Mines-Ponts 2020 Physique II MP Loi de Wiedemann-Franz

Loi de Wiedemann-Franz — Physique II, Mines 2020, filière MP page 1

Mines-Ponts 2020 Physique II MP

Loi de Wiedemann-Franz Merci de me communiquer vos remarques à : [email protected]

Partie I — Détermination expérimentale de la conductivité électrique du cuivre 1 — Choix du calibre d’un appareil de mesure. Pour choisir le calibre adapté à une mesure, il

faut avoir une idée de son ordre de grandeur. Dans le cas contraire, il faut commencer par exploiter le plus gros calibre disponible sur l’appareil. Ensuite, on adopte le calibre immédiatement supérieur à la valeur mesurée, ici 500Ω (la valeur lue est donnée par l’énoncé, elle est de 0,1Ω ).

Remarque 1 : Les ohmmètres actuels présentent souvent une sélection automatique du calibre, bien qu’étant automatique, l’adaptation se fait selon la même démarche.

Remarque 2 : Dans le cas d’une mesure à l’oscilloscope, régler la sensibilité d’un axe (Y par exemple) de sorte à ce que la partie intéressante de la courbe occupe un maximum d’espace sur l’écran revient, en fait, à suivre la même démarche.

Sur le calibre 500Ω , la résolution est de 0,1Ω (on parle quelquefois d’unité de résolution ou encore d’unité de représentation UR, elle est donnée dans la dernière colonne des tables). La

précision sur la mesure se calcule de la façon suivante :

valeur unité0,3% lue de

L résolutionUR

0,3 0,1 3 0,1 0,3100

× + × = Ω . Pour déterminer

l’incertitude type liée à la précision de la mesure, il faut diviser cette valeur ( 0,3 Ω ) par 3 ce qui

conduit à 0,3 0,17 3= Ω , et pour un niveau de confiance de 95%, il faut multiplier cette valeur par 2,

soit 95% 0,3 R∆ = Ω , ce qui représente une incertitude relative de 300% de la valeur lue ! Cette méthode de mesure n’est manifestement pas adaptée.

Remarque : la mesure de résistance est une opération indirecte. En fait, l’appareil mesure la tension aux bornes de la résistance en y imposant un courant constant dont la valeur est donnée dans l’avant dernière colonne (ici de 1 mA ). La relation proposée par le constructeur peut

s’interpréter de la façon suivante : URI

= avec R U IR U I∆ ∆ ∆

= + . Soit encore, U IR R RU I∆ ∆

∆ = × + × ,

U I I UR R RI I I I∆ ∆ ∆ ∆

∆ = + × = × + . L’erreur relative sur l’intensité du courant est II∆ , ici 0,3%, il

affecte la valeur relative lue de la résistance notée L dans le texte. Le terme UI∆ affecte, de façon

absolue, la valeur de la mesure correspondant ici aux 3 UR, donc 0,3Ω .

On pourra consulter [1] pages 3 à 7 ; [2] et surtout [3] pour approfondir ces notions.

2 — Expressions des erreurs systématiques. On se propose de redessiner les montages 1 et 2 de la figure 1 de l’énoncé en remplaçant le voltmètre réel par une association parallèle d’un voltmètre idéal (de résistance interne infinie) et de sa résistante interne VR . De même, on remplace l’ampèremètre réel par une association série d’un ampèremètre idéal (de résistance interne nulle) et de sa résistance interne AR . Ceci conduit aux deux montages suivants :


Montage 1 Montage 2

Dans le cadre du montage 1 (appelé montage amont ou longue dérivation), la tension mesurée par le voltmètre 1U n’est pas la tension aux bornes de la résistance mais la tension aux bornes de l’association série de la résistance R et de celle de l’ampèremètre AR , cette tension vaut

( )1 1AU R R I= + . Par contre, l’intensité du courant mesurée par l’ampèremètre 1I est effectivement celle qui traverse la résistance R. De fait, c’est la résistance interne de l’ampèremètre AR qui est ici source d’erreur. Si cette valeur AR est négligeable devant celle de la résistance R que l’on souhaite mesurer, l’erreur introduite sera, elle aussi, négligeable. On peut d’ores et déjà dire que ce montage est adapté à la mesure de résistance de forte valeur comparée à la résistance interne de l’ampèremètre.

Remarque : la résistance interne d’un ampèremètre dépend du calibre utilisé. Pour le calibre le plus faible et pour des ampèremètres de qualité standard celle-ci peut atteindre le kΩ . Autant dire que pour mesurer une résistance de l’ordre de 0,1Ω , il est « délicat » de négliger une résistance de 1 kΩ devant une résistance de 0,1Ω !

