Mise à Niveau en Recherche Opérationnelle Première partie Théorie des graphes Mohamed Ali...

Mise à Niveau en Recherche Opérationnelle

Première partie

Théorie des graphes

Mohamed Ali [email protected]

Ce transparents ont été élaborés en se basant sur le document de

Pierre Lopez, LAAS, Toulouse http://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.html

mailto:[email protected]

Plan du cours

1. Qu’est ce qu’on peut faire avec la théorie des graphes ?

2. Concepts généraux en théorie des graphes

3. Le problème du plus court chemin

4. Problème central de l’ordonnancement

5. Flots et réseaux de transports

http://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.htmlhttp://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.html

Pourquoi la théorie des graphes ?

• Modélisation– Plusieurs problèmes dans différentes

disciplines (chimie, biologie, sciences sociales, applications industrielles, …)

– Un graphe peut représenter simplement la structure, les connexions, les cheminements possibles d’un ensemble complexe comprenant un grand nombre de situations

• Un graphe est une structure de données puissante pour l’informatique

Exemples


• Définitions

• Représentations d’un graphe

• Coloration des sommets d’un graphe

• Connexité dans les graphes

• Graphes particuliers


Définitions• Concepts orientés

– Un graphe G(X,U) est déterminé par

• Un ensemble X={x1,…,xn} de sommets

• Un ensemble U={u1, …, um} du produit cartésien X×X d’arcs.

– Un p-graphe : pas plus que p arcs (xi,xj)

3-graphe

1-graphe = graphe

boucleArc u=(xi,xj)


Définitions• Graphes et applications multivoques

– xj est successeur de xi si (xi,xj)U– L’ensemble des successeurs de xi est noté

(xi)– L’ensemble des prédécesseurs de xi est noté

-1(xi) est appelée une application multivoque

• Pour un 1-graphe, G peut être parfaitement déterminé (ou caractérisé) par (X,)


Définitions

• Concepts non orientés– On s’intéresse à l’existence d’arcs entre deux

sommets sans en préciser l’ordre– Arc = arête– U est constitué de paires non pas de couples– Multigraphe : plusieurs arêtes entre deux

sommets– Graphe simple = non multigraphe + pas de

boucles


Définitions

• D’autres définitions : Voir http://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.html– Adjacence, degrés, Graphe complémentaire,

partiel, sous graphe, sous graphe partiel– Graphe réflexif, irréflexif, symétrique,

antisymétrique, transitif, complet …

définitions

http://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.html



Représentations d’un graphe

1. Matrice d’adjacence

Pour un graphe numérisé : remplacer 1 par la valeur de l’arc

Place mémoire : n²


Représentations d’un graphe

2. Matrice d’incidence sommets-arcs

Place mémoire : n x m


Représentations d’un graphe3. Listes d’adjacence

Place mémoire : n+1+m


Coloration d’un graphe


Connexité dans les graphes• Chaîne – Cycle

• Chemin – Circuit


Connexité dans les graphes• Le terme parcours regroupe les chemins, les

chaînes, les circuits et les cycles• Un parcours peut être

– élémentaire : tous les sommets sont distincts– simple : tous les arcs sont distincts– hamiltonien : passe une fois et une seule par chaque

sommet– eulérien : passe une fois et une seule par chaque arc– préhamiltonien : ou moins une fois par chaque

sommet– préeulérien : au moins une fois par chaque arc


Connexité dans les graphes

• Exemple– Le problème du voyageur de

commerce : un voyageur de commerce doit visiter n villes données en passant par chaque ville exactement une fois et doit revenir à la ville de départ.

