MF BLC 02a - groupes.polymtl.ca · La longueur du cœur potentiel “non visqueux ” L. i. est...

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CONDUITE

2

3

• Décrire le notions d’écoulement laminaire et turbulentdistingués par le nombre de Reynolds (𝑹𝑹𝒆𝒆 )

• Montrer une expression pour calculer un coefficient f permettantl’évaluation des pertes par frottement hf requises dansl’équation de l’énergie appliquée aux réseaux hydrauliques

• Présenter le diagramme de Moody et des formules explicitespour calculer le coefficient de frottement f

6.1 6.4 6.56.36.2

6.1 Écoulement et nombre de Reynolds

6.2 Écoulement interne versus écoulement externe

6.3 Le coefficient de friction de Darcy

6.4 Écoulement laminaire dans une conduite cylindrique

6.5 Modélisation de la turbulence

6.6 Écoulement turbulent dans une conduite cylindrique

6.6

5

Dans cette partie on s’intéresse aux écoulements internes, telque le transport d’eau dans un réseau de distribution ou bien celuidu pétrole dans un oléoduc.Essentiellement on vise le calcul du frottement à la paroi pourévaluer les pertes d’énergie entre deux points d’une conduitePour ce faire, on portera une attention particulière au nombre deReynolds ⁄𝑹𝑹𝒆𝒆 = 𝝆𝝆𝒖𝒖𝒖𝒖 𝝁𝝁, qui quantifie le rapport entre les forcesd’inertie et les forces de frottement.Ce nombre adimensionnel nous permettra de distinguer deux typesd’écoulements: laminaire (𝑹𝑹𝒆𝒆 faible) et turbulent (𝑹𝑹𝒆𝒆 élévé)

6

Les conditions qui déterminent si un écoulement sera laminaireou turbulent sont liées à un fragile équilibre entre les forcesvisqueuses, qui essaient de dissiper les perturbations, etl’accélération du fluide (l’inertie), qui favorise leur propagation.

6.1 Écoulement..

AccélérationViscosité

7

FUMÉE

Lam

inai

re

Turb

ulen

t

9

La fumée sortant de la cigarette est plus chaude que l’airenvironnant. À partir d’une vitesse nulle, elle démarre sondéplacement vers le haut de manière ordonnée et sans diffusion.Cet écoulement est dit laminaire et s’accélère progressivementjusqu’atteindre une vitesse critique. L’écoulement passe alors parune zone de transition pour devenir finalement chaotique dont saprédiction est difficile. Il s’agit d’un écoulement turbulent

6.1 Écoulement..

10

Le cas d’un jet d’eau ne diffère substantiellement pas de la fuméeproduite par un cigarette.En augmentant progressivement le débit (ou la vitesse) on passed’un comportement laminaire vers un mode turbulent.

6.1 Écoulement..

LaminaireTurbulent

11

Le passage, qui s’étale sur une gamme de vitesses, est appelétransition. Pendant la transition les deux régimes peuventcoexister, la turbulence peut spontanément apparaître puisdisparaître jusqu’à obtenir un régime turbulent continu.

6.1 Écoulement..

LaminaireTurbulent

6.1 Écoulement..

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https://www.youtube.com/watch?v=uZh8Dfymg38

https://www.youtube.com/watch?v=uZh8Dfymg38

http://www.groupes.polymtl.ca/mec4270/MECAFLU/Flip6aMF/Laminar_nozzle_19.wmv

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G. H. Ludwig Hagen a été le premier à rapporter en 1839 qu’ilpouvait exister deux types de régimes lors de l’écoulement d’unfluide.Son expérience consistait à mesurer la perte de pression dansune conduite cylindrique en fonction de la vitesse moyenne del’écoulementÀ basse vitesse la perte de pression était directementproportionnelle à la vitesse moyenne, tandis qu’à haute vitessecelle-ci était proportionnelle au carré de la vitesse.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gotthilf_Hagen




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En 1883 Osborne Reynolds a réalisé une étude systématique surles écoulements dans une conduite en fonction du débit, de laviscosité cinématique et de la géométrie. Il a montré que lechangement de régime ne dépendait pas des paramètresséparément, mais d’une quantité sans dimension les regroupanttous. C’était la naissance du nombre de Reynolds.

https://en.wikipedia.org/wiki/Osborne_Reynolds




18

Dans une conduite cylindrique, il a injecté un colorant et a identifiéles régimes suivants:

Laminaire Re < 2300

Transition 2300 < Re < 4200

Turbulent 4200 > Re

6.1 Écoulement..

=VdRe ρµ

6.1 Écoulement..

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=VdRe ρµ

http://www.groupes.polymtl.ca/mec4270/MECAFLU/Flip6aMF/Reynolds_18.wmv

http://www.groupes.polymtl.ca/mec4270/MECAFLU/Flip6aMF/Reynolds_18.wmv

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A

Rayon hydraulique

Diamètre hydraulique

P:perimètre mouilléA:section transversale

4D =hA

PP

R hAP

=

6.1 Écoulement..

24 4 / 4DhA D D

P Dππ

= = =

21

6.1 Écoulement..

D𝑽𝑽 = ⁄𝑸𝑸 𝑨𝑨

La règle pou calculer le nombre de Reynolds dans uneconduite est d’utiliser la vitesse débitante, V=Q/A, et lediamètre D, pour définir, respectivement, la vitesse et lalongueur de référence

Re=𝝆𝝆𝑽𝑽𝑫𝑫

𝝁𝝁𝑨𝑨

22

Dans une conduite, la valeur de Re=2300 et utilisée comme limitesupérieure pour un écoulement laminaire

6.2 Écoulement..

Pour l’écoulement dans une conduitede D=5 cm de diamètre, à quellevitesse (débitante) le nombre deReynolds critique sera-t-il atteint à20◦C pour (a) l’écoulement de l’airet (b) l’écoulement de l’eau?

Exemple 6.1

Le nombre de Reynolds critique de l’écoulement dans une conduite cylindriqueest Recrit≈2300. Au delà de cette valeur l’écoulement n’est plus laminaire

AirTempérature Viscosité dynamique Densité

[°C] [N s/m2 *10-6] [kg/m3]

10 17.64 1.246

20 18.13 1.204

30 18.60 1.164

(a) Air:𝜌𝜌𝜌𝜌𝐷𝐷

𝜇𝜇=

1.204 𝜌𝜌 0.051.81 × 10−5 = 2300

=> 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝒎𝒎𝒔𝒔

Pour l’écoulement dans une conduitede D=5 cm de diamètre, à quellevitesse (débitante) le nombre deReynolds critique sera-t-il atteint à20◦C pour (a) l’écoulement de l’airet (b) l’écoulement de l’eau?

Exemple 6.1

Le nombre de Reynolds critique de l’écoulement dans une conduite cylindriqueest Recrit≈2300. Au delà de cette valeur l’écoulement n’est plus laminaire

(b) Eau:𝜌𝜌𝜌𝜌𝐷𝐷

𝜇𝜇=

998 𝜌𝜌 0.050.001

= 2300

=> 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎𝒔𝒔

EauTempérature Viscosité dynamique Densité

[°C] [N s/m2] [kg/m3]

10 0.0013060 999.70

20 0.0010016 998.21

30 0.0007972 995.65

6.1 Écoulement et Nombre de Reynolds






6.1 6.4 6.56.36.2 6.6

26

Un élément distinctif entre un écoulement externe et un écoulementinterne pleinement développé est l’absence d’un cœur potentiel

6.2 Écoulement..

27

Un élément distinctif entre un écoulement externe et un écoulementinterne pleinement développé est l’absence d’un cœur potentiel

6.2 Écoulement..

28

L’écoulement à l’entrée d’une conduite se développe grâce auxeffets du cisaillement près de la paroi et à l’accélération du fluidedans la région centrale. La distance 𝒖𝒖𝒊𝒊 est celle correspondante àl’endroit où un profil de vitesses complet et obtenu

Li Li :longueur du cœurpotentiel “non visqueux”

Coeur potentiel

NB: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≠ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑

29

Longueur de développement Le : la distance nécessaire pour qu’un profilde vitesse uniforme se transforme en un profil de vitesse pleinementdéveloppé

La longueur de développement dans une conduite, Le, est fonction dudiamètre de la conduite D de la vitesse débitante V, de la densité et dela viscosité du fluide.

Profil pleinementdeveloppé

Coeur non visqueux

A B

Le

Li

La longueur du cœur potentiel “non visqueux ” Li est plus oumoins la moitié de Le. Pour un écoulement laminaire dans untuyau, avec un profil de vitesse uniforme à l’entrée:

avec V la vitesse moyenne (débitante) D le diamètre de laconduite, et ν la viscosité cinématique du fluide. Pour desécoulements turbulents, on a trouvé la relation

30

6.2 Écoulement..

