MethodesNumeriques_EricGoncalves.pdf

INSTITUT POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE

METHODES, ANALYSE ET CALCULS

NUMERIQUES

Eric Goncalvs - septembre 2005

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

iTable des matires

I MODELISATION, DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE 1

I.1 Qu'est-ce qu'un modle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Pourquoi faut-il modliser ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.3 Quels sont les dirents modles ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.4 De la modlisation la simulation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.5 Aspect ni des ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.5.1 Reprsentation des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.5.2 Reprsentation des rels ou nombres ottants . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.6 Notion de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.6.1 Stabilit d'un problme physique : systme chaotique . . . . . . . . . . . . 3

I.6.2 Stabilit d'un problme mathmatique : sensibilit . . . . . . . . . . . . . 3

I.6.3 Stabilit d'une mthode numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.7 Un peu d'histoire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.7.1 Avant les ordinateurs : les calculateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.7.2 Les ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.7.3 Petite chronologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II DISCRETISATION DES EDP 9

II.1 LES TROIS GRANDES FAMILLES DE METHODES . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.2 LES DIFFERENCES FINIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.2.1 Principe - ordre de prcision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.2.2 Notation indicielle - cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.2.3 Schma d'ordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.2.4 Drive d'ordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.2.5 Gnralisation de la notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II.2.6 Quelques schmas en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II.2.7 Drives croises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II.2.8 Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.2.9 Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann . . . . . . . 14

II.2.10 Discrtisation de l'quation de la chaleur 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.2.10.1 Schma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.2.10.2 Schma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

II.2.11 Discrtisation de l'quation de la chaleur 2D stationnaire . . . . . . . . . . 17

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ii Table des matires

II.3 LES VOLUMES FINIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.3.2 Volumes Finis pour une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.3.2.1 Cas monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.3.2.2 Cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

II.3.3 Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.3.4 Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann . . . . . . . 27

II.3.5 Discrtisation de l'quation de la chaleur 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II.3.6 Discrtisation de l'quation de la chaleur 2D stationnaire . . . . . . . . . . 29

II.4 LES ELEMENTS FINIS EN 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II.4.2 Exemple simple 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II.4.2.1 Choix des fonctions i : les lments nis . . . . . . . . . . . . . 33

II.4.2.2 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II.5 APPLICATION NUMERIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II.6 CONSISTANCE, CONVERGENCE ET STABILITE . . . . . . . . . . . . . . . . 37

IIICLASSIFICATION DES EDP D'ORDRE 2 39

III.1 CLASSIFICATION DES EDP LINEAIRES D'ORDRE 2 . . . . . . . . . . . . . 39

III.2 EQUATIONS ELLIPTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

III.3 EQUATIONS PARABOLIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

III.4 EQUATIONS HYPERBOLIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

III.4.1 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

III.4.2 Equations types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III.4.3 Caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III.4.3.1 Caractristiques pour les quations du premier type . . . . . . . 41

III.4.3.2 Caractristiques pour l'quation de convection . . . . . . . . . . 42

III.4.3.3 Caractristiques pour un systme de lois de conservation . . . . . 43

III.4.4 Domaines de dpendance et d'inuence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III.4.5 Forme conservative et non-conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III.4.6 Discontinuit - relation de saut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IVRESOLUTION DES EDO 47

IV.1 DEFINITION DES EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

IV.2 RAPPEL - SOLUTIONS D'EDO SIMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

IV.3 LE PROBLEME DE CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

IV.4 PRINCIPE GENERAL DES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . . . . . 49

IV.5 PROPRIETES DES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

IV.6 LES PRINCIPALES METHODES NUMERIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IV.7 METHODES A UN PAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IV.7.1 Mthodes d'Euler explicite et implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IV.7.2 Mthode d'Euler amlior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

Table des matires iii

IV.7.3 Mthode d'Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV.7.4 Mthode de Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV.7.5 Mthodes de Runge et Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV.7.5.1 Forme gnrale des mthodes de Runge et Kutta . . . . . . . . . 53

IV.7.5.2 Mthodes de Runge et Kutta implicites . . . . . . . . . . . . . . 54

IV.7.5.3 Application un systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

IV.8 METHODES A PAS MULTIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IV.8.1 Mthode de Nystrom ou saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IV.8.2 Mthodes d'Adams-Bashforth-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IV.8.3 Mthodes de Gear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

IV.9 LES DIFFERENCES FINIES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

IV.10CONDITION DE STABILITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES 61

V.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

V.2 PIVOT DE GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.2.1 Triangularisation de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.2.2 Cot de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

V.2.3 Pivot nul et choix du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

V.3 FACTORISATION LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

V.4 FACTORISATION DE CHOLESKY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

V.5 FACTORISATIONS DE HOUSEHOLDER ET QR . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

V.5.1 Transformation de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

V.5.2 Triangularisation de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

V.5.3 Factorisation QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

V.6 METHODES ITERATIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

V.6.1 Mthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

V.6.2 Mthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

V.6.3 Mthode de Gauss-Seidel avec sur- ou sous-relaxation . . . . . . . . . . . 67

V.6.4 Condition de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

V.7 METHODE DU GRADIENT CONJUGUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

V.7.1 L'algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

V.7.2 Cot de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

V.8 GRADIENT CONJUGUE PRECONDITIONNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

V.8.1 L'algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

V.8.2 Comparaison avec Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VIRESOLUTION DES SYSTEMES NON LINEAIRES 71

VI.1 EQUATIONS NON LINEAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

VI.1.1 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VI.1.2 Mthode du point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VI.1.3 Mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

iv Table des matires

VI.1.4 Mthode de la parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VI.1.5 Mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VI.1.6 Mthode de Steensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VI.1.7 Racines de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

VI.1.7.1 Rduction polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

VI.1.7.2 Mthode de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

VI.2 SYSTEMES D'EQUATIONS NON LINEAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

VIIINTERPOLATION ET APPROXIMATION 79

VII.1GENERALITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

VII.1.1Le problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

VII.1.2Les 3 grandes classes d'approximation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . 79

VII.1.3Les 3 grandes familles de fonctions approximantes . . . . . . . . . . . . . 79

VII.2INTERPOLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VII.2.1Le thorme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VII.2.2Mthode de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VII.2.3Mthode de Neville-Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VII.2.4Mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VII.2.5Mthode de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

VII.2.6 Interpolation par morceaux - spline cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

VII.2.7Limites de l'interpolation polynmiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

VII.3APPROXIMATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

VII.3.1Approximation rationnelle - approximants de Pad . . . . . . . . . . . . . 82

VII.3.2Approximation polynomiale au sens des moindres carrs . . . . . . . . . . 82

VII.3.2.1 Droite des moindres carrs discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

VII.3.2.2 Droite des moindres carrs continus . . . . . . . . . . . . . . . . 83

VII.3.2.3 Gnralisation - Polynme des moindres carrs discrets . . . . . 83

VII.3.3Approximation trigonomtrique au sens des moindres carrs . . . . . . . . 84

VII.3.4Approximation uniforme - Meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . 85

VII.3.5Approximation polynomiale dans une base de polynmes orthogonaux . . 85

VIIIRECHERCHE DE VALEURS PROPRES 87

VIII.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

VIII.2 METHODE DE JACOBI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

VIII.3 METHODE QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

VIII.4 TRANSFORMATION EN MATRICE DE HESSENBERG . . . . . . . . . . . . 89

VIII.5 METHODE DE LANCZOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

VIII.6 METHODE DE BISSECTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VIII.7 METHODE DE LA PUISSANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VIII.8 METHODE DE DEFLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES 93

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

1Chapitre I

MODELISATION, DISCRETISATION

ET SIMULATION NUMERIQUE

I.1 Qu'est-ce qu'un modle ?

Le principe d'un modle est de remplacer un systme complexe en un objet ou oprateur simple

reproduisant les aspects ou comportements principaux de l'original (ex : modle rduit, maquette,

modle mathmatique ou numrique, modle de pense ou raisonnement).

I.2 Pourquoi faut-il modliser ?

Dans la nature, les systmes et phnomnes physiques les plus intressants sont aussi les plus

complexes tudier. Ils sont souvent rgis par un grand nombre de paramtres non-linaires

interagissant entre eux (la mtorologie, la turbulence des uides...).

I.3 Quels sont les dirents modles ?

L'une des solutions est de recourir une srie d'expriences pour analyser les paramtres et

grandeurs du systme. Mais les essais peuvent s'avrer trs coteux (essais en vol, essais avec

matriaux rares, instrumentations trs chres...) et ils peuvent tre trs dangereux (essais nu-

claires, environnement spatial...). Enn il peut tre dicile de mesurer tous les paramtres :

chelles du problme trop petites (chimie du vivant, couche limite en uide...) ou trop grandes

(astrophysique, mtorologie, gophysique...).

On peut aussi construire un modle mathmatique permettant la reprsentation du phnomne

physique. Ces modles utilisent trs souvent des systmes d'quations aux drives partielles

(EDP) non-linaires dont on ne connait pas de solutions analytiques en gnral. Il faut alors

rsoudre le problme numriquement en transformant les quations continues de la physique en

un problme discret sur un certain domaine de calcul (le maillage). Dans certains cas il s'agit

de la seule alternative (nuclaire, astrophysique, spatial...). Dans d'autres cas, les simulations

numriques sont mnes en parallle avec des exprimentations.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

2Chapitre I : MODELISATION, DISCRETISATION ET SIMULATION NUMERIQUE

I.4 De la modlisation la simulation numrique

Les direntes tapes pour modliser un systme complexe :

Recherche d'un modle mathmatique rprsentant la physique. Mise en quation. Elaboration d'un maillage. Discrtisation des quations de la physique. Rsolution des quations discrtes (souvent systmes linaires rsoudre). Transcription informatique et programmation des relations discrtes. Simulation numrique et exploitation des rsultats.

L'ingnieur peut tre amen intervenir sur l'une ou plusieurs de ces direntes tapes.

