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MATHSECE•1re annéeMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

Des ouvrages pour s’entraîner : – des rappels de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser

efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab

et des exercices complémentaires.

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VUIBERT

➔ Rappels de cours➔ Conseils de méthode ➔ Exercices guidés ➔ Exercices d’approfondissement➔ Problèmes de synthèse ➔ Tous les corrigés détaillés

B. Bourgeois

F. Delaplace

F. Fortain

Tout le programme

MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

MATHSECE•1re année

VUIBERT

SOMMAIRE1. Activités numériques – 2. Calcul algébrique – 3. Logique – 4. Ensembles et cardinaux 5. Calcul matriciel – 6. Systèmes d’équations linéaires – 7. Suites – 8. Espaces vectoriels 9. Étude locale – 10. Étude globale – 11. Fonctions usuelles – 12. Dérivée – Convexité et fonctions réciproques – 13. Intégration – 14. Séries numériques – 15. Espaces vectoriels 16. Probabilités discrètes – 17. Variables aléatoires discrètes – 18. Variables à densité.

En ligne :• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab• Exercices complémentaires

Les auteurs :Bénédicte Bourgeois est professeur agrégée de mathématiques en CPGE.François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

ISBN : 978-2-311-40286-5

www. .fr

Maths-ECE-1reAnnee-9782311402865.indd Toutes les pages 05/08/15 09:43

Table des matières

Retrouvez sur le site www.vuibert.fr,à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab),

des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires.

Chapitre 1. Activités numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Nombres : opérations 3 – 2. Nombres : comparaisons 4 – Exercices 5 – Corrigés 7

Chapitre 2. Calcul algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1. Identités remarquables 17 – 2. Fonctions polynômes du second degré 17 – 3. Valeursabsolues 18 – 4. Fonctions paires et impaires 18 – 5. Courbes des fonctions x 7−→

�

� f (x )�

� etx 7−→ f (|x | ) 19 – Exercices 20 – Corrigés 22

Chapitre 3. Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1. Valeurs de vérité des connectives 33 – 2. Méthodes de démonstration 34 – Exercices 35 –Corrigés 37

Chapitre 4. Ensembles et cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1. Parties de E 41 – 2. k -listes d’éléments de E 41 – 3. Parties deP (E ) 41 – 4. Méthode 41 –Exercices 42 – 1. Ensembles 42 – 2. Cardinaux et dénombrement 43 – Corrigés 44

Chapitre 5. Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Exercices 52 – Corrigés 58

Chapitre 6. Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


Chapitre 7. Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1. Suites particulières 85 – 2. Suites convergentes 86 – Exercices 88 – Corrigés 92

Chapitre 8. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


Chapitre 9. Étude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

1. Limites et continuité 123 – 2. Limites usuelles 124 – Exercices 125 – Corrigés 129

Chapitre 10. Étude globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1. Généralités 145 – 2. Fonctions continues et continues par morceaux 145 – Exercices 148 –Corrigés 151

Chapitre 11. Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

1. Fonctions polynomiales et rationnelles 161 – 2. Fonctions logarithmes 162 – 3. Fonc-tion exponentielle 163 – 4. Fonction puissance 164 – 5. Fonctions partie entière et partiedécimale 164 – Exercices 165 – Corrigés 168

Chapitre 12. Dérivée-Convexité et fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

1. Dérivée première 177 – 2. Fonctions dérivables sur un intervalle 178 – 3. Applications ducalcul différentiel 178 – Exercices 181 – Corrigés 185

1

Table des matières

Chapitre 13. Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

1. Primitives et intégrales de fonctions continues 197 – 2. Calcul de primitives 199 – 3. Inté-grales impropres 199 – Exercices 201 – Corrigés 205

Chapitre 14. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227


Chapitre 15. Espace vectorielMn ,1(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1. Espace vectoriel et familles de vecteurs 255 – 2. Sous-espace vectoriel deMn ,1(R) 256 –3. Applications linéaires 256 – Exercices 258 – Corrigés 262

Chapitre 16. Probabilités discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279


Chapitre 17. Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

1. Définitions 305 – 2. Espérance d’une variable discrète 306 – 3. Variance et écart type 306 –Exercices 308 – Corrigés 313

Chapitre 18. Variables à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333


2

MÉTHODE

11Chapitre

Fonctions usuelles

1. Fonctions polynomiales et rationnelles

Définition 11.1.

