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Mélissa Levasseur APPROVISIONNEMENT COORDONNÉ DE PLUSIEURS ARTICLES AVEC DEMANDE DYNAMIQUE ET COÛT COMMUN DE COMMANDE Essai Présenté à la faculté des études supérieures de l’Université Laval Pour l’obtention du grade de maître en administration des affaires (M.B.A.), cheminement gestion manufacturière et logistique Sous la direction de M. Fayez Boctor M. Jacques Renaud Juillet 2003

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Mélissa Levasseur

APPROVISIONNEMENT COORDONNÉ DE PLUSIEURS ARTICLES AVEC DEMANDE DYNAMIQUE ET

COÛT COMMUN DE COMMANDE

Essai

Présenté à la faculté des études supérieures de l’Université Laval

Pour l’obtention du grade de maître en administration des affaires (M.B.A.), cheminement gestion manufacturière et logistique

Sous la direction de M. Fayez Boctor

M. Jacques Renaud

Juillet 2003

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TABLE DES MATIÈRES LISTE DES FIGURES ........................................................................................................................... ii LISTE DES TABLEAUX ...................................................................................................................... iii REMERCIEMENTS...............................................................................................................................v RÉSUMÉ ...........................................................................................................................................vi 1. INTRODUCTION ............................................................................................................................. 2

1.1. Mise en contexte ................................................................................................................. 2 1.2. Importance économique du problème .............................................................................. 4 1.3. Objectifs de l’essai.............................................................................................................. 6 1.4. Méthodologie....................................................................................................................... 7 1.5. Organisation de l’essai....................................................................................................... 8

2. REVUE DE LA LITTÉRATURE........................................................................................................ 10 2.1. Méthodes optimales.......................................................................................................... 12 2.2. Méthodes heuristiques ..................................................................................................... 14 2.3. Conclusion......................................................................................................................... 20

3. DÉFINITION DU PROBLÈME ......................................................................................................... 23 3.1. Concepts de base............................................................................................................... 23 3.2. Hypothèses et notations ................................................................................................... 26 3.3. Propriétés de la solution optimale................................................................................... 27 3.4. Formulations mathématiques.......................................................................................... 30

3.4.1. Coût commun de commande fixe................................................................................. 30 3.4.2. Coût commun de commande variable en paliers ........................................................ 33 3.4.3. Coût commun de commande linéaire par morceaux................................................... 35

3.5. Conclusion......................................................................................................................... 36 4. MÉTHODES HEURISTIQUES DE RÉSOLUTION ................................................................................ 38

4.1. Heuristiques proposées .................................................................................................... 40 4.1.1. Heuristique Fogarty et Barringer ............................................................................... 40 4.1.2. Adaptation proposée de l’heuristique de Silver et Meal ............................................. 43 4.1.3. Adaptation proposée de l’heuristique d’équilibrage pièce-période ........................... 46 4.1.4. Méthode d’ajout gloutonne ......................................................................................... 50 4.1.5. Méthode de réduction gloutonne................................................................................. 53

4.2. Méthode d’amélioration de Silver et Kelle...................................................................... 56 4.3. Conclusion......................................................................................................................... 57

5. ANALYSE COMPARATIVE ............................................................................................................ 60 5.1. Générateur des problèmes-tests ...................................................................................... 60 5.2. Coût commun de commande variable en deux paliers ................................................. 63 5.3. Coût commun de commande variable en trois paliers .................................................. 68 5.4. Coût commun de commande linéaire par morceaux .................................................... 72 5.5. Conclusion......................................................................................................................... 76

6. CONCLUSION .............................................................................................................................. 80 RÉFÉRENCES .................................................................................................................................. 86 ANNEXES : DONNÉES DES PROBLÈMES-TESTS ET DES RÉSULTATS (SUR CD)……..………………….

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LISTE DES FIGURES

FIGURE 1.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT COORDONNÉ DE PLUSIEURS ARTICLES SELON LA NATURE DE LA DEMANDE......................................................................................2

FIGURE 1.2 : COÛT DE TRANSPORT EN FONCTION DU POIDS POUR UNE MARCHANDISE DE CLASSE 100 ENTRE QUÉBEC ET NEW YORK........................................................................................................................4

FIGURE 2.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT...........................................................10

FIGURE 2.2 : HEURISTIQUE DE ATKINS ET IYOGUN (1988) ..............................................................................................16

FIGURE 2.3 : HEURISTIQUES GPPB1 ET GPPB2 DE IYOGUN (1991) ...............................................................................17

FIGURE 2.4 : HEURISTIQUE GSM2 DE IYOGUN (1991) .......................................................................................................18

FIGURE 3.1 : COÛT COMMUN DE COMMANDE FIXE........................................................................................................24

FIGURE 3.2 : COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS...................................................................24

FIGURE 3.3 : EXEMPLE D’UN COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS...................................25

FIGURE 3.4 : COÛT COMMUN DE COMMANDE LINÉAIRE PAR MORCEAUX ...........................................................26 FIGURE 4.1 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE A ..............................................39

FIGURE 4.2 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE B ..............................................39

FIGURE 5.1 : PARAMÈTRES DE LA FONCTION DU COÛT COMMUN LINÉAIRE PAR MORCEAUX ....................62

FIGURE 5.2 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS.......................64

FIGURE 5.3 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS..............................................65

FIGURE 5.4 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS.................65

FIGURE 5.5 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS........................................66

FIGURE 5.6 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS .......................66

FIGURE 5.7 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS.......................69

FIGURE 5.8 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS .............................................69

FIGURE 5.9 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALERS ..................70

FIGURE 5.10 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS ..............................70

FIGURE 5.11 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS .....................71

FIGURE 5.12 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX...........................73

FIGURE 5.13 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX...........................................73

FIGURE 5.14 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEA UX....................74

FIGURE 5.15 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX....................................74

FIGURE 5.16 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX...........................75

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LISTE DES TABLEAUX TABLEAU 1.1 : GRILLE DES PRIX DE TRANSPORT ENTRE QUÉBEC ET NEW YORK POUR UNE

MARCHANDISE DE CLASSE 100...................................................................................................................4

TABLEAU 2.1 : DÉVIATION MOYENNE EN POURCENTAGE PAR RAPPORT À L’OPTIMUM ................................19

TABLEAU 3.1 : COÛTS INDIVIDUELS DE COMMANDE ET DE STOCKAGE DE L’EXEMPLE ................................28

TABLEAU 3.2 : DEMANDES NETTES DE L’EXEMPLE .......................................................................................................28

TABLEAU 3.3 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT OPTIMAL DE L’EXEMPLE..............................................................29

TABLEAU 3.4 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE...............................................30 TABLEAU 4.1 : LES COÛTS DES ARTICLES ..........................................................................................................................38

TABLEAU 4.2 : LES DEMANDES NETTES dit .........................................................................................................................38

TABLEAU 4.3 : SOLUTION DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER...................41

TABLEAU 4.4 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER ........................................................................................................................................................41

TABLEAU 4.5 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER........................................................................................................................41

TABLEAU 4.6 : SOLUTION DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER...................42

TABLEAU 4.7 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER ........................................................................................................................................................42

TABLEAU 4.8 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER........................................................................................................................42

TABLEAU 4.9 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL....................................................................................................................................................................44

TABLEAU 4.10 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL......................................................................................................................................45

TABLEAU 4.11 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL .................................................................................................................................................................46

TABLEAU 4.12 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL......................................................................................................................................46

TABLEAU 4.13 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE.............................................................................................................................................48

TABLEAU 4.14 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE...........................................................................................................48

TABLEAU 4.15 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE.............................................................................................................................................49

TABLEAU 4.16 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE...........................................................................................................49

TABLEAU 4.17 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE..................................................................................................................................................51

TABLEAU 4.18 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE...............................................................................................................................51

TABLEAU 4.19 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE..................................................................................................................................................52

TABLEAU 4.20 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE...............................................................................................................................52

TABLEAU 4.21 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................................................54

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TABLEAU 4.22 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................54

TABLEAU 4.23 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................................................55

TABLEAU 4.24 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELO N LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE..................................................................................................................56

TABLEAU 4.25 : RÉSULTATS DU COÛT TOTAL EN DOLLARS DES EXEMPLES A ET B.........................................58

TABLEAU 5.1 : LES VALEURS DE a ET DE β ........................................................................................................................63

TABLEAU 5.2 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À DEUX PALIERS..............................................................................................................................................................64

TABLEAU 5.3 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À DEUX PALIERS (EN SECONDES) ...............................68

TABLEAU 5.4 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À TROIS PALIERS..............................................................................................................................................................68

TABLEAU 5.5 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À TROIS PALIERS (EN SECONDES)...............................72

TABLEAU 5.6 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX.......................................................................................................................................................72

TABLEAU 5.7 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX (EN SECONDES) ...........76 TABLEAU 5.8 : RÉSUMÉ DES RÉSULTATS DES HEURISTIQUES SELON LEUR DÉVIATION MOYENNE PAR

RAPPORT À L’OPTIMUM EN POURCENTAGE........................................................................................77

TABLEAU 5.9 : LES TEMPS D’OBTENTION DES SOLUTIONS OPTIMALES DES TROIS VERSIONS DU PROBLÈME ÉTUDIÉES (EN SECONDES) ...................................................................................................77

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REMERCIEMENTS

C’est avec grande satisfaction que je termine mes études de deuxième cycle en maîtrise en

administration des affaires, cheminement gestion manufacturière et logistique, après deux années

de travail assidu. Que ce soit sous le volet des connaissances supérieures ou de l’épanouissement

personnel, j’en sors plus enrichie et mieux préparée à assumer les défis que le monde me réserve.

Je n’aurais pu cependant accomplir cette tâche sans le soutien de plusieurs intervenant s et

j’aimerais ici remercier les plus importants. De l’Université Laval, je remercie d’abord les

professeurs Fayez F. Boctor et Jacques Renaud, mes co-directeurs de recherche, qui m’ont

sagement guidée et épaulée tout au long de ce programme. Plusieurs difficultés se dressent

chemin faisant et leur savoir de même que leur expérience ont toujours été à ma disposition. Je

remercie aussi le Fonds de recherche sur la nature et les technologies du Québec (FCAR) ainsi

que la Fondation pour la formation professionnelle en transport routier des marchandises du

Québec, en collaboration avec MANAC, pour les généreuses bourses qui m’ont permis de

concentrer mes efforts sur mes études et mes recherches. Je crois fermement que l’engagement de

partenaires issus autant des milieux de recherches que d’affaires est capital afin de préparer la

relève de demain, garante d’un meilleur avenir pour la société. Pour terminer, j’aimerais

souligner le soutien indéfectible de ma famille et de mon conjoint, Richard, qui ont cru en moi et

qui m’ont constamment encouragée. Dans le tumulte des études, ils ont été mon havre de paix et

de sérénité. Je leur offre mes plus chaleureux remerciements. Je tiens également à remercier mon

frère, Jonathan, pour sa lecture attentive de ce document afin d’y corriger la grammaire et

l’orthographe.

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RÉSUMÉ

Le problème d’approvisionnement coordonné implique trois types de coût : le coût commun de

commande qui ne dépend pas de la composition de la commande, les coûts individuels de

commande qui dépendent des types d’articles inclus dans la commande et les coûts de stockage.

Ce problème a fait l’objet de plusieurs recherches qui font l’hypothèse que le coût commun ne

dépend pas de la quantité commandée mais est plutôt un coût fixe. Afin d’être plus près de la

réalité nous traitons, dans un premier temps, le cas où le coût commun de commande est une

fonction par paliers de la quantité commandée. Cela reflète davantage la structure de ce coût dans

le cas où l’entreprise utilise sa flotte interne pour effectuer le transport. Dans un deuxième temps,

nous traitons le cas où le coût commun de commande est une fonction linéaire par morceaux.

Cette fonction est habituellement utilisée lorsque l’entreprise utilise les services d’un transporteur

public. Nous proposons une formulation mathématique pour ces deux nouvelles versions du

problème et nous adaptons cinq heuristiques originalement conçues pour traiter le cas où le coût

commun est fixe. Ainsi, les méthodes de résolution de Fogarty et Barringer (1987), de Silver et

Meal (1973), de De Matteis et Mendoza (1968), de Federgruen et Tzur (1994) et de Boctor,

Laporte et Renaud (2003) ont été adaptées afin de prendre en compte les deux nouvelles formes

de la fonction du coût commun de commande. De plus, nous avons adapté la méthode

d’amélioration de Silver et Kelle (1988). Nous avons utilisé les méthodes de résolution et les

formulations mathématiques proposées pour résoudre sept cent vingt problèmes générés

aléatoirement. L’heuristique Fogarty et Barringer (1987), lorsqu’elle est suivie de la méthode

d’amélioration de Silver et Kelle (1988), donne les meilleures déviations pour les deux versions

étudiées. La déviation moyenne par rapport à l’optimum est de 0,97% (0,59% après Silver et

Kelle) pour le cas où le coût commun de commande est variable en trois paliers et est de 0,23%

(0,06% après Silver et Kelle) pour le cas où le coût commun de commande est linéaire par

morceaux.

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CHAPITRE 1. INTRODUCTION

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1. INTRODUCTION

La mise en contexte, l’importance économique du problème d’approvisionnement coordonné

ainsi que les objectifs, la méthodologie et l’organisation de cet essai sont présentés dans ce

premier chapitre.

1.1. Mise en contexte

Avec l’arrivée de la mondialisation et de la globalisation des marchés, la concurrence est

devenue de plus en plus féroce. Afin de demeurer concurrentielles dans la nouvelle économie,

les entreprises doivent continuellement offrir des articles de haute qualité qui répondent

adéquatement aux besoins de leurs clients, et ce, à des prix très compétitifs. Pour y parvenir,

elles doivent réduire leurs coûts afin d’augmenter leurs profits. Du côté du département des

approvisionnements, les industries peuvent hausser leurs profits en diminuant le coût d’achat des

matières premières et les coûts associés aux opérations de réapprovisionnement. Dans le but

d’améliorer leur gestion des achats, l’approvisionnement coordonné de plusieurs articles est une

solution adéquate et envisageable pour les entreprises. L’objectif est de gérer simultanément une

famille d’articles achetés chez le même fournisseur, transportés conjointement ou qui partagent

le même processus de production (Silver, 1979).

En ce qui concerne le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles (voir la

Figure 1.1), deux classes de problèmes sont envisageables, les problèmes déterministes (statique

et dynamique) et les problèmes stochastiques (à demande stationnaire ou non stationnaire). Dans

le cadre de cette recherche, nous nous intéressons au problème déterministe et dynamique.

FIGURE 1.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT

COORDONNÉ DE PLUSIEURS ARTICLES SELON LA NATURE DE LA DEMANDE

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Le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique

consiste à déterminer les périodes de commande ainsi que le nombre d’unités commandées pour

chaque type d’article afin de satisfaire les demandes sans arrérages ou rupture de stock. Ce

problème implique N types d’articles et trois types de coût : le coût commun de commande

(appelé aussi coût majeur ou coût coordonné), qui ne dépend pas de la composition de la

commande, les coûts individuels de commande (dits coûts mineurs ou coûts de ligne), qui

dépendent des types d’articles inclus dans la commande, et les coûts de stockage. Le coût

commun de commande correspond souvent au coût de transport des articles commandés.

Ce problème a fait l’objet de plusieurs recherches qui font l’hypothèse que le coût commun de

commande ne dépend pas de la quantité commandée mais est plutôt considéré comme un coût

fixe. C’est le cas, par exemple, où le fournisseur impose un prix fixe de commande et est

responsable du transport des marchandises. Ce cas peut également s’appliquer à une entreprise

qui possède uniquement un camion pour effectuer le transport des marchandises achetées. À

chaque utilisation de ce camion, son coût fixe doit être comptabilisé.

Dans le cadre de cet essai, et afin d’être plus près de la réalité observée dans les entreprises, nous

avons premièrement étudié le cas où le coût commun de commande est une fonction par paliers

de la quantité commandée. Cela reflète davantage la structure de ce coût dans le cas où il

correspond essentiellement au coût de transport des articles commandés et où l’entreprise utilise

sa flotte interne pour effectuer ce transport. Lorsqu’une entreprise utilise deux ou plusieurs types

de taille de camions, deux ou plusieurs paliers seront nécessaires pour illustrer les différentes

combinaisons de coûts fixes envisageables. Une représentation graphique des différentes

structures du coût commun de commande ainsi qu’une explication plus complète ont été

effectuées à la Section 3.1. Dans un deuxième temps, le cas où le coût commun de commande est

une fonction linéaire par morceaux a été abordé. Cette structure représente également le coût de

transport des articles commandés mais lorsque l’entreprise utilise plutôt une flotte externe (en

charges partielles) pour s’approvisionner. Pour une origine – destination fixe, tous les

transporteurs publics utilisent ce type de structure de coût de transport. À la Figure 1.2, nous

pouvons observer la fonction linéaire par morceaux du coût de transport en fonction du poids

d’un chargement de marchandises de classe 100, entre Québec et New York. Ce graphique a été

obtenu grâce à une grille de prix, présentée au Tableau 1.1, fournie par USF Corporation.

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4

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 4650 9550 14500 19500 24400 29400 34350 39300 44250 49250

$

Lbs

FIGURE 1.2 : COÛT DE TRANSPORT EN FONCTION DU POIDS POUR UNE

MARCHANDISE DE CLASSE 100 ENTRE QUÉBEC ET NEW YORK

TABLEAU 1.1 : GRILLE DES PRIX DE TRANSPORT ENTRE QUÉBEC ET

NEW YORK POUR UNE MARCHANDISE DE CLASSE 100

Livres Coût minimum

0 à 499 500 à 999

1000 à 1999

2000 à 4999

5000 à 9999

10000 à 19999

20000 à 29999

30000 à 39999

40000 et plus

$/100 livres 543.57 124.21 112.94 91.83 70.99 57.87 51.69 28.58 22.56 20.94Coupures de poids - 454 813 1546 4075 8932 11058 23680 37127 -

1.2. Importance économique du problème

Depuis les années 90, plusieurs phénomènes ont contribué au développement de la fonction des

approvisionnements tels que la mondialisation des activités, la multitude et l’internationalisation

des sources d’approvisionnement, la collaboration entre les fournisseurs et les clients ainsi que

l’expansion des réseaux logistiques. Ainsi, le département des approvisionnements devient le

premier en importance d’après le critère des coûts. Selon Leenders, Fearon et Nollet (1998), les

entreprises américaines ont déboursé 1 647 milliards de dollars pour l’acquisition de matières, en

1993. Malgré le fait que le pourcentage de la somme des dépenses en approvisionnement varie

d’une entreprise à l’autre, celui-ci est au alentour de 60% du chiffre d’affaires. Toujours selon

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ces auteurs, les entreprises manufacturières consacrent en moyenne 53% du montant de leurs

ventes à l’achat de matières premières. Lorsque les dépenses en immobilisation sont incluses, ce

pourcentage augmente de 6%. Autre constatation, les entreprises manufacturières dépensent en

moyenne trois fois plus en approvisionnements qu’en salaires et avantages sociaux versés à leurs

employés.

D’après Heizer et Render (2001), le pourcentage des coûts d’approvisionnement sur le chiffre

d’affaires pour toutes les industries est de 52%. Pour le secteur automobile, ce pourcentage est de

67%, il est de 60% pour le secteur alimentaire, 61% pour le secteur du bois d’œuvre et 55% pour

le secteur du papier. Toutes ces statistiques nous démontrent bien l’importance des coûts

d’approvisionnement pour les entreprises, d’où la nécessité de bien gérer les approvisionnements

afin d’en diminuer les dépenses.

