Méthode différentielle Mercredi 8 mars 2006 Principe, historique, recherches actuelles.
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Méthode différentielle
Mercredi 8 mars 2006
Principe, historique, recherches actuelles
Principe…
1. Réduction des équations de Maxwell à un système différentiel du premier ordre
z
(x) : zone modulée
x
y
M : superstrat
substrat
Résolution analytique des équations de Maxwell
Résolution analytique des équations de Maxwell
Résolution numérique des équations de Maxwell
…principe2. Intégration du système différentiel à travers
la zone modulée
3. Raccordement aux limites 4. Connaissance du champ
1. dans les zones homogènes2. dans la zone modulée
z
(x) : zone modulée
x
y
M : superstrat
substrat
Résolution analytique des équations de Maxwell
Résolution analytique des équations de Maxwell
Résolution numérique des équations de Maxwell Raccordement
aux limites
Comment obtenir un système différentiel ordinaire à partir des équations de Maxwell?
z
(x) : zone modulée
x
y
M : superstrat
substrat
E/H(x,y,z) : Comment calculer les dérivées partielles suivant x et z?
Le champ est invariant suivant z: la dérivée ∂/∂z est nulleLe champ est pseudo-périodique → développement en
séries de Fourier → fonction exponentielle suivant x: sa dérivée est très simple
Développement du champ en séries de Fourier
( , ) ( , )rot x y i x yH D
/ 2 / 2
/ 2 / 2
2 2ˆ( ) ( ) exp ( ') ( ) exp ( ')
d d
n n n nn nd d
rot y i y i n n x dx i y i n n x dxd d
H x H D
0
2( )exp ( )exp ,n n n n n
n n
rot y i x i y i x avec nd
H D
Il reste à exprimer Dn(y) en fonction de En(y)
0 n
ˆ( ) ( ) ( )
ˆ( ) ( ) ( ) ( )n n n n
n n n n
rot y i y i y
rot y i y i y i y
H x H D
E x E B H
( , ) ( , )rot x y i x y E B
ˆ( ) ( ) ( )exp expn n n nn n
n nrot y i y i yi x i x
H x H D
Factorisation de la relation de constitution,ou: « comment calculer les composantes de Fourier d’un produit de fonctions à partir des composantes de Fourier des fonctions? »
Relation de constitution Dans une base complète, règle de Laurent:
m nn=-
( ) ( ) ( )m ny y y
D E
Mais la base est tronquée:
La convergence du calcul dépend de la continuité de E:
converge seulement si E est continu (c.à.d en TE)
( , ) ( , ) ( , )x y x y x yD E
m nn=-
( ) ( ) ( )N
m nN
y y y D E
mm=-
0 n
ˆ( ) ( ) ( ) ( )
ˆ( ) ( ) ( )
N
n n n n mN
n n n
rot y i y i y y
rot y i y i y
H x H E
E x E H
en TE!!!!
Système différentiel
6x(2N+1) équations à 6x(2N+1) inconnues On isole les d/dy, on élimine les composantes [y,n] et [Ey,n]
et on obtient:
§ ̈ 0
ˆ
ˆ
n
n
rot i i
rot i i
H x H E
E x E H
4 (2 1)
z z
x x
z z
x x
E E
H HdM N
H Hdy
E E
z
x
z
x
E
H
H
E
F
Méthodes d’intégration
Si M dépend de y, l’intégration est numérique (Runge-Kutta, Adams Moulton…)
Si M est invariant suivant y, intégration suivant la méthode des valeurs et des vecteurs propres de M:
( ) (0)1MV V F F
( ) ( ) ( )d
y M y ydy
F F
exp( )mn m nmh
Raccordement aux limites…
,
,
,
,
exp( )
exp( )
exp( )
exp( )
z n n
z n n
z n n
z n n
E i y
H i y A
E i y A
H i y
Α
PF A
1 1( ) ( ) ( ) (0)( ) ( ) (0) (0)1 1 1( ) ( )
11 12
21 22
M M MM MP P V h V P V h V P
T TT
T T
A F F A144444444424444444443
, , ,
, , ,0
, , ,
, , ,
Milieu homogène, développement de Rayleigh:
exp( ) exp( )
exp( ) exp( )
exp( ) exp( )
exp( ) exp( )
z n z n n z n n
nx n z n n z n n
z n z n n z n n
nx n z n n z n n
E E i y E i y
H E i y E i y
H H i y H i y
E H i y H i y
20n n
1 1( ) (0) ( )
11 12 22 21 12 22
1 1(0) ( ) (0)
22 22 21
M M
M
T T T T T T
T T T
A A A
A A A
Et c’est fini!!Mais des problèmes numériques surgissent
lors de l’intégration
( )
11 12
21 22
(0)( )
M
A AT TMT TA A
A
… Raccordement aux limites
Données initiales
inconnues
Algorithme S Si la hauteur d’intégration est grande
relativement à la longueur d’onde, l’inversion numérique de la matrice T22 entraîne des problèmes numériques.
