Methode Des Forces

Cours de - mécanique -

_______________________________________________

METHODE DES FORCES

ou

METHODE DES COUPURES

SOMMAIRE

1. GÉNÉRALITÉS SUR LA MÉTHODE DES FORCES (dite aussi méthode des coupures) ___________________ 3

1.1. LES BASES DU CALCUL .............................................................................................................................31.2. PRINCIPE DE LA MÉTHODE ........................................................................................................................3

1.2.1. EXEMPLE 1: POUTRE À TRAVÉE UNIQUE ENCASTRÉE EN A ET SIMPLEMENT APPUYÉE EN B 31.2.2. EXEMPLE 2 : POUTRE CONTINUE CONSTITUÉE DE 2 TRAVÉES. NOTÉE ( )S0 51.2.3. RAPPEL DE LA DÉFINITION DU DEGRÉ D'HYPERSTATICITÉ : L 81.2.4. ANALYSE DES COUPURES 8

2. APPLICATION DU THÉORÈME DE MÉNABRÉA À LA DÉTERMINATION DES INCONNUES HYPERSTATIQUES_______ 11

2.1. FORMULATION GÉNÉRALE.......................................................................................................................11

3. THÉORÈME DE PASTERNAK _________________________________________________________ 14

3.1. ENONCÉ ................................................................................................................................................143.2. DÉMONSTRATION ...................................................................................................................................15

4. ETUDE DES STRUCTURES GÉOMÉTRIQUEMENT SYMÉTRIQUES __________________________________ 16

4.1. DÉCOMPOSITION D’UNE STRUCTURE À GÉOMÉTRIE SYMÉTRIQUE, SOUMISE À UN SYSTÈME D’ACTIONSAPPLIQUÉ QUELCONQUE, EN UN SYSTÈME D'ACTIONS SYMÉTRIQUES ET UN SYSTÈME D'ACTIONSANTISYMÉTRIQUES. ................................................................................................................................16

4.2. PROPRIÉTÉS DES STRUCTURES CHARGÉES SYMÉTRIQUEMENT ET CHARGÉES ANTISYMÉTRIQUEMENT.......174.3. CAS DES PORTIQUES À TRAVÉES MULTIPLES ...........................................................................................19

4.3.1. ETUDE DES STRUCTURES À GÉOMÉTRIE ET CHARGEMENT SYMÉTRIQUES ( )Ssym 19

4.3.2. ETUDE DES STRUCTURES À GÉOMÉTRIE SYMÉTRIQUE ET CHARGEMENT ANTISYMÉTRIQUE ( )Santisym 21

5. CHAMP D'APPLICATION DE LA MÉTHODE DES COUPURES, AVANTAGES SUR LA MÉTHODE DES ROTATIONS ET PLUSGÉNÉRALEMENT LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS _____________________________________________24

6. APPLICATIONS _________________________________________________________________24

R.d.M. Méthode des forces (ou des coupures). LT « le Garros » AUCH Ch. ALBOUY, Page n°3/24

1. GENERALITES SUR LA METHODE DES FORCES (dite aussi méthode des coupures)

1.1. Les bases du calcul

• Les déplacements seront déterminés par l'utilisation du théorème de Muller-Breslau

• Le principe de superposition

C'est donc une méthode dite du premier ordre (les instabilités élastiques sont exclues), utilisée dans le cadre de la théorie des poutres.

1.2. Principe de la méthode

Nous allons commencer par étudier des structures hyperstatiques simples pour nous représenterphysiquement les différentes étapes de la méthode que nous allons utiliser.

1.2.1. Exemple 1: poutre à travée unique encastrée en A et simplement appuyée en B

p

L

A B

Soit ( )S0 une poutre hyperstatique constituéed'une travée AB, encastrée en A et simplementappuyée en B, chargée uniformément par p.Le degré d'hyperstaticité est égal à 1.EI cteGz =

Choisissons YB comme inconnue hyperstatique (coordonnée de l'action de contact en B / repère global).Nous pouvons visualiser cette action en éliminant le dispositif d'appui.

Nous constatons que cette opération a transformé la structure initiale hyperstatique en une console (poutre

isostatique) soumise à la charge répartie p connue ainsi qu'à l'inconnue hyperstatique YB . Soit ( )S B00 cette

nouvelle structure.

p

L

A B

y

x

YB Y

( ) ( )S S B0 00⇔

L'équivalence mécanique sera effective si la

coordonnée YB de ( )S B00 est identique à celle de ( )S0 .