I.5 Aspect ni des ordinateurs

La solution exacte d'un problme d'EDO ou d'EDP est une fonction continue. Les ordinateurs

ne connaissent que le ni et le discret. En eectuant un calcul numrique, un ordinateur ne peut

retenir qu'un nombre ni de chires pour reprsenter les oprandes et les rsultats des calculs in-

termdiaires. Les solutions approches seront calcules comme des ensembles de valeurs discrtes

sous la forme de composantes d'un vecteur solution d'un problme matriciel. La reprsentation

des nombres dans un ordinateur introduit la notion d'erreur d'arrondi ou de troncature.

Ces erreurs peuvent se cumuler sur un calcul et la solution numrique nale pourra s'avrer trs

loigne de la solution exacte.

Exemple d'erreur d'arrondi : considrons un ordinateur utilisant 4 chires pour reprsenter un

nombre. Calculons la somme 1.348+9.999. Le rsultat exact est 11.347 et comporte 5 chires.

Le calculateur va le preprsenter de manire approche : 11.35. Il commet une erreur d'arrondi

gale (11.35-11.347)=0.003.

I.5.1 Reprsentation des entiers

Les entiers sont reprsents par une suite de bits organiss en octets. Par exemple un entier cod

sur 2 octets occupera 16 bits (216 = 65536) et pourra rprensenter un entier compris entre -32768et 32767. On parle d'entier simple prcision.

Le type entier cod sur 4 octets (232 = 4294967296) permet la reprsentation des entiers comprisentre -2 147 483 648 et 2 147 483 647. On parle d'entier double prcision.

Les oprations sur les entiers, dans la mesure o le rsultat est un entier reprsentable par la

machine, s'eectuent exactement.

I.5.2 Reprsentation des rels ou nombres ottants

Un nombre ottant s'crit sous la forme X = a.bn o a est la mantisse, b la base et n l'exposant.Par exemple, la reprsentation de pi avec 10 caractres est : +0.314159 10+1. Les 10 caractressont rpartis selon : 1 pour le signe, 6 pour la mantisse, 3 pour l'exposant dont 1 pour son signe.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 3

La reprsentation standard des rels choisie par les principaux constructeurs d'ordinateur est

sous forme de nombre ottants o b = 2 et a, n sont deux nombres binaires.

Un rel en simple prcision occupe 4 octets (32 bits). Son exposant est stock sur un octet (il

prend toutes les valeurs entires entre -128 et +127), son signe sur un bit et sa mantisse occupe

les 23 bits restants reprsente par t = 23 caractres binaires d1, d2, ..., dt avec d1 = 1. Un relX correspond au nombre suivant :

X =d12+d222

+d323

+ ...+dt223

Le plus nombre en valeur absolue ou zro machine est : 2129 ' 1.47 1039Le plus grand nombre en valeur absolue ou inni machine est : (1 223) 2127 ' 1.7 1038

La meilleure prcision possible pour des calculs sur des nombres de l'ordre de l'unit sera :

223 ' 1.19 107Pour des nombres de l'ordre de 1000, la meilleure prcision tombe : 223210 ' 1.22 104

Un rel en double prcision occupe 8 octets soit 64 bits : 1 bit de signe, 11 bits pour l'exposant

et 52 bits pour la mantisse.

I.6 Notion de stabilit

On distingue trois types de stabilit

La stabilit d'un problme physique. La stabilit d'un problme mathmatique. La stabilit numrique d'une mthode de calcul.

I.6.1 Stabilit d'un problme physique : systme chaotique

Un problme est dit chaotique si une petite variation des donnes initiales entrane une variation

totalement imprvisible des rsultats. Cette notion de chaos, lie la physique d'un problme, est

indpendante du modle mathmatique utilis et encore plus de la mthode numrique utilise

pour rsoudre ce problme mathmatique. De nombreux problmes sont chaotiques, par exemple

la turbulence des uides.

I.6.2 Stabilit d'un problme mathmatique : sensibilit

Un problme est dit trs sensible ou mal conditionn si une petite variation des donnes ou

des paramtres entrane une grande variation des rsultats. Cette notion de conditionnement,

lie au problme mathmatique, est indpendante de la mthode numrique utilise pour le

rsoudre. Pour modliser un problme physique qui n'est pas chaotique, on construira un modle

mathmatique qui sera le mieux conditionn possible.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


I.6.3 Stabilit d'une mthode numrique

Une mthode est dite instable si elle est sujette une propagation importante des erreurs num-

riques de discrtisation et d'arrondi.

Un problme peut tre bien conditionn alors que la mthode numrique choisie pour le rsoudre

est instable. Dans ce cas, il est impratif de changer de mthode numrique. Par contre, si le

problme de dpart est mal conditionn, aucune mthode numrique ne pourra y remdier. Il

faudra alors essayer de trouver une formulation mathmatique dirente du mme problme, si

on sait que le problme physique sous-jacent est stable.

I.7 Un peu d'histoire...

I.7.1 Avant les ordinateurs : les calculateurs

Le mot calcul vient du latin calculus, qui signie "petite pierre". Les romains, comme beau-

coup de peuples antiques, utilisaient couramment de petites pierres pour viter de mmoriser les

termes d'une addition. Cette pratique se perfectionna et donna naissance la machine calculer

la plus ancienne connue : le boulier, ou abaque, qui fut d'une utilisation presque universelle

jusqu' tout rcemment.

Des machines mcaniques furent mises au point au XVII

emesicle. La plus connue est la pasca-

line, construite par Blaise Pascal l'ge de 19 ans pour soulager son pre, collecteur d'impts,

du fardeau des calculs rptitifs. La machine, base de roues dentes, ne pouvait qu'additionner

et soustraire. Leibniz transforma la pascaline en une machine capable de multiplier. Il a fallu

attendre le milieu du XIX

emesicle avant qu'une machine, construite par le Franais C. Thomas

de Colmar, fonctionne vritablement et connaisse un succs commercial.

Le concept de machine programmable fut conue sur le papier par l'Anglais Charles Babbage,

base sur la lecture sur des cartes perfores des instructions de calcul et des donnes traiter.

Signalons que les cartes perfores furent popularises dans le contexte des mtiers tisser par

Joseph-Marie Jacquard. La machine analytique de Babbage inspira les constructeurs de machines

calculer du dbut du XX

emesicle.

Vers 1890, l'Amricain Herman Hollerith construira une machine cartes perfores destine

compiler les rsultats du recensement des Etats-Unis. En 1896, Hollerith fonde sa compagnie,

la Tabulating Machines Corporation qui deviendra en 1924 l'International Business Machines

(IBM).

La ncessit d'eectuer des calculs scientiques motivera la conception et la construction de ma-

chines ddies ces activits. L'Amricain Vannevar Bush construira, dans les annes 1930, un

calculateur mcanique analogique. Ce calculateur simulait par un dispositif mcanique l'int-

gration d'une quation direntielle. Ce type de machine sera utilis pendant la deuxime guerre

mondiale pour les besoins de la ballistique.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 5

Les besoins des militaires lors de la deuxime guerre mondiale stimulera la conception et la

construction de calculateurs encore plus puissants. Aux Etats-Unis, l'arme par l'intermdiaire

de l'Universit de Pennsylvanie va mettre au point le plus puissant calculateur jamais construit :

l'ENIAC (Electronic Numerator, Integrator, Analyser and Computer). Il ne fut termin que trois

mois aprs la n de la guerre. Il comptait une multitude de lampes lectroniques qui devaient tre

remplaces souvent. Les lampes taient susceptibles d'tre rendues inoprantes quand un mous-

tique (bug) s'y crasait, ce qui est l'origine de l'expression courante pour dsigner les erreurs

de programmation. L'ENIAC n'est pas un ordinateur mais une calculatrice gante, cadence

200kHz.

I.7.2 Les ordinateurs

Le clbre mathmaticien John von Neumann est l'origine de l'architecture logique des ma-

chines pour automatiser les calculateurs. En juin 1945, il crit un rapport dans lequel il dcrit

l'architecture d'une future machine qui inspirera les premiers ordinateurs. L'essentiel de l'ar-

chitecture propose par von Neumann consiste coner la gestion du calcul une unit de

contrle (Central Processing Unit ou CPU). L'unit de contrle gre les instructions d'un pro-

gramme et coordonne les autres units de l'appareil : mmoire, entre/sortie et unit de calcul.

Les instructions sont excutes de manire squentielle. L'architecture de base des ordinateurs

est toujours la mme que celle imagine par von Neumann.

Von Neumann fut inspir dans ses travaux par ceux d'un jeune mathmaticien anglais, Alan

Turing. En 1936, Turing prcisa la notion d'algorithme et imagina une machine automatique,

la machine de Turing, qui pouvait rsoudre n'importe quel problme : c'tait une machine uni-

verselle. Elle fonctionnait partir d'oprations logiques lmentaires et crivait, copiait ou lisait

de l'information dans un registre.

Turing fut impliqu dans la construction du tout premier ordinateur, construit Manchester

de 1946 1948 et surnomm Manchester MARK1. Cet ordinateur fut un exemplaire unique.

Il tait rserv des applications militaires (armements nuclaires). Le premier ordinateur civil

fur le UNIVAC1 (UNIVersal Automatic Computer), cr et commercialis en 1951 par Eckert

et Mauchly. IBM livrera son modle 701 aux militaires en 1951 et commercialisera son modle

650 en 1953. A Los Alamos, la machine MANIAC (Mathematical And Numerical Integrator And

Computer) sera oprationnelle en 1952.

On distingue gnralement cing gnrations d'ordinateurs qui dirent essentiellement (sauf la

cinquime) par les moyens techniques utiliss :

La premire gnration (1948-1955) est caractrise par l'utilisation de lampes lectroniqueset de tambours magntiques pour la mmoire. Le langage machine utilis pour leur pro-

grammation n'est pas universel et est conu sur mesure pour une application prcise.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


La deuxime gnration (1956-1963) est caractrise par le remplacement des lampes pardes transistors ; la mmoire y est souvent constitue de noyaux magntiques. Le langage

machine a fait place l'assembleur.

La troisime gnration (1964-1971) remplace un assemblage de transistors individuels pardes circuits intgrs (dispositifs semiconducteurs dans lesquels sont intgrs des lments

de type rsistances, transistors, condensateurs...). Cette gnration est aussi caractrise

par l'utilisation d'un systme d'opration, un programme central qui coordonne l'excution

de plusieurs autres programmes.

