Misa à Niveau Mathématiques ISA 3mabouzai.perso.univ-pau.fr/Mise_a_Niveau_ISA3.pdf · 2013. 8....

Misa à NiveauMathématiques ISA 3

Mourad ABOUZAID

31 août 2013

Table des matières

1 Fonction d’une variable réelle 51.1 Étude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Dérivée d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Application au calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Définition géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Premières règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Estimation d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4 Intégrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.5 Outils de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.6 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Fonctions de plusieurs variables 21Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1 Représentation graphique (cas n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Plans verticaux et fonction partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Calcul différentiel en dimensions supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Rappels en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Dérivées en dimensions supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Recherche d’extrema en dimensions supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.4 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.6 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Calcul intégral en dimensions supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Domaines d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Équations différentielles 37Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Équations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3

4 TABLE DES MATIÈRES

3.2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Équations complètes (avec second membre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3.1 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Conditions initiales et solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Équations aux dérivées partielles (EDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Algèbre linéaire 43Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.2 Opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.3 Propriétés de la multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.4 Matrice identité, matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.5 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Espaces vectoriel et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.2 Diagonalisation pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.3 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.4 Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.5 Une base de vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Probabilités et statistiques 59Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1 Variable aléatoire et loi de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.1.2 Loi de probabilité d’une variable discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.3 Loi de probabilité d’une variable continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.4 Fonction de répartition et densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1.5 Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.2 Fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.3 Effectifs et fréquences cumulés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.4 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.5 Diagramme des fréquences et densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.6 Indicateurs de tendances centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.7 Indicateurs de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Chapitre 1

Fonction d’une variable réelle

1.1 Étude de fonction

Une fonction f d’une variable réelle est un procédé qui à chaque valeur x ∈ R associe une valeurréelle f(x). On appelle domaine de f l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la quantité f(x)existe.

Chaque fonction f d’une variable réelle peut être représentée dans un repère (orthonormé) duplan, par l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)). On obtient alors la courbe représentativede f , notée Cf .

Le calcul différentiel donne des outils mathématiques permettant de déterminer rapidementl’évolution de la quantité f(x) en fonction des variations de x :

– La valeur f(0) donne l’ordonnée du point d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des or-données.

– La ou les solution(s) de l’équation f(x) = 0 donne(nt) le(s) point(s) d’intersection de Cfavec l’axe des abscisses.

– La notion de limite permet de comprendre le comportement de f aux bords du domaine dedéfinition.

– La dérivée de f en chaque point permet de caractériser la tangente à Cf en chaque point, don-nant en particulier le sens de variation, ainsi que la vitesse de variation de f en chaque point.

– Le calcul intégral permet de mesurer les aires de différentes parties du plan délimitées par Cfet les axes du repère.

1.1.1 Dérivée d’une fonction réelle

Par définition, la dérivée d’une fonction f en un point x est donnée par la limite

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

D’un point de vue géométrique, la quantitéf(x+ h)− f(x)

hcorrespond au coefficient directeur

de la corde droite liant les points (x, f(x)) et (x+ h, f(x+ h)).

5

6 CHAPITRE 1. FONCTION D’UNE VARIABLE RÉELLE

Quand elle existe, la limite ci-dessus donne donc le coefficient directeur de la tangente à Cf aupoint (x, f(x)). Son signe donne en particulier le sens de variation de f en x.

Si cette limite n’existe pas ou si elle est infinie, la fonction n’est pas dérivable en x.

D’autre part, les points où la dérivée s’annule marquent les points de Cf auxquels la tangenteà Cf est nulle. Ces points permettent en particulier de repérer les extrema de f .

Si la limite ci-dessus existe pour chaque valeur de x, on peut alors définir la fonction dérivéede f :

f ′ : x 7→ f ′(x)

1.1.2 Dérivées des fonctions usuellesLa plupart des fonctions utilisées s’expriment à partir des fonctions usuelles. Cela permet en

particulier de calculer la fonction dérivée d’une fonction donnée à partir des fonctions dérivéesdes fonctions usuelles qui la constituent. Pour dériver une fonction, il suffit donc de connaître lesdérivées des fonctions usuelles ainsi que le comportement de la notion de dérivée face aux différentesopérations que l’on peut faire sur les fonctions : somme, produit, quotient, composition :

Fonctions usuellesFonctions DérivéesCstes 0x 1xα α.xα−1

exp(x) exp(x)ln(x) 1

x

sin(x) cos(x)cos(x) − sin(x)tan(x) 1

cos2(x) = 1 + tan2(x)

arcsin(x) 1√1−x2

arccos(x) − 1√1−x2

arctan(x) 11+x2

Opérations et dérivéesOpérations Dérivées

a.u(x) + b.v(x) a.u′(x) + b.v′(x)u(x).v(x) u′(x).v(x) + u(x).v′(x)

u(x)v(x)

u′(x).v(x)−u(x).v′(x)v(x)2

u v(x) v′(x).u′ v(x)

Exemples : x2 ; 2x1x ; − 1

x2√x ; 1

2√x

a.x+ b ; af(ax) ; a.f ′(ax)

ln(u(x)) ;u′(x)u(x)

1.1.3 ExercicesExercice 1 1. Montrer à l’aide de la définition que la dérivée de la fonction [f ; x 7→ x2] est

nulle en 0.2. Montrer qu’en un point x quelconque, la dérivé de f est f ′(x) = 2x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 Montrer que la fonction [x 7→√x] n’est pas dérivable en 0.

Comment interpréter géométriquement la limite obtenue ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 Soit f(x) = e−x2

.1. Calculer f ′(x).2. Déterminer le point de Cf admettant une tangente horizontale.

1.2. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 7

3. Montrer que c’est un maximum.4. Calculer f ′′(x).5. Déterminer les points de la courbe de f ′ admettant une tangente horizontale.6. Tracer dans un même repère les courbes de f , f ′ et f ′′.

1.2 Développements limités

1.2.1 DéfinitionsLes développements limités offrent un moyen analytique d’exprimer n’importe quelle fonction

usuelle sous la forme d’un polynôme. Précisément, les développements limités permettent d’obte-nir en chaque point de Cf une approximation de f(x) sous la forme d’un polynôme du degré quel’on veut.

Il s’agit d’une approximation locale. Le polynôme que l’on cherche dépend du point x0 quel’on choisit au départ.

En pratique, on choisit presque tout le temps x0 = 0 car une translation du repère dans lequelon travaille permet la plupart du temps de se ramener à ce cas là. D’autre part, cela permet desimplifier considérablement les formule.

D’un point de vue géométrique, il s’agit de trouver un polynôme Px0(X) qui dont la courbe

“colle au mieux” à la courbe Cf au point (x0, f(x0)).

Ainsi, si l’on cherche un polynôme de degré 1, le meilleur polynôme possible est donné parl’équation de la tangente à Cf en x0 :

Px0(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)

En 0, cela donneP (x) = f(0) + f ′(0).x

D’un point de vue analytique, dire alors que P (x) est une approximation de f(x) au voisinagede 0 signifie qu’en chaque point x, f(x) s’écrit

f(x) = f(0) + f ′(0).x+ E(x)

où E(x) est une fonction qui tend vers 0 quand x→ 0.

Dire que P offre la meilleure approximation signifie que le terme d’erreur tend vers 0 signifi-cativement plus vite que la différence x.f ′(0). Ainsi, si x est assez proche de 0, l’erreur commiseE(x) sera négligeable devant les quantités du problème.

En termes analytiques, cela se traduit par l’existence d’une fonction ε qui tend vers 0 quandx→ 0 et telle que

E(x) = xε(x)

Le développement d’une fonction f en 0 à l’ordre 1 s’écrit donc

f(x) = f(0) + f ′(0).x+ xε(x), ε(x)→ 0.

Si l’on augmente le degré du polynôme cherché, on gagne en précision. Autrement dit, le termed’erreur tend vers 0 de plus en plus vite. Précisément, si l’on note

P (x) =

n∑k=0

akxk


le meilleur polynôme de degré n possible, l’erreur E(x) commise en approchant p(x) par f(x) estde la forme

E(x) = xnε(x)

Autrement dit, cette erreur décroit plus vite que xn (qui décroit lui même bien plus vite que x sin est grand).

Brook TAYLOR (Anglais, 1685 - 1731) à trouvé au début du 17ième siècle la formule généraledonnant le meilleur polynôme pour n’importe quel degré. Comme pour le degré 1, le polynôme dedegré n s’exprime en fonction des dérivées successives de la fonction f en 0. Précisément :

f(x) = f(0) + f ′(0).x+f ′′(0)

2!x2 + . . .+

f (n)(0)

n!xn + xnε(x)

Cette formule a permis en particulier de calculer le DL de toutes les fonctions usuelles :

ex = 1 +x

1!+x2

2!+ · · · +

xn

n!+ xnε (x)

ax = 1 +x ln a

1!+

(x ln a)2

2!+ · · · +

(x ln a)n

n!+ xnε (x) car ax = exp (x ln a)

(1 + x)r

= 1 +rx

1!+r(r − 1)x2

2!+ · · · +

r(r − 1) · · ·+ (r − n+ 1)xn

n!+ xnε (x)

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 · · ·+ xn + xnε (x)

ln (1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4· · ·+ (−1)

n−1 xn

n+ xnε (x)

ln (1− x) = −x− x2

2− x3

3− x4

4· · · − xn

n+ xnε (x)

sinx = x− x3

3!+x5

5!− x7

7!+ · · · +

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!+ x2n+2ε (x)

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− x6

6!+ · · · +

(−1)nx2n

(2n)!+ x2n+1ε (x)

sinhx = x+x3

3!+x5

5!+

x7

7!+ · · · +

x2n+1

(2n+ 1)!+ x2n+2ε (x)

coshx = 1 +x2

2!+x4

4!+

x6

6!+ · · · +

x2n

(2n)!+ x2n+1ε (x)

tanx = x+x3

3+

2x5

15+

17x7

315+ x8ε (x)

tanhx = x− x3

3+

2x5

15− 17x7

315+ x8ε (x)

cotx =1

x− x

3− x3

45+ x4ε (x)

arctanx = x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · · +

(−1)nx2n+1

2n+ 1+ x2n+2ε (x)

1.2. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 9

1.2.2 Application au calcul de limites

Les développements limités donnent de l’information sur une fonction f au voisinage de 0. Ilpermettent donc de calculer de nombreuses limites en 0. Ils permettent en particulier de levercertaines indéterminations. Ainsi, d’après la formule de Taylor, le DL de la fonction x 7→ ln(1 + x)à l’ordre 1 est donné par

ln(1 + x) = x+ xε(x)

Ainsi, la fonction

f : x 7→ ln(1 + x)

x

s’écrit

f(x) =x+ xε(x)

x= 1 + ε(x).

et l’on alimx→0

f(x) = limx→0

1 + ε(x) = 1

On peut ainsi obtenir une réécriture de toute fonction f au voisinage de 0 (ou de tout point x0

si l’on utilise les formules générales). C’est en particulier souvent utile pour des fonctions faisantintervenir des polynômes.

Dans l’exemple précédent, un DL à l’ordre 1 a suffi à lever l’indétermination. Si l’ordre 1 nesuffit pas, on peut choisir un degré supérieur pour le polynôme. Ainsi, pour la fonction

g(x) =ln(1 + x)− x

x2

le DL de ln(1 + x) à l’ordre 1 donne

g(x) =ε(x)

x

La limite de g en 0 est encore une forme indéterminée de la forme 00 .

Mais en poussant le DL à l’ordre 2, on obtient

ln(1 + x) = x− x2

2+ x2ε(x)

etg(x) =

1

2+ ε(x) −→x→0

1

2

1.2.3 Exercices

Exercice 4 Généraliser la formule de Taylor en n’importe quel point x0.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 5 Calculer les limites suivantes :

limx→0

sinx

x, lim

x→0

sinx− xx2

, limx→0

sinx− xx3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


Exercice 6 Calculer les développements limités des fonctions ci-dessous, en 0, à l’ordre 4 :

f1 : x 7→ cosx. ln(1 + x), f2 : x 7→ ex. ln(1 + x), f3 : x 7→ ln(1 + x)

1 + x

f4 : x 7→ cos2(x), f5 : x 7→ 1

cos2(x)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 7 1. Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction f donnéepar

f : x 7−→ cos(x)− 1

x(ex − 1)

2. En déduire que f se prolonge en une fonction dérivable en 0. Donner la valeur du prolonge-ment et de sa dérivée en 0.

1.3 Calcul intégral

1.3.1 Définition géométrique

Soit f une fonction continue par morceaux, définie sur un intervalle [a, b] de R. On appelleintégrale de f sur [a, b] l’aire délimitée par la courbe Cf d’une part, l’axe des abscisses et les droitesd’équations x = a et x = b d’autre part :

∫ b

a

f(x)dx

x

y

a b

Dans le cas d’une fonction en escaliers, la surface sous la courbe est un assemblage de rec-tangles. Le calcul d’aire est donc immédiat :

1.3. CALCUL INTÉGRAL 11

x

y

a0 ana1 a2 ... an−1

C’est une somme (finie) :

A =

n−1∑i=0

(ai+1 − ai)f(ai).

Dans le cas général, il faut faire appel aux différentielles. Ainsi, si dx représente un petit dé-calage des x, on peut approximer la surface sous la courbe contenue entre x et x + dx comme lerectangle de hauteur f(x) et de largeur dx. L’aire sous la courbe est alors la somme des aires detous ces rectangles :

x

y

a bdx

On note alors :

A =

∫ b

a

f(x)dx.

Note : l’aire ainsi calculée est une aire algébrique. C’est-à-dire que les parties de la surface quisont au dessus de l’axe horizontal sont comptées positives et les parties situées sous l’axe horizontalsont comptées négatives.

1.3.2 Premières règles de calcul

Proposition 1.3.1 L’intégrale est une fonction linéaire. Autrement dit, si f et g sont deux fonc-tions définies sur un intervalle [a, b], l’intégrale de la somme f + g est la somme des intégrale :∫ b

a

(f + g)(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ b

a

g(x)dx.


De même, on peut “sortir les constantes” :

∀λ ∈ R,∫ b

a

λ.f(x)dx = λ

∫ b

a

f(x)dx.

On peut résumer les deux résultats ci-dessus en une seule égalité :

∀λ, µ ∈ R,∫ b

a

(λf(x) + µg(x))dx = λ

∫ b

a

f(x)dx+ µ

∫ b

a

g(x)dx.

Cette propriété nous permet souvent de décomposer une intégrale en plusieurs petites inté-grales plus simples et de ne pas s’encombrer avec d’éventuelles constantes multiplicatives.

Note : autant pour la somme que pour les constantes, il peut parfois être utile d’utiliser leségalités dans l’autre sens. Autrement dit, il peut être utile de rassembler la somme de deux inté-grales sous un même signe

∫, ou encore d’introduire une constante sous l’intégrale (pour retrouver

par exemple une dérivée connue...).

Une deuxième propriété importante de l’intégrale est la relation de Chasles :

Proposition 1.3.2 Soit f continue, définie sur [a, c] et soit b ∈ [a, c]. Alors∫ c

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ c

b

f(x)dx.

C’est assez clair sur un dessin :

x

y

a cb

Notes :– la relation de Chasles reste valable même si a, b et c ne sont pas dans l’ordre a 6 b 6 c.– Il est clair que ∫ a

a

f(x)dx = 0.

(L’aire d’un segment est nulle). Ainsi, avec la relation de Chasles, on voit que∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx.