Selon un projet en cours sur l’étalonnage des meilleures pratiques de gestion des opérations et de

l’innovation dans les entreprises technologiques des régions de Québec et de Chaudière-

Appalaches, les petites et moyennes entreprises manufacturières de secteurs à haute technologie

dépensent en moyenne 3,4 millions de dollars en approvisionnements par année. Ce projet réalisé

par Montreuil, Caron, Renaud et Vallerand (2003) du Centre de recherche sur les technologies

de l’organisation réseau (CENTOR) en collaboration avec le Groupe d’avancement

technologique et industriel de la région de Québec/Chaudière-Appalaches (GATIQ) consistait

à questionner une vingtaine d’entreprises manufacturières. Il ressort de cette analyse que 24%

d’entre elles dépensent moins de un million de dollars par année en approvisionnements tandis

que 11% dépensent plus de dix millions de dollars par année. Notons que ces montants doivent

être analysés en fonction de la taille des entreprises étudiées.

La gestion coordonnée de plusieurs articles procure plusieurs avantages économiques et

logistiques aux entreprises. Selon Jayarama et Tabucanon (1984), les économies réalisées en

ressort d’une gestion indépendante vers une gestion coordonnée se situent entre 13,25% et

29,18% selon le nombre d’articles. Lorsque le nombre d’articles commandés chez un même

fournisseur est grand, les économies sont alors plus élevées. De plus, lorsque le niveau de service

diminue, les économies réalisées augmentent également.

Selon Silver, Pyke et Peterson (1998), avec le regroupement de plusieurs articles dans une même

commande, les coûts annuels de réapprovisionnement sont réduits. En effet, des économies

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peuvent être réalisées sur le coût unitaire d’achat et les coûts de stockage, de transport et de

commande. De plus, lorsque la valeur de la commande atteint un certain montant, les

fournisseurs peuvent offrir des escomptes sur les quantités. D’après Martel (1999), un autre

avantage est celui d’une meilleure gestion des ressources partagées par les articles tels les

équipements de manutention et l’espace d’entreposage. Par contre, cette gestion coordonnée

augmente les efforts de gestion ainsi que les temps de résolution du problème, et réduit la

flexibilité comparativement à la gestion individuelle des articles. De nos jours, avec

l’accessibilité et la puissance de la technologie du traitement de l’information, les entreprises

peuvent réduire considérablement ces inconvénients et bénéficier grandement des avantages

économiques et logistiques de l’approvisionnement simultané de plusieurs articles.

1.3. Objectifs de l’essai

Le premier objectif de cet essai est de recenser et d’analyser, dans un même ouvrage, les

méthodes de résolution optimales et heuristiques du problème d’approvisionnement coordonné de

plusieurs articles avec demande dynamique. Afin de mieux adapter les approches de résolution de

ce problème aux nouvelles versions étudiées dans cet essai, cette revue de la littérature nous a

permis de bien les connaître.

Le deuxième objectif de cet essai est de mieux définir le problème d’approvisionnement

coordonné avec demande dynamique. Afin d’être plus près de la réalité des entreprises, le coût

commun de commande a été considéré, dans un premier temps, variable en paliers et dans un

deuxième temps, linéaire par morceaux, au lieu d’être fixe. Ainsi, deux nouvelles formulations

mathématiques ont été proposées et utilisées pour résoudre de manière optimale un bassin de sept

cent vingt problèmes générés aléatoirement.

Un autre objectif à atteindre est de proposer aux entreprises des nouvelles approches de

résolution du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande

dynamique afin de leurs permettre d’améliorer leur gestion des achats et ainsi augmenter leur

profit. Pour ce faire, nous avons adapté plusieurs méthodes proposées dans la littérature pour le

cas où le coût commun de commande est fixe, afin de résoudre les cas où le coût commun de

commande est soit variable en paliers, soit linéaire par morceaux.

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Pour évaluer leur performance, ces heuristiques et la formulation mathématique proposées ont été

utilisées dans le but de résoudre sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Dans un

premier temps, cette évaluation a été réalisée avec le coût commun de commande en paliers, et

par la suite, avec le coût commun de commande linéaire par morceaux. La présentation des

déviations moyennes par rapport à l’optimum et des temps de calcul de chacune des approches

proposées ainsi que l’analyse comparative de celles-ci constituent les deux derniers objectifs de

cet essai.

1.4. Méthodologie

Pour parvenir à réaliser les objectifs de cet essai, la méthodologie décrite dans cette section est

employée. En premier lieu, une recherche de la littérature a été effectuée afin de pouvoir recenser

les méthodes optimales et heuristiques du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs

articles avec demande dynamique.

À partir de la revue de la littérature, la définition du problème est décrite ainsi que la sélection

des méthodes de résolution les plus connues et performantes. Afin de pouvoir résoudre ce

problème avec un coût commun de commande variable en paliers ou linéaire par morceaux, les

méthodes heuristiques choisies ont été adaptées.

Ensuite, les méthodes heuristiques ont été programmées en langage pascal et ont servi à résoudre

les sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Cette étape est exécutée deux fois afin de

prendre en compte les deux nouvelles structures du coût commun de commande, soit variables en

paliers et linéaire par morceaux.

Afin d’évaluer la performance de ces heuristiques, un programme informatique en langage pascal

a été élaboré pour générer les fichiers de la formulation mathématique de chaque problème. Ces

derniers ont été résolus à l’aide du logiciel Cplex 8.0. Un fichier contenant la solution optimale et

le temps d’exécution de chacun des problèmes a été créé. Ainsi, toutes les solutions trouvées par

les heuristiques ont été comparées avec les solutions optimales.

Des tableaux de comparaisons des déviations par rapport à l’optimum ainsi que des temps de

calcul ont été utilisés pour analyser cette performance et en tirer des conclusions. Un classement

des heuristiques utilisées est également proposé.

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1.5. Organisation de l’essai

L’essai est organisé selon les chapitres suivants. Le chapitre 2 présente une revue de la

littérature. Tout d’abord, les écrits traitant des méthodes optimales sont brièvement présentés et

par la suite, ceux des méthodes heuristiques.

Le chapitre 3, celui de la définition du problème, introduit les concepts de base, les hypothèses et

les propriétés de la solution optimale pour le problème d’approvisionnement coordonné de

plusieurs articles avec demande dynamique. Ensuite, la formulation mathématique du problème

classique d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique ainsi

que celles avec le coût commun de commande variable en paliers et linéaire par morceaux sont

proposées afin de résoudre le bassin de problèmes.

Le chapitre 4 propose plusieurs nouvelles approches de résolution du problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. Par exemple,

l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal

(1973), l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza

(1968), la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994) et la méthode de réduction

gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003) sont utilisées afin de résoudre les différentes

structures du coût commun de commande. La méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) a

été appliquée aux plans d’approvisionnement générés par les heuristiques nommées

précédemment afin de diminuer davantage leur coût total.

Le chapitre 5, celui de l’analyse comparative, présente les résultats des approches proposées et

analyse ceux-ci. Cette analyse se base, entre autres, sur l’analyse de la déviation moyenne par

rapport à l’optimum.

Le chapitre 6 conclut cet essai et est suivi de la liste des références utilisées.

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CHAPITRE 2. REVUE DE LA LITTÉRATURE

2

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Problème d’approvisionnement

Un seul article Plusieurs articles

Demande statique

Demande dynamique

Demande statique Demande dynamique

Sans contrainte

Avec contraintes

Sans contrainte

Avec contraintes

Sans contrainte

Avec contraintes

Sans contrainte

Avec contraintes

2. REVUE DE LA LITTÉRATURE

Les problèmes d’approvisionnement se divisent en deux classes : ceux à un seul article et ceux à

plusieurs articles. À l’intérieur de ces classes, nous retrouvons, entre autres, les problèmes à

demande statique et ceux à demande dynamique. En plus, chacune de ces quatre classes peut

également se sous-diviser en deux autres classes, soit sans contrainte ou avec contraintes de

capacité de production. Cette classification des problèmes d’approvisionnement est illustrée à la

Figure 2.1. Dans le cadre de cet essai, une revue de la littérature complète portant sur le problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte

de capacité de production sera présentée dans les deux prochaines sections. Mais auparavant,

mentionnons quelques articles qui traitent des autres classes du problème.

FIGURE 2.1 : CLASSIFICATION DES PROBLÈMES D’APPROVISIONNEMENT

En premier lieu, le problème d’approvisionnement à un seul article avec demande dynamique

sans contrainte de capacité a été traité par Wagner-Whitin (1958) à l’aide de la programmation

dynamique. Plusieurs auteurs tels que Wagner (1960), Zangwill (1969) et Crabill et Jaquette

(1974) ont généralisé ce modèle. Une revue de la littérature réalisée par Ritchie et Tsado (1986)

classe les méthodes de résolution en trois groupes. Le premier groupe tente de minimiser le coût

de stockage et le coût de commande sur tout l’horizon de planification. L’heuristique de Silver et

Meal (1973) ainsi que l’approche du coût marginal de Groff (1979) en sont des exemples. Le

deuxième groupe tente d’égaliser les coûts de commande avec les coûts de stockage tels

l’algorithme d’équilibrage pièce-période De Matteis et Mendoza (1968) et la quantité

économique à commander modifiée proposée par Mitra, Cox, Blakstone et Jesse (1983). Le

troisième groupe est celui de l’approche incrémentale. Voir, par exemple, les contributions de

Boe et Yilmaz (1983), de Freeland et Colley (1982) et de Gaither (1981). Le problème

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d’approvisionnement à un seul article avec demande statique et avec contraintes de capacité dans

le cas où il y a plusieurs étapes de production a été abordé par Szendrovits (1976).

En ce qui concerne le problème d’approvisionnement de plusieurs articles avec demande statique,

Balintfy (1964) et Shu (1971) ont été dans les premiers à étudier ce problème en considérant

l’approvisionnement de plusieurs articles ensemble afin d’épargner des coûts de mise en route.

Par la suite, ce même problème avec contraintes de capacité de production a été étudié par

plusieurs auteurs tels que Doll et Whybark (1973) et Goyal (1974). Quant à Andres et Emmons

(1975) et Silver (1976), ils ont étudié le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs

articles avec demande statique.

Le problème d’approvisionnement de plusieurs articles avec demande dynamique et avec

contraintes de capacité a fait l’objet de plusieurs études. Les auteurs suivants, pour n’en nommer

que quelques-uns, Maes et Van Wassenhove (1986), Pochet et Wolsey (1991) et Toklu et Wilson

(1992) ont tous étudié ce problème. Une revue de la littérature sur ce problème a été effectuée,

entre autres, par Maes et Van Wassenhove (1988).

Aksoy et Erenguc (1988) ont publié une revue de la littérature traitant deux versions du problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles : déterministe (statique et dynamique) et

stochastique (à demande stationnaire ou non stationnaire). Parmi les travaux portant sur le cas de

demande dynamique et déterministe, ceux de Zangwill (1966), Veinott (1969), Kao (1979),

Haseborg (1982), Silver (1979) et de Mariani et Nicoletti (1973) y sont résumés.

Dans la suite de ce chapitre, les méthodes optimales de résolution du problème

d’approvisionnement coordonné avec demande dynamique sans contrainte de capacité sont

présentées à la Section 2.1. La Section 2.2 présente les méthodes heuristiques développées pour

résoudre ce problème. À notre connaissance, les versions du problème d’approvisionnement

coordonné étudiées ici n’ont pas encore fait l’objet d’aucune publication, excepté la proposition

de Martel, Rizk et Ramudhin (2002). Par contre, plusieurs chercheurs ont étudié ce problème

d’approvisionnement avec un coût commun de commande fixe.

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2.1. Méthodes optimales

Avant de présenter les méthodes optimales, il est bien de se rappeler que la complexité du

problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique,

démontré par Arkin, Joneja et Roundy (1989), est NP-dur.

Les méthodes optimales utilisées pour résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de

plusieurs articles avec demande dynamique utilisent l’une des deux techniques suivantes :

1) la programmation dynamique; 2) la séparation et l’évaluation progressive (branch and bound).

Veinott (1969) et Zangwill (1966) ont été les premiers à traiter le problème d’approvisionnement

coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. En ce qui concerne l’algorithme de

Veinott (1969), toutes les possibilités de commander au moins un article i ou de ne pas en

commander à chaque période t sont envisagées. La possibilité avec le coût minimum donne le

plan d’approvisionnement final. Le nombre de possibilités calculé par cet algorithme est

exponentiel (2T-1). Le temps de résolution est de plus en plus long lorsque le nombre de périodes

est grand. Zangwill (1966) a développé une formulation avec la programmation dynamique qui

prend les périodes de temps comme des variables d’état et l’inventaire de début de chaque article

i est calculé. Kao (1979) présente une nouvelle formulation mathématique basée sur la

programmation dynamique afin d’améliorer celle de Zangwill. Par contre, les temps de résolution

n’en sont pas pour autant diminués.

Silver (1979) présente un modèle basé sur la programmation dynamique afin de résoudre

l’approvisionnement coordonné de deux articles. Pour ce cas particulier, le temps de calcul est

raisonnable. Par contre, il ressort de cet écrit qu’il devient nécessaire de proposer des heuristiques

plus rapides pour la résolution de problèmes avec plus de deux articles puisque le nombre

d’opérations augmente exponentiellement avec le nombre d’articles (2N). Haseborg (1982)

démontre que cette dépendance exponentielle pourrait être réduite si l’approvisionnement

coordonné de plusieurs articles est tel que, soit tous les articles sont commandés au début d’une

période donnée, soit aucun n’est commandé. Dans ce papier, les conditions pour l’obtention de

l’optimalité des décisions d’approvisionnement coordonné sont données. La plus grande taille de

problème résolu est quatre articles et dix périodes. Pour tous les 3 240 essais, la moyenne des

temps de résolution est plus rapide que celle de l’algorithme de Kao (1979), soit de 4,8%.

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Par la suite, Erenguc (1988) propose une formulation mathématique en un problème de

minimisation concave. De plus, il est le premier à suggérer un algorithme de séparation et

d’évaluation progressive (branch and bound) afin de trouver le plan optimal des commandes.

Cette procédure calcule des bornes inférieures sans tenir compte du coût commun de commande.

En plus, la procédure requiert considérablement moins de mémoire qu’une approche de

résolution basée sur la programmation dynamique. Des problèmes de douze articles et vingt

périodes ont été résolus. Le temps de résolution moyen pour ces problèmes par cet algorithme de

séparation et d’évaluation progressive est de 3,94 secondes. Federgruen et Tzur (1994) ont

développé, eux aussi, une méthode exacte de séparation et d’évaluation progressive pour résoudre

ce problème. Cette méthode peut résoudre des problèmes d’approvisionnement coordonné de

vingt à trente articles et de vingt à trente périodes dans des temps raisonnables.

Ensuite, Kirca (1995) a développé une procédure pour solutionner le problème dual qui génère

une bonne borne inférieure pour le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs

articles. Cette borne inférieure est utilisée dans un algorithme de séparation et d’évaluation

progressive pour obtenir une solution optimale du problème. Selon une analyse comparative, la

procédure donne de meilleurs résultats que celles dans la littérature. Le temps de résolution d’un

problème de cinquante articles et vingt-quatre périodes est d’environ 113 secondes.

Robinson et Gao (1996) proposent une nouvelle formulation mathématique basée sur la

programmation linéaire en nombres entiers pour résoudre le problème d’approvisionnement

coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique et avec arrérages. Un algorithme de

séparation et d’évaluation progressive est construit d’après la progression duale et les notions

d’ajustement dual de Erlenkotter (1978) et les extensions proposées par Klincewicz et Luss

(1987). Cette procédure résout des problèmes de façon optimale en utilisant 5% moins de

mémoire que les meilleurs algorithmes existants. Des problèmes de vingt articles et trente-six

périodes ainsi que d’autres de quarante articles et douze périodes sont facilement résolus. La

considération des arrérages augmente le temps de résolution ainsi que la mémoire nécessaire à la

conservation des résultats.

Martel, Rizk et Ramudhin (2002) proposent une méthode optimale de séparation et d’évaluation

progressive pour résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec

demande dynamique avec contraintes de capacité où le coût commun de commande n’est pas

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fixe. Ces auteurs proposent différentes façons de modéliser le coût de transport des articles. Leur

méthode peut se transformer en heuristique si son exécution est arrêtée avant, ce qui est bien

difficile à mettre en œuvre. Étant donné que cette méthode de résolution peut s’appliquer aux

versions du problème étudiées dans cet essai, une comparaison de nos résultats obtenus avec les

leurs sera effectuée.

Boctor, Laporte et Renaud (2003) proposent deux nouvelles formulations mathématiques pour

résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande

dynamique. Un bassin de 720 problèmes a servi pour tester ces deux formulations ainsi que la

formulation classique de ce problème. Les temps de calcul de la deuxième formulation sont trois

fois plus petits que ceux de la formulation classique, tandis que les temps de calcul de la

troisième formulation sont la moitié de ceux de la formulation classique. Ces formulations

mathématiques résolvent, à l’aide de logiciels commerciaux, dans des temps raisonnables des

problèmes d’approvisionnement coordonné de vingt articles et vingt-six périodes.

2.2. Méthodes heuristiques

Kao (1979) est le premier à présenter une heuristique itérative pour la résolution du problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. La procédure

pour la commande de deux articles est la suivante. Un premier plan d’approvisionnement est

résolu avec l’algorithme de Wagner et Whitin (1958) pour l’article 1. Le coût commun de

commande de l’article 1 est additionné à son coût individuel de commande. Dans un deuxième

temps, le second article est également résolu comme un problème à un seul article. Aux périodes

t où l’article 1 est commandé, le coût commun de commande est mis à zéro afin de ne pas le

comptabiliser en double. Tel que pour la construction du premier plan, le coût commun de

commande est additionné au coût individuel de commande de l’article 2, mais pour les périodes

qui n’ont pas de commande pour l’article 1. Avec ce nouveau plan, l’article 1 est résolu à

nouveau en mettant le coût commun de commande égal à zéro pour les périodes où l’article 2 est

commandé. De nouveaux plans d’approvisionnement sont obtenus et cette démarche est répétée

jusqu’à ce que le plan d’approvisionnement de l’article 1 et celui de l’article 2 ne changent plus.

Une heuristique basée sur cet algorithme et deux de ses variantes sont aussi présentées dans ce

papier. Dans le cas de deux articles, la déviation moyenne de cet algorithme par rapport à

l’optimum est de 0,8%. Celles des deux variantes sont de 0,06% et 0,02%, respectivement.

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D’après l’auteur, il n’est pas évident de déterminer le nombre d’itérations nécessaires pour la

résolution d’un problème avec plus de deux articles.

Fogarty et Barringer (1987) présentent une heuristique, simple et facile à utiliser, basée sur la

programmation dynamique afin de prendre les décisions d’approvisionnement coordonné de

plusieurs articles avec demande dynamique lorsque la capacité n’est pas une contrainte. Cette

méthode est analogue à l’algorithme de Wagner et Whitin (1958) et à la procédure de Fordyce et

Webster (1984). L’objectif de cette heuristique est de minimiser les coûts de commande ainsi que

les coûts de stockage.