𝒖𝒖𝒆𝒆

𝑫𝑫= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝐑𝐑𝐑𝐑, Re =

𝜌𝜌𝐷𝐷𝜈𝜈

𝒖𝒖𝒆𝒆

𝑫𝑫= 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝑹𝑹𝒆𝒆𝟏𝟏/𝟎𝟎

Solution

L’écoulement est pleinement turbulent car le nombre de Reynolds Re>4200Nous pouvons donc utiliser la relation:

De l’eau s’écoule à 20◦C dans un conduit cylindrique de d=0.5 po de diamètreet de L=60 pi de longueur. Le débit est de Q=5 gal/min. En pourcentage, quelleest la fraction du conduit occupé par la longueur d’entrée, Le?

Exemple 6.2

30.01083 /=Q pi s

/ 0.0108 / 8.17 /V Q A A pi s= = =

1/41.6Re 21= =eLd

60 14400.5 /12

Ld= =

31 / min 0.002167 /=gal pi s 5 21.09 10 /

0.5 /12 0.04167

−= = ×

= =

pi s

d pi

µνρ

𝐑𝐑𝐑𝐑 =𝜌𝜌𝜌𝜌𝑑𝑑

𝜇𝜇= 𝟑𝟑𝟏𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒖𝒖𝒆𝒆

𝒖𝒖=

211440

= 0.015 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟓







6.1 6.4 6.56.36.2 6.6

34

On regardera le bilan d’énergie entre l’entrée (1) et la sortie (2)d’un l’écoulement pleinement développé dans un conduit desection constante.Le but est l’obtention d’une expression pour le calcul des pertespar frottement (𝒉𝒉𝒇𝒇). Dans ce cas, l’équation de l’énergie devient:

Remarque: pour une section constante, l’équation de continuitéindique que 𝑽𝑽𝟏𝟏 = 𝑽𝑽𝟐𝟐

6.3 Le coefficient de..

𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒+ ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒 − ℎ𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝒉𝒉𝒇𝒇. =

𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

𝑠𝑠𝑝𝑝𝑡𝑡𝑒𝑒

35


𝒉𝒉𝟎𝟎 = 𝒛𝒛 +𝒑𝒑𝜸𝜸

+𝑽𝑽𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒈𝒈≠ 𝒄𝒄𝒏𝒏𝒔𝒔𝒏𝒏𝒆𝒆

𝑯𝑯 = 𝒉𝒉𝟎𝟎 + 𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒏𝒏𝒔𝒔𝒏𝒏𝒆𝒆

36

Le bilan des forces (la quantité de mouvement) agissant dans uneconduite à section constante permettra de trouver une relationentre le cisaillement τp à la paroi et les pertes de pression


37

laminaire

turbulent p PLτ

➊

➋

p A1 1

p A2 2

W ALγ=

2 1z z−

𝛂𝛂

L

� ��𝐹 = 𝑐𝑐1𝐴𝐴1 − 𝑐𝑐2𝐴𝐴2 − 𝛾𝛾𝐴𝐴𝛾𝛾sin𝛼𝛼 − 𝜏𝜏𝑝𝑝𝑃𝑃𝛾𝛾 = ��𝑐(𝜌𝜌2 − 𝜌𝜌1) 𝜌𝜌2 = 𝜌𝜌1, 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2

38

p PLτ

➊

➋

p A1 1

p A2 2

W ALγ=

2 1z z−

𝛂𝛂

L

2 1sin z zL−

=α

1 2 2 14 ( )pLp p z zD

− = + −

τ γ

Lorsque 𝐴𝐴 = 𝜋𝜋𝐷𝐷2/4 et 𝑃𝑃 = 𝜋𝜋𝐷𝐷 1 2A A A= =

𝑐𝑐1𝐴𝐴1 − 𝑐𝑐2𝐴𝐴2 − 𝛾𝛾𝐴𝐴𝛾𝛾sin𝛼𝛼 − 𝜏𝜏𝑝𝑝𝑃𝑃𝛾𝛾 = 0

𝑐𝑐1𝐴𝐴1 − 𝑐𝑐2𝐴𝐴2 − 𝛾𝛾𝐴𝐴(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1) − 𝜏𝜏𝑝𝑝𝑃𝑃𝛾𝛾 = 0

�𝑐𝑐1 − 𝑐𝑐2 = 𝜏𝜏𝑝𝑝𝑃𝑃 ⁄𝛾𝛾 𝐴𝐴 + 𝛾𝛾(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1

39

fh

➊

➋

2 1z z−

L𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

1− 𝒉𝒉𝒇𝒇. =

𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

2

𝒑𝒑𝜸𝜸

+𝑽𝑽𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒈𝒈+ 𝒛𝒛

𝒑𝒑𝜸𝜸

+𝑽𝑽𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒈𝒈+ 𝒛𝒛

𝑐𝑐1

𝛾𝛾−

𝑐𝑐2

𝛾𝛾= 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 + ℎ𝑓𝑓

𝑐𝑐1 − 𝑐𝑐2 = 4 𝜏𝜏𝑝𝑝𝛾𝛾𝐷𝐷

+ 𝛾𝛾(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1)

ℎ𝑓𝑓 =4 𝜏𝜏𝑝𝑝

𝛾𝛾𝛾𝛾𝐷𝐷 ℎ𝑓𝑓 =

4 𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝑔𝑔𝛾𝛾𝐷𝐷

40

Pour établir un lien entre le cisaillement τp et des variables tellesque le diamètre de la conduite 𝑫𝑫 ,la vitesse moyene del’écoulement 𝑽𝑽, ainsi que la masse volumique 𝝆𝝆 et la viscositédynamique 𝝁𝝁 du fluide, on fera appel à l’analyse dimensionnelle

Cette analyse ne prend pas en compte la rugosité de la paroi.Autrement dit, celle-ci est considérée lisse


41

μ τ p ρ D V

M 1 1 1 0 0

L -1 -1 -3 1 1T -1 -2 0 0 -1

paroi lisse paroi rugueuse

μ/ρDV τ p/ρV2 ρ D V

M 0 0 1 0 0

L 0 0 -3 1 1T 0 0 0 0 -1


�𝜏𝜏𝑝𝑝 = 𝑓𝑓(𝜌𝜌, 𝜇𝜇, 𝜌𝜌, 𝐷𝐷 Π1 Π2

42

2 2p

Vτρ

Π =1 DVΠ =

µρ 2 / 2

pfC

V=

τρ


ℎ𝑓𝑓 =4 𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝑔𝑔𝛾𝛾𝐷𝐷

𝒉𝒉𝒇𝒇 =4 𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝑔𝑔2

𝜌𝜌2𝜌𝜌2

2𝛾𝛾𝐷𝐷

=8 𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝜌𝜌2𝜌𝜌2

2𝑔𝑔𝛾𝛾𝐷𝐷

𝑓𝑓 =8 𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝜌𝜌2

Coefficient adimensionnel

43


Cette équation, de Darcy-Weisbach, pour évaluer les pertes parfrottement dans des conduites circulaires, est valable tant pourdes écoulements laminaires que pour des écoulementsturbulents. Maintenant il faut trouver f !

ℎ𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝛾𝛾𝐷𝐷

𝜌𝜌2

2𝑔𝑔

44

Henry Darcy(1803-1858)

Julius Weisbach(1806-1871)








6.1 6.4 6.56.36.2 6.6

Nous avons la relation

Il faut alors trouver une expression pour 𝜏𝜏𝑝𝑝 afin d’obtenir 𝑓𝑓L’analyse dimensionnelle a permit de trouver que 𝜋𝜋2 = Φ(𝜋𝜋1),soit

Une fois que la relation fonctionnelle Φ soit connue, nouspourrons obtenir �𝝉𝝉𝒑𝒑 et par la suite le coefficient adimensionnel 𝒇𝒇

46

6.4 Écoulement laminaire..