On note 11

1

URI

= l’expression de la valeur mesurée de la résistance R avec le montage 1. Celle-ci

vaut : 11

1A

UR R RI

= = + . La valeur de la résistance R vaut 1 AR R R= − et l’incertitude relative due à la

méthode 1 vaut : ( )11

AR R R RR R−

= = ε , celle-ci est d’autant plus faible que AR R , donc peu adaptée

au cas qui nous intéresse.

Dans le cadre du montage 2 (appelé montage aval ou courte dérivation), la tension mesurée par le voltmètre est effectivement la tension aux bornes de la résistance R. Par contre, l’intensité mesurée par l’ampèremètre n’est pas celle qui traverse la résistance R. Cette intensité 2I est la

somme (loi des nœuds) de l’intensité qui traverse la résistance R, soit 2UR

et de celle qui traverse le

voltmètre, soit 2

V

UR

, d’où 2 22 2

1 1

V V

U UI UR R R R

= + = +

. C’est donc la résistance interne du voltmètre VR

qui est ici source d’erreur. L’erreur introduite dans ce montage sera d’autant plus faible que la résistance interne du voltmètre sera élevée devant celle de la résistance à mesurer. Ce montage est adapté à la mesure de résistance de faible valeur comparée à celle du voltmètre.


Remarque : la résistance interne d’un voltmètre numérique de qualité standard est de l’ordre de 10 MΩ (ici elle est donnée à 11 MΩ ).

On note 22

2

URI

= la valeur de la résistance mesurée dans le cadre de ce montage. Celle-ci vaut :

2 2

2 22

11 1

V

V

VV

RRU UU UI R R

R RR R

= = =+++

(correspondant à l’association // de la résistance à mesurer R et de

celle du voltmètre VR ).

L’incertitude relative 2ε due à cette méthode vaut : ( )22

V

V

V V

RR RR R R R R R R

R R R R R R

−− + −

= = = = ε+ +

.

Elle est d’autant plus faible que VR R , donc adaptée au cas qui nous intéresse. Ce montage est donc le montage pertinent.

L’évolution des incertitudes relatives iε en fonction de R conduisent aux graphes suivants. Les conclusions sont données dans la remarque qui suit.

Remarque : L’énoncé demande d’exprimer 1ε et 2ε en fonction de la valeur inconnue R. Il

semble plus approprié d’exprimer ces deux incertitudes en fonction des valeurs mesurées respectivement 1R et 2R . Les expressions sont alors :

( )

( )

11 1

1

22

2 2 22 2

2

2

A

A

V

V

V V

V

R R RRR R R

R RRR R R R RR

R RR RR R

−ε = = − −

− −ε = = =

−

Dans ce cadre, le graphe des incertitudes relatives est le suivant :


Le montage 1 est d’autant plus adapté que la valeur mesurée est grande devant la valeur critique

A VR R . Le montage 2 est, quant à lui, adapté lorsque la valeur mesurée est petite devant A VR R . On peut noter qu’il n’est pas possible d’obtenir, avec ces deux montages, une erreur relative plus

faible que A

V

RR

.

3 — Estimation de la résistance du fil. Avec un chiffre significatif, la résistance mesurée (dans

le cadre du montage 2) vaut 22

0,287 5 105,23

R −= × Ω . Une seule mesure est effectuée, il s’agit d’évaluer

une incertitude de type B (non statistique). Comme dit dans une remarque précédente, la mesure de résistance est une mesure indirecte, elle dépend donc des incertitudes de mesure de l’intensité et de la tension auxquelles il faut ajouter celle (systématique) associée au montage (ici le montage 2). La résistance interne du voltmètre est de 11 MΩ pour l’appareil utilisé (table 3). L’incertitude relative

liée à la nature du montage est donc de l’ordre de 2

927

5 10 5 101,1 10V

RR

−−×

= ××

, on peut légitimement

supposer que cette incertitude est négligeable devant les autres (ce que nous confirmerons après calcul).

L’incertitude absolue sur la mesure de la résistance s’exprime par 2 2

2 2R RR U IU I∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ ∂ ∂

,

soit encore 2 2

2 22

1 UR U II I

− ∆ = ∆ + ∆

. Cette dernière relation se ramène à : 2 2R U I

R U I∆ ∆ ∆ = +

(les incertitudes relatives s’ajoutent quadratiquement). Les incertitudes relatives se calculent à partir des données des tables 2 et 3.

L’ampèremètre est réglé sur le calibre 10 A , la précision est donc de : 0,01 5,23 3 0,01 0,08 AI∆ = × + × = , l’incertitude type liée à la précision de l’appareil est donc de 0,08 0,05 A

3I∆ = et pour un niveau de confiance de 95 %, il faut multiplier par un facteur 2 la

précédente valeur, soit 95% 0,1 AI∆ , correspondant à une erreur relative de 1,8 %.

