1

Chapitre 1

Généralités

1.1 Centrale Thermique

1.1.1 Définition

La centrale thermique est une centrale électrique qui produit de l'électricité à partir d'une

source de chaleur (charbon, gaz, fioul, biomasse ou déchets municipaux). La source de chaleur

chauffe un fluide (souvent de l'eau) qui passe de l'état liquide à l'état gazeux (vapeur). Cette vapeur

entraîne une turbine couplée à un alternateur qui transforme l'énergie cinétique contenue dans la

vapeur en énergie mécanique de rotation, puis en énergie électrique grâce à une génératrice de

courant.

1.1.2 Principe de fonctionnement d’une centrale thermique

Une centrale thermique fonctionne grâce à la combustion du gaz naturel, du charbon

pulvérisé) ou du fuel dans une chaudière à vapeur. La chaleur des gaz de fumées et des flammes

sert à chauffer la tuyauterie de la chaudière et transforme progressivement l'eau qui y circule en

vapeur. Les gaz de fumées s’échappent par la cheminée. Dans les centrales à charbon, un électro

filtre en retient d’abord les particules de poussière. La vapeur fait tourner la turbine à vapeur, qui

à son tour entraîne l’alternateur pour produire l’électricité. Le transformateur élève la tension du

courant produit, avant qu’il ne soit injecté dans le réseau de transport.

Après son passage dans la turbine où elle libère son énergie, la vapeur se condense et

retourne sous forme d’eau vers la chaudière. Dans le condenseur, la vapeur glisse sur des milliers

de tubulures remplies d'eau froide pompée des eaux de surface (eau de refroidissement) et lui

cède sa chaleur. La plupart des centrales refroidissent cette eau devenue relativement chaude,

dans une tour de refroidissement, pour ensuite la réutiliser. Dans ces immenses tours de

refroidissement, en forme d’hyperbole, l’eau entre en contact avec un courant d’air ascendant

créé par le tirage naturel (effet de cheminée de la tour de refroidissement). Lorsque des

ventilateurs créent ce flux d’air, la tour de refroidissement est plus petite, l’eau se refroidit et

retombe sous forme de gouttelettes dans la tour de refroidissement ; L’air réchauffé saturé de

vapeur d’eau, s’échappe de la tour de refroidissement en un nuage de vapeur blanc. Une grande

partie de l’eau de refroidissement refroidie est pompée vers le condenseur et réutilisée et seul 1 à

2

1,5 % s’évapore. Une centrale thermique transforme 35 à 40 % de l’énergie du combustible en

électricité. Elle fournit parfois aussi de la chaleur, sous forme de vapeur d’eau [1].

1: Chaudière à vapeur 5 : Transformateur 2: Electro filtre 6 : Condenseur 3: Turbine à vapeur 7 : Tour de refroidissement 4: Alternateur

Fig.1.1 Schéma d’une centrale thermique [1]

1.2 Turbine à vapeur

1.2.1 Définition

La turbine à vapeur est un moteur thermique rotatif qui convertit l’énergie d’un courant de

vapeur d’eau ou en énergie mécanique. Plus généralement c’est un organe qui permet la

détente d’un fluide en transformant son énergie sous forme mécanique [2].

1.2.2 Historique

La turbine à vapeur est le fruit du travail de nombreux chercheurs et ingénieurs, à la fin du

XIX e siècle. Parmi les contributions notoires au développement de ce type de turbine, on peut

mentionner celle du Britannique Charles Algernon Parsons et celles du Suédois Carl Gustav

Parsons fut à l’origine du principe de la séparation des étages, selon lequel la vapeur se dilate dans

un certain nombre d’étages, produisant à chaque fois de l’énergie. De Laval fut le premier à

concevoir des jets et des augets adaptés à une utilisation efficace de la vapeur en expansion [3].

1.2.3 Différents catégories des turbines

3

Les turbines sont classées selon leur mode de fonctionnement ainsi qu’a leurs modes

de constructions. On distingue trois grandes catégories de turbines :

� turbines hydrauliques ou à eau.

� turbines à gaz.

� turbines à vapeur.

Dans cette étude, on se limite à l’étude des turbines à vapeur.

1.2.4 Description de la turbine à vapeur

La turbine à vapeur comprend une partie fixe appelée stator qui porte des aubages directeurs.

La vapeur en provenance de l’évaporateur est admise dans un collecteur. Elle s’écoule ensuite dans

des canaux fixes (c’est là où l’énergie thermique se transforme en énergie cinétique) et dans des

canaux mobiles (les énergies thermiques et cinétiques sont transformées en énergie mécanique). Les

canaux fixes et mobiles se succèdent les uns à la suite des autres dans le sens de l’écoulement. La

vapeur en provenance du générateur de vapeur est introduite dans les premiers étages de la turbine à

travers des vannes d’admission et des soupapes de réglage asservies aux dispositifs de sécurité et de

réglage de la turbine. La vapeur est détendue adiabatiquement en produisant un travail mécanique.

La détente de la vapeur à travers les divers étages de la turbine se fait de façon différente selon qu’il

s’agisse de turbines à action ou à réaction.

Fig.1.2 Schéma de turbine à vapeur (Parsons) [4] Fig.1.3 Rotor d’une turbine à vapeur [5]

Aubage fixe

Aubage mobile

L’arbre

4

1.2.5 Principe de fonctionnement

Bien que les turbines à vapeur soient construites selon deux configurations différentes (à

action ou à réaction), leurs éléments essentiels sont similaires. Elles se composent de tuyères ou de

jets, et d’ailettes (aubes). La vapeur s’écoule dans les tuyères, dans lesquelles elle se dilate, ainsi, sa

température diminue et son énergie cinétique augmente. La vapeur en mouvement exerce une

pression contre les aubes, entraînant leur rotation. La disposition des jets et des aubes, fixes dépend

du type de turbine. À la sortie du dernier condenseur, l’eau peut être de nouveau vaporisée et

surchauffée, l’eau ou la vapeur récupérée en sortie est ramenée vers la chaudière par des pompes.

La turbine à vapeur utilise les principes de la thermodynamique, lorsque la vapeur se dilate, sa

température et donc son énergie interne diminuent. Cette diminution de l’énergie interne

s’accompagne d’une augmentation de l’énergie cinétique sous forme d’une accélération des

particules de vapeur (une réduction de 100 kJ de l’énergie interne, due à la dilatation, peut

provoquer un accroissement de la vitesse des particules de vapeur de l’ordre de 2 800 km/h), à de

telles vitesses, l’énergie disponible est très importante. Lorsque la pression de la vapeur d’eau en

sortie de la turbine est égale à la pression atmosphérique, la turbine est dite à condensation.

Aujourd’hui, les turbines à vapeur sont généralement limitées à une température maximale de

580 °C dans le premier étage, et à une pression maximale d’admission de 170 à 180 bars [3].

Fig.1.4 Principe de fonctionnement d’une turbine à vapeur [6]

1.2.6 Différents types de turbines à vapeur

En fonction de leur utilisation, on distingue quatre grandes catégories de turbines à

vapeur :

� Les turbines à condensation

Dans les quelles la vapeur est complètement détendue jusqu'à une pression voisine de

0,02 à 0,04 bar, puis liquéfiée dans un condenseur refroidi soit par l'air ambiant, soit par de l'eau

. Ce type de turbine est surtout utilisé dans les installations de production de force motrice.

Source d’énergie

(Combustible,

Fossile,….)

Production de la chaleur

Alternateur Turbine Chaudière

Vaporisation Forte Température haute pression Couple

(L’énergie Calorifique) (Énergie de pression) (Énergie mécanique) (Énergie électrique)

5

La pression de sortie de la vapeur étant basse, ce qui fait apparaître des condensats dans la tur

bine qu’il faut évacuer par le biais de purgeur. Le rendement global est de l’ordre de

30% (Fig1.5.a).

� Les turbines à contre-pression

Dans les quelles la vapeur est détendue de la pression HP (> 40 bars) jusqu'à une pression B

P (de l'ordre de 4 bars). Ce type de turbine permet de produire de la puissance mécanique ou de

l'électricité grâce aux hautes températures et pressions que l'on peut obtenir dans une

chaudière. Dans ce type de turbine, la vapeur reste strictement en phase gazeuse,

après détente, l’intérêt est de délivrer de la vapeur à un niveau enthalpique suffisant pour

qu’elle soit utilisable (exemple : séchage). L’inconvénient de ce type de turbines

c’est qu’avec une pression de sortie de 3 bars, il est difficile d’atteindre un rendement

thermodynamique supérieur à 18 %. (Fig1.5.b).

