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Institut International de Management

Modle de WilsonThorie, Pratique & Prvisions BACHA Sad

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I- Mthode du lot conomique ou formule de Wilson :1- Introduction : Par mthode de gestion conomique des stocks, on entend une mthode essentiellement base sur la rduction des cots lis la gestion des stocks. Dans la 1re Sance nous avons consacr ce thme, nous avons distingu et regroup les lments de cot des stocks en trois groupes :o o o

Le cot de passation des commandes; Le cot de possession des stocks Le cot de pnurie

Passer une commande gnre en effet un cot. Le cot de passation des commandes saccrot au multiple du nombre de commandes mises durant une priode. De mme, possder du stock a un cot. Et ce dernier saccrot lui aussi en fonction des quantits stockes dans les magasins. L'tude de ces deux types de cots et du cot total qui en rsulte, permet de dterminer le nombre de commandes partir duquel le cot global de Gestion des stocks est le plus bas. La mthode de Wilson est inspire dune logique simple :o

En rduisant le nombre de commandes passes sur une priode (gnralement annuelle), on diminue le cot de passation global des commandes ; Il est dautre part possible de limiter et de maintenir un niveau acceptable les quantits du stock gr, simplement en le renouvelant de faon plus rgulire.

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On est l face deux objectifs contradictoires. D'un cot on souhaite rduire le nombre de commandes, de l'autre cot le maintien et le renouvellement rgulier du stock provoque une augmentation du nombre de commandes. Wilson propose une formule mathmatique et une mthode graphique qui permettent dobtenir pour un nombre de commande et un stock moyen donns, un cout de gestion des stocks est le plus bas : le cout optimale Grce la mme formule, on peut dterminer le nombre de commandes optimal ainsi que la taille du lot de marchandise pour chaque commande. Il sagit du lot conomique (Q).

NB : La formule de Wilson sapplique une seule rfrence ou un seul article et non pas un lot, un groupe, une catgorie ou une famille darticles la fois. Pour plus de dtail sur sont application, je vous recommande la lecture du titre III relatif au Modles dapprovisionnement, du prsent document.

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2- la logique de la mthode Wilson : Nous allons dans le tableau qui suit tayer votre comprhension de cette mthode par un exemple assez simple : On part sur des bases simple :

o o o o o o o

Au dbut de la priode, nous avons un stock initial nul. (SI = 0) ; A la fin de la priode, les consommations tant rgulires, le stock prsent est tant lquivalent de la dernire commande entre. (SF = Qt Commande) ; Le stock moyen est la moyenne du stock initial et du stock final. (SM = (SI + SF)/ 2) 2 Lcoulement du stock est proportionnel la priode de consommation consommati Valeur du stock moyen = Cot unitaire de larticle x Stock Moyen Cot des commandes = Nombre de commande de la priode x Cot de passation d'une commande ; Lot conomique par commande = Consommation totale de la priode divise par le Nombre de commandes ; Cot total = Cot des commandes + Cot de possession des stocks

Le service comptable de lentreprise fournie par ailleurs les informations suivantes pour larticle A : o Consommation annuelle : 500 pices p o Cot unitaire de passation de commande : 200 DZD o Prix d'achat de larticle A : 250 DZD / unit o Cot de possession du stock : 10% du stock moyen

Daprs la mthode de Wilson, la solution la plus conomique consisterait passer pour cet article 6 commandes annuelles de 83 units chacune et pour un cot total optimis de 2241,7 cot DZD. On saperoit bien que pour une quantit Q diffrente, le cot total varie la hausse. .

