Table des matiresIntroduction................................ ................................ ................................ .............................. 3 1. Terminologie et contexte ................................ ................................ ................................ ....3 1.1 Le march ............................................................................................................................3 1.2 Les options................................ ................................ ................................ .......................... 31.2.1 Dfinitions et caractristiques ............................................................................................. 3 1.2.2 Pay-offs..................................................................................................................................... 41.2.2.1 Options vanille ................................................................................................................................ 4 1.2.2.2 Options binaires .............................................................................................................................. 4

1.3 Evaluation des options................................ ................................ ................................ .....51.3.1 Valeur intrinsque et valeur temps dans le cas dun call ............................................... 51.3.1.1 Valeur intrinsque........................................................................................................................... 5 1.3.1.2 La valeur temps ............................................................................................................................... 6

1.3.2 Variations de prix ................................................................................................................... 6

2. Modle de Black-Scholes ................................ ................................ ................................ ....7 2.1 Le modle .........................................................................................................................7 . . .2.1.1 Prsentation du modle......................................................................................................... 7 2.1.2 Dynamique .............................................................................................................................. 7 2.1.3 Hypothses du modle .......................................................................................................... 8

2.2 LEDP de Black & Scholes..............................................................................................8 . . 2.3 Solution de lEDP Feynman-Kac................................ ................................ .................. 9 2.4 Formules de Black-Scholes et volatilit implicite ................................ .................... 102.4.1 Formules................................................................................................................................. 102.4.1.1 Options vanille .............................................................................................................................. 10 2.4.1.2 Options binaires ............................................................................................................................ 15

2.4.2 Volatilite implicite ............................................................................................................... 16

3. Les Grecques ....................................................................................................................18 . . . 3.1 Le Delta - Dfinition et Formules ................................ ................................ .................193.1.1 Options vanille ..................................................................................................................... 193.1.1.1 Dfinition........................................................................................................................................ 19 3.1.1.2 Calculs ............................................................................................................................................ 20

3.1.2 Options binaires ................................................................................................................... 23

3.2 Le Gamma................................ ................................ ................................ .........................243.2.1 Dfinition............................................................................................................................... 24 3.2.2 Calculs .................................................................................................................................... 25

3.3 Le Thta..........................................................................................................................25 . . . 1

3.3.1 Dfinition............................................................................................................................... 25 3.3.2 Calculs .................................................................................................................................... 26

3.4 Le Vga ..............................................................................................................................283.4.1 Dfinition............................................................................................................................... 28 3.4.2 Calculs .................................................................................................................................... 29

3.5 Rh.................................................................................................................................30 . . . .3.5.1 Dfinition............................................................................................................................... 30 3.5.2 Calculs .................................................................................................................................... 30

4. Couverture doptions ................................ ................................ ................................ ........32 4.1 Couverture delta-neutre...............................................................................................32 . . . 4.2 Couverture Delta-gamma................................ ................................ ............................... 33 4.3 Couverture call binaire ................................ ................................ ................................ ...36 4.4 Spreads calendaires (horizontaux................................ ................................ ...............384.4.1 Dfinition du spread (cart) calendaire .......................................................................... 38 4.4.2 Fonctionnement-Exploitation............................................................................................. 394.4.2.1 Application du Thta aux spreads calendaires ......................................................................... 39 4.4.2.2 Application du Vga aux spreads calendaires longs .............................................................. 40

Conclusion ................................ ................................ ................................ .............................. 41 Bibliographie-Liens internet................................ ................................ ................................ 42

2

IntroductionCest Louis Bachelier que lon doit les origines de la mathmatisation de la finance moderne. Il soutient en effet une thse intitule Thorie de la spculation la Sorbonne en 1900. Cest partir de ce moment que naissent les processus stochastiques temps continu en probabilits et les stratgies temps continu pour la couverture de risque en finance. Influenc par cette thse, A.N. Kolmogorov entama des recherches sur les processus temps continu dans les annes 1920. Il en fut de mme pour K. It l'inventeur du calcul stochastique dans les annes 1950. En revanche, en ce qui concerne la finance, l'approche de Bachelier fut oublie durant prs de trois quarts de sicle, jusqu'en 1973 avec la parution des travaux de Black, Scholes et Merton.

Chapitre 1 Terminologie et contexte1.1 Le marchLa loi dfinit le "march financier" comme un lieu o sont effectues les transactions sur des actifs financiers, et de plus en plus, leur produits drivs. Lessentiel des changes seffectue maintenant et ce depuis le dbut des annes 80 principalement via ces produits (futures, forward, options, swaps,) Les marchs financiers sont des marches de gros dans les sens au lon achte en gros . Les intervenants sont donc principalement des institutions financires (Banque centrale, banques, assureurs, hedge funders,) et des socits. Mais on y voit aussi des particuliers.

1.2 Les options1.2.1 Dfinitions et caractristiquesUne option est un produit qui donne droit son dtenteur dacheter ou de vendre une part dactif sous-jacent S un prix fix lavance, le prix dexercice K, ou avant une date fixe appele la date de maturit T. Dans le cas des options europennes, loption ne peut tre exerce qu la maturit T. Dans le cas des options amricaines, loption peut tre exerce tout moment. Selon le droit dacheter ou de vendre on a deux types doptions :

3

Les options de vente : puts Les options dachat : calls De mme, selon la nature du sous-jacent, on a plusieurs types doptions : Option sur action Option sur indice Option sur future Option sur taux de change Option sur taux dintrt On connat aussi dautres types doptions ( exotiques ) comme par exemple : Option asiatique: le payoffdpend de la moyenne des prix du sous-jacent pendant la dure de vie de loption) option lookback: le payoffdpend du max et du min du prix du sous-jacent pendant la dure de vie de loption option barrire: le payoffdpenddufranchissement dune barrire(downand-out, down-and-in, up-and-in, up-and-out) option binaire, option dchange dun actif pour un autre, options sur option, option sur plusieurs actifs...

Ici nous nous concentrerons principalement sur les options vanilles et binaires.