� Les turbines à soutirage et condensation :

Dans les quelles la vapeur subit une détente partielle jusqu’ à une moyenne pression

(environ 20 bars) dans un corps haute pression. Ensuite une partie est dirigée vers un réseau

d’utilisation, tandis que le reste de la vapeur est détendu dans un corps basse pression, comme dans

une turbine à condensation. Ce type de turbine trouve un champ d’application important dans les

usines de cogénération dont les demandes de chaleur sont susceptibles de varier fortement au cours

du temps (Fig1.5.c).

� Les turbines à soutirage et contre-pression :

la seule différence par rapport à la précédente, est que la vapeur d’eau s’échappe à

basse pression dans un réseau BP au lieu d’être condensée. (Fig1.5.d) [2].

6

Fig.1.5 Différents types de turbines à vapeur [2]

1.2.7 Classification des turbines à vapeur

On peut classer les turbines à vapeur selon leurs mode de fonctionnement en :

� Turbine à action

La forme la plus simple de turbine à vapeur est la turbine à action, dans la quelle les jets

sont fixés sur la partie intérieure de l’enveloppe de la turbine, les aubes sont placées sur le bord

des roues tournantes montées sur un arbre central. La vapeur qui se déplace dans une tuyère

fixe passe sur ces ailettes incurvées, qui absorbent une partie de l’énergie cinétique de la vapeur

dilatée, faisant ainsi tourner la roue et l’arbre sur lesquels elles sont montées. Cette turbine est

conçue de manière à ce que la vapeur entrant par une extrémité de la turbine se dilate à travers

une succession de tuyères jusqu’à ce qu’elle ait perdu la majeure partie de son énergie interne

[3].

7

Fig.1.6 Turbine à action [7]

� Turbine à réaction

Dans la turbine à réaction, une partie de l’énergie mécanique est obtenue par l’impact de la

vapeur sur les aubes. La partie la plus importante est obtenue par l’accélération de la vapeur lors de

son passage dans la roue de la turbine, où elle se dilate. Une turbine de ce type se compose de deux

jeux d’aubes, l’un fixe l’autre mobile. Ces aubes sont disposées de telle façon que chaque paire joue

le rôle de tuyère, à travers laquelle la vapeur se dilate lors de son passage. Dans chaque étage, une

faible quantité d’énergie thermique est convertie en énergie cinétique. La vapeur se détend dans les

aubes fixes, puis entraîne les aubes mobiles disposées sur la roue ou le tambour de la turbine. Les

aubes d’une turbine à réaction sont en général montées sur un tambour. Les turbines à réaction

nécessitent en général davantage d’étages que les turbines à action. Il a été démontré que, pour le

même diamètre et la même gamme énergétique, une turbine à réaction à besoin de deux fois plus

d’étages pour obtenir un rendement maximal. Les grosses turbines, qui sont généralement à action,

utilisent une certaine réaction à la base du trajet de vapeur pour assurer un débit efficace à travers

les aubes un certain nombre de turbines, qui sont normalement à réaction, disposent d’un premier

étage de commande d’impulsion, qui permet d’envisager la réduction du nombre total d’étages

1 : aubages fixes 2 : aubages mobiles 3 : diaphragmes 4 : disque 5 : arbre,

6 : dispositif d’étanchéité Rm : rayon mayen La flèche : sans de l’écoulement de la

8

nécessaires. Les arbres des turbines de chaque étage sont reliés entre eux au moyen

d’accouplements [3].

Fig.1.7 Turbine à réaction [7]

Un autre critère de classement est de les classées selon la direction du jet de vapeur, on peut

distinguer ainsi les turbines axiales et les turbines radiales.

� Turbines axiales

Dans ce type de turbines le flux de vapeur est essentiellement parallèle à l’axe de la turbine.

Les turbines axiales sont essentiellement composées d’un tore d’admission qui canalise le fluide

vers l’entrée et d’un stator portant des aubes fixes ou distributeurs ou l’énergie cinétique thermique

du fluide se transforme entièrement cas de la turbine à action ou partiellement cas de la turbine à

réaction en énergie cinétique. Le rotor porte les aubes ou l’énergie cinétique et l’énergie thermique

restantes se transforment en énergie mécanique

� Turbines radiales

Le flux de vapeur entre dans ce cas perpendiculairement à l’axe du rotor. Ces turbines

fonctionnent comme un compresseur centrifuge avec un écoulement inversé (centripète) et une

rotation dans le sens opposé. Elles sont est en général utilisées pour de petites puissances et pour

des applications ou la turbine axiale plus langue (donc plus encombrante) ne peut être utilisée [6].

Stator Aubages fixe

Tambour Aubages mobiles

9

1.2.8 Caractéristiques des turbines à vapeur

1.2.8.1 Taille des composants

Étant donné l’augmentation de volume liée à la dilatation de la vapeur dans les différents

étages d’une turbine, la taille des ouvertures à travers lesquelles passe la vapeur doit s’accroître

d’un étage à l’autre. Dans la conception pratique des turbines, cet accroissement est réalisé en

allongeant les aubes d’un étage à l’autre, en augmentant le diamètre du tambour ou de la roue sur

lesquels sont montées les aubes, et en ajoutant deux ou plusieurs sections de turbine en parallèle.

Par conséquent, une petite turbine industrielle peut avoir une forme plus ou moins conique, avec

son plus petit diamètre côté haute pression, ou admission, et son plus grand diamètre du côté basse

pression ou échappement. Une grosse turbine destinée à une centrale nucléaire peut avoir quatre

rotors se composant d’une section à haute pression à double flux, suivie de trois sections à basse

pression à double flux.

1.2.8.2 Etages spécifiques

Les turbines à action utilisent généralement un étage de pression appelé turbine Râteau (du

nom de l’ingénieur français Auguste Râteau), dans lequel le taux de compression à chaque étage est

pratiquement uniforme. Les anciennes turbines à action utilisaient un étage de vitesse de Curtis, mis

au point par l’Américain Charles Gordon Curtis. Cet étage comporte deux jeux d’aubages mobiles,

avec un jeu intermédiaire des aubages fixes à la suite des tuyères. La séparation d’étages d’une

turbine à réaction est parfois appelée séparation de Parsons, du nom de son inventeur, le

Britannique Charles Parsons. Une turbine à réaction comporte souvent un premier étage à action

qui permet le réglage du système ; une turbine à action possède en général dans ses derniers étages

un degré de réaction voisin de 50%.

1.2.8.3 Rendement

L’efficacité de l’expansion dans une turbine à vapeur moderne est élevée en raison de l’état

de développement des composants du trajet de la vapeur, et de la capacité à récupérer les pertes

d’un étage dans les étages en aval, par réchauffement. Le rendement avec lequel une section de la

turbine convertit l’énergie thermodynamique disponible en travail mécanique dépasse généralement

90%. Le rendement thermodynamique d’une installation thermique est en fait bien inférieur, en

raison de l’énergie perdue dans la vapeur d’échappement de la turbine.

10

1.2.8.4 Domaines d’applications

Les turbines à vapeur sont notamment utilisées dans la production d’électricité à partir

d’énergie thermique ou pour la propulsion des bateaux. Dans les systèmes de cogénération c’est-à-

dire utilisant à la fois la chaleur de traitement (celle utilisée lors d’un processus industriel) et

l’électricité, la vapeur est portée à haute pression dans une chaudière, puis extraite de la turbine à la

pression et à la température exigées par ce procédé. Dans ce cas, la turbine est dite à contrepression.

Les turbines à vapeur peuvent être utilisées en cycles combinés avec un générateur de vapeur qui

récupère la chaleur. Les unités industrielles sont utilisées pour entraîner des machines, des pompes,

des compresseurs et des générateurs. Leur puissance nominale va de quelques centaines de Watts à

plus de 1 300 MW. La turbine à vapeur est parfois associée à une turbine à gaz. Le rendement de la

turbine à gaz étant faible, elle est généralement utilisée pour la production d’énergie de pointe, les

calories des gaz d’échappement de la turbine à gaz servant à faire fonctionner la chaudière de la

turbine à vapeur [3].

