Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière ... · Mémoire ISFA – Phuong...

Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

pour l’obtention du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon

le __________14 juin 2013___________

Par : Mlle NGUYEN Ngoc Trung Phuong

Titre: Construction de bases de tarification pour des contrats complémentaires

santé collectifs par le Modèle Linéaire Généralisé

Confidentialité : � NON x� OUI (Durée : � 1 an x� 2 ans)

Membres du jury de l’Institut des Actuaires

Mme Catherine PIGEON

Entreprise :

M. Pierre ARNAL Gan Eurocourtage

Membres du jury I.S.F.A. Directeur de mémoire en entreprise :

M. Frédéric PLANCHET M. Arnaud L’HERBIERE

M. Areski COUSIN

Invité :

Secrétariat

Mme Marie-Claude MOUCHON

Autorisation de mise en ligne sur

un site de diffusion de documents

actuariels (après expiration de l’éventuel délai de confidentialité)

Bibliothèque :

Mme Patricia BARTOLO

Signature du responsable entreprise

Signature du candidat

50 Avenue Tony Garnier

69366 Lyon Cedex 07

Université Claude Bernard – Lyon 1

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

Mémoire ISFA – Phuong NGUYEN

RESUME

Les évolutions significatives en terme de législation ainsi que la forte compétition sur le marché des Assurances Collectives exigent des organismes d’assurance complémentaire d’actualiser régulièrement leurs bases de tarification afin de maintenir leur compétitivité en assurant leur rentabilité.

L’objet du mémoire est donc de construire des bases de tarification dans le but d’estimer la prime pure d’un contrat complémentaire santé collectif par le modèle linéaire généralisé. Le mémoire est divisé en 4 parties.

La première partie est une présentation de la gestion déléguée, de l’organisation de la Sécurité Sociale, des organismes d’Assurance Complémentaires et du Régime Santé complémentaire.

La deuxième partie présente le principe de tarification, la technique de tarification par le modèle linéaire généralisé, et la technique de classification des variables explicatives.

La troisième partie sert à la description, au traitement, et à l’analyse des données. Le travail est effectué sur les données fournies par 2 délégataires partenaires de Gan Eurocourtage, « Génération » et « Mercer ».

Enfin, la dernière partie se consacre à la modélisation. Il s’agit :

- d’analyser et de sélectionner les lois les plus adaptées aux variables à expliquer, soit le coût et la fréquence.

- de classifier une variable explicative, d’établir le prédicteur linéaire et d’analyser les croisements entre les variables explicatives.

- de lancer le modèle linéaire à l’aide de la procédure « Genmod » sous le logiciel SAS après avoir modélisé les variables à expliquer et paramétré les variables explicatives.

La prime pure est déterminée sur le principe « coût * fréquence».

Enfin, l’interprétation des résultats, la validation du modèle, l’analyse des résultats et la conclusion de l’étude sont présentées.

MOTS CLES

Modèles Linéaires Généralisés (GLM), tarification, santé complémentaire, variables à expliquer, variables explicatives, coût, fréquence, prime pure.


ABSTACT

The significant changes in terms of legislation and the strong competition of the collective insurance’s market require the representations of the complementary healthcare to update their pricings in order to maintain their competitions and their profits.

The purpose of this thesis is to propose a method to calculate the premium of a complementary corporate healthcare contract by using the generalized linear model. The thesis is divided into 4 parts.

The first part is a presentation of the delegate management, the organization of Social Security and the representations of the complementary healthcare.

The second part presents the pricing principle, the theory of generalized linear model and the classification’s method using for classifying the predictor variables.

The third part is the description, process and analysis of the data. The study is realized on the data provided by two of our delegate partners "Generation" and "Mercer".

The last part is the modeling which is conducted by follow steps:

- analyze and select the most suitable distribution for the response variables of the cost and the frequency.

- classify the predictor variables, establish the linear predictor and analyze the intersections between the predictor variables.

- launch the model by using the « Genmod » procedure in SAS software.

The pure premium is determined by the principle of « cost * frequency ».

Finally, the validation of the model, the results and the conclusion of study are introduced.

KEYWORDS

Generalized Linear Model (GLM), pricing complementary health, predictor variables, response variables, cost, frequency, pure premium.


REMERCIEMENTS

Durant tout le temps où je me suis consacrée aux travaux présentés dans ce mémoire, plusieurs personnes ont su et ont pu m’apporter de l’aide, sous des formes différentes mais comptant tout autant.

En premier lieu, je tiens à remercier M. Arnaud LHERBIERE, Directeur Technique Prévoyance Santé - Groupama Gan Vie, pour sa disponibilité et ses précieuses orientations dans le développement de cette étude.

Je remercie très vivement Mme Valérie ROUXEL, Responsable Souscription et Émission Prévoyance et Santé Sur Mesure – Gan Eurocourtage, de m’avoir donné tous les moyens nécessaires pour mes travaux. Je lui suis également reconnaissante pour ses encouragements, sa confiance et son soutien sans faille depuis mon arrivée.

Je voudrais particulièrement remercier Mme Nathalie ROUET, Souscriptrice Prévoyance et Santé Sur Mesure – Gan Eurocourtage, pour tout le temps passé à relire et à annoter les diverses versions du mémoire et pour toutes les explications, les conseils qu’elle m’a donnés. De tout ceci, je lui suis vivement reconnaissante.

Je remercie chaleureusement M. Frédéric PLANCHET, enseignant à l’ISFA, pour sa disponibilité quant à mes questionnements, pour ses conseils et pour le temps consacré à relire et à annoter le mémoire.


SOMMAIRE

RESUME ..................................................................................................................................... 2

ABSTACT ..................................................................................................................................... 3

REMERCIEMENTS ............................................................................................................................. 4

SOMMAIRE ..................................................................................................................................... 5

INTRODUCTION ................................................................................................................................. 8

PARTIE 1 : PRESENTATION ............................................................................................................ 9

Chapitre 1. La délégation de gestion ............................................................................................ 10

Section 1.1. Le contexte ........................................................................................................... 10

Section 1.2. La définition de la délégation de gestion ............................................................. 10

Section 1.3. Les principaux acteurs de la délégation de gestion .............................................. 10

Section 1.4. Les enjeux de la délégation de gestion ................................................................. 11

Section 1.5. Les impacts de la solvabilité II sur la délégation de gestion ................................ 12

Chapitre 2. L’organisation de la Sécurité Sociale ....................................................................... 13

Chapitre 3. Le régime complémentaire santé ............................................................................... 15

Section 3.1. Les organismes complémentaires ......................................................................... 15

Section 3.2. Les facteurs influencés aux dépenses du régime complémentaire santé .............. 17

3.2.1. Le niveau des garanties ............................................................................................. 18

3.2.2. Le type de contrat ...................................................................................................... 19

3.2.3. Les bénéficiaires couverts. ........................................................................................ 19

Section 3.3. La mise en place d’un régime complémentaire santé dans une entreprise ........... 20

3.3.1. L’accord collectif ...................................................................................................... 20

3.3.2. L’accord référendaire ................................................................................................ 20

3.3.3. La décision unilatérale de l’employeur ..................................................................... 20

Chapitre 4. L’environnement législatif ....................................................................................... 21

Chapitre 5. Le mécanisme de remboursement ............................................................................. 24

Section 5.1. Les notations ......................................................................................................... 24

Section 5.2. Le schéma de remboursement .............................................................................. 25

PARTIE 2 : LA TECHNIQUE DE TARIFICATION ..................................................................... 28

Chapitre 1. Le principe de tarification ......................................................................................... 29

Chapitre 2. Le Modèle Linéaire ................................................................................................... 30

Section 2.1. Le Modèle Linéaire Classique ............................................................................. 30

Section 2.2. Le Modèle Linéaire Généralisé (GLM) ............................................................... 31

2.2.1. Le composant d’un GLM .......................................................................................... 31

2.2.2. Les distributions de la famille exponentielle naturelle .............................................. 33


2.2.3. Le test Kolmogorov-Smirnov .................................................................................... 35

2.2.4. Les fonctions de lien .................................................................................................. 37

2.2.5. L’estimation des paramètres ..................................................................................... 37

2.2.6. La sélection de variables ........................................................................................... 39

2.2.6.1. Les notions de robustesse et de précision d’un modèle .................................. 39

2.2.6.2. Les critères de la sélection .............................................................................. 40

2.2.6.3. Les méthodes de sélection ............................................................................. 41

2.2.6.4. L’analyse du « type 1 » et « type 3 » sous SAS ............................................. 42

2.2.7. L’intervalle de confiance .......................................................................................... 42

2.2.8. La validation du modèle ............................................................................................ 43

Chapitre 3. La classification ......................................................................................................... 45

Section 3.1. La construction de la matrice des distances .......................................................... 46

Section 3.2. Les écarts entre classes ......................................................................................... 46

Section 3.3. La construction de l’arbre ou du «dendrogramme» .............................................. 46

Section 3.4. La coupure du dendrogramme .............................................................................. 48

PARTIE 3 : LES DONNEES .............................................................................................................. 50

Chapitre 1. Présentation des sources des données ........................................................................ 51

Section 1.1. Les données de Génération ................................................................................... 51

Section 1.2. Les données de Mercer ......................................................................................... 52

Chapitre 2. Le traitement des données ......................................................................................... 53

Section 2.1. Le traitement des données de Génération ............................................................. 53

Section 2.2. Le traitement des données Génération et Mercer ................................................. 55

2.2.1. La création de variables ............................................................................................. 55

2.2.2. Le cumul des prestations des actes forfaitaires ......................................................... 61

2.2.3. Les prestations tenant compte de taux d’inflation et de l’évolution du PASS .......... 61

2.2.4. Le volume de données ............................................................................................... 62

2.2.5. Les variables retenues dans l’étude ........................................................................... 62

Chapitre 3. L’analyse des données ............................................................................................... 63

Section 3.1. Les statistiques descriptives .................................................................................. 63

Section 3.2. L’analyse du montant de remboursement par l’Assureur ..................................... 68

Section 3.3. La conclusion ........................................................................................................ 75

PARTIE 4 : LES MODELISATIONS ............................................................................................... 76

Chapitre 1. La modélisation des variables à expliquer ................................................................. 77

Section 1.1. La modélisation du coût des sinistres ................................................................... 77

1.1.1. Le choix de variables pour modéliser le coût des sinistres ........................................ 77

1.1.2. Le choix de la loi pour le coût des sinistres ............................................................... 79


Section 1.2. La modélisation de la fréquence des sinistres ....................................................... 82

Chapitre 2. Le paramétrage des variables explicatives ................................................................ 86

Section 2.1. La classification de la variable « région » ............................................................ 87

Section 2.2. Le paramétrage du prédicteur linéaire .................................................................. 88

Section 2.3. Les tests d’interactions de variables explicatives ................................................. 90

Chapitre 3. La fonction de lien et la prime pure ........................................................................... 94

Section 3.1. La fonction de lien ................................................................................................ 94

Section 3.2. La prime pure ....................................................................................................... 94

Section 3.3. La prime commerciale .......................................................................................... 96

Chapitre 4. Les résultats ............................................................................................................... 97

Section 4.1. L’interprétation des sorties SAS ........................................................................... 97

Section 4.2. L’interprétation des résultats .............................................................................. 101

Section 4.3. L’intervalle de confiance .................................................................................... 103

Section 4.4. La validation du modèle ..................................................................................... 104

Section 4.5. L’analyse des résultats ........................................................................................ 107

4.5.1. L’analyse la variation de la prime pure théorique selon les variables qualitatives.. 107

4.5.2. L’exemple d’une tarification ................................................................................... 115

4.5.3. Les garanties « exotiques »...................................................................................... 118

4.5.4. La mise en place de grille pour les verres ............................................................... 119

CONCLUSION ................................................................................................................................. 122

BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................................ 124

ANNEXE ................................................................................................................................. 125


INTRODUCTION

Dans le cadre de mes études en Actuariat au sein de l’ISFA (Institut de Science Financière et d’Assurances) et en vue de l’obtention du titre d’Actuaire qui donne accès à l’Institut des Actuaires, j’ai réalisé un mémoire dont le sujet consiste à la construction de bases de tarification pour des contrats complémentaires santé collectifs.

En Assurances Collectives, la gestion des contrats santé est majoritairement déléguée. Pour pouvoir construire des bases de tarification répondant aux critères concurrentiels du marché et adaptées à la population assurée, il semble nécessaire de combiner les données des contrats gérés en interne avec les données des contrats en gestion déléguée. Cet exercice (traitement des données) relève du challenge dans la mesure où les informations, les libellés, les formats et les saisies des gestionnaires sont souvent très différents.

Dans le cadre de ce mémoire, la construction de bases de tarification est établie sur les données fournies par deux grands gestionnaires parmi la cinquantaine des gestionnaires partenaires de Gan Eurocourtage, soit nommément « GENERATION » et « MERCER » ; le chiffre d’affaires de ces deux gestionnaires délégués représentent 13 % de l’ensemble du chiffre d’affaires « Gestion déléguée » de Gan Euroucourtage.

Après la construction de bases de tarification par des données externes, l’étude est orientée sur la comparaison des bases de tarification établies à partir des données internes avec celles des données relevant de la gestion déléguée ; puis axée sur la fusion des deux bases de tarification afin d’obtenir des bases de tarification adaptées au portefeuille de Gan Eurocourtage.


PARTIE 1 : PRESENTATION


Chapitre 1. La délégation de gestion Section 1.1. Le contexte

Le secteur de l’assurance est composé de multiples acteurs porteurs de risque des clients, généralement appelés « organismes d’assurance » ; ces acteurs peuvent être des sociétés d’assurance, des institutions de prévoyance ou des mutuelles. Ces organismes d’assurance procèdent soit à une gestion interne et directe de leurs contrats d’assurance, soit confient tout ou partie de cette gestion à un tiers externe.

La délégation de gestion est une activité qui ne cesse de se développer. Ainsi, selon une étude du cabinet de conseil « Facts & Figures », le taux de croissance moyen entre 2005 et 2010 du chiffre d’affaires des principaux délégataires de gestion en santé et prévoyance collectives est de 8,4%.

Nous nous sommes attachés, dans cette partie, à définir dans un premier temps la notion de délégataires de gestion. Nous déterminons, dans un second temps, pourquoi les organismes d’assurance ont recours à ces délégataires de gestion et les enjeux pouvant en découler, notamment en terme d’impacts de Solvabilité II.

Section 1.2. La définition de la délégation de gestion 1

La notion de délégation de gestion en assurance n’est pas définie dans le code des assurances. Néanmoins, Solvabilité II introduit la sous-traitance comme « toute externalisation de procédures, services ou activités effectués en lieu et place de l’entreprise d’assurance ou de réassurance, par un prestataire de services ». Or, la délégation de gestion consiste, dans le domaine assurantiel, à confier tout ou partie d’activités menant à l’exécution d’un contrat d’assurance à un autre organisme, qui effectuera ces tâches de façon autonome en utilisant ses propres ressources, humaines, matérielles (notamment les systèmes d’informations) et financières. Le délégataire de gestion prend en charge l’intégralité du processus qui lui est confié. Ainsi, la délégation de gestion est une forme de sous-traitance.

Cette délégation de gestion peut concerner tout ou partie des processus attachés à la vie d’un contrat d’assurance : souscription avec ou sans acceptation médicale, gestion des adhésions, recouvrement des cotisations, gestion des droits des participants, gestion des prestations...

Section 1.3. Les principaux acteurs de la délégation de gestion

Nous allons présenter ci-dessous les trois principales catégories de délégataire de gestion, fortement présentes sur le marché des assurances de personnes :

• les courtiers ayant développé une structure interne, avec une plateforme de gestion,

1 IFACI (Institut français de l’audit et du contrôle interne). « La délégation de gestion en assurances de personnes ». Cahier de la Recherche


• les courtiers ayant une structure juridique propre faisant de la délégation de gestion ; dans ce cas de figure, la société de gestion est liée par son capital à un cabinet de courtage,

• les prestataires de service (sans lien actionnarial avec le courtier et n’ayant aucune activité d’intermédiation) à qui l’organisme d’assurance délègue tout ou partie de sa gestion.

Même lorsque l’organisme d’assurance n’appartient pas au même groupe que le délégataire de gestion, il doit maîtriser les risques liés à la délégation de gestion, en les contrôlant. L’organisme d’assurance pourra profiter des leviers liés à l’appartenance au même groupe pour assurer un suivi plus efficace des actions correctives.

Section 1.4. Les enjeux de la délégation de gestion

Le marché des assurances de personnes (Santé – Prévoyance) est caractérisé par une part relativement importante d’externalisation des actes de gestion.

Pour les organismes d’assurance, le recours à la délégation de gestion peut aujourd’hui intervenir dans trois cas de figure :

� Une politique de l’organisme d’assurance : • en raison d’un savoir-faire qu’il ne maîtrise pas intégralement (par exemple, la

gestion des contrats expatriés, les agents des collectivités territoriales, etc.) ; • ou pour se mettre en capacité de faire face à une charge qu’il ne sera pas en mesure

d’absorber à partir de ses moyens propres (par exemple, systèmes d’informations insuffisamment performants pour la gestion d’un type de contrat ou de garanties spécifiques, personnel non formé à la gestion d’une typologie de risques/garanties) ;

• ou pour transformer des coûts fixes en coûts variables. � Une réponse à un cahier des charges lors de la réalisation de l’affaire :

• soit de l'entreprise souscrivant le contrat d'assurance ; • soit du courtier apporteur de l'affaire.

� Un partenariat de coassurance ou de réassurance avec un autre organisme assureur lorsqu’il prévoit un partage de la gestion du contrat.

Pour les entreprises clientes, les principaux avantages liés à une gestion déléguée reposent sur :

• un accès à des services personnalisés et une mise à disposition d’un reporting spécifique ;

• une dissociation entre l’organisme d’assurance, l’intermédiaire et le gestionnaire des prestations ;

• une transparence accrue des coûts.


Section 1.5. Les impacts de la solvabilité II sur la délégation de gestion

Pour garantir la capacité des organismes d’assurance à respecter les engagements qu'ils prennent auprès de leurs clients, la directive Solvabilité II poursuit plusieurs objectifs :

• assurer la protection des assurés en renforçant la solvabilité des assureurs ; • encourager une meilleure allocation des fonds propres face aux risques techniques,

financiers, opérationnels, etc.

La délégation de gestion est concernée par le Pilier 2 « Exigences qualitatives de bonne gouvernance». En effet, l’article 49.1 de la directive Solvabilité II précise « […] les entreprises d’assurance et de réassurance conservent l’entière responsabilité du respect de l’ensemble des obligations qui leur incombent […] lorsqu’elles sous-traitent des fonctions ou des activités d’assurance ou de réassurance. ».

Ainsi, le transfert de tout ou partie du processus de gestion à un délégataire ne s’accompagne pas d’un transfert du risque associé : l’organisme d’assurance reste le « porteur de risque » et par conséquent le responsable des activités.

Ces exigences entraînent nécessairement une meilleure maîtrise des relations entre les organismes d’assurance et les délégataires de gestion :

• l’organisme d’assurance doit élaborer une politique écrite d’externalisation et contrôler son application ;

• le délégataire doit adapter son dispositif de contrôle interne ;

• les interfaces tant au niveau de la relation opérationnelle qu’au niveau des échanges de données doivent garantir la qualité des données ainsi que la non-répudiation et la traçabilité des données.

Des données de qualité sont :

• suffisantes avec un niveau du détail approprié, • disponibles en temps opportun, • actualisées,

• exactes (précises et exhaustives), • accessibles,

• sécurisées, • vérifiables,

• archivées, • etc.

En plus de l’organisme d’assureur, du courtier, du gestionnaire, nous allons présenter dans le chapitre suivant un organisme qui joue un rôle très important dans l’assurance santé, la Sécurité Sociale.


Chapitre 2. L’organisation de la Sécurité Sociale 2

La Sécurité Sociale a été fondée en 1945 dans le but d’assurer et de généraliser la protection des individus face aux conséquences financières de certains risques (décès, maladie, accident) ou à certaines situations (charges familiales, vieillesse). Elle couvre aujourd’hui 99,9% de la population française.

La Sécurité Sociale comprend les régimes suivants:

• Le régime général : finance 75 % des dépenses de santé. • Le régime local : est appliqué dans les départements du Bas-Rhin, du Haut-Rhin et de

la Moselle en améliorant le régime général.

• Le régime agricole : couvre les exploitants et les salariés agricoles. Il est géré par la Caisse Centrale de la Mutualité Sociale Agricole (MSA).

• Le régime social des indépendants : couvre les artisans, commerçants, industriels et professions libérales. Il est géré par la Caisse Nationale du Régime Social des Indépendants (RSI).

• Les nombreux autres régimes spéciaux : le régime des marins et inscrits maritimes, le régime des mines, de la SNCF, de la RATP, d'EDF-GDF, de la Banque de France, de l'Assemblée nationale, du Sénat, le régime des clercs et employés de notaire, le régime des ministres du culte, etc.

Notre étude se concentre sur le régime général qui partage la Sécurité Sociale en 5 branches telles que: la branche maladie, la branche accidents du travail et maladies professionnelles, la branche retraite, la branche famille et la branche recouvrement.

La branche concernée par notre étude est la branche maladie pour laquelle nous nous avons étudié le niveau de remboursement de la Sécurité Sociale.

2 Lagadec F. [2009] « Tarification d'un contrat de complémentaire santé par un Modèle Linéaire généralisé ». Mémoire d’actuaire - EURIA.


Ci-dessous un tableau de remboursement de la Sécurité Sociale pour des grandes familles d’actes des soins Santé:

Famille d’actes Type d’actes

Base de remboursement Sécurité Sociale

(2012)

Taux de remboursement Sécurité Sociale

Régime général

Régime local

Hospitalisation Honoraires, frais de séjour Variable 80% 100% Forfait journalier 18 € 0%

Actes médicaux courants

Consultations des médecins généralistes

23 € 70% 90%

Consultations des médecins spécialistes

23 € 70% 90%

Actes de biologie Variable 60% 90% Radiologie Variable 70% 90% Auxiliaires médicaux Variable 60% 90% Prothèses auditives pour les personnes de plus de 20 ans

199,71 € 65% 90%

Pharmacie

Médicaments à vignette blanche

Variable 65% 90%

Médicaments à vignette bleue Variable 30% 80% Médicaments à vignette orange

Variable 15% 15%

Dentaire

Soin dentaire 1,92 € 70% 90% Acte de chirurgie dentaire 2,09 € 70% 90% Prothèse dentaire (SPR 50) 2,15 € 70% 90% Orthodontie pour un enfant de – de 16 ans

193,50 € par semestre pendant 3 ans

100% 100%

Optique

Monture pour un adulte 2,84 € 60% 90% Monture pour un enfant 30,49 € 60% 90%

Verres pour un adulte de 2,29 € à 24,54 € en fonction du niveau de

dioptrie 60% 90%

Verres pour un enfant de 12,04 € à 66,62 €

en fonction du niveau de dioptrie

60% 90%

Lentilles remboursées par la Sécurité Sociale

39,48 € par œil et par an

60% 90%

Autres Cure thermale Variable 65% - 80% 65%-100% Actes de prévention et de santé au quotidien

Variable 60% - 70%

Les remboursements de la Sécurité Sociale sont de bon niveau pour l’hospitalisation, les consultations des médecins, les auxiliaires médicaux et la pharmacie. En revanche, les remboursements sont très faibles en optique et dentaire, considérés comme des postes de confort.

