Modèle de Solow : la croissance équilibrée ?

Après avoir présenté le modèle de reproduction élargie de Marx, et avoir poursuivit par le modèle Harrod Domar qui soulignent chacun les causes de l’instabilité de la croissance.

On passe au modèle de Solow où les conditions d’une croissance équilibrée pourraient être possible …

La représentation établie par Robert Solow (1956) d’une croissance équilibrée arrive au bon moment pour expliquer une situation qui apparait surprenante.

Alors que de nombreux économistes à l’instar de J.A. Schumpeter s’attendent à la crise finale du capitalisme, la croissance apparaît robuste et régulière dans de nombreux pays.

Cette situation est en inadéquation avec le modèle de reproduction élargie, ainsi qu’avec le modèle Harrod Domar.

Comment expliquer la stabilité de la croissance ?

Le modèle de Solow est fondé sur un bien qui peut aussi bien servir comme capital que comme bien de consommation (image du blé).Il n’y a ni monnaie, ni titres financiers.

Néanmoins, les biens produits peuvent être le support d’un épargne dès lors qu’ils sont investis sous formes de capital physique

Cette épargne est rémunérée au niveau du taux de rendement du capital physique.

Comme il n’existe pas d’autres supports à l’épargne autres que les biens physiques. L’épargne s’identifie à l’investissement.

Dans l’économie il existe 2 types d’agents, les entreprises et les ménages.

Les ménages possèdent les entreprises qui leur versent les bénéfices réalisés.

Les entreprises mobilisent les services producteurs travail (w) et capital (r+δ)

(w) : le taux de salaire réel

(r+δ) : coût d’usage réel du capital pour les entreprises ou taux de rendement brut pour les ménages. r taux de profit du capital, δ taux de dépréciation

0 sdsds KKrLLwYIC

1s0 avec sYS

0²²Y

;0K²

²Y ;0

K

Y

0KL

²Y 0;

L²

²Y 0;

L

Y

LK

Y

KL

LK, xavec 0limx

et lim0

xx

Y

x

Y

En remplaçant dans la contrainte par les conditions obtenues, on peut définir pour le niveau de production initial les quantités respectives des facteurs travail et capital.

Ceci définit la combinaison productive optimale. Il y a égalité entre les rapports des prix des facteurs et le rapport de leur productivité marginale.

Ceci n’implique pas nécessairement que les facteurs de production soient rémunérés à leur productivité marginale.

Ce rapport peut être vérifié avec des taux de rémunération inférieurs à la productivité marginale du facteur correspondant.

Dans ce cas, l’entrepreneur pourra accroître ses profits en étendant indéfiniment sa production.

Dans le cas contraire, l’entrepreneur sera amené à réduire son niveau de production.

Si par hasard, les facteurs se trouvaient effectivement rémunérés à leur productivité marginale. L’entrepreneur n’est pas incité à modifier son volume de production.

L’entrepreneur a deux choix à réaliser : sa combinaison productive et son niveau de production.

Dans un premier temps, il va fixer au hasard un niveau de production à partir duquel il va déduire la combinaison productive optimale.

Ensuite, en fonction de ses profits, il va réduire ou accroître sa production.

A l’équilibre général, les facteurs sont rémunérés à leur productivité marginale et il n’y a plus de profit.

Pour un marxiste l’absence de profit implique l’absence d’accroissement de l’accumulation, il ne devrait plus y avoir de croissance ?

Analyse du modèle de Solow en courte période.

L’équilibre intra-périodique implique que le niveau des facteurs de production ne peut pas changer.

Le stock de capital et le stock de travail dépendent des flux accumulés dans le passé.

I sYS

0 sdsds KKrLLwYIC

Le marché s’équilibre par le processus de tâtonnement décrit précédemment. La combinaison productive est fixée par un niveau de production initial fixé arbitrairement.

Le rapport capital travail ne changera plus en raison de l’homogénéité de degré 1 de la fonction de production.

Par contre, le niveau de production n’est pas fixé de manière irrémédiable. Celui-ci ne s’établit définitivement qu’une fois atteint le niveau de production qui permet d’équilibrer la rémunération des facteurs de production et leur productivité marginale.