1.2.8.5 Avantages

Le principal avantage des turbines à vapeur c’est qu’ils sont des moteurs à combustion

externe. De ce fait, tous les combustibles (gaz, fuel, charbon, déchets, chaleur résiduelle) et

notamment les moins chers peuvent être utilisés pour l’alimenter en vapeur. Le chauffage peut

même se faire par énergie solaire. Le rendement peut atteindre des valeurs assez élevées d’où des

frais de fonctionnement réduits.

1.2.8.6 Les Inconvénients

Le coût et la complexité des installations les réservent le plus souvent à des installations de

puissance élevée pour bénéficier d’économies d’échelle. Hormis des cas particuliers, les moteurs et

turbines à gaz sont mieux adaptés en dessous d’environ 10 MW. Le refroidissement du condenseur

nécessite des grands débits d’eau ou des aéroréfrigérants encombrants ce qui limite d’emblée leur

domaine d’emploi aux installations fixes ou navales.

1.3 Aubage et grilles d’aubes

1.3.1 Grille d’aube

On applle grille d’aubes un ensemble fixe ou mobile d’obstacles profilés déduit les uns des

autre par un déplacement géométrique, concues d’une manière très spéciales afin de guider

11

l’écoulement du fluide et pour échanger avec lui les efforts mécanique. La vitesse du fluide par

rapport à chaque grille d’aubes fixes ou mobiles d’une turbine axiale est définie par trois vecteurs

différents ��� ,�����, ���� qui représentent réspectivement les vitesses, absolue et relative de la vapeur

ainsi que la vitesse d’entrainemt de l’aube. Le courant de vapeur provient du distributeur avec une

vitesse absolue ���, les aubes s’en suivent la vitesse tangentielle (d’entrainemt) ����, de la combinaision

de ces deux vitesses résulte la vitesse relative notée �����. Il existe plusieurs types de grilles d’aubes

tels que :

� La grille plane parallèle.(fig 1.7.1.a).

� La grille cylindrique de la turbine axiale.(fig 1.7.1.b).

� La grille radiante de la turbine radiale. (fig 1.7.1.c). [8].

Fig.1.7.1 Différente types de grille d’aubes

1.3.2 Aubage

On définit les aubes comme étant des obstacles profilés plongés dans un écoulement formant

entre elles des canaux à travers lesquelles le fluide circule. Conçues spécialement pour assurer un

écoulement capable de fournir un travail mécanique. Une aube de deux faces : l’intrados et

l’extrados, la vapeur est dévie dans les canaux du rotor, ce qui provoque une différence de pression

sur l’extrados et l’intrados. Dans l’exploitation des turbines industrielle, l’aubage à une grande

importance économique, il faut donc faire appel à différents disciplines telle que l’aérodynamique,

la résistance des matériaux, la physique des vibrations afin de réalisés des aubages optimaux sur le

plan de la rentabilité globale.

h

a. Grille plane parallèle

b. Grille cylindrique

c. Grille plane radiante

12

1.3.3 Profils d’aubes

Les profils d’aube sont caractérisés par un contour dont la courbure varie d’une façon

continue et par une haute résistance mécanique. La réalisation de ses profils d’aube à de tout temps,

particulièrement intéressé les constructeurs des turbines, ce qui se traduit par la grande diversité de

variantes qu’on rencontre, dans l’étude d’un profil d’aube il faut satisfaire non seulement les

conditions relevant de la M.D.F, mais encore celles relatives à la résistance et à la fabrication. C’est

surtout à partir du début des années soixante que de grands efforts ont été faits afin de calculer la

qualité aérodynamique d’un profil. Cela est aujourd’hui du domaine du possible dans différents

condition ; on détermine des grandeurs appropriée caractérisant la qualité aérodynamique et la

résistance à la flexion d’un profil, et permettant ainsi une sélection judicieuse parmi différentes

variantes [8].

1.3.4 Construction des aubes

La construction d’un aubage est un compromis entre des exigences de natures différentes

que l’aubage doit satisfaire, parmi ces exigences on peut citer, les pertes faibles, la résistance aux

contraintes statique et dynamique ainsi que la fabrication économique [8].

Fig.1.7.2 Schéma d’un aubage de turbine à vapeur

1.3.5 Aubage à action

Il existe deux types d’aube à action (Fig.1.7.3) :

Aubage fixe : Qui est lui-même de deux formes ; tuyères ou distributeur qui permettent la détente

de la vapeur grâce à une géométrie particulière et les redresseurs, existant au niveau d’étages de

13

vitesse leurs rôles est de dévier le jet de vapeur tout en maintenant constante la pression de la

vapeur.

Aubage mobile : C’est à leur niveau que la transformation de l’énergie cinétique de la vapeur issue

du distributeur en énergie mécanique de rotation, elles sont caractérisées par un écoulement à

pression constante et une diminution de la vitesse absolue de la vapeur.

1.3.6 Aubage à réaction

L’aubage à réaction est aussi de deux types, fixe et mobile, une partie seulement de la chute

d’enthalpie est transformée en énergie cinétique à la sortie de la tuyère, le reste est directement

transformé en énergie mécanique par les aubages mobiles (Fig.1.7.4)

Fig.1.7.3 fonctionnement de l’aubage à action Fig1.7.4 fonctionnement de l’aubage à réaction

14

15

Chapitre 2

Vrillage des aubes longues et extra-longues

2.1 Introduction

Un aubage est en général considéré comme une structure à symétrie cyclique. Dans

l’exploitation des turbines industrielles, l’aubage a une grande importance économique ; car d’une

part il est largement responsable du rendement et par conséquent de l’utilisation économique de la

turbine et d’autre part, il influence le comportement en service de celle-ci du fait de sa fonction et

de l’exécution constructive qui en découle [ ]. Il faut donc faire appel à différentes disciplines,

telles que l’aérodynamique, la résistance des matériaux, la physique des vibrations, etc. ..., afin de

réaliser des aubages optimaux sur le plan de la rentabilité globale [ ]. Dans ce travail nous avons

choisis de maintenir la vitesse absolue de la vapeur constante à l’entrée et à la sortie des aubes

longues et extra-longues de turbine à vapeur à fin d’augmenter leur rigidité.

2.2 Triangles de Vitesses

La figure 2.1 représente une coupe en plan, d'une partie d'un étage de turbine à vapeur,

composée d'un distributeur de vapeur et d’un ensemble d’aubes, formant entre elles un canal

permettant le passage de la vapeur. Le courant de vapeur provient du distributeur avec une vitesse

absolue notée→V , les aubes tournent avec une vitesse tangentielle

→U ou vitesse périphérique de

l’aube. La vitesse de la vapeur arrivant au niveau des aubes mobiles est appelée vitesse relative et

notéeW→

. Les lois de la mécanique permettent de calculer les valeurs ainsi que les directions de ces

vitesses grâce à la relation géométrique obtenue à partir de la construction graphique des triangles

de vitesses (figure 2.1) et (figure2.7).

Fig. 2.1 Triangles de vitesse à l’entrée et à la sortie de l’aube.

16

2.3 Vrillage

Il constitue physiquement une rotation partielle du corps de l’aube autour de son axe radial,

depuis son pied jusqu’à son sommet, les constructeurs de turbine font recourt au vrillage des aubes

afin d’augmenter leurs rigidité surtout pour le cas des aubes Longues et extra-longues [ ].

Les aubes longues, droites sont exposées à des conditions de travail pénibles, vu leurs

dimensions et volumes importants (forces centrifuges excessivement grandes, contraintes

thermiques,... etc.) [ ]. Ceci nous oblige souvent à prévoir certaines conditions que l'on impose au

préalable pour atténuer les contraintes qu'elles subissent. Le vrillage est parmi les solutions

technologique employé dans ce cadre, il constitue physiquement une rotation partielle du corps de

l’aube autour de son axe radial, depuis son pied jusqu’au sommet dans le but d’avoir un écoulement

de vapeur uniforme (figure 2.2.1) et (figure 2.2.2).