Selon Silver et Kelle (1988), l’inconvénient de l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987) est

qu’elle impose que si une commande est émise pour la période t et si la commande suivante est à

la période q, alors la commande de t inclut toutes les demandes nettes de tous les articles entre t

et q–1. Alors, une méthode est proposée pour améliorer la solution ainsi obtenue en relaxant cette

restriction. Pour chaque article i = 1, …, N, regarder si l’élimination d’une commande en la

regroupant avec la précédente diminue le coût total.

Notons que si les coûts individuels de commande sont relativement faibles par rapport au coût

commun de commande et aux coûts de stockage, alors l’heuristique de Fogarty et Barringer

(1987) donne d’excellents résultats. Par contre, lorsque les coûts individuels de commande sont

relativement élevés, il est utile d’appliquer la méthode d’amélioration proposée par Silver et Kelle

(1988) afin de réduire le coût total d’approvisionnement.

Une des principales contributions de la publication de Atkins et Iyogun (1988) est de proposer

une méthodologie pour trouver une borne inférieure sur l’optimum, à partir de l’information issue

de leur heuristique. L’heuristique proposée (voir Figure 2.2) est une extension de celle de Silver

et Meal (1973) pour la résolution du problème d’approvisionnement à un seul article. Les

expériences effectuées avec des problèmes de trente articles et vingt-quatre périodes montrent

que l’heuristique proposée donne une déviation moyenne par rapport à l’optimum inférieure à

5%.

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À n’importe quelle période t, les articles sont dans un des deux ensembles suivants : R qui

contient tous les articles inclus dans la plus récente commande groupée (Li = dernière période de

commande de l’article i et t* = la période de la dernière commande groupée; pour chaque i ∈ R,

Li = t*); C qui est l’ensemble des articles non inclus dans la dernière commande groupée, ceux

dont Li < t*.

Initialisation Tous les articles sont dans l’ensemble R et Li = 1; ∀ i.

Étape 1 Pour tous les articles i, calculer la fonction SMit(ki). Les articles ayant une pente

croissante, c’est-à-dire SMit-1(ki) < SMit(ki), sont inclus dans l’ensemble IS.

∑=

+−−+=t

Lsiisiiiiit

i

LtdLshkkSM )1/())(()(

Pour tous les articles inclus dans l’ensemble C et IS, effectuer le test suivant pour voir

s’il est profitable de les laisser seuls ou de les joindre à la dernière commande. Une

commande à la période t* est rentable si ce dernier coût est moins élevé que le

précédent, c’est-à-dire : ∑=

>−t

t*riirii kd) L(t*h . Alors, l’article i quitte l’ensemble C

et entre dans R et son SMit(ki) est mis à jour. Calculer la valeur de ∆i telle que :

SMit-1(ki + ∆i) = SMit(ki + ∆i) pour tous les i ∈ IS. Répéter cette étape en augmentant t

d’une période, jusqu’à ce que KN

ii >∆∑

=1

ou que t = T.

Étape 2 Un réapprovisionnement est autorisé à la période t

Mettre à jour les deux ensembles R et C :

R = {i | ∆i > 0} = IS

Li = t ∈∀ i R

Si t < T, retourner à l’étape 1.

FIGURE 2.2 : HEURISTIQUE DE ATKINS ET IYOGUN (1988)

Joneja (1990) propose une nouvelle heuristique itérative appelée « cost covering heuristic »

semblable à celle de Atkins et Iyogun (1988) et la compare avec celle de Kao (1979).

L’heuristique de Joneja est basée sur l’équilibre des coûts de commande et de stockage, et ce, en

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utilisant deux règles de décision. La déviation moyenne de cette dernière par rapport à l’optimum

est faible lorsque le nombre d’articles est petit, tandis que celle de Joneja donne de meilleurs

résultats lorsque le nombre d’articles est grand. À l’aide de 150 problèmes de deux à huit articles,

Joneja montre que la déviation par rapport à l’optimum de cette heuristique varie entre 2,5% et

3,3%, comparativement à celle de l’heuristique de Kao (1979) qui varie entre 1,6% et 14,6%.

Par la suite, Iyogun (1991) propose deux variations simples de l’heuristique dite d’équilibrage

pièce-période (De Matteis et Mendoza, 1968), GPPB1 et GPPB2, présentées à la Figure 2.3 et

détermine leur pire performance. Leur pire performance est de 1/3 et de 1/2 respectivement.

En ce qui concerne l’heuristique GPPB1, notons Li comme étant la dernière période de

commande de l’article i. L’ensemble G(t) contient tous les articles i dont les coûts de stockage

accumulés de la période Li à t dépassent leurs coûts individuels de commande, c’est-à-dire :

{ }iii k,t)(L CS i G(t) >=

et notons t’ la première période après Li telle que : ( )∑∈

>−−G(t')i

iii K k,t')(LCS 0

Une commande est lancée à la période t’ pour les articles contenus dans l’ensemble G(t’) si ( ) ( )∑ ∑

∈ ∈

+−−<−−G(t')i G(t')i

iiiiii K,t'(LCSkKk,t')(LCS 1

Sinon, la commande est lancée à la période t’ – 1 pour les articles dans G(t’ – 1).

En ce qui concerne l’heuristique GPPB2, notons Li comme étant la dernière période de

commande de l’article i. L’ensemble G(t) contient tous les articles i dont les coûts de stockage

accumulés de la période Li à t dépassent son coût individuel de commande, c’est-à-dire :

{ }iii k,t)(L CS i G(t) >=

et notons que t’ est la première période après Li que : ( )∑∈

>−−G(t')i

iii K k,t')(LCS 0

Une commande est lancée à la période t’ – 1 pour tous les articles contenus dans l’ensemble G(t’

– 1) lorsque l’affirmation précédente est respectée.

FIGURE 2.3 : HEURISTIQUES GPPB1 ET GPPB2 DE IYOGUN (1991)

Iyogun (1991) présente également une deuxième extension de l’heuristique de Silver et Meal

(1973). Celle-ci est nommée GSM2 et est présentée à la Figure 2.4.

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La période de commande est représentée par T et Li ≤ T est la dernière fois que l’article i a été

commandé. À chaque période t > T, deux décisions doivent être prises : 1) une nouvelle

commande doit-elle être passée ? 2) doit-on autoriser un article i, dont Li < T, à rejoindre la

commande de la période T ?

1 Lt

)d L(j L h k)(kSM

i

t

j ijiiii

iit +−

−+=

∑=

−−=t

Tjiijiii kd)L(Th(t)g

Initialisation L’ensemble R contient tous les articles et l’ensemble C est vide. T = t = 1.

Étape 1 Pour tous les articles i ∈ C, calculer la fonction SMit(ki). Si SMit(ki) > SMit-1(ki) et que

gi(t – 1) > 0 , alors l’article i sort de l’ensemble C et entre dans l’ensemble R et Li ? T.

Étape 2 Calculer SMit(ki) pour tous les articles i. Si SMit(ki) > SMit-1(ki), déterminer ? it à l’aide de

l’équation suivante : SMit(ki + ∆i) = SMit-1(ki + ∆i). Si KN

ii >∆∑

=1

, passer à l’étape 3.

Sinon, t ? t + 1 et répéter les étapes 1 et 2.

Étape 3 T ? t et commander à la période T. R = {i∆it > 0} et Li = T si i ∈ R. Retourner à

l’étape 1 jusqu’à ce que t = T.

FIGURE 2.4 : HEURISTIQUE GSM2 DE IYOGUN (1991)

En 1994, Federgruen et Tzur (1994) résolvent le problème d’approvisionnement coordonné de

plusieurs articles avec demande dynamique à l’aide d’une méthode d’ajout gloutonne. Cette

dernière part d’un plan d’approvisionnement dans lequel une commande est effectuée pour

chaque article i à la période 1 afin de couvrir la demande de tout l’horizon. Ensuite, toutes les

possibilités d’ajouter une commande dans une des périodes où il n’y pas de commande sont

envisagées. La possibilité dont le gain est le plus élevé est retenue. Cette procédure est répétée

jusqu’à ce qu’aucun gain ne soit réalisable ou que des commandes soient lancées à toutes les

périodes.

Chung et Mercan (1994) présentent une heuristique basée sur la programmation dynamique

semblable à celle de Wagner et Whitin (1958). Le plan d’approvisionnement est trouvé en

solutionnant les sous-problèmes des périodes 1 jusqu’à t pour les périodes t = 1, …, T. Chaque

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sous-problème est résolu selon deux politiques concernant les coûts. À l’aide d’un bassin de

problèmes tests, Chung et Mercan (1994) évaluent la performance de leur heuristique en

comparant ces solutions avec les solutions optimales obtenues par la méthode de Erenguc (1988).

La déviation moyenne par rapport à l’optimum est de 1,08%. Le temps moyen de calcul est de

2,58 secondes pour l’heuristique tandis qu’il est de 983,37 secondes pour la méthode optimale.

Boctor, Laporte et Renaud (2003) synthétisent et unifient la description des heuristiques

disponibles du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles dans un même

papier, ce qui n’a jamais été fait auparavant. Ainsi, l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987),

la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994), les deux versions de l’extension de

l’heuristique de Silver-Meal proposées par Atkins et Iyogun (1988) et par Iyogun (1991), et les

deux généralisations de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza

(1986) développées par Iyogun (1991) y sont présentés. En plus, ces auteurs proposent une

nouvelle méthode basée sur le raisonnement inverse de la méthode d’ajout gloutonne. Selon cette

méthode dite de réduction gloutonne, un premier plan d’approvisionnement est généré selon la

méthode de commande lot pour lot. Ensuite, toutes les possibilités de regrouper une commande

avec la commande précédente sont envisagées. La possibilité dont le gain est le plus grand est

retenue. Cette procédure est répétée jusqu’à ce qu’aucun gain ne soit possible ou qu’une seule

commande soit effectuée à la période 1. Une nouvelle heuristique de recherche dans le voisinage

basée sur la technique de perturbation des solutions est également proposée. Une analyse

comparative de ces heuristiques a été effectuée à l’aide d’un bassin de 720 problèmes. La

déviation moyenne par rapport à l’optimum de chacune de ces heuristiques est illustrée au

Tableau 2.1. Toutes ces heuristiques, excepté la nouvelle heuristique de recherche dans le

voisinage, sont suivies par la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988).

TABLEAU 2.1 : DÉVIATION MOYENNE EN POURCENTAGE PAR RAPPORT À L’OPTIMUM

Heuristiques % Fogarty et Barringer 0,029

Méthode d'ajout gloutonne 2,062 Méthode de réduction gloutonne 2,904

Silver-Meal version 1 3,081 Silver-Meal version 2 5,848

Pièce-période version 1 4,541 Pièce-période version 2 2,428

Nouvelle heuristique 0,014

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2.3. Conclusion

En ce qui concerne les méthodes optimales, les approches de résolution proposées par Zangwill

(1966), Veinott (1969), Kao (1979), Silver (1979) et Haseborg (1982) sont basées sur la

programmation dynamique, tandis que celles de Erenguc (1988), Federgruen et Tzur (1994),

Kirca (1995), Robinson et Gao (1996) et Martel, Rizk et Ramudhin (2002) sont basées sur

l’algorithme de séparation et d’évaluation progressive (branch and bound). La plus récente

contribution à ce problème revient à l’article de Boctor, Laporte et Renaud (2003) qui proposent

deux nouvelles formulations mathématiques basées sur la programmation linéaire dont les temps

de résolution sont significativement inférieurs à ceux de la formulation classique. Martel, Rizk et

Ramudhin (2002) sont les seuls à avoir traité la même version du problème étudiée dans cet essai,

soit un coût commun de commande variant selon le poids commandé.

Plusieurs auteurs ont proposé des méthodes heuristiques pour résoudre le problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte

de capacité. Kao (1979) est le premier à proposer une heuristique itérative pour résoudre le

problème d’approvisionnement coordonné. Fogarty et Barringer (1987) présentent une

heuristique, simple et facile à utiliser, basée sur la programmation dynamique. Selon Silver et

Kelle (1988), l’inconvénient de l’heuristique précédente est qu’elle impose que chaque

commande doit inclure la demande de tous les articles entre la période de la commande et celle

de la commande suivante. Ainsi, une méthode pour améliorer la solution ainsi obtenue en

relaxant cette restriction est proposée.

Atkins et Iyogun (1988) propose une extension de l’heuristique de Silver et Meal (1979)

originalement conçue pour la résolution de problèmes d’approvisionnement à un seul article.

Iyogun (1991) propose une deuxième extension de cette même heuristique ainsi que deux

extensions de l’heuristique dite d’équilibrage pièce-période. Joneja (1990) propose une nouvelle

heuristique itérative semblable à celle de Atkins et Iyogun (1988) et la compare avec celle de Kao

(1979). Federgruen et Tzur (1994) propose la méthode d’ajout gloutonne. Chung et Mercan

(1994) présentent une heuristique basée sur la programmation dynamique et évaluent sa

performance en comparant ses solutions aux solutions optimales obtenues par la méthode de

Erenguc (1988).

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Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont testé plusieurs heuristiques pour le problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique en plus d’en

proposer une nouvelle. Une analyse comparative est également effectuée. De toutes les

heuristiques existantes, la plus performante est celle de Fogarty et Barringer (1987). Malgré le

fait que la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) améliore les solutions des plans

d’approvisionnement générés par l’heuristique de Fogarty et Barringer, celle de Boctor, Laporte

et Renaud basée sur la technique de perturbation surclasse cette heuristique. À ce jour, cette

méthode permet d’obtenir la déviation moyenne par rapport à l’optimum la plus près de zéro, soit

0,014%.

À notre connaissance, les deux nouvelles versions du problème d’approvisionnement coordonné

de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte de capacité étudiées ici n’ont pas

encore fait l’objet d’aucune publication, excepté la contribution de Martel, Rizk et Ramudhin

(2002) qui propose l’utilisation de la relaxation lagrangienne dans le cadre d’un algorithme de

séparation et d’évaluation progressive. La difficulté avec cette approche est qu’il est laborieux de

la mettre en œuvre.

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CHAPITRE 3. DÉFINITION DU PROBLÈME

3

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3. DÉFINITION DU PROBLÈME

Dans ce chapitre, nous traitons des concepts de base du problème d’approvisionnement

coordonné de plusieur s articles avec demande dynamique, des hypothèses et de la notation du

problème, de la formulation de trois modèles mathématiques ainsi que des propriétés de la

solution optimale.

3.1. Concepts de base

L’objectif du problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande

dynamique est de déterminer les quantités xit à recevoir de chaque type d’articles i pour chacune

des périodes t de l’horizon de planification de façon à minimiser la somme des coûts de

commande et de stockage. De plus, le plan d’approvisionnement généré doit satisfaire les

demandes sans arrérages ou rupture de stock. Ce problème est donc multiarticles et

multipériodes.

En ce qui concerne ce problème, une famille de N types d’articles est considérée. Selon Silver

(1979), le terme famille est employé lors de situations telles que les articles sont achetés chez le

même fournisseur, les articles sont transportés par un même transporteur ou bien les articles

partagent le même processus de production. Trois types de coût sont considérés : le coût commun

de commande (dit coût majeur), qui ne dépend pas de la composition de la commande, les coûts

individuels de commande (dits coûts mineurs ou coûts de ligne), qui dépendent des types

d’articles inclus dans la commande, et les coûts de stockage. Le coût commun de commande

représente souvent le coût de transport des articles commandés.

Dans le cadre de cet essai, trois types de structures du coût commun de commande ont été

considérés. Tout d’abord, tel que mentionné dans la revue de la littérature, les chercheurs font

l’hypothèse que le coût commun de commande ne dépend pas de la quantité commandée mais

est plutôt un coût fixe. Cette situation s’applique aux entreprises qui s’occupent du transport des

articles commandés à l’aide de leur unique camion ou dans le cas où le fournisseur impose un

prix fixe de commande et est responsable du transport des marchandises. Dans ce cas, à chaque

utilisation d’un camion ou à chaque passation d’une commande, un coût fixe K, tel qu’illustré à

la Figure 3.1, doit être considéré.

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FIGURE 3.1 : COÛT COMMUN DE COMMANDE FIXE

Dans un premiers temps, afin d’être plus près de la réalité observée dans la pratique, le cas où le

coût commun de commande est une fonction par paliers de la quantité commandée a été traité.

Cela reflète davantage la structure de ce coût dans le cas où l’entreprise utilise sa flotte interne

pour effectuer le transport des articles commandés. Comparativement au cas où le coût commun

de commande est fixe, le nombre de camions est supérieur à un. Les camions sont habituellement

de tailles différentes. Lorsqu’une entreprise utilise deux ou plusieurs types de camions, deux ou

plusieurs paliers seront nécessaires pour illustrer les différentes combinaisons de coûts fixes

envisageables. Un coût fixe Ks correspond à une combinaison quelconque (représentée par un

palier) de camions permettant de transporter une quantité commandée à un coût minimum. De

plus, chacun de ces paliers est délimité par une borne supérieure bs. Le cas où trois paliers sont

utilisés pour effectuer le calcul du coût commun est présenté à la Figure 3.2.

FIGURE 3.2 : COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS

b2 Qté

K3

$

Qté

$

b1

K2

K1

Qté

K

$

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Afin de mieux comprendre le coût commun de commande variable en paliers, un exemple est

présenté. Une entreprise possède trois camions de tailles différentes, soit un d’une capacité de

1 000 unités, un autre d’une capacité de 2 500 unités et un dernier d’une capacité de 4 000 unités.

Le coût fixe associé au premier camion est de 500 $, le second de 1 500 $ et le dernier de

3 000 $. La Figure 3.3 illustre tous les coûts minimums associés aux combinaisons possibles. Par

exemple, pour transporter une quantité de 3 000 unités, l’entreprise dispose de deux options, soit

d’utiliser un camion d’une capacité de 4 000 unités pour un coût fixe de 3 000 $ ou soit d’utiliser

deux camions de capacité de 1 000 unités et 2 500 unités, pour un total de 2 000 $. Évidemment,

l’entreprise choisira l’option la plus avantageuse, soit l’utilisation de deux camions, un de 1 000

unités et un autre de 2 500 unités, pour le transport de ces 3 000 unités à un coût total de 2 000 $.

FIGURE 3.3 : EXEMPLE D’UN COÛT COMMUN DE COMMANDE VARIABLE EN PALIERS

Dans un deuxième temps, le cas où le coût commun de commande est une fonction linéaire par

morceaux a été abordé. Cette fonction est illustrée à la Figure 3.4. Cette structure représente le

coût de transport des articles commandés lorsque l’entreprise fait appel à une flotte externe (en

charges partielles) pour s’approvisionner. Un coût fixe ou variable Ks est attribué à chaque

morceau. De plus, chaque morceau est délimité par une borne inférieure et une borne supérieure

bs. La Figure 3.4 présente une telle fonction. Un exemple pratique de cette structure de coût est

illustré à la Figure 1.2.

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500

500

1500

2000

3000

3500

5000

$

Qté 6500 6000 7000 7500

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FIGURE 3.4 : COÛT COMMUN DE COMMANDE LINÉAIRE PAR MORCEAUX

Malgré la similitude avec le problème d’approvisionnement à un seul article, le seul fait de

rajouter un coût commun de commande, peu importe la structure de ce coût, complique

considérablement la formulation mathématique du problème.