Une fonction polynôme est une fonction de la forme

x 7→ a n x n +a n−1x n−1+ . . . +a 1x +a 0.

Une fonction rationnelle est un quotient de fonctions polynômes.

Propriété 11.1. Fonctions polynômes du second degré : f (x ) = a x 2+bx + c , (a 6= 0)Ses fonctions dérivées sont :

f ′ : x 7→ 2 a x +b f ′′ : x 7→ 2 a

• Si a < 0 ;

f est strictement croissante sur

�

−∞, −b

a

�

et strictement décroissante sur

�

−b

a,+∞

�

.

f

�

−b

2a

�

=−∆4a

est un maximum : le maximum absolu de f sur R.

f est concave sur R.lim

x→−∞f (x ) = lim

x→+∞f (x ) =−∞.

• Si a > 0 ;

f est strictement décroissante sur

�

−∞, −b

a

�

et strictement croissante sur

�

−b

a,+∞

�

.

f

�

−b

2a

�

=−∆4a

est un minimum : le minimum absolu de f sur R.

f est convexe sur R.lim

x→−∞f (x ) = lim

x→+∞f (x ) =+∞.

161

Mathématiques ECE 1re année

2. Fonctions logarithmes

Définition 11.2.

On désigne par ln la primitive de la fonction définie sur ]0, +∞[ , x 7→ x−1 qui s’annuleen 1. On l’appelle fonction logarithme népérien.

Soit a un réel strictement positif et différent de 1. On appelle fonction logarithme debase a la fonction notée loga définie sur ]0, +∞[ par :

loga (x ) =lnx

ln a.

Propriété 11.2. algébriques

• Pour tout réel strictement positif a et b ,

ln (ab ) = ln (a )+ ln (b ) , ln

�

1

a

�

=− ln (a ) et ln�a

b

�

= ln (a )− ln (b ).

• Pour tout réel a et pour tout rationnel q ,

ln (a q ) =q ln (a ).

• Pour tout réel x > 0,

0< x < 1⇒ ln (x )< 0 et x > 1⇒ ln (x )> 0.

On notera e le réel vérifiant ln (e) = 1.

Propriété 11.3. fonctionnelles

• La fonction ln est une bijection strictement croissante et continue sur ]0, +∞[ àvaleurs dans R.

• ∀ x ∈ ]0, +∞[, ln (1+x )≤ x

• limx→+∞

ln (x ) =+∞, limx→0

ln (x ) =−∞, limx→+∞

ln (x )x= 0 et lim

x→0x ln (x ) = 0

• limx→1

ln (x )x −1

= 1 et limx→0

ln (1+x )x

= 1

• Croissances comparées

∀ α> 0 , ∀β > 0 , limx→+∞

(lnx )α

xβ= 0 et lim

x→0xβ | lnx |α = 0.

• Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle J à valeurs dans ]0, +∞[, lafonction composée ln◦u est dérivable sur J et de plus :

∀ x ∈ J , (x 7→ ln u (x ))′=

u ′(x )u (x )

.

162

Chapitre 11 – Fonctions usuelles

MÉTHODERemarque

Une fonction dérivable, positive et sa dérivée ont le même signe ; il s’ensuit qu’unefonction dérivable positive et sa dérivée ont les mêmes variations.

3. Fonction exponentielle

Définition 11.3.

La fonction exponentielle de base e est la fonction continue pour tout réel x , notéex 7→ exp (x ), définie par exp′ (x ) = exp (x ) et exp (0) = 1 On note aussi exp (x ) = ex .

Soit a un réel strictement positif et différent de 1 ; on appelle fonction exponentielle debase a , la fonction continue sur R, définie par :

∀�

x , y�

∈R2 ,

¨

expa (x + y ) = expa (x )expa (y )expa (1) = a

.

