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Mélissa Levasseur
APPROVISIONNEMENT COORDONNÉ DE PLUSIEURS ARTICLES AVEC DEMANDE DYNAMIQUE ET
COÛT COMMUN DE COMMANDE
Essai
Présenté à la faculté des études supérieures de l’Université Laval
Pour l’obtention du grade de maître en administration des affaires (M.B.A.), cheminement gestion manufacturière et logistique
Sous la direction de M. Fayez Boctor
M. Jacques Renaud
Juillet 2003
i
TABLE DES MATIÈRES LISTE DES FIGURES ........................................................................................................................... ii LISTE DES TABLEAUX ...................................................................................................................... iii REMERCIEMENTS...............................................................................................................................v RÉSUMÉ ...........................................................................................................................................vi 1. INTRODUCTION ............................................................................................................................. 2
1.1. Mise en contexte ................................................................................................................. 2 1.2. Importance économique du problème .............................................................................. 4 1.3. Objectifs de l’essai.............................................................................................................. 6 1.4. Méthodologie....................................................................................................................... 7 1.5. Organisation de l’essai....................................................................................................... 8
2. REVUE DE LA LITTÉRATURE........................................................................................................ 10 2.1. Méthodes optimales.......................................................................................................... 12 2.2. Méthodes heuristiques ..................................................................................................... 14 2.3. Conclusion......................................................................................................................... 20
3. DÉFINITION DU PROBLÈME ......................................................................................................... 23 3.1. Concepts de base............................................................................................................... 23 3.2. Hypothèses et notations ................................................................................................... 26 3.3. Propriétés de la solution optimale................................................................................... 27 3.4. Formulations mathématiques.......................................................................................... 30
3.4.1. Coût commun de commande fixe................................................................................. 30 3.4.2. Coût commun de commande variable en paliers ........................................................ 33 3.4.3. Coût commun de commande linéaire par morceaux................................................... 35
3.5. Conclusion......................................................................................................................... 36 4. MÉTHODES HEURISTIQUES DE RÉSOLUTION ................................................................................ 38
4.1. Heuristiques proposées .................................................................................................... 40 4.1.1. Heuristique Fogarty et Barringer ............................................................................... 40 4.1.2. Adaptation proposée de l’heuristique de Silver et Meal ............................................. 43 4.1.3. Adaptation proposée de l’heuristique d’équilibrage pièce-période ........................... 46 4.1.4. Méthode d’ajout gloutonne ......................................................................................... 50 4.1.5. Méthode de réduction gloutonne................................................................................. 53
4.2. Méthode d’amélioration de Silver et Kelle...................................................................... 56 4.3. Conclusion......................................................................................................................... 57
5. ANALYSE COMPARATIVE ............................................................................................................ 60 5.1. Générateur des problèmes-tests ...................................................................................... 60 5.2. Coût commun de commande variable en deux paliers ................................................. 63 5.3. Coût commun de commande variable en trois paliers .................................................. 68 5.4. Coût commun de commande linéaire par morceaux .................................................... 72 5.5. Conclusion......................................................................................................................... 76
6. CONCLUSION .............................................................................................................................. 80 RÉFÉRENCES .................................................................................................................................. 86 ANNEXES : DONNÉES DES PROBLÈMES-TESTS ET DES RÉSULTATS (SUR CD)……..………………….
ii
LISTE DES FIGURES
FIGURE 1.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT COORDONNÉ DE PLUSIEURS ARTICLES SELON LA NATURE DE LA DEMANDE......................................................................................2
FIGURE 1.2 : COÛT DE TRANSPORT EN FONCTION DU POIDS POUR UNE MARCHANDISE DE CLASSE 100 ENTRE QUÉBEC ET NEW YORK........................................................................................................................4
FIGURE 2.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT...........................................................10
FIGURE 2.2 : HEURISTIQUE DE ATKINS ET IYOGUN (1988) ..............................................................................................16
FIGURE 2.3 : HEURISTIQUES GPPB1 ET GPPB2 DE IYOGUN (1991) ...............................................................................17
FIGURE 2.4 : HEURISTIQUE GSM2 DE IYOGUN (1991) .......................................................................................................18
FIGURE 3.1 : COÛT COMMUN DE COMMANDE FIXE........................................................................................................24
FIGURE 3.2 : COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS...................................................................24
FIGURE 3.3 : EXEMPLE D’UN COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS...................................25
FIGURE 3.4 : COÛT COMMUN DE COMMANDE LINÉAIRE PAR MORCEAUX ...........................................................26 FIGURE 4.1 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE A ..............................................39
FIGURE 4.2 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE B ..............................................39
FIGURE 5.1 : PARAMÈTRES DE LA FONCTION DU COÛT COMMUN LINÉAIRE PAR MORCEAUX ....................62
FIGURE 5.2 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS.......................64
FIGURE 5.3 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS..............................................65
FIGURE 5.4 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS.................65
FIGURE 5.5 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS........................................66
FIGURE 5.6 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS .......................66
FIGURE 5.7 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS.......................69
FIGURE 5.8 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS .............................................69
FIGURE 5.9 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALERS ..................70
FIGURE 5.10 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS ..............................70
FIGURE 5.11 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS .....................71
FIGURE 5.12 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX...........................73
FIGURE 5.13 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX...........................................73
FIGURE 5.14 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEA UX....................74
FIGURE 5.15 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX....................................74
FIGURE 5.16 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX...........................75
iii
LISTE DES TABLEAUX TABLEAU 1.1 : GRILLE DES PRIX DE TRANSPORT ENTRE QUÉBEC ET NEW YORK POUR UNE
MARCHANDISE DE CLASSE 100...................................................................................................................4
TABLEAU 2.1 : DÉVIATION MOYENNE EN POURCENTAGE PAR RAPPORT À L’OPTIMUM ................................19
TABLEAU 3.1 : COÛTS INDIVIDUELS DE COMMANDE ET DE STOCKAGE DE L’EXEMPLE ................................28
TABLEAU 3.2 : DEMANDES NETTES DE L’EXEMPLE .......................................................................................................28
TABLEAU 3.3 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT OPTIMAL DE L’EXEMPLE..............................................................29
TABLEAU 3.4 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE...............................................30 TABLEAU 4.1 : LES COÛTS DES ARTICLES ..........................................................................................................................38
TABLEAU 4.2 : LES DEMANDES NETTES dit .........................................................................................................................38
TABLEAU 4.3 : SOLUTION DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER...................41
TABLEAU 4.4 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER ........................................................................................................................................................41
TABLEAU 4.5 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER........................................................................................................................41
TABLEAU 4.6 : SOLUTION DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER...................42
TABLEAU 4.7 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER ........................................................................................................................................................42
TABLEAU 4.8 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER........................................................................................................................42
TABLEAU 4.9 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL....................................................................................................................................................................44
TABLEAU 4.10 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL......................................................................................................................................45
TABLEAU 4.11 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL .................................................................................................................................................................46
TABLEAU 4.12 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL......................................................................................................................................46
TABLEAU 4.13 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE.............................................................................................................................................48
TABLEAU 4.14 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE...........................................................................................................48
TABLEAU 4.15 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE.............................................................................................................................................49
TABLEAU 4.16 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE...........................................................................................................49
TABLEAU 4.17 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE..................................................................................................................................................51
TABLEAU 4.18 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE...............................................................................................................................51
TABLEAU 4.19 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE..................................................................................................................................................52
TABLEAU 4.20 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE...............................................................................................................................52
TABLEAU 4.21 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................................................54
iv
TABLEAU 4.22 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................54
TABLEAU 4.23 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................................................55
TABLEAU 4.24 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................56
TABLEAU 4.25 : RÉSULTATS DU COÛT TOTAL EN DOLLARS DES EXEMPLES A ET B.........................................58
TABLEAU 5.1 : LES VALEURS DE a ET DE β ........................................................................................................................63
TABLEAU 5.2 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À DEUX PALIERS..............................................................................................................................................................64
TABLEAU 5.3 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À DEUX PALIERS (EN SECONDES) ...............................68
TABLEAU 5.4 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À TROIS PALIERS..............................................................................................................................................................68
TABLEAU 5.5 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À TROIS PALIERS (EN SECONDES)...............................72
TABLEAU 5.6 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX.......................................................................................................................................................72
TABLEAU 5.7 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX (EN SECONDES) ...........76 TABLEAU 5.8 : RÉSUMÉ DES RÉSULTATS DES HEURISTIQUES SELON LEUR DÉVIATION MOYENNE PAR
RAPPORT À L’OPTIMUM EN POURCENTAGE........................................................................................77
TABLEAU 5.9 : LES TEMPS D’OBTENTION DES SOLUTIONS OPTIMALES DES TROIS VERSIONS DU PROBLÈME ÉTUDIÉES (EN SECONDES) ...................................................................................................77
v
REMERCIEMENTS
C’est avec grande satisfaction que je termine mes études de deuxième cycle en maîtrise en
administration des affaires, cheminement gestion manufacturière et logistique, après deux années
de travail assidu. Que ce soit sous le volet des connaissances supérieures ou de l’épanouissement
personnel, j’en sors plus enrichie et mieux préparée à assumer les défis que le monde me réserve.
Je n’aurais pu cependant accomplir cette tâche sans le soutien de plusieurs intervenant s et
j’aimerais ici remercier les plus importants. De l’Université Laval, je remercie d’abord les
professeurs Fayez F. Boctor et Jacques Renaud, mes co-directeurs de recherche, qui m’ont
sagement guidée et épaulée tout au long de ce programme. Plusieurs difficultés se dressent
chemin faisant et leur savoir de même que leur expérience ont toujours été à ma disposition. Je
remercie aussi le Fonds de recherche sur la nature et les technologies du Québec (FCAR) ainsi
que la Fondation pour la formation professionnelle en transport routier des marchandises du
Québec, en collaboration avec MANAC, pour les généreuses bourses qui m’ont permis de
concentrer mes efforts sur mes études et mes recherches. Je crois fermement que l’engagement de
partenaires issus autant des milieux de recherches que d’affaires est capital afin de préparer la
relève de demain, garante d’un meilleur avenir pour la société. Pour terminer, j’aimerais
souligner le soutien indéfectible de ma famille et de mon conjoint, Richard, qui ont cru en moi et
qui m’ont constamment encouragée. Dans le tumulte des études, ils ont été mon havre de paix et
de sérénité. Je leur offre mes plus chaleureux remerciements. Je tiens également à remercier mon
frère, Jonathan, pour sa lecture attentive de ce document afin d’y corriger la grammaire et
l’orthographe.
vi
RÉSUMÉ
Le problème d’approvisionnement coordonné implique trois types de coût : le coût commun de
commande qui ne dépend pas de la composition de la commande, les coûts individuels de
commande qui dépendent des types d’articles inclus dans la commande et les coûts de stockage.
Ce problème a fait l’objet de plusieurs recherches qui font l’hypothèse que le coût commun ne
dépend pas de la quantité commandée mais est plutôt un coût fixe. Afin d’être plus près de la
réalité nous traitons, dans un premier temps, le cas où le coût commun de commande est une
fonction par paliers de la quantité commandée. Cela reflète davantage la structure de ce coût dans
le cas où l’entreprise utilise sa flotte interne pour effectuer le transport. Dans un deuxième temps,
nous traitons le cas où le coût commun de commande est une fonction linéaire par morceaux.
Cette fonction est habituellement utilisée lorsque l’entreprise utilise les services d’un transporteur
public. Nous proposons une formulation mathématique pour ces deux nouvelles versions du
problème et nous adaptons cinq heuristiques originalement conçues pour traiter le cas où le coût
commun est fixe. Ainsi, les méthodes de résolution de Fogarty et Barringer (1987), de Silver et
Meal (1973), de De Matteis et Mendoza (1968), de Federgruen et Tzur (1994) et de Boctor,
Laporte et Renaud (2003) ont été adaptées afin de prendre en compte les deux nouvelles formes
de la fonction du coût commun de commande. De plus, nous avons adapté la méthode
d’amélioration de Silver et Kelle (1988). Nous avons utilisé les méthodes de résolution et les
formulations mathématiques proposées pour résoudre sept cent vingt problèmes générés
aléatoirement. L’heuristique Fogarty et Barringer (1987), lorsqu’elle est suivie de la méthode
d’amélioration de Silver et Kelle (1988), donne les meilleures déviations pour les deux versions
étudiées. La déviation moyenne par rapport à l’optimum est de 0,97% (0,59% après Silver et
Kelle) pour le cas où le coût commun de commande est variable en trois paliers et est de 0,23%
(0,06% après Silver et Kelle) pour le cas où le coût commun de commande est linéaire par
morceaux.
1
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
1
2
1. INTRODUCTION
La mise en contexte, l’importance économique du problème d’approvisionnement coordonné
ainsi que les objectifs, la méthodologie et l’organisation de cet essai sont présentés dans ce
premier chapitre.
1.1. Mise en contexte
Avec l’arrivée de la mondialisation et de la globalisation des marchés, la concurrence est
devenue de plus en plus féroce. Afin de demeurer concurrentielles dans la nouvelle économie,
les entreprises doivent continuellement offrir des articles de haute qualité qui répondent
adéquatement aux besoins de leurs clients, et ce, à des prix très compétitifs. Pour y parvenir,
elles doivent réduire leurs coûts afin d’augmenter leurs profits. Du côté du département des
approvisionnements, les industries peuvent hausser leurs profits en diminuant le coût d’achat des
matières premières et les coûts associés aux opérations de réapprovisionnement. Dans le but
d’améliorer leur gestion des achats, l’approvisionnement coordonné de plusieurs articles est une
solution adéquate et envisageable pour les entreprises. L’objectif est de gérer simultanément une
famille d’articles achetés chez le même fournisseur, transportés conjointement ou qui partagent
le même processus de production (Silver, 1979).
En ce qui concerne le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles (voir la
Figure 1.1), deux classes de problèmes sont envisageables, les problèmes déterministes (statique
et dynamique) et les problèmes stochastiques (à demande stationnaire ou non stationnaire). Dans
le cadre de cette recherche, nous nous intéressons au problème déterministe et dynamique.
FIGURE 1.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT
COORDONNÉ DE PLUSIEURS ARTICLES SELON LA NATURE DE LA DEMANDE
3
Le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique
consiste à déterminer les périodes de commande ainsi que le nombre d’unités commandées pour
chaque type d’article afin de satisfaire les demandes sans arrérages ou rupture de stock. Ce
problème implique N types d’articles et trois types de coût : le coût commun de commande
(appelé aussi coût majeur ou coût coordonné), qui ne dépend pas de la composition de la
commande, les coûts individuels de commande (dits coûts mineurs ou coûts de ligne), qui
dépendent des types d’articles inclus dans la commande, et les coûts de stockage. Le coût
commun de commande correspond souvent au coût de transport des articles commandés.
Ce problème a fait l’objet de plusieurs recherches qui font l’hypothèse que le coût commun de
commande ne dépend pas de la quantité commandée mais est plutôt considéré comme un coût
fixe. C’est le cas, par exemple, où le fournisseur impose un prix fixe de commande et est
responsable du transport des marchandises. Ce cas peut également s’appliquer à une entreprise
qui possède uniquement un camion pour effectuer le transport des marchandises achetées. À
chaque utilisation de ce camion, son coût fixe doit être comptabilisé.
Dans le cadre de cet essai, et afin d’être plus près de la réalité observée dans les entreprises, nous
avons premièrement étudié le cas où le coût commun de commande est une fonction par paliers
de la quantité commandée. Cela reflète davantage la structure de ce coût dans le cas où il
correspond essentiellement au coût de transport des articles commandés et où l’entreprise utilise
sa flotte interne pour effectuer ce transport. Lorsqu’une entreprise utilise deux ou plusieurs types
de taille de camions, deux ou plusieurs paliers seront nécessaires pour illustrer les différentes
combinaisons de coûts fixes envisageables. Une représentation graphique des différentes
structures du coût commun de commande ainsi qu’une explication plus complète ont été
effectuées à la Section 3.1. Dans un deuxième temps, le cas où le coût commun de commande est
une fonction linéaire par morceaux a été abordé. Cette structure représente également le coût de
transport des articles commandés mais lorsque l’entreprise utilise plutôt une flotte externe (en
charges partielles) pour s’approvisionner. Pour une origine – destination fixe, tous les
transporteurs publics utilisent ce type de structure de coût de transport. À la Figure 1.2, nous
pouvons observer la fonction linéaire par morceaux du coût de transport en fonction du poids
d’un chargement de marchandises de classe 100, entre Québec et New York. Ce graphique a été
obtenu grâce à une grille de prix, présentée au Tableau 1.1, fournie par USF Corporation.
4
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 4650 9550 14500 19500 24400 29400 34350 39300 44250 49250
$
Lbs
FIGURE 1.2 : COÛT DE TRANSPORT EN FONCTION DU POIDS POUR UNE
MARCHANDISE DE CLASSE 100 ENTRE QUÉBEC ET NEW YORK
TABLEAU 1.1 : GRILLE DES PRIX DE TRANSPORT ENTRE QUÉBEC ET
NEW YORK POUR UNE MARCHANDISE DE CLASSE 100
Livres Coût minimum
0 à 499 500 à 999
1000 à 1999
2000 à 4999
5000 à 9999
10000 à 19999
20000 à 29999
30000 à 39999
40000 et plus
$/100 livres 543.57 124.21 112.94 91.83 70.99 57.87 51.69 28.58 22.56 20.94Coupures de poids - 454 813 1546 4075 8932 11058 23680 37127 -
1.2. Importance économique du problème
Depuis les années 90, plusieurs phénomènes ont contribué au développement de la fonction des
approvisionnements tels que la mondialisation des activités, la multitude et l’internationalisation
des sources d’approvisionnement, la collaboration entre les fournisseurs et les clients ainsi que
l’expansion des réseaux logistiques. Ainsi, le département des approvisionnements devient le
premier en importance d’après le critère des coûts. Selon Leenders, Fearon et Nollet (1998), les
entreprises américaines ont déboursé 1 647 milliards de dollars pour l’acquisition de matières, en
1993. Malgré le fait que le pourcentage de la somme des dépenses en approvisionnement varie
d’une entreprise à l’autre, celui-ci est au alentour de 60% du chiffre d’affaires. Toujours selon
5
ces auteurs, les entreprises manufacturières consacrent en moyenne 53% du montant de leurs
ventes à l’achat de matières premières. Lorsque les dépenses en immobilisation sont incluses, ce
pourcentage augmente de 6%. Autre constatation, les entreprises manufacturières dépensent en
moyenne trois fois plus en approvisionnements qu’en salaires et avantages sociaux versés à leurs
employés.
D’après Heizer et Render (2001), le pourcentage des coûts d’approvisionnement sur le chiffre
d’affaires pour toutes les industries est de 52%. Pour le secteur automobile, ce pourcentage est de
67%, il est de 60% pour le secteur alimentaire, 61% pour le secteur du bois d’œuvre et 55% pour
le secteur du papier. Toutes ces statistiques nous démontrent bien l’importance des coûts
d’approvisionnement pour les entreprises, d’où la nécessité de bien gérer les approvisionnements
afin d’en diminuer les dépenses.
