MODELE DE COX BIVARIE ET COPULES Colloque jeunes probabilistes et statisticiens Le Mont-Dore, 03 -...

MODELE DE COX BIVARIE ET COPULES

Colloque jeunes probabilistes et statisticiens

Le Mont-Dore, 03 - 07 mai 2010

Mohamed ACHIBI

LSTA (Paris 6) / Snecma (Villaroche)

Directeur de thèse :

Michel BRONIATOWSKI

Ce document et les informations qu’il contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans l’autorisation préalable et écrite de Snecma.

2

Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010

Plan de l’exposé

Cadre industriel

Modèle de Cox

Copules

Le modèle développé

Conclusions


3


Cadre industriel

Objectif : modéliser les défauts de dimensionnement, dans le but d’améliorer les ddv dans le cadre de la tolérance aux dommages

Base de données de défauts de surface relevés en maintenance sur des moteurs, de taille supérieure à un certains critère du manuel de maintenance

Sur chaque pièce, on dispose des dimensions (longueur et profondeur) du défaut « le plus grand » ainsi que du nombre de défauts

Contexte


4


Cadre industrielBase de défauts

Pour chaque pièce critique traitée :

Découpage de la pièce en macro-zones

Identification et caractérisation des défauts

Type de défauts Chocs

Rayures

Dimensionnel du défaut Longueur

Profondeur


5


Le modèle de Cox


6


Le modèle de Cox

Forme générale :

: taux de panne de base

: vecteur de covariables

: vecteur de paramètres

Cas univarié

)exp()(),( '0 ztzt

)(0 t

z

)(1

)()(lim)(

0 tF

tf

dt

tTdttTtPt

dt


7


Le modèle de Cox

Permet de relier la durée de survie d’un patient à plusieurs variables explicatives ou facteurs pronostiques

Exprime un effet multiplicatif des diverses covariables sur la fonction de hasard (modèle à structure multiplicative)

Conséquences du modèle et hypothèses à vérifier : Risques proportionnels

Log-linéarité

Cas univarié

)exp(),...,0,...,,(

),...,,...,,(

1

1ii

m

mi zzzt

zzzt

iim

mi zzzt

zzzt

),...,0,...,,(

),...,,...,,(log

1

1


8


Le modèle de CoxCas

bivarié

Forme générale :

: taux de panne de base

: vecteur de covariables

où α et β sont les vecteurs de paramètres

)()()(

)()()()M1(

0

0

zyy

zxx

xXY

X

zxXY

zX

)()()(

)()()()M2(

0

0

zxx

zyx

yYX

Y

zyYX

zY

(.)0

z

)exp()(et)exp()( '' zzzz


9


Le modèle de Cox

Pourquoi le modèle de Cox bivarié ?

Supposons les modèles de régression suivants :

Cas bivarié

)(),( zzrX

~)()~,( zzsY

z.pour tout )~,( coupleau

associéecelle que même laest ),( coupleau associéecopule

laalors ,pour tout scroissantet strictemensont ,.)s(et ,.)r( Si

YX

zzz

YX

z

et entre dépendance la de

compte pas rend ne variableLa


10


Les copules


11


Une brève introduction aux copules

Qu’est-ce qu’une copule? Définition « pratique » : une copule est une fonction de répartition définie

sur [0,1]N dont les lois marginales sont égales à la loi uniformes sur [0,1]

Définition « technique » : une copule est une fonction C définie sur [0,1]N

vérifiant :

1. Pour tout vecteur u ayant au moins une composante nulle, C(u) = 0

2. C est N-croissante

Cas où N = 2 :

3. Pour tout vecteur u ayant toutes ses composantes égales à 1, sauf uk, C(u) = uk

Définition

],[...],[],[,0),...,()1(...]),([

,...,1,]1,0[),...,(,]1,0[),...,(

11211

2

1

2

1

...

11

1

1

1NNjjjjNii

i i

iiC

jjN

NN

N

bababaetbxaxoùxxCbaV

Njbaavecbbaa

N

N

N

0),(),(),(),(]),([ 22211211 baCbaCbaCbaCbaVC


12


Une brève introduction aux copulesIllustratio

n

0 10

1

Propriété 1C(u,0)= 0

C(0,v)= 0


13



n

0 10

1

Propriété 2

0),(),(

),(),(

2221

1211

baCbaC

baCbaC

(a1,b1)

(a1,b2) (a2,b2)

(a2,b1)


14



n

0 10

1

Propriété 3

C(1,v)= v

C(u,1)= u


15


Une brève introduction aux copules

Théorème (Sklar, 1959)

Soit F une fonction de répartition N-dimensionnelle dont les marges

univariées sont F1, … , FN, alors il existe une copule C telle que :

Réciproquement, si C est une copule et F1, … , FN des lois de

probabilité alors C(F1(x1), … , FN(xN)) définit bien une loi jointe de

marges F1, … , FN.