Il est équivalent de dire que le déplacement de B dans

( )S B00 est nul.

( ) ( )S SB B00

00 0⇔ =∆

Appliquons le principe de superposition ( ) ( ) ( ) ( )S S S Y SB B B0 00

00 0= = + . avec ∆B

0 0=


p

L

A B

y

x

∆ B00

Système ( )S00

Le déplacement du point B sera noté ∆B00

L

A B

x

YB Y

δBB Y0 .y

Système ( )Y SB B. 0

Le déplacement du point B sera notéYB BB.δ0

En appliquant le principe de superposition ∆ ∆ ∆B B B B BBY= = + =00

0 0 0.δ YBB

BB

= −∆ 0

0

0δ

p

L

A B

y

x

∆100

Pour généraliser la méthode on préfèrerecourir à des nombres pour les indices.Le point B devient 1.

Le système ci-contre sera noté ( )S00

L

A B

xy

δ110

1Le système ci-contre sera noté ( )S1

0

( ) ( ) ( ) ( )S S S X S0 010

00

1 10= = + . ∆ ∆ ∆1 1

0100

1 110 0= = + =X .δ X1

100

110= −

∆δ

X YB1 =


Les déplacements ∆100

110;δ seront cherchés dans un formulaire ou calculés par application du théorème de

Muller-Breslau. En négligeant la déformation due à l'effort tranchant, ∆100

4

8= −

pLEIGz

,δ110

3

3=

LEIGz

, Nous en

déduisons que : X pL1

38

= avec X YB1 = .

1.2.2. Exemple 2 : poutre continue constituée de 2 travées. notée ( )S0

p

L

0

L

1 2

1 2

EI cteGz =

p

L

0

L

1 2

1 2

X1 YYX

si le déplacement du point 1 est nul∆1

01 0= alors

la structure ci-contre ( )⇔ S0

ici X Y1 1=

p

L

0

L

1

2

1 2

YX

X1 Y


si le déplacement du point 2 est nul∆1

02 0=ici X Y1 2=

p

L

0

L

1 2

1 2X1 Y

YX


si le déplacement du point 0 estnul∆1

03 0=X Y1 0=

Pour les 3 structures précédentes, l'inconnue hyperstatique est une action de contact extérieure. Il seraitplus intéressant de prendre comme inconnue hyperstatique une grandeur telle que le moment de flexion surl'appui 1 par exemple.


p

L

0

L

1 2

1 2

M1 Z M1 Z

Y X

Soit ( )S010 la structure ci-contre,

( ) ( )S S010

0⇔ si M1 correspondau moment de flexion sur l'appui 1

de ( )S0 .

p

L

0

L

1 2

1 2

Y XX1 X1 Z Z ( )S01

0

avec X M1 1=

p

L

0

L

1 2

1 2

Y X∆10

0

θ10e

θ10w

= −θ θ10

10e w

système ( )S00

Lorsque nous traversons l'appui 1,de la travée 1 à la travée 2, lavariation de rotation de la sectiondroite s'exprime par θ θ1

010e w−

On remarque que θ θ10

10

100e w− = −∆

car ∆10 est mesuré sur les couples

unitaires de ( )S10 , ∆10

0 0>

L

0

L1 2

Y X 1 11 2δ110 système ( )S1

0

Nous avons toujours δ110 0> , et la

variation de rotation en traversantl'appui 1 est négative

( ) ( ) ( ) ( )S S S X S0 010

00

1 10= = + . ∆ ∆ ∆1 1

0100

1 110 0= = + =X .δ

∆ ∆1 10= signifie qu'avant la coupure (mise en place de l'articulation sur l'appui 1) la variation de la rotation à

travers l'appui 1 était nulle, la rotation de la section droite variait continûment sur cet appui, la tangente à laligne moyenne déformée était identique de chaque coté de l'appui.

M X1 1100

110= = −

∆δ δ11

0 1 2

3=

+L LEIGz

( )

∆100 1

323

24=

+p L LEIGz

( )( )X

p L L

L L113

23

1 28= −

+

+


Remarque : autre représentation des inconnues hyperstatiques

Disposons, sur l'appui 1, les 2 couples notés X1 , remarquons que la représentation de ces couples n'estplus vectorielle. X1 est une intensité algébrique, sa valeur est positive pour le sens indiqué. X1 et sareprésentation sont intrinsèquement liés. Ici X M1 1= − : X1 est l'opposé du moment de flexion

p

L

0

L

1 2

1 2

Y XX1 X1

p0 1 2Y X

0Y X 1 11 2δ11

0

∆100

θ10e

θ10w

= −θ θ10

10e w

On peut interpréter le résultat en disant que si X1 0> , les couples à appliquer de chaque coté de l'appui 1doivent être de même sens que les couples unitaires et inversement.