3- Les limites la mthode de Wilson : La mthode de Wilson est dans la ralit difficilement applicable avec une telle exactitude, car elle tient uniquement compte dun avenir certain. Les consommations sont considres comme rgulires et connues, les dlais dapprovisionnement stables, les prix unitaires indpendants des quantits commandes, les remises de prix, les pnuries et les ruptures de stocks ne sont pas prises en compte Cest une formule qui rside uniquement sur deux paramtres : le cot de possession des stocks et le cot de passation des commandes. Or ce niveau aussi, la ralit est bien diffrente. Hors mis le cot du transport qui effectivement varie en fonction du nombre de commandes, les autres lments de cots (loyers, salaires, lectricit) pris en compte dans lvaluation des cots de possession et de passation ne sont pas forcment variables en fonction des quantits ou du nombre de commandes. Pour avoir un rsultat mieux adapt au contexte, cette formule est associe et complte par dautres mthodes dvaluation ; notamment, les mthodes de prvisions afin de rguler les quantits passer effectivement chaque commande. 3-1. Les Mthodes de Prvisions : Il existe des les logiciels utiliss pour la gestion des stocks qui intgrent de nombreuses fonctions de calcul. Lune des plus importantes est lexcution des prvisions des consommations futures dun article donn. Ces prvisions sont estimes partir dune tude sur les consommations antrieures. Les diverses mthodes bases sur lobservation dhistoriques sont connues sous le nom de mthodes empiriques. Lvaluation des consommations futures se fait par extrapolation des donnes sur une chelle de temps. En marge des dmonstrations mathmatiques, voici dans la suite quelques-unes de ces mthodes accompagnes dun exemple dapplication. Il est cependant important de noter que : les prvisions des consommations prennent leur gense dans les magasins situs en aval de lentreprise et progressent vers lamont; elles sont faites une priode prcise afin de permettre aux gestionnaires de planifier les approvisionnements des magasins situs en amont sur les priodes venir; dans la pratique, elles sont rarement excutes pour tous les articles, on prfre les appliquer sur des catgories bien slectionnes (les articles les plus rentables, les plus coteux, les plus sensibles, en bref les stocks dsigns comme critiques) ; elles dbouchent dans la plus part des cas la rvision des modles dapprovisionnement, des stocks minimum et maximum des articles.

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A- Le traitement informatique des prvisions de consommation Traditionnellement, les consommations de chaque article sont enregistres toute fois quune sortie est saisie dans le progiciel de gestion des stocks. Ces enregistrements forment les historiques de consommation ou encore une srie chronologique. Afin de mettre en vidence ses variations dans le temps, la srie chronologique est reprsente sous forme de graphique courbe. Grce lapplication de formules mathmatiques, une courbe appele courbe de tendance est calcule. Elle pouse lvolution des consommations en ramenant la moyenne lensemble des fluctuations existantes. La courbe de tendance peut tre linaire, exponentielle, logarithmique ou polynomiale. A partir des simulations, sur le programme de traitement, il est possible de retrouver celle qui sadapte le mieux lvolution des consommations dont dispose le gestionnaire des stocks. Par extrapolation de cette courbe sur un graphique, lon prvoit aisment la consommation pour les priodes futures. Les nouvelles gnrations de progiciels intgrent cette fonction. Cependant, les logiciels tels que Microsoft Excel sont bien adapts au traitement automatique des prvisions de consommation des articles. B- Les typologies de sries chronologiques : Lobservation de la reprsentation graphique des historiques de consommation peut montrer lexistence de divers types de sries chronologiques : Lorsque les consommations varient de faon peu irrgulire en maintenant une allure horizontale, on parle de srie constante ; Lorsque les consommations varient priodiquement de faon trs significative, on parle de srie cyclique. Mais si la priode du cycle est annuelle, on parle alors de srie saisonnire ; Lorsque les consommations varient en prenant une allure gnrale croissante ou dcroissante, on parle de srie tendance.

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Parmi les mthodes de prvisions on retrouve des mthodes adaptes au court terme et aux sries constantes : la mthode des moyennes mobiles ; la mthode de lissage exponentiel ; une mthode adaptes au long terme et aux sries cycliques et tendance : la mthode de dcomposition ou des moindres carrs ; et enfin une mthode adapt aux systmes de magasins en rseau : la mthode de consolidation des besoins prvisionnels.

C- Les Mthodes de Prvisions : C.1- Prvisions par la Mthode des Moyennes Mobiles ou Moyennes Glissantes : Cest une mthode base sur lusage de la moyenne des consommations antrieures pour un nombre de priodes donnes. Son avantage est quelle attnue suffisamment les fluctuations des consommations tout en prservant leur allure gnrale. Ci-dessous vous pouvez observer les prvisions de consommation de farine dans une dessous boulangerie.

C-2. Prvisions par la Mthode du Lissage Exponentiel : Cest une mthode qui prend en compte la prvision de la priode antrieure. cette prvision, lon augmente lcart subit, pondr dun coefficient compris entre 0 et 1. Pn = Pn-1 + (Dn-1 Pn-1) Avec : Pn : (prvision de la priode n) Pn-1 : (prvision de la priode antrieure n-1) n : (coefficient de lissage) Dn-1 : (demande relle de la priode antrieure n-1) n Le choix de la valeur de se fait par essaies et erreurs. La valeur retenue est ce qui celle minimise lerreur de prvision. Dans la pratique, le coefficient est proche de 1 lorsque la demande est tr fluctuante. trs Cependant, pour une demande stable et qui ne prsente pas de variation cyclique significative, ce coefficient est plus proche de 0.

