reconstitués.

Rappelons que le prix théorique de la j-ème obligation s’écrit:

où B(t,t) = 1 constitue la contrainte de la minimisation

A une date t, on écrit:

où est la partie résiduelle non expliquée par le modèle. jjj PP

j

s

js

s

js

jt tsfFstBFP );(),(


Principe des modèles à splines (2)Les résidus vérifient les conditions suivantes:

- en moyenne, ils sont nuls:

- ils sont non corrélés entre eux:

- il y a deux hypothèses possibles pour la variance

* soit on la suppose constante auquel cas les résidus sont homoscédastiques

* soit elle varie pour chaque titre auquel cas les résidus sont hétéroscédastiques

0)( jE 0),( kjCov

2)( jV

22)( jjV


Principe des modèles à splines (3)

Quand on fait la première hypothèse, on constate que la partie courte de la courbe est mal estimée. Dans ce cas, le vecteur des paramètres est obtenu par la méthode des MCO sous contrainte.

L’idée est donc de retenir la deuxième hypothèse en donnant plus de poids dans la minimisation aux obligations de maturité courte. Une façon de procéder est de choisir un poids égal à la duration de l’obligation:

jj Dur


Principe des modèles à splines (4)

Ce choix revient à résoudre le problème suivant:

Dans ce cas, le vecteur des paramètres est obtenu par la méthode des MCG sous contrainte ou MCO pondérés sous contrainte.

Ce choix est rationnel: il revient à dire que plus une obligation a une maturité longue, plus difficile est son prix à estimer.

2

1

n

jj

t

jt

jt

w

PPMin


Les splines polynomiaux1- Modélisation standard

Il est commun de considérer l’écriture standard comme dans l’exemple qui suit:

La fonction d’actualisation compte ici 12 paramètres.

On rajoute des contraintes de régularité sur cette fonction qui garantissent la continuité, la continuité de la dérivée première et de la dérivée seconde de cette fonction aux points de raccord 5 et 10.

20,10,)(

10,5,)(

5,0,)(

),0(3

22

22210

31

21115

30

20000

ssasbscdsB

ssasbscdsB

ssasbscdsB

sB


Les splines polynomiaux (2)

Pour i =0, 1 et 2:

Et la contrainte qui porte sur le facteur d’actualisation:

En utilisant l’ensemble de ces 7 contraintes, le nombre de paramètres à estimer tombe à 5:

)10()10(

)5()5()(

5)(

10

)(5

)(0

ii

ii

BB

BB

1)0(0 B

20,10,)10(])10()5[(

])5([1)(10,5,)5(])5([1)(

5,0,)(

),0(

32

331

330

20010

31

330

2005

30

20000

ssassa

ssasbscsBssassasbscsB

ssasbscdsB

sB


Les splines polynomiaux (3)

Le système précédent peut être écrit sous la forme suivante:

où est la fonction dite bornée de puissance.

Il y a une autre écriture de cette équation dans la base des B-splines. Cette écriture est devenu extrêmement classique.

20,0)10.(

)5.(1),0(3

12

301

200

spoursaa

saasbscsB

33 0,)( sMaxs


Les splines polynomiaux (4)2- Expression dans la base des B-splines

Les B-splines sont des fonctions linéaires de fonctions bornées de puissance. On écrit alors:

où les coefficients lambda sont définis comme suit:

et

2

3

43

43

2

3

1)(),0(

l

l

ljj

l

jili ji

lll

l scsBcsB

)(3 sBl

6543210123 201050

1)0()0()0,0( 31

3

32

3

l

lll

ll BcBcB


Les splines exponentiellesLes splines exponentielles ont été introduites par Vasicek et Fong (1982):

En utilisant les mêmes contraintes de régularité, on ramène le problème à 7 paramètres à estimer sous la contrainte lié au facteur d’actualisation (cf MP p 167-168).

Le paramètre alpha est un paramètre d’ajustement supplémentaire qui rend le problème non linéaire. L’idée consiste à résoudre le problème comme s’il était fixé, puis à chercher sa valeur optimale.

