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    METHODES NUMERIQUES APPLIQUEES AUX CALCULSDES ECOULEMENTS ET DU TRANSFERT DE CHALEUR

    (Version 1, Juin 2011)

    Par : Pr. Abbs AZZI

    Facult de Gnie-McaniqueUSTO MB

    BP.1505, El-Mnaouar, 31000, Oran, Algrie.Tel-fax:+213 (0) 41 416121

    e-mail: [email protected] : www.abbesazzi.com

    T

    3028262422201816141210

    21 x 21

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    AVANT PROPOS

    La pierre angulaire de la mthode des diffrences finies, est bel est bien le dveloppementen srie de Taylor. Brook Taylor, cet lve qui devint plus clbre que ces professeurs,dcouvrit les sries appeles dveloppement de Taylor. Par sa dcouverte, Taylor a misentre nos mains le moyen de prdire la valeur dune fonction en un point donn en fonctionde sa valeur et la valeur de ces drives en un autre point tout proche du premier.

    Cest bien partir de cette srie, quon peut obtenir les schmas algbriques pour remplacerles drives dans une quation de type EDP (Equation aux Drives Partielles). Cest la basemme de la mthode des diffrences finies et des autres mthodes dduites de celle-ci. Toutle reste nest quannexes servant parler de stabilit, consistance, erreurs de troncature etautres.

    Vous laurez compris, toute la philosophie de cette mthode est dessayer de prdire ce quise passerait dans un laps de temps sur la base de ce qui se passe linstant (valeurinstantane) et les tendances de changement actuelles (les drives successives). Ceci estvrai pour le temps mais aussi pour lespace. Cette prdiction est dautant plus juste quelincrmentation est petite et/ou que les lois de changement et dvolution sont connues.

    Mon cours de diffrences finies, je le divise habituellement en trois grands chapitres classspar ordre de complexit. Jaime aussi construire mon cours autour dexemples rsoudre cequi permettra dapprendre tout en appliquant.

    Il est aussi important de dire que les quations de transport dont il est question en MDF,comportent essentiellement un terme non stationnaire, un terme de transport parconvection, un terme de transport par diffusion et enfin un terme source.

    La partie diffusion est la plus simple traiter, puisquen gnrale le coefficient de diffusionest assimil une constante, do une quation linaire plus simple traiter. Lquation deFourier, relative au transfert de chaleur par conduction et en rgime non stationnaire seralexemple rsoudre durant toute la premire partie du cours. Dans cette partie il estquestion dintroduire ltudiant aux schmas numriques de base aussi bien pour lespace

    que pour le temps. Les notions de prcision (erreurs de troncature), de stabilit et deconsistance complteront cette premire partie.

    Dans un deuxime temps, la partie diffusion sera retraite par lapproche des volumes finis.Les mmes exemples seront repris et discuts sur la base de cette mthode. Tout commepour les diffrences finies, la mthode des volumes finis repose sur un principe de base quiest le thorme de la divergence. Ce principe permet de substituer une intgrale de volumepar une intgrale de surface. Cette partie du cours correspond ce que je donnehabituellement aux tudiants de graduation.

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    Les termes de convection sont non linaires et par consquent plus compliqus traiter. Ilsagit l, dun mouvement macroscopique de fluide, qui on doit adapter les schmas deconvection en fonction de la direction de lcoulement. Cette partie sera traite directementpar la mthode des volumes finis et portera sur la dualit prcision-stabilit. Les diffrents

    types de schma et leurs proprits seront tudis travers des exemples dapplications. Engnrale, je rserve cette partie pour les tudiants de post-graduation, mais nempche quedes fois avec des tudiants studieux en graduation, on peut aborder une partie de cechapitre.

    La troisime partie du cours, concerne la rsolution des systmes dquation (Navier-Stokes). A travers ce systme dquations quasi-non linaires et couples jintroduis lesalgorithmes de correction de pression utiliss pour les quations de fluides incompressibles.La partie compressible ne fait pas encore partie de ce cours.

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    SOMMAIRE

    Les quations aux drives partielles, classification

    PARTIE I :

    1. Prsentation de la mthode des diffrences finies1. Lquation de conduction de la chaleur (Joseph Fourier)2. Le problme stationnaire3. Le problme non stationnaire4. Schmas explicite et implicites5. Le concept de stabilit (transformation de Fourier)6. Schma de Crank-Nicholson7. Schma de Duffort-Frankel

    8. Le concept de consistance9. Mini-projet (conduction thermique en 2D)

    2. Prsentation de la mthode des volumes finis1. Application la partie diffusion (1D)2. Diffusion en 2D et 3D3. Mini-projets (conduction thermique en 2D)

    PARTIE II :

    1. Application de la mthode des volumes finis pour un problme de convection-diffusion

    1. Les proprits dun schma de convection2. Schma avant dordre un3. Schma centr dordre deux4. Schma hybride5. Schmas haute prcision avec et sans limiteurs

    PARTIE III :

    1. Algorithme de couplage pression-vitesse1. Relaxation2. Maillage dcal3. Interpolation de Rhie & Show (maillage colocatif)4. Algorithmes : SIMPLE, SIMPLEC, SIMPLER et PISO

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    LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES (EDP)

    Dans cette premire partie il est question de proposer un classement des quations auxdrives partielles de la mcanique des fluides et des conditions aux limites qui vont avec.

