MEMOIRE DE FIN D’ETUDES en vue de l’obtention du DIPLOME D ...

N° d’ordre : 05/TCO/ TRC Année Universitaire : 2003 / 2004

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

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ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE

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DEPARTEMENT TELECOMMUNICATION

MEMOIRE DE FIN D’ETUDES

en vue de l’obtention

du DIPLOME D’INGENIEUR

Spécialité : Télécommunication

Option : Transmission – Réseau – Commutation

par : RANDRIANANDRASANA Ndrianaja

Soutenu le vendredi 28 janvier 2005 devant la Commission d’Examen composée de :

Président :

M. ANDRIAMIASY Zidora

Examinateurs :

M. RADONAMANDIMBY Edmond Jean Pierre

M. RATSIMBAZAFY Andriamanga

M. RAZAKARIVONY Jules

Directeur de mémoire :

M. RATSIHOARANA Constant

OPTIMISATION DES RESEAUX WDM TOUT-OPTIQUES

REMERCIEMENTS

Je rends grâce à Dieu pour sa bonté de m’avoir donné la force et la santé durant la

réalisation de ce mémoire.

J’exprime ma gratitude à Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin, Professeur,

Directeur de l’Ecole Supérieure Polytechnique d’Antananarivo.

Je suis particulièrement reconnaissant à Monsieur RANDRIAMITANTSOA Paul

Auguste, Professeur, Chef du Département Télécommunication.

J’adresse mes sincères remerciements à Monsieur ANDRIAMIASY Zidora, Maître de

conférence, Enseignant au sein du Département Télécommunication pour l’honneur qu’il me fait

de présider mon jury.

Je suis très reconnaissant envers Monsieur RATSIHOARANA Constant, Assistant

d’Enseignement Supérieur au sein du Département Télécommunication, directeur de ce mémoire

qui a été pour moi plus qu'un encadreur. Je le remercie pour le temps qu'il m'a accordé et ses

précieux conseils.

Je tiens à témoigner toute ma gratitude à :

- Monsieur RATSIMBAZAFY Andriamanga, Maître de conférence, Enseignant au

sein du Département Télécommunication,

- Monsieur RAZAKARIVONY Jules, Maître de conférence, Enseignant du

Département Télécommunication,

- Monsieur RADONAMANDIMBY Edmond Jean Pierre Assistant d’Enseignement

Supérieur au sein du Département Télécommunication

pour l’honneur qu’ils me font de participer à mon jury.

Je remercie tous les Enseignants et personnel de l’Ecole Supérieure Polytechnique pour la

formation durant ces cinq années.

J’adresse une pensée spéciale aux personnes qui m’ont accompagné tout au long de ce

travail.

Je termine ici en dédiant ce mémoire à mes parents qui m’ont donné le goût des études et

offert un soutien sans faille.

i

TABLE DES MATIERES

TABLE DES MATIERES ............................................................................................................................. i NOMENCLATURE ..................................................................................................................................... iv INTRODUCTION......................................................................................................................................... 1 CHAPITRE I : TRANSMISSION PAR FIBRES OPTIQUES ................................................................ 3

I.1. Propagation dans la fibre optique .......................................................................................................................3 I.1.1. Propagation d’onde lumineuse.....................................................................................................................3 I.1.2. Enoncé de la Loi de Descartes ......................................................................................................................4 I.1.3. Angle limite et condition de guidage............................................................................................................4 I.1.4. Ouverture numérique ( ON )........................................................................................................................5

I.2. Différents types de fibre optique..........................................................................................................................6 I.2.1. Propagation multimode ................................................................................................................................6

I.2.1.1. Fibre multimode à saut d'indice ............................................................................................................................6 I.2.1.2. Fibre multimode à gradient d'indice .....................................................................................................................7

I.2.2. Fibre monomode............................................................................................................................................7 I.3. Avantages des fibres optiques..............................................................................................................................8

I.3.1. Enorme bande passante ................................................................................................................................8 I.3.2. Vitesse d’information élevée.........................................................................................................................8 I.3.3. Faibles taux d’atténuation ............................................................................................................................9

I.4. Problèmes de la transmission par fibres optiques...............................................................................................9 I.4.1. Dispersion.......................................................................................................................................................9

I.4.1.1. Dispersion chromatique ........................................................................................................................................9 I.4.1.2. Dispersion intermodale .......................................................................................................................................10

I.4.2. Les atténuations...........................................................................................................................................10 I.4.2.1. Atténuation par connexion ..................................................................................................................................10 I.4.2.2. Pertes par effet de courbure ................................................................................................................................12 I.4.2.3. Pertes par microcourbures ...................................................................................................................................12

I.5. Liaison par fibres optiques ................................................................................................................................13 I.5.1. Emetteurs optiques......................................................................................................................................13

I.5.1.1. Les lasers ..............................................................................................................................................................13 I.5.1.2. Principe du laser – émission stimulée..................................................................................................................13

I.5.2. Les modulateurs ..........................................................................................................................................14 I.5.3. Récepteurs optiques ....................................................................................................................................15 I.5.4. Les Câbles à fibres optiques .......................................................................................................................15

CHAPITRE II : LA TECHNOLOGIE WDM ET LES RESEAUX TOUT-OPTIQUES.................... 16 II.1. Principe du WDM ( Wavelength Division Multiplexing )...............................................................................16 II.2. Multiplexage optique........................................................................................................................................16

II.2.1. Multiplexage temporel TDM ( Time Division Multiplexing ) ................................................................17 II.2.2. Multiplexage en longueur d’onde ( WDM ).............................................................................................17 II.2.3. Comparaison des multiplexages TDM et WDM .....................................................................................19 II.2.4. Limitation du nombre de canaux WDM..................................................................................................20

II.3. Réseaux tout-optiques ......................................................................................................................................21 II.3.1. Réseaux à fibres optiques ..........................................................................................................................21 II.3.2. Liaison tout-optique...................................................................................................................................21 II.3.3. Communication en mode connecté...........................................................................................................22

II.4. Commutateurs optiques ...................................................................................................................................22 II.4.1. Répartiteur .................................................................................................................................................22 II.4.2. Multiplexeur à insertion/extraction ( MIE ) ...........................................................................................23 II.4.3. Brasseur .....................................................................................................................................................24

II.5. Convertisseurs optiques ...................................................................................................................................25

ii

II.5.1. Conversion optoélectronique ....................................................................................................................25 II.5.2. Conversion tout-optique............................................................................................................................26 II.5.3. Brasseur convertisseur .............................................................................................................................26

II.6. Amplificateurs optiques ...................................................................................................................................27 II.6.1. Amplificateurs à semi-conducteur............................................................................................................28 II.6.2. Amplificateurs à fibres dopées..................................................................................................................28 II.6.3. Caractéristiques des amplificateurs optiques..........................................................................................29 II.6.4. Avantages des amplificateurs optiques ....................................................................................................29

II.7. Capacité de transmission des systèmes WDM .................................................................................................30 II.7.1. Accroissement du débit par longueur d'onde..........................................................................................30 II.7.2. Accroissement du nombre de longueurs d'onde......................................................................................30

CHAPITRE III : ROUTAGE TOUT-OPTIQUE ET OPTIMISATION ............................................. 32 III.1. Notion de théorie des graphes ........................................................................................................................32

III.1.1. Définition...................................................................................................................................................32 III.1.2. Graphes : concepts orientés.....................................................................................................................32 III.1.3. Graphes : concepts non orientés .............................................................................................................33 III.1.4. Degré d’un graphe....................................................................................................................................35 III.1.5. Chemin ou chaîne .....................................................................................................................................35 III.1.6. Connexité ..................................................................................................................................................35 III.1.7. Types de graphes ......................................................................................................................................36

III.1.7.1. Arbres ................................................................................................................................................................36 III.1.7.2. Graphe pondéré.................................................................................................................................................36

III.1.8. Distance dans un graphe non orienté......................................................................................................37 III.2. Modélisation d’un réseau WDM et définitions.............................................................................................37

III.2.1. Modélisation d’un réseau WDM .............................................................................................................37 III.2.2. Réseau k - fibres .......................................................................................................................................37 III.2.3. Instance de communication .....................................................................................................................38 III.2.4. Multicast....................................................................................................................................................38

III.3. Hypothèses et problématiques ........................................................................................................................38 III.3.1. Hypothèses ................................................................................................................................................38 III.3.2. Problématique dans les réseaux WDM tout-optiques ...........................................................................39

III.4. Formulation des problèmes étudiés ...............................................................................................................40 III.4.1. Problème du routage tout-optique ..........................................................................................................40

III.4.1.1. Enoncé du PROBLEME du routage optique ...................................................................................................41 III.4.1.2. Graphe de conflit...............................................................................................................................................41

III.4.2. Problème du routage optique maximum................................................................................................42 III.4.2.1. Enoncé problème du routage optique maximum .............................................................................................42 III.4.2.2. Enoncé du Problème de décision du routage optique ......................................................................................43

III.4.3. Problème de la charge..............................................................................................................................43 III.4.3.1. Charge d’un lien ...............................................................................................................................................43 III.4.3.2. Enoncé du PROBLEME de la charge ..............................................................................................................43 III.4.3.3. Enoncé du PROBLEME du routage maximum...............................................................................................44 III.4.3.4. Enoncé du PROBLEME du routage disjoint maximum..................................................................................45 III.4.3.5. Enoncé du PROBLEME du routage Disjoint ..................................................................................................45

III.5. Flot et routage optique ...................................................................................................................................45 III.5.1. Problèmes de flot ......................................................................................................................................45

III.5.1.1. Simple flot..........................................................................................................................................................45 III.5.1.2. Multiflot.............................................................................................................................................................46

III.5.2. Réduction du routage optique au multiflot ............................................................................................47 III.5.2.1. Cas du multicast ................................................................................................................................................47 III.5.2.2. Cas général........................................................................................................................................................49

III.6. Relations entre les problèmes .........................................................................................................................49 III.7. Recherche d’un flot de coût minimal avec bornes inférieures nulles : algorithme de BUSACKER et GOWEN ................................................................................................................50

iii

III.7.1. Position du problème ...............................................................................................................................50 III.7.2. Principe de l’algorithme ..........................................................................................................................51 III.7.3. Exemple d’un problème de flot à coût minimum .................................................................................52

III.8. Recherche d’un flot maximum dans un graphe : algorithme de Ford-Fulkerson.......................................52 III.8.1. Position du problème ...............................................................................................................................52 III.8.2. Principe de l’algorithme ..........................................................................................................................52 III.8.3. Graphe d’écart..........................................................................................................................................53 III.8.4. Exemple d’un problème de flot maximum.............................................................................................55

CHAPITRE IV : SIMULATION DE L’OPTIMISATION DES RESEAUX WDM TOUT- OPTIQUES : WDM SIMULATOR........................................................................................................... 56

IV.1. Le langage FORTRAN ...................................................................................................................................56 IV.1.1. Historique du FORTRAN........................................................................................................................56 IV.1.2. Structure générale ....................................................................................................................................56

IV.1.2.1. Format des lignes d’instruction ........................................................................................................................56 IV.1.2.2. Structure d'un programme ................................................................................................................................57

IV.1.3. Modularité.................................................................................................................................................58 IV.1.4. Branchement inconditionnel....................................................................................................................58 IV.1.5. Quelques points importants du langage FORTRAN.............................................................................58 IV.1.6. Les avantages du langage FORTRAN ....................................................................................................59 IV.1.7. Justification du choix du langage FORTRAN .......................................................................................59

IV.2. Représentation d’un graphe ...........................................................................................................................60 IV.2.1. Les tableaux LP et LS ..............................................................................................................................60 IV.2.2. Liste des arêtes..........................................................................................................................................61 IV.2.3. Tableau LA ...............................................................................................................................................62

IV.3. Présentation du logiciel WDM SIMULATOR ...............................................................................................62 IV.3.1. La partie STRUCTURE DU GRAPHE..................................................................................................63

IV.3.1.1. Les données nécessaires ....................................................................................................................................63 IV.3.1.2. La saisie des données.........................................................................................................................................63

IV.3.2. La partie SIMULATION ........................................................................................................................64 IV.3.2.1. Cas du Flot maximal .........................................................................................................................................64 IV.3.2.2. Cas du Coût minimal .........................................................................................................................................65

IV.3.3. La partie RESULTATS............................................................................................................................66 IV.3.3.1. Le résultat Flot Max (zone de texte)..................................................................................................................66 IV.3.3.2. Le résultat FLOT ( Tableau ) ............................................................................................................................67

V.4. Application du WDM SIMULATOR au cas de MADAGASCAR ...................................................................67 IV.4.1. Les données du réseau..............................................................................................................................68

IV.4.1.1. Les nœuds du réseau .........................................................................................................................................68 IV.4.1.2. Les arcs du réseau .............................................................................................................................................68 IV.4.1.3. Les tableaux .......................................................................................................................................................69

IV.4.2. Traitement des requêtes...........................................................................................................................70 IV.4.2.1. Flot maximal......................................................................................................................................................70 IV.4.2.2. Coût minimal .....................................................................................................................................................72

