MENFP 2011 2012 -...

PROGRAMME DE FORMATION A DISTANCE DES MAÎTRES

MENFP 2011‐2012

MATHEMATIQUES

Le calcul mental

3ème

et 4ème

AF

Claire BEAUVAIS Conseillère PédagogiqueGroupe Départemental Mathématiques de l’HéraultAcadémie de MONTPELLIER

Objectifs de la séance

•Comprendre ce qu’est le calcul mental•Comprendre la différence entre le calcul automatisé

et le calcul

réfléchi•Savoir à

quoi sert le calcul mental dans l’apprentissage

•Savoir aider les élèves à mémoriser les tables et les résultats importants

•Connaître les contenus en calcul mental pour chaque classe•Connaître la progression à

mettre en place pour chaque classe

•Comprendre la différence entre les moments d’apprentissage de procédures , les moments d’entraînements et les moments de

consolidation•Mettre en place des séances de calcul mental

Quelques calculs pour les enseignants

Ce travail est destiné

aux enseignants et non aux élèves. Il va vous permettre d’apprendre ou de réapprendre certaines procédures de calcul mental.

Calculez sans poser 37+ 48 = ?

Combien avez‐

vous trouvé

? 85

Comment avez – vous fait ? •Vous avez calculé

les dizaines puis les unités : 30 + 40 = 70

7+8 = 1570 + 15 = 85

•Vous avez repéré

que 48, c’est 50 – 2 : 37 + 50 = 8787 – 2 = 85

•Vous avez calculé

sur le modèle du calcul posé

en calculant d’abord les unités puis les dizaines.

7+8 = 1530 +40 = 7070+15 = 85

Pour chaque calcul, il y a plusieurs procédures possibles.

Voici quelques procédures intéressantes :

Multiplier par 11: 11x 26 = ?Combien avez‐

vous trouvé

? 286

Comment peut‐on faire ? On multiplie 26 par 10 , cela fait 260 et on ajoute 26 au résultat.

Multiplier par 5 :64x5 = ?Combien avez‐

vous trouvé

? 320

Comment peut‐on faire ? On multiplie par 10 ( 64x10=640) et on divise par 2 (640:2=320)

Complément à

100 :54‐‐‐‐‐‐> 100Combien avez‐vous trouvé

? 47

Comment peut‐on faire ? 53‐‐‐>60 = 7, 60‐‐‐>100= 40, 40+7 = 47

Rappel pour les enseignants ? Qu’est‐ce que le calcul mental ?

C’est un calcul qui n’est pas posé.

Le calcul mental est d’abord la recherche de procédures : on parle de calcul réfléchiOn fixera ces procédures avec un entraînement régulier : séances d’entrainementProgressivement , certains de ces résultats sont mémorisés. Ils deviendront ainsi

toujours disponibles en mémoire : calcul automatisé.

Pourquoi faire du calcul réfléchi ? cela permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec les propriétés des opérations

Pourquoi faire des séances d’entraînement ?

L’entraînement va permettre d’accélérer certaines de ces procédures particulièrement efficaces. L’accent est mis sur la

compréhension des propriétés des opérations qui vont être mieux comprises et assimilées.

Pourquoi faire du calcul automatisé

?

Certains résultats vont être mémorisés. Cela permet de les avoir toujours à disposition en mémoire sans avoir besoin de les

recalculer.Quels sont les résultats importants à

mémoriser ?

: tables d’addition, tables de

multiplication, compléments à

10, doubles des nombres jusqu’à

20, multiples de 25 jusqu’à

25 x 4.

Comment mettre en place des séances de calcul mental ?

Pour chaque type de question, les élèves commenceront d’abord par calculer les résultats en utilisant la procédure qu’ils souhaitent. ‐‐‐> calcul réfléchi.

Puis, l’enseignant attirera l’attention sur une procédure intéressante en demandant aux élèves de l’

appliquer ‐‐‐> apprentissage d’une procédure.

Il organisera des moments d’entraînement en proposant aux élèves les mêmes types de question. Les élèves pourront ainsi entraîner les procédures apprises ‐‐‐> entraînement.