Fig2.2 Aube vrillée : (a) aube vrillée seule ; (b) aubes vrillées

Fig2.3 Vrillage d’une aube depuis le pied jusqu’au sommet

(a) (b)

17

Lors du fonctionnement de la turbine, le courant de vapeur provient du distributeur avec une

vitesse →V et arrive au niveau des aubes mobiles tournant avec une vitesse périphérique donnée. De

la combinaison de ses deux vitesses absolue et périphérique est déduite la vitesse relative.

UVWrrr

−= (2.1)

Les directions et les valeurs des ces vitesses à l’entrée et la sortie des aubes mobiles sur

toutes la hauteur, sont données grâce aux triangles de vitesses (figure 2.4).

Fig.2.4 Triangles de vitesse à l’entrée et à la sortie de l’aube

Indice1 : entrée du rotor

Indice 2 : sortie de l’aube

L’équation vectorielle simple donne les relations entre les différentes vitesses :

UWVrrr

+= (2.2)

En en déduit la relation algébrique :

V� � W� U� � 2. U. W. cos�� �2.3�

Puisque les triangles de vitesses peuvent être construits depuis le pied jusqu’au sommet de

l’aube, on pourra généraliser cette équation si on maintient la vitesse absolue de la vapeur à l’entrée

ou à la sortie de l’aube constante ; on obtient ainsi la relation suivante indiquant la variation des

angles )k(i

β depuis le pied de l’aube jusqu’à son sommet.

V�� � W�� U�� � 2. U�. W�. cos��� �2.4�

k= 1 : entrée de l’aube

k= 2 : sortie de l’aube

i: pas de variation sur la hauteur de l’aube

18

Ainsi, pour les différentes vitesses périphériques (Ui) des aubes mobiles et pour différentes

valeurs du rayon sur la hauteur de l’aube, on obtient différentes valeurs des vitesses relatives (Wi),

pour une vitesse absolue constante. Si on superpose les triangles des vitesses depuis le pied d’aube

jusqu’à son sommet, on constate clairement la variation des angles )k(i

β ce qui conduit à une

variation obligatoire de la géométrie de l’aube. Cette variation n’est en fait qu’une torsion du sommet de l’aube par rapport à sa base dite Vrillage dans le domaine des turbines (figure2.5).

Fig2.5 Vrillage conditionné par un écoulement à vitesse absolue constante

2.4 Vrillage conditionné par une vitesse absolue d’entrée constante

Les aubes longues droites sont exposées à des conditions de travail pénible vu leur

dimension et volumes importants (forces centrifuges excessivement grandes contraintes thermique,

etc.…) [ ].Ceci nous oblige à prévoir certaines conditions que l’on impose au préalable pour

atténuer les qu’elles subissent. Un écoulement de vapeur uniforme sur toute la hauteur de l’aube

permet une meilleure régularité des efforts tout au long de sa hauteur ce qui offre la possibilité de

bien contrôler les problèmes mécaniques et vibratoires. On peut obtenir cet écoulement en

choisissant la vitesse absolue de la vapeur l’entrée du pied au sommet de l’aube [ ].

Fig2.6 Aube vrillée

19

2.5 Exemple de validation

2.5.1. Application & calculs

Pour bien interpréter le phénomène du vrillage on a réalisé un calcul type pour un étage à basse

pression (BP) d’une turbine à vapeur munie d’aubes longues, et qui sera par la suite généralisé

numérisé par à un programme de calcul que nous avons complètement développé, afin d’éliminer

les répétitions de calcul à travers les différents étages, en partant d’un cas pratique d’une turbine à

vapeur à contre pression avec les données de départ [ ] et [ ]:

1. vitesse de rotation du rotor : N = 3000 tr/min.

2. hauteur de l’aube : L= 0.36 m.

3. vitesses absolues V1et V

2 à l’entrée et à la sortie de l’aube, respectivement :V1 = 315.75

m/s V2 = 68.93 m/s.

4. diamètre au pied de l’aube : d = 1.2 m.

5. angles α1, α

2 respectivement à l’entrée et à la sortie de l’aube, déduits des triangles de

vitesse au pied de l’aube α1= 14°, α

2= 130.75°

On peut alors calculer les valeurs des angles )k(i

β du vrillage sur toute la hauteur de l’aube pour

un pas de variation fixe et choisi. Les vitesses périphériques de l’aube sont données par la relation

suivante: U� � ω�. r� � ω�. ��� �2.5�

Pour cet exemple, on utilise un pas de variation constant ∆r = 4 cm tout au long de la hauteur de

l’aube. On pourra calculer pour chaque pas de variation les vitesses périphériques (Ui), les vitesses

relatives (Wi) et cela grâce aux triangles de vitesses (figure 2.7):

• Entrée de l’aube

W�� � V�� U�� � 2. U�. V�. cos� � � � �2.6�

V1

: vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube

• Sortie de l’aube

W�� � V�� U�� � 2. U�. V�. cos� � � �2.7�

V2

: vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube

20

Fig.2.7 Triangles de vitesse (entrée et sortie de l’aubage mobile [ ].

Pour un pas de variation ∆r = 4 cm, on peut déterminer les différentes valeurs des vitesses Ui

correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube en utilisant la relation (2.5), les

résultats sont :

Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

rayons r�[m] 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96

vitesses 188.49 201.06 213.62 226.194 238.761 251.327 263.893 276.4602 289.026 301.59

Tableau 1 : Différentes valeurs des vitesses d’entrainements (Ui).

La construction graphique des triangles de vitesses permet de calculer les vitesses relatives Wi 0à la

sortie et à) l’entrée des aubes grâce aux relations (2.6) et (2.7)

• A l’entrée de l’aube on trouve : Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

rayons r�0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96

vitesses 326.26 330.79 335.729 341.061 346.765 352.826 359.224 365.941 372.962 380.268

Tableau 2 : Différentes valeurs des vitesses relatives �W��� à l’entrée de l’aube.

• A la sortie de l’aube on trouve : Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

rayons r�0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96

vitesses 244.923 257.287 269.669 282.067 294.48 306.905 319.341 331.788 344.242 356.705

Tableau 3 : Différentes valeurs des vitesses relatives �W��� à la sortie de l’aube.

21

Les angles du vrillage sont ainsi déduits un à un d’après les triangles de vitesses (figure 2.7) grâce

aux relations :

• Entrée de l’aube

β� � � � ε� �2.8�

• Sortie de l’aube

β� � � � ε� �2.9�

Et d’après la figure 2.7 nous avons :

• Entrée de l’aube

V�� � W�� U�� � 2. U�. W�. cos�� �2.10�

V1

: vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube

• Sortie de l’aube

V�� � W�� U�� � 2. U�. W�. cos�� �2.11�

Donc:

cos�� � )�*+,�*-./*�.)�.,� �2.12�

Et :

cos�� � )�*+,�*-.**�.)�.,� �2.13�

Les valeurs des angles caractérisant le vrillage sont portées ainsi sur les tableaux suivants :

• A l’entrée de l’aube on trouve : Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rayons r�[m] 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96

Angles�β��� (°) 20.03 22.077 24.066 25.995 27.863 29.669 31.412 33.092 34.711 36.269

Tableau 4 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °) a l’entrée de l’aube.

• A la sortie de l’aube on trouve : Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rayons r�[m] 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96

Angles �β��� (°) 79.446 79.958 80.423 80.848 81.237 81.594 81.924 82.228 82.511 82.774

Tableau 5 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °) a la sortie de l’aube.

22

2.6 Modélisation du vrillage des aubes de turbine

2.6.1 La méthode des moindres carrées

2.6.1.1 Introduction

Les résultats obtenus décrivant le vrillage peuvent être généralisés et mieux présentés sous

forme d’une seule fonction analytique compacte et très pratique. Pour déterminer le modèle

mathématique qui lie les différentes valeurs (ri) aux �β��� on propose d’utiliser la méthode des

moindres carrés.

2.6.1.2 Démarche de la méthode

La méthode des moindres carrés a été développée par Gauss et Legendre à la même époque

de façon indépendante [ ]. Elle permet de relier un ensemble de points expérimentaux à une

équation mathématique en lissant les erreurs de mesures. Cette méthode est applicable à un grand

nombre des problèmes différents. Elle peut par exemple servir pour filtrer les erreurs de mesures.