    Classification :

    Considrons la forme gnrale dune Equation aux Drives Partielles (EDP) de second ordresuivant les deux variables indpendantes ( x et y ) :

    0222

    2

    2

    GF y

    E x

    D y

    C y x

    B x

    A

    (1)

    Une classification assez simple de cette quation peut tre faite sur la base des coefficientsassocis aux drives dordre le plus lev A, B et C. On calcule le dterminant dfinit par :

    C A B 42 Lquation est dite de type

    elliptique si 0 , parabolique si 0 , hyperbolique si 0 .

    Dans le cas dun systme dEDP, il faut crire lquation caractristique du systme pourtrouver sa nature. La marche suivre est illustre par lexemple suivant :

    11111 E yV

    D xV

    C yU

    B xU

    A (2)

    22222 E yV

    D xV

    C yU

    B xU

    A (3)

    on crit les dplacement :

    dy yU

    dx xU

    dU (4)

    dy yV

    dx xV

    dV (5)

    Les quations prcdentes scrivent sous la forme compacte suivante :

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    dV

    dU

    E

    E

    yV xV

    yU xU

    dydx

    dydx

    DC B A

    DC B A

    2

    1

    2222

    1111

    00

    00 (6)

    Le dterminant :

    0212211221122121221 dx D B D BdydxC BC B D A D AdyC AC A (7)

    On divise lquation prcdente par 2dx , et on dfinitdxdy

    f '

    0'2' c f b f a (8)

    cab 42 (9)

    Lquation est dite de type elliptique si 0 , elle est parabolique si 0 , et hyperbolique si 0 .

    Une des utilits de cette classification est de prvoir le comportement de lquation vis visdes conditions aux limites. Si nous imaginons un coulement de fluide de gauche vers ladroite, une perturbation en un point donn na pas dinfluence amont si lquation est detype parabolique. Si par contre lquation est de type elliptique une perturbationquelconque en un point quelconque aura une influence dans toutes les directions delespace. Une consquence directe de cette caractristique est quun problme de typeparabolique peut tre rsolu par une marche avant, alors quune quation de type elliptiquencessite la prise en considration des conditions aux limites imposes sur toutes lesfrontires du domaine de calcul.

    Par exemple :

    Lquation de Laplace 02

    2

    2

    2

    y x

    elliptique

    Lquation de diffusion 022

    xt

    parabolique

    Lquation 022

    2

    2

    y x

    hyperbolique

    LEDP de nature parabolique :

    Cest le cas dun problme de propagation associ un mcanisme de dissipation tel que laconduction thermique non stationnaire.

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    Lquation2

    2

    xt

    lie aux conditions initiales : x sin et aux conditions aux

    limites : 0,1,0 t t accepte la solution exacte suivante t xt x 2expsin,

    Cest une quation linaire dordre 2, parabolique par rapport la variable du temps t .La propagation en avant dans le temps et la diffusion dans lespace, font que la solution enun point P peut influencer nimporte quelle point pour it t . Cependant les points se situantdans la zone it t ne sont pas influencs par la solution au point P. En dautres termes ondira que le pass influe sur le futur alors que linverse nest pas vrai.

    La dissipation dans lespace, fait que mme si la distribution initiale pour 0t estdiscontinue, la solution devient continue pour 0t .

    LEDP de nature elliptique :

    Cette catgorie dEDP est associe aux problmes de nature stationnaire ou dquilibre telsque lcoulement stationnaire dun fluide visqueux, la rpartition stationnaire du champ detemprature ou la distribution dun potentiel.

    Lquation de Laplace du type 022

    2

    2

    y x

    , associe aux conditions aux limites suivantes

    x x sin0, , expsin1, x x et 0,1,0 y y accepte la solution exactesuivante : y x y x expsin,

    La principale caractristique de ce type dquation elliptique est quune perturbationintroduite en un point quelconque lintrieur du domaine de calcul influe sur la totalit dudomaine. Ceci implique que pour rsoudre un problme de type elliptique il est impratif deposer les conditions aux limites sur toutes les frontires du domaine. Ici aussi unediscontinuit dans les conditions aux limites est rapidement effacer (lisser) lintrieur dudomaine de calcul.

    LEDP de nature hyperbolique :

    Cette catgorie dEDP peut tre considre comme extension des quations elliptiques pourlesquels certaines valeurs critiques des paramtres doivent tre dtermines en mmetemps que la distribution dquilibre correspondante. La rsonance de circuit lectrique oudenceintes acoustiques ainsi que la dtermination des frquences propres des structureslastiques constituent des exemples de ce type dquations.