𝑓𝑓 =8 𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝜌𝜌2

𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝜌𝜌2 = Φ𝜇𝜇

𝜌𝜌𝐷𝐷𝜌𝜌

47

Pour un écoulement laminaire la relation fonctionnelle Φ peutêtre trouvée utilisant une solution exacte des équations de Navier-Stokes, en régime stationnaire et incompressible

En particulier, on regarde l’écoulement de Poiseuille, qui permetde trouver le profil de vitesses et par la suite les pertes parcisaillement


48

La solution de l’écoulement de Poiseuille, dans une conduitecylindrique, similaire à celle trouvée entre deux plaques planes, est

À partir de cette formule on peut trouver le cisaillement à la paroi


𝑢𝑢 =1

4𝜇𝜇𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑟𝑟2 − 𝑅𝑅2R

x

𝜏𝜏𝑝𝑝 = 𝜇𝜇𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑡𝑡=𝑅𝑅

=𝑅𝑅2

𝑑𝑑𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑

Le gradient de pression est lié à la vitesse par l’équation

à partir de laquelle on peut déterminer une vitesse moyenne, soit

avec

49


𝑄𝑄 = �0

𝑅𝑅1


𝑟𝑟2 − 𝑅𝑅2 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑢𝑢 =1


𝑟𝑟2 − 𝑅𝑅2

𝜌𝜌 =𝑄𝑄

𝜋𝜋 ⁄𝐷𝐷2 4 rdr

Rx

d'où

alors

50


𝜌𝜌 = −1𝜇𝜇


𝑅𝑅2

8


=8𝜇𝜇𝜌𝜌𝑅𝑅2

𝜏𝜏𝑝𝑝 =𝑅𝑅2


𝑓𝑓 =8𝜏𝜏𝑝𝑝

𝜌𝜌𝜌𝜌2

𝜏𝜏𝑝𝑝 =8𝜌𝜌𝜇𝜇

𝐷𝐷

𝒇𝒇 =𝟎𝟎𝟎𝟎𝝁𝝁𝝆𝝆𝑽𝑽𝑫𝑫

Les pertes par frottement dans une conduite peuvent êtrefacilement calculées avec la formule de Darcy-Weisbach:

Pour un écoulement est laminaire

51

3.05 Conservation de l’énergie

𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒖𝒖𝑫𝑫

𝑽𝑽𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒈𝒈

𝒇𝒇 =𝟎𝟎𝟎𝟎𝑹𝑹𝒆𝒆

𝒇𝒇 =𝟎𝟎𝟎𝟎𝝁𝝁𝝆𝝆𝑽𝑽𝑫𝑫

De l’huile s’écoule vers le haut ? dansun conduit incliné. La pression etl’élévation sont connues aux sections 1et 2, à 10 m l’une de l’autre.En supposant que l’écoulement soitlaminaire, (a) vérifier que l’écoulements’écoule vers le haut, (b) calculer hfentre 1 et 2, et calculer (c) Q, (d) V, et(e) Re. Est-ce que l’écoulement estvraiment laminaire?

Exemple 6.3

𝜌𝜌 = 900 𝑘𝑘 ⁄𝑔𝑔 𝑐𝑐3 , 𝜈𝜈 = 0.0002 ⁄𝑐𝑐2 𝑠𝑠

𝜇𝜇 = 𝜌𝜌 𝜈𝜈 = 0.18 𝑘𝑘 ⁄𝑔𝑔 𝑐𝑐 𝑠𝑠

𝛾𝛾 = 𝜌𝜌𝑔𝑔 = 8.829 ⁄𝑁𝑁 𝑐𝑐3

𝑧𝑧1 = 0

𝑧𝑧2 = 𝛾𝛾 sin 40 = 6.43 𝑐𝑐

(a) Vers le haut?

𝜇𝜇 = 𝜌𝜌 𝜈𝜈 = 0.18 𝑘𝑘 ⁄𝑔𝑔 𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝛾𝛾 = 𝜌𝜌𝑔𝑔 = 8.829 ⁄𝑁𝑁 𝑐𝑐3

𝑧𝑧1 = 0

𝑧𝑧2 = 𝛾𝛾 sin 40 = 6.43 𝑐𝑐

𝐻𝐻2 = 𝑧𝑧2 +𝑐𝑐2

𝜌𝜌𝑔𝑔+

𝜌𝜌22

2𝑔𝑔

𝐻𝐻1 = 𝑧𝑧1 +𝑐𝑐1

𝜌𝜌𝑔𝑔+

𝜌𝜌12

2𝑔𝑔

(𝜌𝜌1= 𝜌𝜌2)

= 𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎

= 𝟑𝟑𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟎𝟎 𝒎𝒎

H1 > H2 : l’écoulement est vers le haut

𝑧𝑧1 = 0

𝑧𝑧2 = 𝛾𝛾 sin 40 = 6.43 𝑐𝑐

(b) calculer hf

𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝐻𝐻1 − 𝐻𝐻2 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑 𝒎𝒎

𝐻𝐻1 = 39.64 𝑐𝑐 𝐻𝐻2 = 34.75 𝑐𝑐

(c) Q ?

ℎ𝑓𝑓 =128 𝜇𝜇 𝛾𝛾 𝑄𝑄

𝜋𝜋𝜌𝜌𝑔𝑔𝐷𝐷4

Écoulement laminaire

𝑓𝑓 =64Re ℎ𝑓𝑓 = 𝑓𝑓

𝛾𝛾𝐷𝐷

𝜌𝜌2

2𝑔𝑔

𝑧𝑧1 = 0

𝑧𝑧2 = 𝛾𝛾 sin 40 = 6.43 𝑐𝑐

(c) Q ?

ℎ𝑓𝑓 =128 𝜇𝜇 𝛾𝛾 𝑸𝑸

𝜋𝜋𝜌𝜌𝑔𝑔𝐷𝐷4

𝜇𝜇 = 0.18 𝑘𝑘 ⁄𝑔𝑔 𝑐𝑐 𝑠𝑠 𝜌𝜌 = 900 𝑘𝑘 ⁄𝑔𝑔 𝑐𝑐3 ℎ𝑓𝑓 = 4.9 𝑐𝑐

𝑸𝑸 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒔𝒔

𝑽𝑽 =𝑸𝑸

𝝅𝝅𝑹𝑹𝟐𝟐 = 𝟐𝟐. 𝟕𝟕 ⁄𝒎𝒎 𝒔𝒔

(d) V?

(e) Re?

Re =𝜌𝜌𝜌𝜌𝐷𝐷

𝜇𝜇= 𝟖𝟖𝟏𝟏𝟎𝟎 < 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎

L’écoulement est laminaire!

Solution

Exemple 6.4

.=1 0 0004d pi

. /= 30 15Q pi h

1pi

1pi

❶

358 /=g lbf piρ

22

3.32 /= =QV pi sA

2 21 1 2 2

1 21 22 2 fp V p Vz z h

g gα

γ γα+ + = + + +

22

1 2 2 1.662fVh z z pi

gα= − − =

=2 2 Laminaire!α

On note que p1=p2=patm , alorsVers 6.8

Un liquide avec γ=ρg=58 lbf/pi3 s’écoule d’un réservoir dans un tube capillairede L=1 pi à un débit de Q=0.15 pi3/h. Les sections 1 et 2 sont à la pressionatmosphérique.Calculer la viscosité μ du fluide en supposant que l’écoulement est pleinementdéveloppé dans tout le capillaire.

Solution

Vérification du régime de l’écoulement

Exemple 6.4

.=1 0 0004d pi

. /= 30 15Q pi h

1pi

1pi

❶

1.66fh pi=

2 4

32 1281.66fLV LQh pi

gd gdρµ µ

πρ= = =

1 La longueur du capillaire. Pourquoi?L pi=

Re Vdρµ

= = <1650 2300

L’écoulement est laminaire!

Il existe également unesolution turbulente!

51.45 10 slugpi s

µ −= ×−

Vers 6.8

358 / 32.2 1.80 /slug piρ = =

3

2

58 /32.2

g lbf pig pi sρ =

=







6.1 6.4 6.56.36.2 6.6

60

La loi de Poiseuille ne suffit pas pour étudier les pertes dans desconduites puisqu’une grande partie des écoulementspratiques sont turbulents!

Ainsi, en plus de f=64/Re, valable pour le régime laminaire, il faut une modélisation pour décrire les écoulements à grand Reynolds pour calculer le f nécessaire dans la formule de Darcy-Weisbach

2

2fL Vh fD g

=

6.5 Modélisation de la..

61

La turbulence est un phénomène complexe dont le fluidemanifeste un caractère tourbillonnaire. La taille et la position destourbillons varient constamment, de sorte que l’évolution desécoulements turbulents est difficilement prévisible.

Les écoulements turbulents apparaissent lorsque les forcesd’inertie sont très grandes devant les forces de viscosité, quis’opposent au déplacement du fluide. Pour ces écoulements lenombre de Reynolds est élevé.


62


63

Pour un écoulement turbulent nous devons considérer aussi unecontrainte de cisaillement associée aux effets tourbillonnaires.Dans ce cas, on peut dire que le cisaillement 𝝉𝝉 est généré par lacombinaison de deux sources de viscosité, une moléculaire μ etl’autre turbulente μt :

Le problème requiert d’exprimer analytiquement μt (νt). L’étude dela turbulence est hors du cadre de ce cours. Seulement quelqueséléments sont donnés en annexe.


