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A. BERNARD et J-L VIDAL Lyce des Catalins MONTELIMAR 1

Plan du document

Introduction

Lexique

Documents utiliss

CHAPITRES

Chapitre I :Vocabulaire de la mtrologieI - Dfinitions

II - La notion derreur alatoire

III - La notion derreur systmatique

IV - Lerreur de mesureV - Conclusion

VI - La notion dincertitude de mesure

VIIComplments de vocabulaire

Chapitre II :les outils statistiques utiliss en mtrologieA - La notion de variable alatoireI - La frquence dun vnement, notion de probabilit

II - Variable alatoire

B - Lcart-type dune variable alatoire

C - Variables alatoires indpendantes : le thorme des variancesI - Variables alatoires indpendantes

IILoi de probabilit dune somme de variables alatoires

IIILe thorme des variances

IVLa loi de Student

Chapitre III :Evaluation de lincertitude de mesure

A- Erreur et incertitude de mesureI- Mesure de la valeur dun mesurande: erreur de mesure

II- Incertitude de mesure

B- Evaluation de lincertitude dune mesure directeILes sources derreur de mesure

II- Erreurs indpendantes

III- Les recommandations du GUM pour obtenir des informations sur lerreur de mesure

IV - Simplification de la mthode gnrale recommande par le GUM

V- Chiffres significatifs de lincertitude et de la valeur mesure

VI- Adaptation du vocabulaire du GUM

VII- Incertitude relative

VIII- Erreurs non indpendantes


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C- Quelques rgles pour valuer la valeur dincertitudes type ou largies

D- Erreur alatoire et erreur systmatiqueI- Erreur systmatique

II- Erreur alatoire

III- Evaluation dune erreur de rptabilit ERrep

E- Evaluation de lincertitude dune mesure indirecteI- Mthode gnrale

II- Formes simples du thorme des variances

F- Vrification dun rsultat de mesure

G- Comment peut-on utiliser ces outils avec des lves de lyce ?I - Propositions de vocabulaire et de notations (rappels) :

II- Mthode proposeIII- Avec des lves, que doit-on conserver des concepts de la mtrologie ?

Chapitre IV :Ltalonnage dune chane de mesure et ses applications.A -Etalonnage et modlisation dune chane de mesureI - Pour raliser un talonnage il faut des talons

II - Conduite de ltalonnage et modlisation

III - Lindication In dun instrument numrique

B - Evaluation de lincertitude de mesure dune chane de mesure numrique

talonneI - Rsolution d dun afficheur

II - Quantum q dun instrument ou dune chane de mesure

III - Les sources derreur de mesure

IVComposition des erreurs : valuation de lincertitude de mesure

C -Vrification dune chane de mesure

D - Bilan des notions complmentaires utilises par les lves lorsquils talonnent

unechane de mesure.

Chapitre V : Fonctions de calcul de lincertitude dune chane de mesure

numriqueA- Etalonnage dune chane de mesure numrique: valuation de lincertitude de

mesure MIModle thorique dune chane de mesure numrique idale

II - Prise en compte de lerreur de rptabilit des mesures

III - Erreur de rptabilit-quantification

IV - Etalonnage dune chane de mesure numrique relle: erreur sur le modle m = a x In +b

VUtilisation du modle m = a x In +b


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B- Evaluation dune chane demesure numrique rgle sur un modle

M = aIn + b prdfiniI - Le principe de la mthode dvaluation

II - Evaluation de lincertitude M pour chaque point (met, In)III- Modlisation du nuage de points (M, In)

C - Conclusion : valuation de lincertitude dune chane de mesure numrique.

Rsum du chapitre V

Annexe :Etalonnage dune chane de mesure numrique sur deux pointsI - Ltalonnage sur deux points.

II- Contrle de la qualit de ltalonnage:

III - Evaluation de lincertitude dune mesure.

Chapitre VI :Evaluation de lincertitude de mesure dun volume de liquide.A - Pipettes et fioles jaugesI - Les erreurs sur une mesure de volume de liquide

1 - Erreur dtalonnage

2 - Erreur de rptabilit

3 - Erreur due la temprature du liquide

II- Incertitude de la mesure dun volume

B - Burettes manuellesI - Mesure simple dun volume

II - Mesure dun volume lors dun dosage

1- Evaluation de lincertitude largie U(v)rep. Exemple 1 : talonnage dune solution par

pese

2- Dtection dune ventuelle erreur systmatique

3- Dtection dune erreur accidentelle

4- Exemple 2 : dosage pHmtrique

Annexe : Mesures multiples dun mme mesurande

Chapitre VII : Evaluation de lincertitude de mesure dune balanceanalytique

I - Principe de fonctionnement dune balance1 - Masse conventionnelle

2- Influence de la masse volumique de lair

II - Description dune balance analytique

III - Evaluation de lincertitude de mesure dune balance analytique

IV- Vrification dune balance

Annexe : vrification dune srie de fioles jauges par pese

Chapitre VIII :TP doptique

A - Mesure de la distance focale dune lentille mince par la mthode de BESSEL.I- Evaluation de U(D).


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II- Evaluation de U(d).

III- Evaluation de U(f)

B- Mesure de la distance focale dune lentille convergente en utilisant lexpression-(1/p) + (1/p) = 1/f.

I -Evaluation de U(p)II -Evaluation de U(p)

III- Evaluation de U(f)

CComparaison des rsultats des deux mthodes.

Chapitre IX :Travaux pratiques de Chimie analytique

A -Prparation de solutions : incertitude sur la concentration.I - Prparation partir dun produit pur (solide ou liquide).

II - Ralisation, par dilution dune srie de solutions.

III - Remarque : ralisation et utilisation dune gamme talon .

B - Dosage conductimtrique.I- Schma du montage.

II- La chane de mesure.

III- Contrle de la grandeur dinfluence .IV - La prparation des solutions.

V - Etalonnage de la chane de mesure et modlisation du nuage de points.

VI - Dosage dune solution.

C- Dosage spectrophotomtrique.I - Transmittance et absorbance dun solut.

II - Loi de Beer .

III - La chane de mesure.

IV - Le dosage dune solution.

V - Les sources derreur.

VI - Evaluation de lincertitude C.VII - Les rsultats obtenus.

Annexe : un outil utilisable lorsque les erreurs ne sont pas indpendantes

Rsum du document + aide mmoire

Annexe : des outils pour le laboratoireBilan des fichiers pouvant tre utiliss par le personnel de laboratoire.


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EXERCICES (+ corrigs)

Tous les exercices sont destins aux professeurs

Exercices des chapitres I, II, III- Exercice 1 et 2 : vocabulaire- Exercice 3 : incertitude dun multimtre- Exercice 4 : mesure de lpaisseur dune feuille de papier- Exercices 5 et 6 : mesure de rsistances

Exercices des chapitres IV et V- Exercice 1 : thermomtrie avec une sonde Pt100- Exercice 2 : sonde Pt100 talon- Exercice 3 : mesure dune masse en utilisant un ressort

Exercices des chapitres VI et VII

- Exercice 1 : mesure de la masse volumique de laluminium- Exercice 2 : mesure dun volume de liquide avec une fiole jauge: valuation de

lerreur de rptabilit

- Exercice 3 : influence de la temprature sur un volume de liquide- Exercice 4 : valuation de lincertitude dune burette piston

Exercices de mcanique :- Exercice 1 : mesure de la vitesse du son dans lair- Exercice 2 : utilisation dune table digitaliser- Exercice 3 : viscosimtre chute de bille - Exercice 4 : utilisation dun viscosimtre rotatif

Exercice dosage conductimtrique


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Introduction

- Quel enseignant scientifique na jamais t confront lvaluation de lincertitudedune mesure? Et comment dfinir les chiffres significatifs dun rsultat si lon nedispose pas de cette valuation ?

- Pour valuer lincertitude dune mesure, on peut, dans certains cas, utiliser ladispersion des rsultats de plusieurs groupes dlves travaillant dans les mmesconditions.Mais comment procde-t-on lors dun examen ou lorsque lon ne dispose pas dematriel en quantit suffisante ?

- Nous avons recherch comment procde la communaut internationale desmtrologues pour valuer lincertitude dune mesure effectue par un seul oprateur(mesure unique).Nous en avons retenu lessentiel du vocabulaire et des mthodes.

- Les outils mathmatiques utiliss ne sont pas actuellement accessibles deslves de lyce. Nous avons cherch des solutions qui leur permettent dvaluer lavaleur dune incertitude dune mesure. Ces solutions doivent dissimuler les obstaclesmathmatiques tout en prservant la comprhension de la signification physique desgrandeurs utilises.

- Ces outils ont t expriments avec des lves de lyce.Leur utilisation na pas pos de problme particulier.

- Dans tous les cas, cest le professeur qui tablit la fonction dvaluation de la valeurdune incertitude. Les lves sont invits valuer la valeur des diffrentescomposantes de lincertitude. Une feuille de calcul, mise leur disposition, leurpermet dvaluer rapidement la valeur dune incertitude, sans sgarer dans descalculs numriques souvent lourds.

En comparant le poids des diffrentes sources dincertitude, ils peuvent exercerleur jugement critique.

- Lobjectif est de mettre la disposition de nos lves des outils qui leur permettentdexercer des activits exprimentales avec rigueur, honntet intellectuelle et bon

sens.

- Ce document expose comment un professeur peut tablir la fonction dvaluationde la valeur dune incertitude sous une forme accessible des lves de lyce.

- Il propose aussi des feuilles de calcul permettant dobtenir rapidement un rsultatainsi que des exercices et leur corrig.


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LexiqueVocabulaire gnral (Vocabulaire International de la Mtrologie :VIM) :

Conditions de rptabilit :- N mesures sont effectues dans les conditions de rptabilitsi le mme

oprateur, ou le mme programme, effectue les N mesures, avec le mmeinstrument, exactement dans les mmes conditions.

Erreur alatoire :- Composante de lerreur de mesurequi, dans des mesuragesrpts, varie

de faon imprvisible (VIM).

Erreur de mesure :- Lerreur de mesureest la diffrence entre la valeur mesure dunegrandeur

et la valeur vraie du mesurande (VIM).

Erreur systmatique :- Composante de lerreur de mesure qui, dans des mesurages rpts,

demeure constante (VIM)

Etalon :- Un mesurande talonest un mesurande dont la valeur est garantie, dans des

conditions spcifies, sur un intervalle de confiance associ un niveau deconfiance.

Etalonnage :- Ltalonnage est lensemble des oprations tablissant, dans des conditions

spcifies, la relation entre les valeurs de la grandeur indiques par uninstrument de mesure ou un systme de mesure et les valeurscorrespondantes de la grandeur, ralises par des talons.

