De la santé à la démence en passant par CIND: un modèle à risques semi-compétitifs
Modèle semi-classique
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Physique du Solide
Modèle semi-classique
Application d'un champ électrique :masse effective et notion de trou
Introduction
IV. Dynamique des électrons de Bloch
Physique du Solide
Introduction
Modèle semi-classique pourquoi ?
Description presque rigoureuse et quantique des interactions entre les états électroniques et le potentiel périodique du réseau
Description classique des effets de excitations externes : champs électriques, champs magnétiques, (gradients de T)
Modèle de la dynamique = Modèle des propriétés de transport
IV. Dynamique : Introduction
Physique du Solide
Paquets d'ondes
Pour pouvoir utiliser les équations de la dynamique classique :
Construction d'un paquet d'ondes à partir des solutions de l'équation de Schrödinger
Cas des électrons libres :
Dynamique du gaz d'électrons libres = Dynamique de particules classiques
Rigoureusement : le traitement du chapitre II est incorrect !
Mais on peut s'imaginer la "béquille" suivante :
IV. Dynamique : Introduction
Physique du Solide
Paquets d'ondes planes :
€
Ψ r
r , t( ) = ar ′ k ( )e
ir k '
r r −
hr
′ k 2
2mt
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
r ′ k
∑
k
: vecteur d'onde moyen du paquet d'ondes
r
: position moyenne de l'électron
La vitesse du paquet d'onde est la vitesse de groupe :
€
rv =
∂ωr k ( )
∂r k
=1
h
∂Er k ( )
∂r k
=1
hgrad r
k E
r k ( )
Pour des électrons libres :
mp
mk
v
avec
€
ar ′ k ( )notable seulement pour kk
€
ar ′ k ( ) ≈ 0 pour
r ′ k −
r k >> Δ
r k ( )
a(k')
k'k
lΨl2
xt = 0 t = t1
t = t2
Dx
IV. Dynamique : Introduction
Physique du Solide
Paquets d'ondes des électrons de Bloch
Construction d'un paquet d'ondes :
€
Φnr r , t( ) = a
r ′ k ( )
r ′ k
∑ Ψn,
r ′ k
r r ( )e
−iEn
r ′ k ( )
ht
kkkpour0ka
Davec
Autre supposition : Dk petit devant la 1ère zdB, 1Gk
D
Vitesse du paquet d'ondes :
€
rv =
1
h
∂En
r k ( )
∂r k
=1
h
r ∇ r k En
r k ( )
IV. Dynamique : Introduction
Physique du Solide
aLargeur du
Paquet d'ondes
Champ externe
Largeur du paquet d'ondes dans l'espace direct :
Relation de Heisenberg :
DDDD krprk1
r D
D
commea1
k D
ar D
IV. Dynamique : Introduction
Physique du Solide
Mécanisme de "rappel" : collision
Comme dans le cas du modèle de Drude ou du modèle de Sommerfeld il faut introduire la notion de collision des électrons
Collisions pourquoi et avec quoi ?
Toute perturbation de la périodicité parfaite du réseau
- impuretés
- défauts
- surface
- Phonons
Sans mécanisme de rappel : pas de retour à l'équilibre possible !!!
IV. Dynamique : Introduction
Physique du Solide
Hypothèses du modèle :
- le modèle décrit l'évolution de la position et du vecteur d'onde d'un électron entre deux collisions
- la structure de bandes est connue
€
En
r k ( )
- pas de transitions interbandes
IV. Dynamique : Modèle semi-classique
Physique du Solide
IV. Dynamique : Introduction
Rappel : Nouvelle définition d'un électron
On considère la valeur moyenne de la position et de l'impulsion d'un paquet d'onde construit à partir des ondes de Bloch, et on considère comme
trajectoire (en sens classique) l'évolution temporelle de cette valeur moyenne de position et de cette valeur moyenne d'impulsion.
