Méthode non linéaire d'analyse sismique

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7 ème Colloque National AFPS 2007 – Ecole Centrale Paris Evaluation sismique des constructions:Nouvelle procédure d’analyse non-linéaire des structures Mourad Belgasmia* — Sabah Belgasmia* * Université de Béjaia Faculté des sciences et sciences de l’ingénieur Département de génie civil 12Rue des frères benmehdi 25000 Constantine Algérie [email protected] [email protected] RÉSUMÉ. Ce travail présente la méthode d’analyse non linéaire pour le calcul sismique des structures considérées par (l’Eurocode 8, 2003)(EC8). La première méthode est la procédure statique non-linéaire (pushover) qui est basée sur la méthode N2 développée par (Fajfar et al.,2003). La deuxième méthode est la méthode classique dynamique non linéaire. Cet article présente plus de détails par rapport à la première méthode, donne un aperçu sur les étapes à suivre pour l’implémentation d’un model non-linéaire en utilisant la méthode d’analyse statique monotone non linéaire dans le logiciel Z_Soil et présente un exemple d’application sur un bâtiment en béton armé. ABSTRACT. This work presents the nonlinear methods of analyses for seismic design of structures considered by (Eurocode 8, 2003) (EC 8). The first method is the nonlinear pushover procedure, which is based on the N2 method developed by (Fajfar & al.,2003). The second method is the classical nonlinear time history analysis. This paper studies the first method in more detail and gives an overview of the steps followed to implement state-of-the-art nonlinear models in Z_Soil and presents a test-bed application to a reinforced concrete building. MOTS-CLÉS : Analyse statique monotone non-linéaire, analyse dynamique, calcul sismique, sismique pour les ingénieurs. KEYWORDS: seismic engineering, seismic design, push-over analyses, time history analyses, nonlinear analyses. 1. Introduction Les codes du calcul sismique permettent aux ingénieurs d’utiliser soit une analyse linéaire ou non-linéaire pour le calcul des forces et des déplacements. En particulier l’Eurocode 8 qui contient 4 méthodes d’analyses: l’analyse statique simplifiée, l’analyse modale, l’analyse statique monotone non-linéaire et l’analyse dynamique non-linéaire. Les deux dernières méthodes non-linéaires demandent des modèles et des procédures non-lineaires avancées. Cet article donne un aperçu sur les étapes à suivre pour l’implémentation d’un model non-linéaire en utilisant la méthode d’analyse statique monotone non-linéaire et présente un exemple d’application sur un bâtiment en béton armé.

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7ème Colloque National AFPS 2007 – Ecole Centrale Paris

Evaluation sismique des constructions:Nouvelle procédure d’analyse non-linéaire des structures Mourad Belgasmia* — Sabah Belgasmia* * Université de Béjaia Faculté des sciences et sciences de l’ingénieur Département de génie civil 12Rue des frères benmehdi 25000 Constantine Algérie [email protected] [email protected] RÉSUMÉ. Ce travail présente la méthode d’analyse non linéaire pour le calcul sismique des structures considérées par (l’Eurocode 8, 2003)(EC8). La première méthode est la procédure statique non-linéaire (pushover) qui est basée sur la méthode N2 développée par (Fajfar et al.,2003). La deuxième méthode est la méthode classique dynamique non linéaire. Cet article présente plus de détails par rapport à la première méthode, donne un aperçu sur les étapes à suivre pour l’implémentation d’un model non-linéaire en utilisant la méthode d’analyse statique monotone non linéaire dans le logiciel Z_Soil et présente un exemple d’application sur un bâtiment en béton armé. ABSTRACT. This work presents the nonlinear methods of analyses for seismic design of structures considered by (Eurocode 8, 2003) (EC 8). The first method is the nonlinear pushover procedure, which is based on the N2 method developed by (Fajfar & al.,2003). The second method is the classical nonlinear time history analysis. This paper studies the first method in more detail and gives an overview of the steps followed to implement state-of-the-art nonlinear models in Z_Soil and presents a test-bed application to a reinforced concrete building. MOTS-CLÉS : Analyse statique monotone non-linéaire, analyse dynamique, calcul sismique, sismique pour les ingénieurs. KEYWORDS: seismic engineering, seismic design, push-over analyses, time history analyses, nonlinear analyses.