Certains résultats ( par exemple les tables ) vont commencés à être mémorisés. L’enseignant accélérera cette mémorisation en mettant en place des moments plus rapides où

les

résultats ne seront pas recalculés mais puisés en mémoire ‐‐‐> mémorisation.

Construction du résultat ‐‐‐> Entraînement ‐‐‐> Mémorisation

Attention : Tous les résultats n’ont pas besoin d’être mémorisés ( voir diapo précédente : Quels sont les résultats à mémoriser). Pour les autres résultats, on s’arrêtera à

l’entraînement des procédures.

Déroulement d’une séance de calcul mental

•Les séances de calcul mental doivent être courtes et régulières : entre 15 et 20 min tous les jours.

•Elles doivent être ritualisées, c’est‐à‐dire qu’elles sont tous les jours au même moment, par exemple, le matin, en commençant les cours et qu’elles se déroulent de la même

façon.•Elles se font en deux temps :

‐

D’abord un temps de renforcement des résultats mémorisés ( entre 5 et 10 min). L’enseignant interroge les élèves sur des résultats qu’ils commencent à fixer « par cœur

»

ou sur des connaissances « par cœur

»

qu’il veut entretenir. Ce travail est mené rapidement pour que les élèves, progressivement, ne reconstruisent plus le résultat mais

le recherchent en mémoire.‐

Puis un temps d’apprentissage de procédures ou d’entraînement

( entre 10 et 15 min

)Toutes les 4 ou 5 séances, l’enseignant organisera un temps d’apprentissage de

procédures. Il donnera un calcul et laissera les élèves chercher à leur manière et proposer des procédures. Il attirera l’attention sur une procédure en demandant aux élèves de l’

appliquer.Pendant les 3 ou 4 séances suivantes, les élèves entraîneront la procédure qu’ils ont

apprise. Pour chaque calcul, l’enseignant réexplicitera

la démarche. Il laisera

les élèves qui le souhaitent utiliser une autre procédure. Pendant la séance d’entraînement,

l’enseignant fera réactiver aussi une procédure plus ancienne.

Comment faire mémoriser des résultats ?

•On retient bien ce qui a du sens. Par exemple, il est beaucoup plus facile de retenir une phrase que des mots isolés.

•Pour mémoriser des résultats, il faut les comprendre. On n’opposera donc pas résultats mémorisés et compréhension.

•Il sera plus facile de retenir le tables si on comprend comment elles sont constituées. Il faut comprendre que les résultats des tables ne sont pas isolés

mais ont des rapports entre eux. •Il faut comprendre que les résultats des tables peuvent se retrouver, se

recalculer.•Il sera plus facile de retenir les tables si on comprend leur utilité.•Pour mémoriser les tables, il est utile de savoir ce qu’on sait déjà

et ce qui

reste à apprendre•Enfin, la mémorisation ne peut pas se faire en une seule fois : l’entraînement

doit être suffisamment long et surtout régulier.

Comment aider à

l’apprentissage et la mémorisation des tables de multiplication ?

On ne fait pas réciter systématiquement les tables en partant du début sinon les élèves seront obligés de tout réciter pour retrouver les résultats. On interrogera les élèves en

mélangeant l’ordre.Pour aider à la mémorisation, on faire comprendre aux élèves la structure des tables.

Au début, ils retrouveront les résultats par le calcul et le raisonnement avant de les savoir « par cœur

».

On repère les résultats et on remplit la table au fur et à mesure que l’on apprend.

•Les carrés : c’est une diagonale de la table de multiplication ( 1x1, 2x2, 3x3,

4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10 )

•La table de 2 : il s’agit des doubles que les élèves connaissent déjà

( table d’addition )On remplit les tables horizontalement et verticalement.

