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Arts et Mtiers ParisTech

Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY

Cours de Mcanique des Milieux Continus

Anne scolaire 2010 2011

Michel MAYA

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12/11/2010 Mcanique des Milieux Continus Page 2

Ce cours est en constante amlioration en partie grce

aux retours que vous pouvez apporter par vos

commentaires. Ces derniers sont les bienvenus sous

forme de mails ladresse :

[email protected]

Dans le cadre des amliorations, un travail est fait

pour avoir une version multimdia sonore.

Lavancement de ce travail est consultable sur:www.mmaya.fr/MMC
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Sommaire

Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus ...................................................................................... 5

Domaine d'tude .......................................................................................................................................... 5

Hypothse de continuit .............................................................................................................................. 6

Variables d'tudes ........................................................................................................................................ 8

Rfrentiels - Rpres ................................................................................................................................ 8

Description Lagrangienne .......................................................................................................................... 9

Description Eulrienne ............................................................................................................................ 10

Drivation temporelle .............................................................................................................................. 11

Dformations d'un milieu continu ................................................................................................................. 13

Tenseur Gradient ....................................................................................................................................... 13

Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale ................................................................... 14

Etude tridimensionnelle des dformations ............................................................................................... 14

Interprtation des rsultats ....................................................................................................................... 16

Base principale ......................................................................................................................................... 18

Tenseur des dformations linaris.......................................................................................................... 18

Etude des petites perturbations ................................................................................................................ 21

Reprsentations graphiques ...................................................................................................................... 24

Conditions de compatibilit ...................................................................................................................... 26

Vitesse de dformation .............................................................................................................................. 28

Taux de dformation lagrangien .............................................................................................................. 28

Taux de dformation eulrien .................................................................................................................. 29

Interprtation du tenseur taux de dformation ......................................................................................... 30

Etat de contrainte dans les milieux continus ................................................................................................. 31

Lois de conservation .................................................................................................................................. 31Drive particulaire dune intgrale de volume ....................................................................................... 31

Thorme de lintgrale nulle ................................................................................................................... 32

Thorme de la divergence........................................................................................................................ 33

Expression gnrale dune loi de conservation ....................................................................................... 33

Contraintes dans un domaine matriel .................................................................................................... 34

Loi fondamentale de la mcanique .......................................................................................................... 34

Vecteur contrainte .................................................................................................................................... 35

Tenseur des contraintes ............................................................................................................................ 36

Equilibre dynamique ................................................................................................................................ 38Proprits du tenseur des contraintes ....................................................................................................... 41

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Lois de Comportement des milieux continus ................................................................................................. 45

Bilan des Equations ................................................................................................................................... 45Thorme de lnergie cintique.............................................................................................................. 46

Thermodynamique des milieux continus ................................................................................................. 49

Premier Principe de la thermodynamique ................................................................................................ 49

Second Principe de la thermodynamique ................................................................................................. 50

Equation de la chaleur ............................................................................................................................. 51

Thermo-lasticit linaire.......................................................................................................................... 53

Premire approche de llasticit linaire ................................................................................................ 53

Deuxime approche de llasticit linaire .............................................................................................. 55

Convention d'criture ............................................................................................................................... 57

Matriau isotrope ..................................................................................................................................... 59Matriau orthotrope ................................................................................................................................. 59

Matriau isotrope transverse .................................................................................................................... 60

Elasticit linaire ............................................................................................................................................ 62

Loi de comportement ................................................................................................................................. 62

Equations supplmentaires en lasticit .................................................................................................. 64

Equations de NAVIER............................................................................................................................. 64

Equations de BELTRAMI ....................................................................................................................... 65

Critres de limite lastique........................................................................................................................ 67Les rsultats dessai ................................................................................................................................. 67

Les diffrents critres ............................................................................................................................... 69

Les schmas de rsolution ......................................................................................................................... 72

Thorme dunicit .................................................................................................................................. 72

Schmas de rsolution ............................................................................................................................. 73

Exemple dapplication ............................................................................................................................. 73

Elasticit bidimensionnelle ........................................................................................................................ 77

Dfinition des tats plans ......................................................................................................................... 77

Fonction dAiry........................................................................................................................................ 80

Exemple dapplication: flexion simple dune poutre rectangulaire........................................................ 81

Elasticit plane en coordonnes polaires ................................................................................................. 83

Application en coordonnes polaires ....................................................................................................... 84

Quelques formules .......................................................................................................................................... 86

Elasticit linaire en coordonnes polaires ................................................................................................... 87

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Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus

Domaine d'tude

L'objectif de ce cours est de prsenter (hlas succinctement) la mcanique des milieux continus. Nous

allons trouver dans ce cours l'application du principe fondamental de la mcanique tous types de domaines

matriels. En particulier nous pourrons nous intresser aussi bien des domaines ayant des comportements

de corps solide ou des comportements de fluide (liquide ou gaz). La gnralit de ce cours apparat ainsi

vidente.

Il est noter que la distinction

entre ces diffrents tats de la matire

n'est pas vidente. Ainsi comment ne pas

s'interroger devant le phnomne de

changement d'tat liquide-vapeur-liquide

pour un cycle englobant dans lediagramme Temprature - Entropie le

point K sommet de la courbe d'bullition.

Le dictionnaire ne nous aide pas particulirement dans notre dmarche de distinction. Ainsi Le Petit

Larousse donne les dfinitions suivantes :

*Fluide Se dit des corps (gaz et liquides) qui n'ayant pas de forme propre, sont dformables

sans effort.

*Gaz Tout fluide ariforme (qui a les proprits physiques de l'air (fluide gazeux qui forme

l'atmosphre)). Un des trois tats de la matire, caractris par la compressibilit et l'expansibilit.

*Liquide Qui coule ou qui tend couler. Se dit d'un tat de la matire prsent par les corps

n'ayant pas de forme propre, mais dont le volume est invariable.

*Solide Qui a une forme propre.

Comment avec ces dfinitions trouver la frontire entre un solide plus ou moins mou et un liquide

plus ou moins visqueux? Le sable est-il un solide ou un fluide? Certaines peintures ont un comportement de

solide mais aprs brassage deviennent fluides. Le verre est un solide notre chelle de temps, mais avec lessicles, on constate que c'est un liquide trs forte viscosit. Le yaourt peut tre considr comme un fluide

mmoire. Et encore nous ne dirons rien des Alliages Mmoire de Forme (AMF).

s

kJ/K kg

T C

0

100

200

300

400

500

600

374

0 1 2 3 4 5 6 7 8

K

Compression isotherme

isentropique

Dtente

Point critiqueisobare

Echauffement

apeur

diphasiquelange

iquide

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Comme on peut le constater, la dtermination n'est pas simple et peut tre fonction de nombreux

paramtres (Pression, Temprature, Temps ...). En consquence, on peut considrer que la dmarche du

mcanicien qui consiste regrouper dans un seul enseignement l'tude mcanique de ces diffrents tats de

la matire est lgitime, mais quelle risque de se heurter de nombreuses difficults. L'tude de ces diffrents

comportements est appele la Rhologie.

Pour mener bien une tude de mcanique, la notion de rfrentiel est essentielle. D'une part, afin de

connatre les volutions cinmatiques d'un domaine matriel on devra lui associer un rfrentiel, et d'autre

part le Principe Fondamental de la Mcanique s'appuie sur l'existence d'un repre privilgi appel "Repre

Galilen".

Un repre est dfini par la donne d'une base vectorielle associe une origine. Il est noter qu'en

aucun cas il n'est fait l'obligation d'une base orthonorme. Bien videment, pour des questions de

simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais nous pourrons aussi constater que

suite aux dformations imposes notre domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notiond'orthogonalit. Le mcanicien est ainsi tout naturellement guid vers l'utilisation des notations tensorielles.

A ce sujet, il est noter que l'algbre et l'analyse tensorielle professes en mathmatique sont des

enseignements directement issus de notions mcaniciennes. Le mot tenseur ne provient-il pas du mot tension

? Ainsi on peut constater ce que la science mcanicienne a apport la connaissance des autres sciences.

Cette remarque peut aussi bien s'adapter aux mthodes de rsolutions numriques fortement issues de la

mthode des lments finis.

Hypothse de continuit

Nous allons orienter notre tude sur des domaines matriels continus subissant des transformations

continues. Dans cette simple phrase on peut constater l'importance de l'hypothse de continuit. De nouveau

le Petit Larousse ne nous est que d'un faible secours (Continu : non divis dans son tendue, non interrompu

dans sa dure).

Continuit du domaine matriel tudi.