La quatrime gnration est caractrise par l'emploi des microprocesseurs (units de contrle,de traitement et de mmoire rassembles sur une mme puce de silicium). Le premier micro-

processeur fut commercialis par Intel en 1971. L'utilisation de microprocesseurs fabriqus

une chelle industrielle permettra la commercialisation de petits ordinateurs et mme

d'ordinateurs personnels la n des annes 1970.

La cinquime gnration est dicile dnir ! Ce terme est dsign tort et travers pourdiverses innovations ralises.

La rvolution informatique fut rendue possible par les progrs inous de l'ctronique. Le point

de dpart de cette rvolution technologique est l'invention du transistor.

La comprhension du comportement des semiconducteurs (substance cristalline comme le ger-

manium ou silicium, dont les proprits de conduction lectrique sont intermdiaires entre un

mtal et un isolant) date des anns 1930. Les laboratoires Bell mettront au point le premier tran-

sistor en dcembre 1947 ce qui vaudra ses auteurs Shockley, Bardeen, Brattain le prix Nobel de

physique en 1956. En 1959, le jeune ingnieur Jack Kilby de la rme Texas Instrument construit

le premier circuit intgr. De nombreuses compagnies s'tabliront Palo alto en Californie et

constitueront la Silicon Valley. L'une de ses entreprises, fonde en 1965 par Gordon Moore et

Bob Noyce, choisit le nom d'Intel (pour INTegrated ELectronics) et produit en 1971 le premier

"ordinateur sur une puce" ou microprocesseur, le Intel 4004 avec 2300 transistors. En 1978, elle

lance le Intel 8086 qui compte 29000 transistors et est cadenc 4,77 MHz. Toute une srie de

processeurs suivent : 286 (en 1982), 386 (1985), 486 (1989), Pentium (1993), Pentium II (1997),

Pentium III (1999), Pentium IV (2001)...

La progression constante de la puissance des ordinateurs associe l'abaissement considrable des

cots a ouvert la possibilit de raliser des simulations numriques sur des ordinateurs personnels.

Mme si les super-ordinateurs restent ncessaires pour des simulations trs importantes, il devient

possible de faire excuter des simulations numriques sur des PC bon march. L'unit de mesure

pour valuer les performances d'un ordinateur est le GFlops (Giga FLoating OPeration per

Second ou milliard d'oprations en virgule ottante par seconde). Un PC actuel de type Pentium

IV cadenc 2.4 Ghz peut dlivrer une puissance d'environ 2Gops.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 7

I.7.3 Petite chronologie

Voici une chronologie sommaire du dveloppement de l'informatique :

1936 Publication par Alan Turing des principes gnraux des machines automatiques suivant

un algorihme.

1945 Proposition de von Neumann pour l'architecture des calculateurs automatiques.

Inauguration de l'ENIAC le dernier grand calculateur avant l'ordinateur.

1947 Invention du transistor par Bardeen, Brattain et Shockley aux laboratoires Bell.

1948 Le Manchester MARK1, premier ordinateur construit sur le plan de von Neumann.

Le mathmaticien amricain Claude Shannon publie sa thorie mathmatique des

communications et introduit l'acronyme bit (BInary digiT) pour dsigner le plus petit

lment d'information.

1950 Invention de l'assembleur, langage de programmation de bas niveau.

1951 Le UNIVAC 1, premier ordinateur commercial.

1952 Premier ordinateur produit par IBM : le modle 701.

1954 Lancement du modle 704 d'IBM, dot d'une mmoire de 144ko.

1955 Premier rseau informatique : SABRE, cr pour American Airlines.

W. Shockley quitte Bell pour fonder sa propre compagnie Palo Alto, en Californie,

la premire de ce qui deviendra la Silicon Valley.

1956 Le premier ordinateur transistors : le TRADIC de Bell, marque le dbut de la deuxime

gnration.

1957 Cration par John Backus du premier langage de programmation suprieur : le FORTRAN.

1958 Premier circuit intgr, ralis par Jack Kilby, de Texas Instrument.

1959 Le premier ordinateur interactif : le PDP 1 ; de la Digital Equipment Corporation.

1962 Production des premiers transistors eet de champ commerciaux.

1965 Fondation de la compagnie Intel, dans la Silicon Valley.

1968 Lancement du rseau ARPANET, l'anctre d'INTERNET.

Invention de l'environnement fentres-souris.

1969 Dbut de la cration du systme d'opration UNIX.

1970 Premire mmoire vive RAM base de semiconducteurs : le Intel 1103 avec 1K de mmoire.

1971 Cration du premier microprocesseur : le Intel 4004, qui compte 2300 transistors.

1973 Cration du langage de programmation C, troitement li au systme d'opration UNIX.

1976 Lancement du supercalculateur CRAY 1 (puissance de crte 100 MFlops).

1977 Premier ordinateur Apple.

1981 IBM se lance dans la commercialisation des ordinateurs personnels.

1983 Cration du langage de programmation C++.

1984 Lancement du Macintosh de Apple, premier succs commercial d'un ordinateur

environnement fentre-souris.

1986 Lancement du systme d'opration Windows 1.1 ; par Microsoft.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


1989 Cration du World Wide Web et du langage HTML, au Centre Europen de Recherche

Nuclaire (CERN).

1994 Intel lance le Pentium, microprocesseur contenant plus de cinq millions de transistors.

Les nouveauts : bus de donnes largit 64 bits pour l'accs la mmoire, capacit du

processeur pouvoir traiter deux instructions par cycle d'horloge et deux niveaux de

mmoire cache an d'acclrer le traitement des instructions au niveau du processeur.

1998 Lancement du Pentium II d'Intel et du K6-2 d'AMD.

2001 Dbut du Pentium III d'Intel. Ce processeur monte la frquence des PC 866 MHz.

2003 Dbut du Pentium IV d'Intel. Lanc 1 Ghz, il atteindra jusqu' 3,8 Ghz.

2005 Le nombre de transistors sur une puce de PC atteint les 1,7 milliards.

Un microprocesseur de PC peut dlivrer jusqu' 6,4 GFlops.

Le supercalculateur le plus puissant est le DOE BlueGene d'IBM intall au Lawrence

Livermore National Laboratory (USA) avec une puissance maximale de 280,6 TFlops.

Le supercalculateur le plus puissant de France (62me rang mondial) se trouve au CEA

pour des applications militaires : le NovaScale Quadrics de Bull SA (5,8TFlops).

Loi de Moore

Devant l'volution extrmement rapide des technologies lies aux microprocesseurs, plusieurs

personnes ont cherch formuler des hypothses sur le progrs de leurs performances. Ainsi

Gordon Moore, cofondateur de la socit Intel a arm en 1965 pour une confrence de presse,

que "le nombre de transistors par cicuit de mme taille va doubler tous les 18 mois". Cette

armation a marqu les esprits, puisqu'elle est devenue un d tenir pour les fabriquants de

microprocesseurs.

Fig. I.1 Loi de Moore

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

9Chapitre II

DISCRETISATION DES EDP

II.1 LES TROIS GRANDES FAMILLES DE METHODES

Pour passer d'une problme exact continu rgit par une EDP au problme approch discret, il

existe trois grandes familles de mthodes :

Les dirences nies.La mthode consiste remplacer les drives partielles par des dirences divises ou combi-

naisons de valeurs ponctuelles de la fonction en un nombre ni de points discrets ou noeuds

du maillage.

Avantages : grande simplicit d'criture et faible cot de calcul.

Inconvnients : limitation des gomtries simples, dicults de prise en compte des condi-

tions aux limites de type Neumann.

Les volumes nis.La mthode intgre, sur des volumes lmentaires de forme simple, les quations crites sous

forme de loi de conservation. Elle fournit ainsi de manire naturelle des approximations dis-

crtes conservatives et est particulirement bien adapte aux quations de la mcanique des

uides. Sa mise en oeuvre est simple avec des volumes lmentaires rectangles.

Avantages : permet de traiter des gomtries complexes avec des volumes de forme quel-

conque, dtermination plus naturelle des conditions aux limites de type Neumann.

Inconvnient : peu de rsultats thoriques de convergence.

Les lments nis.La mthode consiste approcher, dans un sous-espace de dimension nie, un problme crit

sous forma variationnelle (comme minimisation de l'nergie en gnral) dans un espace de

dimension innie. La solution approche est dans ce cas une fonction dtermine par un

nombre ni de paramtres comme, par exemple, ses valeurs en certains points ou noeuds

du maillage.

Avantages : traitement possible de gomtries complexes, nombreux rsultats thoriques sur

la convergence.

Inconvnient : complexit de mise en oeuvre et grand cot en temps de calcul et mmoire.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

10 Chapitre II : DISCRETISATION DES EDP

II.2 LES DIFFERENCES FINIES

II.2.1 Principe - ordre de prcision

La mthode des dirences nies consiste approximer les drives des quations de la physique

au moyen des dveloppements de Taylor et se dduit directement de la dnition de la drive.

Elle est due aux travaux de plusieurs mathmaticiens du 18me sicle (Euler, Taylor, Leibniz...).

Soit u(x, y, z, t) une fonction de l'espace et du temps. Par dnition de la drive, on a :

u

x= lim

x0u(x+x, y, z, t) u(x, y, z, t)

x

Si x est petit, un dveloppement de Taylor de u(x+x, y, z, t) au voisinage de x donne :

u(x+x, y, z, t) = u(x, y, z, t) +xu

x(x, y, z, t) +

x2

22u

x2(x, y, z, t) +

x3

63u

x3(x, y, z, t) + ....

En tronquant la srie au premier ordre en x, on obtient :

u(x+x, y, z, t) u(x, y, z, t)x

=u

x(x, y, z, t) +O(x)

L'approximation de la drive

u

x(x) est alors d'ordre 1 indiquant que l'erreur de troncature

O(x) tend vers zro comme la puissance premire de x.

Dnition : la puissance de x avec laquelle l'erreur de troncature tend vers zro est appelel'ordre de la mthode.