1.2.2 Pay-offsLes pay-offs des options sont leurs valeurs maturit. Ils sont calculs en fonction du prix du sous-jacent. 1.2.2.1 Options vanille On appelle call vanille de prix dexercice(strike) K et dchance T sur un sous-jacent S donn , une option europenne dont le pay-off lchance est donn par

C

St

K

o x

x si x 0 0 sinon

De mme, on appelle put vanille de prix dexercice(strike) K et dchance T sur un sous-jacent S donn , une option europenne dont le pay-off lchance est donn par P ( K St ) 1.2.2.2 Options binaires On appelle Call binaire de prix dexercice(strike) K et dchance T sur un sous-jacent S donn , une option europenne dont le pay-off lchance est donn par

4

. f ( St )

1 si St 0 si St

K K

=

FIG. 1.1-Profil de rsultat d'un call binaire de prime p, de prix d'exercice K et de flux fix QOn appelle Put binaire de prix dexercice(strike) K et dchance T sur un sous-jacent S donn , une option europenne dont le pay-off lchance est donn par 1 si St K f ( St ) 0 si St K

FIG. 1.2-Profil de rsultat d'un put binaire de prime p, de prix d'exercice K et de flux fix QCes options rapportent 1 lacheteur lorsque lactif sous-jacent est un niveau suprieur au prix dexercice de loption pour un call et infrieur pour un put, 0 sinon.

1.3 Evaluation des options1.3.1 Valeur intrinsque et valeur temps dans le cas dun call1.3.1.1 Valeur intrinsque La valeur intrinsque reprsente le profit qui serait ralis par l'acheteur de l'option, si elle tait exerce immdiatement. Sa valeur minimale est zro car il est vident que personne ne songerait exercer une option qui se traduirait par une perte .

5

1.3.1.2 La valeur temps La valeur temps est la diffrence entre la valeur de l'option et sa valeur intrinsque. Elle reprsente la rmunration du vendeur qui accepte de prendre le risque que les prix varient en sa dfaveur une date future pendant la priode optionnelle. Pour l'acheteur d'une option, la garantie d'un prix est extrmement intressante sur un produit forte variation et ce d'autant plus que la dure de l'option est longue. Pour le vendeur, par contre, suspendu la dcision de l'acheteur, deux paramtres dterminent l'importance du risque encouru et influencent le calcul de la prime : La dure de vie de l'option. La volatilit du cours de l'instrument considr reprsentant la frquence et l'amplitude des variations du cours. Cette valeur temps est gnralement donne sous forme de pourcentage.

1.3.2 Variations de prixLorsque le prix du sous-jacent augmente, le prix du call augmente et le prix du put diminue Lorsque le pris dexercice augmente, le prix du call diminue alors que le prix du put augmente Lorsque la date de maturit augmente le call perd de la valeur et le put en prend.

FIG. 1.3-Valeur intrinsque et valeur tempsPlus on se rapproche de la monnaie plus la valeur temps augmente, en revanche plus on sloigne plus elle diminue.

6

Chapitre2 Modle de Black-Scholes2.1 Le modle2.1.1 Prsentation du modleLe modle de Black-Scholes est un modle dvaluation doption utilis en Mathmatiques financires afin destimer en thorie la valeur dune option financire du type europenne. Ce modle, qui constitue le prolongement des travaux de Paul Samuelson et Robert Merton fut publi en 1973.Cependant, la recherche avait commenc ds 1900 avec le franais Louis Bachelier. Lide de Black et Scholes est de mettre en rapport le prix implicite de loption et les variations de prix de lactif sous-jacent. Le modle de B-S-M est, lorigine, un modle deux actifs : lun risqu, lautre pas. Dans notre modle de march (B, S), B ( Bt )t 0 et S ( St )t 0 sont deux processus voluant avec le temps t. Le processus B reprsente lactif non-risqu : cest un processus dterministe : Sa valeur la date t ( pour un placement de 1 la date t 0 ) est Bt e rt o r reprsente le taux dintrt de largent prt, suppos la fois constant et gal au taux de largent emprunt. Le processus S reprsente lactif risqu. Cest un processus alatoire (stochastique) : chaque instant t , St est une variable alatoire (pour une probabilit sous-jacente P) qui prend comme valeurs les prix que lactif peut atteindre. Ce processus dtermine les vnements qui peuvent se produirent sur le march et qui concernent les prix de lactif lui-mme ou de ses drivs (options).

2.1.2 DynamiqueLe prix St prend en compte la tendance du march (volution des prix du typet t

.t avec ventuellement

t

constant, le drift, ou

t

St ), ainsi que sa variabilitt

.Wt o Wt est un processus de Wiener (mouvement brownien). En ce qui concernet

le coefficient

, on pourra aussi avoir

t

constante (volatilit) ou encore

St .

Le modle de Black-Scholes prcise la manire dont lactif risqu S incorpore ces deux paramtres son volution temporelle .On obtient un brownien gomtrique dont la formule est la suivante : dSt St St dWt

Le prix de lactif non-risqu vrifie lEDO suivante : 7

dB

rBt dt Avec B0

1 par exemple

O r est le rendement de B (par exemple le taux dintrt dun livre dpargne, suppos constant).

2.1.3 Hypothses du modle

Marchs efficients : Pas de cots de transaction Pas de restrictions sur le volume de transactions Pas dopportunits darbitrage lactif sous-jacent suit le modle suivant (brownien gomtrique) :

dSt

St dt

St dWt

La volatilit est connue lavance et constante. Le placement la banque est sans risque et le taux dintrt r est constant. Lexercice de loption ne peut se faire qu la date dchance, pas avant (option europenne).

2.2 LEDP de Black & ScholesRetournons au march. Soit une option europenne de date dexpiration (maturit) T et de pay-off fT ( s) construite sur lactif risqu S et dont le prix la date t est f (t, St ) . Le trader qui a crit loption se constitue un portefeuille P de couverture qui comporte : -1 option : il a vendu une option f une quantit t dactif S . S Une quantit t e rt ( f (t , St ) t St ) dactif non-risqu (un emprunt ou un placement) actualise aux taux r du march. En outre, le portefeuillet

,

t

est autofinanc.

