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•—• .-MILIARIA. A L ENERGIE ATOMIQUE

CENTRE D'ETUDES DE LIMEIL-VALENTON

Dc?ar:e=ier.t de MATHEMATIQUES APPLIQUEES

v i c e de Machéoa t iques e t Codes Numériques

B .F . n° 27

9-190 VILLENEUVE Sr GEORGES

CEA-N-

QUELQUES SCHEMAS NUMERIQUES DE HAUTE PRECISION .

POUR L'INTEGRATION DES EQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE

PRESENTATION ET RESULTATS

J . C . DESGRAZ

J u i n 1985

COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE CENTRE D'ETUDES DE LIMEIL-VALENTON

Département de MATHEMATIQUES APPLIQUEES Service de Mathématiques et Codes Numériques

B.P. n* 27

94190 VILLENEUVE St GEORGES

CEA-N-

QUELQUES SCHEMAS NUMERIQUES DE HAUTE PRECISION

POUR L'INTEGRATION DES EQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE

PRESENTATION ET RESULTATS

J.C. DESGRAZ

Juin 1985

PLAN

RESUME

I - INTRODUCTION

II - LE SCHEMA P.P.M.

11.1 - Description

11.2 - Résultats

I I I - LES SCHEMAS DE TYPE PREDICTION CORRECTION

111.1 - Présentation

111.2 - Calcul des valeurs intermédiaires (prédiction)

111.3 - Calcul des valeurs finales (correction)

111.4 - Les formules d'interpolation

111.5 - Résultats

IV - CONCLUSION

ANNEXE A : Interpolation

ANNEXE B : Analyse de Fourier

REFERENCES

RESUME

Nous présentons quelques schémas numériques d i t s de haute préc i s ion

pour l ' i n t é g r a t i o n des équations de l a dynamique des gaz en une dimension

d'espace.

Dans l e cas des coordonnées d'Euler, l e s schémas sont décomposés en

deux phases : une phase lagrangienne su iv i e d'une phase projec t ion .

Nous ins i s tons sur l e s r é su l ta t s numériques.

ABSTRACT '

We present here some high resolution schemes for gas dynamical simulations in on space dimension.

In case of Eulerian coordinates the schemes are formulated as a lagran-gian step followed by a.remap.

We insist on numerical results.

1.

I - INTRODUCTION

Le but de ce t rava i l e s t d'étudier quelques schémas numériques d i t s

de haute préc i s ion ( c ' e s t à dire dont l 'ordre de préc is ion e s t presque par­

tout supérieur à un) pour l ' i n t é g r a t i o n des équations de l a dynamique des

gaz en une dimension d ' t pace. C'est donc l a su i te logique de notre précédent

travai l qui n ' é t a i t consacré qu'à la seule phase de project ion / 3 / e t qui

s'appuyait sur l e s travaux de B. VAN LEER / I 4 _ / .

Nous poursuivons par l 'étude plus approfondie de la seule phase l a -

grangienne. Une méthode s ' e s t imposée depuis peu par l a qual i té de ses r é s u l ­

t a t s , c ' e s t l a méthode P.P.M.* de P. COLLELA et P.R. WOODWARD /~ l_7 - Nous l u i

consacrons l e paragraphe suivant .

P.P.M u t i l i s e la réso lut ion de problèmes de Riemann, ce qui peut pré­

senter quelques d i f f i c u l t é s pour appliquer c e t t e méthode à des équations

d'état quelconques. Nou« nous sommes alors tourné vers d'autres types de

schémas : l e s schémas S* de A . LERAT e t R. PEYRET /~8 ~l. Leur étude forme o — -

l e troisième paragraphe.

Cette c lasse de schémas qui dépendent de deux paramètres a e t B con­

t i en t en part i cu l i er l e s schémas bien connus de Lax-Wendroff e t de Mac Cormack.

Ce sont des schémas e x p l i c i t e s , â tro i s po in t s , précis à l 'ordre deux. * * — —

Tls présentent donc le grave défaut de ne pas être T.V.D. A. HARTEN / 5 /.

Nous montrons toutefois qu'il est possible de les améliorer (sans les rendre

T.V.D. pour autant) et d'obtenir des résultats acceptables.

Il sera intéressant de profiter de la robustesse des schémas T.V.D.

Des travaux récents / 2_/, / 11_/ et / 13_/ laissent espérer des progrès dans

ce sens. Ce sera l'objet de notre prochain travail.

P.P.M. :Piecewise Parabolic Method.

m . . . . T.V.D. : Total Variation Diminishing.

2 .

Avant de passer à l a descr ipt ion des schémas, rappelons l e s équations

l a dynamique des gaz é c r i t e s en coordonnées de Lagrange en une dimension

d'espace e t en symétrie plane sous forme conservative :

(D

(2)

(3)

31/P 3 t

_ 3u dm

3u 3t 3m

JE + l £ l i . o 3t 3 D

P est la densité, u la vitesse, E l'énergie totale par unité de vol

m est la coordonnée lagrangienne reliée à la coordonnée d'espace par :

(A) m(x) - / P(C) dÇ

x o

• / •

Si nous écrivons E » e +1/2 u , ou e est l'énergie interne spécifique,

(3) peut s'écrire (formulation en énergie interne) :

<"•> t * ' 1 ^ - »

3.

II - LE SCHEMA P.P.M.

Comme l e s méthodes de B. VAN LEER / 15_7 c ' e s t une extension de l a mé­

thode de S. GODOUNOV / ~ W dans l e sens d'une meil leure préc i s ion . E l l e a déjà

f a i t l ' o b j e t d'une étude par H. JOURDREN /~6_7.

Avant de reprendre la descript ion de cet algorithme, nous a l lons i n d i ­

quer les dif férences qui e x i s t e n t entre ce que nous evens programmé e t l a

méthode P.P.M. or ig ina le t e l l e q u ' e l l e e s t déf inie dans / 1 / • Nous avons

systématiquement u t i l i s é la décomposition en deux phases : une phase lagran­

gienne su iv i e d'une phase projec t ion . Dans la première phase, nous avons

u t i l i s é la coordonnée d'espace x plutôt que la coordonnée lagrangienne m.

Enfin, l e s quantités qui sont interpolées sont : l a d e n s i t é , l a v i t e s s e e t

la press ion . Pour la phase de projec t ion , nous avons u t i l i s é p lus ieurs v a ­

riantes qui ont toutes l e même ordre de préc i s ion .

I I . 1 - Description de l 'algorithme

Neus ne ferons qu'une rapide descript ion de toutes l e s étapes qui com­

posent l 'algorithme P.P.M. de la phase lagrangienne. Pour s i m p l i f i e r l ' e x p o s é ,

nous nous plaçons dans l e cas d'une géométrie monodimensionnelle p lane .

Soit un mailiage de l 'axe Ox :

A x i 4 l / 2

0 V l x i V l

Le» valeurs a f fec tées aux mai l les sont indicées par i + I / 2 , l e s valeu

aux noeuds (ou aux c lo i sons ) par i .

At e s t le pas en temps.

m, q e t e désignent respectivement la masse, la quantité de mouvement

et l ' énerg ie to ta l e d'une m a i l l e .

p , u e t p désignent la dens i t é , la v i t e s se e t la press ion .

4.

L'algorithme que nous al lons décrire ast donc la su i t e des opérations qui permettent de passer des quantités connues à l ' i n s t a n t t à c e l l e s , inconnues, à l ' i n s t a n t t ' . Nous partons des valeurs déf in ies dans l e s mail les à l ' i n s t a n t t . Les d i f férentes étapes de l 'algorithme sont l e s suivantes :

I) Détermination des valeurs des dens i tés p, des pressions p e t des v i t e s s e s u aux c lo i sons des mai l les oar in terpo la t ion . Pour une descr ipt ion d é t a i l l é e des formules d ' in terpo la t ion , consulter / 9_/ e t l'annexe A de l a présente note .