1. Introduction

Les codes du calcul sismique permettent aux ingénieurs d’utiliser soit une analyse linéaire ou non-linéaire pour le calcul des forces et des déplacements. En particulier l’Eurocode 8 qui contient 4 méthodes d’analyses: l’analyse statique simplifiée, l’analyse modale, l’analyse statique monotone non-linéaire et l’analyse dynamique non-linéaire. Les deux dernières méthodes non-linéaires demandent des modèles et des procédures non-lineaires avancées. Cet article donne un aperçu sur les étapes à suivre pour l’implémentation d’un model non-linéaire en utilisant la méthode d’analyse statique monotone non-linéaire et présente un exemple d’application sur un bâtiment en béton armé.

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2. Méthode non-linéaire d’analyse des portiques selon EC8

Eurocode 8 (EC8) inclut deux méthodes d'analyse non-linéaires : l’analyse statique monotone non-linéaire (pushover) et l’analyse dynamique non-linéaire. L'analyse statique monotone non-linéaire consiste en l’application monotone des charges latérales croissantes à la structure. Le modèle portique peut être en 2D ou en 3D, selon les propriétés de régularité du bâtiment. La procédure d’analyse statique monotone non-linéaire (pushover) dans EC8 suit l'approche développée par prof. Fajfar de l'université de Ljubljana, Slovénie (Fajfar et al 2003, 1999). Il considère deux répartitions des charges : une distribution uniforme et une répartition des charges modales. Les deux répartitions des charges sont montrées sur la Figure 1. En premier lieu, les répartitions des charges latérales appliquées sont augmentées et la réponse de la structure est tracée en termes de cisaillement à la base en fonction du déplacement au sommet de la structure. C'est la prétendue courbe capacité (également représentée sur la Figure2).

d1

1

F2i=m

i!1i

2

d2

F1i=m

i

Base Shear Vb

Ba

se S

hea

rd

1

2

Vb

Top Displacement Figure 1 Distributions de charges pour l’analyse statique non-linéaire selon EC8 et la courbe de capacité

La courbe de capacité est alors transformée en une réponse d'un système équivalent de SDOF (un seul degré de liberté, voir Figure 2).

2

i i

i i

m

m

!

!" =##

Vb

d

Vb

d

*

*

bV

F

dd

="

="

*F

*d

*F

*d

2

i i

i i

m

m

!

!" =##

Vb

d

Vb

d

*

*

bV

F

dd

="

="

*F

*d

*F

*d

Figure 2 Transformation de la courbe de capacité en une réponse SDOF

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*F

*

yF

*d*

yd*

md

*

md = Estimated target displacement

*d*

yd*

md

*

*

F

m g

Capacity Spectrum

Figure 3 Linéarisation de la courbe de capacité et transformation en un spectre de capacité

En second lieu, les courbes non-linéaires de capacité sont linéarisées, et pour cela on peut employer la méthode d'énergie égale. La courbe linéarisée est alors transformée en un spectre de capacité en normalisant la force, par le biais de *

m g , avec *m est la masse du SDOF équivalent. Les deux étapes sont montrées sur le

Figure 3. En conclusion, le déplacement cible est déterminé en comparant le spectre de capacité et le spectre de calcul (ou le spectre de demande). La comparaison est commodément effectuée sur le spectre de réponse en format ADRS (acceleration displacement response spectrum ), représentée sur le Figure 4

SD (m)

SA /g

TC

T*>TC

T*

*

yd * *

t etd d=

T* medium-long

SD (m)

SA /g

TC

T*<TC

T*

*

yd *

etd *

td

T* small

Figure 4 Transformation de la courbe de capacité en une réponse SDOF dans un format ADRS

La comparaison entre les deux spectres n'est pas immédiate, parce que le spectre de calcul est élastique linéaire. EC8 suit une approche simplifiée afin de comparer les deux spectres. Pendant de longues périodes, EC8 propose des déplacements maximums égaux pour les oscillateurs linéaires et élastiques parfaitement plastique (EPP). Pendant les périodes courtes, EC8 propose une énergie égale entre les deux oscillateurs. En conclusion, le déplacement cible du système non-linéaire équivalent (SDOF) est :

a) CTT <

* (périodes courtes)

a1) ( )***/ TSmF ey ! ! la réponse demeure élastique linéaire, avec !

=

"=N

i

iimm

1

* **

ettdd =

a2) ( )***/ TSmF ey < ! la réponse entre dans le plateau non-linéaire

****))/)(1(1)(/( etcuuett dTTqqdd !"+= Avec ( ) )//( ***

mFTSq yeu <

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b) CTT !