En général les moindres carrés sont utilisés pour représenter grâce à une famille de fonction

f (xi) d'une ou plusieurs variables muettes xi indexées par un ou plusieurs paramètres inconnus. La

méthode permet de trouver une fonction qui peut représenter le mieux les donnés expérimentales,

c'est-à-dire la fonction qui minimise la somme quadratique des déviations des mesures par rapport à

la prédiction de f (xi) [ ]. Par exemple pour une série de n mesure yi, (i allant de 0 à n) , les

paramètres a optimiser au sens de la méthode des moindres carrés sont ceux qui minimisent la

quantité:

φ � ∑ �∆y���4�56 � ∑ 7y� � P�x��:�4�56 �2.14�

y� : représentent les valeurs de la fonction aux points x�. P�x�� : représentent les valeurs à partir du polynôme d’interpolation.

n : indice indiquant le nombre de couple de points choisis (x� La méthode des moindres carrés est très utilisée en science expérimentale car elle permet de calculer facilement des paramètres théoriques qui n'apparaissent pas directement. Dans ce travail pour modélisé les fonctions donnant les angles de vrillage à l’entrée et à la sortie de l’aube en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube :

β� � f�r� �2.15. a�

Et

β� � f�r� �2.15. b�

23

On utilise la méthode de moindre carrée, forme polynomiale. On à intérêt à ce que la forme de cette fonction soit la plus simple possible pour cela on se propose de choisir pour notre cas le polynôme du 4eme degré suivant :

P�x� � a6 a�x a�x� a>x> a?x? �2.16�

Dans notre cas d’étude :

• à l’entrée l'aube

�r� � a6 a�r a�r� a>r> a?r? �2.17�

• à la sortie l'aube

�r� � a6 a�r a�r� a>r> a?r? �2.18�

β@ : Angles de vrillage à l’entrée (k=1) et à la sortie de l’aube (k=2).

r : Distance radiante sur la hauteur de l’aube.

a� : Coefficients du polynôme d’interpolation.

L'équation �2.14� devient:

φ � �a6, a�, a�, a>, a?� � B�y� � �a6 a�x a�x� a>x> a?x?���4�56 �2.19�

Une condition nécessaire pour que la quantité φ�a6, a�, a�, a>, a?� soit minimale localement en �a6, a�, a�, a>, a?, aC� est que les dérivées de φ sont nulles par rapport �a6, a�, a�, a>, a?, aC�.

Si on minimalise la quantité φ�a6, a�, a�, a>, a?, aC� par rapport aux inconnues a6, a�, a�, a>, a?, aC on obtient :

DEEEEEEFEEEEEEG ∂φ

∂a0 � �2 B�yi � �a0 a1xi a2xi2 a3xi3 a4xi4��n

i�0∂φ∂a1 � �2 B xi�yi � �a0 a1xi a2xi2 a3xi3 a4xi4��

n

i�0∂φ∂a2 � 2 B xi2�yi � �a0 a1xi a2xi2 a3xi3 a4xi4��

n

i�0∂φ∂a3 � �2 B xi3�yi � �a0 a1xi a2xi2 a3xi3 a4xi4��

n

i�0∂φ∂a4 � �2 B xi4�yi � �a0 a1xi a2xi2 a3xi3 a4xi4��

n

i�0

K

24

Soit alors, pour ce cas de figure OPOQ� � 0 i = 0, 1, 2, 3, 4

DEEEEEEFEEEEEEG ∂φ∂a6 � 0 R B y�

4

�56� na6 � a� B x�

4

�56� a� B x��

4

�56� a> B x�>

4

�56� a? B x�?

4

�56� 0

∂φ∂a� � 0 R B y�x�4

�56� a6 B x�

4

�56� a� B x��

4

�56� a� B x�>

4

�56� a> B x�?

4

�56� a? B x�C

4

�56� 0

∂φ∂a� � 0 R B y�x��4

�56� a6 B x��

4

�56� a� B x�>

4

�56� a� B x�?

4

�56� a> B x�C

4

�56� a? B x�S

4

�56� 0

∂φ∂a> � 0 R B y�x�>4

�56� a6 B x�>

4

�56� a� B x�?

4

�56� a� B x�C

4

�56� a> B x�S

4

�56� a? B x�T

4

�56� 0

∂φ∂a? � 0 R B y�x�?4

�56� a6 B x�?

4

�56� a� B x�C

4

�56� a� B x�S

4

�56� a> B x�T

4

�56� a? B x�U

4

�56� 0

K

On obtient un système linéaire de 5 équations à 5 inconnues qui peut s’écrire sous forme la matricielle suivante AX=b :

DEEEEEEFEEEEEEG B y�

4

�56� na6 a� B x�

4

�56 a� B x��

4

�56 a> B x�>

4

�56 a? B x�?

4

�56B y�x�

4

�56� a6 B x�

4

�56 a� B x��

4

�56 a� B x�>

4

�56 a> B x�?

4

�56 a? B x�C

4

�56B y�x��

4

�56� a6 B x��

4

�56 a� B x�>

4

�56 a� B x�?

4

�56 a> B x�C

4

�56 a? B x�S

4

�56B y�x�>

4

�56� a6 B x�>

4

�56 a� B x�?

4

�56 a� B x�C

4

�56 a> B x�S

4

�56 a? B x�T

4

�56B y�x�?

4

�56�� a6 B x�?

4

�56 a� B x�C

4

�56 a� B x�S

4

�56 a> B x�T

4

�56 a? B x�U

4

�56

K

Donc nous avons obtenons le système de matrice [5×5] suivant :

VWWWWWWWWWWWWWXY B Z[

\

[56B Z[�

\

[56B Z[>

\

[56B Z[?

\

[56B Z[

\

[56B Z[�

\

[56B Z[>

\

[56B Z[?

\

[56B Z[C

\

[56B Z[�

\

[56B Z[>

\

[56B Z[?

\

[56B Z[C

\

[56B Z[S

\

[56B Z[>

\

[56B Z[?

\

[56B Z[C

\

[56B Z[S

\

[56B Z[T

\

[56B Z[?

\

[56B Z[C

\

[56B Z[S

\

[56B Z[T

\

[56B Z[U

\

[56 ]̂^̂^̂^̂^̂^̂^̂_

VWWWWWWWWWWWX`6

`�

`�

`>

`? ]̂^̂^̂^̂^̂^̂_

�

DEEEEEEFEEEEEEG B a[

\

[56B Z[a[

\

[56B Z[�a[

\

[56B Z[>a[

\

[56B Z[?a[

\

[56 bEEEEEEcEEEEEEd

25

• Cas entrée de l’aube

Pour trouver le polynôme d’interpolation, on exploite les 10 valeurs des �β��� (angles de vrillage à

l’entrée de l’aube) et les 10 valeurs � r�� (différentes valeurs sur la hauteur de l’aube) portés sur le

tableau suivant :

• A l’entrée de l’aube on trouve : Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rayons r�[m] 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96

Angles �β��� (°) 20.03 22.077 24.066 25.995 27.863 29.669 31.412 33.092 34.711 36.269

Le système obtenu est donc de la forme suivante :

VWWWWWWWX 10 7.86.216 5.0544 4.1864

7.8 6.216 5.0544 4.1864 3.52566.216 5.0544 4.1864 3.5256 3.0132

5.0544 4.1864 3.5256 3.0132 2.60874.1864 3.5256 3.0132 2.6087 2.284 ]̂

^̂^̂^̂_

VWWWWWWWX`6`�`�`>`? ]̂

^̂^̂^̂_

�DEEEFEEEG285.18

228.4186.53155.09131.03bEE

EcEEEd

Après résolution de ce système à l’aide du logiciel Matlab on trouve :

VWWWX 24.2721�67.825999.530537.7564�56.8547]̂̂

_̂

Ce qui conduit à l'expression finale de polynôme d’interpolation cherché:

β� � 24.2721 � 67.8259. r 99.5305. r� 37.7564. r> � 56.8547. r? �2.22�

• Représentation graphique

On se propose de tracer les courbes β�� � f�r�� ( d’après les calculs et d’après le modèle proposé)

qui represante les angles de vrillage à l’entrée de l’aube en fonction en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube pour pouvoir effectuér une comparaison dans le but de valider le modèle proposé.

26

Fig. 2.8. Angle de vrillage β�� à l’entrée de l’aubage

On remarque la grande concordance entre les courbes, d’après les calculs et d’après le modèle

proposé ce qui permet de valider le modèle proposé.

