Métrologie en terminale S

Mesures et incertitudes

2013

En physique et en chimie, il n'existe pas de mesures exactes. Les mesures ne peuvent qu'être entachéesd'erreurs plus ou moins importantes selon le protocole choisi, la qualité des instruments de mesure ou lerôle de l'opérateur. Évaluer l'incertitude sur une mesure est un domaine complexe qui fait l'objet d'unebranche complète des sciences expérimentales : la métrologie . Quelques rudiments de métrologie sontau programme de physique-chimie en terminale S : nous donnons ici ces éléments, qui doivent êtremaîtrisés pour les épreuves du baccalauréat 1.

Sommaire

1 Vocabulaire et notations 1

2 Estimation de l'incertitude 3

2.1 Calcul de l'incertitude de type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Calcul de l'incertitude de type B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Calcul de ∆X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Cas d'une grandeur calculée : incertitudes composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Présentation des résultats et pratique expérimentale 4

3.1 Présenter correctement un résultat expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Comparer un résultats à une valeur de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Remarques a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Quelques exemples 5

4.1 Période d'un pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Un dosage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Vocabulaire et notations

. Une grandeur est utilisée en sciences pour caractériser un objet ou un événement. Les grandeurssont obtenues soit par lamesure, avec des instruments adaptés, soit par le calcul à partir d'autregrandeurs. Par exemple, on peut mesurer la masse m d'un véhicule (à l'aide d'une bascule) etsa vitesse v (sur le compteur de vitesse) ; on calcule son énergie cinétique à l'aide de la relation :Ec = 1

2mv2.

. La grandeur que l'on veut mesurer est appelée mesurande .

. Le fait de mesurer une grandeur est appelée mesurage ; à ne pas confondre avec la mesure ,qui est la valeur x obtenue lors du mesurage.

. Si le mesurage était parfait, on obtiendrait la valeur vraie Xvrai du mesurande. Cette valeur estinconnue, puisque toute mesure est entachée d'une erreur de mesure ER = Xvrai − x.

1. L'élève doit maîtriser ces éléments mais ne doit pas forcément les connaître : la plupart des formules seront données

le jour de l'examen.

1

Figure 1 � En haut à gauche, la mesure est juste et �dèle ; en haut à droite, elle est juste maispeu �dèle ; en bas à gauche, elle est peu juste mais �dèle ; en bas à droite elle n'est ni juste ni �dèle.

. Il existe deux types d'erreurs de mesure.L' erreur systématique ERS ne varie pas d'une mesure à l'autre, elle est souvent due à l'appareilde mesure et peut disparaître par réglage 2. Par exemple, une balance qui n'a�cherait pas zéro enl'absence de masse à peser donnerait une erreur systématique. En la tarant, l'erreur disparaîtrait.L' erreur aléatoire ERA change à chaque mesure. Elle est due aux �uctuations de la gran-

deur mesurée, qui n'est pas forcément stable dans le temps (comme la distance Terre�Lune)ou n'est pas la même dans tout l'échantillon (par exemple, la température de la mer), ou bienaux �uctuations de la méthode de mesure, c'est à dire la manière de mesurer de l'expéri-mentateur. Ces �uctuations se traduisent par un écart entre les valeurs obtenues lors de di�érentsmesurages.

. Une mesure est juste si l'erreur systématique est faible et �dèle si l'erreur aléatoire est faible(cf. �gure 1).

. L' incertitude de mesure est un paramètre associé à une valeur mesurée qui mesure l'erreuraléatoire, c'est à dire la dispersion des valeurs possibles de la grandeur.

. La valeur X d'une grandeur mesurée, peut être présentée comme une valeur estimée x associée àson incertitude absolue ∆X. Le résultat est alors : X = x±∆X .Remarque : l'incertitude sur la mesure de X est parfois notée U(X).