20,10,)(

10,5,)(

5,0,)(

),0(3

22

22210

31

21115

30

20000

seaebecdsB

seaebecdsB

seaebecdsB

sBsss

sss

sss


Le choix du nombre de splinesLe nombre de splines influe sur la qualité des résidus et le lissage de la courbe.

Plus il y a de splines et meilleurs sont les résidus. La courbe devient toutefois moins lisse, et peut passer par des points aberrants.

Moins il y a de splines et plus on lisse la courbe. Mais les écarts de prix peuvent devenir importants ce qui laisse à penser que la courbe est mal rendue.

Pour choisir au mieux ce nombre de splines, on peut utiliser la règle suivante.


Le choix du nombre de splines (2)On constitue deux paniers. Le premier panier dit de minimisation contient les titres qui ont permis d’obtenir les paramètres d’estimation. Le deuxième panier dit de vérification contient des titres qui n’ont servi lors de la minimisation.

Dans la mesure du possible, il faut que ces deux paniers soient homogènes, i.e contiennent à peu près le même nombre de titres, et les mêmes types de maturité (court, moyen et long).

Pour chacun de ces deux paniers, l’idée consiste à calculer l’écart de prix moyen:

n

PP

E

jt

nj

j

jt

2

1)(


Le choix du nombre de splines (3)

Ces deux écarts sont notés et .

La règle est la suivante:

1- On calcule ces deux écarts et on s’assure qu’ils sont inférieurs à la moyenne des fourchettes «bid-ask» (environ 10 centimes de prix). S’ils ne le sont pas, on augmente le nombre de splines jusqu’à temps qu’ils le deviennent.

2- On calcule la différence entre ces deux écarts:

* si elle est faible, le nombre de splines est bien spécifié.

* si elle est forte, le nombre de splines est probablement trop élevé. Il faut donc en retirer jusqu’à temps que cette différence devienne faible.

minE verifE


La localisation des points de raccord

La règle la plus logique consiste à localiser ces points de telle façon que chaque spline contienne à peu près le même nombre de titres.

Par exemple, sur le marché français, on définit 5 splines:

[0-1 an] : super court (BTF ou Monétaire + BTAN)

[1-3 ans] : court terme (BTAN)

[3-7 ans] : moyen terme (BTAN + OAT)

[7-10 ans] : long terme (OAT)

[10-30 ans] : très long terme (OAT)


Exemples de reconstitution

Voir polycopié intitulé «Séance 2 - Illustrations»

pages 1 à 5 et 13-14

La courbe interbancaireSélection des titres

Elle est construite à partir d’un panier d’instruments comprenant:

- les taux du marché monétaire, typiquement les taux Euribor en zone Euro. Ils sont généralement utilisés pour les maturités allant de 1 jour à 6 mois. Ce sont des taux linéaires exprimés en base Exact/360.

- les contrats futures sur taux d’intérêt, typiquement les futures sur Euribor 3 mois en zone Euro. Ils servent pour reconstituer la courbe des taux sur le segment allant de 6 mois à 2 ou 3 ans.

- les swaps standards typiquement les swaps standards Euribor 3 mois ou 6 mois en zone Euro. Ils servent à reconstituer la courbe pour les maturités supérieures à 2 ou 3 ans.

Il est nécessaire dans un premier temps de déduire les taux zéro-coupon des prix de ces instruments (cf exemple suivant).