Le voltmètre est réglé sur le calibre 500 mV , la précision est donc de : 0,003 287 2 0,1 1 mVU∆ = × + × , l’incertitude type liée à la précision de l’appareil est donc de

1 0,6 mV3

U∆ = = et pour un niveau de confiance de 95% (de même 2× ) 95%1 1,1 mV

287U∆ = , soit

une erreur relative de 0,3 % (elle est négligeable devant celle sur l’intensité).


L’incertitude relative liée à la nature du montage est bien négligeable devant les autres incertitudes.

L’incertitude relative sur la mesure de la résistance est donc de : ( ) ( )2 20,003 0,018 1,8%RR∆

= +

.

Cette méthode de mesure est donc préférable à celle de la question 1. De façon chiffrée, on peut

comparer les mesures via les incertitudes, si tant soit peu que ce calcul ait un sens : 300 1501,8

, cette

dernière mesure est donc 150 fois plus précise que celle de la question 1.

50 1 mR ± Ω

Cette dernière mesure peut être améliorée en utilisant une méthode qui repose sur un pont composé de résistances étalons, d’une pile étalon et d’une résistance ajustable de précision. On pourra consulter [4] à ce sujet.

4 — Estimation de la conductivité électrique du cuivre. Le fil de cuivre étant assimilé à un cylindre homogène de section uniforme (et de plus thermostaté), sa résistance ohmique s’exprime

par : LRsρ

= , la conductivité s’en déduit : 2

4 LR d

γ =π

. L’application numérique conduit à

( )7 1

23

10 6 10 S m0,05 10

−

−γ = × ⋅

× π× . Le texte propose une longueur de 10,0 mL = , donc une incertitude

absolue de 0,1 mL∆ = et relative de 1%. L’incertitude absolue sur le diamètre est de 0,1 mmd∆ = et l’incertitude relative associée est de 5%. L’incertitude relative sur la conductivité est

2 2 2

2L d RL d R

∆γ ∆ ∆ ∆ = + + γ , soit 7,3% et 7 16,0 0,4 10 S m−γ ± × ⋅ . Cette valeur est proche de celle

tabulée qui est de : 6 159,6 10 S m−× ⋅ à 298 K .

Partie II — Relation entre conductivités thermique et électrique dans un métal.

5 — Principe fondamental de la dynamique. Il s’agit d’un problème de dynamique du point, le système étudié est l’électron e− , le référentiel d’étude est celui du laboratoire supposé galiléen

et dans lequel le fil est immobile. Dans le cadre de l’énoncé l’inventaire des actions subies par le système se ramène à :

• Force de Coulomb : ( )Cf e E= −

• Force de frottement fluide : Dmf v = − τ

Il s’agit en fait du modèle de Drude ou de « l’électron amorti », on pourra lire avec intérêt [5] de la page 2 à la page 11 et dont la source est [6]. Dans le référentiel du laboratoire, le principe fondamental appliqué à l’électron conduit à :

( )dv mm e E vdt

= − + − τ

Ce qui permet d’établir l’équation différentielle du premier ordre suivante :

1dv ev Edt m

−+ =τ

Dont la solution est de la forme :


( ) ( )0 exp tv t v v v∞ ∞ − = − − τ

Avec, ( ) ev v t Em

∞− τ

= τ =

et ( )0 0v v t= =

, en supposant le champ électrique uniforme et

constant. La vitesse limite est donc ( ) ev v t Em

∞− τ

= τ =

, cette vitesse correspond à celle des

électrons en régime permanent.

Remarque : On appelle mobilité d’un porteur de charge la quantité suivante : em− τ

µ = , avec

par définition : v E∞ = µ

. Elle apparait souvent comme une grandeur intermédiaire au calcul de l’expression de la conductivité d’un matériau.

Cela signifie qu’en régime permanent, la vitesse moyenne des électrons est ev Em

∞− τ

=

. La loi

d’Ohm locale s’applique aux dN électrons de conduction contenus dans un volume mésoscopique

mésodV , le nombre d’électron par unité de volume est alors méso

dNndV

= . Si on admet une isotropie des

vitesses à l’instant initial, la vitesse moyenne de ces électrons est la vitesse limite en régime permanent.

La loi d’Ohm locale (au niveau mésoscopique) s’écrit alors : ( ) ( )

2nej n e v n e E Em∞

τ= − = − µ =

γ

. La

conductivité σ s’exprime alors par : 2ne

mτ

γ = .

6 — Expression de la quantité de mouvement à l’instant t dt+ . Deux choses peuvent se produire pendant la durée dt :

Soit l’électron subit une collision avec la probabilité dtθ

et acquiert la nouvelle quantité de

mouvement (ou impulsion) donnée par le texte : 0ip+

. Il contribue alors à la quantité de mouvement

à l’instant t dt+ à hauteur de

0

proba. desubir un

choc

idt p

+

θ

.