Pour le physicien, la continuit du domaine sera traduite mathmatiquement par le fait que les

fonctions caractristiques du domaine sont des fonctions continues au sens mathmatique du terme. Ainsi, si

on considre des grandeurs physiques telles que la masse volumique, la temprature, la pression, on doit

pouvoir les reprsenter par des fonctions continues. Dj, avec cette dfinition, on peut constater qu'il existe

des limites notre tude. Ainsi nous ne pourrons pas tudier un milieu diphasique, de mme pour un

mlange eau-huile. Toutefois, il sera possible de mener bien de telles tudes en considrant n domaines

continus. On conoit que ceci ne nous mnera pas vers une simplification.

De plus il est noter que la continuit parfaite d'un domaine matriel n'existe pas. Ainsi, sans aller

une dfinition atomique de la matire, les moyens d'investigation tels que les microscopes (lectroniques ounon) montrent clairement que la matire est faite de juxtaposition d'lments ne possdant pas les mmes

caractristiques. De fait la continuit du domaine matriel ne pourra qu'tre une approximation. Suivant le

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degr de respect ou de non-respect de cette hypothse, notre tude sera plus ou moins entache d'erreur. Il

faut noter que malgr tout, nous pourrons utiliser ce cours pour tudier des matriaux tels que le bton, le

bois ...

Heureusement, il existe actuellement un processus dit d'homognisation qui permet de limiter les

erreurs. Ainsi les matriaux plastiques chargs de fibre de verre pourront tre traits dans le cadre de cette

tude.

Continuit de la transformation.

Comme nous le verrons ensuite, la

transformation sera essentiellement

caractrise par la donne d'un

champ vectoriel appel champ de

dplacement. L'hypothse de

continuit de la transformation va setraduire par le fait que les fonctions

scalaires du champ vectoriel doivent

tre des fonctions continues des

variables d'espaces et de temps. De

nouveau nous nous trouvons devant

une limitation de notre tude. On

peut facilement constater qu'il existe

des transformations non continues.

Ainsi les problmes mtallurgiques

de dislocation, l'apparition du

phnomne de cavitation dans les

coulements de domaine fluide et

les fissurations font clairement apparatre des discontinuits de transformation. Ces cas particuliers pourront

tre traits en considrant la notion de continuit par sous-domaines.

Rupture en mode IIIRupture en mode IIRupture en mode I

Dislocation coin

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Variables d'tudes

Rfrentiels - Rpres

L'tude d'un domaine matriel impose que l'on procde sa description et son reprage tout au long

de son volution au cours du temps. La notion de rfrentiel doit tre dveloppe pour prciser les

volutions.

Le rfrentiel R est li l'observateur. Il reprsente l'ensemble des points anims du mouvement de

corps rigide de l'observateur. Pour effectuer les reprages spatiaux des points matriels dans un rfrentiel R

on utilise une base vectorielle associe un point origine O. On obtient ainsi un repre R. Ce repre, anim

du mouvement de corps rigide du rfrentiel R permet de matrialiser ce rfrentiel.Pour les besoins de l'tude, on peut tre amen effectuer des changements de repre. On ralisera

ainsi la mme transformation des coordonnes spatiales sur les composantes des tres mathmatiques

(vecteur, tenseur ...) utiliss pour dcrire le domaine. Il est noter que l'on peut associer plusieurs repres

un mme rfrentiel.

Paralllement, on peut imaginer un changement d'observateur, ce qui va se traduire par un

changement de rfrentiel. On peut se reprsenter une telle transformation en associant chacun des

rfrentiels un repre. Les deux repres tant choisis de telle sorte qu'ils soient concidant un instant donn,

on examine leur volution au cours du temps.

Pour fixer les ides, prenons l'exempled'un lopin cylindrique cras par une presse.

On peut penser faire des observations

partir du rfrentiel R associ au plateau "fixe"

de la presse. La notion de fixe tant prise ici

dans le sens de non-dplacement vis vis du

rfrentiel terrestre RT. Pour effectuer ces

observations, on peut soit utiliser un repre

cartsien orthonorm RC ),,;( 321 eeeO

, soit

employer pour des raisons de symtrie

cylindrique un repre cylindro-polaireorthonorm RP ( ; , , )O e e er z

.

Mais il est tout fait pensable que, par exemple pour tudier le contact pice-plateau mobile, l'on

veuille faire des observations partir du rfrentiel R' associ au plateau mobile.

Avec cet exemple, on conoit fort bien la notion d'objectivit, c'est dire du caractre d'indpendance

vis vis de l'observateur choisi. On parle alors de phnomne intrinsque vis vis du changement de

rfrentiel. Certaines grandeurs sont objectives (dformations, contraintes, masse volumique ...), d'autre ne le

sont pas (vitesse, matrice de changement de base ...).

Enfin pour dcrire la configuration d'un domaine matriel, il est possible de choisir parmi deux types

de variables.

R'

R

e

ee

e

e

e=3 z

1r

Contact pratiquementsans frottement

Contact avecfrottement levO

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vecteur acclration :

2

2,

,dt

OMd

dt

tMVdtM t

Dans une base cartsienne orthonorme, ses composantes sont ),(),( 2

22

tXttXdt

dJ

iJ

ii

vecteur dplacement :

Souvent on prfre employer le

vecteur dplacement au lieu du vecteur position :

XxOMOMtXu tJ

0),(

On peut alors remarquer l'galit :

),(),(),( tXdtudtX

tutMV JJ

),(),(),(2

2

2

2

tXdt

udtX

t

utM JJ

Description Eulrienne

Les hypothses de continuit (milieu et transformation) imposent que les fonctions i soient des

bijections de la configuration de rfrence C0 sur la configuration actuelle Ct. Cette bijectivit impose

l'existence d'une relation inverse entre les variables de position de rfrence et les variables de position

actuelle. On a donc :X x tI I j ( , )

On constate donc qu'il est possible de changer de variables spatiales. La description dite eulrienne

consiste considrer les variables 321 xxx ,, et t comme indpendantes et les utiliser sous forme de

"variables ou coordonnes d'Euler".

Dans la description eulrienne, on ne se proccupe pas de savoir ce qu'il advient de chaque particule.

En fait on tudie ce qui se passe, chaque instant, en chaque point de l'espace.

On peut exprimer la vitesse et l'acclration en fonction des variables d'Euler :

vecteur vitesse :

dt

OMdtMV t

, avec ttxt

tXt

v kJi

J

i

i ),,(),(

vecteur acclration :

2

2

,dt

OMdtM t

avec ttxt

tXt

kJ

i

J

i

i ),,(),( 2

2

2

2

Pratiquement, on peut dire qu'en description lagrangienne, on suit le domaine dans son mouvement,

alors qu'en description eulrienne, on observe l'volution du systme en un point gomtrique fixe pour

l'observateur.

u

M

Mt

0

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Drivation temporelle

Souvent nous aurons considrer les variations d'une grandeur physique, que nous noterons A , au

cours du temps. Cette grandeur peut tre une fonction scalaire, vectorielle ou tensorielle. Nous avons donc :

),( txiaA pour une dtermination vis vis des variables eulriennes

),( tXiAA pour une dtermination vis vis des variables lagrangiennes.

On peut au niveau de cette grandeur, s'intresser deux types de variation.

Ainsi, si nous considrons un point gomtrique de l'espace, la grandeur A tant dfinie en ce point,

nous pourrons exprimer les variations en utilisant la drive partielle par rapport au temps. On appelle

parfois cette drive "drive locale". En variables eulriennes nous pouvons crire :

),(

tt

txi

aA

Cependant, les grandeurs utilises sont souvent attaches un domaine matriel (temprature, masse

volumique, vitesse ...). Il convient de considrer aussi la variation de ce domaine matriel au cours du temps.

Pour ce faire on utilise la drive totale par rapport au temps, appele "drive particulaire" (du fait que c'est

une particule que l'on suit dans son mouvement).

En reprsentation lagrangienne, puisque les grandeurs physiques sont repres vis vis de l'lment

de matire, il y a identification entre la drive particulaire et la drive locale :

AAAA

),(),( tXt

tXdt

d

dt

dII

Par contre, pour la reprsentation eulrienne, le calcul de la drive particulaire ncessite de prendre

en compte la variation du domaine dlimit par des variables xi qui sont fonctions du temps :

txtx

ttx

dt

d

dt

d i

i

ii

aaaAA ),(),(

Dans cette formule on remarque la prsence det

i

qui est la ime composante du vecteur vitesse.

D'autre part le termeix

apeut aussi tre interprt comme la composante de l'oprateur gradient appliqu

la grandeur A On peut donc crire, sous une forme gnrale :

),(.),(),( txVtxtxt

iii

aa gradA

Exemple d'application : calcul de l'acclration en reprsentation Eulrienne.