A chaque instant t la valeur P du portefeuille quil dtient est nulle : t

8

Pt

ft

t

St

t

e rt

0t

rt Par la relation dautofinancement, on a d ( t St d ( t St te ) t Bt ) Et donc f 1 2 2 2f 0 dPt dft dSt d (e rt ) St dt r ( ft t t t 2 S2

dSt

t

dBt

t

St )dt

On a appliqu la formule dIt pour calculer df t . Ainsi, le prix ft de loption est une solution de lEDP dite de Black-Scholes f t avec la condition f (T , s) fT ( s) . rS f S 1 22 2

S2

f

S2

rf

2.3 Solution de lEDP Feynman-KacOn suppose que la fonction F (t, s) est solution de lEDP F F 1 (t , s ) rS (t , s ) (t , s ) t S 22 2

(t , s )

F (t , s ) S2

rF (t , s )

Avec (t , s)

rS , (t , s)

S et la condition F (T , s)

( s) .

Alors, sil existe un solution S de lEDS dSt (t , St )dt (t , St )dWt , X t0

x0

On a, sous des hypothses dintgrabilit que nous ne prciserons pas,

F (t0 , x0 ) e

r ( T t0 )

E ( ( X T ) X t0

x0 )

On obtient donc comme solution pour f la formule suivante :

ft

f (t , St ) e

r (T t )

EQ f (T , ST ) St

o EQ reprsente lesprance pour la probabilit risque neutre Q .

9

2.4 Formules de Black-Scholes et volatilit implicite2.4.1 FormulesSoit un actif risqu suivant le modle du brownien gomtrique

St

S0 exp((

1 2

2

)t

Wt )

On rappelle la formule de calcul de prix dune option europenne

ft

f (t , St ) e

r (T t )

EQ f (T , ST ) St

La loi de ST est log-normale ; on peut trouver plus commode de calculer cette esprance en utilisant la densit log ST conditionne par St sui est celle dune lui2

normale desprance log St

(r

2

)(T t ) et de variance

2

(T t ) .Cette densit est

2

f log ST st ( x s )

1 exp 2 (T t )

( x (log s (r 22

2 (T t )

)(T t ))) 2

Avec un pay-off donn fT , on utilisera la formule de transfertE f T ( ST ) S t s fT (e x ) f log ST st ( x s )dx

Calculons maintenant le prix des options vanille et binaires. 2.4.1.1 Options vanille CALL VANILLE

On rappelle que le pay-off dun call vanille est donn parfT ( ST ) ST K ST -K si ST 0 sinon K

donc

f T (e x )

ex 0

K si e x sinon

K

f T (e x )

ex 0

K si x logK sinon

10

Daprs la formule de transfert, on a E fT ( ST ) St s fT (e x ) f log ST st ( x s )dxlog K

fT (e x ) f log ST st ( x s )dxlog K

fT (e x ) f log ST st ( x s )dx

fT (e x ) f log ST st ( x s )dxlog K 2

1 (e x 2 (T t ) log K

( x (log St K ) exp

2 2 2 (T t )

(r

)(T t ))) 2 dx

Pour un call vanille on a donc2

C

e

r (T t )

1 (e x 2 (T t ) log K

( x (log St K ) exp

2 2 2 (T t )

(r

)(T t ))) 2 dx

2

C

e

r (T t )

1 (e x 2 (T t ) log K

( x (log St K ) exp 22

(r2

2 (T t )

)(T t ))) 2 dx

e (e x ) exp 2 (T t ) log K

r (T t )

( x (log St

2 2 2 (T t )

(r

)(T t ))) 2 dx

IC

2

K

e r (T t ) exp 2 (T t ) log K

( x (log St 2JC

(r2

2 (T t )

)(T t ))) 2 dx

Calculons dabord JC :2

( x (log St

On effectue le changement de variables z

2 (T t )

(r

)(T t ))

11

Donc dz

1 (T t )

dx

(T t )dzr ( T t ) z2

On trouve alors J C

K

e

2

z2 exp dz 2 z1

Calculons z1 et z2 : z22

log K log St (r z1 (T t )

2

)(T t )2

(log St log K (r (T t ) (log St K2

2

)(T t ))

(r

2 (T t )

)(T t ))

d2

Ce qui nous donneJC K er (T t )

2

expd2

z2 dz 2

En notant N la fonction de rpartition de la loi normale standard

JC

Ke

r (T t )

(1 N ( d 2 ))

Ke

r (T t )

N (d 2 )

Calculons maintenant IC :2

On pose m log St

(r

2

)(T t )

Donc I C

e r (T t ) ( x m) 2 x e exp dx 2 2 (T t ) 2 (T t ) log KI1

12

Dveloppons dabord I1 : I1 e x exp exp exp exp exp ( x m)2 2 2 (T t ) 1 2 2 (T t ) 22

exp x (m x m2 2

22

2

1 ( x 2 2mx m 2 2x (T t )2

2

(T t )2

(T t )) 22

m2

m

2

(T t )

1 (T t )

(T t )(log St 1 (T t ) 2

r (T t ))2

1 x m 2 2 (T t ) 22

exp St e

2r (T t )

2

(T t )(log St

r (T t ))

1 x m (T t )

2

Revenons IC : IC e r (T t ) I1dx 2 (T t ) log K e r (T t ) St e 2 (T t ) St 2 (T t ) log Kr (T t ) log K

exp

2

2

1 x m (T t )2

2

dx

exp

1 x m 2 2 (T t )

dx

On effectue le changement de variables

z

( x m) do dz (T t )St 2z2

1 (T t )

dx

(T t )dz

et I C

expz1

z2 dz 2

Calculons z1 et z2 : z2 ,

13

z1

log K m (T t )2

log K log St

(r

2

)(T t )2

(T t ) (log St S (log t K d1 log K (r (T t )2

2

)(T t ))

(r

2 (T t )

)(T t ))

Ce qui nous donneIC St 2 z2 exp dz 2 d1

En notant N la fonction de rpartition de la loi normale standard

IC

St (1 N ( d1 ))

St N (d1 )

Finalement, C PUT VANILLE On utilise la relation de parit call-put IC JC St N (d1 ) Ker (T t )

N (d 2 )

C Ke

r (T t )

P St

Donc P C Ke

r (T t )

St KN (d 2 ) Ker (T t ) r (T t ) r (T t )

SN (d1 ) e

r (T t )

St

S ( N (d1 ) 1) Ke SN ( d1 ) Ke

(1 N (d 2 )) (1 N (d 2 ))

S (1 N (d1 )) Ke

r (T t )

N ( d2 )

P

SN ( d1 ) Ke

r (T t )