Note (VIM) :Le rsultat dun talonnage permet dattribuer aux ind icat ions les valeurscorrespondantes du mesurande.

Exact i tude :- Lexactitude de mesure est ltroitesse de laccord entre une valeur mesure

et une valeur vraie dun mesurande (VIM).

Fidlit :

- La fidlit dun instrument de mesure est son aptitude donnerdes indications trs voisines lors de lapplication rpte dumme mesurandedans les mmes conditions.

Grandeur dinfluence:- Une grandeur dinfluence est une grandeur qui nest pas le

mesurande mais qui a un effet sur la valeur mesure.


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Incertitude de mesure :- Paramtre non ngatif qui caractrise la dispersion des valeursattribues

un mesurande (VIM).

Note :

Ce paramtre peut tre, par exemple, la demi-largeur dun intervalle de niveau deconfiance dtermin.

Indication :

- Valeur fournie par un instrument de mesure ou un systme demesure (VIM).

Justesse :- Lajustessedun instrument de mesure est son aptitude donner

des indications exemptes derreur systmatique.

Mesurande :- Le mesurande est la grandeurque lon veut mesurer(VIM).

Mesurage :- Le mesurage est le processus consistant obtenir exprimentalement une ouplusieurs valeursque lon peut raisonnablement attribuer une grandeur.

Rsultat de mesure :- Ensemble de valeurs attribu un mesurande(VIM)

Note (VIM):- Le rsultat de mesure est gnralement exprim par une valeur mesure

unique et une incertitude de mesure.Pour viter toute confusion, nous appellerons m la valeur mesure de la grandeurM (un nombre), et M le rsultat de mesure, cest dire lexpression complte dursultat (un intervalle de valeurs, associ un niveau de confiance).La mesu re est directe lorsque linstrument de mesure fournit directement la valeurm. Si le rsultat est obtenu partir de la valeur dautres grandeurs (m = f(x, y, z,.)), on parle de mesure ind i rec te.

Systme de mesure :- Un systme de mesure contient tout ce qui est ncessaire pour obtenir desvaleurs mesures dun mesurande.

Note (VIM) :Un instrument de mesure qui peut tre utilis seul est un systme de mesure.

Valeur mesure :- Valeur dune grandeurreprsentant un rsultat de mesure(VIM).

Note (VIM):- Pour un mesurage impliquant des indications rptes, chacune peut tre utilisepour fournir une valeur mesure correspondante. Cet ensemble de valeurs mesures

individuelles peut ensuite tre utilis pour calculer une valeur mesure rsultante,


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telle quune moyenne ou une mdiane, en gnral avec une incertitude de mesureassocie.

Valeur vraie du mesurande :- La valeur vraie (Mvrai) du mesurandeest la valeur que lon obtiendrait si le

mesuragetait parfait.

Vocabulaire et notations que nous utilisons avec nos lves :- Nous avons choisi dappeler M la valeurmesure et Indication

Inle nombre sans unit lu sur un afficheur.

Rsolution :- Nous proposons dappeler rsolution d de lafficheur une variation de une

unit du chiffre le moins significatif de son indication.

Quantum :- Le quantumq dune chane de mesure numrique est la plus petite variation

de la valeur du mesurandequil permet de dceler.

Expression dun rsultat de mesure:

M est la valeur mesure et M lincertitude de mesure.Le rsultat de mesure est M95% = M M.Cela signifie quil y a 95 chances sur 100 pour que la valeur vraie du mesurandeappartienne cet intervalle.

Vrification dune chane de mesure(test de ju stes se de la ch ane) :On prsente lentre de la chane de mesure un mesurande talon dont la valeur

est dfinie sur lintervalle Met95%= MetMet.On mesure la valeur de cette grandeur avec la chane de mesure et lon obtientlintervalle

M95%= M M.La chane de mesure est juste si cet intervalle contient lintervalle prcdent.


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Documents utiliss

Education Nationale, site eduscol - Tout ce qui concerne les incertitudes de mesure dans les programmes et leurs

commentaires, du Collge au Lyce.

- Mesures, erreurs et incertitudes en physique-chimie par Ren Moreau (Inspecteur gnral

de lducation Nationale):La pluridisciplinarit dans les enseignements scientifiques-Tome 2 : la place de lexprience. Actes de luniversit dt, juillet 2001, Cachan.

http://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-

chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-

scientifiques.html

UdPPC (Union des Professeurs de Physique et de Chimie) et le BUP

(Bulletin de lUnion des Physiciens). Site www.udppc.asso.fr (la rubrique

BupDoc sur la Toile donne accs aux articles de 1907 1990).

http://www.udppc.asso.fr/bupdoc/index.php- Tous les articles concernant les incertitudes de mesure.

CNDP (Centre National de Documentation Pdagogique).- Logiciel Incertitudes de mesure et sa documentation (Ren Moreau).

Vocabulaire international de la mtrologie (VIM)- Version franaise disponible sur le site de lOIML

http://www.oiml.org/publications/V/V001-ef00.pdf

Normes AFNOR : les documents doivent tre achets lAFNOR.- NF ENV 13005 : guide pour lexpression de lincertitude de mesure (GUM), version

franaise

Version anglaise disponible sur les site de lOIML:

http://www.oiml.org/publications/G/G001-100-e08.pdf

AFNOR : publication

- Mtrologie: techniques de mesure, incertitudes, tolrancement, chane dtalonnage,retour dexpriences, dfinitions (classeur avec mises jour priodiques).

Site du LNE (Laboratoire National dEssais).Le LNE gre toutes les activits mtrologiques lchelle nationale.- Beaucoup de documents disponibles, entre autres : Quantifier lincertitude dans les

mesures analytiques(traduction franaise du guide EURACHEM/CITAC).

http://www.lne.fr/fr/services_ligne/publications-guides-documents-techniques.asp

Site METRODIFF (Conservatoire National des Arts et Mtiers).
http://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-scientifiques.htmlhttp://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-scientifiques.htmlhttp://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-scientifiques.htmlhttp://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-scientifiques.htmlhttp://www.udppc.asso.fr/bupdoc/index.phphttp://www.udppc.asso.fr/bupdoc/index.phphttp://www.oiml.org/publications/V/V001-ef00.pdfhttp://www.oiml.org/publications/V/V001-ef00.pdfhttp://www.oiml.org/publications/G/G001-100-e08.pdfhttp://www.oiml.org/publications/G/G001-100-e08.pdfhttp://www.lne.fr/fr/services_ligne/publications-guides-documents-techniques.asphttp://www.lne.fr/fr/services_ligne/publications-guides-documents-techniques.asphttp://www.lne.fr/fr/services_ligne/publications-guides-documents-techniques.asphttp://www.oiml.org/publications/G/G001-100-e08.pdfhttp://www.oiml.org/publications/V/V001-ef00.pdfhttp://www.udppc.asso.fr/bupdoc/index.phphttp://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-scientifiques.htmlhttp://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-scientifiques.htmlhttp://www.eduscol.education.fr/cid46530/mesures-erreurs-et-incertitudes-en-physique-chimie-actes-de-de-l-universite-d-ete-la-pluridisciplinarite-dans-les-enseignements-scientifiques.html


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- Diffusion dinformations gnrales sur la mtrologie.

Site de lOIML (Organisation Internationale de Mtrologie Lgale):- Tout ce qui concerne la mesure des masses conventionnelles, entre autres.

Site du COFRAC (COmit FRAnais dACcrditation):- Informations concernant lvaluation de beaucoup dinstruments: nous avons utilis

essentiellement ce qui concerne lvaluation des Instruments de Pesage.

Documentations de constructeurs (sites Internet) :- Instruments de volumtrie : BLAUBRANDhttp://www.brand.de/fileadmin/user/pdf/SOPs/sop_bbf.pdf

- Etalons de pH et de conductimtrie : Radiometer Analytical- Puret des ractifs : PROLABO.
http://www.brand.de/fileadmin/user/pdf/SOPs/sop_bbf.pdfhttp://www.brand.de/fileadmin/user/pdf/SOPs/sop_bbf.pdfhttp://www.brand.de/fileadmin/user/pdf/SOPs/sop_bbf.pdf


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Chapitre I

Vocabulaire de la mtrologie

Mesurer une grandeur (intensit dun courant, tension, longueur,.), cest rechercher la

valeur de cette grandeur. Si lon souhaite approfondir la notion de mesure dune

grandeur , il est indispensable dutiliser un vocabulaire particulier. Le langage de lamtrologie est dfini dans le Vocabulaire International de la Mtrologie (VIM) adopt par

lensemble des organisations internationales de mtrologie et publi en 2008 par lISO

(Organisation Internationale de Normalisation) et nous en retiendrons lessentiel.

Dans tous les cas les dfinitions prcises par ce document sont trs labores et toutes ne

sont pas accessibles des lves de lyce. Une des difficults de la mtrologie est la

confusion entre les concepts derreur et dincertitude de mesure: nous nous attacherons la

dissiper.

I- Dfinitions :- Le mesurande est la grandeurque lon veut mesurer(VIM).- Le mesurageest le processus consistant obtenir exprimentalement une ou plusieurs

valeursque lon peut raisonnablement attribuer une grandeur.

Exemple :

On veut mesurer la valeur de la rsistance R dun diple passif linaire : le mesurande est la

rsistance R de ce diple, le mesurage est effectu, par exemple, avec un ohmmtre.

- La valeur vraie (Mvrai) du mesurande est la valeur que lon obtiendrait si lemesurage tait parfait (VIM).

Un mesurage ntant jamais parfait, cette valeur est toujours inconnue.

- Le rsultat de mesureest lensemble de valeurs attribu un mesurande(VIM)Note (VIM):

- Le rsultat de mesureest gnralement exprim par une valeur mesure unique et

une incertitude de mesure.Pour viter toute confusion, nous appellerons m la valeur mesure de la grandeur M (un

nombre), et M le rsultat de mesure, cest dire lexpression complte du rsultat (un

intervalle de valeurs, associ un niveau de confiance).

La mesure est directe lorsque linstrument de mesure fournit directement la valeur m. Si lersultat est obtenu partir de la valeur dautres grandeurs (m = f(x, y, z, .)), on parle de

mesure indir ecte.

Exemple : le mesurande est une rsistance R. La valeur mesure est 102,50 . Lincertitude

de mesure est de 0,25 et le niveau de confiance est de 95 %.Cela signifie quil y a 95 chances sur 100 pour que la valeur vraie du mesurande appartienne

lintervalle [102,25; 102,75].. Cet intervalle est souvent appel in tervalle de confi ance.Le rsultat de mesure est not R = (10,25 0,25), avec un niveau de confiance de 95 %.Lincertitude de mesure permet dindiquer quel est lintervalle des valeurs probables du

mesurande. Nous prciserons, dans le chapitre II, les notions de valeur probable et de

niveau de confiance .