3.2. Hypothèses et notations

Pour traiter le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande

dynamique sans contrainte de capacité, des hypothèses de travail ont été établies. La demande

nette pour chaque article i à la période t, notée dit, est déterministe mais varie dans le temps. Elle

s’étale sur un horizon composé de T périodes. Le fait que la demande soit dynamique permet aux

entreprises de traiter des situations importantes telles qu’un contrat de production auprès d’une

entreprise qui commande des quantités différentes de livraison ou la gestion d’articles avec

demandes saisonnières. Les demandes nettes pour n’importe quelle période t doivent être

disponibles au début de la période. Ainsi, aucune pénurie ni aucuns arrérages ne sont permis.

Le coût commun de commande K ne dépend pas de la composition de la commande, tandis que

le coût individuel de commande de l’article i, noté ki, est encouru seulement lorsque cet article

est commandé. Tel que mentionné dans la section précédente, le coût commun de commande

fixe ne dépend pas de la quantité commandée tandis que le coût commun variable en paliers et le

coût commun linéaire par morceaux dépendent de la quantité commandée.

Qté b1

$

K2, K3

Qté b2

$

b3 b4 b5 b0

K0, K1

K4, K5

K6

b6

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De plus en plus de fournisseurs offrent aux entreprises des rabais sur les achats annuels plutôt

que sur une commande. Ainsi, les rabais sur les quantités ne sont pas considérés. En ce qui

concerne la taille des commandes et les inventaires, aucune limite inférieure ou supérieure ne les

restreint.

Le coût unitaire de chaque article i étant constant sur tout l’horizon, il n’est pas pertinent d’en

tenir compte dans la formulation mathématique. Comme l’entreprise doit satisfaire les demandes

de ses clients, le coût d’achat des articles sera le même peu importe le plan d’approvisionnement

généré.

Pour terminer, le délai de livraison des articles n’est pas considéré puisque celui-ci est

déterministe et connu pour tout l’horizon de planification.

3.3. Propriétés de la solution optimale

Selon Silver (1979), pour qu’un plan d’approvisionnement soit considéré optimal, les quatre

propriétés ci-dessous doivent être respectées. Celles-ci s’appliquent au cas où le coût commun de

commande est considéré fixe.

Propriété 1 : Il existe une solution optimale (I*, x*) telle que : 0*1

* =−ititIx , pour tous les articles i

= 1, …, N et toutes les périodes t = 1, …, T.

Si le stock de fin Iit-1 de l’article i à la période t – 1 est positif, alors aucune réception ne doit être

planifiée pour cet article à la période t (xit = 0). Une commande est lancée pour l’article i

seulement si son stock de début est à zéro.

Propriété 2 : La propriété 1 implique que la quantité à recevoir xit de l’article i au début de la

période t est une des quantités suivantes : dit, dit + dit-1, …, ∑=

T

trird .

La demande d’une période doit toujours être affectée à une seule commande puisqu’il n’est

jamais rentable de séparer une commande en deux.

Propriété 3 : Découlant également de la propriété 1, le stock de fin de période t -1 de l’article i

doit être égal à une des possibilités suivantes : 0, dit, dit + dit-1, …, ∑=

T

trird .

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Propriété 4 : Considérons t < r, si (r – t)hi * dir > K + ki, alors ni la demande de l’article i à la

période r ni les demandes des périodes suivantes ne seront incluses dans la commande lancée au

début de la période t. Le coût de stocker cette demande est plus dispendieux que celui de

commander.

Tel que démontré par Silver (1979), ces quatre propriétés sont respectées pour le problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique pour le cas où le

coût commun de commande est fixe. Par contre, ces propriétés ne sont pas respectées pour les cas

où le coût commun de commande est variable en paliers ou linéaire par morceaux.

Afin de démontrer cette affirmation, étudions un exemple à dix articles et treize périodes. Le coût

commun de commande est représenté par une fonction par paliers. Deux paliers ont été utilisés.

Le premier palier a un coût commun de commande de 800 $ et le second de 1 000 $. La borne

supérieure du premier palier est de 6 800 unités commandées, tandis que celle du deuxième palier

est la somme totale de toutes les demandes nettes, soit 28 470 unités. Le Tableau 3.1 présente les

coûts individuels de commande et de stockage et le Tableau 3.2 donne les demandes nettes.

TABLEAU 3.1 : COÛTS INDIVIDUELS DE COMMANDE ET DE STOCKAGE DE L’EXEMPLE

Article ki hi

1 60 0,32 70 0,43 90 0,14 30 0,55 30 0,36 50 0,47 100 0,18 20 0,19 40 0,3

10 510 0,3

TABLEAU 3.2 : DEMANDES NETTES DE L’EXEMPLE Période/Article 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total

1 210 110 10 180 60 50 25 185 200 215 105 60 20 1 4302 165 95 160 155 135 155 145 140 55 95 145 170 105 1 7203 640 105 660 155 680 510 625 355 15 355 50 265 815 5 2304 10 15 0 5 5 10 15 10 15 0 5 5 15 1105 95 20 110 40 115 0 85 120 60 115 105 110 5 9806 135 65 75 25 65 105 125 135 70 35 165 10 130 1 1407 580 525 315 290 715 75 450 595 175 760 610 660 120 5 8708 565 395 110 445 275 430 655 415 455 480 235 580 670 5 7109 90 195 80 205 10 115 195 55 175 65 210 30 10 1 435

10 465 85 400 725 230 240 260 385 710 615 655 65 10 4 845

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Le Tableau 3.3 donne la solution optimale de cet exemple. Nous remarquons que la quantité

commandée à la période 7 est de 6 800 unités, soit la limite du premier palier. Donc, la demande

nette de l’article 7 à la période 7 a été séparée entre la commande de la période de commande 4 et

celle de la période 7. Ainsi, 110 unités ont été commandées à la période 4 au lieu de la période 7,

ce qui a permis de diminuer la quantité à commander de la période 7 pour ne pas dépasser la

limite du premier palier. Il reste 110 unités en stock pour l’article 7 à la fin de la période 6. Tel

qu’illustré au Tableau 3.4, le coût total de ce plan d’approvisionnement est de 12 837,50 $. La

séparation de cette commande de l’article 7 en deux permet d’économiser 200 $, soit la

différence entre le coût du deuxième palier et le premier palier (1 000$ - 800 $ = 200 $). Par

contre, un coût de stockage supplémentaire de 33 $ est engendré, soit le coût de stocker 110

unités pendant trois périodes supplémentaires. Évidemment, ce coût de stockage est inférieur au

coût commun de commande additionnel qui aurait été déboursé pour atteindre le deuxième palier.

TABLEAU 3.3 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT OPTIMAL DE L’EXEMPLE Période/Article 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total

1 330 0 0 290 0 0 410 0 0 400 0 0 0 1 4302 420 0 0 445 0 0 340 0 0 240 0 275 0 1 7203 1 405 0 0 1 345 0 0 995 0 0 405 0 1 080 0 5 2304 45 0 0 0 0 0 45 0 0 0 0 20 0 1105 225 0 0 155 0 0 265 0 0 220 0 115 0 9806 275 0 0 195 0 0 330 0 0 200 0 140 0 1 1407 1 420 0 0 1 190 0 0 1 110 0 0 1 370 0 780 0 5 8708 1 070 0 0 1 150 0 0 1 525 0 0 715 0 1 250 0 5 7109 365 0 0 330 0 0 425 0 0 315 0 0 0 1 435

10 950 0 0 1 195 0 0 1 355 0 0 1 345 0 0 0 4 845Total 6 505 0 0 6 295 0 0 6 800 0 0 5 210 0 3 660 0 28 470

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TABLEAU 3.4 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE Période 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total

Coût majeur 800 0 0 800 0 0 800 0 0 800 0 800 0 4000Coût mineur

1 60 0 0 60 0 0 60 0 0 60 0 0 0 2402 70 0 0 70 0 0 70 0 0 70 0 70 0 3503 90 0 0 90 0 0 90 0 0 90 0 90 0 4504 30 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 30 0 905 30 0 0 30 0 0 30 0 0 30 0 30 0 1506 50 0 0 50 0 0 50 0 0 50 0 50 0 2507 100 0 0 100 0 0 100 0 0 100 0 100 0 5008 20 0 0 20 0 0 20 0 0 20 0 20 0 1009 40 0 0 40 0 0 40 0 0 40 0 0 0 16010 510 0 0 510 0 0 510 0 0 510 0 0 0 2040

Stock de fin1 120 10 0 110 50 0 385 200 0 185 80 20 02 255 160 0 290 155 0 195 55 0 145 0 105 03 765 660 0 1190 510 0 370 15 0 50 0 815 04 35 20 20 15 10 0 30 20 5 5 0 15 05 130 110 0 115 0 0 180 60 0 105 0 5 06 140 75 0 170 105 0 205 70 0 165 0 130 07 840 315 0 900 185 110 770 175 0 610 0 120 08 505 110 0 705 430 0 870 455 0 235 0 670 09 275 80 0 125 115 0 230 175 0 250 40 10 010 485 400 0 470 240 0 1095 710 0 730 75 10 0

Coût de stockage1 36 3 0 33 15 0 115,5 60 0 55,5 24 6 0 3482 102 64 0 116 62 0 78 22 0 58 0 42 0 5443 76,5 66 0 119 51 0 37 1,5 0 5 0 81,5 0 437,54 17,5 10 10 7,5 5 0 15 10 2,5 2,5 0 7,5 0 87,55 39 33 0 34,5 0 0 54 18 0 31,5 0 1,5 0 211,56 56 30 0 68 42 0 82 28 0 66 0 52 0 4247 84 31,5 0 90 18,5 11 77 17,5 0 61 0 12 0 402,58 50,5 11 0 70,5 43 0 87 45,5 0 23,5 0 67 0 3989 82,5 24 0 37,5 34,5 0 69 52,5 0 75 12 3 0 39010 145,5 120 0 141 72 0 328,5 213 0 219 22,5 3 0 1264,5

Coût total 2489,5 392,5 10 2487 343 11 2743 468 2,5 2367 58,5 1465,5 0 12837,5

3.4. Formulations mathématiques

Les formulations mathématiques associées aux trois structures du coût commun de commande

sont présentées dans les sections suivantes.

3.4.1. Coût commun de commande fixe

Pour résoudre le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande

dynamique de manière optimale, un programme linéaire en nombres mixtes (mixed integer

programming formulation) est proposé. Cette formulation tient compte du coût commun de

commande fixe. Ici, N représente le nombre d’articles tandis que T est le nombre de périodes

dans l’horizon de planification. Pour chaque article i ∈ {1, 2, …, N} et chaque période t ∈ {1, 2,

…, T}, nous avons la notation ci-dessous :

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31

xit Nombre d’unités de l’article i à recevoir à la période t;

Iit Stock de l’article i à la fin de la période t;

dit Demande nette de l’article i pour la période t, dit ≥ 0;

Kt Coût commun de commande. Ce coût n’est pas dépendant de la quantité commandée;

kit Coût individuel de commande. Ce coût est encouru si un lot de l’article i est inclus dans la commande lancée à la période t;

hit Coût unitaire de stockage de l’article i à la période t;

zt Variable binaire = 1 si une commande est passée pour la période t;

yit Variable binaire = 1 si le lot de l’article i est inclus dans la commande de la période t.

La première formulation s’écrit alors :

Minimiser : (1) ( )∑ ∑= =

++

T

t

N

iitititittt IhykzK

1 1

Sujet aux contraintes :

(2) Iit-1 + xit = Iit + dit i = 1, …, N; t = 1, …, T

(3) it

T

tririt ydx

≤ ∑

=

i = 1, …, N; t = 1, …, T

(4) ∑=

≤N

itit Nz y

1

t = 1, …, T

(5) zt, yit ∈ {0, 1} i = 1, …, N; t = 1, …, T

(6) Iit, x it ≥ 0 i = 1, …, N; t = 1, …, T

L’objectif (1) minimise la somme des coûts d’approvisionnement individuel et coordonné ainsi

que les coûts de stockage, et ce, pour tous les articles et toutes les périodes. La contrainte (2)

garantit la satisfaction de la demande. Le stock de fin de période t de l’article i est égal au stock

de début de période plus les quantités commandées moins la demande nette. La contrainte (3)

indique qu’une quantité de l’article i à la période t est commandée lorsqu’une commande est

lancée. De plus, cette quantité ne peut pas dépasser la somme des demandes nettes à combler

pour le reste de l’horizon de planification pour cet article i. La contrainte (4) indique qu’un coût

commun de commande à la période t est engendré dès qu’un article i est commandé à la période

t. La contrainte (5) reflète les variables binaires tandis que la contrainte (6) représente les

contraintes de non négativité.

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32

Dans le but de réduire les temps de résolution, Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont proposé

deux nouvelles formulations mathématiques. Pour la construction de la première formulation qui

est très compacte, deux nouvelles variables ont été définies. La première variable est citq qui

représente le coût de commander à la période t une quantité de l’article i qui couvre sa demande

de la période t à q, c’est-à-dire ∑ ∑+=

=

+=

q

trir

r

tkikititq dhkc

1

1

. La deuxième variable est witq qui

représente une variable binaire qui prend la valeur de 1 seulement si la quantité commandée de

l’article i à la période t couvre la demande de la période t jusqu’à q, c’est-à-dire witq = 1 si et

seulement si ∑=

=q

tririt dx .

La deuxième formulation s’écrit alors :

Minimiser : (7) ∑ ∑∑= = =

+

T

t

N

i

T

tqitqitqtt wczK

1 1

Sujet aux contraintes :

(8) ∑∑= =

=t

q

T

riqrw

1 1

1 i = 1, …, N; t = 1, …, T

(9) ∑∑= =

≤N

i

T

tqtitq Nzw

1 t = 1,…, T

(10) witq ∈ {0, 1} i = 1, …, N; t = 1, …, T; q = 1, …, T

(11) zt ∈ {0, 1} t = 1, …, T

Par la suite, Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont introduit une nouvelle formulation

mathématique qui utilise une variable binaire uitq égale à 1 si et seulement si la demande de

l’article i de la période q est incluse dans la commande du début de la période t.

La troisième formulation s’écrit alors :

Minimiser : (12) ∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑= = = = =

=

=

++

T

t

N

i

T

t

N

i

T

t

t

qiqtit

t

qririttittt udhukzK

1 1 1 1 2

1

1

1

Sujet aux contraintes :

(13) ∑=

=t

qiqtu

11 i = 1, …, N; t = 1, …, T

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33

(14) ∑=

≤N

ititt Nzu

1 t = 1, …, T

(15) ittitq uu ≤ i = 1, …, N; t = 1, …,T –1 ; q = t +1, …, T

(16) uitq ∈ {0, 1} i = 1, …, N; t = 1 ,…, T; q = 1, …, T

(17) zt ∈ {0, 1} t = 1, …, T

Tel que mentionné dans la Section 3.3, les propriétés de la solution optimale proposée par Silver

(1979) ne sont pas respectées dans les cas où le coût commun de commande est variable en

paliers ou linéaire par morceaux. Ceci fait en sorte qu’il est impossible d’adapter les deux

formulations (7) à (11) et (12) à (17). Ces deux nouvelles formulations utilisent des variables

binaires pour indiquer si la demande nette de l’article i à la période t est incluse ou non dans la

commande. Ce raisonnement empêche la séparation d’une commande en deux. C’est pour cette

raison que seulement la formulation mathématique classique a été adaptée, dans les deux

prochaines sous-sections, afin de considérer les cas où le coût commun de commande est variable

en paliers ou bien linéaire par morceaux.

3.4.2. Coût commun de commande variable en paliers

Pour formuler le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande

dynamique avec un coût de commande variable par paliers, la formulation suivante est utilisée.

Nous avons attribué la valeur de 1 à tous les pi. Alors, les termes poids et quantité commandée

sont équivalentes dans ce document, excepté pour les exemples A et B du chapitre 4. Pour

chaque article i ∈ {1, 2, …, N}, chaque palier du coût commun s ∈ {1, 2, …, M} et chaque

période t ∈ {1, 2, …, T}, nous avons la notation suivante :

xit Nombre d’unités de l’article i à recevoir pour la période t;

Iit Stock de l’article i à la fin de la période t;

dit Demande nette de l’article i pour la période t, dit ≥ 0;

Kst Coût commun de commande. Ce coût n’est pas dépendant des articles commandés mais de la quantité commandée;

kit Coût individuel de commande. Ce coût est encouru si un lot de l’article i est inclus dans la commande lancée à la période t;

hit Coût unitaire de stockage de l’article i à la période t;

pi Poids unitaire de l’article i;

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34

bs Borne supérieure du palier s;

zst Variable binaire = 1 si la commande à la période t appartient au palier s;

yit Variable binaire = 1 si le lot de l’article i à la période t est inclus dans la commande.

Le problème s’écrit alors :

Minimiser : (18) ( )∑ ∑ ∑= = =

++

T

t

M

s

N

iititititstst IhykzK

1 1 1

Sujet aux contraintes :

(19) Iit-1 + xit = Iit + dit i = 1, …, N; t = 1, …, T

(20) it

T

tririt ydx

≤ ∑

=

i = 1, …, N; t = 1, …, T

(21) ∑ ∑= =

≤N

i

M

sstit zNy

1 1

t = 1, …, T

(22) ∑ ∑= =

≤N

i

M

sstsiti zbxp

1 1

t = 1, ..., T

(23) ∑=

≤M

sstz

1

1 t = 1, ..., T

(24) zst, yit ∈ {0, 1} i = 1, …, N; s = 1, ..., M; t = 1, ..., T

(25) Iit, x it ≥ 0 i = 1, …, N; t = 1, …, T

L’objectif (18) minimise la somme des coûts de commande et de stockage, et ce, pour tous les

types d’articles et toutes les périodes. La contrainte (19) garantit la satisfaction de la demande. Le

stock de fin de période t de l’article i est égal au stock de début de période plus les quantités

commandées moins la demande nette. La contrainte (20) indique qu’une quantité de l’article i à la

période t est commandée lorsqu’une commande est lancée. De plus, cette quantité ne peut pas

dépasser la somme des demandes nettes à combler pour le reste de l’horizon de planification pour

cet article i. La contrainte (21) indique qu’un coût commun de commande à la période t est

engendré dès qu’un article i est commandé à la période t. La contrainte (22) permet de choisir le

coût commun de commande en fonction de la quantité commandée. La somme des poids de tous

les articles inclus dans une commande lancée à la période t doit être comprise dans un des paliers.

La contrainte (23) indique que seulement un coût commun de commande peut être comptabilisé

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35

pour chaque commande. La contrainte (24) reflète les variables binaires tandis que la contrainte

(25) représente les contraintes de non négativité.

3.4.3. Coût commun de commande linéaire par morceaux

Pour formuler le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande

dynamique avec un coût de commande linéaire par morceaux, la formulation suivante est

employée. Pour chaque article i ∈ {1, 2, …, N}, chaque morceau du coût commun de commande

s ∈ {1, 2, …, M} et chaque période t ∈ {1, 2, …, T}, la notation suivante est utilisée :

xit Nombre d’unités de l’article i à recevoir pour la période t;

Iit Stock de l’article i à la fin de la période t;

dit Demande nette de l’article i pour la période t, dit ≥ 0;

Kst Coût cumulatif pour l’achat de tous les articles i jusqu’à la borne s. Ce coût n’est pas dépendant des articles commandés mais de la quantité commandée;

kit Coût individuel de commande. Ce coût est encouru si un lot de l’article i est inclus dans la commande lancée à la période t;

hit Coût unitaire de stockage de l’article i à la période t;

pi Poids unitaire de l’article i;

bs Borne du morceau s;

ust Variable borne inférieure de chaque morceau;

vst Variable borne supérieure de chaque morceau;

wst Variable binaire = 1 si le morceau s est utilisé à la période t, si une commande est lancée;

yit Variable binaire = 1 si le lot de l’article i à la période t est inclus dans la commande.