• Cas sortie de l’aube

Comme pour la cas précédant, pour trouver le polynôme d’interpolation, on exploite les 10 valeurs

des �β��� (angles de vrillage à la sortie de l’aube) et les 10 valeurs � r�� (différentes valeurs sur la

hauteur de l’aube) portés sur le tableau suivant :

• A la sortie de l’aube on trouve :

Position 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rayons r�[m] 0.60 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88 0.92 0.96 Angles �β��� (°) 79.446 79.958 80.423 80.848 81.237 81.594 81.924 82.228 82.511 82.774

Le système obtenu est :

VWWWWWWWX 10 7.8 6.216 5.0544 4.1864

7.8 6.216 5.0544 4.1864 3.52566.216 5.0544 4.1864 3.5256 3.0132

5.0544 4.1864 3.5256 3.0132 2.60874.1864 3.5256 3.0132 2.6087 2.284 ]̂

^̂^̂^̂_

VWWWWWWWX`6`�`�`>`?]̂

^̂^̂^̂_

�DEEEFEEEG812.94

635.3507.2413.1

342.67bEEEcEEEd

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

an

gle

be

tta

1 (

°)

distance sur la hauteur de l'aube (m)

betta 1 calculs

betta 1 modèle

27

On procède de la même manière pour résoudre ce système et on trouve :

VWWWX 55.111975.9103�72.851020.37074.6821 ]̂̂

_̂

Ce qui conduit à l'expression finale de polynôme cherché :

β� � 55.1119 75.9103. r � 72.8510. r� 20.3707. r> 4.6821. r? �2.23� • Représentation graphique

On se propose de tracer les courbes β�� � f�r�� ( d’après les calculs et d’après le modèle proposé)

qui represante les angles de vrillage à la sortie de l’aube en fonction en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube pour pouvoir effectuér une comparaison dans le but de valider le modèle proposé.

Fig. 2.9. Angle de vrillage β�� à la sortie de l’aubage

On remarque là aussi la grande concordance entre les courbes, d’après les calculs et d’après le

modèle proposé ce qui permet de valider le modèle proposé.

Enfin pour une meilleure illustration, on superpose toutes les courbes d’après les calculs et d’après les modèles proposés pour les deux situations, entrée et sortie de l’aube.

79

79,5

80

80,5

81

81,5

82

82,5

83

83,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

an

gle

be

tta

2 (

°)

distance sur la hauteur de l'aube en (m)

betta 2 calculs

batta 2 modèle

28

Fig.2.10.angle de vrillage β1i et β2i ( entrée et sortie de l’aube)

2.7 Présentation du programme de calcul

Un programme de calcul a été élaboré et réalisé en utilisant le langage scientifique Matlab dans

le but de déterminer les angles de vrillage β1i et β2i à l’entrée et à sortie de l’aube et cela dans le but

de réduire le temps de calculs ainsi que les calculs long et répétitifs . Un algorithme simple de ce

programme est présenté avec tous les détails au paragraphe 2.5.1. Pour valider ce programme de

calcul on se propose de recalculer l’exemple précédant .

Vitesse du rotor (tr/min) 3000

Hauteur de l’aube (m) 0.24

vitesses absolues V1(m/s) 303.5

vitesses absolues V1(m/s) 94.22

diamètre au pied de l’aube (m) 1.5

angle d’attaque α1 (°)

25

Angle d’attaque α2 (°)

122.45

Pour un pas de variation ∆r = 1 cm, on peut déterminer à l’aide du programme de calcul, les

différentes valeurs des vitesses Ui correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

an

gle

s d

e v

rill

ag

e e

n (

°)

distance sur la hauteur de l'aube (m)

betta 1 calculs

betta 1 modèle

betta 2 calculs

betta 2 modèle

29

Rayons r�[m] vitesses Ui[m/s]

0.75 235.6194

0.76 238.7610

0.77 241.9026

0.78 245.0442

0.79 248.1858

0.80 251.3274

0.81 254.4690

0.82 257.6106

0.83 260.7522

0.84 263.8938

0.85 267.0354

0.86 270.1770

0.87 273.3186

0.88 276.4602

0.89 279.6017

0.90 282.7433

0.91 285.8849

0.92 289.0265

0.93 292.1681

0.94 295.3097

0.95 298.4513

0.96 301.5929

0.97 304.7345

0.98 307.8761

0.99 311.0177

Tableau 6 : Différentes valeurs des vitesses d’entrainements (Ui).

30

On peut aussi grâce au programme de calcul déterminer, les différentes valeurs des vitesses W1i et

W2i correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube.

• A l’entrée et sorite de l’aube on trouve :

Rayons r�

vitesses W1i[m/s] vitesses W2i[m/s]

0.75 295.3204 319.1978

0.76 296.4776 322.3002

0.77 297.6633 325.4034

0.78 298.8774 328.5074

0.79 300.1195 331.6120

0.80 301.3892 334.7174

0.81 302.6862 337.8234

0.82 304.0101 340.9300

0.83 305.3606 344.0373

0.84 306.7374 347.1452

0.85 308.1400 350.2537

0.86 309.5681 353.3628

0.87 311.0214 356.4725

0.88 312.4996 359.5827

0.89 314.0022 362.6935

0.90 315.5289 365.8048

0.91 317.0795 368.9166

0.92 318.6534 372.0289

0.93 320.2504 375.1417

0.94 321.8702 378.2550

0.95 323.5124 381.3687

0.96 325.1766 384.4829

0.97 326.8625 387.5975

0.98 328.5699 390.7126

0.99 330.2983 393.8281

Tableau 7 : Différentes valeurs des vitesses relatives �W��� à l’entrée et à la sortie de l’aube.

31

De même à l’aide du programme de calcul on peut calculer les angles caractérisant le vrillage à l’entrée et à

la sortie de l’aube.

Rayons r�Angles �β��� (°) Angles �β��� (°)

0.75 21.2944 80.8981

0.76 21.8602 80.9864

0.77 22.4216 81.0731

0.78 22.9785 81.1581

0.79 23.5308 81.2416

0.80 24.0785 81.3234

0.81 24.6216 81.4038

0.82 25.1600 81.4827

0.83 25.6936 81.5602

0.84 26.2226 81.6363

0.85 26.7467 81.7111

0.86 27.2661 81.7845

0.87 27.7806 81.8567

0.88 28.2904 81.9276

0.89 28.7953 81.9973

0.90 29.2953 82.0658

0.91 29.7905 82.1331

0.92 30.2808 82.1994

0.93 30.7663 82.2645

0.94 31.2469 82.3285

0.95 31.7227 82.3915

0.96 32.1936 82.4535

0.97 32.6598 82.5145

0.98 33.1211 82.5745

0.99 33.5776 82.6336

Tableau 10 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °), (β2 °) à l’entrée et à la sortie de l’aube

32

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 120

22

24

26

28

30

32

34

Rayon de pied d'aube(r)

Ang

le d

e vr

illag

e (B

etta

1)

Betta1 calculs

Betta1 modéle

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

81

81.2

81.4

81.6

81.8

82

82.2

82.4

82.6

82.8

Rayon de pied d'aube(r)

Ang

le d

e vr

illag

e (B

etta

2)

Betta2 calculs

Betta2 modéle

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 120

30

40

50

60

70

80

90

Rayon de pied d'aube(r)

Ang

les

de v

rilla

ge (

Bet

ta1&

Bet

ta2)

Betta1 calculs

Betta1 modéleBetta2 calculs

Betta2 modéle

Le programme de calcul permet aussi de tracer les différentes courbes permettant de déterminer les valeurs des angles de vrillage à l’entrée et à la sortie de l’aube sur toute sa hauteur.