C’est le processus de tâtonnement walrassien d’ajustement entre les prix et les quantités.

Si un facteur est trop demandé, son prix sera supérieur à sa productivité marginal, le niveau de production sera diminué jusqu’à ce que l’équilibre soit réaliser entre le prix et la productivité marginale.

L’équilibre implique toujours le plein emploi des facteurs de production.

La population croît au rythme gNt et la population est supposée croître au même rythme, l’offre de travail est inélastique et on se trouve au plein emploi;

)1( get ;tL n

L

Ln

N

Ng

t

t

t

tNt

tt

tK v

s

k

syg

t

ngggg KLKk

nv

sg

tkt

(3)

t

t

t

tt

t

tK K

sY

K

KsY

K

Kg

t

Dans l’équation (4)

Le taux de croissance du capital sera constant que si vt le coefficient de capital est lui-même constant, les autres variables étant exogènes.

Il faudra donc que K et Y augmentent au même rythme, comme k et y.

Comme on a une fonction de production concave, il est impossible que k, et y croissent au même taux.

La seul possibilité est qu’ils ne croissent pas. k et y doivent être constants comme v.

K, Y et L croîtront au même taux. C’est le taux exogène de croissance de la population active n qui va fixer le rythme des variables K,Y et L.

tt

tK v

s

k

syg

t

L’équilibre inter-périodique:

Le théorème d’Euler indique pour une équation homogène de degré 1 :

Lorsque les rendements d’échelles sont constants en divisant par Y on obtient les élasticités :

Le taux de croissance du PIB

L

L

L

Y

Y

L

K

K

K

Y

Y

K

Y

YL

L

YK

K

YY

L

YL

K

YKY

LKYKKYY ggg ,, 1

1,, LYKY

LKYKKYY ggg ,, 1

Le taux de croissance du produit correspond donc à la moyenne des taux de croissance des facteurs de production pondérée par les élasticités du produit associées à ces facteurs

Cette formule générale est valable sur le sentier de croissance régulier :

gY = gK = gL

et même en dehors.

Dans notre cas où gL = n est exogène, lorsque gK > n (donc gk > 0), gY sera aussi supérieur à n et donc gy > 0 aussi et inversement.

Ceci implique également que le taux de croissance du revenu (gY) sera toujours compris entre gK et n.

Si gK se rapproche de n, gY le fera aussi.

Si l’élasticité du capital (σY,K) est indépendant du niveau de capital par tête (k), gY ne sera constant que si gk l’est aussi.

Le coefficient de capital (v) est une fonction croissante de k.

A partir des deux équations précédantes on peut réécrire:

tt

tK v

s

k

syg

t LKYKKYY ggg ,, 1

nkv

sg KYKYY ,, 1

)(

Pour k = k*, à l’équilibre inter périodique on a gY=n. Pour k<k*, gK > n, k et y augmentent.

Pour k>k*, gK < n, k et y diminuent

On peut déduire l’équation dynamique fondamentale du modèle de Solow à partir de l’équation (6) en la multipliant par kt :

Pour rappel

6 nv

sg

tkt

δnk

ksf δn

k

syg

t

t

t

tkt

ttt knksfk t

tk k

kg

t

Diagramme de phase où la variation de la variable est déterminée par le niveau de la variable.

Cette équation différentielle lie la variation du capital par tête à son niveau.

La solution stationnaire est obtenue lorsque

ttt knksfk

ttt knksfk 0

Les conditions d’Inada impliquent que quelque soit le niveau de capital par tête initial l’économie va converger vers un unique sentier régulier .

Lorsque le niveau de capital par tête est faible, la convergence dans le modèle de Solow tient à un taux de profit élevé et un taux de salaire faible.

La forte productivité marginale du capital apparaît comme une forte incitation à investir.

Mais dans le modèle de Solow la propension à épargner est exogène. Donc on épargnera pas plus pour investir plus, toutefois l’épargne est suffisante pour faire croître le capital par tête.

La fonction de production peut devenir plus capitalistique puisque on a supposé qu’on disposait d’un continuum de techniques.

De plus la hausse des salaires et la baisse des loyers du capital inciteront les entrepreneur à substituer du capital au travail.