2) Construction dans chaque B a i l l e e t pour chacune des quantités p, p et u de l 'arc de parabole qui passe par l e s valeurs déf in ies en 1) e t qui respecte la conservation. Pour chaque quant i té , l ' a i r e sous l ' arc de parabole es t égale au produit de la valeur moyenne par l e volume de l a mai l le .

3) Préservation de l a monotonie : Si l 'arc de parabole présente un extremum dans une m a i l l e , on corrige l e s valeurs aux c lo isons de façon à l ' é l iminer . On obtient a ins i la dé f in i t ion d'un nouvel arc de parabole.

4) Ca al de la valeur moyenne de l a v i t e s s e du son C dans chaque

mail le e t détermination des zone» d ' in f luence . On désigne a ins i l e s deux

zones qui entourent chaque c lo i son e t qui sont t e l l e s qu'une onde conique

issue d'un de leur point atte igne l a c l o i s o n dans l ' i n t e r v a l l e de temps

At « t n+1

5) Détermination des valeurs Moyennes de p, u et p dans chaque zone d'influence. Pour chaque cloison , ces valeurs définissent deux états cons­tants, le gauche et le droit.

V i

états constants

C. • C l - # 4 f c X. l -M/ t dt i+1

6.

6) Mise en oeuvre de la méthode de S. GODOUNOV : l'interaction entre

les deux mailles est considérée conme étant un problème de Riemann dont les

états initiaux sont constitués par les deux états constants définis en 5).

La résolution de ce problème de Riemann fourni les valeurs des pression et

vitesse au voisinage de la discontinuité en x. (qui joue le rôle d'une dis­

continuité de contact). Ce sont ces valeurs que nous affectons aux cloisons.

Nous les appelerons dans la suite valeurs intermédiaires. Elles sont notées r r

u. et p.. î r i

7) U t i l i s a t i o n des valeurs intermédiaires pour résoudre les équations

de conservation. Connaissant l e s masses, quantités de mouvement et énergie

de chaque maille à l ' i n s t a n t t , e t sachant que la masse r e s t e constante ,

nous pouvons évaluer l e s nouvel les quantités de mouvement e t énergies en

d i scré t i sant l es équations de conservation (1) â ( 3 ) .

( 5 ) V l / 2 " V l / 2 ' < P i + l " P i } û t

, , . n+I n t r r r r \ .» ( 6 ) V l / 2 * « i t l / 2 ' ( V l P i+1 " "i P i ) A t

Les valeurs des v i t e s s e s e t pressions s ' en déduisent

, , . n+l n+1 . ^ 7 ) V l / 2 ' V l / 2 / B i + l / 2

(8) x. • x. • u. At

, 0 v n+1 "i+1/2 w p i + l / 2 ' . n+I n+h

K*i*\ ' i '

n+1 /iftx e n + 1 e i + l / 2 1 ,„n+l .2 ( , 0 ) € i + ) / 2 ' m . M / 2 " 2 ( V l / 2 >

. . . . n+1 t , n+1 -,n+I .

7.

f représente l 'équation d'état ,

Z l ' énergie spéc i f ique .

Te l les sont l e s sept étapes de la phase lagrangienne de l 'algorithme

P.P.M.

Mentionnons l e f a i t que la résolut ion du problème de Riemann e s t i c i

f a c i l i t é par l ' u t i l i s a t i o n d'une équation d'état de type gaz parfa i t :

f (P, t ) - (Y - I ) p l .

Le l ivre de S . GODOUNOV déjà c i t é / 4_/ donne toutes l e s prec i s ions

voulues pour résoudre ce problème dans le cas p a r t i c u l i e r des i o i s de gaz

par la i t .

La phase de transport e s t assurée par l e s v i t e s s e s u. .

Pour la phase de project ion , nous disposons de t r o i s p o s s i b i l i t é s :

- La première e s t l a méthode que nous avions u t i l i s é e dans / 3 _ / .

La monotonie e s t préservée par l a formule qui provoque l e moins de correct ion ,

c ' e s t donc la moins sévère parmi c e l l e s que nous avions e s s a y é e s . El le semble

bien adaptée au schéma que nous venons de décrire;

- La seconde e s t l a project ion P.P.M. elle-même ( / ' _ / ) .

- La troisième e s t une variante de la précédente proposée par

B. MELTZ ( /"*_?) .

Toutes ces méthodes ont formellement l e seat ordre de préc i s ion .

E l l e s seront désignées dans la su i t e respectivement par P I , P2, P3.

8.

II.2 - Résultats numériques

Dans / 3_/, nous avions utilisé un problème de tube à choc proposé

par D. Bailey / 10 / à l'occasion d'un séminaire sur les méthodes de remail­

lage. Les comptes rendus de ce séminaire contiennent en outre des précisions

intéressantes sur la méthode P.P.M.

Le problème en question privilégiait en fait le phénomène de la détente

dans un gaz peu dense. Nous préférons dans un premier temps reprendre l'exem­

ple maintenant classique du tube à choc de G. SOD / 12_/. Cela permettra de

comparer nos résultats avec tous ceux qui paraissent dans la littérature.

Rappelons cet exemple :

II.2.1 - Le problème du tube_à_choc

Un gaz parfait de coefficient Y m 1,4 est placé dans un tube et main­

tenu dans deux états différents séparés par un diaphragme : Etat haute pres­

sion (numéroté A) : (unités réduites) pression p, • 1, densité p, » 1,

énergie spécifique e, • 2,5. Etat basse pression (numéroté 1) : p • 0,1,

1 0,125, e

Les vitesses sont nulles : u, * u." 0. H 1

Soit x- la position initiale du diaphragme. Après éclatement de celui-

ci, il se forme la configuration caractéristique suivante donnée par un

diagramme (x, t) :

9.

Les états 4, 3, 2 et 1 sont des états constants.

Il est possible de calculer la solution exacte de ce problème.

II.2.2 - Choix des_paramètrès numériques

La géométrie étudiée est la suivante :

H.-'ute pression Basse pression

fc.

0 0,4 0,9

Le mai11age i n i t i a l e s t constant. Le pas ' e s p a c e Ax vaut 0 , 0 1 .

Le temps final e s t tf » 0,14154. I l n'y a aucun traitement par t i cu l i er de l a

discontinuité de contact , ce qui veut dire qu'en coordonnées d'Euler, c e l l e - c j

sera éta lée sur quelques m a i l l e s .

I I . 2 . 3 - Les_çalculs

Nous avons programmé la iiéthode qui v ient d'être d é c r i t e . Nous pré­

sentons deux sér i e s de r é s u l t a t s . Les premiers sont consacrés aux coordonnées

de Lagrange ( c ' e s t â dire sans phase p r o j e c t i o n ) .

Nous comparons la méthode P.F .M. avec l es méthodes antérieures :

la méthode de G0DOUN0V et la méthode de RICHTMYUR. Nous avons u t i l i s é d i f f é ­

rentes valeurs de pas de temps, ce qui correspond à des nombres de Courant

\ - max C-j.,,0 r-=^ valant environ 1, 1/2 e t 0 , 0 3 . Le schéma de RICHTMYER l 1+1/2 Axi+i/2

e s t u t i l i s é avec l a pseudo-viscos i té h a b i t u e l l e .

La première comparaison concerne le schéma de RxJHTMYER e t le schéma

P.P.M., avec \ - 0 .54 .

La deuxième concerne l e schéma de G0D0UN0V et l e schéma P.P.M. avec

X - 1.

10.

Les planches I à VIII montrent les profils (respectivement densité,

énergie inten-e spécifique, pression et vitesse) obtenus dans ces différents

cas.

Les meilleurs résultats sont ceux du schéma P.P.M. Seuls deux petits

défauts très localisés se manifestent : au pied de la détente où les valeurs

de densité, énergie et pression sont légèrement surévaluées et au voisinage

de la discontinuité de contact pour la densité et l'énergie. Le choc est

bien restitué : l'étalement est très faible : un seul point intermédiaire.