N ( d2 )

14

2.4.1.2 Options binaires CALL BINAIRE On rappelle que le pay-off du call vanille est donn par :fT ( ST ) 1 si ST 0 sinon K

Doncf T (e )x

1 0

si e x sinon

K

fT (e x )

1 0

si x logK sinon

Et daprs la formule de transfert :

E fT ( ST ) St

s

fT (e x ) f log ST st ( x s )dxlog K

fT (e x ) f log ST st ( x s )dxlog K

fT (e x ) f log ST st ( x s )dx

fT (e x ) f log ST st ( x s )dxlog K 2

1 exp 2 (T t ) log K

( x (log St

2 2 2 (T t )

(r

)(T t ))) 2 dx

2

Et donc Cbin

e r (T t ) exp 2 (T t ) log K

( x (log St 2

(r2

2 (T t )

)(T t ))) 2 dx

2

( x (log St

On effectue le changement de variables z

2 (T t )

(r

)(T t ))

Donc dz

1 (T t )

dx

(T t )dz

15

On trouve alors J C

K

e

r ( T t ) z2

2

expz1

z2 dz 2

Calculons z1 et z2 : z22

log K log St (r z1 (T t )

2

)(T t )2

(log St log K (r (T t ) (log St K2

2

)(T t ))

(r

2 (T t )

)(T t ))

d2Ce qui nous donneCbin er (T t )

2

expd2

z2 dz 2

En notant N la fonction de rpartition de la loi normale standard

Cbin

e

r (T t )

(1 N ( d 2 )) e

r (T t )

N (d 2 )

PUT BINAIRE En suivant le mme raisonnement, on trouve

Pbin

e

r (T t )

N ( d2 )

2.4.2 Volatilite implicite

Parmi les cinq variables et paramtres S, K, T , r et entrant dans les formules de type Black-Scholes, seule la volatilit nest pas observable directement .En outre, celle-ci nest pas constante contrairement lhypothse formule dans le modle de Black-Scholes. La volatilit du support ntant pas observable, il faut lestimer 16

empiriquement : on appelle cette volatilit la volatilit implicite .Pour lobtenir, il suffit dinverser la formule de Black-Scholes , c'est--dire inverser la formule donnant le prix de Call et Put cots sur le march. On peut alors rutiliser cette valeur pour valuer des options plus complexes de que des calls ou des puts vanille, et pour lesquelles le march na pas encore dgag un prix issu de loffre et de la demande. La volatilit traduit un sentiment du march exprim travers un modle bien prcis (Black-Scholes). Elle na aucune raison dtre gale la volatilit relle du sous-jacent, ni mme sa volatilit historique (dduite de la variance des observations sur les mois prcdents concernant le sous-jacent). Nous reparlerons de cette volatilit implicite un peu plus loin, en discutant du Vga, une de nos lettres grecques.

17

Chapitre 3 Les GrecquesLes grecques sont les instruments de base de la gestion financire des options. Elles dcoulent des principaux modles dvaluation doption, notamment celui de Black et Scholes. Ces indicateurs calculent l'impact sur le prix de l'option d'une variation des paramtres qui le forment : le prix du sous-jacent (ou spot) la volatilit implicite , le temps , le taux d'intrt (ou rate) . ,

Ils sont reprsents par des drives dune valeur doption par rapport ces diffrents paramtres. Par ailleurs, ils sont notamment utiliss dans les stratgies de rplication et de couverture doptions ou de portefeuilles doptions. Ils sont appels grecques parce quils sont reprsents par des lettres grecques (exception faite de Vga qui bien que considr comme grecque nest pas une lettre grecque) :

Le Delta dune option reprsente la variation du prix de loption par rapport la variation de lactif sous-jacent. Le Gamma dune option se dfini comme la variation du celle de lactif sous-jacent. par rapport

Le Thta dune option dtermine la sensibilit de loption par rapport une variation de la dure de vie de loption. Le Vga dune option (galement appel Lambda ) quivaut la variation de loption par rapport la volatilit. Le Rh dune option reprsente la sensibilit de loption par rapport une variation du niveau des taux dintrt.

18

3.1 Le Delta - Dfinition et Formules3.1.1 Options vanille3.1.1.1 Dfinition Dfinition : le delta reprsente la variation de loption lorsque le sous-jacent varie dune unit montaire. Il fournit une information sur la variabilit de loption mais aussi sur la probabilit dexercer loption. De plus , il nous donne le nombre dactions utiliser pour couvrir une option. Le delta est la premire information prise en compte par le trader.

Pour loption dachat (call vanille):

C

C S

N (d1 ) avec

]0,1]

(3.1)

Pour loption de vente (put vanille): P N (d1 ) - 1 avec ]0,1] P S

(3.2)

FIG. 3.1 - L'influence du sous-jacent sur la valeur d'une option d'achat

19

FIG. 3.2 - L'influence du sous-jacent sur la valeur d'une option de vente

FIG. 3.3 - L'influence du sous-jacent sur le delta

Les formules (3.1) et (3.2) sont le rsultat dune drivation des formules de call et put issues de Black-Scholes que nous allons dtailler. 3.1.1.2 Calculs Nous allons maintenant montrer comment obtenir les relations (3.1) , (3.2) et le delta dune option vanille la suite dune drivation de la formule de Black-Scholes avec N '(d1 ) X e r (T t ) . comme condition St N '(d2 )

20

CALL VANILLE Daprs la formule de Black-Scholes, on a pour un call la valeur suivante

C (t , St )

St N (d1 ) Xe

r (T t )

N (d 2 )

Do,

C

C (t , St ) St0;

N (d 1 ) S0,1

N (d 1 ) (t , St ) Xe St

r (T t )

N (d 2 ) (t , St ) St

La fonction

(t , St )

N (d1 (t , St )) est une fonction compose de d1 et de N la

fonction de rpartition de la loi normale centre rduite N(0,1) avecd1 : 0; (t , St ) d1 (t , St )

et

N: x

0;1 N ( x)

On a donc

N (d 1 ) (t , St ) St

N d (d1 ) 1 (t , St ) d1 St d = N '(d1 ) 1 (t , St ) Std1 (t , St ) Xe Str (T t )

Do

C

N (d1 ) St N '(d1 )