Dans ce chapitre nous allons essayer de comprendre pour quelles raisons le rsultat de mesure

nest jamais un nombre mais toujours un intervalle de valeurs.

Un mesurage ntant jamais parfait, il y a toujours une erreur de mesure ER = (m - Mvrai.).

- Lerreur de mesure est la diffrence entre la valeur mesuredune grandeur et lavaleur vraie du mesurande (VIM).

La valeur Mvrai tant toujours inconnue, il en est de mme de la valeur de lerreur ER.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/Chapitre%20II%20statistiques.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/Chapitre%20II%20statistiques.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/Chapitre%20II%20statistiques.doc


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II- La notion derreur alatoire:Reprenons lexemple prcdent. La rsistance dont lon souhaite mesurer la valeur est

branche aux bornes dun ohmmtre. On utilise une technique de mesure utilisant 4 fils de

liaison entre la rsistance et linstrument: cette mthode permet dobtenir une valeur mesure

m qui ne dpend pas de la rsistance des fils de liaison.

Notre instrument communique avec un ordinateur et lon utilise un programme dacquisitionde donnes. Ce programme effectue N = 2000 mesures m du mesurande R, repre les valeurs

mminet mmax, divise lintervalle (mmax- mmin) en 10 intervalles (classes), calcule le nombre n

de rsultats dans chaque classe et affiche les rsultats sous la forme dun histogramme.

La frquence freq de lvnement m appartient telle classe est freq = (nombre de valeurs

appartenant cette classe) / (nombre total de mesures) = n /N.

Le programme affiche les valeurs mmin= Min et mmax= Max des mesures, la valeur moyenne

(mean) des 2000 mesures et lcart-type (standard dviation : std.dev) de leur

distribution autour de la valeur moyenne (nous reviendrons sur cette grandeur qui reprsente

la dispersion des valeurs autour de la valeur moyenne).

Les N mesures sont effectues dans les conditions de rptabilit:

- Le mme oprateur, ou le mme programme, effectue les N mesures, avec le mmeinstrument, exactement dans les mmes conditions.

Le meilleur estimateur de la valeur du mesurande est la valeur moyenne des N mesures.

Mais une mesure miparmi les N est en gnral diffrente de .La diffrence ERa= miest appele erreur alatoire.

Lors de chaque mesure lerreur alatoire peut prendre nimporte quelle valeur entre

(mmax- ) et (mmin- ).

III- La notion derreur systmatique:Recommenons la mesure prcdente en configurant notre instrument en ohmmtre 2 fils ,

ce qui correspond une mesure habituelle de la valeur dune rsistance.

Les fils de liaison de linstrument la rsistance ont une rsistance Rf.

Freq

(%)

Min Max


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Dans ces conditions, linstrument ne mesure pas R mais R + Rf. Chaque mesure mi est

systmatiquement plus grande que la valeur de R (nous avons utilis des fils de 2 m de long et

de faible section).

La valeur moyenne des N mesures est plus grande que dans le cas prcdent. Les N

mesures mi sont disperses autour de et il y a toujours une erreur alatoire. Mais toutes

les valeurs misont dcales et il y a aussi une erreur systmatique ERS.

Par dfinition, lerreur systmatique ERS = ( - Mvrai).

Lors dune mesure lerreur alatoire peut prendre, au hasard, nimportequelle valeur sur un certain intervalle. Par contre, lerreur systmatiqueprend la mme valeur (inconnue) lors de chaque mesure.

IV- Retour sur lerreur de mesure ER = (m - Mvrai)Si lon reprend les dfinitions et les notations prcdentes, on obtient:

ER = mMvrai= (m - ) + ( - Mvrai) = ERa+ ERS.

Une erreur de mesure ER a donc, en gnral, deux composantes : une erreur alatoire ERaet

une erreur systmatique ERS. Lerreur alatoire est appele erreur de fidlit et lerreur

systmatique erreur de justesse .

Lors dune mesure, la valeur de lerreur ER est toujours inconnue. Dans tous les cas, il

faudra rechercher un encadrement des valeurs probables de lerreur ER. Cet

encadrement sera appel intervalle dincertitude de la valeur de lerreur ER et il devra tre

associ un niveau de confiance.

La fidlit dun instrument de mesure est son aptitude donner des indicationstrs voisines lors de lapplication rpte du mme mesurande dans les mmes

conditions.Lajustessedun instrument de mesure est son aptitude donner des indications

exemptes derreur systmatique.

Freq

(%)

Min Max


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V- Conclusion :

Le systme de mesure contient tout ce qui est ncessaire pour obtenir une mesure m ide lavaleur du mesurande M (un nombre et une unit).

On prsente le mesurande Mvrai lentre du processus de mesure et lon ralise N mesures m idans les conditions de rptabilit.

Si le mesurage tait parfait, toutes les mesures auraient la mme valeur mi= Mvrai.

Un mesurage nest jamais parfait et il y a toujours une erreur de mesure ER = (miMvrai)

dont on ne peut connatre que lintervalle dincertitude.

Tous les rsultats sont disperss autour de la valeur moyenne des N mesures : chaque

valeur mesure miest affecte par une erreur alatoire ERa= (mi- ).

Souvent, tous les rsultats sont dcals de la mme quantit ERS = ( - Mvrai), erreur

systmatique du mesurage.

Dans tous les cas lerreur de mesure ER = ERS + ERa.

Il y a toujours une erreur ER = (miMvrai). Une valeur mipeut tre gale la valeur Mvrai,

mais nous nen saurons jamais rien, parce que tout ce que lon peut connatre cest un

encadrement des valeurs probables de lerreur ER.

Si lon crit que Mvrai= mi- ER, on tente dobtenir la valeur de la grandeur dentre partir

de la valeur miobtenue la sortie. La valeur de lerreur ER tant toujours inconnue, il est

impossible dobtenir la valeur Mvrairecherche. Nous allons voir que le concept dincertitude

de mesure permet dapporter une rponse la question Quelle est la valeur de Mvrai ? .

Remarque :Nous avons dgag les concepts derreur alatoire ou systmatique en envisageant N mesures

du mme mesurande effectues dans les conditions de rptabilit. Nous avons montr que

pour chaque valeur mesure il y a une erreur ER dont la valeur est inconnue. En

consquence, si lon ralise une seulemesure m, il y aura toujoursune erreur ER.

VILa notion dincertitude de mesure:Cette notion a t voque plus haut, rappelons sa dfinition :

- Lincertitude de mesure est un paramtre non ngatif qui caractrise la dispersiondes valeursattribues un mesurande (VIM).

Mesurande

M

miValeur mesure

ER = (mi- Mvrai) pour ce rsultat

unemesure mi

Systme de mesure

Mvrai,valeur vraie du

mesurande

MvraiERS = ( - Mvrai)

Pour tous les

rsultats mi

ERa= ( mi- )

pour ce rsultat


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- Note :Ce paramtre peut tre, par exemple, la demi-largeur dun intervalle de niveau de confiance

dtermin.

Lvaluation de lincertitude de mesure constitue lessentiel de ce document. Dans ce

paragraphe nous allons prciser simplement la nature de la grandeur incertitude demesure . Dans les chapitres suivants nous dfinirons les outils qui permettent dvaluer la

valeur de lincertitude de mesure et le niveau de confiance qui lui est associ.

Considrons une mesure m de la valeur dun mesurande M.

Lutilisateur du systme de mesure dispose de la valeur m et recherche la valeur de Mvrai.

Nous avons vu quil y avait toujours une erreur de mesure ER = (m Mvrai).

La valeur de lerreur ER tant toujours inconnue, il est impossible dobtenir lavaleur de Mvrai partir de la valeur m.

Lors dune mesure la valeur de lerreur ER est inconnue, mais nous verrons quon peutvaluer lintervalle dincertitude [ERmin; ERmax] des valeurs probables de lerreur ER.

La faon dont cet intervalle est valu na, pour linstant, pas dimportance. Retenons quecette valuation est possible et quelle est conduite de telle sorte que |ERmin| = |ERmax|.

Ignorer la valeur de certaines grandeurs ne nous empche pas de raisonner avec ces

grandeurs.

Exemple :

On mesure la valeur dune rsistance R avec un ohmmtre.

La valeur mesure m = 100, 0 .On value que la valeur de lerreur ER appartient lintervalle [-1,1 ; + 1,1] avec un niveaude confiance de 95 %.

Dans ces conditions, il y a 95 chances sur 100 pour que la valeur Mvrai appartienne

lintervalle [(m - |ERmin|) ; (m + |ERmax|)]. Cet intervalle de valeurs constitue le rsultat de

mesure.

Pour lexemple prcdent:

Rsultat de mesure : Il y a 95 chances sur 100 pour que la valeur Rvrai appartienne

lintervalle [98,9; 101,1] .Sous cette forme, le rsultat de mesure nest pas commode utiliser.

Par dfinition, lincertitude M de la mesure est gale la demi largeur de lintervalledincertitude [ERmin; ERmax]. Donc M = (ERmaxERmin)/2.

La valeur de Mvraiappartient donc lintervalle [m - M ; m + M] et le rsultat de mesureest not sous la forme M = m M avec un niveau de confiance de 95 %.Pour lexemple prcdent :

Rsultat de mesure : R = (100,0 1,1) avec un niveau de confiance de 95 %.Lincertitude de la mesure est donc gale lincertitude sur la valeur de lerreur ER.

Trs souvent, la notion dincertitude de mesure est utilise indpendamment de la notion

derreur de mesure. Un rsultat du type U = (10,15 0,15) V (niveau de confiance de 95 %)est lu directement de la faon suivante : il y a 95 chances sur 100 pour que la valeur du

mesurande U appartienne lintervalle [10,00; 10,30] V.

Mais,pour valuer la valeur dune incertitude et le niveau de confiance correspondant, nous

verrons que le concept derreur de mesure est incontournable. Nous aurons aussi besoin des

outils mathmatiques, issus des statistiques, dcrits dans lechapitre II.
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/Chapitre%20II%20statistiques.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/Chapitre%20II%20statistiques.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/Chapitre%20II%20statistiques.dochttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/Chapitre%20II%20statistiques.doc


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Remarque : attention au sens des mots !Rappelons la dfinition du Petit Larousse .