Le processus se poursuivra jusqu’à atteindre k*

Inversement si k > k* l’épargne par tête est insuffisante pour entretenir le capital par tête. Le salaire baisse et le taux de profit s’élève entraînant une substitution du travail au capital.

C’est la substitution continue entre les facteurs de production qui permet l’équilibre. Cette hypothèse est rejetée par le modèle HD.

Limites et développement du modèle de Solow

Le modèle est très simple modèle à un bien, qui se transforme en bien de consommation ou d’investissement en fonction de l’épargne.

La fonction de production est à facteur substituables à rendement constant. Les techniques sont toujours disponibles sans qu’on sache d’où vient le PTK, pas de coût de changements, coûts irrécupérables ?

Si les économies ne se différencient ni par leur accès à la technologie, ni par des comportements d’épargne, ni par la démographie alors le modèle de Solow implique un processus de convergence absolu.

Quelque soit le niveau de développement des économies, leur niveau de capital par tête, toutes vont converger vers le même sentier de croissance.

En endogénéisant le niveau de population active il possible de décrire des situations plus complexes avec des trappes à pauvreté rappelant le cadre d’analyse malthusien.

Si le niveau de la population active dépend du niveau de revenu par tête et donc du capital par tête.

Si y est très faible n croîtra très lentement voire en dessus du niveau de subsistance, il y aura une réduction de la population active. Si y s’élève, il pourra au contraire avoir une très forte augmentation de la population active. [n(k)+δ]k n’est plus une droite mais une courbe.

3 équilibres sont possibles : k1 et k3 stables k2 instable.

Les pays sous k2 sont enfermés dans des trappes à pauvreté

Les pays au dessus de k2 s’orient progressivement vers k3 le développement.

Stratégie du big push, et de hausse de l’épargne

La règle d’or d’Allais Phelps:

 Origine biblique : « Fais aux autres ce que tu voudrais qu’ils te fassent.»

Transposée à l’économie cette règle concerne la répartition entre les générations du niveau de la consommation.

La règle d’or fixe le niveau de consommation qui permettra aux générations successives de disposer du même niveau de consommation.

Jusqu’à présent le taux d’épargne était considéré comme exogène.

Sur les ordonnées se trouve le niveau d’état régulier de la consommation par tête associé à chaque taux d’épargne

Le taux d’épargne qui maximise la consommation par tête à l’état régulier est appelé « taux d’épargne de la règle d’or ».

Sans se placer dans le cadre du modèle d’optimisation inter-temporel de l’épargne.

On s’efforce d’établir le niveau d’épargne qui permet le niveau de consommation le plus élevé pour l’ensemble des générations successives.

L’idée est qu’un niveau d’épargne important augmente le capital par tête mais nuit au niveau de la consommation.

La consommation est le reliquat entre le niveau de revenu et le niveau d’épargne.

Ces forces contradictoires s’annulent pour le niveau de consommation/ d’épargne optimal qui définie la règle d’or.

Influence d’une augmentation de l’épargne

Les courbes sf(k) et sf(k)-(n+)k pivotent vers le haut autour de l’origine.

gY et gK se déplance verticalement vers le haut.

Les droites (n+)k et gL qui ne dépendent pas de s ne bougent pas.

L’économie va accumuler du capital par tête jusqu’à atteindre un nouvel équilibre.

Ici le taux de croissance de l’économie sera accélérée pendant la période transitoire, puis retournera à la valeur n.

Ici le sentier de la croissance a été déplacé vers le haut. Mais ceci n’est possible que si l’on se trouve en dessous du niveau d’épargne de la règle d’or

Dans le cas contraire, le niveau de la consommation pourrait être réduit.

La règle d’or correspond à l’usage de la technique qui maximise la consommation par tête si r= gY.

Dans le modèle de Solow gY=n , mais le capital par tête qui détermine la productivité marginale du capital et r, dépend du s qui va conduire à une production plus ou moins capitalistique.

« Toutes choses égale d’ailleurs, il existe donc un niveau s taux d’épargne qui permet de maximiser la consommation par tête sur un sentier régulier.

Ce celui qui permet d’avoir k* dont la productivité marginale nette soit égale à n.