Si les fonctions de répartitions F1, … , FN sont continues, alors on

peut définir C de manière unique par :

Théorème de Sklar

))(),...,((),...,(,),...,( 1111 NNNN

N xFxFCxxFRxx

))(),...,((),...,( 11

111 NNN uFuFFuuC


16


Une brève introduction aux copulesExemple

s

uvvuC ),( 1

)1(),( vuvuC

1

)log()log(exp),( vuvuC


17




18


Le modèle développéValidité du

modèle

)()(0)(0 )(),(),(zzzz xFyxHyxH

),( yxH z

survie. defonction uneest

0,pour tout si id-minest nrépartitio defonction Une

H

H

id)-(min divisible infiniment -min est 0H

Le modèle (M1) nous permet d’écrire :

fonction de survie ?

Définition :

HYPOTHESE :


19



Définition 1 :

Définition 2 :

Définitions

)()(0)(0 )(),(),(zzzz xFyxHyxH

2

On dira que et sont (ou bien est ) ,

pour tout , ( ) ( )

X Y PQD H PQD ssi

(x, y) R P X x Y y P X x

),(),(),(),( ,et pour tout

: si ,est que diraOn f.d.s. une Soit

122122112121

2

yxHyxHyxHyxHyyxx

TPHH


20



Théorèmes :

1.

2.

3.

L’hypothèse (H) peut donc se réécrire de la façon suivante :

Lien avec les copules )(

)(

1

)(

1

)(

)()(

,),( 0

z

zz

H

z

zz

HvuCuvuC z

2est 0 TPCH

2est id-minest alors f.d.r, une Soit TPHssiHH

22 est est Alors . copule de f.d.s une Soit TPCssiTPHCH

PQDHTPH est alors , f.d.s uneest Si 2


21



Copules archimédiennes et extension :

Stabilité du modèle

: aon plus, De .et de domaine le dans pour tout définie

bien est Alors, . nnearchimédie copule de f.d.s une Soit 0

0

z

HCH z

)(

)(

1

)(

1

)(

)()(

,),( 0

z

zz

H

z

zz

HvuCuvuC z

1,

)(

)(min)(et )( :où )()(

1

0 z

zztt zz

z

vuu(u,v) zz

zz

H zz )(1)(1C


22



Copules de valeurs extrêmes :

Stabilité du modèle

: aon Alors, .dépendance defonction

comme avec extrêmes valeursde copule de f.d.s une Soit 00 ACH

H

)(

)(

1

)(

1

)(

)()(

,),( 0

z

zz

H

z

zz

HvuCuvuC z

)(

)()(

)(1)(11)(1)( :où z

z

zzK

szKs

sAszKsszKsB

uv

vBuv(u,v) z

H z

log

log)log(expC


23


Conclusions


24


Conclusions

Modèle assez simple à mettre en œuvre après avoir vérifié marginalement

l’hypothèse des hasards proportionnels et

l’hypothèse de log-linéarité

Deux grandes classes de copules stables sous le modèle

Modèle permettant de faire des prédictions zone à zone

Conclusions


25


Conclusions

Application du modèle pour modéliser la loi jointe de la longueur et la profondeur des défauts en tenant compte de la variable « zone de la pièce »

Choix de la copule dans la zone de référence

Procédure d’estimation des paramètres de copule

Propriété des estimateurs

Modèle prenant en compte les dépendances négatives

Perspectives


26


Conclusions

Copules et concepts de dépendances Harry JOE – Multivariate Models and Dependence Concepts, Chapman & Hall,

London 1997

Roger B. NELSEN – An introduction to copulas, Springer 1999 – 2006

Modèle de Cox D.R. COX and D. OAKES – Analysis of Survival Data, Chapman & Hall, London 1984

Modèle de Cox bivarié et copules M. ACHIBI and M. BRONIATOWSKI – Bivariate Cox model and copulas,

arXiv:0911.1443

Alexandre DEPIRE – Thèse de l’Université de Champagne-Ardenne – Modélisation Markovienne – Modèles de régression de copules et valeurs extrêmes – Application aux systèmes d’aide à la conduite (INRETS)

Quelques références bibliographiques


27


Conclusions

Merci pour votre attention !

Des questions ?


28


Exemple de découpage en macro-zones

Disque de TuBP


29


Une brève introduction aux copulesCopules

archimédiennes Frailty models

Indépendance conditionnelle de X et Y par rapport à W

Loi jointe :

Lois marginales :

Transformée de Laplace Φ :

Copule archimédienne :

. loi de positive v.aune Soit

.et srespective margespour ayant jointe loi de Soit

MW

GFH(X, Y)

0 21 )()()(),( wdMyHxHyxH WW

0 20 1 )()()(et )()()( wdMyHyGwdMxHxF WW

)()(),( 11 yGxFyxH

vuvuC 11),(


30


Une brève introduction aux copulesCopules de valeurs

extrêmes Théorème de représentation (Pickands)

:que telle,)(1maxet 110: suivantes propriétés lesvérifiant

1,0sur définie convexefonction une existe il ssi extrêmes valeursde copule uneest

ttA-t)(t,)A()A(

AC

uv

vAuvvuC

log

log)log(exp),(

Pickands. defonction ou dépendance defonction appeléeest fonction La A

MODELE DE COX BIVARIE ET COPULES Colloque jeunes probabilistes et statisticiens Le Mont-Dore, 03 -...

Documents

Transcript of MODELE DE COX BIVARIE ET COPULES Colloque jeunes probabilistes et statisticiens Le Mont-Dore, 03 -...