II.2.2 Notation indicielle - cas 1D

Considrons un cas monodimensionnel o l'on souhaite dterminer une grandeur u(x) sur l'inter-valle [0,1]. La recherche d'une solution discrte de la grandeur u amne constituer un maillage

de l'intervalle de dnition. On considre un maillage (ou grille de calcul) compos de N + 1points xi pour i = 0, ..., N rgulirement espacs avec un pas x. Les points xi = ix sontappels les noeuds du maillage.

Le problme continu de dpart de dtermination d'une grandeur sur un ensemble de dimension

innie se ramne ainsi la recherche de N valeurs discrtes de cette grandeur aux dirents

noeuds du maillage.

Notation : on note ui la valeur discrte de u(x) au point xi, soit ui = u(xi). De mme pour la

drive de u(x) au noeud xi, on note(u

x

)x=xi

=(u

x

)i

= ui. Cette notation s'utilise de faon

quivalente pour toutes les drives d'ordre successif de la grandeur u.

Le schma aux dirences nies d'ordre 1 prsent au-dessus s'crit, en notation indicielle :(u

x

)i

=ui+1 ui

x+O(x)

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 11

Ce schma est dit "avant" ou "dcentr avant" ou upwind.

Il est possible de construire un autre schma d'ordre 1, appel "arrire" :(u

x

)i

=ui ui1

x+O(x)

II.2.3 Schma d'ordre suprieur

Des schmas aux dirences nies d'ordre suprieur peuvent tre construits en manipulant des

dveloppement de Taylor au voisinage de xi. On crit :

ui+1 = u(xi +x) = ui +x(u

x

)i

+x2

2

(2u

x2

)i

+O(x3)

ui1 = u(xi x) = ui x(u

x

)i

+x2

2

(2u

x2

)i

+O(x3)

La soustraction de ces deux relations donne : ui+1 ui1 = 2x(u

x

)i

+O(x3)Ce qui permet d'obtenir le schma d'ordre deux dit "centr" pour approximer la drive premire

de u : (u

x

)i

=ui+1 ui1

2x+O(x2)Pour obtenir des ordres suprieurs, il faut utiliser plusieurs noeuds voisins de xi . Le nombre

de points ncessaire l'criture du schma s'appelle le stencil. Par exemple, un schma aux

dirences nies d'ordre 3 pour la drive premire s'crit :(u

x

)i

=ui+2 + 6ui+1 3ui 2ui1

6x+O(x3)

II.2.4 Drive d'ordre suprieur

Le principe est identique et repose sur les dveloppements de Taylor au voisinage de xi. Par

exemple pour construire un schma d'approximation de la drive seconde de u, on crit :

ui+1 = ui +x(u

x

)i

+x2

2

(2u

x2

)i

+x3

6

(3u

x3

)i

+O(x4)

ui1 = ui x(u

x

)i

+x2

2

(2u

x2

)i

x3

6

(3u

x3

)i

+O(x4)

En faisant la somme de ces deux galits, on aboutit : ui+1+ui12ui = x2(2u

x2

)i

+O(x4)Ce qui permet d'obtenir le schma d'ordre deux dit "centr" pour approximer la drive seconde

de u : (2u

x2

)i

=ui+1 2ui + ui1

x2+O(x2)Il existe aussi une formulation "avant" et "arrire" pour la drive seconde, toute deux d'ordre 1 :(

2u

x2

)i

=ui+2 2ui+1 + ui1

x2+O(x)

(2u

x2

)i

=ui 2ui1 + ui2

x2+O(x)

Il est galement possible de construire, par le mme procd, des schmas aux dirences nies

d'ordre suprieur pour les drives deuxime, troisime, etc...

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


II.2.5 Gnralisation de la notation indicielle

Dans le cas 1D instationnaire, considrons l'volution d'une grandeur u(x, t) en fonction del'espace et du temps. Le domaine de dnition de u est dcompos en N noeuds xi rpartis rgu-

lirement avec un pas d'espace x. De mme, le temps est dcompos en intervalle lmentairede pas constant t. On notera uni la valeur discrte de la grandeur u(x, t) au noeud xi et autemps nt.

Dans le cas 2D, considrons une grandeur u(x, y) dnie sur un certain domaine. Ce dernier estdcompos en N P noeuds (xi, yj) rpartis rgulirement avec un pas d'espace x dans ladirection x et y dans l'autre direction. On notera uij la valeur discrte de la grandeur u(x, y)au noeud (xi, yj).

De faon similaire, dans le cas 2D instationnaire, on notera unij la valeur discrte de la grandeur

u(x, y, t) au noeud xi, yj et au temps nt. Et dans le cas 3D instationnaire, on notera unijk lavaleur discrte de la grandeur u(x, y, z, t) au noeud (xi, yj , zk) et au temps nt.

II.2.6 Quelques schmas en 1D

Dirences nies avant, ordre 1

ui ui+1 ui+2 ui+3 ui+4

xui -1 1x2ui 1 -2 1x3ui -1 3 -3 1x4u(4)i 1 -4 6 -4 1

Dirences nies arrire, ordre 1

ui4 ui3 ui2 ui1 uixui -1 1x2ui 1 -2 1x3ui -1 3 -3 1x4u(4)i 1 -4 6 -4 1

Dirences nies centr, ordre 2

ui2 ui1 ui ui+1 ui+22xui -1 1x2ui 1 -2 12x3ui -1 2 0 -2 1x4u(4)i 1 -4 6 -4 1

Dirences nies centr, ordre 4

ui3 ui2 ui1 ui ui+1 ui+2 ui+312xui 1 -8 0 8 -112x2ui -1 16 -30 16 -18x3ui -1 -8 13 0 -13 8 -16x4u(4)i -1 12 -39 56 -39 12 -1

II.2.7 Drives croises

Dterminons une approximation de la drive croise

2f

xyde la fonction de 2 variables f(x, y).

La discrtisation du domaine de calcul est bidimensionnelle et fait intervenir deux pas d'espace

supposs constants x et y dans les directions x et y.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 13

La principe est toujours bas sur les dveleppoments de Taylor :

f(xi+l, yj+m) = f(xi, yj) + lx(f

x

)i

+ my(f

y

)j

+(lx)2

2

(2f

x2

)i

+(my)2

2

(2f

y2

)j

+2mlxy

2

(2f

xy

)i,j

+ ...

Au voisinage du point (i, j) :

fi+1,j+1 = fi,j + x(f

x

)i

+ y(f

y

)j

+ xy(

2f

xy

)i,j

+x2

2

(2f

x2

)i

+y2

2

(2f

y2

)i

fi1,j1 = fi,j x(f

x

)i

y(f

y

)j

+ xy(

2f

xy

)i,j

+x2

2

(2f

x2

)i

+y2

2

(2f

y2

)i

fi+1,j1 = fi,j + x(f

x

)i

y(f

y

)j

xy(

2f

xy

)i,j

+x2

2

(2f

x2

)i

+y2

2

(2f

y2

)i

fi1,j+1 = fi,j x(f

x

)i

+ y(f

y

)j

xy(

2f

xy

)i,j

+x2

2

(2f

x2

)i

+y2

2

(2f

y2

)i

En eectuant une combinaison linaire des quatre quations prcdentes ((1)+(2)-(3)-(4)), nous

obtenons une approximation de la drive croise l'ordre 1 :(2f

xy

)i,j

=fi+1,j+1 fi+1,j1 fi1,j+1 + fi1,j1

4xy

II.2.8 Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet

Considrons l'quation direntielle suivante :{u(x) = f(x) , x ]0, 1[

u(0) = et u(1) =

o f est une fonction continue.

Le maillage est construit en introduisant N + 1 noeuds xi avec i = 0, 1, .., N , rgulirementespacs avec un pas x. La quantit ui dsignera la valeur de la fonction u(x) au noeud xi.L'quation rsoudre s'crit, sous forme discrte en chaque noeud xi :

(d2u

dx2

)i

= f(xi) = fi

Approximons la drive seconde de u au moyen d'un schma centr l'ordre 2 :(d2u

dx2

)i

=ui+1 2ui + ui1

x2

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


L'quation discrtise est ainsi :

2ui ui+1 ui1x2

= fi ; pour i variant de 1 N-1

Il est trs pratique d'utiliser une formulation matricielle en faisant apparatre le vecteur des in-

connues discrtes :

1x2

2 1 0 01 2 1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 2 10 0 0 1 2

u1

u2.

.

.

uN2uN1

=

f1 + /x2

f2.

.

.

fN2fN1 + /x2

II.2.9 Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann

Considrons l'quation direntielle suivante :

{u(x) = f(x) , x ]0, 1[

u(0) = et u(1) =

o l'on a cette fois une condition de Neumann en x = 1.

Les modications du problme discrtis par rapport au cas prcdent sont les suivantes. Tout

d'abord, le nombre d'inconnues a chang. Il y a une inconnue au bord en x = 1. Le problmediscret a donc maintenant, sur la base du mme maillage que prcdemment, N inconnues ui

pour i variant de 1 N .

D'autre part, il faut discrtise la condition de Neumann u(1) = . Plusieurs choix sont possiblespour approximer cette drive premire. C'est un des inconvnients de la mthode des dirences

nies : elle ne donne pas de faon naturelle une bonne approximation des conditions de Neumann.

Dans notre cas, utilisons une approximation d'ordre 1 : u(1) =uN uN1

xSous forme matricielle, on obtient :

1x2

2 1 0 0 01 2 1 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 2 1 00 0 0 1 2 00 0 0 0 1 1

u1

u2.

.

.

uN2uN1uN

=

f1 + /x2

f2.

.

.

fN2fN1/x

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 15

II.2.10 Discrtisation de l'quation de la chaleur 1D

Considrons le problme monodimensionnel de la conduction de la chaleur dans une barre de 1m

de longueur. Le champ de temprature T (x, t) vrie l'quation de la chaleur :

T

t=

2T

x2

o est la diusivit thermique.

A cette EDP s'ajoute deux conditions aux limites aux extrmits de la barre T (0, t) = Tg etT (1, t) = Td ainsi qu'une condition initale T (x, 0) = T0.

