Mécanique des fluides - DS14 mai 2013

Calculatrice autorisée.Résumé individuel distribué au début du DS unique document autorisé.

PARTIE I - Pèse-liquide (40 min)

Un pèse-liquide ou densimètre ( ou encore aréomètre) est un système utilisé pour déter-

miner la densité des liquides. Ce système est constitué d’une tige cylindrique (fermée

à ses extrémités) graduée de diamètre d = 1 cm et de longueur L = 20 cm fixée à un

corps arrondi qui sert de lest. La masse totale du système est m = 30 g.

Quand on place le système dans l’eau de masse volumique ρe, le niveau de la surface

libre coïncide avec la graduation de position verticale z0 située au milieu de la tige

(figure du haut).

Quand on place le système dans un liquide de masse volumique ρ inconnue, le niveau

de la surface libre coïncide avec une graduation située à une position verticale z (figure

du bas dans le cas où ρ < ρe).

ρe

z0

ρ < ρe

z

On considère le densimètre comme système mécanique que l’on place dans l’eau. Le densimètre est au repos.

1. Faites la liste des forces qui s’exercent sur le densimètre. En déduire, à l’aide d’un bilan de forces le

volume Ve immergé du densimètre.

L`e `d`e›n¯sfi˚i‹m`èˇtˇr`e `e˙sfi˚t ¯sfi`o˘u‹m˚i¯s :– `àffl ¯sfi`o“nffl ¯p`o˘i`d¯s m #«g

– `àffl ˜l´affl ¯p`o˘u¯sfi¯sfi`é´e `dffl’A˚r`c‚h˚i‹m`è´d`e # «FAe `qfi˚u˚iffl `c´o˘r˚r`e˙sfi¯p`o“n`dffl `àffl ˜l´affl ˚r`é˙sfi˚u˜lˇt´a‹n˚t´e `d`e˙s ˜f´o˘r`c´e˙s `d`e ¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl

`qfi˚u`e ˜l„`e´a˚uffl `e›x´eˇr`c´e ¯sfi˚u˚rffl ˜l´e `d`e›n¯sfi˚i‹m`èˇtˇr`e.L`e `d`e›n¯sfi˚i‹m`èˇtˇr`e `e˙sfi˚t `a˚uffl ˚r`e˙p`o¸s `d`o“n`c ˜l´affl ¯sfi`o“m‹m`e `d`e `c´e˙s `d`eˇu‹x ˜f´o˘r`c´e˙s `e˙sfi˚t ”n˚u˜l¨l´e : m #«g +

# «FAe =

#«0

L’˚i‹n˚t´e›n¯sfi˚i˚t´é `d`e ˜l´affl ¯p`o˘u¯sfi¯sfi`é´e `dffl’A˚r`c‚h˚i‹m`è´d`e ¯s’`é´cˇr˚i˚t `e›nffl ˜f´o“n`cˇtˇi`o“nffl `d˚uffl ”vˆo˝lˇu‹m`e `d`e ˜f¨lˇu˚i`d`e ˚i‹m‹m`eˇr`g´éFAe = Veρeg `d`o“n`c mg = Veρeg

expression littérale : Ve =m

ρevaleur numérique : Ve = 3.10−5 m3

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On place à présent le densimètre dans un fluide de masse volumique ρ inconnue. Le volume immergé V est

maintenant différent de Ve. On écrit V = Ve +∆V (∆V est positif si le fluide est moins dense que l’eau et

négatif si le fluide est plus dense que l’eau)

2. Exprimez ∆V en fonction de z, z0 et d

expression littérale : ∆V = πd2

4(z − z0)

3. A l’aide d’un bilan de force, exprimez V en fonction de ρ, m et g, puis ∆V en fonction de ρ, m, g et ρe.

E”nffl ˚u˚tˇi˜lˇi¯sfi`a‹n˚t ˜l´e˙s `qfi˚u`e˙sfi˚tˇi`o“n¯s 1 `eˇt 2 `o“nffl ¯p`eˇu˚t `d˚i˚r`e´cˇt´e›m`e›n˚t `d˚i˚r`e `qfi˚u`e FA = mg = ρV g.

expression littérale : V =m

ρ

expression littérale : ∆V = V − V e =m

ρ− m

ρe= m

�1

ρ− 1

ρe

�

4. En utilisant les expressions de ∆V obtenues aux questions 2 et 3 en déduire ρ en fonction de z et de

tout autre paramètre nécessaire.