La courbe interbancaireExemple de reconstitution

Les données de marché au 04/05/2000

Nombre de joursOvernight 1.00 4.0250%1W 7.00 4.0000%1M 30.00 4.1094%3M 90.00 4.2981%6M 180.00 4.4581%

Fin contrat Début période d'intérêt Prix des futures Mid rate19/06/00 21/06/00 95.5775 4.4225%18/09/00 20/09/00 95.2925 4.7075%18/12/00 20/12/00 95.0175 4.9825%19/03/01 21/03/01 94.9425 5.0575%18/06/01 20/06/01 94.8375 5.1625%17/09/01 19/09/01 94.7475 5.2525%

Maturité Nombre de jours Taux de swap1Y 3652Y 730 5.12%3Y 1095 5.32%4Y 1460 5.48%5Y 1825 5.60%6Y 2190 5.71%7Y 2556 5.80%8Y 2920 5.88%9Y 3285 5.93%10Y 3650 5.97%Contrats futures

Taux monétaires Taux de swap

La courbe interbancaireExemple de reconstitution (2)

1- Les taux Euribor sont des taux monétaires en base Exact/360, à convertir en taux zéro-coupon en base Exact / 365

Exemples:

%1767.41360

1%025.41)1(

1/365

jZC

%1488.41

3607

%0.41)7(7/365

jZC

Maturité Jours Taux Taux ZCOvernight 1 4.025% 4.177%

1W 7 4.000% 4.149%1M 30 4.109% 4.259%3M 90 4.298% 4.442%6M 180 4.458% 4.585%


2- Calcul des taux zéro-coupon implicites à partir des contrats futures sur Euribor 3 mois

Le prix du contrat Euribor 3 mois est égal à 100 moins le taux à terme 3 mois sous-jacent. Il s’agit précisément du taux à terme calculé à la date de reconstitution, démarrant à échéance du contrat et finissant 3 mois plus tard.

Dans notre exemple, le premier contrat arrive à échéance dans 46 jours. Le taux zéro-coupon interpolé linéairement pour cette maturité vaut 4.3078%. On en déduit alors le taux zéro-coupon de maturité 138 jours par la formule suivante (il y a 92 jours entre le 19/06/00 et le 19/09/00 +46 jours = 138 jours)

%4842.4)138(

136092

%4225.41%3078.41)138()138/365(

365/46

jZC

jZC


Pour l’ensemble des contrats futures, on obtient:

On obtient ainsi une série de taux zéro-coupon d’échéance les dates de fin de contrat + 3 M.

On calcule le taux ZC(365j) à partir des taux ZC(318j) qui correspond à l ’échéance 18/03/01, et ZC(411j) qui correspond à l’échéance 19/06/01.

Fin contrat Echéance taux ZC Prix des futures Mid rate Taux ZC19/06/00 19/09/00 95.5775 4.4225% 4.4842%18/09/00 18/12/00 95.2925 4.7075% 4.6466%18/12/00 18/03/01 95.0175 4.9825% 4.7895%19/03/01 19/06/01 94.9425 5.0575% 4.8995%18/06/01 18/09/01 94.8375 5.1625% 4.9898%17/09/01 17/12/01 94.7475 5.2525% 5.0578%


3- Calcul des taux zéro-coupon implicites à partir des taux de swap

Pour les swaps standards, les taux de swaps sont des taux de rendement au pair. Cela provient directement de la formule d’évaluation d’un swap.

Si R(0,t) désigne le taux zéro coupon de maturité t, le taux de swap TS(n) de maturité n est calculé comme suit:

d’où

100

),0(1

)(100...

)2,0(1

)(

)1,0(1

)(2

nnR

nTS

R

nTS

R

nTS

n

ii

n

iR

nRnTS

1 ),0(1(

1

),0(1

11100

)(


L’idée consiste donc à déterminer de proche en proche les taux zéro-coupon.

Connaissant le taux zéro-coupon à 1 an, on en déduit le taux zéro-coupon à 2 ans à partir du taux de swap 2 ans.

Puis, le taux zéro-coupon à 3 ans à partir du taux de swap 3 ans ...

On se retrouve donc avec une série de taux zéro-coupon pour les maturités correspondant aux maturités des instruments du panier. Il faut ensuite raccorder ces points pour obtenir une véritable courbe continue. Les méthodes d’interpolation classiques (linéaire et cubique) peuvent être utilisées. Il existe une méthode donnant de meilleures résultats qui consiste à écrire les taux zéro-coupon sous forme de sommes de B-splines cubiques.