Selon un projet en cours sur l’étalonnage des meilleures pratiques de gestion des opérations et de
l’innovation dans les entreprises technologiques des régions de Québec et de Chaudière-
Appalaches, les petites et moyennes entreprises manufacturières de secteurs à haute technologie
dépensent en moyenne 3,4 millions de dollars en approvisionnements par année. Ce projet réalisé
par Montreuil, Caron, Renaud et Vallerand (2003) du Centre de recherche sur les technologies
de l’organisation réseau (CENTOR) en collaboration avec le Groupe d’avancement
technologique et industriel de la région de Québec/Chaudière-Appalaches (GATIQ) consistait
à questionner une vingtaine d’entreprises manufacturières. Il ressort de cette analyse que 24%
d’entre elles dépensent moins de un million de dollars par année en approvisionnements tandis
que 11% dépensent plus de dix millions de dollars par année. Notons que ces montants doivent
être analysés en fonction de la taille des entreprises étudiées.
La gestion coordonnée de plusieurs articles procure plusieurs avantages économiques et
logistiques aux entreprises. Selon Jayarama et Tabucanon (1984), les économies réalisées en
ressort d’une gestion indépendante vers une gestion coordonnée se situent entre 13,25% et
29,18% selon le nombre d’articles. Lorsque le nombre d’articles commandés chez un même
fournisseur est grand, les économies sont alors plus élevées. De plus, lorsque le niveau de service
diminue, les économies réalisées augmentent également.
Selon Silver, Pyke et Peterson (1998), avec le regroupement de plusieurs articles dans une même
commande, les coûts annuels de réapprovisionnement sont réduits. En effet, des économies
6
peuvent être réalisées sur le coût unitaire d’achat et les coûts de stockage, de transport et de
commande. De plus, lorsque la valeur de la commande atteint un certain montant, les
fournisseurs peuvent offrir des escomptes sur les quantités. D’après Martel (1999), un autre
avantage est celui d’une meilleure gestion des ressources partagées par les articles tels les
équipements de manutention et l’espace d’entreposage. Par contre, cette gestion coordonnée
augmente les efforts de gestion ainsi que les temps de résolution du problème, et réduit la
flexibilité comparativement à la gestion individuelle des articles. De nos jours, avec
l’accessibilité et la puissance de la technologie du traitement de l’information, les entreprises
peuvent réduire considérablement ces inconvénients et bénéficier grandement des avantages
économiques et logistiques de l’approvisionnement simultané de plusieurs articles.
1.3. Objectifs de l’essai
Le premier objectif de cet essai est de recenser et d’analyser, dans un même ouvrage, les
méthodes de résolution optimales et heuristiques du problème d’approvisionnement coordonné de
plusieurs articles avec demande dynamique. Afin de mieux adapter les approches de résolution de
ce problème aux nouvelles versions étudiées dans cet essai, cette revue de la littérature nous a
permis de bien les connaître.
Le deuxième objectif de cet essai est de mieux définir le problème d’approvisionnement
coordonné avec demande dynamique. Afin d’être plus près de la réalité des entreprises, le coût
commun de commande a été considéré, dans un premier temps, variable en paliers et dans un
deuxième temps, linéaire par morceaux, au lieu d’être fixe. Ainsi, deux nouvelles formulations
mathématiques ont été proposées et utilisées pour résoudre de manière optimale un bassin de sept
cent vingt problèmes générés aléatoirement.
Un autre objectif à atteindre est de proposer aux entreprises des nouvelles approches de
résolution du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande
dynamique afin de leurs permettre d’améliorer leur gestion des achats et ainsi augmenter leur
profit. Pour ce faire, nous avons adapté plusieurs méthodes proposées dans la littérature pour le
cas où le coût commun de commande est fixe, afin de résoudre les cas où le coût commun de
commande est soit variable en paliers, soit linéaire par morceaux.
7
Pour évaluer leur performance, ces heuristiques et la formulation mathématique proposées ont été
utilisées dans le but de résoudre sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Dans un
premier temps, cette évaluation a été réalisée avec le coût commun de commande en paliers, et
par la suite, avec le coût commun de commande linéaire par morceaux. La présentation des
déviations moyennes par rapport à l’optimum et des temps de calcul de chacune des approches
proposées ainsi que l’analyse comparative de celles-ci constituent les deux derniers objectifs de
cet essai.
1.4. Méthodologie
Pour parvenir à réaliser les objectifs de cet essai, la méthodologie décrite dans cette section est
employée. En premier lieu, une recherche de la littérature a été effectuée afin de pouvoir recenser
les méthodes optimales et heuristiques du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs
articles avec demande dynamique.
À partir de la revue de la littérature, la définition du problème est décrite ainsi que la sélection
des méthodes de résolution les plus connues et performantes. Afin de pouvoir résoudre ce
problème avec un coût commun de commande variable en paliers ou linéaire par morceaux, les
méthodes heuristiques choisies ont été adaptées.
Ensuite, les méthodes heuristiques ont été programmées en langage pascal et ont servi à résoudre
les sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Cette étape est exécutée deux fois afin de
prendre en compte les deux nouvelles structures du coût commun de commande, soit variables en
paliers et linéaire par morceaux.
Afin d’évaluer la performance de ces heuristiques, un programme informatique en langage pascal
a été élaboré pour générer les fichiers de la formulation mathématique de chaque problème. Ces
derniers ont été résolus à l’aide du logiciel Cplex 8.0. Un fichier contenant la solution optimale et
le temps d’exécution de chacun des problèmes a été créé. Ainsi, toutes les solutions trouvées par
les heuristiques ont été comparées avec les solutions optimales.
Des tableaux de comparaisons des déviations par rapport à l’optimum ainsi que des temps de
calcul ont été utilisés pour analyser cette performance et en tirer des conclusions. Un classement
des heuristiques utilisées est également proposé.
8
1.5. Organisation de l’essai
L’essai est organisé selon les chapitres suivants. Le chapitre 2 présente une revue de la
littérature. Tout d’abord, les écrits traitant des méthodes optimales sont brièvement présentés et
par la suite, ceux des méthodes heuristiques.
Le chapitre 3, celui de la définition du problème, introduit les concepts de base, les hypothèses et
les propriétés de la solution optimale pour le problème d’approvisionnement coordonné de
plusieurs articles avec demande dynamique. Ensuite, la formulation mathématique du problème
classique d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique ainsi
que celles avec le coût commun de commande variable en paliers et linéaire par morceaux sont
proposées afin de résoudre le bassin de problèmes.
Le chapitre 4 propose plusieurs nouvelles approches de résolution du problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. Par exemple,
l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal
(1973), l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza
(1968), la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994) et la méthode de réduction
gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003) sont utilisées afin de résoudre les différentes
structures du coût commun de commande. La méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) a
été appliquée aux plans d’approvisionnement générés par les heuristiques nommées
précédemment afin de diminuer davantage leur coût total.
Le chapitre 5, celui de l’analyse comparative, présente les résultats des approches proposées et
analyse ceux-ci. Cette analyse se base, entre autres, sur l’analyse de la déviation moyenne par
rapport à l’optimum.
Le chapitre 6 conclut cet essai et est suivi de la liste des références utilisées.
9
CHAPITRE 2. REVUE DE LA LITTÉRATURE
2
10
Problème d’approvisionnement
Un seul article Plusieurs articles
Demande statique
Demande dynamique
Demande statique Demande dynamique
Sans contrainte
Avec contraintes
Sans contrainte
Avec contraintes
Sans contrainte
Avec contraintes
Sans contrainte
Avec contraintes
2. REVUE DE LA LITTÉRATURE
Les problèmes d’approvisionnement se divisent en deux classes : ceux à un seul article et ceux à
plusieurs articles. À l’intérieur de ces classes, nous retrouvons, entre autres, les problèmes à
demande statique et ceux à demande dynamique. En plus, chacune de ces quatre classes peut
également se sous-diviser en deux autres classes, soit sans contrainte ou avec contraintes de
capacité de production. Cette classification des problèmes d’approvisionnement est illustrée à la
Figure 2.1. Dans le cadre de cet essai, une revue de la littérature complète portant sur le problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte
de capacité de production sera présentée dans les deux prochaines sections. Mais auparavant,
mentionnons quelques articles qui traitent des autres classes du problème.
FIGURE 2.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT
En premier lieu, le problème d’approvisionnement à un seul article avec demande dynamique
sans contrainte de capacité a été traité par Wagner-Whitin (1958) à l’aide de la programmation
dynamique. Plusieurs auteurs tels que Wagner (1960), Zangwill (1969) et Crabill et Jaquette
(1974) ont généralisé ce modèle. Une revue de la littérature réalisée par Ritchie et Tsado (1986)
classe les méthodes de résolution en trois groupes. Le premier groupe tente de minimiser le coût
de stockage et le coût de commande sur tout l’horizon de planification. L’heuristique de Silver et
Meal (1973) ainsi que l’approche du coût marginal de Groff (1979) en sont des exemples. Le
deuxième groupe tente d’égaliser les coûts de commande avec les coûts de stockage tels
l’algorithme d’équilibrage pièce-période De Matteis et Mendoza (1968) et la quantité
économique à commander modifiée proposée par Mitra, Cox, Blakstone et Jesse (1983). Le
troisième groupe est celui de l’approche incrémentale. Voir, par exemple, les contributions de
Boe et Yilmaz (1983), de Freeland et Colley (1982) et de Gaither (1981). Le problème
11
d’approvisionnement à un seul article avec demande statique et avec contraintes de capacité dans
le cas où il y a plusieurs étapes de production a été abordé par Szendrovits (1976).
En ce qui concerne le problème d’approvisionnement de plusieurs articles avec demande statique,
Balintfy (1964) et Shu (1971) ont été dans les premiers à étudier ce problème en considérant
l’approvisionnement de plusieurs articles ensemble afin d’épargner des coûts de mise en route.
Par la suite, ce même problème avec contraintes de capacité de production a été étudié par
plusieurs auteurs tels que Doll et Whybark (1973) et Goyal (1974). Quant à Andres et Emmons
(1975) et Silver (1976), ils ont étudié le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs
articles avec demande statique.
Le problème d’approvisionnement de plusieurs articles avec demande dynamique et avec
contraintes de capacité a fait l’objet de plusieurs études. Les auteurs suivants, pour n’en nommer
que quelques-uns, Maes et Van Wassenhove (1986), Pochet et Wolsey (1991) et Toklu et Wilson
(1992) ont tous étudié ce problème. Une revue de la littérature sur ce problème a été effectuée,
entre autres, par Maes et Van Wassenhove (1988).
Aksoy et Erenguc (1988) ont publié une revue de la littérature traitant deux versions du problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles : déterministe (statique et dynamique) et
stochastique (à demande stationnaire ou non stationnaire). Parmi les travaux portant sur le cas de
demande dynamique et déterministe, ceux de Zangwill (1966), Veinott (1969), Kao (1979),
Haseborg (1982), Silver (1979) et de Mariani et Nicoletti (1973) y sont résumés.
Dans la suite de ce chapitre, les méthodes optimales de résolution du problème
d’approvisionnement coordonné avec demande dynamique sans contrainte de capacité sont
présentées à la Section 2.1. La Section 2.2 présente les méthodes heuristiques développées pour
résoudre ce problème. À notre connaissance, les versions du problème d’approvisionnement
coordonné étudiées ici n’ont pas encore fait l’objet d’aucune publication, excepté la proposition
de Martel, Rizk et Ramudhin (2002). Par contre, plusieurs chercheurs ont étudié ce problème
d’approvisionnement avec un coût commun de commande fixe.
12
2.1. Méthodes optimales
Avant de présenter les méthodes optimales, il est bien de se rappeler que la complexité du
problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique,
démontré par Arkin, Joneja et Roundy (1989), est NP-dur.
Les méthodes optimales utilisées pour résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de
plusieurs articles avec demande dynamique utilisent l’une des deux techniques suivantes :
1) la programmation dynamique; 2) la séparation et l’évaluation progressive (branch and bound).
Veinott (1969) et Zangwill (1966) ont été les premiers à traiter le problème d’approvisionnement
coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. En ce qui concerne l’algorithme de
Veinott (1969), toutes les possibilités de commander au moins un article i ou de ne pas en
commander à chaque période t sont envisagées. La possibilité avec le coût minimum donne le
plan d’approvisionnement final. Le nombre de possibilités calculé par cet algorithme est
exponentiel (2T-1). Le temps de résolution est de plus en plus long lorsque le nombre de périodes
est grand. Zangwill (1966) a développé une formulation avec la programmation dynamique qui
prend les périodes de temps comme des variables d’état et l’inventaire de début de chaque article
i est calculé. Kao (1979) présente une nouvelle formulation mathématique basée sur la
programmation dynamique afin d’améliorer celle de Zangwill. Par contre, les temps de résolution
n’en sont pas pour autant diminués.
Silver (1979) présente un modèle basé sur la programmation dynamique afin de résoudre
l’approvisionnement coordonné de deux articles. Pour ce cas particulier, le temps de calcul est
raisonnable. Par contre, il ressort de cet écrit qu’il devient nécessaire de proposer des heuristiques
plus rapides pour la résolution de problèmes avec plus de deux articles puisque le nombre
d’opérations augmente exponentiellement avec le nombre d’articles (2N). Haseborg (1982)
démontre que cette dépendance exponentielle pourrait être réduite si l’approvisionnement
coordonné de plusieurs articles est tel que, soit tous les articles sont commandés au début d’une
période donnée, soit aucun n’est commandé. Dans ce papier, les conditions pour l’obtention de
l’optimalité des décisions d’approvisionnement coordonné sont données. La plus grande taille de
problème résolu est quatre articles et dix périodes. Pour tous les 3 240 essais, la moyenne des
temps de résolution est plus rapide que celle de l’algorithme de Kao (1979), soit de 4,8%.
13
Par la suite, Erenguc (1988) propose une formulation mathématique en un problème de
minimisation concave. De plus, il est le premier à suggérer un algorithme de séparation et
d’évaluation progressive (branch and bound) afin de trouver le plan optimal des commandes.
Cette procédure calcule des bornes inférieures sans tenir compte du coût commun de commande.
En plus, la procédure requiert considérablement moins de mémoire qu’une approche de
résolution basée sur la programmation dynamique. Des problèmes de douze articles et vingt
périodes ont été résolus. Le temps de résolution moyen pour ces problèmes par cet algorithme de
séparation et d’évaluation progressive est de 3,94 secondes. Federgruen et Tzur (1994) ont
développé, eux aussi, une méthode exacte de séparation et d’évaluation progressive pour résoudre
ce problème. Cette méthode peut résoudre des problèmes d’approvisionnement coordonné de
vingt à trente articles et de vingt à trente périodes dans des temps raisonnables.
Ensuite, Kirca (1995) a développé une procédure pour solutionner le problème dual qui génère
une bonne borne inférieure pour le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs
articles. Cette borne inférieure est utilisée dans un algorithme de séparation et d’évaluation
progressive pour obtenir une solution optimale du problème. Selon une analyse comparative, la
procédure donne de meilleurs résultats que celles dans la littérature. Le temps de résolution d’un
problème de cinquante articles et vingt-quatre périodes est d’environ 113 secondes.
Robinson et Gao (1996) proposent une nouvelle formulation mathématique basée sur la
programmation linéaire en nombres entiers pour résoudre le problème d’approvisionnement
coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique et avec arrérages. Un algorithme de
séparation et d’évaluation progressive est construit d’après la progression duale et les notions
d’ajustement dual de Erlenkotter (1978) et les extensions proposées par Klincewicz et Luss
(1987). Cette procédure résout des problèmes de façon optimale en utilisant 5% moins de
mémoire que les meilleurs algorithmes existants. Des problèmes de vingt articles et trente-six
périodes ainsi que d’autres de quarante articles et douze périodes sont facilement résolus. La
considération des arrérages augmente le temps de résolution ainsi que la mémoire nécessaire à la
conservation des résultats.
Martel, Rizk et Ramudhin (2002) proposent une méthode optimale de séparation et d’évaluation
progressive pour résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec
demande dynamique avec contraintes de capacité où le coût commun de commande n’est pas
14
fixe. Ces auteurs proposent différentes façons de modéliser le coût de transport des articles. Leur
méthode peut se transformer en heuristique si son exécution est arrêtée avant, ce qui est bien
difficile à mettre en œuvre. Étant donné que cette méthode de résolution peut s’appliquer aux
versions du problème étudiées dans cet essai, une comparaison de nos résultats obtenus avec les
leurs sera effectuée.
Boctor, Laporte et Renaud (2003) proposent deux nouvelles formulations mathématiques pour
résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande
dynamique. Un bassin de 720 problèmes a servi pour tester ces deux formulations ainsi que la
formulation classique de ce problème. Les temps de calcul de la deuxième formulation sont trois
fois plus petits que ceux de la formulation classique, tandis que les temps de calcul de la
troisième formulation sont la moitié de ceux de la formulation classique. Ces formulations
mathématiques résolvent, à l’aide de logiciels commerciaux, dans des temps raisonnables des
problèmes d’approvisionnement coordonné de vingt articles et vingt-six périodes.
2.2. Méthodes heuristiques
Kao (1979) est le premier à présenter une heuristique itérative pour la résolution du problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. La procédure
pour la commande de deux articles est la suivante. Un premier plan d’approvisionnement est
résolu avec l’algorithme de Wagner et Whitin (1958) pour l’article 1. Le coût commun de
commande de l’article 1 est additionné à son coût individuel de commande. Dans un deuxième
temps, le second article est également résolu comme un problème à un seul article. Aux périodes
t où l’article 1 est commandé, le coût commun de commande est mis à zéro afin de ne pas le
comptabiliser en double. Tel que pour la construction du premier plan, le coût commun de
commande est additionné au coût individuel de commande de l’article 2, mais pour les périodes
qui n’ont pas de commande pour l’article 1. Avec ce nouveau plan, l’article 1 est résolu à
nouveau en mettant le coût commun de commande égal à zéro pour les périodes où l’article 2 est
commandé. De nouveaux plans d’approvisionnement sont obtenus et cette démarche est répétée
jusqu’à ce que le plan d’approvisionnement de l’article 1 et celui de l’article 2 ne changent plus.
Une heuristique basée sur cet algorithme et deux de ses variantes sont aussi présentées dans ce
papier. Dans le cas de deux articles, la déviation moyenne de cet algorithme par rapport à
l’optimum est de 0,8%. Celles des deux variantes sont de 0,06% et 0,02%, respectivement.
15
D’après l’auteur, il n’est pas évident de déterminer le nombre d’itérations nécessaires pour la
résolution d’un problème avec plus de deux articles.
Fogarty et Barringer (1987) présentent une heuristique, simple et facile à utiliser, basée sur la
programmation dynamique afin de prendre les décisions d’approvisionnement coordonné de
plusieurs articles avec demande dynamique lorsque la capacité n’est pas une contrainte. Cette
méthode est analogue à l’algorithme de Wagner et Whitin (1958) et à la procédure de Fordyce et
Webster (1984). L’objectif de cette heuristique est de minimiser les coûts de commande ainsi que
les coûts de stockage.
