Mémoire de fin d’études Pour l’obtention du diplôme de...

Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire

Universit Aboubekr Belkaid -Tlemcen

Facult de Technologie

Dpartement de Gnie-Mcanique

Mmoire de fin dtudes

Pour lobtention du diplme de MASTER en Gnie-Mcanique

Option : Maintenance Industrielle

Thme :

Etude du comportement vibratoire dun arbre

tournant sous leffet dun gradient thermique

Soutenu : Juin 2013

Ralis par : Mr. KHELADI Zakarya

Prsent devant le jury compos :

Prsident Mr : HOUMAT A. Pr U.A.B. TlemcenEncadreur Mr : HAMZA-CHERIF S.M. MCB U.A.B. TlemcenCo-Encadreur Mr : GUENIFED A. MAA U.A.B. TlemcenExaminateurs : Mr : BELALIA S.M. MCA U.A.B. Tlemcen

Mr: GUEZZEN S. MCB U.A.B. Tlemcen

Anne universitaire : 2012-2013

Ddicace

Ddicace

Je ddie ce travail de mon mmoire de master dieu qui ma toujours illumin et ma

mis sur les bonnes voies, sans oublier videment. Le soutien de mes parents qui ou

toujours compris et accept mes dcessions mmPe si actuellement ils se trouvent

loin gographiquement.

Je ddie aussi ce travail toute ma famille et mes amis car elle ma toujours servi

dinspiration.

Zakarya .

Remerciements

Remerciements

En premier lieu, je tiens remercier mon DIEU qui ma donn le courage, la

force et la volont pour raliser ce modeste travail.

Je prsente galement cette occasion mes chaleureux remerciements mon

encadreur Mr. HAMZA CHERIF S.M mon Co-encadreur Mr GUENIFED A pour

laide honorable et infatigable quil ma apport en acceptant de superviser et de

suivre mon travail, pour les conseils et les prcieuses orientations.

Jadresse mes profonds remerciements Mr HOUMAT. A, professeur de

l'universit de Tlemcen, Mr. BELALIA S.M maitre de confrences de l'universit

de Tlemcen, Mr .GUEZZEN .S maitre de confrences de l'universit de Tlemcen, qui

ont spontanment la volont et lhonneur dexaminer mon travail. Leurs critiques et

leurs remarques me permettre de clarifier plusieurs points importants dans ce

mmoire. Je les exprime ma trs vivre reconnaissance.

Zakarya .

i

.

.

.-

" "

.

. .

.

Rsumer

ii

Rsum

Le travail prsent concerne le comportement vibratoire des arbres tournants

soumis des conditions de fonctionnement difficiles de variation de

temprature. Une tude thorique permettant ltablissement des nergies

cintique et de dformation de larbre, ncessaires ltablissement des

quations de mouvement est faite. La thorie dEuler-Bernoulli est utilise

pour modliser larbre. Les quations de mouvement transformes ainsi que les

conditions aux limites associes sont dtermines en utilisant la mthode de

transformation diffrentielle Differential Transform Method . Les frquences

propres du systme tudi sont dtermines par la suite. Une tude de

validation est faite, les rsultats trouvs sont compars aux rsultats de la

littrature. En fin, linfluence de la vitesse de rotation, les conditions aux

limites ainsi que le gradient thermique sur les frquences propres est

considre.Les rsultats obtenus ont t reprsents sous forme de graphes et de

tableaux.

ABSTRACT

iii

Abstract

The work presented concern the vibrational behavior of rotating Shafts subjected

to hard operating conditions of temperature variation.

A theoretical study for the establishment of kinetic energy and strain energy of

the shaft, necessary to establish the equations of motion is made.

Bernoulli-Euler's theory is used to modelise the shaft. The transformed

equations of motion and the associated boundary conditions are determined

using the differential transformation method .The natural frequencies of the

studied system are determined there after. A validation study is done, the results

are compared with the results which are found in the literature.

End, the influence of the rotational speed, the boundary conditions and the

thermal gradient on the frequencies is considered .The results were presented in

the form of graphs and tables.