* (périodes moyennes et longues) **

ettdd =

Le déplacement cible au sommet du bâtiment est obtenu en inversant la transformation sur in Figure 2, i.e. *

ttdd != La procédure ci-dessus a été mise en application dans le logiciel Z_Soil. Une fois la réponse non-

linéaire de capacité du bâtiment est déterminée, le programme calcule le déplacement cible du point de référence au plancher supérieur. La méthode non-linéaire d'analyse dynamique consiste en l'application d’un spectre des séismes (naturels ou générés) compatible avec EC8 au modèle structural. Si trois séismes sont employés, c’est la valeur maximale des quantités de réponses (forces, déplacements, déformations, etc...) qui est utilisée dans le calcul, si par contre sept séismes au minimum sont employés, dans ce cas c’est la réponse moyenne qui est prise en compte dans le calcul.

3. model non-linéaire d’un portique dans le logiciel Z-soil

Deux modèles de portique en 3D sont mis en application dans la version ß du nouveau programme de Z_Soil, qui inclut toutes les possibilités de la dynamique. Le premier est un deux nœuds classique, basé sur les déplacements, de l’élément portique d'Euler Bernoulli. Le second est un deux nœuds, basé sur les forces, de l’élément portique d'Euler Bernoulli. L'avantage principal du deuxième élément est qu'il est "exact"; on aura pas besoin de discrétiser notre modèle portique en plusieurs éléments poutres mais un seul élément suffit. Ce qui permet d’avoir une réduction du nombre global de degrés de liberté. La théorie complète sur l'élément basé sur les forces est trouvée dans (Spacone et al., 1996). Pour décrire la réponse de section, les deux éléments emploient une discrétisation de fibre. Dans l'exécution actuelle, des lois constitutives uniaxiales simples ont été mises en application pour le béton et l'acier. Les deux éléments incluent des non-linéarités matérielles et géométriques. Les non-linéarités matérielles dérivent des lois constitutives non-linéaires de fibre. Les non-linéarités géométriques sont inclues dans le cadre de la formulation co-rotationnelle, ces dernières sont importantes pour des analyses effectuées jusqu'à l'état limite d'effondrement.

4. Application

La réponse non-linéaire du modèle 3D d'un bâtiment existant est présentée comme première application des nouvelles possibilités dans le logiciel Z_Soil. Le bâtiment est un bâtiment résidentiel à deux étages en béton armé dans Bonefro, Italie. C'est un exemple de construction de bâtiments résidentiel typique en Italie, des années 70 et des années 80. Le bâtiment est montré sur la Figure 5. Le spectre de calcul pour le bâtiment a été obtenu à partir de l’EC8 en utilisant les propriétés locales et l'accélération maximale au sol qui sont données par la nouvelle carte séismique italienne. Le bâtiment est régulier en élévation mais irrégulier dans le plan en raison de la position excentrique des escaliers. La courbe de capacité du bâtiment dans la direction x est montrée sur la Figure 6. La détermination du déplacement cible est montrée sur le Figure 7, ce dernier atteint une valeur de 0.06 m pour le système non-linéaire équivalent SDOF et la valeur de 0.075 m (! * 0.062, avec ! =1.2) au sommet du bâtiment pour le système MDOF.

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courbe de capacité

0.00E+00

2.00E+02

4.00E+02

6.00E+02

8.00E+02

1.00E+03

1.20E+03

1.40E+03

1.60E+03

0.00E+00 1.00E-01 2.00E-01 3.00E-01 4.00E-01 5.00E-01 6.00E-01 7.00E-01

déplacement (m)

eff

ort

de

cis

ail

lem

en

t (k

N)

Z_soil

Figure 6 Réponse statique non-linéaire du modèle 3D sous une charge de distribution modale ibution in x direction

X

Figure 5 Bâtiment de deux étages «Bonefro» utilisé pour l’analyse

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0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

Sd (m)

Sa/g

demande Spéctrale

Plastiquedemande Spéctrale

Elastique Réponse Elastique

Réponse Spéctrale

Curviline Réponse Spéctrale

Bilinéaire

Afin de faire une analyse dynamique non-linéaire, et de comparer les résultats à ceux obtenus par l'analyse statique non-linéaire, la première étape est de choisir un ensemble de spectre des séismes compatible avec EC8. Dans cette application, trois séismes générés artificiellement sont employés. Les séismes sont produits en utilisant un programme basé sur la théorie présentée dans (Sabetta et al., 1996). Les données d'entrées les plus importantes sont la distance épicentrale, la magnitude et le type de sol. Dans notre cas, la magnitude est de 6.02, la distance épicentrale est de 22.8 kilomètres et le sol est de type peu profond. On obtient donc trois séismes dont les spectres de réponse sont montrés dans la Figure 8. La Figure 9 compare le spectre moyen aux trois spectres séparés.