Selon Silver et Kelle (1988), l’inconvénient de l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987) est
qu’elle impose que si une commande est émise pour la période t et si la commande suivante est à
la période q, alors la commande de t inclut toutes les demandes nettes de tous les articles entre t
et q–1. Alors, une méthode est proposée pour améliorer la solution ainsi obtenue en relaxant cette
restriction. Pour chaque article i = 1, …, N, regarder si l’élimination d’une commande en la
regroupant avec la précédente diminue le coût total.
Notons que si les coûts individuels de commande sont relativement faibles par rapport au coût
commun de commande et aux coûts de stockage, alors l’heuristique de Fogarty et Barringer
(1987) donne d’excellents résultats. Par contre, lorsque les coûts individuels de commande sont
relativement élevés, il est utile d’appliquer la méthode d’amélioration proposée par Silver et Kelle
(1988) afin de réduire le coût total d’approvisionnement.
Une des principales contributions de la publication de Atkins et Iyogun (1988) est de proposer
une méthodologie pour trouver une borne inférieure sur l’optimum, à partir de l’information issue
de leur heuristique. L’heuristique proposée (voir Figure 2.2) est une extension de celle de Silver
et Meal (1973) pour la résolution du problème d’approvisionnement à un seul article. Les
expériences effectuées avec des problèmes de trente articles et vingt-quatre périodes montrent
que l’heuristique proposée donne une déviation moyenne par rapport à l’optimum inférieure à
5%.
16
À n’importe quelle période t, les articles sont dans un des deux ensembles suivants : R qui
contient tous les articles inclus dans la plus récente commande groupée (Li = dernière période de
commande de l’article i et t* = la période de la dernière commande groupée; pour chaque i ∈ R,
Li = t*); C qui est l’ensemble des articles non inclus dans la dernière commande groupée, ceux
dont Li < t*.
Initialisation Tous les articles sont dans l’ensemble R et Li = 1; ∀ i.
Étape 1 Pour tous les articles i, calculer la fonction SMit(ki). Les articles ayant une pente
croissante, c’est-à-dire SMit-1(ki) < SMit(ki), sont inclus dans l’ensemble IS.
∑=
+−−+=t
Lsiisiiiiit
i
LtdLshkkSM )1/())(()(
Pour tous les articles inclus dans l’ensemble C et IS, effectuer le test suivant pour voir
s’il est profitable de les laisser seuls ou de les joindre à la dernière commande. Une
commande à la période t* est rentable si ce dernier coût est moins élevé que le
précédent, c’est-à-dire : ∑=
>−t
t*riirii kd) L(t*h . Alors, l’article i quitte l’ensemble C
et entre dans R et son SMit(ki) est mis à jour. Calculer la valeur de ∆i telle que :
SMit-1(ki + ∆i) = SMit(ki + ∆i) pour tous les i ∈ IS. Répéter cette étape en augmentant t
d’une période, jusqu’à ce que KN
ii >∆∑
=1
ou que t = T.
Étape 2 Un réapprovisionnement est autorisé à la période t
Mettre à jour les deux ensembles R et C :
R = {i | ∆i > 0} = IS
Li = t ∈∀ i R
Si t < T, retourner à l’étape 1.
FIGURE 2.2 : HEURISTIQUE DE ATKINS ET IYOGUN (1988)
Joneja (1990) propose une nouvelle heuristique itérative appelée « cost covering heuristic »
semblable à celle de Atkins et Iyogun (1988) et la compare avec celle de Kao (1979).
L’heuristique de Joneja est basée sur l’équilibre des coûts de commande et de stockage, et ce, en
17
utilisant deux règles de décision. La déviation moyenne de cette dernière par rapport à l’optimum
est faible lorsque le nombre d’articles est petit, tandis que celle de Joneja donne de meilleurs
résultats lorsque le nombre d’articles est grand. À l’aide de 150 problèmes de deux à huit articles,
Joneja montre que la déviation par rapport à l’optimum de cette heuristique varie entre 2,5% et
3,3%, comparativement à celle de l’heuristique de Kao (1979) qui varie entre 1,6% et 14,6%.
Par la suite, Iyogun (1991) propose deux variations simples de l’heuristique dite d’équilibrage
pièce-période (De Matteis et Mendoza, 1968), GPPB1 et GPPB2, présentées à la Figure 2.3 et
détermine leur pire performance. Leur pire performance est de 1/3 et de 1/2 respectivement.
En ce qui concerne l’heuristique GPPB1, notons Li comme étant la dernière période de
commande de l’article i. L’ensemble G(t) contient tous les articles i dont les coûts de stockage
accumulés de la période Li à t dépassent leurs coûts individuels de commande, c’est-à-dire :
{ }iii k,t)(L CS i G(t) >=
et notons t’ la première période après Li telle que : ( )∑∈
>−−G(t')i
iii K k,t')(LCS 0
Une commande est lancée à la période t’ pour les articles contenus dans l’ensemble G(t’) si ( ) ( )∑ ∑
∈ ∈
+−−<−−G(t')i G(t')i
iiiiii K,t'(LCSkKk,t')(LCS 1
Sinon, la commande est lancée à la période t’ – 1 pour les articles dans G(t’ – 1).
En ce qui concerne l’heuristique GPPB2, notons Li comme étant la dernière période de
commande de l’article i. L’ensemble G(t) contient tous les articles i dont les coûts de stockage
accumulés de la période Li à t dépassent son coût individuel de commande, c’est-à-dire :
{ }iii k,t)(L CS i G(t) >=
et notons que t’ est la première période après Li que : ( )∑∈
>−−G(t')i
iii K k,t')(LCS 0
Une commande est lancée à la période t’ – 1 pour tous les articles contenus dans l’ensemble G(t’
– 1) lorsque l’affirmation précédente est respectée.
FIGURE 2.3 : HEURISTIQUES GPPB1 ET GPPB2 DE IYOGUN (1991)
Iyogun (1991) présente également une deuxième extension de l’heuristique de Silver et Meal
(1973). Celle-ci est nommée GSM2 et est présentée à la Figure 2.4.
18
La période de commande est représentée par T et Li ≤ T est la dernière fois que l’article i a été
commandé. À chaque période t > T, deux décisions doivent être prises : 1) une nouvelle
commande doit-elle être passée ? 2) doit-on autoriser un article i, dont Li < T, à rejoindre la
commande de la période T ?
1 Lt
)d L(j L h k)(kSM
i
t
j ijiiii
iit +−
−+=
∑
∑=
−−=t
Tjiijiii kd)L(Th(t)g
Initialisation L’ensemble R contient tous les articles et l’ensemble C est vide. T = t = 1.
Étape 1 Pour tous les articles i ∈ C, calculer la fonction SMit(ki). Si SMit(ki) > SMit-1(ki) et que
gi(t – 1) > 0 , alors l’article i sort de l’ensemble C et entre dans l’ensemble R et Li ? T.
Étape 2 Calculer SMit(ki) pour tous les articles i. Si SMit(ki) > SMit-1(ki), déterminer ? it à l’aide de
l’équation suivante : SMit(ki + ∆i) = SMit-1(ki + ∆i). Si KN
ii >∆∑
=1
, passer à l’étape 3.
Sinon, t ? t + 1 et répéter les étapes 1 et 2.
Étape 3 T ? t et commander à la période T. R = {i∆it > 0} et Li = T si i ∈ R. Retourner à
l’étape 1 jusqu’à ce que t = T.
FIGURE 2.4 : HEURISTIQUE GSM2 DE IYOGUN (1991)
En 1994, Federgruen et Tzur (1994) résolvent le problème d’approvisionnement coordonné de
plusieurs articles avec demande dynamique à l’aide d’une méthode d’ajout gloutonne. Cette
dernière part d’un plan d’approvisionnement dans lequel une commande est effectuée pour
chaque article i à la période 1 afin de couvrir la demande de tout l’horizon. Ensuite, toutes les
possibilités d’ajouter une commande dans une des périodes où il n’y pas de commande sont
envisagées. La possibilité dont le gain est le plus élevé est retenue. Cette procédure est répétée
jusqu’à ce qu’aucun gain ne soit réalisable ou que des commandes soient lancées à toutes les
périodes.
Chung et Mercan (1994) présentent une heuristique basée sur la programmation dynamique
semblable à celle de Wagner et Whitin (1958). Le plan d’approvisionnement est trouvé en
solutionnant les sous-problèmes des périodes 1 jusqu’à t pour les périodes t = 1, …, T. Chaque
19
sous-problème est résolu selon deux politiques concernant les coûts. À l’aide d’un bassin de
problèmes tests, Chung et Mercan (1994) évaluent la performance de leur heuristique en
comparant ces solutions avec les solutions optimales obtenues par la méthode de Erenguc (1988).
La déviation moyenne par rapport à l’optimum est de 1,08%. Le temps moyen de calcul est de
2,58 secondes pour l’heuristique tandis qu’il est de 983,37 secondes pour la méthode optimale.
Boctor, Laporte et Renaud (2003) synthétisent et unifient la description des heuristiques
disponibles du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles dans un même
papier, ce qui n’a jamais été fait auparavant. Ainsi, l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987),
la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994), les deux versions de l’extension de
l’heuristique de Silver-Meal proposées par Atkins et Iyogun (1988) et par Iyogun (1991), et les
deux généralisations de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza
(1986) développées par Iyogun (1991) y sont présentés. En plus, ces auteurs proposent une
nouvelle méthode basée sur le raisonnement inverse de la méthode d’ajout gloutonne. Selon cette
méthode dite de réduction gloutonne, un premier plan d’approvisionnement est généré selon la
méthode de commande lot pour lot. Ensuite, toutes les possibilités de regrouper une commande
avec la commande précédente sont envisagées. La possibilité dont le gain est le plus grand est
retenue. Cette procédure est répétée jusqu’à ce qu’aucun gain ne soit possible ou qu’une seule
commande soit effectuée à la période 1. Une nouvelle heuristique de recherche dans le voisinage
basée sur la technique de perturbation des solutions est également proposée. Une analyse
comparative de ces heuristiques a été effectuée à l’aide d’un bassin de 720 problèmes. La
déviation moyenne par rapport à l’optimum de chacune de ces heuristiques est illustrée au
Tableau 2.1. Toutes ces heuristiques, excepté la nouvelle heuristique de recherche dans le
voisinage, sont suivies par la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988).
TABLEAU 2.1 : DÉVIATION MOYENNE EN POURCENTAGE PAR RAPPORT À L’OPTIMUM
Heuristiques % Fogarty et Barringer 0,029
Méthode d'ajout gloutonne 2,062 Méthode de réduction gloutonne 2,904
Silver-Meal version 1 3,081 Silver-Meal version 2 5,848
Pièce-période version 1 4,541 Pièce-période version 2 2,428
Nouvelle heuristique 0,014
20
2.3. Conclusion
En ce qui concerne les méthodes optimales, les approches de résolution proposées par Zangwill
(1966), Veinott (1969), Kao (1979), Silver (1979) et Haseborg (1982) sont basées sur la
programmation dynamique, tandis que celles de Erenguc (1988), Federgruen et Tzur (1994),
Kirca (1995), Robinson et Gao (1996) et Martel, Rizk et Ramudhin (2002) sont basées sur
l’algorithme de séparation et d’évaluation progressive (branch and bound). La plus récente
contribution à ce problème revient à l’article de Boctor, Laporte et Renaud (2003) qui proposent
deux nouvelles formulations mathématiques basées sur la programmation linéaire dont les temps
de résolution sont significativement inférieurs à ceux de la formulation classique. Martel, Rizk et
Ramudhin (2002) sont les seuls à avoir traité la même version du problème étudiée dans cet essai,
soit un coût commun de commande variant selon le poids commandé.
Plusieurs auteurs ont proposé des méthodes heuristiques pour résoudre le problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte
de capacité. Kao (1979) est le premier à proposer une heuristique itérative pour résoudre le
problème d’approvisionnement coordonné. Fogarty et Barringer (1987) présentent une
heuristique, simple et facile à utiliser, basée sur la programmation dynamique. Selon Silver et
Kelle (1988), l’inconvénient de l’heuristique précédente est qu’elle impose que chaque
commande doit inclure la demande de tous les articles entre la période de la commande et celle
de la commande suivante. Ainsi, une méthode pour améliorer la solution ainsi obtenue en
relaxant cette restriction est proposée.
Atkins et Iyogun (1988) propose une extension de l’heuristique de Silver et Meal (1979)
originalement conçue pour la résolution de problèmes d’approvisionnement à un seul article.
Iyogun (1991) propose une deuxième extension de cette même heuristique ainsi que deux
extensions de l’heuristique dite d’équilibrage pièce-période. Joneja (1990) propose une nouvelle
heuristique itérative semblable à celle de Atkins et Iyogun (1988) et la compare avec celle de Kao
(1979). Federgruen et Tzur (1994) propose la méthode d’ajout gloutonne. Chung et Mercan
(1994) présentent une heuristique basée sur la programmation dynamique et évaluent sa
performance en comparant ses solutions aux solutions optimales obtenues par la méthode de
Erenguc (1988).
21
Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont testé plusieurs heuristiques pour le problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique en plus d’en
proposer une nouvelle. Une analyse comparative est également effectuée. De toutes les
heuristiques existantes, la plus performante est celle de Fogarty et Barringer (1987). Malgré le
fait que la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) améliore les solutions des plans
d’approvisionnement générés par l’heuristique de Fogarty et Barringer, celle de Boctor, Laporte
et Renaud basée sur la technique de perturbation surclasse cette heuristique. À ce jour, cette
méthode permet d’obtenir la déviation moyenne par rapport à l’optimum la plus près de zéro, soit
0,014%.
À notre connaissance, les deux nouvelles versions du problème d’approvisionnement coordonné
de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte de capacité étudiées ici n’ont pas
encore fait l’objet d’aucune publication, excepté la contribution de Martel, Rizk et Ramudhin
(2002) qui propose l’utilisation de la relaxation lagrangienne dans le cadre d’un algorithme de
séparation et d’évaluation progressive. La difficulté avec cette approche est qu’il est laborieux de
la mettre en œuvre.
22
CHAPITRE 3. DÉFINITION DU PROBLÈME
3
23
3. DÉFINITION DU PROBLÈME
Dans ce chapitre, nous traitons des concepts de base du problème d’approvisionnement
coordonné de plusieur s articles avec demande dynamique, des hypothèses et de la notation du
problème, de la formulation de trois modèles mathématiques ainsi que des propriétés de la
solution optimale.
3.1. Concepts de base
L’objectif du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande
dynamique est de déterminer les quantités xit à recevoir de chaque type d’articles i pour chacune
des périodes t de l’horizon de planification de façon à minimiser la somme des coûts de
commande et de stockage. De plus, le plan d’approvisionnement généré doit satisfaire les
demandes sans arrérages ou rupture de stock. Ce problème est donc multiarticles et
multipériodes.
En ce qui concerne ce problème, une famille de N types d’articles est considérée. Selon Silver
(1979), le terme famille est employé lors de situations telles que les articles sont achetés chez le
même fournisseur, les articles sont transportés par un même transporteur ou bien les articles
partagent le même processus de production. Trois types de coût sont considérés : le coût commun
de commande (dit coût majeur), qui ne dépend pas de la composition de la commande, les coûts
individuels de commande (dits coûts mineurs ou coûts de ligne), qui dépendent des types
d’articles inclus dans la commande, et les coûts de stockage. Le coût commun de commande
représente souvent le coût de transport des articles commandés.
Dans le cadre de cet essai, trois types de structures du coût commun de commande ont été
considérés. Tout d’abord, tel que mentionné dans la revue de la littérature, les chercheurs font
l’hypothèse que le coût commun de commande ne dépend pas de la quantité commandée mais
est plutôt un coût fixe. Cette situation s’applique aux entreprises qui s’occupent du transport des
articles commandés à l’aide de leur unique camion ou dans le cas où le fournisseur impose un
prix fixe de commande et est responsable du transport des marchandises. Dans ce cas, à chaque
utilisation d’un camion ou à chaque passation d’une commande, un coût fixe K, tel qu’illustré à
la Figure 3.1, doit être considéré.
24
FIGURE 3.1 : COÛT COMMUN DE COMMANDE FIXE
Dans un premiers temps, afin d’être plus près de la réalité observée dans la pratique, le cas où le
coût commun de commande est une fonction par paliers de la quantité commandée a été traité.
Cela reflète davantage la structure de ce coût dans le cas où l’entreprise utilise sa flotte interne
pour effectuer le transport des articles commandés. Comparativement au cas où le coût commun
de commande est fixe, le nombre de camions est supérieur à un. Les camions sont habituellement
de tailles différentes. Lorsqu’une entreprise utilise deux ou plusieurs types de camions, deux ou
plusieurs paliers seront nécessaires pour illustrer les différentes combinaisons de coûts fixes
envisageables. Un coût fixe Ks correspond à une combinaison quelconque (représentée par un
palier) de camions permettant de transporter une quantité commandée à un coût minimum. De
plus, chacun de ces paliers est délimité par une borne supérieure bs. Le cas où trois paliers sont
utilisés pour effectuer le calcul du coût commun est présenté à la Figure 3.2.
FIGURE 3.2 : COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS
b2 Qté
K3
$
Qté
$
b1
K2
K1
Qté
K
$
25
Afin de mieux comprendre le coût commun de commande variable en paliers, un exemple est
présenté. Une entreprise possède trois camions de tailles différentes, soit un d’une capacité de
1 000 unités, un autre d’une capacité de 2 500 unités et un dernier d’une capacité de 4 000 unités.
Le coût fixe associé au premier camion est de 500 $, le second de 1 500 $ et le dernier de
3 000 $. La Figure 3.3 illustre tous les coûts minimums associés aux combinaisons possibles. Par
exemple, pour transporter une quantité de 3 000 unités, l’entreprise dispose de deux options, soit
d’utiliser un camion d’une capacité de 4 000 unités pour un coût fixe de 3 000 $ ou soit d’utiliser
deux camions de capacité de 1 000 unités et 2 500 unités, pour un total de 2 000 $. Évidemment,
l’entreprise choisira l’option la plus avantageuse, soit l’utilisation de deux camions, un de 1 000
unités et un autre de 2 500 unités, pour le transport de ces 3 000 unités à un coût total de 2 000 $.
FIGURE 3.3 : EXEMPLE D’UN COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS
Dans un deuxième temps, le cas où le coût commun de commande est une fonction linéaire par
morceaux a été abordé. Cette fonction est illustrée à la Figure 3.4. Cette structure représente le
coût de transport des articles commandés lorsque l’entreprise fait appel à une flotte externe (en
charges partielles) pour s’approvisionner. Un coût fixe ou variable Ks est attribué à chaque
morceau. De plus, chaque morceau est délimité par une borne inférieure et une borne supérieure
bs. La Figure 3.4 présente une telle fonction. Un exemple pratique de cette structure de coût est
illustré à la Figure 1.2.
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500
500
1500
2000
3000
3500
5000
$
Qté 6500 6000 7000 7500
26
FIGURE 3.4 : COÛT COMMUN DE COMMANDE LINÉAIRE PAR MORCEAUX
Malgré la similitude avec le problème d’approvisionnement à un seul article, le seul fait de
rajouter un coût commun de commande, peu importe la structure de ce coût, complique
considérablement la formulation mathématique du problème.