Soit l’électron ne subit pas de collision avec la probabilité 1 dt−θ

, il voit sa quantité de

mouvement (ou impulsion) augmenter de la valeur iC

d p fdt

=

soit i Cd p f dt=

. Il contribue alors à la

quantité de mouvement à l’instant t dt+ à hauteur de : ( )( )proba. de nepas avoir de

choc

1 i Cdt p t f dt − + θ

.

Il ne reste plus qu’à sommer les deux contributions pour obtenir la quantité de mouvement à l’instant t dt+ selon :

( )

( )( )0

nouvellequantité de nouvproba. de quantitémouvement à proba. de nesubir un de mvt aprèsl'instant pas avoir dechoc un choc choc

Cas d'un choc

1i i i C

t dt

dt dtp t dt p p t f dt+

+

+ = + − + θ θ

ellequantité

de mvt aprèsune durée

Absence de choc

dt


7 — Il faut moyenner l’expression précédente sur l’ensemble des porteurs de charge :

( )

( )

01 1

proba. de proba. de nesubir unquantité de choc

mouvement moyenne àl'instant 0

en admettantle caractère aléatoire

des chocs

1 1 1N N

i ii i

p t dt

t dt

dt dtp t dt pN N

+

= =

= +

+ =

+ = + − θ θ ∑ ∑

( )

( )

1 1

pas avoir dechoc nouvelle

quantité de mvt moyenne après

une durée

Absence de choc

1 1

C

N N

i Ci i

p t f dt

dt

p t f dtN N= =

+

∑ ∑

Il reste donc : ( ) ( ) ( ) Cdtp t dt p t p t f dt + = − + θ

.

Et, dans la limite où 0dt → , ( ) ( ) ( ) ( )1Forces C

p t dt p t mp t f v tdt

+ − = = − + = − θ θ ∑

, cette relation

signifie que la variation de la quantité de mouvement moyenne est due à deux forces, la force de

Coulomb Cf

et une force dissipative en ( )m v t−θ

. Dès lors l’identification est immédiate θ = τ .

8 — Probabilité ( )tΠ .

En raisonnant comme proposé dans la question 6, si on appelle la probabilité de non collision d’un porteur de charge à l’instant ( )tΠ , alors la probabilité de non collision à l’instant t dt+ est

( ) ( )1 dtt dt t Π + = − Π τ . Cette expression traduit le fait que les électrons n’ont pas de mémoire, donc

que les événements sont indépendants.

Cette dernière expression se réécrit de la façon suivante : ( ) ( ) ( )dtt dt t tΠ + =Π − Πτ

, soit encore au

premier ordre, ( ) ( ) ( ) ( )d t dtt dt t dt tdt

ΠΠ + −Π − Π τ

, ce qui conduit à l’équation différentielle

demandée : ( ) ( )d t tdtΠ Π

−τ

. Celle-ci s’intègre en ( ) ( )0 exp tt Π =Π − τ et ( )0 1Π = puisque l’énoncé dit

qu’il y a eu une collision (donc l’absence de collision est certaine à 0t += ) à l’instant 0t −= , d’où l’expression :

( ) exp tt Π = − τ

La probabilité élémentaire qu’un porteur subisse une collision pendant dt est alors :

( ) ( )choc expdt dt tdP t t = Π = − τ τ τ . On déduit le temps moyen t entre deux collisions par :

( )choc0 0

exp t dtt t dP t t+∞ +∞ = = − = τ τ τ ∫ ∫ . La durée τ s’interprète donc comme la durée moyenne entre deux

chocs.

9 — Bilan d’énergie. Le texte envisage une situation à une dimension en régime stationnaire. Puisque le modèle adopté est de type gaz parfait, les particules considérées (ici les électrons) ne présentent aucune interaction entre elles, donc leur seule forme d’énergie ( )( )T xE est de nature

cinétique. On considère une section droite fictive S

, à l’abscisse x orientée selon xu

telle que

xS Su=

.


Un électron qui a subi son dernier choc en x x′ < et se dirigeant dans le sens des 0x > aura, en moyenne, une énergie ( )( )T x′E . Le dernier choc s’étant produit en moyenne en x x v′ = − τ , cet

électron transporte une énergie ( )( )T x v− τE . Tous ces électrons sont compris dans un volume dV S vdt+ = . L’énergie transportée par toutes ces particules et qui traverse S , à l’abscisse x , est donc

de ( )( )

( )

( )( )

( )

énergie moyenne nombre d'électronspar électron se compris dans le volumedéplaçant dans le se déplaçant dans sens le sens

2 2x

S vdt

n nT x v S vu dt T x v S v dt

+ → + →

− τ ⋅ = − τ

E E .