La formule prcdente donne la relation suivante :

VVt

V

dt

Vd

.grad

Soit sous forme dveloppe, dans un repre cartsien orthonorm :

ii i i

i

idVdt

Vt

Vx t

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Imaginons par exemple que l'on soit dans un vhicule automobile un vendredi soir de dpart en

vacance l'entre du tunnel sous Fourvire de Lyon. Connaissant depuis longue date le problme du

bouchon, nous avons pris la prcaution de ne pas partir trop tt. Toutefois l'approche du tunnel, nous

constatons un ralentissement. Notre vitesse diminue et bord de notre vhicule nous enregistrons une

dclration (acclration ngative). Par contre dception pour le badaud qui s'amuse regarder circuler les

voitures assis sur le bord de la route depuis une paire d'heure. En effet, comme le bouchon est en train de

sauter, la vitesse des vhicules passant en un point prcis de la route est en constante augmentation. Suite

ce phnomne d'acclration (positive), il n'y aura bientt plus rien voir.

La premire acclration (la ngative) est celle d'une particule que l'on suit dans son mouvement. En

variable de Lagrange, c'est la drive particulaire. Pour la seconde acclration (positive), on observe le

mouvement en un point fixe de l'espace et on ne considre que les variations de vitesse dues au temps : c'est

la drive locale.

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Dformations d'un milieu continu

Tenseur Gradient

Il convient de bien diffrencier la notion de dplacement de la notion de dformation. Ainsi que nous

avons dj pu le constater en faisant l'tude mcanique des solides dits indformables, il existe des champs

vectoriels de dplacement qui ne crent aucune dformation.

Autant il est facile de dfinir le champ vectoriel des dplacements, autant la notion de dformation est

dlicate bien cerner. Ainsi que nous allons le voir nous ne pourrons pas parler d'une dformation, mais de

scalaire dformation, de vecteur dformation et de tenseur d'ordre 2 des dformations. Il convient donc debien faire attention toutes ces entits.

Pour matrialiser la dformation, on tudie la transformation d'un vecteur "matriel", c'est dire d'un

vecteur ayant origine et extrmit confondus avec des points matriels. Toutefois on conoit bien que l'tat

de dformation n'tant gnralement pas homogne dans la matire, il faille utiliser des points matriels

infiniment voisins afin de bien caractriser la dformation au voisinage d'un lment matriel.

Nous sommes ainsi amens considrer la transformation suivante :

xdXd

D'autre part, nous avons les relations suivantes :),( tXx Jii ),( txX jII

Par abus de langage, et pour rester dans la tradition,

nous crirons :

),( tXxx Jii ),( txXX jII

Sous forme diffrentielle nous obtenons :

J

J

ii dX

X

xxd

et

Ces relations nous permettent de mettre en vidence les composantes d'un tenseur dfinies par :

JiJi dXFxd avecJ

i

iJX

xF

On peut donc crire :

Xdxd

F Ce qui implique :

xdXd 1F

Le tenseurF

qui apparat est appel "tenseur gradient

" ou encore "application linaire tangente

".

Il permet de caractriser les diffrentes transformations.

dX

dx

x

X

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Les composantes de ce tenseur peuvent tre calcules partir du champ de dplacement en

diffrenciant la relation suivante :

XxOMOMtXu tJ

0),(

On a donc :J

iiJ

j

iiJ

X

u

X

xF

UGradF XdUXdXdXdxd GradF

Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale

Les quations de la transformation sont

les suivantes :

333

222

111

Xx

Xx

Xx

On peut donc dfinir le tenseur gradient

:

3

2

1

00

00

00

F

On a alors pour la variation d'un volume infinitsimal unitaire :

03210 1 dvdvdv

Cette expression est le cas particulier d'une formule plus gnrale :

0dvJdv avec Fdet),,(

),,(321

321 XXXDxxxDJ

Etude tridimensionnelle des dformations

D'aprs l'tude prcdente, on serait tent de croire que le tenseur F est suffisant pour reprsenter

l'tat de dformation d'un domaine matriel. En effet il permet de bien faire apparatre les diffrences entre

les deux vecteurs dX

et dx. Il semble mme que la diffrence entre ces deux vecteurs soit associer

directement au champ de dplacement. En effet nous avons :

XdUXdXdXdxd

GradF

On pourrait alors conclure que le tenseur gradient du champ de dplacement est le tenseur qui suffit

caractriser les dformations d'un domaine matriel. Cette conclusion est errone, car il existe des cas de

dplacement d'un domaine matriel qui respectent la notion de solides indformables alors que le tenseur

gradient du champ de dplacement est non nul. On peut par exemple imaginer le phnomne de rotation

autour d'un axe. Il faut donc dfinir proprement un tat de dformation.

Pour caractriser les dformations d'un domaine matriel, il faut en fait considrer les variations entre

deux configurations de la distance existante initialement entre deux points matriels arbitraires. Hlas cettenotion de distance n'est pas simple mettre en uvre et on prfre considrer les variations de deux vecteurs

"matriels". Mathmatiquement, cela revient examiner les variations du produit scalaire de ces deux

X

X

X

x

x

x

2

3

1

3

2

1

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Ce tenseur est le tenseur des dformations de Green-Lagrange.

C'est aussi un tenseur symtrique. On peut remarquer qu'il est identiquement nul dans un mouvement

de corps solide IC . Ses composantes sont :

J

K

I

K

I

J

J

IIJkJkIIJ

X

u

X

u

X

u

X

uFFE

2

1

2

1

On dira que la dformation du systme est homogne si le tenseur des dformations E ne dpend pas

des coordonnes spatiales de rfrence XI.

Remarque

De la mme faon que l'on dfinit le produit scalaire '.dxdx partir du produit scalaire 'XdXd

, on

peut, de manire tout fait symtrique, dfinir le produit scalaire 'XdXd

partir du produit scalaire

'.dxdx .On aura alors les relations suivantes :

''. 1 xdxdXdXd B avec TFFB : Tenseur de Cauchy-Green gauche.

'2'.'. xdxdXdXdxdxd

A

12

1 BIA Tenseur des dformations d'Euler-Almansi.

Le tenseur des dformations d'Euler-Almansi et le tenseur de Cauchy Green gauche sont des tenseurs

eulriens, symtriques.

D'autre part, il est possible de dmontrer la relation suivante :11)( FEFA T

Soit en composantes :

KLLjKiijEFFA 11

Interprtation des rsultats

Variation de longueur :

Prenons un vecteur "matriel" de longueur initiale dX orient selon une direction unitaire

N

au voisinage d'un point 0M . Nous pouvons crire :

NdXdX

La transformation nous donne alors :

ndxdx

Il est noter que le vecteur obtenu non seulement n'a pas la mme longueur que le vecteur initial, mais

qu'en plus il ne garde pas la mme orientation.

On peut alors dfinir l'allongement (ou la dilatation linaire) au point 0M dans la directionN

dXdXdx

NM

;0

C'est en fait la variation relative de longueur de notre segment initial.

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A partir des tenseurs prcdents, nous pouvons crire :

NNdXXdXddxxdxd CC 22.

1)2(1;0

NNNNdX

dXdxNM

EIC

En effet nous avons la relation :

dXNNdXdXCxdxddx JIIJ 21

21

21

C

Ainsi, dans le cas particulier de la directionE1, on obtient :

12111; 11111110 ECEEEM

C

De mme, on peut dfinir le glissement (ou la distorsion angulaire) au point 0M dans les directions

initialement perpendiculaires N

et M

:

),(,;

mnMNM

20

Cette entit correspond la

variation d'un angle choisi initialement

droit. Pour la calculer, on utilise les

proprits du produit scalaire entre deux

vecteurs, qui dans la gomtrie

euclidienne fait apparatre le cosinus de

l'angle form entre ces deux vecteurs. On

a ainsi :

sin'

')',cos(

dxdx

xdxdxdxd

D'o :

)(1)(12sinsin,;0

MNMNArc

MMNNMNArcMNM

E

CCC

Par exemple, pour les deux directions orthogonalesE1et

E2 , on aura :

2211

12

2211

1221

2121

2sinsin,

EE

EArc

CC

CArcEE

Enfin, il est possible d'obtenir la dilatation volumique ou variation relative de volume :

dv dVdV

dX

dX'

dx

dx' (N,M)

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Base principale

Comme le tenseur de Green Lagrange C est un tenseur symtrique, sa reprsentation matricielle est

symtrique dans tout repre. On a en fait affaire une application bilinaire symtrique. Il existe alors une

base de vecteurs

IIIIII EEE

,,dans laquelle la reprsentation matricielle de l'application est une matrice

diagonale. On dit que l'on a la base propre ou base principale.