N '(d 2 )

d2 (t , St ) (*) St

Calculons

d1 (t , St ) et St

d2 (t , St ) St

d1 (t , St ) St Do

1 St T t

d2 (t , St ) St

1 St T t

d1 (t , St ) St

d2 (t , St ) St

21

On remplace dans (*) et on obtient

N (d1 )

St N '(d1 ) Xe

r (T t )

N '(d 2 )

d1 (t , St ) St

On a la condition St

N '(d1 ) N '(d2 )

Xe

r (T t )

Donc St N '(d1 ) X e Au final on a

r (T t )

N '(d 2 )

St N '(d1 ) S

N '(d1 ) N '(d 2 ) 0 N '(d 2 )

C

N (d1 )

Pour la suite, notons (A) lquation St N '(d1 ) Xe

r (T t )

N '(d 2 ) 0

PUT VANILLE Daprs la formule de Black-Scholes on a pour un put vanille la valeur suivante :

P (t , St )

St N ( d1 ) Xe

r (T t )

N ( d2 )d1 (t , St ) Xe St d1 (t , St ) Str (T t ) r (T t )

P

P (t , St ) St

N ( d1 ) SN '( d1 )

N '( d 2 )

d2 (t , St ) St

Comme pour le delta du call vanille

d2 (t , St ) St d1 (t , St ) St(**)

P

N ( d1 ) SN '( d1 )

d1 (t , St ) Xe Str (T t )

N '( d 2 )

=

d1 (t , St ) SN '( d1 ) Xe St2

N '( d 2 )

N ( d1 )2

Mais N ( x)

x

1 z2 e dz donc 2

N '( x)

1 x2 e 2

22

N '(d1 )

1 1 d2 e ; N '( d1 ) 2

2

1 ( e 2

d1 )2 2

1 1 d2 e 2

2

N '(d1 )

Donc (**) devient :

P

d1 (t , St ) SN '(d1 ) Xe St N ( d1 )

r (T t )

N '(d 2 )

N ( d1 )

en utilisant (A)

Mais

N ( d1 )

(1 N (d1 ))

N (d1 ) 1

Donc finalementP

N (d1 ) 1

3.1.2 Options binairesCALL BINAIRE Rappelons la formule du call binaire : Cbin e r (T t ) (1 N ( d 2 )) e Docallbin

r (T t )

N (d 2 )

Cbin (t , St ) e S1 St T t

r (T t )

N (d 2 ) (t , St ) e S

r (T t )

N '(d 2 )

d2 (t , St ) S

Or

d2 (t , St ) St

Doncecallbin r (T t )

S

N '(d 2 ) T t

23

PUT BINAIRE Par le mme raisonnement on trouveeputbin r (T t )

S

T t

N '(d 2 )

3.2 Le Gamma3.2.1 DfinitionDfinition : Le gamma reprsente la variation du delta dune option dachat ou dune option de vente lorsque lactif sous-jacent varie dune unit montaire. Il est identique pour loption dachat et loption de vente (call ou put vanille):2 C P 1 N (d1 ) 0 2 2 St St S T t O N est la densit de la loi normale centre rduite. 2

A la monnaie, le est instable que ce soit pour loption dachat ou pour loption de vente ( lev). A linverse, loin de cette position, le est stable ( faible). Lvolution du en fonction du sous-jacent est illustre ci-dessous.

FIG. 3.4 - Le gamma en fonction du sous-jacent

24

Le gamma dune option est son maximum lorsque celle-ci est la monnaie. Lorsque loption est dite hors la monnaie ou dans la monnaie gamma tend vers 0. La connaissance du est trs importante dans une stratgie delta neutre. Si le est lev, les stratgies de rquilibrage seront nombreuses parce quil y aura une forte instabilit de la couverture. Idalement, la position globale devra avoir un delta nul mais galement un proche de 0.

3.2.2 Calculs2

CALL VANILLEd1 (t , St ) St

C (t , St ) St

c

St

N (d1 ) (t , St ) St

d1 N '(d1 ) St

On calcule

St

1 T t

FinalementN '(d1 ) St T t2

PUT VANILLE Finalement

P

2

P (t , St ) St

P

St

N (d1 ) 0 St

d1 N '(d1 ) St

C

P

C

N '(d1 ) St T t

3.3 Le Thta3.3.1 DfinitionDfinition : Le thta donne la sensibilit de loption par rapport au temps autrement dit, il mesure le changement dans le prix dune option au fur et a mesure que le temps passe. Il mesure donc la diminution de la valeur temps dune option. Le thta est ngatif pour lacheteur et positif pour le vendeur. Il est exprim en nombre de jours. Par exemple, une option avec un thta de sept jours de -0,05 indique que loption perdra 0,05 dans les sept prochains jours si tous les autres facteurs restent inchangs.

25

FIG. 3.5 - Le Thta en fonction du sous-jacent

3.3.2 CalculsCALL VANILLE

C

c (t , t ) t

SN '(d1 )

d1 (t , St ) t

re

r (T t )

XN (d 2 ) e

r (T t )

XN '(d 2 )

d2 (t , St ) tXN '(d 2 ) d2 (t , St ) t

= SN '(d1 )

d1 (t , St ) re td2 (t , St ) tr (T t )

r (T t )

XN (d 2 ) e

r (T t )

Puisque d1 d 2

T t,

on a

d1 (t , St ) t 2 T t'r (T t )

Alors

c

SN '(d1 )

d1 (t , St ) re t

XN (d 2 ) e

XN '(d 2 )

d1 (t , St ) t 2 T t

= d SN '(d1 ) 1 (t , St ) re t

r (T t )

XN (d 2 ) e

r (T t )

XN '(d 2 )

d1 e (t , St ) tXrer (T t )

r (T t )

XN '(d 2 ) 2 T ter (T t )

d = 1 (t , St ) SN '(d1 ) Xe t

r (T t )

N '(d 2 )

N (d 2 )

XN '(d 2 ) 2 T t

On utilise (A) et on obtientSt c rxer (T t )

N (d 2 )

N '(d1 ) N '(d 2 ) N '(d 2 ) 2 T t

26

Finalement c StN '(d1 ) X 2 T t rxer (T t )

N (d 2 )

PUT VANILLE

P

P (t , St ) t= Xrer (T t )

Xre

r (T t )