Propriété 11.4. algébriques

• exp (1) = e et ∀ x ∈R, exp (x )> 0, c’est-à-dire e1 = e et ex > 0.• Pour tout réel r , pour tout réel x et y ,

er x = (ex )r , e−x ex = 1 , ex+y= ex ey , ex−y =ex

ey.

• Pour tout réel x ,x < 0⇒ 0< ex < 1 , x > 0⇒ ex > 1.

Propriété 11.5. fonctionnelles

• La fonction exp est une bijection strictement croissante et continue surR à valeursdans ]0, +∞[.

• limx→−∞

ex= 0, limx→+∞

ex=+∞, limx→0

ex −1

x= 1.

• Croissances comparées

∀ α> 0 , ∀β > 0 , limx→+∞

eαx

xβ=+∞ et lim

x→−∞|x |βeαx = 0

et en particulier :

limx→+∞

ex

x=+∞ et lim

x→−∞x ex = 0.

• Pour toute fonction u dérivable sur un intervalle J à valeurs dans R, la fonctionexp ◦u est dérivable sur J et on a :

∀ x ∈ J ,�

x 7→ eu (x )�′

= u ′(x )eu (x ).

163


4. Fonction puissance

Définition 11.4.

Soit α ∈R, on appelle fonction puissance la fonction définie sur ]0, +∞[ par x 7→ xα.On peut prolonger cette fonction à des ensembles de définition plus vaste suivant lesvaleurs de α.

Propriété 11.6. Algébriques

• Pour tout réel x et y strictement positifs, pour tout réel α,

(x y )α = xα y α ,

�

x

y

�α

=xα

y α, x−1 =

1

x,�

xβ�α= xαβ et x−α =

�

x−1�α=

1

xα.

• Pour tout réel, x pour tout couple de réels�

α, β�

�

x ∈ ]0, 1[ et α< β�

⇒ xβ < xα

�

x ∈ ]1,+∞[ et α< β�

⇒ xα < xβ .

• Pour tout couple de réels strictement positifs (x , y ) et pour tout réel α,�

α> 0 et x < y�

⇒ xα < y α

�

α< 0 et x < y�

⇒ y α < xα.

Î

Limites

limx→0>

xα =

¨

0 si α> 0+∞ si α< 0

et limx→+∞

xα =

¨

0 si α< 0+∞ si α> 0

.

5. Fonctions partie entière et partie décimale

• Soit x un nombre réel :– ou bien x est un entier relatif ;– ou bien il est compris entre deux entiers relatifs consécutifs.

C’est-à-dire, qu’il existe un unique entier relatif nx tel que nx ≤ x < nx +1. Cet entierest appelé la partie entière de x et se note bx c .

• On appelle parfois fonction partie décimale, la fonction d définie sur R par :

∀ x ∈R , d (x ) = x −bx c .

164

ExercicesFonctions usuelles

Exercices guidés

Exercice A (10 min.)

On considère les lignes d’instructions suivantes

clf () // Effaçage des repré sentations graphiquesx =[ -1:0.1:2]y=x.^2 -3*x+1plot(x,y)

1) Copier ces lignes dans une fenêtre SciNotes et les exécuter2) Rajouter les lignes d’instructions pour représenter

• les axes se coupant en l’origine• la courbe en vert• un rectangle de visualisation [−1, 3] × [−1.5, 5]• enfin pour doubler l’épaisseur du trait de la courbe et pour donner un titre à la

représentation3) Donner les instructions pour supprimer le rectangle de visualisation s’il est apparent et

pour représenter la courbe dans un repère orthonormé

Exercice B (15 min.)

En utilisant la commande function ... endfunction, représenter graphiquement dans unmême repère les fonctions définies par

• f (x ) =2 x +1

x 2−x +1sur [−1, 3]

• h (x ) =1

2f (x )−1 sur [−1, 3]

• g (x ) =2 |x |+1

x 2− |x |+1sur [−3, 3]

• k (x ) = f (2 x −1) sur [−1, 3]

Exercices

Exercice 1 (10 min.)