Le schéma de RICHTMYEF présente des défauts bien plus importants : un creux

caractéristique dans les profils de densité, de pression et d'énergie toujours

au pied de la détente qui affecte deux points. Le choc est étalé sur trois

points. Le coefficient de pseudo viscosité qui a été choisi ici réalise

toutefois un bon compromis entre l'étalement et l'amplitude des oscillations

qui reste faible. Les différents paliers ne sont pas bien restitués. Le schéma

de GODOUNOV donné d'excellents résultats au niveau du choc et du palier qui

le suit. Il est en revanche très peu précis au niveau de la détente, ce qui

est une caractéristique des schémas d'ordre un.

Nous constatons en comparant les deux résultats du schéma P.P.M. que

le nombre de Courant à une certaine influence. Afin de préciser cela nous

avons passé deux calculs supplémentaires avec un nombre de Courant petit

(A - 0,03).

Les planches IX l XII montrent les résultats comparatifs RICHTMYER-

P.P.M.

Le schéma P.P.M. présente dans ce cas une évidente degradation.

Nous ne constatons pas csla du tout dans le cas du schéma de RICHTMYER.

La raison en est que lorsque X est petit les zones d'influence sont elles-

mêmes petites et les valeurs des états constants se rapprochent des valeurs

interpolées aux cloisons. Dans ce cas, résoudre un problème de Riemann ne

sert â rien. Nous savons qu'un schéma avec des valeurs intermédiaires sim­

plement interpolées présente de fortes oscillations (instabilité du schéma

centré). Ceci nous paraît être le défaut le plus grave de la méthode.

12.

Pour être tout à f a i t complet, nous avons f a i t un autre ca lcul en

prenant l es formules d ' interpolat ion t e l l e s q u ' e l l e s sont données dans / 9 ~j

sans autre modification que la correct ion de p o s i t i v i t é .

P. COLLELA e t P.R. WOODWARD proposaient en e f f e t dans /~1 7 des modi­

f icat ions à ces formules d ' interpolat ion que nous avons pr i ses c i compte

jusqu'à présent . Les planches XIII à XVI montrent les dif férences obtenues

en effectuant ou non ces modif icat ions . Sans modif icat ion, le défaut loca­

l i s é au pied d? la détente d i spara î t . En revanche, l e voisinage du choc se

trouve légèrement perturbé. Sur ce t exemple, l ' i n t é r ê t des modifications

proposées par COLLELA-WOODWARD ne semble pas évident . Des d é t a i l s au sujet

de c e l l e s - c i sont donnés en annexe A.

La deuxième s l r i e de ca lculs concerne les coordonnées d'Euler.

Le pas d'espace vaut 0 , 0 1 . Nous ne retenons que le schéma P.P.M. pour la

phase lagrangienne. Nous comparons l e s t ro i s méthodes de project ion que

nous avons désignées par PI, P2, P3. Les planches XVII à XX montrent l es

résu l ta t s obtenus avec l e s project ions PI et P3, les planches XXI â XXIV,

ceux obtenus avec P2 qui e s t la project ion P.P.M.

w

Les deux premiers calculs ont été faits avec un nombre de Courant

X «max((u£+]/2 + ci+i/2^ A • 0,9. Les deux suivants qui utilisent la

projection P2 ont été faits avec deux nombres différents : 0,9 pour comparer

avec les deux premiers calculs, et 0,02 ; ceci afin de voir «si la méthode

P.P.M. présente également des défauts en coordonnées d'Euler en cas de nombre

de Courant petit. Nous remarquons de suite qus les trois méthodes donnent des

résultats très voisins. Si nous considérons les profils de pression et de

vitesse, il est facile de voir que les résultats de PI sont légèrement moins

bons. Par contre, les profils de densité et d'énergie contredisent cette

première conclusion. En définitive, nous avons pourtant tendance à préférer

les résultats de P2 et de P3 extrêmement proches l'un de l'autre, simplement

parce que la discontinuité de contact est moins étalée (trois mailles au lieu

de quatre). Cela indique une diffusion moins importante. Ces résultats sont

comparables à ceux obtenus par B. VAN LEER / 15_7• En ce qui concerne l'essai

sur les nombres de courant petits, nous voyons que la méthode P.P.M. laisse

bien apparaître quelques légers défauts, mais cela n'a pas l'ampleur constatée

dans le cas des coordonnées de LAGRANGE.

12.

1

•M . H

W C m o

/I i s

:

.

• j 4

• J J i 2 1

ST

IX OH

u z < -J

u 0)

u Of

PLANCHE II : Energie interne

X = 0,54

3.5

.3.0

• 3 r - •S-

*.a

3.s

3.0

?.5 •»•*»••»

\ V

Richtmyer

. A .R INtU'-H

.'.i':Y:lp

X

—

U" "•""—ni

.4 .fi

P.P.M.

mm

PLANCHE III : Pression

X = 0,54

1. 9 u... ...

• •' t

' • " it»n>'

Dr '. ;W(W

Richtmyer P.P.M.

15.

01 0) <n ai

s: a. a.

sr m o ii

u z <

y

(0

c CD

c

16.

s:

to.

= %

z < -1 0-

> o e 3 o "S

PLANCHE VI : Energie spécifique

01 -9 >V«-;»

1.0

3.5

?.5

r.fi

Godounov

X"

» * % > ,

\ \

P.P.M.

PLANCHE VII : P r e s s i o n

!.«<

0» A V V . » * . *

0 lf 't"'i

m f.pi 'n.n

Godounov P.P.M. 00

PLANCHE VIII : Vitesse

**•• .\u.nv

.B

UNI' .'. U W Dl I*. (Vil.il

Godounov

...-----Wv'^

P.P.M. «

20.

ï ft.

m c

X

ci © ©

21

- « G! S

X O 35

< 6.

ai

* fî o

5*

PLANCHE X : Energie interne

X - 0,03

9>

i.H

3.0

2. r .

Richtrayer ' 1411 p ' .«Hlll l

IH

P . P . M . N>

22.

t

c o • M en u> 0) lu m eu o •• 3

t—1 ; X r<

w 3S u 12 <. 0»

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« 4-1

23.

i

0 1 CO

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[ I 1

* • 4

î j i

• 4 4 f c t

H

w X u z •s

m o o* il

! •g

PLANCHE XIII : D e n s i t é

I

P.P.M. A = 0 , 5 4

•Q » ,

.4 .

TEMPS -0.1 i?m 01 "P.lV.-iV

Interpolation / 9 / Interpolation modifiée / ]_/

PLANCHE XIV : Energie interne

P.P.M. X = 0,54

3.S

01 -t.M?W

3.0

?.[) ..

t'I (•.fW.'KP

Interpolation / 9 / Interpolation modifiée / I 7

PLANCHE XV : Pression

P.P.M. A = 0,54

1.0

0' -e.w.w Interpolation / 9_/ Interpolation modifiée / 1 / to a»

PLANCHE XVI : Vitesse

P.P.M. X = 0,54

— --

f r

9

7_

à - - • • • • - 6 - (T

0' -».PP.JW

Interpolation / 9 /

I

\

Interpolation modifiée / I /

s»

PLANCHE XVII : Coordonnées d'Euler

Densité

I E K " ; a. i»tS4 01 =».»41S

L " T J

L 01 - .W41F.

iw i i r

Projection 3 Projection I N i OS

PLANCHE XVIII : Energie spécifique Coordonnées d'Euler

4 0

3.5 _.

?.5

?.0

?EWS -t. I11S1 t» -».ieii6

Projection 3

4.0

3.5

2.S

i.9

TW> - .mi* 01 - .MM M

i

Pr -jection I

NI

PLANCHE XIX : Pression

Coordonnées d'Euler

i .p

.6

» • * » . * » » * . • * * » * * * * • * •-• » • * » . * » » * . • * * » * * * * • * •-•

\

i

\

i TEWS :g .MlU

.i .B

PffcSSinN IEWS = . m u DT ^ .MMI6

Projection 3 Projection 1 o

PLANCHE XX : Vitesse

Coordonnées d'Euler

IffPS -».IJI5J

Projection 3 Projection I

32.