    Lquation de propagation dune onde suivante2

    2

    2

    2

    xt

    reprsente un trs bon exemple

    pour lquation de type hyperbolique. Cette quation associe aux conditions initiales x x sin0, , 00, xt et aux conditions aux limites 0,1,0 t t accepte la

    solution suivante : t xt x cossin,

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    Enfin, la figure 1 reprsente schmatiquement linfluence dune perturbation au point P surlensemble du domaine de calcul pour les trois types dquations.

    Figure 1 : Nature des quations et conditions aux limites,(a) Hyperbolique, (b) Parabolique et (c) Elliptique.

    Les conditions aux limites

    Soit un problme dfinit dans un domaine R, limit par la frontire R . Les conditions auxlimites peuvent tre de trois natures :

    Dirichlet : Dans ce type de conditions la valeur de la variable dpendante est impose sur lafrontire du domaine de calcul

    Rsur f (10)Newman : La variable dpendante nest pas connue sur la frontire mais sa drive est biendfinit

    Rsur qs

    ou f n

    (11)

    Mixte : Une combinaison linaire des deux premires conditions est impose sur la frontire

    Rsur k f k n

    0, (12)

    Un problme de transfert de chaleur ou dcoulement est dit bien pos si en rsolvant lesquations du problme lies aux conditions aux limites et initiales

    La solution numrique existe. La solution numrique est unique. La solution numrique dpend de faon continue de la variation des conditions

    aux limites.

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    PRESENTATION DE LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES

    TAYLOR BROOK (1685-1731)

    Sir Brook Taylor est un homme de sciences anglais, n le 18 aot 1685 Edmonton

    (Angleterre). Il est mort lge de 46 ans, le 29 dcembre 1731 Londres. Sondomaine dintrt inclus les mathmatiques, la musique, la peinture et la philosophie.Son amour pour les mathmatiques, lui a t transmis par ces professeurs JohnMachin et John Keill. Il complta ses tudes l'universit de Cambridge et devintclbre pour ses contributions au dveloppement du calcul infinitsimal.Le 3 avril 1712 ( lge de 27 ans), Taylor fut admis la Royal Society de Londres(l'quivalent de l'Acadmie des sciences de Paris), non sur la base de ces publicationsscientifiques mais sur recommandation et expertise de Machin, Keill et autres.Environ deux annes aprs il fut lu secrtaire de la Royal Society, et il y resta du 14

    janvier 1714 au 21 octobre 1718, lorsqu'il dut se rsigner pour raisons de sant d 'unepart, d'autre part par manque de motivation. La priode o il fut secrtaire de la Royal

    Society de Londres fut celle de sa vie o il fut le plus productif en mathmatiques. Il publia deux ouvrages en 1715, qui sontextrmement important pour l'histoire des mathmatiques.Dans son ouvrage, Methodus incrementorum directa et inversa, Taylor ajouta aux mathmatiques suprieures une nouvellebranche appele calcul de diffrences finies, inventa l'intgration par parties, et dcouvrit les sries appelesdveloppement de Taylor.En fait, la premire mention par Taylor de ce qui est appel aujourd'hui thorme de Taylor apparat dans une lettre que cedernier crivit Machin le 26 juillet 1712. L'importance du thorme de Taylor ne fut pas perue avant 1772 quandLagrange proclama que c'tait le principe de base du calcul diffrentiel. Le terme srie de Taylor semble avoir t utilispour la premire fois par L'Huilier en 1786.Taylor prsenta aussi les principes de base de la perspective dans Linear Prospect (1715). La seconde dition fut appeleNew principles of linear perspective.Enfin, Taylor fit de nombreux sjours en France. C'tait d'une part suite des problmes de sant et d'autre part pourgarder le contact avec ces amis mathmaticiens.Actuellement, la pierre angulaire de la mthode des diffrences finies nest autre que le dveloppement des sries deTaylor. ( Wikipdia Encyclopdie )

    La mthode des diffrences finies : Cette mthode est base sur la technique dudveloppement en sries de Taylor qui permet dapproximer la valeur dune fonction en unpoint donn si on connat la valeur de la dite fonction ainsi que toute ces drives en unpoint voisin en espace ou en temps. Cette technique permet de dvelopper des schmaspour remplacer les drives premires et secondes des EDP pour pouvoir envisager unesolution numrique par calculateur.

    Pour obtenir une solution numrique il faut tout dabord dfinir un domaine numrique

    constitu par un ensemble de points discrets appel grille de calcul. Les valeurs instantaneset locales des variables dpendantes du problme sont dfinit sur lensemble des points dela grille de calcul. La diffrence entre cette vue numrique travers un certain nombre depoints et la distribution continue exacte reprsente lerreur commise par la mthodenumrique. Il est tout fait logique de penser que plus le nombre de points est importantplus la visualisation est claire, un peu comme les pixels dune photo numrique. La Figure 1reprsente des exemples de grilles de calcul.