Représenter graphiquement sur [−1, 3] en utilisant Scilab, les fonctions f définies par :

1) f (x ) =x −1

x 2+x +12) f (x ) = x + ln

�

1+x 2�

165

EXERCICES



1) On reprend les fonctions f et g de l’exercice B. Que peut-on conjecturer pour la fonc-tion g ? Pourquoi ? Justifier.

2) On considère ci-dessous la courbe de la fonction h définie par

h (x ) = x + ln�

1+x +x 2�

.

En déduire une construction de la courbe de la fonction k définie par :

k (x ) =−|x |+ ln�

1− |x |+x 2�

.


En utilisant l’instuction deff(...), représenter graphiquement dans un même repère lesfonctions définies sur [−1, 2] par

1) f (x ) = x 2+12) g (x ) = x + ln

�

x 2+1�

3) h (x ) = x e−x 2


Effectuer les instructions suivantes :

clf () // Effaçage des figuresx =[0.01:0.1:5] ’plot2d (x ,[ log(x),log (2*x) ,2* log(x)] ,[1 ,6 ,15] , leg="ln(x)@ln (2*x)@3*ln(x)",

nax =[2 ,8 ,1 ,10] , rect =[0 , -2 ,5 ,3]);

1) Commenter les paramètres figurant dans l’instruction plot2d ; on se rendra dans lemenu d’aide de Scilab, pour voir ce que font les options leg et nax.

2) Donner un bloc d’instructions permettant d’obtenir la représentation graphique sui-vante. On pourra commencer par représenter la courbe de la fonction x 7→ ex .

3) Compléter les lignes d’instruction de la question 1) pour obtenir :

166


Exercices SCILAB

Exercice S1 (D’après ESCP) (30 min.)

On considère les suites (Un ) et (Vn ) définies pour n ≥ 2 par

Un =�

1+1

n

�n

et Vn =�

1−1

n

�−n

.

Par ailleurs, on admet que limX→0

ln(1+X )X

= 0

1) Soit f la fonction définie par : f (x ) = x ln

�

1+1

x

�

.

a) Étudier les variations de f sur son ensemble de définition. Dresser son tableau devariations et préciser les asymptotes à la courbe de C de f .

b) Écrire un bloc d’instruction sur SciNotes et représenter dans Scilab la courbe de lafonction f ainsi que ses asymptotes dans un rectangle de visualisation défini par−8≤ x ≤ 8, −0.5≤ y ≤ 3.

c) Compléter le programme précédent pour représenter graphiquement les termesdes suites (u n ) = (lnUn ) et (vn ) = (ln Vn ) pour n ∈ [[2, 8]].

2) Utiliser la question précédente pour justifier que les deux suites (u n ) et (vn ) sont adja-centes. Déterminer leur limite commune L ?

3) Dans la console Scilab, écrire une ligne d’instruction pour écrire les valeurs de u 100 etde v100. Que peut-on dire de L ?

Exercice S2 (D’après ESCP 1995) (15 min.)

Montrer que pour tout réel x ∈ ]0, 1[, x x (1−x )1−x ≥1

2. Représenter avec Scilab la fonction

f : x 7→ x x (1−x )1−x définie sur ]0, 1[ et exp( f ).

167

EXERCICES

CorrigésFonctions usuelles

Corrigés des exercices guidés

Exercice A

Méthode

1. Pour représenter graphiquement une fonction avec l’instruction plot(), on donne lamatrice des valeurs des abscisses x, on écrit la matrice des ordonnées y en fonction dela matrice des abscisses ; l’instruction plot(x,y) renvoie graphiquement l’ensemble despoints de coordonnées x, y sous forme de trait continu.2. Pour modifier les axes, la couleur de la courbe ou l’épaisseur des traits, on peut utiliserles attributs des bibliothèques gca() et gce() dont les plus usuelles sont données dans cetexercice.

1) On recopie et on effectue.Suivant la configuration initiale de l’interface graphique, la représentation n’est pas néces-

sairement la même pour tout le monde. En particulier, les axes peuvent être tracés et répondre,en partie, à la question suivante.