L’épargne est la non consommation on peut réécrire l’équation dynamique :

Pour le sentier régulier

La règle d’or constitue donc la condition de première ordre de la maximisation de de cette consommation par tête.

kor est le stock de capital par tête qui permet de maximiser la consommation par tête.

tttt knckfk )(

*** )( 0 knkfcetkt

nrnk

cor

)(kf' 0 or*

*

C’est également le stock de capital par tête dont le taux de rendement est égal au taux de croissance régulier du système.

L’économie croit au taux démographique n en utilisant toujours la même technique.

La consommation par tête sera la plus forte possible si la productivité marginale du capital, dans cette technique est juste égale à ce qui est requis pour l’amortir

et doter les nouveaux arrivants de la même quantité moyenne de capital que la génération actuelle.

La question du progrès technique, résidu de Solow et progrès technique au sens de Harrod.

Les modèles visent à résumer la réalité. Cette réalité est elle-même résumé à travers des faits stylisés.

Les faits stylisés constituent le plus souvent des régularités empiriques, certaines variables vont posséder une comportement régulier : stable, croissant ou décroissant.

Ces faits stylisés plus ou moins bien fondés, mais globalement acceptés par la communauté des économistes légitiment en partie la démarche macroéconomique, non micro fondée

Par ailleurs, elle impose aux modélisateurs de reproduire ces faits stylisés.

Le modèle de Solow dans sa forme simple sans progrès technique parvient à en représenter 2.

La constance du coefficient de capital (v)

La constance de la répartition de la valeur ajoutée entre capital et travail.

A proximité de leur état régulier les économies ont un coefficient de capital constant

Les volumes de travail et de capital croissent un même rythme ce qui assure la constance du partage de la valeur ajoutée.

Mais 2 autres faits stylisés caractérises les économies modernes dont le modèle initial ne rend pas compte.

La croissance du revenu par tête

L’augmentation du capital par tête.

Dans le modèle simple de Solow k* et y* sont constants à l’état régulier.

Le résidu de Solow est la part de la croissance qui ne peut être expliquée par la croissance des facteurs de production compte tenu de leur productivité.

Théoriquement le taux de croissance du produit cor-respond à la moyenne des taux de croissance des facteurs de production pondérée par les élasticités du produit associées à ces facteurs soit leur productivité marginale.

On rappelle également que dans un univers concurrentiel, les facteurs de production sont rémunérés à leur productivité marginale.

Il est donc possible d’évaluer les élasticités des facteurs de production au produit grâce à la part dans la valeur des différents facteurs de production.

Sur longue période dans de nombreux pays les parts relatives du facteur travail est de 2/3 et le capital compose 1/3 de la valeur ajoutée.

Les élasticités sont définies ainsi :

, ,

, ,

et

et

Y K Y L

Y K Y L

K Y L Y

Y K Y L

r K wL

K Y

, ,1Résidu de Solow = Y Y K K Y K Lg g g

Neutralité du progrès technique :

Au sens de Harrod, seul le productivité marginale du travail augmente, celle du capital reste inchangée.

Au sens de Solow, seul la productivité marginale du capital augmente, laissant inchangée celle du travail.

Au sens de Hicks, le rapport des productivité marginal demeure inchangée.

http://www.unilim.fr/pages_perso/philippe.darreau/La%20neutralit%E9%20du%20progr%E8s%20technique.pdf

La pente de f(k) est PmK = R = r+d , l'ordonnée à l'origine de cette pente est PmL = w

Harrod : K/Y donné, le taux de salaire (w) augmente, la PmK reste inchangée.

Solow: L/Y donné, le taux de d'intérêt (r) augmente, la PML et la PmL restent inchangées.

Hicks : K/L donné, le rapport des productivités marginales et des prix reste inchangé.

III) Choix d'une forme de neutralité

La théorie de la croissance retient un progrès technique neutre au sens de Harrod, pour deux type de raisons, l'une empirique, l'autre théorique.

Mais la théorie retient le plus souvent une fonction de production Cobb Douglas qui est compatible avec la neutralité aux sens de Harrod de Solow et de Hicks.