Dans notre exemple ci-dessus, on trouvera effectivement X1 0> ; d’où un moment de flexion M1 0< car

M X1 1= − .


1.2.3. Rappel de la définition du degré d'hyperstaticité : LOn décompose la structure en b barres, soit i le nombre d'inconnues de liaison,

L i b= − 3 pour les structures planes

1.2.4. Analyse des coupuresLes coupures permettent de transformer une structure hyperstatique en une structure isostatique. Nous

nous plaçons dans le cadre des structures planes à plan moyen de symétrie, chargée dans ce plan. Dans une

section droite, le torseur de cohésion est de la forme ( ) { }

( )

G x

G x

y

z

TNV

M=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

00

0

Les coupures à l'intérieur d'une structure sont de 3 types

• coupure simple permettant de libérer une sollicitation

Soit un tronçon de poutre

X1 X1 X1 X1Placer une rotule ou articulation enun point permet de libérer lemoment de flexion. Pour rétablir lacontinuité, on exerce 2 couples quipeuvent s'exprimer en fonction dumoment de flexion en ce point.

X1

X1

X1

X1

X1

X1

Cette coupure permet de libérerl'effort normal; pour rétablir lacontinuité, on exerce 2 forces quipeuvent s'exprimer en fonction del'effort normal en ce point.

X1

X1

X1 X1Cette coupure permet de libérerl'effort tranchant; pour rétablir lacontinuité, on exerce 2 forces quipeuvent s'exprimer en fonction del'effort tranchant.

• coupure double permettant de libérer 2 sollicitations

• coupure totale permettant de libérer les 3 sollicitations


Exemple : Soit le portique bi-encastré, cette structure hyperstatique est de degré 3. Pour obtenir unestructure isostatique, nous devons pratiquer soit 3 coupures simples, soit 1 coupure simple et une coupuredouble ou bien une coupure totale.

A

B E C

D

Soit le repère global

X

Y

Z

Soit ( )S

A

B E C

DX1

X2

X2

X3A

B E C

DX1

X2 X2

X3

( )S 01 X M X M X MAenc

B Denc

1 2 3= = =, , ( )S 02 X M X M X MA E Denc

1 2 3= = =, ,

A

B E C

D

X2 X2

X1X3

A

B E C

D

X1

X2

X2

X3

( )S 03 X M X V X MAenc

yE Denc

1 2 3= = =, , ( )S 04 X M X N X MAenc

E Denc

1 2 3= = =, ,


A

B E C

D

X1 X3X2

A

B E C

D

X1

X2

X2

X3X3

( )S 05 X M X X X MAenc

D Denc

1 2 3= = =, , ( )S 06 X M X V X MAenc

yE E1 2 3= = =, ,

A

B E C

DX1

X3 X2A

B E C

D

X1

X2

X2

X3X3

X1

( )S 07 X X X M X YA Aenc

A1 2 3= = =, , ( )S 08 X N X V X ME yE E1 2 3= = =, ,

Remarque: Soit A un noeud rigide (on dit aussi indéformable), point de concours de n barres. Si on place ence point une articulation, on abaisse le degré d'hyperstaticité de n−1.

AA A

AX1

X2 X3

X1+X2+X3Dans l'exemple ci-contre, nous faisonsapparaître 3 inconnues hyperstatiques.


2. APPLICATION DU THEOREME DE MENABREA A LA DETERMINATION DES INCONNUESHYPERSTATIQUES

2.1. Formulation générale

Soit ( )Sik l'exposant k représente l'état géométrique de la structure étudiée.

L'indice i représente l'état mécanique, les actions appliquées sur la structure.

Soit ( )Sik le surlignage représente l'application d'un facteur sollicitant unitaire. Celui-ci peut être

une force unitaire ou un torseur couple unitaire ou un couple (ou doublet ou binôme) d'actions unitairesréciproques.

