Mesure de dbit

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MESURE DE DBIT

I - INTRODUCTION

Un premier banc de mesure permet l'tude compare de plusieurs dispositifs de mesure dedbit!: un tube de Venturi, un diaphragme, un coude et un rotamtre ou dbimtre flotteur(figure 1), qui seront talonns grce une mesure par pese. Le but est de comparer lesdiffrents dispositifs de mesure : linarit, prcision, sensibilit, facilit de fabrication etd'emploi, etc

Un deuxime banc de mesure (figure 2) permet une tude plus dtaille du tube de Venturi.Un tube de Venturi est une conduite dont la section varie continment. Dans la premirepartie du tube, les sections vont en dcroissant (zone convergente) ; dans la seconde partie lessections vont en augmentant (zone divergente). Un tube de Venturi est donc un "convergent-divergent" qui est souvent utilis pour mesurer un dbit par mesure d'une diffrence depression. Le principe de l'appareil est bas sur la loi de Bernoulli, valable dansl'approximation de fluide parfait, c'est--dire sans viscosit (prliminaire 1). Le dispositifpermet galement d'tudier la perte de charge le long du dispositif de mesure qui existe car lefluide est toujours visqueux (fluide rel).

II - MANIPULATION DU BANC EXPERIMENTAL "DEBITMETRES"

Les deux bancs de mesures utilisent un multimanomtre qui comporte plusieurs tubesverticaux permettant ainsi de mesurer la pression diffrents endroits d'une conduite par lamesure des hauteurs d'eau. Le multimanomtre n'est pas en liaison directe avec l'atmosphre :les hauts de tous les tubes dbouchent dans un rservoir d'air commun muni d'une valvepermettant de faire une contre-pression rglable.

1. Dispositf exprimental

Le schma (figure 1) montre les diffrents appareils placs dans l'ordre suivant (sens del'coulement) :

- tube de Venturi : deux prises de pression sont situes l'une l'amont (1), l'autre au coldu tube (2).

- divergent : deux prises de pression sont situes l'une l'entre (3), l'autre la sortie(4), mais ne sont pas utilises au cours de cette manipulation.

- diaphragme : Les deux prises de pression respectivement avant et aprs lediaphragme sont les prises (5) et (6). Le rayon de l'orifice est r = 10,5 mm, plus petitque le rayon de la conduite R = 25,5 mm.

- coude : la diffrence de pression dans le coude est obtenue partir des prises (7) et (8).- rotamtre : une chelle gradue permet de mesurer le dplacement du flotteur.

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2. Mode opratoire

Vrification de l'horizontalit

Vrifier l'horizontalit du tube et la verticalit du manomtre ; trois vis situes la base del'installation permettent de faire ces rglages (si vous constater que l'horizontalit estmauvaise contacter l'enseignant avant de faire quoique ce soit).

Figure 1 : Disposition des diffrents dbimtres sur le montage.

Rglage de la sensibilit

Afin d'obtenir la meilleure sensibilit, il faut faire en sorte qu'on puisse avoir un cartmaximum entre le niveau le plus haut et celui le plus bas. Pour ce faire, on procdera de lafaon suivante :

Avant la mise en route de la pompe, on remplira d'air le multimanomtre au maximumsans toutefois introduire d'air dans le banc d'tude. Pour cela ouvrir la valve A pour mettre lerservoir d'air la pression atmosphrique et ouvrir la vanne aval. Refermer alors la valve Aet la vanne aval W.

Mettre en marche la pompe (bouton-poussoir vert) et ouvrir la vanne amont : l'eau l'intrieur du tube Venturi est alors sous pression mais sans dbit (car la vanne aval W estferme), ce qui se traduit par une remonte gale des niveaux d'eau dans les tous les tuyaux dumultimanomtre. Si ce n'est pas le cas, la diffrence est due la prsence de bulles d'air danscertains des tubes qu'il faut soigneusement et dlicatement liminer (attention ne pas tropsolliciter les points de soudure des tuyaux la conduite principale).

Ouvrir progressivement la vanne aval W. En coulement, les niveaux d'eau dans lesmanomtres ne sont alors plus les mmes. Procder alors de faon itrative pour exploitertoute la gamme utile du multimanomtre.:

i) Si le niveau le plus bas du multimanomtre est au zro et si le niveau le plushaut n'est pas au maximum de l'chelle de mesure, rduire la pression de l'air en haut du

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multimanomtre en ouvrant brivement la valve ; les niveaux d'eau se dplacent alors tousvers le haut.

ii) Dans le cas contraire, augmenter lgrement le dbit avec la vanne aval W.Ritrer les tapes (i) et (ii) jusqu' ce que le niveau le plus haut et le niveau le plus basarrivent aux valeurs extrmes de l'chelle de mesure.