. La relation précédente revient à écrire : X ∈ [x−∆X ; x+ ∆X] . Cet intervalle est appelé inter-

valle de con�ance de X.Par exemple, le résultat d'une mesure de tension à l'aide d'un voltmètre peut être donné sous laforme U = 4, 35± 0, 03V. Cela signi�e que la tension U est comprise entre 4, 32V et 4, 38V.Graphiquement, cet intervalle est représenté par une barre d'erreur (cf. �gure 2).

. On dé�nit aussi l' incertitude relative sur la mesure notée∆X

Xet calculée par

∆X

|x|. Cette

incertitude relative est parfois appelée � précision �.

2. Toutefois, l'erreur systématique est inconnue car elle est un � décalage � par rapport à la valeur vraie, elle-même

inconnue.

2

Figure 2 � Représentation d'une incertitude sous la forme d'une barre d'erreur

. On dit que l'incertitude est de type A lorsque le mesurage est e�ectué plusieurs fois dans desconditions identiques ; l'incertitude est alors déterminée par des méthodes statistiques.Lorsqu'on ne dispose que d'une seule mesure, l'incertitude est de type B et son calcul se fait àpartir des conditions de l'expérience.

2 Estimation de l'incertitude

2.1 Calcul de l'incertitude de type A

On considère une série de n mesures xi e�ectuées dans les mêmes conditions (soit par un mêmeopérateur successivement, soit en même temps par di�érents opérateurs).

On note x la moyenne de la série, soit x =1

n

n∑i=1

xi. Cette valeur x est la meilleure estimation

possible de la valeur vraie Xvrai.

On calcule tout d'abord l' écart-type expérimental sexp (noté σn−1 par les calculatrices) :

sexp =

√∑ni=1(xi − x)2

n− 1

L' incertitude-type s 3 sur la moyenne est alors : s =sexp√n.

2.2 Calcul de l'incertitude de type B

L'incertitude de type B est calculée à partir de l'indication du fabricant sur le matériel utilisé. Si le

fabricant a indiqué une �abilité de ±a, l'incertitude-type est s =a√3.

En l'absence d'indication, on prendra : s =1 graduation√

12=

12 graduation

√3

.

Si plusieurs instruments ont été utilisés, l'incertitude-type s se calcule par : s2 = (s1)2 + (s2)

2 + . . .

3. s est aussi notée u(X), à ne pas confondre avec U(X).

3

n− 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 25 30 40 60k à 95 % 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,41 2,26 2,23 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00k à 99 % 63,66 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,35 3,25 3,17 2,85 2,79 2,75 2,70 2,66

Table 1 � Table de Student (une table plus détaillée est disponible en annexe)

2.3 Calcul de ∆X

Maintenant que l'on connaît l'incertitude-type, on calcule l'incertitude de mesure (appelée ici � in-certitude-type élargie �) par : ∆X = k · s .

k est un facteur d'élargissement qui dépend du nombre de mesures e�ectuées (dans le cas d'uneincertitude de type a) et de la �abilité de l'intervalle que l'on souhaite obtenir (avec 95 % de �abilité,l'intervalle sera plus petit qu'avec 95 % de �abilité).

Pour une incertitude de type A, on utilise la table de Student (cf. table 1).Pour une incertitude de type B (ou pour une incertitude de type A, sur un grand nombre de mesures)

on utilisera :. k = 1 pour une �abilité de 68 % ;. k = 2 pour une �abilité de 95 %(cette valeur étant la plus souvent utilisée).

2.4 Cas d'une grandeur calculée : incertitudes composées

Si la grandeur X est calculée à partir d'autres grandeurs, son incertitude ∆X véri�e :. (∆X)2 = (∆A)2 + (∆B)2 si X = A+B ;

.

(∆X

X

)2

=

(∆A

A

)2

+

(∆B

B

)2

si X = A×B.