1-la fonction Cobb Douglas

La fonction de production Cobb Douglas est compatible avec un progrès technique neutre aux sens de Harrod de Solow et de Hicks. Elle peut en effet s'écrire indifféremment :

Graphiquement elle seule satisfait à la représentation suivante :

, tt t tY F K e L

Avec la fonction homogène de degré 1 l’intégration du progrès technique sur le travail apparaît avec (γ)

Le terme représente l’efficacité du travail qui croît au rythme régulier exogène (γ).

Le travail efficace croît au rythme (n+γ). L’économie désormais ne croît plus au rythme n mais (n+γ). L’équilibre est désormais atteint lorsque le ratio capital par tête du travail efficace est constant.

te

tte L

tt

t

K

e L

Pour cela le capital doit également croître au rythme (n+γ).

Par conséquent le capital par tête va croître un rythme (γ). Ce qui permet de respect le 4eme fait stylisé.

Le produit par tête efficace sera lui aussi constant à l’état régulier

ce qui impose que le revenu croisse au même rythme que le capital (n+γ).

Ainsi le coefficient de capital sera constant (1), le produit par tête augmentera au taux exogène (γ) fait stylisé (3).

Le partage de la valeur ajoutée reste stable également

t tt t

t t

Y Kf

e L e L

Si on réécrit la fonction de production ainsi :

'

'²

'

sur le sentier régulier on sai

t tt t t

t

t tt t

t t

tt tt t t t

t t t tt t t t

t t t tt t t

t t t

KY e L f

e L

Y Kr f

K e L

Y K K K ew e f e f

L e L e L e L

K K Ke f f

e L e L e L

t que est constant.tt

t

K

e L

Le taux de profit brut est donc constant également. La masse des profits croît au taux (n+γ).

Le taux de salaires augmente au rythme (γ). La masse des salaires croît au rythme (n+γ).

La masse des profits et des salaires augmente au même rythme, la répartition des revenus est stable sur le sentier régulier (fait stylisé 2).

Finalement, on a le produit et le capital qui augmentant en raison du progrès technique et de l’évolution démographique (n+γ) ce qui conduit à la stabilité du coefficient de capital K/Y

L’emploi croît au taux n, donc la rapport K/L augmente au taux (γ), comme le capital par tête, le revenu par tête et la consommation par tête.

Le taux de profit est constant mais le taux de salaire augmente (γ) ce qui laisse inchangé la répartition des revenus.

Pour réussir à faire correspondre le modèle avec la réalité on a été obligé d’introduire du progrès technique de manière exogène.

On ne sait pas très bien d’où celui-ci provient

On suppose que celui-ci porte sur le travail, il pourrait tout aussi bien correspondre à PTK sur le capital.

Au final, le modèle de Solow, n’est pas un modèle de croissance puisque la croissance n’est possible qu’en période de rattrapage.

A l’équilibre, le croissance du PIB/tête=0.

Si on considère que la croissance et a fortiori le développement correspond à une augmentation du PIB/Tête on est obligé d’introduire du PTK.

En réalité même avec l’introduction du PTK, il existe un écart important entre la croissance du PIB et des facteurs de production lorsqu’on tente de réaliser la comptabilité de la croissance à la manière de Maddison (td4).

Cet écart peut correspondre à la faiblesse de l’analyse économique, la mesure de notre ignorance.

Ou bien elle peut être considérée comme un élément qui ne se laisse pas attraper par des équations économétriques.

Mais alors le résidu de Solow représente ce que l’on appelle la productivité globale des facteurs

Dans le modèle de Solow de convergence absolue qu’est-ce qui va pouvoir conduire à des évolutions différentes de la croissance entre les économies à long terme.

Des évolutions différentes peuvent résulter de Y/L différents

Différence initiale de K/L

Différence sur A qui joue uniquement au niveau de la croissance équilibrée.

La variation de K/L entre les pays n’explique qu’une faible part des évolutions différentes.

Des différences dans l’efficacité du travail A(t)

C’est exogène, « fourre-tout » (stock de connaissance, niveau d’éducation du travail, qualité des infrastructures…)

C’est en partie cette analyse que va produire Maddison à travers des comparaisons internationale à travers le temps.