Trouver un circuit hamiltonien de coût minimal dans un graphe valué


Connexité dans les graphes• Connexité


Connexité dans les graphes• Forte connexité


Graphes particuliers• Graphes sans circuit

– Décomposition en niveaux

• Graphe biparti• Graphe planaire• Hypergraphe• Arbre• Forêt• Arborescence


• Définition• Exemples de formulation avec pcch• Principe d’optimalité et conditions d’existence• Graphes sans circuit• Graphes à valuations positives

– Algorithme de Moore-Dijkstra (1959)

• Graphes à valuations quelconques– Contre-exemple– Algorithme de Bellman-Ford


Définition


Exemples• Exemple 1 : Construire une autoroute entre

deux villes A et K– Arcs = tronçons possibles de l’autoroute– Valuation des arcs peut être

• coût de réalisation correspondant• longueur du trajet • …

A

B

C

D

E

F

H

I

J

K

G


Exemples• Exemple 2 : Chemin le plus fiable dans un

réseau de télécommunication– Arêtes = liens physiques– Valuation des arêtes (i,j) est pij: fiabilité du lien (la

probabilité pour que le lien fonctionne)

– La fiabilité d’un chemin est le produit des probabilités des liens qui le constituent

– Le problème devient un problème de pcch en remplaçant chaque probabilité par aij = - log pij


Exemples• Exemple 3 : Problème de sac à dos

– Un sac à dos de capacité b– n objets j=1…n

• aj : poids de l’objet j• pj : profit de l’objet j

– Objectif : déterminer un sous ensemble d’objets de profit maximal respectant la capacité du sac.

Maximiser j pjxj

s.c.

j aj xj b

avec xij = 1 si l’objet est choisi et 0 sinon


Exemples• Exemple 3 : Problème de sac à dos

– n(b+1) sommets notés j(k), j=1,2,…,n et k=0,1,…,b– Un sommet origine s et un sommet destination t– Un sommet j(k) a deux arcs entrants (s’ils existent):

• Un arc de (j-1)(k) valué par 0• Un arc de (j-1)(k-aj) valué par pj

– Deux arcs de s vers 1(0) et 1(a1) valués par 0 et p1– Un arc de valuation 0 entre chaque sommet n(k) et t

– Un chemin de s à j(k) correspond a un sous ensemble des j premiers objets dont le poids total est égal à k. La longueur du chemin est la valeur du sous ensemble


Principe d’optimalité

• aij = longueur de l’arc (i,j) si l’arc existe sinon + • uj : longueur du pcch de l’origine 1 vers le sommet j• Equations de Bellman

– u1 =0– uj = min {kj, uk + akj}


Condition d’existence

• Condition d’existence Le graphe n’admet pas de circuit de longueur négative

i

j

k

w l(w)<0


Graphes acycliques

• Un graphe est acyclique ssi il existe une numérotation des sommets telle qu’un arc existe entre i et j seulement si i < j

• Les équations de Bellman deviennent

– u1 =0

– uj = min {k < j, uk + akj}

1

42

3 5

6

3

1

-6

3

-42

9

6

1

2

5


Graphes à valuations positives

• Algorithme de Dijkstra : plus court chemin de l’origine à tous les autres sommets– Utilise des labels pour les sommets

• Les labels permanents représentent la valeur du pcch de l’origine jusqu’au sommet correspondant

• Les labels temporaires représentent une borne supérieure de ce pcch

– A chaque itération un label temporaire est transformé en label permanent


Graphes à valuations positivesAlgorithme de Dijkstra

• Etape 0– u1 =0;– uj =a1j, pour j=2,…, n– P={1}, T={2, …, n}

• Etape 2 (Désignation du label permanent)– Déterminer kT, tq uk=min{j T, uj}– T=T\{k} et P=P{k}– Si T=vide, stop

• Etape 3 (Révision des labels temporaires)– uj=min{uj, uk+akj} pour tout j T– Aller à l’étape 1


Graphes à valuations positives

• Exemple

A

B

D

C

E

F H

G

2

4

4

32 2

1

2

3

25

3


Algorithme de Dijkstra et graphes à valuations quelconques

S

A

B

C

E

D

6

1

23

3

2

2

-4


Graphes à valuations quelconques

• Algorithme de Bellman-Ford– uj

(m) = longueur du pcch de 1 vers j tel que le chemin ne contient pas plus que m arcs

u1(1)= 0

uj(1) = a1j

uj(m+1) = min{uj

(m) , min{kj, uk(m) + akj}}

• Si le graphe ne contient pas de circuit de valeur négative alors uj = uj

(n-1)


Graphes à valuations quelconques

• Plus court chemin entre tous les couples de sommets– Algorithme matriciel de Floyd-Warshall