Figure 7 Déplacement cible de la réponse statique non-linéaire

déplacement cible

pour SDOF

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7ème Colloque National AFPS 2007 – Ecole Centrale Paris 7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

period (s)

acceleration (m/s2)

accelelogram close to eurocode spectrum in normal scale

La réponse dynamique au sommet de la structure est montrée sur la Figure 10, 11 et 12. Les trois réponses montrent un déplacement résiduel à la fin de l’analyse dynamique, indiquant une réponse non-linéaire dans une partie du bâtiment. Le déplacement résiduel est plus grand sous le séisme 1. Les déplacements maximums dus aux trois séismes sont de 0.0725, 0.032, 0.053 mètres. Puisque seulement trois séismes sont employés, le déplacement de calcul est de 0.0725 m.

spectre moyen & spectre du séisme1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

période(s)

ac

léra

tio

n(m

/s2

)

spectre moyen

spectre du séisme1

Figure 8 Accélerogramme spectrale généré et le spectre de EC8

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spectre moyen & spectre du séisme2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

période(s)

ac

léra

tio

n(m

/s2

)

spectre moyen

spectre du séisme2

spectre moyen & spectre du séisme3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

période(s)

ac

léra

tio

n(m

/s2

)

spectre moyen

spectre du séisme3

Figure 9 Vérification si les spectres des séismes générés collent au spectre moyen

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-8.00E-02

-7.00E-02

-6.00E-02

-5.00E-02

-4.00E-02

-3.00E-02

-2.00E-02

-1.00E-02

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

7.00E-02

0.00E+00 2.00E+00 4.00E+00 6.00E+00 8.00E+00 1.00E+01 1.20E+01 1.40E+01 1.60E+01 1.80E+01

temps(s)

pla

ce

me

nt(

m)

Z-soil

-3.50E-02

-3.00E-02

-2.50E-02

-2.00E-02

-1.50E-02

-1.00E-02

-5.00E-03

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

0.00E+00 2.00E+00 4.00E+00 6.00E+00 8.00E+00 1.00E+01 1.20E+01 1.40E+01 1.60E+01 1.80E+01

temps(s)

déplacement(m)

Z-Soil

Figure 10 Réponse du bâtiment Bonefro au séisme1 appliqué dans la direction x

Figure 11 Réponse du bâtiment Bonefro au séisme2 appliqué dans la direction x

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10 7ème Colloque National AFPS 2007 – Ecole Centrale Paris - 023

-6.00E-02

-5.00E-02

-4.00E-02

-3.00E-02

-2.00E-02

-1.00E-02

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

0.00E+00 2.00E+00 4.00E+00 6.00E+00 8.00E+00 1.00E+01 1.20E+01 1.40E+01 1.60E+01 1.80E+01

temps(s)

déplacement(m)

Z-Soil

5. Conclusion

La méthode statique non-linéaire est un outil très important pour les ingénieurs grâce à ses avantages ; à savoir la rapidité de diagnostiquer les structures, par le biais de la puissance graphique de la procédure. Ainsi que la possibilité de permettre aux concepteurs de suivre de plus près la réponse non-linéaire des bâtiments et des ponts. C’est une procédure qui nous permet d’éviter le calcul fastidieux de la dynamique non-linéaire.

Une étude approfondie est en marche pour la pleine exécution des éléments et des possibilités mentionnées ci-dessus dans le logiciel Z_Soil. En particulier:

- Applications simultanées des séismes dans deux directions horizontales avec la comparaison des résultats de la procédure statique non-linéaire à ceux de la dynamique non-linéaire.

-Extension de la procédure statique non-linéaire tout en incluant un modèle du sol.

6. Bibliographie

Eurocode 8, «Design of Structures for Earthquake Resistance», European Committee for Standardization, 2003.

Fajfar P., «Capacity Spectrum Method Based on Inelastic Demand Spectra », Earthquake Engineering and Structural Dynamics, no28,1999, p 979-993.

Fajfar P., «Structural Analysis in Earthquake Engineering – A Breakthrough of Simplified Non-Linear Methods. », Proc. 12th European Conference on Earthquake Engineering, 2002, P 843.

Spacone E.., Filippou F.C.., Taucer F.F.., «Fiber Beam-Column Model for Nonlinear Analysis of R/C Frames. I: Formulation, II: Applications. », Earthquake Engineering and Structural Dynamics, n025(7), 1996, p711-742.

Sabetta F., Pugliese A., «Estimation of Response Spectra and Simulation of Nonstationary Earthquake Ground Motions», Bulletin of the Seismological Society of America, n086(2) 1996, p337-352.

Figure 12 Réponse du bâtiment Bonefro au séisme3 appliqué dans la direction x