Un électron qui a subi son dernier choc en x x′′ > et se dirigeant dans le sens des 0x < aura, en moyenne, une énergie ( )( )T x′′E . Le dernier choc s’étant produit en moyenne en x x v′′ = + τ , cet

électron transporte une énergie ( )( )T x v+ τE . Tous ces électrons sont compris dans un volume de dV S vdt− = . L’énergie transportée par toutes ces particules et qui traverse S , à l’abscisse x , est donc

de ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

énergie moyenne nombre d'électronspar électron se compris dans le volumedéplaçant dans le se déplaçant dans sens le sens

2 2x

S vdt

n nT x v S v u dt T x v S v dt

− ← − ←

+ τ ⋅ − = − + τ

E E .

Finalement, le flux d’énergie thermique qui traverse la section S

en x , c’est-à-dire le débit d’énergie thermique, vaut :

( ) ( )( ) ( )( )2 2n nx T x v S v T x v S vΦ = − τ − + τE E

Le flux thermique s’en déduit en ramenant à l’unité de surface :

( ) ( )( ) ( )( )2qnj x v T x v T x v = − τ − + τ E E

10 — Conductivité thermique. Il faut supposer que les variations spatiales de température sur la distance v= τ sont suffisamment faibles pour pouvoir écrire le développement suivant :

( ) ( )x

dTT x v T x vdx

± τ ± τ . Cette hypothèse étant faite, on peut développer le flux surfacique selon :

( ) ( )( ) ( )( )2qnj x v T x T T x T −∆ − +∆ E E avec,

x

dTT vdx

∆ = τ

( ) ( )( ) ( )( )2qn d dj x v T x T T x T

dT dT = − ∆ − + ∆

E EE E

( ) 22q

x

n d d dTj x v T nv vdT dT dx

− ∆ − τ

E E

Et finalement en introduisant les notations de l’énoncé :

( )

2 2

V

q V

C

d dT dTj x nv nv CdT dx dx

− τ = − τ

E

Vectoriellement, cette loi s’écrit : ( )( )

2

grad

grad q x q V x

T x

dTj x u j nv C u Tdx

λ

= − τ −λ

. C’est la loi

phénoménologique du premier ordre de Fourier avec, dans le cadre de ce modèle, la conductivité thermique du gaz d’électron qui vaut : 2

Vnv Cλ = τ .


Remarque : Notons que, dans un cadre plus général à trois dimensions, il faudrait remplacer

la vitesse quadratique moyenne selon Ox notée ici 2v , par 213

v .

11 — Nouvelle expression de la conductivité thermique λ . Dans le modèle du gaz parfait à

une dimension, on peut écrire l’énergie moyenne d’une particule du gaz comme : 21 12 2 Bmv k T= et sa

capacité thermique 12V B

dC kdT

= =E . En remplaçant dans l’expression précédente on obtient :

2 21

122

B BV B

k T kmv C kn n n Tm m m

ττ τλ = = =

12 — L’expression du rapport Tλγ

s’en déduit rapidement : 21

2Bk

T eλ = γ

. Comme dit dans le

cadre de la remarque de la question 10, il faut remplacer 12

par 32

pour tenir compte des trois degrés

de liberté, le rapport s’écrit alors : 23

2Bk

T eλ = γ

.

13 — L’expression du coefficient de Lorenz se déduit de celle de la conductivité thermique

obtenue à la question 10, 2

3 Vn v Cλ = τ en 3D et en remplaçant 2v par 2 2 F

Fvm

=E à partir des expressions

proposées, soit : 22

3Bk

T eλ π = γ

14 — Dans le cas classique (mais à 3D) l’application numérique conduit à : 8 2

classique

1,11 10 W KT

− − λ= × ⋅Ω⋅ γ

.

Et, dans le cas quantique elle conduit à 8 2

quantique

2,44 10 W KT

− − λ= × ⋅Ω⋅ γ

. Ces valeurs ne diffèrent

que d’un facteur 2 pour des approches aussi différentes, ce qui est surprenant.

Remarque : Il faut noter que si on développe complétement la théorie quantique, on constate

que l’estimation de la capacité thermique quantique est plus faible d’un facteur de l’ordre de B

F

k TE

et

l’estimation correcte de la vitesse quadratique moyenne est plus grande d’un facteur de l’ordre de F

Bk TE , ces deux effets ont donc tendance à se compenser, ce qui explique la proximité des deux valeurs

numériques.

Partie III — Détermination expérimentale de la conductivité thermique du cuivre.

Pour toute cette partie on pourra se référer à : [7] et surtout [8].