Le problème s’écrit alors :

Minimiser : (26) ( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

+++

T

t

M

s

N

iititititstststts IhykvKuK

1 1 1,1

Sujet aux contraintes :

(27) Iit-1 + xit = Iit + dit i = 1, …, N; t = 1, …, T

(28) it

T

tririt ydx

≤ ∑

=

i = 1, …, N; t = 1, …, T

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36

(29) ∑ ∑= =

≤N

i

M

sstit wNy

1 1

t = 1, ..., T

(30) ( )∑ ∑= =

− +=N

i

M

sstststtsiti vbubxp

1 1,1 t = 1, ..., T

(31) ∑=

≤M

sstw

1

1 t = 1, ..., T

(32) ststst wvu =+ s = 1, ..., M; t = 1, ..., T

(33) wst, yit ∈ {0, 1} i = 1, …, N; s = 1, ..., M; t = 1, ..., T

(34) Iit, x it, ust, vst ≥ 0 i = 1, …, N; s = 1, ..., M t = 1, …, T

L’objectif (26) minimise la somme des coûts de commande et de stockage, et ce, pour tous les

types d’articles et toutes les périodes. La contrainte (27) garantit la satisfaction de la demande. Le

stock de fin de période t de l’article i est égal au stock de début de période plus les quantités

commandées moins la demande nette. La contrainte (28) indique qu’une quantité de l’article i à la

période t est commandée lorsqu’une commande est lancée. De plus, cette quantité ne peut pas

dépasser la somme des demandes nettes à combler pour le reste de l’horizon de planification pour

cet article i. La contrainte (29) indique qu’un coût commun de commande à la période t est

engendré seulement lorsque l’article i est commandé à la période t. La contrainte (30) permet de

choisir le coût commun de commande en fonction de la quantité commandée. La somme des

poids de tous les articles inclus dans une commande lancée à la période t doit être comprise dans

un des morceaux. La contrainte (31) indique que seulement un coût commun de commande peut

être comptabilisé pour chaque commande. La contrainte (32) indique que la somme des

pourcentages associés à la borne inférieure et à la borne supérieure doit être égale à un, si une

commande est engendrée, sinon égale à zéro. La contrainte (33) reflète les variables binaires

tandis que la contrainte (34) représente les contraintes de non négativité.

3.5. Conclus ion

Dans ce chapitre, nous avons présenté cinq modèles mathématiques pour résoudre le problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique sans contrainte

de capacité dont deux nouveaux modèles pour les cas où le coût commun de commande est

variable en paliers ou linéaire par morceaux. Les méthodes heuristiques pour la résolution de ces

deux nouveaux cas sont présentées au prochain chapitre.

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37

CHAPITRE 4. MÉTHODES HEURISTIQUES DE RÉSOLUTION

4

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38

4. MÉTHODES HEURISTIQUES DE RÉSOLUTION

Dans le cadre de cet essai, nous avons, premièrement, utilisé trois heuristiques originalement

proposées pour le cas où le coût commun de commande est fixe. De plus, nous avons également

proposé une nouvelle adaptation de deux autres heuristiques. À la Section 4.1., l’heuristique de

Fogarty et Barringer (1987), notre adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973), notre

adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza (1968), la

méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994) et la méthode de réduction gloutonne

de Boctor, Laporte et Renaud (2003) sont présentées et utilisées pour résoudre les deux nouvelles

versions du problème d’approvisionnement coordonné étudiées ici, soit le cas où le coût commun

de commande est variable en paliers et le cas où le coût commun de commande est linéaire par

morceaux. La Section 4.2 présente la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) et la

Section 4.3 conclut ce chapitre.

Pour illustrer le fonctionnement de ces heuristiques, deux exemples numériques sont utilisés. Les

données de ces deux exemples sont présentées ci-après. Le Tableau 4.1. présente les coûts

individuels de commande (ki) et de stockage (hi) ainsi que le poids (pi) de chaque article i, tandis

que le Tableau 4.2. indique les demandes nettes dit. La structure du coût commun de commande

du premier exemple, nommé exemple A, est illustrée à la Figure 4.1.

TABLEAU 4.1 : LES COÛTS DES ARTICLES

Article k i h i p i 1 10 0,5 1,1 2 20 0,3 2,0 3 15 0,4 1,5

TABLEAU 4.2 : LES DEMANDES NETTES dit

Période/ Article

1 2 3 4 5 6 Total

1 10 20 10 30 30 40 140 2 28 7 22 19 32 50 158 3 11 12 13 15 50 27 128

Poids 83,5 54,0 74,5 93,5 172,0 184,5 662

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39

FIGURE 4.1 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE A

Pour le deuxième exemple, nommé exemple B, la structure du coût commun de commande est

une fonction linéaire par morceaux, au lieu d’une fonction par paliers. La fonction utilisée pour le

coût commun de commande est illustrée à la Figure 4.2.

FIGURE 4.2 : STRUCTURE DU COÛT COMMUN DE COMMANDE DE L’EXEMPLE B

400 Poids

180

$

$

220

140

80

Poids 40

$

140

180

$

220 400 440

80

180

250

800

0,1944

0,2222

0,4286

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40

4.1. Heuristiques proposées

Les approches de résolution utilisées sont les mêmes que pour le problème d’approvisionnement

coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique et coût commun de commande fixe,

sauf celles de Silver et Meal (1973), de De Matteis et Mendoza (1968) et de Silver et Kelle (1988)

qui sont légèrement adaptées afin de les rendre plus simples d’utilisation. Seul le calcul du coût

commun de commande diffère dans le cas de coût commun de commande variable en paliers ou

linéaire par morceaux.

4.1.1. Heuristique Fogarty et Barringer

L’heuristique de Fogarty et Barringer (1987) est très simple à utiliser et est basée sur la

programmation dynamique de Wagner et Whitin (1958). Le problème est simplifié en exigeant

l’approvisionnement de toutes les demandes de tous les articles jusqu’à la prochaine commande

lorsqu’une commande est lancée. Ainsi, la solution optimale du problème simplifié est obtenue

en solutionnant le programme dynamique suivant :

avec :

Où Kq(P) est le coût commun de commande correspondant au poids P pour la période q.

En appliquant cette heuristique aux données de l’exemple A, nous obtenons les valeurs ft données

dans le Tableau 4.3. De ce tableau, nous pouvons déduire la solution optimale présentée au

Tableau 4.4. Le détail des coûts de cette solution est présenté dans le Tableau 4.5. La valeur de la

solution optimale est de 524,40$.

autrement. 0et ,0si 1

autrement. 0et ,0 si 11

=>=

=>=

∑ ∑

=

= =

iq

t

qririq

q

n

i

t

qrirq

ydy

zdz

( );,...,2 }{min 1 Ttcff qtqtq

t =+= −≤

∑∑==

+

=

n

iii

N

iii ykzdpKf

1111

1111

∑ ∑ ∑∑ ∑= +=

== =

++

=

n

i

t

qr

r

qkikiriqiqq

N

i

t

qririqqt hdykzdpKc

1 1

1

1

})({

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41

TABLEAU 4.3 : SOLUTION DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

Période/Période 1 2 3 4 5 6

1 125,00 80 + 16,9+ 45 =

141,90 175,50 315,60 534,00 763,00

2 250,00 266,80 380,20 514,00 737,20

3 266,90 293,60 141,90 + 140 + 45

+ 26,7 + 89,2 = 442,80 620,20

4 300,50 405,10 536,70 5 418,60 524,40 6 530,10

TABLEAU 4.4 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total 1 30 0 40 0 70 0 140 2 35 0 41 0 82 0 158 3 23 0 28 0 77 0 128

TABLEAU 4.5 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 80 0 140 0 300Coût mineur

1 10 0 10 0 10 0 302 20 0 20 0 20 0 603 15 0 15 0 15 0 45

Stock de fin1 20 0 30 0 40 02 7 0 19 0 50 03 12 0 15 0 27 0

Coût de stockage1 10 0 15 0 20 0 45,02 2 0 6 0 15 0 22,83 5 0 6 0 11 0 21,6

Coût total 142 0 152 0 231 0 524,40

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Les valeurs de ft obtenues en appliquant l’heuristique de Fogarty et Barringer (1988) aux

données de l’exemple B sont présentées au Tableau 4.6. À partir de ce tableau, la solution

optimale en est déduite et est présentée au Tableau 4.7. Le détail des coûts de cette solution est

présenté au Tableau 4.8. La valeur de la solution optimale est 595,73$.

TABLEAU 4.6 : SOLUTION DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

Période/Période 1 2 3 4 5 6

1 143,60 121,79 + 45 + 16,9 =

183,69 235,50 334,60 541,29 806,17

2 274,64 323,37 399,29 571,31 782,77

3 323,47 390,24 183,7 + 166,67 +

45 + 26,7 + 89,2 = 511,25

678,42

4 383,43 475,21 598,64 5 516,17 595,73 6 660,21

TABLEAU 4.7 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total 1 70 0 0 0 70 0 140 2 76 0 0 0 82 0 158 3 51 0 0 0 77 0 128

TABLEAU 4.8 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur

1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30

Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0

Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0

Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73

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4.1.2. Adaptation proposée de l’heuristique de Silver et Meal

L’adaptation proposée de l’heuristique de Silver et Meal (1973) cherche à minimiser le coût

pertinent total par période. Le coût pertinent par période est calculé jusqu’à ce que t = T ou que le

coût moyen à la période t soit supérieur à celui de la période t – 1 pour le dernier palier ou

morceau. Ensuite, il faut choisir le coût pertinent par période minimum. Une commande est

lancée à la période suivante. Si une commande est lancée à la dernière période, il faut alors

calculer le coût total de commander à cette période et le coût total de regrouper cette commande

avec la précédente, et choisir le coût total minimum. Dans les présentations qui suivent, K est la

fonction de coût associée à la quantité (poids) commandée. Voici, en détail, les étapes de cette

heuristique.

Étape 1. Initialisation

Mettre t = 1 et L = 1.

Étape 2. Incrémentation

Calculer le coût pertinent à la période L jusqu’à la période t :

∑∑∑== =

+−+=N

iii

t

Lr

N

iiir krhdKCP

11

)1( δ où δ i = 1 si l’article i est inclus dans la commande L

jusqu’à t.

Calculer le coût pertinent par période : CPP = CP/L.

Répéter l’étape 2 jusqu’à ce que t = T ou que le coût moyen à la période t soit supérieur à

celui de la période t – 1 pour le dernier palier.

Étape 3. Choix de la période de réapprovisionnement

Choisir le coût pertinent par période minimum.

Une commande est lancée à la période suivante (L = t + 1).

Retourner à l’étape 2 jusqu’à ce que toutes les demandes soient satisfaites.

Étape 4. Test

Si une commande est lancée à la dernière période, alors calculer le coût total de

commander à cette période et celui de l’option de regrouper cette commande avec la

précédente, et choisir le coût total minimum.

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Ci-après, le détail de l’application de la méthode de Silver-Meal aux données de l’exemple A.

L = 1 t = 1 80 + 45 = 125/1 = 125 Palier 1 t = 2 125 + 16,9 = 141,9/2 = 70,95 Palier 1 t = 3 141,9 + 33,6 = 175,5/3 = 58,5 Palier 1 t = 4 175,5 + 60 + 80,1 = 315,6/4 = 78,9 Palier 2 t = 5 315,6 + 40 + 178,4 = 534/5 = 106,8 Palier 3 t = 6 534 + 229 = 763/6 = 127,17 Palier 3 On commande pour les périodes 1 à 3.

L = 4 t = 4 80 + 45 = 125/1 = 125 Palier 1 t = 5 125 + 60 + 44,6 = 229,6/2 = 114,8 Palier 2 t = 6 229,6 + 40 + 91,6 = 180 + 45 + 44,60 + 91,60 = 361,2/3 = 120,4 Palier 3 On commande pour les périodes 4 à 5. L = 6 arrêt, car fin de l’horizon de planification

Puisque une commande est effectuée à la dernière période, le test suivant doit être effectué : Commander aux périodes 1 et 4 : coût total = 536,70 $ Commander aux périodes 1, 4 et 6 : coût total = 530,10 $

Étant donné que le coût total de commander aux périodes 1, 4 et 6 est inférieur à celui de

commander aux périodes 1 et 4, la commande de la période 6 est conservée. Le plan

d’approvisionnement généré par cette méthode pour l’exemple A est présenté au Tableau 4.9. Au

Tableau 4.10, nous retrouvons le détail des coûts de ce plan.

TABLEAU 4.9 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 60 0 40 1402 57 0 0 51 0 50 1583 36 0 0 65 0 27 128

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45

TABLEAU 4.10 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 0 140 0 80 300Coût mineur

1 10 0 0 10 0 10 302 20 0 0 20 0 20 603 15 0 0 15 0 15 45

Stock de fin1 30 10 0 30 0 02 29 22 0 32 0 03 25 13 0 50 0 0

Coût de stockage1 15 5 0 15 0 0 35,02 9 7 0 10 0 0 24,93 10 5 0 20 0 0 35,2

Coût total 159 17 0 230 0 125 530,10

Ci-après, le détail de l’application de la méthode de Silver-Meal aux données de l’exemple B.

L = 1 t = 1 98,6 + 45 = 143,6/1 = 143,6 Morceau 2 t = 2 143,6 + 23,2 + 16,9 = 183,7/2 = 91,85 Morceau 2 t = 3 183,7 + 18,21 + 33,6 = 235,5/3 = 78,5 Morceau 3 t = 4 235,5 + 19 + 80,1 = 334,6/4 = 83,7 Morceau 4 t = 5 334,6 + 28,3 + 178,4 = 541,3/5 = 108,3 Morceau 6 t = 6 541,3 + 35,9 + 229 = 806,2/6 = 134,4 Morceau 6 On commande pour les périodes 1 à 3.

L = 4 t = 4 102,93 + 45 = 147,9/1 = 147,9 Morceau 2 t = 5 147,9 + 47,2 + 44,6 = 239,7/2 = 119,9 Morceau 4 t = 6 239,7 + 31,8 + 91,6 = 181,94 + 45 + 44,60 + 91,60 = 363,1/3 = 121,0 Morceau 6 On commande pour les périodes 4 à 5.

L = 6 arrêt, car fin de l’horizon de planification

Puisque une commande est effectuée à la dernière période, le test suivant doit être effectué : Commander aux périodes 1 et 4 : coût total = 598,64 $ Commander aux périodes 1, 4 et 6 : coût total = 660,21 $

Étant donné que le coût total de commander aux périodes 1 et 4 est inférieur à celui de

commander aux périodes 1, 4 et 6, la commande de la période 6 n’est pas conservée. Le plan

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46

d’approvisionnement généré par cette méthode pour l’exemple B est présenté au Tableau 4.11.

Au Tableau 4.12, nous retrouvons le détail des coûts de ce plan.

TABLEAU 4.11 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 100 0 0 1402 57 0 0 101 0 0 1583 36 0 0 92 0 0 128

Plan de réapprovisionnement

TABLEAU 4.12 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 140 0 0 182 0 0 322Coût mineur

1 10 0 0 10 0 0 202 20 0 0 20 0 0 403 15 0 0 15 0 0 30

Stock de fin1 30 10 0 70 40 02 29 22 0 82 50 03 25 13 0 77 27 0

Coût de stockage1 15 5 0 35 20 0 75,02 9 7 0 25 15 0 54,93 10 5 0 31 11 0 56,8

Coût total 219 17 0 317 46 0 598,64

4.1.3. Adaptation proposée de l’heuristique d’équilibrage pièce-période

L’adaptation proposée de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza

(1968) cherche à minimiser la différence entre le coût de stockage et le coût de commande. Tout

d’abord, il faut calculer la différence entre le coût de stockage et le coût de commande jusqu’à ce

que t = T ou que le coût de stockage soit supérieur au coût de commande pour le dernier palier ou

morceau. Ensuite, choisir la différence absolue minimale. Une commande est lancée à la période

suivante. Tout comme l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973), si la dernière

commande est lancée à la dernière période, il faut alors calculer le coût total de commander à

cette période et le coût total de regrouper cette commande avec la précédente, et choisir le coût

total minimum. Voici, en détail, les étapes de cette heuristique :

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Étape 1. Initialisation

Mettre L = 1, CST = 0 et t = 1.

Étape 2. Incrémentation

Calculer le coût de stockage de la période L jusqu’à la période t :

)1(1

−= ∑∑= =

rhdCSTt

Lr

N

iiir .

Calculer le coût de commande de la période L jusqu’à la période t : ∑=

+=N

iiikKCC

1

δ où

δ i = 1 si l’article i est inclus dans la commande L jusqu’à t.

Calculer la différence absolue entre le coût de stockage et le coût de commande :

D = CST - CC

Répéter l’étape 2 jusqu’à ce que t = T ou que le coût de stockage soit supérieur au coût de

commande pour le dernier palier.

Étape 3. Choix de la période de réapprovisionnement

Choisir la différence absolue minimale.

Une commande est lancée à la période suivante (L = t + 1).

Retourner à l’étape 2 jusqu’à ce que toutes les demandes soient satisfaites

Étape 4. Test

Si la dernière commande est lancée à la dernière période, il faut alors calculer le coût total

de commander à cette période et celui de l’option de regrouper cette commande avec la

précédente, et choisir le coût total minimum.

Ci-après, le détail de l’application de l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période

aux données de l’exemple A.

L = 1 t = 1 CST = 0 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 125 t = 2 CST = 0 + 16,9 = 16,9 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 108,1 t = 3 CST = 16,9 + 33,6 = 50,5 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 74,5 t = 4 CST = 50,5 + 80,1 = 130,6 < 140 + 45 Palier 2 Différence : 54,4 t = 5 CST = 130,6 + 178,4 = 309 > 180 + 45 Palier 3 Différence : 84 On commande pour les périodes 1 à 4.

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L = 5 t = 5 CST = 0 < 80 + 45 Palier 1 Différence : 125 t = 6 CST = 0 + 45,8 = 45,8 < 140 + 45 Palier 2 Différence : 139,2 On commande pour la périodes 5.

L = 6 arrêt, car fin de l’horizon de planification

Puisque une commande est lancée à la dernière période, le test suivant doit être effectué : Commander aux périodes 1 et 5 : coût total = 546,40 $ Commander aux périodes 1, 5 et 6 : coût total = 565,60 $

Étant donné que le coût total de commander aux périodes 1 et 5 est inférieur à celui de

commander aux périodes 1, 5 et 6, la commande de la période 6 n’est pas conservée. À partir de

ce tableau, la solution en est déduite et est présentée au Tableau 4.13. Le détail des coûts de cette

solution est présenté au Tableau 4.14.

TABLEAU 4.13 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 70 0 0 0 70 0 1402 76 0 0 0 82 0 1583 51 0 0 0 77 0 128

TABLEAU 4.14 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 140 0 0 0 140 0 280Coût mineur

1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30

Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0

Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0

Coût total 245 44 27 0 231 0 546,40

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Ci-après, le détail de l’application de l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période

aux données de l’exemple B.

L = 1 t = 1 CST = 0 < 98,6 + 45 Morceau 2 Différence : 143,6 t = 2 CST = 0 + 16,9 = 16,9 < 121,8 + 45 Morceau 2 Différence : 149,9 t = 3 CST = 16,9 + 33,6 = 50,5 < 140 + 45 Morceau 3 Différence : 134,5 t = 4 CST = 50,5 + 80,1 = 130,6 < 159 + 45 Morceau 4 Différence : 73,4 t = 5 CST = 130,6 + 178,4 = 309 > 187,3 + 45 Morceau 6 Différence : 76,7 On commande pour les périodes 1 à 4.