Les vecteurs de cette base sont appels les vecteurs propres de l'application. En mcanique, nous

parlerons plus facilement de directions principales.

Donc dans cette base, nous avons :

iIII

II

I

EC

C

C

00

00

00

C

Un volume lmentaire construit selon cesdirections et de cots

IIIIII dXdXdX ,, est transform en un

volume paralllpipdique (pas de glissement) de cots

IIIIII dxdxdx ,, . On peut alors calculer la variation relative

de volume :

dV

dVdv

On a d'autre part les relations :

IIIIII dXdXdXdV et IIIIII dxdxdxdv

Avec par exemple :

III dXCdx

On obtient donc :

dVCCCdXCdXCdXCdvIIIIIIIIIIIIIIIIII

dVdv )det(C

On fait ainsi apparatre le jacobien de la transformation :

dV

dvJ

Ce qui nous donne pour la variation relative de volume :

1J

Tenseur des dformations linaris

Comme nous venons de le voir, la caractrisation de l'tat de dformation d'un domaine matriel

passe par la dtermination de tenseurs plus ou moins compliqus. Quel que soit le choix fait au niveau des

tenseurs, on constate une non-linarit provenant essentiellement des termes du typeFFGradGrad TT UU

)( . Cette non-linarit de l'tat de dformation par rapport au champ de

dplacement complique srieusement les calculs.

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Cependant, dans de nombreux cas, on pourra linariser l'tat de dformation en faisant l'hypothse

des transformations infinitsimales. Cette hypothse, encore dnomme hypothse des petites perturbations,

se dcompose en deux ides :

* Le dplacement de chacun des points du domaine matriel est petit. On pourra ainsi

confondre l'tat actuel avec l'tat de rfrence.

* Le tenseur gradient de dplacement ne contient que des termes ngligeables devant l'unit.

Avec ces hypothses, les diffrents tenseurs dformations deviennent :

UUUU TTT

GradGradIGradIGradIFFC )()( Cauchy-Green droit

UU T

GradGradICE )(2

1)(

2

1Green-Lagrange

CGradGradIGradIGradIFFB UUUU TTT

)()( Cauchy-Green gauche

EGradGradBIA TUU )(2

1)(

2

1 1 Euler-Almansi

On remarque donc qu'il y a une identification entre les descriptions lagrangienne et eulrienne.

Ainsi que nous l'avons dj constat, ce sont les tenseurs de dformation de Green-Lagrange et

d'Euler-Almansi qui, plus que les tenseurs de dformation de Cauchy-Green, reprsente l'tat de dformation

en un point. En effet dans un dplacement de corps solide indformable, les tenseurs de dformation de

Green-Lagrange et d'Euler-Almansi sont nuls, alors que les tenseurs de dformation de Cauchy-Green sont

confondus avec le tenseur identit.

On convient de dire que, dans le cas de petites perturbations, l'tat de dformation est reprsent par

le tenseur des dformations linaris dfini par :

AEGradGrad TUU )(2

1

Ce qui nous donne pour les coordonnes cartsiennes :

ij

i

j

j

i

I

J

J

IIJ

x

u

x

u

X

u

X

u

2

1

2

1

Ce nouveau tenseur est en fait la partie symtrique du tenseur gradient. Pour traiter de nombreuses

applications, il peut tre fait l'usage de la partie antisymtrique du tenseur gradient. Les relations sont les

suivantes :

T

T

T

U

U

UU

UU

)(

)(2

1

)(21

Grad

Grad

GradGrad

GradGrad

Lemploi du tenseur des dformations en lieu et place du tenseur de Green Lagrange E ou du

tenseur dEuler Almansi A est une simplification importante car on obtient une linarisation des

dformations vis vis du champ de dplacement. En effet si lon considre deux champs de dplacement aU

et bU

, on peut crire :

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baba UUUU GradGradGrad On en dduit alors la relation :

baba

UUUU

Interprtation gomtrique

Avec ce qui prcde nous pouvons crire :

XdXdXdxd

XdUXdXdXdxd

gradF

Supposons que Xd

reprsente, dans la configuration initiale, deux points 0M et 0'M . Le vecteur xd

reprsentera alors, dans la configuration actuelle les deux points tM et tM' , transforms des deux points

initiaux dans le champ de dplacement.

On a alors les relations suivantes :

tttt

tt

tt

MMMMMMMM

MMMUMMMU

MMxdMMXd

0000

0000

00

''''

'''

''

Ce qui nous permet dcrire :

XdXdMUMU

00'

De plus, on peut montrer qu un tenseur antisymtrique

du second ordre, il est possible dassocier un vecteur de tel sorteque lon puisse remplacer le produit tensoriel par un produit

vectoriel :

XdXd

Ainsi , au voisinage du point 0M , le champ de

dplacement se prsente sous la forme suivante :

XdXdMUMU

00'

On peut reconnatre les composantes dun champ de dplacement de solide indformable avec une

translation 0MU et une rotation Xd

. Le reste reprsente donc la dformation du solide. Cest

pourquoi le tenseur est appel tenseur de dformation.

Remarques

Il existe malheureusement des cas d'tudes qui ne respectent pas l'hypothse de petites perturbations.

On trouve en particulier le non-respect de cette hypothse simplificatrice dans des oprations de mise

en forme imposant la fois de grands dplacements et de grandes dformations. Mais on peut aussi trouver

des applications qui ne respectent pas que l'une des conditions. Ainsi, en robotique, on est souvent confront des problmes de grands dplacements, mais dans chacun des lments, on peut considrer que les

dformations sont trs faibles.

M0 M0

Mt

Mt

0MU 0MU

dX

dX

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On peut donc donner une nouvelle dtermination du tenseur des dformations linaris :

iE

EEEEE

EE

E

EE

EEEEE

)(

2

),(

2

),(2

),(

)(2

),(2

),(

2

),()(

M

33231

32

2

21

31211

Dune faon plus gnrale, si on considre deux vecteurs unitaires orthogonaux

0.;1 baba

, on peut crire :

aaaaaM

; dilatation linaire dans la direction a

abbabaM 22,;

distorsion angulairede langle droit form entre les directions a et b

Dune manire gnrale, on dfinira le vecteur dformation pure au point Mdans la direction unitaire a par

la relation :

aMaMDp ;

On peut aussi remarquer que, du fait de la symtrie du tenseur de dformation, on a :

abbabaMab

222,;

En ce qui concerne la variation relative de volume, on obtient :

UdivX

utrJ

dV

dVdv

I

I

1

Directions principales ; dformations principales

La matrice reprsentant l'tat de dformation linaris tant une matrice relle symtrique, on peut

dfinir ses directions principales (vecteurs propres) et les valeurs des dformations principales (valeurs

propres). Du fait de la forte dpendance entre le tenseur des dformations de Green Lagrange et le tenseur

des dformations linaris, il y a identification totale entre les vecteurs propres des matrices associes ces

deux tenseurs.Pour le tenseur , les relations sont les suivantes :

III NN .

Avec comme reprsentation dans la base principale :

IIII

II

I

N

00

00

00

Comme le tenseur des dformations linaris est symtrique, si les trois dformations principales sont

diffrentes, il existe trois directions principales orthogonales deux deux.

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Si deux dformations principales sont distinctes, il y a alors une direction principale associe la

troisime dformation principale. Toute direction orthogonale cette direction principale est principale. Si

les trois directions principales sont identiques, toute direction est principale. On dit alors que le tenseur est

sphrique.

La dtermination des valeurs des directions principales de dformation conduit aussi la

dtermination de trois invariants scalaires du tenseur. En effet, comme pour tout tenseur du second ordreT ,

le calcul des valeurs propres passe par l'annulation du polynme caractristiqueT

( ) . Ce polynme est

obtenu par le dterminant de )-( IT .

On a donc :

IIIIII TTT 23

T -=)-(det)(P IT

Les termes T T TI II III , , reprsentant les invariants fondamentaux du tenseur T :

T

TTT

det2

1 22

III

II

I

T

trtrT

trT

Etat dviatorique :

Pour un tenseur du second ordre quelconque, il est toujours possible de le dcomposer sous forme

dune somme de deux tenseurs de tel sorte que lun soit sphrique et que lautre ait une trace nulle. Les

formules sont les suivantes :

STDIITSDST 3/3/)( iiTtr Dans le cas du tenseur de dformation, le tenseur sphrique associ change le volume sans changer la

forme alors que le tenseur dviateur change la forme volume constant (la trace est nulle donc pas de

variation relative de volume).