Une fois ce rglage fait, ne plus retoucher la valve A pour tout le reste de lamanipulation.

3. Mesures et analyse des rsultats

Mesurer pour diffrentes valeurs du dbit (une dizaine entre 0 et le dbit maximum):- toutes les hauteurs d'eau hi du multimanomtre (sauf la hauteur h4 correspondant la

sortie du divergent),- la position l du flotteur du rotamtre,- le dbit l'aide de la balance.

On aura soin d'arrter la pompe la fin des mesures (bouton poussoir rouge).

Tracer les points exprimentaux sur 4 graphes diffrents:* q v exp = f h1 - h2( ) pour le tube de Venturi,* qv exp = f h5 - h6( ) pour le diaphragme,* qv exp = f ( h7 - h8 ) pour le coude,* qv exp = f(l) pour le rotamtre.

Pour le tube de Venturi et le diaphragme, tracer l'aide des formules donnes en annexeles courbes thoriques sur le mme graphe que les valeurs exprimentales correspondantes.

Tracer sur un autre graphique, les courbes Cq = f Re( ) du coefficient de dbit du tube deVenturi et du diaphragme en fonction du nombre de Reynolds de l'coulement Re = V d / n ,o d est le diamtre de la conduite, V la vitesse correspondante et n la viscosit cinmatiquedu fluide (v = h/r, avec h viscosit dynamique et r masse volumique du fluide). Pour l'eau 20C, h = 10-3 Pa.s et r = 103 kg/m3, donc n = 10-6 m2/s.

Tracer enfin les courbes e = f Re( ) du coefficient de perte de charge du tube de Venturiet du diaphragme en fonction du nombre de Reynolds de l'coulement. Pour le dbitmaximum, calculer la puissance dissipe Pf en Watt de chacun de ces deux dispositifs.

III - MANIPULATION DU BANC EXPERIMENTAL "VENTURI"

1. Dispositif exprimental

Le but de ce second dispositif exprimental est d'tudier plus en dtail l'coulement le longdu tube de Venturi. Le dispositif, schmatis sur la figure 2b, est similaire au banc"Dbitmtre", avec un multimanomtre 11 prises de pression le long du tube de Venturi. Lemode opratoire est identique celui du dispositif exprimental "dbitmtres".

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a)

balance

rservoir d'eau

Vanneamont

Vanneaval

venturi

valve

multimanomtre

pompe

rservoir d'air

b)

25mm 16mm 89mm

16mm 26mm26mm

Figure 2 : a) Schma d'ensemble du dispositif. b) Coupe dtaille du tube de Venturi.

2. Mesures et analyse des rsultats

Relever toutes les hauteurs d'eau hi (i = 1 11) du multimanomtre pour un dbitmaximum et pour un dbit moyen que l'on mesurera.

Dterminer le profil de pression dtaill le long du tube : sur le graphe fourni (le demanderaux enseignants) qui reprsente la courbe d'quation

f (x) = S4S1

2

-S4

S(x)

2

,

o S(x) est la section l'abscisse x, reporter vos points exprimentaux correspondant lacourbe

g(x) = h i(x) - h1 V42

2g

(i = 2 11)

Les abscisses x correspondant aux prises de pression i sont indiques sur le tableau dugraphe fourni. Attention : Il y deux bancs de mesures qui ne sont pas identiques quant auxemplacements des prises de pression le long du tube. Rfrez-vous au tableau correspondant votre banc (notation prime ou non prime).

Commenter et discuter les rsultats obtenus.

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ANNEXE THORIQUE

1. Thorme de Bernoulli

a) Approximation de fluide parfait (sans viscosit)

Thorme de Bernoulli et conservation de la masseAvec les hypothses d'un fluide parfait (viscosit nulle) et incompressible

(r = cte fi div V

= 0 ), d'un coulement stationnaire (indpendant du temps) etirrotationnel (rot

V

= 0

), et en considrant que la force de pesanteur drive d'un potentiel

( F

= -grad

gz ), le thorme de Bernoulli (voir prliminaire 1), qui traduit la conservation del'nergie le long d'une ligne de courant (chaque terme est homogne une nergie par unit devolume) :

p + rgz +r V2

2= cte (1)

est valable en tout point du fluide. On dit que l'coulement est nergie constante.