Et plus généralement, si X est une somme de n grandeurs Ai :

∆X =

√√√√ n∑i=1

(∆Ai)2 ,

et si X est un produit de n grandeurs Ai :

∆X

X=

√√√√ n∑i=1

(∆Ai

Ai

)2

Remarque : Qui dit somme dit aussi di�érence, et de même un quotient est aussi un produit.

3 Présentation des résultats et pratique

expérimentale

3.1 Présenter correctement un résultat expérimental

Le résultats d'un mesurage s'exprime toujours sous la forme : X = x±∆X

Remarque : Dans le cas d'une expérience qui a été répétée plusieurs fois (incertitude de type A), lamoyenne x des di�érents résultats xi est la meilleure approximation de la valeur vraie. On écrit donc :X = x±∆X .

La valeur de ∆X est souvent donnée avec un seul chi�re signi�catif 4 en terminale.

L'écriture de x respecte les règles suivantes :

4. Cette notion a été dé�nie en classe de seconde. On trouvera quelques rappels ici : http://goo.gl/Vob2n.

4

. Si X est une grandeur calculée et provient de la multiplication et/ou division de facteurs, lerésultat s'exprime avec le même nombre de chi�res signi�catifs que le facteur qui en possède lemoins. Si x provient d'une somme ou d'une di�érence de termes, il faut les exprimer dans la mêmeunité pour procéder au calcul : le dernier chi�re exprimé dans le résultat est déterminé par ledernier chi�re exprimé dans la donnée la moins précise.

. Les décimales de x plus petites que l'incertitude ne sont pas prises en compte. Par exemple, si l'onobtient ` = 2, 674± 0, 2 cm on écrira : ` = 2, 7± 0, 2 cm.Autre exemple : si V = 3, 6912 · 10−2 L et ∆V = 1, 0 · 10−4 L on notera :

V = (3, 69± 0, 01) · 10−2 L.

On ajoutera à l'écriture du résultat le seuil de �abilité choisi dans le calcul de l'incertitude (le plussouvent, 95 %).

3.2 Comparer un résultats à une valeur de référence

Lorsque l'énoncé propose une valeur de référence Xréf, il faut véri�er que la valeur mesurée x cor-responde à celle-ci.

. Si le résultat de la mesure ou du calcul est fourni avec son incertitude, alors la mesure est satisfai-sante si son intervalle de con�ance englobe la valeur de référence. Sinon, soit la mesure n'est passatisfaisante, soit l'estimation de l'erreur n'a pas pris en compte les bons paramètres.

. Si le résultat de la mesure ou du calcul est fourni sans son incertitude, il est possible de calculersimplement l' écart relatif entre la valeur obtenue x et la valeur de référence Xréf :∣∣∣∣x−Xréf

Xréf

∣∣∣∣(Xréf 6= 0).

La mesure est d'autant plus satisfaisante que cet écart relatif est petit.

3.3 Remarques a posteriori

Données anormales Certaines données doivent être éliminées quand elles sont manifestement inco-hérentes avec les autres valeurs. Cette élimination doit donner lieu à une ré�exion sur la méthode demesure. En toute rigueur, une mesure anormale pour laquelle aucune cause n'est imaginée doit êtree�ectuée à nouveau avant d'être éliminée.

Améliorer la méthode de mesure Il peut être demandé de proposer des améliorations du protocoleune fois la mesure e�ectuée. Ces améliorations passent par la réduction des deux types d'erreurs : l'erreuraléatoire est diminuée en augmentant le nombre de mesures, a�n que la moyenne soit la plus justepossible ; l'erreur systématique est réduite en véri�ant chaque étape du protocole pour éliminer les biais.

4 Quelques exemples

4.1 Période d'un pendule

Lors d'un T.P., les douze binômes d'une classe ont mesuré la durée 10T correspondant à dix oscillationsd'un même pendule. Les chronomètres utilisées sont identiques. Estimer la valeur de T à partir des douzevaleurs suivantes et donner l'incertitude sur T.