3.2. Hypothèses et notations
Pour traiter le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande
dynamique sans contrainte de capacité, des hypothèses de travail ont été établies. La demande
nette pour chaque article i à la période t, notée dit, est déterministe mais varie dans le temps. Elle
s’étale sur un horizon composé de T périodes. Le fait que la demande soit dynamique permet aux
entreprises de traiter des situations importantes telles qu’un contrat de production auprès d’une
entreprise qui commande des quantités différentes de livraison ou la gestion d’articles avec
demandes saisonnières. Les demandes nettes pour n’importe quelle période t doivent être
disponibles au début de la période. Ainsi, aucune pénurie ni aucuns arrérages ne sont permis.
Le coût commun de commande K ne dépend pas de la composition de la commande, tandis que
le coût individuel de commande de l’article i, noté ki, est encouru seulement lorsque cet article
est commandé. Tel que mentionné dans la section précédente, le coût commun de commande
fixe ne dépend pas de la quantité commandée tandis que le coût commun variable en paliers et le
coût commun linéaire par morceaux dépendent de la quantité commandée.
Qté b1
$
K2, K3
Qté b2
$
b3 b4 b5 b0
K0, K1
K4, K5
K6
b6
27
De plus en plus de fournisseurs offrent aux entreprises des rabais sur les achats annuels plutôt
que sur une commande. Ainsi, les rabais sur les quantités ne sont pas considérés. En ce qui
concerne la taille des commandes et les inventaires, aucune limite inférieure ou supérieure ne les
restreint.
Le coût unitaire de chaque article i étant constant sur tout l’horizon, il n’est pas pertinent d’en
tenir compte dans la formulation mathématique. Comme l’entreprise doit satisfaire les demandes
de ses clients, le coût d’achat des articles sera le même peu importe le plan d’approvisionnement
généré.
Pour terminer, le délai de livraison des articles n’est pas considéré puisque celui-ci est
déterministe et connu pour tout l’horizon de planification.
3.3. Propriétés de la solution optimale
Selon Silver (1979), pour qu’un plan d’approvisionnement soit considéré optimal, les quatre
propriétés ci-dessous doivent être respectées. Celles-ci s’appliquent au cas où le coût commun de
commande est considéré fixe.
Propriété 1 : Il existe une solution optimale (I*, x*) telle que : 0*1
* =−ititIx , pour tous les articles i
= 1, …, N et toutes les périodes t = 1, …, T.
Si le stock de fin Iit-1 de l’article i à la période t – 1 est positif, alors aucune réception ne doit être
planifiée pour cet article à la période t (xit = 0). Une commande est lancée pour l’article i
seulement si son stock de début est à zéro.
Propriété 2 : La propriété 1 implique que la quantité à recevoir xit de l’article i au début de la
période t est une des quantités suivantes : dit, dit + dit-1, …, ∑=
T
trird .
La demande d’une période doit toujours être affectée à une seule commande puisqu’il n’est
jamais rentable de séparer une commande en deux.
Propriété 3 : Découlant également de la propriété 1, le stock de fin de période t -1 de l’article i
doit être égal à une des possibilités suivantes : 0, dit, dit + dit-1, …, ∑=
T
trird .
28
Propriété 4 : Considérons t < r, si (r – t)hi * dir > K + ki, alors ni la demande de l’article i à la
période r ni les demandes des périodes suivantes ne seront incluses dans la commande lancée au
début de la période t. Le coût de stocker cette demande est plus dispendieux que celui de
commander.
Tel que démontré par Silver (1979), ces quatre propriétés sont respectées pour le problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique pour le cas où le
coût commun de commande est fixe. Par contre, ces propriétés ne sont pas respectées pour les cas
où le coût commun de commande est variable en paliers ou linéaire par morceaux.
Afin de démontrer cette affirmation, étudions un exemple à dix articles et treize périodes. Le coût
commun de commande est représenté par une fonction par paliers. Deux paliers ont été utilisés.
Le premier palier a un coût commun de commande de 800 $ et le second de 1 000 $. La borne
supérieure du premier palier est de 6 800 unités commandées, tandis que celle du deuxième palier
est la somme totale de toutes les demandes nettes, soit 28 470 unités. Le Tableau 3.1 présente les
coûts individuels de commande et de stockage et le Tableau 3.2 donne les demandes nettes.
TABLEAU 3.1 : COÛTS INDIVIDUELS DE COMMANDE ET DE STOCKAGE DE L’EXEMPLE
Article ki hi
1 60 0,32 70 0,43 90 0,14 30 0,55 30 0,36 50 0,47 100 0,18 20 0,19 40 0,3
10 510 0,3
TABLEAU 3.2 : DEMANDES NETTES DE L’EXEMPLE Période/Article 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
1 210 110 10 180 60 50 25 185 200 215 105 60 20 1 4302 165 95 160 155 135 155 145 140 55 95 145 170 105 1 7203 640 105 660 155 680 510 625 355 15 355 50 265 815 5 2304 10 15 0 5 5 10 15 10 15 0 5 5 15 1105 95 20 110 40 115 0 85 120 60 115 105 110 5 9806 135 65 75 25 65 105 125 135 70 35 165 10 130 1 1407 580 525 315 290 715 75 450 595 175 760 610 660 120 5 8708 565 395 110 445 275 430 655 415 455 480 235 580 670 5 7109 90 195 80 205 10 115 195 55 175 65 210 30 10 1 435
10 465 85 400 725 230 240 260 385 710 615 655 65 10 4 845
29
Le Tableau 3.3 donne la solution optimale de cet exemple. Nous remarquons que la quantité
commandée à la période 7 est de 6 800 unités, soit la limite du premier palier. Donc, la demande
nette de l’article 7 à la période 7 a été séparée entre la commande de la période de commande 4 et
celle de la période 7. Ainsi, 110 unités ont été commandées à la période 4 au lieu de la période 7,
ce qui a permis de diminuer la quantité à commander de la période 7 pour ne pas dépasser la
limite du premier palier. Il reste 110 unités en stock pour l’article 7 à la fin de la période 6. Tel
qu’illustré au Tableau 3.4, le coût total de ce plan d’approvisionnement est de 12 837,50 $. La
séparation de cette commande de l’article 7 en deux permet d’économiser 200 $, soit la
différence entre le coût du deuxième palier et le premier palier (1 000$ - 800 $ = 200 $). Par
contre, un coût de stockage supplémentaire de 33 $ est engendré, soit le coût de stocker 110
unités pendant trois périodes supplémentaires. Évidemment, ce coût de stockage est inférieur au
coût commun de commande additionnel qui aurait été déboursé pour atteindre le deuxième palier.
TABLEAU 3.3 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT OPTIMAL DE L’EXEMPLE Période/Article 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
1 330 0 0 290 0 0 410 0 0 400 0 0 0 1 4302 420 0 0 445 0 0 340 0 0 240 0 275 0 1 7203 1 405 0 0 1 345 0 0 995 0 0 405 0 1 080 0 5 2304 45 0 0 0 0 0 45 0 0 0 0 20 0 1105 225 0 0 155 0 0 265 0 0 220 0 115 0 9806 275 0 0 195 0 0 330 0 0 200 0 140 0 1 1407 1 420 0 0 1 190 0 0 1 110 0 0 1 370 0 780 0 5 8708 1 070 0 0 1 150 0 0 1 525 0 0 715 0 1 250 0 5 7109 365 0 0 330 0 0 425 0 0 315 0 0 0 1 435
10 950 0 0 1 195 0 0 1 355 0 0 1 345 0 0 0 4 845Total 6 505 0 0 6 295 0 0 6 800 0 0 5 210 0 3 660 0 28 470
30
TABLEAU 3.4 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE Période 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total
Coût majeur 800 0 0 800 0 0 800 0 0 800 0 800 0 4000Coût mineur
1 60 0 0 60 0 0 60 0 0 60 0 0 0 2402 70 0 0 70 0 0 70 0 0 70 0 70 0 3503 90 0 0 90 0 0 90 0 0 90 0 90 0 4504 30 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 30 0 905 30 0 0 30 0 0 30 0 0 30 0 30 0 1506 50 0 0 50 0 0 50 0 0 50 0 50 0 2507 100 0 0 100 0 0 100 0 0 100 0 100 0 5008 20 0 0 20 0 0 20 0 0 20 0 20 0 1009 40 0 0 40 0 0 40 0 0 40 0 0 0 16010 510 0 0 510 0 0 510 0 0 510 0 0 0 2040
Stock de fin1 120 10 0 110 50 0 385 200 0 185 80 20 02 255 160 0 290 155 0 195 55 0 145 0 105 03 765 660 0 1190 510 0 370 15 0 50 0 815 04 35 20 20 15 10 0 30 20 5 5 0 15 05 130 110 0 115 0 0 180 60 0 105 0 5 06 140 75 0 170 105 0 205 70 0 165 0 130 07 840 315 0 900 185 110 770 175 0 610 0 120 08 505 110 0 705 430 0 870 455 0 235 0 670 09 275 80 0 125 115 0 230 175 0 250 40 10 010 485 400 0 470 240 0 1095 710 0 730 75 10 0
Coût de stockage1 36 3 0 33 15 0 115,5 60 0 55,5 24 6 0 3482 102 64 0 116 62 0 78 22 0 58 0 42 0 5443 76,5 66 0 119 51 0 37 1,5 0 5 0 81,5 0 437,54 17,5 10 10 7,5 5 0 15 10 2,5 2,5 0 7,5 0 87,55 39 33 0 34,5 0 0 54 18 0 31,5 0 1,5 0 211,56 56 30 0 68 42 0 82 28 0 66 0 52 0 4247 84 31,5 0 90 18,5 11 77 17,5 0 61 0 12 0 402,58 50,5 11 0 70,5 43 0 87 45,5 0 23,5 0 67 0 3989 82,5 24 0 37,5 34,5 0 69 52,5 0 75 12 3 0 39010 145,5 120 0 141 72 0 328,5 213 0 219 22,5 3 0 1264,5
Coût total 2489,5 392,5 10 2487 343 11 2743 468 2,5 2367 58,5 1465,5 0 12837,5
3.4. Formulations mathématiques
Les formulations mathématiques associées aux trois structures du coût commun de commande
sont présentées dans les sections suivantes.
3.4.1. Coût commun de commande fixe
Pour résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande
dynamique de manière optimale, un programme linéaire en nombres mixtes (mixed integer
programming formulation) est proposé. Cette formulation tient compte du coût commun de
commande fixe. Ici, N représente le nombre d’articles tandis que T est le nombre de périodes
dans l’horizon de planification. Pour chaque article i ∈ {1, 2, …, N} et chaque période t ∈ {1, 2,
…, T}, nous avons la notation ci-dessous :
31
xit Nombre d’unités de l’article i à recevoir à la période t;
Iit Stock de l’article i à la fin de la période t;
dit Demande nette de l’article i pour la période t, dit ≥ 0;
Kt Coût commun de commande. Ce coût n’est pas dépendant de la quantité commandée;
kit Coût individuel de commande. Ce coût est encouru si un lot de l’article i est inclus dans la commande lancée à la période t;
hit Coût unitaire de stockage de l’article i à la période t;
zt Variable binaire = 1 si une commande est passée pour la période t;
yit Variable binaire = 1 si le lot de l’article i est inclus dans la commande de la période t.
La première formulation s’écrit alors :
Minimiser : (1) ( )∑ ∑= =
++
T
t
N
iitititittt IhykzK
1 1
Sujet aux contraintes :
(2) Iit-1 + xit = Iit + dit i = 1, …, N; t = 1, …, T
(3) it
T
tririt ydx
≤ ∑
=
i = 1, …, N; t = 1, …, T
(4) ∑=
≤N
itit Nz y
1
t = 1, …, T
(5) zt, yit ∈ {0, 1} i = 1, …, N; t = 1, …, T
(6) Iit, x it ≥ 0 i = 1, …, N; t = 1, …, T
L’objectif (1) minimise la somme des coûts d’approvisionnement individuel et coordonné ainsi
que les coûts de stockage, et ce, pour tous les articles et toutes les périodes. La contrainte (2)
garantit la satisfaction de la demande. Le stock de fin de période t de l’article i est égal au stock
de début de période plus les quantités commandées moins la demande nette. La contrainte (3)
indique qu’une quantité de l’article i à la période t est commandée lorsqu’une commande est
lancée. De plus, cette quantité ne peut pas dépasser la somme des demandes nettes à combler
pour le reste de l’horizon de planification pour cet article i. La contrainte (4) indique qu’un coût
commun de commande à la période t est engendré dès qu’un article i est commandé à la période
t. La contrainte (5) reflète les variables binaires tandis que la contrainte (6) représente les
contraintes de non négativité.
32
Dans le but de réduire les temps de résolution, Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont proposé
deux nouvelles formulations mathématiques. Pour la construction de la première formulation qui
est très compacte, deux nouvelles variables ont été définies. La première variable est citq qui
représente le coût de commander à la période t une quantité de l’article i qui couvre sa demande
de la période t à q, c’est-à-dire ∑ ∑+=
−
=
+=
q
trir
r
tkikititq dhkc
1
1
. La deuxième variable est witq qui
représente une variable binaire qui prend la valeur de 1 seulement si la quantité commandée de
l’article i à la période t couvre la demande de la période t jusqu’à q, c’est-à-dire witq = 1 si et
seulement si ∑=
=q
tririt dx .
La deuxième formulation s’écrit alors :
Minimiser : (7) ∑ ∑∑= = =
+
T
t
N
i
T
tqitqitqtt wczK
1 1
Sujet aux contraintes :
(8) ∑∑= =
=t
q
T
riqrw
1 1
1 i = 1, …, N; t = 1, …, T
(9) ∑∑= =
≤N
i
T
tqtitq Nzw
1 t = 1,…, T
(10) witq ∈ {0, 1} i = 1, …, N; t = 1, …, T; q = 1, …, T
(11) zt ∈ {0, 1} t = 1, …, T
Par la suite, Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont introduit une nouvelle formulation
mathématique qui utilise une variable binaire uitq égale à 1 si et seulement si la demande de
l’article i de la période q est incluse dans la commande du début de la période t.
La troisième formulation s’écrit alors :
Minimiser : (12) ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑= = = = =
−
=
−
=
++
T
t
N
i
T
t
N
i
T
t
t
qiqtit
t
qririttittt udhukzK
1 1 1 1 2
1
1
1
Sujet aux contraintes :
(13) ∑=
=t
qiqtu
11 i = 1, …, N; t = 1, …, T
33
(14) ∑=
≤N
ititt Nzu
1 t = 1, …, T
(15) ittitq uu ≤ i = 1, …, N; t = 1, …,T –1 ; q = t +1, …, T
(16) uitq ∈ {0, 1} i = 1, …, N; t = 1 ,…, T; q = 1, …, T
(17) zt ∈ {0, 1} t = 1, …, T
Tel que mentionné dans la Section 3.3, les propriétés de la solution optimale proposée par Silver
(1979) ne sont pas respectées dans les cas où le coût commun de commande est variable en
paliers ou linéaire par morceaux. Ceci fait en sorte qu’il est impossible d’adapter les deux
formulations (7) à (11) et (12) à (17). Ces deux nouvelles formulations utilisent des variables
binaires pour indiquer si la demande nette de l’article i à la période t est incluse ou non dans la
commande. Ce raisonnement empêche la séparation d’une commande en deux. C’est pour cette
raison que seulement la formulation mathématique classique a été adaptée, dans les deux
prochaines sous-sections, afin de considérer les cas où le coût commun de commande est variable
en paliers ou bien linéaire par morceaux.
3.4.2. Coût commun de commande variable en paliers
Pour formuler le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande
dynamique avec un coût de commande variable par paliers, la formulation suivante est utilisée.
Nous avons attribué la valeur de 1 à tous les pi. Alors, les termes poids et quantité commandée
sont équivalentes dans ce document, excepté pour les exemples A et B du chapitre 4. Pour
chaque article i ∈ {1, 2, …, N}, chaque palier du coût commun s ∈ {1, 2, …, M} et chaque
période t ∈ {1, 2, …, T}, nous avons la notation suivante :
xit Nombre d’unités de l’article i à recevoir pour la période t;
Iit Stock de l’article i à la fin de la période t;
dit Demande nette de l’article i pour la période t, dit ≥ 0;
Kst Coût commun de commande. Ce coût n’est pas dépendant des articles commandés mais de la quantité commandée;
kit Coût individuel de commande. Ce coût est encouru si un lot de l’article i est inclus dans la commande lancée à la période t;
hit Coût unitaire de stockage de l’article i à la période t;
pi Poids unitaire de l’article i;
34
bs Borne supérieure du palier s;
zst Variable binaire = 1 si la commande à la période t appartient au palier s;
yit Variable binaire = 1 si le lot de l’article i à la période t est inclus dans la commande.
Le problème s’écrit alors :
Minimiser : (18) ( )∑ ∑ ∑= = =
++
T
t
M
s
N
iititititstst IhykzK
1 1 1
Sujet aux contraintes :
(19) Iit-1 + xit = Iit + dit i = 1, …, N; t = 1, …, T
(20) it
T
tririt ydx
≤ ∑
=
i = 1, …, N; t = 1, …, T
(21) ∑ ∑= =
≤N
i
M
sstit zNy
1 1
t = 1, …, T
(22) ∑ ∑= =
≤N
i
M
sstsiti zbxp
1 1
t = 1, ..., T
(23) ∑=
≤M
sstz
1
1 t = 1, ..., T
(24) zst, yit ∈ {0, 1} i = 1, …, N; s = 1, ..., M; t = 1, ..., T
(25) Iit, x it ≥ 0 i = 1, …, N; t = 1, …, T
L’objectif (18) minimise la somme des coûts de commande et de stockage, et ce, pour tous les
types d’articles et toutes les périodes. La contrainte (19) garantit la satisfaction de la demande. Le
stock de fin de période t de l’article i est égal au stock de début de période plus les quantités
commandées moins la demande nette. La contrainte (20) indique qu’une quantité de l’article i à la
période t est commandée lorsqu’une commande est lancée. De plus, cette quantité ne peut pas
dépasser la somme des demandes nettes à combler pour le reste de l’horizon de planification pour
cet article i. La contrainte (21) indique qu’un coût commun de commande à la période t est
engendré dès qu’un article i est commandé à la période t. La contrainte (22) permet de choisir le
coût commun de commande en fonction de la quantité commandée. La somme des poids de tous
les articles inclus dans une commande lancée à la période t doit être comprise dans un des paliers.
La contrainte (23) indique que seulement un coût commun de commande peut être comptabilisé
35
pour chaque commande. La contrainte (24) reflète les variables binaires tandis que la contrainte
(25) représente les contraintes de non négativité.