La courbe interbancaireReconstitution à partir des B-splines

On dispose de N taux zéro-coupon notés R(0,s) déduits des prix des instruments de marché.

L’idée consiste à écrire le taux zéro-coupon théorique sous la forme de sommes de B-splines cubiques:

Puis on minimise la somme des écarts au carré entre les taux théoriques et les taux zéro-coupon issus des prix de marché:

l

l

ljj

l

jili ji

lll

l sasBasR4

34

3 1)(),0(

2

1),0(),0(

N

iii

aRRMin

l

La courbe interbancaireReconstitution à partir des B-splines (2)

Il existe une autre façon de procéder en transformant les prix des instruments de marché (taux de dépôt, contrats futures et swaps) en équivalent prix d’une obligation, puis à écrire classiquement la fonction d’actualisation sous forme de B-splines cubiques (comme nous l’avons fait pour la courbe d’Etat).

Les résultats en termes de reconstitution de cette méthode sont très proches de ceux obtenus avec la méthode précédente.

Nous traçons le 19/10/2000 la courbe interbancaire selon les deux méthodes (voir slides suivantes) à l’aide de B-splines cubiques et des splines suivantes: [0,1/2], [1/2,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6], [6,8] et [8,10].

cf MP pages 176 à 178

La courbe interbancaireReconstitution à partir des B-splines - Exemple

Interbank Curve - Cubic B-SplinesLeast Squared Method Based on Rates

DATE 19/10/2000

Sum of squared spreads 2.3971E-07Average spread 0.012%

Rate or Instrument Maturity Market Theoretical SpreadZC Rate ZC Rate

Procedure of minimization

1-week Euribor 26/10/00 4.911% 4.910% 0.001%1-month Euribor 20/11/00 5.017% 5.007% 0.009%2-months Euribor 19/12/00 5.066% 5.102% -0.036%3-months Euribor 19/01/01 5.198% 5.167% 0.031%

Euribor futures contract dec 00 19/03/01 5.228% 5.232% -0.004%Euribor futures contract march 01 18/06/01 5.263% 5.266% -0.003%Euribor futures contract june 01 17/09/01 5.280% 5.279% 0.001%Euribor futures contract sept 01 17/12/01 5.287% 5.283% 0.004%

2-years swap 21/10/02 5.311% 5.311% 0.000%3-years swap 20/10/03 5.384% 5.384% 0.000%4-years swap 19/10/04 5.465% 5.465% 0.000%5-years swap 19/10/05 5.552% 5.552% 0.000%6-years swap 19/10/06 5.648% 5.648% 0.000%7-years swap 19/10/07 5.733% 5.733% 0.000%8-years swap 20/10/08 5.803% 5.803% 0.000%9-years swap 19/10/09 5.861% 5.861% 0.000%

10-years swap 19/10/10 5.935% 5.935% 0.000%

La courbe interbancaireReconstitution à partir des B-splines - Exemple (2)

Interbank Curve - Cubic B-SplinesLeast Squared Method Based on Prices

DATE 19/10/2000

Sum of squared spreads 0.0003Average spread 0.0045

Rate or Instrument Maturity Coupon Market Theoretical SpreadPrice Price


1-week Euribor 26/10/00 0% 99.908 99.907 0.0011-month Euribor 20/11/00 0% 99.573 99.572 0.0012-months Euribor 19/12/00 0% 99.180 99.175 0.0043-months Euribor 19/01/01 0% 98.734 98.744 -0.010

Euribor futures contract dec 00 19/03/01 0% 97.914 97.915 -0.001Euribor futures contract march 01 18/06/01 0% 96.657 96.649 0.008Euribor futures contract june 01 17/09/01 0% 95.415 95.413 0.002Euribor futures contract sept 01 17/12/01 0% 94.191 94.198 -0.007