L'intervalle [0,1] est discrtis en N +1 noeuds de coordonnes xi (i variant de 0 N) rgulire-ment espacs. Notons x le pas d'espace. Le temps est discrtis en intervalles de pas constantt. Notons Tni la temprature au noeud xi = ix et l'instant t = nt.

On peut utiliser deux approches pour discrtiser cette quation de la chaleur. La premire dite

explicite utilise une discrtisation au noeud xi et l'itration courante n :(T

t

)ni

= (2T

x2

)ni

Et la seconde dite implicite utilise une discrtisation au noeud xi et l'itration n+ 1 :(T

t

)n+1i

= (2T

x2

)n+1i

II.2.10.1 Schma explicite

Nous utilisons un schma avant d'ordre 1 pour valuer la drive temporelle et un schma centr

d'ordre 2 pour la drive seconde en espace :(T

t

)ni

=Tn+1i Tni

t(2T

x2

)ni

=Tni+1 2Tni + Tni1

x2

En posant = tx2, la temprature l'itration n+ 1 est donne par :

Tn+1i = Tni1 + (1 2)Tni + Tni+1 i variant de 1 N-1

Soit sous forme matricielle :

T1

T2.

.

.

TN2TN1

n+1

=

1 2 0 0 1 2 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 2 0 0 0 1 2

T1

T2.

.

.

TN2TN1

n

+

Tg

0.

.

.

0Td

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


II.2.10.2 Schma implicite

Nous utilisons un schma arrire d'ordre 1 pour valuer la drive temporelle et un schma centr

d'ordre 2 pour la drive seconde en espace :(T

t

)n+1i

=Tn+1i Tni

t(2T

x2

)n+1i

=Tn+1i+1 2Tn+1i + Tn+1i1

x2

En posant = tx2, la temprature l'itration n+ 1 est donne par :

(1 + 2)Tn+1i (Tn+1i+1 + Tn+1i1 ) = Tni i variant de 1 N-1

On constate que les inconnues l'itration n+1 sont relies entre elles par une relation implicite(d'o le nom de la mthode).

Sous forme matricielle :

1 + 2 0 0 1 + 2 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 + 2 0 0 0 1 + 2

T1

T2.

.

.

TN2TN1

n+1

=

T1

T2.

.

.

TN2TN1

n

+

Tg

0.

.

.

0Td

A chaque itration, le vecteur des inconnues discrtes se dtermine par rsolution d'un systme

linaire. La matrice du systme tant tridiagonale, un algorithme de Thomas (bas sur la mthode

du pivot de Gauss) est trs souvent utilis.

Algorithme de Thomas

Cet algorithme est utilis pour la rsolution d'un systme avec une matrice tridiagonale de

dimension N faisant intervenir un vecteur d'inconnues discrtes Xi, de la forme :

b1X1 + c1X2 = d1 i = 1aiXi1 + biXi + ciXi+1 = di i variant de 2 N-1aNXN1 + bNXN = dN i = N

Le calcul s'eectue en deux tapes (qui correspondent aux deux tapes du pivot de Gauss). La

triangularisation fait apparatre les coecients i et i valus par rcurrence :

i =ai

bi + cii+1et i =

di cii+1bi + cii+1pour i variant de N 1

La deuxime tape dtermine les inconnues selon la rcurrence : X1 = 1 puis Xi = iXi1+ ipour i variant de 2 N .

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 17

II.2.11 Discrtisation de l'quation de la chaleur 2D stationnaire

Considrons le problme bidimensionnel stationnaire de la conduction de la chaleur dans un

domaine rectangulaire [0,Lx][0,Ly]. Le champ de temprature T (x, y) vrie l'quation de La-place :

T =2T

x2+2T

y2= 0 , (x, y) [0, Lx] [0, Ly]

T (0, y) = Tg et T (Lx, y) = Td 0 < y < Ly

T (x, 0) = Tb et T (x, Ly) = Th 0 < x < Lx

Le domaine de calcul est discrtis en (N+1)(P+1) noeuds (xi, yj) (i variant de 0 N et jvariant de 0 P). On supposera que les pas d'espace dans chaque direction x et y sontconstants. La temprature discrte au noeud (xi, yj) sera note Tij = T (xi, yj).

Nous utilisons un schma centr d'ordre 2 pour approximer les drives secondes en espace :(2T

x2

)ij

=Ti+1,j 2Ti,j + Ti1,j

x2(2T

y2

)ij

=Ti,j+1 2Ti,j + Ti,j1

y2

La formulation discrtise est alors, pour i variant de 1 N 1 et j variant de 1 P 1 :

y2 (Ti+1,j + Ti1,j) + x2 (Ti,j+1 + Ti,j1) 2(x2 +y2)Ti,j = 0

Soit sous forme matricielle, pour N=P=4, en posant A = x2 +y2 :

2A y2 0 x2 0 0 0 0 0y2 2A y2 0 x2 0 0 0 00 y2 2A 0 0 x2 0 0 0

x2 0 0 2A y2 0 x2 0 00 x2 0 y2 2A y2 0 x2 00 0 x2 0 y2 2A 0 0 x20 0 0 x2 0 0 2A y2 00 0 0 0 x2 0 y2 2A y20 0 0 0 0 x2 0 y2 2A

T11

T21

T31

T12

T22

T32

T13

T23

T33

=

x2Tb +y2Tgx2Tb

x2Tb +y2Tdy2Tg

0y2Td

x2Th +y2Tgx2Th

x2Th +y2Td

Dans le cas o les pas d'espace sont identiques x = y, la formulation devient, pour i variantde 1 N 1 et j variant de 1 P 1 :

Ti+1,j + Ti,j1 + Ti1,j + Ti,j+1 4Ti,j = 0

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


Soit sous forme matricielle, pour N=P=4 :

4 1 0 1 0 0 0 0 01 4 1 0 1 0 0 0 00 1 4 0 0 1 0 0 01 0 0 4 1 0 1 0 00 1 0 1 4 1 0 1 00 0 1 0 1 4 0 0 10 0 0 1 0 0 4 1 00 0 0 0 1 0 1 4 10 0 0 0 0 1 0 1 4

T11

T21

T31

T12

T22

T32

T13

T23

T33

=

Tb + TgTb

Tb + TdTg

0Td

Th + TgTh

Th + Td

Notons I la matrice identit d'ordre 3 et D la matrice de dimension 3 dnie par :

D =

4 1 01 4 10 1 4

Notons T1, T2 et T3 les vecteurs 3 composantes dnis par :

T1 =

T11T21T31

T2 = T12T22T32

T3 = T13T23T33

Le systme peut s'crire sous la forme matricielle bloc suivante : D I 0I D I0 I D

T1T2T3

= B1B2B3

La matrice obtenue est tridiagonale et chacun de ses blocs est tridiagonal. La rsolution du sys-

tme peut s'eectuer par une mthode de Thomas matriciel o une mthode itrative matricielle

(mthode de Gauss-Seidel).

Algorithme de Thomas matriciel

Cet algorithme est utilis pour la rsolution d'un systme avec une matrice, de dimension N ,

tridiagonale par bloc, faisant intervenir un vecteur d'inconnues discrtes Xi, de la forme :

B1X1 + C1X2 = D1 i = 1AiXi1 + BiXi + CiXi+1 = Di i variant de 2 N-1ANXN1 + BNXN = DN i = N

Ai, Bi, Ci sont des matrices et Di un vecteur.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 19

On introduit la matrice i et le vecteur i valus par les relations de rcurrence suivantes :

i = (Bi + Cii+1)1Ai et i = (Bi + Cii+1)1(Di Cii+1) i variant de N 1

La deuxime tape dtermine les inconnues selon la rcurrence : X1 = 1 puis Xi = iXi1+ ipour i variant de 2 N .

Remarque : Avec une condition de Neumann sur l'un des bords du domaine, par exemple en y = 0un ux de chaleur gale b, il faudrait ajouter la formulation prcdente la discrtisation de

cette condition au bord.

Ceci a pour consquence l'ajout de N 1 inconnues supplmentaires savoir les valeurs de latemprature au bord (j = 0 et i variant de 1 N 1).

Par exemple utilisons un schma d'ordre 1 pour valuer le ux de chaleur :

(T

y

)i,0

=Ti,1 Ti,0

y= b

Soit sous forme matricielle, dans le cas o x = y et pour N=P=4 :

1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 01 0 0 4 1 0 1 0 0 0 0 00 1 0 1 4 1 0 1 0 0 0 00 0 1 0 1 4 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 4 1 0 1 0 00 0 0 0 1 0 1 4 1 0 1 00 0 0 0 0 1 0 1 4 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 4 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 4 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 4

T10

T20

T30

T11

T21

T31

T12

T22

T32

T13

T23

T33

=

bx/bx/bx/

Tg

0Td

Tg

0Td

Th + TgTh

Th + Td

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


II.3 LES VOLUMES FINIS

II.3.1 Introduction

La mthode des Volumes Finis consiste intgrer, sur des volumes lmentaires, les quations

crites sous forme intgrale. C'est une mthode particulirement bien adapte la discrtisation

spatiale des lois de conservation, contrairement aux Elments Finis, et est ainsi trs utilise

en mcanique des uides.

Sa mise en oeuvre est simple si les volumes lmentaires ou "volumes de contrle" sont des

rectangles en 2D ou des paralllpipdes en 3D. Cependant, la mthode des Volumes Finis per-

met d'utiliser des volumes de forme quelconque et donc de traiter des gomtries complexes,

contrairement aux Dirences Finies.

De nombreux codes de simulation numrique en mcanique des uides reposent sur cette m-

thode : Fluent, StarCD, CFX, FineTurbo, elsA...

II.3.2 Volumes Finis pour une loi de conservation

Considrons une loi de conservation d'une grandeur physique w dans une maille de volume ,faisant intervenir un ux F (w) et un terme source S(w). Son expression sous forme intgraleest :

t

w d +

divF (w) d =

S(w) d

Appelons la surface de la maille, de normale extrieure n. Le thorme d'Ostrogradski conduit :

t

w d +

F.n d =

S d

L'intgrale

F.n d reprsente la somme des ux travers chaque face de la maille. Le ux est

suppos constant sur chaque face, l'intgrale se ramne une somme discrte sur chaque face de

la maille. Il vient : F.n d =

faces de la maille

Fface.nfaceface

La quantit Fface = F (wface) est une approximation du ux F sur une face de la maille, c'estle ux numrique sur la face considre.