•La table de 5 : on compte de 5 en 5. •La table de 3 : on compte de 3 en 3•La table de 4 : on multiplie les résultats de la table de 2 par 2 . ( car 4= 2x2)•La table de 6 : on multiplie les résultats de la table de 3 par 2. ( car 6=3x2)•La table de 8 : on multiplie les résultats de la table de 4 par 2. ( car 8=2x4)•La table de 9 : on multiplie les résultats de la table de 3 par 3 ( car 9=3x3)

Pour la table de 9, on peut aussi utiliser les multiples de 10 : 2x9 = (2x10) – 2, 3x9 = (3x10)–3, 4x9= (4x10) –4, etc.

•La table de 7 : C’est souvent celle qui est la plus difficile à

apprendre. On compte de 7 en 7. On peut aussi inverser les facteurs : 5x7 = 7x5

Dans les programmes

1ère

AF :•Compter dans l’ordre croissant ou décroissant les nombres entiers jusqu’à

69.

•Connaître la table d’addition : résultats et décompositions

2ème

AF : •Compter dans l’ordre croissant ou décroissant les nombres jusqu’à

999

•Connaître la table d’addition : résultats et décompositions•Trouver le résultat d’une soustraction simple de deux nombres

3ème

AF :•Trouver le résultat d’une addition ou d’une soustraction simple de deux nombres.•Connaître la table de multiplication.•Multiplier un nombre entier par 10 ou 100

4ème

AF•Trouver le résultat d’une addition, d’une soustraction, d’une multiplication, d’une

division.•Trouver le double ou le triple d’un nombre.•Multiplier un nombre entier par 10, 100 ou 1000.•Diviser un nombre entier multiple de 10, 100 ou 1000 par 10, 100

ou 1000.

Multiplier un nombre entier par 20, 30, 40 , etc…

200, 300, 400, etc…

PROGRESSION EN CALCUL MENTAL POUR LA 3ème

AFAddition‐Soustraction•Ajouter ou soustraire une ou plusieurs dizaines

‐

questions du type 37 + 10 = ?‐

questions du type 58 – 10 = ?

‐

questions du type 46 + 30 = ?‐

questions du type 78 – 20 = ?

•Ajouter 11‐

questions du type 65 + 11

•Ajouter 9‐

questions du type 47 + 9

•Ajouter plusieurs unités ‐

sans retenue : questions du type 53 + 5

‐

avec retenue : questions du type 64 + 7•Complément à la dizaine supérieure

‐

questions du type 37 + ? = 40


AF

Multiplication‐

Division•Table de multiplication par 2 et 5•Multiplication d’un nombre à un chiffre par lui‐même ( 3x3 , 4x4, … 8x8, 9x9 )•Table de 4 et 8•Table de 3•Table de 6 et 9•Table de 7•Multiplier par 10 un nombre entier :

‐

questions du type 45 x 10 =‐

questions du type 852 x 10 =

•Multiplier un nombre à un chiffre par un nombre entier de dizaines :‐

questions du type 3 x 80 = ?

‐

questions du type 60 x 7 = ?•Multiplier par 100 un nombre entier :

‐

questions du type 37 x 100 = ?‐



AF

Addition‐

Soustraction•Complément à

100

‐

en utilisant le repère à 5 : questions du type 65 + ? = 100‐

sans le repère à 5 : questions du type 82 + ? = 100

•Ajouter 2 nombres à 2 chiffres ‐

sans retenue : questions du type 35 + 43

‐

avec retenue : questions du type 47 + 55•Soustraire 2 nombres à 2 chiffres sans retenue : du type 98 – 65 = ?

Soustraire 2 nombres à 2 chiffres avec retenue : du type 92 – 65 = ?


AF

Multiplication Division•Consolidation des résultats mémorisés des tables de multiplication•Utilisation des tables de multiplication pour trouver un quotient exact à 1 chiffre :

‐

questions du type 42 : 7 = ?‐

questions du type 56 : ? = 7

•Multiplier par 10 un nombre entier : ‐

questions du type 45 x 10 =

‐

questions du type 852 x 10 =•Diviser par 10 un nombre entier de dizaines :

‐

questions du type 80 : 10‐

questions du type 7460 : 10

•Multiplier un nombre à un chiffre par un nombre entier de dizaines :‐


‐

questions du type 60 x 7 = ?•Multiplier par 100 un nombre entier :

‐

questions du type 37 x 100 = ?‐


•Diviser par 100 un nombre entier de centaines :‐


‐


• Diviser par 1000 un nombre entier de milliers :‐


‐

questions du type 34000 : 1000• Multiplier un nombre à un chiffre par un nombre entier de centaines :

‐

questions du type 4 x 800= ?‐

questions du type 600 x 5= ?