2-years swap 21/10/02 5.31% 100.000 99.997 0.0033-years swap 20/10/03 5.38% 100.000 100.001 -0.0014-years swap 19/10/04 5.45% 100.000 99.999 0.0015-years swap 19/10/05 5.53% 100.000 100.002 -0.0026-years swap 19/10/06 5.62% 100.000 99.995 0.0057-years swap 19/10/07 5.69% 100.000 100.007 -0.0078-years swap 20/10/08 5.76% 100.000 99.995 0.0059-years swap 19/10/09 5.81% 100.000 100.002 -0.00210-years swap 19/10/10 5.86% 100.000 100.000 0.000

La courbe interbancaireReconstitution à partir des B-splines - Exemple (3)

4.80%

5.10%

5.40%

5.70%

6.00%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Maturity of Rates

Zer

o-C

ou

po

n R

ates

Quoted Interbank Zero-Coupon Yield Curve

Fitted Interbank Zero-Coupon Yield Curve UsingRates

Fitted Interbank Zero-Coupon Yield Curve UsingPrices

Les courbes «corporate»

Nous nous intéressons au cas d’une courbe «corporate» qui correspond à un rating particulier ou à un rating et un secteur économique particulier.

Il est fréquent de tracer la structure par terme des spreads zéro-coupon. Cette courbe fournit l’écart en termes de taux zéro-coupon entre la courbe «corporate» et la courbe de référence qui peut être soit la courbe d’Etat, soit la courbe interbancaire.

Il existe deux façons de procéder pour obtenir la courbe des spreads zéro-coupon:

- la méthode disjointe qui consiste à estimer séparément la courbe «corporate» et la courbe de référence, puis à en faire la différence pour obtenir la courbe des spreads.

- la méthode jointe qui consiste à générer la courbe de référence et la courbe des spreads à partir d’une procédure en une étape.

Les courbes «corporate»La méthode disjointe

Pour mettre en place cette méthode, il suffit de constituer:

- la courbe de référence (Etat ou interbancaire);

- et la courbe «corporate» désirée en utilisant un panier d’obligations appartenant au secteur économique et au rating auquel on s’intéresse.

Les méthodes utilisées pour tracer la courbe «corporate» sont identiques à celles que l’on utilise pour tracer la courbe d’Etat.

Les courbes «corporate»La méthode jointe

On suppose que l’on souhaite générer en une seule étape la courbe de référence (Etat ou interbancaire) et les courbes de spreads pour n classes de risque différentes.

On définit à la date t de reconstitution:

: nombre d’obligations de la i-ème classe de risque.

: prix de marché du j-ème titre de la i-ème classe de risque

: prix théorique du j-ème titre de la i-ème classe de risque

: flux futur tombant à la date s (s > t) pour le j-ème titre de la i-ème classe

ijtP

ijtP

ijsF

iJ

Les courbes «corporate»La méthode jointe (2)

Soient:

: prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la i-ème classe de risque.

: prix du facteur d’actualisation en t d’échéance s pour la classe de référence (Etat ou interbancaire).

Il y a deux façons de décomposer le facteur d’actualisation:

- de façon additive:

où

- de façon multiplicative:

où

),( stBi

),(0 stB

),(),(),( 0 stSstBstB ii

),(),(),( 0 stTstBstB ii

0),(0 stS

1),(0 stT


Le premier cas est particulièrement avantageux car on écrit les fonctions d’actualisation sous forme de fonctions linéaires des paramètres à estimer.

Le deuxième cas est beaucoup plus intuitif dans la mesure où il se simplifie en:

si bien que le taux zéro-coupon risqué apparaît comme la somme du taux zéro-coupon de référence (Etat ou interbancaire) et d’un spread.

L’idée consiste alors à écrire les fonctions d’actualisation sous forme de fonctions splines, et à minimiser la somme des écarts au carré entre les prix de marché et les prix théoriques des obligations.

),(),(),( 0 sttstRstR Ci

CCi


On obtient ainsi en une seule procédure l’ensemble des paramètres pour les différentes fonctions d’actualisation, et par conséquent la courbe de référence et les i courbes de spread.

L’exemple ci-dessous reprend les méthodes disjointe et jointe. Nous considérons une seule classe risquée, en l’occurrence une sélection de banques de la zone Euro de rating A. La courbe de référence est la courbe interbancaire (de meilleur rating moyen que la classe risquée).