Par ailleurs, il y a des soins qui sont pris en charge à 100% par la Sécurité Sociale dans les cas suivants :

• Accident ou maladie de la vie courante : o l’affection de longue durée,


o le gros appareillage, o l’hospitalisation de longue durée (>30 jours) sauf forfait journalier de 18€, o l’invalidité, o la maternité, o les spécialités irremplaçables et coûteuses, o le traitement de la stérilité.

• Accident ou maladie de la vie professionnelle : o la maladie, o l’invalidité, o la maternité, o la paternité, o l’accident du travail et la maladie professionnelle, o le décès.

Les praticiens qui adhérent à la convention de la Sécurité Sociale, appelés praticiens conventionnés ont l’obligation de respecter une grille tarifaire. Ils conventionnés sont divisés en deux secteurs :

• Secteur 1 : Ils appliquent un tarif fixé par la convention (les tarifs indiqués dans le tableau ci-dessus).

• Secteur 2 : Ils appliquent des honoraires libres ou sont conventionnés avec droit de dépassement. Ils s’engagent à fixer et à faire évoluer leurs tarifs avec mesure. Ces derniers appelés dépassements d’honoraires, peuvent alors être supérieurs aux tarifs de convention. La Sécurité Sociale ne prend pas en charge les dépassements d’honoraires. Qui prend en charge ces dépenses ? La réponse se trouve dans le chapitre suivant.

Chapitre 3. Le régime complémentaire santé

Le régime complémentaire santé, souvent appelé « mutuelle », intervient en complément du régime de la Sécurité Sociale.

Section 3.1. Les organismes complémentaires

Depuis la Loi Evin (1989), un régime de complémentaire peut être assuré par un organisme appartenant à l’une de ces 3 familles :

• Les Sociétés d’Assurance,

• Les Institutions de Prévoyance, • Les Mutuelles.


La comparaison des 3 organismes :

Les sociétés d’assurance

Les institutions de prévoyance

Les Mutuelles

Juridique Régies par le Code des Assurances.

Régies par le Code de la Sécurité Sociale. Objet : couverture des engagements liés à la durée de vie humaine (naissance, décès, incapacité, invalidité, ...).

Régies par le Code de la Mutualité Activité définie par l’article 111 du code de la Mutualité.

Gestion Spécialisation et gestion distincte.

Gestion paritaire : le conseil d’administration est composé pour moitié par des administrateurs représentant les salariés (CGT, FO, CFDT, CGC, CFTC, …) et pour moitié par des administrateurs représentant les employeurs.

But non lucratif, fonctionnement aux moyens de cotisations, mènent des actions de prévoyance, de solidarité et d’entraide pour des risques sociaux liés à la personne.

Forme

Sociétés commerciales : SA (AGF, AXA, CNP, GAN…).

Personnes morales de droit privé à but non lucratif.

Personnes morales de droit privé à but non lucratif.

Contrôle Marge de solvabilité, ACP.

Marge de solvabilité, ACP.

Marge de solvabilité, Contrôle de l’Etat, de la commission de contrôle, ACP.

Dialectique Primes d’assurance, assurés, sinistres, bénéfices, solvabilité.

Encaissements, prestations, provisions techniques, solvabilité, adhérents, participants, excédents.

Cotisations, mutualistes, bénéficiaires, prestations et avantages sociaux, excédents, solvabilité.

Leaders

AXA, la CNP, le GAN, Générali, MACIF, MAIF, MAFF…

PRO BTP, MALAKOFF MEDERIC, AG2R, APICIL, …

MNEF, MGEN, SMERRA, CAMES, …


Les mutuelles couvrent un peu plus de la moitié des personnes bénéficiant d’une couverture complémentaire santé. Elles sont principalement présentes sur le marché de l’individuel. Elles couvrent une population relativement âgée : 29% de leurs bénéficiaires ont plus de 60 ans. L’activité des mutuelles est très concentrée en terme de risque: 91% de leur chiffre d’affaires est issu de l’activité santé.

Les sociétés d’assurance couvrent le quart des bénéficiaires d’une complémentaire santé. Elles sont le deuxième acteur sur le marché de l’individuel et le troisième sur celui du collectif. Leurs bénéficiaires sont plus jeunes que ceux des mutuelles : seulement 20% d’entre eux a plus de 60 ans.

Les institutions de prévoyance, enfin, couvrent 18% des bénéficiaires d’une complémentaire santé. Quasi-absentes du marché de l’individuel, elles sont le premier acteur sur le marché du collectif. Elles couvrent essentiellement des actifs en collectif et des retraitées en individuel (notamment contrats dits « Loi Evin ») : au total, 14% de leurs bénéficiaires ont plus de 60 ans. La moitié du chiffre d’affaires des institutions de prévoyance est générée par l’activité santé3.

Section 3.2. Les facteurs influencés aux dépenses du régime complémentaire santé

Les dépenses du régime complémentaire santé sont influencées par des facteurs suivants:

• le niveau des garanties,

• le type de contrat, 3 DRESS 2010


• les bénéficiaires couverts.

3.2.1. Le niveau des garanties

Les contrats complémentaires santé se concentrant généralement autour de trois niveaux de couverture qui peuvent être répertoriés de la manière suivante :

• Contrats « entrée de gamme » : contrats avec des remboursements limités au ticket modérateur de la Sécurité Sociale (différentiel entre la base de remboursement et le remboursement de la Sécurité Sociale). Ces contrats ne prennent pas en charge les dépassements d’honoraires des professionnels conventionnés.

• Contrats « milieu de gamme » : ils couvrent la plupart des dépenses peu remboursées par la Sécurité Sociale telles que l’optique et le dentaire et prennent en charge une partie des dépassements d’honoraires.

• Contrat « haut de gamme » : ils prennent en charge la quasi-totalité des dépassements d’honoraires et des prestations peu remboursées par la Sécurité Sociale. Ils remboursent également des soins qui ne sont pas pris en charge par la Sécurité Sociale : ostéopathes, diététiciens, ...

Les comparaisons 4:

Type de contrat Avantages Inconvénients

Entrée de gamme

- Complément basique au régime Sécurité Sociale - Bon marché

- Ne couvrent aucun dépassement d’honoraires - Mauvais remboursement en optique, dentaire

Milieu de gamme

- Couvre une partie des dépassements d’honoraires - Meilleur remboursement en optique et dentaire

- Ne remboursent pas ou peu les soins non pris en charge par la Sécurité Sociale - Reste à charge d’une partie des dépenses aux assurés

Haut de gamme

- Très bonne couverture - L’assuré n’a presque aucun restant à charge

- L’abus de bonnes couvertures et l’irresponsabilité dans la consommation peuvent engendrer un déficit des comptes de résultats, nécessitant un redressement de la part de l’assureur.

Les garanties complémentaires santé peuvent être exprimées sous plusieurs formes telles que:

• en pourcentage du ticket modérateur (TM).

• en pourcentage de la base de remboursement (BR). • en pourcentage du remboursement de la Sécurité Sociale (RSS).

• en pourcentage des Frais Réels (FR).

4 Les avantages et les inconvénients dans le tableau concernent les assurés.


• en pourcentage du Plafond Annuel/Mensuel de la Sécurité Sociale (PASS ou PMSS). • en euros.

3.2.2. Le type de contrat

• Contrat individuel : le contrat individuel est un accord passé entre deux intervenants, l’organisme assureur et le souscripteur, aucun intermédiaire.

• Contrat collectif : le contrat collectif est un contrat passé entre un organisme assureur et une entreprise. Le contrat concerne tout ou une partie du personnel employé par l’entreprise. Pour ce type de contrat, il existe 2 types d’adhésion :

o Adhésion obligatoire : le contrat s’impose à tout le personnel employé par l’entreprise.

o Adhésion facultative : l’adhésion au contrat est laissée au choix des salariés.

Les comparaisons :

• Contrat collectif et contrat individuel :

Type de contrat Avantages Inconvénients

Collectif - Compensation du risque - Solidarité - Frais de gestion faibles

- Prise en charge collective des « mauvais » risques

Individuel - Contrat individualisé en fonction du besoin et du risque

- Risque de rejet du risque - Frais de gestion plus élevés

• Adhésion obligatoire et adhésion facultative :

Type d’adhésion Avantages Inconvénients

Obligatoire

- Compensation du risque - Solidarité - Pas de sélection - Frais de gestion faibles - Avantages fiscaux et sociaux

- Prise en charge collective des « mauvais » risques - Risque de se voir imposer une assurance

Facultative - N’adhérent que les personnes intéressées par la couverture

- Risque d’anti-sélection - Pérennité du contrat

3.2.3. Les bénéficiaires couverts.

Les bénéficiaires sont l’assuré qui souscrit au contrat et éventuellement ses ayant droits tels que : conjoint, concubin, pacsé, enfants, ascendants à charge. La définition des bénéficiaires dépend de la politique de chaque organisme complémentaire, elle est définie dans les conditions générales.


Section 3.3. La mise en place d’un régime complémentaire santé dans une entreprise

Lors de la mise en place d’un ou plusieurs régimes obligatoires de prévoyance ou de couverture santé, le Comité d’Entreprise est obligatoirement consulté par la Direction, quand bien même le régime est financé intégralement par l’entreprise.

La loi du 8 août 1994 a instauré 3 modes de mise en place d’un régime d’entreprise :

• l’accord collectif, • l’accord référendaire, • la décision unilatérale de l’employeur.

3.3.1. L’accord collectif

L’accord collectif est comparable dans ses modalités et effets, à ce qu’il est pour d’autres aspects de la relation de travail :

• il est négocié et signé avec les délégués syndicaux (le Comité d’entreprise n’a aucune légitimité en matière de négociation de ce type),

• il s’impose à tous les salariés, • il ne peut être modifié que par un texte de même type.

3.3.2. L’accord référendaire

L’accord référendaire est soumis au vote de tous les salariés :

• il nécessite le respect d’un certain formalisme (type « élections » avec informations préalables, bureau de vote, dépouillement organisé), et du droit électoral soit:

o inclure tous les salariés ayant vocation à bénéficier des garanties, o majorité simplifiée des inscrits (50% + au moins 1 voix), o confidentialité et régularité du scrutin.

• il s’impose à tous les salariés,

• il ne peut être modifié que par un texte de même type ou un accord collectif.

3.3.3. La décision unilatérale de l’employeur

La décision unilatérale de l’employeur est très souvent utilisée dans les petites entreprises, mais attention :

• elle nécessite également un certain formalisme pour être « conforme » : elle doit être matérialisée par un écrit du chef d’entreprise remis à chaque salarié. Il précise :

o les garanties et les modalités de leur mise en œuvre, o le taux et la répartition éventuelle des cotisations entre employeur et salariés, o la durée de l’engagement de l’employeur, o les modalités de sa remise en cause ou de la dénonciation.


• elle ne peut en aucun cas imposer un précompte salarial de cotisation, chaque salarié étant libre de refuser celui-ci lors de la mise en place.

Chapitre 4. L’environnement législatif 5

� La loi Evin

En application de la loi Evin du 31 décembre 1989, dans le cadre d’un contrat collectif à adhésion obligatoire, le contrat doit prévoir avec un tarif encadré le maintien à titre individuel de la couverture des frais médicaux pour les salariés quittant l’entreprise. Par ailleurs, pour les contrats facultatifs et individuels, l’assureur peut résilier la couverture des frais de soins et la hausse du tarif doit être uniforme pour tous les assurés.

� La loi Aubry

La loi Aubry, en date du 27 juillet 1999 a mis en place la Couverture Maladie Universelle (CMU). Entrée en vigueur au 1er janvier 2000, cette couverture est destinée aux plus démunis et leur assure une affiliation au régime de base de la Sécurité Sociale ainsi qu’une couverture complémentaire gratuite.

� La loi Fillon

La loi Fillon du 21 août 2003, portant sur la réforme des retraites, a considérablement modifié les règles d’exonération sociale et de déductibilité fiscale des cotisations pour les régimes de santé et de prévoyance. Elle vise à favoriser les contrats collectifs à adhésion obligatoire dans les sociétés. Son application, initialement planifiée au 1er juillet 2008, a été reportée au 1er janvier 2009. Les règles applicables aux cotisations des régimes complémentaires de Santé à caractère collectif et obligatoire sont les suivantes :

• Nouvelles règles sociales (applicables aux cotisations patronales au 01/01/2009) o Exclusion de l’assiette de cotisations de Sécurité Sociale à hauteur de 6% du

plafond annuel de la Sécurité Sociale (PASS) + 1,5% de la rémunération soumise à cotisations sociales (cette somme ne pouvant pas dépasser 12% du PASS) ;

o Assujettissement à la Cotisation Sociale Générale (CSG) et à la Contribution au Remboursement de la Dette Sociale (CRDS) dès le 1er euro (après abattement de 3%).

• Nouvelles règles fiscales (applicables aux cotisations salariales et patronales au 01/01/2009) o Déductibles dans la limite de 7% du PASS + 3% de la rémunération annuelle brute

soumise à cotisations sociales (la somme des deux ne pouvant pas dépasser 3% de 8 PASS).

5 « La santé » - Les dossiers techniques d’information, juin 2008 – OPTIMIND.


� La loi Douste Blazy

L’esprit de la réforme Douste-Blazy (août 2004) est de responsabiliser les patients dans leurs dépenses en incitant les patients à respecter leurs parcours de soins et en limitant les remboursements des organismes complémentaires au travers d’un contrat dit contrat responsable. Pour ce type de contrat, les organismes complémentaires :

• ne doivent pas prendre intégralement en charge les baisses de remboursements prévues par la Sécurité Sociale en cas de consultation hors du parcours de soins,

• sont tenus de garantir de bons niveaux de prise en charge des prestations, effectuées dans le cadre du parcours de soins (consultations, prescriptions du médecin traitant, actes de Prévention…).

A compter du 1er janvier 2006, les contrats responsables doivent laisser à la charge des assurés :

• la contribution forfaitaire fixée à un euro (l’euro responsable) et la majoration du Ticket Modérateur si l’assuré ne respecte pas le parcours de soins (passage obligé par le médecin traitant et autorisation d’accès au Dossier Médical Personnel).

• les dépassements d’honoraires des médecins spécialistes du secteur 1 lorsqu’ils sont consultés en dehors du parcours de soins et dans la limite de 7€ par consultation.

En contrepartie, les contrats responsables doivent rembourser :

• au moins 30 % du tarif officiel de la Sécurité Sociale des consultations du médecin traitant ou médecin correspondant.

• au moins 30 % du prix des médicaments prescrits par le médecin traitant ou correspondant vignette blanche.

• au moins 35% des frais d'analyses et de laboratoire prescrits par le médecin traitant ou correspondant.

• au moins 2 actes de prévention.

Les contrats responsables apportent les avantages fiscaux ou sociaux pour le salarié et l’entreprise (Loi Madelin pour les assurances des T.N.S., art. 83 du C.G.I pour les assurances collectives) :

• pour le salarié, la déductibilité de ses cotisations versées au titre de contrats collectifs et obligatoires,

• pour l’entreprise, une exonération de charges sociales et fiscales pour le Travailleur Non Salarié, la déductibilité de ses cotisations payées au titre de contrats individuels pour l’organisme complémentaire, une exonération de la taxe de 7% sur les conventions d’assurance.


� La participation forfaitaire

Depuis le 1er janvier 2005, une participation de 1 euro restant à la charge de l’assuré âgé de plus de 18 ans est demandée pour toutes les consultations ou actes réalisés par un médecin, mais également sur les examens radiologiques et les analyses de biologie médicale.

Les cas non concernés par cette participation forfaitaire sont les consultations

• des enfants de moins de 18 ans, • des femmes enceintes à partir du 1er jour du 6e mois de grossesse jusqu'au 12ème jour

après la date de l’accouchement, • des bénéficiaires de la CMU complémentaire ou de l'aide médicale de l'État (AME).

A noter que cette participation forfaitaire n'est pas remboursée par les organismes complémentaires de santé dans le cadre de leurs contrats responsables.

Depuis le 1er septembre 2006, une participation forfaitaire de 18 euros, à la charge du patient, s’applique sur les actes dont le tarif est égal ou supérieur à 120 euros, ou ayant un coefficient égal ou supérieur à 50. Il existe cependant des exceptions : certains actes sont exonérés de cette participation forfaitaire, et les personnes qui bénéficient d’une prise en charge à 100 % en raison de leur situation ou de leur état de santé ne sont pas concernées.

� La franchise médicale

Depuis le 1er janvier 2008, la franchise médicale s’applique sur :

• les boites de médicaments : montant de 0,50 euros

• les actes des auxiliaires médicaux (infirmiers, kinésithérapeutes, ...) : montant de 0,50 euros

• les transports sanitaires : montant de 2 euros

La franchise médicale est déduite des remboursements de la Sécurité Sociale à l’exception des personnes de moins de 18 ans, des bénéficiaires de la CMU et des femmes enceintes (à partir du premier jour du 6ème mois de grossesse jusque 12ème jours après l’accouchement). Elle est plafonnée à 50 euros par an (2 ou 4 euros par jour, suivant les actes), et vient s’ajouter à la participation forfaitaire.


Chapitre 5. Le mécanisme de remboursement Section 5.1. Les notations

• FRAIS REELS (FR) : montant des honoraires demandés par le praticien. • BASE DE REMBOURSEMENT (BR) : il s’agit du montant forfaitaire fixé par

l’Assurance Maladie pour chaque acte, qui sert ensuite d’assiette au remboursement de la Sécurité Sociale.

• REMBOURSEMENT SECURITE SOCIALE (RSS): il s’agit du montant remboursé par la Sécurité Sociale. Pour définir le remboursement d’un acte, l’Assurance Maladie s’appuie sur la base de remboursement de l’acte et sur un taux de remboursement, fixe pour chaque acte. Pour certains actes, depuis la réforme de l’Assurance Maladie en 2004, une participation de 1 euro est en plus retenue sur ce remboursement. On a donc : REMBOURSEMENT SECURITE SOCIALE = Base de remboursement x Taux de remboursement – Participation forfaitaire.

• TICKET MODERATEUR (TM) : il s’agit du différentiel entre la base de remboursement et le remboursement Sécurité Sociale, autrement dit : TICKET MODERATEUR = Base de remboursement x (1– Taux de remboursement).

• DEPASSEMENT D’HONORAIRES = il s’agit du montant appliqué par un praticien qui dépasse le Tarif de Convention, DEPASSEMENT D’HONORAIRES = Frais réels – Base de remboursement.

• REMBOURSEMENT COMPLEMENTAIRE : il s’agit de la partie prise en charge par l’organisme complémentaire. Le montant remboursé est limité aux frais réels déduit du remboursement de la Sécurité Sociale, des autres remboursements et de la participation forfaitaire (pour les contrats responsables). REMBOURSEMENT COMPLEMENTAIRE = Min (Niveau de rembo ursement, FR – Remboursement de la Sécurité Sociale – Autre remboursement – Participation forfaitaire)

• RESTE A CHARGE : il correspond au montant restant à la charge de l’assuré après le remboursement de la Sécurité Sociale et de l’organisme complémentaire. Depuis la réforme 2004, le reste à charge de l’assuré a été augmenté pour certains actes de la participation forfaitaire de 1 euro. Le remboursement de cet euro complémentaire par les organismes désignés n’est pas interdit mais il déduit des pénalités fiscales dans le cadre d’un contrat responsable. RESTE A CHARGE = Frais réels – remboursement Sécurité social – Remboursement complémentaire.


Section 5.2. Le schéma de remboursement


Quelques exemples:

Actes FR

Sécurité sociale

Dépassement d'honoraires

Organisme complémentaire Reste à charge d’assuré

BR Taux de

remboursement

Remboursement SS TM Taux de

remboursement Remboursement complémentaire

Montant (y compris la

participation forfaitaire)

participation forfaitaire

Consultation spécialiste

65 € 23 € 70% BR 15,10 € 6,90 € 42,00 € 200% BR 46,00 € 3,90 € 1,00 €

Prothèse dentaire

500 € 107,50 € 70% BR 75,25 € 32,25 € 392,50 € 400% BR 424,75 € 0,00 € 0,00 €

Monture adulte

280 € 2,84 € 60% BR 1,70 € 1,14 € 0,00 € 8% PMSS 242,48 € (PMSS

2012) 35,82 € 0,00 €


La répartition des remboursements santé

La majorité des dépenses santé (76%) est organismes complémentaires répartition reste quasiment stable

6 Drees, comptes nationaux de la santé 2010

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

2008

76%

8%

2%3%

10%

1%

Sécurité sociale de base

Institution de prévoyance

Ménages

Phuong NGUYEN

La répartition des remboursements santé 6

santé (76%) est prise en charge par la Sécurité Ss’élève à 14%. Le reste à charge des assurés est de 10%. Cette

stable pendant la période de 2008 à 2010.

Drees, comptes nationaux de la santé 2010

2009 2010

76% 76%

8% 8%

2% 3%3% 4%

10% 9%

1% 1%

Sécurité sociale de base Mutuelles

Institution de prévoyance Société d'assurance

Ménages Etat et CMU-C org. de base

en charge par la Sécurité Sociale, la part des 14%. Le reste à charge des assurés est de 10%. Cette


PARTIE 2 : LA TECHNIQUE DE TARIFICATION


Chapitre 1. Le principe de tarification

L’approche retenue dans cette étude pour la détermination de la prime pure est une approche classique « Coût moyen * Fréquence », qui est construite sur 2 fortes hypothèses :

- les variables représentant les coûts des sinistres sont indépendantes, identiquement distribuées,

- les variables représentant les coûts des sinistres et les variables représentant le nombre des sinistres sont indépendantes.

Nous notons :

�� : variables aléatoires modélisant le nombre de sinistres de l’individu i.

� : effectif exposé.

�� : variables indépendantes, identiquement distribuées modélisant la charge de sinistre de l’individu i.

Le nombre total de sinistres est écrit sous la forme :

� � � ��

��

La charge totale de sinistres est écrite sous la forme :

� � ��

��

o L’espérance

Sous les 2 hypothèses ci-dessus, la prime pure annuelle est l’espérance de la charge annuelle de sinistres, définie par :

� � � � ∑ �� car ��, � sont indépendants

La prime pure annuelle est égale au coût moyen de sinistres multiplié par la fréquence annuelle moyenne.

o La variance

La variance est définie par : �� /��+ �� /��

- � /�� ∑ �� /��= �� - �� /�� = ��


- �� /�� ∑ �� /��= = �� car ��, � sont indépendants - �� /�� = ��

��

Le premier terme de la somme laisse apparaître la part de la variance due à l’incertitude sur la fréquence annuelle de sinistres. Le second terme met en avant la part de la variance due à l’incertitude sur le coût de sinistres. Les coûts et les fréquences dépendent de plusieurs facteurs tels que : le comportement des assurés, la démographie, le niveau des garanties, l’environnement économique …. Dans le chapitre suivant, nous allons vous présenter une technique de tarification, qui permet de sélectionner les variables explicatives influençant les coûts, d’une part, et les fréquences d’autre part. Ce ne sont pas forcément les mêmes. Cela permet de déterminer un tarif plus proche des caractéristiques de l’assuré.