Sommaire

iv

Sommaire

Rsum i

Sommaire iv

Liste des figures v

Liste des tableaux vi

Principales notations vii

Introduction gnrale 1

Chapitre I : Equations de mouvement dun arbre tournant soumis leffet dungradient thermique

I-1Introduction 4I-2 Lnergie de dformation de la poutre 4

I-3 Energie de dformation due a gradient thermique 7I-4 Energie cintique de la poutre 7I- 5Equations de mouvement 9

CAHPITRE II : Mthode de transformation diffrentielleII-1 Introduction 11

II-2Mthode de transformation diffrentielle 11II-2.1 Dfinition 11II-3 Proprits doprations de la transformation diffrentielle 12II-4 Application de la DTM dans le cas dun arbre tournant 12

II-5 Conditions aux limites 14CHAPITRE III : Organisation et programmation

III-1 Introduction 17III-2 Organigramme 17III-3Programme principale 17III-4 Description du programme 19

IV-7 CHAPITRE IV : Validations, comparaisons et analyse de casIV-1Inroduction 21IV-2 Validation et comparaison des rsultats dans le cas stationnaire 21IV-2.1 Arbre sans leffet du gradient de temprature section circulaire

21IV-2.2Arbre sans leffet du gradient de temprature section rectangulaire) = (100 25IV 2 Diagramme de Campbell 28IV-3 Arbre avec leffet du gradient de temprature 30

Conclusion gnrale 32Rfrences bibliographie 34

Liste des figures

v

Liste des figures

1.1 Poutre en rotation

1.2 Dformation de la poutre

3.1 Schma de calcul global

4.1 Diagramme de Campbell dans le cas de poutre E-L avec = 4.2 Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Appuye-Appuye

avec =

4.3 Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Encastr-Libre avec = .

4.4 Variation de la premire frquence propre en fonction de latemprature dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermiquedans le cas stationnaire .

4.5 Variation de la premire frquence propre en fonction de latemprature dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermique enmouvement de rotation .

Liste des figures

vi

Liste des tableaux

vii

Liste des tableaux

2.1 Thormes de base utiliss dans la DTM

2.2 Conditions aux limites

4.1 Convergence dans le cas dune poutre Appuye-Appuye :

= 0

4.2 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 0


4.4 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 3.5








4.12 Convergence dans le cas dune Poutre Encastr Libre = 8.

Principales notations

Principales notations

Vitesse de rotation Dformation angulaire Rotation suivant laxe z Rotation suivant laxe y Rotation suivant laxe x Frquence propre Coefficient de dilatation thermique Variation de temprature Masse volumique Dformation longitudinale du point P Contrainte normale Moment dinertie suivant laxe y Moment dinertie suivant laxe z Moment dinertie polaire Section droite de la poutre Energie cintique de larbre Energie de dformation Energie de dformation provoque par le gradient thermiqueE Module de Young Matrice de rigidit Dplacement suivant laxe y Dplacement suivant laxe z Nombre des itrationsNT Effort normal provoqu par le gradient thermique

Introduction gnrale

1

Introduction

Les arbres tournants sont des lments de machines trs utiliss en

mcanique, leurs rles est de transmettre de la puissance dun organe moteur

vers un organe rcepteur. Les arbres tournants sont aux curs des quipements

industriels :

Dans la fabrication mcanique : arbres tournants des machines outils.

Dans la transformation dnergie : arbres dalternateurs des centrales

lectriques.

Dans le transport : arbres de transmission des vhicules et engins ,

roulants , arbres dhlice des sous marins , des mthaniers et des

grands bateaux pour le transport de gaz et des marchandises.

Dans laronautiques : arbres des racteurs davions et arbres multi

rotor concentriques.

Dans le nuclaire ; arbres des centrifugeuses nuclaires

Le comportement vibratoire des arbres tournants a un grand intrt pratique

dans l'industrie, notamment pour les concepteurs et les ingnieurs en

maintenance qui doivent prdire exactement les paramtres vibratoires tels que

les frquences propres, modes propres, rponse dynamique, etc. En effet, les

dfauts dalignement, les dfauts d'usinage, le frottement, les fissures et le

balourd dorigine thermique sont les causes principales des vibrations dans les

machines tournantes. Lorsque les rotors ne sont pas homognes, ou lorsque la

temprature n'est pas rpartie de faon uniforme, les rotors se dforment sous

l'effet de contraintes thermiques. Sils se dforment de faon dissymtrique, les

centres de gravit se dplacent et les efforts varient. Un exemple concret est

celui des rotors d'alternateurs ou de moteurs lectriques, en raison de l'nergie

importante dissipe par effet Joule ou par hystrsis, il est ncessaire de refroidir

les rotors. Toute dissymtrie de dbit (canaux de ventilation bouchs ou pertes

de charge diffrentes) se traduira automatiquement par des vibrations.

Le comportement dynamique des arbres tournants a fait lobjet de plusieurs

tudes, beaucoup dauteurs ont contribu au dveloppement de modles

mathmatiques et numriques de ce comportement. On peut citer entre autres,

Introduction gnrale

2

Bauer [1] qui fut le premier tudier le comportement vibratoire dune poutre

dEuler-Bernoulli en mouvement de rotation par rapport son axe. Zu et al [2]

ont tudi leffet des conditions aux limites sur les frquences propres des arbres

tournants. Leffet gyroscopique et le couplage entre mouvements rigides et

lastiques a t tudi par Hu et al [3] en utilisant la mthode des lments finis.