3. Le problème central de l’ordonnancement

C,F,I ,N,O0Fin du projetFin

E,J1Pose éléments hautsO

E,M1Etanchéité plan de travailN

L4Pose plan de travailM

B,J ,H,K6Pose éléments basL

Début8Assemblage caissons et tiroirsK

G4Dépose ancien élémentsJ

Mobilier

M2Pose et raccordement EvierI

G6déplacement arrivées et évacuationH

Début1Dépose ancien évierG

Plomberie

E4Pose nouveau papierF

D6Pose faïenceE

J8Décollage ancien papierD

Murs

B2J oints carrelageC

A4Pose carrelageB

J6Dépose ancien carrelageA

Sols

-0Lancement du projetDébut

Tâches précédentes

Durée (h)DescriptionTâcheRubrique

C,F,I ,N,O0Fin du projetFin

E,J1Pose éléments hautsO

E,M1Etanchéité plan de travailN

L4Pose plan de travailM

B,J ,H,K6Pose éléments basL

Début8Assemblage caissons et tiroirsK

G4Dépose ancien élémentsJ

Mobilier

M2Pose et raccordement EvierI

G6déplacement arrivées et évacuationH

Début1Dépose ancien évierG

Plomberie

E4Pose nouveau papierF

D6Pose faïenceE

J8Décollage ancien papierD

Murs

B2J oints carrelageC

A4Pose carrelageB

J6Dépose ancien carrelageA

Sols

-0Lancement du projetDébut

Tâches précédentes

Durée (h)DescriptionTâcheRubrique

3. Le problème central de l’ordonnancement Modélisation

Le niveau d’une tâche X est le plus grand nombre d’arc sur un chemin entre Début et X

Début

G

K

J

H

D

A

E F

B C

O

L M

N

I

Fin

O 1 2 3 4 5 6 7 8NIVEAU :

0

0 8 64

4

1

2

1

246

4

4

1

1

8 6

4

6

3. Le problème central de l’ordonnancement Dates de début au plus tôt

• La date début au plus tôt dptôt(i) d’une tâche i = longueur du plus long chemin de la tâche Début (ou 0) à i

• Formule de récurrence– dptôt(i)=maxjPred(i)(dptôt(j)+durée(j))

– dptôt(0) =0

3. Le problème central de l’ordonnancement Dates de fin au plus tard

• On souhaite terminer le projet au plus tard à la date D=dptôt(n+1)

• Date de début au plus tard de i = Date maximum à laquelle on peut exécuter i sans retarder le chantier

• Longueur du plus long chemin de i à Fin (ou n+1)

• Formule de récurrence– dptard(n+1)=D– dptard(i)=minjSucc(i)dptard(j)-durée(i)

3. Le problème central de l’ordonnancement Marges, chemin critique

• La marge totale d’une tâche i est le retard total qu’on peut se permettre sur i sans remettre en cause la date de fin du projet

• MT(i)=dptard(i)-dptôt(i). • Les tâches critiques ont une marge nulle. Tout

retard sur leur exécution entraîne un retard global sur le projet

• Un chemin est critique s’il relie Début à Fin et s’il ne contient que des tâches critiques

4. Flots dans les réseaux

• Définition : Un flot dans un graphe G=(X,U) est un vecteur =[1,2,…,m]m tel que

– La quantité de flot ou flux sur l’arc j j 0, pour tout j =1,…, m

– Pour tout sommet xX, la 1ère loi de Kirchhoff est vérifiée

)()( xwjj

xwjj


Flot dans un réseau de transport• On dit que le vecteur =[1,2,…,m] est flot

de E à S dans G ssi la loi de Kirshhoff est vérifiée en tout sommet de G sauf pour E et S où on a