La discrtisation spatiale revient calculer le bilan des ux sur une maille lmentaire. Ce bilan

comprend la somme des contributions values sur chaque face de la maille. La manire dont

on approche les ux numriques en fonction de l'inconnue discrte dtermine le schma nu-

mrique. L'criture du schma numrique peut galement utiliser des inconnues auxiliaires, par

exemple le gradient de l'inconnue par maille.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 21

Explicitons maintenant le terme de drive temporelle. Un lment fondamental de la discrtisa-

tion en Volumes Finis est de supposer que la grandeur w est constante dans chaque maille

et gale une valeur approche de sa moyenne sur la maille ou bien sa valeur au centre de la

maille.

D'autre part, le terme de drivation en temps est valu au moyen d'une mthode numrique

d'intgration d'quation direntielle (Runge-Kutta, Euler explicite ou implicite...) et fait inter-

venir un pas de temps d'intgration t. Ce dernier peut tre constant ou variable. Pour xer lesides, on crira la formulation avec une mthode d'Euler explicite. Notons w l'incrment de lagrandeur w entre deux itrations temporelles successives. On peut ainsi crire :

t

w d =

(dw

dt

)maille

= wt

Finalement la loi de sconservation discrtise avec la mthode des Volumes Finis peut s'crire :

wt

+faces

Fface.nfaceface = S

La mthodes des Volumes Finis consiste donc :

Dcomposer la gomtrie en mailles lmentaires (laborer un maillage). Initialiser la grandeur w sur le domaine de calcul. Lancer le processus d'intgration temporelle jusqu' convergence avec :? Calcul du bilan de ux par maille par un schma numrique.

? Calcul du terme source.

? Calcul de l'incrment temporel par une mthode numrique d'intgration.

? Application des conditions aux limites.

II.3.2.1 Cas monodimensionnel

Considrons une loi de conservation 1D :

t

u dx +

f(u)x

dx = 0

O u est une grandeur physique fonction de la variable d'espace x et du temps t

et f(u) est une fonction de u.

Le domaine de calcul est divis en N mailles de centre xi. Chaque maille a une taille hi =xi+1/2 xi1/2. Les indices demi-entier dsignent les interfaces de la maille avec les mailles voi-sines (voir gure II.1).

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


xi-1/2

xxi

xi+1

xi+1/2

xi-1

Fig. II.1 Maillage 1D

Le temps est discrtis en intervalles de pas constant t. La fonction u est suppose constantedans chaque maille et gale une valeur approche de la moyenne. Notons uni cette valeur

moyenne dans la i-me maille de centre xi, l'instant t = nt. Ainsi :

x [xi1/2, xi+1/2] et t = nt, u(x, t) = uni

Souvent, cette valeur approche de la moyenne est la valeur de la fonction u au centre xi de la

maille, on parle alors de Volumes Finis Cell-Centered (et dans ce cas, uni = u(xi, t)).

Le discrtisation spatiale par les Volumes Finis consiste intgrer maille par maille la loi de

conservation :

t

maille

u dx +maille

f(u)x

dx = 0

Soit pour la i-me maille de centre xi, au temps t = nt :

t

xi+1/2xi1/2

u dx + xi+1/2xi1/2

f

xdx = 0

Ce qui s'intgre comme suit :

hiunit

+ fni+1/2 fni1/2 = 0

La quantit fni+1/2 dsigne une approximation du ux f(u) l'interface xi+1/2 et au temps nt.C'est le ux numrique au point xi+1/2. Ce ux numrique s'value en fonction des valeurs

moyennes de u dans les mailles voisines, ce qui dtermine le schma numrique.

Une mthode d'Euler explicite est utilise pour valuer la drive en temps (d'autres schmas

peuvent tre utiliss, par exemple le schma de Runge-Kutta). La formulation discrtise en

Volumes Finis de la loi de conservation est ainsi :

hiun+1i uni

t+ fni+1/2 fni1/2 = 0

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 23

II.3.2.2 Cas bidimensionnel

Considrons une loi de conservation d'une grandeur physique u(x, y, t) o x et y sont les deuxdirections d'espace. Le domaine gomtrique est divis en mailles lmentaires, par exemple en

mailles rectangulaires comme reprsent sur la gure II.2. La grandeur u est suppose constante

dans chaque maille et gale une valeur approche de la moyenne sur la maille (ou encore la

valeur au centre de la maille).

n

A D

B C


Dans le cas bidimensionnel, le terme intgral

F.n d reprsente la circulation sur un contour

d'une maille lmentaire. Plaons-nous sur la maille de contour ABCD comme indiqu sur la

gure. Le ux F est suppos constant sur chaque arte de la maille AB, BC, CD et AD.

L'intgrale se ramne une somme discrte sur chaque arte :F.n d =

ABCD

F.n dl =

AB,BC,CD,AD

Farete.narete Longueurarete

Ceci revient valuer le bilan des ux travers chaque facette de la maille.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


II.3.3 Exemple simple 1D avec conditions de Dirichlet


u(0) = et u(1) =

o f est une fonction continue.

L'intervalle ]0,1[ est discrtis en N mailles de centre xi et de taille hi = xi+1/2 xi1/2. Lafonction u(x) est suppos constante dans chaque maille et gale une valeur approche de lamoyenne sur la maille considre. On notera ui cette valeur dans la i-me maille de centre xi.

Ainsi, on a dans la i-me maille : x [xi1/2, xi+1/2], u(x) = ui.

xi-1/2

xi

xi+1

xi+1/2

xi-1

x

x = 01/2

x1 x2

x3/2


La discrtisation spatiale par les Volumes Finis consiste intgrer maille par maille l'quation

direntielle du problme, soit pour la i-me maille : xi+1/2xi1/2

u(x) dx = xi+1/2xi1/2

f(x) dx

Ce qui donne aprs intgration :

u(xi1/2) u(xi+1/2) = hifi pour i variant de 1 N

o fi dsigne la valeur moyenne de f sur la i-me maille : fi =1hi

xi+1/2xi1/2

f(x) dx

Il reste maintenant exprimer u(xi1/2) en fonction des inconnues ui. L'approximation la plusnaturelle est de prendre la valeur moyenne de u(x) sur le segment [xi1, xi], soit :

u(xi1/2) =1

hi1+hi2

xixi1

u(x) dx =u(xi) u(xi1)

hi1/2=

ui ui1hi1/2

avec hi1/2 =hi1 + hi

2

Cette dernire expression n'est pas valable au bord gauche, pour i = 1, en x1/2 = 0, car elle faitintervenir le point x0 qui n'est pas dni. Il se pose alors le problme du traitement des bords qui

exige une formulation particulire. Une possibilit est de dnir une maille ctive gauche de

l'intervalle [0,1], et d'aecter une valeur moyenne de la fonction u dans cette maille. Une autre

possibilit est de considrer la valeur moyenne de u(x1/2) non plus sur le segment [x0, x1] qui

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 25

n'est pas dni mais sur le segment [x1/2, x1], c'est ce que nous choisissons dans cet exemple.Ainsi on crit :

u(x1/2) =2h1

x1x1/2

u(x) dx =2(u1 u(0))

h1=

2(u1 )h1

Et de mme pour le terme u(xi+1/2), on crit que : u(xi+1/2) =ui+1 uihi+1/2. Le mme problme

survient au bord droit, pour i = N , en xN+1/2 = 1. On considre la valeur moyenne de u(xN+1/2)non plus sur le segment [xN , xN+1] qui n'est pas dni mais sur le segment [xN , xN+1/2], soit :

u(xN+1/2) =2hN

xN+1/2xN

u(x) dx =2(u(1) uN )

hN=

2( uN )hN

La discrtisation en Volumes Finis est donc nalement :

ui ui1hi1/2

ui+1 uihi+1/2

= hifi pour i variant de 2 N-1

2(u1 )h1

u2 u1h3/2

= h1f1

uN uN1hN1/2

2( uN )hN

= hN fN

Dans le cas particulier d'un maillage rgulier de pas h. La discrtisation en Volumes Finis devient :

2ui ui1 ui+1h2

= fi pour i variant de 2 N-1

3u1 u2h2

= f1 +2h2

3uN uN1h2

= fN +2h2

Sous forme matricielle, ceci s'exprime :

1h2

3 1 0 01 2 1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 2 10 0 0 1 3

u1

u2.

.

.

uN1uN

=

f1 + 2/h2

f2.

.

.

fN1fN + 2/h2

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


Comparaison avec un schma aux Dirences Finies

Nous introduisons un schma aux Dirences Finies an de comparer les deux mthodes de dis-

crtisation.

On se place sur le mme maillage construit pour les Volumes Finis. Les points xi seront consid-

rs comme les noeuds du maillage pour les Dirences Finies. Et la quantit ui dsignera alors

la valeur de la fonction u au noeud xi.

ATTENTION aux notations propres aux deux mthodes, dans un cas ui dsigne une valeur

moyenne de u sur la i-me maille, et dans l'autre cas, ui dsigne la valeur de u en xi.