– La relation de Chasles peut être utile pour intégrer des fonctions qui ne sont pas définies dela même façon selon l’intervalle sur lequel on se place.


1.3.3 Estimation d’une intégrale

Cas particuliers

Si la fonction f que l’on souhaite intégrer est impaire, la symétrie par rapport au centre durepère permet de montrer rapidement que si l’on intègre sur un intervalle de la forme [−a, a](a > 0), alors ∫ a

−af(x)dx = 0.

x

y

−aa

De même, si la fonction f est paire, on a, sur le même type d’intervalle :∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0

f(x)dx.

x

y

−a a

Encadrement

Puisque l’on travaille sur un intervalle de la forme [a, b] (i.e. fermé borné) et comme les fonctionsque l’on intègre sont continues (par morceaux), elles atteignent un minimum m et un maximumM sur [a, b]. On peut alors clairement encadrer l’intégrale de f sur [a, b] par

(b− a).m 6∫ b

a

f(t) dt 6 (b− a).M


x

y

a b

max f

min f

Moyenne

Comme toute somme, l’intégrale permet de calculer une moyenne. Précisément, la moyenned’une fonction f sur un intervalle [a, b] est

f =1

b− a

∫ b

a

f(t) dt.

L’intégrale permet de même de généraliser toutes les quantités statistiques bien connues dansle cas d’études discrètes.

1.3.4 Intégrales et primitives

Soit f une fonction continue définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur l’intervalleI une fonction F dérivable telle que

∀x ∈ I, F ′(x) = f(x).

On peut remarquer rapidement que la primitive d’une fonction donnée n’est pas unique. En effet,si F est une primitive de f , alors toute fonction de la forme

F : x 7→ F (x) +K, K ∈ R

est encore une primitive de f . Cependant, si l’on impose à la primitive cherchée de prendre unevaleur donnée en un point fixé de I, il n’existe alors qu’une solution.

On a d’autre part un lien fort entre primitive et intégrale. Précisément :

Théorème 1.3.3 Soit f une fonction continue, définie sur un intervalle I et soit a ∈ I. Alors lafonction

F : I −→ R

x 7−→∫ x

a

f(t)dt

est l’unique primitive de f qui s’annule en a.D’autre part, pour n’importe quelle primitive G de f , on a

∀x ∈ I,∫ x

a

f(t)dt = G(x)−G(a).


Autrement dit, étant donnée une fonction f dérivable définie sur un intervalle [a, b], on a

∀x ∈ [a, b], f(x) = f(a) +

∫ x

a

f ′(t)dt. (∗)

Exemples :

1. Si f est une fonction linéaire f(x) = ax, la dérivée de f est constante, égale à la pente a.Donc ∫ x

0

f ′(t)dt = a

∫ x

0

dt = ax = f(x).

2. Si f est une ligne brisée, la dérivée de f sur chaque segment est encore égale à la pentedu segment. En intégrant sur chaque segment (grâce à la relation de Chasles), on retrouvel’évolution de f(x) entre le point de départ et le point d’arrivée.

3. Dans le cas général, toute fonction continue peut être vue comme une ligne brisée où chaquesegment est de longueur infiniment petite. Ainsi, un déplacement d’une longueur dt sur l’axedes abscisses entraine un déplacement d’une longueur f ′(t)dt sur l’axe des ordonnées. Onretrouve donc la formule (∗).

1.3.5 Outils de calcul

Intégration par parties

L’intégration par parties est une astuce de calcul basée sur la formule de dérivation d’un produitde fonction f.g′ et permettant de transformer l’intégral de f.g :∫ b

a

f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]ba −

∫ b

a

f ′(x)g(x)dx.

Exemples :

I =

∫ 2

1

ln(x)

x2dx, J =

∫ ln 2

0

xexdx.

Dans ce dernier exemple, on voit que l’on utilise l’IPP pour faire baisser le degré de x. Onpeut généralise cette méthode à toutes les fonctions de la forme xnex et par linéarité à toutes lesfonctions de la forme P (x)ex où P (x) est un polynôme.

Exemple :∫ 1

0

x2exdx.

On peut également appliquer cette méthode aux fonctions de la forme P (x) sin(x) et P (x) cos(x).

Changement de variable. Contrairement aux IPP, le changement de variable est un outil trèssubtil permettant la transformation d’intégrales. La bonne manipulation des changements de va-riables nécessite une grande culture et une grande expérience dans le calcul intégral, tant poureffectuer correctement le changement de variable que pour déterminer quel changement de variablesera fructueux.

Le changement de variable repose sur le théorème suivant :

Théorème 1.3.4 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et soit ϕ une fonctionbijective et dérivable sur un intervalle I telle que ϕ(I) ⊂ [a, b]. Alors∫ b

a

f(x)dx =

∫ ϕ−1(b)

ϕ−1(a)

f(ϕ(u))ϕ′(u)du.


Dans cette formule, la nouvelle variable est u. Elle est liée à l’ancienne variable x par la relation

x = ϕ(u).

La fonction ϕ étant bijective, il est possible de “retourner” cette égalité :

u = ϕ−1(x).

En pratique, un changement de variables se décompose en trois étapes :– Déterminer la nouvelle fonction à intégrée. Celle-ci est obtenue en remplaçant x par ϕ(u)dans f .

– Déterminer les nouvelles bornes d’intégration ϕ−1(a) et ϕ−1(b).– Calculer le nouvel élément de longueur dx = ϕ′(u)du.

Exemples :1. Soit

J =

∫ 3

0

1

9 + x2dx.

Connaissant la primitive de la fonction [u 7→ 11+u2 ], on commence par factoriser le dénomi-

nateur par 9 :

J =1

9

∫ 3

0

1

1 +(x3

)2 dx.On pose alors u = x

3 . On a alors du = dx3 et x = 3u.

Autrement dit, la fonction ϕ du théorème est ϕ : u 7→ 3u et sa réciproque est ϕ−1 : x 7→ x3 .

L’intervalle [ϕ(a), ϕ(b)] est donc [0, 3] et l’intervalle [a, b] est [0, 1].

On fait alors apparaître tous les éléments que l’on vient de calculer dans l’intégrale (enparticulier du) :

J =1

3

∫ 3

0

1

1 +(x3

)2 . dx3 .

On peut alors effectuer le changement de variable sans oublier de traiter les bornesd’intégration :

J =1

3

∫ 1

0

1

1 + u2du.

On a alors écrit J sous la forme d’une intégrale que l’on sait calculer directement.

2. Soit

I =

∫ 1

0

√1− x2 dx.

Ici, on souhaite utiliser la formule cos2 u+ sin2 u = 1 pour faire “disparaitre” la racine.On pose donc x = sinu. Ainsi, dx = cosu du.La fonction ϕ du théorème est alors ϕ : u 7→ sinu et sa réciproque est ϕ−1 : x 7→ arcsinx.D’autre part, l’intervalle [ϕ(a), ϕ(b)] est [0, 1] et [a, b] =

[0, π2

].

On peut alors effectuer le changement de variable sans oublier de traiter les bornesd’intégration :

I =

∫ π/2

0

√1− sin2 u cosu du.

=

∫ π/2

0

cos2 u du

En appliquant alors la formule cos2 u = 1+cos(2u)2 , on termine le calcul.


1.3.6 Polynômes et fractions rationnelles

Comme on l’a dit plus haut, on sait, grâce à la linéarité, intégrer n’importe quel polynôme. Onva voir ici que l’on sait également intégrer (en théorie) n’importe quelle fraction rationnelle. Unefraction rationnelle est une fonction f s’écrivant sous la forme

f(x) =P (x)

Q(x)

où P (x) et Q(x) sont des polynômes.

Pour cela, il faut transformer l’écriture de la fraction P (x)Q(x) en une somme de fonctions que l’on

sait intégrer.

Pour cela, on commence par diviser le polynôme P (x) par le polynôme Q(x) via la divisioneuclidienne des polynômes. Notons que cette étape n’est nécessaire que si le degré du polynôme Pest supérieur ou égal à celui de Q.

On obtient alors PQ sous la forme

P (x)

Q(x)= E(x) +

R(x)

Q(x)

où E(x) est un polynôme et R(x) est un polynôme dont le degré est strictement plus petit quecelui de Q(x).

La décomposition en éléments simples des fractions rationnelles permet alors d’exprimer lequotient R

Q comme une somme de fonctions de la forme

[x 7→ 1

x− α

],

[x 7→ 1

(x− α)n

],

[x 7→ 1

1 + x2

],

[x 7→ x

1 + x2

]

Or à l’aide du formulaire des dérivées, on sait intégrer toute fonction ces fonctions.

Voir les exercices de la fin du chapitre pour des décompositions pratiques.

1.3.7 Exercices

Exercice 8 Calcul direct.

Calculer les intégrales suivantes (il sera peut-être nécessaire de transformer un peu la fonctionà intégrée avant de reconnaître des dérivées connues).


A B C D

1

∫ 0,5

0

1√1− u2

du

∫ √3

1

dt

1 + t2

∫ 1

−1

x

(1 + x2)2dx

∫ 4

1

(2√t− 5t2

)dt

Sol. π/6 π/12 0 −101

2

∫ 3

1

1 + xex

xdx

∫ ln 2

0

ex − e−x

ex + e−xdx

∫ ee

e

dx

x lnx

∫ ex

e

ln t

tdt

Sol. ln 3 + e3 − e ln(5/4) 1 12(x2 − 1)

3

∫ 1

0

x

x+ 1dx

∫ x

0

et − 2

et + 1dt

∫ 1

0

x2 − 2

x+ 1dx

∫ π/2

−π/2cos2 t dt

Sol. 1 − ln 2 −2x + 3 ln(ex + 1) − 3 ln 2 − 12

π/2

4

∫ π/2

0

4 sinx cosx dx

∫ t

0

cos3 u du

∫ t

0

x

(x− 1)4dx

Sol. 2 − 13

sin3(t) + sin(t)(t+3)t2

6(t+1)3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 9 Intégrations par parties.Calculer les intégrales ci-dessous en intégrant par partie (on prendra soin de commencer par

déterminer, dans la fonction à intégrer, le facteur à dériver et le facteur à primitiver).

A B C D

1

∫ 1

0

x2e3x dx

∫ π/3

0

t sin(3t) dt

∫ t

1

x lnx dx

∫ π/4

0

sin t cos t dt

(t > 0)

Sol. 127

(5e3 − 2) π/9 14(2t2ln(t) − t2 + 1) 1

4

2

∫ √2/2

0

arcsinx dx

∫ e

1

ln t dt

∫ 1

0

eu cos(2u) du

∫ 1

0

ln(1 + x2) dx

Sol.√

28π +

√2

2− 1 1 1

5(cos(2)e + e sin(2) − 1) 1

2π + ln 2 − 2

3

∫ x

1

sin(ln t) dt

∫ 2

1

x2 lnx

(1 + x3)2dx

Sol. 12(−x cos(ln(x)) + x sin(ln(x)) + 1) 1

27ln(2048729

)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 10 Changements de variables


1. Calculer les intégrales suivantes.

A B C D

1

∫ 3

0

1

9 + x2dx

∫ 2

1

(lnx)2 dx

∫ π/2

π/4

sin t cos t

1− cos tdt

∫ a

1/a

x lnx

(1 + x2)2dx

(u = x/3) (u=ln x) (x = cos t) (a > 0, y = 1/x)

Sol. π12

2 ln(2)2 − 4 ln(2) + 2 − ln

(−√

22

+ 1

)−√

22

0

2. Montrer que

(a)∫ π

2

0

1

1 + sin tdt =

∫ π2

0

1

1 + cos tdt.

(b) Si f est impaire et définie sur R, alors∫ a

−af(t) dt = 0 pour tout a ∈ R.

(c) Si f est paire et définie sur R, alors∫ a

−af(t) dt = 2

∫ a

0

f(t) dt pour tout a ∈ R.

(d) Si f est T -périodique, alors

∫ a+T

a

f(x) dx =

∫ T

0

f(x) dx

pour tout a ∈ R.

(e) Interpréter géométriquement ces résultats.

3. (a) Calculer l’intégrale ∫ π/4

0

cos4 t dt

(b) En déduire la valeur de l’intégrale

∫ 1

0

dx

(1 + x2)3

(en posant t = arctanx).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 11 Déterminer les primitives des fonctions suivants. On pourra commencer par décom-poser les fractions rationnelles en éléments simples.


A B C D

1

∫dt

1 + t2

∫t

(t2 + 1)3dt

∫1

x2 − 3x+ 2dx

∫x

x3 + 9xdx

Sol. arctan t + k − 1

4(t2+1

)2 + k log (x − 2) − log (x − 1) 13

arctan(13x)

2

∫1

x2 + x+ 1dx

∫2t+ 1

t3 − tdt

∫1

t3 + 1dt

∫1

(x4 + 1)2dx

Sol. 23

√3 arctan

(13

(2 x + 1)√

3)

12

log

((t−1)3

(t+1)t2

)13

√3 arctan

(13

(2 t − 1)√

3)

+ 13

log

t+1√t2−t+1

3

∫x7

(x4 − 1)(x2 + 3)dx

∫et

e2t − 1dt

∫1

(x+ 1)(x+ a)dx

a 6= 1

Sol. 12x2 + 1

8log

√x2−1

(x2+1

)(x2+3

) 272

12

log

(et−1et+1

)(a − 1) log (x + 1) + x

Chapitre 2

Fonctions de plusieurs variables

Introduction

Une fonction de plusieurs variable est une fonction dépendant de plusieurs variables ((x, y),(y, t), (x, y, z), (x, y, z, t),...). En pratique, les fonctions de plusieurs variables offrent un outil beau-coup plus précis que les fonctions d’une variable. On va voir dans cette partie comment étudierces fonctions de plusieurs variables en se basant sur ce que l’on sait faire en dimension 1.

On verra en particulier comment généraliser la notion de dérivée en dimension supérieure etcomment l’utiliser pour déterminer par exemple les valeurs minimales et maximale d’une fonctionde plusieurs variables.

2.1 Représentation graphique (cas n = 2)

2.1.1 Définition

Dans le cas bien connu n = 1, toute fonction réelle peut être représentée par une courbe duplan. Pour cela, on commence par munir le plan d’un repère (souvent orthonormé). La courbed’une fonction f : R → R est alors l’ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)) dansce repère. L’ensemble de ces points forment la courbe d’équation y = f(x).

Dans le cas où n = 2, on a encore une représentation graphique pour les fonction R2 → Rà condition de se placer dans l’espace. On commence là encore par munir l’espace d’un repère.On peut alors représenter une fonction f : R2 → R par l’ensemble des points de l’espace decoordonnées (x, y, f(x, y)). On obtient alors une surface. C’est la surface d’équation

z = f(x, y).

Remarques :– Il s’agit bien d’une surface. Si f est définie sur R2 tout entier, on a un point au dessus de

chaque point du plan (xOy).

– Pour les fonctions d’une variable, on ne peut avoir qu’un seul point au dessus de chaquepoint de l’axe des x. Ainsi, un cercle dans le plan ne peut pas être la courbe d’une fonction.Cela reste valable en dimension supérieure. Pour n = 2, on ne peut avoir qu’un seul point audessus de chaque point du plan xOy. Ainsi, une sphère ne pourra pas être la représentationgraphique d’une fonction de deux variables.

Exemples :

21

22 CHAPITRE 2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

1. La surface associée à la fonction

f : R2 −→ R(x, y) 7−→ −x− y + 1

est un plan.


g : R2 −→ R(x, y) 7−→ x2 + y2

est un paraboloïde.


h : R2 −→ R(x, y) 7−→ sin (

√x2 + y2)

correspond à la surface d’un puis dans lequel on a jeté une pierre(au niveau du point (0, 0, 0)).