CONCLUSION............................................................................................................................................ 75 ANNEXE 1 : Preuve de la Proposition III.1 ............................................................................................ 76 ANNEXE2 : Preuve de la proposition III.2............................................................................................... 77 BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................................................... 78

iv

NOMENCLATURE

( )[ ]kmdBa /λ : atténuation linéique

bu : bornes inférieures de flux

uc : bornes supérieures de flux

cij : capacité de l’arc ( )ji,

d : diamètre du cœur de la fibre

( )xd− : degré entrant du sommet x

( )xd+ : degré sortant du sommet x

dB : décibel

( )yxd , : distance entre deux sommets x et y d'un graphe

( )yxf , : quantité de flot passant par l’arc ),( yx

km : kilomètre

log : logarithme népérien

m : nombre de modes

n0 : indice de réfraction de l’air

n2 : indice de réfraction de la gaine

n1 : indice de réfraction du cœur

nm : nanomètre

vm : composante suivant l’axe de propagation de la vitesse

vmin : vitesse du mode le plus lent

vmax : vitesse du mode le plus rapide

ϕ u : quantité de flot sur l’arc u

τΔ : dispersion intermodale

uγ : coût de passage d’une unité de flux sur l’arc u

[ ]dBA : atténuation en décibel

G ck, : graphe auxiliaire

( )ϕG : graphe d’écart associé à ϕ

v

Hz : hertz

Gbps : gigabit par seconde

Mb : mégabit

Mbps : mégabit par seconde

M s : multicast

( )λM : dispersion chromatique

Tb : térabit

Tbps : térabit par seconde

ATM : Asynchronous Transfer Mode

DSL : Digital Subscriber Line

DWDM : Dense Wavelength Division Multiplexing

FDM : Frequency Division Multiplexing

F-OXC : Fiber Optical Cross-Connect

IP : Internet Protocol

LASER : Ligth Amplification by Stimulated Emission of Radiation

LED : Diode Electroluminescente

MIE : Multiplexeur à insertion/extraction

OADM : Optical Add/Drop Multiplexer

OFA : Optical Fiber Amplifier

ON : Ouverture Numérique

SDH : Synchronous Digital Hierarchy

TDM : Time Division Multiplexing

TEB : taux d'erreur par élément binaire

UDWDM : Ultra - Dense Wavelength Division Multiplexing

WDM : Wavelength Division Multiplexing

WR-OXC : Wavelength Routing Optical Cross-Connect

WT-OXC : Wavelength Translating Optical Cross-Connect

1

INTRODUCTION

La nécessité pressante de disposer des réseaux de communication à très haut débit, dont les

performances dépassent largement celles que peuvent fournir les réseaux actuels, se fait jour face

au nombre croissant d’utilisateurs et à l’émergence d’applications en réseau intensives, telles que

la récupération des données sur Internet, les applications Java, les conférences à distance,

l’imagerie à temps réel. Les constructeurs des équipements de télécommunications se sont alors

lancés dans une course effrénée au développement de nouveaux systèmes. Pour traiter le

changement de nature des informations véhiculées, la solution consiste à élaborer des équipements

capables de les gérer d’une manière totalement transparente. Si cela est relativement aisé, le réel

challenge vise à traiter une quantité d’informations de plus en plus importantes.

Les choix technologiques retenus pour augmenter les capacités des réseaux favorisent le

déploiement de la fibre optique et l'exploitation beaucoup plus rapide des avancées scientifiques.

En particulier, la découverte de l’amplificateur à fibre dopée à l’erbium, composant capable

d’amplifier les signaux de longueur d’onde proche de 1,55µm transmis dans les fibres optiques,

occasionne une révolution des systèmes de télécommunications. Non seulement, l’amplification

permet d’étendre les distances de transmission mais aussi fonctionne sur une gamme de longueurs

d’onde suffisamment étendue pour être utilisable sur plusieurs canaux. Le multiplexage en

longueur d’onde apparaît alors comme le moyen d'accroître de façon significative les capacités des

transmissions par fibres optiques.

Ainsi le réseau à fibre optique constitue le réseau dorsal de communications mondiales car

la fibre optique monomode se manifeste comme le seul moyen permettant d'offrir un débit

atteignant le térabit par seconde sur les réseaux de transport. Ce débit semble nécessaire pour faire

face à l'explosion des nouveaux services liés essentiellement à l'Internet et aux multimédias. Pour

supporter un tel débit, la technologie du multiplexage de longueurs d'onde WDM est utilisée.

Ce mémoire traite le problème de l’optimisation des réseaux tout-optiques utilisant la

technologie WDM et ayant comme objectif de minimiser le nombre de longueurs d’onde utilisées.

L’importance de cette optimisation se fonde sur deux raisons. D’une part, satisfaire une certaine

demande de trafic prévue à l’avance afin de minimiser le coût global des équipements nécessaires

dans le cadre de conception et du dimensionnement d’un réseau WDM tout-optique et de l’autre

2

gérer l’utilisation des ressources optiques en assurant la possibilité d’établir ultérieurement de

nouvelles connexions dans un réseau existant. Par conséquent, le plan de ce mémoire sera

composé de quatre chapitres.

Le premier chapitre aura comme rôle de présenter une vue d’ensemble de la transmission

par fibres optiques tout en définissant le mode de propagation dans la fibre, les différents types de

fibre, les avantages et les problèmes relatifs à la transmission ainsi que la structure générale d’une

liaison par fibres optiques.

Le deuxième chapitre parlera de la technologie WDM. D’abord, le principe de cette

technologie sera présenté et avec la comparaison des deux grands types de multiplexage TDM et

WDM pour pouvoir justifier le choix du WDM. Puis, nous allons parler de l’essence d’un réseau

tout-optique utilisant les fibres optiques comme support de transmission. Enfin, des détails sur les

équipements clés des réseaux WDM, à savoir les différents types de commutateur optique, les

convertisseurs optiques, les amplificateurs optiques seront aussi évoqués dans ce chapitre.

Le troisième chapitre sera consacré au routage optique et son optimisation. Nous allons

essayer d’exposer les hypothèses et les problématiques liées à ce mémoire. Des notions de théorie

des graphes ainsi qu’une modélisation théorique des réseaux WDM tout-optiques seront aussi

avancées. Par la suite, les problèmes de l’étude seront formulés et cela suivi de la présentation de

la similitude entre les problèmes de flot dans un graphe et le routage tout-optique. Pour résoudre le

problème d’optimisation, objet de notre sujet, des algorithmes de recherche d’un flot de coût

minimal et de recherche d’un flot maximum seront explicités.

Le dernier chapitre intitulé SIMULATION DE L’OPTIMISATION DES RESEAUX

WDM TOUT-OPTIQUES s’occupera de la présentation du logiciel WDM SIMULATOR conçu

par moi-même sous FORTRAN après avoir justifié le choix de ce langage et de la représentation

d’un graphe. L’application du dit logiciel au cas de Madagascar termine ce chapitre.

Une conclusion générale est présentée à la fin de ce mémoire. Elle résume le travail

effectué ainsi que les points qui restent à étudier et à définir dans un proche avenir.

3

CHAPITRE I : TRANSMISSION PAR FIBRES OPTIQUES

I.1. Propagation dans la fibre optique [1]

I.1.1. Propagation d’onde lumineuse

Lorsqu'un faisceau lumineux heurte obliquement la surface qui sépare deux milieux plus ou

moins transparents, il se divise en deux : une partie est réfléchie tandis que l'autre est réfractée,

c'est-à-dire transmise dans le second milieu en changeant de direction ( Figure I.1 ).

L'indice de réfraction est une grandeur caractéristique des propriétés optiques d'un matériau.

Il est obtenu en divisant la vitesse de la lumière dans le vide (Cv = 299 792 Km/s) par la vitesse de

cette même onde dans le matériau. Plus l'indice est grand, et plus la lumière est lente.

Figure I.1: Lois de Descartes

Pour guider la lumière, la fibre utilise le phénomène de réflexion totale qui se produit à

l’interface de deux milieux d’indice différent. La fibre optique comprend ainsi deux milieux : le

cœur, dans lequel l'énergie lumineuse se trouve confinée, grâce à un second milieu, la gaine, dont

l'indice de réfraction est plus faible ( Figure I.2 ).

Figure I.2: Propagation dans la fibre optique

4

Le signal lumineux est propagé à l’intérieure du cœur. La gaine optique sert essentiellement

à amener le diamètre à mμ125 , pour des raisons mécaniques. Le revêtement constitue une

protection de la fibre optique.

Figure I.3: Constitution d’une fibre optique

I.1.2. Enoncé de la Loi de Descartes

Un faisceau lumineux qui heurte la surface séparant deux milieux transparents et d’indices

de réfraction différents n1 et n2 se divise en deux rayons :

- un rayon réfléchi formant un angle i1 par rapport à la normale à l'interface des deux

milieux,

- un rayon réfracté avec un angle i2 par rapport à la même normale.

D’après la loi de Descartes, les trois rayons ( incident, réfléchi et réfracté ) sont dans le

même plan et ils sont liés par les relations :

( ) ( )inLn 1sin11sin1 = soit iL 11 = , L1 étant l’angle d’incidence. (I.1)

( ) ( )inLn 2sin21sin1 = (I.2)

( ) ( )inin 2sin21sin1 = (I.3)

I.1.3. Angle limite et condition de guidage

Si nn 12 ≺ , il est théoriquement possible d'avoir 22π

=i . Dans ce cas il n’y a pas

réfraction. On notera iiL l’ngle du rayon incident correspondant à 22π

=i .

La loi de Descartes devient alors:

( ) ( ) nniiLn 22sin2sin1 == π (I.4)

d’où ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

nniiL 1

2arcsin (I.5)

5

iiL est appelé angle limite.

La condition de guidage dans le cœur est donnée par la relation :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≥

nni12arcsin1 (I.6)

Sinon le rayon est réfracté dans la gaine de la fibre optique.

I.1.4. Ouverture numérique ( ON )

La figure ci-dessous ( Figure I.4 ) montre que pour qu'un rayon lumineux arrive à la sortie

de la fibre, il doit subir plusieurs réflexions tout au long de la fibre. Or à chaque réflexion une partie

de la lumière est réfractée et donc absorbée par la gaine. Le rayon finit alors par être complètement

atténué. Cependant il est possible de choisir l'angle d'incidence pour qu'il n’y ait pas de réfraction

soit iiLii . Le rayon injecté en entrée arrivera donc en sortie sans aucune atténuation. On définit

alors l'ouverture numérique d'une fibre optique en fonction de l'angle d'incidence limite iiL qui

permet d'assurer une transmission sans pertes théoriques.

Figure I.4: Ouverture numérique d'une fibre optique

Soit n1 l'indice de réfraction du cœur, n2 celui de la gaine et n0 celui de l'air ( 10 =n ). On

cherche l'angle incident θ0L , à l'entrée de la fibre, correspondant à l'angle limite iiL .

D'après la loi de Descartes on a : ( ) ( )θθ 1sin10sin0 nn = (I.7)

avec i121 −= πθ et 10 =n .

Soit ( ) ( ) ( ) ( )iiLnniiLnL iiL sin211cos12sin10sin −==−= πθ (I.8)

Or ( )nniiL 1

2arcsin= (I.9)

D’où ( ) ( )nnnL 2

2110sin −=θ . (I.10)

6

L’ouverture numérique ( ON ) d'une fibre est alors définie par:

( ) nnnON 22

21lim12sin1maxsin −=−== θπα (I.11)

Afin de faciliter l'injection de la lumière dans la fibre à l'entrée, on a intérêt à avoir l'angle

limite θ0L le plus grand possible. Ceci s'obtient pratiquement en choisissant des indices n1 et n2

très proches.

I.2. Différents types de fibre optique

Les rayons lumineux qui pénètrent dans le cœur, sous une incidence égale ou supérieure à

l'angle limite sont guidés par la fibre. Suivant les modes de propagation qu'elles utilisent, les fibres

optiques peuvent être classées en trois catégories:

- multimode à saut d'indice

- multimode à gradient d'indice

- monomode.

I.2.1. Propagation multimode [1], [2]

On définit le paramètre v appelé fréquence normalisée avec a le rayon du cœur par :

( )nna

v 22

210

2−=

λπ

(I.12)

Le nombre de modes m est donné par :

22vm = ( approximation vraie pour un grand nombre de modes ). (I.13)

Le rayon lumineux a donc plusieurs manières de se propager dans le cœur.

I.2.1.1. Fibre multimode à saut d'indice

Le cœur et la gaine présentent des indices de réfraction différents et constants. Le passage

d'un milieu vers l'autre est caractérisé par un saut d'indice. Le faisceau lumineux injecté à l'entrée

de la fibre va atteindre la sortie en empruntant des chemins optiques différents ce qui se traduit par

des temps de propagation différents et donc un étalement du signal transmis ( Figure I.5 ). Ce

phénomène est appelé dispersion modale.

7

Figure I.5: Fibre multimode à saut d’indice

I.2.1.2. Fibre multimode à gradient d'indice

Le cœur se caractérise par un indice variable qui augmente progressivement de n2 à

l'interface gaine-cœur jusqu'à n1au centre de la fibre ( Figure I.6 ). Là aussi les rayons lumineux

vont emprunter des chemins différents, mais un choix judicieux du profil d'indice du cœur permet

de tendre vers des temps de parcours voisins et donc de réduire l'étalement du signal.