Nelson et al [4] ont utilis la mthode des lments finis pour ltude dun arbre

compos de disques et de paliers. Dautres chercheurs ont tudis le

comportement dynamique en associant dautres paramtres tels que les

matriaux composites, stabilit, excitation sismique, impact, etc, voir en

particulier [5-10].

Dans cette tude la mthode de transformation diffrentielle Differential

Transform Method est utilise pour prdire les frquences propres dun arbre

tournant soumis un gradient thermique. La mthode de transformation

diffrentielle est une mthode analytique, base sur le dveloppement en srie de

Taylor utilise pour rsoudre les quations diffrentielles. Elle a t utilise pour

la premire fois par Zhou [11] pour rsoudre les problmes de circuits

lectriques. Pour plus de dtails sur la mthode le lecteur pourra consulter [12].

Chen et Ho [13] sont les premiers utiliser cette mthode aux problmes aux

valeurs propres. Beaucoup de problmes dengineering ont t rsolus par la

suite en utilisant cette mthode, pour plus de prcision, le lecteur pourra

consulter les rfrences suivantes [14-19].

Notre travail consiste tudier l'influence du gradient thermique sur les

frquences propres des arbres tournants en utilisant la mthode de

transformation diffrentielle DTM .

Le travail est prsent en quatre chapitres :

Introduction : Une revue bibliographique qui illustre les dveloppements et

les recherches actuels dans le domaine des vibrations des arbres tournants, ainsi

que la mthode de transformation diffrentielle.

Chapitre 1 : on prsente la thorie des poutres dEuler- Bernoulli, et les

expressions des nergies de dformation et cintique de l'arbre en mouvement de

rotation sous leffet dun gradient thermique. Les quations de mouvement de

l'arbre sont dtermines.

Chapitre 2 : on dtaille la formulation par la mthode de transformation

diffrentielle, les quations de mouvement ainsi que les conditions aux limites

associes transformes sont dtermines.

Introduction gnrale

3

Chapitre 3 : Dans ce chapitre est dcrit le programme de calcul avec ses

diffrentes tapes.

Chapitre 4 : Les rsultats obtenus sont compars avec d'autres rsultats de la

littrature, une tude de convergence est faite. L'influence de la vitesse de

rotation, des conditions aux limites et du gradient thermique sur les frquences

propres est tudie en dernier lieu.

Nous clturerons videment cette tude par un ensemble de conclusions et de

perspectives de recherche.

4

CHAPITRE I

Equations de mouvement dun arbre

tournant soumis un gradient

thermique

I-1.Introduction

Dans ce chapitre les quations de mouvement dun arbre tournant seront dtermines enutilisant le principe de Hamilton. Pour cela lnergie cintique et de dformation dans le casdu modle dEuler-Bernoulli sont utilises.

I-2.Energie de dformation de la poutre

Un arbre tournant est assimil une poutre de section circulaire ou rectangulaire

ayant une ligne moyenne passant par le centre de surface des sections droites,

voir (figure 1.1).

Figure 1.1 : Poutre en rotation.

y

z

x

x

L

Equations de mouvement dun arbre tournant soumis un gradient thermique

5

La thorie dEuler-Bernoulli est utilisequand le rapport longueur sur diamtre

quivalent est suprieure vingt. Daprs les hypothses dEuler-Bernoulli, la

dformation due cisaillement transversale nest pas prise en compte, en plus toute

section droite reste plane et perpendiculaire la ligne moyenne aprs dformation,

voir (figure 1.2). Dans notre cas leffet de torsion est ngligeable [6]. Ces

hypothses se traduisent par la relation suivante :

=

= 0 (1.1)

Figure 1.2 :Dformation de la poutre

t

tx

Ligne moyenne

Section droite

y

V

z

Z y

X,x

PG


6

O est le dplacement transversal de la poutre suivant laxe z, est ladformation angulaire.

= : est la rotation de la section droite de la poutre.

Le champ de dplacement dfinissant les dplacements dun point de la poutredans le repre est(,,) donn par

(,,) = ()

+

()

(,,) = ()

(,,) = ()

(1.2)

, et reprsentent les dplacements suivant les trois axes x, y et z dunpoint quelconque de la poutre, alors que et sont les dplacements du centregomtrique G suivant les axes y et z (dans le repre de la poutre).La dformation longitudinale dun point quelconque de la poutre decoordonnes y et z dans le repre li larbre scrit

=

=

+

(1.3)

La relation liant la contrainte normale et la dformation longitudinale est donnepar la loi de Hooke. Sous lhypothse de petites dplacements et dformations ,pour un matriau homogne, linaire et isotrope, la loi de comportementsexprime par

= (1.4)o: est la contrainte normale dans la poutre et le module dYoung.