D

S

S D

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IIN

IN

IIIN

nA

Reprsentations graphiques

La notion de tenseur tant relativement dlicate apprhender, on recherche souvent des solutions

plus parlantes pour reprsenter un tat tensoriel. Il existe, pour des tenseurs de second ordre dun espace

vectoriel de dimension trois, des reprsentations graphiques, soit tridemensionnelle, soit plane, qui

permettent de tirer quelques enseignements.

Imaginons que lon connaisse un tenseur symtrique, coefficients rels, T par ses composantes dans

la base principale :

iIIIII

I

NT

T

T

00

00

00

T

Considrons un vecteur unitaire quelconque : ii Nnn

On peut alors calculer le vecteur obtenu dans la direction n

:

nnA

T)(

Dans la base principale, les composantes de ce vecteur sont :

ii

NAnA

avec

33

22

11

nTA

nTA

nTA

III

II

I

Dautre part, comme le vecteur n

est unitaire nous avons :

2

2

3

2

2

2

2

2

12

3

2

2

2

1 1IIIIII T

A

T

A

T

Annn

Nous constatons ainsi que les composantes du vecteur A

peuvent trs bien reprsenter les

coordonnes dun point Adans lespace des vecteurs propres. Avec lquation prcdente, on peut dire que le

lieu dcrit dans lespace des vecteurs propres est un ellipsode, appel ellipsode de Lam.

Cette premire

reprsentation graphique

tridimensionnelle permet deconstater que les valeurs

propres reprsentent les valeurs

extrmales de ltat tensoriel.

Ainsi dans le cas du

tenseur de dformation, la plus

grande dilatation linaire et la

plus petite en un point sont

donnes par deux des

dformations principalesI ,

II et III .

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Par contre cette reprsentation de ltat tensoriel prsente linconvnient dtre tridimensionnelle et

donc peu aise dessiner. Il est possible dobtenir une reprsentation plane en considrant le plan form par

les deux vecteurs n

et nA

. Ce plan prsente gnralement une intersection avec le plan orthogonal au

vecteur n

. On dsigne par N la projection du vecteur nA

sur le vecteur n

, par T

le vecteur obtenu par

projection du vecteur n sur son plan orthogonal.

On a, avec des notations videntes :

tTnnAnT

nNnnAnN

.

avec N

vecteur normal et T

vecteur tangent, ttant le

vecteur unitaire associ.

Supposons que le vecteur n appartienne au plan principal form par les vecteurs III NN , , et quilprsente un angle avec la direction principale IN . On peut donc crire :

III NNn sincos

et tanaNANAnA tnIII

21

Avec les formules de changement de base, il est facile de dmontrer que lon a :

)sin(sincos)(

)cos(sincos

22

222

22

IIIIIIt

IIIIIIIIIn

TTTTa

TTTTTTa

On constate donc que dans le plan vectoriel tn, , lorsque langle varie, lextrmit du vecteur nA

parcourt un cercle dont le centre a

0

2;III

TTpour coordonnes. Le rayon du cercle est os. Le point

extrmit dcrit le cercle en sens inverse et du double de langle de position . Le cercle ainsi obtenu est

appel cercle de Mohr dans le plan principalIII NN , . On conoit aisment quil soit ainsi possible de

construire trois cercles. La figure obtenue montre ainsi le

tricercle de Mohr de ltat tensoriel.

A partir de la reprsentation de Lam, on peut

dduire que pour une direction unitaire quelconque,

lextrmit du vecteur nA

doit se trouver lintrieur du

tricercle. Les valeurs propres formant le diamtre de plus

grand des cercles de Mohr sont les valeurs extrmales du

vecteur normal. Leur diffrence constitue la plus grande

valeur du vecteur tangent.

t

nA

n

TN

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Conditions de compatibilit

Ainsi que nous lavons constat, les diffrents tenseurs dformations sont issus de la donne dun

champ vectoriel, le champ de dplacement. Les relations permettent sans ambigit de calculer, dans un

repre quelconque, les composantes de chacun de ces tenseurs ds lors que lon connat les composantes du

vecteur dplacement.

Par contre la dmarche inverse nest pas immdiate. On conoit en effet quil soit dlicat de

remonter un champ de dplacement partir de la connaissance dun tenseur dformation.

Nous allons raisonner sur la forme linarise des dformations, donc partir du tenseur dedformation . Ce tenseur, symtrique est dtermin par 6 composantes. Il est clair que des relations doivent

exister entre ces six composantes si le tenseur reprsente un tat de dformation obtenu parti dun champ

vectoriel ayant trois composantes.

Ces relations sappelle les conditions de compatibilit et elles ne sont en fait que les conditions

dintgrabilit au sens de Cauchy pour un systme dquations diffrentielles.

Dans un systme de coordonnes cartsiennes nous avons les relations suivantes :

i

j

j

iij

i

j

j

iij

x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

2

1

Nous pouvons crire :

i

kj

j

ik

k

ij

k

j

j

k

ii

k

k

i

jk

ij

ki

j

ij

k

ij

k

kj

i

k

ij

ki

j

kj

i

k

ij

xxx

x

u

x

u

xx

u

x

u

xx

xx

u

xx

u

xx

u

xx

u

x

xx

u

xx

u

x

2

1

2

1

2

1

2222

22

Nous venons ainsi de montrer que nous sommes capables de calculer les composantes du vecteur

gradient de ij . Toutefois nous obtiendrons effectivement un vecteur gradient si le rotationnel est nul, cest

dire si nous pouvons vrifier les relations suivantes :

lk

ij

kl

ij

l

ij

kk

ij

l xxxxxxxx

22

0

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Ce sont en fait les conditions dintgrabilit de Cauchy de la diffrentielle mm

ij

ij dxx

d

.

Exprimes en fonction des composantes du tenseur de dformations ces conditions nous donnent un

systme de six quations :

0

2222

ik

lj

jk

il

il

kj

jl

ik

xxxxxxxx

Soit sous forme dveloppe :

002

002

002

2

31

1

23

3

12

321

33

2

13

31

2

2

3

11

2

2

1

33

2

1

23

3

12

2

31

213

22

2

32

23

2

2

2

33

2

2

3

22

2

3

12

2

31

1

23

132

11

2

21

12

2

2

1

22

2

2

2

11

2

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

On peut aussi dmontrer que ces conditions de compatibilit prennent la forme intrinsque suivante :

0

trgraddivdiv

T

gradgradgrad

Donc, si ces quations sont vrifies, il est possible de dterminer le champ de dplacement. La

mthode consiste calculer les composantes du tenseur antisymtrique laide des diffrentielles totales

exactes :

Puis de dterminer les composantes du champ de dplacement laide des trois autres diffrentielles

totales exactes :

jijiji dxdu

Le champ de dplacement ainsi obtenu est dfini un champ de dplacement de solide indformable

prs.

En application, nous proposons au lecteur de dfinir le champ de dplacement qui cre ltat dedformation suivant :

iexb

xbxxa

xxaxb

1

121

211

00

0

0

k

i

kj

j

ik

k

k

ij

ij dxxx

dxx

d

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Vitesse de dformation

Dans l'tude prcdente, on s'est intress aux transformations du systme entre une configuration de

rfrence 0C et une configuration actuelle tC .

Sans se soucier du chemin de dformation suivi

lors du mouvement entre ces deux configurations, on a

tudi la transformation sous un aspect purement

gomtrique, d'un tat initial vers un tat final. On

conoit trs bien que cette tude puisse convenir dans

toute transformation pour laquelle l'tat de dformationsoit une fonction d'tat (au sens thermodynamique du

terme). Peu importe alors le chemin suivi pour passer

d'un tat l'autre.

Hlas, de plus en plus frquemment, suite une

modlisation plus fine, suite une meilleure connaissance, suite des dveloppements de moyens de calcul,

il devient de plus en plus ncessaire d'tudi les volutions du systme suivant un chemin de dformation.

Nous sommes alors amens faire l'tude de faon incrmentale, c'est dire tudier la transformation entre

deux tats infiniment voisins, puis, par un processus de type intgration, en dduire le chemin rel de

dformation.

Pour caractriser les vitesses, on introduit le vecteur vitesse V M t( , ) que l'on peut considrer comme :

* fonction du temps et des coordonnes de rfrence XI (description Lagrangienne)

* fonction du temps et des coordonnes actuelles xi (description Eulrienne)

Taux de dformation lagrangien

Entre les instants tet t+ dt, un vecteur "matriel" infinitsimal dxt

se transforme en dxt dt . De la

mme manire que, pour les dformations, nous nous sommes intresss la variation du produit scalaire,

nous allons cette fois considrer sa vitesse de variation.