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    Figure 1. Exemples de grilles de calcul

    Ltape suivante consiste approximer ou remplacer toutes les drives partielles par desschmas discrets (diffrence finies). LEDP sera transforme en quation algbrique. Cettequation algbrique est ensuite applique sur lensemble des nuds de la grille de calcul. Lersultat sera un systme dquation comportant autant dquations que dinconnues(nuds). Ce systme sera ensuite rsolu par une mthode approprie. Le rsultat sera unedistribution discrte de la solution sur lensemble des points du domaine de calcul.

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    Grille de calcul :

    Figure 2 ; Grille de calcul structure 2D.

    Avant de commencer, il faut trouver un moyen qui nous permettra de localiser spatialementet temporellement tous les points de la solution numrique. Cest ce quon va appelercration de la grille de calcul. Dans la suite, on va rsonner sur un espace plan (2D) et

    lextension pour le 3D sera faite de manire intuitive. La Figure 2 reprsente la manire laplus directe pour reprer les points suivant la procdure structure. Cest un peu commeune matrice, chaque point sera affect de deux indexes (i,j) qui le positionneront par rapport ces voisins. Soit U, la variable calculer. Sa valeur aux diffrents points de la grille scrit dela manire suivante :

    ),( 00,1 y x xU U ji (1)

    ),( 00,1 y x xU U ji (2)

    ),( 001, y y xU U ji (3)

    ),( 001, y y xU U ji (4)

    Maillage non-structur : Lautre faon de mailler un domaine de calcul est de dfinir unnuage de points, pas ncessairement structur. Dans ce cas-l, il faudra numroter les pointsde calcul un par un. Chaque point aura ces coordonnes x et y. En plus il faudra relier cespoints entre eux de faon crer des lments (gnralement des triangles, voir Figure 1).Le fichier de la grille de calcul sera complter par une liste des lments (eux-mmesnumroter) et les points composants chaque lment.

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    Le dveloppement en srie de Taylor ;

    nn

    n

    n

    Rn x

    xU x

    xU

    x xU

    y xU y x xU

    !

    ...!2

    ,,0

    2

    02

    2

    0

    0000 (5)

    nn

    n

    n

    Rn x

    xU x

    xU

    x xU

    y xU y x xU

    !

    ...!2

    ,,0

    2

    02

    2

    0

    0000 (6)

    Une autre criture de lquation (5), on oubli temporairement la deuxime dimension.

    nniiin

    iii

    iiiii R x xn xU

    x x xU

    x x xU xU xU 12

    1

    ''

    1'

    1 !...

    !2

    Le terme Rn, reprsente les termes omis dordre ( n+1 linfini ). Thoriquement, on aura

    besoin dun nombre infini de termes pour pouvoir calculer la valeur de U(x i+1 ). En pratique,on se limite un nombre fini de terme et tout le reste sera considr en tant que lerreur delapproximation (erreur de troncature).

    Construction des schmas pour la drive dordre un et deux :

    En arrangeant lquation (5), on obtient le schma aux diffrences avant:

    x x

    y xU y x xU xU

    0000

    0

    ,, (7)

    Lquation (6), donne le schma aux diffrences arrire :

    x x

    y x xU y xU xU

    0000

    0

    ,, (8)

    Le schma aux diffrences centres sobtient en soustrayant lquation (6) de lquation (5) :

    200000 2

    ,, x

    x

    y x xU y x xU

    x

    U

    (9)

    La drive seconde est obtenue en additionnant lquation (5) lquation (6) :

    22 0000000

    2

    2 ,,2, x

    x y x xU y xU y x xU

    xU

    (10)

    Les schmas ci-dessus scrivent sous forme indicielle :

    x x

    U U

    x

    U ji ji

    ji

    ,,1

    ,

    (11)

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    x x

    U U

    x

    U ji ji

    ji

    ,1,

    ,

    (12)

    2,1,1

    , 2 x

    x

    U U

    x

    U ji ji

    ji

    (13)

    22 ,1,,1,

    2

    2 2 x

    x

    U U U

    x

    U ji ji ji

    ji

    (14)

    Application 1: A titre dexercice, construire un schma pour approximer la drive croise.

    Application 2 : En utilisant un schma dordre un, calculer la premire drive de la fonctionsuivante pour x=0.5 et pour deux incrmentations h=0.5 et h=0.25

    2.235.015.025.0 23 x x x x f

    Rpter lopration avec un schma dordre deux. Comparez avec la solution exacte.

    Le fait de dire quun schma est dordre deux veut dire quil est plus prcis que celui dordre un.Lerreur de troncature est proportionnelle h 2 au lieu de h (pour le schma dordre 1). De ce fait unschma dordre deux est toujours prfr en CFD. Pour la drive par rapport au temps, il estdusage dutiliser un schma avant dordre un. Cest un peu par rapport la nature de la variabletemps.

    Erreur de troncature : Cest lerreur qui rsulte de lutilisation dune approximation(schma) la place de la solution exacte (drive).

    Erreur darrondi : Cest lerreur engendre lorsquon se limite le nombre de dcimales prisen compte aprs la virgule.