Avec cette conception on peut utiliser le Théorème d'Ehrenfels :"Les valeurs moyennes de la mécanique quantique
suivent les lois de la mécanique classique"
Commentaire : Ces particules n'ont plus du tout le comportement bien connu d'une petite "bille"
Physique du Solide
Équations de mouvement :
extFdt
k
t
p
et
€
rv n
r k ( ) =
∂r r
∂t=
1
h
r ∇ r k En
r k ( )
kp
Attention : n'est plus la quantité de mouvement classique mais le
moment cristallin ! La contribution du réseau cristallin à l’impulsion de l’électron est donc formellement retirée de l’équation grâce au fait que n'est défini qu'à un vecteur du réseau réciproque près
k
G
IV. Dynamique : Modèle semi-classique
€
rF ext = −e
r Ε
r r , t( ) +
r v n
r k ( ) ×
r B
r r , t( )[ ]avec
Dans le solide, les forces extérieures appliquées à l’électron s’ajoutent à la force appliquée par le réseau cristallin. L’expression complexe de cette dernière rend l’étude de la dynamique de l’électron quasiment impossible. On admet sans preuve la validité des équations de mouvement classiques pour entre les collisions !
k
Physique du Solide
Bandes d’énergie utiles :
Bandes utiles = Bandes coupées par le niveau de Fermi
si En > EF Bandes vides
si En < EF Bandes pleines
€
rv n
r k ( ) =
∂r r
∂t=
1
h
r ∇ r k En
r k ( )Rappel :
k
En(k)
vn(k)
Symétrie !
IV. Dynamique : Modèle semi-classique
Physique du Solide
dt
vdmF n
ext
*
dt
dE
dt
vd nk
n
1
nextn vF
dt
dE .Or
nextkn vF
dt
vd
.
1 nkext
n vFdt
vd
1 nkkextn EF
dt
vd
2
1
*m
F
dt
vd extn
nkk E
m
2*
11
2
222
2
2
22
22
2
2
2*
11
zzyzx
yzyyx
xzxyx
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
kk
E
kk
E
kk
E
k
E
m
Montrons que la RFD peut s’écrire :
avec
IV. Dynamique : Relation Fondamentale de la Dynamique
On a :
€
rv n
r k ( ) =
1
h
r ∇ r k En
r k ( )
Physique du Solide
On garde donc l’expression formelle de la relation fondamentale de la dynamique en ne considérant que les forces extérieures au système, ceci à condition de remplacer la masse de l’électron libre par une masse effective dynamique (ou masse effective) m*.
Cette masse effective est définie par :jiij kk
E
m
2
2
11
La masse effective est un tenseur symétrique.
La masse effective est proportionnelle à l’inverse de la courbure de la structure de bande.
IV. Dynamique : Masse effective
Physique du Solide
Électrons légers (m* faible)
Électrons lourds (m* élevée)
B. Cond
B. Val
kikj
m* < 0 Introduction d’électronsaux masses négatives...
Trous
Physiquement, que se passe-t-il pour un électron dans la bande de valence et proche du bord de ZDB ?Une force extérieure, qui lui est appliquée, tend à l’accélérer, et donc à le rapprocher du bord de ZDB. Dans cette configuration, le réseau lui appliquera une force (s’opposant à la force extérieure) beaucoup plus importante que cette dernière. L’impulsion qui lui sera transférée par le réseau sera largement supérieure et opposée à l’impulsion transférée par la force extérieure.
Cet effet est lié à la proximité des conditions de réflexion Bragg.
IV. Dynamique : Masses effectives
Physique du Solide
La densité de courant s'écrit
€
rj = −e
2
L3
r v
étatsoccupés
∑ = −ed 3k
4π 3
1
h
r ∇ r k En
r k ( )
étatsoccupés
∫
k
En(k)
vn(k)Cependant
€
−e2
L3
r v
bandeentière
∑ = −ed 3k
4π 3
1
h
r ∇ r k En
r k ( )
bandeentière
∫ = 0
i.e. 0vL2
evL2
e
videsétats
3
occupésétats
3
Donc :
occupésétats
3 vL2
ej
ou
videsétats
3 vL2
ej
Description du courantsoit par des électronssoit par des "trous"
IV. Dynamique : Champ Électrique
Les trous sont des lacunes d’électrons
Physique du Solide
Propriétés des trous :
IV. Dynamique : Champ Électrique
k
En(k)
Application d’un champ électriqueE
E
k
En(k)
E
Bande pleine d’électrons Avec un état vide
Tous les électrons se déplacent dans l’espace des
k de gauche à droite
La lacune d’électron se déplace dans l’espace des k
de droite à gauche
Physique du Solide
Propriétés des trous :
IV. Dynamique : Champ Électrique
i. Vecteur d'onde du trou
et kk
ii. Charge du trou
extFdt
k
On sait que : EeEqdt
ke
e
)(
Pour l’électron :
Eqdt
kt
t
Pour le trou :
Or et kk
Donc : eq t
D’après le point précédent, l’ impulsion des trous est opposée à celle des électrons. D’où :
Physique du Solide
iii. L'énergie des trous
k
E
ke
0
Enlèvement d'un électron d'énergie Ee(ke)
L'énergie du système : 0kE ee
Cette énergie correspond à l'énergie d'un trou avec ke, ou
eeet kEkE
mais ttttet kEkEkE
doncet EE
L‘échelle des énergies est inversée pour les trous !