La vitesse de variation du produit scalaire de deux vecteurs matriels est alors :

'.2'.'.'.'. XdXdXdXddt

dXdXd

dt

dXdXd

dt

dxdxd

dt

d ECFF

'.2'. Xddt

dXdxdxd

dt

d E

Le tenseur tXtXt

tXdt

d,,,

E

EE

est appel taux de dformation Lagrangien

Il est obtenu en drivant par rapport au temps le tenseur des dformations de Green-Lagrange. C'est doncla vitesse d'volution de la dformation lorsque celle-ci est mesure partir d'un tat de rfrence initial.

dX

dx(t)

dx(t+dt)

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Taux de dformation eulrien

Etudions prsent la mme variation de produit scalaire mais en variables eulriennes. On a donc :

dt

XddXdXd

dt

XddXdXd

dt

dxdxd

dt

d '.'.'.'.

F

FFF

FF

En utilisant la relation :

xdXddt

Xdd

dt

xdd

1)( FFF

F

On obtient :

'.'.'

.'.'. 11 xdxdxdxddt

Xddxdxd

dt

Xddxdxd

dt

d

FFFF

FF

'.'. 11 xdxdxdxddt

d T FFFF

'2.'. xdxdxdxddtd D

Cette dernire relation nous permet de faire apparatre le tenseur taux de dformation eulrien D .

Il peut tre dtermin partir du tenseur gradient des vitesses.

Nous avons en effet la relation :

F FV

X

X

x

V

xLiK Kj

i

K

K

j

i

j

ij

1

Ainsi le produit1

FF dfini un tenseur L qui n'est autre que le tenseur gradient des vitesses :

V

GradL

Le tenseur D reprsente la partie symtrique du tenseur gradient des vitesses. On peut aussi faire

apparatre le tenseur W qui reprsente la partie antisymtrique.

Les relations sont les suivantes :

TT

TT

TT

txV

txV

VVtx

VVtx

],[)(

,

2

1)(

2

1,

2

1)(

2

1,

LWDGrad

LWDGrad

LLGradGradW

LLGradGradD

On montre que le tenseur W est un tenseur qui reprsente la vitesse de rotation de la matire.

Remarques

1- L'galit des produits scalaires en dfinition lagrangienne et eulrienne nous conduit

la relation suivante :

')2(.'2.'. XdXdxdxdxdxddt

d

ED

On peut alors en dduire la relation :

CFDFE 2

1 T

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Ainsi les drives par rapport au temps des tenseurs lagrangiens dcrivant la dformation sont

directement relies au tenseur des taux de dformation. Il n'en va pas de mme pour les tenseurs eulriens.

Par exemple pour le tenseur de Cauchy-Green gauche, on a :

TTTTTTT LBBLLFFFFLFFFFFFB

2- Si l'on considre la transformation infiniment petite entre les configurations tC et

dttC , en prenant la configuration tC comme configuration de rfrence (on parle alors de description

lagrangienne ractualise), le dplacement est alors :

dttxVtxud ),(),(

Le tenseur de dformation est alors dans une forme linarise :

dtVdVdududd TT )()(2

1)()(

2

1 GradGradGradGrad

dtd D

Ainsi, le tenseur D apparat comme le tenseur "tangent" aux dformations, partir de laconfiguration actuelle. Cette description est souvent utilise en calcul numrique, car on ractualise souvent

la configuration de rfrence chaque pas de calcul.

3- Dans le cadre des transformations infinitsimales, )( ud

Grad peut tre considr

comme un infiniment petit. On a donc :

ED Les tenseurs des taux de dformations lagrangien et eulrien peuvent tre confondus.

Interprtation du tenseur taux de dformation

Cette interprtation est tout fait similaire celle des tenseurs de Cauchy-Green droit C et

des dformations de Green-Lagrange E .

Taux de dilatation linaire

En considrant par exemple les deux vecteurs dx

et dx' confondus, de longueur dl et dans la

direction 11 ' EdlxdxdE

, on obtient :

2

11

2

2'2.'. dlDxdxddt

dldxdxddt

d

D

Ainsi, D11 est le taux de dilatation linaire (ou encore taux d'allongement ou vitesse d'extension )

dans la directionE1.

Taux de glissement

Nous devons cette fois prendre les deux vecteurs dxet dx

' dans deux directions orthogonales.

En les supposants norms 21 ', ExdExd

, nous avons :

122'2.'. Dxdxdxdxddt

d

D

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Etat de contrainte dans les milieux continus

Lois de conservation

La mcanique des milieux continus repose sur des lois ou des principes de la physique. Tout le

monde pense bien entendu immdiatement au principe fondamental de la mcanique, mais il ne faut en

aucun ngliger les autres lois constates. Lvolution dun domaine matriel sera souvent loccasion

dchange avec le milieu extrieur et ces changes sont rglements. Ainsi on conoit que les variations entreles domaines soit assujetties aux principes de la thermodynamique. Le premier principe permet de traduire la

conservation de lnergie et il se prsente sous la forme dune galit. A loppos, le second principe de la

thermodynamique ne sert qu constater limpossibilit que lon a raliser certaines transformations. Il est

alors donn par une ingalit.

A ces trois lois, il faut imprativement ajouter la loi de conservation de la masse. Souvent, en

mcanique, on oublie de traduire le fait que le domaine tudi ne transforme pas sa masse dans son

mouvement. Cela provient du fait que lenseignement traditionnel de la mcanique du solide se fait en

variables de Lagrange et que lon suit la particule (ou le domaine) dans son mouvement. Par contre, en

variables dEuler, il faut bien traduire le fait quil ny a pas de transformation de la masse du milieu tudi

mme si localement il peut y avoir une modification de la masse volumique.

Ainsi que nous allons le constater, ces lois peuvent sexprimer soit sous forme globale, cest dire

crites pour un domaine matriel, soit sous forme locale, cest dire en quation diffrentielle valable en

chaque point du domaine.

Avant de donner des expressions dune loi de conservation, il convient de complter le bagage

mathmatique en prcisant la notion de drive particulaire dune intgrale de volume et les noncs de deux

thormes importants, le thorme de la divergence et le thorme de lintgrale nulle.

Drive particulaire dune intgrale de volume

Soit un domaine D que lon suit dans son mouvement et considrons la variation entre deux instants

infiniment proche de lintgrale dun champ tensoriel volumique sur le domaine : D

dvdt

da

Cette variation est due deux contributions, dune part la variation propre du champ tensoriel entre

les deux instantst

aet dautre part la variation du domaine entre les deux instants.

Pour calculer lexpression totale, dsignons par tD le domaine linstant tet par dttD le domaine

linstant t+dt. Linstant les sparants tant infiniment petit, on peut supposer quils possdent une large

intersection commune que lon dsignera par 0D .

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Ainsi le domaine linstant tse dcompose en deux sous domaines, lintersection commune 0D et la

perte de domaine D , alors que le domaine linstant t+dtse dcompose en 0D et le gain de domaine D .

On peut crire :

DDD

dtt

DDD

t

dvdttdvdttdvdtt

dvtdvtdvt

dtt

t

)()()(

)()()(

0

0

aaaJ

aaaJ

On peut alors calculer la variation :

DDD

tdtt

DDDD

tdtt

dvtdvdttdvtdtt

dvtdvtdvdttdvdtt

)()()()(

)()()()(

0

00

aaaaJJ

aaaaJJ

Mais pour les domaines D et D , laccroissement et la diminution de volume sont dus au

dplacement de la surface gnratrice. On peut donc crire :

Pour D dsndtvdsnxddv

Pour D dsndtvdsnxddv

Lintervalle de temps tant infiniment court, on a alors :

DDDD

tdtt

DDD

tdtt

dsnvtdsnvtdvt

t

dvdt

d

dt

dsdtnvtdsdtnvtdvdtt

t

)()(

)(

)()()(

0

0

aa

a

a

JJ

aaa

JJ

Dans ces expressions, D (resp. D ) reprsente la surface commune aux domaines 0D et D

(resp. D ). On peut donc en dduire la relation fondamentale suivante :

DDD

dsnvtdvt

tdv

dt

d )(

)(a

aa

Thorme de lintgrale nulle

Lnonc de ce thorme est le suivant :

Considrons un champ vectoriel volumiqueadfini et continu sur un domaine D . Si quelque

soit le sous domaine 'D inclus dans D , lintgrale du champ tensoriel sur le domaine 'D est nulle, alors le

champ tensoriel est identiquement nul.

0aa '0'

DdvD

Pour la dmonstration de ce thorme, il suffit dimaginer que le champ tensoriel nest pas nul en un

point donn du domaine D . Du fait de la continuit, il est alors possible de dfinir un domaine 'Dinfiniment petit enveloppant le point et tel que lintgrale du champ tensoriel ne soit pas nul, ce qui va

lencontre de lhypothse de dpart.