La fonction d’actualisation est décomposée sous forme additive.

Les 2 fonctions d’actualisation sont modélisées sous forme de B-splines cubiques.

Nous retenons les splines [0,1], [1,5] et [5,10] pour la fonction d’actualisation correspondant à la courbe interbancaire, et les splines [0,3] et [3,10] pour la fonction d’actualisation de la classe risquée.

Les courbes «corporate»Exemple de reconstitution

Disjoint Method - Cubic B-Splines

DATE 31/05/2000


Rate or Instrument Maturity Market Theoretical SpreadPrice Price


1-week Euribor 07/06/00 99.918 99.917 0.0021-month Euribor 30/06/00 99.646 99.639 0.0072-month Euribor 31/07/00 99.267 99.256 0.0113-month Euribor 31/08/00 98.874 98.865 0.009

6-month derived from Euribor futures contract 30/11/00 97.648 97.674 -0.0269-month derived from Euribor futures contract 28/02/01 96.418 96.455 -0.0361-year derived from Euribor futures contract 31/05/01 95.189 95.189 0.000

2-year swap 31/05/02 100.000 99.994 0.0063-year swap 30/05/03 100.000 100.015 -0.0154-year swap 31/05/04 100.000 99.999 0.0015-year swap 31/05/05 100.000 100.011 -0.0116-year swap 31/05/06 100.000 99.993 0.0077-year swap 31/05/07 100.000 99.990 0.0108-year swap 30/05/08 100.000 100.001 -0.0019-year swap 29/05/09 100.000 100.012 -0.01210-year swap 31/05/10 100.000 99.994 0.006

BNP PARIBAS 6 07/06/01 07/06/01 106.666 106.763 -0.097CREDIT NATIONAL 9.25 10/02/01 02/10/01 111.033 111.115 -0.082CREDIT NATIONAL 7.25 05/14/03 14/05/03 104.643 104.384 0.259

SNS BANK 4.75 09/21/04 21/09/04 99.411 99.338 0.074CREDIT NATIONAL 6 11/22/04 22/11/04 103.733 103.851 -0.118

BNP PARIBAS 6.5 12/03/04 03/12/04 106.184 105.857 0.327BNP PARIBAS 5.75 08/06/07 06/08/07 103.457 103.368 0.089

ING BANK NV 6 10/01/07 01/10/07 103.467 103.929 -0.462ING BANK NV 5.375 03/10/08 10/03/08 96.582 96.813 -0.230

COMMERZBANK AG 4.75 04/21/09 21/04/09 89.518 89.347 0.171BSCH ISSUANCES 5.125 07/06/09 06/07/09 95.564 95.315 0.249

BANK OF SCOTLAND 5.5 07/27/09 27/07/09 97.591 97.720 -0.129

Les courbes «corporate»Exemple de reconstitution (2)

Joint Method - Cubic B-Splines

DATE 31/05/2000


Rate or Instrument Maturity Market Theoretical SpreadPrice Price


1-week Euribor 07/06/00 99.918 99.918 0.0001-month Euribor 30/06/00 99.646 99.645 0.0012-month Euribor 31/07/00 99.267 99.266 0.0013-month Euribor 31/08/00 98.874 98.876 -0.003

6-month derived from Euribor futures contract 30/11/00 97.648 97.680 -0.0329-month derived from Euribor futures contract 28/02/01 96.418 96.445 -0.0271-year derived from Euribor futures contract 31/05/01 95.189 95.163 0.026

2-year swap 31/05/02 100.000 99.934 0.0663-year swap 30/05/03 100.000 99.961 0.0394-year swap 31/05/04 100.000 100.021 -0.0215-year swap 31/05/05 100.000 100.090 -0.0906-year swap 31/05/06 100.000 100.111 -0.1117-year swap 31/05/07 100.000 100.115 -0.1158-year swap 30/05/08 100.000 100.083 -0.0839-year swap 29/05/09 100.000 99.976 0.02410-year swap 31/05/10 100.000 99.784 0.216