IV. Dynamique : Champ Électrique
Physique du Solide
iii. L'énergie des trous
k
E0
Partons d’une bande d’énergie pleine d’électrons. Si on enlève un électron, comment vont se réorganiser les électrons restant pour minimiser l’énergie du système ?
et EE
IV. Dynamique : Champ Électrique
Les électrons vont venir occuper la lacune d’électrons en « descendant » l’échelle d’énergie (sauts de gauche).
Cette lacune va donc se déplacer vers des énergies électroniques de plus en plus grandes (sauts de droite).
On en conclue que lorsqu’un trou se désexcite, il va occuper des états d’énergie électronique de plus en plus grande, donc son échelle d’énergie est inversée par rapport à celle des électrons.
Physique du Solide
iv. Masse effective des trous
mt* est positive !
IV. Dynamique : Champ Électrique
On sait que la masse effective est proportionnelle à la courbure de la relation de dispersion.
Or l‘échelle des énergies est inversée pour les trous !
Donc lorsque la masse effective de l’électron est négative (courbure vers le bas), celle du trou est positive
k
E
ke
0
**te mm et
Physique du Solide
IV. Dynamique : Champ Électrique
et vv
v. Vitesse du trou
eee vmk
.*
ttt vmk
.*
et kk
**te mm
L’impulsion des particules s’écrit :Pour l’électron :
Pour le trou :
Or : et
Donc :
Physique du Solide
(/a; /a) XM
Énerg
ie
(0;0) (/a;0)
XC
XV
MC
MVEF
Exemple en 2DUne bande d'électrons
Une bande de trous
IV. Dynamique : Champ Électrique
Physique du Solide
Modèle semi-classique : les électrons sont représentés par des paquets d'ondes de Bloch :
€
Φnr r , t( ) = a
r ′ k ( )
r ′ k
∑ Ψn,
r ′ k
r r ( )e
−iEn
r ′ k ( )
ht
€
ar ′ k ( ) ≈ 0 pour
r ′ k −
r k >> Δ
r k avec
Leur vitesse est :
€
rv =
1
h
∂En
r k ( )
∂r k
=1
h
r ∇ r k En
r k ( )
Le mécanisme de "rappel" qui assure un retour à l'équilibre sont des collisionsL'équation de mouvement entre deux collisions pour un paquet d'onde est donnée par :
€
∂ r
p
∂t= h
∂r k
dt=
r F ext = −e
r Ε
r r , t( ) +
r v n
r k ( ) ×
r B
r r , t( )[ ]
La densité de courant portée par une bande est :
€
rj = −e
2
L3
r v
étatsoccupés
∑ = −ed 3k
4π 3
1
h
r ∇ r k En
r k ( )
étatsoccupés
∫
Les bandes vides et les bandes entièrement occupées ne contribuent pas à la conduction
IV. Dynamique : Résumé
Physique du Solide
IV. Dynamique : Résumé
La masse effective définit par :
contient toutes les interactions électron - potentiel périodique du réseau
2zk
E2
ykzkE2
xkzkE2
zkykE2
2yk
E2
xkykE2
zkxkE2
ykxkE2
2xk
E2
1
k
kE1
m
122
2
2*
Physique du Solide
Le courant dans une bande presque vide est décrit avec des électronsLe courant dans une bande presque pleine est décrit avec des trous
Propriétés des porteurs de charge :
Charge
Vecteur d'onde
Énergie
Vitesse
Masse effective
électron trou
-e +e
et kk
ek
€
En
r k e( )
€
En
r k t( ) = −En
r k e( )
k
E1v ne
et vv
1
2
22
k
nE*em
*
e*t mm
IV. Dynamique : Résumé