L = 5 t = 5 CST = 0 < 136,6 + 45 Morceau 2 Différence : 181,6 t = 6 CST = 0 + 45,8 = 45,8 < 170,3 + 45 Morceau 4 Différence : 169,5 On commande pour les périodes 5 à 6.

À partir de ce tableau, la solution en est déduite et est présentée au Tableau 4.15. Le détail des

coûts de cette solution est présenté au Tableau 4.16.

TABLEAU 4.15 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total 1 70 0 0 0 70 0 140 2 76 0 0 0 82 0 158 3 51 0 0 0 77 0 128

TABLEAU 4.16 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur

1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30

Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0

Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0

Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73

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4.1.4. Méthode d’ajout gloutonne

La méthode d’ajout gloutonne a été proposée par Federgruen et Tzur (1994). Tout d’abord, une

commande est effectuée à la première période afin de couvrir la demande à tout l’horizon.

Ensuite, toutes les possibilités de commander à une autre période t sont envisagées. Chaque

nouvelle commande couvre tous les articles. La possibilité qui diminue le plus le coût total, soit

le plus grand gain, est retenue. Les possibilités de rajouter d’autres commandes à des périodes t

qui n’ont pas de réapprovisionnement sont calculées jusqu’à ce que le coût total ne diminue plus.

En détail, la méthode d’ajout gloutonne est décrite ci-dessous.

Étape 1. Initialisation

Mettre ∑=

=T

titi dx

11 et P = {2, …, T}.

Étape 2. Détermination du meilleur gain

Pour chaque t ∈ P, calculer le gain de rajouter une période de réapprovisionnement.

Étape 3. Ajout d’une période de commande ou arrêt de l’algorithme

Si un ou plusieurs gains sont positifs, prendre le meilleur gain et une commande sera

ajoutée à la période correspondante.

Retirer la nouvelle période de commande t de l’ensemble P.

Si aucun gain, alors arrêt de la procédure.

L’application de cette méthode aux données de l’exemple A est présentée ci-après.

Coût total de commander uniquement à la première période = 763 $ Commander à la période 1 et à la période : 2 : 737,20 $ 3 : 620,20 $ 4 : 536,70 $ 5 : 546,40 $ 6 : 659,00 $ La période 4 est choisie comme période de commande puisque le coût total de cette option est inférieur aux autres possibilités de commande.

Commander aux périodes 1, 4 et : 2 : 628,00 $ 3 : 628,10 $ 5 : 531,30 $ 6 : 530,10 $ La période 6 est choisie comme période de commande puisque le coût total de cette option est inférieur aux autres possibilités de commande.

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Commander aux périodes 1, 4, 6 et : 2 : 80 + 80 + 140 + 80 + (4 x 45) + 61,40 = 621,40 $ 3 : 621,50 $ 5 : 550,50 $

Arrêt puisque le coût total ne diminue plus. Les commandes doivent être reçues aux périodes 1, 4

et 6. Au Tableau 4.17, le plan d’approvisionnement de l’exemple A généré par cette méthode

d’ajout gloutonne est présenté. Les coûts de cette solution sont présentés au Tableau 4.18.

TABLEAU 4.17 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 60 0 40 1402 57 0 0 51 0 50 1583 36 0 0 65 0 27 128

TABLEAU 4.18 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 0 140 0 80 300Coût mineur

1 10 0 0 10 0 10 302 20 0 0 20 0 20 603 15 0 0 15 0 15 45

Stock de fin1 30 10 0 30 0 02 29 22 0 32 0 03 25 13 0 50 0 0

Coût de stockage1 15 5 0 15 0 0 35,02 9 7 0 10 0 0 24,93 10 5 0 20 0 0 35,2

Coût total 159 17 0 230 0 125 530,10

L’application de la méthode d’ajout gloutonne aux données de l’exemple B est présentée ci-

après.

Coût total de commander uniquement à la première période = 806,20$ Commander à la période 1 et : 2 : 782,77 $ 3 : 678,42 $

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4 : 598,64 $ 5 : 595,73 $ 6 : 726,29 $ La période 5 est choisie comme période de commande puisque le coût total de cette option est inférieur aux autres possibilités de commande.

Commander aux périodes 1, 5 et : 2 : 660,42 $ 3 : 427 + (3 x 45) + 89,40 = 651,38 $ 4 : 644,56 $ 5 : 701,17 $ Arrêt puisque le coût total ne diminue plus. Les commandes seront lancées aux périodes 1 et 5.

Au Tableau 4.19, le plan d’approvisionnement de l’exemple B généré par la méthode d’ajout

gloutonne est présenté. Les coûts de cette solution sont présentés au Tableau 4.20.

TABLEAU 4.19 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 70 0 0 0 70 0 1402 76 0 0 0 82 0 1583 51 0 0 0 77 0 128

TABLEAU 4.20 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur

1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30

Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0

Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0

Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73

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53

4.1.5. Méthode de réduction gloutonne

Boctor, Laporte et Renaud (2003) proposent la méthode de réduction gloutonne, l’inverse de la

méthode d’ajout gloutonne. Tout d’abord, une commande est effectuée à chaque période. Ensuite,

toutes les possibilités de regrouper une commande avec la précédente sont envisagées. La

possibilité qui diminue le plus le coût total, soit le plus grand gain, est retenue. Les possibilités de

regrouper d’autres commandes sont calculées jusqu’à ce que le coût total ne diminue plus. En

détail, voici les étapes à suivre pour résoudre un problème à l’aide de cette méthode.

Étape 1. Initialisation

Mettre xit = dit, pour tous les articles i et toutes les périodes t.

R = {2, …, T}.

Étape 2. Détermination du meilleur gain

Pour chaque t ∈ R, calculer le gain d’enlever une période de réapprovisionnement.

Étape 3. Enlèvement d’une période de commande ou arrêt de l’algorithme

Si un ou plusieurs gains sont positifs, prendre le meilleur gain et enlever la commande

passée à cette période.

Retirer la période de commande de l’ensemble R.

Si aucun gain, alors arrêt de la procédure.

L’application de la méthode de réduction gloutonne aux données de l’exemple A est présentée ci-

après.

Coût total de la solution lot pour lot = 750$

1 – 2 – 3 – 4 – 5 : 730,80 $ 1 – 2 – 3 – 4 – 6 : 729,60 $ 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : 651,70 $ 1 – 2 – 4 – 5 – 6 : 641,80 $ 1 – 3 – 4 – 5 – 6 : 641,90 $ Enlever R = 3

1 – 2 – 4 – 5 : 622,60 $ 1 – 2 – 4 – 6 : 621,40 $ 1 – 2 – 5 – 6 : 630,20 $ 1 – 4 – 5 – 6 : 550,50 $ Enlever R = 2

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1 – 4 – 5 : 531,30 $ 1 – 4 – 6 : 530,10 $ 1 – 5 – 6 : 565,60 $ Enlever R = 5

1 – 4 : 260 + (2 x 45) + 186,70 = 536,70 $ 1 – 6 : 659,00 $

Il n’y a plus de gain, alors la solution consiste à commander aux périodes 1, 4 et 6. Au Tableau

4.21, le plan d’approvisionnement de l’exemple A généré par la méthode de réduction gloutonne

est présenté. Les coûts de cette solution sont présentés au Tableau 4.22.

TABLEAU 4.21 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 40 0 0 60 0 40 1402 57 0 0 51 0 50 1583 36 0 0 65 0 27 128

TABLEAU 4.22 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE A SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 80 0 0 140 0 80 300Coût mineur

1 10 0 0 10 0 10 302 20 0 0 20 0 20 603 15 0 0 15 0 15 45

Stock de fin1 30 10 0 30 0 02 29 22 0 32 0 03 25 13 0 50 0 0

Coût de stockage1 15 5 0 15 0 0 35,02 9 7 0 10 0 0 24,93 10 5 0 20 0 0 35,2

Coût total 159 17 0 230 0 125 530,10

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55

En appliquant la méthode de réduction gloutonne aux données de l’exemple B, nous obtenons les

calculs suivants :

Coût total de la solution lot pour lot = 929,00$ 1 – 2 – 3 – 4 – 5 : 823,49 $ 1 – 2 – 3 – 4 – 6 : 839,14 $ 1 – 2 – 3 – 5 – 6 : 848,77 $ 1 – 2 – 4 – 5 – 6 : 837,87 $ 1 – 3 – 4 – 5 – 6 : 837,97 $ Enlever R = 6 1 – 2 – 3 – 4 : 777,57 $ 1 – 2 – 3 – 5 : 742,33 $ 1 – 2 – 4 – 5 : 732,43 $ 1 – 3 – 4 – 5 : 732,53 $ Enlever R = 3

1 – 2 – 4 : 686,52 $ 1 – 2 – 5 : 660,42 $ 1 – 4 – 5 : 644,56 $ Enlever R = 2 1 – 4 : 598,604 $ 1 – 5 : 595,73 $ Enlever R = 4 1 : 806,17 $ Arrêt, car le coût total ne diminue plus. Les périodes de commandes sont les périodes 1 et 5. Des

calculs précédents, nous pouvons déduire la solution générée, présentée au Tableau 4.23. À partir

de cette solution, le coût total est calculé et le détail de ce coût est présenté au Tableau 4.24.

TABLEAU 4.23 : PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE

Période/Article 1 2 3 4 5 6 Total1 70 0 0 0 70 0 1402 76 0 0 0 82 0 1583 51 0 0 0 77 0 128

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56

TABLEAU 4.24 : COÛT TOTAL DU PLAN D’APPROVISIONNEMENT DE L’EXEMPLE B SELON LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE

Période 1 2 3 4 5 6 TotalCoût majeur 159 0 0 0 170 0 329Coût mineur

1 10 0 0 0 10 0 202 20 0 0 0 20 0 403 15 0 0 0 15 0 30

Stock de fin1 60 40 30 0 40 02 48 41 19 0 50 03 40 28 15 0 27 0

Coût de stockage1 30 20 15 0 20 0 85,02 14 12 6 0 15 0 47,43 16 11 6 0 11 0 44,0

Coût total 264 44 27 0 261 0 595,73

4.2. Méthode d’amélioration de Silver et Kelle

La méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) part d’un plan d’approvisionnement qui a été

trouvé par une heuristique choisie au préalable. Pour chaque i = 1, …, N, regarder si l’élimination

d’une commande en la regroupant avec la précédente diminue le coût total. Parmi les N nouveaux

plans (coûts totaux), prendre la meilleure amélioration et recommencer cette méthode

d’amélioration jusqu’à ce que le coût total ne diminue plus.

En ce qui concerne l’exemple A, nous partons avec le plan d’approvisionnement généré par la

méthode d’ajout gloutonne dont le coût total est de 530,10 $. Son plan d’approvisionnement est

illustré au Tableau 4.17.

Article 1 Période 6 : gain de 10 $ pour un coût individuel de commande de l’article 1 en moins versus perte de 40 $ pour le coût de stockage Non Période 4 : 10 $ + 60 $ versus 60 $ + 90 $ Non Coût total = 530,10 $ Article 2 Période 6 : 20 $ versus 30 $ Non Période 4 : 20 $ + 60 $ versus 60 $ + 45,90 $ Non Coût total = 530,10 $

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Article 3 Période 6 : 15 $ versus 21,60 $ Non Période 4 : 15 $ + 60 $ versus 60 $ + 78 $ Non Coût total = 530,10 $ Arrêt, car le coût total ne diminue pas. Le plan d’approvisionnement reste le même.

En ce qui concerne l’exemple B, nous partons avec le plan d’approvisionnement généré par la

méthode d’ajout gloutonne dont le coût total est de 595,73 $. Son plan d’approvisionnement est

illustré au Tableau 4.19.

Article 1 Période 5 : 10 $ + 16,78 $ versus 17,11 $ +140 $ Non Coût total = 595,73 $ Article 2 Période 5 : 20 $ + 30 $ versus 27 $ + 98,40 $ Non Coût total = 595,73 $ Article 3 Période 5 : 15 $ + 25 $ versus 21 $ + 123,20 $ Non Coût total = 595,73 $ Arrêt, car le coût total ne diminue pas. Le plan d’approvisionnement reste le même.

4.3. Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté les méthodes heuristiques de résolution du problème

d’approvisionnement coordonné que nous proposons d’utiliser pour résoudre les deux versions

étudiées ici, à savoir le problème où le coût commun de commande est variable en paliers ou

linéaire par morceaux. Ces méthodes sont les suivantes : l’heuristique de Fogarty et Barringer

(1987), l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973), l’adaptation de l’heuristique

d’équilibrage de De Matteis et Mendoza (1968), la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et

Tzur (1994) et la méthode de réduction gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003).

Au Tableau 4.25, les résultats de l’application des méthodes de résolution à partir des données

des exemples A et B sont présentés. Nous pouvons observer que l’heuristique de Fogarty et

Barringer (1987) donne la solution optimale pour les deux exemples. Pour l’exemple A,

l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal, la méthode d’ajout gloutonne et la méthode de

réduction gloutonne donnent le même coût total, soit 530,10 $. Le coût total le plus élevé est

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celui de l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période avec un coût total de 546,40 $.

En ce qui concerne l’exemple B, toutes les méthodes obtiennent la solution optimale dont le coût

total est de 595,73 $, excepté l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal qui performe moins

bien pour cet exemple.

TABLEAU 4.25 : RÉSULTATS DU COÛT TOTAL EN DOLLARS DES EXEMPLES A ET B

Exemple A Exemple BSolution optimale 524,40 595,73

Fogarty et Barringer 524,40 595,73Adaptation de Silver et Meal 530,10 598,64

Adaptation de l'équilibrage pièce-période 546,40 595,73Méthode d'ajout gloutonne 530,10 595,73

Méthode de réduction gloutonne 530,10 595,73

Il faut mentionner que ce classement ne serait pas nécessairement le même si d’autres exemples

étaient résolus. Au prochain chapitre, une étude comparative ainsi qu’un classement final de ces

heuristiques seront effectués sur un bassin de sept cent vingt problèmes générés aléatoirement.

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CHAPITRE 5. ANALYSE COMPARATIVE

5

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60

5. ANALYSE COMPARATIVE

L’objectif de ce chapitre est d’évaluer la qualité des solutions obtenues par les différentes

méthodes proposées dans cet essai pour résoudre les deux versions du problème

d’approvisionnement coordonné étudiées, à savoir le problème où le coût commun de commande

est une fonction par paliers et celui où le coût est linéaire par morceaux. La qualité des méthodes

sera évaluée essentiellement en mesurant la déviation des solutions obtenues par rapport à

l’optimum.

Pour effectuer cette évaluation de la performance, nous utiliserons les sept cent vingt problèmes-

tests proposés par Boctor, Laporte et Renaud (2003) en leur ajoutant les éléments de coûts

nécessaires.

Dans la suite du chapitre, nous présentons les données des problèmes-tests (Section 5.1), nous

analysons les résultats obtenus (Section 5.2 à 5.4) et les conclusions de cette analyse sont

données à la Section 5.5.

5.1. Générateur des problèmes-tests

Les deux nouvelles formulations ainsi que les six heuristiques proposées à la section précédente

ont été analysées grâce à un bassin de sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Ces

problèmes sont divisés en quatre groupes de taille différente, soit N = 10 articles et T = 13

périodes, N = 10 et T = 26, N = 20 et T = 13 et N = 20 et T = 26. Chacun de ces groupes contient

cent quatre-vingts problèmes et est divisé en six sous-groupes nommés S1, S2, S3, S4, S5 et S6.

Les paramètres de génération de ces différentes sous-classes des problèmes seront présentés plus

loin.

Dans le but de simplifier la résolution des problèmes, les coûts individuels de commande et de

stockage sont considérés constants pour toutes les périodes de l’horizon de planification. Donc,

l’indice t de ces variables a été enlevé, par exemple kit devient ki.

En ce qui concerne le cas où le coût commun de commande est variable en paliers, deux cas ont

été analysés, soit une fonction de coût commun de commande à deux paliers et une autre à trois

paliers. Pour tous les problèmes à deux paliers, le coût commun de commande du premier palier

est de 800 $ et de 1 000 $ pour le second palier. La borne supérieure du premier palier est

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61

calculée à l’aide de l’équation suivante : ( ) 100 *100// * 221 1

= =

+ ∑∑ TdpX

N

i

T

titi où X est un

nombre aléatoire uniforme dans l’intervalle [0, 1]. La limite de la deuxième borne est la somme

des poids des demandes de tout l’horizon de planification.

Pour le cas à trois paliers, le coût commun de commande des deux premiers paliers est le même

que dans le cas à deux paliers et il est de 1 200 $ pour le troisième palier. La borne supérieure du

premier palier est fixée à : ( ) 100 *100// * 5,11 1

1

= =

+ ∑∑ TdpX

N

i

T

titi . Celle du deuxième palier

est calculée à l’aide de l’équation suivante : ( ) 100 *100// * )1(1 1

21

= =

++ ∑∑ TdpXX

N

i

T

titi où

X1 et X2 sont des nombres aléatoires uniformes compris entre 0 et 1. Le nombre aléatoire X1 doit

être le même dans l’équation de la borne supérieure du premier palier que celui dans l’équation

de la borne supérieure du deuxième palier. La borne supérieure du troisième palier est la somme

des poids des demandes de tout l’horizon de planification.

En ce qui concerne le cas où le coût commun de commande est linéaire par morceaux, le détail

des calculs à effectuer pour déterminer le coût des bornes ainsi que leurs limites inférieures et

supérieures est présenté à la Figure 5.1.

Les coûts de stockage par période de chaque article i, notés hi, sont générés aléatoirement à l’aide

d’une distribution uniforme continue entre 0,1 et 0,6. Quant aux coûts individuels de commande,

ceux-ci sont générés aléatoirement de façon à ce que α1000 1

=∑=

N

iik . Les valeurs de α sont

données dans la Tableau 5.1.

Les demandes nettes dit sont obtenues tout d’abord en calculant une moyenne

iiit hNXk βµ )/2000( += où X est un nombre aléatoire uniforme entre 0 et 1. Par la suite, les

demandes sont obtenues par : [ ] −= 5/2 5 itit Xd µ . Les valeurs de a et de β de chacun des sous-

groupes sont présentées au Tableau 5.1.

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=

102,0

10 1ba

( ) 100 *100// * 5,11 1

11

= =

+= ∑∑ TdpXb

N

i

T

titi

( ) 100 *100// * )1(1 1

212

= =

++= ∑∑ TdpXXb

N

i

T

titi

∑∑= =

=N

i

T

titi dpb

1 13

21

450b

p = < 2

2400b

p = < 2

3350b

p =

70010 == KK

( )+

−+== 10/

45010 1

2132 ab

bKKK

−−+== 10/)(

40010 12

2354 abb

bKKK

−−+= 10/)(

30010 23

256 abb

bKK

FIGURE 5.1 : PARAMÈTRES DE LA FONCTION DU COÛT COMMUN LINÉAIRE PAR MORCEAUX

Qté a

$

K2, K3

Qté b1

$

b1 + a b2 b2 + a 0

K0, K1

K4, K5

K6

b3

2p

1p

3p

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TABLEAU 5.1 : LES VALEURS DE a ET DE β

Les heuristiques ont été programmées à l’aide du langage de programmation Pascal. Pour

résoudre de manière optimale les problèmes, le logiciel Cplex 8.0 a été utilisé. Les solutions ont

été obtenues sur ordinateur Pentium III, 1.26 GHz sous le système d’exploitation Windows 2000

Server.