Incertitude: ce qui ne peut tre tabli avec exactitude, qui laisse place au doute.Dans le langage courant, lincertitude cest le doute. Dans le langage scientifique

lincertitude de mesuredfinit un intervalle de valeurs probables dune grandeur et cet

intervalle est toujours associ un niveau de confiance. Le niveau de confiance standard est de 95 %, nous verrons pourquoi dans lechapitre II.

Obtenir un niveau de confiance de 100 %, donc une certitude, exigerait de raliser un nombre

infini de mesures, ce qui nest pas possible. Evaluer une incertitude de mesure relve toujours

du compromis : il faut quun niveau de confiance dau moins 95 % soit garanti.

Cette valuation demande des connaissances, du bon sens et de lexprience: cest une

grosse difficult.

Disons tout de suite que, compte tenu des difficults lies la nature des systmes de mesure,

lvaluation de la valeur dune incertitude est conduite 20 ou 30 % prs.

Insistons sur lessentiel:

Le rsultat de mesure nestjamais une valeur : il est donn sous la forme dun intervalle devaleurs probables du mesurande. Cet intervalle est associun niveau de conf iance (en

gnral de 95 %). Lincertitude de mesure est gale la demi largeur de cet intervalle.

VI I - Complments de vocabulair e (VI M ) :-Indication dun instrument de mesure:

- Valeur fournie par un instrument de mesure ou un systme de mesure(VIM).

Exemple :Un voltmtre de calibre 20 V affiche le nombre 10.00(sans unit) : ce nombre

est lindication directe In de linstrument.Linstrument a t rgl pour effectuer une mesure directe m = 1In.

La valeur mesure est donc m =1(V)In = 10,00 V qui est aussi lindication delinstrument.

- Grandeur dinfluence:Une grandeur dinfluenceest une grandeur qui nest pas le mesurande mais quia un effet sur la valeur mesure.

Exemple :

La conductivit dune solution dpend de sa concentration et de sa temprature.Si lon tablit la fonction concentration = f(conductivit) une temprature 0,en mesurant la valeur de la conductivit, on pourra prvoir la valeur de la

concentration. Si la temprature varie de 2 C autour de 0, la valeur de laconcentration varie peu, mais celle de la conductivit varie beaucoup, ainsi quele rsultat de mesure. La temprature est une grandeur dinfluence.
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Chapitre II

Les outils statistiques utiliss en mtrologie.

Nous avons dfini dans le chapitre I quelques grandeurs fondamentales de la mtrologie :

mesurande, valeur vraie du mesurande, rsultat de mesure, erreur de mesure, erreuralatoire et erreur systmatique.

Nous avons vu aussi que la valeur de ces grandeurs est en gnral inaccessible

exprimentalement : la seule chose que lon puisse faire cest dfinir un intervalle de valeurs

auquel appartient probablement la valeur dune grandeur. Les grandeurs utilises en

mtrologie ne sont donc, en gnral, pas reprsentes par des nombres mais par des

intervalles de valeurs probables de ces grandeurs : la dfinition de ces intervalles permet

lvaluation de lincertitude de mesure. Pour manipuler ce type dinformation nous disposons

des statistiques. La dmarche que nous utilisons est celle du GUM (Guide pour lexpression

des incertitudes de mesure publi par lAFNOR (NF ENV 13005 (1999)).

Mais avant de voir comment la communaut des mtrologues value les incertitudes de

mesure, nous allons rappeler, aussi simplement que possible, les bases des statistiques en

nous limitant ce qui est utile en mtrologie. Les dfinitions des grandeurs statistiques sont

celles qui sont adoptes par le GUM.

ALa notion de variable alatoire :ILa frquence dun vnement, notion de probabilit:Reprenons les rsultats de 2000 mesures de la mme rsistance R avec une mthode 4 fils .

Pour construire cet histogramme, le programme ralise N = 2000 mesures mi, divise

lintervalle [mmin; mmax] en 10 sous- intervalles (classes). Il compte le nombre de rsultats n

dans chaque classe et affiche leur frquence freq. Cette frquence est dfinie de la faon

suivante :

freq = (nombre n de rsultats appartenant une classe) / ((nombre total N de rsultats) = n/N.

Le programme affiche la frquence dun vnement (m appartient telle classe) en fonction

de la classe.

Appelons A lvnement m appartient la classe A et nA le nombre doccurrences de

lvnement A parmi la liste des N rsultats.

522 vnements

dans cette classe


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Exemple :

Il y a nA=522 rsultats dans la classe qui contient le plus dvnements. Le nombre total de

mesures N = 2000.

La frquence des rsultats dans cette classe est freq = nA/ N = 522/2000 = 0,261 = 26,1 %.

Cette dfinition permet immdiatement daffirmer quelques vidences:

- Une frquence est toujours comprise entre 0 et 1.- La frquence dun vnement impossible est nulle (nA= 0)- La frquence de lvnement certain est gale 1 (nA= N)

Probabilit :On peut considrer la probabilitP(A) dun vnement A comme la limite de sa frquence

lorsque le nombre de rsultats N tend vers linfini.

Les probabilits ont les mmes proprits que les frquences dont elles sont issues, et en

particulier :

- Une probabilit est toujours comprise entre 0 et 1.- La probabilit dun vnement impossible est nulle.

- La probabilit de lvnement certain est gale 1.Dans notre exemple nous avons constat qu partir de N = 1000 mesures, lallure gnrale

de lhistogramme nvoluait pratiquement plus : on peut alors considrer que la frquence

freq, dans chaque classe, tend vers la probabilit P des vnements.

P ( m < mmin) = P (m > mmax) = 0 = 0%.

P (mmin< m < mmax) = 1 = 100 %

P ( m appartient la classe qui contient le plus dvnements) = 0,261

II- Variable alatoire :- Une variable alatoire est une variable pouvant prendre nimporte quelle valeur dun

ensemble dtermin de valeurs et laquelle est associe une loi de probabilit (GUM).

Une variable alatoire est compltement dfinie par sa loi de probabilit.

Dans notre exemple (histogramme) cette loi est dfinie exprimentalement par une suite de

nombres entiers (on parle alors de variable alatoire discrte : dans lexemple prcdent,

chaque valeur mesure est dfinie avec 7 chiffres).

Si chaque valeur mesure m tait un nombre rel (m pouvant prendre une infinit de valeurs)

et si le nombre de mesures (ainsi que le nombre de classes) tendait vers linfini, on peut

comprendre que la loi de probabilit tende alors vers une fonction (on parle alors de variable

alatoire continue). Ce type de fonction ne peut pas tre obtenu exprimentalement. Ces

fonctions sont des modles mathmatiques dfinis a priori . Nous allons voir comment ces

modles permettent de dcrire certaines situations relles.

Nous nutiliserons que des variables alatoires symtriques centres sur zro donc devaleur moyenne nulle.

1- Premier exemple de variable alatoire continue : distribution rectangulaire

(uniforme)La variable alatoire x est dfinie par la fonction suivante :

1/(2a)

x

-a 0 x1 x2 +a

DP


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Les valeurs DP de laxe des ordonnes sont les valeurs de la densit de probabilit de la

variable alatoire x (ou les valeurs de sa fonction de distribution ou encore celles de sa loi de

probabilit).

Cette notion peut tre interprte simplement en considrant que son intgrale

2

1)2;1(

x

x

xxxPdxDPest la probabilitP pour que la variable alatoire x appartienne

lintervalle [x1; x2] = x.Laire du rectangle A = DP x reprsente donc la probabilit P pour que la variablealatoire x appartienne lintervalle x. Si P = 0,1 = 10 % cela signifie quil y a 10 chancessur 100 pour que la valeur de la variable alatoire appartienne cet intervalle.

Cette fonction est appele une fonction de distribution rectangulaire (ou uniforme).

Sa demi largeurest a et, dans notre exemple, cette fonction de distribution est centre

sur 0 (la valeur moyenne de x entre les bornes - a et + a est nulle).

Il apparat que, pour un mme intervalle x appartenant lintervalle a, la probabilit P estconstante : la variable alatoire x a autant de chances dappartenir un intervalle x constant,quelle que soit sa valeur sur lintervalle a.

La probabilit P pour que la variable alatoire x appartienne lintervalle a est

%100)a;a(pdxDp

a

a

: il est certain que la valeur de la variable alatoire x appartient

cet intervalle.

Exemple dutilisation de ce type de distribution:Considrons un banc optique sur lequel sont installs un objet lumineux, un cran, et une

lentille convergente. La position de chaque lment est repre par un index sur un rglet.

Les positions de lobjet et de lcran sont fixes et lon recherche la position x de la lentillequi donne une image nette de lobjet sur lcran. On constate quil y a toute une classe de

positions qui correspondent cette condition et que xmin < x < xmax. La valeur vraie xvrai

appartient cet intervalle et elle est inconnue. Si lon fait une mise au point au hasard

toutes ces positions ont la mme probabilit. Dans tous les cas il y a une erreur de mise au

point ERmap = x - xvrai . Pour exprimer lensemble de ces rsultats, on retient la valeur

mdiane de lintervalle prcdent, x = (xmax+ xmin)/2 comme valeur mesure de x.

On associe ensuite lerreur ERmapune variable alatoire mapde distribution rectangulaireet de demi-largeur a = (xmaxxmin)/2.

On peut alors crire que x = xvrai + mapou que xvrai= x - map,, ce qui signifie que la valeurrecherche, x

vrai, peut avoir, avec la mme probabilit, nimporte quelle valeur sur

lintervalle [xmin; xmax].

2- Deuxime exemple de variable alatoire continue : distribution normale (gaussienne)

DP :densit de probabilit

3/(2a)

-a 0 + a

x


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En toute rigueur, la valeur de cette fonction de distribution tend vers zro lorsque x tend vers

- ou + . La reprsentation de cette fonction a t simplifie en la bornant par les limitesa. La demi-largeur a est dfinie de telle sorte que la probabilit pour que x appartienne

lintervalle a soit de 99,73 %. En dehors de cet intervalle nous considrerons que la fonction

de distribution a une valeur nulle.

Cela revient considrer que %100);(

a

a

aaPdxDP au lieu de 99,7 %.

Dans notre exemple, la fonction de distribution est centre sur zro : la valeur moyenne de

x entrea et + a est nulle.

Il apparat sur la courbe DP (x) que la probabilit pour que x appartienne un intervalle xconstant est maximale si cet intervalle est centr sur zro et quelle diminue pour devenir

pratiquement nulle lorsque lintervalle se rapproche des bornes a.

Pour simplifier, nous continuerons a appeler cette distribution une fonction de distribution

normale (ou Gaussienne) : la vraie fonction de distribution normale joue un rle

fondamental dans le domaine des statistiques.