D’`a¯p˚r`è˙s ˜l´e˙s `qfi˚u`e˙sfi˚tˇi`o“n¯s 2 `eˇt 3 `o“nffl ¯p`eˇu˚t `é´cˇr˚i˚r`e

πd2

4(z − z0) = m

�1

ρ− 1

ρe

�

`d`o“n`c1

ρ=

1

ρe+

πd2

4m(z − z0)

expression littérale : ρ =

�1

ρe+

πd2

4m(z − z0)

�−1

5. Compte tenu de la longueur de la tige quelles sont les valeurs extrêmes ρmin et ρmax de masse volu-

mique que l’on peut mesurer ?

Po˘u˚rffl ρmin ˜l´affl ˚tˇi`g´e `e˙sfi˚t `c´o“m¯p˜l´èˇt´e›m`e›n˚t ˚i‹m‹m`eˇr`g´é´e `d`a‹n¯s ˜l´e ˜lˇi`qfi˚u˚i`d`e `d`o“n`c z − z0 =L

2.

Po˘u˚rffl ρmax ˜l´affl ˚tˇi`g´e ¯sfi`o˘r˚t `c´o“m¯p˜l´èˇt´e›m`e›n˚t `d˚uffl ˜lˇi`qfi˚u˚i`d`e `d`o“n`c z − z0 = −L

2.

expression littérale : ρmin =

�1

ρe+

πd2L

8m

�−1

valeur numérique : ρmin = 793 kg.m−3

expression littérale : ρmax =

�1

ρe− πd2L

8m

�−1

valeur numérique : ρmax = 1350 kg.m−3

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PARTIE II - Barrage poids (50 min)

On considère un barrage-poids en béton dont le profil est assimilé à un triangle rectangle. La hauteur dubarrage est H = 70 m. La largeur de la base est b. La longueur (dans la direction perpendiculaire au plandu schéma) est L = 1000 m. La masse volumique du béton est ρb = 2,2.103 kg.m−3.On note ρe la masse volumique de l’eau. On suppose que l’eau arrive au sommet du barrage.

eau airα

A

C

B

# «Ff

# «Fs

m#«g

# «Fp

Figure 1 – Vue en coupe du barrage-poids. Les forces représentées sont la résultante horizontale des forces defrottement entre le sol et le barrage �Ff et la réaction du sol dans la direction verticale �Fs.

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Stabilité du barrage

1. Le système étudié est le barrage-poids immobile dans le référentiels terrestre. Faites la liste des forcesqui s’exercent sur le système (on suppose que le barrage repose sur un sol très imperméable, il n’y apas d’eau sous le barrage). Complétez le schéma de la figure en ajoutant les forces qui n’ont pas étéreprésentées sur la figure 1.

L`e ˜bˆa˚r˚r`a`g´e `e˙sfi˚t ¯sfi`o˘u‹m˚i¯s `àffl :

– ¯sfi`o“nffl ¯p`o˘i`d¯s m#«g

– ˜l´affl ˚r`é˙sfi˚u˜lˇt´a‹n˚t´e ˛h`o˘r˚i˚z´o“n˚t´a˜l´e `d`e˙s ˜f´o˘r`c´e˙s `d`e ¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl# «Fp

– ˜l´affl ˚r`é˙sfi˚u˜lˇt´a‹n˚t´e ˛h`o˘r˚i˚z´o“n˚t´a˜l´e `d`e˙s ˜f´o˘r`c´e˙s `d`e ˜fˇr`o˘tˇt´e›m`e›n˚t `e›n˚tˇr`e ˜l´e ¯sfi`o˝l `eˇt ˜l´e ˜bˆa˚r˚r`a`g´e# «Ff