C-3. Prvisions par la Mthode des Moindres Carres : C Cette mthode utilise gnralement trois valeurs pour estimer la prvision des consommations dune priode venir : Pn= Tn. Cn. Rn, Avec Pn = prvision des consommations, Tn = Rn tendance de la priode ; Cn = coefficient cyclique ; Rn = valeur rsiduelle de la priode. Calcul de la tendance La mthode des moindres carrs est celle qui permet dterminer, grce des formules mathmatiques, lquation linaire de la droite de tendance ou droite des moindres carrs : tenda Tn=an+b. Pour la reprsenter sur un repre orthonorm, on place sur laxe des abscisses X les priodes dans le temps (annes, trimestres, mois) et sur laxe des ordonne Y les consommations en nombre dunits. Le calcul des valeurs de a et b se fait par lapplication des formules suivantes :

Calcul du coefficient cyclique Lorsque lobservation dune srie chronologique rvle des variations cycliques, il est judicieux de prendre en considration ces dernires dans le calcul des prvisions. Ces dans variations peuvent tres justifies par : La saison : (climat, rentre scolaire, vacances scolaires). Un vendeur de glace observera une augmentation de ses ventes durant les saisons sches. De mme, le vendeur de fournitures scolaires observera un pic de ses ventes durant les priodes de rentre scolaire. itures Un planning de maintenance : (frquences de rvision) durant la priode de rvision dun quipement, la consommation des pices de rechanges grs dans les magasins subira magasin une augmentation Un vnement du calendrier : (fte religieuse, fte nationale, fte des mres, journe internationale de la femme) les besoins en textile augmentent durant ces priodes de lanne. Le coefficient cyclique est une valeur numrique et estime en pourcentage. Il correspond une variation cyclique croissante ou dcroissante dune srie chronologique. Lorsquil reprsente une variation observe une fois tous les ans, il porte le nom de coefficient saisonnier. Lorsquune saison couvre plusieurs priodes de la srie chronologique, un .

coefficient unique peut tre calcul pour la saison. Il porte alors le nom de coefficient de saisonnalit et sapplique uniquement sur les priodes correspondantes de cette saison. Traditionnellement, les calculs des coefficients saisonniers Cs1 et de saisonnalit Cs2 se font par lapplication des formules suivantes :

Dans le tableau ci-dessus, les saisons ont t dcoupes en trimestres. Lindice de saisonnalit dessus, du trimestre sappliquera uniquement aux mois dudit trimestre. Calculons ici les prvisions des mois de fvrier et avril de lan n+1. Lindice du mois de fvrier est 12+2=14. Celui du mois davril est 12+4=16

Pn=Tn+ Cs2n= (0,402 n + 70,303) Cs2n Prvision du mois de fvrier n+1= P14 = (0,402x14 + 70,303) x 96% Prvision du mois davril n+1 = P16 = (0,402x16 + 70,303) x 110%

Utilisation du facteur rsiduel :

Comme son non lindique, le facteur rsiduel reprsente linfluence que pourrait avoir sur les consommations venir lensemble des vnements inhabituels voire totalement imprvisibles. Il pourrait sagir dune catastrophe humanitaire, dune grve, de larrive de nouveaux concurrents qui dune manire gnrale provoquerait un hausse ou une baisse de la demande une par rapport aux prvisions.

Le facteur rsiduel est lui aussi exprim en pourcentage. Son estimation et sa publication sont faites par des organismes spcialiss lapproche de lvnement perturbateur. Par consquent, il ne peut tre utilis au moment du calcul des prvisions. Il est pris en compte plus tard lors de lajustement des prvisions, afin de les ramener des proportions raisonnables par rapport la situation vcue.