N ( d 2 ) Xer (T t )

r (T t )

N ( d2 ) N ( d1 ) (t , St ) S (t , St ) t t

N ( d 2 ) Xe

N '(d 2 )

d2 d (t , St ) SN '(d1 ) 1 (t , St ) t t

On calcule

d1 (t , St ) et t

d2 (t , St ) td2 (t , St ) tr (T t )

Comme pour le call, on a

d1 (t , St ) t 2 T t N '( d 2 ) d1 (t , St ) t 2 T t SN '( d1 ) d1 (t , St ) t

Donc

p =

Xre

r (T t )

N '( d 2 ) Xe

Xre

r (T t )

N ( d 2 ) Xe

r (T t )

N '(d 2 )

d1 (t , St ) tr (T t )

Xe

r (T t )

N '( d 2 ) d SN '( d1 ) 1 (t , St ) t 2 T t Xrer (T t )

=

d1 (t , St ) SN '( d1 ) Xe t

N '( d 2 )

N ( d2 )

Xe

r (T t )

N ( d2 ) 2 T t

On utilise (A) et on obtient Xrer (T t )

P

N ( d2 )

StN '( d1 ) 2 T t

Finalement, p StN '(d1 ) 2 T t Xrer (T t )

N ( d2 )

27

3.4 Le Vga3.4.1 DfinitionDfinition : Le Vga mesure la sensibilit du prix de loption par rapport aux variations de la volatilit du sous-jacent. Le Vga dune position acheteur sur options dachat ou de vente est toujours positif. La volatilit (implicite) tant une mesure de risque , une hausse de cette dernire augmente la valeur de loption. Une option dachat avec un Vga de 0,07 augment de 0,07 la suite dune hausse de volatilit de 1%.Plus la maturit de loption est lointaine, plus la volatilit implicite augmente, donc plus le Vga sera lev. En revanche, les options dont lchance est proche verront la valeur du Vga diminuer au fil des jours et donc perdront de la valeur. Le signe du Vga nous permet de justifier la possibilit dinverser la formule de Black-Scholes pour un call. Le call est une fonction dpendant de plusieurs paramtres dont la volatilit. Appelons F cette fonction. On a donc C F (t, St , r, ,...) F Vega est positif donc la fonction est croissante et de plus continue en est inversible et son inverse nous donne la volatilit implicite. Plus prcisment, supposons que lon constate sur le march le prix C euros pour un call sur un sous-jacent donn. Ce prix provient directement des ngociations bases sur loffre et la demande pour les options calls et puts. En inversant F relativement [sigma] on trouve la volatilit implicite F 1 (C) qui traduit le sentiment du march sur la valeur de la volatilit du sous-jacent, dans le modle de Black-Scholes.

donc F

FIG. 3.6 - L'volution du Vga en fonction du sous-jacent

constant

28

3.4.2 CalculsCALL VANILLE

VegaC

c

(t , St )d1

St N '(d1 )

d1

e

r (T t )

XN '(d 2 )

d2

On a

d2

T t d1 er (T t )

Donc VegaC

St N '(d1 )

XN '(d 2 )

d1

T t

St N '(d1 )d1

d1

e

r (T t )

XN '(d 2 )

d1

e

r (T t )

XN '(d 2 ) T t

=

SN '(d1 ) e

r (T t )

XN '(d 2 )

St N '(d1 ) T t

= SN '(d1 ) T t Finalement, VegaC PUT VANILLESN '(d1 ) T t

VegaP

P

(t , St )

St N '( d1 ) d1 er (T t )

d1

e

r (T t )

KN '( d 2 )

d2

St N '(d1 )

KN '(d 2 )

d2

On a Donc

d2

d1

T t

VegaP

St N '( d1 ) St N '( d1 ) d1

d1 d1

e e

r (T t )

KN '( d 2 ) XN '( d 2 ) XN '( d 2 )

d1 d1 e

Tr (T t )

t XN '( d 2 ) T t t

r (T t )

SN '( d1 ) e t

r (T t )

St N '( d1 ) T

SN '( d1 ) T

29

Et finalementVegaP SN '(d1 ) T t

3.5 Rh3.5.1 DfinitionDfinition : Le rh mesure la sensibilit du prix de loption par rapport au taux dintrt continu. Elle permet de mesurer les risques des options lis lvolution des taux dintrt court terme. Ce paramtre est peu utilis car les taux dintrt sont supposs constant dans le modle de Black-Scholes et car ils varient peu en pratique sur la dure de vie de loption.

3.5.2 CalculsCALL VANILLE d c (t , St ) SN '(d1 ) 1 C r r

X (T t )e

r (T t )

N (d 2 ) e

r (T t )

XN '(d 2 )

d2 r

On calcule

d1 et r

d2 r

30

d1 r

(T t ) T t

T t

;

d2 r

T t

d1 r

d2 r

Donc,

C

SN '(d1 )

d1 r

X (T t )e

r (T t )

N (d 2 ) e

r (T t )

XN '(d 2 )

d1 r

=

d1 SN '(d1 ) Xe r

r (T t )

N '(d 2 )

X (T t )e

r (T t )

N (d 2 )

On utilise (A) et on obtientC

X (T t )e

r (T t )

N (d 2 )

FinalementC

X (T t )e

r (T t )

N (d 2 )

PUT VANILLE

P

p (t , St ) r

X (T t )e

r (T t )

N ( d 2 ) Xe

r (T t )

( N '( d 2 )

d2 d ) SN '( d1 ) 1 t t

d1 r

d2 r

comme pour le call

Donc

P

X (T t )e

r (T t )

N ( d 2 ) Xe

r (T t )

N '( d 2 )

d1 t

SN '( d1 )

d1 t

= X (T t )e =

r (T t )

N ( d2 )N ( d2 )

d1 SN '( d1 ) Xe ten utilisant (A)

r (T t )

N '( d 2 )

X (T t )e

r (T t )

FinalementP

X (T t )e

r (T t )

N ( d2 )

31

Chapitre 4 Couverture doptionsLes vendeurs doptions sont, chaque fois quils offrent des produits drivs exposs en retour un important risque de perte quils ne peuvent couvrir par une couverture de type assurance. Pour faire face ce risque alternative soffrent eux : mettre en place une stratgie de couverture. Ces stratgies de rplication dynamique vont leur permettre de compenser leur perte sur la position du produit driv par celle du portefeuille. Cest l que rentrent en jeu les grecques.