15 — Pour déterminer la masse volumique du cuivre, il faut accéder à la masse et au volume d’un échantillon de cuivre.

On détermine sa masse par pesée sur une balance de précision.

Pour le volume, on se munit d’une éprouvette graduée dans laquelle on verse une quantité d’eau dont on mesure précisément le volume. On plonge ensuite le cuivre dans cette éprouvette et on


mesure le nouveau volume. Par différence on obtient le volume de l’échantillon de cuivre. Sa masse

volumique se déduit en faisant le rapport des deux grandeurs mesurées selon : (Cu)(Cu)

mV

. Il est possible

d’effectuer les deux opérations en une seule en posant l’éprouvette remplie d’eau sur la balance tarée.

Remarque : il est aussi possible d’exploiter la poussée d’Archimède, on pourra consulter à ce sujet la référence suivante : [9].

La détermination de la capacité thermique se fait généralement en 1ière année, dans le cadre des TP de calorimétrie. On peut consulter à ce sujet : [10], [11] page 280.

Une méthode habituellement suivie est celle des mélanges. On utilise un calorimètre de capacité thermique connue rempli d’une masse d’eau eaum à une température 1θ connue aussi et légèrement inférieure à celle de la pièce. L’échantillon de cuivre de masse Cum est porté à une température 0θ et rapidement plongé dans le calorimètre. On agite jusqu’à l’équilibre thermique dont on note la température finale fθ (qui devra être légèrement supérieure à celle de la pièce afin de pouvoir négliger les corrections calorimétriques).

L’ensemble constitué du calorimètre, de l’eau et du cuivre constitue un système fermé et isolé, ce qui permet d’écrire : ( ) ( ) ( )Cu 0 calo eau eau 1

énergie thermique énergie thermiquecédée par le cuivre reçue par le calorimètre et l'eau qu'il contient

f fm c m m Cθ −θ = + θ −θ

.

c capacité thermique massique de l’échantillon de cuivre.

eauC capacité thermique massique de l’eau.

calom valeur en eau du calorimètre (et ses accessoires)

16 — Équation différentielle.

Le système étudié est la plaque de cuivre. Les dimensions de l’échantillon sont grandes suivant

Oy et suivant Oz comparées à l’épaisseur L (suivant x ). Le problème est donc unidimensionnel suivant x et dépend du temps.

De façon classique, on fait un bilan d’énergie thermique sur un portion de cuivre, située entre x et x dx+ . Le vecteur flux surfacique d’énergie thermique générée par le flash est porté par xu

et ne


dépend que de x et du temps, ( ),q q xj j x t u=

. Puisque toutes les pertes sont négligées, sur une tranche de largeur dx et de section S le bilan conduit à :

( ) ( ) ( )2

énergie entrée à l'abscisse énergie sortie à l'abscisse pendant pendant

bilan d'énergie thermique sur une tranche de Cu de la

, ,q x q x

x x dxdt dt

d H j x t u S j x dx t u S dt+

= ⋅ − + ⋅

rgeur pendant dx dt

( ) ( ) ( )2 , ,q qd H j x t j x dx t S dt = − +

Au premier ordre :

( ) ( )

2

volumeélémentaire

du système

,q

t

dV

j x td H dx S dt

x ∂

− ∂

Si on peut admettre que la de Fourier est valable dans les conditions de l’expérience et pour le

matériau étudié alors, ( ) ( )( ) ( ),, grad ,q x

t

T x tj x t T x t u

x ∂

= −λ = −λ ∂

, et donc :

( ) ( )

22

2volume

élémentairedu système

,

t

dV

T x td H dx S dt

x ∂

− −λ ∂

Dans les conditions de l’expérience et pour une phase condensée, la variation d’enthalpie vaut au premier ordre :

( ) ( )2 ,

x

T x td H dm c dT dx S c dt

t ∂

= ρ ∂

En égalant les deux expressions de la variation d’enthalpie, on obtient :

( ) ( )2

2

, ,

x t

T x t T x tdx S c dt dx S dt

t x ∂ ∂

ρ − −λ ∂ ∂

( ) ( )2

2

, ,

x t

T x t T x tc

t x ∂ ∂

ρ = λ ∂ ∂

Ou encore :

( )

( )2

2

1

, ,0

xt

D

T x t T x tcx t

∂ ∂ρ− = ∂ λ ∂

Avec le coefficient de diffusion thermique D qui vaut Dcλ

=ρ

. On retrouve ainsi l’équation de la

chaleur à une dimension sans perte ni création. Le coefficient de diffusion thermique s’exprime en 2 1m s−⋅ , ce que l’on retrouve facilement avec la relation précédente :

[ ] [ ][ ] [ ]

3 1 12 1

3 2 2 1 2

:: :

MLT TD L TML c L T L

− − −−

− − − −

λ θ= = =

ρ θ

17 — Recherche de solutions stationnaires. Il suffit de remplacer la forme de la solution proposée dans l’équation de la chaleur pour obtenir les deux équations demandées :


( ) ( ) ( ) ( )2

2

1 0xt

f x g t f x g tx D t

∂ ∂− = ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )1 0g t f x f x g tD

′′ ′− =

En séparant les variables :

( )( )

( )( )

fonction de fonction de uniquement uniquement

t x

g t f xD

g t f x′ ′′

=

Deux fonctions, de deux variables différentes, devant être égales quel que soit x et t sont forcément égales à une constante notée ici Cte .