Lexpression gnrale de lnergie de dformation est donne par :

=1

2 v

(1.5)

=1

2

+

(1.6)

=1

2

+

)2

)(

)

(1.7)


7

Avec, les moments dinertie de la poutre suivant les axes y et z,

reprsente le produit dinertie.

= 1.8))

= 1.9))

= (1.10)

v : est llment de volume.

v = Adx (1.11)

Avec A la section de la poutre.

Lorsque la sectionde la poutre est symtrique est nul.

I-3.Energie de dformation due au gradient thermique

Lnergie de dformation due au gradient thermique est donne par lexpression

suivante [7]

=1

2 (

) + (

)

(1.12)

Avec leffort normal provoqu par le gradient thermique, et qui est donnpar

= (1.13)

est le coefficient de dilatation thermique, reprsente le gradient thermique.

I-4. Energie cintiquede la poutre

Reprsentele vecteur vitesse du point G centre de surface de la section droite

situe une distance x de lorigine du repre fixe, et est la vitesse de rotation

instantane de la section droite. La vitesse dun point P quelconque de la poutre est

donne par


8

= +

(1.14)

Reprsente le vecteur vitesse du point G centre de surface de la section droite

situe une distance x de lorigine du repre fixe, et est la vitesse de rotation

instantane de la section droite.

Le vecteur vitesse du point G est donn par :

=

+ (1. 15)

Ce qui nous donne

= 0

+

(1.16)

Une fois calcule, on peut par la suite dterminer la vitesse du point P

=

+

+ + +

(1.17)

Une fois la vitesse du point P dtermine, lnergie cintique peut tre calcule et

qui est donne par la relation suivante

=1

2

v (1.18)

En injectant (1.17) , dans (1.18) on obtient

=1

2 ))) + ()) + 2

+

+

(1.19)


9

I-5.Equations de mouvement

Les quations de mouvement sont dtermines partir du principe de la moindre

action de Hamilton, exprim par

( =( 0

(1.20)

Lintervalle [,] reprsente le temps de laction de Hamilton.

: Oprateurvariationel.

En remplaant les nergies par leurs expressions, on obtient

1

2 ))) + ()) + 2

+

+

+

+

+

)2

)(

)

1

2 (

) + (

)

dt = 0 (1.21)

Aprs intgration par partie les quations de mouvement suivantes sont

obtenues

+ 2

= 0 (1.22)

+ + 2

= 0 (1.23)

Avec =


10

Avec les conditions aux limites associes suivantes

0

= 0 (1.24)

0

= 0 (1.25)

0

= 0 (1.26)

0

= 0 (1.27)

On suppose que le mouvement est harmonique

(,) = () (1.28)

(,) = () (1.29)

Les quations de mouvement deviennent

+ 2 = 0 (1.30)

2 = 0 (1.31)

O le terme caractrise leffet centrifuge, le terme 2 reprsente

leffet gyroscopique et lestermes

,

reprsentant leffet de la

temprature.

Mthode de transformation diffrentielle (DTM)

11

Chapitre II

Mthode de transformation

diffrentielle

II-1 Introduction

Avec le dvelpopement de loutil informatique et le calcul symbolique les mthodes de

rsolution analytique sont devenues trs pratique, parmis les techniques et les approches on

trouve la mthode de la transformation dfferentielle qui permet danalyser des systmes trs

complexes.

II-2 Mthode de transformation diffrentielle

II-2.1 Dfinition

Soit () une fonction analytique dans un domaine D , soit x = x un point

quelconque du domaine D. La fonction () est reprsente par une srie de

centre x. La transformation diffrentielle de () est donne par [ 7] :

) ) =1

!

d ()

d

(2.1)

o ) ) est la fonction transforme de la fonction originale f(x).

La transformation inverse est dfinie par

() = ) x)( )

(2.2)

En injectant lquation (2.1) dans ( 2.2), on obtient

() = ) x)

1

!

d ()

d

(2.3)


12

Daprs cette quation on remarque que le concept de la transformation

diffrentielle est bas sur le dveloppement en srie de Taylor de la fonction

.()

Lquation (2.3) peut tre crite comme suite si on limite le nombre de sries

N sries.

() = ) x)

1

!

d ()

d

(2.4)

Le nombre N est dfini en fonction du critre de convergence de la solution.