Les cinq heuristiques proposées au chapitre précédent ont été utilisées pour résoudre les sept cent

vingt problèmes-tests. Ces heuristiques sont les suivantes :

FB : L’heuristique de Fogarty et Barringer (1987);

SM : L’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1973);

PP : L’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza (1968);

AG : La méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994);

RG : La méthode de réduction gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003).

Chaque plan d’approvisionnement généré est également amélioré avec la méthode de Silver et

Kelle (1988). Les résultats sont présentés en trois sections, le cas où le coût commun de

commande est variable en deux paliers (Section 5.2), le cas où le coût commun de commande est

variable en trois paliers (Section 5.3) et le cas où le coût commun de commande est linéaire par

morceaux (Section 5.4).

5.2. Coût commun de commande variable en deux paliers

En ce qui concerne le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec

demande dynamique avec coût commun de commande variable en deux paliers, les déviations

moyennes par rapport à l’optimum de chacune des heuristiques sont présentées au Tableau 5.2.

Aux Figures 5.2 à 5.6, nous retrouvons l’histogramme des pourcentages de déviation par rapport

à l’optimum. Ces histogrammes procurent, pour chaque tranche de 1%, le pourcentage de sept

cents vingt problèmes ayant cette déviation.

Sous -groupes a

S1 0,5 6,0 S2 0,5 10,0 S3 1,0 6,0 S4 1,0 10,0 S5 2,0 6,0 S6 2,0 10,0

ß

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TABLEAU 5.2 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À DEUX PALIERS

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Tailles10 x 13 0,77 0,51 1,83 1,43 5,11 4,86 2,47 1,96 2,13 1,8510 x 26 0,81 0,50 1,88 1,50 5,14 5,02 2,54 2,01 2,64 2,2120 x 13 0,96 0,63 1,99 1,61 5,02 4,80 2,29 1,71 2,70 2,1520 x 26 0,97 0,65 1,97 1,53 4,10 3,92 2,75 2,01 3,01 2,44

Sous-groupesS1 1,01 0,61 2,14 1,78 6,51 6,35 1,82 1,38 3,27 2,62S2 0,60 0,43 1,55 1,22 3,34 3,15 3,12 2,53 1,74 1,82S3 1,07 0,61 2,15 1,67 6,04 5,88 1,88 1,33 3,04 2,36S4 0,73 0,52 1,71 1,34 3,37 3,17 3,23 2,47 2,38 1,99S5 1,15 0,79 2,27 1,76 6,43 6,24 1,88 1,37 3,00 2,23S6 0,72 0,46 1,70 1,34 3,36 3,10 3,14 2,45 2,30 1,96

Moyenne % 0,88 0,57 1,92 1,52 4,84 4,65 2,51 1,92 2,62 2,16Minimum % 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum % 3,55 3,41 8,27 7,67 16,30 16,30 6,99 6,81 9,32 7,67Nb solutions optimales 90 218 46 103 8 15 14 55 23 46

Nb fois à être seule à trouver la solution optimale 30 80 0 2 0 0 0 5 0 1

Nb pires solutions 0 2 59 58 461 498 152 131 84 69Nb fois à être seule à trouver la pire solution 0 0 39 36 443 478 139 120 66 52

RGFB SM PP AG

FIGURE 5.2 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

12,50

51,53

24,58

10,00

1,390,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es 30,28

47,22

19,03

2,92

0,56 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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FIGURE 5.3 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE

CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS

FIGURE 5.4 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

14,31

29,3127,64

14,72

7,64

4,44

0,83 0,69 0,42 0,00 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

6,39

24,5826,39

20,69

12,50

6,39

1,810,56 0,42 0,28 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

1,11

6,39

10,56

12,9211,94

13,19 12,36

9,037,64

4,72 4,442,36

1,53 0,97 0,42 0,28 0,00 0,140

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]

% de déviations

% d

e pr

oblè

mes

2,08

7,22

12,3611,25 11,94

13,0611,53

9,727,64

3,89 4,44

1,94 1,25 0,97 0,42 0,14 0,00 0,140

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]

% de déviations

% d

e pr

oblè

mes

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FIGURE 5.5 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE

CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS

FIGURE 5.6 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN DEUX PALIERS

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

1,94

14,58

23,19 23,47

19,72

12,08

4,44

0,56 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

7,64

21,67

27,50

21,81

11,94

7,64

1,530,28 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

3,19

14,86

19,03

23,7521,81

9,17

5,14

1,67 1,110,14 0,14

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

6,39

16,67

25,1426,25

14,17

7,08

3,47

0,69 0,14 0,00 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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D’après le Tableau 5.2, l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987) donne la meilleure

déviation moyenne par rapport à l’optimum, soit de 0,88%. Lorsque cette heuristique est suivie

par la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988), la déviation moyenne se réduit à 0,57%.

De plus, nous pouvons observer que cette heuristique est celle qui obtient le plus grand nombre

de solutions optimales, soit 90. La Figure 5.2 démontre que la majorité des problèmes obtiennent

une déviation par rapport à l’optimum entre 0 et 2% comparativement aux autres heuristiques

dont la distribution est plus étendue. La méthode de Silver et Kelle permet d’augmenter

considérablement le nombre de solutions optimales obtenues par Fogarty et Barringer. En effet,

celui-ci passe de 90 à 218. En deuxième position, nous retrouvons l’adaptation de Silver et Meal.

Cette heuristique est plus performante que l’adaptation de l’heuristique de l’équilibrage pièce-

période, que la méthode d’ajout gloutonne et que la méthode de réduction gloutonne lorsque la

déviation moyenne par rapport à l’optimum est comparée par groupes de tailles. Par contre, pour

les sous-groupes S1, S3 et S5, la déviation moyenne de la méthode d’ajout gloutonne est plus

faible. La méthode d’ajout gloutonne donne une déviation moyenne par rapport à l’optimum plus

faible que celle de la méthode de réduction gloutonne. Lorsque nous comparons les déviations

moyennes selon la taille des problèmes, nous pouvons remarquer que la méthode de réduction

gloutonne obtient une déviation moyenne inférieure à celle de la méthode d’ajout gloutonne pour

la taille 10 x 13. Il en va de même pour les sous-groupes S2, S4 et S6. En dernière position, nous

retrouvons l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période. Cette heuristique donne la

plus grande variation des déviations par rapport à l’optimum, puisque sa déviation maximale est

de 16,30%. Le nombre de fois qu’elle obtient la pire solution est également très élevé, soit 461

problèmes sur 720 problèmes, dont 443 problèmes où elle est la seule à donner la pire solution.

Évidemment, après toutes ces méthodes, il est préférable d’appliquer la méthode d’amélioration

de Silver et Kelle puisqu’elle permet toujours de diminuer leur déviation moyenne. Elle permet

également d’augmenter le nombre de solutions optimales obtenues.

Au Tableau 5.3, les temps de résolution sont présentés. La plus grande observation de ce tableau

est que le temps de Cplex 8.0 est largement supérieur aux temps de résolution des heuristiques,

ces derniers étant négligeables, une fraction de secondes en moyenne. La moyenne du temps

d’obtention des solutions optimales est de 351,16 secondes.

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TABLEAU 5.3 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À DEUX PALIERS (EN SECONDES) FB SM PP AG RG

Heuristique seule

Après Silver et

Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et

KelleTailles

10 x 13 2,41 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0010 x 26 98,56 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,03 0,0120 x 13 9,72 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,0020 x 26 1293,97 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,05 0,01

Sous-groupesS1 214,02 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S2 301,98 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00S3 236,49 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S4 375,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,00S5 330,62 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01S6 648,86 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,02 0,00

Moyenne 351,16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01Minimum 0,48 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum 12914,55 0,06 0,06 0,00 0,06 0,00 0,06 0,06 0,06 0,11 0,06

Solution optimale

5.3. Coût commun de commande variable en trois paliers

En ce qui concerne le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec

demande dynamique avec coût commun de commande variable en trois paliers, les déviations

moyennes par rapport à l’optimum de chacune des heuristiques sont présentées au Tableau 5.4.

Aux Figures 5.7 à 5.11, nous retrouvons l’histogramme des pourcentages de déviation par

rapport à l’optimum de chacune des heuristiques.

TABLEAU 5.4 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS À TROIS PALIERS

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Tailles10 x 13 0,74 0,51 1,88 1,47 5,44 5,10 2,20 1,44 2,19 1,8410 x 26 0,89 0,60 1,97 1,66 4,81 4,67 2,56 2,13 2,63 2,1920 x 13 0,86 0,60 1,73 1,27 5,03 4,71 2,19 1,68 2,49 1,9220 x 26 0,97 0,65 1,84 1,41 4,32 4,06 2,61 1,99 2,91 2,33

Sous-groupesS1 1,15 0,76 2,01 1,62 6,48 6,28 1,86 1,44 3,10 2,47S2 0,63 0,48 1,74 1,34 3,59 3,32 2,91 2,36 2,17 1,88S3 1,05 0,68 2,11 1,67 6,03 5,83 1,71 1,24 2,78 2,15S4 0,57 0,43 1,68 1,26 3,41 3,08 2,96 2,48 2,08 1,77S5 1,23 0,82 2,03 1,61 6,19 6,00 1,95 1,45 3,03 2,29S6 0,56 0,36 1,53 1,20 3,70 3,32 2,93 2,35 2,18 1,86

Moyenne % 0,87 0,59 1,86 1,45 4,90 4,64 2,39 1,81 2,56 2,07Minimum % 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum % 4,33 3,59 7,76 7,76 15,42 15,42 7,73 6,39 7,89 7,89

Nb solutions optimales 104 189 50 92 12 18 24 54 24 40Nb fois à être seule à trouver la solution optimale 40 68 0 2 0 0 0 1 0 2

Nb pires solutions 4 5 62 53 484 507 131 103 79 97Nb fois à être seule à trouver la pire solution 0 0 49 38 468 489 18 88 62 79

FB PP AG RGSM

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FIGURE 5.7 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS

FIGURE 5.8 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL POUR LE

CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

14,44

45,83

31,81

6,67

1,110,14

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

26,25

49,86

20,69

2,500,69 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]

% de déviations%

de

pro

blè

mes

6,94

24,86

28,61

20,00

10,97

5,69

1,25 1,11 0,560

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

12,78

30,97

28,19

15,69

8,06

2,501,11 0,42 0,28

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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FIGURE 5.9 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-PÉRIODE

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALERS

FIGURE 5.10 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIONS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

7,50

20,14

29,31

22,64

13,33

5,97

0,970,14 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

1,67

5,00

7,50

12,92 13,47 12,92 12,64 12,64

8,75

5,003,89

1,53 0,83 0,56 0,28 0,28 0,140

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16]

% de déviations

% d

e pr

oblè

mes

2,50

5,14

7,92

14,58 14,17 13,4712,50 11,94

7,36

4,03 3,47

0,83 0,97 0,56 0,28 0,14 0,140

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14] ]14, 15] ]15, 16]

% de déviations

% d

e pr

oblè

mes

3,33

13,75

24,4426,25

18,75

10,14

2,50

0,28 0,560

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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FIGURE 5.11 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST VARIABLE EN TROIS PALIERS

Les déviations moyennes du cas à trois paliers sont du même ordre de grandeur que celles du cas

à deux paliers. Tout comme le cas à deux paliers, l’heuristique de Fogarty et Barringer donne les

meilleures dévia tions, soit une déviation moyenne par rapport à l’optimum de 0,87%. La méthode

d’amélioration de Silver et Kelle permet d’améliorer les plans d’approvisionnement générés par

toutes les méthodes de résolution. En deuxième position, nous retrouvons l’adaptation de

l’heuristique de Silver et Meal avec une déviation de 1,86%. Tout comme lors du cas à deux

paliers, les déviations moyennes de la méthode d’ajout gloutonne sont plus faibles que celles de

l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal pour les sous-groupes S1, S3 et S5. Aussi, la

méthode de réduction gloutonne donne des déviations plus faibles que celles de la méthode

d’ajout gloutonne pour les sous-groupes S2, S4 et S6. L’adaptation de l’heuristique pièce-période

donne les déviations les plus élevées et celles-ci varient entre 0% et 15,42%, comparativement à

celles de Fogarty et Barringer qui varient entre 0% et 4,33%.

Les temps de résolution par Cplex 8.0 ainsi que ceux des heuristiques pour le cas où le coût

commun de commande est une fonction à trois paliers sont présentés au Tableau 5.5. Les temps

de résolution des heuristiques sont négligeables. La moyenne du temps d’obtention des solutions

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

3,33

13,06

21,81

24,44

21,25

10,00

3,89

1,810,42

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

5,69

16,39

29,58

25,00

15,28

5,56

1,530,56 0,42

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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optimales est de 2520,75 secondes. Évidemment, cette moyenne est plus élevée que celle où le

coût commun de commande est une fonction à deux paliers, puisque le nombre de variables

binaires dans le modèle est plus grand.

TABLEAU 5.5 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS À TROIS PALIERS (EN SECONDES) FB SM PP AG RG

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et

Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et

KelleTailles

10 x 13 3,86 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0010 x 26 589,77 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,0020 x 13 16,67 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,0020 x 26 9472,70 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,05 0,01

Sous-groupesS1 1524,83 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01S2 2522,03 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,00S3 2511,63 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,03 0,01S4 2680,92 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,02 0,00S5 1165,57 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S6 4719,53 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,00

Moyenne 2520,75 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,00Minimum 0,63 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum 140796,00 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,11 0,06

Solution optimale

5.4. Coût commun de commande linéaire par morceaux

En ce qui concerne le problème d’approvisionnement avec coût commun de commande linéaire

par morceaux, les déviations moyennes par rapport à l’optimum de chacune des méthodes

proposées sont présentées au Tableau 5.6. Aux Figures 5.12 à 5.16, nous retrouvons

l’histogramme des pourcentages de déviation par rapport à l’optimum de chacune des

heuristiques.

TABLEAU 5.6 : DÉVIATIONS MOYENNES EN POURCENTAGE DE L’OPTIMUM DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Tailles10 x 13 0,18 0,04 1,34 1,11 5,52 5,32 2,13 1,75 1,82 1,4310 x 26 0,21 0,07 1,33 1,17 4,57 4,49 2,10 1,72 2,19 1,8720 x 13 0,23 0,03 1,09 0,86 5,26 5,12 1,97 1,53 2,18 1,7920 x 26 0,29 0,08 1,21 0,91 4,00 3,85 2,06 1,52 2,32 1,87

Sous-groupesS1 0,31 0,08 1,31 1,01 4,92 4,81 0,87 0,62 2,24 1,83S2 0,17 0,05 1,29 1,10 4,86 4,71 3,13 2,53 2,06 1,76S3 0,27 0,04 1,24 0,96 4,83 4,73 0,84 0,58 2,23 1,76S4 0,13 0,02 1,07 0,88 4,49 4,34 3,37 2,78 2,12 1,80S5 0,36 0,09 1,31 1,09 4,98 4,86 0,90 0,64 2,08 1,55S6 0,13 0,05 1,23 1,03 4,95 4,73 3,27 2,63 2,03 1,71

Moyenne % 0,23 0,06 1,24 1,01 4,84 4,70 2,07 1,63 2,13 1,74Minimum % 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum % 2,32 1,21 10,39 9,43 17,17 15,37 7,73 6,89 7,09 6,02

Nb solutions optimales 97 281 46 118 0 1 25 85 18 39Nb fois à être seule à trouver la solution optimale 33 113 0 5 0 0 0 3 0 3

Nb pires solutions 0 0 46 43 521 571 94 67 81 64Nb fois à être seule à trouver la pire solution 0 0 31 28 505 552 90 64 73 53

PP AG RGSMFB

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FIGURE 5.12 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE FOGARTY ET BARRINGER

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX

FIGURE 5.13 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE SILVER ET MEAL

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

16,39

47,64

18,47

9,58

4,44

1,53 0,97 0,42 0,28 0,14 0,14 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

13,47

83,89

2,360,28 0,00 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

39,03

60,56

0,42 0,00 0,00 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

6,39

50,56

20,14

12,64

5,97

2,220,69 0,56 0,42 0,28 0,00 0,14

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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FIGURE 5.14 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE D’ÉQUILIBRAGE PIÈCE-

PÉRIODE POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX

FIGURE 5.15 : HISTOGRAMME DES DÉVIATIO NS DE LA MÉTHODE D’AJOUT GLOUTONNE POUR LE

CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

0,00

4,035,69

13,19

17,5016,81

15,56

10,83

6,114,03

2,08 2,640,69 0,42 0,14 0,14 0,00 0,00

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14]]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]

% de déviations

% d

e pr

oblè

mes

0,14

4,31

6,81

13,19

17,50 17,08

14,58

11,81

4,86 5,00

1,81 1,670,56 0,28 0,28 0,00 0,14 0,00

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9] ]9, 10] ]10, 11] ]11, 12] ]12, 13] ]13, 14]]14, 15] ]15, 16] ]16, 17]

% de déviations

% d

e pr

oblè

mes

3,47

34,44

16,3914,58 15,28

9,17

4,44

1,810,42 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

11,81

33,06

16,5317,50

13,06

5,56

1,810,69 0,00 0,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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FIGURE 5.16 : HISTOGRAMME DES DÉVIA TIONS DE LA MÉTHODE DE RÉDUCTION GLOUTONNE

POUR LE CAS OÙ LE COÛT COMMUN DE COMMANDE EST LINÉAIRE PAR MORCEAUX

Pour toutes les tailles de problèmes et les sous-groupes, l’heuristique de Fogarty et Barringer

(1987) donne d’excellents résultats. La déviation moyenne par rapport à l’optimum de cette

heuristique suivie de la méthode d’amélioration de Silver et Kelle est de 0,06%, ce qui est très

près de zéro. Par la suite, nous retrouvons l’adaptation de Silver et Meal qui obtient une déviation

de 1,24%. Cette heuristique est plus performante que l’adaptation de l’heuristique de

l’équilibrage pièce-période, que la méthode d’ajout gloutonne et que la méthode de réduction

gloutonne lorsque la déviation moyenne par rapport à l’optimum est comparée par groupes de

tailles. Par contre, pour les sous-groupes S1, S3 et S5, la méthode d’ajout gloutonne donne une

déviation plus faible. La méthode d’ajout gloutonne donne une déviation moyenne par rapport à

l’optimum inférieure à celle de la méthode de réduction gloutonne. Lorsque nous comparons les

déviations moyennes selon la taille des problèmes, nous pouvons remarquer que la méthode de

réduction gloutonne obtient une déviation moyenne (1,43%) inférieure à celle de la méthode

d’ajout gloutonne (1,75%) pour la taille 10 x 13. Il en va de même pour les sous-groupes S2, S4

et S6. En dernière position, nous retrouvons l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-

période.

Avant Silver et Kelle Après Silver et Kelle

2,50

18,75

26,8127,92

15,83

5,56

1,67 0,83 0,14 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

5,42

25,00

29,44

24,58

10,83

3,061,53

0,14 0,00 0,000

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

= 0 ]0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, 6] ]6, 7] ]7, 8] ]8, 9]

% de déviations

% d

e p

rob

lèm

es

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76

Les temps de résolution par Cplex 8.0 ainsi que ceux des heuristiques pour le cas où le coût

commun de commande est linéaire par morceaux sont présentés au Tableau 5.7. Les temps de

résolution des heuristiques sont négligeables. La moyenne du temps d’obtention des solutions

optimales est de 235,14 secondes. Cette moyenne est inférieure au cas où le coût commun de

commande est variable en paliers. Il est donc plus facile de résoudre de façon optimale ce type de

fonction de coût.