Pour un coulement dans une conduite de section S variable, en faisant l'hypothsesupplmentaire qu'il y a une rpartition uniforme des vitesses dans chaque section droite,c'est--dire que les lignes de courant sont rectilignes et parallles (ce qui n'est pas tout fait lecas dans les zones convergentes et divergentes) la conservation de la masse s'crit :

qv = V1 S1 = Vi Si = cte , (2)

o Vi et Si sont respectivement les vitesses et sections dans les diffrentes sections i. Enconsidrant en plus que le dispositif est horizontal (z = cte), la relation de Bernoulli s'crit :

p1 + rV12

2= pi + r

Vi2

2 (3)

b) Cas du fluide rel (prise en compte de la viscosit)

Thorme de Bernoulli gnralis

En conservant toutes les hypothses prcdentes sauf celle de fluide parfait, le thorme deBernoulli gnralis, qui n'est autre qu'un bilan de puissance (pour avoir des termeshomognes une puissance, il faut multiplier par un dbit (q = VS) les termes du thorme deBernoulli, homognes une nergie par unit de volume), donne :

V1 S1 p1 + r V12

2

= Vn Sn pn + r

Vn2

2

+ Pf (n = 2 11) (4)

o le terme supplmentaire introduit, Pf, reprsente la puissance dissipe due la viscositdu fluide (Pf > 0). L'quation de conservation de la masse (2) reste valable.

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2. Tube de Venturi

Utilisation du tube de Venturi en dbitmtreLa combinaison des quations (2) et (3) en considrant la section correspondant au col du

Venturi (par exemple i = 4), donne :

p1 - p4 = r 42V

2 1 - S4

S1

2

(5)

Or la diffrence de pression p1 - p4 est mesure par la diffrence des hauteurs d'eau h1 eth4 lues dans les tubes 1 et 4 du multimanomtre diffrentiel : p1 - p4 = r g (h1 - h4 ) .

D'o la relation :

V4 = 2 g

1 - S4S1

2 h1 - h4 (6)

et par suite :

qVth = V4 S4 = S4 2 g

1 - S4S1

2 h1 - h4 (7)

Rpartition dtaille des pressions le long du tube de Venturi

En introduisant les hauteurs d'eau hi, l'quation (3) s'crit : h1 + V12

2 g = hi +

Vi 2

2 g.

En divisant par V4 , il vient alors :

hi - h1V42

2 g

=S4S1

2

-S4Si

2

(7)

Utilisation du tube de Venturi en dbitmtreDans ces conditions, qv rel est plus petit que qv th et l'on pose :

Cq = qvr el qvth

(9)

o Cq est un coefficient sans dimension appel souvent coefficient de dbit (Cq < 1), quiest fonction de la gomtrie du tube et du nombre de Reynolds Re de l'coulement.

Perte de charge due au tube de VenturiAppliquons l'quation (4) en amont et et aval du tube de Venturi, par exemple entre les

sections 1 et 11 o l'on a S1 = S1 1 , c'est--dire V1 = V1 1(par conservation du dbit) ; il vient :

p1 - p1 1 = Pf

V1 S1 =

Pfqv

Soit encore :

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h1 - h1 1 = Pf

r g qvOn pose habituellement :

Pfqv

= er V12

2 (10)

soit :

h 1 - h1 1 = e V12

2 g (11)

o e est un nombre sans dimension, appel souvent coefficient de perte de charge, qui estfonction de la gomtrie du tube de Venturi et du nombre de Reynolds Re.

3. Diaphragme en paroi mince

Un diaphragme plac dans un conduit cre une perte de charge importante. Cependant, sila section de mesure aval (6) est situe proximit (environ un diamtre) du diaphragme(figure 3) la perte de charge entre les sections amont (5) et aval (6) reste faible. La diffrencede pression entre les sections 5 et 6 est relie au dbit. L'exprience montre en effet que lapression est constante non seulement l'intrieur du jet, mais aussi sur tout le reste de lasection.

A

B

C

D

5 6

Figure 3 : Lignes de courant au voisinage du diaphragme.

a) Profils des vitesses dans les sections de mesure (figure 3)- section amont (5) : A l'amont, si la section est situe assez loin du diaphragme pour

que l'coulement n'y soit pas encore perturb (environ un diamtre), le profil des vitesses estcelui d'un coulement permanent en conduit. Si l'coulement est laminaire, le profil estparabolique, si l'coulement est turbulent, le profil est sensiblement plat.

- section aval (6) : L'coulement l'aval est celui d'un jet noy. Donc, si la section demesure est une distance d'environ un diamtre, les vitesses sont uniformes dans toute lasection du jet.

b) Calcul du dbitLe thorme de Bernoulli non gnralis implique que la vitesse soit uniforme dans les

deux sections de mesure (voir prliminaire "tube de Pitot"). Lorsqu'il n'en est pas ainsi, onpeut appliquer le thorme de Bernoulli gnralis sur une surface ferme S ; alors, dans uncoulement permanent, s'il n'y a aucune puissance fournie ou reue l'intrieur d'un volumede contrle, nous avons :

p + r g h + r V2

2

S Vn dS = 0Appliquons cette formule la surface ferme reprsente sur la figure 2 et limite par le

contour ABCD comprenant la section amont (5), les lignes de courant limitant le jet : AC et