BNP PARIBAS 6 07/06/01 07/06/01 106.666 106.643 0.024CREDIT NATIONAL 9.25 10/02/01 02/10/01 111.033 111.004 0.029CREDIT NATIONAL 7.25 05/14/03 14/05/03 104.643 104.770 -0.127

SNS BANK 4.75 09/21/04 21/09/04 99.411 99.626 -0.214CREDIT NATIONAL 6 11/22/04 22/11/04 103.733 104.088 -0.355

BNP PARIBAS 6.5 12/03/04 03/12/04 106.184 106.085 0.099BNP PARIBAS 5.75 08/06/07 06/08/07 103.457 102.605 0.852

ING BANK NV 6 10/01/07 01/10/07 103.467 103.168 0.298ING BANK NV 5.375 03/10/08 10/03/08 96.582 96.141 0.441

COMMERZBANK AG 4.75 04/21/09 21/04/09 89.518 89.532 -0.015BSCH ISSUANCES 5.125 07/06/09 06/07/09 95.564 95.784 -0.220

BANK OF SCOTLAND 5.5 07/27/09 27/07/09 97.591 98.272 -0.682

Les courbes «corporate»Exemple de reconstitution (3)

Euro Bank Sector A-Swap 0 Coupon Spread

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Maturity

Sp

read

(in

bp

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Disjoint EstimationMethod

Joint Estimation Method

Rich/cheap analysis

Bond picking strategies

• The bond relative value analysis

The goal of that analysis is to detect rich and cheap securities that historically present abnormal yields to maturity, taking as reference a theoretical zero-coupon yield curve fitted with bond prices.

The method can be developed both for Treasury and corporate bonds.

We take here the example of the French Treasury bond market.

We build a strategy that belongs to alternative fixed-income strategies, and back-test it from 1995 to 2001.

• How it works ?

Bond rich-cheap analysis proceeds in five steps

1- We construct the adequate current zero-coupon yield curve with a spline model using data for assets with the same characteristics in terms of liquidity and risk.

2- Then compute a theoretical price for each asset to obtain the spread between the market yield to maturity and the theoretical yield to maturity.

3- For each asset, we implement a Z-score analysis so as to distinguish actual inefficiencies from abnormal yields. This statistical analysis provides signals of short or long positions to take in the market.

4- Short and long positions are unwound according to a criterion that is defined a priori.

• Z-score analysis

At date t and for a given bond, we use the historical of the 60 last spreads.

1- We define the value Min such that x% of the spreads are below that value, and the value Max such that x% of the spreads are above that value. is the value of the spread at date t+1.

2- When converges to 1 or exceeds 1, the bond is considered cheap.On the other hand, when this ratio converges to zero or becomes negative, the bond is considered expensive.For other values of this ratio, we conclude that the bond is fairly priced.

1tS

MinMax

MinSt

1

• Example of Z-score analysis

Suppose that we obtain the following historical distribution for the spread of a given bond over the last 60 working days

For x = 5, Min = -0.0888% and Max = 0.0677%. One day later, the new spread is 0.0775% so that the ratio is equal to 1.063. The bond is cheap.

Historical Distribution

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-0.1

0%

-0.0

8%

-0.0

6%

-0.0

4%

-0.0

2%

0.0

0%

0.0

2%

0.0

4%

0.0

6%

0.0

8%

Classes

Fré

qu

en

cy

• When to unwind the position ?

The issue lies in the decision timing to reverse the position in the market.Many choices are possible. We expose here two of them:

- it can be the first time when the position generates a profit net of transaction costs

- another idea is to define new values Min (Max) such that y% of the spreads are below this value.

For example, if the signal is detected for x = 1, the position can be reversed in the market for y = 15, which means that the spread has now a more normal level.

• Back-test of a systematic method on the French market

- We boost the performance of a monetary fund of Eur 50 million by benefiting of arbitrage opportunities detected by our model.