TABLEAU 5.7 : TEMPS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS LINÉAIRE PAR MORCEAUX (EN SECONDES) FB SM PP AG RG

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et

Kelle

Heuristique seule

Après Silver et Kelle

Heuristique seule

Après Silver et

KelleTailles

10 x 13 2,96 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0010 x 26 60,72 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,03 0,0120 x 13 11,85 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,0020 x 26 847,04 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,02 0,05 0,02

Sous-groupesS1 120,14 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,02 0,01S2 257,86 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,02 0,01S3 167,72 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S4 283,33 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,02 0,01S5 147,27 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,01 0,02 0,01S6 452,54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,00

Moyenne 235,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,01 0,02 0,01Minimum 0,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00Maximum 11392,99 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06

Solution optimale

5.5. Conclusion

Les résultats obtenus montrent que la performance relative des heuristiques étudiées est la même

dans les trois cas étudiés. Le Tableau 5.8 résume ces résultats. Tout d’abord, l’heuristique de

Fogarty et Barringer (1987) obtient la plus faible déviation moyenne par rapport à l’optimum

pour les trois cas étudiés. La déviation moyenne de l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal

(1973) est plus faible que celle de la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994).

La méthode d’ajout gloutonne obtient une déviation moyenne plus faible que celle de la méthode

de réduction gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003) et que celle de l’adaptation de

l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza (1968). La déviation

moyenne de la méthode de réduction gloutonne est plus faible que celle de l’adaptation de

l’heuristique d’équilibrage pièce-période. Cette dernière heuristique obtient la déviation moyenne

la plus élevée pour chacun des trois cas étudiés. Après ces méthodes de résolution, il est toujours

préférable d’appliquer la méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) même si la

performance relative des méthodes demeure la même.

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TABLEAU 5.8 : RÉSUMÉ DES RÉSULTATS DES HEURISTIQUES SELON LEUR DÉVIATION MOYENNE PAR RAPPORT À L’OPTIMUM EN POURCENTAGE

4,704,844,644,904,654,84Équilibrage pièce-

période

1,742,132,072,562,162,62Méthode de

réduction gloutonne

1,632,061,812,391,922,51Méthode d’ajout

gloutonne

1,011,241,451,861,521,92Silver et Meal

0,050,230,590,870,570,88Fogarty et Barringer

Après Silveret Kelle

Heuristique seule

Après Silveret Kelle

Heuristique seule

Après Silveret Kelle

Heuristique seule

Linéaire par morceauxTrois paliersDeux paliers

4,704,844,644,904,654,84Équilibrage pièce-

période

1,742,132,072,562,162,62Méthode de

réduction gloutonne

1,632,061,812,391,922,51Méthode d’ajout

gloutonne

1,011,241,451,861,521,92Silver et Meal

0,050,230,590,870,570,88Fogarty et Barringer

Après Silveret Kelle

Heuristique seule

Après Silveret Kelle

Heuristique seule

Après Silveret Kelle

Heuristique seule

Linéaire par morceauxTrois paliersDeux paliers

Au Tableau 5.9, les temps moyens d’obtention des solutions optimales des trois versions du

problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique

étudiées dans cet essai sont présentés. La moyenne des temps d’obtention des solutions optimales

du cas où le coût commun de commande est linéaire par morceaux est inférieure aux deux autres

cas. Évidemment, les temps d’obtention du cas où le coût commun de commande est variable en

trois paliers sont plus élevés que celui du cas variable en deux paliers.

TABLEAU 5.9 : LES TEMPS D’OBTENTION DES SOLUTIONS OPTIMALES DES TROIS VERSIONS DU PROBLÈME ÉTUDIÉES (EN SECONDES)

Deux paliers Trois paliers Linéaire par morceauxTailles10 x 13 2,41 3,86 2,9610 x 26 98,56 589,77 60,7220 x 13 9,72 16,67 11,8520 x 26 1293,97 9472,7 847,04Sous-groupesS1 214,02 1524,83 120,14S2 301,98 2522,03 257,86S3 236,49 2511,63 167,72S4 375,00 2680,92 283,33S5 330,62 1165,57 147,27S6 648,86 4719,53 452,54

Moyenne 351,16 2520,75 235,14Minimum 0,48 0,63 0,97Maximum 12914,55 140796 11392,99

À titre comparatif, Martel, Rizk et Ramudhin (2002) ont résolu cinq cent soixante problèmes

d’approvisionnement coordonné avec demande dynamique et contraintes de capacité de

production, de différentes grandeurs et avec différentes caractéristiques. Sept structures de coût

commun de commande ont été étudiées, soit la flotte privée avec trois paliers, la flotte publique

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78

avec trois intervalles, la flotte publique avec deux intervalles et une borne inférieure, la flotte

publique avec un intervalle, la flotte publique avec un intervalle et une borne supérieure, la flotte

publique avec deux intervalles et des bornes inférieures et supérieures ainsi que la flotte publique

avec trois intervalles et une borne supérieure. Deux groupes de problèmes ont été étudiés en ce

qui a trait au nombre d’articles. Le premier groupe a un nombre d’articles qui est distribué

uniformément entre 50 et 100, tandis que le nombre d’articles du second groupe est distribué

uniformément entre 250 et 300. Les deux horizons de planification étudiés sont celui à treize

périodes et celui à vingt-six périodes. Les demandes des articles sont générées aléatoirement à

partir d’une distribution normale [ ] ) ), 100,10~(~( iiii CVUNd µσµ = où le coefficient de

variation CV est égal soit à 0,25, soit à 0,6. Deux différents scénarios de coûts de stockage sont

également étudiés. Des problèmes sont générés avec des coûts de stockage faibles

[ ]( ) %2,0,%1,0~ iii kkUh et d’autres problèmes avec des coûts de stockage élevés

[ ]( ) %6,0,%5,0~ iii kkUh . Les coûts individuels de commande sont constants [ ]( ) 40,10~ Uki .

En résumé, nous retrouvons cent douze (7 x 2 x 2 x 2 x 2) types différents de problèmes. Pour

chacun de ces types de problèmes, cinq problèmes sont générés pour chacune des trois valeurs de

l’écart entre la borne inférieure et supérieure, noté ε, soit ε = 0%, 1% et 3%, ce qui donne mille

six cent quatre-vingts (5 x 3 x 112) problèmes-tests.

Pour les seize problèmes où le coût commun de commande est variable en trois paliers (flotte

privée), lorsque la méthode proposée par Martel, Rizk et Ramudhin (2002) est arrêtée à ε = 1%, la

déviation moyenne est de 0%. Elle est de 0,17% pour l’ensemble des problèmes-tests. Le temps

de résolution des seize problèmes est en moyenne de 2,30 secondes. Il est en moyenne de 75,19

secondes pour l’ensemble des problèmes-tests. Lorsque la méthode est arrêtée à ε = 3%, la

déviation est de 0% pour les seize problèmes. La déviation est de 0,32% pour l’ensemble des

problèmes-tests. Le temps de résolution des seize problèmes est environ de 2,30 secondes, tandis

qu’il est d’environ 8,30 secondes pour l’ensemble des problèmes-tests. À titre comparatif,

l’heuristique de Fogarty et Barringer, lorsque suivie de la méthode d’amélioration de Silver et

Kelle, obtient une déviation moyenne de 0,59% pour le cas où le coût commun de commande est

variable en trois paliers. Évidemment, pour avoir une vraie comparaison entre les résultats de

Martel, Rizk et Ramudhin (2002) et les nôtres, il faudrait appliquer les différentes méthodes de

résolution proposées aux mêmes problèmes-tests.

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CHAPITRE 6. CONCLUSION

6

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6. CONCLUSION

Afin de demeurer concurrentielles, les entreprises de la nouvelle économie doivent

continuellement offrir des articles de haute qualité à des prix compétitifs. Pour y parvenir, elles

doivent réussir à réduire les coûts de chacune des composantes de leur chaîne logistique. Du côté

des approvisionnements, les entreprises doivent diminuer leurs coûts de matières premières ainsi

que le coût des opérations d’approvisionnement. L’approvisionnement coordonné de plusieurs

articles est une solution adéquate qui permet de contribuer à cet objectif. Il s’agit de gérer

simultanément une famille d’articles achetés chez un même fournisseur ou transportés

conjointement. Cette solution procure plusieurs avantages économiques et logistiques aux

entreprises.

Le problème d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique

consiste à déterminer les quantités à recevoir pour chacune des périodes de l’horizon de

planification de façon à minimiser la somme des coûts de commande et de stockage. La demande

nette est déterministe, dynamique et s’étale sur un horizon fini. Ce problème implique plusieurs

types d’articles et trois types de coût : le coût commun de commande (appelé aussi coût majeur

ou coût coordonné), qui ne dépend pas de la composition de la commande, les coûts individuels

de commande (dits coûts mineurs ou coûts de ligne), qui dépendent des types d’articles inclus

dans la commande, et les coûts de stockage.

Au sein des entreprises, le coût commun de commande correspond souvent au coût de transport

des articles commandés. Dans la littérature, ce problème a fait l’objet de plusieurs recherches qui

font l’hypothèse que le coût commun de commande ne dépend pas de la quantité commandée

mais est plutôt un coût fixe. Cette situation s’applique surtout aux entreprises qui s’occupent du

transport des articles commandés à l’aide de leur unique camion ou dans le cas où le fournisseur

impose un prix fixe de commande et est responsable du transport des marchandises.

Afin d’être plus près de la réalité des entreprises d’aujourd’hui, nous avons traité, dans un

premier temps, le cas où le coût commun de commande est une fonction par paliers de la quantité

commandée. Cela reflète davantage la structure de ce coût dans le cas où l’entreprise utilise sa

flotte interne pour effectuer le transport des articles commandées. Les camions sont

habituellement de tailles différentes. Lorsqu’une entreprise utilise deux ou plusieurs types de

camions, deux ou plusieurs paliers seront nécessaires pour illustrer les différentes combinaisons

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de coûts fixes envisageables. Dans un deuxième temps, nous avons traité le cas où le coût

commun de commande est une fonction linéaire par morceaux. Cette fonction est habituellement

utilisée lorsque l’entreprise fait appel aux services d’un transporteur public pour transporter en

charges partielles la marchandise commandée.

À notre connaissance, les versions du problème d’approvisionnement coordonné étudiées ici

n’ont pas encore fait l’objet d’aucune publication, excepté la proposition de Martel, Rizk et

Ramudhin (2002). Par contre, plusieurs chercheurs ont étudié ce problème d’approvisionnement

avec un coût commun de commande fixe. Zangwill (1966) et Veinott (1969) ont été les premiers

à proposer des méthodes optimales pour la résolution des problèmes d’approvisionnement

coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique. Les approches de résolution proposées

par Zangwill (1966), Veinott (1969), Kao (1979), Silver (1979) et Haseborg (1982) sont basées

sur la programmation dynamique, tandis que celles de Erenguc (1988), Federgruen et Tzur

(1994), Kirca (1995) et Robinson et Gao (1996) sont basées sur l’algorithme de séparation et

d’évaluation progressive (branch and bound). La plus récente contribution à ce problème revient

à Boctor, Laporte et Renaud (2003) qui proposent deux nouvelles formulations mathématiques

basées sur la programmation linéaire dont les temps de résolution sont significativement

inférieurs à ceux de la formulation classique.

En plus des méthodes optimales, plusieurs méthodes heuristiques ont également été proposées.

Kao (1979) est le premier à proposer une heuristique itérative pour résoudre le problème

d’approvisionnement coordonné. Fogarty et Barringer (1987) présentent une heuristique simple

et facile à utiliser qui est basée sur la programmation dynamique. Cette méthode est largement

inspirée de l’algorithme de Wagner et Whitin (1958) et de la procédure de Fordyce et Webster

(1984). Selon Silver et Kelle (1988), l’inconvénient de l’heuristique précédente est qu’elle impose

que chaque commande inclue la demande de tous les articles entre la période de la commande et

celle de la commande suivante. Alors, ils proposent une méthode d’amélioration en relaxant cette

restriction. Une adaptation de l’heuristique de Silver et Meal (1979) pour la résolution de

problèmes à un seul article est proposée par Atkins et Iyogun (1988). Une nouvelle heuristique

itérative proposée par Joneja (1990) est semblable à celle de Atkins et Iyogun (1988). Ensuite,

Iyogun (1991) propose une deuxième adaptation de l’heuristique itérative de Atkins et Iyogun

(1990) ainsi que deux adaptations de l’heuristique dite d’équilibrage pièce-période. Quant aux

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chercheurs Federgruen et Tzur (1994), ils proposent la méthode d’ajout gloutonne pour résoudre

le problème d’approvisionnement coordonné. Chung et Mercan (1994) présentent une heuristique

basée sur la programmation dynamique et évaluent sa performance en comparant ses solutions

aux solutions optimales obtenues par la méthode de Erenguc (1988). Finalement, Boctor, Laporte

et Renaud (2003) regroupent, dans un même ouvrage, les heuristiques, les comparent entre elles

et proposent deux nouvelles heuristiques.

Afin de résoudre de manière optimale les deux nouvelles versions du problème

d’approvisionnement coordonné étudiées dans cet essai, soit celle où le coût commun de

commande est variable en paliers et celle où le coût commun est linéaire par morceaux, des

formulations mathématiques ont été proposées. De plus, cinq approches de résolution

originalement conçues pour traiter le cas où le coût commun est fixe ont été adaptées.

L’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal

(1973), l’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période de De Matteis et Mendoza

(1968), la méthode d’ajout gloutonne de Federgruen et Tzur (1994) et la méthode de réduction

gloutonne de Boctor, Laporte et Renaud (2003) ont été utilisées afin de résoudre le problème

avec les deux fonctions du coût commun de commande. Nous avons également appliqué la

méthode d’amélioration de Silver et Kelle (1988) à tous les plans d’approvisionnement générés

selon une des cinq approches de résolution.

Pour pouvoir analyser la performance de ces approches de résolution, nous avons utilisé un

bassin de sept cent vingt problèmes générés aléatoirement. Le langage de programmation Pascal

a été utilisé pour coder les méthodes heuristiques et le logiciel Cplex version 8.0. a été utilisé

pour l’obtention des solutions optimales.

L’heuristique Fogarty et Barringer (1987), lorsqu’elle est suivie de la méthode d’amélioration de

Silver et Kelle (1988), donne la meilleure déviation pour les deux versions étudiées, soit le coût

commun variable en paliers et le coût commun de commande linéaire par morceaux. La déviation

moyenne par rapport à l’optimum est de 0,87% (0,59% après Silver et Kelle) pour le cas où le

coût commun de commande est variable en trois paliers et est de 0,23% (0,06% après Silver et

Kelle) pour le cas où le coût commun de commande est linéaire par morceaux. Ces résultats sont

consistants avec ceux de Boctor, Laporte et Renaud (2003) qui démontrent que pour le problème

d’approvisionnement de plusieurs articles avec demande dynamique et coût commun de

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commande fixe, l’heuristique de Fogarty et Barringer, avec la méthode d’amélioration de Silver

et Kelle, est celle qui donne la meilleure déviation moyenne des méthodes de la littérature.

La déviation moyenne par rapport à l’optimum de l’adaptation de l’heuristique de Silver et Meal

avec la méthode d’amélioration de Silver et Kelle est de 1,52% pour le cas où le coût commun de

commande est variable en deux paliers et est de 1,01% pour le cas où le coût commun de

commande est linéaire par morceaux. La déviation moyenne de la méthode d’ajout gloutonne est

de 1,92% pour la première version du problème et est de 1,63% pour la deuxième version du

problème. La déviation moyenne de la méthode de réduction gloutonne est de 2,46% pour la

première version du problème et est de 1,74% pour la deuxième version du problème.

L’adaptation de l’heuristique d’équilibrage pièce-période donne la pire déviation moyenne, soit

4,65% pour le cas où le coût commun est variable en deux paliers et 4,70% pour le cas où le coût

commun est linéaire par morceaux.

Les méthodes de résolution proposées dans cet essai sont simples et faciles à utiliser pour les

distributeurs ayant soit une flotte privée, soit une flotte publique et également ceux dont les

fournisseurs s’occupent eux-mêmes du transport. Ces méthodes permettent à leurs gestionnaires

d’obtenir des plans d’approvisionnement rapides et d’excellente qualité puisque l’heuristique de

Fogarty et Barringer (1987) donne une déviation moyenne inférieure à 1%. Les gestionnaires

peuvent ainsi déterminer le coût total d’approvisionnement et la fréquence des commandes, ce

qui permet de gérer adéquatement les approvisionnements et de prendre des décisions

judicieuses. Il serait très rentable d’implanter une des méthodes de résolution proposées dans cet

essai puisque cela permettrait d’économiser sur les coûts associés aux opérations de

réapprovisionnement. De plus, les coûts d’implantation de ces méthodes seraient très minimes.

Il est important de mentionner que c’est la première tentative d’adaptation des méthodes

heuristiques connues de la littérature afin de permettre la résolution d’un problème

d’approvisionnement coordonné de plusieurs articles avec demande dynamique où le coût

commun de commande est soit variable en paliers ou est soit linéaire par morceaux. Malgré le fait

que l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), lorsqu’elle est suivie de la méthode

d’amélioration de Silver et Kelle (1988), soit très efficiente et qu’il semble difficile de proposer

de meilleures heuristiques, il serait bien dans des recherches futures, de proposer une nouvelle

heuristique qui considère la séparation d’une demande en deux commandes. Tel que mentionné à

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la Section 3.3, les deux nouvelles versions du problème étudiées ici ne respectent pas les

propriétés de la solution optimale de Silver (1979). Cette constatation a été effectuée lors de la

rédaction de cet essai et il n’a pas été possible d’en tenir compte dans l’élaboration des méthodes

de résolution.

Il serait facile d’adapter ces méthodes de résolution pour d’autres structures de coûts de transport

telles que l’utilisation d’un autre moyen de transport (train, bateau et avion), la combinaison de

deux ou plusieurs moyens de transport ou le mélange d’une flotte privée avec une flotte publique.

Évidemment, des recherches plus approfondies sur ces différentes structures du coût commun de

commande pourraient être envisagées. De plus, pour le cas de l’approvisionnement coordonné de

plusieurs articles avec demande dynamique et contraintes de capacité, des recherches futures

seraient envisageables pour traiter différentes structures du coût commun de commande dans un

contexte de production. Présentement, nos versions du problème d’approvisionnement coordonné

étudiées dans cet essai s’appliquent seulement aux distributeurs et non aux producteurs.

Dans des recherches futures, il serait également intéressant d’adapter la nouvelle heuristique de

recherche dans le voisinage basée sur la technique de perturbation des solutions proposée par

Boctor, Laporte et Renaud (2003). Cette heuristique, utilisée après avoir résolu un plan

d’approvisionnement selon l’heuristique de Fogarty et Barringer (1987), permet d’obtenir une

déviation moyenne par rapport à l’optimum de 0,014%, ce qui est très près de zéro.

En guise de conclusion, cette recherche a permis d’adapter le problème d’approvisionnement afin

de le rendre plus réaliste et plus près de la réalité des entreprises. De plus, cette recherche

démontre qu’il n’est pas si difficile d’appliquer la théorie à la pratique.

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RÉFÉRENCES

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