Chapitre 2. Le Modèle Linéaire Section 2.1. Le Modèle Linéaire Classique 7

Le modèle linéaire classique consiste à établir une relation du type linéaire entre une variable à expliquer (aléatoire) et des variables explicatives (déterministes). Au plan conceptuel, le modèle se compose d’une partie « fixe » et d’une partie « aléatoire » qui restitue la variabilité de l’objet étudié. La régression linéaire est définie par deux contraintes fortes :

- La partie « fixe » est un modèle déterministe, - La loi de la composante aléatoire est normale.

L’équation du modèle est donc de la forme :

Y � β� � ∑ β�� Χ� � ε

où : - Y est la variable à expliquer ; - (�, �� … , ��) sont les variables explicatives, déterministes ; - (β�, β, … β�) sont les paramètres du modèle à estimer. - ε est une variable aléatoire qui représente l’écart entre la valeur observée et la valeur estimée. Les hypothèses classiques « Gauss-Markov » sur les résidus :

� Espérance nulle : � ε�� 0 � Homoscédasticité : �� ε�� σ� � Résidus non corrélés : !"�ε�ε#� � 0, i % j

7 Gros P. [2000] « Utilisation du modèle linéaire ». Documents océanographiques de l’Institut Océanographique de Paris.

Variable aléatoire Variable

aléatoire

Composante

déterministe


Ce modèle suppose donc que la variable à expliquer suit une loi normale de moyenne β� � ∑ β�� Χ�� et de variance '�. La condition sur ε est difficile à satisfaire et demande des tests de normalité. Le Modèle Linéaire Généralisé permet de supprimer ces contraintes.

Section 2.2. Le Modèle Linéaire Généralisé (GLM) 8 2.2.1. Le composant d’un GLM

Le modèle linéaire généralisé part du même principe que celui du modèle linéaire classique. La différence est qu’au lieu de modéliser la variable à expliquer directement, c’est une fonction de l’espérance de cette variable (appelée fonction lien) qui est modélisée.

Dans un GLM, certaines composantes doivent être présentes. En fait, les trois composantes suivantes sont nécessaires :

� La distribution de la famille exponentielle

Les variables à expliquer Y� (i = 1, …, n), que l'on suppose indépendantes, ont l’espérance E Y�� µ� et leur fonction de densité (ou de probabilité) fait partie de la famille exponentielle, qui se met sous la forme :

* +; -; .� � /01 2-+ 3 4 -�� .� � 5 +; .�6 Où : - a est une fonction non nulle définie sur R ; - b est une fonction définie sur R, deux fois dérivable ; - c est une fonction définie sur R� ; - - paramètre naturel ou paramètre de la moyenne ; - . paramètre de dispersion.

o L’espérance

Soit Y une variable de densité f y; θ;φ�comme défini plus haut. Nous savons alors que l’intégrale de cette densité vaut 1, et grâce au Lemme de Fatou et à la linéarité de l’intégrale, il nous est possible d’écrire que :

: ;*<;=;-> ?" � ; @ *<;=?"> ;- � 0

A @ >BC’ <�D =� *<;=> ?" � D =� E@ +*<;=> ?" 3 b’ -� @ *<;=> ?"G=0

Avec � .� % 0, on obtient :

8 Lagadec F. [2009] « Tarification d'un contrat de complémentaire santé par un Modèle Linéaire généralisé ». Mémoire d’actuaire - EURIA.


: +*<;=> ?" � : b’ -�*<;=> ?"

A H I� � J’ K�

o La variance

Nous appliquons la même logique pour déterminer la variance :

: ;�*<;=;�-> ?" � ;� @ *<;=?">;�- � 0

A @ E3 C′′ <�D =� � >BC’ <��LD =�L G *<;=> ?" � 3 C′′ <�D =� � D =�L E@ + 3 � M��*<;=> ?"G=0

A NOP I� � J′′ K� Q O R�

� Le prédicteur linéaire

Les observations planifiées des variables explicatives sont organisées dans la matrice X de planification d’expérience de n individus et de p périmètres (p < n). Soit β un vecteur de p paramètre, le prédicteur linéaire, composante déterministe du modèle est le vecteur à n composantes.

De manière plus générale, si l’on note :

� � T0 0� … 0U0� 0�� V 0�UW0X W0X� W0XUY

XQU

Z � [ZZ�WZU\

UQ

Le prédicteur linéaire est déterminé par : ] � �Z

soit : ] � []]�W]X\

XQ

� La fonction lien

La troisième composante exprime une relation fonctionnelle entre la composante aléatoire et le prédicteur linéaire. Soit ^µ� � E Y��; i � 1,2, … , nb, on pose :


]� � c d�� e � 1, … , f où g, appelée fonction lien, est supposée monotone et différentiable. Ceci revient donc à écrire un modèle dans lequel une fonction de la moyenne appartient au sous-espace engendré par les variables explicatives : c d�� 0�′ Z e � 1, … , f La fonction lien qui associe la moyenne d� au périmètre naturel est appelée fonction lien canonique. Dans ce cas, c d�� -� � 0�′ Z e � 1, … , f Nous passerons ensuite aux caractéristiques de chaque composant.

2.2.2. Les distributions de la famille exponentielle naturelle

Les distributions de la famille exponentielle naturelle sont indispensables pour la mise en place d’un GLM. Les principales distributions qui sont généralement utilisées: Normal, Poisson, Binomiale-Négative, Gamma et Log-Normale. Parmi ces distributions, nous allons présenter ci-dessous 4 distributions concernées dans la suite de l’étude :

� La loi Poisson

C'est la loi des petites probabilités ou loi des événements rares (c'est-à-dire des événements avec une probabilité faible) et sans mémoire, dans un intervalle de temps donné par exemple : le nombre d'atomes désintégrés par unité de temps, le nombre de chèques émis sans provision, le nombre de fautes d'impression dans les pages d'un livre, le nombre de personnes atteintes d'une maladie, le nombre d'accidents sur une portion de route, le nombre d'accidents annuels provoqués par un automobiliste assuré, le nombre de décès par suicide…

o Fonction de densité

Soit Y une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre g. Y est à valeurs discrètes. Sa fonction de densité est de la forme : P Y � y� � exp 3g� g>+! qui peut être mis sous la forme : P(Y = y)= exp (y lng - g - ln(y!)) ainsi la loi de Poisson appartient à la famille exponentielle naturelle avec :

- θ � ln λ� - φ � 1 - a φ� � 1 - b (θ� � exp θ� - c(y ;φ� � 3ln y!�


� La loi Binomiale-Négative

La loi Binomiale-Négative est une distribution de probabilité discrète. Elle décrit la situation suivante: une expérience consiste en une série de tirages indépendants, donnant un "succès" avec probabilité p (constante durant toute l'expérience) et un "échec" avec une probabilité complémentaire (1- p). Cette expérience se poursuit jusqu'à l'obtention d'un nombre donné r de succès. La variable aléatoire représentant le nombre d'échecs (avant l'obtention du nombre donné r de succès) suit alors une loi Binomiale-Négative. Ses paramètres sont r, le nombre de succès attendus, et p, la probabilité d'un succès.

o Fonction de densité

Soit Y une variable aléatoire suivant une loi binomiale négative de paramètres r et p (r étant un entier strictement positif, p un réel compris entre 0 et 1 exclus). Sa fonction de densité est : o M � +� � p+ � � 3 1+ q 1r 1 3 1�>

qui peut être mise sous la forme : o M � +� � exp s+tf 1 3 1� � �tf1 � tf +rB

Γ ��u

où

v 0� � : /Bw∞

� uyBdu

ainsi la loi binomiale négative appartient à la famille exponentielle naturelle avec :

- θ � ln 1 3 p� - φ � 1 - a φ� � 1 - b (θ� � 3rln 1 3 eθ�

- c(y ;φ� � ln |}~�Γ ��

� La loi Gamma

La loi Gamma peut décrire des phénomènes de durée de vie, en assurance pour l’étude du temps écoulé entre deux sinistres dans des portefeuilles à risques hétérogènes ou encore pour prendre en compte cette hétérogénéité. En général pour des distributions fortement asymétriques avec une décroissance rapide en queue de distribution, une loi Gamma peut être un bon modèle.

o Fonction de densité Soit Y une variable aléatoire suivant une loi Gamma de paramètre r et � (tous deux strictement positifs). La densité s’écrit :


*r,� +� � �rΓ �� +rBexp 3�+�

où

v 0� � : /Bw∞

� uyBdu

La fonction de densité peut également être mise sous la forme : *�,� +� � exp �3�tf� 3 �+ � � 3 1�tf+ 3 tfΓ �� ainsi la loi Gamma appartient à la famille exponentielle naturelle avec :

- θ � 3α - φ � 1 - a φ� � 1 - b (θ� � 3rln 3θ� - c(y ;φ� � r 3 1�lny 3 lnΓ α�

� La loi Log-Normale

Cette loi est utilisée dans le même cadre que les lois normales, mais lorsque les mesures ou observations sont le résultat d’un effet multiplicatif d’un très grand nombre d’autres variables, indépendantes entre elles et individuellement négligeables. Outre les applications en Biologie d’effet multiplicatif d’une dose d’une substance, nous avons également des applications en assurance où la loi Log-Normale peut représenter la distribution des coûts de sinistres. Plus généralement, lorsque la distribution des observations est très asymétrique, il faudrait tenter d’ajuster la loi Log-Normale.

o Fonction de densité Soit Y une variable aléatoire suivant une loi Log-Normale de paramètres d et '�. Sa fonction de densité est : *�,� +� � 1+'√2� /01 �3 tf+ 3 d��2'� �

Cette loi n’est pas une exponentielle naturelle. On ne peut donc pas appliquer un GLM sur la variable Y directement. L’astuce consiste à poser X=ln(Y). X suit alors une loi Normale de paramètres d et '�. Le choix des lois correspondant à nos données sera fait à l’aide du test Kolmogorov-Smirnov présenté dessous

2.2.3. Le test Kolmogorov-Smirnov

En statistiques, le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d'hypothèse utilisé pour déterminer si un échantillon suit bien une loi donnée connue par sa fonction de répartition continue, ou bien si deux échantillons suivent la même loi.


Le principe du test est simple. On mesure l'écart maximum qui existe entre la fonction de densité cumulée observée (ou tout simplement des fréquences cumulées) et la fonction de répartition théorique (ou tout autre fonction de densité inconnue sous forme analytique) en posant 2 hypothèses :

- H�: F � F� : la répartition des observations (notons F) s’intègre bien dans une distribution donnée (notons F�).

contre

- H : F % F� : la répartition des observations (notons F) ne s’intègre pas bien dans une distribution donnée (notons F�).

Un petit graphique permet de bien visualiser ce qu’on cherche à faire :

La flèche verte mesure l’écart maximum entre les observations (en bleu) et la fonction de répartition connue en rouge. C’est cette distance (notons ∆) qui est testée : compte tenu de l’effectif, la longueur de cette flèche est-elle considérée comme « petite » ou « grande » ? Pour un n-échantillon ��, ��…,�� de X, la distance ∆� est déterminée par :

∆�� supy��|F� x� 3 F� x�| où �� est la fonction de répartition empirique, définie comme suit :

F� x� � 1n � Ι�B�,y� X��

�� représente la proportion des observations pour lesquelles la valeur est inférieure ou égale à x.

En posant �� √� ∆�, on démontre que lorsque �� n'est pas vraie, �� tend vers + ∞, et, lorsque �� est vraie, �� suit asymptotiquement une loi sur �� définie par sa fonction de répartition.


¡� � � ¢B��¡��B�

La région critique du test est donc constituée des grandes valeurs de ∆�. Le niveau α étant donné, on peut définir la valeur critique de deux façons :

- La loi de ∆� étant tabulée, le fractile ¤� � 3 ¥� d'ordre (1 – α) de cette loi, fournit un test exact de niveau α en rejetant l'hypothèse �� si la valeur observée ¦� de ∆� dépasse ¤� � 3 ¥�, et en l'acceptant dans le cas contraire. Ce test est donc valable pour toute taille n de l'échantillon.

- La loi limite étant tabulée, le fractile c(1 – α) d'ordre (1 – α) de cette loi, fournit un test asymptotique de niveau α en rejetant l'hypothèse �� si la valeur observée ¦� de ∆� dépasse c (1 – α), et en l'acceptant dans le cas contraire.

En pratique, les tests seront effectués grâce au le logiciel R par la fonction « ks.test ». Le test est effectué avec le niveau α à 5% par défaut.

2.2.4. Les fonctions de lien

Les fonctions de lien classiques sont les suivantes :

Nom du lien Fonction de lien Fonction identité c d� � d Fonction log c d� � ln d� Fonction logit c d� � ln d1 3 d�

Fonction inverse c d� � 31d

Fonction probit c d� � Φ d�, où Φ est la fonction de répartition de la loi N (0,1)

Le choix de la densité peut dépendre de la loi. En effet, si Y est binaire, on préférera utiliser les liens logit ou probit. Si Y est un comptage, on utilisera classiquement le lien log, et enfin si Y est continue, on pourra utiliser les liens canoniques des lois Normale et Gamma. Le choix du lien peut également être déterminé par l’existence d’études passées, par une connaissance préalable du problème. Le choix de la fonction de lien canonique peut également être retenu.

2.2.5. L’estimation des paramètres 9

L’estimation des paramètres du GLM se fait par « maximum de vraisemblance » dont nous rappelons ici la méthode.

Rappelons tout d’abord que la vraisemblance est, par définition, un produit de fonctions de densité. Pour en déterminer le maximum, il suffit de déterminer la valeur du paramètre de la fonction qui l’annule tout en gardant la dérivée seconde négative. Pour des raisons pratiques,

9 Lagadec F. [2009] « Tarification d'un contrat de complémentaire santé par un Modèle Linéaire généralisé », Mémoire d’actuaire, EURIA.


on préfère dériver le logarithme de la vraisemblance. On dérive ainsi une somme plutôt qu’un produit. De plus, comme la fonction logarithme est strictement croissante, maximiser le logarithme de la fonction équivaut à maximiser la fonction.

Considérons p variables explicatives dont les observations sont rangées dans la matrice de plan d’expérience X, β un vecteur de p paramètres et le prédicteur linéaire à n composant

] � �Z

La fonction canonique g est supposée monotone différentiable telle que :

c d�� -� Pour n observations supposées indépendantes et en tenant compte que - dépend de Z, la log-vraisemblance s’écrit :

§ Z� � � ln * +�, -� , .� �X�� ℓ +�, -� , .�X

��

Calculons : ;ℓ�;Z � ;ℓ�;-�

;-�;d�;d�;]�

;]�;Z

Comme : ;ℓ�;-� � ©+� 3 4′ -�� .� � ©+� 3 d�� .�

;-�;d� � 4′′ -�� M�� .�

;d�;]� ?é1/f? ?/ t� *!f5ªe!f te/f ]� � c d�� ;]�;Z � 0�¨ 5�� ]� � 0�′Z

Les équations de la vraisemblance sont :

� +� 3 d��0�¨�� M��X

��;d�;]� � 0 « � 1,2, … . , 1

Ce sont des équations non-linéaires en Z dont la résolution requise des méthodes itératives dans lesquelles interviennent le Hessien (pour Newton-Raphson) ou le matrice d’information (pour les Scores de Fischer). La matrice d’information est la matrice : ¬ � �′WX De terme général


©¬�¨® � � ;�§ Z�;Z ;Z® � 3 � 0�¨0�®�� M�� p;d�;]�q�X��

Et où W est la matrice diagonale de « pondération » ©¯�¨® � 1�� M�� p;d�;]�q�

Dans le cas particulier où la fonction lien du modèle linéaire généralisé utilisée est la fonction lien canonique associée à la structure exponentielle alors plusieurs simplifications interviennent : ]� � -� � 0�′ Z ;d�;]� � ;d�;-� � ;4′ -��;-� � 4′′ -��

Ainsi, ;ℓ�;Z � +� 3 d�� M�� 4′′ -��0�¨ � +� 3 d�� .� 0�¨

De plus, comme les termes °L§ ±�°±²°±³ ne dépendent plus de +�, on montre que le Hessien est égal

à la matrice d’information et donc les méthodes de résolution du score de Ficher de Newton-Raphson coïncident. Si, de plus, � .� est constante pour les observations, les équations de vraisemblance deviennent : �′+ � �′d Ainsi, dans le cas gaussien, le modèle décrivant d � �Z avec la fonction de lien canonique identité, on retrouve la solution : Z � �′��B�′+ Qui coïncide avec celle obtenue par minimisations des moindres carrées. Les estimations des Z � Z�, Z, … , ZU� nous seront données par la suite par le logiciel SAS et la procédure GENMOD.

2.2.6. La sélection de variables 2.2.6.1. Les notions de robustesse et de précision d’un modèle

Notre problème considère une variable à expliquer et un ensemble de n variables explicatives. Il s’agit de déterminer un sous-ensemble de l’ensemble des variables explicatives réalisant un compromis entre le souhait que le modèle sélectionné contienne peu de paramètres et le souhait que ce modèle bénéficie d’un pouvoir explicatif suffisant.

Plus un modèle contient de variables explicatives, plus il est précis mais moins il est robuste. A l’inverse, moins un modèle contient de variables explicatives, plus il est robuste mais moins il est précis. En effet, l’ajout d’une nouvelle variable explicative apporte des informations


supplémentaires sur la variable à expliquer mais impose de fait une contrainte supplémentaire au modèle.

Dans un GLM, il est essentiel de déterminer la combinaison de variables explicatives qui permettra d’obtenir le meilleur compromis entre précision et robustesse.

2.2.6.2. Les critères de la sélection

La sélection de variables explicatives pour un modèle se base sur un des deux critères suivants :

� Les Résidus de Pearson

Les résidus obtenus en comparant valeurs observées +� et valeurs prédites +µ� sont pondérés par leur précision estimée par l’écart-type : 'µ� de +¶�. Ceci définit les résidus de Pearson : ��· � +� 3 +µ�'µ�

Ces résidus mesurent donc la contribution de chaque observation à la significativité du test découlant de cette statistique. Ces résidus ne sont pas de variance unité et sont donc difficiles à interpréter. Une estimation de leurs écarts-types conduit à la définition des résidus de Pearson Standardisés :

��·¸ � +� 3 +µ�'�¹º��

Faisant intervenir le terme diagonal de la matrice H (hat matrix), qui est construit :

Η � W1/2 � �′¯��B�′�¯/�

Relative au produit scalaire de matrice W, sur le sous-espace engendré par les variables explicatives. Les termes diagonaux de cette matrice supérieure à (3p/n) indiquent des valeurs potentiellement influentes.

� Les résidus de Déviance.

Les résidus de Déviance mesurent la contribution de chaque observation à la déviance du modèle par rapport au modèle saturé.

Les résidus de déviance sont définis par :

d� � »ecf/ +� 3 +µ��¹2 § +, +� 3 § +, +µ�� où : § +, +� : fonction de log-vraisemblance du modèle saturé, c'est-à-dire le modèle possédant autant de paramètre que d’observations et estimant donc exactement les données. § +, +µ� : fonction de log-vraisemblance du modèle estimé. Voici la définition des résidus de Déviance Standardisés :


?� � »ecf/ +� 3 +µ��¼ 2 § +, +� 3 § +, +µ�1 3 º��

Plus les résidus sont proches de 0 (ou les résidus standardisé proches de 1), mieux le modèle estime les observations.

La qualité d’ajustement d’un modèle peut être illustrée par le baromètre ci-dessous :

2.2.6.3. Les méthodes de sélection 10

La variable introduite dans le modèle est celle qui entraîne la plus grande diminution des résidus ou qui amène les résidus standardisés proche de la valeur 1. Nous allons présenter ci-dessous 2 méthodes principales servies à la sélection de variables :

� La méthode du type « forward»

Dans la méthode « forward », il s’agit de démarrer avec le modèle contenant une seule variable, nous cherchons ensuite la variable qui, associée à la première, engendre la plus grande perte de résidus du modèle.

� La méthode du type « backward »

Dans la méthode « backward », il s’agit de démarrer avec le modèle complet (c’est-à-dire toutes les variables ayant un effet significatif sur le risque) puis de retirer la variable la moins probante, autrement dit celle dont l’élimination engendre peu d’impact sur la diminution de résidus du modèle.

L’introduction des variables est stoppée à partir du moment où leur effet sur le modèle n’est plus significatif où la perte en résidus est juge négligeable.

En pratique, le logiciel SAS fournit les déviances de vraisemblance par l’analyse « type 1 » et l’analyse « type 3 », fréquemment utilisées pour tester la pertinente des variables explicatives.

10 Rousset T. [2002] «La tarification de l’assurance maladie et l’avenir de la santé». Mémoire d’actuaire - EURIA.

Ajustement parfait

0

bon moyen mauvais Qualité d’ajustement

Résidus Pearson Déviance


2.2.6.4. L’analyse du « type 1 » et « type 3 » sous SAS 11

� L’analyse de type 1 :

Effectuer les calculs pour les modèles comportant uniquement la variable 1, puis la variable 1 et la variable 2,… en suivant l’ordre indiqué dans la saisie du modèle. A chaque étape, elle fourni " 3 2 Q t/ t!c��eªº¾/ ?¿ ��11!�ª ?/ "��e»/¾4t�f5/" correspondant aux hypothèses suivantes :

- H� : le modèle contient les variables 1 à j avec j compris entre 1 et le nombre de variables tarifaires.

- H : le modèle contient les variables 1 à j+1 et les paramètres associés à la variable j+1 qui ne sont pas tous nuls.

Dans l’analyse de type 1, on tient compte de l’ordre dans lequel les variables entrent dans le modèle. Pour supprimer la contrainte sur l’ordre d’entrée des variables, on recourt à l’analyse de type 3.

� L’analyse de type 3 :

Pour chaque variable j spécifiée dans le modèle, l’analyse du « type 3 » est effectuée sous 2 hypothèses suivantes :

- H� : le modèle contient toutes les variables sauf la variable j - H : le modèle contient toutes les variables et les paramètres associés à j ne sont

pas tous nuls.

Les deux analyses « type 1 » et « type 3 » fournissent la p-value 12 associée au test du rapport des vraisemblances pour un niveau de confiance de 95% par défaut. On accepte les variables qui donnent une p-value inférieure à 5%. A contrario, nous éliminons les variables dont leurs p-value supérieures à 5%.

2.2.7. L’intervalle de confiance 13

La détermination d’intervalles de confiance pour les paramètres β�, i � 1,2, … , p peut s’avérer très intéressante dans la détermination de la prime pure. Ils permettent en effet d’apprécier la marge d’erreur dans les résultats obtenus, pour un niveau de seuil donné.

Plusieurs méthodes sont disponibles pour obtenir ces intervalles de confiance, parmi elles nous avons notamment la méthode du rapport de vraisemblance et la méthode de Wald, utilisée par défaut dans le logiciel SAS.