2.1.2 Lignes de niveauxPour se faire une première idée de la forme d’une surface, on peut commencer par étudier son

intersection avec des plans de l’espace (la scanner).

En étudiant par exemple son intersection avec des plans horizontaux, on obtient ses lignes deniveaux. (Ce sont par exemple les courbes que l’on retrouve sur les cartes détaillées IGN).

D’un point de vue analytique, un plan horizontal est un plan d’équation z =cste. Les courbesde niveaux d’une fonction f de variables (x, y) sont donc liées à l’équation

f(x, y) = cste

Exemples :– Sur une côte, le niveau de la mer correspond à la ligne d’équation f(x, y) = 0.– La ligne de niveau f(x, y) = 1 est la ligne de hauteur 1.– Sur la carte de France, la ligne de niveau f(x, y) = 4807m est un point. (Lequel ?)

– Pour la fonction

f : (x, y) 7→ x2 + y2

les lignes de niveaux sont des cercles.

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Exercice 12 Déterminer les lignes de niveaux des surfaces associées aux fonctions suivantes (onpourra commencer par les lignes de niveau z = 0, 2 puis h quelconque).

f(x, y) = x2 + y, g(x, y) = e−x2−y2 , h(x, y) = ln(x+ y2)

2.2. CALCUL DIFFÉRENTIEL EN DIMENSIONS SUPÉRIEURES 23

2.1.3 Plans verticaux et fonction partiellesPour se faire une idée plus précise, on peut également utiliser des plans verticaux. On peut

en particulier facilement étudier l’intersection d’une surface avec les plans d’équations x = cste ety = cste. Comme pour les lignes de niveau, on peut alors projeter ces courbes dans un même plan(le plan y0z dans le cas x = k) pour obtenir des cartes supplémentaires de la surface étudiée.

D’un point de vue analytique, les courbes obtenues par ces intersections ont des équations dela forme

z = f(x, k) ou z = f(k, y).

Les fonctionsx 7→ f(x, k) et y 7→ f(k, y)

sont les fonctions partielles de f . On peut ainsi associer deux fonctions partielles à chaque pointP0 = (x0, y0, f(x0, y0)) de la surface :

ϕ : x 7→ f(x, y0) et ψ : y 7→ f(x0, y).

Les courbes associées sont les deux courbes de Sf qui se croisent en P0 parallèlement aux axes(Ox) et (Oy).

Exemples :

1. L’intersection de la surface d’équation z = −x2

4− y2 + 2 avec les plans d’équations y = k

donne les courbes d’équations

z = −x2

4− k2 + 2.

On reconnaît des paraboles de hauteurs différentes.

2. Les fonctions partielles de la fonction f : (x, y) 7→ x2ey sont

ϕ(x) = ey0x2 et ψ(y) = x20ey.

On reconnaît des paraboles dans le premier cas et des courbes exponentielles dans l’autre.

On peut généraliser la notion de fonctions partielles en dimensions supérieures, même si l’onperd la notion de représentation graphique. Ainsi, si f est une fonction de n variables (x1, . . . , xn),les fonctions partielles de f associées à un point P0 = (x0

1, . . . , x0n) du domaine de f sont les

fonctionsϕi : x 7→ f(x0

1, . . . , x0i−1, x, x

0i+1, . . . , x

0n).

Note : ceux sont des fonctions d’une seule variable. On peut donc les étudier avec les outilsde l’analyse en dimension 1 (courbes, dérivées, intégrales,...).

On va voir dans ce qui suit que les outils d’analyse en dimension 1 peuvent également s’adapteren dimensions supérieures pour permettre l’étude détaillée des fonctions de plusieurs variables (etleurs représentations graphiques le cas échéant).

2.2 Calcul différentiel en dimensions supérieuresÀ partir des différentes notions vues plus haut, on peut construire des outils d’analyse pour

étudier en détails les variations de la fonction f et de sa surface Sf . Ces outils sont les mêmesqu’en dimension 1.


2.2.1 Rappels en dimension 1En dimension 1, la dérivée d’une fonction f de variable x (ou d’une fonction y de variable t)

est définie par la limite

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

Le signe de f ′(x) donne le sens de variation de f et les valeurs de x pour lesquelles f ′(x) = 0permettent de déterminer les valeurs extrémales de f(x) : si x0 est un point tel que f ′(x0) = 0, lacourbe de f admet une tangente horizontale. Cela peut donc être un maximum, un minimum ouni l’un ni l’autre.

L’étude de la dérivée seconde f ′′ de f en x0 permet d’en déterminer la nature :– si f ′′(x0) > 0, le point f(x0) est un minimum (local) de f ,– si f ′′(x0) < 0, le point f(x0) est un maximum (local) de f ,– si f ′′(x0) = 0, on ne sait pas. Il faut étudier la dérivée troisième f ′′′(x0).

Exemple : la fonction f : x 7→ x3 − x2 a pour dérivée

f ′(x) = 3x2 − 2x

admet une tangente horizontale au points d’abscisses x0 = 0 et x0 = 23 . La dérivée seconde de f

estf ′′(x) = 6x− 2.

– Au point d’abscisse x0 = 23 , on a

f ′′(

2

3

)= 2 > 0.

La valeur f(

23

)est donc un minimum local de f .

– Au point x0 = 0, on a f ′′(0) = 0. il faut donc calculer la valeur de f ′′′(0) pour avoir la naturede l’extremum f(0).

2.2.2 Dérivées en dimensions supérieuresEn dimensions supérieures, on peut de définir la notion de dérivées pour chacune des variables.

On parle alors de dérivées partielles, notées ∂. Ainsi, pour une fonction f de deux variables x et y,on a

∂f

∂x(x, y) = lim

h→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

∂f

∂y(x, y) = lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

De façon générale, pour une fonction f de n variables (x1, . . . , xn), on a pour toute variable xi :

∂f

∂xi=f(x1, . . . , xi + h, . . . , xn)− f(x1, . . . , xn)

h

D’après les définitions vues plus haut, les dérivées partielles sont les dérivées des fonctions

partielles. D’un point de vue géométrique, la dérivée partielle∂f

∂x(x, y) représente la variation de

la surface Sf au point (x, y, f(x, y)) dans la direction de l’axe (Ox). De même, la dérivée par-

tielle∂f

∂y(x, y) donne la variation de Sf en (x, y) dans la direction (Oy).

Enfin, si les limites définies plus haut existent en chaque point (x, y), on peut définir les fonc-

tions dérivées partielles∂f

∂xiqui sont à leur tour des fonctions de plusieurs variables (les mêmes


variables de f) et que l’on peut dériver à leur tour par rapport à chacune de ces variables. Onobtient ainsi les dérivées partielles seconde, troisièmes, etc.

En dimension 2, on a ainsi 4 dérivées partielles secondes :

∂2f

∂x2=

∂

∂x

(∂f

∂x

)∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(∂f

∂y

)

∂2f

∂y∂x=

∂

∂y

(∂f

∂x

)∂2f

∂y2=

∂

∂y

(∂f

∂y

)

Notons qu’en toute généralité, les dérivées partielles croisées∂2f

∂x∂yet

∂2f

∂y∂xsont différentes.

Cependant, on peut montrer que dans la plupart des cas, elles sont égales.

Enfin, en pratique, pour calculer la dérivée partielle de f par rapport à une variable xi, onconsidère toutes les autres variables comme des constantes et l’on utiliser les formules de dérivationque l’on connaît en dimension 1.

Exemple : si f(x, y) = 2x2 + 3xy2 − y2, on a

∂f

∂x(x, y) = 4x+ 3y2 et

∂f

∂y(x, y) = 6xy − 2y

et∂2f

∂x2(x, y) = 4,

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) = 6y,

∂2f

∂y2(x, y) = 6x− 2.

2.2.3 Recherche d’extrema en dimensions supérieures

Comme en dimension 1, les dérivées partielles d’une fonction f de plusieurs variables per-mettent de déterminer les valeurs extrémales d’une fonction f dépendant de ces variables. Ainsi,en dimension 2, les points (x, y) tels que

∂f

∂x(x, y) =

∂f

∂y(x, y) = 0

appelés points critiques de f sont les points de Sf admettant un plan tangent horizontal. Un telpoint correspond alors à :

un maximum (un dôme) un minimum (un bol) ni l’un ni l’autre (un col ou un point selle).

Et là encore, l’étude des dérivées partielles secondes permet de déterminer la nature des pointscritiques, bien que la méthode soit plus complexe qu’en dimension 1. Précisément :

Si (x0, y0) est un point critique de f , on a

∂f

∂x(x0, y0) =

∂f

∂y(x0, y0) = 0


Pour déterminer la nature de ce point critique, on note

r =∂2f

∂x2(x0, y0), s =

∂2f

∂x∂y(x0, y0), t =

∂2f

∂y2(x0, y0),

et la nature du point (x0, y0) est donnée par le signe de la quantité s2 − rt. Précisément :

– si s2 − rt < 0, (x0, y0) est un extremum et– si r > 0, c’est un minimum,– si r < 0, c’est un maximum,

– si s2 − rt > 0, (x0, y0) est un point selle,

– si s2−rt = 0, on ne peut rien dire. Il faut alors étudier les dérivées partielles troisièmes de f .

Enfin, en dimensions supérieures, on peut également définir les points critiques d’une fonction fdépendant des variables (x1, . . . , xn) comme étant les points (x1, . . . , xn) tels que toutes les dérivées

partielles∂f

∂xi(x1, . . . , xn) sont nulles. Les extrema de la fonction f se trouvent alors parmi ces

points. Pour étudier la nature de ces points critiques, il faut encore faire appel aux dérivéespartielles secondes de f , mais les formules sont bien plus lourdes qu’en dimension 2 (en particulierparce qu’une fonction de n variables possède n dérivées partielles premières et n2 dérivées partiellessecondes.

2.2.4 Gradient

Étant donnée une fonction f de deux variables (x, y) on appelle gradient de f l’opérateur

∇f =

(∂f

∂x,∂f

∂y

)Ainsi, à chaque point de plan, l’opérateur ∇f associe le vecteur

∇f(x, y) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)D’un point de vue géométrique, le gradient de f permet donc de définir un champs de vecteur

dans le plan (xOy). Précisément, en chaque point du plan (xOy), on plante le vecteur ∇f(x, y).

Exemple : soit f(x, y) = x2 + y2. Lesdérivées partielles de f sont

∂f

∂x(x, y) = 2x,

∂f

∂y(x, y) = 2y.

En chaque point (x, y) du plan (xOy),on place donc le vecteur (2x, 2y). Celadonne le champs de vecteurs ci-contre.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2


On peut alors montrer que chacun des vecteurs ∇f(x, y) indique la ligne de plus grande pentesur la surface Sf au point (x, y) ou encore la direction dans laquelle la fonction f varie le plusrapidement. D’un point de vue analytique, cela signifie qu’en chaque point (x, y), le gradient∇f(x, y) est perpendiculaire à la ligne de niveau qui passe par (x, y).

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

2.2.5 Exercices

Exercice 13 Déterminer et dessiner le domaine de définition des fonctions suivantes :

f1 : R2 −→ R(x, y) 7−→

√1− xy

f2 : R2 −→ R(x, y) 7−→

√(1− x)(1− y)

f3 : R2 −→ R

(x, y) 7−→ ln(y − x)

x

f4 : R2 −→ R(x, y) 7−→

√x2 + y2 − 4

f5 : R2 −→ R(x, y) 7−→ ln(x2 − y2)

f6 : R2 −→ R

(x, y) 7−→ 1√x2 + y2 − 1

+√

4− x2 − y2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 14 On considère la surface Sf associée à la fonction f : (x, y) 7→ x2 − y2 (dite selle decheval) et ses lignes de niveau associées aux hauteur h = −5, ..., 5.


x

y

z

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Figure 1 Figure 2

1. Déterminer sur la figure 2 les lignes de niveaux correspondant aux hauteurs h = −5,−1, 0, 2.

2. Quelle semble être la nature de ces courbes de niveaux ?

3. Confirmer l’impression précédente à l’aide de l’équation z = f(x, y) de la surface Sf .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 15 Déterminer les courbes de niveaux des fonctions suivantes, pour les altitudes hdonnées :

g1 : R2 −→ R(x, y) 7−→

√x2 + y2

, h = −1, 0, 1, 2g2 : R2 −→ R

(x, y) 7−→ y

xh = −1, 0, 1, 2

g3 : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x2 − 2x+ y

x2

, h = 0, 1, 2g4 : R2 −→ R

(x, y) 7−→ ln(x2 − y), h ∈ R

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 16 1. Soitϕ1 : (x, y) 7−→ sinx+ y2

(a) Déterminer les fonctions partielles de ϕ1 associées à un point (x0, y0) du plan.

(b) Tracer quelques unes de ces courbes.

(c) Esquisser une allure de la surface associée à ϕ1.

2. Faire de même pour les fonctions ϕ2 : (x, y) 7→ (sinx)y et ϕ3 : (x, y) 7→ e−x2−y2 .

Quelles sont les lignes de niveau de la fonction ϕ3 ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 17 La figure ci-dessous est une carte du relief d’une presqu’île : le contour extérieur(en gras) est la ligne de niveau 0 (bord de mer). L’équidistance des lignes de niveau est de 25 mètres.


-3

-2

-1

1

2

3

0.8 1.6 2.4-0.8-1.6-2.4

Un plaisancier mouillant dans la baie située au sud de la presqu’île voudrait franchir la presqu’îlepour rejoindre la côte nord, en se dirigeant toujours droit vers le nord.

1. Partie graphique.

(a) Dessiner dans le repère 4 le profil du relief le long des itinéraires sud-nord correspondantaux latitudes x = −1.2 et x = 0.

(b) Estimer l’altitude du point culminant de chacun de ces itinéraires.(c) Estimer la latitude `min de l’itinéraire offrant le plus petit dénivelé.(d) Estimer l’altitude amin du point culminant de cet itinéraire.

2. Confrontation avec le calcul.En fait le profile de l’île correspond à la fonction f définie par

f(x, y) = −x3

3− xy − y2 + x+

3

2

(les altitudes étant exprimées en centaines de mètres).

(a) Pour une latitude ` fixée, déterminer la fonction partielle de f associée à l’itinérairesud-nord I` correspondant.

(b) Montrer par le calcul que le point culminant de I` est atteint en y = − `2 .

(c) Que dire de la courbe contenue dans le plan vertical d’équation y = −x2 ?(d) Déterminer les valeurs exactes de `min et amin.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?


Exercice 18 1. Calculer les dérivées partielles premières des fonctions suivantes.

f1(x, y) = x3 + 2x2y f2(x, y) =y

xf3(x, y) = 2xye(x2−y2)

f4(x, y, z) =x2 + y2

1 + z2f5(x, y, z) = x2y + yz2 + x2z2

f5(x, y) = arctan(yx

)2. Calculer les dérivées partielles secondes des fonctions f1 et f2 ci-dessus.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 19 1. Pour chacune des fonctions ci dessous, déterminer le point critique et donnersa nature.

g1(x, y) = x2 + xy + y2 g2(x, y) = −x2 + 3xy − 2y2 − 4x+ 5y − 3

2. Soitg3 : (x, y) 7→ 4x2 − 4xy + y2.

(a) Montrer que l’ensemble des points critiques est une droite.(b) Calculer s2 − rt pour chacun des points de la droite. Que dire ?(c) Montrer qu’en chaque point de la droite, la fonction g3 est nulle.(d) En factorisant g3(x, y) par x2, montrer que g3(x, y) > 0 pour tout (x, y) du plan.(e) En déduire la nature des points critiques de g3.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 20 Soitf(x, y) = ln(1 + x2 + y2)

1. Calculer les dérivées partielles de f .2. En déduire l’unique point critique P0 de Sf .3. Calculer les dérivées partielles secondes de f et leurs valeurs en P0.4. En déduire la nature de P0.5. Déterminer les lignes de niveaux de Sf .6. Faire une esquisse de Sf .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 21 On note f la fonctions définie par

f : R2 −→ R(x, y) 7−→ xy e−2x2−2y2

et Sf sa surface dans un repère orthonormé R = (O ; ~i,~j,~k).