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    La principale remarque est que le schma centr est dordre 2 est plus prcis que les deuxautres. Malheureusement ce schma ne peut tre utilis pour les nuds de frontires o ledomaine de calcul est dfinit seulement dun seul ct du nud de calcul.

    La formule dun schma dordre 2 applicable aux nuds des frontires peut tre construiteen utilisant trois points au lieu de deux. La procdure est la suivante :

    2,2,1,,

    x x

    U cU bU a

    x

    U ji ji ji

    ji

    (15)

    ...6!2

    3

    ,3

    32

    ,2

    2

    ,

    ,,1

    x x

    U x

    x

    U x

    x

    U U U

    ji ji ji

    ji ji (16)

    ...6

    2!2

    22

    3

    ,3

    32

    ,2

    2

    ,

    ,,2

    x x

    U x

    x

    U x

    x

    U U U

    ji ji ji

    ji ji (17)

    En multiplie lquation (16) par b et lquation (17) par c ;

    3,

    2

    22

    ,

    ,

    ,2,1,

    42

    2 x xU

    bc x

    xU

    bc xU cba

    U cU bU a

    ji ji

    ji

    ji ji ji

    (18)

    Lidentification de lquation (18) lquation (15), donne :

    04

    12

    0

    bc

    bc

    cba

    (19)

    La rsolution de ce systme dquation, donne lexpression suivante pour un schma de

    second ordre utilisant trois points pour la drive premire.

    2,2,1,, 2

    43 x

    x

    U U U

    xU ji ji ji

    ji

    (20)

    Application 3: Construire un schma dordre 2 utilisant les points, i , i+1 et i+2 pourapproximer la premire drive.

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    1. Lquation de conduction de la chaleur (Joseph Fourier)

    Lquation de Fourrier traduisant le transfert de chaleur par conduction sera utilise dans lasuite du cours comme exemple de base pour illustrer lapplication de la mthode desdiffrences finies.

    QT t T

    c (21)

    o : t y xT ,, : La temprature, fonction de lespace et du temps.

    c : La chaleur spcifique.

    : La masse volumique.

    Q : Source de chaleur par unit de temps et de volume.

    : Le coefficient de conductivit thermique.

    t : Le temps.

    Bien que la conductivit thermique, la chaleur spcifique et la masse volumique peuventvarier en fonction de la temprature, elles seront considres constantes dans la suite ducours.

    Notre premire approche du problme sera dappliquer cette quation pour un cas assezsimple tel que le transfert de chaleur en 1D. Soit un fil mtallique de section droite trspetite par rapport sa longueur de faon ce que le flux de chaleur existe seulementsuivant la longueur du fil. Si en plus la source de chaleur est absente, lquation prcdenteprend la forme suivante :

    2

    2

    xT

    at T

    (22)

    O

    ca , reprsente la diffusivit thermique.

    Si les tempratures maximale et minimale du processus sont connues, la temprature seraadimensionalise comme suit :

    minmax

    min

    T T T T

    (23)

    et en introduisant la variable despace adimensionnelle, L x x /' , o L est la longueur du fil,lquation prcdente scrit :

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    2

    2

    xa

    t

    (24)

    o x a t remplace par x pour simplifier lcriture.

    LE PROBLEME STATIONNAIRE

    Si en plus le problme est stationnaire, lquation devient :

    022

    x

    (25)

    Le problme sera complt par la pose des conditions aux limites.

    L Longueur du fil.

    NI = 6 Nombre de nuds du maillage.

    Les conditions aux limites seront du type Dirichlet :

    11 , 0 NI (26)

    On calcul x par lexpression suivante : 11 NI x (27)

    et on gnre la grille de calcul par la portion de programme :

    x(1) = 0.0

    Do I=2,NI

    x(i) = x(i-1)+ x

    enddo

    Lquation (25) sera discrtise par un schma centr de second ordre :

    02

    211

    x

    iii (28)

    x

    L

    I = 1 I = 2 I = 3 I = 4 I = 5 I = 6

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    Le nombre de nuds global tant 6 dont deux sont rservs pour les conditions aux limiteset quatre sont calculs par la mthode des diffrences finies.

    Lapplication de lquation algbrique (28) aux quatre nuds donne le systme suivant :

    I=2 02 321 soit 12 32 (29)

    I=3 02 432 soit 02 432 (30)

    I=4 02 543 soit 02 543 (31)

    I=5 02 654 soit 02 54 (32)

    Mathmatiquement parlant, on dispose dun systme de quatre quations quatreinconnus :

    0

    0

    0

    1

    2100

    1210

    0121

    0012

    5

    4

    3

    2

    (33)

    Ce type de matrice est appele, matrice tri diagonal et elle est facilement rsolu par lamthode du pivot (triangulation).