«8 C

C l

c I

X w X y z < a.

CM

PLANCHE XXII : Energie spécifique

P2

4 4>

I

>.S l

'€'*•- ir. m u 01 -».(V.HS

*.v

3.B

?. 5 ••**»»•••**•••»•*••

2.B

iFtt'S •« . Ml n 01 ;» .KWIP

\

•i, I

. « / . r. r ni I ' M

A - 0 ,9 A - 0 ,03

PLANCHE XXIII : Pression

P2

i. s* i.......

. 0 _

P" -*».«MI* 0' =».«'•.>!

A = 0,9

1 l

\ - 0,03

PLANCHE XXIV : Vi tesse

P2

i.f)

.h .6

. i l .

r-1FHP1 p. M I r,i> 01 "B.KWH

X - 0 ,9 X = 0 ,03

36.

Ill - LES SCHEMAS DE TYPE PREDICTION-CORRECTION

Le but de ce paragraphe est de présenter une famille de schémas qui

n'utilisent pas la solution d'un problème de Riemann. Malgré cela, nous dési­

rons conserver la même structure que le schéma P.P.M., structure qui découle

du fait que toutes les quantités sont définies au centre des mailles. Il faut

alors calculer les valeurs intermédiaires autrement qu'en résolvant un pro­

blème de Riemann. Nous nous sommes tournés vers la classe des schémas S 0

de A. LERAT et R. PEYRET / 8_/. Ce sont des schémas explicites, précis au

second ordre, du type prédicteur-correcteur à trois points.

III.1 - Présentation des schémas

Nous allons tout d'abord présenter ces schémas dans le cas d'une équa­

tion scalaire :

3t + IS f ( U ) " ° '

Nous.partons de trois valeurs connues en n At

Vl/2 ' Vl/2 e t Ui +3/2'

Nous calculons dans une première phase des valeurs intermédiaires

notées u? et u? (valeurs prédites). Nous calculons ensuite dans une 1 1 + n+1

seconde phase (dite correction), la valeur finale u-.i/ 2

e n (n+l)ût.

a, 6 sont des paramètres, a J4 0.

37.

n+1 n+1

u

-m-

\

-v-n+c<

A<*t

i-1/2 * 3 f-

i+1/2 i+3/2

Posons : Ax. - x. + 1 / 2 - x . _ ] / 2 A x . + 1 / 2 - 6 A x i + ! + (1-3) AXi

Phase prédict ion

u i = ( 1 - s ) Vi/2 + e n At I ,n f n

U i + l / 2 " a Ax. i+1/2 ' £ i - l / 2

Phase correction

n+1 u. n u. At i+1/2 i+1/2 2a Ax. i + 1 / 2

(«-B)fJ + 3 / 2

+ (2 6 - l ) f n

+ 1 / 2

+ ' , - ^ > f i - l / 2 + f P

p - f? 1 i+1 i

l>- d i f férents ^ e f f i c i e n t s qui interviennent dans ce t te deirnifcre

formule garantissent l 'ordre deux du schéma. Le cas a • 8 " 1/2 correspond

au schéma ce Lax-Wendïoff.a • 1» 6 * 0 et a • 1» (3 • J correspondent aux

deux s o é n a s de Mac Cormack.

38.

Aucun de ces schémas n 'es t T.V.D. I l s fournissent donc des so lu t ions

avec des o s c i l l a t i o n s p a r a s i t e s .

Plusieurs méthodes nont été proposées pour résoudre c e t t e d i f f i c u l t é .

Parmi c e l l e s - c i l e s méthodes d i t e s de "pseudo-viscosité" (ajout d'un terme

d i s s i p a t i f ) sont semble t - i l l e s plus f a c i l e s à introduire dans les programmes

de c a l c u l . Les plus récentes découlent de la théorie des schémas T.V.D. :

: . F . DAVIS /~2_7, P.K. SWEBY /~13_7» P.L. ROE / ~ H _ / . Nous n'introduirons pas

pour l ' i n s t a n t de termes de pseudo-viscosi té dans nos schémas. Nous avons

en e f fe t l ' i n t e n t i o n par la su i t e d'effectuer une étude plus approfondie de

ces dernières méthodes. Nous ne nous intéresserons maintenant qu'à la sous

c l a s s e S. ,^.

Nous décrivons maintenant de façon préc ise l ' app l i ca t ion de ce schéma

au système de la dynamique des gaz é c r i t en coordonnées de Lagrange. Pour l e

cas des coordonnées d'Euler, nous décomposerons en phase lagrangienne plus

phase project ion .

I I I . 2 - Calcul des valeurs intermédiaires (prédict ion)

Nous les noterons maintenant u. e t p. î r i

Nous partons des valeurs déf inies dans les mai l les :

V l / 2 ' V l / 2 ' e i + l / 2 e t P i + l / 2 '

Nous avons *• se in des valeurs de dens i t é , v i t e s s e , pression et énergie

spécif ique sur l e s c l o i s o n s . I l y a un grand nombre de p o s s i b i l i t é s pour

dé f in ir ces valeurs :

- par interpolat ion l i n é a i r e ,

- par moyenne sur deux ou quatre m a i l l e s ,

- interpolat ion polynomiale,

- interpolat ion de l 'algorithme P.P.M.,

- e t c . .

39

Nous déta i l l erons dans l'annexe A l e s d i f férentes formules que nous

avons u t i l i s é dans nos e s sa i s numériques.

Nous supposons donc connues l e s valeurs : P. , u . , p. e t 1., a ins i que

la masse m. attachée à une c l o i s o n . î

La vitesse intermédiaire est donnée par :

n+a n , n n •. At = u. - a(p.

î î i+] (12) u, = u, - a ( p , M / 2 - P . _ 1 / 2 ) -

î

c ' e s t l a d i s cré t i sa t i on directe de l 'équat ion ( 2 ) .

Pour le calcul de l a pression intermédiaire p. , nous proposons deux

schémas :

- Calcul de p. : premier schéma

Nous pouvons nous s e r v i r de l 'équat ion de l ' énerg ie formulée en éner­

gie interne (équation 3 b i s ) , car nous n'avons pas à nous préoccuper de la

conservation exacte durant ce t t e phase. I l e s t a lors poss ib le de procéder

comme dans l e schéma de RICHTMYER. L'énergie interne spécif ique fc? et l a

pression p. sont ca lculées en résolvant le système :

y n+a on n+a / 1 1 \ * i ' \ " ^i l ~n+3 " ~H}

p i p i (13) l 1 x

n+a c / n+a »n+a\ p £ - f ( p i , V )

où f es t l 'équation d ' é t a t . \ . et p. sont ca lculés par in terpo la t ion .

p. e s t donné par : ( d i s c r é t i s a t i o n de (1)) :

/ w \ 1 1 ^ a At , n n . ( 1 4 ) - n T a - - - + — ( u i + l / 2 " V l / 2 5 '

p i P i

40.

Le système (13) e s t en genera 1 résolu par une méthode i t é r a t i v e de

type Newton. Dans le cas par t i cu l i er d'une l o i de gaz p a r f a i t , i l v ient immé­

diatement :

z , . n+a —n

( . 5 , p ~ - ( ï " " 0 i *» (1 • C - 1) ( P ° - P " * V O " )

Remarque : Nous pourrions dans la première formule de (13) centrer la

pression ; c ' e s t à dire écr ire :

n+a n

do) t r a - t ? - (ÎL-1ZL—) (_! L) i i v 2 ' „n+a n'

P i p i Dans le cas, où la cloison considérée est une interface entre deux

matériaux différents, nous ne pouvons plus définir p. et%..