L'quation rsoudre s'crit, sous forme discrte en chaque noeud xi :

(d2u

dx2

)i

= f(xi) = fi

Approximons la drive seconde de u au moyen d'un schma l'ordre 2. On crit les dveloppe-

ments de Taylor de ui+1 et ui1 au voisinage de xi :

ui+1 = u(xi + hi+1/2) = ui + hi+1/2

(du

dx

)i

+h2i+1/2

2

(d2u

dx2

)i

+O(h3i+1/2)

ui1 = u(xi hi1/2) = ui hi1/2(du

dx

)i

+h2i1/22

(d2u

dx2

)i

+O(h3i1/2)

Ce qui peut s'exprimer sous la forme :

ui+1 uihi+1/2

=(du

dx

)i

+hi+1/2

2

(d2u

dx2

)i

+O(h2i+1/2)

ui1 uihi1/2

= (du

dx

)i

+hi1/22

(d2u

dx2

)i

+O(h2i1/2)

Par somme des deux galits, on obtient une approximation l'ordre 2 de la drive seconde de

u. Au nal, la discrtisation par des Dirences Finies est la suivante :

2hi+1/2 + hi1/2

(ui ui1hi1/2

ui+1 uihi+1/2

)= fi pour i variant de 1 N

Dans la cas particulier d'un maillage rgulier de pas h, l'quation discrtise s'crit :

2ui ui+1 ui1h2

= fi pour i variant de 1 N

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 27

II.3.4 Exemple simple 1D avec conditions mixtes Dirichlet-Neumann


u(0) = et u(1) =

o l'on a cette fois une condition de Neumann en x = 1.On se place sur le mme maillage que prcdemment et on adopte la mme dmarche.

L'quation intgre sur une maille lmentaire est :

u(xi1/2) u(xi+1/2) = hifi pour i variant de 1 N

Le calcul des termes de drive aux interfaces s'eectue de la mme manire que prcdemment.

Au bord droit, l'interface xN+1/2 = 1, l'application de la condition u(1) = s'applique trsnaturellement et l'on a : u(xN+1/2) = .

La discrtisation en Volumes Finis est donc nalement :

ui ui1hi1/2

ui+1 uihi+1/2

= hifi pour i variant de 2 N-1

2(u1 )h1

u2 u1h3/2

= h1f1

uN uN1hN1/2

= hN fN

Dans le cas particulier d'un maillage rgulier de pas h. La discrtisation en Volumes Finis devient :

2ui ui1 ui+1h2

= fi pour i variant de 2 N-1

3u1 u2h2

= f1 +2h2

uN uN1h2

= fN +

h

Sous forme matricielle, ceci s'exprime :

1h2

3 1 0 01 2 1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 2 10 0 0 1 1

u1

u2.

.

.

uN1uN

=

f1 + 2/h2

f2.

.

.

fN1fN + /h

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


II.3.5 Discrtisation de l'quation de la chaleur 1D

Considrons le problme monodimensionnel de la conduction de la chaleur dans une barre de 1m

de longueur. Le champ de temprature T (x, t) vrie l'quation de la chaleur :

T

t=

2T

x2

o est la diusivit thermique que l'on supposera gale 1.

A cette EDP s'ajoute deux conditions aux limites aux extrmits de la barre T (0, t) = Tg etT (1, t) = Td ainsi qu'une condition initale T (x, 0) = T0.

L'intervalle [0,1] est discrtis en N mailles de centre xi (i variant de 1 N), de taille x =xi+1/2 xi1/2 constante. Le temps est discrtis en intervalles de pas constant t. A chaqueinstant, la temprature T (x, t) est suppose constante dans chaque maille et gale une valeurapproche de la moyenne sur la maille considre. On notera Tni cette valeur dans la i-me maille

de centre xi l'instant t = nt.

La discrtisation spatiale par les Volumes Finis consiste intgrer maille par maille l'EDP du

problme, soit pour la i-me maille : xi+1/2xi1/2

T

tdx =

xi+1/2xi1/2

2T

x2dx

Nous utilisons un schma d'Euler explicite pour valuer la drive temporelle, il vient :

xTn+1i Tni

t=

[(T

x

)nxi+1/2

(T

x

)nxi1/2

]

Les termes de drive premire aux interfaces xi+1/2 sont valus en considrant la valeur moyenne

de

T

xsur le segment [xi, xi+1], soit :(

T

x

)nxi+1/2

=1x

xi+1xi

T

xdx =

Tni+1 Tnix

Cette formulation n'est pas valable dans la maille N l'extrmit droite de la barre. Dans cette

maille, on considre la valeur moyenne calcule sur l'intervalle [xN , 1]. D'o :(T

x

)nxN+1/2

=2x

1xN

T

xdx = 2

Tnd TnNx

De mme, les termes de drive premire aux interfaces xi1/2 sont valus en considrant la

valeur moyenne de

T

xsur le segment [xi1, xi], soit :(

T

x

)nxi1/2

=1x

xixi1

T

xdx =

Tni Tni1x

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 29

Avec un problme dans la premire maille l'extrmit gauche de la barre. Dans cette maille,

on considre la valeur moyenne calcule sur l'intervalle [0, x1]. D'o :(T

x

)nx1/2

=2x

x10

T

xdx = 2

Tn1 Tngx

En posant =tx2, la temprature l'itration n+ 1 est donne par :

Tn+1i = Tni1 + (1 2)Tni + Tni+1 i variant de 2 N-1

Tn+11 = 2Tg + (1 3)Tn1 + Tn2

Tn+1N = TnN1 + (1 3)TnN + 2Tnd


T1

T2.

.

.

TN1TN

n+1

=

1 3 0 0 1 2 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 2 0 0 0 1 3

T1

T2.

.

.

TN1TN

n

+2

Tg

0.

.

.

0Td

II.3.6 Discrtisation de l'quation de la chaleur 2D stationnaire

Considrons le problme bidimensionnel stationnaire de la conduction de la chaleur dans un

domaine rectangulaire [0,Lx][0,Ly]. Le champ de temprature T (x, y) vrie l'quation de La-place :

T =2T

x2+2T

y2= 0 , (x, y) [0, Lx] [0, Ly]

T (0, y) = Tg et T (Lx, y) = Td 0 < y < Ly

T (x, 0) = Tb et T (x, Ly) = Th 0 < x < Lx

Le domaine de calcul est discrtis en NP mailles de centre (xi, yj) (i variant de 1 N et jvariant de 1 P). On supposera que les pas d'espace dans chaque direction x = xi+1/2xi1/2et y = yj+1/2 yj1/2 sont constants.La temprature T (x, y) est suppose constante dans chaque maille et gale une valeur appro-che de la moyenne sur la maille considre. On notera Tij cette valeur dans la maille (i, j).

La discrtisation spatiale par les Volumes Finis consiste intgrer maille par maille l'EDP du

problme, soit pour la maille (i, j) de centre (xi, yj) : xi+1/2xi1/2

yj+1/2yj1/2

(2T

x2+

2T

y2

)dxdy = 0

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


Il vient : yj+1/2yj1/2

[(T

x

)xi+1/2

(T

x

)xi1/2

]dy +

xi+1/2xi1/2

[(T

y

)yj+1/2

(T

y

)yj1/2

]dx = 0

Le terme de drive premire

(T

x

)xi+1/2

l'interface xi+1/2 est valu en calculant une valeur

moyenne sur l'intervalle [xi,xi+1] :(T

x

)xi+1/2

=1x

xi+1xi

T

xdx =

Ti+1,j Tijx

De mme, le terme

(T

x

)xi1/2 l'interface xi1/2 est valu en calculant une valeur moyenne

sur l'intervalle [xi1,xi]. Ce qui permet d'crire : yj+1/2yj1/2

[(T

x

)xi+1/2

(T

x

)xi1/2

]dy =

yj+1/2yj1/2

[Ti+1,j Tij

x Ti,j Ti1,j

x

]dy

= yTi+1,j + Ti1,j 2Tij

x

En oprant identiquement pour les termes

T

yaux interfaces yj+1/2 et yj1/2, on aboutit

l'expression suivante valable pour i variant de 2 N 1 et j variant de 2 P 1 :

y2(Ti+1,j + Ti1,j) + x2(Ti,j+1 + Ti,j1) 2(x2 +y2)Tij = 0

Cette relation n'est pas valable aux bords du domaine pour lesquels les termes de drives

premires sont valus en considrant une valeur moyenne sur une demie-maille.

Par exemple, pour la drive

(T

x

)x1/2

, la valeur moyenne sera calcule sur l'intervalle [0,x1] et

fera intervenir les conditions aux limites (la temprature Tg au bord gauche) :(T

x

)x1/2

=2x

x10

T

xdx = 2

T1j Tgx

Ainsi pour les cellules adjacentes au bord gauche (i = 1, j variant de 1 P ), la formulation est :

y2(T2,j + 2Tg) + x2(T1,j+1 + T1,j1) (2x2 + 3y2)T1j = 0 ; j=2 P-1y2(T21 + 2Tg) + x2(T12 + 2Tb) 3(x2 +y2)T11 = 0 ; j=1

y2(T2P + 2Tg) + x2(2Th + T1,P1) 3(x2 +y2)T1P = 0 ; j=P

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 31

On aura une formulation quivalente pour les cellules adjacentes aux 3 autres bords du domaine.

Soit sous forme matricielle, pour N=P=3, en posant A = x2 + y2, B = 3x2 + 2y2 etC = 2x2 + 3y2 :

3A y2 0 x2 0 0 0 0 0y2 B y2 0 x2 0 0 0 00 y2 3A 0 0 x2 0 0 0

x2 0 0 C y2 0 x2 0 00 x2 0 y2 2A y2 0 x2 00 0 x2 0 y2 C 0 0 x20 0 0 x2 0 0 3A y2 00 0 0 0 x2 0 y2 B y20 0 0 0 0 x2 0 y2 3A

T11

T21

T31

T12

T22

T32

T13

T23

T33

= 2

x2Tb +y2Tgx2Tb

x2Tb +y2Tdy2Tg

0y2Td

x2Th +y2Tgx2Th

x2Th +y2Td

Dans le cas o les pas d'espace sont identiquesx = y, la formulation matricielle, pourN=P=3devient :

6 1 0 1 0 0 0 0 01 5 1 0 1 0 0 0 00 1 6 0 0 1 0 0 01 0 0 5 1 0 1 0 00 1 0 1 4 1 0 1 00 0 1 0 1 5 0 0 10 0 0 1 0 0 6 1 00 0 0 0 1 0 1 5 10 0 0 0 0 1 0 1 6

T11

T21

T31

T12

T22

T32

T13

T23

T33

= 2

Tb + TgTb

Tb + TdTg

0Td

Th + TgTh

Th + Td

Remarque : dans le cas de conditions aux limites mixtes Dirichlet-Neumann, la condition de ux

de chaleur est prise en compte trs simplement, directement dans les termes de drives aux

interfaces du bord concern.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


II.4 LES ELEMENTS FINIS EN 1D

II.4.1 Introduction

La mthode des Elments Finis consiste approcher, dans un sous-espace de dimension nie,

un problme crit sous forme variationnelle dans un espace de dimension innie. Cette forme

variationnelle est quivalente une forme de minimisation de l'nergie en gnral (principe des

travaux virtuels). La solution approche est dans ce cas une fonction dtermine par un nombre

ni de paramtres, par exemple, ses valeurs en certains points (les noeuds du maillage).