2.3. CALCUL INTÉGRAL EN DIMENSIONS SUPÉRIEURES 31

1. Montrer que les points critiques de f sont

P0 = (0, 0), P1 =

(1

2,

1

2

), P2 =

(−1

2,−1

2

), P3 =

(−1

2,

1

2

), P4 =

(1

2,−1

2

).

2. Déterminer la nature des points P1, P2, P3, P4. Que dire du point P0 ?3. Pour déterminer la nature du point P0, on va étudier l’intersection de Sf avec des plans

verticaux contenant P0.(a) Que dire de l’intersection de Sf avec les plans d’équations x = 0 et y = 0 ?

On note désormais C1 la courbe donnée par l’intersection de Sf et le plan d’équationy = x et C2 l’intersection de Sf et le plan d’équation y = −x.

(b) Donner les fonctionsϕ1 : R→ R et ϕ2 : R→ R

respectivement associées à C1 et C2.(c) Étudier ces fonction et donner l’allure de C1 et C2.(d) En déduire la nature du point critique P0.

2.2.6 Champs de vecteursDe façon générale, on appelle champs de vecteurs une fonction de plusieurs variables à plusieurs

coordonnées. Ainsi, un champs de vecteurs du plan est

F : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (f1(x, y), f2(x, y))

Intuitivement, une telle fonction permet de “planter” en chaque point (x, y) du plan un vec-teur ~v(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)).

Les fonctions f1 et f2 (qui sont des fonctions de plusieurs variables au sens défini plus haut)sont appelées les fonctions coordonnées. L’étude de la fonction F passe par l’étude de ces fonctionscoordonnées. Notons en particulier que les variations d’un champs F de ce type sont résuméesdans son gradient (qui est alors une matrice) :

∇F =

∂f1

∂x(x, y)

∂f1

∂y(x, y)

∂f2

∂x(x, y)

∂f2

∂y(x, y)

2.3 Calcul intégral en dimensions supérieures

Le principe du calcul intégral en dimensions supérieures est le même qu’en dimension 1 : ilpasse par la connaissance de primitives pour les fonctions que l’on souhaite intégrer.

Pour cela, on traite les variables une par une, les autres étant considérées comme des paramètresconstants.

2.3.1 Interprétation géométriqueEn dimension 2, il es possible de donner une interprétation géométrique au calcul intégral.

Ainsi, si f est une fonction de deux variables (x, y) et D est une partie du plan (xOy), on a vuqu’il était possible d’associer à f une surface Sf de l’espace au dessus du domaine D. L’intégralede f sur ce domaine, notée

I =

∫∫D

f(x, y)dxdy

donne alors la mesure du volume de l’espace coincé entre le domaine D et la surface Sf :


DComme en dimension 1, il s’agit ici de volumes algébriques : les parties situes “sous” le do-

maine D (z < 0) sont comptées négativement.

2.3.2 Domaines d’intégrationLa principale difficulté concernant le calcul intégral en plusieurs variable porte sur le domaine

sur lequel on souhaite intégrer. En dimension 1, il s’agit de l’intervalle [a, b] le long duquel évoluela variable d’intégration ; les bornes de cet intervalle donnant les bornes d’intégration.

En dimension 2 (et plus), la première étape consiste à décrire correctement afin de faire appa-raître les différentes bornes d’intégration.

Ainsi, les domaines les plus simples sur lesquels intégrer sont les rectangles (ou les parallélépi-pèdes en dimension 3) :

D

a bc

d

D = (x, y) ∈ R2 / a 6 x 6 b, c 6 y 6 d = [a, b]× [c, d]

L’intégration d’une fonction f de deux variables (x, y) sur un tel domaine s’écrit alors

I =

∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx.

En pratique, on commence donc par calculer l’intégrale en y :∫ d

c

f(x, y)dy dans laquelle x est

traitée comme une constante. Le résultat de ce premier calcul est une fonction de x (il n’y a plusde y), que l’on intègre sur l’intervalle [a, b].

Note : les quatre bornes étant ici constantes, il est possible de commencer par la variable deson choix :

I =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy.


Sur le même principe, il est possible d’intégrer des fonctions de deux variables sur des domainesde la forme

a b

y=φ2(x)

y=φ1(x)

D

D = (x, y) ∈ R2 / a 6 x 6 b, ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x).

Sur un domaine de ce type, l’intégrale d’une fonction f de deux variables (x, y) s’écrit :

I =

∫∫D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

(∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy

)dx.

Notes :

– Dans l’intégrale∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy, la variable x est encore traitée comme une constante.

– Contrairement au cas précédent, l’ordre dans lequel on traite les variables est ici imposé. Ondoit commencer par l’intégrale en y.

– On peut élargir cette méthode aux domaines de la forme

c

dx=ψ2(y)x=ψ1(y)

D

D = (x, y) ∈ R2 / c 6 y 6 d, ψ1(y) 6 x 6 ψ2(y)

mais il est nécessaire qu’au moins l’une des variables soit encadrée par des constantes.

2.3.3 Changements de variablesComme en dimension 1, il est possible d’effectuer des changements de variables dans les inté-

grales multiples. Là encore, cette méthode ne permet pas de calculer une intégrale donnée, maisla transforme en une intégrale calculable.

En pratique, un changement de variables en dimension supérieure est formalisé par un champsde vecteurs. Ainsi, en dimension 2, un changement (x, y) ; (u, v) est

Φ : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ Φ(x, y) = (u(x, y), v(x, y))

Et comme tout changement de variables, il doit être “réversible” :

Φ−1 : R2 −→ R2

(u, v) 7−→ Φ−1(u, v) = (x(u, v), y(u, v))

En pratique, pour effectuer un tel changement de variable dans une intégrale double, il faut


– décrire le domaine d’intégration à l’aide des nouvelles variables (avec au moins l’une desnouvelles variables encadrée par des constantes),

– remplacer les anciennes variables par les nouvelles dans la fonction à intégrer,– remplacer l’élément différentiel dxdy par |Jac(u, v)|dudv où Jac(u, v) est le déterminant dela matrice

J(u, v) =

∂x

∂u(u, v)

∂x

∂v(u, v)

∂y

∂u(u, v)

∂y

∂v(u, v)

Note : on reconnaît ici le gradient de la fonction Φ−1.

2.3.4 ExercicesExercice 22 1. Calculer l’intégrale

I =

∫∫R

dxdy

où R est le rectangle [a, b]× [c, d]. Que représente cette intégrale ?2. Calculer l’intégrale

J =

∫∫D

(1 + x)dxdy

où D = [0, 1]× [0, 2].Donner une représentation géométrique de la situation.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 23 Intégrer chacune des fonctions suivantes sur les domaines associés. On commencerapar dessiner le domaine Di dans le plan (xOy).

f1(x, y) = y − x, D1 = (x, y) ∈ R2 / 0 6 x 6 y 6 1

f2(x, y) = x, D2 = (x, y) ∈ R2 / x > −1, 1 6 y 6 2, xy 6 1

f3(x, y) = e−(x+y), D3 = (x, y) ∈ R2 / x > 0, y > 0, x+ y 6 a (a > 0)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 24 On se place dans l’espace muni d’un repère R = (O,~i,~j,~k).

1. Calculer I =

∫∫D

(xy − 1) dxdy où D est le triangle de sommets

A = (0,−1, 0), B = (0, 1, 0), C = (2, 0, 0).

2. Calculer I =

∫∫D′

√2x− y + 2 dxdy où D′ est le triangle de sommets

A = (−1, 0, 0), B = (1, 0, 0), C = (0, 2, 0).

3. Calculer∫∫T

sin(x+ y) dxdy où T est trapèze de sommets

S1 = (π, 0, 0) , S2 = (2π, 0, 0), S3 = (0, 2π, 0), S4 = (0, π, 0).


? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 25 1. Retrouver, à l’aide d’un changement de variables en coordonnées polaires,l’aire du disque de rayon R.

2. À l’aide du changement de variablesx = a.r cos θy = b.r sin θ

déterminer l’aire du domaine du plan délimité par l’ellipse d’équation

x2

a2+y2

b2= 1.

Chapitre 3

Équations différentielles

IntroductionLes équations différentielles sont l’outil principal permettant de modéliser le mouvement. En

effet, une équation différentielle est une équation liant une fonction et ses dérivées. Or les loisde la physique sur le mouvement donnent l’accélération (i.e. la dérivée seconde de la position)d’un objet, d’une particule,... en fonction des forces qui agissent dessus. Ces forces sont souventfonctions de la vitesse de l’objet (forces de frottement) et/ou de sa position (tension d’un ressort,champs magnétique,...). Si l’on parvient à résoudre de façon exacte les équations ainsi obtenues,on peut connaître la position de l’objet que l’on étudie à chaque instant.

Note : si l’étude porte sur un objet de l’espace, les xi sont ses coordonnées (cartésiennes,polaires, sphériques,...) mais on peut de même modéliser tout système évolutif dont les différentsétats peuvent être donnés par des variables quantifiables.

Á l’aide des équations différentielles, on peut ainsi modéliser le mouvement d’un pendule, lachute d’un corps dans l’atmosphère, l’évolution d’une population, la déformation d’une poutre,l’évolution de la bourse,...

En pratique, on commence par représenter les quantités qui nous intéressent par des fonctions.Les lois (physiques ou autres) produisent des équations différentielles liant ces fonctions à leursdérivées. Si l’on parvient à résoudre ces équations différentielles, on obtient alors une forme expli-cite pour les fonctions qui nous intéressent. Les outils de calcul différentiel nous permettent alorsd’étudier en détails ces fonctions et donc les variations des quantités qu’elles représentent.

Note :il existe en réalité très peu d’équations différentielles que l’on sait résoudre de façonexactes. Elles sont en général issues de modèles simples, qui donnent une première idée du com-portement de l’objet étudié.

On va d’autre part ne s’intéresser ici qu’à un certain type d’équations que l’on sait résoudre :les équations différentielles linéaires.

3.1 DéfinitionsUne équation différentielle portant sur une fonction y de variable t est une équation liant la

fonction inconnue y et ses dérivées. Une telle équation est dite linéaire si elle est de la forme

(E) : an(t)y(n) + an−1(t)y(n−1) + . . .+ a1(t)y′ + a0(t)y = f(t)

Les fonctions ai(t) sont les coefficients de l’équation et la plus haute dérivée intervenant dansl’équation est l’ordre de l’équation.

37

38 CHAPITRE 3. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La fonction f est appelée le second membre et si cette fonction est nulle, l’équation est ditehomogène. Les équations homogènes jouent un grand rôle dans la résolution des équations diffé-rentielles linéaires.

D’autre part, on va ici se contenter d’étudier le cas où les coefficients ai(t) de l’équation sontdes constantes. Ainsi, on s’intéressera à des équations de la forme

(E) : any(n) + an−1y

(n−1) + . . .+ a1y′ + a0y = f(t)

où a0, . . . , an sont des nombres connus et f est une fonction connue.

3.2 Équations homogènes

3.2.1 Méthode de résolutionOn va dans un premier temps voir comment résoudre une équation différentielle à coefficients

constants, homogène. C’est-à-dire une équation de la forme

(H) : any(n) + an−1y

(n−1) + . . .+ a1y′ + a0y = 0

Ordre 1. Une équation différentielle homogène d’ordre 1 à coefficients constants est une équationde la forme

αy′ + βy = 0

que l’on écrit en général sous la forme

y′ − ay = 0 (avec a = −βα

)

On peut montrer que les solutions de l’équation ci-dessus sont les fonctions de la forme

y : t 7→ λeat, λ quelconque.

(Exercice : montrer que ces fonctions vérifient toutes l’équation voulue).

Ordre n. Pour un ordre quelconque, on peut montrer que les solutions d’une équation de laforme

(H) : any(n) + an−1y

(n−1) + . . .+ a1y′ + a0y = 0

sont données par le polynôme caractéristique de l’équation :

P (X) = anXn + an−1X

n−1 + . . .+ a1X + a0.

Précisément, P (X) est un polynôme de degré n. Il a donc n racines complexes α1, . . . , αn de sorteque

P (X) = an(X − α1)(X − α2) · · · (X − αn)

Si toutes ces racines sont différentes, on peut montrer que l’ensemble des solutions de l’équationassociée à P sont de la forme

y : t 7→ λ1eα1t + λ2e

α2t + . . .+ λneαnt, λi quelconques.

Si certaines racines du polynôme P sont multiples, l’un des facteurs de P s’écrit (X − α)r. Il fautalors remplacer dans l’expression ci-dessus le terme λeαt par les termes

β0eαt + β1te

αt + . . .+ βr−1tr−1eαt.

Notes :

3.2. ÉQUATIONS HOMOGÈNES 39

– Dans tous les cas, la solution générale d’une équation homogène d’ordre n s’exprime commela somme de n fonctions exponentielles multipliées par une constante que l’on peut choisircomme on veut.

– Si certaines racines de P sont complexes, on a des exponentielles complexes, qui peuvents’écrire sous forme de sinus et de cosinus.

Exemples :– Pour les équations d’ordre 1, on retrouve le résultat donné plus haut : le polynôme caracté-ristique d’une équation de la forme y′ = ay est le polynôme P (X) = X − a dont l’uniqueracine est a. Les solutions sont donc les fonctions de la forme y : t 7→ λeat.

– Pour les équations d’ordre 2 de la forme ay′′+by′+cy = 0, le polynôme caractéristique est unpolynôme de degré 2 : P (X) = aX2 +bX+c. La formule du ∆ nous permet donc de calculerles racines de P et de donner les solutions de l’équation en fonction de ses coefficients. Onpeut alors distinguer les cas suivants :

1. Si ∆ = b2−4ac est non nul, le polynôme P admet deux racines α1 et α2 distinctes. Lessolutions de l’équation associée à P sont donc les fonctions de la forme

y : t 7→ λ1eα1t + λ2e

α2t, λ1, λ2 quelconques.

2. Si ∆ = 0, le polynôme P admet une seule racine (double) α0. Les solutions de l’équationassociée à P sont donc les fonctions de la forme

y : t 7→ λ1eα0t + λ2te

α0t, λ1, λ2 quelconques.

Note : dans le cas où ∆ < 0, les deux racines α1 et α2 de P sont complexes conjuguées.On peut alors réécrire les solutions de l’équation différentielle en fonction de sinus etcosinus. Les équations à ∆ < 0 apparaissent donc naturellement dans la modélisationde systèmes oscillants.

3.2.2 Exercices

Exercice 26 Donner l’ensemble des solutions des équations suivantes. On donnera dans chaquecas la limite des solutions y(t) quand t→ +∞.