Exemple dutilisation de ce type de distribution:Revenons au banc optique de lexemple prcdent. Une position x est repre par un index se

dplaant devant un rglet gradu avec un pas de 1 mm. Il est impossible de donner la valeur

de x avec une infinit de dcimales : il a toujours une erreur de lecture ER lec=(xxvrai).

Supposons que lindex soit repr entre les valeurs 11 et 12 du rglet, peu prs au milieu de

cet intervalle : il est certain que la valeur xvrai recherche est comprise entre 11 et 12.

Mais lon voit bien que les valeurs xvrai = 11,5 , 11 et 12 nont pas du tout la mme

probabilit.

Pour exprimer lensemble de ces rsultats, on retient la valeur mdiane de lintervalle,

x = (11+ 12)/2 = 11,5 comme valeur mesure de la position x.On associe ensuite lerreur ERlecune variable alatoire lecde distribution normale et dedemi-largeur a = (1211)/2 = 0,5.

On peut alors crire que x = xvrai + lecou que xvrai= x - lec= 11,5 - lec.Cela signifie que la valeur recherche, xvrai, peut avoir nimporte quelle valeur sur

lintervalle [11; 12] mais que la probabilit pour que la valeur xvraisoit au voisinage de 11,5

est maximale.

Remarque :

Pour une position quelconque de lindex devant le rglet on peut retenir comme rsultat de

mesure une valeur dcimale estime (11,2, par exemple) mais on conservera la variable

alatoire

lecprcdente pour dcrire lerreur de lecture. Un mtrologue trouvera peut trenotre valuation critiquable, mais il ne sagit que dun exemple.

La mtrologie utilise une grande varit de fonctions de distribution. Pour simplifier,

nous nutiliserons que des fonctions de distribution rectangulaires ou normales . Ce

choix savre suffisant lorsquil sagit dvaluer les activits exprimentales dans un

lyce.


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B- Lcart-type dune variable alatoire:Cette grandeur joue un rle essentiel lorsquil sagit de faire des calculs sur des variables alatoires.

Dfinition :La faon la plus simple dinterprter la fonction de distribution dune variable alatoire x

consiste la discrtiser. Considrons N valeurs x galement rparties autour de la valeur

moyenne des N valeurs.La probabilit P dobtenir une valeur x sur un intervalle x est P = nx/N ( nxtant le nombrede valeurs x appartenant lintervalle x).Lcart-type exprimental (N-1)Nde la variable alatoire discrte x est dfini par

((N-1)N) =2

1

)(1

1

N

i

xxiN

= variance exprimentalede x ( est la valeur moyenne

des N valeurs x).

Si N tend vers linfini, la variable alatoire discrte tend vers une variable alatoire continue.

La valeur moyenne des N valeurs tend vers la valeur centrale de la fonction de

distribution (la valeur moyenne de la fonction de distribution continue).

Lcart-type exprimental (N-1)Ntend vers lcart-type de la fonction de distribution.Pour une fonction de distribution continue dfinie, le calcul de lcart-type est conduit pour

-< x < +(intgrale).

Dans tous les cas, lcart-type dune variable alatoire reprsente la dispersion des

valeurs de la variable alatoire autour de leur valeur moyenne.

Pour une fonction de distribution rectangulaire de demi-largeur a , lon dmontre que

= a / 3 = 0,58 a.Notre fonction de distribution normale de demi-largeur a , est dfinie de telle sorte que

= a /3 = 0,33 a.

Pour une vraie fonction de distribution normale (et seulement dans ce cas) lon dmontre

que la probabilit P pour que la variable alatoire x appartienne lintervalle estP = 68 ,27 %.

Sur lintervalle 2, P = 95,45 % et sur lintervalle 3 , P = 99,73%. Nous avons doncborn la fonction de distribution normale avec a = 3 .

Remarque importante :Si lon considre une fonction de distribution normale de demi largeur a lon a

= 0,33a. Pour une fonction de distribution rectangulaire ayant la mme demi largeur a ,lon a = 0,58 a.Il apparat que (rectangulaire) # 2 (normale) : pour une mme demi largeur, lcart-typedune fonction de distribution rectangulaire est pratiquement deux fois plus grand que celui

dune distribution normale.

C- Variables alatoires indpendantes : le thorme des variances :I-Variables alatoires indpendantes :Lindpendance de deux variables alatoires peut tre dfinie mathmatiquement(probabilits

conditionnelles).


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En pratique, deux variables alatoires sont indpendantes sil ny a aucune relation entre leurs

valeurs. Si ce nest pas le cas, les variables alatoires ne sont pas indpendantes et lon dit

quelles sont corrles.

Exemple de var iables alatoi res indpendantes (cas gnral ) :

On mesure U et I pour valuer R = U/I.U = Uvrai + U: Uest la variable alatoire associe lerreur ERU= U - Uvrai.

I = Ivrai + I: Iest la variable alatoire associe lerreur ERI= I - Ivrai.Il ny a aucune relation entre les valeurs des variables alatoires Uet I associes deuxinstruments de nature diffrente. Ces variables alatoires sont indpendantes :si lon change

lun des deux instruments, cela ne change pas lerreur de lautre instrument.

Exemple de var iables alatoires non indpendantes (cas rare) :Deux masses m1et m2de 50 g ont t ajustes par comparaison un talon met+ et de 50 g.

etest la variable alatoire associe lerreur sur la valeur de met.Les variables alatoires

m1et

m2associes aux erreurs de mesure de m

1et m

2sont toutes les

deux fonction de et. Les variables alatoires m1 et m2ne sont pas indpendantes : si lonrecommence en changeant dtalon les deux variables alatoires seront affectes de la mme

faon.

II- Loi de probabilit dune somme de variables alatoires:Considrons une variable alatoire X de densit de probabilit constante (1/2a) sur [-a,+a] (loi

de distribution rectangulaire) et calculons les lois de probabilit de la somme de 2, 3 et 4

variables alatoires identiques et indpendantes par convolution des lois de probabilit.

Nous ne donnerons pas le dtail de ces calculs complexes : seuls nous importent les rsultats.

- La variable alatoire de densit de probabilit constante sur [-a,a] :

X[-a,a] f(X) = 1/2aX[-a,a] f(X) = 0Ecart-type = 0,58 aDemi largeur P = 95% : 0,95 a.

Pour une demi largeur 2= 1,16 a, P > 95%.Les variables alatoires X, Y, Z et T sont toutes identiques.

Sur le graphique on a reprsent les lois de probabilit de : X, X+ Y, X+Y+Z, X+Y +Z+ T.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

X

X+Y

X+Y+Z

X+Y+Z+T


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Rsultats :- Somme X + Y de deux variables alatoires indpendantes de densit de probabilit

constante sur [-a, +a] :On obtient une loi de probabilit triangulaire.

Ecart-type : X+Y= 0,82 a

Remarque : (X+Y) = 0,67 a = X + Y = 2(0,58) aDemi largeur P = 95% : 1,552a

Pour une demi largeur 2= 1,64 a, P > 95%- Somme X + Y + Z de trois variables alatoires indpendantes de densit de probabilit

constante sur [-a,a] :On obtient une loi de probabilit en cloche .

Ecart-type : = aRemarque : (X+Y+Z) = a = X +Y +Z = 3(0,58) aDemi largeur P = 95% : 1,937a

Pour une demi-largeur 2= 2 a, P > 95%.

- Somme X+ Y+ Z+ T de quatre variables alatoires indpendantes de densit de

probabilit constante sur [-a,a] :On obtient une autre loi de probabilit en cloche .

Ecart-type : = 1,16 aRemarque : (X+Y+Z+ T) = 1,3456a = X +Y +Z + T= 4(0,58) aDemi largeur P = 95% : 2,239a

Pour une demi largeur 2

= 2,32 a, P > 95% (lgrement)

Premier commentaire :Nous constatons que la loi de probabilit dune somme de variables alatoires tend vers une

distribution normale. Cela nest pas un cas particulier et cest ce qutabl it le thormecentral limite .

Thorme central limite :Ce thorme trs gnral est une extension de la tendance la loi de Gauss. Il affirme, en

gros, que toute variable alatoire dfinie comme une fonction dun grand nombre de variables

alatoires indpendantes, de lois de probabilit diverses, tend tre dcrite par une loi

gaussienne. La convergence vers la gaussienne est meilleure pour les valeurs centrales

(proches de la valeur moyenne), que sur les ailes, ce qui explique le nom du thorme. C est

la raison pour laquelle la loi de Gauss est si rpandue, tel point quon lappelle loi normale.

Deuxime commentaire :

Dans tous les cas tudis, la probabilit P pour que la valeur de la variable alatoireappartienne lintervalle [-2, +2] est suprieure 95 %. Rappelons que pour unedistribution normale cette probabilit est pratiquement gale 95 %. Il ny a pas de

dmonstration gnrale de cette proprit : nous constatons simplement quelle est vrifie

dans un grand nombre de cas.

Troisime commentaire :Dans tous les cas prcdents lon vrifie que la variance dune somme de variables alatoires

est gale la somme de leurs variances. Ce rsultat trs gnral est vrai dans tous les cas,

condition que les variables alatoires soient indpendantes : il est connu sous le nom de

thorme des variances .


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III- Le thorme des variances :Nous venons de voir une forme simple de ce thorme lorsque lon effectue une somme de

variables alatoires.

Trs souvent, la valeur mesure m dun mesurande M est issue dun calcul (mesure indirecte)

et m = f(x, y, z, ..).

Les valeurs de x, y, z,.. sont affectes par une erreur ERi. A chaque erreur lon associe unevariable alatoire i. Chaque variable alatoire est dfinie par sa fonction de distribution etson cart-type i.Le rsultat m est lui aussi affect par une erreur ERm. La variable alatoire m qui lui estassocie rsulte de la composition des variables alatoires i. En mtrologie lon ne recherche

pas la loi de distribution de la variable alatoire m. On se contente dvaluer son cart-typemen utilisant le thorme des variances sous une forme plus gnrale.

Pour une fonction m = f(x, y, z,), si les variables alatoires associes aux grandeurs x,y, z, sont indpendantes, lon montre que:

m = ((m/x) x) + ((m/y) y) + ((m/z) z) + .

Remarque 1 :

Les termes du type (m/x) sont les drives partielles de la fonction m(x, y, z,..). Cette

fonction doit donc tre drivable.Ces termes sont souvent appels des sensibilits : ils reprsentent le poids dune variable

alatoire dans lvaluation de lcart-type m.Tous les termes du type(m/x) xont la mme unit que m.