11 Moulin PJ. [2003] «Construction de bases de tarification en frais de santé». Mémoire d’actuaire – ISFA. 12 La probabilité d'obtenir la même valeur du test si l’hypothèse nulle H� était vraie. Si cette p-value est inférieure à la valeur du seuil préalablement défini, on rejette l'hypothèse nulle. 13 Lagadec F. [2009] « Tarification d'un contrat de complémentaire santé par un Modèle Linéaire généralisé ». Mémoire d’actuaire - EURIA.


On utilise l’approximation normale des coefficients βÀ Á Â β, ΙB� est la matrice d’information de Fisher, pour obtenir un intervalle de confiance au niveau 1-α . Pour β# , donné par :

ÃβÄÅ Æ zα/�ÈΙ#,#BÉ Les intervalles de confiance calculés par le logiciel SAS sont calculés pour un niveau de confiance de 95 %.

2.2.8. La validation du modèle

� La validation graphique

La validation du modèle est jugée bonne si les résidus observés se situent autour de l’axe des abscisses (proches de 0) et avec une variance constante, autrement dit si le nuage de points est de forme cylindrique autour de l’axe des abscisses.

En plus de ce critère, le modèle peut être validé par la méthode « la validation croisée ».

� La validation croisée

Le modèle est construit sur une base appelée « base d’apprentissage », puis sa qualité est testée sur une autre base appelée « base de test ».

Pour ce fait, nous divisons aléatoirement notre base de données initiale en deux sous bases correspondant à la « base d’apprentissage » et la « base de test » avec la répartition des données de 90% et 10%.


Pour résumé, le GLM peut être illustré par l’image suivante :

La variable à expliquer dont la distribution suit

une loi de la famille exponentielle

Une fonction

lien

] � �Z

Le prédicteur linéaire

L’estimation et la sélection des

variables explicatives

Validation du modèle


En utilisant le GLM, les variables à expliquer sont exprimées par des variables explicatives ayant des impacts significatifs sur les variables à expliquer. Par ailleurs, une variable explicative comprend au moins 2 modalités (par exemple « Homme », « Femme » sont 2 modalités de la variable «Sexe »). Autrement dit, la variable à expliquer est modélisée sous la forme des modalités des variables explicatives. Plus le nombre de modalités est élevé, plus l’interprétation du modèle est complexe. Afin d’éviter ce problème, nous regroupons les modalités de la variable explicative (par exemple nous regroupons 25 modalités de la variable « région » en n modalités dont n est inférieur à 25). Pour ce faire, nous utilisons une des techniques de classification présentée dans le chapitre suivant.

Chapitre 3. La classification

La classification est une technique mathématique d’analyse de données. Cela consiste à regrouper entre eux des objets similaires selon tel ou tel critère. Les diverses techniques de classification visent toutes à répartir n individus, caractérisés par p variables X1 , X2..., Xp en un certain nombre m (m < n) de sous-groupes aussi homogènes que possible.

On distingue deux grandes familles de techniques de classification :

- Les classifications non hiérarchiques ou partitionnements, aboutissant à la décomposition de l'ensemble de tous les individus en m ensembles disjoints ou classes d'équivalence ; le nombre m de classes est fixé. Le résultat obtenu est alors une partition de l'ensemble des individus, un ensemble de parties, ou classes de l'ensemble I des individus telles que :

o toute classe soit non vide ; o deux classes distinctes sont disjointes ; o tout individu appartient à une classe.

- Les classifications hiérarchiques : pour un niveau de précision donné, deux

individus peuvent être confondus dans un même groupe, alors qu'à un niveau de précision plus élevé, ils seront distingués et appartiendront à deux sous-groupes différents. Le résultat d'une classification hiérarchique n'est pas une partition de l'ensemble des individus. C'est une hiérarchie de classes telles que :

o toute classe est non vide ; o tout individu appartient à une (et même plusieurs) classes ; o deux classes distinctes sont disjointes, ou vérifient une relation d'inclusion

(l'une d'elles est incluse dans l'autre) ; o toute classe est la réunion des classes qui sont incluses dans elle.

Un des défauts principaux de technique de classification non hiérarchiques est qu’il exige de l’utilisateur de choisir à l’avance le nombre de classes de la partition, ce qui est parfois difficile.

Pour éviter ce contraint, nous appliquons dans notre étude une des techniques de classifications hiérarchiques appelée « Classification Ascendante Hiérarchique», notée « CAH ». La classification se déroule en 4 étapes :


Section 3.1. La construction de la matrice des distances

Pour regrouper les individus qui se ressemblent (et bien séparer ceux qui ne se ressemblent pas), il faut choisir un critère de ressemblance. Pour cela, on examine l’ensemble des informations dont on dispose concernant les individus notés x�, y�� pour le ième individu, et on imagine que chaque individu est un point Μ� � x�, y�, z� … � de l’espace. S’il n’y a que deux variables relevées x�, y�� on obtient ainsi un nuage Γ de points dans le plan, chaque point Μ� ayant pour coordonnées x�, y��. Ce nuage Γ � ^Μ�, i � 1,2 … , nb contient n points, si n est l’effectif total de la population. La « distance euclidienne » de deux individus Μ�et Μ#est

par définition

?��Μ�, Μ¨� � È�0� 3 0 �� +� 3 + ��

Elle est d’autant plus petite que les deux individus sont semblables (du point de vue des valeurs des deux critères retenus) et d’autant plus grande qu’ils sont différents. On peut

associer à chaque nuage d’individus une matrice Ì � �?�¨��Í�ÍX,�Í¨ÍX � Î?��Μ�, Μ¨�Ï, dite

matrice des distances. C’est une matrice à n lignes et n colonnes, à coefficients positifs, symétrique (puisque ?��Μ�, Μ¨� � ?��Μ¨, Μ�� et nulle sur la diagonale

(puisque ?� Μ�, Μ�� 0). Pour un nuage d’effectif n, il y a donc XB�X� distances à calculer.

Section 3.2. Les écarts entre classes

Après avoir construit la matrice des distances, nous remplaçons les deux individus de distance minimale par une classe (à 2 éléments) notée Γ. Les individus sont regroupés en n − 1 classes puis n – 2 classes …jusqu’à 1 classe unique. Pour mesurer la distance entre les deux classes Γ� et Γ# , il existe plusieurs façons de procéder. L’une des plus utilisées est « la

distance au plus proche voisin »

?�� Γ�, Γ#� � miny� ÑÒ,|� ÑÓd x, y�

Section 3.3. La construction de l’arbre ou du «dendrogramme»

Après avoir regroupé les individus en classes par l’algorithme « la distance au plus proche voisin », on peut construire un arbre ou un « dendrogramme » de la façon suivante :

On aligne sur l’axe horizontal des points représentant les différents individus et on les joint deux à deux, successivement, en suivant cet algorithme de classification hiérarchique ascendante (commençant par les plus proches, etc...). On poursuit ainsi jusqu’à regroupement de tous les individus en une classe unique.

Pour plus de lisibilité, on pourra disposer les individus dans l’ordre dans lequel les regroupements ont été effectués. Le niveau (hauteur) de chaque noeud de l’arbre est, par exemple, choisi proportionnel à la distance des deux classes regroupées.


Cette étape est illustrée par les images suivantes :


Section 3.4. La coupure du dendrogramme

Après avoir construit le dendrogramme, on cherche ensuite à le couper au niveau où cela créé la meilleure répartition des points du nuage en classes bien distinctes entre elles. On peut comprendre qu’il ne sera pas optimal de couper le dendrogramme à un niveau où le regroupement s’est fait entre deux classes assez proches mais qu’au contraire on cherche à couper là où les classes regroupées étaient les plus éloignées.

Prenant l’exemple de l’étape 3, nous avons des possibilités de choisir le nombre de classe en coupant le dendrogramme comme suit :

En pratique, nous pouvons effectuer la technique CAH grâce au logiciel SAS par 2 procédures « CLUSTER » et « TREE ».


Les 2 dernières parties de l’étude « Données » et « Modélisation » se consacrent au traitement, analyse des donnés et aux modélisations des variables exprimant le « coût » et la « fréquence ». Les étapes de ces 2 parties sont illustrées par le schéma ci-dessous :

Comment proposer un modèle de tarification pour les contrats

d’assurance santé ???

Base de données

Traitement de données

- Analyse de données - Statistiques descriptives

Modélisation des variables à expliquer :

- Coût - Fréquence

Paramétrage des variables explicatives :

- Classification - Prédicteur linéaire - Tests d’interaction

Conclusion

- Lancement du GLM

- Interprétation des résultats

- Validation du modèle

- Analyse des résultats


PARTIE 3 : LES DONNEES


Chapitre 1. Présentation des sources des données

Les données sont fournies par deux délégataires « Génération » et « Mercer ». Ce sont les consommations médicales des 3 exercices : 2009-2010-2011.

Section 1.1. Les données de Génération

La base de données contient 3 381 557 lignes et 26 variables :

1- Numéro d’adhérent : le numéro attaché à la personne adhérant directement au contrat, et payant la cotisation ;

2- Nom du bénéficiaire ; 3- Prénom du bénéficiaire ; 4- Date de naissance du bénéficiaire ; 5- Numéro de Sécurité Sociale du bénéficiaire ; 6- Collège : 3 valeurs : « cadres », « non cadres » et « Ensemble du personnel » ; 7- Type bénéficiaire : 5 valeurs : « adhérent » « conjoint » « concubin »

« enfant » « ascendant » ; 8- Code postal de l'adhérent : les ayants droit ont le même code postal que l’adhérent du

contrat ; 9- Numéro de contrat ; 10- Nom de la société ; 11- Date de survenance de l’acte ; 12- Date de règlement des prestations ; 13- Famille acte : 15 valeurs par exemple « Optique »; 14- Libellé poste : 42 valeurs par exemple « Monture »; 15- Libellé acte : 489 valeurs par exemple « Monture adulte » ; 16- Nombre d'actes : la quantité d’actes, par exemple le nombre de nuit pour l’acte

hospitalisation « chambre particulière » ou le nombre de verre pour l’acte optique « verres » ;

17- Montant des frais réels (en €) : le montant facturé d’un acte médical ; 18- Montant de la base de remboursement Sécurité Sociale (en €) ; 19- Taux de remboursement Sécurité Sociale (en €) ; 20- Montant de remboursement Sécurité Sociale (en €) ; 21- Montant remboursement autre mutuelle (en €) ; 22- Prestations versées par le délégataire (en €) ; 23- Indicateur conventionné : 2 valeurs : « conventionné » et « non conventionné » ; 24- Indicateur parcours de soins : 2 valeurs « dans le parcours de soins » et « hors le

parcours de soins » ; 25- Code acte Noémie ; 26- Niveau de remboursement : 2 valeurs : « remboursement pour le régime de base » et

« remboursement pour le régime sur complémentaire »;


Section 1.2. Les données de Mercer

La base de données contient 4 048 765 lignes et 34 variables

1- Libellé Holding : la raison sociale de la compagnie qui souscrit au contrat ; 2- Numéro holding : le numéro qui permet d’identifier une compagnie adhérente; 3- Libellé établissement : la raison sociale de l’établissement, elle peut être la même ou

non que celle de Holding ; 4- Numéro établissement : numéro d’identifiant de l’établissement ; 5- Numéro de l'assuré : le numéro attaché à la personne adhérant directement au contrat,

et payant la cotisation ; 6- Numéro du bénéficiaire : le numéro attaché à la personne adhérant directement ou non

au contrat; 7- Collège : 5 valeurs : « Agents de maîtrise », « ANI », « Cadres », « Non cadres » et

« Ensemble du personnel » ; 8- Sexe du bénéficiaire : 3 valeurs : « Homme » « Femme » et « Enfant » ; 9- Code de département de l’adhérent ; 10- Rang du bénéficiaire : 4 valeurs : « adhérent » « conjoint » « enfant » « ascendant » ; 11- Date de naissance du bénéficiaire ; 12- N° de Sécurité Sociale du bénéficiaire ; 13- Famille actes : 6 valeurs ; 14- Libellé poste : 22 valeurs 15- Libellé acte : 150 valeurs; 16- Code acte : les codes définis par Mercer qui permettent de regrouper les actes ; 17- Nombre d'actes : la quantité d’acte, par exemple le nombre de nuit pour l’acte

hospitalisation « chambre particulière » ou le nombre de verre pour l’acte optique « verres » ;

18- Date des soins ; 19- Date de règlement de la prestation ; 20- Année de soin 21- Année de règlement 22- Montant des frais réels (en €) : le montant facturé d’un acte médical ; 23- Montant de la base de remboursement Sécurité Sociale (en €) ; 24- Taux de remboursement Sécurité Sociale (en €) ; 25- Montant du remboursement Sécurité Sociale (en €) ; 26- Montant du remboursement autre mutuelle (en €) ; 27- Prestations versées par le délégataire (en €) ; 28- Hors parcours : 2 valeurs « Oui » et « Non » ; 29- Secteur conventionné ; 2 valeurs « Oui » et « Non » ; 30- Numéro de contrat GAN : numéro de contrat défini par GAN ; 31- Contrat Mercer : numéro de contrat défini par Mercer ; 32- Complément contrat : le numéro de filiale d’un contrat ; 33- Type de contrat : 2 valeurs : « remboursement pour le régime de base » et

« remboursement pour le régime d’option (y compris le régime de base) »;


34- Date de début du contrat : date d’effet du contrat ; 35- Date de fin du contrat : date de résiliation du contrat ;

Chapitre 2. Le traitement des données

Les données venant de 2 sources différentes, les libellés, les formats et la saisie ne sont pas les mêmes.

En analysant les 2 bases, nous constatons que la base de Mercer contient plus d’informations, ainsi la saisie est plus facile à extrapoler. Nous choisissons donc la base de Mercer comme « base de référence ». Le traitement des données a été fait en 2 étapes :

- Traitement de la base de données de Génération sous les mêmes critères que celle de Mercer.

- Concaténation et extrapolation des 2 bases Mercer et Génération.

Section 2.1. Le traitement des données de Génération

� La création de la variable sexe « SEXE » :

La variable est créée en se basant sur les informations de 2 variables « Numéro de Sécurité Sociale du bénéficiaire » et « Type bénéficiaire ».

Dans un premier temps, nous créons une variable « SEXE_SS », il s’agit du sexe d’un bénéficiaire déduit à partir de la première lettre du numéro de Sécurité Sociale. La variable est créée de manière suivante :

- Homme « M » si la première lettre du numéro SS est égale à 1 ; - Femme « F » si la première lettre du numéro SS est égale à 2 ;

Le « SEXE_SS » est inexacte au cas où le conjoint et l’enfant sont rattachés au numéro Sécurité Sociale de l’adhérent. Dans ce cas, le « SEXE» retenu tient compte du « Type bénéficiaire », comme défini ci-dessous :

- Si le bénéficiaire est adhérent « AD », le sexe retenu est le SEXE_SS; - Si le bénéficiaire est conjoint « CJ », le sexe retenu est le SEXE_SS opposé; - Si le bénéficiaire est enfant « E», le sexe retenu est « E ».

Pour étayer nos propos, prenons un exemple concret :

Numéro SS Type

bénéficiaire SEXE_SS SEXE

1791132465341 AD M M 2851323461375 CJ F F 1380329225003 AD M M 1380329225003 CJ M F 1380329225003 E M E


� Le cumul des prestations du régime de base et du régime sur-complémentaire

Les consommations dans la base de données ont été saisies comme suit :

La variable « Niveau de remboursement » contient 2 valeurs :

- 01 : remboursement du régime de base. - 02 : remboursement du régime sur complémentaire.

Nous constatons dans le tableau que les actes ont été saisis en doublon pour les adhérents bénéficiant d’un régime de base et d’un régime sur complémentaire. Or, la saisie est faite pour un même acte, une ligne pour le régime de base, et une ligne pour le régime sur complémentaire.

Le fait de saisir sur 2 lignes pour un même acte peut engendrer une sur-estimation dans le calcul de la fréquence et une sous-estimation dans le calcul du coût moyen. En raison de cela, la base de données est retraitée en regroupant les actes saisis en doublon de manière suivante :


Section 2.2. Le traitement des données Génération et Mercer 2.2.1. La création de variables

� Les variables âge « AGE » et tranche d’âge « TR_AGE »

Dans cette étude, nous ne nous sommes pas intéressés à l’âge du bénéficiaire au moment de l’étude mais au moment de l’exécution d’un soin. L’âge est donc défini par la formule :

AGE = Année de la date de soins – Année de naissance.

Ensuite, nous créons une variable tranche d’âge « TR_AGE » en regroupant l’âge en 7 tranches dont :

- 6 tranches de 10 ans pour l’âge allant de 0 jusqu’à 60 ans, telles que : [0-9], [10-19], [20-29], [30-39], [40-49], [50-59].

- 1 tranche pour l’âge supérieur ou égal à 60 ans « >=60 ».

Ceci nous permet de fluidifier les analyses.

� La variable situation de famille « SITU_FAM »

En l’absence d’information sur la situation de famille dans les bases de données, la variable « SITU_FAM » est créée en comptant le nombre de bénéficiaires présents dans la variable « numéro adhérent ». Cette variable contient 4 valeurs qui sont définies comme suit :

- « Isolé » : si 1 seul type de bénéficiaire est attaché à un numéro adhérent ; - « Duo » : si 2 types de bénéficiaires sont attachés à un numéro adhérent, nous avons 3

possibilités : o Assuré, 1 conjoint ; o Assuré, 1 enfant ; o Assuré, 1 ascendant.

- « Trio » : si 3 types de bénéficiaires sont attachés à un numéro adhérent, nous avons 3 possibilités :

o Assuré, conjoint, enfant ; o Assuré avec 2 enfants ; o Assuré, conjoint, ascendant.

- « Famille» : si au moins 4 types de bénéficiaires sont attachés à un numéro adhérent, nous avons 3 possibilités :

o Assuré, conjoint avec au moins 2 enfant ; o Assuré avec au moins 3 enfants ; o Assuré, conjoint, ascendant, enfant.


� La variable région « REGION»

Pour simplifier l’étude, nous créons la variable région en regroupant la variable « code postal ». La variable contient 25 valeurs. La liste des régions se trouve dans le chapitre suivant.

� La création de la variable exposition « EXPO »

L’exposition est la durée de présence d’une bénéficiaire pendant la période observée. Pour créer cette variable, il faut créer, dans un premier temps, les 2 variables :

- l’année de début de l’exposition (notée DEB_EXPO) : il s’agit de l’année minimale d’une suite d’actes effectués pendant la période observée.

- l’année de fin de l’exposition (notée FIN_EXPO) : il s’agit de l’année maximale d’une suite d’actes effectués pendant la période observée.

Concrètement, l’année de début de l’exposition et l’année de fin de l’exposition d’une bénéficiaire sont définies par :

DEB_EXPO � max 2009, min^ Année_soins� , Année_soins� �. . Année_soins� Üb� FΙΝ_EXPO � min 2011, max^ Année_soins� , Année_soins� � … Année_soins� Üb�

où :

Année_de_soins� � : l’année de soins d’un acte i ;

N : le nombre total d’acte d’une bénéficiaire;

L’exposition est déterminée par :

EXPO � FΙΝ_EXPO 3 DEB_EXPO � 1

� La variable adhésion « ADHESION»

La variable « adhésion » comprend 2 variantes :

- adhésion obligatoire si l’assuré adhère uniquement au régime de base ; - adhésion facultative si l’assuré adhère au régime de base et au régime optionnel en

complément du régime de base.

� Les variables Famille d’actes regroupée « FAM_ACTES_GR », libellé actes regroupé « LIB_ACTES_GR » et assiette de garantie « ASSIETTE_GAR »

Nous regroupons 489 libellés d’actes définis dans la base de Génération et 150 libellés d’actes définis dans la base de Mercer en 10 familles d’actes et 53 actes.


Ensuite, on définit les assiettes de garanties. Dans cette étude, les garanties sont exprimées sous 2 formes:

- Forfait : en pourcentage du PMSS (Plafond Mensuel de la Sécurité Sociale) ; - En pourcentage de la BR (Base de Remboursement Sécurité Sociale).

Ci-dessous le tableau de famille d’actes, des libellés d’actes et des assiettes de garanties:

FAM_ACTES_GR LIB_ACTES_GR ASSIETTE_GAR

Actes de prévention

Acupuncteur Forfait

Chiropracteur Forfait

Étiopathie Forfait

Ostéopathie Forfait

Sevrage tabagique Forfait

Diététicien Forfait

Nutritionniste Forfait

Homéopathe Forfait


Acte de chirurgie BR_SS

Acte de spécialité BR_SS

Acte technique médical BR_SS

Analyses radios BR_SS

Auxiliaires médicaux BR_SS

Consultations/Visites Cardiologue BR_SS

Consultations/Visites généraliste BR_SS

Consultations/Visites Neuro-Psycologue BR_SS

Consultations/Visites spécialiste BR_SS

Soins divers BR_SS

Cure Thermale Cure Thermale Forfait

Dentaire

Implants dentaires Forfait

Inlays-Onlays BR_SS

Orthodontie remboursée BR_SS

Orthodontie non remboursée 14 BR_SS

Parodontologie Forfait

Prothèses dentaires remboursées BR_SS

Prothèses dentaires non remboursées 15 BR_SS

Soins dentaires BR_SS

Hospitalisation

Chambre particulière Forfait

Forfait Hospitalier Forfait

Frais de séjour BR_SS

Honoraires BR_SS

Transport BR_SS

14 BR reconstituée sur la base TO 90 = 2,15*90 = 193,50 15 BR reconstituée sur la base SPR 50 = 2,15*50 =107,5


Maternité Forfait maternité Forfait

Obsèques Frais d'obsèques Forfait

Optique

Chirurgie réfractive Forfait

Divers Forfait

Lentilles remboursées Forfait

Lentilles non remboursées Forfait

Monture adulte Forfait

Monture enfant Forfait

Verres adulte Forfait

Verres enfant Forfait

Pharmacie

Contraception Forfait

Pharmacie 15% BR_SS

Pharmacie 30% BR_SS

Pharmacie 65% BR_SS

Pharmacie non remboursée Forfait

Pharmacie remboursée BR_SS

Vaccin non remboursé Forfait

Vaccin remboursé BR_SS

Prothèse Appareillage

Appareillage BR_SS

Prothèse auditive BR_SS

Prothèse hors auditive BR_SS

Proth. App. non remboursé Forfait

� La variable niveau de garantie d’un acte « NV_GAR»

En fonction de l’assiette de garantie de l’acte, nous déterminons le niveau de garantie pour chaque acte de chaque contrat comme suit :

• Pour les garanties exprimées en pourcentage de la BR et en complément du remboursement de la Sécurité Sociale, le niveau de garantie d’un acte est déterminé de manière suivante :

NV_RBT� j � Max � RBT_ASS� 1,j BR_SS� j , RBT_ASS� 2,j BR_SS� j , … , RBT_ASS� N,j BR_SS� j � où :

RBT_ASS� i,j : le montant de remboursement de l’assureur pour un individu i exécuté l’acte

j ;

BR_SS� j : le montant de la base de remboursement Sécurité Sociale pour un acte j. La BR

retenue dans ce traitement est celle en terme général, par exemple, nous ne prenons pas la BR réduite en cas de consultation généraliste hors parcours de soins.