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Thorme de la divergence

Nous nous contenterons de donner, sans dmonstration, un nonc de ce thorme appel aussi

thorme de Green Ostrogradski :

Le flux dun champ tensoriel A au travers de la surface D enveloppant le domaine D est gal lintgrale de la divergence du champ tensoriel sur le domaine :

dvdivdsnDD

AA

Remarques :

Dans le cas o A reprsente un champ vectoriel constant, on obtient 0

D dsn

Dans le cas o A reprsente un champ scalaire f , on obtient dvfgraddsnfDD

)(

Expression gnrale dune loi de conservation

On peut dire que dune manire gnrale, une loi de conservation exprime un bilan dune grandeur

tensorielle A . On peut alors associer cette grandeur :

La densit volumique dans le domaine considr : a

La densit volumique produite par unit de temps dans le domaine considr : va

La densit surfacique associe au flux de A entrant travers de la frontire du domaine : sa

La loi de conservation a alors comme expression gnrale :

D

s

D

v

D

dsdvdvdt

d

dt

daaa

A

Equation qui traduit le fait que la variation de la grandeur A au cours de lintervalle de temps dtest

gale la somme de la quantit produite (algbriquement) lintrieur du domaine et de la quantit entrant(algbriquement) travers la frontire D du domaine.

Exemple : Equation de continuit

Le principe de conservation de la masse postule quil ny a ni apparition ni disparition de matire. En

consquence la variation de la masse au cours du temps est nulle :

0dt

Md

La masse peut se calculer partir de la masse volumique :0

DD

dvdt

ddvM

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On a :

nnMTnnMTn

nnMT

nn

n

,,

.,

Une contrainte normale positive traduit localement un tat de traction de la matire. Si au contraire

elle est ngative, nous avons localement un tat de compression.

Remarques

1- Les composantes du vecteur contrainte sont homognes une pression, c'est dire

qu'ils ont la dimension d'une force par unit de surface.

2- Le vecteur contrainte ainsi dfini est dtermin dans la configuration actuelle. Nous

avons ainsi une reprsentation eulrienne de ce vecteur.

3- Une autre axiomatique pourrait tre de considrer une densit de couples en plus de la

densit surfacique nMT

, et de la densit volumique tMf ,

. Cette modlisation est souhaitable en

prsence de champ magntique lev (acclrateur de particules).

Tenseur des contraintes

Le vecteur contrainte ne suffit pas lui seul pour caractriser l'tat de contrainte en un point matriel.

Sa dpendance vis vis de la direction de normale la facette montre clairement qu'il est ncessaired'envisager une autre reprsentation pour l'tat de contrainte.

Considrons par exemple une poutre droite circulaire sollicite en traction simple. Si on peut ngliger

les actions gravitationnelles, on obtient une modlisation des efforts extrieurs trs simple.

L'tude de la rpartition des contraintes en un point

donn M passe par la dfinition de plans de coupe. Pour

un plan de section droite, la rpartition de contrainte

(suppose homogne) qui permet de maintenir l'quilibre

du tronon tudi est facilement calculable.

xx ES

FEMT ,

De mme, en faisant une coupe par un plan

mridien, on peut facilement constater que la rpartition

des vecteurs contraintes pour une facette de normale E

est nulle.

0

EMT ,

Ainsi, en un mme point on peut avoir deux vecteurs contraintes totalement diffrents.

Ce qui caractrise l'tat de contrainte, c'est la relation existante entre le vecteur contrainte et ladirection de normale la facette. Pour obtenir cette relation, il suffit de considrer l'quilibre d'un domaine

matriel de forme ttradrique ayant trois faces de normales 321 EEE

,, .

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Sur chacune de ces faces, nous pouvons dfinir

le vecteur contrainte par ses projections dans le tridre

de base :

3332321313

3232221212

3132121111

EEEEMT

EEEEMT

EEEEMT

,

,

,

On utilise alors la notation suivante :

ij premier indice i indice de normale

deuxime indice j indice de projection

Avec ces notations, ii reprsente la contrainte normale pour une facette de normale iE alors que ij

(avec les indices diffrents) reprsente une composante tangentielle du vecteur contrainte pour la facette de

normale iE

.

D'autre part nous sommes amens dfinir la quatrime face de notre quadrilatre par les

composantes 321 nnn ,, de la normale n

la facette. Si on dsigne par iS l'aire de la face de normale iE

,

et par S l'aire de la surface de normale n

, on a la relation :

SnS ii

L'quilibre de notre domaine va faire intervenir aussi bien des forces de surface (associes aux

vecteurs contraintes) que des forces de volumes (associes aux efforts extrieurs). Toutefois, ces dernires

faisant intervenir des lments diffrentiels d'ordre suprieur, on peut les ngliger devant les forces de

surfaces si les dimensions de notre ttradre sont infinitsimales.

L'quation d'quilibre est donc :

321

3210SSSS

dSEMTdSEMTdSEMTdSnMT ),(),(),(),(

3322110 dSEMTdSEMTdSEMTdSnMT ),(),(),(),(

dSEMTnEMTnEMTnnMT ),(),(),(),(3322110

Or, d'aprs la dfinition du vecteur contrainte, on conoit relativement bien la relation suivante :

),(),( nMTnMT

On obtient donc :

),(),(),(),( 332211 EMTnEMTnEMTnnMT

Ainsi, la donne des vecteurs contraintes dans les trois directions de base 321 EEE

,, suffit pour

dterminer le vecteur contrainte dans une direction de facette quelconque.

nn

n

n

T(M,n)

T

T

T

1

2

3

1

2

3

M

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En utilisant les composantes 321 TTT ,, du vecteur contrainte ),( nMT

dans la base 321 EEE

,, , la

relation prcdente se met sous la forme suivante :

3333223113

2332222112

1331221111

nnnT

nnnT

nnnT

Soit en notation indicielle : jiji nT

On a ainsi dtermin les composantes ij d'un tenseur d'ordre deux dans la base 321 EEE

,, . Ce

tenseur nous permet de calculer le vecteur contrainte en M dans la direction n

grce la relation :

nnMT

),(

Ce tenseur est appel tenseur des contraintes ou encore tenseur de Cauchy. Il est fonctionuniquement du point d'tude.

La donne du champ tensoriel dans le domaine d'tude permet de connatre l'tat de contrainte en tout

points de notre domaine. Bien entendu, cette rpartition de contrainte n'est pas indpendante des

sollicitations exerces sur notre domaine. Les quations d'quilibre vont nous permettre de mettre en

vidence cette dpendance.

Equilibre dynamique

Pour crire les quations d'quilibre, il convient d'isoler un domaine matriel et de lui appliquer le

principe fondamental de la dynamique.

D'un cot de l'galit nous trouvons le torseur rsultant des efforts extrieurs. Celui-ci est la somme

de deux torseurs :

D

D

dmtMfOM

dmtMf

),(

),(

Torseur des actions extrieures (densit massique)

D

D

dSnPTOP

dSnPT

),(

),(

Torseur des actions intrieures (densit surfacique)

Le domaine d'intgration du deuxime torseur est D , c'est la surface contour dlimitant notre

domaine matriel D . C'est donc une surface ferme.

De l'autre cot de l'galit nous avons la drive par rapport au temps du torseur cintique galilen de

notre domaine

D

D

dmRtMVOMdt

d

dmRtMV

dt

d

)/,(

)/,(

g

g

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Le calcul de cette drive est compliqu par le fait que le domaine d'intgration est fonction du temps

en variable d'Euler.

Toutefois en variables de Lagrange nous obtenons le torseur dynamique :

D

D

dmRtMOM

dmRtM

)/,(

)/,(

g

g

Le Principe Fondamental de la Mcanique nous donne alors deux galits vectorielles :

D D D

DDD

dSnPTOPdmtMfOMdmRtMOM

dSnPTdmtMfdmRtM

),(),()/,(

),(),()/,(

g

g

Prsent sous cette forme, le Principe Fondamental de la Mcanique apparat bien comme une loi de

bilan.

Ainsi, dans cette galit nous trouvons avec deux torseurs ayant D comme domaine d'intgration et

le torseur des efforts intrieurs avec D comme domaine d'intgration.

En utilisant le thorme de la divergence, il est possible de redfinir D comme domaine d'intgration

du torseur des efforts intrieurs.

dvdivdSndSnPTDDD

),(

L'quation de rsultante devient alors :

dmtMfdvdivdmRtMDDD

),()/,(

g

On peut en dduire la relation suivante :

),()/,( tMfdivRtM

g

Avec masse volumique du domaine matriel au point considr.