Remarque 2 :

Le thorme des variances ne donne aucune information sur la loi de distribution de lavariable alatoire m. On ne peut donc pas calculer avec quelle probabilit P la valeur de Mappartient lintervalle m. Cest un vrai problme, car nous cherchons exprimerlincertitude de la mesure de M, cest dire un intervalle de confiance associ un niveau de

confiance (une probabilit). Les rsultats du II et le thorme central limite peuvent nous

aider. Il est probable que la loi de distribution de m soit proche dune loi normale et dans cesconditions la probabilit pour que M appartienne lintervalle2mest denviron 95 %.Si la loi de distribution nest pas normale nous avons vu, sur des exemples, que la probabilit

pour que mappartienne lintervalle 2mtait suprieure 95 %. Mais il ne sagit pasdune dmonstration, seulement dune hypothse raisonnable.

Remarque 3 : formes simples du thorme des variancesOn rencontre trs souvent des fonctions m(x, y, z,) qui vitent de calculer des drives

partielles. Parmi les plus utilises citons, sans dmonstration :

- Somme algbrique : si m = x + y alors m = x + y.

- Produits : si m = (x

y)/z alors (m/m) = (x/x) + (y/y) + (z/z)

Cette forme est trs souvent rencontre en Chimie.

- Si m= a

x + b, a et b tant des valeurs constantes sans incertitude , alorsm= ax.


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IV- La loi de Student1-Aspect mathmatique :- Considrons une variable alatoire x desprance mathmatique XC(la valeur centrale de la

distribution) et dcart-type x, suivant une loi normale.- Considrons N observations xitires de cette distribution :

Nest la moyenne arithmtique des N observations x ide x.(N-1)N= (((xi - N) ) / (N-1)) est lcart-type exprimentalde la distribution des Nmesures autour de N.

- Les xi valeurs sont des variables alatoires suivant une loi normale, desprance

mathmatique XCet dcart-type x.N= (x1 + x2+ xN)/N : les grandeurs xitant des variables alatoires, il en est de mme

de N. Les variables alatoires sont indpendantes et le thorme des variances conduit

N = x/N. Toutes les variables alatoires ont une distribution normale et il en est demme pour la variable alatoire N.

- (n-1)N/N est lcart-type exprimental de N.

Pour les mmes raisons, lcart-type exprimental (N-1)N est une variable alatoire centresur x.- Cela signifie que si lon ralise le tirage de N nouvelles valeurs de x, on nobtiendra pas

forcment les mmes valeurs de Net de (N-1)N.

Graphiquement : (qualitativement, les chelles sont approximatives)

Ainsi, si on augmente le nombre N dobservations, on diminue lcart-type de la distribution

des valeurs N autour de la valeur centrale XC (les diffrentes valeurs obtenues de Nsont de moins en moins disperses autour de XC).

- La loi de Student :

On montre que la variable t (N,P) = (NXC) / (((N-1))N/N) suit la loi de Student N-1

degrs de libert.

+ 3x/N- 3x/N XC

Valeur centrale de la distribution des

mesures xi (N mesures): XC

Ecart-type de la distribution : xEcart-type exprimental de la

distribution des N valeurs xi :(n-1)N= ((xi- N) ) / (N-1))

DP :densit de probabilit

N

- 3 x XC +3x

x

N mesures

N

DP Valeur centrale de la distribution des

valeurs N (on ralise plusieurs fois N

mesures) : XC

Ecart-type de la distribution : x/N

Ecart-type exprimental de la distribution

des valeurs moyennes N : (n-1)N/N


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- Les valeurs de la fonction t(N,P) (N mesures et niveau de confiance P%) sont donnes dans

des tables.

- Voici quelques valeurs du coefficient t (pour N mesures et un niveau de confiance de P%)N 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 20

P=95% 4,3 3,82 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,20 2,16 2,13 2,09

P=99% 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,11 3,01 2,95 2,86

Si N > 20 et P = 95%, on considre que t = 2.

- La relation t (N,P) = (NXC) / (((N-1))N/N) permet dcrire:(NXC) = t(N,P) (((N-1))N/N) et que XC= Nt(N,P) (((N-1))N/N).Si on a choisi un niveau de confiance P = 95 %, cela signifie quil y a 95 chances sur 100 pour

que la valeur centrale XC de la distribution des observations appartienne lintervalle

N t(N,95%) (((N-1))N/N).- La loi de Student permet donc, partir de N observations, de dfinir un intervalle de

confiance contenant la valeur centrale XCde la distribution avec un niveau de confiance

dfini. Cet intervalle sera dautant plus troit que le nombre dobservations N sera plus

grand.

2- Utilisation de la loi de Student dans un laboratoire denseignement- Considrons N valeurs mesures mi dun mme mesurande M.

- Considrons que toutes ces valeurs sont tires dune distribution normale centre sur MCet dcart-type m.

- Soit N la moyenne arithmtique des N valeurs.

- Soit(N-1)N= (((mi- N) ) / (N-1)) lcart-type exprimental de la distribution des Nvaleurs autour de la valeur N.- Soit Mvrai la valeur vraie du mesurande M. Chaque valeur mesure mi= Mvrai+ ERS + .

ERS est lerreur systmatique de la mesure: elle prend la mme valeur lors de chaque mesure et cette valeur est inconnue.

est lerreur alatoire de la mesure: si les mesures sont tires dune population normale dcart-type malors la variable alatoire a

aussi une distribution normale dcart-type m et elle est centre sur zro.

- Si ERS 0 et si N tend vers linfini alors NMvrai.

La loi de Student permet, avec N mesures, de dfinir lintervalle

Nt(N,95%) (((N-1))N/N) qui contient la valeur Mvraiavec un niveau de confiance de 95 %.

- Si la valeur de ERS est diffrente de zro, et si N tend vers linfini alors

N Mvrai + ERS. La valeur de lerreur systmatique ERS tant inconnue, il est impossible, partir de N mesures, de dfinir unintervalle contenant la valeur Mvrai.

Il y a plusieurs faons de raliser N mesures dun mme mesurande.

a) Mesures effectues dans les condit ion s de reproducti bi l i t:-Dune mesure lautre, on essaie de faire varier un maximum de paramtres. Cest ce que lon fait quand N groupes dlves ralisent la

mesure dun mme mesurande M avec du matriel diffrent. Si toutes les erreurs sont alatoires, alors il ny a pas derreur systmatique et

NMvrai.

-Les sources derreur tant multiples, il est probable que lerreur alatoire qui conduit la dispersion des mesures ait une distribution

normale (thorme central limite).

-La loi de Student permet alors, avec N mesures, de dfinir lintervalle

Nt(N,95%) (((N-1))N/N) qui contient la valeur Mvraiavec un niveau de confiance de 95 %.

- Malheureusement toutes les erreurs ne varient pas forcment dune mesure lautre (la temprature de la salle, par exemple, est la mme

pour chaque groupe) et chaque mesure est affecte dune erreur systmatique ERS.

- Cette mthode est sduisante, mais elle est risque: la valeur moyenne N peut tre trs diffrente de Mvrai: le rsultat de mesure estalors faux.

-La faon la plus simple de sassurer que cette mthode est correcte est de mesurer un mesurande talon dont la valeur est dfinie sur un

intervalle connu avec un niveau de confiance garanti (on vrifie alors aussi que la distribution des mesures peut tre considre comme

normale).

b) Mesur es effectues dans les condi tions de rptabi l i t:


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- Le mme oprateur effectue N mesures m i dun mme mesurande Mvrai dans les mmes

conditions (conditions de rptabilit). Si les N mesures nont pas la mme valeur, alors il y a

une erreur alatoire de rptabilit.

Les origines de lerreur de rptabilit sont multiples:

- La valeur du mesurande peut tre mal dfinie ( irrgularit de lpaisseur dune pice,

par exemple).- Instabilit des diffrents tages dune chane de mesure.- Influence de loprateur ( ajustage du niveau dune fiole jauge, par exemple)

Dans ces conditions, il est probable que la variable alatoire associe cette erreur ait une

distribution normale.

- La dispersion des valeurs mesures est due la seule erreur de rptabilit et m i= Mvrai+

ERS + repPuisque dune mesure lautre rien ne change, beaucoup derreurs prennent chaque fois la

mme valeur : il y a toujours une erreur systmatique ERS de valeur inconnue.

Sil ny a pas derreur de rptabilit, la valeur mesure est m = Mvrai+ ERS.

Sil y a une erreur de rptabilit, la valeur mesure m est reprsente par un intervalle devaleurs quil fautvaluer.

Nous verrons dans le chapitre III comment la loi de Student peut conduire lvaluation de

cet intervalle.


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Chapitre III

Evaluation de lincertitude de mesure-La dmarche que nous utilisons est celle du GUM (Guide pour lexpression des incertitudes

de mesure : la version franaise est dite par lAFNOR (NF ENV 13005), la version anglaise

est disponible sur le site de lOIML).

-Aprs avoir dcrit lessentiel des mthodes utilises par le GUM, nous entreprendrons de les

simplifier : un laboratoire denseignement nest pas un laboratoire de mtrologie.

- Lorsque les grandeurs sont dfinies en gnral, nous utilisons les notations du GUM. Nous

simplifions ces notations lorsque les grandeurs sont dfinies avec une unit.

A- Erreur et incertitude de mesure

I- Mesure de la valeur dun mesurande: erreur de mesure- On prsente un mesurande de valeur vraie Mvrai inconnue lentre dun systme de mesure

et lon recherche la valeur Mvrai. Le systme de mesure produit une valeur mesure m, imagede Mvrai.

- Il y a toujours une erreur ER = m Mvrai et la valeur de cette erreur est toujours

inconnue.

Il est donc impossible dobtenir la valeur Mvrai partir de la valeur m.

II- Incertitude de mesure :- La valeur de lerreur ER est toujours inconnue, mais nous disposons doutils permettant

dvaluer quel intervalle [- M ; + M] appartient cette valeur, avec un niveau de confiancede 95 %.

Un rsultat de mesure nest jamais un nombre: cest toujours un intervalle

de confiance associ un niveau de confiance P.

- Il y a 95 chances sur 100 pour que la valeur

de lerreur ER appartienne lintervalle de

confiance [-M ; +M].- La valeur M de lincertitude de la mesureest, par dfinition, gale la moiti de la

valeur absolue de lintervalle [-M ; +M].- Il y a donc 95 chances sur 100 pour que la

valeur vraie du mesurande appartienne

lintervalle(m- M; m+ M).- Le rsultat de mesure est :

M = m M unit avec P = 95 %.

Valeur vraie

du mesurande

M

Valeur

mesure mSystme de

mesureMvrai(valeur

inconnue)

Mvrai

m

Erreur ER = m - Mvrai

Valeur

mesure m

Erreur ER

m + M

m - M

Mvrai

m

Intervalle de

confiance 2M.