(E1) : y′ − y = 0 (E2) : y′ − 2y = 0

(E3) : y′ + 12y = 0 (E4) : y′ + a2y = 0

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 27 Pour chacune des équations ci-dessous,

1. déterminer le polynôme caractéristique,

2. déterminer les racines de ce polynôme caractéristique,

3. en déduire les solutions de l’équation sous forme d’une somme d’exponentielles.

(E1) : y′′ − 3y′ + 2y = 0 (E2) : y′′ + 2y′ + 2y = 0

(E3) : y′′ − y = 0 (E4) : y′′ + 4y′ + 4y = 0

(E5) : y′′′ − y′ = 0 (E6) : y′′′ − y′′ − y′ + y = 0


3.3 Équations complètes (avec second membre)

3.3.1 Méthodes de résolutionConsidérons maintenant une équation de la forme

(E) : any(n) + an−1y

(n−1) + . . .+ a1y′ + a0y = f(t)

où a0, . . . , an sont des nombres connus et f est une fonction connue.

Pour trouver les solutions de l’équation (E), on commence par chercher les solutions de l’équa-tion homogène associée (obtenue en remplaçant f(t) par 0) à l’aide de la méthode ci-dessus.

Une fois que l’on connaît toutes les solutions yh de l’équation homogène associée à (E), ilnous suffit d’UNE solution yp de l’équation complètes. Toutes les solutions de l’équation complètes’écrivent alors sous la forme

y : t 7→ yh(t) + yp(t).

La difficulté consiste donc à trouver une solution de l’équation complète.

Il existe principalement deux méthode permettant de trouver cette solution particulière :

– Dans un premier temps, on peut chercher une solution particulière qui a la même forme quele second membre f(t). Ainsi, si f(t) est une constante, on cherche yp(t) sous la forme d’uneconstante. On pose donc yp(t) = k et on introduit cette forme dans l’équation. On obtientalors des conditions sur la constante k pour que cette fonction soit solution.

De façon générale, si f(t) est un polynôme, on cherche yp(t) sous la forme d’un polynômede même degré. En introduisant ce polynôme dans l’équation, on obtient des conditions surles coefficients de ce polynôme pour que yp vérifie l’équation (E).

Note : en général, on commence par chercher yp comme un polynôme de même degré quef(t). Si cette méthode n’aboutit pas, on augment le degré du polynôme cherché.

Enfin, il existe d’autres formes pour yp en fonction de la fonction f (exponentielles, sinus,cosinus,...).

– Si la méthode “à l’instinct” n’aboutit pas, on peut, pour les équations d’ordre 1, on peututiliser la méthode de variation de la constante. Cela consiste à l’inspirer de la forme λeatdes solutions de l’équation homogène pour trouver yp. Précisément, on cherche yp sous laforme

yp(t) = λ(t)eat

(on fait varier, dans yp la constante de yh). En introduisant cette forme dans l’équationcomplète, on trouve une condition sur λ′(t). Si l’on peut intégrer cette condition, on obtientλ(t) et la fonction [t 7→ λ(t)eat] est la solution particulière cherchée.

3.3.2 ExercicesExercice 28 Déterminer l’ensemble des solutions de chacune des équations suivantes. On com-mencera par résoudre l’équation homogène associée, puis on cherchera une solution particulière auyp de la solution complète en s’appuyant sur la forme du second membre.

(E1) : y′′ − 3y′ + 2y = 1 (E2) : y′′ + 2y′ + 2y = e−t

(E3) : y′′ − 2y′ + y = t2 (E4) : y′′ − y = t− 1

3.4. CONDITIONS INITIALES ET SOLUTION UNIQUE 41

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 29 Déterminer l’ensemble des solutions de chacune des équations suivantes. On com-mencera par résoudre l’équation homogène associée, puis on cherchera une solution particulière auyp de la solution complète à l’aide de la méthode de variation de la constante.

(E1) : y′ − 2y = sin t (E2) : y′ + y = t+ 1 (E3) : y′ − a2y =ea

2t

a2 + t2

3.4 Conditions initiales et solution unique

3.4.1 Position du problème

D’après ce que l’on vient de voir, les solutions d’une équation linéaire d’ordre n s’exprimenten fonction de n constantes (les λi) que l’on peut choisir comme on le veut pour construire unesolution de l’équation donnée. Si l’on ajoute au problème n contraintes supplémentaires, il n’existealors plus qu’une solution au problème global. Ces n contraintes portent en général sur les valeursde la solution y et ses dérivées à t = 0 (on appelles ces contraintes des conditions initiales (C.I.)quand la variable t représente le temps).

Pour résoudre un problème (Équation + C.I.), on commence par chercher toutes les solutionsde l’équation. On obtient une fonction générale y dépendant de n contraintes. En appliquant lesC.I. à la solution générale trouvée, on obtient des conditions sur les constantes λi. En résolvant lesystème ainsi obtenu, on détermine l’unique solution répondant au problème.

Note : dans le cas des équations d’ordre 2 correspondant à des polynômes dont le ∆ est négatif,on pourra écrire la solution unique du problème (Équation + C.I.) à l’aide des fonctions sinus etcosinus, en utilisant la notation complexe de ces fonctions :

cos(x) =eix + e−ix

2, sin(x) =

eix − e−ix

2i.

3.4.2 Exercices

Exercice 30 Résoudre les problèmes aux conditions initiales ci dessous.

(P1) :

y′′ + 2y′ − 2y = 0y(0) = 0, y′(0) = 1

(P2) :

y′′ + 4y = 0y(0) = 0, y′(0) = 1

(P3) :

y′′ + 4y′ + 4y = t2 − 1y(0) = 1

8 , y′(0) = 1

(P4) :

y′′ + y = sin(2t),y(0) = 0, y′(0) = 0

(P5) :

y′′ + y = sin(t),y(0) = 0, y′(0) = 0

Notes :– Si le polynôme caractéristique admet des racines complexes, on exprimera l’unique solutiondu problème à l’aide des fonctions sinus et/ou cosinus).

– Dans chaque cas, on étudiera le comportement de la solution trouvée quand t→ +∞.– Pour le problème (P4), on cherchera une solution particulière de l’équation complète sous laforme yp(t) = α sin(2t).

– Pour le problème (P5), on cherchera une solution particulière de l’équation complète sous laforme yp(t) = αt sin(t) + βt cos(t).


? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 31 Soit(P ) :

y′′ + 3y′ + x+ ex = 0, (E)y(0) = 1, y′(0) = − 5

36 (C.I.)

1. Déterminer les solutions de l’équation homogène associée à (E).2. Déterminer une solution particulière yp1 de l’équation

(E1) : y′′ + 3y′ = −x.

3. Déterminer une solution particulière yp2 de l’équation

(E2) : y′′ + 3y′ = −ex.

4. Montrer que yp = yp1 + yp2 est une solution de l’équation (E).5. En déduire les solutions de (E).6. Déterminer, parmi les solutions de (E) l’unique solution respectant les conditions initiales

(C.I.).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 32 On considère le plan muni d’un repère orthonormé R = (O ; i, j).

Dans R, on considère un pendule attaché à une corde dont l’une des extrémités est fixée en O.

À l’équilibre, le pendule est immobile sous le point O.

À l’instant t = 0, on décale le pendule de la verticale d’un petit angle θ0 et on le lâche sansvitesse initiale.

Pour tout t > 0, on repère la position du pendule par l’angle θ(t) que fait la corde avec laverticale.

Les lois de la physique produisent l’équation différentielle suivante :

(E) : θ′′ + θ′ + sin(θ) = 0

1. Faire un dessin du système à t = 0.2. L’équation (E) est-elle linéaire ? Justifier.3. En supposant que θ(t) reste petit si θ0 est petit, transformer l’équation (E) en une équation

linéaire à l’aide du D.L. de la fonction sinus en 0.4. Résoudre l’équation linéaire associées aux conditions initiales données par l’énoncé et décrire

le mouvement du pendule.

3.5 Équations aux dérivées partielles (EDP)Il est possible de généraliser la notion d’équation différentielle aux fonctions de plusieurs va-

riables. Ainsi, on appelle équation aux dérivées partielles une équation liant une fonction de plu-sieurs variables à ses dérivées partielles.

En pratique, les EDP constituent l’étape suivante dans la modélisation des modèles physiques.Cependant, les méthodes de résolution de telles équations sont trop complexes pour être abordéesici, et ne recouvrent qu’une infime partie des EDP rencontrées dans la réalité. Elles sont donc laplupart du temps résolues de façon approchées.

Chapitre 4

Algèbre linéaire

IntroductionDe nombreux problèmes physiques et mathématiques peuvent s’exprimer en termes d’algèbre

linéaire (géométrie vectorielle, équations différentielles, systèmes dynamiques, etc...). L’outil debase en algèbre linéaire est le calcul matriciel. En étudiant en détail les matrices et leurs opéra-tions, on constate qu’ils permettent de modéliser très fidélement des systèmes complexes et onobtient des règles de calculs qui nous permet globalement de manipuler les matrices comme desnombre : résoudre des équations, faire des polynômes, des séries...

On va rappeler dans un premier temps quelques résultats fondamentaux concernant le calculmatriciel et l’algèbre linéaire puis on verra comment utiliser ces outils pour transformer les matricesqui apparaissent dans nos problèmes en des matrices plus simples (diagonales).

4.1 Calcul matriciel

4.1.1 DéfinitionUne matrice est un tableau de chiffres. Les éléments d’une matrice sont appelés coefficients.

C’est la position d’un coefficient qui détermine son rôle dans le système modélisé.Soit M une matrice. Les caractérisitiques fondamentales de M sont :– son nombre de lignes (traditionnellement noté m),– son nombre de colonnes (traditionnellement noté n).La position d’un coefficient est donc donnée par le numéro de la ligne et celui de la colonne

auxquelles il appartient. De façon générale, on le note aij , i étant le numéro de la ligne et j celuide la colonne.

Sous sa forme générale, une matrice A dont les coefficients sont aij se note

A = (aij).

D’autre part, la première ligne est décrite par

L1 = a1j , j = 1..n.

De même, la première colonne est donnée par

C1 = ai1, i = 1..m.

Dans le cas où m = n, on dit que la matrice est carrée. Elle possède alors une diagonale dont lescoefficients sont données par

D = ajj , j = 1..n.

43

44 CHAPITRE 4. ALGÈBRE LINÉAIRE

De même, les éléments qui sont au dessus de la diagonale peuvent être représentés par

D+ = aij / j > i.

4.1.2 Opérations matriciellesSi l’on considère les matrices dans leur ensemble, on peut définir des opérations sur les matrices

comme on en connaît sur les nombres. On peut par exemple additionner deux matrices à conditionqu’elles soient de même taille. Le résultat de cette addition est la matrice dont les coefficients sontdonnés par la somme des coefficients de chacune des matrices : si A = (aij) et B = (bij) sont deuxmatrices de taille m× n, la somme A+B est la matrice C = (cij) de taille m× n telle que

cij = aij + bij .

On peut également définir une multiplication matricielle mais là encore on rencontre des pro-blèmes de taille : si A = (aij) et B = (bij) sont deux matrices telles que le nombre de colonnes deA est égal au nombre de lignes de B, le produit A×B est la matrice C = (cij) dont les coefficientssont

cij =

n∑k=1

aikbkj .

C’est une matrice dont le nombre de lignes est celui de A et dont le nombre de colonnes est celuide B.

Exemple : la multiplication matricielle est l’opération qui permet par exemple de représenterun système linéaire sous forme matricielle.

Note : dans la plupart des exemples que l’on verra, on travaillera avec des matrices carrées.On n’aura donc pas à se soucier de ces problèmes de taille.

4.1.3 Propriétés de la multiplicationLa multiplication des matrices est bien une multiplication. Elle est en particulier associative et

distributive sur l’addition (des matrices). On va donc pouvoir faire des calculs dansMn(R) commeon les fait dans R. Cependant, la première spécificité du produit de matrices est son caractère noncommutatif : pour A et B quelconque, on a en général

A×B 6= B ×A.

Cela n’a l’air de rien, mais ça nous oblige à être attentifs lors de nos calculs. Par exemple, onpeut élever une matrice A à une certaine puissance p en multipliant A par elle-même p fois, maiscomme la multiplication n’est pas commutative, on n’a plus la formule (ab)p = apbp.

4.1.4 Matrice identité, matrices inversiblesParmi toutes les matrices carrées d’ordre n, il en est une à distinguer : la matrice identité

d’ordre n, notée In dont tous les éléments diagonaux valent 1 et dont tous les autres sont nuls.C’est ce que l’on appelle l’élément neutre deMn(R) pour la multiplication. Autrement dit, pourtoutes matrice A ∈Mn(R), on a

A× In = In ×A = A.

(Cela correspond au 1 pour la multiplication des réels).Cette matrice inverse nous permet de définir la notion de matrice inversible. Précisément, une

matrice A carrée d’ordre n sera dite inversible s’il existe une matrice A′ (de même taille) telle que

A×A′ = In.

4.1. CALCUL MATRICIEL 45

La matrice A′ est alors appelée inverse de A et notée A−1.

Application : la résolution d’un système linéaire peut alors se traduire de la façon suivante :le système AX = B admet une unique solution si et seulement si la matrice A est inversible.L’unique solution est alors

X = A−1 ×B.

Remarques :– Le produit de matrices n’est pas commutatif, mais dans le cas particulier de deux matricesinverses l’une de l’autre, on a

A×A−1 = A−1 ×A = In.

– On peut montrer que si A et B sont deux matrices inversibles, alors le produit AB est encoreinversible. Attention, comme le produit de matrices n’est pas commutatif, on a

(AB)−1 = B−1A−1.

En effet, si l’on fait (AB).(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AA−1 = In. C’est bien l’inverse deAB.

Attention : contrairement aux réels, toutes les matrices deMn(R) ne sont pas inversibles.Si l’on veut trouver l’inverse d’une matrice A, il faut donc s’assurer que cette matrice est bien

inversible. Une première façon (naïve) de montrer que A est inversible est de trouver son inverseA−1. En notant xij les coefficients de A′, on peut traduire l’équation

A×A′ = In

en un système matriciel. La résolution de ce système nous donne la réponse :– si ce système n’a pas de solution, la matrice A n’est pas inversible,– si ce système admet une solution, la matrice A est inversible et la solution du système nous

donne l’inverse.En pratique, cette méthode est très fastidieuse car le système à résoudre est un système n2×n2.

Une autre façon de calculer l’inverse d’une matrice (et donc de déterminer si elle est inversible)est de résoudre le système linéaire associé. On peut en particulier appliquer le pivot de Gauss pourrésoudre le système plus rapidement. Si on trouve une solution, c’est que la matrice est inversibleet la solution que l’on a trouvé nous donne A−1.

Enfin, on a un outil très efficace permettant de déterminer si une matrice donnée est inversible,sans calculer son inverse : le déterminant (que l’on verra plus loin en détails).

Dans le cas des matrices 2 × 2, il est cependant possible de déterminer rapidement si unematrice est inversible ou non. En effet, une matrice 2× 2 est inversible si et seulement si ses deuxlignes (ou ses deux colonnes) ne sont pas proportionnelles.

Dans ce cas, il est alors possible de déterminer la matrice inverse en posant le problème sousla forme d’un système 4× 4. Cependant, cette méthode est a proscrire pour les matrices de taillessupérieures.

4.1.5 DéterminantL’outil principal permettant de déterminer si une matrice est inversible est le déterminant. Le

déterminant d’une matrice A (noté det(A)) est un nombre calculé à partir des coefficients de A.Il est calculé de telle sorte que l’on a

A est inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0.