Sans configuration préalable de l’interface graphique, la courbe est tracée en bleu dans unrectangle de visualisation apparent limité pour les abscisses par les valeurs données à x, etpour y par les valeurs correspondantes.

2) On utilise les "handle" pour les axes et la fenêtre, a=gca(), et pour la courbe, e=gce().Pour être interprétés, les handle doivent être consécutifs à l’instruction "plot".

clf () // Effaçage des repré sentations graphiquesx =[ -1:0.1:2]y=x.^2 -3*x+1plot(x,y,"g")a=gca () // Axes et rectangle de visualisationa. data_bounds =[ -1 , -1.5;3 ,5] // le rectangle des données

// est [xmin , yminb ; xmax , ymax]a. x_location =" origin "a. y_location =" origin "e=gce () // Repré sentation de la courbee. children (1). thickness =2 // é paisseur du traitxtitle (" Courbe de f(x)=x^2 -3x+1")

3) Si le rectangle de visualisation n’est pas apparent, l’instruction a.box="off" ne changerarien.

clf () // Effaçage des repré sentation graphiquesx =[ -1:0.1:3]

168

CORRIGÉS


y=x.^2 -3*x+1plot(x,y,"g")a=gca () // Axes et rectangle de visualisationa. x_location =" origin "a. y_location =" origin "a.box="off" // Suppression du rectangle de visualisation

// s’il est apparente=gce () // Repré sentation de la courbee. children (1). thickness =2xtitle (" Courbe de f(x)=x^2 -3x+1")isoview ( -3 ,3 , -1.5 ,5) // repère orthonorm é

// [xmin , xmax , ymin , ymax]

Nous laissons le soin au lecteur de saisir et d’effectuer ces instructions.

Exercice B

Méthode

Pour représenter graphiquement une fonction avec l’instruction plot(), on peut aussiécrire la fonction enutilisant "function ... endfunction" ; une autre méthode décritedans l’exercice 3, consiste à utiliser "deff(...)". Cette méthode est particulièrementéconomique si on doit utiliser la fonction plusieurs fois comme dans cet exercice

On doit représenter plusieurs fonctions construites à partir d’une seule fonction, la fonction f.Il est alors commode de la définir pour l’utiliser dans l’instruction plot.

Par exemple, en utilisant l’exercice 1

clf () // Effaçage des figuresfunction y=f(x)y=(2*x +1)./( x.^2 -x+1)endfunctionx =[ -1:0.1:3] // Valeurs de xplot(x,f(x),"b",x,f(abs(x)),"y",x ,1/2* f(x)-1,"r",x,f(2*x -1) ,"g")a=gca ()a. x_location =" origin "a. y_location =" origin "a.box="off"e=gce () // Repré sentation de la courbee. children (1). thickness =2 // La courbe 1 est la courbe

// de x --> f (2x -1)e. children (2). thickness =2e. children (3). thickness =2e. children (4). thickness =2

Un inconvénient : les courbes ne se superposent pas ; la dernière efface les précédentes. Parexemple, la courbe de x 7→ f (x ) et celle de x 7→ g (x ) doivent se superposer sur l’ensemble desréels positifs ; or sur la représentation graphique, on ne voit pas la courbe de f mais seulementcelle de g sur [0, 3] . Pour éviter ce désagrément, on peut représenter graphiquement la fonctionf dans une "autre texture" ; ci-dessous elle apparaît formée de croix :

plot(x,f(x),"b+",x,f(abs(x)),"y",x ,1/2* f(x)-1,"r",x,f(2*x -1) ,"g")

Nous laissons le soin au lecteur de saisir et d’effectuer ces instructions.

169


Corrigés des exercices

Exercice 1On utilise les instructions de base de l’exercice A ; pour la première fonction on écrit :

clf () // Effaçage des repré sentations graphiquesx =[ -1:0.1:2]y=(x -1)./( x.^2+x+1)plot(x,y)

Pour la seconde fonction, on remplace

y=(x -1)./( x.^2+x+1)

par

y=x+log (1+x.^2)

On peut utiliser les « handle » pour avoir une représentation graphique plus conforme à cequ’on attend. Nous laissons le soin au lecteur de saisir et d’effectuer ces instructions.