– ˜l´affl ˚r`é´a`cˇtˇi`o“nffl `d˚uffl ¯sfi`o˝l `d`a‹n¯s ˜l´affl `d˚i˚r`e´cˇtˇi`o“nffl ”vfleˇr˚tˇi`c´a˜l´e `qfi˚u˚iffl `c´o“m¯p`e›n¯sfi`e ˜l´e ¯p`o˘i`d¯s `d˚uffl ˜bˆa˚r˚r`a`g´e# «Fs

2. Représentez les forces infinitésimales de pression qui s’exercent sur la face du barrage en contact avecl’eau. Vous prendrez comme pression de référence la pression atmosphérique considérée comme nulle(cela revient à utiliser la pression relative). Donnez l’expression de la pression pr en fonction de laprofondeur h.

expression littérale : pr(h) = ρegh

3. Soit # «Fp la composante horizontale de la résultante des forces de pression s’exerçant sur le système.

Etablir l’expression littérale de l’intensité Fp de cette force.

Fp = L

�H

0prdh

= ρgLH

2

2

expression littérale : Fp = ρegLH

2

2valeur numérique : Fp = 2,40.1010 N

4. Quelle est l’expression du poids mg du barrage en fonction des dimensions du triangle et de la massevolumique du béton.

L`e ¯p`o˘i`d¯s `e˙sfi˚t `é´g´a˜l `a˚uffl ”vˆo˝lˇu‹m`e `d˚uffl ˜bˆa˚r˚r`a`g´e, `c’`e˙sfi˚t-`àffl-`d˚i˚r`e ˜l´e ¯p˚r`oˆd˚u˚i˚t `d`e ˜l„`a˚i˚r`e `d˚uffl ˚tˇr˚i`a‹n`g¨l´e ˚r`e´cˇt´a‹n`g¨l´e

¯p`a˚rffl ˜l´affl ˜l´o“n`gˇu`eˇu˚rffl L `d˚uffl ˜bˆa˚r˚r`a`g´e, ”m˚u˜lˇtˇi¯p˜lˇi`é ¯p`a˚rffl ˜l´affl ”m`a¯sfi¯sfi`e ”vˆo˝lˇu‹m˚i`qfi˚u`e `d˚uffl ˜bfléˇt´o“nffl `eˇt ˜l„`a`c´c´é¨l´éˇr`a˚tˇi`o“nffl

`d`e ˜l´affl `gˇr`a‹v˘i˚t´é

expression littérale : mg = ρbgLHb

2

On définit la force #«R comme la somme de # «

Fp et m#«g . On note β l’angle entre #«

R

et la direction verticale. On note α l’angle au sommet du barrage. Pour être certainque le barrage ne bascule pas, la largeur b de sa base est dimensionnée de sorte quetanα > tanβ.

m#«g

# «Fp

#«R

β

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5. Donnez l’expression de tanα en fonction de b et H.Donnez l’expression de tanβ en fonction de Fp et mg puis en fonction de ρe, ρb, H et b.

expression littérale : tanα =b

H

expression littérale : tanβ =Fp

mg=

ρeH

ρbb

6. En déduire que la valeur minimale de b pour respecter le critère de sécurité tanα > tanβ est 47,2 m.En déduire le poids du barrage.

L`affl ”vˆa˜l´eˇu˚rffl ”m˚i‹n˚i‹m`a˜l´e `d`e b `a`c´c´e˙p˚t´a˜b˝l´e `e˙sfi˚t `c´e¨l¨l´e ¯p`o˘u˚rffl ˜l´a`qfi˚u`e¨l¨l´e tanα = tanβ `d`o“n`c :

b

H=

ρeH

ρbb

expression littérale : b = H

�ρe

ρbvaleur numérique : b = 47,2 m

valeur numérique : mg = 3,56.1010 N

Evacuation du barrageAfin d’éviter que l’eau ne déborde en cas de crue des rivières alimentant la retenue, cinqconduites d’évacuation ont été creusées sous le barrage. L’entrée de chaque conduite estéquipée d’une crépine (voir photo ci-contre) qui joue le rôle de filtre et empêche tout élémentsusceptible d’endommager ou de boucher la conduite d’y pénétrer. Chaque crépine, de formecylindrique (diamètre D et hauteur Hc = D), ne laisse entrer l’eau que par sa surface latéralegrillagée.La sortie des conduite d’évacuation de diamètre d est situé à une profondeur Hs = 20 m sous le niveaude la base du barrage. L’eau sort de la conduite à la pression atmosphérique. Les cinq tuyères doivent êtrecapables d’évacuer l’eau avec un débit total maximal Qt = 30 m3.s−1.