N j : le nombre total de consommateur de l’acte j ;


NV_RBT� j : le niveau de remboursement d’un acte j

En fonction de NV_RBT, nous définissons ensuite la variable « NV_GAR » en 5 niveaux :

- « [0 - 100) » si le NV_RBT < 100% BR ; - « [100 - 200) si le 100% BR ß ΝV_RBT â 200% BR ; - « [200 - 300) si le 200% BR ß ΝV_RBT â 300% BR ; - « [300 - 400) si le 300% BR ß ΝV_RBT â 400% BR ; - « [400 - FR] si le NV_RBT est supérieur ou égal à 400% BR ou équivalent au

remboursement des frais réels.

• Pour les garanties exprimées en pourcentage du PMSS, le niveau de garantie d’un acte est déterminé de manière suivante :

NV_RBT� j � ¾ax å RBT_ASS� 1,j , RBT_ASS� 2,j , … , RBT_ASS� N,jæPMSSANNEE_SOINS

PMSSANNEE_SOINS : le Plafond Mensuel de la Sécurité Sociale de l’année d’exécution du soin. Les montants du PMSS de la période observée sont les suivants:

- PMSS2009 = 2859 ; - PMSS2010 = 2885 ; - PMSS2011 = 2946.

Nous déterminons ensuite la grille de remboursement selon le type d’acte :

FAM_ACTES_GR LIB_ACTES_GR ASSIETTE_GAR Faible Fort

Actes de prévention Tous les actes Forfait 1% 2%

Cure Thermale Cure Thermale Forfait 15% 20%

Dentaire Implants dentaires Forfait 10% 20%

Parodontologie Forfait 10% 20%

Hospitalisation Chambre particulière Forfait 1% 3%

Maternité Forfait maternité Forfait 10% 20%

Obsèques Frais d'obsèques Forfait 50% 100%

Pharmacie

Contraception Forfait 1% 3%

Pharmacie non remboursée Forfait 1% 3%

Vaccin non remboursé Forfait 1% 3%

Prothèse Appareillage Proth. App. non remboursé Forfait 1% 3%

Enfin, nous définissons la variable « NV_GAR » en 3 niveaux en fonction de « NV_RBT »:

- « Faible » si le NV_RBT < Faible; - « Moyen » si le NV_RBT est entre le niveau Faible et Fort; - « Fort» si le NV_RBT > Fort.


• Traitements spécifiques pour le poste « Optique ».

C’est un poste où il y a plusieurs formules de garanties telles que :

- Formule acte : le montant de garantie de chaque acte est précisé. L’assuré doit respecter le niveau de remboursement par acte. Par exemple :

o Verres : 4% PMSS/an/bénéficiaire o Monture : 5 % PMSS/an/bénéficiaire o Lentilles : 6% PMSS/an/bénéficiaire

- Formule forfaitaire : le montant de garantie est regroupé par au moins 2 actes, les plus courants sont les :

o forfait « lunette » (verres, monture), o forfait « optique » (verres, monture, lentilles).

L’assuré peut dépenser la totalité du remboursement sur un ou plusieurs actes du forfait. Prenons l’exemple précédent, au lieu de préciser le niveau de garantie par acte, l’assureur propose un forfait « optique » de 15% PMSS/an/bénéficiaire. Dans ce cas, l’assuré peut dépenser 15% PMSS sur un acte, deux actes, ou tous les actes sans être obligé de respecter le niveau de garantie pour chaque acte. Cette formule permet aux assurés de flexibiliser son choix.

La méthode de détermination du niveau de garantie d’un contrat, en cherchant le remboursement maximal du contrat présentée ci-dessus, est alors surestimé dans le cas de la formule « forfait ». De ce fait, conformément aux diverses formules, 2 études seront effectuées : par acte et par poste. Par conséquent, la variable « Niveau de garantie » est également définie suivant 2 études. Elle est répartie en 5 niveaux, suivant le niveau de remboursement (exprimé en PMSS) tels que : Faible, Moyen (-), Moyen (+), Fort (-) et Fort (+) :

o Par acte :

LIB_ACTES_GR Faible Moyen (-) Moyen (+) Fort (-) Fort (+)

Chirurgie réfractive [0-10%) [10%-20%) [20%-30%) [30%-40%) [40%-FR] Lentilles remboursées [0-5%) [5%-10%) [10%-15%) [15%-20%) [20%-FR]

Lentilles non remboursées

[0-5%) [5%-10%) [10%-15%) [15%-20%) [20%-FR]

Monture adulte [0-5%) [5%-10%) [10%-15%) [15%-20%) [20%-FR] Monture enfant [0-4%) [4%-8%) [8%-12%) [12%-16%) [16%-FR] Verres adulte [0-5%) [5%-10%) [10%-15%) [15%-20%) [20%-FR] Verres enfant [0-4%) [4%-8%) [8%-12%) [12%-16%) [16%-FR]


o Par poste :

LIB_ACTES_GR Faible Moyen (-) Moyen (+) Fort (-) Fort (+)

Chirurgie réfractive [0-10%) [10%-20%) [20%-30%) [30%-40%) [40%-FR] Lentilles remboursées

[0-10%) [10%-20%) [20%-30%) [30%-40%) [40%-FR]

Lentilles non remboursées

Monture adulte

Monture enfant

Verres adulte

Verres enfant

2.2.2. Le cumul des prestations des actes forfaitaires

Pour les actes forfaitaires dont les garanties sont exprimées en pourcentage du PMSS par an et par bénéficiaire, nous cumulons les prestations sur un seul acte par an.

Pour exemple, la garantie «contraception» est de 3% PMSS/an/bénéficiaire. Une assurée effectue 4 actes dans l’année et la facture par acte est de 0,5% PMSS.

Dans la base de données brute, 4 actes sont saisis sur 4 lignes avec des prestations de 0.5% par acte.

Dans le traitement de ces données, nous cumulons les 4 actes sur une seule et même ligne avec un nombre d’acte égale à 1 et une prestation de 2% PMSS, dans le but d’observer le comportement de l’assurée vis-à-vis du niveau de garantie (la fréquence n’étant pas pertinente dans ce tarif).

Ce traitement n’est effectué que sur les actes : la cure thermale, les implants dentaires, la parodontologie, la chirurgie réfractive, les lentilles, les verres, la monture, la contraception, la pharmacie non remboursée, les vaccins non remboursés, les prothèses et appareilles non remboursées.

2.2.3. Les prestations tenant compte de taux d’inflation et de l’évolution du PASS

Dans notre étude, nous construirons les tarifs en nous basant sur les historiques des consommations. Ces tarifs seront appliqués pour les assurés actuels en cas de changement de garanties ainsi que pour les nouveaux arrivants. Afin d’éviter une sous estimation dans la modélisation des coûts des remboursements, il est nécessaire de tenir compte des évolutions des prix des actes.

Nous projetons donc les prestations sur l’année 2012. Concrètement, pour les actes forfaitaires, nous majorons les prestations en fonction de l’évolution du PMSS de l’année de survenance (2009, 2010, 2011) et celui de 2012 dont le PMSS est de 3031 euros. Pour les autres actes, nous majorons les prestations suivant les évolutions des prix indiquées dans les Comptes nationaux Santé.


2.2.4. Le volume de données

Motif de suppression Volume Restant

MERCER GENERATION TOTAL Volume %

Données initiales 4 048 765 3 381 557 7 430 322 7 430 322 100%

Sexe non renseigné 104 695 104 695 7 325 627 99%

Actes saisis en doublons 308 747 308 747 7 016 880 94%

Age non renseigné 231 299 6 785 581 91%

Sexe mal renseigné 2 605 6 782 976 91%

Remboursement assureur <= 0 578 413 6 204 563 84%

Cumul des actes forfaitaires 65 376 6 139 187 83%

Après avoir supprimé les données aberrantes, la base globale comptabilise 465 contrats et 146 524 adhérents.

2.2.5. Les variables retenues dans l’étude

Nous retenons 26 variables dont 15 variables explicatives et 11 variables à expliquer.

� Les variables explicatives : - GESTIONNAIRE; - ADHESION; - FAM_ACTES_GR; - LIB_ACTES_GR; - REGION; - SITUATION_FAMILLE; - TR_AGE; - COLLEGE; - SEXE; - TYPE_BENEF; - CONTRAT; - AGE; - NUM_ASSURE; - NV_GAR; - GRILLE; - ASSIETTE_GAR.

� Les variables à expliquer :

- NV_RBT; - QTE_ACTES; - FR; - BR_SS; - TX_REMB_SS;


- RBT_ASSUREUR- AUTRES_REMB; - RBT_SS; - RBT_ASSUREUR- ANNEE_SOINS; - DUREE.

Chapitre 3. L’analyse des donnéesSection 3.1. Les statistiques descriptives

� La répartition du nombre d’adhérent

Nous sommes dans le cadre dpoids des personnes âgés supérieurque celles comprises entre 20 et 2importants que ceux dans les tranches

- une baisse du nombre d’adhérentans.

- une majoration du nombre d’adhérentprésente 40% du portefeuille global

Une analyse du portefeuille nous montre que enfant est de 29 ans. Ce chiffre 0 à 20 ressemblant la courbe d’adulte de 30 à 50

0%

5%

10%

15%

20%

25%

[0-9] [10

17%

Phuong NGUYEN

RBT_ASSUREUR;

RBT_ASSUREUR;

L’analyse des données Les statistiques descriptives

nombre d’adhérents par tranche d’âge

Nous sommes dans le cadre de contrats « santé collective ». Ainsi, nous supérieurs à 50 ans (y compris des préretraités et retraités)

entre 20 et 29 ans (les débutants ou les enfants à charge) sontceux dans les tranches entre 30 et 50 ans. Cela s’explique par

une baisse du nombre d’adhérents de la tranche [20-29] et des tranches

une majoration du nombre d’adhérents concentrée entre 30 et 50 ans. Cette population présente 40% du portefeuille global et 73% du portefeuille âgés de plus

du portefeuille nous montre que l’âge moyen d’un adulte ans. Ce chiffre nous permet d’expliquer la forme de la courbe d

d’adulte de 30 à 50 ans.

[10-19] [20-29] [30-39] [40-49] [50-59] >=60

14% 14%

21%

19%

11%

4%

nous constatons que les (y compris des préretraités et retraités) de même

ans (les débutants ou les enfants à charge) sont moins par :

et des tranches à partir de 50

ns. Cette population de plus 30 ans.

ayant son premier e de la courbe des enfants de

>=60

4%



La variable « SEXE » étant reconstituée à partir du numéro de Sécurité Socialebénéficiaire, le sexe des enfants est impossible àau numéro de Sécurité Sociale de leurs parents.

Selon le graphique, nous observons uneenfant.

Si nous excluons les enfants, la répartition

� La répartition du nombre d’adhérents par type bénéficiaire

Le graphique montre que le nombre des a

Les poids de l’enfant et du conjoint présentent plus denous en déduisons l’hypothèsecharge. Le graphique suivant nous aidera à conclure notre

Ascendant0%

Phuong NGUYEN

nombre d’adhérents par sexe

reconstituée à partir du numéro de Sécurité Socialeants est impossible à déterminer puisque ces enfants

curité Sociale de leurs parents.

on le graphique, nous observons une répartition assez équilibrée entre homme, femme et

, la répartition Homme/Femme est de 52% contre

du nombre d’adhérents par type bénéficiaire

hique montre que le nombre des ascendants est négligeable dans l’étude.

conjoint présentent plus de la moitié (55%) du portefeuille. hypothèse que la majorité des assurés adhère avec au moins

nous aidera à conclure notre hypothèse.

Femme32%

Homme33%

Enfant35%

Assuré45%

Conjoint20%

Enfant35%

reconstituée à partir du numéro de Sécurité Sociale et du type de es enfants sont rattachés

équilibrée entre homme, femme et

est de 52% contre 48%.

négligeable dans l’étude.

moitié (55%) du portefeuille. Ainsi, avec au moins 1 personne à



Effectivement, seulement 22% doù il y a au moins 2 personnes adhérentes

En négligeant le nombre deminimum 60% des assurés (l’addition des poids du Trio enfants se répartissent comme suit

- Au minimum 21% des assuré- Au minimum 39% des


Nous pouvons identifier seulement que 37% des catégories socio professioeffet, la plupart des contrats santé sont souscrits sous la forme «

Phuong NGUYEN

nombre d’adhérents par situation de famille

Effectivement, seulement 22% des participants adhèrent en Isolé contre 78% aux structures a au moins 2 personnes adhérentes.

En négligeant le nombre des ascendants, d’après le graphique, nous(l’addition des poids du Trio 21% et de la Famille

se répartissent comme suit:

des assurés ont au moins un enfant ; des assurés ont au moins deux enfants.

nombre d’adhérents par collège contractant

identifier seulement que 37% des catégories socio professiopart des contrats santé sont souscrits sous la forme « Ensemble du personnel

Duo18%

Famille39%

Isolé22%

Trio21%

AGENT DE MAITRISE

0%

ANI1% CADRES

12%

ENSEMBLE DU

PERSONNEL63%

NON CADRES24%

en Isolé contre 78% aux structures

le graphique, nous constatons qu’au de la Famille 39%) ayant des

identifier seulement que 37% des catégories socio professionnelles (CSP). En Ensemble du personnel »


Le poids des ANIs et des agents de maîtrise n’est pas significatifl’ensemble du portefeuille. Notre étude se concentre donc surcadres » et « Ensemble du personnel


Une petite partie du portefeuille (8%) est adhèr

Phuong NGUYEN

Le poids des ANIs et des agents de maîtrise n’est pas significatif. Il ne représenteotre étude se concentre donc sur les 3 collèges «

Ensemble du personnel » où leurs poids représentent 99% du portefeuille.

nombre d’adhérents par type adhésion

portefeuille (8%) est adhère au contrat facultatif.

FACULTATIVE8%

OBLIGATOIRE92%

représente que 1% sur 3 collèges « Cadres », « Non 99% du portefeuille.


� La répartition du nombre d’adhérents par région

80% du nombre d’adhérents vient des 10 premières régions indiquées dans le tableau ci-dessous.

NB REGION NB ADHERENT % % CUMULE

1 ILE-DE-FRANCE 45 619 31% 31%

2 RHONE-ALPES 20 949 14% 45%

3 PAYS-DE-LA-LOIRE 9 192 6% 52%

4 PROVENCE-ALPES-COTE-D'AZUR 8 178 6% 57%

5 BRETAGNE 6 869 5% 62%

6 NORD-PAS-DE-CALAIS 6 568 4% 66%

7 LORRAINE 5 409 4% 70%

8 ALSACE 4 862 3% 73%

9 FRANCHE-COMTE 4 766 3% 77%

10 AQUITAINE 4 682 3% 80%

11 MIDI-PYRENEES 4 177 3% 83%

12 HAUTE-NORMANDIE 4 142 3% 86%

13 CENTRE 3 953 3% 88%

14 NON RENSEINGE 3 185 2% 90%

15 PICARDIE 2 728 2% 92%

16 LANGUEDOC-ROUSSILLON 2 271 2% 94%

17 AUVERGNE 2 209 2% 95%

18 BASSE-NORMANDIE 2 047 1% 97%

19 BOURGOGNE 1 942 1% 98%

20 CHAMPAGNE-ARDENNE 1 147 1% 99%

21 POITOU-CHARENTES 1 042 1% 100%

22 DOM-TOM 299 0% 100%

23 LIMOUSIN 158 0% 100%

24 CORSE 130 0% 100%

Total général 146 524 100%


Section 3.2. L’analyse du montant de remboursement par l’Assureur

� Le remboursement annuel moyen par tranche d’âge

Le remboursement annuel moyen géométrique par tranche d’âge est de 338 euros. Les dépenses des adhérents de moins de 30 ans sont au-dessous de la moyenne et à contrario pour la population de plus de 30 ans.

Le pic de remboursement des enfants se situe sur la tranche [10-19]. Cela s’explique par la forte consommation en orthodontie et en optique des adolescents.

A partir de 20 ans, le remboursement est croissant en fonction de l’âge. Les surconsommations entre 30 et 39 ans sont dues principalement à la maternité. Pour les 40 et 49 ans, les consommations se concentrent principalement sur l’optique (verres multifocaux) ainsi que sur le dentaire. A partir de 50, la forte croissance des remboursements peut être expliquée par l’hospitalisation, les analyses, les consommations en pharmacie.

-

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Euro

Tranche d'âge

Remboursement annuelle moyenne

Moyenne


� Le remboursement annuel moyen par sexe

Nous constatons aisément sur le graphique que les femmes hommes et les enfants, de l’ordre de plus rapport aux enfants. Ces fortes maternité et aux examens et suivis

� Le remboursement annuel moyen par type

Puisque la dépense en santé remboursement pour les ascendants est bénéficiaires, concrètement, il est Au niveau d’âge, cette populationcontrat responsable, la Loi Evin une majoration maximale des taux de cotisations de 50% par rapport aux actifs. obligation peut engendrer une sous tarification consommations.

Entre l’assuré et le conjoint, le remboursement est assez équilibré

-

100

200

300

400

500

Femme

-

100

200

300

400

500

600

700

800

Assuré

Phuong NGUYEN

Le remboursement annuel moyen par sexe

Nous constatons aisément sur le graphique que les femmes consomment hommes et les enfants, de l’ordre de plus de 39% par rapport aux homme

Ces fortes consommations chez les femmes sont principalementexamens et suivis gynécologiques ...

Le remboursement annuel moyen par type de bénéficiaire

est croissante en fonction de l’âge, il demeureendants est beaucoup plus élevé que pour les autres types

concrètement, il est de l’ordre de 70% par rapport aux assurés et population est très proche des « Retraités » sauf que dans le cadre d’un Loi Evin impose aux Assureurs de prendre en charge les retraités avec

une majoration maximale des taux de cotisations de 50% par rapport aux actifs. obligation peut engendrer une sous tarification pour les retraités suite à leurs fortes

Entre l’assuré et le conjoint, le remboursement est assez équilibré.

FemmeHomme

Enfant

468

350

207

Assuré Conjoint Ascendant Enfant

406 413

702

207

consomment davantage que les hommes et le double par principalement dues à la

il demeure évident que le les autres types de

assurés et aux conjoints. sauf que dans le cadre d’un

impose aux Assureurs de prendre en charge les retraités avec une majoration maximale des taux de cotisations de 50% par rapport aux actifs. Cette

pour les retraités suite à leurs fortes


Le remboursement pour les enfants est environ 50% inférieure à celui pour les adultes (hors ascendant). Cet indice nous aidera dans la transformation de structure de taux uniforme aux taux adulte/enfant.

� Le remboursement annuel moyen par situation de famille

Selon le graphique, nous observons aisément que le remboursement augmente en fonction du nombre d’adhérents. Par rapport au remboursement moyen, la famille est classée en catégorie « surconsommation » à contrario les isolés, les duos, les trios sont en catégorie « sous-consommation ». Autrement dit, si nous proposons un taux de cotisation unique quelle que soit la situation de famille, les assurés en situation « isolé », « Duo » et « Trio » sont ceux qui paient d’avantage par rapport à la « Famille » en terme de « consommation / cotisation». C’est la raison pour laquelle nous avons aujourd’hui une demande accrue sur la structure de taux de cotisations en fonction de la situation de famille.

339

883

1 007

1 364

1 093

-

200

400

600

800

1 000

1 200

1 400

1 600

Isolé Duo Trio Famille

Remboursement annuel moyen

Moyen


� Le remboursement annuel moyen par

D’après le graphique, le remboursemeque ceux des non cadres.

Pour « Ensemble du personnelélevés que ceux des non cadresplusieurs hypothèses telles que

- soit les cadres sont plus nombreux que du personnel » ;

- soit les cadres et les non cadres consomment d’avantage en étant regroupés que lorsqu’ils possèdent des régimes distincts

- soit le niveau de garanties des régimes «

� Le remboursement annuel moyen par

-

50

100

150

200

250

300

350

400

263

Phuong NGUYEN

Le remboursement annuel moyen par collège contractuel

e remboursement annuel pour les adhérents cadres est

ble du personnel », les remboursements moyens sont de l’ordre dedes non cadres et 6% moins élevés que ceux des cadres. Cela nous oriente

telles que :

soit les cadres sont plus nombreux que les non cadres dans la population «

soit les cadres et les non cadres consomment d’avantage en étant regroupés que lorsqu’ils possèdent des régimes distincts ; soit le niveau de garanties des régimes « Ensemble du personnel » est

Le remboursement annuel moyen par type d’adhésion et par adhérent

ADHESION REMBOURSEMENT

ANNUEL MOYEN

FACULTATIVE 370

OBLIGATOIRE 335

MOYEN 338

263

156

377 355

nt annuel pour les adhérents cadres est 30% plus élevé

de l’ordre de 23 % plus Cela nous oriente sur

les non cadres dans la population « Ensemble

soit les cadres et les non cadres consomment d’avantage en étant regroupés que

» est plus élevé.

et par adhérent

289


Un adhérent sous contrat facultatif consomme davantage, de l’ordre de 10%, par rapport à un régime obligatoire. Effectivement, un assuré qui adhère à un contrat facultatif, a tendance à sur consommer car il connaît ses besoins, cela risque de déséquilibrer les prestations et les cotisations. De ce fait, les assureurs appliquent sur le contrat facultatif une « anti-sélection » qui leur permet de :

- mieux connaître les risques des assurés ; - équilibrer les prestations et les cotisations.

L’anti-sélection s’est effectuée souvent sous 2 formes :

- Un questionnaire médical ou un contrôle médical ; - Une majoration des taux de cotisations par un ratio déterminé en fonction du niveau

d’écart des garanties entre le contrat obligatoire (régime de base) et le contrat facultatif (régime optionnel) ou en fonction du risque aggravé de l’assuré.

� Le remboursement annuel moyen par région16

Le remboursement moyen annuel par région s’élève autour de 338 euros. Un quart de ces régions se situe au dessus de cette moyenne (Île de France, Rhône Alpes, Languedoc – Roussillon et Provence Alpes Cote d’Azur). En confrontant ce constat avec le tableau de répartition du nombre d’adhérents par région évoqué précédemment, nous pouvons affirmer que plus de la moitié des affiliés (55%) sont classés en « sur moyenne » contre 45% en « sous moyenne». Les régions « sur moyenne » sont notamment les grandes villes où le niveau de vie est plus élevé, en conséquence, leurs remboursements sont plus importants.

16 Le graphique ne contient pas les régions dont les données ne sont pas robustes telles que : DOM-TOM, LIMOUSIN et CORSE.