Exercice 21) Nous constatons que la courbe de g est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et

qu’elle coïncide avec celle de f pour des valeurs de x positives.2) La fonction k est une fonction paire ; donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe

des ordonnées.Pout x ≤ 0, −|x |= x , donc la courbe de h et de k coïncident dans le troisième et quatrième

quadrant. Il en résulte que la courbe de k coïncide avec celle de h pour x ≤ 0 et est symétriquepar rapport à l’axe des ordonnées. On vérifie avec Scilab :

170

CORRIGÉS


Exercice 3On remarque que les fonctions g et h sont définies par :

g (x ) = x + ln�

f (x )�

et h (x ) = x exp�

− f (x )+1�

.

On peut donc écrire le programme suivant :

clf () // Effaçage des figuresdeff(’y=f(x)’, ’y=x .^2+1 ’)x =[ -1:0.1:2] // Valeurs de xplot(x,f(x),"b",x,x+log(f(x)),"g",x,x.* exp(-f(x)+1) ,"r")a=gca ()a. x_location =" origin "a. y_location =" origin "a.box="off"e=gce () // Repré sentation de la courbee. children (1). thickness =2 // La courbe 1 est la courbe de x --> x*exp(f(x) -1)e. children (2). thickness =2e. children (3). thickness =2

Nous laissons le soin au lecteur de saisir et d’effectuer ces instructions

Exercice 41) Expliquons les différents arguments :[1,6,15] est un code de couleur pour chacune des trois courbes : 1 pour noir, 6 pour mauve,

15 pour vert foncé.leg est la légende ; on notera qu’on ne voit pas la dernière légende.nax est le rectangle des graduations sur les axes : l’axe des abscisses comporte 8 graduations

et 2 sous-graduations ; l’axe des ordonnées comporte 10 graduations et 1 sous-graduation.rect est le rectangle de visualisation [xmin, ymin, xmax, ymax] qui ne coïncide pas forcément

avec le rectangle des données "a.data_bounds".2) On peut utiliser les handles

clf ();x =[1:0.1:4] ’;plot2d (x-2, exp(x),1, nax =[0 ,7 ,2 ,8] , leg="exp(x+2)");a=gca (); // Param ètres des axesa. x_location = " origin "; // Position des axesa. y_location = " origin ";a. isoview =’off ’; // Le repère est orthogonal mais pas orthonorm ée=gce () // Param ètres de la courbee. children (1). foreground = 25 // Couleur de la courbee. children (1). thickness = 3; // ... et é paisseur du traitleg = a. children (2); // La courbe est le premier enfant ,

// la legend est le deuxi ème enfantleg. font_style = 5; // Style de la lé gende : caract ères pench ésleg. line_mode = "on" // La lé gende est dans une boiteleg. legend_location =" in_upper_left " // Sa position est en haut à gauche

3) Par exemple

clf () // Effaçage des figuresx =[0.01:0.1:5] ’plot2d (x ,[ log(x),log (2*x) ,2* log(x)] ,[5 ,6 ,15] , leg="ln(x)@ln (2*x)@3*ln(x)",

nax =[2 ,8 ,1 ,10] , rect =[0 , -2 ,5 ,3]);a=gca () // param ètres des axes et des courbes

171


C1=a. children (1). children (1) // Les enfants 1 sont les trois courbes ;// celui -ci est le dernier écrit ,// c’est -à-dire la courbe de la// fonction x -> 2 ln(x)

C2=a. children (1). children (2)C3=a. children (1). children (3)C1. foreground =25C2. foreground =6C2. thickness =2C3. foreground =15C3. thickness =3L=a. children (2)L. line_mode ="on"L. legend_location =" in_upper_left "

Corrigés des exercices Scilab

Exercice S11) a) La fonction f est définie sur D = ]−∞,−1[∪]0,+∞[ ; sur cet ensemble D , la fonction

f est continue et 2 fois dérivable. Pour tout réel x ∈D

f′(x ) = ln

�

1+1

x

�

+x−

1

x

1+1

x

= ln

�

1+1

x

�

−1

x +1

et

f′′(x ) =−

1

x (1+x )