4.1 Couverture delta-neutreDelta nous informe sur la variabilit de loption ainsi que sur laprobabilit de lexercer. Beaucoup de gestionnaires utilisent la gestion en delta-neutre comme couverture de leur portefeuilles.Il sagit dune gestion en temps continu du risque.Elle consiste rquilibrer le nombre de parts dactifs sous-jacent dtenir pour couvrir le risque de variabilit de loption par rapport son sous-jacent. On suppose donn un sous-jacent S et un portefeuille P dont la partie risque est construite sur S (un tel portefeuille peut contenir du non-risqu, du sous-jacent et des drivs sur le sous-jacent).Pour se constituer un portefeuille P delta neutre on utilise un driv F(par exemple un call).Soit F la quantit de F incorpore. On convient de noter par la mme lettre lactif et sa valeur en euro. La valeur du portefeuille couvert est donc V (t , s ) P(t , s ) o s reprsente une valeur de S ( la date t). Ainsi,dune part on a dV (t , s ) dP(t , s ) F dF (t , s )P (t , s )dt t P (t , s ) t P 1 2P F F (t , s )dS (t , s )(dS ) 2 (t , s )dt (t , s )dS F( 2 s 2 s t s F P F 1 2P (t , s ) dt (t , s ) F (t , s ) dS (t , s ) F t s s 2 s2 1 2F (t , s )(dS ) 2 ) 2 2 s 1 2F (t , s ) (dS ) 2 F 2 2 s

F

F (t , s )

Et dautre part dV

V (t , s )dt t

V (t , s )dS s

1 2V (t , s )(dS ) 2 2 2 s

Pour une couverture delta-neutre, la quantit

F

doit tre ajuste de telle manire que

32

V sAvec les deux galits ci-dessus on trouve La quantit de

0

V s

P s

F

F s

0

F

de F injecter pour avoir un portefeuille delta-neutre est donc P s P F F F s

Current Price: S = 10, Risk Free Rate: r = 0.05Delta Hedge 6 call delta 4

2 Call Option Price

0

-2

Slope =

-4

Position in Bonds

-6

0

5 Stock Price

10

15

Hedged Call Option Parameters: (K=10, T=0.2, =0.3)

FIG. 4.1-Couverture delta en image

4.2 Couverture Delta-gammaGamma dsigne la frquence et le niveau auquel un portefeuille doit tre rquilibr pour conserver la position Delta neutre. Ainsi, pour petit, le rquilibrage du portefeuille ne se fera pas trs souvent. Par contre, lorsque Gamma est lev, Delta est trs sensible aux variations de lactif sous-jacent. Il est donc intressant davoir un Gamma nul, et par suite un Delta constant afin que le trader naie pas besoin de rajuster le portefeuille trs souvent. On suppose cette fois-ci donn un sous-jacent S et un portefeuille P dont la partie risque est construite sur S (un tel portefeuille peut contenir du non-risqu, du sous-jacent et des drivs sur le sous-jacent).Pour se constituer un portefeuille P la fois delta et gamma neutre on utilise deux drivs F et G(par exemple deux call avec des prix dexercice diffrents ou des maturits diffrentes).Soit F et G les quantits de F et G incorpore. La valeur du portefeuille couvert est donc V (t , s ) P(t , s ) o s reprsente une valeur de S ( la date t).

F

F (t , s )

G

G (t , s )

33

Dune part, on a donc

dV (t , s )

dP(t , s )

F

dF (t , s )

G

dG (t , s )

P P 1 2P (t , s )dt (t , s )dS (t , s )(dS ) 2 2 t s 2 s F F 1 2F ( (t , s )dt (t , s )dS (t , s )(dS ) 2 F t s 2 s2 G G 1 2G (t , s )dt (t , s )dS (t , s )(dS ) 2 ) G( 2 t s 2 s P F G ( (t , s ) F (t , s ) G (t , s ))dt t t t P F G ( (t , s ) F (t , s ) G (t , s ))dS s s s 1 2P 1 2F 1 2G ( (t , s ) F (t , s ) G (t , s ))(dS ) 2 2 s2 2 s2 2 s2

Et dautre part dV

V (t , s )dt t

V (t , s )dS s

1 2V (t , s )(dS ) 2 2 2 sF

Pour une couverture delta-neutre, les quantit

et2

G

doit tre ajuste de telle manire que

V scest--dire2

0 et

V s2

0

V s2

P (t , s) sP (t , s ) s2F

F2

F (t , s) sG

G

et

V s2

F (t , s ) s2

G (t , s) s 2 G (t , s ) s2

P

F

F

G

G

00

P

F

F

G

G

On obtient donc le systme linaireP P F F F F G G G G

0 0F

On serait tent de commencer par dterminer la quantit V1

de F telle que le portefeuille

( P, F ) soit delta neutre ; ce portefeuille ntant gnralement pas gamma neutre, on ajouterait V1 une quantit G de driv G qui rendrait ce portefeuille gamma neutre. Le problme est quen incorporant G V1 on dtruit la delta neutralit de V1 . On procde donc comme suit : on constituera dabord ( P, F ) gamma neutre puis on y incorporera, comme driv G , le sous-jacent lui-mme, en quantit ncessaire pour obtenir un

34

portefeuille delta neutre. Comme le gamma su sous-jacent est nul, cela ne dtruira pas la delta neutralit initiale. La valeur du portefeuille couvert sera alors V (t , s ) P(t , s ) F F (t , s ) S s Le delta de S tant gal 1, on aura donc rsoudre le systmeP P F F F F S

0

0

On en tireP F F

et

F S F

P P

Ce schma se gnralise et permet de dterminer un schma de couverture susceptible de rendre un portefeuille neutre vis--vis de nimporte quelle grecque.