Soit la structure étudiée S , de degré d'hyperstaticité n, soumise à un système d'actions (le chargement sera

représenté par l'indice 0): ( )S0 . Dans la mesure où les équations de la statique ne permettent pas de calculerles efforts ou les sollicitations dans la structure hyperstatique, on va commencer par la rendre isostatique.

On associe donc à S une structure isostatique S 0 en supprimant n liaisons externes ou internes. On

effectue n coupures dans la structure S . Sous l'effet des charges appliquées ( )S00 la structure rendue

isostatique va se déformer et des déplacements vont se produire, en particulier, là où des liaisons ontété supprimées: déplacements effectifs au droit des liaisons externes supprimées, déplacementsrelatifs des lèvres de la coupure au droit des liaisons internes supprimées.

Or, dans la structure hyperstatique initiale, ces déplacements aux points j sont nuls. Il faut doncappliquer des actions (forces, couples,...), qui constituent les inconnues du problème (inconnueshyperstatiques), au droit des points où des liaisons ont été supprimées et les valeurs de ces actionscorrespondront aux actions et sollicitations réelles dans la structure initiale si elles annulent lesdéplacements en question.

Le principe du calcul en découle. Etant donné une structure hyperstatique, on la rend isostatique parsuppression de liaisons et on applique des efforts ou des systèmes d'efforts au droit des liaisons supprimées.On introduit les composantes des actions de liaison (qui peuvent s'exprimer par les sollicitations) pourles coupures externes et au droit des liaisons internes supprimées, on introduit des sollicitationsréciproques.

Le choix du système isostatique associé ou (de référence) est important.

Si le degré hyperstatique de la structure initiale est n, il convient de supprimer n liaisons surabondantes, enveillant à ne pas la transformer en mécanisme (même localement).

On calcule ensuite l'énergie potentielle de déformation élastique dans la structure rendue isostatique, enfonction des charges appliquées et des efforts inconnus introduits. A l'aide du théorème de Castigliano, onexprime alors que les déplacements (absolus ou relatifs) au droit des liaisons supprimées sont nuls. Ce

théorème prend alors le nom de théorème de Ménabréa.∂∂WX

e

i

= 0.

On peut aussi traduire ce théorème par:

Dans un système constitué d'un matériau élastique, les valeurs que prennent les actions hyperstatiques correspondant aux liaisonsinternes et externes surabondantes rendent stationnaire le potentiel élastique We . Les valeurs des inconnues hyperstatiques qui

correspondent à l'équilibre du système rendent minimum le potentiel We exprimé dans le système isostatique associé.


Soit Xi ( )X X X Xi n1 2, , ..., , ..., les actions de liaison ou sollicitations supprimées, on les appelle aussiles facteurs sollicitants;

D'après le principe de superposition ( ) ( ) ( )S S X Sii

n

i0 00

1

0= +=∑

Les déplacements ∆ j (déplacements relatifs s'il s'agit d'une liaison interne supprimée,déplacements absolus s'il s'agit des liaisons extérieures supprimées) au niveau de chacune descoupures j dans S sont nuls (théorème de Ménabréa).

Le matériau étant élastique linéaire, les déplacements ∆ j sont des fonctions linéaires des charges

appliquées et des facteurs sollicitants Xi . Ils peuvent s'exprimer par:

∆ ∆j j j j i ji n jnX X X X= = + + + + +0 00

1 10

2 20 0 0δ δ δ δ... ...

δ ji0 s'interprète comme étant le déplacement au droit de la liaison j de la structure isostatique associée S 0 ,

dans la direction de l'action X j , provoqué par une action Xi = 1 appliquée au droit de la coupure i.

Les facteurs sollicitants inconnus ( ) ( )X X X X Xi i n= 1 2, , ..., , ..., sont solution d'un système linéaire de néquations à n inconnues de la forme

∆ j i jii

n

X00 0

1

0+ ==∑ δ

On peut aussi démontrer cette relation à partir du théorème de Ménabréa ∆ j = 0 au niveau de la coupure j

et du théorème de Muller-Breslau ∆ jj

Gzstructure

M MEI

dx= ∫. 0

∆ jj

Gzstructure

M MEI

dx= =∫. 0

0

( ) ( ) ( )S S X Sii

n

i0 00

1

0= +=∑ M M X Mi

i

n

i= +=∑0

0

1

0. en remplaçant dans l'intégrale

M MEI

dx XM M

EIdxj

Gzstructurei

i

ni j

Gzstructure

00 0

1

0 0

0. .