Formellement, le déterminant d’une matrice permet (entre autre) de mesurer la dépendance linéairedes lignes (ou des colonnes) d’une matrice. Ainsi, dans le cas où A est la matrice d’un systèmelinéaire, le déterminant de A permet de déterminer si chaque équation du système apporte uneréelle contrainte ou non. Précisément, si det(A) 6= 0, alors chaque équation est indispensable. Ona donc autant d’inconnues que de contraintes et le système admet une unique solution, donnéepar A−1. Inversement, si det(A) = 0, c’est que l’on peut écrire (au moins) une des équations enfonction des autres. Cette dernière équation n’apporte donc pas de contrainte supplémentaire. Onpeut la retirer du système sans changer l’ensemble des solutions. La matrice A n’est donc pasinversible, et le système admet une infinité de solutions.

De même, si A représente une famille de vecteurs (i.e. si l’on met en lignes les coordonnéesdes vecteurs), le determinant de A permet de savoir si chaque vecteur apporte une directionsupplémentaire. Ainsi, dans R3, si l’on se donne trois vecteurs ~v1 = (x1, y1, z1), ~v2 = (x1, y2, z2) et~v3 = (x3, y3, z3) et si l’on note

A =

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

on a

– si det(A) 6= 0, alors les trois vecteurs sont indépendants et forment une base de l’espace,– si det(A) = 0, alors les trois vecteurs sont liés. Ils sont donc tous dans un même plan, voire

sur une même droite.

Question : Comment calculer le déterminant d’une matrice donnée ?

Dans le cas d’une matrice 2, on a ∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad− bc.

Notons qu’ainsi définit, le déterminant d’une matrice 2×2 répond bien à la question de dépendancelinéaire. En effet, deux vecteurs (ici, (a, b) et (c, d)) sont liés ssi ils sont colinéaires. Autrement dit,ils sont liés ssi

a

c=b

d,

ou encore ssiad− bc = 0.

Pour calculer un déterminant en dimension quelconque, on se ramène au cas n = 2 en dévelop-pant par rapport à une ligne ou une colonne. On peut en effet montrer (pour n = 3 par exemple)que ∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣ = a1

∣∣∣∣ b2 c2b3 c3

∣∣∣∣− a2

∣∣∣∣ b1 c1b3 c3

∣∣∣∣+ a3

∣∣∣∣ b1 c1b2 c2

∣∣∣∣On se ramène ainsi au calcul de 3 déterminants 2× 2.

On peut ainsi développer par rapport à la ligne ou la colonne que l’on veut. Notons tout demême l’alternance des signes ±. Ce signe est donné par la parité de la somme

n de ligne + n de colonne.

En particulier, on remarque que si A est une matrice triangulaire, son déterminant est donné parle produit des éléments diagonaux.

D’autre part, on peut montrer que le déterminant d’une matrice n’est pas modifié si l’on ajouteune ligne à une autre. On peut donc utiliser le pivot de Gauss pour transformer notre matriceen une matrice triangulaire de même déterminant. Pour calculer ce déterminant, il suffit alors de

4.1. CALCUL MATRICIEL 47

multiplier les termes diagonaux de la matrice triangulaire obtenue.

Enfin, notons que dans le cas n = 3, on a également la méthode dite de Sarrus qui donne∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣ = a2b2c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − (a3b2c1 + a2b1c3 + a1b3c2).

4.1.6 ExercicesExercice 33 Soient

A =

(1 20 1

)B =

(1 10 −1

)C =

(1 2−1 −2

)D =

(1 00 0

)E =

(1 −20 1

)F =

(1 11 1

)I =

(1 00 1

)1. Calculer les produits suivants :

A×B B ×A A× E E ×A A2

B2 C ×D D × C I × E F ×B

2. Parmi les matrices ci-dessus, déterminer celles qui sont inversibles.3. Calculer l’inverse des matrices inversible déterminées à la question précédente.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 34 Soient

A =

0 1 2−1 0 10 0 1

B =

0 0 01 0 00 0 0

C =

0 1 00 0 10 0 0

D =

2 0 00 1 00 0 −1

E =

3 0 −11 0 − 1

3−1 1 −1

I =

1 0 00 1 00 0 1

1. Calculer les produits suivants :

A× E B × E E ×B C2 C3

C ×D D × C I × E

2. Commenter les résultats obtenus.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 35 Reprendre les matrices de l’exercice 33 et déterminer celles qui sont inversibles àl’aide du déterminant.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 36 1. Reprendre les matrices de l’exercice 34 et déterminer celles qui sont inversiblesà l’aide du déterminant.


2. Calculer l’inverse des matrices inversibles déterminées à la question précédente, à l’aide dela méthode suivante :– Créer deux colonnes– Dans la première, placer la matrice à inverser.– Dans la seconde, placer la matrice identité.– Effectuer les combinaisons de lignes nécessaires sur la matrice à inverser pour la transfor-mer en la matrice indentité.

– Effectuer en parallèles les mêmes opérations de lignes sur la matrice identité.– Vérifier par le calcul qu’à la fin du procédé, la seconde colonne contient la matrice inversecherchée.

4.2 Espaces vectoriel et applications linéaires

4.2.1 Espaces vectoriels

Définitions

On appelle espace vectoriel tout ensemble stable par combinaison linéaire. Si E est un ensembleet v1, . . . , vn des éléments de E, une combinaison linéaire des vi est un élément de E de la forme

v = a1v1 + . . .+ anvn

où les ai sont des scalaires (réels ou complexes).

Exemples :– Le plan ou l’espace, munis d’un repère.– Rn.– L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire.– L’ensemble des polynômes.– L’ensemble des suites récurrentes d’ordre 2.

Les éléments d’un EV sont (souvent) appelés vecteurs. (Même s’il s’agit de fonctions ou desuites).

L’une des propriétés principales des espaces vectoriels est la notion de base. Dans la plupartdes EV que nous seront amenés à rencontrer, on pourra trouver une famille finie de vecteurs àpartir desquels on pourra écrire tous les vecteurs de l’EV. Dans le plan ou l’espace, c’est le rôledu repère. Une telle famille est une base.

Précisément, si B = u1, . . . , un est une base de E, tout vecteur v de E s’écrit (de façonunique)

v = α1.u1 + . . .+ αn.un, αi ∈ R. (∗)

Les coefficients ai sont alors les coordonnées de v dans la base B.

Tout espace vectoriel qui possède une base en possède une infinité. Toutes ces bases ont unpoint en commun : elles ont le même nombre d’éléments. C’est ce nombre qui donne la dimensionde l’espace vectoriel.

Changements de repères

Comme on l’a dit plus haut, un espace vectoriel admet une infinité de base (penser aux repèresdans le plan). Quand on modélise un problème à l’aide des espaces vectoriels, il est souvent trèsutile de changer de base en cours de route.

4.2. ESPACES VECTORIEL ET APPLICATIONS LINÉAIRES 49

En posant le problème sous forme de système, on constate que là encore, la notation matricielledonne un outil efficace pour faire ces changements de base.

Ainsi, soient B1 = u1, . . . , un et B2 = v1, . . . , vn deux base de E. Changer de base, c’estdéterminer les coordonnées d’un vecteur v dans B2 à partir de ses coordonnées dans B1. On veutdonc passer de

v = α1.u1 + . . .+ αn.un (1)

àv = β1.v1 + . . .+ βn.vn. (2)

et l’on veut les βi en fonction des αj .

Or les vi étant des vecteurs de E, ils s’écrivent en fonction des ui. En introduisant cette écrituredans (2), on obtient une nouvelle écriture de v en fonctoni des ui. En identifiant avec l’écriture(1), on obtient les αi en fonction des βi sous la forme d’un système

α1 = ......αn = ...

La matrice de ce système, dont les colonnes sont les coordonnées des vi dans la base B1 est lamatrice de passage de B1 à B2. On peut montrer que c’est toujours une matrice inversible. On lanote P et le système précédent s’écrit α1

...αn

B1

= P

β1

...βn

B2

.

Remarque : la formule précédente donne les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. Sil’on veut avoir le contraire, il faut calculer P−1 et on a β1

...βn

B2

= P−1

α1

...αn

B1

.

4.2.2 Applications linéaires

Définitions

On appelle application linéaire toute application d’un espace vectoriel dans un autre qui res-pecte les combinaisons linéaires. Précisément, si E et F sont deux EV, une application f : E → Fest linéaire si

f(u+ v) = f(u) + f(v) et f(α.u) = α.f(u), u, v ∈ E, α ∈ R.

Cela se résume par

∀u, v ∈ E, ∀α, β ∈ R, f(α.u+ β.v) = α.f(u) + β.f(v).

Exemples :– Les rotations, les projections, les symétrie du plan ou de l’espace.– La dérivation pour les polynômes ou les fonctions.


Grâce à la relation (∗), si f est une application linéaire E → F et si l’on connaît une baseB = u1, . . . , un de E, on a

∀v ∈ E, f(v) = f(α1.u1 + . . .+ αn.un) = α1.f(u1) + . . .+ αn.f(un).

Si l’on calcul les images f(u1), . . . , f(un), on peut retrouver l’image de tout vecteur dont on connaîtles coordonnées dans B. Autrement dit, l’action de f sur l’espace vectoriel E est totalement définiepar son action sur une base.

Dans le plan, si l’on veut connaître l’image de chaque vecteur du plan par une applicationlinéaire (rotation, symétrie, etc), il suffit de connaître l’image d’une base.

C’est grâce à cela que l’on peut représenter une application linéaire à l’aide d’une matrice.Pour simplifier, plaçons nous dans le cas où E = F et fixons une base B = u1, . . . , un de E.Pour connaître f , on commence par calculer les images f(ui). Comme ce sont des vecteurs de E,ils s’écrivent

f(ui) = a1iu1 + . . .+ a1nun, aij ∈ R.

En rassemblant les aij dans un tableau à double entrée, on obtient la matrice de f dans la baseB :

A = (aij).

On la note parfois MB(f). C’est une matrice carrée (de taille n = dimE). Elle contient toutel’information concernant la fonction f et permet en particuler de calculer l’image de tout vecteur

dont on connaît les coordonnées dans B. Précisément, si v =

α1

...αn

B

, les coordonnées

β1

...βn

B

de f(v) dans B sont données par le produit β1

...βn

B

= A

α1

...αn

B

.

Exemple : plaçons nous dans R2 muni d’un repère orthonormé R = (O ; ~i,~j) et notons ρ larotation de centre O et d’angle π/3.

1. Calculer ρ(~i) et ρ(~j).

2. En déduire la matrice de ρ dans le repère R.

3. Donner l’image de tout vecteur ~v =

(xy

)R. (On donnera les coordonnées de ρ(~v) dans R

en fonction de x et y).

Changement de repère pour une A.L.

Comme on l’a vu plus haut, on peut représenter une application linéaire d’un espace dans luimême à l’aide d’une matrice carrée à partir du moment où on a choisi une base pour notre espacevectoriel. La matrice est intimement liée à la base que l’on a choisi. Autrement dit, si l’on changede base, on change de matrice.

La multiplication matricielle permet là encore d’exprimer la matrice d’une application dans labase B2 si l’on connaît sa matrice dans B1. Le lien se fait là encore avec la matrice de passage : siP est la matrice de passage de B1 à B2, on a

MB2(f) = P−1 ×MB1

(f)× P.

4.2. ESPACES VECTORIEL ET APPLICATIONS LINÉAIRES 51

De façon générale, on dira que deux matrices A et B liées par une relation du type

B = P−1AP

sont semblables. Deux matrices semblable ont beaucoup de points communs (outre le fait qu’ellesreprésentent une même application linéaire). On peut en particulier noter que

Bm = P−1AmP.

Lorsque l’on travaille avec des applications linéaires, la première étape consiste souvent àeffectuer un changement de base de ce type pour avoir une expression plus simple de la matricesur laquelle on travaille. L’objectif de la transformation est dans la plupart des cas, de passer dela matrice de départ à une matrice diagonale. C’est-à-dire une matrice dont tous les termes nondiagonaux sont nuls. Elles permettent bien souvent de simplifier les calculs et donnent égalemetune idée plus claire des transformations qui se cachent derrière la fonction f .

Exemple : on se place dans le plan muni d’un repère R = (O ; ~i,~j) orthonormé et on note ∆la droite passant par O et d’angle π

6 .On note p la projection orthogonale sur ∆ (on admettra que c’est une application linéaire.1. Déterminer les coordonnées de p(~i) et p(~j) dans le repère R. (On pourra s’aider de la trigo-

nométrie et des nombres complexes).2. Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur ~u de ∆ unitaire.3. Déterminer ~v tel que R′ = (O ; ~u,~v) soit un repère orthonormé du plan.4. À l’aide du produit matriciel, donner la matrice de p dans le repère R′.5. Commenter le résultat obtenu.

Un autre intêret de la diagonalisation est le calcul des puissances successives d’une matrice. Ilest souvent utile, losque l’on utilise les matrices de pouvoir calculer Ap pour de grandes valeursde p. Si l’on utilise la formule de multiplication, ça ne marche pas. Par contre, pour les matricesdiagonales, le calcul est immédiat :

d1 0 · · · 0

0. . . . . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 dn

m

=

dm1 0 · · · 0

0. . . . . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 dmn

.

Ainsi, si A = PDP−1, on aAm = PDmP−1.

D’un point de vue matriciel, cela revient à déterminer une matrice D diagonale qui soit sem-blable à la matrice de départ. Voyons en détails comment trouver la matrice D et la matrice Ppermettant le passage de A à D.

4.2.3 Exercices

Exercice 37 Dans l’espace vectoriel R2, on note B la base canonique de R2 :

B = ~e1 = (1, 0), ~e2 = (0, 1)

et l’on considère les familles

F1 = ~u1 = (1, 1), ~u2 = (1,−1) et F2 = ~v1 = (1, 5), ~v2 = (1, 3).

1. Déterminer la matrice de passage P1 de B à F1 et la matrice de passage P2 de B à F2.


2. Déterminer les coordonnées de n’importe quel vecteur (x, y) dans la base F1 (à partir de sescoordonnées dans B).

3. Donner en particulier les coordonnées des vecteurs ~v1 et ~v2 dans la base F1.4. En déduire la matrice de passage P12 de F1 à F2.5. De même, exprimer ~u1 et ~u2 en fonction des vecteurs de F2.6. En déduire la matrice de passage P21 de F2 à F1.7. Vérifier que les matrices P12 er P21 sont inverses l’une de l’autre.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 38 SoitB1 = ~e1 = (1,−1, 0), ~e2 = (1, 2, 0), ~e3 = (0, 0, 1).

1. Déterminer un système linéaire donnant les coordonnées du vecteur (3, 4, 5) dans B1.2. Donner la matrice de ce système. C’est la matrice de passage de la base canonique à B1. On

la note P .3. Vérifier que

P−1 =1

3

2 −1 01 1 00 0 3

.

4. (a) Calculer les coordonnées de (3, 4, 5) dans B1.(b) Donner, en fonction de x, y et z, les coordonnées de tout vecteur ~v = (x, y, z) ∈ R3 dansB1.

5. Donner, en fonction de a, b et c, les coordonnées de tout vecteur ~v =

abc

B1

∈ R3 dans

la base canonique.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 39 1. Parmi les applications suivantes, quelles sont, d’après vous, celles qui sontlinéaires ?

f : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (x+ y, x)g : R3 −→ R

(x, y, z) 7−→ 2x+ 3y − z

h : R2 −→ R(x, y) 7−→ xy

k : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (2x+ 3y, x− 1)

2. Vérification algébrique pour la fonction f .Soient ~u = (x, y) et ~v = (x′, y′) deux vecteur de R2 et soient λ et µ deux réels.(a) Calculer l’image par f de la combinaison linéaire des vecteurs ~u et ~v de coefficients λ

et µ.(b) Calculer la combinaison linéaire des images.(c) Conclure.