Notions sur la modélisationde la turbulence

𝝉𝝉 = 𝝉𝝉𝒍𝒍𝒍𝒍𝒎𝒎 + 𝝉𝝉𝒏𝒏𝒖𝒖𝒕𝒕𝒕𝒕

64


L’analyse des écoulements turbulents a permis de mettre enévidence trois zones (couches) prés des parois: une zone interne,une zone de transition et un zone externe

65


Sous-couche laminaire (interne)

Pleinement turbulente (externe)

Logarithmique (transition)

Distance exagérée pourfins d’illustration

66

La couche la plus interne, valable très près de la paroi, est trèsfine et elle est appelée sous-couche visqueuse, ou sous-couche laminaire.Le profil de vitesse est quasi-linéaire et le gradient est fort Laviscosité moléculaire μ est dominante et τ est quasi-constant.


*Une idée du concept de viscosité turbulente est donnée en annexe

Sous-couche laminaire Fort gradient de vitesse

Pleinement turbulente Faible gradient de vitesse

67

Dans la couche extérieure, appelée "pleinement turbulente", laviscosité turbulente μt joue un rôle majeur et le gradient devitesse est faible.



68

La couche connue comme zone logarithmique, fait la jonctionentre la périphérie et la partie centrale d’un écoulement. Danscette région la viscosité turbulente μt prend progressivement ledessus sur la viscosité moléculaire μ.



Logarithmique (transition)y


Écoulement laminaireCisaillement visqueux fort

Région laminaire

Région turbulente

Région de transition

Laminaire Transition Turbulente

L’écoulement passe de laminaire à turbulent

Écoulement turbulentCisaillement visqueux faible

61

70

La qualité du fini de surface à une influence sur l’effort decisaillement à la paroi qui freine un écoulement. On nommehabituellement par ε la mesure rms de la variation de la surfaced’une paroi. L’influence réelle du fini de surface est relative audiamètre de la conduite: ε/d

ε d


Dans le cas a), la rugosité est imbibée dans la sous-couchevisqueuse et le tuyau est considéré comme étanthydrauliquement lisse. On peut dire que le fluide glisse enquelque sorte sur lui-même

71

sous-couche visqueuse Noyau turbulent

paroia) b) c)

Dans le cas b), il y en a un effet mixte sur l’écoulement produitde la rugosité à la paroi et de la sous-couche visqueuse.Dans le cas c), l’écoulement est complètement dominé par larugosité à la paroi. Il est hydrauliquement turbulent

72

sous-couche visqueuse Noyau turbulent

paroia) b) c)

73

a) Conduite hydrauliquement lisse

b) Conduite partiellement rugueuse

c) Conduite totalement rugueuse

( )f f Re=

( , / )f f Re Dε=

( / )f f Dε=

f: frottementε: rugositéD:diamètre








6.1 6.4 6.56.36.2 6.6

Initialement, des formules individuelles ont été proposées pourséparer l’influence de la rugosité à la paroi sur le comportementd’une conduite vis-à-vis l’écoulement. Notamment:a) hydrauliquement lisse, b) partiellement rugueuse, c) Conduitetotalement rugueuse

75

6.6 Écoulement. turbulent.

a) b) c)

76

Nikuradse1 /2.0 log

3.71D

fε = −

𝜺𝜺𝒖𝒖∗

𝝂𝝂≤ 𝟎𝟎

Paroi hydrauliquement lisse. Aucun effet de la rugosité sur la friction

𝟎𝟎 ≤𝜺𝜺𝒖𝒖∗

𝝂𝝂≤ 𝟕𝟕𝟎𝟎

Paroi semi rugueuse. La rugosité et le nombre de Reynolds ont un effet sur la friction

𝟕𝟕𝟎𝟎 ≤𝜺𝜺𝒖𝒖∗

𝝂𝝂Paroi totalement rugueuseLa friction est indépendante du nombre de Reynolds

1/2*u vitesse de frottement =

wτρ


( )1 2.0 log Re 0.8d ff= −

10.91 72.457 ln 0.27Re/ 2 Df

ε−

= +

77

Comment savoir s’il faut effectuer un calcul avec la formule pourparoi lisse ou avec la formule pour paroi rugueuse?


78

Cyril Colebrook (1939) a intégré en une seule relation lesrésultats pour les parois lisses et totalement rugueuses. On peutainsi calculer le coefficient de frottement f sans avoir à distinguer letype de paroi

On note, cependant, que l’inconnue apparait dans les deuxmembres de cette équation non linéaire. Il faut donc procéder paritération pour trouver f

1 / 2.512.0 log3.7 Re

= − +

df f

ε


1 / 2.512.0 log3.7 Red

df f

ε = − +


Paper No. 5204."Turbulent Flow in Pipes, with particular reference to theTransition Region between the Smooth and Rough Pipe Laws."

CYRIL FRANK COLEBROOK, Ph.D., B.Sc. (Eng.), Assoc. M. Inst. C.E.

1 Correspondence on this Paper can be accepted until the 15th May, 1939, and will he published in theInstitution Journal for October 1939.-SEC. INST. C.E. 79

80

Pour faciliter la tâche au niveau pratique, Lewis .F. Moody (1944) a tracé la formule Colebrook sous forme d’abaque

Formule de Colebrook

1 2.512log3.7 ReDf fε

= − +

Abaque de Moody

f : frottementε : rugositéD :diamètreRe:Reynolds


81


The object of this paper is to furnish the engineer witha simple means of estimating the friction factors to beused in computing the loss of head in clean new pipesand in closed conduits running full with steady flow.The modern developments in the application oftheoretical hydrodynamics to the fluid-frictionproblem are impressive and, scattered through anextensive literature. This paper is not intended as acritical survey of this wide field. For a concise review,Professor Bakhineteff's (1)2 small book on themechanics of fluid flow is an excellent reference.Prandtl and Tietjens (2) and Rouse (3) have also madenotable contributions to the subject. The author doesnot claim to offer anything particularly new ororiginal, his aim merely being to embody the nowaccepted conclusions in convenient form forengineering use.

Friction Factors for Pipe FlowBY LEWIS F. MOODY,1 PRINCETON, N. J.

The paper was intended for application tonormal conditions of engineering practiceand specifies a number of qualificationslimiting the scope of the charts, such as theirrestriction to round(straight) new andclean pipes, running full, and with steadyflow.Under such conditions it was stated, as notedby Professor Pardoe, that the friction factorf "is a dimensionless quantity, and atordinary velocities is a function of two, andonly two, other dimensionless quantities,the relative roughness of the surface andthe Reynolds number.''

0.01

0.10

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08Re=VD/ν

Coe

ffici

ent d

e fri

ctio

nf

0.050.040.03

0.020.015

0.010.0080.0060.004

0.002

0.0010.0008

0.00040.00020.00010.00005

LISSE

0.02

0.03

0.04

0.050.06

0.08

Rug

osité

réla

tive

ε/D

Régime turbulentcomplètement rugueux

ε ≈Turbulent LISSEr= /D 0

≤fLaminaire

=64/ReRe 2300

Transition

Régime turbulentsemi rugueux

83

• L’évolution du coefficient de friction en régime laminaire, affichésur le côté gauche de la figure, correspond à f=64/Re

• Le facteur de frottement est discontinu et croît fortement lors dupassage du régime laminaire vers le régime turbulent

• En régime turbulent, la courbe "turbulent lisse" lorsque larugosité est imbibée dans la sous-couche visqueuse, produit leplus petit coefficient de frottement

• Pour des nombres de Reynolds élevés, le facteur de frottementne dépend que de la rugosité relative ε/d


84

À partir des années 1970, des nouvelles formules explicites,incluant l’effet de la rugosité, ont fait leur apparition pour obtenir lecoefficient de friction f défini implicitement dans la formule deColebrook.L’une des premières utilisés avec succès a été introduite parSwamee-Jain en 1976, suivi par celle de Haaland en 1983.Plusieurs formules similaires on été proposées par la suite, maissans établir une différence substantielle sur la précision


85

Une liste exhaustive de formules en ordre chronologique estfournie dans l’article:

Les formules présentées par les auteurs sont données en annexe

Flow Turbulence Combust (2013) 90:1–27DOI 10.1007/s10494-012-9419-7Explicit Friction Factor Accuracy and ComputationalEfficiency for Turbulent Flow in PipesHerbert Keith Winning · Tim Coole

Pour voir les formules


86

ε/D = 0.000001--0.05Re = 5X103 -- 108


2

0.9

0.255.74log

3.7 Re

f

Dε

= +

5/2

2/3

1.782.22 log3.7

f

f

ghQ D

L D ghD

L

ε ν = − +

0.044.75 5.22

1.25 9.40.66f f

LQ LD Qgh gh

ε ν = +

87

1.111 6.91.8log3,7 ReDfε = − +

ε/D = 0.000001--0.05Re = 4X103 -- 108


𝑓𝑓 =0.3086

log 𝜀𝜀3.7𝐷𝐷

1.11+ 6.9

Re

2

88

160.972 log3,7 Re

AD

ε = − +

0 ≤ 𝜀𝜀/𝐷𝐷 ≤ 0.05


𝑓𝑓 = 88

Re

12

+ 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 −3/21/12

Re > 0

1637530Re

B =

Cette formule a la particularitéd’être valable pour toute lagamme des écoulements:laminaires et turbulents