Delta vs. Delta-Gamma Hedge 6 call delta delta-gamma

4

2 Call Option Price

0

-2

-4

-6

0

5 Stock Price

10

15

FIG. 4.2-Couverture Delta -gamma en image

35

Current Price: S = 10, Risk Free Rate: r = 0.05Delta vs. Delta-Gamma Hedge 3 2.5 2 Call Option Price 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 call delta delta-gamma

8

8.5

9

9.5

10 10.5 Stock Price

11

11.5

12

Hedged Call Option Parameters: (K=10, T=0.2, =0.3)

FIG. 4.3-Couverture Delta -gamma en image

4.3 Couverture call binaireLe delta dun call binaire de prix dexercice K et dont le pay-off constitue en un payement de cash de 1 est donn par la formuled2 1 1 e e 2 callbin 2 s T t o s est une valeur de S , le temps restant lchance, et r (T t )2

d2

1 s log K T t

(r

1 2

2

)(T t )

Lorsque loption est la monnaie s

K et la formule pour d2 devient

d2

1 (r T t

1 2

2

)(T t )

1

(r

1 2

2

) T t

On note Lorsque

T t 0 , d 2 aussi et donc par consquent(r 1 2 22 2

)

lim0

callbin

lim e0

r (T t )

1 e 2

1 sd22 2

Lorsque s

K et

0 on a d 2d2 ( )2 2

2

12

s (log ) 2 K

et par consquent lim e0

0.

Par croissance compare e

tend vers 0 plus rapidement que

, donc

36

lim0

callbin

0

La couverture de loption est donc dans ces conditions trs difficile. En effet, quel patron serait daccord de prter une somme infinie ? Pour couvrir un call binaire, on lapproche par la quantit N (d1 ) de spread verticaux de prix dexercice K1 K et K 2 K h o h reprsente le tick minimum impos par la bourse. Le pay-off terminal est dessin ci-dessous :

FIG. 4.4 Approximation call binaire1 La quantit N (d1 ) reprsente la pente de la courbe et est donc par consquent . hAinsi le call binaire est rpliqu en prenant une position longue (achat) sur et une position courte (vente) sur

1 calls K vanille h

1 calls K h

h vanille.

Le trader se constitue donc le portefeuille de couverture (b, ) suivant : Pour lachat il se constitue le portefeuille (b1 , 1 0 t h Pour la vente il se constitue le portefeuille (b2 , 1 't 0 h1

) = ( t , t ) avec

t

0 (achat) et

2

) ( 't , 't ) avec

't

0 (vente) et

Donc le portefeuille de couverture final (b, ) est (b, ) ( | t | 't ,

t

| 't |) 37

4.4 Spreads calendaires (horizontaux)

FIG.4.5 Dcroissance Thta en fonction du tempsPlus loption est proche de sa date dchance, plus la valeur de celle-ci diminue. En effet, sa valeur temps est presque nulle. Ceci sexplique facilement par le fait que la drive de loption par rapport au temps est ngative donc la fonction reprsentant loption est dcroissante par rapport au temps. Le graphique ci-dessus nous illustre cette perte de valeur par rapport au temps. Il existe une stratgie pour palier cette perte : les spreads calendaires.

4.4.1 Dfinition du spread (cart) calendaireDfinition : Stratgie consistant acheter et vendre simultanment des options de mme classe ayant le mme prix d'exercice mais des dates d'chance diffrentes. Ici l'investisseur joue la stabilit des cours au jour de l'chance autour du prix d'exercice des calls. On le nomme aussi spread horizontal ou encore time.

38

4.4.2 Fonctionnement-Exploitation4.4.2.1 Application du Thta aux spreads calendaires Rappelons tout dabord que plus la maturit est loin, plus loption est chre. Un investissement initial est donc ncessaire pour raliser cette couverture. Lapplication de Thta aux spreads calendaire correspond lexploitation de la valeur temporelle de loption. Comme nous lavons vu dans le premier chapitre, la valeur temporelle dune option est son maximum la monnaie et tend vers 0 quand le prix du sous-jacent sloigne de la monnaie. Il y trois cas de figure envisager : 1er cas : Le prix du sous-jacent est profondment hors la monnaie quand loption courte expire. La valeur intrinsque de loption est nulle et la valeur temps du call long est proche de 0. Le call court est lui valu 0. Au final, le trader encourt donc une perte qui est un peu moins que le cot du spread initial. 2me cas : Le prix du sous-jacent est trs au dessus du prix dexercice. Le trader paye ST K pour le call court et vend le call long qui est valu un peu plus que ST K .Le trader perd donc un peu moins que le cot du spread initial.

3me cas : Le prix du sous-jacent est proche du prix dexercice. La valeur temps des d eux options est au maximum. Cependant loption longue possde une valeur temporelle nettement suprieure. Dans ce cas, un net profit est enregistr.

FIG. 4.6-spread calendaire

39

FIG. 4.7-spread calendaire

4.4.2.2 Application du Vga aux spreads calendaires longs Pour un call ou un put vanille, le Vga est une fonction croissante du temps restant lchance, T-t. Autrement dit plus on est loin de lchance, plus le prix du call sera sensible aux variations de la volatilit implicite. En particulier un call long-terme est toujours plus sensible aux variations de la volatilit implicite quun call court-terme. Mais, le prix dun call est aussi une fonction croissante de la volatilit implicite. On en dduit quune hausse de la volatilit implicite est plus favorable un call longterme qu un call court-terme. Ainsi, un call calendaire long est toujours favoris par une hausse de la volatilit implicite. En effet la diffrence entre le prix du call long-terme et celui du call courtterme augmentera avec une hausse de la volatilit. Inversement, une baisse de la volatilit fera baisser le prix du spread calendaire. Les effets de ces mouvements de volatilit se combinent aux effets des mouvements du sous-jacent. Ils peuvent parfois amplifier ou au contraire annuler les consquences de ces derniers sur la valeur du spread.

Le trader qui a ngoci un spread calendaire doit tre attentif non seulement aux variations du sous-jacent mais aussi celles de la volatilit implicite.

40

ConclusionLes grecques sont donc des lments indispensables pour les traders dans la gestion de leurs options. En effet, ces instruments permettent non seulement dviter les pertes mais aussi daugmenter le capital. Les stratgies nonces ici sont la base de la couverture doption. Loin dtre les seules, elles sont nanmoins particulirement intressantes.

41

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42

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Autres liens gnraux[15] http://www.abcbourse.com/

[16] http://www.analyse-avoirs.com

[17] http://www.laviefinanciere.com/ [18] http://fr.wikipedia.org

[19] http://www.riskglossary.com [20]http://www.comprendrelabourse.com

43