II-3. Proprits doprations de la transformation diffrentielle

Soit () et () deux fonctions quelconques et soit F(k) et G(k) les fonctions

transformes des deux fonctions originales, les Proprits doprations de la

transformation diffrentielle sont donne par tableaux (2.1)

II-4 Application de la DTM dans le cas dun arbre tournant

En utilisant les proprits de la DTM on peut transformer les quations de

mouvement obtenues au chapitre prcdant. Noue rcrirons ces quations pour

pouvoir les transformer

Tableaux 2.1 : Thormes de base utiliss dans la DTM [12]

Fonction originale DTM

() = () () ) ) = ) ) ) )

() = () ) ) = ) )

() = ().() ) ) = ) ) ( )( )

() =()

() ) ) = [(+ )[!( + ).

() = ) ) = ) ) = 0 1 =


13

( + )() 2 ()

= 0 (2.5)

(+ ) () + 2()

= 0 (2.6)

En utilisant la coordonne adimensionnelle =

, o 0 1 on obtient

( + )() 2 ()

= 0 (2.7)

(+ ) () + 2()

= 0 (2.8)

Les transformes de chaque terme des quations de mouvement sont donnes

par :

() = ) ) (2.9)

() = ) ) (2.10)

O ) ) et ) ) sont les transformes de () et ,() respectivement.

De mme pour les drives de ces deux fonctions

= (+ 1)(+ +)(2 2) (2.11)

= (+ 1)(+ +)(2 2) (2.12)

= (+ 1)(+ 2)(+ )(3 + +)(4 4) (2.13)

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)(K + 4)G(k + 4) (2.14)


14

En remplaant les quations (2.9), (2.10) , (2.11) , (2.12) , (2.13) et (2.14) dans

les quations (2.7), (2.8) on obtient :

(+ 4)(+ 3)(+ 2)(+ +)(1 4)( ( + ))( )

2( ) +

(+ 1)(+ +)(2 2) = 0 (2.15)

(+ 4)(+ 3)(+ 2)(+ +)(1 4)( ( + ))( )

+2( ) +

(+ 1)(+ +)(2 2) = 0 (2.16)

II-5 Conditions aux limites

Les conditions aux limites dans le cas gnral sont explicites dans le tableau

suivant

Tableaux 2. : Conditions aux limites

(0)

= (2)0 = 0

(0)

= (2)0 = 0

(0)

(0)

= 0

(3) (1) = 0

(0)

(0)

= 0

(3) (1) = 0

= 0

(0) = (0)0 = 0

(0) = (0)0 = 0

()

= 0 (1) = 0

()

= 0 (1) = 0


15

En remplaant les conditions aux limites dans (2.15) et (2.16) le systme

dquations obtenu sera de la forme :

() +

() + () +

() = 0, = 1,2,3 (2.17)

o () ,

() sont des fonctions polynmiales correspondant au nime

terme. Le systme dquations sous forme matricielle est donn par :

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

= 0 (2.18)

O , ,, et dpendent des conditions aux limites choisies.

= 1

(1) = )0 ) = 0

(1)

(1)

= 0

[( 1)( )[(2 ) ) )

= 0

(1)

(1)

= 0

[( 1)( )[(2 ) ) ) = 0

(1) = )0 )=0

()

= 0 [( )[(1 ) =0

()

= 0 [( )[(1 ) =0

()

= 0 [( )[(1 ) =0

()

= 0 [( )[(1 ) =0


16

Lquation caractristique du systme est dtermine partir du dterminant du

systme dquations prcdant

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

= 0 (2.19)

La valeur de N est obtenue en fonction du critre de convergence suivant

( )

() (2.20)

o est la tolrance exige.

Organisation de la programmation

17

Chapitre III

Organisation de la

programmation

III-1Introduction :

Dans ce chapitre les tapes de calcul sont claires. Un programme en MATHCAD

est ralis pour dterminer les frquences propres du systme.

III-2 Organigramme :

Lorganigramme suivant montre toutes les tapes de calcul ralises de la

lecture des donnes jusqu laffichage des rsultats.