89

103

104

105

106

107

108

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.000010.000050.00010.00020.00040.00060.00080.0010.0020.0040.0060.0080.010.02

103

104

105

106

107

108

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.000010.000050.00010.00020.00040.00060.00080.0010.0020.0040.0060.0080.010.02

Haaland 1983Swamee-Jain 1976


90

Matériau Rugosité ε (mm)

Verre, laiton, cuivre 0.0015Acier commercial standard 0.045Fonte asphaltée 0.12Fer galvanisé 0.15Fer forgé 0.26Beton 0.18-0.6Acier rivé 0.9-9.0Metal ondulé 45PVC 0.12


91

On a un écoulement d'eau, stationnaire etincompressible, dans une conduitehorizontale de 𝒖𝒖 = 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎 de longueur etd’un diamètre de 𝑫𝑫 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝒎𝒎. La conduiteest faite en acier inox avec une rugositéde 𝜺𝜺 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝒎𝒎𝒎𝒎. Le débit circulant estde 𝑸𝑸 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒔𝒔.

Déterminer la chute de pression, la pertede charge, et la puissance requise(pompe) pour faire circuler l’eau dans letuyau

L=60 m

D=0.05 m

⁄𝐐𝐐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐦𝟑𝟑 𝐬𝐬

𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ⁄𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎𝟑𝟑

𝝁𝝁 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ⁄𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎 � 𝒔𝒔𝜺𝜺 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝒎𝒎𝒎𝒎

92

Re =4𝑄𝑄

𝜋𝜋𝐷𝐷𝜇𝜇/𝜌𝜌=

4 × 0.006𝜋𝜋 × 0.05 × 1.138 × 10−3/103

Re = 135435 Turbulent

𝜀𝜀𝐷𝐷

=0.002𝑐𝑐𝑐𝑐

50𝑐𝑐𝑐𝑐= 0.000040

2

0.9

0.255.74log

3.7 Re

f

Dε

= +

= 0.0174 𝜌𝜌 =4𝑄𝑄

𝜋𝜋𝐷𝐷2 = 3.06𝑐𝑐/𝑠𝑠

Swamee-Jain

L=60 m

D=0.05 m

⁄𝐐𝐐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐦𝟑𝟑 𝐬𝐬

𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ⁄𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎𝟑𝟑

𝝁𝝁 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟖𝟖 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ⁄𝒌𝒌𝒈𝒈 𝒎𝒎 � 𝒔𝒔𝜺𝜺 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝒎𝒎𝒎𝒎

93

60 m

0.05 m

⁄𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐦𝟑𝟑 𝐬𝐬

∆P = ℎ𝑓𝑓𝜌𝜌𝑔𝑔 = 9.78 × 1000 × 9.81 = 95941.8 𝑃𝑃𝑃𝑃

ℎ𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝛾𝛾𝐷𝐷

𝜌𝜌2

2𝑔𝑔

= 0.017460

0.05(3.06 ⁄𝑐𝑐 𝑠𝑠)2

2 × 9.8= 9.78𝑐𝑐

��𝑊 = 𝑄𝑄∆𝑃𝑃 = 0.006 × 95941.8 = 575.6𝑊𝑊

��𝑊 = 𝐹𝐹𝜌𝜌 = ∆𝑃𝑃𝐴𝐴 𝜌𝜌 = ∆𝑃𝑃 𝜌𝜌𝐴𝐴 = ∆𝑃𝑃𝑄𝑄

94

En pratique courante, les problèmes associés aux calculs dans des conduites sont classifiés en trois types:

1. Le calcul de hf connaissant D, Q (ou V) et L, g, ε, ν2. Le calcul de Q (ou V) connaissant D, hf et L, g, ε, ν3. Le calcul de D connaissant Q, hf et L, g, ε, ν


96

1. Calculer hf connaissant D, Q , L, g, ε, ν


Swamee-Jain

Haaland

𝑓𝑓 =0.3086


1.11+ 6.9

Re

2

𝑓𝑓 =0.25

log 𝜀𝜀3.7𝐷𝐷 + 5.74

Re0.9

2

Re =4𝑄𝑄

𝜋𝜋𝐷𝐷𝜈𝜈ℎ𝑓𝑓 = 𝑓𝑓

8𝜋𝜋2𝑔𝑔

𝛾𝛾𝑄𝑄2

𝐷𝐷5

97

2. Calculer Q connaissant D, hf et L, g, ε, ν

Swamee-Jain


𝑄𝑄 = −0.965𝑔𝑔𝐷𝐷5ℎ𝑓𝑓

𝛾𝛾

0.5

ln𝜀𝜀

3.7𝐷𝐷+

3.17𝜈𝜈2𝛾𝛾𝑔𝑔𝐷𝐷3ℎ𝑓𝑓

0.5

NB. Cette formule ne fait pas partie du formulaire officiel du cours

98

Swamee-Jain

3. Calculer D connaissant Q, hf et L, g, ε, ν


𝐷𝐷 = 0.66 𝜀𝜀1.25 𝛾𝛾𝑄𝑄2

𝑔𝑔ℎ𝑓𝑓

4.75

+ 𝜈𝜈𝑄𝑄9.4 𝛾𝛾𝑔𝑔ℎ𝑓𝑓

5.2 0.04

NB. Cette formule ne fait pas partie du formulaire officiel du cours

Dans la suite, l’abaque de Moody sera employé comme un véhiculepour représenter certains types de problèmes dont leur résolutionpeut demander des itérations.On note cependant la résolution est couramment faite à l’aided’équations algébriques, comme celle de Haaland.

𝑓𝑓 =0.3086


1.11+ 6.9

Re

2

101

On a un écoulement stationnaire d’un fluide(ν = 1.13 × 10−5 ⁄𝑐𝑐𝑝𝑝2 𝑠𝑠) incompressible dansune conduite horizontale de 𝛾𝛾 = 1000 𝑐𝑐𝑝𝑝 etd’un diamètre 𝐷𝐷 = 0.3 𝑐𝑐𝑝𝑝. La rugosité de laparoi est de 𝜀𝜀 = 0.000166 𝑐𝑐𝑝𝑝. Le débit circulantest de 𝑄𝑄 = 0.02 ⁄𝑐𝑐𝑝𝑝3 𝑠𝑠. 𝑔𝑔 = 32.2𝑐𝑐𝑝𝑝/𝑠𝑠2

On doit déterminer la perte de charge 𝒉𝒉𝒇𝒇

1000 pi

0.3 pi

⁄𝟎𝟎. 𝟐𝟐 𝐩𝐩𝐩𝐩𝟑𝟑 𝐬𝐬

𝜺𝜺 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒊𝒊

𝝂𝝂 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 ⁄𝒑𝒑𝒊𝒊𝟐𝟐 𝒔𝒔

𝒈𝒈 = 𝟑𝟑𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝒑𝒑𝒊𝒊/𝒔𝒔𝟐𝟐

2

2 5

8 8.72π

= =fLQh f pi

g D0.0211=f

102

Calculer hf connaissant D=0.3pi, Q=0.2pi3/s , L=1000 pi,g=32.2 pi/s2, ε=0.000166 pi, ν=1.13x10-5pi2/s

44Re 7.5 10π ν

= = ×QD

0.0006ε=

D

Haaland


𝑓𝑓 =0.3086


1.11+ 6.9

Re

2

103. × 47 5 10

.0 022

Re=VD/ν

Fact

eur d

e fr

otte

men

t f 𝜺𝜺

𝑫𝑫

𝜺𝜺𝑫𝑫

= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

104

On a un écoulement stationnaire d’unfluide( ν = 1.2 × 10−5 ⁄𝑐𝑐𝑝𝑝2 𝑠𝑠 ) incompressibledans une conduite horizontale de 𝛾𝛾 = 740 𝑐𝑐𝑝𝑝et d’un diamètre 𝐷𝐷 = 0.7 𝑐𝑐𝑝𝑝. La rugosité de laparoi est de 𝜀𝜀 = 0.000416 𝑐𝑐𝑝𝑝 . La perte decharge est ℎ𝑓𝑓 = 15 𝑐𝑐𝑝𝑝. 𝑔𝑔 = 32.2𝑐𝑐𝑝𝑝/𝑠𝑠2

On doit déterminer le débit 𝑸𝑸

740 pi

0.7 pi

Q ?