Binôme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ti (en s) 13,3 12,8 13,1 13,0 13,3 12,9 13,0 13,1 13,3 13,4 12,8 13,2

La meilleure estimation de la valeur de T est la moyenne T des Ti :

T =1

12

12∑i=1

Ti = 13, 1 s

5

On calcule alors l'écart-type expérimental sexp de la série :

sexp =

√√√√ 1

12− 1

12∑i=1

(Ti − T )2 =

√0, 46

11' 0, 2045 s

L'incertitude-type s sur T est alors

s =sexp√

12=

0, 2045√12

= 5, 90 · 10−2 s

Et l'on obtient : ∆T = k × s = 2, 18× 5, 90 · 10−2 = 0, 13 s (pour une �abilité de 95 %)

Le résultat est donc : T = 13, 1± 0, 1 s au seuil de �abilité 95 %

4.2 Un dosage

Lors d'un dosage colorimétrique, l'expérimentateur verse à l'équivalence VE = 15,6 mL de la solutiontitrante. La détermination de l'équivalence s'e�ectue à la goutte près (±0,04 mL) et la burette utilisée estde classe A (±0,02 mL). Donner VE avec son incertitude.

Puis, sachant que la solution titrante a une concentration C = 0,10000± 0,00012 mol/L et que l'on aréalisé l'expérience pour un volume V'=10,00± 0,02 mL de solution titrée de concentration inconnue C',déterminer C' et son incertitude sachant que C' = C×VE

V'.

L'incertitude-type est :

s =√

(sgoutte)2 + (sburette)2 =

√(0, 04√

3

)2

+

(0, 02√

3

)2

= 0, 026 mL.

D'où : ∆VE = k × s = 2× 0, 026 = 0, 052 ml, et le résultat est donc :

VE = 15, 60± 0, 05 mL au seuil de �abilité 95 %

On calcule :

C ′ =C × VEV ′

=0, 10000× 15, 60

10, 00= 1, 560 · 10−1 mol/L.

Par ailleurs :

∆C ′

C ′=

√(∆C

C

)2

+

(∆VEVE

)2

+

(∆V ′

V ′

)2

D'où :

∆C ′ = 0, 1560

√(0, 00012

0, 100000

)2

+

(0, 05

15, 60

)2

+

(0, 02

10, 00

)2

≈ 6 · 10−4 mol/L

On conclut donc : C ′ = (1, 560± 0, 006) · 10−1 mol/L au seuil de �abilité 95 %

Références

[1] Stanislas Antczak, Jean-François Le Maréchal et al. : Nouveau Microméga Physique-Chimie Terminale S. Hatier, 2012.

[2] F.-X. Bally et J.-M. Berroir : Incertitudes expérimentales. 2008. http://goo.gl/7YJaj.

[3] Sylvain Boucquemont : Mesures et incertitudes (diaporama), 2013. http://goo.gl/Leu19.

[4] Groupe des sciences physiques et chimiques de l'IGEN : Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques.2010. http://goo.gl/f8m11.

[5] Bruno Herrbach : Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure. 2005. http://goo.gl/5BYz8.

[6] Françoise Marcadet et Site des sciences physiques et chimiques de l'académie d'Orléans�Tours : Estimer une incertitude. 2012.http://goo.gl/5sEDd.

[7] Valéry Prévost, Bernard Richoux et al. : Sirius � Physique Chimie terminale S. Nathan, 2012.

[8] Université de Paris 7 Diderot : Mesures et incertitudes en physique . 2011. http://goo.gl/9ArBn.