III-3 Programme principal :

Le programme principal pour la rsolution des quations de mouvement

transformes et les diffrentes tapes utilises sont dcrites dans la suite

de cette tude :

1. Lecture des donnes physiques et gomtriques de larbre

2. Introduction des la condition aux limites

3. Calcul des fonctions transformes

4. Formation du systme dquations algbrique

5. Calcul du dterminant de la matrice

6. Rsolution de lquation caractristique du systme

7. Affichage des frquences propres


18

Figure 3.1 : Schma de calcul global

STOP

DEBUT

LECTURES DES DONNES PHYSIQUES

ET GEOMETRIQUES

INTRODUCTION DES CONDITIONS AUX LIMITES

CALCUL DES FONCTIONS TRANSFORMMEES ) ),( )

FORMATION DU SYSTEME ALGEBRIQUE (EQ. (2.19))

CALCUL DU DETERMINANT DE LA MATRICE

AFFICHAGES DES

FREQUENCES PROPRES

CALCUL DES RACINES DE LEQUATION CARACTERISTIQUE


19

III-4Description du programme :

1. Fichier de donnes

Tous les paramtres les donnes physiques et gomtriques utiliss,

dcrivant larbre, sont donnes dans un fichier DONNEES.txt au dbut

du programme

Les donnes du problme sont:

Moduledlasticit:

Section: droite de larbre

Longueur: de larbre

N : Nombre de terme.

Masse: volumique

:Vitesses de rotation de larbre

:Moment dinertie de larbre suivant laxe y

: Moment dinertie de larbre suivant laxe z

: Coefficient de la dilatation thermique

:Gradient thermique

2. Sous-programme pour le calcul des fonctions transformes

3. Aprs avoir introduit les donnes ncessaires ltape suivante

consiste calculer :

) ): Le dplacement suivant laxe y

) ) : Le dplacement suivant laxe z

En introduisant les conditions aux limites. Le sous-programmedvellopp

est appel TRANSF.xmcd

4. Formation du systmealgbrique et calcul du dterminant


20

La formation de la matrice du systme est obtenue partir des conditions

aux limites et des fonctions transformes de chaque cas, finalement nous

obtenons le systme algbrique suivant :

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

= 0 (3.1)

Le calcul du dterminant de la matrice est obtenue en utilisant la

fonction dterminant de MATHCAD.

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

()

() ()

()

= 0 (3.2)

Le sous- programme dvelopp est appel DETER.xmcd

5. Rsolution de lquation caractristique du systme :

Rsolution de lquation caractristique du systme se fait

numriquement pour dterminer la fin les frquences propres du

systme, en utilisant la fonction polyroots de Mathcad . Le sous

programme est appel FREQ.xmcd . Les rsultats obtenus sont les

frquences propres du systme.

6. Affichage des frquences propres

Les rsultats obtenus sont affichs dans un fichier de sortie appell

RESULTS.txt .

Validation, comparaison et analyse des cas

21

Chapitre IV

Validations, comparaisons

et analyse de cas

IV-1 Introduction

Nous prsenterons dans ce chapitre une analyse dynamique dun arbre tournant

soumis un gradient de temprature provoqu par les conditions de lenvironnement.

La premire partie de ce chapitre met en vidence la validit du programme

dvelopp, ainsi une tude comparative est faite avec des travaux de diffrents

auteurs. La deuxime partie fait lobjet dune tude dun arbre tournant soumis un

gradient thermique,

IV-2 Validations et comparaisons des rsultats dans le cas

stationnaire :

Les rsultats obtenus seront valids avec des rsultats de la littrature.

Diffrentes conditions aux limites sont considres.

IV-2.1 Arbre sans leffet du gradient de temprature

section circulaire ) = = (

Cas stationnaire

Dans ce cas larbre est dans un tat stationnaire = , il nest soumis

aucun effet de temprature, les rsultats du paramtre de frquence

obtenu par calcul en utilisant la mthode de transformation diffrentielle

sont valids avec ceux obtenus par la solution exacte, pour diffrentes

conditions aux limites. Les paramtres de frquence et de vitesse utiliss

dans ce cas sont donn par

=

(4.1)


22

=

(4.2)

Tableau 4.1 : convergence dans le cas dune poutre Appuye-Appuye :

= 0

Nmode

1 2 3 4

10 9.672 - - -

20 9.867 39.398 - -

30 9.867 39.459 88.737 -

40 9.866 39.459 88.752 157.754

50 9.866 39.478 88.826 157.913

Solution 9.866 39.478 88.826 157.913

Exacte 9.986 39.478 88.826 157.913

Tableau 4.2 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr libre:

= 0

Nmode

1 2 3 4

10 3.507 - - -

20 3.516 22.034 - -

30 3.516 22.034 61.697

40 3.516 22.034 61.697 120.902

Solution 3.516 22.034 61.697 120.902

Exacte 3.516 22.034 61.697 120.902

Les tableaux (4.1) et (4.2) montrent que la convergence des quatre

premiers modes est assure en faisant augmenter le nombre N jusqu

40 pour une poutre Encastre-Libre et 50 termes pour une poutre

Appuye-Appuye. Les rsultats obtenus sont identiques aux rsultats

de la solution exacte.