3. Effectuer le même travail pour les trois autres fonctions.

4.3. DIAGONALISATION 53

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 40 1. Soit f définie par

f : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (x+ y, x)

(a) Montrer que f est linéaire. (On pourra montrer que f(u+ v) = f(u) + f(v) pour toutu, v ∈ R2 et que f(α.u) = α.f(u) pour tout u ∈ R2 et tout α ∈ R).

(b) Calculer f(1, 0) et f(0, 1).(c) En déduire la matrice de f dans la base (1, 0), (0, 1) (dite base canonique de R2).

2. Soitg : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (x+ 2y − z, y + z, x+ y − 2z)

(On admettra que g est linéaire).(a) Calculer g(1, 0, 0), g(0, 1, 0) et g(0, 0, 1).(b) En déduire la matrice de g dans la base canonique de R3.(c) Déterminer l’ensemble des vecteurs de R3 dont l’image est nulle.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 41 Soitf : R3 −→ R3

(x, y, z) 7−→ (2x− z,−x+ 3y + z, z)

et les famillesB : ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0), ~e3 = (0, 0, 1).

B′ : ~v1 = (1, 0, 1), ~v2 = (1, 1, 0), ~v3 = (0, 1, 0).

1. Donner la matrice A de f dans la base B.2. Déterminer la matrice A′ de f dans la base B′.3. Donner la matrice de passage P de B à B′.4. Vérifier que

P−1 =

0 0 11 0 −1−1 1 1

.

5. Montrer que A = P.A′.P−1.

4.3 Diagonalisation

4.3.1 DéfinitionÉtant donnée une matrice A, on appelle “diagonaliser A” le procédé consistant à trouver une

matrice diagonale qui soit équivalente à A. Formellement, deux matrices A et B sont équivalentess’il exsite une matrice P inversible telle que

B = P−1 ×A× P

ou, de manière équivalent,A = P ×B × P−1.


La matrice P est appelée matrice de passage (de A à B). Notons que, comme le produit n’est pascommutatif, on a en général

P−1AP 6= P−1PA...

Diagonaliser une matrice A revient donc à trouver une matrice diagonale D et une matrice depassage P telle que

D = P−1AP.

Remarque : si A est la matrice d’un système linéaire

AX = B (E),

considérons le systèmeDX = P−1B (E′)

où est une matriceD diagonale équivalente à A et P la matrice de passage. On a donc B = P−1AP .Or si l’on trouve une solution X0 de (E′), on a

DX0 = P−1B ⇒ P−1APX0 = P−1B

⇒ APX0 = B

et PX0 est une solution du système de départ.

Autrement dit, si l’on sait diagonaliser une matrice A (matrice diagonale et matrice de passage),on peut facilement résoudre n’importe quel système dont A est la matrice.

4.3.2 Diagonalisation pratiquePour diagonaliser A d’ordre n, on a donc deux étapes :1. Trouver la matrice diagonale D, c’est-à-dire trouver les valeurs λ1, . . . , λn à mettre sur la

diagonale.2. Trouver n vecteurs ~v1, . . . , ~vn à mettre en colonnes pour former la matrice P .En pratique, on fait ces étapes l’une après l’autre, dans cet ordre.

4.3.3 Valeurs propresLes coefficients λ1, . . . , λn sont appelés valeurs propres de la matrice A. Ce sont les valeurs de

λ pour lesquellesdet(A− λ.In) = 0.

Remarque : la matrice A − λ.In est la matrice A à laquelle on soustrait λ sur la diagonale. Lesvaleurs propres de λ1, . . . , λn sont dons les valeurs de λ qui rendent cette matrice non inversible.

En pratique, on calcule donc le déterminant de A− λ.In. On obtient un polynôme de degré nen λ appelé polynôme caractéristique de la matrice A. Il suffit alors de déterminer les racines dece polynôme. Dans le cas n = 2, on sait faire. Dans les cas n > 3, c’est plus compliqué. Il faut engénéral être astucieux dans le calcul du déterminant et tenter de le factoriser au fur et à mesure ducalcul. En particulier, la méthode de Sarrus est ici particulièrement déconseillée puisqu’elle donnele polynôme sous forme totalement développée.

4.3.4 Vecteurs propresLes vecteurs propres sont précisément les vecteurs dont les coordonnées forment les colonnes

de la matrice P . En pratique, chaque vecteur propre est associé à une valeur propre. Précisément,les vecteurs propres associés à la valeur propre λi sont les solutions non nulles du système

A×X = λi.X (∗).


Notons que cette équation matricielle s’écrit

(A− λi.In)×X = 0.

Or les λi sont préciséments les valeurs de λ pour lesquelles cette équation admet des solutions nonnulles.

Pour une valeur de λi fixée, l’ensemble des solutions de l’équation (∗) est appelé sous espacepropre associé à λi.

En pratique, une fois que l’on a déterminer les valeurs propres λi, on résoud donc le système(∗) pour chacun des λi.

Pour constuire la matrice P inversible, il nous faut alors trouver n vecteurs propres distinctsqui forment une famille libre. Si c’est possible, on prend tous ces vecteurs, on les met en colonneet on obtient notre matrice P . On peut ensuite vérifier, en calculant P−1 que l’on a bien

P−1AP = D,

D étant la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les λi.

4.3.5 Une base de vecteurs propresOn peut montrer que les sous espaces propres sont des SEV de l’espace Rn (i.e. des plans ou des

droites). D’autre part, on peut montrer que deux sous espaces propres différents ne se rencontrentqu’en 0. Pour pouvoir diagonaliser D (i.e. pour pouvoir constuire la matrice P inversible), il fautdonc que les sous espaces propres de A soient “assez gros”. Précisément, il faut qu’à eux tous, ilspermettent de recouvrire l’espace Rn tout entier. Dans l’espace par exemple, il nous faut soit troisdroite, soit un plan et une droite.

Si ça n’est pas le cas, c’est que A n’est pas diagonalisable.

4.3.6 ExercicesExercice 42 On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé R = (O ; ~i,~j) et on note ∆la droite passant par O et faisant un angle de π

6 avec l’axe des x.On note p la projection orthogonale sur ∆.1. Dans le repère R.

(a) Déterminer les coordonnées de p(~i) et p(~j) dans R. (On pourra s’aider de la trigono-métrie et des nombres complexes).

(b) En déduire la matrice A de p dans R.

(c) Donner l’image de n’importe quel vecteur ~v =

(xy

)R.

2. Un repère adapté.(a) Déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur ~u de ∆ unitaire.(b) Déterminer ~v tel que R′ = (O ; ~u,~v) soit un repère orthonormé du plan.(c) Calculer p(~u) et p(~v). (On donnera ces deux vecteurs en fonction de ~u et ~v).(d) Donner la matrice D de p dans le repère R′ = (O ; ~u,~v).(e) Commenter le résultat obtenu.

3. D’un repère à l’autre.(a) Déterminer la matrice de passage P de R à R′.(b) Déterminer l’inverse P−1 de P en posant le système 4× 4

P.P−1 = I2.


(c) Calculer P−1AP .(d) Commenter.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 43 Soit A la matrice définie par 2 0 −1−1 3 1

0 0 1

.

1. Déterminer les valeurs propres de A.2. Montrer que les vecteurs

~v1 = (1, 0, 1), ~v2 = (1, 1, 0), ~v3 = (0, 1, 0)

sont des vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres précédentes.

(Rappel : un vecteur propre associé à la valeur propre λ0 est un vecteur ~v =

xyz

non

nul tel que A~v = λ0~v).3. Donner la matrice de passage P associée à ces trois vecteurs et montrer que

P−1 =

0 0 11 0 −1−1 1 1

.

4. En déduire une matrice D diagonale telle que

D = P−1AP.

(On pourra trouver cette matrice diagonale sans aucun calcul).

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 44 Diagonaliser la matrice

A =

5 −6 −6−1 4 2

3 −6 −4

.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 45 On note

M =

2 0 10 2 11 −1 1

.

1. Déterminer les valeurs propres de M .2. Déterminer l’ensemble des vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres trouvées

ci-dessus.3. Peut-on diagonaliser M ? (Justifier).


? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 46 1. Soit

M =

1 1 −10 2 0−1 1 1

(a) Déterminer le polynôme caractéristique de M .(b) En déduire les valeurs propres de M .(c) Montrer que M est diagonalisable. (On commencera par déterminer la dimension des

sous espaces propres de M).(d) Donner une matrice D diagonale semblable à M , ainsi que la matrice P associée.

2. Soit

N =

1 4 −20 6 −3−1 4 0

(a) Déterminer les valeurs propres de N .(b) Déterminer les sous espaces propres de N .(c) N est-elle diagonalisable ?(d) Déterminer une matrice de passage P telle que

P−1NP =

3 0 00 2 40 0 2

Chapitre 5

Probabilités et statistiques

Introduction

Les probabilités sont le domaine des mathématiques qui offrent un cadre formel à l’étude desphénomènes aléatoires.

Un phénomène aléatoire est une expérience que l’on peut répéter plusieurs fois et qui donnedes résultats différents, que l’on ne peut prédire (jouer à pile ou face, tirer une carte dans un jeu decarte, déterminer la durée de vie d’un composant électronique, déterminer la date de la premièrepanne dans une centrale nucléaire,...).

La théorie des probabilités consiste à construire des modèles pour chaque type d’expériencealéatoire, pour lesquelles on détermine certaines grandeurs caractéristiques. Il existe ainsi quelquesmodèles classiques à partir desquels on peut modéliser la plupart des phénomènes aléatoires quel’on rencontre dans la nature.

Lors de l’étude d’un tel phénomène, on cherche à évaluer la probabilité d’obtenir chacune desvaleurs possibles.

On commence par effectuer une série d’expériences portant sur le phénomène étudié au coursdesquelles on relève les données qui nous intéresses. Le traitement de ces données permet ensuited’en tirer un certain nombre de grandeurs caractéristiques du comportement du phénomène étudié.On cherche alors à reconnaître, dans ces grandeurs caractéristiques, l’un des modèles produits parla théorie des probabilités.

La dernière partie d’une étude statistique consiste alors à déterminer la pertinence du modèlechoisi.

5.1 Probabilités

5.1.1 Variable aléatoire et loi de probabilités

Formellement, un phénomène aléatoire est modélisé par une fonction appelée variable aléatoirequi peut prendre un certain nombre de valeurs dans un domaine donné. On note traditionnelle-mentX la variable aléatoire et Ω l’ensemble des valeurs possibles pourX, que l’on appelle l’univers.

Exemples :– On tire au hasard une carte dans un jeu de cartes et l’on note la couleur (pique, cœur, car-reau, trèfle) de la carte obtenue. L’univers Ω est l’ensemble des quatre couleurs et la variableX est la fonction qui à chaque tirage associe la couleur de la carte tirée.

59

60 CHAPITRE 5. PROBABILITÉS ET STATISTIQUES

– On cherche à étudier la durée de vie des composants électroniques produits par une usine.L’univers est l’intervalle [0,+∞[ et la variable X est la fonction qui à chaque composantassocie sa durée de vie.

Connaître le comportement de X, c’est déterminer sa loi de probabilité. Précisément, il s’agitde déterminer, pour chaque partie A ∈ Ω la probabilité que la valeur de X soit dans A. On notecette probabilité P (X ∈ A) ou P (A).

Ainsi, une loi de probabilité est une fonction qui à chaque partie A ∈ Ω associe un nombreP (A) entre 0 et 1 et qui vérifie les propriétés suivantes :

– P (Ω) = 1,– P (∅) = 0,– P (Ω\A) = 1− P (A).– De façon générale, si A et B sont deux parties de Ω telles que A ∩B = ∅, alors

P (A ∪B) = P (A) + P (B).

5.1.2 Loi de probabilité d’une variable discrète

Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne peut prendre que des valeurs isolées. C’est lecas dans l’exemple du jeu de cartes. Dans ce cas, on peut décrire toutes les parties de Ω à l’aidedes singletons xi. La loi de probabilité de X est alors entièrement définie par les probabilitésP (X = xi) pour tout xi ∈ Ω.

Or étant donnée une valeur xi ∈ Ω, la probabilité P (X = xi) est donnée par la formule

P (X = xi) =Nombre de cas favorableNombre de cas total

Le nombre de cas favorable est le nombre de fois ou la variable X peut prendre la valeur voulueet le nombre de cas total est le nombre de résultats possibles pour l’expérience testée.

Ainsi, dans l’exemple du jeu de cartes, on a exactement 13 cartes de chaque couleurs, pour untotal de 52 cartes. La probabilité de chacune des couleurs c de Ω est donc

P (X = c) =13

52=

1

4.

Puisqu’il y a autant de cartes de chaque couleurs, chaque test est équiprobable.

Si l’on peut ainsi déterminer la valeur de P (X = xi) pour chacun des xi ∈ Ω, on obtient, pourtoute partie A ∈ Ω, la valeur de P (X ∈ A) par la formule

P (X ∈ A) =∑x∈A

P (X = x).

Par exemple, la probabilité que la carte tirée soit rouge est donnée par :

P (X = rouge) = P (X = cœur) + P (X = carreau).

De façon générale, l’étude des variables aléatoires discrètes est donc essentiellement basée surl’art de compter les éléments d’un ensemble donné. C’est l’analyse combinatoire.

5.1. PROBABILITÉS 61

5.1.3 Loi de probabilité d’une variable continueUne variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un inter-

valle (ou un ensemble d’intervalles) donné(s). Dans ce cas, on considère que la probabilité que Xprenne une valeur fixée à l’avance est nulle. Pour décrire la loi de probabilité de X on doit alorsdéterminer toutes les probabilités de la forme P (X ∈ [a, b]) pour [a, b] ⊂ Ω.

En pratique, la loi de probabilité d’une variable continue s’exprime à l’aide d’intégrales. Pré-cisément, pour chaque variable continue, il existe une fonction f telle que

P (X ∈ [a, b]) =

∫ b

a

f(x)dx

Notes :– On retrouve en particulier le fait que pour une variable continue, on a P (X = xi) = 0.– Dans toute la suite, les variables continues seront à valeur dans l’intervalle [0,+∞[.

5.1.4 Fonction de répartition et densitéÉtant donnée une variable aléatoire X, on appelle fonction de répartition de X la fonction FX

définie parFX : Ω −→ [0, 1]

t 7−→ P (X 6 t)

Exemples : selon la nature de la variable X étudiée, la fonction de répartition FX de X peutdonner :

– La probabilité que la carte tirée soit plus petite que la valeur t.– La probabilité que le temps d’attente à l’arrêt de bus soit inférieure à t.– La probabilité que la première panne d’une centrale survienne avant le temps t– ...

Notes :– La notion de fonction de répartition n’a de sens que si l’univers Ω est ordonné. Mais c’esten particulier le cas pour les variables continues.

– Les fonctions de répartition sont des fonctions croissantes.

– Dans le cas d’une variable discrète, la fonction de répartition est une fonction plateaux.

– Dans le cas d’une variable continue, d’univers Ω = [0,+∞[, la fonction de répartition estcontinue et on a

FX(0) = P (X = 0) = 0

limt→+∞

FX(t) = P (X ∈ Ω) = 1

Enfin, si la fonction de répartition FX d’une variable aléatoire X est dérivable, on appelle den-sité de la loi P la fonction dérivée F ′X . On dit alors que la variable X suit une loi de probabilitéà densité.