Cette quation fondamentale est la traduction locale du principe fondamental de la mcanique. Elle

montre bien les liens entre l'tat de contrainte en un point et les sollicitations extrieures.

Il est possible d'avoir une dmonstration plus "physique" de cette quation en isolant un

paralllpipde rectangle construit avec des arrtes communes avec les axes de base.

Ce domaine infinitsimal a pour longueur d'arte 321 dxdxdx ,, .

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Nous nous trouvons en prsence des forces

suivantes :

*force de volume applique au centre de gravit de

notre domaine : 321 dxdxdxf

*force d'inertie (en mouvement relatif) applique

au centre de gravit du domaine :

321g dxdxdxRtM )/,(

*forces de surface dues aux vecteurs contraintes.

Pour une facette de normale iE

et de surface kj dxdx , la force associe est du type lkjil Edxdx

Toutefois, pour cette dernire reprsentation, il convient de bien faire attention aux points

d'application de ces forces, la valeur des contraintes il tant fonction des coordonnes de ces points.

La situation peut tre rsume sous forme d'un tableau :

Points M1 M2 M3 M4 M5 M6

Coordonne

2

2

33

22

1

/

/

dxx

dxxx

2

2

33

22

11

/

/

dxx

dxxdxx

2

2

33

2

11

/

/

dxx

xdxx

2

2

33

22

11

/

/

dxx

dxxdxx

3

22

11

22

x

dxxdxx

//

33

22

11

22

dxx

dxxdxx

//

Normale E1

E1

E2

E2

E3

E3

Aire dx dx2 3 dx dx2 3 dx dx3 1 dx dx3 1 dx dx1 2 dx dx1 2

Premire

composante

du vecteur

contrainte

11 1 2 3

11

2

2

11

3

3

2

2

( , , )x x x

x

dx

x

dx

1111

1

1

11

2

2

11

3

3

2

2

xdx

x

dx

x

dx

21 1 2 3

21

1

1

21

3

3

2

2

( , , )x x x

x

dx

xdx

2121

2

2

21

3

3

21

1

1

2

2

xdx

x

dx

x

dx

31 1 2 3

31

1

1

31

2

2

2

2

( , , )x x x

x

dx

xdx

3131

3

3

31

1

1

31

2

2

2

2

xdx

x

dx

x

dx

A l'criture des quations d'quilibres, nous pouvons constater de nombreuses simplifications. Ainsi il

nous reste les trois quations scalaires suivantes :

0

0

0

3

33

2

23

1

1333

3

32

2

22

1

1222

3

31

2

21

1

1111

xxxf

xxxf

xxxf

M

M

6

4

M5

E

E

E 1

2

3

33

32

31

23

22

21

13

12

11

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Nous obtenons donc sous forme indicielle l'quation locale d'quilibre :

),()/,( tMfdivRtM

g

L'avantage de la prsentation prcdente est qu'elle permet une utilisation rapide de l'quation dumoment dynamique. On peut tout d'abord remarquer que les forces de volume et les forces d'inertie induisent

des moments d'ordre 4, ngligeables vis vis des moments associs aux forces de surface qui eux sont

d'ordre 3.

Dans le calcul du moment des forces de surface, seules les composantes tangentielles (cissions)

donnent ces moments d'ordre 3. Une simple quation conduit alors la relation suivante :

jiij

Cette quation, appele "quation de rciprocit des cissions", entrane la symtrie du tenseur des

contraintes. Ainsi, comme le tenseur des dformations , le tenseur des contraintes ne sera dtermin

que par 6 termes. Il suffira de se donner trois contraintes normales sur la diagonale et trois contraintes

tangentielles hors diagonale.

Proprits du tenseur des contraintes

Changement de base

La relation nnMT

),( montre que le vecteur contrainte dpend linairement de la direction denormale la facette. Le tenseur des contraintes est donc une application linaire qui fait passer de n

),( nMT

.

Si on choisit une base orthonorme ),,( 321 EEE

, cette application linaire est reprsente par une

matrice dont les lments sontij . Dans une nouvelle base orthonorme )',','( 321 EEE

les nouvelles

composantes du tenseur des contraintes 'ij seront dduites des anciennes l'aide de la formule suivante :

kljlikij QQ '

Dans cette formule, les termes ijQ reprsentent la matrice de passage :

jiji EQE ' avec ikjkjikjij QQQQ

Contraintes principales

Le tenseur des contraintes tant symtrique coefficients rels, il est diagonalisable et ses valeurs

propres sont relles.

Il existe donc trois contraintes principales (valeurs propres) associes trois directions principales

(vecteurs propres). Nous avons ainsi des relations du type :

IIII EEEMT

),(

Dans la base des vecteurs propres ),,( IIIIII EEE

, la matrice reprsentant l'tat des contraintes est

diagonale

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III

II

I

00

00

00

Ainsi, dans cette base, les contraintes tangentielles sont nulles.

Gnralement, on dcompose le tenseur des contraintes en une somme d'un tenseur sphrique S et

d'un tenseur dviatoriqueD . Le tenseur dviatorique D est un tenseur ayant une trace nulle. La

dcomposition est alors unique.

On a les relations :

I

3

0

tr

trtr

tr

S

S

D

DS

La trace du tenseur des contraintes est un invariant. A partir de cette notion, on peut dfinir la

pression hydrostatique :

IIIIIItr

p

3

1

3

1

3332211

Le tenseur dviateurD est symtrique et il admet les mmes directions principales que le tenseur

des contraintes. On dit que la pression p reprsente la partie sphrique du tenseur des contraintes et que le

tenseurD reprsente la partie "cisaillement".

Invariants

Comme pour le tenseur des dformations, l'annulation du polynme caractristique montre qu'il

existe des invariants scalaires.

Ceux ci sont dfinis par :

det3

22

2

1

2

1

I

trtrI

trtrIS

soit sous forme indicielle :

IIIIIIij

IIIIIIIIIIIIijijjjii

IIIIIIii

I

I

I

det3

2

1

2

1

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Les invariants du tenseur dviateur sont :

IIIIII3

222

IIIIIIIIIIII

22

2

1

SSS

6

1SSSSSS

2

1

0

D

IIIIIIIIIIIIDD

D

I

trtrJ

trJ

det

Cercle de Mohr

Ltat de contrainte est donc reprsent par un tenseur. Ainsi que nous lavons dj vu il est possible

dobtenir une reprsentation graphique plane par cercle de Mohr.

Dans le plan de cette reprsentation, on trace le lieu de lextrmit du vecteur contrainte, en fonction

de lorientation de la normale la facette choisie au point considr. Si la normale appartient un planprincipal, ce lieu est lun des trois cercles de Mohr associs aux plans principaux. Si la normale appartient

deux plans principaux, cest dire si la normale est confondue avec une direction, alors le vecteur contrainte

est situ sur laxe de la normale, lextrmit du vecteur tant alors confondu avec le point commun aux deux

cercles de Mohr. Enfin si la normale est quelconque dans lespace des vecteurs propres, lextrmit du

vecteur contrainte se trouve lintrieur du tricercle.

Lavantage de cette reprsentation graphique rside dans la facilit de visualisation des composantes

normales et tangentielles dun vecteur contrainte. On vrifie aisment que la plus grande contrainte

principale est en fait la valeur maximale de la

contrainte normale en un point alors la valeurminimale est donne par la plus petite contrainte

principale. Pour ce qui est de la contrainte

tangentielle, la plus grande valeur est donne par la

demi diffrence entre la plus grande contrainte

principale et la plus petite contrainte principale.

Elle est obtenue pour la direction de normale qui

correspond la bissectrice du plan principal

associ la contrainte principale maximale et la

contrainte principale minimale.

Si on se donne la convention dordonner les

contraintes principales selon une dcroissance, on a :

IIIIII

2

min

IIII

MAXnIIInIMAXn

Application

Considrons une poutre droite de section circulaire sollicite en flexion pure combine avec de la

torsion. On dsigne par xE

laxe de la poutre (ligne des centres de gravit) et parzE

laxe du moment de

flexion. Il est alors possible de dmontrer que, dans le cadre des hypothses de la thorie des poutres, les

tenseurs contraintes associs ces deux sollicitations sont dans la base cylindro polaire :

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Pour la flexion :

EEE rx

,,000

000

00

avec yI

Mf

Gz

z

Pour la torsion :

EEE rx

,,00

000

00

avec rI

Mt

G

Ltat de contrainte rsultant est donc :

EEE rx

,,00

000

0

A partir de ce tenseur, il est simple de reprsenter le tricercle de Mohr. En effet, on constate aismentque le vecteur

rE

reprsente une direction principale, la contrainte principale associe tant nulle. Le plan

EEx

, est donc un plan princi

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