3.4.3. Coût commun de commande linéaire par morceaux
Pour formuler le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande
dynamique avec un coût de commande linéaire par morceaux, la formulation suivante est
employée. Pour chaque article i ∈ {1, 2, …, N}, chaque morceau du coût commun de commande
s ∈ {1, 2, …, M} et chaque période t ∈ {1, 2, …, T}, la notation suivante est utilisée :
xit Nombre d’unités de l’article i à recevoir pour la période t;
Iit Stock de l’article i à la fin de la période t;
dit Demande nette de l’article i pour la période t, dit ≥ 0;
Kst Coût cumulatif pour l’achat de tous les articles i jusqu’à la borne s. Ce coût n’est pas dépendant des articles commandés mais de la quantité commandée;
kit Coût individuel de commande. Ce coût est encouru si un lot de l’article i est inclus dans la commande lancée à la période t;
hit Coût unitaire de stockage de l’article i à la période t;
pi Poids unitaire de l’article i;
bs Borne du morceau s;
ust Variable borne inférieure de chaque morceau;
vst Variable borne supérieure de chaque morceau;
wst Variable binaire = 1 si le morceau s est utilisé à la période t, si une commande est lancée;
yit Variable binaire = 1 si le lot de l’article i à la période t est inclus dans la commande.
Le problème s’écrit alors :
Minimiser : (26) ( ) ( )∑ ∑ ∑= = =
−
+++
T
t
M
s
N
iititititstststts IhykvKuK
1 1 1,1
Sujet aux contraintes :
(27) Iit-1 + xit = Iit + dit i = 1, …, N; t = 1, …, T
(28) it
T
tririt ydx
≤ ∑
=
i = 1, …, N; t = 1, …, T
36
(29) ∑ ∑= =
≤N
i
M
sstit wNy
1 1
t = 1, ..., T
(30) ( )∑ ∑= =
− +=N
i
M
sstststtsiti vbubxp
1 1,1 t = 1, ..., T
(31) ∑=
≤M
sstw
1
1 t = 1, ..., T
(32) ststst wvu =+ s = 1, ..., M; t = 1, ..., T
(33) wst, yit ∈ {0, 1} i = 1, …, N; s = 1, ..., M; t = 1, ..., T
(34) Iit, x it, ust, vst ≥ 0 i = 1, …, N; s = 1, ..., M t = 1, …, T
L’objectif (26) minimise la somme des coûts de commande et de stockage, et ce, pour tous les
types d’articles et toutes les périodes. La contrainte (27) garantit la satisfaction de la demande. Le
stock de fin de période t de l’article i est égal au stock de début de période plus les quantités
commandées moins la demande nette. La contrainte (28) indique qu’une quantité de l’article i à la
période t est commandée lorsqu’une commande est lancée. De plus, cette quantité ne peut pas
dépasser la somme des demandes nettes à combler pour le reste de l’horizon de planification pour
cet article i. La contrainte (29) indique qu’un coût commun de commande à la période t est
engendré seulement lorsque l’article i est commandé à la période t. La contrainte (30) permet de
choisir le coût commun de commande en fonction de la quantité commandée. La somme des
poids de tous les articles inclus dans une commande lancée à la période t doit être comprise dans
un des morceaux. La contrainte (31) indique que seulement un coût commun de commande peut
être comptabilisé pour chaque commande. La contrainte (32) indique que la somme des
pourcentages associés à la borne inférieure et à la borne supérieure doit être égale à un, si une
commande est engendrée, sinon égale à zéro. La contrainte (33) reflète les variables binaires
tandis que la contrainte (34) représente les contraintes de non négativité.
3.5. Conclus ion
Dans ce chapitre, nous avons présenté cinq modèles mathématiques pour résoudre le problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte
de capacité dont deux nouveaux modèles pour les cas où le coût commun de commande est
variable en paliers ou linéaire par morceaux. Les méthodes heuristiques pour la résolution de ces
deux nouveaux cas sont présentées au prochain chapitre.
37
CHAPITRE 4. MÉTHODES HEURISTIQUES DE RÉSOLUTION
4
38
4. MÉTHODES HEURISTIQUES DE RÉSOLUTION
Dans le cadre de cet essai, nous avons, premièrement, utilisé trois heuristiques originalement
proposées pour le cas où le coût commun de commande est fixe. De plus, nous avons également
proposé une nouvelle adaptation de deux autres heuristiques. À la Section 4.1., l’heuristique de
Fogarty et Barringer (1987), notre adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973), notre
adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza (1968), la
méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994) et la méthode de réduction gloutonne
de Boctor, Laporte et Renaud (2003) sont présentées et utilisées pour résoudre les deux nouvelles
versions du problème d’approvisionnement coordonné étudiées ici, soit le cas où le coût commun
de commande est variable en paliers et le cas où le coût commun de commande est linéaire par
morceaux. La Section 4.2 présente la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) et la
Section 4.3 conclut ce chapitre.
Pour illustrer le fonctionnement de ces heuristiques, deux exemples numériques sont utilisés. Les
données de ces deux exemples sont présentées ci-après. Le Tableau 4.1. présente les coûts
individuels de commande (ki) et de stockage (hi) ainsi que le poids (pi) de chaque article i, tandis
que le Tableau 4.2. indique les demandes nettes dit. La structure du coût commun de commande
du premier exemple, nommé exemple A, est illustrée à la Figure 4.1.
TABLEAU 4.1 : LES COÛTS DES ARTICLES
Article k i h i p i 1 10 0,5 1,1 2 20 0,3 2,0 3 15 0,4 1,5
TABLEAU 4.2 : LES DEMANDES NETTES dit
Période/ Article
1 2 3 4 5 6 Total
1 10 20 10 30 30 40 140 2 28 7 22 19 32 50 158 3 11 12 13 15 50 27 128
Poids 83,5 54,0 74,5 93,5 172,0 184,5 662
39
FIGURE 4.1 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE A
Pour le deuxième exemple, nommé exemple B, la structure du coût commun de commande est
une fonction linéaire par morceaux, au lieu d’une fonction par paliers. La fonction utilisée pour le
coût commun de commande est illustrée à la Figure 4.2.
FIGURE 4.2 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE B
400 Poids
180
$
$
220
140
80
Poids 40
$
140
180
$
220 400 440
80
180
250
800
0,1944
0,2222
0,4286
40
4.1. Heuristiques proposées
Les approches de résolution utilisées sont les mêmes que pour le problème d’approvisionnement
coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique et coût commun de commande fixe,
sauf celles de Silver et Meal (1973), de De Matteis et Mendoza (1968) et de Silver et Kelle (1988)
qui sont légèrement adaptées afin de les rendre plus simples d’utilisation. Seul le calcul du coût
commun de commande diffère dans le cas de coût commun de commande variable en paliers ou
linéaire par morceaux.
4.1.1. Heuristique Fogarty et Barringer
L’heuristique de Fogarty et Barringer (1987) est très simple à utiliser et est basée sur la
programmation dynamique de Wagner et Whitin (1958). Le problème est simplifié en exigeant
l’approvisionnement de toutes les demandes de tous les articles jusqu’à la prochaine commande
lorsqu’une commande est lancée. Ainsi, la solution optimale du problème simplifié est obtenue
en solutionnant le programme dynamique suivant :
avec :
Où Kq(P) est le coût commun de commande correspondant au poids P pour la période q.
En appliquant cette heuristique aux données de l’exemple A, nous obtenons les valeurs ft données
dans le Tableau 4.3. De ce tableau, nous pouvons déduire la solution optimale présentée au
Tableau 4.4. Le détail des coûts de cette solution est présenté dans le Tableau 4.5. La valeur de la
solution optimale est de 524,40$.
autrement. 0et ,0si 1
autrement. 0et ,0 si 11
=>=
=>=
∑
∑ ∑
=
= =
iq
t
qririq
q
n
i
t
qrirq
ydy
zdz
( );,...,2 }{min 1 Ttcff qtqtq
t =+= −≤
∑∑==
+
=
n
iii
N
iii ykzdpKf
1111
1111
∑ ∑ ∑∑ ∑= +=
−
== =
++
=
n
i
t
qr
r
qkikiriqiqq
N
i
t
qririqqt hdykzdpKc
1 1
1
1
})({
41
TABLEAU 4.3 : SOLUTION DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
Période/Période 1 2 3 4 5 6
1 125,00 80 + 16,9+ 45 =
141,90 175,50 315,60 534,00 763,00
2 250,00 266,80 380,20 514,00 737,20
3 266,90 293,60 141,90 + 140 + 45
+ 26,7 + 89,2 = 442,80 620,20
4 300,50 405,10 536,70 5 418,60 524,40 6 530,10
TABLEAU 4.4 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total 1 30 0 40 0 70 0 140 2 35 0 41 0 82 0 158 3 23 0 28 0 77 0 128
TABLEAU 4.5 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 80 0 140 0 300Coût mineur
1 10 0 10 0 10 0 302 20 0 20 0 20 0 603 15 0 15 0 15 0 45
Stock de fin1 20 0 30 0 40 02 7 0 19 0 50 03 12 0 15 0 27 0
Coût de stockage1 10 0 15 0 20 0 45,02 2 0 6 0 15 0 22,83 5 0 6 0 11 0 21,6
Coût total 142 0 152 0 231 0 524,40
42
Les valeurs de ft obtenues en appliquant l’heuristique de Fogarty et Barringer (1988) aux
données de l’exemple B sont présentées au Tableau 4.6. À partir de ce tableau, la solution
optimale en est déduite et est présentée au Tableau 4.7. Le détail des coûts de cette solution est
présenté au Tableau 4.8. La valeur de la solution optimale est 595,73$.
TABLEAU 4.6 : SOLUTION DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
Période/Période 1 2 3 4 5 6
1 143,60 121,79 + 45 + 16,9 =
183,69 235,50 334,60 541,29 806,17
2 274,64 323,37 399,29 571,31 782,77
3 323,47 390,24 183,7 + 166,67 +
45 + 26,7 + 89,2 = 511,25
678,42
4 383,43 475,21 598,64 5 516,17 595,73 6 660,21
TABLEAU 4.7 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total 1 70 0 0 0 70 0 140 2 76 0 0 0 82 0 158 3 51 0 0 0 77 0 128
TABLEAU 4.8 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur
1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30
Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0
Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0
Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73
43
4.1.2. Adaptation proposée de l’heuristique de Silver et Meal
L’adaptation proposée de l’heuristique de Silver et Meal (1973) cherche à minimiser le coût
pertinent total par période. Le coût pertinent par période est calculé jusqu’à ce que t = T ou que le
coût moyen à la période t soit supérieur à celui de la période t – 1 pour le dernier palier ou
morceau. Ensuite, il faut choisir le coût pertinent par période minimum. Une commande est
lancée à la période suivante. Si une commande est lancée à la dernière période, il faut alors
calculer le coût total de commander à cette période et le coût total de regrouper cette commande
avec la précédente, et choisir le coût total minimum. Dans les présentations qui suivent, K est la
fonction de coût associée à la quantité (poids) commandée. Voici, en détail, les étapes de cette
heuristique.
Étape 1. Initialisation
Mettre t = 1 et L = 1.
Étape 2. Incrémentation
Calculer le coût pertinent à la période L jusqu’à la période t :
∑∑∑== =
+−+=N
iii
t
Lr
N
iiir krhdKCP
11
)1( δ où δ i = 1 si l’article i est inclus dans la commande L
jusqu’à t.
Calculer le coût pertinent par période : CPP = CP/L.
Répéter l’étape 2 jusqu’à ce que t = T ou que le coût moyen à la période t soit supérieur à
celui de la période t – 1 pour le dernier palier.
Étape 3. Choix de la période de réapprovisionnement
Choisir le coût pertinent par période minimum.
Une commande est lancée à la période suivante (L = t + 1).
Retourner à l’étape 2 jusqu’à ce que toutes les demandes soient satisfaites.
Étape 4. Test
Si une commande est lancée à la dernière période, alors calculer le coût total de
commander à cette période et celui de l’option de regrouper cette commande avec la
précédente, et choisir le coût total minimum.
44
Ci-après, le détail de l’application de la méthode de Silver-Meal aux données de l’exemple A.
L = 1 t = 1 80 + 45 = 125/1 = 125 Palier 1 t = 2 125 + 16,9 = 141,9/2 = 70,95 Palier 1 t = 3 141,9 + 33,6 = 175,5/3 = 58,5 Palier 1 t = 4 175,5 + 60 + 80,1 = 315,6/4 = 78,9 Palier 2 t = 5 315,6 + 40 + 178,4 = 534/5 = 106,8 Palier 3 t = 6 534 + 229 = 763/6 = 127,17 Palier 3 On commande pour les périodes 1 à 3.
L = 4 t = 4 80 + 45 = 125/1 = 125 Palier 1 t = 5 125 + 60 + 44,6 = 229,6/2 = 114,8 Palier 2 t = 6 229,6 + 40 + 91,6 = 180 + 45 + 44,60 + 91,60 = 361,2/3 = 120,4 Palier 3 On commande pour les périodes 4 à 5. L = 6 arrêt, car fin de l’horizon de planification
Puisque une commande est effectuée à la dernière période, le test suivant doit être effectué : Commander aux périodes 1 et 4 : coût total = 536,70 $ Commander aux périodes 1, 4 et 6 : coût total = 530,10 $
Étant donné que le coût total de commander aux périodes 1, 4 et 6 est inférieur à celui de
commander aux périodes 1 et 4, la commande de la période 6 est conservée. Le plan
d’approvisionnement généré par cette méthode pour l’exemple A est présenté au Tableau 4.9. Au
Tableau 4.10, nous retrouvons le détail des coûts de ce plan.
TABLEAU 4.9 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 60 0 40 1402 57 0 0 51 0 50 1583 36 0 0 65 0 27 128
45
TABLEAU 4.10 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 0 140 0 80 300Coût mineur
1 10 0 0 10 0 10 302 20 0 0 20 0 20 603 15 0 0 15 0 15 45
Stock de fin1 30 10 0 30 0 02 29 22 0 32 0 03 25 13 0 50 0 0
Coût de stockage1 15 5 0 15 0 0 35,02 9 7 0 10 0 0 24,93 10 5 0 20 0 0 35,2
Coût total 159 17 0 230 0 125 530,10
Ci-après, le détail de l’application de la méthode de Silver-Meal aux données de l’exemple B.
L = 1 t = 1 98,6 + 45 = 143,6/1 = 143,6 Morceau 2 t = 2 143,6 + 23,2 + 16,9 = 183,7/2 = 91,85 Morceau 2 t = 3 183,7 + 18,21 + 33,6 = 235,5/3 = 78,5 Morceau 3 t = 4 235,5 + 19 + 80,1 = 334,6/4 = 83,7 Morceau 4 t = 5 334,6 + 28,3 + 178,4 = 541,3/5 = 108,3 Morceau 6 t = 6 541,3 + 35,9 + 229 = 806,2/6 = 134,4 Morceau 6 On commande pour les périodes 1 à 3.
L = 4 t = 4 102,93 + 45 = 147,9/1 = 147,9 Morceau 2 t = 5 147,9 + 47,2 + 44,6 = 239,7/2 = 119,9 Morceau 4 t = 6 239,7 + 31,8 + 91,6 = 181,94 + 45 + 44,60 + 91,60 = 363,1/3 = 121,0 Morceau 6 On commande pour les périodes 4 à 5.
L = 6 arrêt, car fin de l’horizon de planification
Puisque une commande est effectuée à la dernière période, le test suivant doit être effectué : Commander aux périodes 1 et 4 : coût total = 598,64 $ Commander aux périodes 1, 4 et 6 : coût total = 660,21 $
Étant donné que le coût total de commander aux périodes 1 et 4 est inférieur à celui de
commander aux périodes 1, 4 et 6, la commande de la période 6 n’est pas conservée. Le plan
46
d’approvisionnement généré par cette méthode pour l’exemple B est présenté au Tableau 4.11.
Au Tableau 4.12, nous retrouvons le détail des coûts de ce plan.
TABLEAU 4.11 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 100 0 0 1402 57 0 0 101 0 0 1583 36 0 0 92 0 0 128
Plan de réapprovisionnement
TABLEAU 4.12 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 140 0 0 182 0 0 322Coût mineur
1 10 0 0 10 0 0 202 20 0 0 20 0 0 403 15 0 0 15 0 0 30
Stock de fin1 30 10 0 70 40 02 29 22 0 82 50 03 25 13 0 77 27 0
Coût de stockage1 15 5 0 35 20 0 75,02 9 7 0 25 15 0 54,93 10 5 0 31 11 0 56,8
Coût total 219 17 0 317 46 0 598,64
4.1.3. Adaptation proposée de l’heuristique d’équilibrage pièce-période
L’adaptation proposée de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza
(1968) cherche à minimiser la différence entre le coût de stockage et le coût de commande. Tout
d’abord, il faut calculer la différence entre le coût de stockage et le coût de commande jusqu’à ce
que t = T ou que le coût de stockage soit supérieur au coût de commande pour le dernier palier ou
morceau. Ensuite, choisir la différence absolue minimale. Une commande est lancée à la période
suivante. Tout comme l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973), si la dernière
commande est lancée à la dernière période, il faut alors calculer le coût total de commander à
cette période et le coût total de regrouper cette commande avec la précédente, et choisir le coût
total minimum. Voici, en détail, les étapes de cette heuristique :
47
Étape 1. Initialisation
Mettre L = 1, CST = 0 et t = 1.
Étape 2. Incrémentation
Calculer le coût de stockage de la période L jusqu’à la période t :
)1(1
−= ∑∑= =
rhdCSTt
Lr
N
iiir .
Calculer le coût de commande de la période L jusqu’à la période t : ∑=
+=N
iiikKCC
1
δ où
δ i = 1 si l’article i est inclus dans la commande L jusqu’à t.
Calculer la différence absolue entre le coût de stockage et le coût de commande :
D = CST - CC
Répéter l’étape 2 jusqu’à ce que t = T ou que le coût de stockage soit supérieur au coût de
commande pour le dernier palier.
Étape 3. Choix de la période de réapprovisionnement
Choisir la différence absolue minimale.
Une commande est lancée à la période suivante (L = t + 1).
Retourner à l’étape 2 jusqu’à ce que toutes les demandes soient satisfaites
Étape 4. Test
Si la dernière commande est lancée à la dernière période, il faut alors calculer le coût total
de commander à cette période et celui de l’option de regrouper cette commande avec la
précédente, et choisir le coût total minimum.
Ci-après, le détail de l’application de l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période
aux données de l’exemple A.
L = 1 t = 1 CST = 0 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 125 t = 2 CST = 0 + 16,9 = 16,9 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 108,1 t = 3 CST = 16,9 + 33,6 = 50,5 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 74,5 t = 4 CST = 50,5 + 80,1 = 130,6 < 140 + 45 Palier 2 Différence : 54,4 t = 5 CST = 130,6 + 178,4 = 309 > 180 + 45 Palier 3 Différence : 84 On commande pour les périodes 1 à 4.
48
L = 5 t = 5 CST = 0 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 125 t = 6 CST = 0 + 45,8 = 45,8 < 140 + 45 Palier 2 Différence : 139,2 On commande pour la périodes 5.