Les relations (13) à (16) ne sont plus valables. Par contre, la for­

mule (12) qui donne la vitesse reste correcte. Nous proposons un autre

schéma pour calculer p. qui reste valable dans tous les cas.

- Calcul de p. : deuxième schéma

., , , - n+a „ n+a „ n n+a Nous évaluons séparément p. .,_ et p. , ,-. Par exemple, P-.i/o e s t

obtenu en résolvant le système :

• n+ct «n n+a / 1 1 \ 1+1/2 * 1+1/2 " pi+l/2 n+a " n I

\ pi+l/2 pi+I/2 7

(17)

avec

n+a , / n+a *n+a \ p i + l / 2 t k P i + l / 2 ' c i + l / 2 ;

. , „ . 1 1 At , n n. ( , 8 ) -**r - - — + a s — : ( V i - V

Pi+l/2 pi+l/2 1 + 1 / 2

p. est ensuite calculée par interpolation à partir de P-.i/ ?

e t

n+a Pi-l/2'

41.

En résumé, le premier schéma consiste à calculer l'accroissement de

pression directement sur les cloisons à partir des valeurs interpolées.

Dans le second schéma, au contraire, les accroissements sont évalués dans

les mailles et c'est la pression en t + aAt qui est calculée par interpolation.

Dans le cas où i est l'indice d'une interface, nous utiliserons donc

toujours le second schéma. Nous l'avons dans ce cas particulier quelque peu

modifié :

- les densités P*+1/o e t P-_i/2 s o n t calculées à partir des formules

(18) dans lesquelles les vitesses u._., u. et u. . sont remplacées n+a n+a .. n+a

par u. ,, u. et u. , ; v 1-1 i 1+1

- la vitesse de l'interface est recalculée avec la formule (12) dans

laquelle les pressions P + 1 / 2

e t P'_i/2 s o n t remplacées par P- + 1/ 2

n+a et p. , ,. et en prenant a = 1. ri-1/2

Ces modifications qui tendent a rendre les calculs des vitesses et des

pressions aux interfaces un peu plus "implicites" améliorent sensiblement les

résultats.

42

I I I . 3 - Calcul des valeurs f ina le s en t + At (phase correction)

Cette phase u t i l i s e les valeurs prédites u. e t p. ca lculées précé­

demment a ins i que l e s valeurs u. e t p. pour certaines valeurs de ex de façon

à conserver l'ordre deux. La d i s c r é t i s a t i o n d irecte des l o i s de conservation

conduit aux équations :

(19) n+1 At q i + l / 2 = q i + l / 2 2a

,_ 1 W n n, n+a n+a I ( 2 a - l ) ( p . + 1 - P . ) + p. + 1 - p . J

(20) n+1 n At e i + l / 2 * e i + l / 2 2a

/« , , / n n n n. . n+a n+a ( 2 a - l ) ( p . + 1 u . + 1 - P . u . ) + p . + 1 u . + 1

n+a n+a

(21)

La v i t e s s e 4e déplacement des sommets e s t donnée par :

(2g- l ) u. + u. w l / 2

u. = = • u. i 2a i

par appl icat ion de la formule (12) . Nous en déduisons

(22) n + l n ^ *. v&\/2 x. • x. + At u. î i i

(23) n+1 , , n+1 n+1. P i + l / 2 " m i + l / 2 / ( x i + l " X i }

(24) n+1 n+1 ,

u i + l / 2 * V l / 2 / m i + l / 2

(25)

(26)

tn+1 n+1 . . . _, n* 1 ,. 2

1*1/2 " e i + l / 2 / Œ i + l / 2 -• 1 / 2 ( u i + l / 2 }

n+î , , n+1 tn+1 . ? i + l / 2 " f ( 0 i + l / 2 ' t i + l / 2 )

4 3 .

I I I . 4 - Les formules d ' interpolat ion

Classiquement ce sont des interpolat ions l inéa ires qui sont u t i l i s é e s .

Dans l e cas de maillage i r r é g u l i e r , s i Y.est une des quantités que l 'on dés ire

interpoler :

I ( m

Y i + l / 2 A 3 C i - l / 2 * Y i - l / 2 A x i » l / 2 (27) y . • I(Y

"* i - I /2 ' a " i + l / 2 i i x . , ,„ • &x_.

Dans la pratique, certaines quantités sont évaluées avec des formules

p a r t i c u l i è r e s . I l en e s t a ins i pour la pression e t l a v i t e s s e .

Pour la press ion , l a formule habituellement u t i l i s é e peut se j u s t i f i e r

de la façon suivante :

Plaçons nous sur une c lo i son i e t désignons par p. la press ion (incon­

nue à p r i o r i ) qui s 'exerce SUT ce t te c l o i s o n . Nous pouvons ca lculer une v i ­

tesse â gauche u. au temps t + aAt :

n 2aAt , n -n * u. * u. • - = = — (p. . , » - p. )

i , g i m

i _ i / 2 1-1/2 i

de même â droite :

n ^ 2xAt , -n n . U i , d " U i + m - T 7 : ( p i - p i + l / 2 > 1+1/2

La valeur de p. se déduit de l a cont inuité des v i t e s s e s : u. • u. , i i » g i . d

d'où :

-n p H / 2 " i - 1 / 2 * P H / 2 V l / 2 o _ * ^ i ^ « i ••

"i-l/2 + V l / 2

(28) p^

ce que nous pouvons écrire d'après (27) :

- I * (29) p. f-( - )

44.

C'est toujours une interpolat ion l i n é a i r e , mais pondérée par l e s i n ­

verses des masses. Nous pouvons u t i l i s e r une t e l l e formule dans le deuxième

schéma de calcul de p. , mais pas dans le premier. Dans ce cas , l a valeur

de p. e s t l i é e en e f f e t à l ' i n t e r p o l a t i o n de l ' énerg ie interne (formule 15) ,

c ' e s t à dire l inéa ire sans pondération. Or, c e t t e manière d' interpoler l es

pressions ne convient pas dans certains c a s . C'est ce qui se passe pour le

deuxième problème t e s t proposé dans / 10 / . Ce lu i -c i e s t un tube à choc avec

des valeurs i n t i a l e s des pressions et des densités t e l l e s que l e s deux for­

mules envisagées donnent des valeurs des pressions interpolées qui sont dans

un rapport mil le ! En f a i t , ce calcul ne peut être f a i t qu'avec l ' i n t e r p o l a ­

t ion pondérée par l e s inverses des m a i l l e s , formule ( 2 9 ) . Pour s 'affranchir

de c e t t e d i f f i c u l t é dans le premier schéma, nous pouvons procéder comme

s u i t :

_ . n - , n ton. Soit : p i - f ( i t C i )

Calculons p. par (15). Nous en déduisons l'accroissement de pression

sur la cloison i au cours du pas de temps aAt :

.a n+a n A « p. - p. . p i i

Si maintenant, nous posons

-„ ^

Nous pouvons faire porter l'accroissement A sur cette dernière P

expression pour obtenir

,,», -n+a -n . .a (30) p £ ' ? i * A p

et, nous utiliserons p. dans la phase correction a la place de p.

Pour les v i t e s s e s , on u t i l i s e le plus souvent l ' i n t e r p o l a t i o n des quan­

t i t é s de mouvement d'où :

/TI\ - I(P") ( 3 1 ) u i " -ûôT-

Nous utiliserons une formule analogue pour les énergies internes :

I(pe) (32) £ i 1(F) "

Les interpolat ions l i n é a i r e s peuvent introduire une di f fus ion impor­

tante . Des interpolat ions plus préc ises sont u t i l i s é e s . L' interpolat ion pro­

posée par COLELLA e t WOODWARD dans /~1_7 pour l'algorithme P.P.M. en e s t un

exemple. Nous l a noterons I _ n u . Une autre p o s s i b i l i t é e s t l ' i n t e r p o l a t i o n FFM

polynômiale sur quatre mailles. Nous la noterons I „ . Ces deux dernières

interpolations seront détaillées en annexe A de façon à disposer dans cette

note de toutes les formules. Nous ne ferons que reprendre, à cette occasion,

les calculs exposés dans / 9_/.