Niveau de confiance

P = 95 %.


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B- Evaluation de lincertitude dune mesure directeUne mesure est directe si lon obtient sans calcul la valeur mesure.

Exemple: mesure de la longueur M dun cylindre mtallique avec un pied coulissenumrique au 1/100 mm.

La valeur mesure est m (lecture directe) et lon recherche la valeur Mvraide cette longueur.

ILes sources derreurde mesureLerreur de mesure ERm= mMvraiest due la composition de deux erreurs .

1- Erreur de rglage ERinstde linstrument.La valeur de cette erreur est inconnue. Mais le constructeur du pied coulisse indique

quelle appartient lintervalle [- 0,03 ; +0,03 ]mm (la valeur du niveau de confiance P

nest pas prcise).

2- Erreur de rptabilit ERrepN mesures de la mme longueur, par le mme oprateur, dans les mmes conditions, ne

donnent pas la mme valeur mesure m. Pour une mesure, la valeur de lerreur ERrep

est inconnue.Pour une valeur mesure m, la valeur de lerreur ERm= ERinst + ERrepest inconnue.Il faut rechercher quel intervalle [-M ; + M] appartient la valeur de cette erreur,avec un niveau de confiance dau moins 95 %.

II- Erreurs indpendantesDeux erreurs sont indpendantes si la valeur de lune ne dpend pas de la valeur de

lautre.Dans notre exemple, la valeur de lerreur ERinstest indpendante de la valeur de lerreur

ERrep.

- Si des erreurs sont indpendantes, alors le thorme des variances permet dvaluer

simplement le rsultat de leur composition.- Pour notre exemple, ERm= ERinst+ ERrep: les valeurs de ERinstet ERrepsont inconnues,

donc la valeur de ERmlest aussi.

Remarque :Si des erreurs sont indpendantes, alors les variables alatoires qui leur sont attaches le sont

aussi : nous utiliserons indiffremment erreurs indpendantes ou variables alatoires

indpendantes .

III- Les recommandations du GUM pour obtenir des informations sur lerreur ERm- Les diffrentes sources derreur ERi ont t repres et lon a vrifi que toutes les erreurs

sont indpendantes. Pour une mesure directe m, ERm= ER1+ ER2+..+ ERi.

1- On associe chaque erreur ERiune variable alatoire i.Chaque variable alatoire est dfinie par le type de sa fonction de distribution , sa demi

largeur aiet son cart-type i.Dans un laboratoire denseignement, nous nutiliserons que des fonctions de distribution

normales (gaussiennes) ou rectangulaires (uniformes).

Pour une distribution normale, lcart-type = 0,33 a.Pour une distribution rectangulaire, lcart-type = 0,58 aDans notre exemple :

- Evaluation de lerreur ERinst:


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Le constructeur de linstrument garantit que la valeur de cette erreur appartient

lintervalle [- 0,03 ; + 0,03] mm sans prciser la valeur du niveau de confiance. Dans le

doute, on associe cette erreur une variable alatoire de distribution rectangulaire et de

demi largeur a = 0,03 mm. Lcart-type inst= 0,58 a. Nous reviendrons sur cettevaluation.

- Evaluation de lerreur ERrep:Cette erreur est value en effectuant, dans les mmes conditions, N mesures du mme

mesurande. On considre que la variable alatoire associe cette erreur a une distribution

normale. Son cart-type est valu partir de lcart-type exprimental (N-1)N(si N est >50, la valeur de lcart-type exprimental est proche de la valeur de lcart-type repde lavariable alatoire associe lerreur ERrep). Nous reviendrons sur cette valuation.

3- On utilise le thorme des variances pour valuer lcart-type mde la variablealatoire associe lerreur ERm.

Dans le cas gnral, m = (i)Dans notre exemple, m = inst + rep

Pour le GUM :

- Les carts-types isont appels des incertitudes - typenotes u(i)Dans notre exemple :

uinst = inst et urep= rep.Le thorme des variances scrit alors : um = uinst + urep et lon obtient lincertitude - type

umassocie lerreur ERm.

- Les valuations exprimentales des incertitudes- type sont appeles des valuations de type

A.Cest le cas de lincertitude - type urep.

- Toutes les autres mthodes dvaluation de incertitudes-types sont appeles des valuations

de type B.

Cest le cas de lincertitude - type uinst.

4- On multiplie lincertitude-type umpar un facteur k pour obtenir lincertitude largie

Um= k um(en gnral, le facteur k = 2).

5- Le rsultat de mesure est M = m U(m) (k = 2) + unit

IV - Simplification de la mthode gnrale recommande par le GUM1- Nous utilisons dans tous les cas un facteur dlargissement k = 2constant :

Le thorme des variances um = (ui), scrit aussi (kum) = (kui).Ou encore, puisque lincertitude largie Ui= k ui, Um = (Ui).Dans ces conditions, les incertitudes largies se composent comme des incertitudes-type et

lon obtient directement Um donc la valeur de lincertitude largie Umrecherche. Cette

proprit est tout fait gnrale et lon peut lutiliser dans tous les cas.

- Si le facteur dlargissement k est toujours gal 2, alors, dans tous les cas, les

incertitudes largies se composent comme des incertitudes type. On obtient alors

directement une incertitude largie.Dans notre exemple :


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uinst= 0,58 a et Uinst= 2uinst = 1,16 a (a = 0,03 mm)urep = (N-1)Net Urep = 2 urep= 2(N-1)N( si N > 50).Donc Um = Uinst + Urep

2- Utilisation de cette mthode (mesure directe) :

a) Reprer les sources derreur et vrifier que les erreurs sont indpendantes.b) Associer chaque erreur une variable alatoire dcart-type i= ui. Calculer les

incertitudes largies Ui.

c) Composer les incertitudes largies Uipour obtenir lincertitude largie Um:

Um = (Ui).- Avec des lves, on pourra noter M lincertitude largie Umet appeler cette grandeurlincertitude absolue, ou lincertitude de la mesure.

- Puisque nous utilisons toujours un facteur k = 2, on a toujours Um= 2 m.Nous avons vu dans le chapitre II que la probabilit P pour que la valeur dune variable

alatoire centre sur zro appartienne lintervalle [-2, +2] est suprieure 95 %. Il ny apas de dmonstration gnrale de cette proprit : nous constatons simplement quelle estvrifie dans un grand nombre de cas.

d) Rsultat de mesure :

Le rsultat de mesure est M = m Umou m M (P = 95 %) : il y a 95 chances sur 100pour que la valeur Mvraiappartienne cet intervalle.

3- Intrts de cette simplification :- Sil sagit dvaluer une incertitude, le passage par les variables alatoires et leur

cart-type est incontournable.

- Mais la mthode simplifie permet de prsenter le rsultat de lvaluation de

lincertitude sous la forme M = ( (Ui)). Si le professeur indique aux lves lafaon de calculer les termes Ui(ou donne leur valeur), il peut viter de parler aux

lves de fonctions de distribution, dcart-type et dincertitude-type.

- Dautre part, le rsultat de mesure m M est associ un niveau de confiance P de95 %. Cela nous a conduit modifier les notations du GUM.

Nous proposons nos lves de noter le rsultat de mesure sous la forme :

M95%= m M (+ unit) .Lindice 95% indique explicitement que le niveau de

confiance de cet intervalle est de 95 %.

V- Chiffres significatifs de lincertitude et de la valeur mesure :- Lvaluation de la valeur dune incertitude largie passe par lvaluation de ses composantes

Uipar une mthode de type A ou B.

- Pour une mthode de type A, lcart-type exprimental (N-1)N est dautant plusproche de la valeur recherch , que le nombre N de mesures est plus grand. Cenombre tant en gnral limit par la dure des mesures, il y a une incertitude sur la

valeur (N-1)N (plusieurs sries de N mesures dun mme mesurande ne donnent pas lemme rsultat).

- Pour une mthode de type B, il y a souvent un doute sur la nature de la fonction dedistribution utiliser donc une incertitude sur la valeur de lincertitude largie

prendre en compte. Dans ce cas, nous choisissons systmatiquement la fonction qui

a statistiquement le plus de poids , cest dire une fonction de distribution

rectangulaire.


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- Ainsi, toutes les valeurs dincertitude largies sont incertaines et il en est de mme deleur composition. Il y a donc toujours une incertitude sur la valeur dune

incertitude.

- La valeur dune incertitude ne rsulte pas dun calcul rigoureux: il sagit plutt dune

valuation ne conduisant jamais une minoration de la valeur de lincertitude. Dune faongnrale lincertitude relative sur la valeur dune incertitude est de lordre de 30 % .- Dans ces conditions, la valeur dune incertitude doit tre exprime avec un nombre de

chiffres significatifs limit.

- Le GUM recommande dexprimer la valeur dune incertitude de mesure avec au maximum

deux chiffres significatifs.

-Nous proposons nos lves de toujours arrondir la valeur dune incertitude avec deux

chiffres significatifs et de conserver le nombre de chiffres significatifs correspondant pour la

valeur mesure m.

Attention: cette opration ne doit tre effectue que lorsque lon est prt exprimer le

rsultat de mesure (il faut viter les arrondis intermdiaires lors des calculs).

Remarque :Dans certains cas, un chiffre significatif est suffisant. Prendre systmatiquement 2 chiffres

significatifs conduit alors utiliser unchiffre significatif nayant pas de sens, mais est-ce bien

grave ?

VI- Adaptation du vocabulaire du GUM- Notations du GUM :Mesurande : M

Valeur mesure : m

Incertitude largie : Um

Rsultat de mesure : M = m Um( k = .) + unitSi le mesurande est une rsistance R, il est exclu que nos lves notent r la valeur mesure de

R.

- Notations lves :Nous utilisons les notations suivantes :

Mesurande : M (exemples : R, r, U, I,)

Valeur mesure : M (exemples : R, r, U, I,)

Incertitude (absolue) : M (exemples : R, r, U, I,)Rsultat de mesure : M95%= M M (exemple : R95%= R R) + unit

- Avec notre exemple :- Notations GUM :Mesurande : M (longueur du cylindre)

Valeur mesure (une mesure) : m = 15,02 mm

Incertitude type uinst= 0,58 0,03 = 0,0174 mmIncertitude type urep= 0,025 mm

Incertitude type um= (uinst + urep) = ( 3,028 10-4+ 6,25 10-4) = 3,04598 10-2mm

Incertitude largie : Um= 2um= 6,0919619 10-2= 6,1 10-2mm (2 chiffres significatifs)

Rsultat de mesure : M = (15,020 0,061) mm ( k = 2)- Notations lves :

Mesurande : L (longueur du cylindre)

Valeur mesure (une mesure) : L = 15,02 mm

Incertitude largie Uinst= 2 uinst= 0,0348 mm


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Incertitude largie Urep= 2 urep= 0,05 mmIncertitude largie L = UL= (Uinst + Urep) = 6,0919 10

-2= 6,1 10-2mm (2 chiffressignificatifs).