Figure I.6: Fibre multimode à gradient d’indice

Le guidage est cette fois dû à l’effet du gradient d’indice. Les rayons guidés suivent une

trajectoire d’allure sinusoïdale. La gaine d’indice n2 n’intervient pas directement, mais élimine les

rayons trop inclinés. L’avantage essentiel de ce type de fibre est de minimiser la dispersion du

temps de propagation entre les rayons, sans utiliser pour cela l’ouverture numérique trop faible.

I.2.2. Fibre monomode [2]

Le nombre de modes se propageant dans une fibre optique est donné par la relation :

.2 ONdm λ= (I.14)

avec :

- d le diamètre du cœur de la fibre,

- λ la longueur d'onde de la lumière utilisée,

- ON l'ouverture numérique de la fibre.

8

En choisissant d suffisamment faible, il est possible d'avoir un seul mode de propagation

( 1=m donc fibre monomode). Le chemin de propagation est ainsi unique et parallèle à l'axe de la

fibre. Théoriquement le signal injecté en entrée va atteindre la sortie sans aucune déformation

(Figure I.7). C'est ce type de fibre qui présente les plus grandes performances mais son coût est

relativement élevé par rapport aux fibres multimodes.

Figure I.7: Fibre monomode

I.3. Avantages des fibres optiques

I.3.1. Enorme bande passante

L’un des points forts des communications optiques est la bande passante qu'elles peuvent

utiliser. En effet, la théorie de communications nous dit que le nombre d’informations transmises

par seconde ne peut excéder la fréquence de l’onde porteuse ( soit au plus un bit par période de

l’onde ). Cette propriété montre l’intérêt d’utiliser des signaux optiques, dont les fréquences vont de

1014 à 1015 Hz, plutôt que les ondes radio de fréquences plus faibles ( de l’ordre de 105 à 1011 Hz ).

Il est donc possible pour les communications optiques d'atteindre en théorie la centaine ou le millier

de Terabits par seconde ( 1Tb = 1012 bits ).

I.3.2. Vitesse d’information élevée [4]

L’élément principal qui a fait émerger la fibre optique dans les réseaux de

télécommunications est que le photon présente une vitesse de déplacement supérieure à celle de

l’électron. Ainsi, dans un fil de cuivre, la vitesse de transmission d’un électron peut atteindre

Mbps1 sur de petites distances ( quelques mètres ) uniquement. Au-delà, les pertes deviennent

trop importantes pour la transmission. Cet argument a d’ailleurs limité l’installation du DSL (

Digital Subscriber Line ) pour des lignes de quelques kilomètres, d’un particulier à son lieu de

travail par exemple. Les câbles coaxiaux permettent de passer la barre des Mbps100 , mais le

signal se détériore rapidement quand la distance de transmission augmente. Les photons peuvent,

en théorie, être utilisés pour atteindre des débits de Tbps50 par seconde ( GbpsTbps 10001 = ) .

9

Ce constat a donc fait émerger la lumière comme porteur d’informations pour des applications à

large bande passante sur des grandes distances.

I.3.3. Faibles taux d’atténuation

L'autre intérêt des communications optiques est dû aux fibres optiques. Celles-ci sont moins

volumineuses, plus légères et relativement moins chères que les câbles électriques utilisés dans les

réseaux de générations précédentes. De plus elles présentent des taux d'atténuation du signal bien

inférieurs à ceux des câbles en cuivre; ainsi le taux de pertes de bit sont microscopiques même pour

de grandes distances : pour des débits allant jusqu'à Gbps1 , le signal présente un taux d'erreur

considéré comme nul ( < 10-9 erreurs par bit ) jusqu'à km200 . En plaçant des répéteurs le long d'un

lien, il est possible d'obtenir des liaisons optiques de plusieurs milliers de kilomètres ( comme la

fibre Europe-Australie ). Ces atouts ont permis l'explosion des liaisons intercontinentales.

I.4. Problèmes de la transmission par fibres optiques

I.4.1. Dispersion

I.4.1.1. Dispersion chromatique [5]

La dispersion représente la dépendance de la constante de propagation par rapport à la

fréquence. Elle permet de calculer la durée des impulsions au cours de leur propagation. Pour des

signaux lumineux, on parle de « dispersion chromatique », ce phénomène étant responsable de la

décomposition de la lumière blanche par un prisme de verre.

En effet, la vitesse de propagation de la lumière dans la matière transparente, définie par

l’indice de réfraction optique, est fonction de la longueur d’onde. Or une impulsion lumineuse

dans une fibre optique n’est pas parfaitement monochromatique, puisqu’un laser ne transmet pas

une fréquence unique, et puisqu’un signal transportant a une largeur spectrale non nulle. Par

conséquent, les différentes longueurs d’onde constituant le signal lumineux vont se propager à des

vitesses différentes, ce qui entraîne un élargissement temporel des impulsions qui peuvent alors se

chevaucher, provoquant des erreurs à la détection.

En outre, plus une impulsion est brève, plus sa gamme de fréquences est étendue. Aussi la

dispersion chromatique est un facteur d’autant plus limitatif que les débits sont élevés, car les

impulsions sont alors très brèves et proches les unes des autres dans le temps.

10

I.4.1.2. Dispersion intermodale [3], [5]

Une des causes de l’élargissement d’une impulsion est la dispersion intermodale. L’énergie

lumineuse injectée à l’entrée de la fibre est répartie entre différents modes :

- mode le plus lent : θθ lim= alors θ limsin1min ncv = (I.15)

- mode le plus rapide : 2πθ = alors

ncv1max = (I.16)

Les différents modes se propagent dans le cœur avec la vitesse vm :

θmncvm sin1

= (I.17)

vm étant la composante suivant l’axe de propagation de la vitesse.

Pour une fibre à saut d’indice, après un trajet d’une distance L, le décalage est :

( )n

nnncL

2211 −

=Δτ (I.18)

I.4.2. Les atténuations

I.4.2.1. Atténuation par connexion [1], [6]

Une liaison par fibres optiques nécessite toujours un couplage source-fibre ou fibre-

détecteur ; celui-ci est réalisé par des connecteurs d'extrémité. Une liaison peut également

nécessiter le raccordement de fibres entre elles. Cette connexion peut être démontable

(connecteurs fibre à fibre) ou permanente (épissurage, jointage). Toute interconnexion doit causer

le minimum de pertes.

I.4.2.1.1. Atténuation intrinsèque

Elle est due à l'assemblage de deux fibres optiques de caractéristiques opto-géométriques

différentes à savoir :

- Diamètres de cœur différents

Si l'on suppose que l'énergie est répartie de manière homogène dans les fibres,

l'affaiblissement dans le sens de transmission gros cœur vers petit cœur est :

[ ]DDdBA

12log20= (I.19)

Figure I.8: Diamètres de cœur différents

11

- Ouvertures numériques différentes

D’après les expérimentations, on peut approximer l’atténuation par :

[ ] ( )ONONdBA

21log1.0= (I.20)

- Profils d'indice différents

Si l'on connecte une fibre à saut d'indice avec une fibre à gradient d'indice, la perte est

voisine de dB3 .

I.4.2.1.2. Atténuation extrinsèque

- Excentrement des fibres

La répartition de puissance dans la fibre est uniforme. Les valeurs d'atténuation sont liées

aux conditions d'injection dépendant ici de l'excentrement y.

Figure I.9 : Excentrement des fibres

- Ecartement de faces

En supposant une répartition uniforme de l'énergie, pour une fibre à saut d'indice

l’atténuation est :

[ ] ( )( )RaXtgRdBA /log20 θ+= (I.21)

R

Figure I.10: Ecartement de faces

- Ecart angulaire

[ ] ( ) ( )( )( )θθθ aadBA cos1/cos1log20 −−−= avec ONa =θsin (I.22)

L'ordre de grandeur à retenir est qu'un écart angulaire de 1 degré peut produire une

atténuation de 0,5 dB.

12

Figure I.11 : Ecart angulaire

- Autres défauts de la connexion

La non-perpendicularité des faces ( écart de 2 à 3 degrés ) provoque une atténuation de

dB3,0 ; la rugosité des faces ( mr μ5≅ ) donne également dB3,0 de perte. Conclusion : il faut que

les deux faces optiques en contact de la connexion soient parfaitement sciées et polies.

Figure I.12 : Autres défauts de connexion

I.4.2.2. Pertes par effet de courbure [2]

Lorsqu’on courbe la fibre, une partie de l’énergie lumineuse du mode peut échapper au

guidage, et se perdre dans la gaine. Ce phénomène s’appelle «pertes par courbure». Il est le plus

sensible aux grandes longueurs d’onde.

I.4.2.3. Pertes par microcourbures

Les pertes par microcourbure apparaissent lors de la fabrication des câbles lorsque des

contraintes mécaniques provoquent des microdéformations de la fibre, entraînant des pertes de

lumière. Elles sont à peu près indépendantes de la longueur d’onde. Ces pertes dépendent aussi bien

de la fibre elle-même que du revêtement. Elles augmentent très vite lorsque le diamètre de la fibre

diminue.

13

I.5. Liaison par fibres optiques [5], [7],[8],[9]

I.5.1. Emetteurs optiques

Dans un système de transmission optique, un émetteur a deux fonctions primordiales : la

génération d’un signal optique et la modulation de ce signal par l’information à émettre. Une

qualité supplémentaire très utile d’un émetteur optique est sa capacité d’être accordable en

fréquence.

I.5.1.1. Les lasers

Les lasers à semi-conducteurs, ou diodes lasers, constituent actuellement l’élément clé des

systèmes de transmission optique. En effet, ils s’avèrent être les composants les mieux adaptés de

part leur compacité ( inférieur au mm2 ) et la possibilité de les fabriquer en grande quantité à

travers les filières technologiques classiques des semi-conducteurs.Comparées aux LED, les

diodes lasers sont capables de produire de fortes puissances en sortie.

I.5.1.2. Principe du laser – émission stimulée

Le mot laser est l’acronyme de Ligth Amplification by Stimulated Emission of Radiation,

signifiant littéralement « amplification de lumière par émission stimulée de rayonnement ». Le but

est de produire de lumière très intense cohérente monochromatique.

Pour comprendre le principe du laser et de l’émission stimulée, nous devons rappeler

quelques notions sur les niveaux d’énergie des particules élémentaires. Un atome est dit stable

lorsque ses électrons sont dans les niveaux d’énergie les plus faibles. Pour chaque type d’atome,

les électrons ont un nombre fini de niveaux d’énergie possibles, appelés états. Lorsqu’un atome

absorbe de l’énergie, ces électrons sont portés dans des états d’énergie plus élevés. L’atome

devient alors instable et généralement il retourne dans un état inférieur rapidement en libérant un

photon. Cependant, certaines molécules sont dites métastables car elles peuvent demeurer dans un

état excité plus longtemps. Cette propriété permet l’émission stimulée comme nous allons voir

immédiatement. La figure ( Figure I.13 ) montre la représentation schématique de la structure

d’un laser. Il est constitué des deux miroirs qui forme une cavité contenant une substance quasi-

stable. L’excitation des électrons de cette substance par apport d’énergie ( par exemple par un

courant électrique ) provoque dans un premier temps l’émission de photons, qui vont ensuite se

réfléchir sur les miroirs aux extrémités de cavité.

14

Figure I.13: Structure générale d’un laser

L’émission stimulée se produit lorsqu’un photon rencontre un électron excité. Cette

probabilité est d’autant plus forte dans un milieu quasi-stable, puisque les électrons excités

peuvent y devenir majoritaires si suffisamment d’énergie est apportée. L’électron peut alors

retourner dans un état inférieur et libérer son énergie sous la forme d’un autre photon qui possède

la même direction et la même cohérence que le photon stimulant. Si la longueur de la cavité est

multiple entier de la demi-longueur d’onde des photons, ceux-ci vont pouvoir se combiner de

façon cohérente et se dupliquer, de manière à produire un faisceau de plus en plus intense à une

fréquence précise. Ce faisceau laser est récupéré en utilisant un miroir semi-réfléchissant à l’une

des extrémités de la cavité, et sa fréquence peut être ajustée en modifiant la taille de la cavité. On

peut également accorder un laser plus rapidement en modifiant l’indice optique du milieu excité.

I.5.2. Les modulateurs

Les modulateurs ont pour but de transformer la série de données en un flot de lumière

codé. La technique utilisée pour cela est analogue à la modulation de fréquence (FM) ou

d’amplitude (AM) utilisée pour les transmissions radios. Dans les deux cas, la porteuse est

modulée avec le signal ou les données à transmettre.

La méthode la plus simple de modulation, appelée modulation directe, utilise un laser

émettant si le bit à coder est un « 1 » ou n’émettant pas si le bit à coder est un « 0 ». La vitesse de

transmission que l’on peut atteindre dépend alors de la vitesse à laquelle le laser peut être allumé

ou éteint. En réalité, le laser opère, pour simuler un allumage ou une extinction, entre deux

niveaux d’intensité : un fort, simulant le « 1 » et un suffisamment faible pour être interprété

comme un « 0 ». Dans le cas d’application à très haut débit, la lumière est modulée après être

sortie de la source. Le laser est toujours en mode d’émission et un modulateur externe fait varier

l’intensité du faisceau lumineux.