En résumé, nous retiendrons :

- Les interpolations linéaires pondérées : ""

P £ « I(P)

p = *(P/P> Pi I(l/p)

u. Kpu) T-(p)

&i I(P)

Les interpolations polynomiales, I est remplacé par Ip0,«

Les interpolations dites "PPM", est remplacé par ïppM-

46.

L ' u t i l i s a t i o n des formules d ' interpolat ions l e s plus préc ises (sur

quatre mai l les) changent l a nature du schéma : c e l u i - c i devient un schéma

à cinq po in t s , et i l s e r a i t intéressant d'avoir une idée de l ' in f luence que

ce la peut avoir sur la préc is ion e t la s t a b i l i t é .

Dans ce but, nous avons plus particulièrement étudié l e s cas des i n ­

terpolations "PPM" e t polynomiale appliquées au cas de l 'équat ion s c a l a i r e ,

l inéa ire :

3u du - „ T- + a r - « 0 avec a > 0 , dt dx

à l ' a ide d'une analyse de Fourier.

Les ca lculs e t l e s conclusions sont exposés dans l'annexe B.

I I I . 5 - Les ré su l ta t s numériques

Nous désirons connaître l ' in f luence des paramètres suivants :

- l e s schémas de calcul de p. î

- le coefficient a

- les formules d'interpolation.

En ce qui concerne l e s deux premiers p o i n t s , nous avons obtenus l f s

réponses suivantes :

- Le premier schéma de calcul de p. (formîles ( 1 3 ) , (14) e t (15))

donne de bien meil leurs ré su l ta t s que le second (formules (17) , ( 1 8 ) ) .

L amplitude des o s c i l l a t i o n s e s t moindre e t surtout: c e l l e s - c i s 'amortissent

plus rapidement (planche XXV : p r o f i l s des d e n s i t é s ) .

- Le c o e f f i c i e n t a n'a qu'une f a ib l e influence : nous obtenons une

légère diminution de l'amplitude des o s c i l l a t i o n s en u t i l i s a n t et • 2 , par

rapport à a - 1/2 (planche XXVI).

47.

Dans tous ces calculs, nous avons utilisé les interpolations linéaires

pondérées pour évaluer les quantités sur les cloisons.

En conséquence, dans les essais suivants nous avons utilisé le premier

schéma de calcul pour la pressiont prédite, sauf là où le second schéma est

nécessaire, c'est à dire dans nos exemples sur la discontinuité de contact

en coordo mêes de Lagrange. Le coefficient a a été fixé à 1/2.

Les quatre planches suivantes (XXVII à XXX) montrent les résultats

obtenus avec le schéma que nous continuons à appeler Lax-Uendroff, c'est à

dire :

a = 1/2

- premier schéma de calcul pour la pression prédite,

- interpolations linéaires pondérées.

Ces planches montrent les profils des densités, énergies internes

spécifiques, pressiors et enfin, vitesses dans le cas des coordonnées de

Lagrange (A = 0,54) à gauche et dans le cas des coordonnées d-'Euler

(X = 0,4) à droite. Ces résultats sont caractéristiques des schémas de type

Lax-Wendroff en l'absence de pseudo-viscosité. Ils montrent la présence

d'oscillations parasites importantes. L'amplitude de ces oscillations reste

bornée. C'est l'illustration des résultats théoriques concernant les schémas

de type Lax-Wendroff (/~8_/) .

Les essais numériques suivants ont pour but de mettre en évidence

l'influence des formules d'interpolation. Ils reprennent les mêmes données.

Nous avons fait trois séries de calculs :

- La première utilise les interpolations polynomiales sur quatre

mailles : planches XXXI à XXXIV.

- La seconde utilise les interpolations proposées par COLELLA-

WO0DWARD [ \ J : planches XXXV à XXXIX.

- La troisième, enfin, utilise les modifications préconisées par

ces mêmes auteurs pour le même type d'interpolation : planches XXXIX â XLII.

48.

Ces e s s a i s i l l u s t r e n t parfaitement l 'analyse décr i te en annexe B.

Nous constatons effectivement une diminution des erreurs de caractères d i s -

persif ( l e creux s i tué au pied de la détente , par exemple). En revanche, dans

le cas des coordonnées de Lagrange, i l se produit une augmentation des o s c i l ­

lat ions paras i tes au vois inage du choc. C'est tout à f a i t évident dans l a

dernière s ér i e d ' e s s a i s . Ces o s c i l l a t i o n s sont l ' i l l u s t r a t i o n de la moins

bonne s t a b i l i t é des schémas.

Dans le cas des coordonnées d'Euler, l ' i n v e r s e se produit : c ' e s t la

dernière sér ie ( interpolat ion de COLLELA-WOODWARD modifiée) qui présente le

moins d ' o s c i l l a t i o n s .

I l e s t permis de penser que ces o s c i l l a t i o n s de caractère non l inéa ire

ont été en part ie él iminées par la d i f fus ion introduite par l a méthode de

project ion.

En résumé, i l n'apparaît pas souhaitable , dans le cas des coordonnées

de Lagrange d ' u t i l i s e r l e s formules d ' interpolat ion sur quatre mai l les propo­

sées par COLELLA et WOODWARD. Par contre, dans l e cas Eulerien, ce t te u t i l i ­

sat ion conduit à améliorer quelque peu l e s r é s u l t a t s . Les interpolat ions

polynomiales sur quatre mai l les donnent de bons ré su l ta t s dans tous les c a s .

C'est donc c e l l e s - c i que nous ret iendrons.

PLANCHK XXV : D e n s i t é

0' ».»>.%•

.4

01 C.IV W

Second schéma Premier schéma

! .P ..

.4 .6 nFNMIF

a = 2

PLANCHE XXVI

I.H

.B

.4 \ " • A i

L

a = 1/2

o

PLANCHE XXVII : D e n s i t é

1 l

1.0

.6

?' i \ ; Y \ v TEMPS -P. l4?W

.6

PLANCHE XXVIII ; Energie interne

?.s» ..

-

\

V

3.5

3.0

?.S

?.H

or = B . W 7 ( W

.-I .6

. P i . i

X. V

[•' V . i V ' L V

I

PLANCHE XXIX : P r e s s i o n

TEW1; rn.ij. 'P? OT -r..m!m

.2

*• . - ^ * * » * » « . » . « ^ . „ * '. fi L

. t .P ppf. '- . i ' i - .

u>

3 4 .

en

ta

X X X

ï

PLANCHE XXXI : Densité

Interpolation polynomiale

\

A,

D! -B.«T,(tl<

PLANCHE XXXII : Energie interne

Interpolation polynomiale

à ;' ;

f"1

u

3.H

2.0 \ Y»

PLANCHE XXXIII : Pression

Interpolation polynomials

'i«". • . M i .'•

K.s~ »»«»«»•»!, 4 0' A

MU.". lMt".1> 01 = ».!W.'(M

-•4

. -1 ;

î» :».W.W

/ \ ,\^\>

PLANCHE XXXIV : Vitesse Interpolation polynomiale

1. .?

« r , -î-, ,.< .M OT s).«MM

> « i «>»»<.*

00

PLANCHE XXXV : Densité

Interpolation COLLELA-WOODWARD

1.0

.fi

,fi

irw p. \A w

PLANCHE XXXVl : Energie interne

Interpolation COLLELA-WOODWARD

• s ^ ^ V

{*H

t.9

?.f

?.S

?.H

.?

[)• *». A». iV oi -(.«".'lie

• , • . « • • * • * • • '

\ /

./l .6

O

PLANCHE XXXVII : Pression

Interpolation COLLELA-WOODWARD

..-WlrViA/l

L

I.R

't ir . WW", p. ! I ;•• 01 «.(W.'flO

PLANCHK XXXVIII : Vïtesse

Interpolation COLLELA-WOODWARD

VAA l.fl

i II

. „ _

V.