-

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Remboursement annuel moyen Moyen


� Répartition du remboursementd’observation (2009-2011)

Famille d'actes Remboursement A

2009

Actes de prévention 330 320

Actes médicaux

courants 8 082 855

Cure Thermale 166 403

Dentaire 6 982 710

Hospitalisation 4 798 823

Maternité 13 466

Obsèques 18 155

Optique 8 243 036

Pharmacie 3 884 887

Prothèse Appareillage 774 397

Total 33 295 053

Parmi les 10 familles d’actes, 85% des remboursements sontfamilles soit: « Actes médicaux courants

Maternité0%

Obsèques0%

Optique25%

Pharmacie

Répartition du remboursement Assureur par famille d'actes (2009

Phuong NGUYEN

remboursement par famille d’acte pendant la période 2011)

Remboursement Assureur (€) Remboursement A

2010 2011 2009 2010

330 320 646 094 779 076 1% 1%

8 082 855 11 162 187 12 329 630 24% 24%

166 403 166 508 157 325 0% 0%

6 982 710 9 769 409 10 609 235 21% 21%

4 798 823 6 633 123 7 529 568 14% 14%

13 466 1 154 13 699 0% 0%

18 155 46 234 42 385 0% 0%

8 243 036 11 914 256 13 191 092 25% 26%

3 884 887 5 165 467 5 851 597 12% 11%

774 397 1 093 503 1 270 749 2% 2%

33 295 053 46 597 935 51 774 356 100% 100%

ctes, 85% des remboursements sont principalement Actes médicaux courants », « Dentaire », « Optique » et «

Actes de prévention

1%

Actes médicaux courants24%

Dentaire21%

Hospitalisation15%

Pharmacie11%

Prothèse-Appareillage

3%

Répartition du remboursement Assureur par famille d'actes (2009-2011)

acte pendant la période

Remboursement Assureur (%)

2010 2011 2009-2011

1% 2% 1%

24% 24% 24%

0% 0% 0%

21% 20% 21%

14% 15% 14%

0% 0% 0%

0% 0% 0%

26% 25% 25%

11% 11% 11%

2% 2% 2%

100% 100% 100%

principalement répartis sur 4 » et « Hospitalisation ».

Cure Thermale

0%

Dentaire

Répartition du remboursement Assureur


Les montants de remboursement sont presque doublés à la fin de la période observée (2011) par rapport au début de la période (2009). Néanmoins, le poids entre les familles d’actes reste quasiment stable pendant la période observée. L’augmentation des montants de remboursement peut être expliqué par la croissance des affaires nouvelles.

� Répartition du remboursement par acte

Après le traitement des données, nous avons regroupé les consommations en 41 actes dont la répartition du montant de remboursement par l’assureur est présentée dans le tableau ci-dessous :

NB Libellé d’actes Remboursement

Assureur Poids Cumul du poids

1 Verre adulte 16 404 747 12% 12%

2 Prothèses dentaires remboursées 15 356 540 12% 24%

3 Pharmacie 14 853 328 11% 35%

4 Consultations/Visites spécialiste 9 367 973 7% 43%

5 Monture adulte 8 961 279 7% 49%

6 Analyses radios 7 557 650 6% 55%

7 Consultations/Visites généraliste 7 415 085 6% 61%

8 Honoraires 7 282 823 6% 66%

9 Orthodontie remboursée 5 765 319 4% 71%

10 Frais de séjour 4 581 868 3% 74%

11 Auxiliaires médicaux 4 528 634 3% 78%

12 Chambre particulière 3 818 769 3% 80%

13 Lentilles non remboursés 3 535 500 3% 83%

14 Verre enfant 2 810 954 2% 85%

15 Forfait Hospitalier 2 787 424 2% 87%

16 Soins dentaires 2 772 258 2% 89%

17 Acte technique médical 2 211 053 2% 91%

18 Actes de prévention 1 755 491 1% 92%

19 Appareillage 1 436 428 1% 94%

20 Implants/Parodontologie 1 394 702 1% 95%

21 Inlays-Onlays 1 367 448 1% 96%

22 Monture enfant 1 159 661 1% 97%

23 Prothèse hors auditive 1 141 407 1% 97%

24 Prothèse auditive 552 439 0% 98%

25 Cure Thermale 490 236 0% 98%

26 Transport 477 007 0% 99%

27 Orthodontie non remboursée 476 916 0% 99%

28 Acte de chirurgie 378 536 0% 99%

29 Chirurgie réfractive 352 670 0% 99%

30 Prothèses dentaires non remboursées 228 171 0% 100%

31 Lentilles remboursées 123 573 0% 100%


32 Frais d'obsèques 106 774 0% 100%

33 Soins divers 76 822 0% 100%

34 Acte de spécialité 38 918 0% 100%

35 Forfait Maternité 28 319 0% 100%

36 Vaccin non remboursé 19 802 0% 100%

37 Pharmacie non remboursée 16 233 0% 100%

38 Frais d'accompagnant 13 624 0% 100%

39 Contraception 12 582 0% 100%

40 Proth. App. non remboursé 8 376 0% 100%

41 Vaccin remboursé 5 0% 100%

TOTAL 131 667 344 100%

Section 3.3. La conclusion

L’étude est effectuée sur une démographie dont :

- l’âge moyen est de 45 ans ; - le nombre d’adhérents est réparti en 33% d’hommes, 32% de femmes et 35%

d’enfants ; - 45% de salariés adhérant avec un conjoint ; - les collèges contractuels se sont concentrés sous 3 catégories principales :

« cadre », « non cadre » et « ensemble du personnel » ; - les bénéficiaires sont répartis dans 24 départements en France.

Les remboursements Assureur se sont effectuées sur 10 grandes familles d’actes dont la majorité (96%) de remboursements se sont répartis sur 5 familles d’actes telles que : l’optique, les actes médicaux courants, le dentaire, l’hospitalisation et la pharmacie.

L’analyse sur le remboursement Assureur a été également faite suivant des variables explicatives telles que : la tranche d’âge, le sexe, la situation de famille, le collège, la région et le motif d’adhésion. Les résultats obtenus sont les suivants :

- en fonction de la tranche d’âge : les remboursements sont proportionnels à la tranche d’âge ; plus l’assuré est âgé, plus le remboursement est élevé (sauf la tranche des adolescents où il y a un pic de dépense due à l’orthodontie, l’optique…) ;

- en fonction du sexe : la dépense est en ordre décroisant comme suit : femme, homme, enfant ;

- en fonction de la situation de famille : les remboursements sont proportionnels au nombre d’adhérents ;

- en fonction du collège contractuel : le collège « cadre » dépense plus que celui « ensemble du personnel » puis « non cadre » ;

- en fonction de la région : les remboursements sont plus élevés dans les grandes villes; - en fonction du motif d’adhésion : l’adhérent facultatif consomme d’avantage.


PARTIE 4 : LES MODELISATIONS


Nous étudions dans cette partie, la façon dont les modèles linéaires généralisés sont appliqués à nos données. Notamment, on se penche sur les modélisations des variables à expliquer que sont le coût des sinistres remboursé par « Assureur » et la fréquence annuelle, ainsi que les paramétrages nécessaires à la prise en compte des variables explicatives.

Chapitre 1. La modélisation des variables à expliquer

Les modélisations sont effectuées sous R. Le choix des lois des variables est fait en observant les graphiques et en analysant les résultats du test « Kolmogorov-Smirnov ». La loi théorique retenue est celle qui interprète au mieux la loi empirique, autrement dit, la loi qui ajuste au mieux le graphique et donne la meilleure p-value du test « Kolmogorov-Smirnov ».

Section 1.1. La modélisation du coût des sinistres 1.1.1. Le choix de variables pour modéliser le coût des sinistres

Le tarif est déterminé en multipliant le coût moyen en charge par l’Assureur et la fréquence. Pour modéliser le coût moyen, nous avons 2 possibilités dont nous allons analyser les avantages et les inconvénients :

� Modélisation des frais réels.

Nous modélisons dans un premier temps les frais réels de dépense, le coût pris en charge par l’Assureur est déduit ensuite par la formule:

Quelles variables faut-il

choisir pour modéliser

le coût de sinistre ???

Remboursements

Assureur ?

Frais

réels ?


Remboursement Assureur = min (Νv_garantie , FRêëìéí�îé – Rbt_SS – participation forfaitaire).

où :

Νv_garantie : le niveau de garantie contractuel en complément du remboursement de la Sécurité Sociale.

Rbt_SS : le montant de remboursement de la Sécurité Sociale obtenu en multipliant la BR par le taux de remboursement. Pour simplifier le calcul, nous appliquons le taux de remboursement du cas général (par exemple 70% pour l’acte « consultation généraliste »); nous ne prenons pas en compte les taux appliqués dans les cas spécifiques (le taux déduit dans le cas de la consultation hors parcours de soins).

Les avantages :

- Permettre de connaître et de suivre l’évolution du coût réel d’un sinistre; - Faciliter de l’actualisation des coûts en cas de changement législatif ou contractuel;

L’inconvénient :

- Il faut passer une étape intermédiaire pour obtenir le coût en charge par l’Assureur. - Risque de surestimation du coût de remboursement Assureur en l’absence

d’information sur l’un remboursement de 2ème niveau et le restant à charge de l’assuré. Le frais réel comprend le remboursement de la Sécurité Sociale, le remboursement Assureur, un éventuel autre remboursement et le restant à charge de l’assuré. Les informations sur un remboursement de 2ème niveau et le restant à charge (sauf la participation forfaitaire) ne sont pas souvent connues dans la tarification d’un nouveau contrat.

- La variation des taux de remboursement de la Sécurité Sociale peut engendrer une surestimation ou une sous-estimation du coût de remboursement Assureur.

Les cas de sous-estimation se présentent essentiellement sur les consultations hors parcours de soins; en effet le remboursement de la Sécurité Sociale est à hauteur de 30% BR en lieu et place de 70% BR. Dans ce cas précis, l’Assureur devra couvrir la partie déduite de la Sécurité Sociale. Cela n’est valable que pour les contrats non responsables.

A contrario, le problème de surestimation du coût de remboursement complémentaire se pose en cas de soins spécifiques dont la Sécurité Sociale prend en charge 100%. Par exemple, les affectations de longue durée (ALD) dont la gravité et le caractère chronique nécessitent un traitement prolongé et une thérapeutique coûteuse, le ticket modérateur est exonéré.

Pour améliorer ces 2 inconvénients, nous passons à la 2ème possibilité :

� Modélisation des remboursements « Assureur »

Nous modélisons directement les montants de remboursement par l’Assureur


Les avantages :

- Obtention directe des coûts des remboursements « Assureur » sans passer par les étapes intermédiaires comme les 2 cas précédents.

- Adaptation au contexte de souscription actuelle où la majorité des contrats collectifs sont souscrits sous la forme « en complément du remboursement de la Sécurité Sociale ».

L’inconvénient :

- Difficulté de l’actualisation du coût en cas de changement législatif.

Le choix des variables à expliquer à déterminer le coût de remboursement « Assureur » est au libre choix, dépend de la politique, de l’objectif de chaque compagnie d’Assurance. Dans cette étude, je choisi la deuxième possibilité, soit modéliser directement le coût de remboursement Assureur.

1.1.2. Le choix de la loi pour le coût des sinistres

Classiquement en tarification, le coût des sinistres est modélisé grâce à une loi Gamma ou Log-Normal 17. Nous analysons l’ajustement de ces 2 lois sur les données empiriques pour choisir une des lois la plus adaptée.

Concrètement, nous modélisons ci-dessous le coût de la garantie la plus consommée pendant la période observée, qui représente d’environ 12% de la dépense « Assureur », soit le coût de la garantie « verres adulte ».

� Le coût de sinistres modélisant par la variable « Remboursement Assureur »

Grâce à la fonction « fitdistr » du logiciel R, nous trouvons facilement les périmètres pour modéliser les données empiriques suivant la loi Gamma et la loi Log-normal. Les périmètres sont les suivants :

Gamma : r � 2,89 θ � 0,008

Log-Normal :

µ � 5,59 σ � 0,67 Le graphique ci-dessous représente l’ajustement de la densité du coût des verres par la loi Gamma et la loi Log-Normal

17 Vautrin M. [2010] « Elaboration d'une méthode de tarification avec indicateurs de risque pour des contrats complémentaires santé collectifs », Mémoire d’actuaire, ISUP.


En observant le graphique, il semble que la loi Gamma ajuste mieux les observations que la loi Log-Normal. Nous passons aux graphiques de la fonction de répartition.


Graphiquement, nous constatons que les deux lois sur estiment légèrement les montants de remboursements inférieurs à 200 euros. Par ailleurs, la loi Log-Normal ajuste mieux pour les remboursements compris entre 250 et 500 euros. Au contraire, la loi Gamma est plus conforme pour les remboursements au-delà de 500 euros.

Par ailleurs, nous observons les discontinuités apparaissant sur les 2 graphiques (au point 600 euros par exemple) ; ce sont les niveaux de remboursement des contrats représentant des poids importants dans le portefeuille étudié ; autrement dit ce sont les montants de remboursement couramment effectués.

Globalement, nous constatons toujours que la loi Gamma ajuste mieux les observations que la loi Log-Normal. Les résultats du test de Kolmogorov-Smirnov nous permettent de confirmer notre constatation :

Gamma

∆� 0,2272 p-value = 0,7204

Log-Normal

∆� 0,8231 p-value = 0,4876

Effectivement, la loi Gamma donne un meilleur indice de p-value que la loi Log-Normal. La p-value obtenue par la loi Gamma est de 72%. Cela nous amène à ne pas rejeter l’hypothèse que les observations suivent une loi Gamma au seuil du risque de 28 %. En respectant le critère de p-value, nous choisissons la loi Gamma pour modéliser les coûts de remboursement des verres adulte.


Dans la suite de l’étude, nous modélisons les coûts par la loi Gamma dont les ajustements sont plus probants que la loi Log-Normal tant au niveau du graphique qu’au niveau des résultats du test Kolmogorov-Smirnov.

Après la modélisation du coût, nous passons à la modélisation de la fréquence.

Section 1.2. La modélisation de la fréquence des sinistres

� Modélisation de la fréquence de la garantie « verres adulte »

Nous avons 2 lois principales de base pour modéliser la fréquence : la loi Poisson et la loi Binomiale-Négative.

La loi Poisson ajuste bien les données empiriques dans le cas où elles ne présentent pas beaucoup d’hétérogénéité. Autrement dit, l’espérance est égale à la variance.

La loi Binomiale-Négative est une bonne alternative à la loi de Poisson en cas de sur-dispersion des données où l’espérance est supérieure à la variance.

Dans la suite de la modélisation du coût de la garantie « verres adulte », nous modélisons sa fréquence. Afin d’opérer rapidement une première sélection, on peut calculer l’espérance et la variance empiriques.

µ � 0,53 σ� � 0,52

Nous constatons que l’espérance empirique est très proche de sa variance. La loi poisson semble bien ajuster ces données. Nous procédons ci-dessous à un ajustement graphique de la loi théorique à la loi empirique grâce à la fonction « goodfit » du logiciel R, qui fournit un bon indicateur visuel de l’écart entre les lois empiriques et les lois théoriques.


Ajustement des fréquences de « verre adulte » par une loi Poisson

Les points rouges représentent la racine carrée des valeurs prédites de la loi théorique.

La valeur de la base de l’histogramme gris représente l’écart entre l’observation des données empiriques et la valeur prédite de la loi théorique. De ce fait, plus les bases de l’histogramme sont proches de l’axe des abscisses (soit 0), meilleur est l’ajustement des données empiriques par la loi théorique.

Le graphique nous montre que la loi Poisson ajuste convenablement la fréquence de la garantie « verres adulte ». Nous allons voir, dans un deuxième temps, comment la fréquence est ajustée par la loi Binomial- Négative.


Ajustement des fréquences de « verre adulte » par une loi Binomial-Négative

Au niveau du graphique nous ne constatons pas de différence entre l’ajustement de la fréquence par la loi Poisson et par la loi Binomiale-Négative.

Nous passons au test de Kolmogorov-Smirnov pour ces 2 lois

Avec le périmètre λ � µ � 0,53, les résultats Kolmogorov-Smirnov pour la loi Poisson sont les suivants :

∆ � 0,1749 p-value = 0,9673

Les résultats obtenus par l’ajustement de la loi Binomial-Négative avec les périmètres r=1 et p � �µ� � 0,65 :

∆ � 0,0967 p-value = 0,9458

La p-value obtenue de la loi Poisson est meilleure que celle de la loi Binomiale-Négative. Les p valeurs des 2 tests restent satisfaisants. Le fait de retenir la loi Poisson ou la loi Binomiale Négative ne change pas notablement les résultats.

Nous essayons de modéliser une autre garantie pour voir s’il y a des différences.

� Modélisation de la fréquence de la garantie « consultation et visite généraliste »

Première opération de la modélisation, nous calculons l’espérance et la variance empiriques

µ =2,67 σ� � 10,94


Nous constatons facilement une espérance bien inférieure à la variance, la loi Binomiale-Négative semble plus adaptée. Nous passons aux tests de graphique :

Ajustement des fréquences de « consultation généraliste » par une loi Poisson

Ajustement des fréquences de « consultation généraliste » par une loi Binomial-Négative

Effectivement, on remarque tout de suite sur le graphique que l’ajustement est bien meilleur pour la loi Binomiale-Négative que pour la loi de Poisson, les écarts avec l’axe des abscisses sont en effet très faibles.

Le test du Kolmogorov-Smirnov confirme une nouvelle fois cette constatation, on obtient les résultats suivants :


Poisson: λ � µ � 2,67 ∆ � 0,1603 , p-value = 0,1312 Binomial-Negative: r = 1, p = 0,27 ∆ � 0,0735 , p-value = 0,9368

Les résultats du test nous poussent à modéliser la fréquence de la garantie « consultation et visite généraliste » par la loi Binomiale-Négative.

Dans nos données, la majorité des actes ont des fréquences présentant une certaine hétérogénéité; la loi de Poisson semble peu adaptée. Nous décidons donc de retenir la loi Binomiale Négative pour modéliser les fréquences de l’ensemble des garanties.

Par ailleurs, en assurance, il existe le mécanisme de bonus/malus. Une personne qui n’a pas d’accident responsable une année a le droit à un rabais l’année suivante (un bonus) alors qu’une personne ayant eu un ou plusieurs sinistres subit une majoration de prime (un malus). D’un point de vue économétrique, cette solution présente un biais puisqu’elle peut insister des personnes à ne pas déclarer certains sinistres (dès lors que la majoration excède le coût du sinistre).

Un modèle dit « zéro modifié » (zero inflated) est un mélange entre une masse en 0 et un modèle classique de comptage, typiquement un modèle de Poisson, ou Binomial-Négatif pour modéliser la probabilité de ne pas déclarer un sinistre (et donc d’avoir un surpoids en 0). Ces modèles à inflation de zéro peuvent être particulièrement utiles pour prendre en compte un excès de non déclaration de sinistres, généralement attribués à une peur de perdre un niveau intéressant de bonus/malus : la perte financière associée au malus des années suivantes peut excéder l’indemnité versée aujourd’hui.

Ces modèles sont couramment plus utilisés dans l’assurance individuelle (où le mécanisme bonus/malus est populaire et les assurés sont capables de gérer leurs bilans financiers pour bénéficier d’un bonus) que dans le cadre de l’assurance collective où les risques sont mutualisés. De ce fait, nous ne tenons pas compte du modèle « zéro modifié » dans notre étude.

Après la modélisation des variables à expliquer, nous passons au paramétrage des variables explicatives.

Chapitre 2. Le paramétrage des variables explicatives

Après avoir effectué les tests de vraisemblance sur les données traitées, nous obtenons 7 variables explicatives ayant des impacts significatifs sur le coût et la fréquence, à savoir: le sexe, la tranche d’âge, le collège, la situation de famille, le niveau de garantie, le type d’adhésion et la région. De ce fait, le coût et la fréquence sont modélisés selon ces variables.

La variable « région » contient 24 régions différentes. Pour simplifier notre étude au niveau de l’interprétation des résultats, nous regroupons les régions par classe. La technique de regroupement de cette variable est présentée dans la section suivante.


Section 2.1. La classification de la variable « région »

Le regroupement est effectué par la technique de « CAH »18 comme suit :

- Dans un premier temps, nous calculons le coût moyen et la fréquence moyenne annuelle pour chaque région. Nous obtenons un tableau qui contient 24 lignes et 3 colonnes correspondant aux 24 régions et aux 3 variables « région », « coût » et « fréquence ».

- Puis, nous appliquons la technique CAH (présentée dans la partie 2, chapitre 4) sur les données de l’étape précédente. Nous obtenons les résultats ci-dessous :

- En observant le dendrogramme, nous constatons que les classes regroupées sont les plus éloignées au point « 1.25 ». Nous coupons donc le dendrogramme à ce point précis (ligne rouge) où nous obtenons 6 classes.

- Selon le dendrogramme, nous observons que « DOM-TOM » et « NON RENSEIGNE » appartiennent à la même branche. Pour que le regroupement soit le plus affiné, on réunit « DOM-TOM » et « NON RENSEIGNE » dans une même classe. Ainsi, nous obtenons 5 classes définies comme suit :

18 Classification Ascendante Hiérarchique, présentée dans la partie 2, chapitre 4.


o Classe 1 (notée R1) : ALSACE et LORRAINE.

o Classe 2 (notée R2) : AQUITAINE, AUVERGNE, BASSE-NORMANDIE, BOURGOGNE, BRETAGNE, CENTRE, CHAMPAGNE-ARDENNE, FRANCHE-COMTE, HAUTE-NORMANDIE, LANGUEDOC-ROUSSILLON, LIMOUSIN, MIDI-PYRENEES, NORD-PAS-DE-CALAIS, PAYS-DE-LA-LOIRE, PICARDIE et POITOU-CHARENTES

o Classe 3 (notée R3) : CORSE, PROVENCE-ALPES-COTE-D'AZUR et RHONE-ALPES

o Classe 4 (notée R4) : ILE-DE-FRANCE

o Classe 5 (notée R5) : DOM-TOM et NON RENSEINGE.

Nous arrivons à une étape indisponible dans le paramétrage des variables explicatives, soit le paramétrage du prédicteur linéaire.

Section 2.2. Le paramétrage du prédicteur linéaire

Le coût et la fréquence sont modélisés par des variables explicatives telles que : le sexe, la tranche d’âge, le collège, la situation de famille, le niveau de garantie, la grille (pour le poste optique), le type d’adhésion et la région. Une variable contient plusieurs modalités. Par exemple, la variable « collège » contient 4 modalités telles que : cadres, non cadres, agents de maîtrise et ensemble du personnel. Pour chaque variable, nous allons prendre une modalité de référence.