Rsultat de mesure : L95%= (15,0200,061) mm

VII- Incertitude relative- Lincertitude relative de la mesure est le quotient M/M. Cette grandeur, sans unit, permetdvaluer rapidement la qualit dune mesure.

- On considre souvent quelle est un indicateur de sa prcision (rappelons que le terme de

prcision est exclu par le VIM).

Nos lves retiendront que :

- M/M < 1% correspond une mesure de bonne qualit.- M/M > 5% correspond un ordre de grandeur de la valeur du mesurande.

VIII- Erreurs non indpendantes :

- Le thorme des variances restera notre seul outil de composition des incertitudes type,mais il nest utilisable sous une forme simple que si les variables alatoires attaches aux

diffrentes erreurs sont indpendantes. Si les erreurs ne sont pas indpendantes, les choses

deviennent compliques (il faut valuer la covariance des variables alatoires).

- Ce cas de figure est heureusement rare : pour faire face cette situation le lecteur peut

consulter lannexe diffrentielle dune fonction ). Il y trouvera un outil sommaire mais

simple permettant dvaluer la valeur dune incertitude dans tous les cas.

Cela ne nous dispense pas de vrifier que les variables alatoires sont indpendantes

avant de les composer en utilisant la forme simple du thorme des variances !

C- Quelques rgles pour valuer la valeur dincertitudes type ou largies

Au laboratoire, certaines mesures se font directement laide dinstruments de mesurestandard et le GUM recommande dappliquer les rgles suivantes:

- Instrument de mesure analogique (instrument aiguille , lecture sur un rglet ou sur un

rapporteur dangle): lincertitude type de lecture est value partir de la valeur dune

graduation et u(x) = 1 graduation / 12.- Instrument de mesure numrique : le constructeur donne souvent une information sur la

prcision de linstrument sous la forme: prcision = (x% lecture + n UR), UR tant lequantum q de linstrument (digit). Sans autre information, on estime lincertitude type par

u(x) = prcision /3.

Remarque 1 :Les documents techniques font souvent rfrence la notion de prcision bien que le VIM

rejette le terme prcision et lui substitue le terme exactitude .Lexactitude de mesure est ltroitesse de laccord entre une valeur mesure et une valeur vraie du mesurande (VIM).

Remarque 2 :

u(x) = prcision /3 # 0,58 prcision. Cela signifie que lon associe une valeur mesureune variable alatoire centre sur zro, de distribution rectangulaire et de demi largeur

prcision . Ce choix permet de prendre en compte le dfaut dinformation sur le niveau de

confiance de lintervalle [- X ; +X].

Pour un instrument analogique u(x) = 1 graduation / 12 = (0,5 1 graduation) / 3.


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On associe donc une valeur mesure une variable alatoire de distribution rectangulaire,

centre sur zro et de demi largeur a = 0,5 1 graduation. Cela revient considrer quelerreur maximale de lecture est de a = 0,5 1 graduation et que toutes les erreurs de lecture(nous avons fait un autre choix, moins svre, dans le chapitre II).

Exemple 1 :- Le constructeur dun ohmmtre indique que: prcision = 0,1 % lecture + 2 UR.- Sur le calibre 200 on lit R = 100,5 . Le quantum UR = q de linstrument est donc gal 0,1 (cest la plus petite variation de la valeur R que lon peut dceler).- Dans ces conditions : prcision = 10-3 100,5 + 0,2 = 0,3005 . Cette grandeur estexprime avec une unit : il sagit donc dune incertitude absolue que nous notons R.- Le constructeur nous indique ainsi que lerreur de rglage de linstrument appartient

lintervalle [-R ; + R] avec un niveau de confiance raisonnable (dont la valeur nest pasprcise).

- Si lon veut exprimer le rsultat de cette mesure, on crit (100,50 0,30) (sil ny a pas

derreur de rptabilit), en considrant que le niveau de confiance de cet intervalle est leniveau de confiance standard (95%).

- Si lon veut utiliser cette incertitude dans une composition, on prend comme incertitude type

uinst = R/3 = 0,58 R.- Nous composons directement les incertitudes largies et nous prendrons Uinst= 2 uinst=1,16 R.

Exemple 2 :- On repre la position n dun index sur une chelle gradue avec un pas de 1 mm.

- Lindex se trouve entre les valeurs n = 15 et n = 16 mm, plutt du ct 15 mm .

- On neffectue pas dinterpolation: ici le rsultat de mesure est n = 15 mm.

- Lincertitude type de lecture un= 1 graduation / 12 = 1 / 12 = 0,288675 mm- On peut calculer directement lincertitude largie Unavec Un= 1 graduation /3 = 0,57735mm.

- Le rsultat de mesure de la position n est n95%= (15,00 0,58) mm

D- Erreur alatoire et erreur systmatique- Pour distinguer ces erreurs il faut considrer que le mme oprateur effectue, dans les mmes conditions, N mesures du mme mesurande

(conditions de rptabilit).

- Une erreur systmatique est une erreur qui prend la mme valeur (inconnue) lors de

chaque mesure.Exemples :

Erreur de position dune lentille sur son support, erreur due la rsistance des fils de liaison

lors de la mesure dune rsistance, erreur de rglage dun instrument de mesure, ..

- Une erreur alatoire est une erreur qui prend une valeur diffrente lors de chaque

mesure.Exemples :

Erreur de mise au point lors de la formation dune image sur un cran, erreur de rptabilit

I- Erreur systmatique :

1- Evaluation et correction de lerreur systmatique:


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- Exemple : mesure de la valeur dune rsistance R avec un ohmmtre simple (2 fils)

- Si lon branche une rsistance R lentre de lohmmtre, la grandeur mesure est

R*= R + rF.

rFest la rsistance des fils de liaison de la rsistance lohmmtre.

- Quelle que soit la valeur de R, la valeur de rFest constante si les cbles sont toujours les

mmes. Il y a donc une erreur R*

- R = rFconstante lors de chaque mesure : cest une erreursystmatique.

- Dans ce cas, la valeur de lerreur systmatique ERS = rFpeut tre value.

Pour valuer la valeur de cette erreur, on peut mesurer la valeur de la rsistance rFavec un

ohmmtre : on obtient rFrF.- On peut alors corriger la valeur mesure R*pour obtenir R = R*- rF(mesure indirecte).

- Lincertitude de mesure sur la valeur de R rsulte de la composition des incertitudes sur les

valeurs R*et rF.

- La correction dune erreur systmatique est lourde et nous lutiliserons rarement.Chaque fois que cest possible, nous utilisons une mthode nintroduisant pas derreur

systmatique. Pour une mesure de rsistance, on peut, par exemple, utiliser un ohmmtre 4fils : la valeur mesure ne dpend alors pas de la rsistance des fils de liaison.

2Association dune variable alatoire une erreur systmatique

Exemple 1 :

- Le constructeur dun ohmmtre indique que, sur le calibre 200 :prcision = R = 0,1 % valeur mesure + 2 UR.

- On ralise, dans les mmes conditions, N mesures de la valeur de la mme rsistance R et

lon obtient chaque fois la mme valeur mesure r : il ny a donc pas derreur de rptabilit.

- Mais il y a toujours une erreur ERinst

= rRvrai

due aux dfauts et au rglage de linstrument.

- Lors de chacune des N mesures la valeur de cette erreur est constante : cest une erreur

systmatique dont la valeur est inconnue.

- Mais le constructeur de linstrument nous garantit que, si linstrument est en bon tat, la

valeur de lerreur systmatique appartient lintervalle Ravec R = 0,1 % valeur mesure + 2 UR.

- Dans ce cas, lerreur systmatique peut tre positive ou ngative et il nest pas question de la

corriger (de plus, la valeur de cette erreur dpend de la valeur mesure).

- On associe cette erreur systmatique une variable alatoire de distribution rectangulaire,

centre sur zro, et de demi largeur R. Nous avons vu plus haut que, dans ces conditions,lincertitude largie Uinst= 1,16 R.- On ne corrige donc pas lerreur systmatique: elle sera prise en compte dans la composition

des incertitudes largies.

Exemple 2 :

- Tolrance de fabrication dune fiole jauge de 100 mL- Le constructeur garantit que, pour un type de verrerie jauge, la tolrance de fabrication peut

prendre nimporte quelle valeur sur un intervalle Vet. Pour une fiole jauge prise au hasarddans un lot, lerreur dtalonnage est constante (cest une erreur systmatique) mais sa valeur

est inconnue : elle peut tre nimporte o sur lintervalle Vet. On associe cette erreur unevariable alatoire de distribution rectangulaire, centre sur zro et de demi largeur Vet. Dansces conditions, lincertitude largie Uet= 1,16 Vet.


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- On ne corrige donc pas lerreur systmatique: elle sera prise en compte dans la composition

des incertitudes largies.

Conclusion du I :

- Dans tous les cas, nous viterons la correction, lourde, des erreurs systmatiques.

Soit nous utiliserons une mthode derreur systmatique ngligeable, soit nousconsidrerons que lerreur systmatique est reprsente par une variable alatoire

centre sur zro.

- Dans ces conditions, il ny aura pas lieu de distinguer erreurs alatoires et erreurs

systmatiques : seule importera lincertitude type (ou lincertitude largie) attache

chaque erreur.

II- Erreur alatoire- Dans tous les cas, une erreur alatoire est prise en compte en lui associant une variable

alatoire permettant de dfinir une incertitude type et une incertitude largie.

Exemple 1 :

Erreur de mise au point lors de la formation dune image sur un cran (voir le chapitreVIII).- On forme limage dun objet sur un cran en rglant la position n dune lentille, repre sur

un rglet. Si lon ralise quelques mises au point, on constate que lon nobtient pas chaque

fois la mme valeur de n : il y a une erreur alatoire de mise au point ERmap.

Pour valuer cette erreur :

- On recherche les positions extrmes n1et n2donnant une image nette (avec n2> n1).

- On retient comme valeur mesure la valeur mdiane (n2+ n1)/2.

- On considre que toutes les positions sur lintervalle [n1; n2] ont la mme probabilit et on

associe lerreur ERmapune variable alatoire de distribution rectangulaire, centre sur zro,

et de demi largeur (n2- n

1)/2.

- Dans ces conditions, lincertitude largie U(n)map= 1,16 (n2- n1)/2 sera prise en c

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