.s

.4

r *

^•. . - . . / V

UW", P. ! ' ."

ni n.w.iw

PLANCHE XXXIX : D e n s i t é

I n t e r p o l a t i o n COLI-LLA-WOODWARD m o d i f i é e

i .»

" \

L

if*T'- • -, • •:

0! ».«' *>

PLANCHE XL : Energie interne

Interpolation COLLELA-WOODWARD modifiée

4.0

3.5

3.H

c • 5 »••

?.B

0' :|.W»

PLANCHE XLI : Pression

Interpolation COLLELA-WOODWARD modifiée

• \

l 01 = B.TO. W

PLANCHE XLII : Vitesse

Interpolation COLLELA-WOODWARD modifiée

1.0

.6

.4

.?

\-"

.V" 7EW5 C.M, IV

01 =B. lW?f!'

67.

IV - CONCLUSION

Il es t toujours bien hasardeux de juger une méthode sur un seul cas

t e s t . Toutefois , le problème du tube à choc nous paraît dans un premier temps

bien représentatif des d i f f i c u l t é s de nos c a l c u l s . Nous pouvons dire qu'une

méthode qui présenterait de graves défauts sur ce cas t e s t l e s conserverait

certainement sur des problèmes plus compliqués. Il ne faut donc considérer

nos résul tats présents que comme un dégrossissage, duquel i l e s t quand même

poss ib le de t i r e r quelques enseignements.

Des d i f férents e s s a i s numériques sur ce cas t e s t , i l ressort que :

- Le schéma PPM fourni d ' exce l l en t s ré su l ta t s e t peut ê tre u t i l i s é

avec des nombres de Courant v o i s i n de un. I l présente par contre de graves

défauts en cas d ' u t i l i s a t i o n avec des nombres de Courant très p e t i t s . De p lus ,

son u t i l i s a t i o n avec des équations d 'é ta t quelconque peut soulever certaines

d i f f i c u l t é s .

- Les schémas de type prédict ion-correct ion peuvent, même en l ' a b ­

sence de termes de pseudo-v iscos i té , fournir des résu l ta t s acceptables .

Nous retiendrons le schéma basé sur ce lu i de Lax-Wendroff avec ca l ­

cul des valeurs interpolées sur quatre mail les à l 'a ide d'un polynôme du

troisième degré.

Comme nous l 'avons déjà soul igné, des améliorations importantes sont

à attendre du côté de la théorie des schémas T.V.D. Nous avons l ' i n t e n t i o n

maintenait d'approfondir ce t te question e t de t r a v a i l l e r sur de nouveaux

t e s t s .

Nous tenons, enfin à remercier, P. LASCAUX pour l ' i n t é r ê t q u ' i l a

porté à cette étude e t pour les discussions enrichissantes que nous avons

eues .

ANNEXE A

INTERPOLATION SUR UN MAILLAGE IRREGULIER

Interpolation linéaire

Q * QG1

QD1

•^T \

N , \

\ V \

XO DG1 DD1

-*x

Q(X0) = (QG1*DD1 + QD1*DG1)/(DG1+DD1)

Interpolation polynomiale sur quatre mailles

« , k

QD1 ~s'~'\ QD1 / '

> \

Q02 /

f

7 *

QG1 / ; \

/*

; \

QG2

|f ^ |f ^ XG2 XG 1 X< D XD 1 XD2 I =>

• 4 DG2 DG1

•> +• -* *~ DD1 DD2

A.2

On écrit qu'un polynôme du troisième degré passe par les quatre points

(XG2, QC2) , (XG), QG1), (XD1, QD1), (XDZ, QDZ). Soit :

(2) Q(x) * A + B (x - XO) + C (x - XO) 2 + D (x - XO) 3

L'interpolée sera la valeur de Q(x) en x = XO :

Q(XO) = A.

En écrivant (2) pour les quatre points, on trouve un système de quatre

équations à quatre inconnues, les coefficients A, 8, C et D. Le déterminant

de ce système est un déterminant de Van der Monde, et l'on peut résoudre ce

système par les formules habituelles de Cramer / 9_7. Tout calcul fait, la

formule s'écrit, en posant :

AG = DG2 + 2 *DG1 , AD - DD2 + 2 *DDI

(3)

BG = AG + DDI

DG = DGI + DG2

c ;xo) = AG* AD

(DGI + DDI)

BD - AD + DGI

DD - DDI + DD2

DG1*QD1 + DD1«QG1 BG*DD BD*DG

DPI«DG1 (AG*AD)

AD«QG2 AG«QD2 BG*DG BD*DD

Cette formule peut donner une valeur de Q(XO) extérieure à l'ir.t

valle (QGI, QD1). Quand cela se produit nous prendrons comme valeur :

(4) QO - max (min(QGl, QD1), min (Q(X0), max(OGl, QD1)))

3 - Interpolation proposée par COLELLA-WOODWARD / \J

On considère l'intégrale :

(5) F(x) - / q(x)dx ou q(x) - q i + ] / 2 pour x e I x ^ x i + 1 J

XO

A . 3

q-3/2 q- ] /2 q 1/2 q 3/2

x-2 x-1 *0 x 2

F(x) e s t approchée par un polynôme du quatrième degré :

F(x) = a(x-xo) + b(x-xo) + c(x-xo) + d (x -x 0 ) .

La valeur cherchée est la dérivée de F au point considéré :

F'(xo) = a.

On trouve i c i aussi un système de quatre équations à quatre inconnues

qui a l e s mêmes caractér is t iques que l e précédent. Tout calcul f a i t , en con­

servant l e s mêmes notations et en posant en outre :

S - DG2 + DG1 + DD1 + DD2

CG - DG/(DD*(DD + DG1))

GC = DD/(DG*(DG + DD1))

(6)

On trouve :

F'(XO) DD*DG (DD1

»DG r f DG1) L

CG*QD1 + CD*QG1 ] DD TT^" [ M * (DD2*QD2+DD1*QD1) • ^ * (DG2*QG2+DG1*QG1) J

COLELLA e t WOODWARD écrivent c e t t e formule d'une autre façon en

mettant en évidence les pentes moyennes de q(x) dans les mai l les à gauche et

â droite de XO.

Pour la mail le DD1, cette pente moyenne dépend des pentes «:n XO e t

en XD :

—! ! !-XG XO XD

DG1 DD1

Elle est donnée par :

( 7 ) A Q D . S£! [ IgGijDDl | } , 2 ^ D D 1 (DGH-DDH-DD2) |_ W ï * m 2 DG1+DDI

COLELLA et WOODWARD limitent cette pente à la manière de B. VAN LEER

/ 13 /. A la place de AQD, ils prennent :

(8) AQM - min (|AQD|, 2|QD1-QG1;, 2[QD2-QD1j) x sign (AQD)

et de même pour AQG.

Tous les calculs PPM ont été faits de cette façon, sauf le calcul

dont les résultats figurent à gauche des planches XIII à XVI qui a donc été

fait avec la formule (6). Dans tous les cas, les formules sont modifiées de

façon que la valeur interpolée resce Jans l'intervalle ((QD1, QG1)

(formule (A)).