    Solution :

    0

    0

    1

    1

    2100

    1210

    0230

    0012

    5

    4

    3

    2

    0

    1

    1

    1

    2100

    3400

    0230

    0012

    5

    4

    3

    2

    11

    1

    1

    50003400

    0230

    0012

    5

    4

    3

    2

    15 5 2.05

    134 54 4.04

    123 43 6.03

    12 32 8.02

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    On a aussi : 11 et 06

    Il est clair que la solution est une droite en parfaite concordance avec la conductionthermique uni directionnelle qui possde un caractre linaire.

    Remarque : La solution de ce type de problme est possible analytiquement (deuxintgrations successives) et la solution et celle dune ligne droite.

    LE PROBLEME NON-STATIONNAIRE

    On reprend lquation (24)

    2

    2

    xu

    at u

    Dans ce genre de problme, en plus des conditions aux limites on a besoin des conditionsinitiales. Cest dire une distribution initiale de la solution pour le temps zro. Les variablesauront deux indices : le premier se rapportant au temps et le deuxime lespace.

    xit nU xt U ,., sera reprsente par niU .

    x

    L

    I = 1 I = 2 I = 3 I = 4 I = 5 I = 6

    n = 1

    n = 2

    n = 3

    t

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    Schma explicit

    Lquation prcdente sera approximer par le schma suivant :

    22 111 2

    x x

    U U U at

    t U U ni

    ni

    ni

    ni

    ni (34)

    On remarque quon a utilis un schma avant dordre un pour la drive par rapport autemps et un schma centr dordre deux pour la drive par rapport lespace.

    Lors de cette discrtisation nous avons choisi de prendre les termes de droites au temps n.ce schma sappelle un schma explicite , puisquil permet de formuler lexpression de lavariable au point i et linstant n+1 explicitement en fonction de la solution dj calcule autemps n . Ce schma est reprsent par la molcule suivante.

    Lquation (34) sera arrange comme suit :

    n

    ini

    ni

    ni U U U U 11

    1

    21 (35)

    avec2 x

    t a (36)

    Lquation (35) sera appliqu aux nuds dune mme rang (c.a.d. n = cste ).

    Reprenons le problme de conduction de la temprature prcdent2

    2

    xt

    et posons

    les conditions aux limites suivantes ( 0.10, t , 0.01, t ) et les conditions initiales ( 0.0,0 x pour 10 x )

    Si on reprend le mme nombre de nuds que prcdemment (NI=6) le pas despace sera2.0 x

    Cas 1 : 1.0t ( 5.2 )

    x .0000 .2000 .4000 .6000 .8000 1.0000

    1 1.0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .00002 1.0000 2.5000 .0000 .0000 .0000 .0000

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    3 1.0000 -7.5000 6.2500 .0000 .0000 .0000

    A ce niveau, on peut arrter les calculs puisquon remarque que les rsultats numriques dela prdiction ne peuvent tre accepts physiquement. En labsence de source de chaleur lesvaleurs de la temprature doivent tre bornes par les conditions aux limites, pire encore onvoit apparatre des valeurs ngatives de la temprature adimensionnelle. On conclue que leschma numrique nest pas stable puisquil amplifie les erreurs introduites par lesconditions initiales.

    Cas 2 : 01.0t ( 25.0 )

    x .0000 .2000 .4000 .6000 .8000 1.0000

    1 1.0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .00002 1.0000 .2500 .0000 .0000 .0000 .00003 1.0000 .3750 .0625 .0000 .0000 .00004 1.0000 .4531 .1250 .0156 .0000 .00005 1.0000 .5078 .1797 .0391 .0039 .00006 1.0000 .5488 .2266 .0654 .0117 .00007 1.0000 .5811 .2668 .0923 .0222 .00008 1.0000 .6072 .3018 .1184 .0342 .00009 1.0000 .6291 .3323 .1432 .0467 .0000

    10 1.0000 .6476 .3592 .1663 .0591 .0000

    Daprs les rsultats ci-dessus, on remarque que la premire variante avec 1.0t est

    instable. Elle ne peut pas aboutir une solution raisonnable. Alors quavec 01.0t le

    processus est stable. Conclusion : la stabilit dun schma explicite nest pas toujoursassure.

    Concept de stabilit dun schma :

    Un schma est dit stable sil amorti les erreurs provenant des C.I., des C.L. et delapproximation utilise. Sil amplifie les erreurs, le schma sera instable et ne pourra pasconverger vers une solution raliste.

    Pour introduire le concept de stabilit nous allons utiliser le schma de lquation (35)

    nininini U U U U 111 21

    Soit nu la solution exacte (en minuscule) et nU la solution numrique linstant n . ces deuxquantits seront lies par :

    ni

    ni

    ni uuU (37)

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    O niu est lerreur introduite dans le calcul par lapproximation du schma (erreur de

    troncature).

    Remplaons lquation (37) dans (34), nous obtenons :

    22 111

    ,2

    xt x

    uuut

    uu nini

    ni

    ni

    ni (38)

    Ou

    2111 ,21 xt t uuuu nininini (39)

    Cette dernire quation dcrit lvolution de lerreur en fonction du temps. Comme il est ditprcdemment, un schma numrique stable ne doit pas amplifier les erreurs. Cette

    conditions est bien vrifie si 021 , puisque 2 xt est toujours positif.

