Modèle 1D
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Modèle 1D : On se place dans le cas 1D, on considère l’équation de convection sur l’intervalle [0, L] ∂u ∂ t +a ∂ u ∂ x =0 pour t > 0 , 0 < < L u ( x ,t =0) =f ( x ) ∂ u ∂ x ( 0, t ) = ∂ u ∂ x ( L ,t ) =0 Résolution à l’aide de la méthode caractéristique : Soit s le paramètre décrivant la courbe ( Г ¿ : On a dU ds = ∂ U ∂ t ∂ t ∂ s + ∂ U ∂ x ∂ x ∂ s , Or d’après l’ED, on a : ∂ U ∂ t =−a ∂ U ∂ x Donc dU ds =−a ∂ U ∂ x dt ds + ∂ U ∂ x dx ds !" dU ds = ∂ U ∂ x ( dx ds −a dt ds ) On remplace, dx ds −a dt ds =0 Donc dx ds =a dt ds on aura : #’ED se réduit à l’équation di$érentielle dU ds =% c&à&d U!cte #es courbes caractéristiques : #es courbes dx dt =a , sont appelées courbes caractéristiques et sur chaque courbe caractéristique : '&at! on a d)!% c&à&d )!% Soit )!*(+!*('&at+ t!%, )(t!%, '+!-('+ et )(t!%, '+!*('+ '!at
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7/23/2019 Modèle 1D
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Modèle 1D :
On se place dans le cas 1D, on considère l’équation de convection sur
l’intervalle [0, L]
∂u
∂ t +a
∂ u
∂ x=0 pour t > 0 , 0 < < L
u ( x , t =0 )=f ( x ) ∂ u
∂ x (0, t )=
∂ u
∂ x ( L , t )=0
Résolution à l’aide de la méthode caractéristique :Soit s le paramètre décrivant la courbe ( Г ¿ :
On adU
ds =
∂U
∂ t
∂ t
∂ s+∂U
∂ x
∂x
∂ s ,
Or d’après l’ED, on a :∂U
∂ t =−a
∂ U
∂ x
DoncdU
ds =−a
∂U
∂x
dt
ds+∂U
∂ x
dx
ds !"dU
ds =
∂U
∂ x (
dx
ds−a
dt
ds)
On remplace,dx
ds−a
dt
ds=0
Doncdx
ds=a
dt
ds on aura :
#’ED se réduit à l’équation di$érentielledU
ds =% c&à&d
U!cte
#es courbes caractéristiques :
#es courbesdx
dt =a , sont appelées courbes caractéristiques et sur chaque
courbe caractéristique : '&at! on a d)!% c&à&d )!%
Soit )!*(+!*('&at+
t!%, )(t!%, '+!-('+ et )(t!%, '+!*('+
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7/23/2019 Modèle 1D
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et d’après )(t!%,'+!*('+!-('+ donc -!*
#a solution : )(t,'+!-('&at+
Modèle !at"é!atique 1D :
o /onvection pure :
0aintenant on se propose d’étudier la solution approchée decette équation on utilisant un schéma au' di$érences 1nis
décentré amont :
U i
n+1−U i
n
∆ t . a2 U i
n−U i−1
n
∆ x ! %
On a : )in.3! )i
n . 4t2 ∂U
∂ t ⎸i . O ((4t+5+
6∂U
∂ t ⎸i !U i
n+1−U i
n
∆ t
. O(4t+
! ᶘ '
t
7/23/2019 Modèle 1D
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Or : )in! )i&3
n . 4'2 ∂U
∂ x ⎸i .O((4'+5+
6∂U
∂x ⎸i !U i
n−U i−1
n
∆x . O(4'+
#’erreur de troncature, l’orde et la stabilité du schémae'plicite :
L’erreur de troncature et l’ordre :
Est donc :
Et !∂U
∂ t . a2∂U
∂x 7 (U i
n+1−U in
∆ t . a2 U i
n−U i−1
n
∆x ¿ 2
! O ( 4t , 4' + 2
Orlim
∆ t →0
∆ x →0
Et
!%
#e schéma est consistant et d’ordre 3 en temps et enespace2
La stabilité :
Etablie par la méthode de -ourier von neumann
On a :U i
n+1−U i
n
∆ t . a2
U in−U i−1
n
∆x! %
D’o8 U in+1
!(3&9+ )in . 92 )i&3n vec: 9! a . ∆ t
∆ x
On pose: ) ;n ! /n e ; i4' ᶘ
/n.3 2 e ; 4' ᶘ ! /n(3&9+ e ; i4' ᶘ .9/n 2 e ; (i&3+4' ᶘ
6 /n.3 ! ( (3&9+. 9 e&; 4' ᶘ + /n vec : !(3&9+. 9 e&
; 4' ᶘ
Soit : !(3&9+.9 cos( 4'+& ; 9 sin ( 4'+2 ᶘ ᶘ
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⎸ ⎸5 ! < (3&9+5.95cos( 4'+ ᶘ 5.59(3&9+cos( 4'+.9 ᶘ 5 sin5 ( ᶘ
4'+ =2
⎸ ⎸5 ! < 3.95&59. 95.5 9(3&9+ cos( 4'+ =2 ᶘ
⎸ ⎸5 ! 3&59.595.59(3&9+cos( 4'+ ᶘ
⎸ ⎸5 !3&59(3&9+(3& cos( 4'+ + ᶘ
Si 3&9 > % !" 9 " 3 !" ⎸ ⎸5 " 3 !" le schéma est
stable
Si 3&9 ? % !" 9 @ 3 !" ⎸ ⎸
5
@ 3 !" le schéma est
stable ssi 9 ! a Δt
Δ x ≤1 (/A#+2