6

Voici une table de Student plus détaillée que celle donnée à la table 1 :

50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 95 % 98 % 99 % 99,5 % 99,9 %

1 1 1.3764 1.9626 3.0777 6.3137 12.706 31.821 63.656 127.32 636.58

2 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.92 4.3027 6.9645 9.925 14.089 31.6

3 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408 7.4532 12.924

4 0.7407 0.941 1.1896 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4.6041 5.5975 8.6101

5 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.015 2.5706 3.3649 4.0321 4.7733 6.8685

6 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 4.3168 5.9587

7 0.7111 0.896 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 4.0294 5.4081

8 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.306 2.8965 3.3554 3.8325 5.0414

9 0.7027 0.8834 1.0997 1.383 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 3.6896 4.7809

10 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 3.5814 4.5868

11 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.201 2.7181 3.1058 3.4966 4.4369

12 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.681 3.0545 3.4284 4.3178

13 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 3.3725 4.2209

14 0.6924 0.8681 1.0763 1.345 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 3.3257 4.1403

15 0.6912 0.8662 1.0735 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 3.286 4.0728

16 0.6901 0.8647 1.0711 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 3.252 4.0149

17 0.6892 0.8633 1.069 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.2224 3.9651

18 0.6884 0.862 1.0672 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.1966 3.9217

19 0.6876 0.861 1.0655 1.3277 1.7291 2.093 2.5395 2.8609 3.1737 3.8833

20 0.687 0.86 1.064 1.3253 1.7247 2.086 2.528 2.8453 3.1534 3.8496

21 0.6864 0.8591 1.0627 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.1352 3.8193

22 0.6858 0.8583 1.0614 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.7922

23 0.6853 0.8575 1.0603 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.104 3.7676

24 0.6848 0.8569 1.0593 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.797 3.0905 3.7454

25 0.6844 0.8562 1.0584 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.7251

26 0.684 0.8557 1.0575 1.315 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.0669 3.7067

27 0.6837 0.8551 1.0567 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.6895

28 0.6834 0.8546 1.056 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.047 3.6739

29 0.683 0.8542 1.0553 1.3114 1.6991 2.0452 2.462 2.7564 3.038 3.6595

30 0.6828 0.8538 1.0547 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.75 3.0298 3.646

31 0.6825 0.8534 1.0541 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.744 3.0221 3.6335

32 0.6822 0.853 1.0535 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 3.0149 3.6218

33 0.682 0.8526 1.053 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 3.0082 3.6109

34 0.6818 0.8523 1.0525 1.307 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.002 3.6007

35 0.6816 0.852 1.052 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 2.9961 3.5911

36 0.6814 0.8517 1.0516 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 2.9905 3.5821

37 0.6812 0.8514 1.0512 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 2.9853 3.5737

38 0.681 0.8512 1.0508 1.3042 1.686 2.0244 2.4286 2.7116 2.9803 3.5657

39 0.6808 0.8509 1.0504 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 2.9756 3.5581

40 0.6807 0.8507 1.05 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 2.9712 3.551

50 0.6794 0.8489 1.0473 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 2.937 3.496

60 0.6786 0.8477 1.0455 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 2.9146 3.4602

70 0.678 0.8468 1.0442 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 2.8987 3.435

80 0.6776 0.8461 1.0432 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 2.887 3.4164

90 0.6772 0.8456 1.0424 1.291 1.662 1.9867 2.3685 2.6316 2.8779 3.4019

100 0.677 0.8452 1.0418 1.2901 1.6602 1.984 2.3642 2.6259 2.8707 3.3905

110 0.6767 0.8449 1.0413 1.2893 1.6588 1.9818 2.3607 2.6213 2.8648 3.3811

120 0.6765 0.8446 1.0409 1.2886 1.6576 1.9799 2.3578 2.6174 2.8599 3.3734

130 0.6764 0.8444 1.0406 1.2881 1.6567 1.9784 2.3554 2.6142 2.8557 3.367

140 0.6762 0.8442 1.0403 1.2876 1.6558 1.9771 2.3533 2.6114 2.8522 3.3613

+∞ 0.6744 0.8416 1.0364 1.2816 1.6449 1.96 2.3264 2.5759 2.8072 3.2908

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