B.l

ANNEXE B

Nous présentons i c i l ' a n a l y s e de Four ie r des schémas de type Lax-

WENDROFF appliqués à l ' é q u a t i o n l i n é a i r e :

3u 3u -. n ^— + a -r- = 0 , a > 0 . dt dx

Le premier pas du schéma de Lax-WENDROFF pour cette équation s'écrit,

dans le cas d'un maillage légulier et avec les notations du paragraphe III :

n+1/2 n aAt , n n . U i = Ui " 2Â^ ( V l / 2 ' Ui-l/2>

u. est alors défini par interpolation linéaire entre u. , ,„ et u. , .„, î 1+1/2 1-1/2

soit ici :

n ^ n n . V l / 2 * Ui-l/2

U i " 2

Si, au lieu de cette formule, nous utilisons les formules d'interpola­

tion décrites en annexe A, nous aurons affaire à d'autres schémas dont il

convient d'étudier la stabilité. Dans le cas du maillage régulier et en

l'absence de correction de positivitê, les formules d'interpolation s'écrivent

plus simplement :

( 1 ) W V 4 (Vl/2 + Ui-l/2} " TE (ui+3/2 + Ui-3/2}

et :

( 2 ) W V " 17 (V]/2 + Vl/2* ' 17 (ui+3/2 + V 3 / 2 )

posons :

\ A t

À - a — Ax

B.2

Comme suggéré par P. LASCAUX / 1J , nous condenserons les deux for­

mules précédentes en faisant usage d'un paramètre £ :

(3) 1 e I(u £) - (y * 4>(

ui +l/2 + ui-l/2 } " 4 ( ui*3/2 + Ui-3/2>

!_., correspond à e = 1/4, I_ n u à e » 1/3 et enfin l'interpolation FOL rrri

linéaire à t = 0. Nous retrouvons dans ce cas le schéma de Lax-WENDROFF.

Ceci étant posé, le schéma s'écrit :

n+1 n

r Vi/2 = Vi/2 " x

(4)

[ ( _ T ~ ) ( U i + 3/2 " u i- l /2>

X , n " 4 ( V s / 2 ~ Ui-3/2> " 2 < ui +3/2 ~ 2 V l / 2 + Ui-l/2>

Nous faisons maintenant une analyse de Fourier de la stabilité et de

1'erreur de phase.

Considérons la fonction constante par morceau :

u n(x) * u " ^ w o pour x e | iAx, (i+l)Ax I J".'+..2 pour x £ | iAx, (i+l)Ax

et, appliquons lui la transformation de Fourier

u n ( Q -L f e

i x Ç un(x)dx SF J

Remarquons que :

u t x i À x ) (Ç) - e * l A x Ç u(Ç)

Après transformation de Fourier, le schéma (4) s'écrit en posant

e - ç Ax

"n+1 1 - >2(l-cos6) + U sine (1+e- e cos9)

B.3

Le module du c o e f f i c i e n t d'amplif icat ion vaut :

(5) jCJ2 = I + } . Z ( I - C G S 9 ) | X 2 ( l -cos6) - ( 2 - ( l + c o s 6 ) d + e - e cos;

La condition | G { " < 1 y£ équivaut à :

/ - (1-cosS) - (2 - (1+cosô) ( 1 * E - £ c o s 6 ) : ) * 0 y 6

ou, encore a :

(2 - (1 À 2 < inf l 2 ~ ( 1 + c o s 6 ) ( 1 + E - E c o s 6 ) 2

1 - cosô

Telle est la condition de stabilité. 11 faut préciser la valeur

du minimum de la fonction du second membre de cette inégalité. C'est un poly­

nôme du second degré en t - 1 - cos6 . Une analyse détaillée de cette fonction

conduit à la condition : *

(6) X 2 * M e )

où 'y(c) est la fonction suivante :

iKe) - 0 si e < - 2

- - e 2 - 2e si - 2 < e £ - 1

« 1 si - I f £ < 0

- 1 - 4e si 0 * e $ 1/4

- ô si e > 1/4

Cette fonction esf figurée sur le graphique suivant :

. ^ ( O B.A

-1 l> 1/4

I l y a i n s t a b i l i t é pour :

e £ - 2 e t e 5 1/4.

En p a r t i c u l i e r , l e s interpolat ions PPM ou polynomiale conduisent à

des schémas instables puisque £ » 1/3 e t 1/4 ! I l faut toutefo i s remarquer

que nous avons négl igé la correction de p o s s i t i v i t é .

Sa prise en compte détruirai t la l i n é a r i t é du schéma e t empêcherait

une analyse de Fourier.

Dans l e cas du schéma de Lax-WENDROFF (e - 0 ) , nous retrouvons l a

condition de s t a b i l i t é c lass ique :

a At Ax S 1-

Analyse de l ' erreur de phase

Calculons la différence de phase entre deux i t é r é s s u c c e s s i f s ,

Dans le cas de la so lu t ion exacte , c e t t e différence vaut :

ÙSt - AAx Ç * X6. l ex

Dans le cas du schéma :

tgYA >. sin 8(l+e- e cos6)

1 - X2(l-cos9)

Un développement l i m i t é au troisième ordre en 6 , nous donne Af-

L'erreur de phase E s ' é c r i t alors :

(7) E(*f> - C X - A ~ ^ ~ 3 C ) e 2 • 0(6") 'ex

L'erreur de phase e s t d'ordre deux pour )} f l - 3e e t d'ordre quatre

pour À* = 1 - 3c.

En p a r t i c u l i e r , dans l e cas des interpolat ions PPM, e = 1/3 e t l 'erreur

de pahse vaut :

^ e 2

tandis que dans le cas des interpolat ions l i n é a i r e s e = 0 (Lax-WENDROFF),

e l l e vaut :

Nous constatons alors que pour X < — = 0 ,7 l ' erreur de phase du schéma avec

interpolat ion PPM e s t en valeur absolue plus p e t i t e que l 'erreur de phase du

schéma Lax-WENDROFF. El le tend même vers une erreur d'ordre quatre quand X

devient p e t i t . En revanche, pour les valeurs vo i s ines de un, c ' e s t l e schéma

de Lax-WENDROFF qui e s t le plus p r é c i s . I l e s t poss ib le de cho i s i r un couple

(X, e) qui minimise l 'erreur de phase. Par exemple, s i nous chois issons

e = 1/4 ( interpolat ion polynomiale), l ' erreur de phase e s t d'ordre quatre

s i A - 1/2.

De l 'ana lyse précédente, i l découle que les schémas les plus précis sont

malheureusement i n s t a b l e s . Calculons néanmoins l e c o e f f i c i e n t d'amplif ication

pour À « 1/2, e » 1/4 (cas de l 'erreur de phase minimale). I l vaut 1,0018,

ce qui e s t une valeur très proche de un. Ce schéma peut être qua l i f i é de

faiblement i n s t a b l e .

Les e s s a i s numériques en coordonnées de Lagrange ont confirmé ce t t e

analyse (cas des interpolat ions polynoniales e - 1/3) planches (XXXI à XXXIV).

Dans le cas des coordonnées d'Euler, i l faut tenir compte de la phase projec­

tion qui joue un grand rôle dans la s t a b i l i s a t i o n . En e f f e t , c e l l e - c i peut

r e s t a b i l i s e r un schéma dont la première phase s e r a i t i n s t a b l e . C'est ce que

confirme les e s s a i s numériques (planches XXXIX à XLII).

REFERENCES

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J.C.P. Vol 54-1 (1984)

/~2_7 S.F. DAVIS

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/ 4_/ S. GODOUNOV et Coll.

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/"5_7 A. HARTEN

High resolution schemes for hyperbolic conservation laws

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/"6_7 H. JOURDREN

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[ l j P. LASCAUX

Communication particulière

/"8_7 A. LERAT et R. PEYRET

Propriétés dispersives et dissipatives d'une classe de schémas

aux différences pour les systèmes hyperboliques non linéaires

La Recherche Aerospatiale (1975) n e 2.

B. MELTZ Note interne

Rezoning Workshop (Asilomar 1983) publ ié par LANL ( J u i l l e t 84)

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Generalized formulation of TVD Lax-Wendroff schemes ICASE Report NASI 17070 (Octobre 84)

G. SOD

A survey of several finite difference methods for systems of non linear hyperbolic conservation laws J.C.P. vol 27 (1978)

P.K. SWEBY High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws SIAM Journal of numerical analysis, vol 21 (Oct.

B. Van Leer Towards the ultimate conservative difference scheme, vol IV J.C.P. Vol 23 (1977)

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