∫ ∑ ∫+ ==

∆ j i jii

n

X00 0

1

0+ ==∑ δ

pour simplifier la notation nous écrirons ∆ j i jii

n

X01

0+ ==∑ δ

On peut écrire ce système sous forme matricielle δ ji i jX. = − ∆ 0

Ces n équations traduisent la fermeture simultanée des lèvres des n coupures choisies. La matricedu système δ ji est appelée matrice de souplesse, elle est symétrique car d'après le théorème de

réciprocité de Maxwell-Betti: δ δji ij0 0= . Les δ ji ne dépendent que des caractéristiques géométriques et

mécaniques de la structure, cette matrice est indépendante du chargement et sera donc à déterminerune seule fois pour la structure.


∆ j0 matrice colonne d'ordre n composée éléments ∆ j0 qui correspondent aux déplacementsabsolus ou relatifs des lèvres des n coupures dans la structure isostatique associée soumise auxcharges extérieures. Elle dépend donc du chargement.

Le déterminant de la matrice δ ji ne peut pas être nul, sinon cela voudrait dire que tous lesdéplacements ne sont pas indépendants et que la structure aurait été mal rendue isostatique. Lamatrice δ ji est inversible. Ses coefficients dépendent du choix de la structure isostatique associée.

Le système résolvant peut aussi s'écrire Xi ji j= −−

δ1

0. ∆ . δ ji

−1 est appelée matrice de

raideur

Xi matrice colonne des facteurssollicitants inconnus ou

inconnues hyperstatiques

[ ]X

X

X

X

i i

n

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1

...

...

δ ji i jX. = − ∆ 0

δ δ δ δ δδ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

1 2

1 2

.. .. ..

.. .. .... .. .. .. .. .. .. ..

.. .. .... .. .. .. .. .. .. ..

.. .. .... .. .. .. .. .. .. ..

.. .. ..

i j n

i j n

i i ii ij in

j j ji jj jn

n n ni nj nn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

−−

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

XX

X

X

X

i

j

n

i

j

n

1

2

10

20

0

0

0

..

..

..

..

..

..

∆∆

∆

∆

∆

Une fois les Xi obtenus, l'application du Principe de Superposition permet d'obtenir les différentessollicitations dans la structure S .

M M X M N N X N V V X Vii

n

i ii

n

i y y ii

n

yi= + = + = += = =∑ ∑ ∑0

0

1

000

1

00

0

1

0. . .

On peut aussi, après avoir recherché les actions de liaison, utiliser la méthode classique basée surla définition des sollicitations.


3. THEOREME DE PASTERNAK

3.1. Enoncé

C'est un théorème analogue à celui de Muller-Breslau, il permet de déterminer le déplacement d'un pointquelconque d'une structure.

théorème de Muller-Breslau ∆ jj

Gz

L M MEI

dx= ∫.

0

, avec M j moment dans la structure initiale hyperstatique.

La difficulté réside dans le fait que ce moment est à déterminer dans la structure hyperstatique. Il faut doncrésoudre, de nouveau une structure hyperstatique soumise à une action unitaire appliquée en j.

En fait, point n'est besoin de lever deux fois l'indétermination statique.

Le théorème de Pasternak est plus intéressant, son énoncé est contenu dans l'expression suivante:

∆ jj

Gz

L M MEI

dx= ∫. 0

0

∆ jz zj

Gzstructure

j

structure

M MEI

dxN N

EAdx= + +∫ ∫

. ....

0 0

M j0 représente les sollicitations dans une des structures isostatiques associées. La structure

choisie peut être différente du système isostatique qui a permis de déterminer les inconnueshyperstatiques. On pourrait la caractériser de virtuelle.

M représente les sollicitations dans la structure hyperstatique réelle initiale.


3.2. Démonstration

Partons du théorème de Muller-Breslau ∆ jj

Gz

L M MEI

dx= ∫.

0

M j moment dans la structure initiale hyperstatique

M M X Mj j kk

n

k= +=∑0

1

0. M M X Mii

n

i= +=∑0

0

1

0.

M M M M X M M M M X Mj j kk

n

k j kk

n

k. . . . . .= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =∑ ∑0

1

0 0

1

0

∆ j

j kk

n

k

Gz

L M M M X M

EIdx=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∑

∫. . .0

1

0

0

M X M M X M X Mkk

n

k ii

n

i kk

n

k. . . . .= = =∑ ∑ ∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

000

1

0

1

0

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = = = ==∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑M X M X M X M X M M X M X Mkk

n

k ii

n

i kk

n

k kk

n

k kk

n

k ii

n

i00

1

0

1

0

1

000

1

0

1

0

1

0. . . . . . . . .