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BD, et la section du jet CD situe dans la section de mesure (6). Le long des surfaces latralesil n'y a aucun dbit et il vient donc :

pg + r V2

2

S5 Vn dS = pg + r V 2

2

CD Vn dSo pg = p + rgh est la pression motrice.Dans les deux sections (5) et (6) la vitesse est parallle la direction du tube, ce qui

entrane pg = Cte sur chacune des sections et nous obtenons alors :

pg5 + a5 r V52

2 = pg6 + a6

r V62

2o V5 et V 6 sont les vitesses moyennes dans les sections et o a5 et a 6 sont des

coefficients numriques dpendant uniquement de la loi de rpartition des vitesses. Dans lecas d'un coulement turbulent pleinement dvelopp (section 5) a5 = 1,02 ; dans le cas del'coulement uniforme (section 6) a6 = 1. En reportant on obtient :

pg5 - pg6r g

= h5 - h6 = a5 V52

2 g a6

a 5 V6

V5

2

- 1

Par ailleurs, la conservation du volume s'crit :qv = S5 V5 = s V6 = Cc SD V6

o Cc = sSD

, s est l'aire du jet et SD l'aire du diaphragme.

L'exprience montre en effet qu'au passage du diaphragme, le jet se contracte et ques < S D . Le coefficient de contraction Cc dpend du rapport r/R des rayons du diaphragmeet du conduit, ainsi que du nombre de Reynolds de l'coulement et de la qualit du biseau.Cependant, on peut, en premire approximation, supposer qu'il ne dpend que du rapport r/R.Les valeurs suivantes sont alors suffisantes pour dterminer Cc (tableau 1). Ces valeurs,donnes ici dans le cas d'un canal de section rectangulaire, sont pratiquement identiques pourune section circulaire.

Tableau 1 : Valeurs de CC, d'aprs "Theory of jets in ideal fluids", M.I. Gurevich.

En reportant Cc dans la relation prcdente, on obtient :

h5 - h6 = a 5 V52

2ga6a 5

S5SD

21

Cc2 - 1

et en liminant V5 :

h5 - h6 =a5 q v 2

2g S52

a6a5

S5SD

21

Cc2 - 1

qv th = S5

a 5a6a5

S5SD

21

Cc2 - 1

2g(h5 - h6)

r/R 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9Cc 0,611 0,611 0,616 0,622 0,633 0,644 0,662 0,687 0,722 0,781

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4. Coude

Deux prises de pression places l'amont (7) et l'aval (8) du coude permettent demesurer la chute de pression en coulement rel dans le coude. Les sections S7 et S8 ont lesmmes valeurs et la relation entre la chute de pression et la vitesse est de la forme :

pg 7 - pg 8 = K 1 V2 fi qv = K h7 - h8

5. Rotamtre

Le rotamtre est constitu d'un flotteur pouvant se dplacer dans un tube verticaltransparent dont le diamtre est lgrement croissant (figure 4). Le dplacement du flotteurest sensiblement proportionnel au dbit. Cependant, la thorie qui va suivre est trs simplifieet un rotamtre ncessite normalement un talonnage.

rfd

d

q

l

Figure 4 : sections transverse et longitudinale du rotamtre.

Le rotamtre peut tre assimil un convergent suivi d'un divergent ou plutt unlargissement brusque. Dans cette configuration, le thorme des quantits de mouvementconduit la formule de Borda-Carnot :

DH = 12g

VA - VB( )2

o VA est la vitesse dans la section minimale et VB la vitesse aprs l'largissement.Lorsque le flotteur est immobile, son poids est quilibr par la chute de pression dans le

rotamtre. Le poids du flotteur tant constant, la perte de charge l'est galement :DH = 1

2gVA - VB( )

2 = cte

Nous exprimons d'abord la conservation de la masse : qv = VA SA = VB SB , avec :SA 2p rf d .

SB = SA + p rf2 = p rf + d( )

2

o rf est le rayon du flotteur et d l'espace suppos petit entre le tuyau et le bord extrieurdu flotteur.

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VA - VB = qv1

SA - 1

SB

= qv

SB - SASA SB

o SB - SA = p rf2 et SA SB = 2p rf d p rf

2 + 2p rf d( ) p rf2. 2p rf d , d'o :

DH = 12g

q v2p rf d

2

= cte

Par suite, qv = cte d . On voit donc que qv est proportionnel d . Si l est la distance duflotteur la position 0 et si q est l'angle du tuyau tronconique, on a d l q et qv estproportionnel l en 1re approximation.

Par ailleurs, le rotamtre devant fonctionner en position verticale, on peut considrer que laperte de charge introduite dans une installation par le rotamtre est constitue par celle ducoude et de l'appareil lui-mme. Les prises de pression (8) et (9) permettent en principe demesurer cette perte.