23

Cas dun arbre en mouvement de rotation

Le problme trait concerne un arbre en mouvement de rotation. La

solution obtenue en faisant varier dans le cas dune poutre

Encastre Libre et compare avec la solution exacte [6].

Tableau 4.3 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr

libre : = 2

Nmode

1 2 3 4 5 6

10 1.507 5.507 - - - -

20 1 .516 5.516 - - - -

30 1.516 5.516 22.034 24.034 59.696 -

40 1.516 5.516 22.034 24.034 59.696 63.697

solution 1.516 5.516 20.034 24.034 59.697 63.697

Exacte 1.516 5.516 20.034 24.034 59.697 63.697

Tableau 4.3 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr libre :

= 3.5

Nmode

1 2 3 4 5 6

10 7.007 - - - - -

20 0.001 7.016 18.534 - - -

30 0.001 7.016 18.534 25.534 - -

40 0.001 7.016 18.534 25.534 58.697 65.697

Solution 0.000 7.016 18.534 25.534 58.697 65.697

Exacte 0 7.016 18.534 25.534 58.697 65.697


24

Tableau4.5 : Convergence dans le cas dune poutre Encastr libre

= 4

Nmode

1 2 3 4 5 6

10 0.049 7.507 - - - -

20 0.048 7.516 18.034 26.034 - -

30 0.048 7.516 18.035 26.034 57.697 -

40 0.001 7.016 18.034 26.034 57.697 65.697

solution 0 7.016 18.034 26.034 57.697 65.697

Exacte 0 7.516 18.034 26.034 57.697 65.697

Tableau4.6 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre-libre :

= 8

Nmode

1 2 3 4 5 6

10 - 11.507 - - - -

20 - 11.516 14.034 30.034 - -

30 - 11.516 14.034 30.034 53.696 -

40 - 11.516 14.034 30.034 53.696 69.697

solution - 11.516 14.034 30.034 53.697 69.697

Exacte - 11.516 14.034 30.034 53.697 69.697

Les tableaux (4.3), (4.4), (4.5) et (4.6) montrent que la convergence est assure

en faisant augmenter le nombre des itrations, 40 itrations sont suffisantes

pour assurer la convergence des six premiers modes. Les rsultats obtenus sont

identiques aux rsultats de la solution exacte donne par [6].


25

IV-2.2 Arbre sans leffet du gradient de temprature

section rectangulaire ) = )

Cas dun arbre en mouvement de rotation

Le problme trait concerne un arbre en mouvement de rotation de

section rectangulaire. La solution obtenue en faisant varier dans le

cas dune poutre Encastre libre est compare avec la solution

exacte [6].

Tableau4.7 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre :

= 1.1

Nmode

1 2 3 4

10 0 - - -

20 0 6.886 - -

30 0 6.886 11.307 19.473

solution 0 6.886 11.307 19.473

Exacte 0 6.866 11.307 19.473

Tableau4.8 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre:

= 2

Nmode

1 2 3 4

10 - - - -

20 - 6.663 - -

30 - 6.663 11.632 19 .404

solution - 6.663 11.632 19 .404

Exacte - 6.663 11.632 19.404


26

Tableau4.9 : Convergence dans le cas dune poutre Encastre libre :

= 4

Nmode

1 2 3 4

10 - - - -

20 - 5.667 - -

30 - 5.667 12.900 19.080

solution - 5.667 12.900 19.080

Exacte - 5.667 12.900 19.080


= 6

Nmode

1 2 3 4

10 - - - -

20 - 3.490 14.536 -

30 - 3.491 14.536 18.530

solution - 3.491 14.543 18.530

Exacte - 3.491 14.536 18.530


= 7.1

Nmode

1 2 3 4

10 - - - -

20 - 0 - -

30 - 0 15.526 -

solution - 0 15.526 18.118

Exacte - 0 15.526 18.118


27


= 8

Nmode

1 2 3 4

10 - - - -

20 - - - -

30 - - 16.336 -

solution - - 16.336 17.734

[6] - - 16.336 17.734

Les tableaux (4.7) ,(4.8) ,(4.9) ,(4.10) ,(4.11) ,(4.12) montrent que la

convergence est assure en faisant augmenter le nombre des itrations, 30

itrations sont suffisantes pour assurer la convergence des quatre

premiers modes. Les rsultats obtenus sont identiques aux rsultats de la

solution exacte donne par [6].

IV-2.Diagramme de Campbell :

Les graphes qui suivent donnent la variation du paramtre de frquence

en fonction de la variation de la vitesse de rotation, appels diagramme de

Campbell. Diffrentes conditions aux limites sont considres pour deux

types de sections : circulaire et rectangulaire.