M X M

EIdx

X M M

EIdx

X M X M

EIdx

kk

n

k

Gz

L kk

n

k

Gz

L kk

n

k ii

n

i

Gz

L. . . . . .= = ==∑

∫∑∫

∑∑∫

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= +1

0

0

00

1

0

0

1

0

1

0

0

= += = =∑ ∫ ∑ ∑ ∫X

M MEI

dx X XM M

EIdxk

k

nk

Gz

L

kk

n

ii

nk i

Gz

L

..

..

1

00 0

0 1 1

0 0

0

= + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑X X X X Xkk

n

k kk

n

i kji

n

kk

n

k i kji

n

. . . . .1

00

1

0

1 10

0 0

1∆ ∆δ δ

or ∆ k i kji

n

X00 0

1

0+ ==∑ .δ ⇒

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

==∑

∫M X M

EIdx

kk

n

k

Gz

L . .1

0

0

0

d'où ∆ jj

Gz

L M MEI

dx= ∫. 0

0


4. ETUDE DES STRUCTURES GEOMETRIQUEMENT SYMETRIQUES

4.1. Décomposition d’une structure à géométrie symétrique, soumise à un systèmed’actions appliqué quelconque, en un système d'actions symétriques et unsystème d'actions antisymétriques

Hypothèse : la géométrie est symétrique.

Le système des actions appliqué sur cette structure est quelconque. Soit ( )S .

On peut toujours décomposer un système d'actions quelconques en un système d'actionssymétriques et un système d'actions antisymétriques.

Pour cela, considérons un système nommé ( )S' obtenu à partir de ( )S en appliquant aux points

symétriques de ceux sollicités en ( )S des actions opposées.

La structure proposée en exemple est hyperstatique d'ordre 3.

( )S ( )S'

I

A

B B'

A'

F

I

FB B'

A'A

Nous pouvons écrire ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S S= + + −12

12

12

12

' '

soit en regroupant les termes ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S S= +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

12

12

12

' '

Remarque: Ce procédé est à rapprocher de celui utilisé en mathématique pour décomposer une fonctionquelconque en une fonction paire plus une fonction impaire

( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x f x= + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+ − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

12

12

12

( ) ( ) ( )f x p x i x= +


fonction paire ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x f x f x p x p x= + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= −12

12

fonction impaire ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i x f x f x i x i x= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− = − −12

12

On peut toujours décomposer un système quelconque en un système d'actions symétriques et unsystème d'actions antisymétriques. On a transformé le problème à résoudre en deux problèmes mais derésolution plus simple.

( ) ( ) ( )S S Ssym antisym= +

( ) ( ) ( )[ ]S S Ssym = +12

' ce système d'actions est symétrique

( ) ( ) ( )[ ]S S Santisym = −12

' ce système d'actions est antisymétrique

4.2. Propriétés des structures chargées symétriquement et chargéesantisymétriquement

( )Ssym ( )Santisym

I

FB B'

A'A

F2 2

IB B'

A'A

F2

F2

Etude de la structure symétriquement chargée

Le déplacement du noeud I ∈ plan de symétrie sedéfinit comme suit:

•→

II' translation dans ce plan de symétrie, le point I' ∈au plan de symétrie,

• la rotation du noeud I, si elle existe, est un vecteurorthogonal au plan de symétrie.

Il en résulte que:

Etude de la structure antisymétriquementchargée

Le déplacement du noeud I ∈ plan de symétriese définit comme suit:

•→

II' translation orthogonale au plan de symétrie,• la rotation du noeud I, si elle existe, est un vecteur

∈ plan de symétrie.

Il en résulte que:


Nous pouvons étudier la demi structure

I

B

A

F2

I

B

X1

X2

B

A

F2

IB

X3

I

Le noeud I se comporte comme un encastrementmobile ou déplaçable en translation dans le plan desymétrie uniquement, la liaison ne peut pastransmettre des forces // au plan de symétrie.Nous avons deux inconnues hyperstatiques X X1 2, ,le degré d'hyperstaticité a diminué, ici de 1.

Le noeud I se comporte comme un appui simple,la liaison ne peut que transmettre des forces quisont // au plan de symétrie.Nous avons une inconnue hyperstatique X3 , ledegré d'hyperstaticité a diminué, ici de 2.