• Multiplier 2 nombres avec des dizaines ou des centaines entières ‐


‐

questions du type 60 x 800 = ?• Trouver le double d’un nombre à 2 chiffres‐

questions du type : double de 42

‐

questions du type : double de 67• Trouver le triple d’un nombre à 2 chiffres

‐

questions du type : triple de 23‐

questions du type : triple de 56

SEANCE DE CALCUL MENTAL POUR LA 3ème

AF

Mémorisation : Tables de multiplication par 2 et 5. Apprentissage de procédures :Multiplier un nombre à un chiffre par un nombre entier de

dizaines.

Cette séance n’est qu’un exemple d’une séance de calcul mental en 3ème

AF. Suivant la progression des élèves, on choisira d’autres thèmes.

Organisation matérielle : Il est plus facile de travailler avec des ardoises. L’enseignant pose la question et les élèves

écrivent le résultat sur l’ardoise. Au signal, ils lèvent l’ardoise à la hauteur de leur menton. Ainsi, l’enseignant peut voir toutes les réponses très rapidement et se rendre compte du

niveau de sa classe. Puis, il dit : « Posez les ardoises et effacez

»

et il repose une autre question. Ce procédé

a l’avantage de plus de donner des séances rythmées et efficaces en

peu de temps.Si les élèves n’ont pas d’ardoise, on les fera écrire sur une feuille ou sur le cahier.

L’enseignant interrogera un élève différent à

chaque fois.

Mémorisation :L’enseignant fait sortir les ardoises ( ou les cahiers ). Il dit :

«

Aujourd’hui, nous allons

travailler les tables de multiplication de 2 et 5 »Il pose la première question : 2 x 4 = ?.

Il laisse quelques secondes pour écrire la réponse.

«

Montrez.

»

Il regarde les réponses des élèves. «

La réponse est 8.

»Il procède de la même manière pour les questions suivantes : 2 x 5 = ?5 x 3 = ?5 x 4 = ?5 x 7 = ?6 x 2 = ?9 x 2 = ?5 x 8 = ?6 x 5 = ?9 x 5 = ?2 x 7 = ?8 x 2 = ?L’enseignant pose une dizaine de questions rapidement. Il commence

par les questions les

plus faciles pour encourager les élèves puis augmente la difficulté.

Durée : 5 à 10 min

Apprentissage de procédure :Le matériel de numération ( par exemple petite capsules pour les unités et grosses capsules

pour les dizaines) est présent pour la validation. L’enseignant annonce : Aujourd’hui, nous allons apprendre à

multiplier un nombre par 20,

ou 50. Vous allez chercher tout seuls puis vous écrirez ce que vous avez trouvé

et nous discuterons pour savoir comment vous avez fait.

8 x 20 = ?Montrez. Comment avez‐vous fait ?Certains élèves vont essayer d’additionner 20 + 20 + 20 +20 + 20 + 20 + 20 + 20. Ce calcul

est long et peut aussi être source d’erreurs. Certains élèves peuvent penser à

multiplier directement les dizaines parce que 20, c’est 2 dizaines. De plus, le moment de

mémorisation a «

réactivé

»

les tables de 2 et 5. Sinon, c’est l’enseignant qui expliquera en montrant avec le matériel de numération :

Voilà, c’est 20, c’est 2 dizaines. Si je multiplie par 8, je vais avoir 8 paquets de 2 dizaines, ça fait combien de dizaines ? 16 dizaines, c’est‐à‐dire 160. Quand on multiplie par 20, 30 ou

40, il n’y a pas d’unité, on multiplie les dizaines et on remet le zéro à la fin pour montrer qu’il n’y a pas d’unité.