Les figures (4.1), (4.2) et (4.3) montrent respectivement la variation

du paramtre de frquence * en fonction du paramtre de vitesse de

rotation * (diagramme de Campbell) dans le cas des poutres avec les

conditions aux limites E-L, et A-A en prenant en compote deux sections

diffrentes : une circulaire et lautre rectangulaire. Ces figures montrent

l'influence de la vitesse de rotation sur les frquences propres dun arbre

tournant. Dans le cas o nous avons I = I, on remarque que pour

chaque vitesse de rotation, il existe deux frquences , il y a des valeurs

croissantes en fonction de la vitesse de rotation appeles modes en

prcession directe ; et d'autres dcroissantes appeles modes rtrogrades.


28

Ce phnomne est provoqu par l'effet gyroscopique. En effet, on

remarque aussi quil existe une variation proportionnelle entre la vitesse

de rotation et la frquence propre provoque par la rigidification

centrifuge. On constate aussi quil existe une vitesse critique une

= 3.5 dans le cas E-L et une autre = 10.1 dans le cas A-A.

Dans le cas o nous avons I = 100I, on remarque que le

comportement est completement diffrent du premier cas. La premiere, la

deuxieme et la quatrieme frquence diminue avec la vitesse de rotation,

par contre la troisime frquence augmente avec cette dernire. Et ceci est

du au faite que les rigidits de la poutre suivant les deux axes sont

diffrentes (I est largement superieure I). On constate quil existe

deux vitesses critiques une = 1.1 et lautre = 7.1.

Figure 4.1 : Diagramme de Campbell dans le cas de poutre E-L avec

=

w1

=0,001w2

w3

w4

w5

w6

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10

w1

w2

w3

w4

w5

w6


29

Figure 4.2 : Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Appuye-

Appuye avec =

Figure 4.3 : Diagramme de Campbell dans le cas de poutre Encastr-

Libre avec = .

W1 (10)

w3

w5

w6

w2

w4

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12

w11.1

w3

w4

6,663

3,491

=7.10

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12


30

IV-3.Arbre avec leffet du gradient de temprature

Les graphes qui suivent donnent la variation du paramtre de frquence

en fonction du gradient thermique dans le cas stationnaire et en rotation

dune poutre ayant = .

Les figures (4.4), (4.5) montrent respectivement la variation du paramtre

de frquence * en fonction du gradient thermique dune poutre E-L dans

le cas stationnaire et en rotation. On constate que la premire frquence

augmente avec le gradient thermique.

Figure 4.4 :Variation de la premire frquence en fonction de la

temprature propre dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermique

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 10 20 30 40 50 60

=0

Gradient de temprature ))

Pre

mi

refr

q

ue

nce

(Hz)


31

Figure 4.5:Variation de la premire frquence en fonction de la

temprature propre dun arbre E-L soumis de leffet gradient thermique

0

200

400

600

800

1000

1200

0 10 20 30 40 50 60

=10

Gradient de temprature ))

Pre

mi

refr

q

ue

nce

(Hz)

Conclusion gnrale

32

Conclusion

Le travail ralis est une tude sur la prdiction des frquences propres dun

arbre tournant soumis un gradient thermique. Une tude thorique a permis la

dtermination des quations de mouvement de larbre. La mthode de

transformation diffrentielle a t utilise pour dterminer les frquences

propres du systme en faisant varier la vitesse de rotation, les conditions aux

limites, ainsi que le gradient thermique.

Cette tude nous permis d'aboutir aux conclusions suivantes :

- Pour diffrentes conditions aux limites, dans le cas stationnaire et en

rotation, la convergence de la solution est assure en faisant augmenter N

le nombre de terme de la srie. Les rsultats sont en concordance avec les

solutions exactes dans le cas stationnaire et en rotation.

- L'effet gyroscopique provoque un couplage des dplacements

orthogonaux ce qui a pour consquence de sparer les frquences propres

en deux branches : mode en prcession directe et mode rtrograde.

- La variation de la vitesse de rotation provoque une rigidification de

larbre dans le cas des modes en prcession directe qui se traduit par une

croissance de la frquence avec la vitesse de rotation.

- Les arbres tournants traversent plusieurs vitesses critiques en mode

rtrograde.

- Leffet de temprature a un effet rigidifiant, la frquence propre du

systme augmente avec le gradient thermique.

Les perspectives d'tudes qui peuvent tre mene la suite de ce travail

sont: intgration dun matriau composite, prise en compte des supports

Conclusion gnrale

33

lastiques et leurs mouvements dans le cas d'un rotor embarqu comme le cas

des racteurs d'avion, analyse des vibrations forces, etc.

Rfrences bibliographies

34

References Bibliographies

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Mémoire de fin d’études Pour l’obtention du diplôme de...

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