• Donc, si =[1,2,…,m] est un flot dans G alors ’=[0,1,2,…,m] est un flot dans G0

’=[0,1,2,…,m] est un flot admissible dans G0

ssi pour tout j=0,…,m, b(j)jk(j)

flotdu valeur : )(

0)(

Swjj

Ewjj


Flot dans un réseau de transport• On veut acheminer un produit à partir de 3

entrepôts (1,2,3) vers 4 clients (a,b,c,d)– Quantités en stock : 45, 25, 25– Demande des clients : 30,10, 20, 30– Limitations en matière de transport d’un entrepôt à un

client

a b c d

1 10 15 - 20

2 20 5 5 -

3 - - 10 10

E

1

2

3

a

b

d

c

S

[0,10]

[0,15]

[0,20]

[0,20]

[0,5]

[0,5][0,10]

[0,10]

[0,45]

[0,25][0,25]

[0,30]

[0,10]

[0,20]

[0,30]


Exemple de flot

E

1

2

3

a

b

d

c

S

[0,10], 10

[0,15], 5

[0,20], 20

[0,20], 15

[0,5], 5

[0,5], 5

[0,10], 10

[0,10], 10

[0,45], 35

[0,25], 25

[0,25], 20

[0,30], 25

[0,10], 10

[0,20], 15

[0,30], 30

Valeur du flot = 80

Ce flot est un flot complet, c-à-d, tout chemin de E à S comporte au moins un arc saturé


Quelques problèmes qui se posent1. Détermination d’un flot réalisable ou

compatible : c’est le cas où il existe des arcs u tels que b(u)>0

2. Détermination d’un flot maximum• Un flot complet n’est pas forcément maximum• Un flot maximum est forcément complet

3. Détermination d’un flot maximum de coût minimum


Détermination d’un flot maximum

• Principe de l’algorithme de Ford-Fulkerson1. Construire un flot complet

2. Améliorer itérativement ce flot

1. Construire un flot complet– Examiner tous les chemins de E à S de façon

systématique– Pour chaque chemin faire passer un flot égal à la

capacité résiduelle minimale de ce chemin



2. Améliorer itérativement ce flot– Graphe d’écart : Soit un flot admissible sur

G. Le graphe d’écart Ge()=(X, Üe()) est tel que• Pour tout arc jU on associe deux arcs dans

Üe()– j+ de même sens que j et de capacité résiduelle k+

(j)=k(j)- j

– j- de sens opposé que j et de capacité k-(j)=j-b(j)

10

5

10 5 5

5

E

1

2

3

a

b

d

c

S

[0,10], 10

[0,15], 5

[0,20], 20

[0,20], 15

[0,5], 5

[0,5], 5

[0,10], 10

[0,10], 10

[0,45], 35

[0,25], 25

[0,25], 20

[0,30], 25

[0,10], 10

[0,20], 15

[0,30], 30

E

1

2

3

a

b

d

c

S

35

25

20

10

1020

55

10

15

5

25

10

30

15

Graphe d’écart

Un flot complet



2. Améliorer itérativement ce flot– Théorème : Un flot compatible est

maximal ssi il n’existe pas de chemin de E à S dans Ge().

– Principe de l’amélioration• Chercher un chemin de E à S dans Ge()• Soit la plus petite capacité de

– Pour j+ de , augmenter j de

– Pour j- de , diminuer j de



10

5

10 5 5

5E

1

2

3

a

b

d

c

S

35

25

20

10

1020

55

10

15

5

25

10

30

15

Capacité minimale = 5

5

40

5

10

0

5

020 0

30

Valeur du flot = 85

Exemples

En 1736, Euler a montré que c’est impossible !!

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Références bibliographiques

• P. Lopez, Cours de graphes, LAAS-CNRS http://www.laas.fr/~lopez/cours/GRAPHES/graphes.html

• Ph. Vallin and D. Vanderpooten. Aide à la décision : une approche par les cas. Ellipses, Paris, 2000.

• M. Gondron, M. Minoux, Graphes et algorithmes, Eyrolles, Paris, 1984

• C. Prins, Algorithmes de graphes, Eyrolles, Paris, 1994

• Ph. Lacomme, C. Prins, M. Sevaux, Algorithmes de graphes, Eyrolles, 2003

• B. Baynat, Ph. Chrétienne, …, Exercices et problèmes d’algorithmique, Dunod, 2003

• E. Lawler, Combinatorial Optimization – Networks and matroids, Dover Publications, INC, 1976.


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