7. En supposant qu’il n’y a aucune perte de charge, déterminez la vitesse v de l’écoulement dans laconduite en fonction de H, Hs et g. Si besoin, vous noterez zs l’altitude de la surface libre et zB

l’altitude de l’extrémité avale de la conduite.

O”nffl `a¯p¯p˜lˇi`qfi˚u`e ˜l´e ˚t‚h`é´o˘r`è›m`e `d`e B`eˇr‹n`o˘u˜l¨lˇiffl ˜l´e ˜l´o“n`g `dffl’˚u‹n`e `d`e `c´o˘u˚r`a‹n˚t `e›n˚tˇr`e ˚u‹nffl ¯p`o˘i‹n˚t A ¯sfi˚i˚tˇu`é

`d`a‹n¯s ˜l´affl ˚r`eˇt´e›n˚u`e ˜l´o˘i‹nffl `e›nffl `a‹m`o“n˚t `d`e ˜l´affl `c´o“n`d˚u˚i˚t´e `eˇt ˚u‹nffl ¯p`o˘i‹n˚t B `àffl ˜l´affl ¯sfi`o˘r˚tˇi`e `d`e ˜l´affl `c´o“n`d˚u˚i˚t´e

`dffl’`a˜lˇtˇi˚tˇu`d`e zB. A˚uffl ¯sfi`eˇi‹nffl `d`e ˜l´affl ˚r`eˇt´e›n˚u`e `dffl’`e´a˚uffl ˚i‹m‹m`o˝b˘i˜l´e ˜l´affl ¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl ”m`o˘tˇr˚i`c´e `e˙sfi˚t `c´o“n¯sfi˚t´a‹n˚t´e `eˇt

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`é´g´a˜l´e `àffl ˜l´affl ¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl ”m`o˘tˇr˚i`c´e `àffl ˜l´affl ¯sfi˚u˚r˜f´a`c´e ˜lˇi˜b˘r`e `dffl’`a˜lˇtˇi˚tˇu`d`e zs :

pmA +���

ρev2A

2= pmB + ρe

v2

2

patm + ρegzs = patm + ρegzb + ρev2

2

ρeg (H +Hs) = ρev2

2

expression littérale : v =�

2g (H +Hs) valeur numérique : v = 42 m.s−1

8. En déduire le diamètre d de sortie d’une conduite nécessaire pour répondre au cahier des charges enfonction de v et Qt.

L`e `d`é¨b˘i˚t ”vˆo˝lˇu‹m˚i`qfi˚u`e `d`a‹n¯s ˚u‹n`e `c´o“n`d˚u˚i˚t´e `e˙sfi˚t `é´g´a˜l `àffl 1/5 `d`e Qt `eˇt `c´o˘r˚r`e˙sfi¯p`o“n`dffl `a˚uffl ¯p˚r`oˆd˚u˚i˚t `d`e

˜l´affl ”v˘i˚t´e˙sfi¯sfi`e ¯p`a˚rffl ˜l´affl ¯sfi`e´cˇtˇi`o“nffl `d`e ˜l´affl `c´o“n`d˚u˚i˚t´e :

Qt

5= v

πd2

4

expression littérale : d =

�4

5

Qt

πvvaleur numérique : d = 43 cm

9. Complétez le graphique de la figure 2 en traçant qualitativement la pression motrice pm et la pressiondynamique pd en fonction de la position x entre les A et le point B de la ligne de courant dessinée surla figure 1. Le point C marque l’entrée de la conduite.

p

xA x•xC

•xB

pm

pd

Figure 2 – Pression motrice et pression dynamique en fonction de la position x

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10. L’eau entre dans une crépine à la vitesse #«vc d’intensité supposé uniforme. Représentez quelques vec-

teurs vitesse #«vc sur les vues de dessus et de côté d’une crépine (figure 3). Donnez l’expression de vc en

fonction de D, et Qt.