C-4. Prvisions par la Mthode de Consolidation des Besoins Prvisionnels : Pour un systme en rseau dans lequel il y a un magasin principal qui ravitaille un nombre habituel de magasin secondaires, les prvisions des consommations se font au niveau de chaque magasin secondaire suivant les mthodes courantes. Une fois les besoins prvisionnels exprims, ils sont tous envoys au magasin principal. La somme des besoins prvisionnels des magasins secondaires reprsente alors les prvisions de consommation pour le magasin principal. Le tableau ci dessous montre un exemple de consolidation des besoins prvisionnels

Article A Article B Article C Magasin secondaire 1 10 2 8 Magasin secondaire 2 11 9 12 Magasin secondaire 3 5 3 7 Magasin secondaire 4 6 4 0 Prvisions du magasin principal 32 18 27 Tableau 1 : Exemple de consolidation des besoins prvisionnels

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III- La mthode en pratique : Minimiser les Cout Optimiser les Commandes Comment minimiser les stocks, optimiser les commandes, ou les lancements de sries sans en contrepartie gnrer des couts induits importants ? Sachant que : - le sur-stockage est source de couts importants pour lentreprise (cout de stockage physique, locaux et surfaces utiliss, couts annexes (assurances, gardiennage,), cout des capitaux immobiliss dans le stock et ne gnrant pas dintrts. - linverse, le sous-stockage risque de provoquer des ruptures de stocks prjudiciables lactivit de production ou lactivit commerciale de lentreprise (arrt de la production, perte de ventes, perte de clientle,). Le principe de la srie conomique, appel formule de Wilson tente dy rpondre. Le but tant de commander ou fabriquer suffisamment de pices pour que le total annuel des couts dacquisitions et de possession soit minimal pour lentreprise. 1- Notion de couts : 1-1. Le cout de lancement : Chaque commande dachat ou ordre de fabrication coute lentreprise. Le cout de lancement ou cout de passation dune commande reprsente tous les frais lis au fait de passer une commande et est suppos tre proportionnel au nombre de commande passs dans lanne. Ces couts sont dtermins laide de la comptabilit analytique. a- Approvisionnement : Le cout dune commande est obtenu en divisant le cout total de fonctionnement du service achat par une grandeur significative et pertinente, par exemple le nombre de commandes passes annuellement. Il est possible daffiner le calcule en divisant par le nombre de lignes de commandes, correspondant dans une commande un article. b- Lancement en fabrication : le cout dun lancement en fabrication est obtenu en divisant le cout total de fonctionnement du service ordonnancement, auquel il faut, ajouter les couts de rglage des machines et des prsries, par le nombre de lancements en fabrication. c- Ordre de grandeur : la valeur dpend essentiellement de lentreprise, de ses choix en matire de comptabilit analytique (cls de rpartition, units duvres). Il est difficile de dfinir une fourchette de valeur standard. Bon nombre dentreprises ne savent pas combien leur revient une commande ou un lancement en fabrication. 1.2- Le cout de Possession :

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Le cout possession du stock est constitu des charges lies au stockage physique mais galement de la non rmunration des capitaux immobiliss dans le stock (voir du cout des capitaux emprunts pour financer le stock). Pour cette dernire raison, ce cout est considr comme tant proportionnel la valeur du stock moyen et la dure de dtention de ce stock. Le taux de possession annuel t % est le cout de possession ramen une unit montaire d matriel stock. Il est obtenu en divisant le cout total des frais de possession par le stock moyen. Ces frais couvrent : - lintrt du capital immobilis - les couts de magasinage (loyer et entretien des locaux, assurances, frais de personnel et de manutention, gardiennage,), les dtriorations du matriel, les risques dobsolescence. Nous pouvons situer entre 15% et 35% le taux utilis dans les entreprises, suivant les types darticles et la qualit de leur gestion des stocks. Dmonstration : Cette formule est base sur un modle mathmatique simplificateur dans lequel on considre que la demande est stable sans tenir compte des volutions de prix, des risques de rupture et des variations dans le temps des couts de commande et de lancement (on dit aussi en avenir certain). Les hypothses du modle : La demande annuelle est connue et certaine ; La consommation est rgulire (linaire) Les quantits commandes sont constantes La pnurie, les ruptures de stock, sont exclues. NB : nous supposons pour la suite de la dmonstration que la gestion du stock seffectue sur une priode annuelle. Calcule de la quantit conomique : Posons : N : le nombre de pices consommes (fabriques ou achetes) Q : le nombre de pices approvisionnes ou lances en fabrication en une seule fois Pu : le prix unitaire de la pice Ss : le stock de scurit envisag pour cette pice

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T : le taux de possession de lentreprise exprime en % CL le cout dapprovisionnement ou de lancement en fabrication Calcul des couts :

Trouver la quantit conomique Qe, cest trouver la valeur Q pour laquelle le cout total est minimal, c'est--dire la valeur Qe pour laquelle la drive du cout total par rapport la dire total quantit est nulle, (le stock de scurit nest pas command chaque fois).