15

I.5.3. Récepteurs optiques

La fonction d’un récepteur dans un système de transmission optique est de détecter et de

démoduler un signal lumineux transmis sur une fibre.

La détection consiste en la conversion du signal optique en signal électrique. La

démodulation est généralement accomplie ensuite par les techniques habituelles des systèmes de

transmission électriques.

I.5.4. Les Câbles à fibres optiques

Les câbles doivent donc apporter une protection suffisante aux fibres, afin de les soustraire

le plus possible aux contraintes mécaniques lors de leur installation et de leur utilisation. La

structure du câble dépend :

- du nombre de fibres,

- des contraintes mécaniques (traduction, écrasement, rayon de courbure minimum,...),

- de la gamme de température de fonctionnement,

- des performances demandées, en fonction des contraintes ci-dessus (affaiblissement

tout particulièrement ).

16

CHAPITRE II : LA TECHNOLOGIE WDM ET LES RESEAUX TOUT-OPTIQUES

II.1. Principe du WDM ( Wavelength Division Multiplexing )

Pour faire face à l'augmentation des débits dans les réseaux de transmission, on utilise la

technologie WDM ( Wavelength Division Multiplexing ) ou multiplexage en longueur d’onde. Le

principe consiste à partager le spectre optique en plusieurs longueurs d'onde dont chacune étant

associée à un canal d'information différent.

Cette technologie est née de l'idée d'injecter simultanément dans la même fibre optique

plusieurs trains de signaux, mais chacun à une longueur d'onde distincte.

Figure II.1 : Principe du WDM

Le multiplexage en longueur d’onde, connu sous l’appellation anglaise WDM, sert à

envoyer plusieurs signaux de longueurs d’onde différentes simultanément dans la même fibre

optique. Multiplexage et démultiplexage en longueur d’onde sont effectués par des composants

optiques passifs, de façon similaire à la décomposition et recomposition des couleurs de l’arc-en-

ciel par un prisme. La technique WDM ouvre également des perspectives de routage optique dans

les réseaux. Les communications peuvent être ainsi aiguillées dans telle ou telle direction suivant

leur longueur d’onde.

II.2. Multiplexage optique

Cette partie répond à la question : comment exploiter les dizaines de TéraHertz de bande

passante spectrale disponibles dans la fibre optique. En effet la bande passante disponible dans les

réseaux modernes, dont les supports sont des fibres optiques, est titanesque mais les

consommateurs de cette ressource restent des équipements électroniques (serveurs web, visio-

conférence, téléphonie, télévision, ...) qui sont loin de l'exploiter complètement.

La technique générale utilisée est le multiplexage dans le domaine optique, ce qui signifie

que la capacité de fibre est divisée par des moyens optiques en plusieurs canaux accessibles

individuellement et indépendamment.

17

La division de la bande passante en canaux peut être réalisée, comme en électronique, dans

la dimension temporelle ou dans la dimension des fréquences ( ou longueurs d’ onde ). Dans le

premier cas, on parle de multiplexage temporel (Time Division Multiplexing, TDM ) et dans le

second cas de multiplexage en longueur d’onde ( Wavelength Division Multiplexing, WDM ).

II.2.1. Multiplexage temporel TDM ( Time Division Multiplexing )

D’une manière générale, le multiplexage temporel consiste à partager le temps d’utilisation

du support entre les différentes liaisons. En d’autre terme, le multiplexage TDM sert à imbriquer

temporellement différents canaux de communication en trames successives. Si l’on représente un

flot d’information par des dents d’un peigne, le multiplexage temporel revient à superposer les

peignes des différents canaux en les décalant les uns par rapport aux autres. Cela nécessite une

synchronisation précise. A la réception, chaque canal temporel est démultiplexé puis acheminé

vers sa destination.

On peut réaliser électroniquement les fonctions de multiplexage/démultiplexage temporels

avec des circuits intégrés ultra-rapides. Toutefois, le coût prohibitif de ces circuits pour les très

hauts débits suggère d’effectuer le multiplexage temporel par des moyens purement optiques, une

voie actuellement explorée.

Figure II.2 : Multiplexage temporel (TDM )

II.2.2. Multiplexage en longueur d’onde ( WDM ) [10], [11]

La technique de multiplexage la plus connue est le multiplexage temporel ( TDM ), mais

elle suppose l'existence d'un équipement optoélectronique capable d'émettre au débit maximal

permis pour l'optique, or la technologie ne le permet pas ou bien à des tarifs prohibitifs.

Le multiplexage en longueur d’onde est une technique de multiplexage qui peut se

superposer au multiplexage temporel. Le principe est le même que celui de multiplexage en

fréquences ( Frequuncy Division Multiplexing, FDM ) dans les transmissions électriques :

18

plusieurs signaux sont générés simultanément sur des fréquences optiques (longueurs d’onde)

différentes et peuvent être modulés individuellement.

Le multiplexage WDM est une approche qui permet de gérer l’importance discordance

optoélectronique en termes de bande passante. Le spectre optique d’une fibre est découpé en un

certain nombre d’intervalles de longueurs d’onde distinctes, dans les régions de faible atténuation,

de telle sorte que chaque intervalle supporte un canal de communication transmettant au débit

désiré, par exemple celui de l’électronique. Ainsi en autorisant la coexistence de plusieurs canaux

WDM sur une même fibre, l’énorme bande passante optique peut être exploitée, en permettant aux

équipements d’accéder au réseau au débit de l’électronique seulement.

Figure II.3: Multiplexage en longueur d’onde (WDM)

Chaque train de signaux numériques, après multiplexage, est véhiculé sur sa propre

longueur d’onde comme sur une seule fibre. Ces trains peuvent donc être de débits et de formats

différents. Ainsi, on peut trouver sur une même fibre de la voix dans des trames SDH, de la vidéo

dans des cellules ATM, des données dans des trames IP, … . Le multiplexage en longueur d’onde

ou WDM est donc une technologie de transport indépendante des protocoles utilisés : tout signal

qui peut être transmis sur une fibre optique peut être multiplexé avec un autre signal.

Figure II.4: Indépendance des débits et formats de chaque canaux en WDM

19

II.2.3. Comparaison des multiplexages TDM et WDM

Au premier abord, on pourrait penser que les deux approches de multiplexage optique

TDM et WDM sont semblables. Elles le sont au niveau formel parce qu’elles permettent la

superposition sur le même support physique de transmission de plusieurs canaux de

communication, identifiables selon leur décalage temporel pour TDM et selon leur longueur

d’onde pour WDM. Cependant au niveau technologique l’approche TDM présente des

inconvénients significatifs par rapport à l’approche WDM.

En premier lieu les canaux TDM ne sont pas transparents pour le débit de modulation ni

pour le type de modulation. Ils sont uniquement modulables numériquement et leur débit est

imposé par le multiplexeur temporel. A l’inverse, chaque canal WDM peut être modulé

individuellement, numériquement ou analogiquement, en amplitude ou en phase. Le débit de

chaque canal WDM peut en outre être choisi arbitrairement du moment que les signaux ne se

recouvrent pas spectralement. Il en résulte donc une plus grande flexibilité.

Une autre caractéristique désavantageuse du multiplexage optique TDM provient du très

haut débit du signal multiplexé qui résulte des agrégations des canaux entrelacés temporellement.

Cette conséquence inhérente au multiplexage temporel constitue un inconvénient majeur pour les

systèmes de transmission optiques lorsque le signal multiplexé se met à couvrir des dizaines de

gigahertz. Le traitement électronique constitue alors un frein aux opérations de multiplexage et

démultiplexage temporels. Alors que l’approche WDM effectue celles-ci optiquement et

passivement. De plus le phénomène de dispersion limite d’autant plus la propagation du signal

TDM multiplexé que son débit est important. Les débits moindres de chaque canal WDM

permettent d’éviter ce problème.

Enfin, l’approche TDM souffre d’un manque d’extensibilité. L’addition d’un nouveau

canal TDM nécessite une modification des décalages temporels et une resynchronisation des

canaux déjà existants. Inversement, l’indépendance des canaux WDM autorise la création d’un

nouveau canal simplement par l’ajout d’un émetteur laser et d’une fibre optique appropriés, sans

affecter les autres canaux.

En conclusion l’approche WDM s’avère la technique de multiplexage préférentielle pour

les systèmes de transmission optiques, en raison de la transparence, de la flexibilité et de

l’extensibilité des canaux WDM.

20

II.2.4. Limitation du nombre de canaux WDM [10], [11], [12]

Les canaux WDM sont accessibles par des émetteurs laser réglés sur des longueurs d’ onde

spécifiques. Le multiplexage et démultiplexage en longueur d’onde sont effectués par des

composants optiques passifs de façon similaire à la décomposition et recomposition des couleurs

de l’arc-en-ciel en prisme.

La bande passante de la fibre optique est limitée par des régions de faible atténuation

autour des longueurs d’onde 1,3 μm et 1,5 μm. Ces régions ont une bande passante d’environ 25

THz chacune. Cependant, les réseaux optiques ne vont pas pouvoir bénéficier de toute cette

largeur de bande en raison de la limitation des composants optiques (les amplificateurs optiques

opèrent sur la bande de fréquences de 35 nm à 40 nm, les émetteurs laser réglables sur 10 nm, et

les filtres réglables ne couvrent pas toujours toute la gamme de fréquences disponibles) et de

l’espacement des canaux WDM. Le nombre de canaux utilisables dépend fortement de leur

espacement. L’espacement des canaux doit valoir au moins 6 fois de leur bande passante pour

éviter des interférences.

Un facteur important dans la conception des réseaux optiques WDM est le nombre de

longueurs d’onde utilisables. Un nombre élevé de canaux fournit au réseau davantage de capacité,

ainsi qu’un coût plus élevé des composants et une plus grande complexité des mécanismes de

gestion.

Figure II.5 : Canaux WDM

Source : [13]

21

Remarques : [14]

La norme internationale ITU-T G 692 portant sur les interfaces optiques pour systèmes

multicanaux avec amplificateurs optiques définit un peigne de longueurs d'onde autorisées dans la

fenêtre de transmission donnée entre 1530 et 1565 nm. Elle normalise ainsi l'espacement en

nanomètre ou en Gigahertz entre deux longueurs d'onde permises de la fenêtre : 200 GHz ou 1,6

nm et 100 GHz ou 0,8 nm.

La technologie WDM est dite dense (DWDM) lorsque l'espacement utilisé est égal ou

inférieur à 100 GHz. Des systèmes à 50 GHz (0,4 nm) et à 25 GHz (0,2 nm) ont déjà été testés et

permettront d'obtenir des centaines de longueurs d'onde. Pour ces nouveaux systèmes, on parle

alors de UDWDM (Ultra - Dense Wavelength Division Multiplexing).

II.3. Réseaux tout-optiques [10], [14], [15]

II.3.1. Réseaux à fibres optiques

Les réseaux optiques d'infrastructure se présentent sous la forme de nœuds inter-connectés

par des liaisons optiques. Les nœuds rassemblent un routeur et des émetteurs-récepteurs. Le

routeur fait transiter l'information qui lui arrive d'une fibre ou d'un émetteur vers le récepteur ou la

fibre appropriée suivant qu'elle était destinée au nœud lui-même ou simplement « en transit ». Les

émetteurs/récepteurs sont soit des terminaux (serveurs,...), soit des réseaux de taille inférieure (par

exemple les réseaux d'une ville). Les liens optiques sont des câbles comprenant en général

plusieurs fibres. En effet, le coût majoritaire de l'installation d'un lien est dû aux travaux

d'enfouissement qui sont incompressibles et les opérateurs préfèrent les rentabiliser en installant

plusieurs fibres à la fois.

II.3.2. Liaison tout-optique

La plupart des réseaux actuels procèdent électroniquement au traitement de données et

utilisent la fibre optique seulement comme un support de transmission. Les opérations de

commutation et de routage sont réalisées en convertissant les signaux optiques sous leur forme

originelle ( forme électrique ). Il en résulte une grande flexibilité, cependant le débit de

l’électronique n’est pas compatible avec l’énorme bande passante de la fibre optique. De plus, la

conversion optoélectronique introduit un délai supplémentaire dans le routage des flots

d’information. Pour s’affranchir de ces limitations des composants de commutation optique,

22

capable de traiter des signaux optiques à très haut débit sans conversion optoélectronique, ont

été développés. Pour cette raison, les réseaux utilisant cette technologie de commutation sont

appelés réseaux tout-optiques.

II.3.3. Communication en mode connecté

Les réseaux WDM sont pour la plupart en mode connecté. En effet lorsqu'un émetteur

veut se mettre en communication avec un récepteur, un chemin à travers le réseau doit être

assigné à la communication. Le chemin décrit une suite de fibres allant de l'émetteur au récepteur.