    2111 21 xt t uuuu nininini (40)

    2maxmax1 xt t uu nini

    En dautres termes lerreur introduite par un pas de temps t ne peut tre suprieur 2 xt t

    ANALYSE DE LA STABILITE PAR LA TRANSFORMATION DE FOURIER

    Contrairement lerreur de troncature qui peut tre estimer pour nimporte quel problme(aussi complexe soit-il), il est pratiquement trs difficile danalyser la stabilit dun schmadonne. Il est mme impossible dtudier la stabilit dun algorithme pour des quationsnon linaires. Une mthode danalyse de la stabilit base sur la transformation de Fourierpeut tre applique au schma prcdent (35) :

    n

    i

    n

    i

    n

    i

    n

    i U U U U 111

    21

    La solution d'un tel problme peut scrire sous la forme suivante :

    xi jni et nU (41)Linjection de cette solution dans lquation (35) donne :

    xi j xi j xi j xi j eeet net n 11 211 (42)

    Qui peut aussi scrire :

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    Si nous voulons augmenter la prcision du schma en adoptant par exemple un 1.0 x ,on doit aussi vrifier 02.0t

    Cest dire, plus la prcision spatiale est grande plus le calcul sera plus long, puisque le pas

    du temps exig pour la stabilit du schma explicit sera plus petit. Du point de vue capacitde stockage en mmoire, ce schma exige un espace double pour la distribution de lasolution numrique ( n et n+1 ).

    Schma implicite

    Reprenons le problme de la conduction thermique non stationnaire et re crivonslquation discrte (34) comme suit (les termes de droite sont au temps n+1 )

    221

    111

    11 2

    x x

    U U U at

    t U U ni

    ni

    ni

    ni

    ni

    (51)

    Aprs groupement et arrangement :

    nininini U U U U 1

    111

    1 21 (52)

    Cette quation prsente trois inconnus en mme temps, ce qui ne permet pas de la rsoudredirectement comme ctait le cas pour le schma explicite. Cette forme de discrtisation estappele schma implicite . Pour trouver la solution il faut crire lensemble des quationsissues de lapplication de (52) sur tous les nuds de la mme ligne et ensuite rsoudre lesystme tout entier.

    Si nous reprenons lexemple prcdent compos de six nuds, le systme scrira :

    121312212 U U U U i nnn

    nnnn U U U U i 3141312 213

    nnnn U U U U i 4151413 214

    651514 215 U U U U i nnn

    1U et 6U sont connues et reprsentent les conditions aux limites.

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    On dispose maintenant dun systme de quatre quations quatre inconnus.

    *5

    *4

    *3

    *2

    5

    4

    3

    2

    2100210

    021

    0021

    U U

    U

    U

    U U

    U

    U

    Les variables de type *iU reprsentent la solution numrique litration prcdente. La

    solution de ce systme donne directement la solution de lquation. On constate queladoption de nimporte quelle valeur du paramtre aboutit une solution numriquestable. On conclue que le schma implicite est inconditionnellement stable.

    Application 3: Utiliser lanalyse de fourrier comme prcdemment pour montrer que le

    schma implicite est inconditionnellement stable.

    Schma de Crank-Nickolson :

    Suivant ce schma lquation (24) scrira de la manire suivante :

    2

    112

    11

    111

    1 2

    212

    21

    x

    U U U

    x

    U U U a

    t

    U U nini

    ni

    ni

    ni

    ni

    ni

    ni (53)

    Un tel schma prend une moiti en explicite et lautre moiti en implicite. Une faon plusgnralise de discrtiser lquation (24) est :

    2

    112

    11

    111

    1 21

    2 x

    U U U x

    U U U a

    t U U ni

    ni

    ni

    ni

    ni

    ni

    ni

    ni (54)

    Pour 0 le schma est explicite, pour 1 il est implicite et pour 5.0 il devient Crank-

    Nicholson.

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    Schma de Duffort Frankel

    Cest un schma explicite et inconditionnellement stable

    21

    111

    11

    2 x

    U U U U a

    t

    U U nini

    ni

    ni

    ni

    ni (55)

    Concept de consistance dun schma

    Un schma est dit consistant si et seulement si lerreur de troncature tend vers zro quandtous les pas i x et t tendent vers zro. En dautres termes : plus on raffine le maillage de

    calcul plus le rsultat doit tre prcis. Le schma implicite et explicit introduitsprcdemment sont consistants puisque lerreur de troncature 2, xt tend vers zroquand x et t tendent vers zro.

    Examinons le schma de Duffort Frankel de lquation (55).

    ninininini

    ni U U U U

    xa

    t U U

    111

    12

    11

    2

    Lerreur de troncature a la forme suivante :

    ...61

    122

    ,3

    32

    ,2

    22

    ,4

    4

    t

    t

    U

    x

    t

    t

    U x

    x

    U

    jn jn jn

    (56)

    Tout va pour le mieux si 0lim

    xt

    quand 0t et 0 x .