Pour palier ce problème, on utilise l’algorithme S introduit en 1994 dans la théorie des réseaux.
L’inversion unique de T22 est remplacée par de multiples inversions au cours de l’intégration
Réseaux de compression du laser Petawatt Réseaux blazés gravés sur un empilement
diélectrique:importance du profil sur le seuil d’endommagement laser
Développement à partir du milieu des années 60
En 1973, modélisation des réseaux diélectriques peu profonds en TE et TM
Réseaux métalliques : résultats fiables en TE mais faible convergence en TM
Réseaux profonds : problèmes dans les 2 polarisations
Historique. Années 70Naissance d’une méthode
Historique. Années 80Des solutions sont apportées, mais des difficultés persistent Problèmes d’intégrations numériques : Développement
(1981-1982) de la méthode RCW pour une intégration à partir des valeurs et des vecteurs propres de la matrice M (uniquement si M ne dépend pas de la variable d’intégration)
Extension de la méthode aux autres profils :1. Staircase approximation: incorrecte!!!2. Transformation non conforme du profil du réseau en un
plan (1982): bien adaptée aux réseaux sinusoïdaux Mais toujours pas de solution pour les réseaux profonds
et pour la polarisation TM Le doute s’instaure … en 1987, Depine et Simon mettent
en cause la validité de la formulation de la méthode en polarisation TM, à tort…
Historique-Années 90tout s’accélère …
1994:Introduction de l’algorithme S dans la théorie des réseaux:
Permet la modélisation des réseaux profonds,mais persistance des problèmes en TM
1996: Découverte empirique d’une formulation convergente de la méthode RCW en TM.
1996: Règles de factorisation convergentes dans une base de Fourier tronquée
Règles de factorisation Si E(x) est continu:Cas de la polarisation TE: Vecteur colonne contenant les composantes de Fourier de D(x): Matrice de Toeplitz des composantes de Fourier de (x)
Si D(x) est continu:Cas de la polarisation TM dans les réseaux lamellairesIl s’agit de la formulation empirique présentée en 1996
Si les 3 fonctions sont simultanément discontinues: pas de règles de factorisation convergenteEt c’est le cas de la polarisation TM dans un profil arbitraire !!!!La méthode différentielle est-elle condamnée à ne jamais converger en TM?
§ ̈ D E
§ ¨ 11/ D E
D§ ¨
Fast Fourier FactorizationRésout les problèmes de convergence en TM pour un profil arbitraire
§ ¨ § ¨ 1( ) C ( ) ( ) ( )y y C y y D E
1
2
1
2
E ( , )( , ). ( , )
( , ) ( , ). ( , ) D ( , )
( , ). ( , ) E ( , )
T
N
T
x yx y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
E T
F D N
E T
F(x) est une fonction continue!!
§ ¨ ( ) ( ) ( )y y yD EJusqu’en 1996:
A partir de 2000:
x
N(x,y)
T1(x,y)T2
N(x,y)
N(x,y)
N(x,y)
2000-2001: Formulation d’une méthode différentielle convergente en TM: la FFF (Fast Fourier Factorization)
( , ) ( , ) ( , )x y C x y x yE F
Pourquoi tant d’années pour énoncer une formulation convergente de la méthode?
2 problèmes indépendants:
1. Erreurs numériques lors de l’intégration,2. Factorisation non convergente,
mais qui se renforçaient mutuellement:
Plus on augmentait le nombre de coefficients de Fourier, plus
les termes en exp(±iny) explosaient rapidement.
Derniers travaux de l’équipe
r
z x
Zonemodulée
(r,)
• 2004: extension de la méthode FFF aux coordonnées cylindriques
z
(x) : zone modulée
x
y
M : superstrat
substrat
Derniers travaux de l’équipe
2004: généralisation des règles de factorisation à d’autres types de bases de fonctions
2005: Formulation d’une méthode différentielle en coordonnées cylindriques. Le champ est développé sur une base Fourier-Bessel
M r
z
x
y
O
1 2 3
Derniers travaux de l’équipe
-1000-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200SIVerre
Air
norme |E| du champ électrique
axe
z e
n n
m
axe x en nm
0.5000
0.6500
0.8000
0.9500
1.100
1.250
1.400
1.550
1.700
-400 -200 0 200 400
-400
-200
0
200
400 SI
Norme |E| du champ électriquereprésentation dans le plan Oxy en z=-30nm.
1.250
1.325
1.400
1.475
1.550
1.625
1.700
1.775
1.850
axe X en nmax
e Y
en
nm
Exemple de résultats sur un disque cylindrique
2005: Méthode différentielle en coordonnées sphériques
Développement du champ sur une base d’harmoniques sphériques
Extension aux milieux anisotropes
A venir : écriture du code numérique
Travaux effectués dans le laboratoire depuis