Cette mthode est particulirement bien adapte aux problmes d'quilibre. Elle permet de trai-

ter des gomtries complexes contrairement aux Dirences Finies mais elle demande un grand

cot de temps de calcul et de mmoire.

De nombreux codes de calculs de structure reposent sur les Elments Finis : ANSYS, CADDS,

CATIA...

II.4.2 Exemple simple 1D

Reprenons le cas prcdent de l'quation direntielle :{u(x) = f(x) , x ]0, 1[u(0) = u(1) = 0

La prsentation trs succinte faite sur cet exemple simple a pour but de donner les ides de

base et ne constitue qu'une premire introduction la mthodes des Elments Finis. L'approche

repose sur la mthode de Galerkin qui permet d'crire le systme direntiel sous forme va-

riationnelle dans un espace de dimension nie.

Soit une fonction v(x) C1([0, 1]), nulle en 0 et 1. On peut crire :

10u(x) v(x) dx =

10f(x) v(x) dx

En intgrant par parties, il vient : 10u(x) v(x) dx =

10f(x) v(x) dx v V (II.1)

avec V ={v C0([0, 1]); v(0) = v(1) = 0 , v' continue par morceaux} un sous-espace vectorielde C1([0, 1]).

Une solution de la forme variationnelle (II.1) s'appelle solution faible du problme diren-

tiel de dpart.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 33

On cherche alors crire un problme approch dans un sous-espace vectoriel de dimension nie.

Soit V un sous-espace vectoriel de V de dimension N nie. Soient 1, 2, ..., N N fonctions

linairement indpendantes de V . Ces fonctions constituent une base du sous-espace V . Ainsi,

toute fonction u de V peut se dcomposer selon :

u(x) =Nj=1

ujj(x)

Rsoudre le problme direntiel de dpart revient alors chercher une solution u V telle que : 10u(x) v(x) dx =

10f(x) v(x) dx v V

C'est--dire chercher N rels u1, u2, ..., uN vriant :

Nj=1

uj

10j(x) v

(x) dx = 10f(x) v(x)dx v V

Ou encore :

Nj=1

uj

10j(x)

i(x) dx =

10f(x)i(x) dx i V

Soient A la matrice N N d'lment courant aij et B le vecteur N composantes bi dniespar :

aij = 10j(x)

i(x) dx et bi =

10f(x)i(x) dx

Par dnition, la matrice A est symtrique. Notons U le vecteur des N inconnues u1, u2, ..., uN .

Le problme direntiel se ramne nalement la rsolution du systme linaire :

A.U = B

Il reste maintenant choisir les N fonctions i de faon ce que le systme soit simple rsoudre

numriquement.

II.4.2.1 Choix des fonctions i : les lments nis

L'intervalle ]0,1[ est discrtis en N points de coordonnes xi. Les fonctions i(x) sont choisiescomme fonctions polynomiales de degr 1 dnies par :

i(x) =

x xi1xi xi1 si xi1 x xix xi+1xi xi+1 si xi x xi+1

0 sinon

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


Ces fonctions sont appeles les lments nis de degr 1. Avec ces lments nis, la matrice A

est tridiagonale. Il est aussi possible de choisir pour lments nis des fonctions de degr 2 ou plus.

Le calcul de la matrice A fait intervenir les drives i(x) simples calculer :

i(x) =

1xi xi1 si xi1 x xi

1xi xi+1 si xi x xi+1

0 sinon

Calculons maintenant les lments de la matrice A, tridiagonale et symtrique. Les trois termes

des diagonales sont :

aii = 10i(x)

i(x) dx =

1xi xi1 +

1xi+1 xi

ai,i+1 = 10i+1(x)

i(x) dx =

1xi+1 xi

ai1,i = 10i(x)

i1(x) dx =

1xi xi1

Et calculons les composantes du vecteur B par une mthode des trapzes (chaque intgrale sur

un segment lmentaire sera value comme l'aire du trapze correspondant), soit :

bi = 10f(x)i(x) dx = fi

(xi+1 xi1

2

)

Le systme linaire rsoudre s'crit donc, sous forme indicielle :

ui ui1xi xi1

ui+1 uixi+1 xi =

xi+1 xi12

fi pour i variant de 1 N

On rappelle la discrtisation avec un schma aux Dirences Finies d'ordre 2 :

ui ui1xi xi1

ui+1 uixi+1 xi =

xi+1 xi12

fi pour i variant de 1 N

Ainsi, on constate que les deux mthodes sont rigoureusement identiques. Ceci n'est plus vri

quand les composantes du vecteur B ne sont plus values avec une mthode des trapzes.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 35

Dans le cas o les N points de l'intervalle ]0,1[ sont rgulirement espacs avec un pas h. La

discrtisation en Elments Finis devient :

2ui ui+1 ui1h2

= fi pour i variant de 1 N


1h2

2 1 0 01 2 1 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 1 2 10 0 0 1 2

u1

u2.

.

.

uN1uN

=

f1

f2.

.

.

fN1fN

II.4.2.2 Bilan

La mthodes des Elments Finis 1D consiste donc :

Choisir N points entre 0 et 1 et choisir les fonctions i Construire la matrice A Dterminer le vecteur B (avec une mthode d'intgration) Rsoudre le systme linaire A.U = B o U dsigne le vecteur des inconnues

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


II.5 APPLICATION NUMERIQUE

Comparons les trois mthodes de discrtisation sur le cas simple prcdemment expos. On choisit

comme fonction f(x) = sin (pix). L'quation direntielle rsoudre est donc :{u(x) = sin (pix) , x ]0, 1[u(0) = u(1) = 0

La solution analytique au problme est u(x) =sin (pix)pi2. Notons par un indice 'a' la solution

analytique.

Divisons l'intervalle ]0,1[ en dix segments rguliers de pas h = 0.1. Pour les discrtisationsavec les Dirences Finies et les Elements Finis, il y a N = 9 noeuds de calculs. Et pour lamthode des Volumes Finis, il y a N = 10 mailles de calculs.

La solution discrte obtenue avec les Dirences Finies (ou les Elments Finis) est reporte

dans le tableau V.1 :

xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

ui 0.0316 0.06 0.0826 0.09716 0.10216 0.09716 0.0826 0.06 0.0316

(ui)a 0.0313 0.0595 0.082 0.09636 0.10113 0.09636 0.082 0.0595 0.0313

|erreur| 9.6 103 8.4 103 7.3 103 8.3 103 1 102 8.3 103 7.3 103 8.4 103 9.6 103

Tab. II.1 Mthode des Dirences Finies et des Elments Finis

La valeur moyenne par maille obtenue avec les Volumes Finis est reporte dans le tableau II.2.

Le calcul de la valeur moyenne de f(x) dans la i-me maille est : fi = fi

(sin

pi2h

pi2h

). Notons (ui)a

la valeur moyenne de la solution analytique calcule sur la i-me maille soit :

(ui)a =1h

xi+1/2xi1/2

u(x) dx = ui

(sin

pi2h

pi2h

).

xi 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95

ui 0.01589 0.04612 0.07184 0.0905 0.1003 0.1003 0.0905 0.07184 0.04612 0.01589

(ui)a 0.01585 0.046 0.07164 0.09028 0.1001 0.1001 0.09028 0.07164 0.046 0.01585

|erreur| 2.5 103 2.6 103 2.8 103 2.4 103 2 103 2 103 2.4 103 2.8 103 2.6 103 2.5 103

Tab. II.2 Mthode des Volumes Finis

Les trois mthodes permettent d'obtenir des rsultats avec une bonne prcision. L'erreur la

plus faible est obtenue avec la mthode des Volumes Finis.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11

ENSHMG 37

II.6 CONSISTANCE, CONVERGENCE ET STABILITE

Un certain nombre de notion est ncessaire lors de la rsolution d'quations aux drives partielles

(EDP) au moyen de leurs quivalents discrtiss. Les trois principales sont la convergence, la

stabilit et la consistance. Ces trois proprits permettent de relier la solution exacte des

quations continues la solution exacte des quations discrtises et la solution numrique

obtenue. Ces dirents liens, rsums sur la gure II.4, sont :

la stabilit, c'est la proprit qui assure que la dirence entre la solution numrique obte-nue et la solution exacte des quations discrtises est borne.

la consistance, c'est la proprit qui assure que la solution exacte des quations discrtisestende vers la solution exacte des quations continues lorsque le pas de discrtisation (t etx) tendent vers zro.

la convergence, c'est la proprit qui assure que la solution numrique tende vers la (ou une)solution exacte des quations continues. C'est videmment la proprit la plus recherche !

Fig. II.4 Solutions exacte, numrique et discrte

Ces proprits sont lies les unes aux autres par des thormes :

Le thorme de Lax

Dans un problme bien pos, et avec un schma numrique consistant, la stabilit est une

condition ncessaire et susante pour la convergence.

cel-0

0556

967,

ver

sion

1 - 1

8 Ja

n 20

11


Le thorme de Lax-Wendro

Si un schma numrique consistant converge lorsqu'on rane les pas de temps et d'espace,

c'est--dire lorsque t 0 et x 0, alors il converge vers une solution faible des quations.

Condition de stabilit CFL

Pour des problmes d'volution temporelle, certains schmas sont stables condition que le pas

de temps soit infrieur une certaine valeur critique fonction du pas d'espace. Cette ingalit

constitue la condition de Courant-Friedrichs-Lewy (1928) ou condition CFL. Elle est ncessaire

MethodesNumeriques_EricGoncalves.pdf

Documents

Transcript of MethodesNumeriques_EricGoncalves.pdf