- Two different funds are created:one is defensive with a leverage coefficient of 2 as the other one is offensive with a leverage coefficient of 4.

- The Z-score analysis is performed over a 100-day period. The value x, which provides the signal to enter the position is equal to 3%. The fixed level, which is chosen to reverse the position is equal to 25%.

- Short and long positions are financed by means of the repo market. The repo rate raises by 50bp when the bond is cheap and decreases by 50bp when the bond is expensive.

• Back-test of a systematic method on the French market (2)

- An arbitrage opportunity is a pair of bonds which meets the three following rules:

* one bond cheap and one bond expensive* the difference of maturity between the two bonds is inferior

to 1 year. * we buy a nominal of Eur 50 million of the cheap bond and sell the expensive bond for a nominal amount N such that the global position is $duration neutral.

- We applicate a stop-time of 30 calendar days on each position.

• Graph results

Evolution of the Net Asset Value from 31/05/95 to 31/12/01

50 000 000

55 000 000

60 000 000

65 000 000

70 000 000

75 000 000

80 000 000

85 000 000

90 000 000

31/05/95 26/03/96 20/01/97 16/11/97 12/09/98 09/07/99 04/05/00 28/02/01 25/12/01

Defensive Fund

Offensive Fund

Monetary Fund

• Regular performances

nb of months with positive performance for the defensive fund: 84 (100%)

mean of monthly total returns: 0.48%

higher total return: 3.47% (sept. 95) lower total return: 0.04% (oct. 95)

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

• An uncorrelated strategy / An attractive Sharpe ratio

Money Market

French govt 10Y

MSCI Euro corporate

MSCI Euro Debt SP 500 CAC 40

DefensiveFund

Money Market 1,00 0,34 0,39 0,33 -0,06 -0,21 0,22French govt 10Y 1,00 0,87 0,94 0,00 0,03 -0,06MSCI Euro corporate 1,00 0,80 0,06 0,04 0,11MSCI Euro Debt 1,00 0,12 0,13 -0,01SP 500 1,00 0,68 0,08CAC 40 1,00 -0,12Defensive Fund 1,00

Money market

French govt 10Y

MSCI Euro corporate

MSCI Euro Debt SP 500 CAC 40

Def. Fund

risk 0,29% 2,96% 3,20% 3,66% 16,09% 20,31% 1,73%return 3,85% 6,54% 6,27% 7,93% 11,24% 13,33% 5,75%

Sharpe 0,912 0,758 1,115 0,460 0,467 1,097

• Risk measures

Skewness 3.84Kurtosis 17.58

Downside deviation 0.18%Upside deviation 0.46%

Maximum drawdown 0.97%Sortino ratio 3.08

• Leverage coefficients for the defensive fund

PON: Difference between bonds bought and bonds sold as a multiple of the initial value of the funds (Eur 50 million)

POA: Total of bonds bought as a multiple of the initial value of the funds (Eur 50 million)

POV: Total of bonds sold as a multiple of the initial value of the funds (Eur 50 million)

Leverage coefficients are multiplied by 2 for the offensive fund.

Max PON Min PON MoyennePON

Max POA MoyennePOA

Min POV MoyennePOV

1.96 -1.67 0.05 10.53 1.02 -11.25 -0.97

• Statistics on arbitrages

172 arbitrage opportunities from 31/05/95 to 31/12/01

average length of an arbitrage: 2 weeks

1- Total of transaction costs: Eur 7.5 million2- Total of repo costs: Eur -0.7 million

3- Total of gains: Eur 7.6 million

4- Total of gains for positive arbitrages: Eur 9 million5- Total of losses for negative arbitrages: Eur 1.4 million

6- Maximum gain for one arbitrage: Eur 3446167- Maximum loss for one arbitrage: Eur -138452

• Conclusion

At the moment, the number of arbitrage opportunities detected by the market is about 15 in a year.

To be really competitive, this method needs to be implemented on all the T-Bond markets of the Eurozone.

The model is also robust to consider arbitrage opportunities on investment grade markets.

MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine Séance 2

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