Do la formule de la quantit conomique Qe :

Sur le graphique suivant sont portes les courbes : - cout de lancement ; dgressif en fonction des quantits quantit - cout de possession ; thoriquement proportionnel aux quantits - la courbe des couts cumuls

La quantit conomique se trouve lintersection des deux courbes, lancement et possession, ou au point de la courbe cumule. Dans la pratique toutefois, il sera impossible de commander exactement la quantit conomique, on choisira une taille de lot rpondant aux diverses contraintes et comprise dans la zone conomique.

VI- Mthode de Wilson avec plusieurs lots : Le modle dapprovisionnement est la politique ou alors la formule choisie par le gestionnaire pour contrler les niveaux des stocks et procder au rapprovisionnement des articles dans les magasins. A chaque type de modle correspond une formule prcise. Dans la pratique, trois modles sont couramment utiliss : Le modle du lot conomique ; le modle de ont recompltement du stock maximum et enfin le modle priodique commandes variables.

A- LE MODLE DU LOT CONOMIQUE Le lot conomique est une quantit fixe et invariable dun article que le gestionnaire des stocks demande chaque mission du besoin de cet article. Cette quantit rsulte dune tude doptimisation du cot de stockage. Elle permet la fois de faire le minimum de commandes pour un article donn et dobtenir le cot de stockage optimal pour ce mme article. stockage Lutilisation de ce modle est donc purement conomique.

Les donnes de planification: Stock minimum Lot conomique (Q) = quantit commande.

La formule: Lorsque le stock de larticle atteint son niveau minimum, une commande est mise en quantit Q . La formule de calcul du lot conomique est connue sous le nom de formule de WILSON

Avec : N = nombre total dunits consommes par an L = cot de lancement dune commande ncement t = taux de possession du stock c = cot unitaire de larticle Il est important de noter ici que cette formule sapplique un seul article et non pas un groupe ou une classe darticles. Dans la pratique, certains autres phnom phnomnes peuvent influencer la commande par lot dun article. Voici deux exemples pour lesquels la formule de WILSON nest pas utilise.

Exemple1 : le fournisseur impose le lot. Un commerant dtaille ses biscuits en paquets. Son fournisseur quant lui ne vend ces biscuits que dans des cartons contenant 12 paquets. Dans ce contexte, les commandes du commerant ne pourront se faire que par lot quivalent un multiple de 12, suivant ses propres estimations de vente. Exemple 2 : la taille du lot est dfinie selon le besoin Une entreprise possde un moteur qui utilise 2 filtres huile. Selon les recommandations du fabricant, ces filtres doivent tre changs tous les quatre mois. Le dlai dapprovisionnement est quant lui estim trois mois. Si lon gre ces filtres dans le magasin, on en aura toujours que 2 units en stock. Aprs chaque sortie, une commande sera relance pour deux autres filtres.

B- LE MODLE DE RECOMPLTEMENT DU STOCK MAXIMUM Ce modle offre deux options. Dans la premire, lobjectif vis est davoir en permanence un stock fixe pour un article donn. Ce stock serait alors le stock maximum autoris. Aussitt quune unit est sortie, elle est remplace par lachat dune autre unit. La seconde option est celle pour laquelle un stock minimum est fix pour larticle. Une fois que ce dernier est atteint, la quantit commande correspond la valeur maximum du stock diminue du stock disponible.

Les donnes de planification: Stock minimum Stock maximum En option 1: stock minimum = stock maximum En option 2: Stock minimum < stock maximum La formule: Lorsque les quantits disponibles de larticle atteignent son point de commande, une commande est aussitt mise pour ramener le stock son niveau maximum. Quantit commande = stock maximum stock disponible. C- LE MODLE PRIODIQUE COMMANDES VARIABLES Lutilisation de ce modle peut rsulter soit dun calcul dcoulant dune consommation future mesure et constante ; soit de linfluence dune consommation future saisonnire. Cest un modle adapt aux stocks de projet.

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Les donnes de planification: Capacit de stockage accord (stock maximum) Priode de commande La quantit commande est variable et fonction des besoins de lmetteur La formule: Les commandes sont faites des priodes dtermines. La quantit commander varie alors suivant les prvisions de consommation futures cour terme. Tous ses renseignements sont introduits dans la fiche informatique des articles concerns grce laffectation du code de gestion appropri et sont ne sont modifiables que par les personnes autorises.

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