( )( )( )( )

g tCte

g t

f x Ctef x D

′=

′′ =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 1

0 2

g t Cte g t

Ctef x f xD

′ − =

′′ − =

Le flash étant de durée finie, l’énergie transmise à la plaque est, elle aussi, finie. De fait, l’équation ( )1 se résout selon : ( ) ( ) ( )0 expg t g Cte t= × . La constante Cte est donc forcément strictement négative, notons 0Cteα = − > la nouvelle constante positive qui s’exprime en 1s− .

L’équation ( )2 s’écrit : ( ) ( ) 0f x f xDα′′ + = où α et D sont deux constantes positives. Les formes

des solutions s’écrivent alors selon : ( ) 1 2cos sinf x C x C xD D

α α= +

. La forme la plus générale de

la fonction est donc : ( ) ( ) ( ) 1 2, 0 exp cos sinT x t g t C x C xD D

α α= α +

et toutes ses combinaisons

linéaires puisque l’équation de la chaleur est linéaire, ou encore

( ) ( ) ( ) ( ), exp cos sinT x t t u k x w k x = α + avec les notations ( ) 10g C u= , ( ) 20g C w= et kDα= .

18 — Décomposition en série de Fourier

La condition initiale, à 0t = , s’écrit ( ),0 si 0LT x xΓ= ≤ ≤ δ

δ et

vaut 0 partout ailleurs. La représentation graphique de la température est donnée ci-contre.

En remplaçant 0t = , la forme de solution trouvée précédemment conduit à : ( ) ( ) ( ),0 cos sinT x u k x w k x= + ce qui, à première vue, est difficilement compatible avec le profil imposé.

On veut trouver une fonction ou une combinaison linéaire de fonctions qui rendent compte de l’évolution spatiale de la température initiale. Pour ce faire, on peut étendre notre problème initial à une situation identique de 0 à L mais allant de −∞ à +∞ de façon périodique comme proposé ci-dessous :


Cette nouvelle fonction étant périodique de période L (et satisfaisant aux conditions de

Dirichlet), se décompose en série de Fourier selon ( ) ( ) ( )0

,0 cos sinn n n nn

T x u k x w k x∞

=

= +∑ . Chacune de

ces composantes doit satisfaire à l’équation de diffusion de la chaleur, il faut donc multiplier par la fonction temporelle pour obtenir la forme la plus générale de la solution :

( ) ( ) ( ) ( )0

, exp cos sinn n n n nn

T x t t u k x w k x∞

=

= −α + ∑

19 — Expression des coefficients.

La fonction ( ),T x t doit être L périodique suivant x et de valeur moyenne Γ à l’instant initial.

Le texte dit que la plaque est isolée, cela signifie que le flux surfacique thermique ( ),qj x t est nul en 0x = et en x L= . Ces deux conditions se traduisent par :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

,0, 0 1

,, 0 2

q

x

q

x L

dT x tj t

dx

dT x tj L t

dx

=

=

= −λ =

= −λ =

La condition 1 se traduit par : ( )0

exp 0n n nn

t w k∞

=

−α =∑ , (la famille ( )exp tα étant libre), les

coefficients nw sont tous identiquement nuls. La fonction recherchée s’exprime, à ce stade, selon :

( ) ( ) ( )0

, exp cosn n nn

T x t t u k x∞

=

= −α ∑ .

La condition 2 se traduit par : ( ) ( )0

exp sin 0n n n nn

t u k k L∞

=

−α = ∑ , pour les mêmes raisons que

précédemment, il faut que, pour tout n, ( )sin 0nk L = (avec 0, 0n nu k≠ ≠ ), ce qui implique nk nLπ

= où

n est un entier non nul. Le cas 0n = se fait par calcul de la température moyenne Γ à l’instant initial,

l’expression à ce stade est : ( ) ( )1

, exp cosn nn

nT x t t u xL

∞

=

π = Γ + −α ∑ .