Figure 3 – Vues de dessus et de côté d’une crépine

L`e `d`é¨b˘i˚t ”vˆo˝lˇu‹m˚i`qfi˚u`e `qfi˚u˚iffl `e›n˚tˇr`e `d`a‹n¯s `c‚h`a`qfi˚u`e `cˇr`é˙p˚i‹n`e `e˙sfi˚t `é´g´a˜l´e `àffl 1/5 `d`e Qt. C`e `d`é¨b˘i˚t `e˙sfi˚t `é´g´a˜l

`a˚uffl ¯p˚r`oˆd˚u˚i˚t `d`e ˜l„`a˚i˚r`e `d`e ˜l´affl ¯sfi˚u˚r˜f´a`c´e ˜l´a˚t´éˇr`a˜l´e `d˚uffl `c›y¨lˇi‹n`d˚r`e πD.Hc = πD.D ¯p`a˚rffl ˜l´affl ”v˘i˚t´e˙sfi¯sfi`e vc

(`c´a˚rffl vc `e˙sfi˚t ¯sfi˚u¯p¯p`o¸sfi`é´e ˚u‹n˚i˜f´o˘r‹m`e ¯sfi˚u˚rffl ˚t´o˘u˚t´e ˜l´affl ¯sfi˚u˚r˜f´a`c´e ˜l´a˚t´éˇr`a˜l´e).

expression littérale : vc =Qt

5πD2

11. Les crépines sont dimensionnées de sorte que vc soit égale à un centième de v. Quel doit-être le diamètreD en fonction de d ?

E”nffl `e›x˙p˚r˚i‹m`a‹n˚t ˜l´e `d`é¨b˘i˚t Qt/5 `d`a‹n¯s ˚u‹n`e `c´o“n`d˚u˚i˚t´e `e›nffl ˜f´o“n`cˇtˇi`o“nffl `d`e v :

vc = 0,01 v =Qt

5πD2=

vπd2

4πD2

Pa˚rffl `c´o“n¯sfi`é´qfi˚u`e›n˚t `a¯p˚r`è˙s ¯sfi˚i‹m¯p˜lˇi˜fˇi`c´a˚tˇi`o“nffl :

0,04 = 0,22 =

�1

5

�2d2

D2

expression littérale : D = 5d valeur numérique : D = 2,1 m

Séisme

Suite à un séisme, le sol s’est fracturé et l’eau s’est infiltrée entre le sol et la base du barrage. On supposealors que la pression sous le barrage est uniforme et égale à la pression à la profondeur H.

12. Le poids du barrage est-il suffisant pour maintenir la stabilité verticale du barrage ? Justifiez votreréponse.L`affl ˚r`ésfi˚u˜lˇt´a‹n˚t´e `d`e˙s ˜f´o˘r`c´e˙s `d`e ¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl ¯sfi˚u˚rffl ˜l´affl ˜bˆa¯sfi`e `d˚uffl ˜bˆa˚r˚r`a`g´e `e˙sfi˚t `d`a‹n¯s `c´e `c´a¯s `é´g´a˜l´e `àffl ˜l´affl

¯p˚r`e˙sfi¯sfi˚i`o“nffl ˚r`e¨l´a˚tˇi‹vfle ρegH ”m˚u˜lˇtˇi¯p˜lˇi`é´e ¯p`a˚rffl ˜l„`a˚i˚r`e `d`e ˜l´affl ˜bˆa¯sfi`e bL. O˚rffl : ρegHbL < ρbgHb

2L (¯p`o˘i`d¯s

`d˚uffl ˜bˆa˚r˚r`a`g´e) `c´a˚rffl ρb > 2ρe `d`o“n`c ˜l´e ˜bˆa˚r˚r`a`g´e ”n`e ¯sfi`e ¯sfi`o˘u˜l´è›vfle ¯p`a¯s, ”m`a˚i¯s ˚i˜l ˚r˚i¯sfi`qfi˚u`e `d`e `g¨lˇi¯sfi¯sfi`eˇrffl ...

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