La communication est alors parfaitement déterminée si la longueur d'onde utilisée sur chaque

fibre pour la communication est connue. Cet ensemble de données (chemin et longueur d’onde)

constitue le routage de la communication. Ainsi les réseaux WDM tout-optiques fonctionnent en

mode connecté : à chaque paire émetteur/récepteur voulant communiquer, il faut affecter un

chemin et une longueur d'onde sans conversion optoélectronique intermédiaire du signal

lumineux.

L’affectation de longueurs d'onde doit satisfaire une contrainte forte : deux chemins

utilisant la même fibre ne doivent pas utiliser la même longueur d'onde. Dans le cas contraire, les

signaux se brouilleraient mutuellement et les informations qu'ils transportent seraient perdues.

Ainsi des communications différentes peuvent partager un lien (fibre optique) si elles utilisent des

longueurs d’onde différentes.

II.4. Commutateurs optiques

II.4.1. Répartiteur [10], [11], [16]

Un répartiteur ( Fiber Optical Cross-Connect, F-OXC ) permet d’effectuer une fonction de

commutation entre les fibres d’entée et de sortie du routeur ( Figure II.6 ). C’est le commutateur

optique le plus élémentaire et le moins coûteux en fabrication. Ce type d’équipements ne permet

pas d’effectuer les opérations de démultiplexage sur les signaux entrants ni de multiplexage sur les

signaux sortants. C’est pourquoi le répartiteur est dit insensible aux longueurs d’onde. Les

fonctions d’extraction et d’insertion avec le terminal relié au routeur sont possibles, mais c’est

alors l’ensemble des canaux WDM multiplexés qui est extrait d’une fibre d’entrée ou inséré dans

une fibre de sortie.

23

Figure II.6: schéma de principe d’un répartiteur F-OXC

II.4.2. Multiplexeur à insertion/extraction ( MIE ) [10], [11], [16]

Un multiplexeur à insertion/extraction ( Optical Add/Drop Multiplexer, OADM ) permet

d’extraire certains canaux WDM en transit sur une fibre optique et d’en insérer d’autres. Il est

également constitué d’un démultiplexeur optique passif de commutateurs 2x2 dédiés aux

différentes longueurs d’onde et d’un multiplexeur passif comme il est montré sur la figue ci-

dessous ( Figure II.7 ). Les états des commutateurs intermédiaires contrôlés électroniquement

déterminent quels canaux WDM poursuivent leur chemin, lesquels sont extraits en vue de leur

réception locale et lesquels peuvent être insérés après émission locale. Le composant peut être

greffé directement sur une fibre optique, ou faire partie d’un nœud de routage plus complexe.

Figure II.7: Multiplexeur à insertion/extraction (MIE)

En particulier, associés avec un répartiteur, plusieurs MIE peuvent former un routeur à

MIE, comme il est représenté par la figure ci-dessous ( Figure II.8 ).

24

Figure II.8: Répartiteur avec MIE

II.4.3. Brasseur [10], [11], [16]

Un brasseur ( Wavelength Routing Optical Cross-Connect, WR-OXC ) est un composant de

commutation sélectif en longueur d’onde. Cela signifie que chaque canal WDM peut être dirigé

vers une fibre de sortie indépendamment des autres canaux multiplexés sur la même fibre

d’entrée. La composition d’un brasseur est représentée sur la figure ( Figure II.9 ). Une série de

démultiplexeurs situés aux extrémités des fibres d’entrée permet dans un premier temps de

démultiplexer les signaux entrants et de diriger spatialement chaque groupe des canaux WDM à la

même longueur d’onde vers un commutateur photonique particulier. Ces commutateurs sont

contrôlés électroniquement et appliquent sur les groupes de canaux des fonctions de commutation

indépendantes les unes des autres. Les canaux WDM sont enfin remultiplexés sur chaque fibre de

sortie.

Figure II.9: Brasseur réconfigurable WR-OXC

25

Associé à des multiplexeurs à insertion/extraction, un brasseur possède une capacité de

routage plus étendue, puisque ainsi les canaux WDM peuvent être commutés, extraits ou insérés,

comme il est représenté sur la figure ci-dessous.

Figure II.10: Brasseur avec MIE

II.5. Convertisseurs optiques [10], [16]

Les différents composants optiques de commutation que nous venons d’écrire imposent

que les canaux WDM doivent respecter la contrainte de continuité en longueur d’onde. En

d’autres termes, les canaux commutés conservent en sortie la longueur d’onde qu’ils possèdent en

entrée. On peut s’affranchir de cette contrainte et augmenter ainsi la capacité de routage optique

par l’utilisation des convertisseurs de longueur d’onde.

On peut distinguer deux grands types de technologies : la conversion optoélectronique,

pour laquelle le signal optique doit être préalablement converti en signal électrique, et la

conversion tout-optique, pour laquelle le signal demeure dans le domaine optique. Les

techniques de conversion tout-optique peuvent à leur tour être divisées en celles basées sur les

effets cohérents et celles qui utilisent la modulation croisée.

II.5.1. Conversion optoélectronique [14], [16]

Dans la conversion de longueur d’onde optoélectronique, le signal optique à convertir doit

d’abord être traduit dans le domaine électrique à l’aide d’une photodiode. Le flot électronique

26

résultant est ensuite réinjecté, après stockage éventuel dans une mémoire tampon, sur la

commande de modulation d’un émetteur laser réglé sur la longueur d’onde désirée.

Cette méthode a été expérimentée pour des débits allant jusqu’à 10Gbps. Cependant, elle

est plus complexe et consomme davantage de puissance que les autres méthodes décrites ci-

dessous. De plus, le procédé de conversion optoélectronique affecte la transparence du signal en

lui imposant un format de modulation et un débit spécifique. Toute information modulée en phase,

en fréquence ou analogiquement, est perdue durant ce processus de conversion.

Figure II.11: Convertisseur de longueur d’onde optoélectronique

II.5.2. Conversion tout-optique [10], [16]

Sans entrer dans les détails technologiques, nous donnons ici brièvement les propriétés des

deux principales techniques de conversion tout-optique :

- les méthodes de conversion basées sur les effets cohérents tolèrent tous les

formats de modulation, offrant ainsi une transparence totale du signal. C’est l’approche qui permet

la conversion simultanée d’un ensemble de longueurs d’onde vers un autre et qui peut tolérer des

débits dépassant les 100Gbps.

- les techniques de conversion basées sur la modulation croisée utilisent des

composants optiques actifs à semi-conducteurs tels que des amplificateurs ou des émetteurs laser.

Les débits autorisés sont de l’ordre de 10Gbps. L’avantage de cette approche réside dans sa

facilité d’utilisation.

II.5.3. Brasseur convertisseur [10], [11], [16]

Un brasseur convertisseur (Wavelength Translating Optical Cross-Connect, WT-OXC) est

un composant de commutation sélectif en longueur d’onde et qui permet de plus leur conversion.

Le brassage des canaux WDM ne s’effectue donc pas nécessairement à la longueur d’onde

constante, comme dans un brasseur simple. Ces nœuds de commutation présentent ainsi davantage

de flexibilité, mais une structure beaucoup plus complexe.

27

Les architectures des brasseurs convertisseurs étant aussi variées que sophistiquées, nous

ne donnons ainsi de représentation détaillée. Il faut de plus mentionner que le domaine

technologique de la conversion de longueur d’onde est en pleine évolution, et les techniques

actuelles peuvent changer rapidement.

Cependant, nous représentons sur la figure ci-dessous ( Figure II.12 ) la capacité de

routage optique d’un brasseur convertisseur total, c’est-à-dire capable d’effectuer n’importe quelle

conversion d’un canal WDM, associé à des multiplexeurs à insertion/extraction.

Figure II.12: brasseur convertisseur total avec MIE

Remarque :

Dans un réseau WDM tout-optique on utilise des commutateurs optiques pour permettre

d’améliorer les temps de commutation, les performances de la transmission (pertes d’insertion,

crosstalk, etc…) mais aussi la taille du système. Les composants nécessitant de nombreuses

transitions optique-électronique deviennent des freins importants à l’amélioration des

performances globales des circuits. Il est donc primordial d’utiliser des commutateurs optiques

afin d’augmenter la performance du réseau.

II.6. Amplificateurs optiques [14], [17],[18]

Un des composants clés d’un réseau WDM est l'amplificateur optique qui permet de

compenser les pertes d'insertion dues au multiplexage/démultiplexage des longueurs d'onde. De

plus, dans un système de transmission optique, le signal provenant d’un transmetteur est

naturellement atténué car il se propage à travers une fibre optique. Il faut alors faire attention car,

dans certains cas, le cumul des pertes est tellement important que le signal d’origine comportant

l’information ne peut plus être détecté.

28

La méthode traditionnelle pour amplifier le signal est de passer par un intermédiaire

électrique qui amplifie puis reconvertit le signal en lumière. Récemment, des OFA (Optical Fiber

Amplifier) ont été développés pour supprimer cette étape de conversion. Dans le cas des systèmes

à WDM/DWDM, l’OFA le plus utilisé est l’EDFA (Erbium-Doped Fiber Amplifier).

L’amplification optique repose sur le principe de l’émission stimulée comme pour les

émetteurs laser. Les deux grands types de composants sont les amplificateurs à semi-conducteurs

et les amplificateurs à fibres dopées

II.6.1. Amplificateurs à semi-conducteur

Les amplificateurs à semi-conducteur sont constitués d’un laser à semi-conducteur modifié

en supprimant la cavité résonante. Le signal lumineux d’entrée traverse la région active du semi-

conducteur qui, par l’émission stimulée, l’amplifie.

II.6.2. Amplificateurs à fibres dopées

Les amplificateurs à fibres dopées sont composés d’une pompe laser, d’un coupleur, d’une

portion de fibre dopée avec des ions de terre rare et d’un filtre comme il est représenté par la

figure ( Figure II.13 ). La pompe laser émet un signal puissant qui excite les ions dopants afin que

le signal transmettant les données puisse agir sur les ions excités par le principe de l’émission

stimulée. Le bruit engendré par l’émission spontanée peut être limité par le placement d’un filtre

optique en sortie.

Figure II.13: Amplificateur à fibre dopée à l’erbium (AFDE)

L’élément de la terre rare la plus utilisé est l’erbium qui permet d’amplifier les longueurs

d’onde entre 1525 nm et 1560 nm. Les amplificateurs à fibre dopée à l’erbium (AFDE) ont des

gains de l’ordre de 25 dB et même 50 dB expérimentalement. Les gains efficaces varient entre 5 et

10 dB/mW. La puissance requise de ces pompes laser reste donc très faible quoique supérieure à

celle des autres lasers d’émission (250 mW contre 1 à 2mW).

29

II.6.3. Caractéristiques des amplificateurs optiques [17]

Les deux principaux paramètres qui déterminent la qualité d’un amplificateur optique

sont : le gain, exprimé en décibels ( dB ), qui mesure le rapport entre la puissance du signal entrant

et celle du signal sortant et la largeur de bande des fréquences amplifiables. Notons que les

amplificateurs peuvent être également caractérisés par leur gain efficace, exprimé en décibels par

milliwatt [ ]mWdB / , qui mesure le rapport entre le gain et la puissance utilisée pour

l’amplification.

II.6.4. Avantages des amplificateurs optiques

Dans les télécommunications optiques, l’intérêt d’utiliser des tels amplificateurs optiques

plutôt qu’électroniques est énorme. Tout d’abords, ils se raccordent par simple soudure aux fibres

de transmission. Mais surtout, ils évitent les conversions optoélectroniques effectuées par les

répéteurs et donc la limitation de débit associée à ces derniers. La gamme de fréquences

qu’accepte l’amplificateur optique s’étend sur plusieurs TéraHertz, ce qui englobe très largement

le signal à amplifier. Ainsi plusieurs canaux optiques de longueurs d’onde différentes peuvent

donc être amplifiés simultanément.

En sus de pompage efficace par diode laser, la fibre dopée à l’erbium possède deux

qualités supplémentaires. D’abord, le gain c’est-à-dire le rapport d’amplification est très peu

sensible à la polarisation du signal incident ( la polarisation caractérise la direction dans laquelle le

champ électrique associé à l’onde lumineuse ). C’est un atout essentiel car l’état de polarisation

des signaux se modifie de façon aléatoire au fur et à mesure qu’ils se propagent dans la fibre.

Ensuite, l’amplificateur ne déforme pas les signaux il les amplifie à l’identique y compris

le bruit engendré par l’émission spontanée qui peut être limité par le placement d’un filtre optique

en sortie. Cette propriété subsiste dans des conditions de fonctionnement extrêmes. Par exemple,

avec une puissance d’entrée trop élevée, le gain diminue mais le signal ne subit pas de distorsion

contrairement au cas des amplificateurs électroniques.

Au trois gros atouts de l’amplificateur à fibre dopée à l’erbium ( pompage efficace,

insensibilité à la polarisation, absence de distorsion ) s’ajoute avec la compatibilité avec les fibres

standards, la faiblesse avec la perte d’énergie dans les connexions, le bruit minimal, l’insensibilité

30

à la température. Selon les applications, la plage de gain exploitable autour de la longueur d’onde

1,5 μm s’ étale sur 100 à 3 000 GHz.