Propriétés des diagrammes des sollicitations:Soit s une abscisse curviligne, dont l'origine serait enIN est symétrique ( ) ( )N s N s= −Mz est symétrique ( ) ( )M s M sz z= −

Vy est antisymétrique ( ) ( )V s V sy y= − −

( )Vy 0 = ( )V Iy = 0

Propriétés des diagrammes des sollicitations:

N est antisymétrique ( ) ( )N s N s= − −Mz est antisymétrique ( ) ( )M s M sz z= − −

Vy est symétrique ( ) ( )V s V sy y= −

( ) ( )N N I0 0= = ( ) ( )M M Iz z0 0= =


4.3. Cas des portiques à travées multiples

Pour des structures à géométrie symétrique plus complexes,

( )S = ( )Ssym + ( )Santisym

F1

F2

pF1

F2

p2

2

2

F22

F12

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2

4.3.1. Etude des structures à géométrie et chargement symétriques ( )Ssym

• Lorsque le nombre de travées est pair, le plan moyen est confondu avec des barres verticales centralesde la structure, comme nous négligeons les déformations dues à l'effort normal et tranchant, les longueurs desbarres sont invariantes. Les noeuds ∈ au plan de symétrie sont fixes. Ici le noeud étant rigide (ou indéformable)on peut étudier la demi structure en le considérant comme un encastrement parfait fixe.

F1

F2

p2

2

2

F22

F12

F1

F2

p2

2

2


• Lorsque le nombre de travées est impair, les noeuds I, J ∈ au plan de symétrie se comportent commedes encastrements mobiles ou déplaçables en translation dans le plan de symétrie uniquement.

F1

F22

2

F22

F12p

2

F1

F22

2 p2

II

JJ


4.3.2. Etude des structures à géométrie symétrique et chargement antisymétrique

( )Santisym

• Lorsque le nombre de travées est pair, le plan moyen est confondu avec des barres verticales centralesde la structure. On montre que l'étude de la demi structure exige de prendre les caractéristiques géométriques,pour les sections droites des barres ∈ au plan de symétrie, égales à la moitié de celles de la structure réelle.(inertie et aire de la section droite) Pour les barres centrales, les sollicitations obtenues pour les 2 demistructures doivent être additionnées, ce qui revient à multiplier par 2, les sollicitations obtenues pour une demistructure.

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2Ip1

Ip2 Ip2

Ip1

2

2

Ip2

Ip1

2

2

• Structure comportant un nombre impair de travées. Les noeuds I, J se comportent comme desappuis simples.

F22

F1

p2

2 F22

F12

p2

F22

F1

p2

2

I

J

I

J


Exemple d'une structure géométriquement symétrique. Résolution en étudiant la structure complète.

Si on étudie la structure complète, la structure isostatique associée doit être choisie symétrique ( )S 0. On définit les inconnues

hyperstatiques (en les groupant si nécessaire) de façon à n'étudier la structure ( )S 0 que sous des chargements ( )Si

0 symétriques ou

antisymétriques.

(S) (S )0

(S1 )0

1 1(S2 )0

1 1

(S3 )0

1 1

(S4 )0

1

1

1

1

(S5 )0

11(S6 )0

1

1

1

1

( )pour i Si= 1 2 3 4 0, , , correspond à un chargement symétrique

( )pour i Si= 5 6 0, correspond à un chargement antisymétrique


on en déduit que pour i i i= = =1 2 3 4 050

60, , , δ δ

Dans ( ) ( )S S10

20, les sollicitations sont nulles dans la partie de la structure correspondant à l'étage située

au dessus des articulations appartenant aux montants verticaux.

δ δ230

130 0= = δ ji i jX0

00. = −∆

δ δ δδ δ δ

δ δδ δ δ δ

δ δδ δ

110

120

130

120

220

240

330

340

130

240

340

440

550

560

560

660

1

2

3

4

5

6

100

200

300

400

500

600

0 0 00 0 0

0 0 0 00 0

0 0 0 00 0 0 0

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟

.

XXXXXX

∆∆∆∆∆∆

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Si les charges appliquées sur la structure ( )S sont symétriques, ( )S00 sera un chargement symétrique,

d'où pour j j= = ⇒ = =5 6 0 000

500

600, ∆ ∆ ∆

δ δ δδ δ δ

δ δδ δ δ δ

δ δδ δ

110

120

130

120

220

240

330

340

130

240

340

440

550

560

560

660

1

2

3

4

5

6

100

200

300

400

0 0 00 0 0

0 0 0 00 0

0 0 0 00 0 0 0

00

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

.