Le coût et la fréquence sont exprimés sous la forme :

÷� � ø� ÷ù,�� ú ÷ù,�û � ü ©�, ý� ÷þ,�W©�� 3 �ý� W�� ÷þ,�� ü � ÷�,�þ�ú� ÷�,�� ÷�,

�� … … … � ü�� ÷�,�W�� W�� ÷�,��

A partir de ce modèle, nous construirons une matrice des explicatives X de la taille n Q p �1� où :

- n est le nombre d’individu - 1 � 1� est le nombre de p variables explicatives et un « Intercept » dont les valeurs

sont égales à 1. Cet « Intercept » nous permet d’exprimer le coût et la fréquence à partir des modalités de référence. En ajoutant cet élément, le prédicteur linéaire que nous retenons pour l’étude est quelque peu différent de ce que l’on a présenté dans la partie 2. Il devient :

η � Xβ � β� � ∑ x�,#� #� β# où :

� � T1 0 … 0U1W 0�…W 0�UW1 0X… 0XUY

X� U��

Z � [Z�ZWZU\

U��Q

Les valeurs de la matrice explicative ne prennent que les valeurs 0 ou 1 selon les valeurs des variables explicatives lui correspondant. Autrement dit, pour un individu possédant les caractéristiques des modalités de référence, toutes les valeurs du vecteur servant à le caractériser sont égales à 0. Pour un individu quelconque, chaque modalité variant de la modalité de référence est, caractérisée par la présence d’un 1 dans le vecteur.

Pour expliquer très simplement ce codage, prenons l’exemple d’un individu possédant les modalités comme suit :

- Sexe : Homme (modalité normale) - Age : 35 ans (modalité normale) - Collège : Ensemble du personnel (modalité de référence) - Situation de famille : Duo (modalité normale)

Sexe Tranche d’âge Collège Région Situ Famille

Niveau

Garantie

Adhésion

Intercept


- Niveau de garantie : Moyen (modalité de référence) - Adhésion : Obligatoire (modalité de référence) - Région : R3 (modalité normale)

Le vecteur explicatif est modélisé par:

0� = (1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)

Le vecteur des paramètres est modélisé par:

Z� = (Z�, Z, Z�, Z�, Z�, Z�, Z�, Z�)

Le prédicteur linéaire sera :

η � 0�β � β� � β � β� � β� � β� Section 2.3. Les tests d’interactions de variables explicatives

Entre les variables explicatives, il peut exister des interactions. Nous pouvons modéliser le coût des sinistres et la fréquence par les variables explicatives avec ou sans interaction. Néanmoins, les résultats obtenus varient selon le niveau d’interaction entre les variables, parfois les écarts ne sont pas négligeables, les tests d’interactions sont donc nécessaires.

Prenons un exemple, nous voulons modéliser le coût des sinistres par 2 variables « sexe » et « tranche d’âge ».

Le modèle, sans interaction entre 2 variables, est présenté comme suit :

÷� � ø� ÷ù,�� ú ÷ù,�û � �� ©�, �� ÷þ,�W©�� 3 �ý� W�� ÷þ,��

��

Intercept Age Situ Famille Adhésion

Collège Sexe Région

Niveau de

garantie

Sexe Tranche d’âge

Intercept Age Situ Famille Adhésion

Collège Sexe Région

Niveau de

garantie


Et le modèle avec l’interaction entre 2 variables, sera exprimé comme ci-dessous:

÷� �� ©�, �� ÷�þ,� � ÷úþ,� W W ©�� 3 �ý� W �W ÷úþ,�W � �� ÷�þ,� � �� ÷úþ,�ú ��

��

Nous retenons dans notre étude, 7 variables explicatives, ainsi nous pouvons avoir 21 tests d’interactions. Néanmoins, pour certaines variables, où les interactions sont difficilement interprétables et justifiables comme «région*adhésion», «collège*situation de famille »... ; nous nous sommes donc limités aux tests où les interactions entre 2 variables sont plus couramment constatées telles que:

- Sexe * Tranche d’âge, - Région * Tranche d’âge, - Collège * Niveau de garantie,

Concernant l’interaction du « Sexe * Tranche d’âge », n’ayant pas d’information sur les sexes des enfants, notre variable « Sexe» contient, en plus des modalités « Homme » et « Femme », la modalité « Enfant », le test sera gêné par le croisement de la modalité « Enfant » avec les tranches d’âge supérieures à 25 ans (âge limite d’un enfant). Nous décidons donc de ne pas tenir compte de l’interaction entre ces 2 variables.

Il nous reste à effectuer les tests pour les interactions :

- Région * Tranche d’âge, - Collège * Niveau de garantie,

Les tests sont effectués sous SAS pour chacune des garanties exprimant le coût et la fréquence. Le choix de la structure de variables (interaction ou non) est basé sur le critère de R�, qui représente la proportion de variance totale entre le modèle estimé et le modèle à expliquer. Il est déterminé par la formule:

�� ∑ +µ� 3 +��X��∑ +� 3 +��X��

où :

n : la taille de l’observation ;

+� : la valeur empirique de la ième observation ;

yµ� : la valeur estimée de la ième observation ;

Tranche d’âge*Sexe


+� : la moyenne empirique.

Plus le R� est proche de 1, mieux le modèle estimé explique les observations. Le structure de variables introduit dans le modèle est celle qui lui apporte le plus grand gain en R�.

� Tests d’interactions du coût des sinistres

o Pour les variables « Région » et « Tranche d’âge »

�� Région et Tranche

d'âge Région * Tranche

d'âge Verres adulte 0,137 0,142

Prothèses dentaires remboursées 0,013 0,014

Consultations/Visites spécialiste 0,134 0,138

Pharmacie 0,027 0,027

Monture adulte 0,031 0,033

Analyses radios 0,038 0,040

Consultations/Visites généraliste 0,101 0,105

Honoraires 0,037 0,044

Orthodontie remboursée 0,096 0,098

Frais de séjour 0,009 0,016

Auxiliaires médicaux 0,075 0,080

Chambre particulière 0,058 0,063

Lentilles non remboursées 0,090 0,121

Forfait Hospitalier 0,019 0,021

Soins dentaires 0,020 0,021

Acte technique médical 0,019 0,019

o Pour les variables « Collège» et « Niveau de garantie »

�� Collège et Niveau de

garantie Collège * Niveau

de garantie Verres adulte 0,120 0,121

















� Tests d’interactions de la fréquence

o Pour les variables « Région » et « Tranche d’âge »

�� Région et Tranche d'âge Région * Tranche d'âge

Verres adulte 0,002 0,003
















o Pour les variables « Collège» et « Niveau de garantie »

�� Collège et Niveau de

garantie Collège * Niveau de

garantie Verres adulte 0,008 0,014

















En observant les résultats des tests, les R� obtenus des modèles construits par les variables d’interaction sont meilleurs que ceux sans interaction. Cependant, sur la majorité des actes, ces écarts sont négligeables.

De ce fait, nous décidons de ne retenir que les modèles sans interaction. Cela permettra de simplifier la lecture et la compréhension des bases tarifaires pour des personnes non familières aux techniques actuarielles.

Chapitre 3. La fonction de lien et la prime pure

Section 3.1. La fonction de lien

Il est plus fréquent d’utiliser un lien logarithmique dans la tarification. En effet, la forme multiplicative donne des interprétations simplifiées dans le cas de modèles multiples.

Nous avons choisi, pour notre étude, une fonction de lien logarithmique qui nous permet de fournir une prime pure multiplicative facilement compréhensible.

Section 3.2. La prime pure

� Le modèle du coût :

En choisissant la fonction de lien logarithme, le modèle du coût devient :

ln η�ëû�� β� � ∑ x�,#� #� β# � η�ëû� � exp β� � � x�,#�

#� β#�

� exp β�� Q∏ exp x�,#� #� β#� où : β : représente le vecteur des paramètres explicatifs pour le coût p : le nombre de variables explicatives exprimant le coût

� Le modèle de la fréquence:

ln η!�"#� � α� � ∑ x�,#�##� α# � η!�"# � exp α� � � x�,#�

##� α#�

� exp α�� Q∏ exp x�,#�##� α#� où : α : représente le vecteur des paramètres explicatifs pour la fréquence


q : le nombre de variables explicatives exprimant la fréquence

Dans un modèle collectif, on a besoin de connaître le nombre de sinistres survenus sur une police d'assurance. Tarifier un contrat consiste à prédire le nombre de sinistres qui surviendront, en moyenne, l'année suivante. Or, si certaines polices n'ont été observées que sur 6 mois dans la base, il convient de pondérer la fréquence de sinistre par l'exposition. Par exemple, une police observée sur 1 an aura, en moyenne, 4 fois plus de sinistres qu'une police observée sur 3 mois. L’application de l’option « offset » dans la procédure « Genmod » nous permet de tenir compte de cet élément.

Attention, cette méthode d’estimation reste assez subjective car le principe consiste à évaluer la fréquence annuelle des sinistres sur des données observées, puis supposer que les observations sur une période incomplète suivrent la même logique. En réalité, la fréquence des sinistres est influencée par un des facteurs principaux pour lequel nous ne pouvons pas évaluer, le temps. Reprenons l’exemple précédent, une police observée sur 1 an aura, en moyenne, 4 fois plus de sinistres qu'une police observée sur 3 mois. Cette conclusion est incorrecte dans le cas où la période observée est l’hiver et le sinistre observé est le vaccin contre la grippe. Ce problème pourra être résolu en effectuant une étude sur la fréquence avec une période plus affinée (semestrielle, trimestrielle….) que la fréquence annuelle. Dans le cadre de cette étude, nous retenons l’estimation sur la fréquence annuelle.

� La prime pure o La prime pure théorique (notée PPT)

La prime pure théorique est déterminée par : PPT � coût Q fréquence

� exp β�� Q' exp x�,#�

#� β#� Q exp α�� Q' exp x�,#�#

#� α#�

� exp β� � α�� Q' exp x�,#�

#� β#� Q' exp x�,#�#

#� α#�

Selon la formule, la prime pure d’un assuré quelconque est exprimée sous forme d’un pourcentage de la prime d’un assuré de référence. Autrement dit, la prime pure d’un assuré est déterminée en appliquant les coefficients correcteurs de manière multiplicative sur la prime de base.

o La prime pure appliquée (notée PPA)

La prime pure appliquée est déterminée en pondérant la prime théorique par le poids de l’acte selon le niveau de garantie.

PPA � PPT Q poids(��"/)(�(��"


où poids(��"/)(�(��" ,est le montant de remboursement d’un acte correspondant au niveau de garantie tarifée, divise par le montant de remboursement de l’ensemble de cet acte quels que soient les niveaux de garanties.

o La prime pure

La prime pure d’un individu (notée PPI) est l’ensemble de la prime pure appliquée de tous les actes couverts

ΡΡΙ � � PPA(��"

La prime pure d’un contrat collectif (notée PP) est l’espérance de la prime pure des individus adhérant au contrat.

Nous notons n est le nombre d’adhérents, la prime pure d’un contrat est déterminée par : ΡΡΙ� PP � 1n �ΡΡΙ�

��

Section 3.3. La prime commerciale

La prime commerciale (notée PC) est la prime vendue à l’assuré, il s’agit de la prime pure à laquelle sont ajoutées la marge de l’assureur, les chargements et les taxes.

La marge de l’assureur est la marge de sécurité déterminée par l’assureur. Elle dépend de la politique propre à chaque assureur.

Les chargements sont l’ensemble des commissions d’apport de l’affaire (pour le courtier ou l’assureur dans le cas de réassurance), les commissions de l’assureur et les chargements de gestion. Les chargements peuvent être différents d’une affaire à l’autre, ils varient selon : le chiffre d’affaire, le courtier, le contexte commerciale…

La prime commerciale est déterminée par :

PC � PP Q 1 � marge� Q 1 � Taxe� 1 3 chargement�


Chapitre 4. Les résultats Section 4.1. L’interprétation des sorties SAS

� Le coût de la garantie « verres adulte »

Nous commençons notre analyse du modèle par la sélection des variables explicatives. Nous effectuons cette opération en appliquant la méthode du type « backward »19 ; commençons par un modèle complet, puis retirons les variables non significatives. Les résultats du test vraisemblance obtenus de l’analyse type 3 de la procédure « Genmod » sont ci-dessous :

La p-value de la variable « sexe » supérieure à 5% nous pousse à rejeter la signification de cette variable sur le modèle. Cela nous semble logique car le coût des verres est variable en fonction de la dioptrie et est très peu impacté par le facteur « sexe ». En respectant le critère de p-value, nous éliminons cette variable du modèle. Nous obtenons ensuite les paramètres des variables conservées :

19 c.f. la partie 2, section 2.2.6.3


Les modalités n’apparaîssant pas dans le tableau ci-dessus sont les modalités de référence, définies ci-après:

- « [40-49] » pour la variable « Tranche d’âge » ; - « R4 » (Ile de France) pour la varibale « Région » ; - « Trio» pour la variable « Situation de Famille » ; - « Non cadre» pour la variable « Collège » ; - « Moyen (+) » pour la variable « Niveau de garantie » ; - « Obligatoire » pour la variable «Adhésion » .

Les p-value sont toutes inférieures à 5%, nous pouvons en conclure que le regroupement des modalités dans chaque variable est très convenable.

Après la sélection des variables, nous arrivons à l’analyse des résidus :

La Déviance standardisée et la Pearson standardisée sont toutes les deux proches de 1. Cela nous permet de valider le modèle du coût des « verres adulte » modélisé par la loi Gamma et les variables explicatives telles que : la tranche d’âge, la région, la situation de famille, le collège contractuel, le niveau de garantie et le motif d’adhésion.

Après les résultats du coût, nous analysons les résultats de la fréquence.


� La fréquence de la garantie « verres adulte »

Nous sélectionnons dans un premier temps des variables explicatives significatives

Les résultats du test vraisemblance nous montrent que sauf la variable « niveau de garantie », toutes les variables sont significatives pour le modèle; les p value sont inférierues à 5%. Nous éliminons la variable « niveau de garanite » et passons aux résultats des paramètres des leurs modélités :

Nous constons sur le tableau des résultats que certaines modalités (flèches rouges) des variables « tranche d’âge », « Situation de famille » et « collège » ont des p-values non convenables avec le niveau de signifiance de 5%. Il est nécessaire de faire un regroupement. Il existe plusieurs techniques de regroupement, soit grouper une modalité dont la valeur estimée approximative ou ayant le même signe (soit positive, soit négative), soit grouper une modalité


ayant la p value non significative avec une modalité ayant la p-value significative… L’objectif est d’obtenir un modèle dont les p-values des modalités sont toutes inférieures à 5%. Dans ce cas, le regroupement est effectué comme suit :

- Tranche d’âge : o fusionner les tranches [30-39] , [40-49] et [50-59] sous la tranche [30-59].

- Situation de famille : o fusionner « Duo » et « Trio » par «Duo-Trio».

- Collège : o fusionner « AM » et « ANI » par « EP ».

Les résultats après le groupement :

Les p-value des modalités se sont améliorées et sont entrées dans le seuil de 5%.

Nous analysons ensuite les résidus du modèle.

La Déviance standardisée et la Pearson standardisée restent très convenables (très proches de 1). Cela nous ramène à retenir le modèle de la fréquence des verres adultes, ajusté par la loi Binomiale-Négative et les variables explicatives telles que : la tranche d’âge, le sexe, la région, la situation de famille, le collège et le motif d’adhésion.

La sélection des variables à expliquer pour les modèles du coût et de la fréquence nous conforte dans l’idée que les variables explicatives qui influent le coût et sur la fréquence ne sont pas toujours les mêmes.


Section 4.2. L’interprétation des résultats

Les modèles du coût et de la fréquence établis ci-dessus nous permettent d’obtenir les montants du coût et de la fréquence annuelle de la garantie « verres adulte » présentés dans le tableau suivant :

Pour expliquer simplement ces résultats, nous prenons un exemple pour déterminer la prime pure théorique d’un individu possédant les caractéristiques suivantes :

- Age : 45 ans - Sexe : Homme - Région : R2 - Situation de famille : Famille - Collège : Cadre - Niveau de garantie : 12% PMSS Moyen (+) - Adhésion : Facultative


� Le coût

�-û. � β�é!é�"��" Q β©��B�/�0�_â)" Q β23"y" Q β4�4") Q β5(ê�íí"3��6_5 Q β7(ì�"7ëííè)" Q β9ë|"� ��:(�(��" Q β5(�;ì<éî�ë�

� 241,70 Q 100% Q 100% Q 88% Q 97% Q 115% Q 100% Q 107% � �==,�ý € � La fréquence

Fréquence � α�é!é�"��" Q α©��B�/�0�_â)" Q α23"y" Q α4�4") Q α5(ê�íí"3��6_5 Q α7(ì�"7ëííè)" Q α9ë|"� ��:(�(��" Q α5(�;ì<éî�ë�

� 0,53 Q 100% Q 97% Q 96% Q 97% Q 103% Q 100% Q 121% � �,�� La prime pure théorique

PP � Coût Q Fréquence � 288,49 Q 0,60 � �?, �ý € En plus de l’estimation du coût et de la fréquence, le GLM nous fournit aussi les intervalles de confiance calculées par la méthode de Wald pour un niveau de confiance de 95 %. Cela nous permet d’observer la variation de la prime pure estimée, d’estimer l’intervalle du ratio S/P20 et d’ajuster la marge dans la détermination de la prime commerciale.

20 Sinistre/Prime. Il y a 3 possibilités: S/P =0 (résultat équilibré), S/P <0 (résultat bénéficiaire), S/P>0 (résultat déficitaire).


Section 4.3. L’intervalle de confiance

Les intervalles de confiance de la garantie « verres adulte » sont les suivantes :

Nous reprenons l’exemple de la section 4.2 :

- La fréquence annuelle estimée � ©0,58 ; 0,65�. - Le coût � ©244,60 ; 271,77�. - La prime pure théorique � ©141,87 ; 176,65�.


Section 4.4. La validation du modèle

� Validation graphique

Voici les graphiques des résidus « Déviance » de la garantie « verres adultes » :

• Résidus du coût


• Résidus de la fréquence

Nous constatons que les résidus observés se situent globalement autour de l’axe des abscisses et sont généralement proches de 0. Néanmoins, nous observons sur le graphique des résidus du coût quelques valeurs aberrantes qui sont un peu loin de l’axe des abscisses. En éliminant ces valeurs aberrantes, nous obtenons des résultats améliorés.

Nous passons à une notre méthode de validation « validation croisée ».


� Validation croisée

En appliquant les résultats des modèles construits sur notre « base de test », nous obtenons les résultats suivants :

Poste Prestations Prime pure estimée

S/P net estimé

S/P net min

S/P net max


3 917 619 3 840 803 102% 100% 105%

Dentaire 3 479 076 3 662 185 95% 93% 97%

Hospitalisation 2 711 997 2 824 997 96% 94% 98%

Optique 4 430 012 4 259 627 104% 101% 107%

Pharmacie 2 010 804 2 051 841 98% 96% 102%

TOTAL 16 549 508 16 639 452 99% 97% 102%

Les résultats semblent convenables, les S/P sont aux alentours de 100%. Autrement dit, les primes modélisées sont très proches des prestations réelles. Cela nous permet de conclure la robustesse des modèles.

Après les validations du modèle, nous passons à l’analyse des résultats obtenus.


Section 4.5. L’analyse des résultats 4.5.1. L’analyse de la variation de la prime pure théorique selon les

variables explicatives


L’hospitalisation est croissante en fonction de l’âge. Le saut le plus remarquable est de la tranche [20-29] à la tranche [30-39] où il y une a forte dépense en hospitalisation maternité.

Pour les actes médicaux courants, la dépense reste stable pour les tranches d’âge [0-9], [10-19] et [20-29]. A partir de 30 ans, la dépense est croissante selon l’âge. Ceci est expliqué par les dépenses en maternité, aux examens et suivis gynécologiques chez les femmes.

Comme le poste « actes médicaux courants », la pharmacie reste constante pour les assurés de moins de 30 ans. A partir de cet âge, la dépense est sensiblement croissante en fonction de l’âge.

L’optique est peu sensible à l’âge par rapport aux autres postes. Le pic de la dépense se situe à partir de l’âge de 50 ans pour lequel les problèmes de vue apparaissent clairement (verres multifocaux).

Le pic de dentaire s’explique par la forte dépense en orthodontie chez les adolescents entre 10 et 19 ans.

0%

50%

100%

150%

200%

250%

300%

[0-9] [10-19] [20-29] [30-39] [40-49] [50-59] >=60

Coefficients appliqués sur les primes pures de référence par tranche d'âge

Hospitalisation Actes médicaux courants Pharmacie

Optique Dentaire


Globalement, nous constatons sur l’ensemble de postes (sauf hospitalisation) que la dépense des femmes est plus élevée que les hommes et les enfants.

En hospitalisation, le pic de la dépense chez les enfants est dû aux hospitalisations pédiatriques, la dépense en chambre particulière et en lit d’accompagnant…

En pondérant les coefficients par sexe avec les poids des postes, nous obtenons un ordre décroissant de la prime comme suit: « Femme», «Homme », « Enfant ».

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

160%

M F O

Coefficients appliqués sur les primes pures de référence par sexe


Optique Dentaire


Pour rappel :

- R1 : ALSACE et LORRAINE. - R2 : AQUITAINE, AUVERGNE, BASSE-NORMANDIE, BOURGOGNE,

BRETAGNE, CENTRE, CHAMPAGNE-ARDENNE, FRANCHE-COMTE, HAUTE-NORMANDIE, LANGUEDOC-ROUSSILLON, LIMOUSIN, MIDI-PYRENEES, NORD-PAS-DE-CALAIS, PAYS-DE-LA-LOIRE, PICARDIE et POITOU-CHARENTES

- R3 : CORSE, PROVENCE-ALPES-COTE-D'AZUR, REUNION et RHONE-ALPES - R4 : ÎLE-DE-FRANCE - R5 : DOM-TOM et NON RENSEINGE.

Généralement, en observant le graphique, nous pouvons classer la prime par région en ordre décroissant comme suit : R4, R3, R2, R5 et R1.

Les primes sont les plus élevées dans les régions R4 et R3, représentatives des grands départements français où le niveau de vie est supérieur au celui des autres régions.

Les régions R1 (ALSACE, LORRAINE) et R5 (DOM-TOM) bénéficient de régimes spécifiques pour lesquels le niveau de remboursement de la Sécurité Sociale est plus élevé que le régime général. Par conséquent, la partie à charge par le régime complémentaire est

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

R1 R2 R3 R4 R5

Coefficients appliqués sur les primes pures de référence par région

Hospitalisation Actes médicaux courants

Pharmacie Optique

Dentaire


diminuée. C’est la raison pour laquelle les primes de ces régions moins chères par rapport aux autres régions.

Hormis le poste « Hospitalisation », les autres postes sont peu sensibles à la situation de famille.

La forte variation de la prime pure par rapport à la situation de famille sur le poste « hospitalisation » est expliquée par la « mutualisation » entre les adhérents. En effet, le coût de l’hospitalisation est souvent très coûteux, mais sa fréquence est très aléatoire; Plus les adhérents sont nombreux, plus la dépense de l’hospitalisation est mutualisée. Ceci explique l’écart (environ 30%) de la prime pure entre un assuré adhérant en isolé et celui adhérant en famille.

Pour la situation de famille «Duo», nous avons 2 possibilités : soit un assuré avec un adulte (conjoint ou ascendant), soit un assuré avec un enfant. Le fait que les coefficients de « Duo » soient plus élevés que ceux d’un « Isolé » et que la prime des enfants moins chère que celle des adultes21 nous amènent à conclure que la majorité des personnes à charge dans la structure « Duo » est adulte ( précisément forte concentration féminine). Ceci alourdit la prime « Duo » par rapport à celle d’un « Isolé ».