II.7. Capacité de transmission des systèmes WDM

L’augmentation de capacité peut être obtenue selon deux directions que nous allons étudier

successivement.

II.7.1. Accroissement du débit par longueur d'onde

Les principales difficultés à surmonter pour augmenter le débit transmis par longueur

d'onde sont de trois ordres :

- en premier lieu, il est nécessaire de disposer, à des conditions économiquement

viables, de l'ensemble des dispositifs électroniques et optoélectroniques élémentaires permettant

d'effectuer les opérations de modulation et démodulation de la porteuse optique, régénération du

train de données incluse.

- En second lieu, transmettre un débit plus élevé impose de disposer, à performance

égale, d'un rapport signal à bruit accru ( augmenté de 6 dB pour un débit multiplié par quatre ).

Deux options peuvent être choisies par le concepteur : soit gagner sur ce rapport en augmentant la

puissance du signal utile à condition de maîtriser les effets de propagation induits ou en réduisant

le bruit par réduction de l'espacement entre amplificateurs; soit accepter un rapport signal à bruit

inférieur tout en recouvrant un taux d'erreur par élément binaire (TEB) acceptable par l'usage de

codes correcteurs d'erreurs.

- Enfin, en troisième lieu, la sensibilité aux défauts de propagation augmente avec le

débit, que ce soit pour les effets linéaires dus à la dispersion chromatique ou la dispersion de

polarisation de la fibre, ou les effets non linéaires essentiellement induits par l'effet Kerr

(dépendance de l'indice de réfraction de la fibre par rapport à l'intensité lumineuse qui la traverse).

II.7.2. Accroissement du nombre de longueurs d'onde

Les principales avancées techniques relatives aux équipements (hors amplificateurs)

concernent deux aspects :

- d'une part la sélectivité des dispositifs de démultiplexage optique, c'est-à-dire leur

capacité à avoir un taux de réjection hors bande élevé tout en maximisant la bande à 3 dB : les

innovations dans ce domaine ont été nombreuses comme l'atteste la diversification des

31

technologies utilisées (couches minces, réseaux diffractants, réseaux de guides d'onde, etc…) et

ont aussi permis de minimiser leurs pertes intrinsèques.

- D'autre part, la stabilité en fréquence des têtes optiques : les progrès ont porté aussi

bien sur la performance intrinsèque du laser que sur les dispositifs de verrouillage en fréquence

associés.

Par ailleurs, et tout aussi contraignante, la diminution de l'espacement entre canaux accroît

les effets non linéaires croisés entre les canaux qu'ils soient dus au mélange à quatre ondes ou à la

modulation de phase croisée.

Une autre voie pour augmenter le nombre de longueurs d'onde consiste à élargir la bande

d'amplification à d'autres bandes que la bande C traditionnelle ( 1535 - 1560 nm ), telles que la

bande L ( 1560 - 1610 nm ) ou la bande S ( 1500-1530 nm ). C'est donc un accroissement d'un

facteur 2 à 3 de la bande disponible qui est en jeu. Les amplificateurs fonctionnant dans ces

nouvelles bandes, obtenus par adaptation du dopant, sont ou seront disponibles. Toutefois, le gain

économique qu'ils laissent espérer mérite d'être discuté.@@@

32

CHAPITRE III : ROUTAGE TOUT-OPTIQUE ET OPTIMISATION

Le problème de routage tout-optique vaut la peine d’être étudié dans le cadre de conception

et de dimensionnement d’un réseau tout-optique en vue de satisfaire une certaine demande de

trafic prévue à l’avance. De même, il est digne d’intérêt dans un réseau tout-optique possédant

une bande passante suffisante pour satisfaire un ensemble de requêtes de connexion afin de

minimiser les ressources optiques qui se révèlent limitées par la technologie et d’assurer ainsi la

possibilité d’établir des nouvelles connexions ultérieurement.

III.1. Notion de théorie des graphes

III.1.1. Définition

Un graphe est constitué d’un ensemble de points appelés sommets ou nœuds et d’un

ensemble de couples ordonnés appelés arêtes ou arcs si ceux-ci sont orientés.

III.1.2. Graphes : concepts orientés [19]

Un graphe [ ]ϕ,,UXG = est déterminé par la donnée :

- d’un ensemble X dont les éléments sont appelés des sommets ou des nœuds. Si

( )XcardN = est le nombre de sommets, on dit que le graphe G est d’ordre N . On supposera

que les sommets sont numérotés Ni ,...,2,1= ;

- d’un ensemble U dont les éléments Uu ∈ sont des couples ordonnés de sommets

appelés des arcs. Si ( )jiu ,= est un arc de G , i est l’extrémité initiale de u et j l’extrémité

terminale de u . On notera ( ) MUcard =

ϕ est une fonction d'incidence qui à chaque arc e de U associe un couple ( )yx,

d'éléments de X non nécessairement distincts. x est l'origine de e et y est le but de e .

Graphiquement, les sommets peuvent être représentés par des points et l’arc ( )jiu ,=

sera représenté par une flèche joignant les deux points i et j ( j étant la pointe de la flèche).

Exemple :

Soit G le graphe orienté défini par }{ cbaX ,,= , }{ 654321 ,,,,, eeeeeeE =

( ) }{ bae ,1 =ϕ , ( ) { }cbe ,2 =ϕ , ( ) }{ bae ,3 =ϕ , ( ) { }bce ,4 =ϕ , ( ) }{ cce ,5 =ϕ , ( ) }{ cae ,6 =ϕ

33

Figure III.1: Graphe non-orienté

Le sommet a est l'origine de e1 et le sommet b est le but de e1.

Les arcs e1 et e3 sont parallèles, l'arc e5 est une boucle mais les arcs e2 et e4 ne sont pas

parallèles.

Notation :

Un graphe orienté G est noté par ( )EVG ,= dont V représente l’ensemble des sommets

et E l’ensemble des arcs de G .

III.1.3. Graphes : concepts non orientés [19]

Dans l’étude de certaines propriétés des graphes, il arrive que l’orientation des arcs, c’est-

à-dire la distinction entre extrémité initiale et extrémité terminale, ne joue aucun rôle. On

s’intéresse simplement à l’existence ou à la non-existence d’un (ou de plusieurs) arc(s) entre deux

sommets (sans préciser l’ordre de ces sommets).

A tout arc ( )ji, et à tout couple ordonné ( )ji, , on associe le couple non ordonné ( )ji, ,

qui est appelé l’arête ( )ji, . On peut dire de façon équivalente qu’une arête est un arc sur lequel

on a « oublié » l’orientation.

Graphiquement, l’arête ( )ji, sera représentée par un segment (sans flèche) joignant les

deux points représentatifs des sommets i et j .

Dans l’étude des propriétés « non orientées » d’un graphe [ ]ϕ,,UXG = , il suffira donc de

considérer l’ensemble U comme un ensemble d’arêtes c’est-à-dire une famille finie de parties à

deux éléments (distincts ou non) de X.

ϕ est une fonction d'incidence qui à chaque arête de U associe une paire d'éléments de X

non nécessairement distincts.

34

Exemple :

Soit G défini par }{ gfdcbaX ,,,,,= , }{ 87654321 ,,,,,,, eeeeeeeeE =

( ) }{ bae ,1 =ϕ , ( ) { }cbe ,2 =ϕ , ( ) }{ce =3ϕ , ( ) }{ dce ,4 =ϕ , ( ) }{ dbe ,5 =ϕ , ( ) }{ gde ,6 =ϕ ,

( ) }{ gbe ,7 =ϕ , ( ) }{ cbe ,8 =ϕ

Figure III.2: Graphe non-orienté

On dit les sommets a et b sont adjacents, que l'arête e4 est incidente au sommet c et au

sommet d .

Les arêtes e2 et e8 sont parallèles, l'arête e3 est une boucle, le sommet f est « isolé » et

le sommet a est « pendant ».

Remarques :

- Un graphe non orienté n’est qu’un graphe orienté symétrique ; si un arc relie le

sommet a au sommet b, un autre arc relie le sommet b au sommet a : on ne trace alors qu’un trait

entre a et b que l’on appelle une « arête ».

- Un multigraphe est un graphe pour lequel il peut exister plusieurs arêtes entre deux

sommets i et j donnés.

- Un graphe est dit simple s’il est sans boucle et ne comporte jamais plus d’une arête

entre deux sommets quelconques.

- Deux arcs (deux arêtes) sont dits adjacents s’ils ont au moins une extrémité

commune.

35

III.1.4. Degré d’un graphe [20]

Dans le cas d’un graphe orienté, le « degré sortant » d’un sommet x est le nombre d’arcs

qui partent de x , noté ( )xd+ , et son « degré entrant », noté ( )xd− , est le nombre d’arcs arrivant

au sommet x .

On a la relation : Add =∑ −=∑ + ( nombre d’arcs ). (III.1)

Dans le cas d’un graphe non orienté, le degré est le nombre d’arêtes rattachées au sommet

x .

On a la relation : Ad 2=∑ . (III.2)

III.1.5. Chemin ou chaîne [20]

Un « chemin » est une succession d’arcs parcourus dans le même sens. Le nombre d’arcs

parcourus s’appelle la longueur du chemin.

On parle de « chaîne » si l’on ne tient pas compte de la direction des arcs c’est-à-dire dans

les graphes non orientés.

Si un chemin revient à son point de départ, on parle de « circuit » dans un graphe orienté,

ou de « cycle » dans un graphe non orienté.

L’adjectif « élémentaire » s’applique quand le chemin ou le cycle parcourt des sommets

distincts.

La « distance » entre deux sommets est la longueur du plus court chemin entre ces deux

sommets.

Enfin le « diamètre » d’un graphe est la plus grande distance séparant deux sommets de ce

graphe.

III.1.6. Connexité [20]

On dit qu’un graphe non orienté est « connexe » si deux éléments quelconques de ce

graphe sont reliés par au moins une chaîne.

On appelle « composante connexe » d’un graphe non orienté un sous-ensemble maximal

de sommets tels qu’il existe une chaîne entre deux sommets quelconques.

Un graphe orienté est « fortement connexe » si, quels que soient deux sommets x et y , il

existe un chemin reliant x à y et un reliant y à x .

36

Figure III.3 : Graphe à deux composantes connexes

III.1.7. Types de graphes [20]

III.1.7.1. Arbres

Ce sont des graphes non orientés connexes sans cycle ou encore des graphes non orientés

connexes dont le nombre de sommets est égal au nombre d’arêtes plus 1.

Figure III.4 : Arbre

Remarques :

Une arborescence est un graphe orienté possédant un sommet privilégié, la « racine », tel

qu'il existe un et un seul chemin depuis la racine à tout autre sommet.

On peut orienter les arêtes d'un arbre à partir de n'importe quel sommet de façon à obtenir

une arborescence.

III.1.7.2. Graphe pondéré

Quand les arêtes représentent un coût (en argent, en temps, en distance…), on leur attribue

un nombre ce qui donne un graphe pondéré.

Figure III.5 : Graphe pondéré

37

III.1.8. Distance dans un graphe non orienté [20]

On définit la distance ( )yxd , entre deux sommets x , y d'un graphe non orienté par :

- ( ) 0, =yxd si yx = .

- ( )yxd , longueur d'une plus courte chaîne reliant x à y s'il existe

- ( ) ∞=yxd , sinon

III.2. Modélisation d’un réseau WDM et définitions [21]

III.2.1. Modélisation d’un réseau WDM

Un réseau de communications tout-optique, utilisant le multiplexage en longueurs d’onde,

est modélisé par un graphe ou multigraphe orienté ( )EVG ,= , généralement symétrique. Les

sommets correspondent aux nœuds du réseau ( routeurs ) et les arcs aux liens physiques en fibre

optique. Si une fibre reliant deux nœuds x et y du réseau permet la transmission simultanément

de l longueurs d’onde, alors l’arc correspondant du graphe G aura soit une capacité l , soit il sera

transformé en l arcs parallèles, chacun ayant une capacité unitaire.

Remarques:

La représentation des réseaux tout-optiques par des graphes non-orientés ne correspond pas

à la réalité physique, puisque les communications optiques sont unidirectionnelles, mais elle peut

être prise en considération sous les hypothèses restrictives suivantes : le modèle non-orienté des

réseaux de communication tout-optiques correspond au cas où les requêtes de connexion sont

symétriques et sous la contrainte d’être routées deux à deux par des chemins symétriques et sur la

même longueur d’onde.

La modélisation d'un réseau en terme de graphes est très classique. C'est d'autant plus vrai

dans le contexte des réseaux tout-optiques WDM où l'on manipule des chemins et des couleurs (

les longueurs d'ondes ) et la plupart des résultats d'optimisation de réseaux tout-optiques sont issus

de résultats de la théorie des graphes.

III.2.2. Réseau k - fibres

Un réseau fibresk − est un multigraphe ( )EVG ,= orienté, où il y a un sommet pour un

nœud du réseau et un arc entre deux sommets pour une fibre entre les deux nœuds correspondants.

Il peut être également modélisé comme un graphe simple adjoint du paramètre k .