    Par contre si t et x tendent vers zro avec le mme taux telle que xt

    , alors ce

    schma ne sera plus consistant.

    Mini-Projets : (Lnonc des applications ci-dessous est inspir du cours de Lars Davidson,Chalmers Tekniska Hogskola, Termo- och Fluiddynamik, thanks to Dr. Lars Davidson)

    Le projet consiste rsoudre le problme de conduction thermique (diffusion) dans undomaine rectangulaire (2D) en appliquant des conditions aux limites de type Dirichlet etNewman.

    Lquation de Fourrier :

    0S T Grad Div

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    022

    2

    2

    S

    yT

    xT

    Figure 1 : Domaine de calcul et conditions aux limites.

    L =1 et H = 0.5 L x10015

    cas Sud Est Nord Ouest S

    1 10 H y sin2010 10 0 xT -1.5

    2 15 H y H y sin151510 10 0 xT -1.5

    3 15 H y 2cos15 15 0 xT -1.5

    4 10 H y H y sin10510 15 0 xT -1.5

    5 15 H y H y 2cos155 10 0 xT -1.5

    Tableau 1 : Les conditions aux limites du groupe 1

    L =1.5 et H = 0.5 autrement yet x pour 204.03.01.17.001.0

    cas Sud Est Nord Ouest S

    1 10 H y sin2010 0 yT 10 0

    2 10 H y sin2010 0 yT 30 0

    3 10 H y H y cos1515 0 yT 15 0

    = 0

    = H

    x = 0 x = LSud

    Nord

    Ouest Est

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    4 10 H y H y cos1515 0 yT 30 0

    5 10 H y sin2010 0 yT 10 0

    Tableau 2 : Les conditions aux limites du groupe 2

    L =1 et H = 1 20

    cas Sud Est Nord Ouest S

    1 10 20 L x20 0 xT 0

    2 10 20 L x2110 0 xT 0

    3 10 20 L x515 0 xT 0

    4 10 20 L x155 0 xT 0

    5 10 20 L x5135

    0 xT 0

    Tableau 3 : Les conditions aux limites du groupe 3

    Sinspirer de lexemple du cas 1 ci-dessous pour adapter le programme votre cas etprsenter le rapport de votre mini-projet. Le rapport doit comporter la formulation duproblme, les conditions aux limites, la discrtisation, la mthodologie utilise, ltude desensibilit de la solution par rapport la taille de la grille de calcul, les figures des rsultats

    (isothermes et le vecteur flux de chaleur dfinis par xT

    q x et

    yT

    q y ) et les

    discutions.

    Solution par la mthode des diffrences finies

    S y

    T x

    T t T

    2

    2

    2

    2

    On utilise un schma explicit, avant pour le temps et centr pour lespace. Lquationprcdente prend la forme suivante :

    n ji

    n ji

    n ji

    n ji

    n ji

    n ji aT f T eT d cT bT T ,1,1,,1,11,

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    avec

    2** xt k cb , 2** yt k ed , t S f * et 2***22***21 yt k xt k a

    Appliquer cette quation aux nuds de la grille de calcul et obtenir un systme dquationsquil faut rsoudre par la mthode de Gauss-Seidel.

    Programme Fortran tlcharger ici, Diffusion 2D en diffrences finies

    http://www.abbesazzi.com/wp-content/uploads/2011/06/Diffusion-2D-DF.rar

    Cas 1 :

    Sensibilit de la solution la taille de la grille de calcul : les calculs ont t conduits pour

    trois grilles ayants 10 x 10, 20 x 20 et 40 x 40 points et nommes G1, G2 et G3respectivement. La distribution de la temprature pour (y = H / 2) et le long du rectangle estreprsent sur la figure 2. Pour assurer la stabilit du schma explicit il faut que le pas dutemps vrifie la condition suivante :

    2221

    y xt

    Figure 2: Sensibilit de la solution numrique vis--vis de la taille de la grille de calcul.

    La distribution de la temprature sous forme de lignes isothermes est reprsentesur la figure 3:

    Pour illustrer le flux de chaleur, On trace les vecteurs du flux dfinis

    par x

    T q x

    et y

    T q y

    0 ,0 0,1 0,2 0,3 0 ,4 0,5 0,6 0,7 0 ,8 0,9 1,05

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    5

    1 0

    1 5

    2 0

    2 5

    3 0

    3 5

    T

    X

    11x11 2 1x21 4 1x41

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    Figure 3: Isothermes, cas 1, 21x21 nuds.

    Figure 4: Distribution du flux thermique.

    La figure 4 illustre la direction du flux thermique de conduction lintrieur du domaine decalcul.

    Variante : Reprendre les mmes cas en utilisant la mthode ADI pour rsoudre lquationstationnaire.

    T

    30282624222018161412

    10 21 x 21

    T

    3028262422201816141210

    21 x 21

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