A contrario, concernant les «Trios » et les « Familles » pour lesquels il y a au moins un enfant à charge; les primes sont donc plus faibles que celles « Duos».

21 C.f. conclusion de l’analyse des coefficients des primes pures par sexe (page 109).

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

Isolé Duo Trio Famille

Coefficients appliqués sur les primes pures de référence par situation de

famille


Optique Dentaire


Commercialement, les primes vendues sont inversement proportionnelles aux nombres d’adhérents de la situation de famille. Concrètement, plus le personnel assuré est nombreux, plus la prime est avantageuse.

Puisque les données sur les ANIs et les AMs ne sont pas significatives, notre analyse se concentre sur les 3 catégories « ensemble du personnel », « cadre » et « non cadre » où le nombre des données nous permet d’obtenir des résultats fiables.

En observant le graphique, nous constatons que les primes les plus élevées sont réparties comme suit :

- « Cadre »: actes médicaux courants et optique dont les poids22 sont respectivement de 24% et 25% du portefeuille, soit un total de 49%.

- « Ensemble du personnel » : hospitalisation et optique dont les poids sont respectivement de 14% et 25% du portefeuille, soit un total de 39%.

- « Non cadre » : pharmacie et dentaire dont les poids sont respectivement de 14% et 21% du portefeuille, soit un total de 35%.

Avec cette analyse, nous pouvons en déduire la dépense par collège en ordre décroissant comme suit: « cadre », « ensemble du personnel », « non cadre ».

En pratique, quand on reçoit une démographie « ensemble du personnel » sans précision sur la CSP, on la tarifie, soit de façon prudentielle en tant que « cadre » où les primes sont les plus élevées, soit on répartie « ensemble du personnel » en « cadre », « non cadre », « ouvrier »… suivant l’activité de l’entreprise.

22 Cf. Partie 2, chapitre 3, section 3.2.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

EP CADRE NON CADRE

Coefficients appliqués sur les primes pures de référence par collège

contractuel


Optique Dentaire


De ce fait, afin de répondre aux critères pratiques, prudents et concurrentiels, à partir de notre tableau de coefficients, il est nécessaire de lisser les coefficients « ensemble du personnel » sur ceux des collèges précis tels que : « cadres », « non cadres », « agents de maîtrise »… (le collège « ensemble du personnel » représente 63% de notre portefeuille d’étude).

Nous constatons assurément sur le graphique que pour les postes dont le niveau de remboursement de la Sécurité Sociale est convenable, soit l’hospitalisation, l’actes médicaux courants et la pharmacie, les primes sont moins sensibles au niveau de garantie par rapport aux postes « optique » et « dentaire » pour lesquels la Sécurité Sociale rembourse très peu (considérées comme les garanties de confort).

La courbe de la pharmacie dans le graphique ne concerne que la pharmacie remboursée. Dans le cadre d’un contrat collectif (souvent le contrat responsable), le régime complémentaire est à l’hauteur de 100% TM. De ce fait, la courbe reste constante quelque soit le niveau de garantie.

Les courbes des postes « optique », « dentaire » et « hospitalisation » sont proportionnelles au niveau de garantie. Par contre, la courbe du poste « actes médicaux courants » est à la fois inversée et à la fois proportionnelle au niveau de garantie. Ceci est expliqué par le fait que la prime pure est le produit du coût et de la fréquence. On sait que le coût est très sensible (voir proportionnel) au niveau de la garantie, néanmoins, la fréquence, quant à elle, est parfois aléatoire. En effet, en plus des variables explicatives présentées dans cette étude, la fréquence peut être influencée par des éléments tels que le comportement, la psychologie de l’assuré, ou encore des éléments conjoncturels très difficiles à estimer. Quand une augmentation du coût due à une hausse du niveau de garantie ne compense pas le facteur « aléatoire » de la fréquence, ceci engendre la chute de la courbe « actes médicaux courants ».

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

[0-100) = Faible [100-200) = Moyen (-)

[200-300) = Moyen (+)

[300-400) = Fort(-)

[400-FR] = Fort(+)

Coefficients appliqués sur les primes pures de référence par niveau de

garantie


Optique Dentaire


En pratique, les coefficients appliqués pour calculer les primes commerciales sont lissés pour qu’ils soient proportionnels au niveau de garantie.

Il est évident que la prime pure pour un assuré souscrivant un contrat facultatif est plus élevée que celle d’un contrat obligatoire; car l’assuré a conscience de ses besoins. Comme le niveau de garantie, la variation de la prime pure pour le motif d’adhésion est en fonction du niveau de remboursement de la Sécurité Sociale. Moins la Sécurité Sociale rembourse, plus la sensibilité de la prime est élevée. C’est ce que l’on constate sur le graphique pour les postes « optique » et « dentaire ».

Après les analyses, prenons un exemple concret pour expliquer l’application de résultats dans une tarification d’un contrat collectif.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

160%

Facultative Obligatoire

Coefficients appliqués sur les primes pures de référence par motif

d'adhésion

Hospitalisation


Pharmacie

Optique

Dentaire


4.5.2. L’exemple d’une tarification

Nous tarifions un cahier des charges comme suit :

� Démographie

- Effectif (salarié) : 300 - Age moyen : 43 ans - Nombre d’enfants : 420 - Nombre de salariés ayant enfant : 230 - Nombre de conjoints : 160

� Sexe

- Nombre d’hommes : 120 - Nombre de femmes : 180

� Situation de famille

- Nombre d’Isolés : 40 - Nombre de Duo : 70 - Nombre de Trio : 90 - Nombre de Familles : 100

� Collège : Cadre � Région : Île de France (R4) � Adhésion : obligatoire � Garantie :

- Hospitalisation : [300-400) - Actes médicaux courants : [200-300) - Pharmacie : 100% TM - Optique : Fort (+) - Dentaire : [300-400)

Tarification :

� 1er étape : Traitement de la démographie

Nombre de conjoint Homme = (% salarié femme) * nombre de conjoint = (180/300) * 160 = 96.

Nombre de conjoint Femme = nombre de conjoint - nombre de conjoint Homme = 160-96 = 64.

Nombre de bénéficiaire Homme =nombre de salarié Homme + nombre de conjoint Homme = 120 + 96 = 216.

Nombre de bénéficiaire Femme =nombre de salarié Femme + nombre de conjoint Femme = 180 + 64 = 244.


Supposons que dans un couple, un homme ayant en moyen 3 ans plus que sa femme.

Age moyen de conjoint Homme = Age de salarié Femme + 3 = 43 + 3 = 46 ans.

Age moyen de conjoint Femme = Age de salarié Homme - 3 = 43-3 = 40 ans.

Age moyen de bénéficiaire Homme = Age de salarié Homme * % salarié Homme + Age de conjoint Homme * % conjoint Homme = 43 ans * (120/216) + 46 ans * (96/216) = 45 ans.

Age moyen de bénéficiaire Femme = Age de salarié Femme * % salarié Femme + Age de conjoint Femme * % conjoint Femme = 43 ans * (180/244) + 40 ans * (64/244) = 43 ans.

Age moyen d’adulte = (46 ans * 216 + 43 ans * 244) / (216+244) = 45 ans.

Nous avons effectué une analyse sur notre portefeuille concernant l’âge moyen des enfants par rapport aux âges des adultes, les résultats obtenus sont les suivants :

- Age moyen d’un adulte ayant son premier enfant est de 29 ans ; - Un écart de 3 ans entre les 2 enfants.

Reprenons notre exercice, en appliquant les résultats de cette analyse, nous obtenons :

Age moyen de 1er enfant = Age adulte – 29 = 45 ans – 29 =16 ans.

Age moyen de 2ème enfant = Age moyen de 1er enfant - 3 = 13 ans.

Nombre d’enfant moyen par salarié =nombre d’enfant / nombre de salarié ayant enfant = 420/230 = 1,82.

Age moyen d’enfant = (16 ans + 0,82 *13 ans) / 1,82 = 15 ans.

� 2ème étape : Calcul de la prime

En appliquant le tableau des primes de la section 4.5.1, la prime pure du poste « Hospitalisation » pour le bénéficiaire Homme est déterminée comme suit :

PP (Hospitalisation) =

271,26 Q 100% Q 88% Q 100% Q 113% Q 40 � 109% Q 70 � 100% Q 90 � 85% Q 100300Q 99% Q 101% Q 100% � 235,03

Faisons de même pour les autres postes et les autres bénéficiaires, nous obtenons les primes pures théoriques par bénéficiaire et par famille d’acte dans le tableau suivant :


Famille d’actes Garantie Homme Femme Enfant

Hospitalisation [300-400) 235 268 244

Actes médicaux courants [200-300) 176 308 140

Pharmacie TM 46 63 27

Optique Fort (+) 306 320 248

Dentaire [300-400) 374 374 484

Prime Pure Théorique par

bénéficiaire 1 137 1 333 1 143

En appliquant les poids des prestations selon le niveau de garantie par famille d’actes, nous obtenons les primes pures appliquées :

Famille d’actes Garantie Poids Homme Femme Enfant

Hospitalisation [300-400) 32% 75 86 78

Actes médicaux courants [200-300) 18% 33 57 26

Pharmacie TM 100% 46 63 27

Optique Fort (+) 46% 141 147 114

Dentaire [300-400) 22% 82 82 106

Prime Pure Appliquée par

bénéficiaire 376 435 351

Total prime pure = prime pure homme * nombre d’homme + prime pure femme * nombre de femme + prime pure enfant * nombre d’enfant = 376*216 + 435*244 + 351*420 = 334 462.

Prime pure annuelle par salarié = Total prime pure / nombre de salarié = 334 462 / 300 = 1 114,87 euros.

Avec :

- Chargements = 20% - Taxes = 13,27% - Marge assureur = 5%

Prime commerciale annuelle par salarié = 1 114,87 * (1+ 5%) * (1+13,27%) / (1-20%) = 1 657,45 euros, soit 4,56 % PASS (2012).

Ce n’est q’un simple exemple, en pratique, la tarification est effectuée de façon plus complète. La prime est déterminée par acte (pas par famille d’actes) en fonction de garantie, les coefficients des collèges sont affinés et répartis en plusieurs catégories : « cadre », « agents de maîtrise », « ouvrier », « employé »… les coefficients des tranches d’âge et des tranches de niveau de garanties appliqués sur la prime sont interpolés, car les tranches présentées dans le tableau des résultats sont larges, cela ne nous permet pas d’observer la variation de la prime en changeant l’âge ou la garantie fait partie de la même tranche.


4.5.3. Les garanties « exotiques »

Les garanties dites « exotiques » sont les garanties telles que : ostéopathie, acupuncture, étiopathie, chiropractie… non prises en charge par la Sécurité Sociale néanmoins très demandes.

Ces garanties se présentent souvent sous la formule « forfaitaire » avec un niveau de garantie précisé et un nombre de séance par an et par bénéficiaire. Pour estimer la prime pure pour ces garanties, j’ai ajouté une variable « nombre de séance par an » prenant 4 modalités :

- « 1-2 » : d’une à 2 séances par an ; - « 3-4 » : de 3 à 4 séances par an ; - « 5-6 » : de 5 à 6 séances par an ; - « >6 » : plus de 6 séances par an.

Les résultats obtenus :

Pour rappel, le niveau de garantie dans le tableau correspond aux prestations suivantes :

- Faible : la prestation est inférieure ou égale à 1% PMSS par séance; - Moyen : la prestation est supérieure à 1% PMSS et inférieure à 3% PMSS par séance; - Fort : la prestation est supérieure ou égale à 3% PMSS par séance.


Ce qui est intéressant dans la lecture de ces résultats est que la prime pure est beaucoup plus influencée par la variable « niveau de garantie » que par « nombre de séance par an ». Prenons un exemple, nous calculons la prime pour un assuré de référence avec un même niveau de prestation de 4% PMSS/an/bénéficiaire, mais la garantie est présentée différemment comme suit :

- Cas 1 : 1% PMSS (niveau faible) par séance limitée à 4 séances par an et par bénéficiaire

- Cas 2 : 2% PMSS (niveau moyen) par séance limitée à 2 séances par an et par bénéficiaire

Les primes pures du cas 1 et du cas 2 sont respectivement notées « P1 » et « P2 » et déterminées comme suit:

P1 � 53,65 Q 59% Q 65% � 20,57

P2 � 53,65 Q 100% Q 54% � 28,97

Via ces résultats, nous pouvons en conclure que plus le niveau de garantie est important, plus la prime est élevée. Effectivement, quand le niveau de garantie est haut, le restant à charge de l’assuré est moindre, ce qui l’incite plus à consommer.

4.5.4. La mise en place de grille pour les verres

En l’absence d’informations sur le niveau de garantie, la variable « niveau de garantie » d’un contrat est déduite en prenant le niveau de remboursement Assureur maximal du contrat. Ceci est surestimé pour la garantie « verres » dans le cas où le contrat possède une grille avec le niveau de remboursement variant en fonction de la correction visuelle. De ce fait, nous modifions la variable « niveau de garantie » en ajoutant les critères suivants :

- « Faible NON » : niveau de garantie « faible» sans grille pour les verres; - « Faible OUI » : niveau de garantie « faible » avec grille pour les verres; - « Moyen (-) NON » : niveau de garantie « moyen (-) » sans grille pour les verres; - « Moyen (-) OUI » : niveau de garantie « moyen (-) » avec grille pour les verres; - « Moyen (+) NON » : niveau de garantie « moyen (+) » sans grille pour les verres; - « Moyen (+) OUI » : niveau de garantie « moyen (+) » avec grille pour les verres; - « Fort (-) NON » : niveau de garantie « fort (-) » sans grille pour les verres; - « Fort (-) OUI » : niveau de garantie « fort (-) » avec grille pour les verres; - « Fort (+) NON » : niveau de garantie « fort (+) » sans grille pour les verres; - « Fort (+) OUI » : niveau de garantie « fort (+) » avec grille pour les verres;

Ceci nous permet d’analyser l’intérêt de mettre en place une grille optique pour un niveau de garantie équivalent et de répondre aux demandes très courantes du marché actuel.


Les résultats obtenus :

Nous constatons sur le graphique que la prime avecgrille. Le gain est plus important

Faible Moyen(

64%

110%

63%

100%

Coefficients appliqués sur les primes pures par niveau de garantie

Phuong NGUYEN

e graphique que la prime avec grille est moins élevée que celle sans est plus important sur le niveau de garantie fort.

Moyen(-) Moyen(+) Fort(-)

142%

178%

100%

139%

175%


NON OUI

grille est moins élevée que celle sans

Fort(+)

226%

204%



La mise en place de la grille génère un gain de prestations d’environ 14% pour tous les niveaux de garantie confondus.

Commercialement, la mise en place de la grille pour les verres permet aux assureurs:

- d’ajuster le niveau des garanties selon l’importance de la correction visuelle dans le but de répondre au plus juste aux propres besoins des assurés. Ceci diminue le restant à charge des assurés ayant une correction visuelle plus élevée.

- de responsabiliser les assurés dans leurs dépenses, avec un niveau de garantie plus affiné, l’assuré fait plus attention à ses dépenses.

- proposer des tarifs plus compétitifs.


CONCLUSION

Le mémoire présente une approche de tarification se basant sur le principe « Coût * Fréquence » où le coût et la fréquence sont estimés par le Modèle Linéaire Généralisé (GLM).

Pour l’application du GLM, les variables « Coût » et « Fréquence » doivent suivre une des lois de la famille exponentielle. Les lois retenues sont la loi Gamma pour le coût et la loi Binomiale-Négative pour la fréquence ; Ce sont les lois pour lesquelles nous avons obtenu les meilleurs résultats sur les tests par le graphique et par l’indice de Kolmogorov-Smirnov.

Le GLM nous permet de déterminer des variables explicatives qui influent le coût et la fréquence. Les variables explicatives retenues sont : la tranche d’âge, le sexe, la région, la situation de famille, le niveau de garantie et le motif d’adhésion. A noter que l’influence des variables explicatives sur les variables à expliquer ne sont pas forcément les mêmes.

Les modèles ne prennent pas en compte l’effet d’interaction entre les variables explicatives pour raison de contraintes de données et également pour éviter de présenter des modèles trop complexes aux lecteurs.

Les modèles fournissent les primes pour un assuré de référence ayant des caractéristiques précisées ; ainsi que des coefficients correcteurs sous forme de pourcentage pour les assurés autres que l’assuré de référence. Concrètement, la prime d’un assuré est déterminée en appliquant les coefficients de manière multiplicative sur la prime de référence. Ces coefficients nous permettent également d’effectuer des analyses sur la sensibilité des primes de chaque famille d’actes par rapport aux variables explicatives.

En plus de la prime estimée, le GLM fourni également une fourchette de la prime; à l’aide de l’intervalle de confiance déterminée par la méthode de Wald pour un niveau de confiance de

95 %. Cela permet à l’Assureur d’observer la variation de la prime pure, d’estimer l’intervalle

du ratio S/P et d’ajuster la marge.

Par ailleurs, l’étude présente aussi une analyse sur de nouvelles gammes de produits développées actuellement sur le marché « garanties exotiques : actes hors nomenclature » et « grille verres».

Les résultats obtenus restent convenables. Néanmoins, ils peuvent être optimisés par les études supplémentaires telles que :

- une étude sur la fréquence avec une période plus affinée (semestrielle, trimestrielle….) que la fréquence annuelle.

- une étude plus affinée sur le collège contractuel "ensemble du personnel" en décomposant plus précisément par collège "cadre", "employé" et "ouvrier"…

- une étude plus approfondie sur la garantie «grille optique » en proposant des primes en fonction de la correction visuelle.

- une étude sur la classification de l’âge, le mémoire présente un regroupement d’âge suivant une orientation commerciale, cependant la tranche retenue de 10 ans dans le mémoire semble trop large.


Par ailleurs, le GLM risque de ne pas rendre les résultats fiables pour les garanties dont les données ne sont pas suffisantes ou bien encore les garanties où les variables à expliquer ne dépendent pas de la famille exponentielle. Dans ce cas, la prime est déterminée par une des méthodes de tarification « non paramétrique » telles que :

• la Classification And Regression Tree (CART)23 ; il s’agit d’une méthode de segmentation, on répartit dans un premier temps les individus en 2 classes correspondant au critère de la modalité de la variable explicative (par exemple pour la variable « âge », on la répartit en 2 classes « plus de 40 ans » et « moins de 40 ans »). On construit dans cette première étape un premier nœud. Nous créons ensuite les nouveaux nœuds en ajoutant des critères sur le nœud créé (par exemple sur le nœud « moins de 40 ans », nous ajoutons 2 critères « plus de 20 ans » et « moins de 20 ans », ou la nouvelle variable « sexe » avec 2 modalités « Homme » et « Femme »). Les nœuds sont construits en se basant sur les critères de minimisation de la distance de χ� , de Gini ou d’Entropie ;

• la méthode classique en calculant la moyenne du coût et de la fréquence.

23 Charpentier A. & Denuit M. « Mathématiques de l’assurance non vie, Tarification et provisionnement » - ECONOMICA. Paglia A. & Phelippe-Guinvarc’h V. « Tarification des risques en assurance non-vie, une approche par modèle d’apprentissage statistique »- Bulletin français d’actuariat, décembre 2011.


BIBLIOGRAPHIE

1. Lagadec F. [2009] « Tarification d'un contrat de complémentaire santé par un Modèle Linéaire généralisé ». Mémoire d’actuaire - EURIA.

2. Vautrin M. [2010] « Élaboration d'une méthode de tarification avec indicateurs de risque pour des contrats complémentaires santé collectifs ». Mémoire d’actuaire - ISUP.

3. Moulin PJ. [2003] «Construction de bases de tarification en frais de santé». Mémoire d’actuaire - ISFA.

4. Rousset T. [2002] «La tarification de l’assurance maladie et l’avenir de la santé». Mémoire d’actuaire - EURIA.

5. GROS P. [2000] « Utilisation du modèle linéaire ». Documents océanographiques de l’Institut Océanographique de Paris.

6. IFACI (Institut français de l’audit et du contrôle internes). « La délégation de gestion en assurances de personnes ». Cahier de la Recherche.

7. DRESS (2010). Comptes nationaux de la santé. 8. OPTIMIND. « La santé » - Les dossiers techniques d’information, juin 2008. 9. Charpentier A. & Denuit M. « Mathématiques de l’assurance non vie, Tarification et

provisionnement » - ECONOMICA. 10. Paglia A. & Phelippe-Guinvarc’h V. « Tarification des risques en assurance non-vie,

une approche par modèle d’apprentissage statistique »- Bulletin français d’actuariat, décembre 2011.

Site Internet :

1. www.securite-sociale.fr. 2. www.sante.gouv.fr. 3. www.ameli.fr.


ANNEXE

L’organisation du régime général de la Sécurité Sociale

L'organisation actuelle du régime général résulte de l'ordonnance de 1967 qui instaure la séparation de la Sécurité Sociale en 5 branches :

• la branche maladie,

• la branche accidents du travail et maladies professionnelles, • la branche retraite,

• la branche famille, • la branche recouvrement.

� La branche maladie et la branche accidents du travail et maladies

professionnelles :

La Caisse nationale de l'Assurance Maladie des travailleurs salariés (CNAMTS) gère la branche maladie, qui recouvre les risques maladie, maternité, invalidité et décès et, dans le cadre d'une gestion distincte, la branche accidents du travail-maladies professionnelles.

La CNAMTS définit les orientations et pilote le réseau des organismes chargés de les mettre en œuvre :

• Au niveau local et départemental o caisses primaires d'assurance maladie (CPAM) en France métropolitaine. o caisses générales de Sécurité Sociale (CGSS) dans les départements d'outre-

mer. • Au niveau régional

o caisses d'assurance retraite et de la santé au travail (CARSAT)

� La branche retraite

La Caisse nationale d'assurance vieillesse (CNAV) définit les orientations de la branche retraite en matière d'assurance vieillesse et d'assurance veuvage.

En Ile-de-France, la CNAV gère directement la retraite du régime général et assure le calcul et le paiement des pensions de retraite.

Dans les autres régions, la CNAV délègue ce rôle :

o aux caisses d'assurance retraite et de la santé au travail (CARSAT). o à la caisse régionale d'assurance vieillesse en Alsace-Moselle. o aux CGSS dans les départements d'outre-mer.


� La branche famille

La Caisse nationale des allocations familiales (CNAF) gère différentes prestations familiales et sociales.

Au niveau local, les caisses d'allocations familiales (CAF) assurent le service de ces prestations (allocations familiales, aides à la famille, aides au logement, revenu de solidarité active, etc.).

� La branche recouvrement

L'Agence centrale des organismes de Sécurité Sociale (ACOSS) est la caisse nationale de la branche de recouvrement du régime général de la Sécurité Sociale. Elle assure la gestion de la trésorerie de la Sécurité Sociale et coordonne l'action des Unions de Recouvrement des cotisations de Sécurité Sociale et d'Allocations Familiales (URSSAF) qui, au niveau local, assurent l'encaissement des cotisations et des contributions.

Le schéma récapitulatif du régime général de l’Assurance Maladie en France

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