38

III.2.3. Instance de communication

Une instance de communication dans G est un multiensemble I de paires d'éléments de

V ( V étant l’ensemble des sommets de G ) comprenant une paire ( )yx, pour toute requête

allant du nœud représenté par x au nœud représenté par y .

III.2.4. Multicast

Nous définissons également un type particulier d'instance de communication, le multicast,

où toutes les requêtes ont le même émetteur.

Un multicast issu du sommet s dans G est un multi-ensemble,

( ){ }}{ VyysM s ∈= /, , Vs ∈ (III.3)

Remarque :

Une instance de communication sur G se décompose de manière unique en union de

multicast issus de sommets différents : M sVs

I'∈

⊕= , VV ∈' (III.4)

III.3. Hypothèses et problématiques

III.3.1. Hypothèses

Certains routeurs permettent de faire la conversion de longueur d'onde et donc permettent à

un chemin qui rentre dans le nœud avec une certaine longueur d'onde d'en ressortir avec une autre.

On peut distinguer deux types de schéma de conversion :

- la conversion totale où un chemin utilisant une longueur d'onde quelconque en

entrée peut ressortir avec n'importe quelle autre longueur d'onde toujours sous contrainte qu'il n'y

ait pas deux chemins utilisant la même longueur d'onde dans la même fibre,

- la conversion partielle où une longueur d'onde particulière ne peut être convertie

qu'en une longueur d'onde appartenant à un ensemble dépendant de la longueur d'onde de départ.

Ces deux types de routeurs existent, mais coûtent très cher et donc, dans la suite de notre

travail, nous considérerons qu’aucune conversion de longueur d'onde n'est autorisée, c'est-à-

dire qu'à un chemin est affecté une seule longueur d'onde qui est utilisée sur toutes les fibres qu'il

emprunte.

39

En théorie, une fibre peut être parcourue par un signal dans les deux sens. Cependant, les

fibres des réseaux sont en pratique unidirectionnelles pour des raisons technologiques au niveau

des nœuds. Comme le coût d'une fibre supplémentaire entre deux nœuds est minime, les réseaux

sont la plupart du temps symétriques. Nous considérerons par la suite des réseaux multifibres

symétriques ayant le même nombre de fibres entre chaque lien. Cette commodité reste proche de

la réalité puisque les fibres sont regroupées selon des câbles de tailles standardisées. Un tel réseau

où k fibres relient chaque nœud est nommé réseau fibresk − .

III.3.2. Problématique dans les réseaux WDM tout-optiques

On est en présent en mesure de définir les problèmes d’optimisation que l’on va étudier.

Ces problèmes sont reliés à l’allocation des ressources pour des requêtes de connexion dans un

réseau de communication optique qui est modélisé par un graphe ou multigraphe orienté G . Les

sommets correspondent aux nœuds du réseau et les arcs aux liens physiques en fibre optique.

Dans leur généralité, les problèmes se posant dans les réseaux WDM tout-optiques

consistent à satisfaire simultanément un ensemble de requêtes de connexion, appelé instance,

formé de couples des nœuds. Pour chaque requête, il s’agit d’attribuer un chemin dans le réseau et

d’allouer une longueur d’onde, soit tout le long du chemin, ( soit sur chaque lien formant le

chemin en cas de conversion possible) de manière à ce que deux requêtes distinctes n’utilisent pas

la même longueur d’onde sur un même lien. L’objectif dans ce cadre est de minimiser

l’utilisation des ressources optiques, c’est-à-dire le nombre total de longueurs d’onde permettant

de satisfaire l’instance donnée.

Le problème que les opérateurs voudraient résoudre est le suivant : étant données la

topologie physique d'un réseau et une instance de communication, trouver le réseau le moins

cher tel qu'il soit possible d'y réaliser l'instance.

Le coût d'un réseau optique WDM k-fibres est influencé par deux paramètres :

- le nombre de fibres par câbles, k, influe d'une part sur le coût de ces câbles, d'autre

part sur la complexité et par conséquent sur le coût des routeurs (nombres de ports, taille des

commutateurs, etc).

- le nombre de longueurs d'onde nécessaire pour réaliser une instance de

communication influe d'une part sur le coût individuel de chaque fibre ( toutes les fibres ne sont

pas capables de faire transiter le même nombre de longueurs d'onde ) et donc sur le coût des câbles

40

et d'autre part sur la complexité des routeurs ( différents types d'équipement, nombre de prismes,

... ).

Par ailleurs, il est évident que plus on utilise de fibres, plus le nombre de longueurs d'onde

nécessaire est petit et vice versa. Optimiser le coût d'un réseau revient donc à optimiser un

problème bi-critères.

Définition III.1 : Problème d’optimisation P

Un problème d’optimisation P est donné par un ensemble I d’instance ( entrées ), un

ensemble S de sortie ( sorties ), une fonction s : ( )SPI → des instances vers une partie de

solutions acceptables, une fonction NSIval →×: mesurant la qualité ( )SIval , de la solution

( )IsS ∈ pour l’instance I , et un objectif min ou max , qui consiste à trouver une solution

( )IsS ∈ qui minimise ( min ) ou maximise ( max ) ( )SIval , .

Définition III.2 : Problème de décision D

Un problème de décision D est donné par un ensemble I d’instance ( entrées ), un

ensemble S de sortie ( sorties ), une fonction s : ( )SPI → des instances vers une partie de

solutions acceptables, une fonction NSIval →×: mesurant la qualité ( )SIval , de la solution

( )IsS ∈ pour l’ instance I , un entier k et une question : « existe-t-il une solution ( )IsS ∈ telle

que ( ) kSIval ≤, ? » dans le cas d’un problème de minimisation ou « existe-t-il une solution

( )IsS ∈ telle que ( ) kSIval ≥, ? » dans le cas d’un problème de maximisation.

III.4. Formulation des problèmes étudiés

III.4.1. Problème du routage tout-optique :

Dans un réseau tout-optique, une requête de connexion entre un nœud u et un nœud v est

représentée par le couple ( )vu, . Elle est établie en réservant une longueur d’onde sur tous les liens

du chemin de u vers v. Les chemins correspondants aux différentes connexions ne doivent pas

utiliser la même longueur d’onde sur un même lien. Si les commutateurs ne permettent pas de

conversion (donc de type WR-OCX ), une connexion doit utiliser la même longueur d’onde tout le

chemin de la source vers la destination.

41

Nous appelons problème du routage tout-optique le problème de l’allocation de chemin

et des longueurs d’onde ( ou couleur ) pour une collection de requêtes ( instance ) dans les réseaux

tout-optiques sans conversion.

III.4.1.1. Enoncé du PROBLEME du routage optique :

Entrée : un (multi)graphe G et une instance I de requêtes dans G

Sortie : une allocation de chemins et de couleurs aux requêtes, telle que deux chemins

utilisant le même lien ont deux couleurs différentes.

Objectif : minimiser le nombre de couleurs utilisées

On note ( )IGw , le nombre de couleurs d’une solution optimale si le graphe G est orienté,

et ( )IGw , si le graphe G est non-orienté.

L’allocation de chemins aux requêtes de l’instance donnée est appelée routage. Par abus

de langage, le terme routage désigne également l’ensemble des chemins ainsi formés. Notons que

le routage doit être calculé et fourni en sortie.

Remarque :

Si le routage est donné comme une partie de l’entrée ( au lieu de permettre à l’algorithme

de le choisir ), on obtient un problème de coloration de chemins. Ceci revient à résoudre le

problème de la coloration des sommets u du graphe de conflit associé de telle manière que deux

sommets adjacents sont colorés différemment. Le nombre minimum de couleurs nécessaires pour

colorer les sommets d’un graphe est appelé nombre chromatique.

III.4.1.2. Graphe de conflit

Le graphe de conflit associé à un routage R dans un graphe G ( orienté ou non ) est le

graphe non-orienté dont les sommets représentent les chemins de R et tels que deux chemins sont

adjacents si et seulement si les chemins correspondants partagent un lien de G.

On note ( )RIGw ,, ( resp. ( )RIGw ,, ) le nombre chromatique du graphe de conflit d’ un

routage R réalisant une instance I dans un graphe orienté G ( resp. non-orienté ).

Ainsi ( ) ( )RIGwR

IGw ,,min, = et de même pour ( )IGw , .

42

Pour les graphes qui sont des arbres, le routage optique et la coloration de chemins sont

deux problèmes équivalents puisqu’un chemin élémentaire associé à une requête quelconque est

unique. La figure ci-dessous ( Figure III.6 ) montre un exemple simple d’instance de requêtes

dans un arbre orienté symétrique à six sommets dont chaque lien représente une paire d’arcs

symétriques. Cinq chemins sont dessinés correspondant aux requêtes (0,2), (1,3), (4,3), (4,5), et

(0,5). Une coloration correcte possible attribue à ces chemins les couleurs vert, rouge, vert, rouge

et bleu, respectivement. En outre, trois couleurs sont effectivement nécessaires puisque le graphe

de conflit est un cycle de longueur impaire.

Figure III.6: Un routage dans un arbre et son graphe de conflit associé

III.4.2. Problème du routage optique maximum

La situation est différente dans un réseau optique qui n’a pas la capacité suffisante pour

satisfaire tout un ensemble de requêtes simultanément. Plus exactement, ceci se produit lorsque le

nombre de longueurs d’onde disponibles est plus petit que le nombre nécessaire. Il peut alors

souhaitable de satisfaire un sous-ensemble de l’instance initiale le but étant de maximiser son

cardinal.

III.4.2.1. Enoncé problème du routage optique maximum

Entrée : un (multi)graphe G et une instance I de requêtes dans G et un entier W > 0

Sortie : une partie I’⊆ I et une allocation aux requêtes de I’ de chemins et de couleurs parmi

W possibles, telle que deux chemins utilisant le même lien ont deux couleurs

différentes.

Objectif : maximiser le cardinal de I’.

43

III.4.2.2. Enoncé du Problème de décision du routage optique

Entrée : un multigraphe G, une instance de communication I dans G et un nombre de

longueurs d'onde n.

Sortie : décider s'il est possible de satisfaire l'instance de communication en utilisant au plus

n longueurs d'onde.

III.4.3. Problème de la charge

Dans les réseaux tout-optiques permettent une conversion de longueur d’onde en une autre,

pour un nœud intermédiaire d’un chemin optique la contrainte de la coloration de chemins alloués

aux requêtes disparaît. Il résulte en faite une multicoloration de chaque chemin qui consiste à

attribuer une couleur spécifique sur chaque lien utilisé de telle sorte que deux chemins qui

partagent un lien n’ont pas la même couleur sur ce lien. Ceci ne pose aucun problème

algorithmique puisque toute stratégie d’allocation gloutonne fonctionne. Le nombre total de

longueurs d’onde nécessaire pour établir les requêtes de connexion est alors égal au nombre

maximum de chemins utilisant ce même lien.

III.4.3.1. Charge d’un lien

La charge d’un lien α pour un routage R réalisant une instance I dans un graphe G (orienté

ou non) désigne le nombre de chemins de R qui utilisent le lien α . Ce nombre est noté

( )απ ,,, RIG si G est orienté et π ( G, I, R, α ) si G est non-orienté.

La charge du routage R est alors définie comme la charge maximale des liens pour R .

C’est le nombre maximum de chemins de R qui utilisent le même lien de G. Il est noté ( )RIG ,,π

en orienté et π ( G, I, R ) en non-orienté.

Nous appelons problème de la charge le problème d’optimisation résultant du problème

du routage optique avec l’hypothèse de conversion totale des longueurs d’onde. Il s’agit de

trouver un routage R réalisant l’instance I donnée et minimisant la charge ( )RIG ,,π (ou π(G,I,R ) ).

III.4.3.2. Enoncé du PROBLEME de la charge


Sortie : une allocation de chemins aux requêtes ( un routage )

Objectif : minimiser la charge du routage

44

On note ( )IG,π la charge d’une solution optimale si le graphe G est orienté et

π ( G, I ) si le graphe G est non-orienté.

De manière évidente, la charge optimale d’un routage réalisant une instance donnée minore

le nombre optimal de longueurs d’onde pour le problème du routage optique appliqué à la même

instance. Ceci résulte immédiatement du fait que le problème de la charge est un problème

d’allocation de chemins et de longueurs d’onde, avec la liberté supplémentaire de conversion de

longueur d’onde.

Propriété :

Pour tout problème ( )IG, , ( ) ( )IGIGw ,, π≥ (III.5)

La propriété analogue est aussi valable en non-orienté. Une autre démonstration consiste à

dire que le nombre de longueurs d’onde nécessaires pour le routage optique est au moins égal au

nombre maximum de chemins devant nécessairement utilisés le même chemin ce qui correspond à

la définition de la charge minimale d’un routage.

Remarque :

Notons que pour répondre à la question « ( ) pIG ≤,π ? », étant donné un entier p, revient

à déterminer si le multiflot entier correspondant aux requêtes de I est réalisable dans le flot F p

obtenu en affectant à chaque arc de G une capacité égale à p. Il s’agit donc d’un problème très

classique en optimisation.