L = 6 arrêt, car fin de l’horizon de planification
Puisque une commande est lancée à la dernière période, le test suivant doit être effectué : Commander aux périodes 1 et 5 : coût total = 546,40 $ Commander aux périodes 1, 5 et 6 : coût total = 565,60 $
Étant donné que le coût total de commander aux périodes 1 et 5 est inférieur à celui de
commander aux périodes 1, 5 et 6, la commande de la période 6 n’est pas conservée. À partir de
ce tableau, la solution en est déduite et est présentée au Tableau 4.13. Le détail des coûts de cette
solution est présenté au Tableau 4.14.
TABLEAU 4.13 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 70 0 0 0 70 0 1402 76 0 0 0 82 0 1583 51 0 0 0 77 0 128
TABLEAU 4.14 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 140 0 0 0 140 0 280Coût mineur
1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30
Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0
Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0
Coût total 245 44 27 0 231 0 546,40
49
Ci-après, le détail de l’application de l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période
aux données de l’exemple B.
L = 1 t = 1 CST = 0 < 98,6 + 45 Morceau 2 Différence : 143,6 t = 2 CST = 0 + 16,9 = 16,9 < 121,8 + 45 Morceau 2 Différence : 149,9 t = 3 CST = 16,9 + 33,6 = 50,5 < 140 + 45 Morceau 3 Différence : 134,5 t = 4 CST = 50,5 + 80,1 = 130,6 < 159 + 45 Morceau 4 Différence : 73,4 t = 5 CST = 130,6 + 178,4 = 309 > 187,3 + 45 Morceau 6 Différence : 76,7 On commande pour les périodes 1 à 4.
L = 5 t = 5 CST = 0 < 136,6 + 45 Morceau 2 Différence : 181,6 t = 6 CST = 0 + 45,8 = 45,8 < 170,3 + 45 Morceau 4 Différence : 169,5 On commande pour les périodes 5 à 6.
À partir de ce tableau, la solution en est déduite et est présentée au Tableau 4.15. Le détail des
coûts de cette solution est présenté au Tableau 4.16.
TABLEAU 4.15 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total 1 70 0 0 0 70 0 140 2 76 0 0 0 82 0 158 3 51 0 0 0 77 0 128
TABLEAU 4.16 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur
1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30
Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0
Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0
Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73
50
4.1.4. Méthode d’ajout gloutonne
La méthode d’ajout gloutonne a été proposée par Federgruen et Tzur (1994). Tout d’abord, une
commande est effectuée à la première période afin de couvrir la demande à tout l’horizon.
Ensuite, toutes les possibilités de commander à une autre période t sont envisagées. Chaque
nouvelle commande couvre tous les articles. La possibilité qui diminue le plus le coût total, soit
le plus grand gain, est retenue. Les possibilités de rajouter d’autres commandes à des périodes t
qui n’ont pas de réapprovisionnement sont calculées jusqu’à ce que le coût total ne diminue plus.
En détail, la méthode d’ajout gloutonne est décrite ci-dessous.
Étape 1. Initialisation
Mettre ∑=
=T
titi dx
11 et P = {2, …, T}.
Étape 2. Détermination du meilleur gain
Pour chaque t ∈ P, calculer le gain de rajouter une période de réapprovisionnement.
Étape 3. Ajout d’une période de commande ou arrêt de l’algorithme
Si un ou plusieurs gains sont positifs, prendre le meilleur gain et une commande sera
ajoutée à la période correspondante.
Retirer la nouvelle période de commande t de l’ensemble P.
Si aucun gain, alors arrêt de la procédure.
L’application de cette méthode aux données de l’exemple A est présentée ci-après.
Coût total de commander uniquement à la première période = 763 $ Commander à la période 1 et à la période : 2 : 737,20 $ 3 : 620,20 $ 4 : 536,70 $ 5 : 546,40 $ 6 : 659,00 $ La période 4 est choisie comme période de commande puisque le coût total de cette option est inférieur aux autres possibilités de commande.
Commander aux périodes 1, 4 et : 2 : 628,00 $ 3 : 628,10 $ 5 : 531,30 $ 6 : 530,10 $ La période 6 est choisie comme période de commande puisque le coût total de cette option est inférieur aux autres possibilités de commande.
51
Commander aux périodes 1, 4, 6 et : 2 : 80 + 80 + 140 + 80 + (4 x 45) + 61,40 = 621,40 $ 3 : 621,50 $ 5 : 550,50 $
Arrêt puisque le coût total ne diminue plus. Les commandes doivent être reçues aux périodes 1, 4
et 6. Au Tableau 4.17, le plan d’approvisionnement de l’exemple A généré par cette méthode
d’ajout gloutonne est présenté. Les coûts de cette solution sont présentés au Tableau 4.18.
TABLEAU 4.17 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 60 0 40 1402 57 0 0 51 0 50 1583 36 0 0 65 0 27 128
TABLEAU 4.18 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 0 140 0 80 300Coût mineur
1 10 0 0 10 0 10 302 20 0 0 20 0 20 603 15 0 0 15 0 15 45
Stock de fin1 30 10 0 30 0 02 29 22 0 32 0 03 25 13 0 50 0 0
Coût de stockage1 15 5 0 15 0 0 35,02 9 7 0 10 0 0 24,93 10 5 0 20 0 0 35,2
Coût total 159 17 0 230 0 125 530,10
L’application de la méthode d’ajout gloutonne aux données de l’exemple B est présentée ci-
après.
Coût total de commander uniquement à la première période = 806,20$ Commander à la période 1 et : 2 : 782,77 $ 3 : 678,42 $
52
4 : 598,64 $ 5 : 595,73 $ 6 : 726,29 $ La période 5 est choisie comme période de commande puisque le coût total de cette option est inférieur aux autres possibilités de commande.
Commander aux périodes 1, 5 et : 2 : 660,42 $ 3 : 427 + (3 x 45) + 89,40 = 651,38 $ 4 : 644,56 $ 5 : 701,17 $ Arrêt puisque le coût total ne diminue plus. Les commandes seront lancées aux périodes 1 et 5.
Au Tableau 4.19, le plan d’approvisionnement de l’exemple B généré par la méthode d’ajout
gloutonne est présenté. Les coûts de cette solution sont présentés au Tableau 4.20.
TABLEAU 4.19 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 70 0 0 0 70 0 1402 76 0 0 0 82 0 1583 51 0 0 0 77 0 128
TABLEAU 4.20 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur
1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30
Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0
Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0
Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73
53
4.1.5. Méthode de réduction gloutonne
Boctor, Laporte et Renaud (2003) proposent la méthode de réduction gloutonne, l’inverse de la
méthode d’ajout gloutonne. Tout d’abord, une commande est effectuée à chaque période. Ensuite,
toutes les possibilités de regrouper une commande avec la précédente sont envisagées. La
possibilité qui diminue le plus le coût total, soit le plus grand gain, est retenue. Les possibilités de
regrouper d’autres commandes sont calculées jusqu’à ce que le coût total ne diminue plus. En
détail, voici les étapes à suivre pour résoudre un problème à l’aide de cette méthode.
Étape 1. Initialisation
Mettre xit = dit, pour tous les articles i et toutes les périodes t.
R = {2, …, T}.
Étape 2. Détermination du meilleur gain
Pour chaque t ∈ R, calculer le gain d’enlever une période de réapprovisionnement.
Étape 3. Enlèvement d’une période de commande ou arrêt de l’algorithme
Si un ou plusieurs gains sont positifs, prendre le meilleur gain et enlever la commande
passée à cette période.
Retirer la période de commande de l’ensemble R.
Si aucun gain, alors arrêt de la procédure.
L’application de la méthode de réduction gloutonne aux données de l’exemple A est présentée ci-
après.
Coût total de la solution lot pour lot = 750$
1 – 2 – 3 – 4 – 5 : 730,80 $ 1 – 2 – 3 – 4 – 6 : 729,60 $ 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : 651,70 $ 1 – 2 – 4 – 5 – 6 : 641,80 $ 1 – 3 – 4 – 5 – 6 : 641,90 $ Enlever R = 3
1 – 2 – 4 – 5 : 622,60 $ 1 – 2 – 4 – 6 : 621,40 $ 1 – 2 – 5 – 6 : 630,20 $ 1 – 4 – 5 – 6 : 550,50 $ Enlever R = 2
54
1 – 4 – 5 : 531,30 $ 1 – 4 – 6 : 530,10 $ 1 – 5 – 6 : 565,60 $ Enlever R = 5
1 – 4 : 260 + (2 x 45) + 186,70 = 536,70 $ 1 – 6 : 659,00 $
Il n’y a plus de gain, alors la solution consiste à commander aux périodes 1, 4 et 6. Au Tableau
4.21, le plan d’approvisionnement de l’exemple A généré par la méthode de réduction gloutonne
est présenté. Les coûts de cette solution sont présentés au Tableau 4.22.
TABLEAU 4.21 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 60 0 40 1402 57 0 0 51 0 50 1583 36 0 0 65 0 27 128
TABLEAU 4.22 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 0 140 0 80 300Coût mineur
1 10 0 0 10 0 10 302 20 0 0 20 0 20 603 15 0 0 15 0 15 45
Stock de fin1 30 10 0 30 0 02 29 22 0 32 0 03 25 13 0 50 0 0
Coût de stockage1 15 5 0 15 0 0 35,02 9 7 0 10 0 0 24,93 10 5 0 20 0 0 35,2
Coût total 159 17 0 230 0 125 530,10
55
En appliquant la méthode de réduction gloutonne aux données de l’exemple B, nous obtenons les
calculs suivants :
Coût total de la solution lot pour lot = 929,00$ 1 – 2 – 3 – 4 – 5 : 823,49 $ 1 – 2 – 3 – 4 – 6 : 839,14 $ 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : 848,77 $ 1 – 2 – 4 – 5 – 6 : 837,87 $ 1 – 3 – 4 – 5 – 6 : 837,97 $ Enlever R = 6 1 – 2 – 3 – 4 : 777,57 $ 1 – 2 – 3 – 5 : 742,33 $ 1 – 2 – 4 – 5 : 732,43 $ 1 – 3 – 4 – 5 : 732,53 $ Enlever R = 3
1 – 2 – 4 : 686,52 $ 1 – 2 – 5 : 660,42 $ 1 – 4 – 5 : 644,56 $ Enlever R = 2 1 – 4 : 598,604 $ 1 – 5 : 595,73 $ Enlever R = 4 1 : 806,17 $ Arrêt, car le coût total ne diminue plus. Les périodes de commandes sont les périodes 1 et 5. Des
calculs précédents, nous pouvons déduire la solution générée, présentée au Tableau 4.23. À partir
de cette solution, le coût total est calculé et le détail de ce coût est présenté au Tableau 4.24.
TABLEAU 4.23 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE
Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 70 0 0 0 70 0 1402 76 0 0 0 82 0 1583 51 0 0 0 77 0 128
56
TABLEAU 4.24 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE
Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur
1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30
Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0
Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0
Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73
4.2. Méthode d’amélioration de Silver et Kelle
La méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) part d’un plan d’approvisionnement qui a été
trouvé par une heuristique choisie au préalable. Pour chaque i = 1, …, N, regarder si l’élimination
d’une commande en la regroupant avec la précédente diminue le coût total. Parmi les N nouveaux
plans (coûts totaux), prendre la meilleure amélioration et recommencer cette méthode
d’amélioration jusqu’à ce que le coût total ne diminue plus.
En ce qui concerne l’exemple A, nous partons avec le plan d’approvisionnement généré par la
méthode d’ajout gloutonne dont le coût total est de 530,10 $. Son plan d’approvisionnement est
illustré au Tableau 4.17.
Article 1 Période 6 : gain de 10 $ pour un coût individuel de commande de l’article 1 en moins versus perte de 40 $ pour le coût de stockage Non Période 4 : 10 $ + 60 $ versus 60 $ + 90 $ Non Coût total = 530,10 $ Article 2 Période 6 : 20 $ versus 30 $ Non Période 4 : 20 $ + 60 $ versus 60 $ + 45,90 $ Non Coût total = 530,10 $
57
Article 3 Période 6 : 15 $ versus 21,60 $ Non Période 4 : 15 $ + 60 $ versus 60 $ + 78 $ Non Coût total = 530,10 $ Arrêt, car le coût total ne diminue pas. Le plan d’approvisionnement reste le même.
En ce qui concerne l’exemple B, nous partons avec le plan d’approvisionnement généré par la
méthode d’ajout gloutonne dont le coût total est de 595,73 $. Son plan d’approvisionnement est
illustré au Tableau 4.19.
Article 1 Période 5 : 10 $ + 16,78 $ versus 17,11 $ +140 $ Non Coût total = 595,73 $ Article 2 Période 5 : 20 $ + 30 $ versus 27 $ + 98,40 $ Non Coût total = 595,73 $ Article 3 Période 5 : 15 $ + 25 $ versus 21 $ + 123,20 $ Non Coût total = 595,73 $ Arrêt, car le coût total ne diminue pas. Le plan d’approvisionnement reste le même.
4.3. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté les méthodes heuristiques de résolution du problème
d’approvisionnement coordonné que nous proposons d’utiliser pour résoudre les deux versions
étudiées ici, à savoir le problème où le coût commun de commande est variable en paliers ou
linéaire par morceaux. Ces méthodes sont les suivantes : l’heuristique de Fogarty et Barringer
(1987), l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973), l’adaptation de l’heuristique
d’équilibrage de De Matteis et Mendoza (1968), la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et
Tzur (1994) et la méthode de réduction gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003).
Au Tableau 4.25, les résultats de l’application des méthodes de résolution à partir des données
des exemples A et B sont présentés. Nous pouvons observer que l’heuristique de Fogarty et
Barringer (1987) donne la solution optimale pour les deux exemples. Pour l’exemple A,
l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal, la méthode d’ajout gloutonne et la méthode de
réduction gloutonne donnent le même coût total, soit 530,10 $. Le coût total le plus élevé est
58
celui de l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période avec un coût total de 546,40 $.
En ce qui concerne l’exemple B, toutes les méthodes obtiennent la solution optimale dont le coût
total est de 595,73 $, excepté l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal qui performe moins
bien pour cet exemple.
TABLEAU 4.25 : RÉSULTATS DU COÛT TOTAL EN DOLLARS DES EXEMPLES A ET B
Exemple A Exemple BSolution optimale 524,40 595,73
Fogarty et Barringer 524,40 595,73Adaptation de Silver et Meal 530,10 598,64
Adaptation de l'équilibrage pièce-période 546,40 595,73Méthode d'ajout gloutonne 530,10 595,73
Méthode de réduction gloutonne 530,10 595,73
Il faut mentionner que ce classement ne serait pas nécessairement le même si d’autres exemples
étaient résolus. Au prochain chapitre, une étude comparative ainsi qu’un classement final de ces
heuristiques seront effectués sur un bassin de sept cent vingt problèmes générés aléatoirement.
59
CHAPITRE 5. ANALYSE COMPARATIVE
5
60
5. ANALYSE COMPARATIVE
L’objectif de ce chapitre est d’évaluer la qualité des solutions obtenues par les différentes
méthodes proposées dans cet essai pour résoudre les deux versions du problème
d’approvisionnement coordonné étudiées, à savoir le problème où le coût commun de commande
est une fonction par paliers et celui où le coût est linéaire par morceaux. La qualité des méthodes
sera évaluée essentiellement en mesurant la déviation des solutions obtenues par rapport à
l’optimum.
Pour effectuer cette évaluation de la performance, nous utiliserons les sept cent vingt problèmes-
tests proposés par Boctor, Laporte et Renaud (2003) en leur ajoutant les éléments de coûts
nécessaires.
Dans la suite du chapitre, nous présentons les données des problèmes-tests (Section 5.1), nous
analysons les résultats obtenus (Section 5.2 à 5.4) et les conclusions de cette analyse sont
données à la Section 5.5.
5.1. Générateur des problèmes-tests
Les deux nouvelles formulations ainsi que les six heuristiques proposées à la section précédente
ont été analysées grâce à un bassin de sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Ces
problèmes sont divisés en quatre groupes de taille différente, soit N = 10 articles et T = 13
périodes, N = 10 et T = 26, N = 20 et T = 13 et N = 20 et T = 26. Chacun de ces groupes contient
cent quatre-vingts problèmes et est divisé en six sous-groupes nommés S1, S2, S3, S4, S5 et S6.
Les paramètres de génération de ces différentes sous-classes des problèmes seront présentés plus
loin.
Dans le but de simplifier la résolution des problèmes, les coûts individuels de commande et de
stockage sont considérés constants pour toutes les périodes de l’horizon de planification. Donc,
l’indice t de ces variables a été enlevé, par exemple kit devient ki.
En ce qui concerne le cas où le coût commun de commande est variable en paliers, deux cas ont
été analysés, soit une fonction de coût commun de commande à deux paliers et une autre à trois
paliers. Pour tous les problèmes à deux paliers, le coût commun de commande du premier palier
est de 800 $ et de 1 000 $ pour le second palier. La borne supérieure du premier palier est
61
calculée à l’aide de l’équation suivante : ( ) 100 *100// * 221 1
−
= =
+ ∑∑ TdpX
N
i
T
titi où X est un
nombre aléatoire uniforme dans l’intervalle [0, 1]. La limite de la deuxième borne est la somme
des poids des demandes de tout l’horizon de planification.
Pour le cas à trois paliers, le coût commun de commande des deux premiers paliers est le même
que dans le cas à deux paliers et il est de 1 200 $ pour le troisième palier. La borne supérieure du
premier palier est fixée à : ( ) 100 *100// * 5,11 1
1
−
= =
+ ∑∑ TdpX
N
i
T
titi . Celle du deuxième palier
est calculée à l’aide de l’équation suivante : ( ) 100 *100// * )1(1 1
21
−
= =
++ ∑∑ TdpXX
N
i
T
titi où
X1 et X2 sont des nombres aléatoires uniformes compris entre 0 et 1. Le nombre aléatoire X1 doit
être le même dans l’équation de la borne supérieure du premier palier que celui dans l’équation
de la borne supérieure du deuxième palier. La borne supérieure du troisième palier est la somme
des poids des demandes de tout l’horizon de planification.
En ce qui concerne le cas où le coût commun de commande est linéaire par morceaux, le détail
des calculs à effectuer pour déterminer le coût des bornes ainsi que leurs limites inférieures et
supérieures est présenté à la Figure 5.1.
Les coûts de stockage par période de chaque article i, notés hi, sont générés aléatoirement à l’aide
d’une distribution uniforme continue entre 0,1 et 0,6. Quant aux coûts individuels de commande,
ceux-ci sont générés aléatoirement de façon à ce que α1000 1
=∑=
N
iik . Les valeurs de α sont
données dans la Tableau 5.1.
Les demandes nettes dit sont obtenues tout d’abord en calculant une moyenne
iiit hNXk βµ )/2000( += où X est un nombre aléatoire uniforme entre 0 et 1. Par la suite, les
demandes sont obtenues par : [ ] −= 5/2 5 itit Xd µ . Les valeurs de a et de β de chacun des sous-
groupes sont présentées au Tableau 5.1.