Effacez. Maintenant 4 x 20 = ?L’enseignant fait écrire puis montrer. Il interroge les élèves sur leurs procédures. Les élèves

peuvent expliquer à leur manièreA chaque calcul, l’enseignant réexplique la procédure et reformule.Calculs suivants : 3 x 50, 2x50, 3x20, 6x20, 7x50, 7x20, 9x20,

4x50, 5x20

Durée : 10 à 15 minCette procédure devra être renforcée par des séances d’entraînement.

SEANCE DE CALCUL MENTAL POUR LA 4ème

AF

Mémorisation : Tables de multiplication mélangéesApprentissage de procédures :Multiplier 2 nombres avec des dizaines ou des centaines

entières.

Cette séance n’est qu’un exemple d’une séance de calcul mental en 4ème

AF. Suivant la progression des élèves, on choisira d’autres thèmes.

Organisation matérielle : Il est plus facile de travailler avec des ardoises. L’enseignant pose la question et les élèves

écrivent le résultat sur l’ardoise. Au signal, ils lèvent l’ardoise à la hauteur de leur menton. Ainsi, l’enseignant peut voir toutes les réponses très rapidement et se rendre compte du

niveau de sa classe. Puis, il dit : « Posez les ardoises et effacez

»

et il repose une autre question. Ce procédé

a l’avantage de plus de donner des séances rythmées et efficaces en

peu de temps.Si les élèves n’ont pas d’ardoise, on les fera écrire sur une feuille ou sur le cahier.

L’enseignant interrogera un élève différent à

chaque fois.

Mémorisation :L’enseignant fait sortir les ardoises ( ou les cahiers ). Il dit :

«

Aujourd’hui, nous allons

travailler les tables de multiplication .Il pose la première question : 8 x 4 = ?.

Il laisse quelques secondes pour écrire la réponse.

«

Montrez.

»

Il regarde les réponses des élèves. «

La réponse est 32.

»Il procède de la même manière pour les questions suivantes : 5 x 3 = ?6 x 4 = ?5 x 4 = ?6 x 6 = ?9 x 7 = ?5 x 8 = ?6 x 7 = ?9 x 5 = ?3 x 7 = ?8 x 8 = ?L’enseignant pose une dizaine de questions rapidement. Il commence

par les questions les

plus faciles pour encourager les élèves puis augmente la difficulté.

Durée : 5 à 10 min

Apprentissage de procédure :L’enseignant annonce : Aujourd’hui, nous allons apprendre à

multiplier ensemble des

dizaines ou des centaines. Vous allez chercher tout seuls puis vous écrirez ce que vous avez trouvé

et nous discuterons pour savoir comment vous avez fait.

40 x 20 = ?Montrez. Comment avez‐vous fait ?Les élèves connaissent déjà

la procédure pour multiplier 4x20, ils peuvent essayer de la

réutiliser en confondant les deux situations et répondre 80. Si cela se produit, l’enseignant peut partir de cette réponse pour expliquer :

Non, 80, c’est 4x20 ou 40x2 mais là, on ne multiplie pas par 2, on multiplie par 20 et 20, c’est 10 fois plus grand, il faut encore multiplier par 10, c’est 80 dizaines, c’est 800.

Autre explication : 40, c’est 4 dizaines, on a 20 paquets de 4dizaines, on a 80 dizaines, c’est 800 unités.

Effacez. Maintenant «30 x 40 = ?L’enseignant fait écrire puis montrer. Il interroge les élèves sur leurs procédures. Les élèves

peuvent expliquer à leur manière : on multiplie 3x4 sans les zéros puis on ajoute le zéro de 30 et le zéro de 40, ça fait 1200.

A chaque calcul, l’enseignant réexplique la procédure et reformule.Calculs suivants : 70 x 50, 60x20, 30x50, 700 x 20, 900x30, 400x40, 500x300Durée : 10 à 15 min

Cette procédure devra être renforcée par des séances d’entraînement.

MENFP 2011 2012 -...

Documents

Transcript of MENFP 2011 2012 -...