XXXXXX

∆∆∆∆

⎟⎟⎟

X X5 6 0= =

Si les charges appliquées sur la structure ( )S sont antisymétriques, ( )S00 sera un chargement

antisymétrique, d'où pour j j= = ⇒ = = =1 2 3 4 000

100

200

300

400, , , ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

δ δ δδ δ δ

δ δδ δ δ δ

δ δδ δ

110

120

130

120

220

240

330

340

130

240

340

440

550

560

560

660

1

2

3

4

5

6

500

600

0 0 00 0 0

0 0 0 00 0

0 0 0 00 0 0 0

0000

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

.

XXXXXX

∆∆

X X X X1 2 3 4 0= = = =


5. CHAMP D'APPLICATION DE LA METHODE DES COUPURES, AVANTAGES SUR LA METHODE DESROTATIONS ET PLUS GENERALEMENT LA METHODE DES DEPLACEMENTS

• L'usage de la méthode des forces s'impose, dès que le nombre d'inconnues hyperstatiques d'unestructure est inférieur au nombre d'inconnues cinématiques (nombre de déplacements indépendants desnoeuds de la structure).

• Il est souvent intéressant d'utiliser la méthode des forces lorsque le cas de chargement estantisymétrique, la structure est alors à noeuds déplaçables.

• Le fait de tenir compte des déformations dues à l'effort normal (variation de longueur des barres)n'apporte aucune inconnue supplémentaire (elle est donc intéressante pour l'étude des structures à tirants)

• Le traitement de structures, à poutres droites inclinées ou courbes, dans le plan ou dans l'espace, estsouvent beaucoup plus simple.

• Orientation sur le choix des inconnues hyperstatiques.

Si le degré d'hyperstaticité de la structure initiale est n, il convient donc de supprimer n liaisonssurabondantes, en veillant à ne pas la transformer en un mécanisme. On doit rechercher à obtenir le maximumde déplacements δ ji

0 nuls, aussi bien pour éviter de les calculer que pour faciliter la résolution du système

d'équations ∆ j i jiX0 0+ =δ . Il y a tout intérêt à utiliser au maximum les propriétés de symétrie de la structure,en décomposant éventuellement le chargement donné en la somme d'un chargement symétrique et d'unchargement antisymétrique. Il est facile de montrer que, dans une structure symétrique, rendue isostatique enrespectant cette symétrie, et sollicitée par un chargement symétrique, les facteurs sollicitants antisymétriquessont nuls. De même si le chargement est antisymétrique, ce sont les facteurs sollicitants symétriques qui serontnuls. Dans une structure symétrique symétriquement chargée, les diagrammes de N, Mz sont symétriques et

celui de Vy est antisymétrique. Dans une structure symétrique antisymétriquement chargée, le diagramme de

Vy est symétrique et ceux de N , Mz sont antisymétriques.

L'idéal étant d'obtenir une matrice diagonale pour δ ji

• Pour une poutre continue, le choix des moments sur appuis aboutit à un système beaucoup plussimple que le choix des actions de contact (réactions d'appuis ou actions aux appuis). Cependant pour lespoutres continues, la formule des 3 moments est la plus efficace.

• Les équations de la méthode des forces se généralisent facilement lorsque la structure est soumise àdes déplacements imposés (par exemple des déplacements d'appuis) En effet lorsque l'on écrit

∆ j i jii

n

X01

0+ ==∑ δ on écrit simplement que le déplacement au droit de la liaison n° j supprimée est nul (

déplacement dans la direction X j ). Rien n'empêche, s'il y a lieu, de considérer que ∆ j0 est un déplacement dû

au chargement initial plus un déplacement dans la direction de X j , résultant du système de déplacementsimposés à la structure rendue isostatique.

• Lorsque la structure comporte des liaisons élastiques, on peut opérer de deux façons différentes: oubien on peut pratiquer une coupure sans toucher aux liaisons élastiques, ou bien on peut pratiquer une coupureentre la liaison élastique et le reste de la structure, ou encore entre l'appui élastique et le milieu extérieur, maisdans les deux cas , les liaisons élastiques doivent faire partie intégrante de l'ensemble de la structure pourcalculer son énergie potentielle élastique de déformation.

6. APPLICATIONS

Methode Des Forces

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