62
−
=
102,0
10 1ba
( ) 100 *100// * 5,11 1
11
−
= =
+= ∑∑ TdpXb
N
i
T
titi
( ) 100 *100// * )1(1 1
212
−
= =
++= ∑∑ TdpXXb
N
i
T
titi
∑∑= =
=N
i
T
titi dpb
1 13
21
450b
p = < 2
2400b
p = < 2
3350b
p =
70010 == KK
( )+
−+== 10/
45010 1
2132 ab
bKKK
−
−−+== 10/)(
40010 12
2354 abb
bKKK
−
−−+= 10/)(
30010 23
256 abb
bKK
FIGURE 5.1 : PARAMÈTRES DE LA FONCTION DU COÛT COMMUN LINÉAIRE PAR MORCEAUX
Qté a
$
K2, K3
Qté b1
$
b1 + a b2 b2 + a 0
K0, K1
K4, K5
K6
b3
2p
1p
3p
63
TABLEAU 5.1 : LES VALEURS DE a ET DE β
Les heuristiques ont été programmées à l’aide du langage de programmation Pascal. Pour
résoudre de manière optimale les problèmes, le logiciel Cplex 8.0 a été utilisé. Les solutions ont
été obtenues sur ordinateur Pentium III, 1.26 GHz sous le système d’exploitation Windows 2000
Server.
Les cinq heuristiques proposées au chapitre précédent ont été utilisées pour résoudre les sept cent
vingt problèmes-tests. Ces heuristiques sont les suivantes :
FB : L’heuristique de Fogarty et Barringer (1987);
SM : L’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973);
PP : L’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza (1968);
AG : La méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994);
RG : La méthode de réduction gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003).
Chaque plan d’approvisionnement généré est également amélioré avec la méthode de Silver et
Kelle (1988). Les résultats sont présentés en trois sections, le cas où le coût commun de
commande est variable en deux paliers (Section 5.2), le cas où le coût commun de commande est
variable en trois paliers (Section 5.3) et le cas où le coût commun de commande est linéaire par
morceaux (Section 5.4).
5.2. Coût commun de commande variable en deux paliers
En ce qui concerne le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec
demande dynamique avec coût commun de commande variable en deux paliers, les déviations
moyennes par rapport à l’optimum de chacune des heuristiques sont présentées au Tableau 5.2.
Aux Figures 5.2 à 5.6, nous retrouvons l’histogramme des pourcentages de déviation par rapport
à l’optimum. Ces histogrammes procurent, pour chaque tranche de 1%, le pourcentage de sept
cents vingt problèmes ayant cette déviation.
Sous -groupes a
S1 0,5 6,0 S2 0,5 10,0 S3 1,0 6,0 S4 1,0 10,0 S5 2,0 6,0 S6 2,0 10,0
ß
64
TABLEAU 5.2 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À DEUX PALIERS
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Tailles10 x 13 0,77 0,51 1,83 1,43 5,11 4,86 2,47 1,96 2,13 1,8510 x 26 0,81 0,50 1,88 1,50 5,14 5,02 2,54 2,01 2,64 2,2120 x 13 0,96 0,63 1,99 1,61 5,02 4,80 2,29 1,71 2,70 2,1520 x 26 0,97 0,65 1,97 1,53 4,10 3,92 2,75 2,01 3,01 2,44
Sous-groupesS1 1,01 0,61 2,14 1,78 6,51 6,35 1,82 1,38 3,27 2,62S2 0,60 0,43 1,55 1,22 3,34 3,15 3,12 2,53 1,74 1,82S3 1,07 0,61 2,15 1,67 6,04 5,88 1,88 1,33 3,04 2,36S4 0,73 0,52 1,71 1,34 3,37 3,17 3,23 2,47 2,38 1,99S5 1,15 0,79 2,27 1,76 6,43 6,24 1,88 1,37 3,00 2,23S6 0,72 0,46 1,70 1,34 3,36 3,10 3,14 2,45 2,30 1,96
Moyenne % 0,88 0,57 1,92 1,52 4,84 4,65 2,51 1,92 2,62 2,16Minimum % 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum % 3,55 3,41 8,27 7,67 16,30 16,30 6,99 6,81 9,32 7,67Nb solutions optimales 90 218 46 103 8 15 14 55 23 46
Nb fois à être seule à trouver la solution optimale 30 80 0 2 0 0 0 5 0 1
Nb pires solutions 0 2 59 58 461 498 152 131 84 69Nb fois à être seule à trouver la pire solution 0 0 39 36 443 478 139 120 66 52
RGFB SM PP AG
FIGURE 5.2 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
12,50
51,53
24,58
10,00
1,390,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es 30,28
47,22
19,03
2,92
0,56 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
65
FIGURE 5.3 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE
CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS
FIGURE 5.4 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
14,31
29,3127,64
14,72
7,64
4,44
0,83 0,69 0,42 0,00 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
6,39
24,5826,39
20,69
12,50
6,39
1,810,56 0,42 0,28 0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
1,11
6,39
10,56
12,9211,94
13,19 12,36
9,037,64
4,72 4,442,36
1,53 0,97 0,42 0,28 0,00 0,140
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]
% de déviations
% d
e pr
oblè
mes
2,08
7,22
12,3611,25 11,94
13,0611,53
9,727,64
3,89 4,44
1,94 1,25 0,97 0,42 0,14 0,00 0,140
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]
% de déviations
% d
e pr
oblè
mes
66
FIGURE 5.5 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE
CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS
FIGURE 5.6 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
1,94
14,58
23,19 23,47
19,72
12,08
4,44
0,56 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
7,64
21,67
27,50
21,81
11,94
7,64
1,530,28 0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
3,19
14,86
19,03
23,7521,81
9,17
5,14
1,67 1,110,14 0,14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
6,39
16,67
25,1426,25
14,17
7,08
3,47
0,69 0,14 0,00 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
67
D’après le Tableau 5.2, l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987) donne la meilleure
déviation moyenne par rapport à l’optimum, soit de 0,88%. Lorsque cette heuristique est suivie
par la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988), la déviation moyenne se réduit à 0,57%.
De plus, nous pouvons observer que cette heuristique est celle qui obtient le plus grand nombre
de solutions optimales, soit 90. La Figure 5.2 démontre que la majorité des problèmes obtiennent
une déviation par rapport à l’optimum entre 0 et 2% comparativement aux autres heuristiques
dont la distribution est plus étendue. La méthode de Silver et Kelle permet d’augmenter
considérablement le nombre de solutions optimales obtenues par Fogarty et Barringer. En effet,
celui-ci passe de 90 à 218. En deuxième position, nous retrouvons l’adaptation de Silver et Meal.
Cette heuristique est plus performante que l’adaptation de l’heuristique de l’équilibrage pièce-
période, que la méthode d’ajout gloutonne et que la méthode de réduction gloutonne lorsque la
déviation moyenne par rapport à l’optimum est comparée par groupes de tailles. Par contre, pour
les sous-groupes S1, S3 et S5, la déviation moyenne de la méthode d’ajout gloutonne est plus
faible. La méthode d’ajout gloutonne donne une déviation moyenne par rapport à l’optimum plus
faible que celle de la méthode de réduction gloutonne. Lorsque nous comparons les déviations
moyennes selon la taille des problèmes, nous pouvons remarquer que la méthode de réduction
gloutonne obtient une déviation moyenne inférieure à celle de la méthode d’ajout gloutonne pour
la taille 10 x 13. Il en va de même pour les sous-groupes S2, S4 et S6. En dernière position, nous
retrouvons l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période. Cette heuristique donne la
plus grande variation des déviations par rapport à l’optimum, puisque sa déviation maximale est
de 16,30%. Le nombre de fois qu’elle obtient la pire solution est également très élevé, soit 461
problèmes sur 720 problèmes, dont 443 problèmes où elle est la seule à donner la pire solution.
Évidemment, après toutes ces méthodes, il est préférable d’appliquer la méthode d’amélioration
de Silver et Kelle puisqu’elle permet toujours de diminuer leur déviation moyenne. Elle permet
également d’augmenter le nombre de solutions optimales obtenues.
Au Tableau 5.3, les temps de résolution sont présentés. La plus grande observation de ce tableau
est que le temps de Cplex 8.0 est largement supérieur aux temps de résolution des heuristiques,
ces derniers étant négligeables, une fraction de secondes en moyenne. La moyenne du temps
d’obtention des solutions optimales est de 351,16 secondes.
68
TABLEAU 5.3 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À DEUX PALIERS (EN SECONDES) FB SM PP AG RG
Heuristique seule
Après Silver et
Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et
KelleTailles
10 x 13 2,41 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0010 x 26 98,56 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,03 0,0120 x 13 9,72 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,0020 x 26 1293,97 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,05 0,01
Sous-groupesS1 214,02 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S2 301,98 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00S3 236,49 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S4 375,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,00S5 330,62 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01S6 648,86 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,02 0,00
Moyenne 351,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01Minimum 0,48 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum 12914,55 0,06 0,06 0,00 0,06 0,00 0,06 0,06 0,06 0,11 0,06
Solution optimale
5.3. Coût commun de commande variable en trois paliers
En ce qui concerne le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec
demande dynamique avec coût commun de commande variable en trois paliers, les déviations
moyennes par rapport à l’optimum de chacune des heuristiques sont présentées au Tableau 5.4.
Aux Figures 5.7 à 5.11, nous retrouvons l’histogramme des pourcentages de déviation par
rapport à l’optimum de chacune des heuristiques.
TABLEAU 5.4 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À TROIS PALIERS
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Tailles10 x 13 0,74 0,51 1,88 1,47 5,44 5,10 2,20 1,44 2,19 1,8410 x 26 0,89 0,60 1,97 1,66 4,81 4,67 2,56 2,13 2,63 2,1920 x 13 0,86 0,60 1,73 1,27 5,03 4,71 2,19 1,68 2,49 1,9220 x 26 0,97 0,65 1,84 1,41 4,32 4,06 2,61 1,99 2,91 2,33
Sous-groupesS1 1,15 0,76 2,01 1,62 6,48 6,28 1,86 1,44 3,10 2,47S2 0,63 0,48 1,74 1,34 3,59 3,32 2,91 2,36 2,17 1,88S3 1,05 0,68 2,11 1,67 6,03 5,83 1,71 1,24 2,78 2,15S4 0,57 0,43 1,68 1,26 3,41 3,08 2,96 2,48 2,08 1,77S5 1,23 0,82 2,03 1,61 6,19 6,00 1,95 1,45 3,03 2,29S6 0,56 0,36 1,53 1,20 3,70 3,32 2,93 2,35 2,18 1,86
Moyenne % 0,87 0,59 1,86 1,45 4,90 4,64 2,39 1,81 2,56 2,07Minimum % 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum % 4,33 3,59 7,76 7,76 15,42 15,42 7,73 6,39 7,89 7,89
Nb solutions optimales 104 189 50 92 12 18 24 54 24 40Nb fois à être seule à trouver la solution optimale 40 68 0 2 0 0 0 1 0 2
Nb pires solutions 4 5 62 53 484 507 131 103 79 97Nb fois à être seule à trouver la pire solution 0 0 49 38 468 489 18 88 62 79
FB PP AG RGSM
69
FIGURE 5.7 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS
FIGURE 5.8 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE
CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
14,44
45,83
31,81
6,67
1,110,14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
26,25
49,86
20,69
2,500,69 0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]
% de déviations%
de
pro
blè
mes
6,94
24,86
28,61
20,00
10,97
5,69
1,25 1,11 0,560
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
12,78
30,97
28,19
15,69
8,06
2,501,11 0,42 0,28
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
70
FIGURE 5.9 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALERS
FIGURE 5.10 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
7,50
20,14
29,31
22,64
13,33
5,97
0,970,14 0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
1,67
5,00
7,50
12,92 13,47 12,92 12,64 12,64
8,75
5,003,89
1,53 0,83 0,56 0,28 0,28 0,140
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16]
% de déviations
% d
e pr
oblè
mes
2,50
5,14
7,92
14,58 14,17 13,4712,50 11,94
7,36
4,03 3,47
0,83 0,97 0,56 0,28 0,14 0,140
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16]
% de déviations
% d
e pr
oblè
mes
3,33
13,75
24,4426,25
18,75
10,14
2,50
0,28 0,560
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
71
FIGURE 5.11 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS
Les déviations moyennes du cas à trois paliers sont du même ordre de grandeur que celles du cas
à deux paliers. Tout comme le cas à deux paliers, l’heuristique de Fogarty et Barringer donne les
meilleures dévia tions, soit une déviation moyenne par rapport à l’optimum de 0,87%. La méthode
d’amélioration de Silver et Kelle permet d’améliorer les plans d’approvisionnement générés par
toutes les méthodes de résolution. En deuxième position, nous retrouvons l’adaptation de
l’heuristique de Silver et Meal avec une déviation de 1,86%. Tout comme lors du cas à deux
paliers, les déviations moyennes de la méthode d’ajout gloutonne sont plus faibles que celles de
l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal pour les sous-groupes S1, S3 et S5. Aussi, la
méthode de réduction gloutonne donne des déviations plus faibles que celles de la méthode
d’ajout gloutonne pour les sous-groupes S2, S4 et S6. L’adaptation de l’heuristique pièce-période
donne les déviations les plus élevées et celles-ci varient entre 0% et 15,42%, comparativement à
celles de Fogarty et Barringer qui varient entre 0% et 4,33%.
Les temps de résolution par Cplex 8.0 ainsi que ceux des heuristiques pour le cas où le coût
commun de commande est une fonction à trois paliers sont présentés au Tableau 5.5. Les temps
de résolution des heuristiques sont négligeables. La moyenne du temps d’obtention des solutions
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
3,33
13,06
21,81
24,44
21,25
10,00
3,89
1,810,42
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
5,69
16,39
29,58
25,00
15,28
5,56
1,530,56 0,42
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
72
optimales est de 2520,75 secondes. Évidemment, cette moyenne est plus élevée que celle où le
coût commun de commande est une fonction à deux paliers, puisque le nombre de variables
binaires dans le modèle est plus grand.
TABLEAU 5.5 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À TROIS PALIERS (EN SECONDES) FB SM PP AG RG
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et
Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et
KelleTailles
10 x 13 3,86 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0010 x 26 589,77 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,0020 x 13 16,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,0020 x 26 9472,70 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,05 0,01
Sous-groupesS1 1524,83 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01S2 2522,03 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00S3 2511,63 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,01S4 2680,92 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,02 0,00S5 1165,57 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S6 4719,53 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,00
Moyenne 2520,75 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,00Minimum 0,63 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum 140796,00 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,11 0,06
Solution optimale
5.4. Coût commun de commande linéaire par morceaux
En ce qui concerne le problème d’approvisionnement avec coût commun de commande linéaire
par morceaux, les déviations moyennes par rapport à l’optimum de chacune des méthodes
proposées sont présentées au Tableau 5.6. Aux Figures 5.12 à 5.16, nous retrouvons
l’histogramme des pourcentages de déviation par rapport à l’optimum de chacune des
heuristiques.
TABLEAU 5.6 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Tailles10 x 13 0,18 0,04 1,34 1,11 5,52 5,32 2,13 1,75 1,82 1,4310 x 26 0,21 0,07 1,33 1,17 4,57 4,49 2,10 1,72 2,19 1,8720 x 13 0,23 0,03 1,09 0,86 5,26 5,12 1,97 1,53 2,18 1,7920 x 26 0,29 0,08 1,21 0,91 4,00 3,85 2,06 1,52 2,32 1,87
Sous-groupesS1 0,31 0,08 1,31 1,01 4,92 4,81 0,87 0,62 2,24 1,83S2 0,17 0,05 1,29 1,10 4,86 4,71 3,13 2,53 2,06 1,76S3 0,27 0,04 1,24 0,96 4,83 4,73 0,84 0,58 2,23 1,76S4 0,13 0,02 1,07 0,88 4,49 4,34 3,37 2,78 2,12 1,80S5 0,36 0,09 1,31 1,09 4,98 4,86 0,90 0,64 2,08 1,55S6 0,13 0,05 1,23 1,03 4,95 4,73 3,27 2,63 2,03 1,71
Moyenne % 0,23 0,06 1,24 1,01 4,84 4,70 2,07 1,63 2,13 1,74Minimum % 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum % 2,32 1,21 10,39 9,43 17,17 15,37 7,73 6,89 7,09 6,02
Nb solutions optimales 97 281 46 118 0 1 25 85 18 39Nb fois à être seule à trouver la solution optimale 33 113 0 5 0 0 0 3 0 3
Nb pires solutions 0 0 46 43 521 571 94 67 81 64Nb fois à être seule à trouver la pire solution 0 0 31 28 505 552 90 64 73 53
PP AG RGSMFB
73
FIGURE 5.12 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX
FIGURE 5.13 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
16,39
47,64
18,47
9,58
4,44
1,53 0,97 0,42 0,28 0,14 0,14 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
13,47
83,89
2,360,28 0,00 0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
39,03
60,56
0,42 0,00 0,00 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
6,39
50,56
20,14
12,64
5,97
2,220,69 0,56 0,42 0,28 0,00 0,14
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
74
FIGURE 5.14 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-
PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX
FIGURE 5.15 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIO NS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE
CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
0,00
4,035,69
13,19
17,5016,81
15,56
10,83
6,114,03
2,08 2,640,69 0,42 0,14 0,14 0,00 0,00
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14]]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]
% de déviations
% d
e pr
oblè
mes
0,14
4,31
6,81
13,19
17,50 17,08
14,58
11,81
4,86 5,00
1,81 1,670,56 0,28 0,28 0,00 0,14 0,00
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
5 5
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14]]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]
% de déviations
% d
e pr
oblè
mes
3,47
34,44
16,3914,58 15,28
9,17
4,44
1,810,42 0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
11,81
33,06
16,5317,50
13,06
5,56
1,810,69 0,00 0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
75
FIGURE 5.16 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE
POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX
Pour toutes les tailles de problèmes et les sous-groupes, l’heuristique de Fogarty et Barringer
(1987) donne d’excellents résultats. La déviation moyenne par rapport à l’optimum de cette
heuristique suivie de la méthode d’amélioration de Silver et Kelle est de 0,06%, ce qui est très
près de zéro. Par la suite, nous retrouvons l’adaptation de Silver et Meal qui obtient une déviation
de 1,24%. Cette heuristique est plus performante que l’adaptation de l’heuristique de
l’équilibrage pièce-période, que la méthode d’ajout gloutonne et que la méthode de réduction
gloutonne lorsque la déviation moyenne par rapport à l’optimum est comparée par groupes de
tailles. Par contre, pour les sous-groupes S1, S3 et S5, la méthode d’ajout gloutonne donne une
déviation plus faible. La méthode d’ajout gloutonne donne une déviation moyenne par rapport à
l’optimum inférieure à celle de la méthode de réduction gloutonne. Lorsque nous comparons les
déviations moyennes selon la taille des problèmes, nous pouvons remarquer que la méthode de
réduction gloutonne obtient une déviation moyenne (1,43%) inférieure à celle de la méthode
d’ajout gloutonne (1,75%) pour la taille 10 x 13. Il en va de même pour les sous-groupes S2, S4
et S6. En dernière position, nous retrouvons l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-
période.
Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle
2,50
18,75
26,8127,92
15,83
5,56
1,67 0,83 0,14 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
5,42
25,00
29,44
24,58
10,83
3,061,53
0,14 0,00 0,000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]
% de déviations
% d
e p
rob
lèm
es
76
Les temps de résolution par Cplex 8.0 ainsi que ceux des heuristiques pour le cas où le coût
commun de commande est linéaire par morceaux sont présentés au Tableau 5.7. Les temps de
résolution des heuristiques sont négligeables. La moyenne du temps d’obtention des solutions
optimales est de 235,14 secondes. Cette moyenne est inférieure au cas où le coût commun de
commande est variable en paliers. Il est donc plus facile de résoudre de façon optimale ce type de
fonction de coût.
TABLEAU 5.7 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX (EN SECONDES) FB SM PP AG RG
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et
Kelle
Heuristique seule
Après Silver et Kelle
Heuristique seule
Après Silver et
KelleTailles
10 x 13 2,96 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0010 x 26 60,72 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,03 0,0120 x 13 11,85 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,0020 x 26 847,04 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,02 0,05 0,02
Sous-groupesS1 120,14 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,02 0,01S2 257,86 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,01S3 167,72 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S4 283,33 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,02 0,01S5 147,27 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S6 452,54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,00
Moyenne 235,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01Minimum 0,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum 11392,99 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06
Solution optimale
5.5. Conclusion
Les résultats obtenus montrent que la performance relative des heuristiques étudiées est la même
dans les trois cas étudiés. Le Tableau 5.8 résume ces résultats. Tout d’abord, l’heuristique de
Fogarty et Barringer (1987) obtient la plus faible déviation moyenne par rapport à l’optimum
pour les trois cas étudiés. La déviation moyenne de l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal
(1973) est plus faible que celle de la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994).
La méthode d’ajout gloutonne obtient une déviation moyenne plus faible que celle de la méthode
de réduction gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003) et que celle de l’adaptation de
l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza (1968). La déviation
moyenne de la méthode de réduction gloutonne est plus faible que celle de l’adaptation de
l’heuristique d’équilibrage pièce-période. Cette dernière heuristique obtient la déviation moyenne
la plus élevée pour chacun des trois cas étudiés. Après ces méthodes de résolution, il est toujours
préférable d’appliquer la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) même si la
performance relative des méthodes demeure la même.
77
TABLEAU 5.8 : RÉSUMÉ DES RÉSULTATS DES HEURISTIQUES SELON LEUR DÉVIATION MOYENNE PAR RAPPORT À L’OPTIMUM EN POURCENTAGE
4,704,844,644,904,654,84Équilibrage pièce-
période
1,742,132,072,562,162,62Méthode de
réduction gloutonne
1,632,061,812,391,922,51Méthode d’ajout
gloutonne
1,011,241,451,861,521,92Silver et Meal
0,050,230,590,870,570,88Fogarty et Barringer
Après Silveret Kelle
Heuristique seule
Après Silveret Kelle
Heuristique seule
Après Silveret Kelle
Heuristique seule
Linéaire par morceauxTrois paliersDeux paliers
4,704,844,644,904,654,84Équilibrage pièce-
période
1,742,132,072,562,162,62Méthode de
réduction gloutonne
1,632,061,812,391,922,51Méthode d’ajout
gloutonne
1,011,241,451,861,521,92Silver et Meal
0,050,230,590,870,570,88Fogarty et Barringer
Après Silveret Kelle
Heuristique seule
Après Silveret Kelle
Heuristique seule
Après Silveret Kelle
Heuristique seule
Linéaire par morceauxTrois paliersDeux paliers
Au Tableau 5.9, les temps moyens d’obtention des solutions optimales des trois versions du
problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique
étudiées dans cet essai sont présentés. La moyenne des temps d’obtention des solutions optimales
du cas où le coût commun de commande est linéaire par morceaux est inférieure aux deux autres
cas. Évidemment, les temps d’obtention du cas où le coût commun de commande est variable en
trois paliers sont plus élevés que celui du cas variable en deux paliers.
TABLEAU 5.9 : LES TEMPS D’OBTENTION DES SOLUTIONS OPTIMALES DES TROIS VERSIONS DU PROBLÈME ÉTUDIÉES (EN SECONDES)
Deux paliers Trois paliers Linéaire par morceauxTailles10 x 13 2,41 3,86 2,9610 x 26 98,56 589,77 60,7220 x 13 9,72 16,67 11,8520 x 26 1293,97 9472,7 847,04Sous-groupesS1 214,02 1524,83 120,14S2 301,98 2522,03 257,86S3 236,49 2511,63 167,72S4 375,00 2680,92 283,33S5 330,62 1165,57 147,27S6 648,86 4719,53 452,54
Moyenne 351,16 2520,75 235,14Minimum 0,48 0,63 0,97Maximum 12914,55 140796 11392,99
À titre comparatif, Martel, Rizk et Ramudhin (2002) ont résolu cinq cent soixante problèmes
d’approvisionnement coordonné avec demande dynamique et contraintes de capacité de
production, de différentes grandeurs et avec différentes caractéristiques. Sept structures de coût
commun de commande ont été étudiées, soit la flotte privée avec trois paliers, la flotte publique
78
avec trois intervalles, la flotte publique avec deux intervalles et une borne inférieure, la flotte
publique avec un intervalle, la flotte publique avec un intervalle et une borne supérieure, la flotte
publique avec deux intervalles et des bornes inférieures et supérieures ainsi que la flotte publique
avec trois intervalles et une borne supérieure. Deux groupes de problèmes ont été étudiés en ce
qui a trait au nombre d’articles. Le premier groupe a un nombre d’articles qui est distribué
uniformément entre 50 et 100, tandis que le nombre d’articles du second groupe est distribué
uniformément entre 250 et 300. Les deux horizons de planification étudiés sont celui à treize
périodes et celui à vingt-six périodes. Les demandes des articles sont générées aléatoirement à
partir d’une distribution normale [ ] ) ), 100,10~(~( iiii CVUNd µσµ = où le coefficient de
variation CV est égal soit à 0,25, soit à 0,6. Deux différents scénarios de coûts de stockage sont
également étudiés. Des problèmes sont générés avec des coûts de stockage faibles
[ ]( ) %2,0,%1,0~ iii kkUh et d’autres problèmes avec des coûts de stockage élevés
[ ]( ) %6,0,%5,0~ iii kkUh . Les coûts individuels de commande sont constants [ ]( ) 40,10~ Uki .
En résumé, nous retrouvons cent douze (7 x 2 x 2 x 2 x 2) types différents de problèmes. Pour
chacun de ces types de problèmes, cinq problèmes sont générés pour chacune des trois valeurs de
l’écart entre la borne inférieure et supérieure, noté ε, soit ε = 0%, 1% et 3%, ce qui donne mille
six cent quatre-vingts (5 x 3 x 112) problèmes-tests.
Pour les seize problèmes où le coût commun de commande est variable en trois paliers (flotte
privée), lorsque la méthode proposée par Martel, Rizk et Ramudhin (2002) est arrêtée à ε = 1%, la
déviation moyenne est de 0%. Elle est de 0,17% pour l’ensemble des problèmes-tests. Le temps
de résolution des seize problèmes est en moyenne de 2,30 secondes. Il est en moyenne de 75,19
secondes pour l’ensemble des problèmes-tests. Lorsque la méthode est arrêtée à ε = 3%, la
déviation est de 0% pour les seize problèmes. La déviation est de 0,32% pour l’ensemble des
problèmes-tests. Le temps de résolution des seize problèmes est environ de 2,30 secondes, tandis
qu’il est d’environ 8,30 secondes pour l’ensemble des problèmes-tests. À titre comparatif,
l’heuristique de Fogarty et Barringer, lorsque suivie de la méthode d’amélioration de Silver et
Kelle, obtient une déviation moyenne de 0,59% pour le cas où le coût commun de commande est
variable en trois paliers. Évidemment, pour avoir une vraie comparaison entre les résultats de
Martel, Rizk et Ramudhin (2002) et les nôtres, il faudrait appliquer les différentes méthodes de
résolution proposées aux mêmes problèmes-tests.
79
CHAPITRE 6. CONCLUSION
6
80
6. CONCLUSION
Afin de demeurer concurrentielles, les entreprises de la nouvelle économie doivent
continuellement offrir des articles de haute qualité à des prix compétitifs. Pour y parvenir, elles
doivent réussir à réduire les coûts de chacune des composantes de leur chaîne logistique. Du côté
des approvisionnements, les entreprises doivent diminuer leurs coûts de matières premières ainsi
que le coût des opérations d’approvisionnement. L’approvisionnement coordonné de plusieurs
articles est une solution adéquate qui permet de contribuer à cet objectif. Il s’agit de gérer
simultanément une famille d’articles achetés chez un même fournisseur ou transportés
conjointement. Cette solution procure plusieurs avantages économiques et logistiques aux
entreprises.
Le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique
consiste à déterminer les quantités à recevoir pour chacune des périodes de l’horizon de
planification de façon à minimiser la somme des coûts de commande et de stockage. La demande
nette est déterministe, dynamique et s’étale sur un horizon fini. Ce problème implique plusieurs
types d’articles et trois types de coût : le coût commun de commande (appelé aussi coût majeur
ou coût coordonné), qui ne dépend pas de la composition de la commande, les coûts individuels
de commande (dits coûts mineurs ou coûts de ligne), qui dépendent des types d’articles inclus
dans la commande, et les coûts de stockage.
Au sein des entreprises, le coût commun de commande correspond souvent au coût de transport
des articles commandés. Dans la littérature, ce problème a fait l’objet de plusieurs recherches qui
font l’hypothèse que le coût commun de commande ne dépend pas de la quantité commandée
mais est plutôt un coût fixe. Cette situation s’applique surtout aux entreprises qui s’occupent du
transport des articles commandés à l’aide de leur unique camion ou dans le cas où le fournisseur
impose un prix fixe de commande et est responsable du transport des marchandises.
Afin d’être plus près de la réalité des entreprises d’aujourd’hui, nous avons traité, dans un
premier temps, le cas où le coût commun de commande est une fonction par paliers de la quantité
commandée. Cela reflète davantage la structure de ce coût dans le cas où l’entreprise utilise sa
flotte interne pour effectuer le transport des articles commandées. Les camions sont
habituellement de tailles différentes. Lorsqu’une entreprise utilise deux ou plusieurs types de
camions, deux ou plusieurs paliers seront nécessaires pour illustrer les différentes combinaisons
81
de coûts fixes envisageables. Dans un deuxième temps, nous avons traité le cas où le coût
commun de commande est une fonction linéaire par morceaux. Cette fonction est habituellement
utilisée lorsque l’entreprise fait appel aux services d’un transporteur public pour transporter en
charges partielles la marchandise commandée.
À notre connaissance, les versions du problème d’approvisionnement coordonné étudiées ici
n’ont pas encore fait l’objet d’aucune publication, excepté la proposition de Martel, Rizk et
Ramudhin (2002). Par contre, plusieurs chercheurs ont étudié ce problème d’approvisionnement
avec un coût commun de commande fixe. Zangwill (1966) et Veinott (1969) ont été les premiers
à proposer des méthodes optimales pour la résolution des problèmes d’approvisionnement
coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. Les approches de résolution proposées
par Zangwill (1966), Veinott (1969), Kao (1979), Silver (1979) et Haseborg (1982) sont basées
sur la programmation dynamique, tandis que celles de Erenguc (1988), Federgruen et Tzur
(1994), Kirca (1995) et Robinson et Gao (1996) sont basées sur l’algorithme de séparation et
d’évaluation progressive (branch and bound). La plus récente contribution à ce problème revient
à Boctor, Laporte et Renaud (2003) qui proposent deux nouvelles formulations mathématiques
basées sur la programmation linéaire dont les temps de résolution sont significativement
inférieurs à ceux de la formulation classique.
En plus des méthodes optimales, plusieurs méthodes heuristiques ont également été proposées.
Kao (1979) est le premier à proposer une heuristique itérative pour résoudre le problème
d’approvisionnement coordonné. Fogarty et Barringer (1987) présentent une heuristique simple
et facile à utiliser qui est basée sur la programmation dynamique. Cette méthode est largement
inspirée de l’algorithme de Wagner et Whitin (1958) et de la procédure de Fordyce et Webster
(1984). Selon Silver et Kelle (1988), l’inconvénient de l’heuristique précédente est qu’elle impose
que chaque commande inclue la demande de tous les articles entre la période de la commande et
celle de la commande suivante. Alors, ils proposent une méthode d’amélioration en relaxant cette
restriction. Une adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1979) pour la résolution de
problèmes à un seul article est proposée par Atkins et Iyogun (1988). Une nouvelle heuristique
itérative proposée par Joneja (1990) est semblable à celle de Atkins et Iyogun (1988). Ensuite,
Iyogun (1991) propose une deuxième adaptation de l’heuristique itérative de Atkins et Iyogun
(1990) ainsi que deux adaptations de l’heuristique dite d’équilibrage pièce-période. Quant aux
82
chercheurs Federgruen et Tzur (1994), ils proposent la méthode d’ajout gloutonne pour résoudre
le problème d’approvisionnement coordonné. Chung et Mercan (1994) présentent une heuristique
basée sur la programmation dynamique et évaluent sa performance en comparant ses solutions
aux solutions optimales obtenues par la méthode de Erenguc (1988). Finalement, Boctor, Laporte
et Renaud (2003) regroupent, dans un même ouvrage, les heuristiques, les comparent entre elles
et proposent deux nouvelles heuristiques.
Afin de résoudre de manière optimale les deux nouvelles versions du problème
d’approvisionnement coordonné étudiées dans cet essai, soit celle où le coût commun de
commande est variable en paliers et celle où le coût commun est linéaire par morceaux, des
formulations mathématiques ont été proposées. De plus, cinq approches de résolution
originalement conçues pour traiter le cas où le coût commun est fixe ont été adaptées.
L’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal
(1973), l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza
(1968), la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994) et la méthode de réduction
gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont été utilisées afin de résoudre le problème
avec les deux fonctions du coût commun de commande. Nous avons également appliqué la
méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) à tous les plans d’approvisionnement générés
selon une des cinq approches de résolution.
Pour pouvoir analyser la performance de ces approches de résolution, nous avons utilisé un
bassin de sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Le langage de programmation Pascal
a été utilisé pour coder les méthodes heuristiques et le logiciel Cplex version 8.0. a été utilisé
pour l’obtention des solutions optimales.
L’heuristique Fogarty et Barringer (1987), lorsqu’elle est suivie de la méthode d’amélioration de
Silver et Kelle (1988), donne la meilleure déviation pour les deux versions étudiées, soit le coût
commun variable en paliers et le coût commun de commande linéaire par morceaux. La déviation
moyenne par rapport à l’optimum est de 0,87% (0,59% après Silver et Kelle) pour le cas où le
coût commun de commande est variable en trois paliers et est de 0,23% (0,06% après Silver et
Kelle) pour le cas où le coût commun de commande est linéaire par morceaux. Ces résultats sont
consistants avec ceux de Boctor, Laporte et Renaud (2003) qui démontrent que pour le problème
d’approvisionnement de plusieurs articles avec demande dynamique et coût commun de
83
commande fixe, l’heuristique de Fogarty et Barringer, avec la méthode d’amélioration de Silver
et Kelle, est celle qui donne la meilleure déviation moyenne des méthodes de la littérature.
La déviation moyenne par rapport à l’optimum de l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal
avec la méthode d’amélioration de Silver et Kelle est de 1,52% pour le cas où le coût commun de
commande est variable en deux paliers et est de 1,01% pour le cas où le coût commun de
commande est linéaire par morceaux. La déviation moyenne de la méthode d’ajout gloutonne est
de 1,92% pour la première version du problème et est de 1,63% pour la deuxième version du
problème. La déviation moyenne de la méthode de réduction gloutonne est de 2,46% pour la
première version du problème et est de 1,74% pour la deuxième version du problème.
L’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période donne la pire déviation moyenne, soit
4,65% pour le cas où le coût commun est variable en deux paliers et 4,70% pour le cas où le coût
commun est linéaire par morceaux.
Les méthodes de résolution proposées dans cet essai sont simples et faciles à utiliser pour les
distributeurs ayant soit une flotte privée, soit une flotte publique et également ceux dont les
fournisseurs s’occupent eux-mêmes du transport. Ces méthodes permettent à leurs gestionnaires
d’obtenir des plans d’approvisionnement rapides et d’excellente qualité puisque l’heuristique de
Fogarty et Barringer (1987) donne une déviation moyenne inférieure à 1%. Les gestionnaires
peuvent ainsi déterminer le coût total d’approvisionnement et la fréquence des commandes, ce
qui permet de gérer adéquatement les approvisionnements et de prendre des décisions
judicieuses. Il serait très rentable d’implanter une des méthodes de résolution proposées dans cet
essai puisque cela permettrait d’économiser sur les coûts associés aux opérations de
réapprovisionnement. De plus, les coûts d’implantation de ces méthodes seraient très minimes.
Il est important de mentionner que c’est la première tentative d’adaptation des méthodes
heuristiques connues de la littérature afin de permettre la résolution d’un problème
d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique où le coût
commun de commande est soit variable en paliers ou est soit linéaire par morceaux. Malgré le fait
que l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), lorsqu’elle est suivie de la méthode
d’amélioration de Silver et Kelle (1988), soit très efficiente et qu’il semble difficile de proposer
de meilleures heuristiques, il serait bien dans des recherches futures, de proposer une nouvelle
heuristique qui considère la séparation d’une demande en deux commandes. Tel que mentionné à
84
la Section 3.3, les deux nouvelles versions du problème étudiées ici ne respectent pas les
propriétés de la solution optimale de Silver (1979). Cette constatation a été effectuée lors de la
rédaction de cet essai et il n’a pas été possible d’en tenir compte dans l’élaboration des méthodes
de résolution.
Il serait facile d’adapter ces méthodes de résolution pour d’autres structures de coûts de transport
telles que l’utilisation d’un autre moyen de transport (train, bateau et avion), la combinaison de
deux ou plusieurs moyens de transport ou le mélange d’une flotte privée avec une flotte publique.
Évidemment, des recherches plus approfondies sur ces différentes structures du coût commun de
commande pourraient être envisagées. De plus, pour le cas de l’approvisionnement coordonné de
plusieurs articles avec demande dynamique et contraintes de capacité, des recherches futures
seraient envisageables pour traiter différentes structures du coût commun de commande dans un
contexte de production. Présentement, nos versions du problème d’approvisionnement coordonné
étudiées dans cet essai s’appliquent seulement aux distributeurs et non aux producteurs.
Dans des recherches futures, il serait également intéressant d’adapter la nouvelle heuristique de
recherche dans le voisinage basée sur la technique de perturbation des solutions proposée par
Boctor, Laporte et Renaud (2003). Cette heuristique, utilisée après avoir résolu un plan
d’approvisionnement selon l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), permet d’obtenir une
déviation moyenne par rapport à l’optimum de 0,014%, ce qui est très près de zéro.
En guise de conclusion, cette recherche a permis d’adapter le problème d’approvisionnement afin
de le rendre plus réaliste et plus près de la réalité des entreprises. De plus, cette recherche
démontre qu’il n’est pas si difficile d’appliquer la théorie à la pratique.
85
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