𝜺𝜺 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒊𝒊

𝝂𝝂 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 ⁄𝒑𝒑𝒊𝒊𝟐𝟐 𝒔𝒔

𝒈𝒈 = 𝟑𝟑𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝒑𝒑𝒊𝒊/𝒔𝒔𝟐𝟐

105

Calculer connaissant hf =15 pi, D=0.7 pi, L=750 pi,g=32.2 pi/s2, ε=0.000416 pi, ν=1.2x10-5pi2/s

.Dε= 0 0006


Re =4𝑄𝑄

𝜋𝜋𝐷𝐷𝜈𝜈= 1.52 × 105𝑄𝑄

ℎ𝑓𝑓 = 𝑓𝑓8

𝜋𝜋2𝑔𝑔𝛾𝛾𝑄𝑄2

𝐷𝐷5 𝑄𝑄2 =𝜋𝜋2𝐷𝐷5𝑔𝑔ℎ𝑓𝑓

8𝛾𝛾𝒇𝒇

𝑄𝑄 =0.365

𝑓𝑓

106


Moody

Hypothèse


𝒇𝒇 𝑸𝑸 = ⁄𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒇 ⁄𝒑𝒑𝒊𝒊𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝑹𝑹𝒆𝒆 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎Q ⁄𝜺𝜺 𝐃𝐃

0.03 2.11 3.2𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.00060.019 2.65 4.03× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0006

107


Moody

Hypothèse


𝒇𝒇 𝑸𝑸 = ⁄𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒇𝒇 ⁄𝒑𝒑𝒊𝒊𝟑𝟑 𝒔𝒔 𝑹𝑹𝒆𝒆 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟐𝟐 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎Q ⁄𝜺𝜺 𝐃𝐃

0.03 2.11 3.2𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.00060.019 2.65 4.03× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0006

0.0185Haaland 4.07× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎2.68 0.0006

108. × 53 2 10

.0 019

Re=VD/ν

Fact

eur d

e fr

otte

men

t f

𝜺𝜺𝑫𝑫

𝜺𝜺𝑫𝑫

= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

. × 54 03 10

109

On un écoulement stationnaire d’un fluide( ν = 1.5 × 10−5 ⁄𝑐𝑐𝑝𝑝2 𝑠𝑠 ) incompressible dansune conduite horizontale de 𝛾𝛾 = 1500 𝑐𝑐𝑝𝑝 Ledébit circulant est de 𝑄𝑄 = 0.2 ⁄𝑐𝑐𝑝𝑝3 𝑠𝑠 . Larugosité de la paroi est de 𝜀𝜀 = 0.000833 𝑐𝑐𝑝𝑝 eton registre une perte de charge d ℎ𝑓𝑓 = 10 𝑐𝑐𝑝𝑝.

On doit déterminer le diamètre 𝑫𝑫

1500pi

D=?

𝜺𝜺 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟖𝟑𝟑𝟑𝟑𝒑𝒑𝒊𝒊

𝝂𝝂 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟎𝟎 ⁄𝒑𝒑𝒊𝒊𝟐𝟐 𝒔𝒔

𝒈𝒈 = 𝟑𝟑𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝒑𝒑𝒊𝒊/𝒔𝒔𝟐𝟐

⁄𝟎𝟎. 𝟐𝟐 𝐩𝐩𝐩𝐩𝟑𝟑 𝐬𝐬

𝒇𝒇 𝑫𝑫 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐𝟐𝒇𝒇𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑹𝑹𝒆𝒆 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎/𝑫𝑫 ⁄𝜺𝜺 𝐃𝐃 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟖𝟑𝟑/𝑫𝑫0.02 0.3133 5.394× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.00266

0.0275 0.334 5.641× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.00248

110

Calculer connaissant Q=0.2pi3/s hf =10 pi, L=1500 pi,g=32.2 pi/s2, ε=0.000833 pi, ν=1.5x10-5pi2/s


Re =4𝑄𝑄

𝜋𝜋𝐷𝐷𝜈𝜈= 0.1689 × ⁄105 𝐷𝐷



𝐷𝐷5 𝐷𝐷5 =8𝛾𝛾𝒇𝒇𝑄𝑄2

𝜋𝜋2𝑔𝑔ℎ𝑓𝑓

𝜀𝜀𝐷𝐷

= ⁄0.00833 𝐷𝐷

Moody

Hypothèse

𝐷𝐷 = 0.6852𝒇𝒇1/5

111

Calculer connaissant Q=0.2pi3/s hf =10 pi, L=1500 pi,g=32.2 pi/s2, ε=0.000833 pi, ν=1.5x10-5pi2/s


Re =4𝑄𝑄

𝜋𝜋𝐷𝐷𝜈𝜈= 0.1689 × ⁄105 𝐷𝐷



𝐷𝐷5 𝐷𝐷5 =8𝛾𝛾𝒇𝒇𝑄𝑄2

𝜋𝜋2𝑔𝑔ℎ𝑓𝑓

𝜀𝜀𝐷𝐷

= ⁄0.000833 𝐷𝐷

Haaland

Hypothèse

𝒇𝒇 𝑫𝑫 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟖𝟎𝟎𝟐𝟐𝒇𝒇𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑹𝑹𝒆𝒆 = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟖𝟖𝟑𝟑 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎/𝑫𝑫 ⁄𝜺𝜺 𝐃𝐃 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟖𝟑𝟑/𝑫𝑫0.02 0.3133 5.4178× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0027

0.0276 0.3341 5.0808× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0025

𝐷𝐷 = 0.6852𝑓𝑓1/5

112. × 45 4 10

.0 0275

Re=VD/ν

Fact

eur d

e fr

otte

men

t f

𝜺𝜺𝑫𝑫

𝜺𝜺𝑫𝑫

= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟕𝟕

113

L=0.35 m

⁄𝐕𝐕 = 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝐬𝐬

𝑫𝑫 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝒎𝒎

𝝁𝝁 = 𝟎𝟎.× 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ⁄𝑵𝑵 � 𝒔𝒔 𝒎𝒎𝟐𝟐

𝝆𝝆 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒈𝒈/𝒎𝒎𝟑𝟑

On modélise une artère du corps humain avecune sonde de diamètre 𝑫𝑫 = 𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒎𝒎 et delongueur 𝒖𝒖 = 𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒎𝒎. On estime que le sang aune viscosité d'environ 𝛍𝛍 = 𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ⁄𝜨𝜨 � 𝒔𝒔 𝒎𝒎𝟐𝟐,une densité spécifique de 𝑺𝑺𝒈𝒈 = 𝟏𝟏 , et que lapression à l’entrée ➊ de l'artère est égaleà 𝒑𝒑𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑯𝑯𝒈𝒈 . Si le débit était permanent(en fait il est pulsatile ) avec 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎. 𝟐𝟐 ⁄𝒎𝒎 𝒔𝒔,déterminez la pression à l'extrémité ➋ del'artère, si elle est orientée dans la direction: a)verticale (flux vers le haut) ou b) horizontale

𝒑𝒑 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑯𝑯𝒈𝒈

114

𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

1− ℎ𝑓𝑓. =

𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

2

𝑐𝑐1

𝛾𝛾−

𝑐𝑐2

𝛾𝛾= 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 + 𝑓𝑓

𝜌𝜌2


𝑐𝑐1 − 𝑐𝑐2 = 𝑓𝑓𝜌𝜌𝜌𝜌2

2𝛾𝛾𝐷𝐷

+ 𝛾𝛾(𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1)

𝛾𝛾 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1 = �𝛾𝛾𝛾𝛾: 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐0: ℎ𝑐𝑐𝑟𝑟𝑝𝑝𝑧𝑧𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑐𝑐2 = 𝑐𝑐1 − 𝑓𝑓𝜌𝜌𝜌𝜌2

2𝛾𝛾𝐷𝐷

− 𝛾𝛾𝛾𝛾


2𝛾𝛾𝐷𝐷

115

Re =𝜌𝜌𝐷𝐷𝜌𝜌

𝜇𝜇=

𝑓𝑓 =64𝑅𝑅𝑐𝑐

= 0.142

0.2 × 0.009 × 10004 × 10−3 = 450

laminaireRe = 450


2𝛾𝛾𝐷𝐷

− 𝛾𝛾𝛾𝛾

Verticale

𝑐𝑐2 = 133.4 × 0.120 − 0.142 ×1000 × 0.22

20.35

0.009

−9.81 × 0.35 𝒑𝒑𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒍𝒍

𝛾𝛾Η𝑔𝑔 = 133.4 �𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐3

116


2𝛾𝛾𝐷𝐷

Horizontale

𝑐𝑐2 = 133.4 × 0.120 − 0.142 ×1000 × 0.22

20.35

0.009

𝒑𝒑𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎. 𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒍𝒍

On note que le terme gravitationnel 𝜸𝜸𝒖𝒖 = 𝟑𝟑. 𝟎𝟎𝟑𝟑𝒌𝒌𝒑𝒑𝒍𝒍 est plus important que la perte par frottement 𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝒇𝒇 ⁄𝝆𝝆(𝑽𝑽𝟐𝟐 𝟐𝟐)( ⁄𝒖𝒖 𝑫𝑫) = 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒍𝒍.