La fonction f′

est strictement croissante sur ]−∞,−1[ et strictement décroissante sur ]0,+∞[.Par ailleurs,

limx→−∞

f ′(x ) = 0 donc f ′ est strictement positive sur ]−∞,−1[ ; la fonction f est donc stricte-

ment croissante sur ]−∞,−1[.lim

x→+∞f ′(x ) = 0 donc f ′ est strictement positive sur ]0,+∞[ ; la fonction f est donc stricte-

ment croissante sur ]0,+∞[.Pour tout

x ∈D, f (x ) =ln

�

1+1

x

�

1

x

Il s’ensuit, en posant X =1

xque

limx→+∞

f (x ) = limx→−∞

f (x ) = limX→0

ln (1+X )X

= 1.

On a aussi :

limx→−1

x<−1

�

1+1

x

�

=+∞ donc limx→−1

x<−1

f (x ) =+∞.

172

CORRIGÉS


limx→0

x>0

f (x ) = limx→0

x>0

(x ln (1+x )−x ln(x )) = 0.

En résumé :

x

f ′(x )

f

−∞ −1 0 +∞

+ +

11 +∞ 0 11

La courbe de f admet donc une asymptote horizontale d’équation y = 1 et deux asymptotesverticales d’équation x =−1 et x = 0.

b) Par exemple,

clf () // Effaçage des figuresdeff(’y=f(x)’, ’y=x.* log (1+ ones(x)./x)’)x1 =[ -8:0.1: -1.1] // abscisses né gativesy1=f(x1) // Ordonn ées des points d’ abscisses né gativesx2 =[0.05:0.05:8] // Abscisses positivesy2=f(x2) // Ordonn ées des points d’ abscisses positivesu =[ -8:0.1:8] // abscisses des points de l’ asymptote horizontalev =[ -0.5:0.1:3] // ordonn ées des points de l’ asymptote verticale

// repré sentation graphiqueplot(x1 ,f(x1),’b’,x2 ,f(x2),’b’,u,ones(u),’g’,-ones(v),v,’g’,zeros (v),v,’g’)g=gce () // param ètres de la repré sentation graphiqueg. children (1). thickness =2 // é paisseur des traits de la courbeg. children (2). thickness =2 // et de ses asymptotesg. children (3). thickness =2 g. children (4). thickness =2g. children (5). thickness =2

La représentation graphique est laissée au soin du lecteur. Dans le prochain programme, ony rajoutera un titre.

c) On remarque que pour tout entier naturel n ≥ 2, u n = f (n ) et vn = f (−n ). Par exemple,faisant suite au programme précédent :

...g. children (5). thickness =2

// Repré sentation graphique des 7 premiers termes de chacune// des suites u et vX1 =[ -8: -2]; X2 =[2:8]plot(X1 ,f(X1),’r*’,X2 ,f(X2),’ro ’)xstring ( -7.5 ,2 ,[" Termes de v"])xstring ( -7.5 ,1.85 ,["représentés par des *"])xstring (0.5 ,1.3 ,[" Termes de u"])xstring (0.5 ,1.15 ,["représentés par des o"])

// Titrextitle (" Suites u et v")

2) Les valeurs des termes de la suite u sont les ordonnées des points représentés par des osur la courbe ci-dessus. La fonction f étant strictement croissante sur [2,+∞[, il en résulteque pour tout entier naturel n ≥ 2, f (n )< f (n +1) ; donc la suite u = (u n ) est croissante ; deplus, elle est majorée par 1, donc elle est convergente.

173


Les valeurs des termes de la suite v sont les ordonnées des points représentés par des * surla courbe ci-dessus. La fonction f étant strictement croissante sur ]−∞,−2], il en résulte quepour tout entier naturel n ≥ 2, f (− (n +1))< f (−n ) ; donc la suite v = (vn ) est décroissante ;de plus, elle est minorée par 1, donc elle est convergente.