Fig. 2.11. Angle de vrillage β1 à l’entrée de l’aubage Fig. 2.12. Angle de vrillage β2 à la sortie de l’aubage

Fig.2.13 angle de vrillage β1 etβ2

33

2.6.3 Organigramme simple du programme

Program aub_vrill

!*******************************************************************************************

Ce programme de calcul permet de calculer les angles de vrillage d’une aube et de tracer les

courbes donnant ces angles en fonction de rayon

!************************************DATA INPUT********************************************

La hauteur h ! La hauteur de l’aube en [m]

Le rayon r ! Le rayon de pied de l’aube en [m]

Le pas ∆r ! Pas de variation sur l’hauteur d’aube en[ m]

La vitesse N ! La vitesse de rotation du rotor [tr/min]

La fréquence w ! La fréquence de rotation de l’aube en [rad/s]

Les vitesses absolues V1 ! La vitesse absolue de l’entrée et sortie de l’aube en [m/s]

Les angles α1, α2

! Les angles d’attaques en [°]

*************************************DATA OUTPUT***************************************

Les vitesses d’entrainements (Ui) en [m/s]

Les vitesses relatives �W��� (l’entrée de l’aube) en [m/s]

Les vitesses relatives �W��� (sortie de l’aube) en [m/s]

Les angles de vrillage (β1 ) (l’entrée de l’aube) en [°]

Les angles de vrillage (β2 ) (sortie de l’aube) en [°]

Les courbes :

Les angles du vrillage en fonction de rayon β1( r) (l’entrée l’aube)

Les angles du vrillage en fonction de rayon β2( r) (l’entrée l’aube)

End program aub_vrill

34

35

Chapitre 3

Vrillage et résistance à la flexion

3.1 Introduction

Dans ce chapitre nous allons effectuer des simulations numériques avec le logiciel ’ABAQUS, pour

différentes configurations d’aubes, longues et extra-longues, droites et vrilles, affin d’étudier la

rigidité à la flexion des aubes droite et vrillées.

3.2 Notions sur la résistance des matériaux

Définition1

La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière de

la mécanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et déformations dans les

structures des différents matériaux (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil).

Définition 2

La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides

(arbres de transmission, bâtiments, fusées,) dans le but de déterminer ou de vérifier leurs

dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au

meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions, des matériaux. . .)

3.3 Buts de la résistance des matériaux

La résistance des matériaux a deux objectifs principaux :

1. La connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (Comportement sous l’effet

d’une action mécanique) l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance

ou rupture)

2. L’étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le

matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation

et de résistance requises.

36

3.4 Flexion Une poutre est sollicitée à la flexion plane simple lorsque le système des forces extérieures se réduit

à un système plan et que toutes les forces sont perpendiculaires à la ligne moyenne.

L’ensemble des efforts de cohésion se réduit à deux composantes.

Un effort tranchant (Ty) porté par l’axe Gy, exprimé en (Newton).

• Un moment de flexion (Mfz) porté par l’axe Gz , exprimé en (Newton. mètre).

(figure 3.1).

Il existe plusieurs types de flexions (pure, plane, déviée). Nous limiterons notre étude au cas de la

flexion plane simple.

Fig. 3.1 Eléments de réduction : tranchantes et moment fléchissant 3.5 Contraintes

Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des

contraintes normales. Les contraintes de cisaillement sont négligeables. La contrainte normale σmax

en un point M d'une section droite (s) est proportionnelle à la distance y entre ce point et le plan

moyen passant par G. figure (3.2)

σ � Mg�x�I . y �3.1�

I : le moment quadratique calculé par rapport à l’axe qui passe par le centre de gravité de la section perpendiculairement au chargement. Mf(x) : la valeur maxi du moment fléchissant dans la section étudiée.

y : variable représentant la cote algébrique entre la fibre neutre et les fibres extrêmes (supérieure et inférieure) de la

section.

T

M f G

z

y

37

Fig3.2 la tendues et la comprimées des fibres

3.6 Conditions de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite

appelée contrainte pratique à l'extension σpe.

On a :

σij � σjs �3.2�

s : Coefficient de sécurité

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le

seuil précédent, soit :

σkéjmmj � Mg�x�Iy n σij �3.3�

3.7 Etude de la déformée Cette étude permet de donner l'équation de la déformée de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est

principalement basée sur la résolution de l'équation différentielle suivante :

Mg � E. I. y" �3.4�

y

x G

σσσσmax

Zone des fibres tendues

Zone des fibres comprimées

38

Il faut alors procéder à deux intégrations successives. Les constantes d'intégration s'obtiennent grâce

aux conditions aux limites (appuis, encastrements...). Pour un appui simple y = 0 et pour un

encastrement y = 0 et y' = 0.

3.8 Etude de la flexion d'une poutre rectangulaire

En flexion simple, pour le cas d'une poutre rectangulaire lorsque la section est symétrique, la fibre neutre passe par le centre de gravité. Ainsi, (y) variera toujours de la valeur � q� à la valeur q�.

Fig. 3.3 Caract2ristiques géométriques du profil de la poutre

Pour une section rectangulaire l'expression de la contrainte normale maximale est donnée par la

relation :

σrQs � t6. Mguvwb. h� t �3.5�

Avec :

Iys � b. h>12 �3.6�

Et :

|y| � h2 �3.7�

Pour le cas d'un profil quelconque l'expression de la contrainte normale est :

σrQs � {MguvwIv { �3.8�

z x

y

+h/2

G

b

h

y

-h/2

0

39

3.9 Etude analytique de la de la flexion d'une poutre rectangulaire

3.9.1 Cas d'une poutre encastrée libre charge concentrée

On se propose d’étudier la flexion d'une poutre encastrée par une de ses extrémités et libre de

l'autre, soumise à une charge concentrée P=180 N, de langueur L = 0.25 m, de section rectangulaire

avec les caractéristiques géométriques b =0.004 m, h= 0.005 m (figures)

Fig. 3.4 poutre encastrée avec une force concentrée

Solution analytique

Schémas équivalent de la poutre :

Fig. 3.5 Schémas équivalent de la poutre

Pour 0 } x } L 1. Moment fléchissant

Mf = -P.x

x=0 M f =0

x=L M f = -P.L = -180.x

RA

B M

A B

P

A B

L

P

40

2. Courbe de moment fléchissant

Fig.3.6 diagramme de Mg�x� poutre avec une force concentrée

3. Equation de la flèche : Mg � E. I. y" � �P. x

E. I. y� � �P x�2 A

E. I. y � �P x>6 A. x B

Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions aux limites.

Au niveau de l'encastrement x = L

y��L� � 0 � P L�2 A � 0 A � P L�2

y�L� � 0 � P L>6 A. L B � 0 � P L>6 A. L B � 0 B � � P. L>3

Alors:

y � 1EI �� P. x>6 P. L�. x2 � P. L>3 �

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Mo

me

nt

flé

chis

san

t (N

,m)

x(m)

41

4. Courbe de la déformée

Fig.3.7 Diagramme de y�x� poutre avec une force concentrée

5. Contrainte de flexion :

σ�més � 6. M�mjsb. h� � �6. P. xb. h�

6. Courbe de la contrainte de flexion

Fig.3.8 Diagramme de y�x� poutre avec une force concentrée

-1,200000E-05

-1,000000E-05

-8,000000E-06

-6,000000E-06

-4,000000E-06

-2,000000E-06

0,000000E+00

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3F

lèch

e (

m)

x(m)

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Sig

ma

(N

/m²)

x(m)

42

7. Contrainte de flexion maximale

σrQs � t6. Mguvwb. h� t σrQs � � S.�U6.6.�C6.6?.�6.6C�*� � 2,7. 10S N/m² = 2,7 N/mm²

3.9.2 Cas d'une poutre encastrée libre charge uniformément répartie

On se propose d’étudier la flexion d'une poutre encastrée par une de ses extrémités et libre de

l'autre, soumise à une charge uniformément répartie q=80 N/m, de langueur L = 0.25 m, de section

rectangulaire avec les caractéristiques géométriques b =0.004 m, h= 0.005 m (figures 3.9)

Fig.3.9 poutre encastrée avec une uniformément répartie

Solution analytique

Schémas équivalent de la poutre :

Fig.3.10 Schémas équivalent de la poutre

Pour 0 } x } L

1. Moment fléchissant

Mf = -P.x

X�0 Mg � 0 X�L Mg � � �.�*� � �40. x²

A B

L

q

RA

B

M

A B

q

43

2. Courbe de moment fléchissant

Fig3.11.Diagramme de Mg�x� poutre avec une uniformément répartie

3. Équation de la flèche :

Mg � E. I. y" � � q. x�2

E. I. y� � �q x>6 A

E. I. y � �q s��? A. x B

Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions aux limites.