Note : pour que FX soit dérivable, il faut en particulier qu’elle soit continue. Cela ne s’appliquedonc qu’aux variables continues, pour lesquelles Ω = [0,+∞[.

Cette densité est précisément la fonction f vue plus haut et puis que FX(0) = 0, on a

∀t ∈ Ω, FX(t) =

∫ t

0

f(x)dx.


De façon générale, si l’on connaît la fonction de répartition d’une variable aléatoire donnée, onpeut connaître en détail son comportement et en particulier sa loi de probabilité. En effet la loide probabilité d’une variable X est donnée par toutes les probabilités de la forme

P (X ∈ [a, b])

pour [a, b] ⊂ Ω.Or cette probabilité peut être donnée par la formule :

P (X ∈ [a, b]) = P (X 6 b)− P (X 6 a) = FX(b)− FX(a).

D’autre part, pour les lois à densité, la différence précédente est donnée par

FX(b)− FX(a) =

∫ b

a

f(x)dx.

On peut ainsi classe les loi de probabilités à densité en fonction de leurs fonction densité (voirtableau).

Enfin, la notion de densité offre une représentation géométrique des lois de probabilités. Préci-sément, si X suit une loi de probabilité de densité f , on peut tracer la courbe de f dans un repère.Les probabilités P (X ∈ [a, b]) qui donnent la loi de probabilité de X sont alors données par lesaires des surfaces du plan délimitées par la courbe de f , l’axe horizontal et les droites verticalesd’équations x = a et x = b.

5.1.5 Espérance et variance d’une variable aléatoireÉtant donnée une variable aléatoire X dont on connaît la loi de probabilité, on peut définir

certaines grandeurs caractéristiques du comportement de X : l’espérance et la variance.

L’espérance

L’espérance d’une variable X est la valeur moyenne que l’on peut espérer obtenir si l’on répèteplusieurs fois l’expérience aléatoire associée à X. Elle s’exprime à l’aide de la loi de probabilité deX.

Dans pour une variable discrète, l’espérance est donnée par la formule

E(X) =∑x∈Ω

xP (X = x)

Pour une variable continue (d’univers Ω = [0,+∞[) de densité f , l’espérance est donnée par

E(X) =

∫ +∞

0

xf(x)dx

Variance et écart-type

La variance d’une variable X permet de mesurer l’éparpillement des résultats que l’on obtient sil’on répète l’expérience associée à X. Précisément, la variance mesure l’écart moyen à la moyenne.Elle est donnée par la formule

V (X) = E((X − E(X))2) = E(X2)− E(X)2.

Du fait des carrés présents dans la formule de la variance, la valeur de V (x) est difficilementcomparable aux données du problème (notamment aux valeurs que peut prendre la variable X).Pour avoir une bonne mesure de l’écart moyen à la moyenne, on préfère prendre la racine carréede V (X). On obtient l’écart-type σ(X) :

σ(X) =√V (X).

5.1. PROBABILITÉS 63

5.1.6 ExercicesExercice 47 Soient a, b ∈ R+, a < b. On note

f : x 7→K si x ∈ [a, b]0 sinon.

1. Tracer le graphe de f .

2. Calculer∫ +∞

0

f(x)dx.

3. En déduire la valeur de K pour que cette intégrale soit égale à 1.4. Que représente la fonction f pour la valeur de K déterminée ci-dessus ?5. Calculer l’espérance et la variance de la loi de probabilité associée à la densité f .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 48 Pour tout λ > 0, on note

fλ(x) = λe−λ

1. Montrer que fλ est une densité de probabilités.2. Calculer l’espérance et la variance de la loi de probabilité associée à f .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 49 On appelle loi normale une loi de probabilité dont la densité est donnée par lafonction

f(x) =1√

2πσ2e−

x2

2σ2

1. Étudier f et tracer son graphe.2. Calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire de loi normale.

Note : la loi normale est dite “loi de la nature”.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 50 Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station 14. Soit X le tempsd’attente d’une personne à cette station.

On suppose que X suit la loi uniforme sur [0; 6]. Quelle est la probabilité que cette personneattende entre 3 et 5 minutes ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 51 On suppose que la durée de vie X d’une voiture suit une loi exponentielle de para-mètre 0, 1.

1. Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse 2 ans de durée de vie.2. Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse 10 ans de durée de vie.


3. On sait qu’une voiture a duré déjà 10 ans. Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 12 ansde durée de vie ?

4. Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie de la voiture dépassedeux ans et commenter.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 52 Une station service est approvisionnée en essence une fois par semaine. Son volumede vente hebdomadaire, en milliers de litres, est une variable aléatoire de densité :

f(x) =

54 (1− x4) si 0 6 x < 1,0 sinon.

1. Vérifier que f est bien une densité sur [0,+∞[.

2. Quelle est la probabilité que le stock hebdomadaire soit épuisé avant la fin de la semaine sile réservoir à une capacité de 500` ? 800` ?

3. Quelle capacité doit avoir le réservoir pour que la probabilité d’épuiser l’approvisionnementd’une semaine soit inférieure ou égale à 0,01 ?

5.2 Statistiques

La statistique, c’est l’art de tirer de l’information sur une classe d’objets à partir de donnéechiffrées les concernant.

Comme on l’a dit plus haut, le principe de base consiste à relever un ou plusieurs caractèrechiffrés pour la classe d’objets étudiés.

À partir de ces données brutes, on peut calculer des grandeurs caractéristiques du comporte-ment (aléatoire) de la classe d’objets étudiés. On peut alors tenter de rapprocher des différentsmodèles issus de la théorie des probabilités.

On verra dans un second temps qu’il existe également des outils purement statistiques quipermettent de relier différentes quantités associées à une même classes d’objets.

5.2.1 Définitions

Une étude statistique porte sur un ensemble (fini) d’objets, appelé population. (Exemples : lesétudiant d’une promo, les voitures empruntant la RN10, les composants électroniques produitspar une usine,...). Les objets sont les unités statistiques ou individus et le nombre d’éléments dela population est l’effectif total. On le note en général n.

Une étude statistique porte également sur certaines caractéristiques ou caractères propres à lapopulation. (Exemples : l’âge, la vitesse, la consommation, la durée de vie...).

On appelle variable statistique l’expression numérique du caractère ou des caractères que l’onétudie.

Formellement, la variable statistique d’un caractère est une fonction associant à chaque unitéstatistique la valeur de ce caractère. Ainsi, si la population étudiée est l’ensemble U = u1, u2, . . . , un

5.2. STATISTIQUES 65

des individus et Ω est l’ensemble des valeurs que peut prendre le caractère étudié, la variable sta-tistique est la fonction

x : U −→ Ωui 7−→ x(ui) = xi

Comme pour les variables aléatoires, on distingue deux types de variables statistiques en fonc-tion de la nature du caractère associé :

– Les variables discrètes si elle ne prend qu’un nombre fini de valeurs isolées (c’est le cas pourl’âge des élèves d’une classe). Ces valeurs sont alors notées x∗1, x∗2, . . . , x∗k, indexées telles quex∗1 < x∗2 < . . . < x∗k et sont appelées les classes de la variable x.

– Les variables continues qui peuvent prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné [a, b](c’est le cas pour la durée de vie d’un composant). Dans ce cas, l’intervalle [a, b] est découpéen k intervalles

[a0, a1], ]a1, a2], . . . , ]ak−1, ak]

où a = a0 < a1 < . . . < ak−1 < ak = b. Ce sont alors ces intervalles qui forment les classesde la variable étudiée.

On peut alors définir l’effectif de chacune des classes d’une variable statistique donnée : c’estle nombre d’individus dont la valeur de la variable est dans la classe donnée. On le note en généralni et on a

n1 + n2 + . . .+ nk = n ouk∑i=1

ni = n.

On appelle série statistique d’une variable la donnée de toutes les classes et de leurs effectifs.On représente en général une série statistique à l’aide d’un tableau

Cas discretClasses x∗1 x∗2 . . . x∗kEffectif n1 n2 . . . nk

Cas continuClasses [a0, a1] ]a1, a2] . . . ]ak−1, ak]Effectif n1 n2 . . . nk

C’est à partir de cette série statistique que l’on détermine les grandeurs caractéristiques ducomportement des objets étudiés.

5.2.2 FréquencesLes première quantités caractéristiques que l’on peut tirer d’une série statistique sont les fré-

quence de chacune des classes :fi =

nin

L’utilisation des fréquence à la place des effectifs permet de normaliser les données et de s’affranchiren particulier de la taille de l’échantillon étudié.

5.2.3 Effectifs et fréquences cumulésÀ partir des effectifs et des fréquences, on peut calculer les effectifs cumulés (vi) et les fréquences

cumulées (πi) :

vi = n1 + n2 + . . .+ ni =

i∑j=1

nj

πi = f1 + f2 + . . .+ fi =

i∑j=1

fj


On note que∀i, πi =

vin.

5.2.4 Fonction de répartition

La fonction de répartition F d’une série statistique est la fonction définie par

F : [0,+∞[ −→ Rt 7−→ v(t)

n

où v(t) est le nombre d’unités dont le caractère étudié est inférieur ou égal à t.

Cette fonction de répartition mesure la proportion d’observations qui prennent une valeur auplus égale à t. Elle est donc fortement liée aux fréquences cumulées.

Ainsi, dans le cas d’une variable statistique discrète, la fonction de répartition est une fonctionplateaux dont les niveaux successifs correspondent aux différentes fréquences cumulées.

Cette notion de fonction de répartition pour une série statistique est bien évidement à rap-procher de la notion de fonction de répartition d’une variable aléatoire. Ainsi, dans le cas d’unevariable statistique continue, la fonction de répartition peut être représentée par une courbe conti-nue. En comparant l’allure de cette courbe avec les courbes des différentes fonctions de répartitionmodèles de lois de probabilités, on obtient un premier indice sur le comportement général ducaractère étudié.

5.2.5 Diagramme des fréquences et densité

Il est possible de représenter graphiquement les différentes fréquences d’une série statistiquedonnée. Ainsi, pour les variables discrètes, on peut représenter les différentes fréquences par desdiagrammes en bâtons. La valeur de la fréquence est donnée par la hauteur du bâton associé.

Pour les variables continues, il faut tenir compte de l’amplitude de chacune des classes. Enpratique, représente chaque fréquence par un rectangle dont la base donne l’amplitude de la classeet dont l’aire donne la fréquence. En reliant alors le milieu de chaque sommet de rectangle, onobtient une courbe que l’on peut alors comparer aux courbes des différentes fonctions densités desmodèles de lois de probabilités vus plus hauts.

5.2.6 Indicateurs de tendances centrales

Les quantités suivantes que l’on peut tirer d’une série statistiques sont les indicateurs de ten-dance centrale. Ce sont les différentes façons que l’on a de déterminer le milieu d’une série statis-tique.

Le plus célèbre est la moyenne :

x =1

n

n∑i=1

xi

que l’on peut associer à la notion d’espérance d’une variable aléatoire (en réécrivant la formule

sous la formen∑i=1

xin).

Note : une série statistique est dite centrée si sa moyenne est nulle. On peut facilementtransformer une série quelconque en une série centrée en remplaçant chaque valeur xi par ladifférence xi − x.

5.2. STATISTIQUES 67

Cela ne fait que déplacer l’ensemble des valeurs étudiées pour les centrer autour de 0. Cela nemodifie pas les informations contenues dans l’ensemble des données, mais permet bien souvent desimplifier grandement les formules.

Outre la moyenne, il existe d’autres façons de définir le milieu d’une série statistique. Citonsnotamment la médiane, définie comme étant la valeur du caractère étudié qui découpe l’échantillonen deux parties égales.

Dans le cas d’une série continue, la médiane l’obtient facilement à partir de la courbe de lafonction de répartition en déterminant l’abscisse du point d’ordonnée 50%.

De la même façon, on peut définir les quartiles d’une série statistique comme étant les valeursqui découpent l’échantillon étudié en quatre parties égales. On peut de même définir les décilesqui découpent l’échantillon en 10 parties égales.

5.2.7 Indicateurs de dispersionLes indicateurs de dispersion permettent de mesurer l’éparpillement de l’échantillon étudié

autour de la valeur moyenne. Il existe de nombreux indicateurs de ce type. Cependant, les pluscouramment utilisés sont la variance et l’écart-type.

La variance est, comme pour une variable statistique, définie comme la moyenne des carrés desécarts à la moyenne :

V (x) =1

n

n∑i=1

(xi − x)2 =1

n

n∑i=1

x2i − x2.

Là encore, la présence des carrés fait que la valeur obtenue est difficilement comparable avec lesdonnées du problèmes. Un indicateur plus significatif est obtenu en prenant la racine carrée decette variance. On obtient ainsi l’écart-type :

σ(x) =√V (x).

5.2.8 ExercicesExercice 53 On monte une étude statistique pour déterminer la fiabilité d’un composant élec-tronique. On teste 10 composants. Les durées de vie de 10 composants testés sont données dansle tableau ci-dessous.

N de l’expérience 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Durée de vie (en heures) ti 130 20 100 14 212 64 50 135 224 67

Comment, à partir de ces données, déterminer une loi de probabilité donnant la fiabilité de cecomposant ?

Si l’échantillon est représentatif, la fonction de survie du composant est donnée par :

R(t) = P (X > t) = % pièces dont la durée de vie est > t.

(Autrement dit, la fonction de répartition de l’échantillon est la fonction de répartition de laloi de probabilité régissant la fiabilité du composant).

On va voir comment, en traçant le graphe de R dans un repère semi-log, on peut obtenir unmodèle.


1. Un repère semi-log.Un repère semi-log est un repère dont l’axe des ordonnées est gradué en ln y. Autrement dit,la hauteur d’un point d’ordonnée y est ln y :

1

2

3

4

5

6

789

10

ln 2

ln 3ln 4

y

t

Quelles sont les fonctions représentées par des droites dans ce type de repère ?2. Un modèle.

(a) Quel type de loi ?i. Donner les valeurs de R(t) pour les 10 temps de survie obtenus au cours de l’expé-

rience.ii. Placer les points (ti, R(ti)) dans le repère semi-log ci-joint. Que constante-t-on ?iii. En déduire que R peut être donné par une loi exponentielle.

(b) Quel paramètre ?i. Tracer une droite passant au plus près de chacun des points (à vue d’œil).ii. Déterminer l’équation de cette droite.iii. En déduire, sur le graphe, la valeur du paramètre λ de la loi associée au composant.

3. Applications(a) Déterminer par le calcul à quel instant t0 la fiabilité de la pièce est égale à 80%.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 54 Dans la fabrication de comprimés effervescents, il est prévu que chaque comprimédoit contenir 1625 mg de bicarbonate de sodium. Afin de contrôler la fabrication de ces médica-ments, on a prélevé un échantillon de 150 comprimés et on a mesuré la quantité de bicarbonatede sodium pour chacun d’eux. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau suivant :

Classe [1610, 1615[ [1615, 1620[ [1620, 1625[ [1625, 1630[ [1630, 1635[Effectifs 7 8 42 75 18

1. En convenant que les valeurs mesurées sont regroupées au centre de chaque classe, calculerune valeur approchée à 10−2 près de la moyenne m et de l’écart type σ de cet échantillon.

2. En déduire les données réduites.3. Calculer les fréquences et fréquences cumulées de cet échantillon.4. Tracer l’histogramme des fréquences de cet échantillon.5. Quel type de loi semble suivre cette série statistique ?

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