Les calculs de limites de la première question nous donnent = lim u = lim v = 1.On a, pour tout entier naturel n , U n = exp (u n ) = exp ◦ f (u n ). La fonction f est strictement

croissante sur chaque intervalle de D et exp est strictement croissante sur R ; donc U eststrictement croissante sur R ; de plus, elle converge de limite eL = e ; de même, pour toutentier naturel n , Vn = exp (u n ) = exp ◦ f (vn ). La suite (vn ) est strictement décroissante ; pourtout entier naturel n , f (− (n +1))< f (−n ) ; par composition avec la fonction exponentielleVn+1 <Vn et V est strictement décroissante. Par ailleurs, comme ci-dessus par composition delimite, la suite V est convergente de limite eL = e.

Il en résulte que les deux suites U et V sont adjacentes.3) Par exemple,

-->disp ([ exp(f (100)) exp(f( -100))] , ’[U (100) V(100]= ’)

[U (100) V (100]=2.7048138294215 2.731999026429

Cet intervalle contient la limite commune des deux suites, c’est-à-dire e.

Exercice S2Pour tout réel x ∈ ]0, 1[, x x > 0 et (1−x )1−x > 0, donc x x (1−x )1−x > 0 ; il s’ensuit que le

problème revient à prouver que pour tout réel x ∈ ]0, 1[,

x lnx +(1−x ) ln(1−x ) ≥−ln 2 .

Soit f : ]0, 1[→R définie par f (x ) = x lnx +(1−x ) ln(1−x ) ; cette fonction est dérivable surson ensemble de définition et

f′(x ) = lnx +1− ln (1−x )−1 = ln

x

1−x.

Immédiatement,

f′(x )≥ 0⇔

x

1−x≥ 1 soit f ′(x )≥ 0⇔ x ≥

1

2.

La fonction f admet donc un minimum en1

2et f

�

1

2

�

= ln

�

1

2

�

=−ln 2 . Il en résulte que

pour tout réel x ∈ ]0, 1[, f (x )≥ ln 2 et par suite,

∀ x ∈ ]0, 1[ , x x (1−x )1−x ≥1

2

Nous donnons ci-dessous des instructions pour représenter sur Scilab la courbe de la fonctionf et de son exponentielle :

exp�

f�

: x 7→ x x (1−x )1−x

clf () // Effaçage des repré sentations gaphiquesx =0.01:0.01:0.99 // valeurs de xy=x.* log(x)+(1 -x).* ln(1-x) // ordonn ées de f

174

CORRIGÉS


plot(x,y,’-.’,x,exp(y) ,[0 1 -0.7 1])c=gce () // param ètres de la courbec. children (1). foreground =15 // Couleur de la courbe : vert foncéc. children (1). thickness =2 // Epaisseur du traitc. children (2). foreground =10 // Couleur de la courbe : bleu marinec. children (2). thickness =2 // Epaisseur du traitc. parent (1). grid =[6 6] // Grille de couleur fuchsia =6xtitle (’ Courbe d’’une fct f et de son exponentielle ’)xstring (0.42 ,0.35 ,[ ’ Courbe de exp(f) ’])xstring (0.44 , -0.52 ,[ ’ Courbe de f ’])

175

MATHSECE•1re annéeMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

Des ouvrages pour s’entraîner : – des rappels de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables et réviser

efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab

et des exercices complémentaires.

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B. Bourgeois

F. Delaplace

F. Fortain

Tout le programme

MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

MATHSECE•1re année

VUIBERT

SOMMAIRE1. Activités numériques – 2. Calcul algébrique – 3. Logique – 4. Ensembles et cardinaux 5. Calcul matriciel – 6. Systèmes d’équations linéaires – 7. Suites – 8. Espaces vectoriels 9. Étude locale – 10. Étude globale – 11. Fonctions usuelles – 12. Dérivée – Convexité et fonctions réciproques – 13. Intégration – 14. Séries numériques – 15. Espaces vectoriels 16. Probabilités discrètes – 17. Variables aléatoires discrètes – 18. Variables à densité.

En ligne :• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab• Exercices complémentaires

Les auteurs :Bénédicte Bourgeois est professeur agrégée de mathématiques en CPGE.François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

ISBN : 978-2-311-40286-5

www. .fr

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