Au niveau de l'encastrement x = L

y��L� � 0 � q x>6 A � 0 A � q x>6

y��L� � 0 � q x?24 A. x B � 0 � q x?24 q x>6 . x B � 0 B � �q x?8

Alors:

y � 1EI ��q x?24 q L>. x6 � �q L?8 �

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3M

om

en

t fl

éch

issa

nt

(N,m

)

x(m)

44

4. Courbe de la déformée

Fig.3.12.diagramme de y�x� poutre avec une uniformément répartie

5. Contrainte de flexion maximale

σrQs � t6. Mguvwb. h� t σrQs � � S.U6.6.�C*

�.6.6?.�6.6C�*� � 15. 10? N/m² � 0,15N/mm² 3.10 Simulation numérique de la de la flexion d'une poutre rectangulaire

3.10.1 Introduction

La résolution analytique de problèmes mécaniques ne peut se faire que dans un nombre de

cas limité, cependant les méthodes numériques basées sur la discrétisation de ses problèmes,

présentent une alternative très efficace, souvent utilisées dans le domaine de la mécanique pour

résoudre des problèmes complexes [Mémoire Lassouad],[Article Fez]. La méthode des éléments

finis est de toutes ses méthodes de discrétisation la plus utilisée car elle peut traiter des problèmes

de géométrie complexe, elle couvre de nombreux domaines de la physique. Les moyens

informatiques actuels (puissance des calculateurs, outils de visualisation et de simulation) la rende

facile à la mise en œuvre. La méthode des éléments finis est la méthode la plus utilisée

actuellement, son champ d’application ne cesse de s’élargir. Le succès de la méthode est que sa

formulation utilise des procédés standards qui se répètent au cours de la résolution de problèmes de

nature différente [ ]. De nombreux logiciels basés sur cette méthode, généraux ou dédiés sont

disponibles sur le marché. Nous avons élaboré pour ce cas de figure (flexion d’une pouter encastrée

-5E-07

-4,5E-07

-4E-07

-3,5E-07

-3E-07

-2,5E-07

-2E-07

-1,5E-07

-1E-07

-5E-08

0

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3F

lèch

e (

m)

x(m)

libre), une étude numérique basée sur des simulations numériques utilisant le code de calcul

ABAQUS. Cette étude a permit de trouver les résultats suivants:

3.10.2 Cas de la poutre encastrée libre

Modélisation :

Résultats

Flèche:

45

libre), une étude numérique basée sur des simulations numériques utilisant le code de calcul

ABAQUS. Cette étude a permit de trouver les résultats suivants:

3.10.2 Cas de la poutre encastrée libre charge concentrée

libre), une étude numérique basée sur des simulations numériques utilisant le code de calcul

Contrainte de flexion :

3.10.3 Cas de la poutre encastrée libre

Modélisation :

46

3.10.3 Cas de la poutre encastrée libre charge uniformément répartie

Contrainte de flexion :

Flèche :

47

48

3.12 Comparaison des résultats analytiques avec ceux de la simulation numérique 3.12.1 Cas de la poutre encastrée libre charge concentrée

49

Etude analytique Simulation ABAQUS

50

3.12.2 Cas de la poutre encastrée libre charge uniformément répartie

51

52

3.13 Vrillage et amélioration de la résistance à la flexion.

A cause de leurs hauteurs importantes les aubes longues et extra-longues des derniers étages

(BP) de turbines à vapeur sont les plus exposées aux efforts de flexion. On peut résoudre ce

problème techniquement par plusieurs façons, tel que l’emploi de matériaux possédant une grande

résistance à la flexion; mais généralement ces types de matériaux sont très coûteux. Sachant que

d’une façon générale les barres tordues présentent une meilleure résistance à la flexion que les

barres droites, pour cela on procède au vrillage qui est en fait une torsion par rapport au centre de

masse depuis le pied jusqu’au sommet de l’aube [ ]. L’aube est soumise à l’action d’un effort →F dû

à l’écoulement de la vapeur qui agit sur sa face interne fig. ( ), l’effet de cet effort →F augmente

avec la longueur et sachant que la condition de résistance à la flexion est donnée par la relation

suivante :

σrQs � MguvwIy } σQ� �3.9�

Avec:

Mguvw � F. d �3.10�

Où :

σQ� Contrainte admissible caractérisant le matériaux

I Moment d’inertie de l’aube par rapport a son centre de gravité .

y Distance entre le plan des fibres neutres et le point le plus éloigné

d Bras du levier

F Effort de flexion

Mguvw Moment fléchissant max

Si on vrille l’aube avec un angle β par rapport à un plan passant par son centre de gravité au niveau

de son pied comme indiqué sur la figure , on remarque que la face interne de l’aube (intrados) serait

soumise à l’action de l’effort F1telle que :

F�5F. cos �β� �3.11�

Ce qui implique que le moment fléchissant devient :

53

Mguvw � F�. d � F. cos �β� . d �3.12�

D’où la condition de résistance devient :

σ � �.��� ��� .� �� } σQ� �3.13�

On remarque que pour la même section d’aube le vrillage engendre la diminution du moment de

flexion appliqué car F� � F. cos�β� n F , donc on peut conclure qu’une aube vrillée résiste

mieux à la flexion qu’une aube droite non vrillée .

Fig. Vrillage améliorant la résistance à la flexion

Conclusion

Le vrillage des aubes est d’une grande importance dans l’industrie des turbines.En effet il influe sur

la géométrie des aubes, permet une régularité de distribution des efforts tous au long de la hauteur

de celles-ci , comme il permet aussi d’augmenter leurs rigidité.

54

3.14 Simulation numérique du vrillage des aubes longues et extra longues de turbines à vapeur

Tout d’abord avant de présenter la démarche et les résultats des simulations effectuées sur

des aubes longues et extra-longues, droites puis vrillées, nous tenons à préciser que ce travail a été

réalisé en quasi-statique, par manque temps. Ainsi, tout ce qui va suivre a été étudié seulement en

statique mais la démarche adoptée pourrait être ensuite transposée au cas dynamique.

La réalisation complète d’une simulation de notre problème (flexion d’une aube longue et extra

longue, droite puis vrillée) s’effectue après un passage successif dans les modules intégré dans le

code de calcul ABAQUS :

1. Part

2. Property

3. Assembly

4. Step

5. Load

6. Mesh

7. Job

3.14.1 Présentation de la géométrie

Nous avons choisi pour notre étude, plusieurs configurations d’aubes (longues et extra-longues,

droites et vrillées). Tous les dessins et géométries ont été réalisées à l’aide du logiciel de CAO,

Solid Works ( Tout les détails seront présentés en annexe).

3.14.2 Hypothèses sur la simulation

l’aube est modélisée avec la partie d’encastrement ( pied de sapin), nous avons choisi comme

précisé précédemment de réaliser un calcul quasi-statique. Cette étude entre dans le cadre de

l’hypothèse des petits déplacement (HPP). Il nous faut travailler en petites déformations avec un

Step statique général. Le maillage adopté est du type libre avec un élément standard linéaire, 3D

stress type C3D4. Pour les condition aux limites, pour simuler l’aube soumise à un jet de vapeur,

nous avons opté pour un encastrement de la partie inférieure de l’aube ( pied de sapin) en éliminant

tout les degrés de liberté et nous avons chois un chargement mécanique type pressure sur toute la

face interne de l’aube ( intrados).Les paramètres de la simulation comme indiqué au paragraphe

(3.14.1) et (3.14.2) sont portés sur le tableau suivant: :

55

Type Hauteur (mm) Profil Step Maillage (élément) chargement (N/mm)

Longue droite 456,5 Annexe Static general triangulaire (C3D4) 100

Longue vrillée 456,5 Annexe Static general triangulaire (C3D4) 100

Extra droite 903 Annexe Static general triangulaire (C3D4) 100

Extra vrillée 903 Annexe Static general triangulaire (C3D4) 100 3.14.3 Simulation de la flexion d’une aube longue droite soumise à un jet de vapeur

Le premier cas de figure est celui de l’aube longue droite soumise à un jet de vapeur (figure )

56

57

3.14.4 Simulation de la flexion d’une aube longue vrillée soumise à un jet de vapeur

58

59

3.14.5 Simulation de la flexion d’une aube extra-longue droite soumise à un jet de vapeur

60

61

3.14.6 Simulation de la flexion d’une aube extra-longue vrillée soumise à un jet de vapeur

62