117

De l'eau est pompée entre deux grandsréservoirs ouverts à travers une conduitehydrauliquement lisse de 𝒖𝒖 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒎𝒎. Lessurfaces de l'eau dans les deux réservoirs sontà la même hauteur. Lorsque la pompe fournieune puissance de ��𝑾 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒌𝒌𝑾𝑾 à l'eau , le débitest de 𝑸𝑸 = 𝟏𝟏 ⁄𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒔𝒔. Déterminez le diamètre dutuyau

P

��𝑊 = 20 𝑘𝑘𝑊𝑊𝑄𝑄 = 1 ⁄𝑐𝑐3 𝑠𝑠

𝜌𝜌 = 1000𝑘𝑘𝑔𝑔𝑐𝑐3

𝛾𝛾 = 1.5 𝑘𝑘𝑐𝑐

μ =1.12 × 10−3 Ν � 𝑠𝑠

𝑐𝑐2

118

𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

1+ ℎ𝑝𝑝. − ℎ𝑓𝑓. =

𝑐𝑐𝛾𝛾

+𝜌𝜌2

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧

2

ℎ𝑝𝑝 = ℎ𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝜌𝜌2


ℎ𝑝𝑝. =��𝑊

𝜌𝜌𝑔𝑔𝑄𝑄

𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 = 0, 𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 = 0, 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2

=20 × 103𝑁𝑁 � 𝑐𝑐/𝑠𝑠

(9.81 × 103 ⁄𝑁𝑁 𝑐𝑐3) (1 ⁄𝑐𝑐3 𝑠𝑠)= 2.04𝑐𝑐

V =4𝑄𝑄

𝜋𝜋𝐷𝐷2 = ⁄1.273 𝐷𝐷2

119

2.04 = 𝑓𝑓⁄1.273 𝐷𝐷2 2

2 × 9.811500

𝐷𝐷

𝑐𝑐1 = 𝑐𝑐2 = 0, 𝜌𝜌1 = 𝜌𝜌2 = 0, 𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2

2.04 = 123.9 ⁄𝑓𝑓 𝐷𝐷5

𝑓𝑓 = 0.0165𝐷𝐷5

𝐷𝐷 = 2.27𝑓𝑓0.2

Re =𝜌𝜌𝐷𝐷𝜌𝜌

𝜇𝜇=

⁄(1.273 𝐷𝐷2)𝐷𝐷 × 10001.12 × 10−3 = ⁄1.14 × 106 𝐷𝐷

ℎ𝑝𝑝 = ℎ𝑓𝑓 = 𝑓𝑓𝜌𝜌2


120

𝐷𝐷 = 2.27𝑓𝑓0.2

Re = ⁄1.14 × 106 𝐷𝐷

𝒉𝒉𝒑𝒑 = 𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝑽𝑽𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒈𝒈𝒖𝒖𝑫𝑫

Moody

𝒇𝒇 𝑫𝑫 = 𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝟕𝟕𝒇𝒇𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑹𝑹𝒆𝒆 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎/𝑫𝑫 ⁄𝜺𝜺 𝐃𝐃 = 𝟎𝟎.0.02 1.04 1.10× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0

0.0115 0.931 1.22× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0

0.0113 0.927

⁄𝜺𝜺 𝑫𝑫 = 𝟎𝟎

Moody

121

𝐷𝐷 = 2.27𝑓𝑓0.2

Re = ⁄1.14 × 106 𝐷𝐷

𝒉𝒉𝒑𝒑 = 𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝑽𝑽𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒈𝒈𝒖𝒖𝑫𝑫

Moody

𝒇𝒇 𝑫𝑫 = 𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝟕𝟕𝒇𝒇𝟎𝟎.𝟐𝟐 𝑹𝑹𝒆𝒆 = 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎/𝑫𝑫 ⁄𝜺𝜺 𝐃𝐃 = 𝟎𝟎.0.02 1.04 1.10× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0

0.0115 0.931 1.22× 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 0.0

0.0113 0.927

⁄𝜺𝜺 𝑫𝑫 = 𝟎𝟎

Moody

122. × 61 1 10

.0 0115

Re=VD/ν

Fact

eur d

e fr

otte

men

t f

𝜺𝜺𝑫𝑫

𝜺𝜺𝑫𝑫

= 𝟎𝟎.

De l’huile avec ρ=900 kg/m3, ν=10-5

m2/s, s’écoule avec un débit Q=0.2m3/s dans un conduit en fonte d’acier(cast iron) de D=200 mm de diamètreet L=500 m de longueur.

Déterminer (a) la perte de charge et(b) la perte de pression si le conduitest incliné vers le bas de 10◦ dans ladirection de l’écoulement.

Problème

𝑽𝑽 =𝑄𝑄

𝜋𝜋𝑅𝑅2 =0.2

𝜋𝜋 0.1 2 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎 ⁄𝒎𝒎 𝒔𝒔

𝐑𝐑𝐑𝐑 =𝜌𝜌𝐷𝐷𝜈𝜈

=6.4 0.20.00001

= 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

Fonte d’acier

𝜺𝜺𝑫𝑫

=0.26200

= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟑𝟑

Exemple 6.7

0.01

0.10

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08Re=VD/ν

Coe

ffici

ent d

e fri

ctio

nf

0.050.040.03

0.020.015

0.010.0080.0060.004

0.002

0.0010.0008

0.00040.00020.00010.00005

LISSE

0.02

0.03

0.04

0.050.06

0.08

Rug

osité

réla

tive

ε/D

Régime turbulent rugueux

0.0013

1.28E+05

0.0225




Problème

Haaland

1𝑓𝑓 ⁄1 2 = −1.8log

6.9Re

+⁄𝜀𝜀 𝑑𝑑

3.7

1.11

𝜀𝜀𝑑𝑑

= 0.0013 Re = 128000

𝑓𝑓 ≈ 0.0225

L m D m V m s500 , 0.2 , 6.4 /= = =

𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝑓𝑓𝛾𝛾𝐷𝐷

𝜌𝜌2

2𝑔𝑔 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒎𝒎




Problème

𝑐𝑐1

𝜌𝜌𝑔𝑔+

𝜌𝜌12

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧1 =

𝑐𝑐2

𝜌𝜌𝑔𝑔+

𝜌𝜌22

2𝑔𝑔+ 𝑧𝑧2 + ℎ𝑓𝑓

𝑐𝑐1 − 𝑐𝑐2

𝜌𝜌𝑔𝑔= ℎ𝑓𝑓 − 𝑧𝑧1 − 𝑧𝑧2

Δ𝑐𝑐 = 𝜌𝜌𝑔𝑔 ℎ𝑓𝑓 − 𝛾𝛾 sin 100

𝚫𝚫𝒑𝒑 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒍𝒍

1 2=V V

0.2m

Refaire l’exemple 6.4 et vérifier qu’il existe une solution en régime turbulent pour untuyau lisse

Solution

Exemple 6.8

Re 1650= =Vdρµ

64 0.0388Re

= =f

Re=1650 Re=4500

Voir 6.4

2 3.32 /=V pi s

de 6.4

On reprend l’analyse de 6.4, en supposant que l’écoulement est turbulent à la sortie (α1=2,laminaire; α2=1.06, turbulent)

Calcul de la perte de charge

Calcul du coefficient de friction

Dans le cas d’un écoulement dans un capillaire, la solution peut être multiple (laminaire outurbulente). Pour éviter ce phénomène, on restreint l’écoulement à des Reynolds inférieursà 1000 pour garantir un écoulement laminaire.

Exemple 6.8

22

2f

gdf hV L

= 0.0425=f1=L

2 21 1 2 2

1 1 2 22 2 fp V p Vz z hg g g g

α αρ ρ

+ + = + + +2

21 2 2 1.82

2fVh z z pi

gα= − − =

2 21.06, 3.32 /V pi sα = =

de 6.4

Voir 6.4

Calcul du nombre de Reynolds en régime turbulent(les parois sont supposées hydrauliquement lisses)

Calcul de la viscosité

Exemple 6.8

( )1 2.0 log Re 0.8= −ff

1/21 10.8

2

1/2

10Re 3250

+

= ≈f

f

Re = Vdρµ ( )67.2 10 /

Re−= = ×

Vd slug pi sρµ

parois hydrauliquement lisses

• On a associé l’effet du cisaillement à la notion de pertes parfrottement hf , qu’on retrouve dans l’équation de l’énergie

• Une attention spécifique a été accordée aux écoulements dansdes conduites circulaires, qui constituent la majorité desdispositifs utilisés dans l’industrie

2 2

2 2pompe turbine fent sort

p V p Vz h h h zg gγ γ

+ + + − − = + +

fh

• Le nombre de Reynolds Re est le paramètre clé pour distinguerle type d’écoulement: laminaire ou turbulent

• Pour les écoulements dans des conduites:- le seuil supérieur d’un écoulement laminaire se situeapproximativement à 𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

- le seuil inférieur d’un écoulement turbulent se situeapproximativement à 𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟒𝟒𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐

- la région 𝟒𝟒𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 > 𝑹𝑹𝑹𝑹 > 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 est appelée de transition

Les pertes produites par un écoulement, laminaire ou turbulent,dans une conduite sont déterminées à l’aide de la formule:

Pour des écoulements laminaires 𝑓𝑓=64/𝑅𝑅e.

𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝒇𝒇𝒖𝒖𝑫𝑫

𝑽𝑽𝟐𝟐

𝟐𝟐𝒈𝒈

La turbulence modifie substantiellement le facteur de friction f.Dans une première période, le coefficient f a été déterminé à l’aidedu diagramme de Moody.Celui-ci est une synthèse des différents régimes d’écoulement,représentés dans la formule de Colebrook, en fonction du nombrede Reynolds Re et de la rugosité relative des matériaux ε/D.

0.01

0.10

1E+03 1E+04 1E+05 1E+06 1E+07 1E+08Re=VD/ν

Coe

ffici

ent d

e fri

ctio

nf

0.050.040.03

0.020.015

0.010.0080.0060.004

0.002

0.0010.0008

0.00040.00020.00010.00005

LISSE

0.02

0.03

0.04

0.050.06

0.08

Rug

osité

réla

tive

ε/D

Régime turbulent complètement rugueux

ε ≈Turbulent LISSEr= /D 0

≤fLaminaire

=64/ReRe 2300

Transition

Régime turbulentsemi rugueux

• Pendant les quatre dernières décennies, plusieurs formulesexplicites ont été développées pour déterminer f par voienumérique. Celle de Swamee-Jain (1976) se situe parmi lespremières à avoir été proposées. La formule Haaland (1983) estpopulaire grâce a sa simplicité tout en affichant une bonneprécision

Haaland 1983Swamee-Jain 1976

𝑓𝑓 =0.3086


1.11+ 6.9

Re

2𝑓𝑓 =0.25

log 𝜀𝜀3.7𝐷𝐷 + 5.74

Re0.9

2

• Lorsqu’on cherche à connaître le débit Q ou le diamètre D enfonction des pertes hf et de la rugosité relative ε/D, on procède paritération. Le calcul est démarré en supposant une valeur ducoefficient f

• Cette valeure

𝑓𝑓 =0.3086


1.11+ 6.9

Re

2

• Lorsqu’on cherche à connaître le débit Q ou le diamètre D enfonction des pertes hf et de la rugosité relative ε/D, on trouve desinconnues dans le membre de droite des équations explicitespour f . Par exemple dans la formule de Haaland:

• Dan ce cas on procède par itération. Le calcul est démarré ensupposant une valeur du coefficient f

• Cette valeur permettra de calculer 𝑅𝑅𝑐𝑐 et de recalculer f ,etc., etc.

𝒇𝒇 =0.3086


1.11+ 6.9

𝐑𝐑𝐑𝐑

2

• Swamee-Jain(1976) ont aussi proposé des formules“inverses” pour obtenir, sans effectuer des itérations, le débit Qet le diamètre D en fonction des pertes hf et de la rugosité ε, oude la rugosité relative ε/D

0.044.75 5.22

1.25 9.40.66f f

LQ LD Qgh gh

ε ν = +

𝑄𝑄 = −2.22𝐷𝐷 ⁄5 2 𝑔𝑔ℎ𝑓𝑓

𝛾𝛾log

𝜀𝜀3.7𝐷𝐷

+1.78𝜈𝜈

𝐷𝐷 ⁄2 3 𝑔𝑔ℎ𝑓𝑓𝛾𝛾

NB. Ces formules ne font paspartie du formulaire officieldu cours

141

Big whorls have little whorls, which feed on their velocity; And little whorls have lesser whorls, And so on to viscosity. Lewis Fry Richardson (1881 – 1953)


142

I am an old man now, and when I dieand go to heaven there are two matterson which I hope for enlightenment.One is quantum electrodynamics,and the other is the turbulent motionof fluids. And about the former I amrather optimistic.

Horace Lamb


143

On dit qu’un écoulement est turbulent si le champ des vitessessubit d’importantes fluctuations spatiales et temporellesCe champ est trop complexe pour qu’on puisse le décrire en détaildans un contexte industriel. Parmi les différentes alternatives poursimplifier le problème, on emploie d’avantage des méthodesstatistiques en remplaçant le calcul de propriétés instantanées parcelui de valeurs moyennes. Cette façon de faire a été proposéepar Osborne Reynolds en 1895.On peut noter déjà que la turbulence est un terrain glissant


144

On exprime donc la vitesse (et la pression) instantanée comme lasomme de sa moyenne statistique et de sa fluctuation

En réalisant N expériences (mesures) on obtient formellement lamoyenne statistique de la vitesse (et de la pression)

'u u u= +vitesseinstantanée

vitessemoyenne

fluctuation de la vitesse

uu

t

1

1 Ni

iu u

N =

= ∑Remarque: les programmes informatiquesne peuvent calculer que la moyennestatistique. Les fluctuations sont modélisées

0

1 ( )T

u u t dtT

= ∫


145

Les équations de Navier-Stokes ne sont pas conçues pour prédireles propriétés moyennes. Après substitution des quantités commeétant la somme des moyennes statistiques et des fluctuations, il estpossible de trouver des équations similaires qui se nomment RANS(pour Reynolds Averaged Navier-Stokes). Voici l’une des équations:

2ρ ρµ µ ρρ ρ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

′ ′ ′ ′ ′−xDu p u u ugDt x x x y

u wz z

u vy

u

Les moyennes des fluctuations se nomment contraintes turbulentes (ou de Reynolds).


146


147

Les contraintes turbulentes 𝝆𝝆𝒖𝒖′𝒗𝒗′ont par effet l’augmentation dutransport de la quantité de mouvement. Cependant, leur calcul n’estpas immédiat puisqu’elles ne sont pas décrites par des équations.La modélisation intervient ici lorsqu’on élabore une hypothèse, diteune “fermeture”, afin de spécifier 𝝆𝝆𝒖𝒖′𝒗𝒗′ en fonction de quantitésmoyenne connues.


148

La “fermeture” la plus courante, est celle qui utilise la notion deviscosité turbulente en remplaçant ces contraintes par des relationsalgébriques de la forme:

viscosité turbulente:tµturb tuu vy

ρ τ µ ∂′ ′− = =∂


149

Le concept de viscosité turbulente a été développé par JosephBoussinesq en 1877. On note que 𝝁𝝁t n’est pas une propriété dufluide et que sa valeur change d’un point à un autre del’écoulement. Il existe plusieurs types de modèles de turbulence quisont basés sur cette relation. En pratique, il faut exprimer 𝝁𝝁t enfonction de quantités connues ou calculables

Joseph Boussinesq1842-1929


151

Le modèle le plus fondamental, proposé par Ludwig Prandtl en1925, exprime la viscosité turbulente en fonction du gradient desvitesses et d’un paramètre lm appelé la longueur de mélange. Leterme lm dépends du problème et indique la distance sur laquelleun groupe de particules voyage à la même vitesse. Ce type demodèle est dit algébrique, car il ne nécessite aucune équation

2t m

uly

µ ρ ∂=

∂( )2

t ml Vµ ρ= ∇

Forme générale


152

Dès nos jours, le modèle à deux équations différentiellessupplémentaires nommé k-epsilon, est très populaire. Il ne requiertpas d’une quantité externe (lm par exemple) et, en général, ilfournit des résultats acceptables pour les applications en génie.Afin de caractériser la turbulence, ce modèle calcule l’énergiecinétique des fluctuations (k). Cependant, cette grandeur nedistingue pas les gros tourbillons des petits tourbillons. Pour cefaire, on utilise un deuxième paramètre (ε) pour quantifier ladissipation des fluctuations. La viscosité turbulente 𝝁𝝁t est alorscalculée en fonction de ces deux variables


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157

Flow Turbulence Combust (2013) 90:1–27DOI 10.1007/s10494-012-9419-7Explicit Friction Factor Accuracy and ComputationalEfficiency for Turbulent Flow in PipesHerbert Keith Winning · Tim Coole

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La prochaine fois:les écoulements externes

MF BLC 02a - groupes.polymtl.ca · La longueur du cœur potentiel “non visqueux ” L. i. est...

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