On remplace l’expression précédente dans l’équation de la chaleur, ce qui conduit à :

( ) ( )2

1 1

1exp cos exp cosn n n n nn n

n n nt u x t u xL L D L

∞ ∞

= =

π π π − −α = −α −α ∑ ∑ où, après simplification (la

famille ( )cos nx étant libre), on obtient 2

nnL D

απ =

, le coefficient nα vaut donc 2nD

Lπ

.


L’expression à ce stade est : ( )2

1

, exp cosnn

n nT x t Dt u xL L

∞

=

π π = Γ + − ∑ .

20 — Expression des nu . Pour déterminer ces coefficients on peut calculer les coefficients de la décomposition en série de Fourier de la distribution de température initiale.

A l’instant initial, il reste ( )1

,0 cosnn

nT x u xL

∞

=

π = Γ +

∑ avec ( )0

2 ,0 cosL

nnu T x x dx

L Lπ =

∫ pour 0n > .

L’intégrale étant linéaire : ( )0 0

1 0

2 2 2,0 cos cos 0 cosL L

n

I

n L n nu T x x dx x dx x dxL L L L L L

δ

δ

π Γ π π = = + × δ ∫ ∫ ∫

. Il

reste l’intégrale 1I à calculer : 0 0

2 cos 2 sinnL n L nu x dx x

L L n L

δδ Γ π π = = Γ δ πδ ∫ ou encore :

sin2 sin 2n

nL n Lu

nn LL

πδ πδ = Γ = Γ πδπδ

Finalement l’expression de la température est :

( )2

1

sin, exp 2 cos

n

nn nLT x t Dt x

nL LL

∞

=

πδ π π = Γ + − Γ πδ

∑

21 — Expression de ( ),T L t . Puisque Lδ , le sinus cardinal admet un équivalent en 0, à

savoir :sin

1

nL

nL

πδ πδ

. D’autre part, cos 1n LLπ = ±

suivant la parité de n. L’expression se ramène à :

( ) ( )2

1

, 2 exp 1 n

n

nT L t DtL

∞

=

π = Γ + Γ − − ∑

La fonction ( )tζ s’en déduit :

( ) ( )2

1

1 2 1 exp

n

n

n

nt DtL

∞

=

α

π ζ = + − −

∑

22 — Expression de 1/2t . Par lecture graphique, on peut relever 1 1/2 1,4tα pour 1 / 2ζ = . La

relation attendue est 11/2

1,4t

α .

23 — La courbe expérimentale confirme le modèle proposé, du moins dans la phase montante

de la courbe. Si on exploite la relation précédente : 11/2

1,4t

α , il faut estimer la valeur de t

correspondant à 1 / 2ζ = , qui (aux erreurs de lecture près) semble se situer autour de 60 ms . La valeur maximale max 7 u.a.ζ = , donc la moitié si situe aux alentours de 3,5 u.a. .Comme le flash est émis à 48 ms , la durée correspondant à 1/2t est donc de 12 ms .


L’expression de 1α est 2

DLπ

, d’où : 2

1/2

1,4DL tπ =

, ou encore :

2

1/2

1,4 Lct

λ = ρ π . L’application

numérique conduit à : 23

3 2 2 1 13

1,4 3,12 109,0 10 4,0 10 4,1 10 W m K12 10 3,14

−− −

−

×λ × × × = × ⋅ ⋅ × .

24 — Coefficient de Lorenz. Le rapport T

λ γ

obtenu à partir des questions 4 et 23 se calcule

selon : 2

8 27

4,1 10 2,2 10 W K6,0 10 300T

− − λ ×= × ⋅Ω⋅ γ × ×

. L’ordre de grandeur de cette valeur est parfaitement

conforme avec l’expression quantique du coefficient obtenu à la question 14.

Bibliographie

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[2] Collegiale, «Incertitude de mesure,» Wikipédia, [En ligne]. Available: https://fr.wikipedia.org/wiki/Incertitude_de_mesure. [Accès le 14 aout 2020].

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[9] Institut_canadien_de_conservation, «Comment déterminer la denisté dun métal,» Gouvernement du canada, [En ligne]. Available: https://www.canada.ca/fr/institut-conservation/services/publications-conservation-preservation/notes-institut-canadien-conservation/densite-metal.html#a3.

[10] S. Aoudia, «TP de Thermodynamique,» Université de Bejaia, 2016 2017. [En ligne]. Available: https://www.canada.ca/fr/institut-conservation/services/publications-conservation-preservation/notes-institut-canadien-conservation/densite-metal.html#a3.

[11] R. Duffait, Capes de Sciences Physiques, Bréal, 2008.

[12] Collegial, «Drude Model,» Wikipédia, [En ligne]. Available: https://en.wikipedia.org/wiki/Drude_model.

Version — 5 — mise en ligne le 3 Octobre 2020

Mines-Ponts 2020 Physique II MP Loi de Wiedemann-Franz

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