Comme le problème du routage optique, le problème de la charge possède son problème de

maximisation associé :

III.4.3.3. Enoncé du PROBLEME du routage maximum

Entrée : un (multi)graphe G et une instance I de requêtes dans G et un entier W > 0

Sortie : une partie I’⊆ I et une allocation de chemins aux requêtes de I’ , de charge au plus

W


Dans le cas extrême où le nombre W de longueurs d’onde disponibles est réduit à 1, les

deux problèmes de maximisation précédents deviennent équivalents.

45

III.4.3.4. Enoncé du PROBLEME du routage disjoint maximum


Sortie : une partie I’⊆ I et une allocation de chemins aux requêtes de I’ telle que deux

chemins n’utilisent pas le même lien.


La version décisionnelle du problème devient :

III.4.3.5. Enoncé du PROBLEME du routage Disjoint

Données : un (multi)graphe G et une instance I de requêtes dans G

Question : existe-t-il une allocation de chemins aux requêtes de I’ telle que deux chemins

n’utilisent pas le même lien ?

III.5. Flot et routage optique [21]

Dans le cas des réseaux tout-optiques WDM, on appelle demande de communication un

couple (émetteur, récepteur) qui doit être connecté par un chemin dans le réseau. Un

multiensemble de demandes de communication est appelé une instance de communication.

Réaliser une instance de communication consiste à trouver un routage optique c’est-à-dire

un multiensemble de chemins reliant chaque demande de communication de l'instance et une

affectation de longueurs d'onde à ces chemins et que ce routage soit valide c'est-à-dire qu'il

respecte la contrainte des réseaux WDM: deux chemins traversant une même fibre ne peuvent

pas se voir affecter la même longueur d'onde.

Une approche pour résoudre le problème du routage optique consiste à se ramener à un

problème de flot.

III.5.1. Problèmes de flot

Les problèmes de flot sont des problèmes fondamentaux et très souvent utiles dès qu'il

s'agit de trouver des chemins dans des graphes. Ils se divisent en deux catégories : le simple flot et

le multiflot.

III.5.1.1. Simple flot

Un problème de simple flot prend en entrée un graphe où chaque arc a une capacité et deux

sommets particuliers : la source et le puits. Le problème qui se pose alors est analogue à un

46

problème de tuyauterie: le graphe représente un réseau de tuyaux avec une source et un puits. Il

s'agit de déterminer de quelle manière un fluide injecté dans le réseau par la source avec un certain

débit va s'écouler dans les tuyaux jusqu'à sortir par le puits.

Chaque tuyau a une capacité qui est le débit maximum du fluide qui peut le traverser.

L'écoulement doit donc respecter des contraintes de capacité sur chaque arc. Enfin, suivant le

célèbre principe de conservation de la matière : rien ne se perd, rien ne se crée, au niveau des

bifurcations des tuyaux (les nœuds du réseau), autres que la source ou le puits, la quantité du

fluide qui arrive est égale a celle qui part ce qui forme des contraintes de conservation de flot. Au

niveau de la source et du puits les mêmes contraintes de conservation s'appliquent à ceci près qu'il

faut prendre en compte l'arrivée du flot à la source et sa disparition au puits.

Un problème de flot peut se formaliser par un programme linéaire. Soit ( )EVG ,= un

graphe, et REc +→: une fonction de capacité sur les arcs, d la quantité de flot à transporter,

s le sommet représentant la source et t le sommet représentant le puits. Il s'agit de trouver une

fonction REf +→: satisfaisant les contraintes suivantes :

- contrainte de capacité : { } Vyx ∈∀ , :

( ) ( )yxcyxf ,,0 ≤≤ (III.6)

- contrainte de conservation : { }tsVy ,−∈∀ :

( )( ){ }

( )( ){ }

0,,,,

=− ∑∑∈−∈− ExyxEyxx

xyfyxf (III.7)

- respect de la demande :

( )( ){ }

( )( ){ }

( )( ){ }

( )( ){ }

dtyfytfsyfysfEtyyEyxyEsyyEysy

=+−=− ∑∑∑∑∈−∈−∈−∈− ,,,,

,,,, (III.8)

( )yxf , représente la quantité de flot par l’arc ( )yx, .

Remarque :

Une unité de flot décrit un chemin de s à t. Le flot peut donc être considéré comme un

ensemble de chemins pondérés entre la source et le puits satisfaisant les contraintes de capacité : la

somme des poids des chemins traversant un même arc est inférieure à la capacité de cet arc.

III.5.1.2. Multiflot

Le problème de multiflot est une généralisation du problème de flot. Il s'agit de faire passer

plusieurs flots simultanément dans le réseau entre plusieurs couples (source, puits). Les flots

47

peuvent être considérés comme des fluides « non miscibles » dans l'analogie précédente : il y a

conservation de chaque flot indépendamment des autres. Toutefois il ne s'agit pas de plusieurs

simples flots « parallèles » car la contrainte de capacité est globale : la somme des flots traversant

un arc ne doit pas excéder sa capacité.

On note sl la source du flot l, tl

le puits du flot l et dl la quantité du flot l que l'on désire

faire passer. Il s'agit de trouver pour chaque flot l une fonction f l satisfaisant les contraintes

suivantes :

- contrainte de capacité : { } Vyx ∈∀ , :

( ) ( )yxcyxl

f l ,,0 ≤∑≤ (III.9)

- contrainte de conservation : { }tlslVyl ,, −∈∀∀ :

( ) ( ) 0,,

,,

=∑∈−

−∑∈−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

xyExyx

f lyxEyxx

f l (III.10)

- respect de la demande : l∀ :

( )( ){ }

( )( ){ }

( )( ){ }

( )( ){ }

dtftfsfsf lEyy

llEyy

llEyy

llEyy

llt

yt

ys

ys

yllll

=+−=− ∑∑∑∑∈−∈−∈−∈− ,,,,

,,,,

(III.11)

( )yxf l , représente la quantité du flot l passant sur l'arc ( )yx, .

( NEf ll →∀ :, , Ndl ∈ , NEc →: )

III.5.2. Réduction du routage optique au multiflot

Le problème du routage optique se réduit en un problème de multiflot entier en passant par

un graphe auxiliaire. Cette réduction utilise la modélisation par un simple graphe des réseaux

optiques et est fondée sur la décomposition de l'instance. Comme nous l'avons vu ci-dessus, une

instance de communication I se décompose en une collection de multicast

( ) ( ){ }{ }IysysM s ∈= ,/, de telle manière que deux multicast de la collection ne soient pas issus

du même sommet. Un multicast est associé à un flot. Ainsi l'instance I est associée à un multiflot.

III.5.2.1. Cas du multicast

Le graphe auxiliaire G ck, pour une instance multicast M s dépend du nombre de fibres k

et du nombre de couleurs c. Il est le support du problème de flot. Il est commode de supposer que

48

M s est un ensemble et non un multiensemble. Une transformation simple du graphe permet dans

le cas où M s est un multiensemble de se ramener à un ensemble. En effet, si une paire ( )ys, est

en double dans M s , en créant un nouveau sommet y0 , un arc reliant y à y0 et en remplaçant

une des deux requêtes concernées par ( )ys 0, , nous éliminons ainsi une requête en double. Le

problème obtenu est équivalent pour le routage optique car l'ajout ou la suppression de sommets

ou d'arcs n'entre pas en compte dans le problème de décision (au contraire de problèmes de coût

par exemple). En réitérant le procédé, le problème du routage dans un graphe sur un multicast

représenté par un multiensemble est ramené à un problème où le multicast est un ensemble.

Supposons que le nombre de couleurs c soit égal à 1. Le graphe auxiliaire de flot Gk 1, a

comme ensemble V k 1, tous les sommets de V et Ek 1, contient tous les arcs de E. La capacité est

une fonction constante égale à k.

Si c est supérieur à 1, alors on fait c copies Gi de ce graphe. Nous désignerons le sommet

correspondant à x dans Gi par xi . Le graphe auxiliaireG ck, est construit de la façon suivante :

Vici

iV ck

=

==

1, ∪ et Eici

iE ck

=

==

1, ∪ (III.12)

On introduit le sommet S dans V, représentant la source, et dans E ck, les c arcs ( )siS, de

capacité infinie. Pour chaque requête ( )ys, , on introduit le sommet t y dans V ck, , et dans E ck,

les c arcs ( )t yyi , de capacité 1. Enfin, on introduit dans V ck, un sommet T représentant le puits,

et dans E ck, , pour chaque sommet t y , les arcs ( )Tt y , de capacité 1.

Nous noterons par ( )ysi ,γ le chemin de S à T passant par t y et par Gi , la copie de G

associée à la couleur i. On peut remarquer que ( )ysi ,γ décrit dans G un chemin de s à y.

Proposition III.1 : (voir ANNEXE 1) Pour une instance multicast M s sur le graphe G, il existe un routage de ( )M sG, utilisant

au maximum c couleurs si et seulement si G ck, admet un flot entier de quantité M s entre la

source S et le puits T.

49

III.5.2.2. Cas général

Nous considérons une instance de communication :

M slLl

lI ⊕

=

==

1 (III.13)

La construction précédente est généralisée de la manière suivante : pour chaque multicast

l, un graphe auxiliaire G ckl ,, est construit. Le graphe auxiliaire G ck, est l'union de ces graphes.

Par graphe G ckl ,, il y a une source Sl , un puits Tl et un flot f l .

Proposition III.2 : (voir ANNEXE 2) Pour une instance I sur le graphe G, il existe un routage de ( )IG, utilisant au maximum c

couleurs si et seulement si G ck, admet un multiflot entier, tel que le flot f l . partant de Sl et

ayant comme puits Tl ait une quantité correspondant au cardinal du multicast associé.

III.6. Relations entre les problèmes

Nous avons déjà montré que le problème du routage de la charge pour ( )IG, revient à

déterminer le plus petit entier p rendant réalisable un certain problème associé F p de multiflot

entier. Nous dirons qu’un sommet ( )GVx ∈ est une source ( resp. une destination ) s’il existe

( )GVy ∈ tel que ( ) Iyx ∈, ( resp. ( ) Ixy ∈, ). Le réseau de multiflot F p' associé au problème

du routage optique ( )IG, est construit à partir de G de la manière suivante :

- on commence par prendre p copies indépendantes du graphe G dont les arcs sont

munis d’une capacité unitaire. Les p copies d’un sommet ( )GVu ∈ sont notées u1, u2 , … up..

- pour chaque source ( )GVx ∈ , on ajoute un sommet xout qui est relié à un sommet

xi , pour pi ≤≤1 , par un arc ( )xixout , de capacité infinie.

- pour chaque destination ( )GVy ∈ , on ajoute un sommet yin , et le sommet yi pour

pi ≤≤1 , est relié à yin par un arc ( )yinyi , de capacité unitaire.

- à l’instance de requêtes I de G, nous associons l’instance I '

( ) ( ){ }IyxyinxoutI ∈−= ,,' dans F p' .

50

Remarque :

Dans le cas particulier d’une instance multicast, le problème du routage optique se réduit à

un problème de simple flot.

Figure III.7: Exemple de construction du réseau de multiflot F2’

à partir d’un graphe orienté G

(a) un graphe orienté G avec une source x et des destinations { v, w, y, z }.

(b) le réseau de flot.

(c) le réseau de flot F2’.

(d) Toutes les capacités non marquées valent 1 et toutes les orientations des arcs sont omises

Il est alors facile de voir que ( ) =IGw , min { p tel que le flot F p' est réalisable }.

Nous avons donc établi que le problème du routage optique ( resp. maximum ) se réduit au

problème du routage disjoint ( resp. maximum ).

III.7. Recherche d’un flot de coût minimal avec bornes inférieures nulles :

algorithme de BUSACKER et GOWEN [22], [23]

III.7.1. Position du problème

Le problème que l’on se pose ici est de trouver un flot ϕ vérifiant les contraintes de

bornes sur les flux :

51

uuu cb ≤≤ ϕ ( )Uu ∈∀ (III.14)

et tel que le coût total :

( ) ∑∈

=ΓUu

uuϕγϕ (III.15)

soit minimal ( Uu ∈∀ , uγ est le coût d’une unité de flux sur l’arc u ).

Dans ce problème les fonctions de coût ( )uu ϕΓ sont de la forme uu ϕγ . où uγ est le coût de

passage d’une unité de flux sur l’arc u (les coûts unitaires uγ peuvent être de signe quelconque).

III.7.2. Principe de l’algorithme

On considère ici le cas particulier où les bornes inférieures de capacité ub sont toutes

nulles, et où l’on recherche un flot de s à t de valeur v=ϕ0 imposée et de coût minimal parmi

l’ensemble de tous les flots de s à t de valeur v .

On suppose que :

- les bornes supérieures de flux uc sont entières et positives (au sens large) ;

- les coûts unitaires sur les arcs uγ sont positifs (au sens large).

Grâce à ces hypothèses, le flot nul est un flot compatible de valeur 0 et de coût minimal, et

il peut être pris comme flot de départ.

L’algorithme de Busacker-Gowen permet de déterminer la famille complète de tous les

flots de coût minimal de s à t , et de valeur v,...,2,10=ϕ en particulier, il permet de déterminer un

flot maximal de coût minimal.

L’algorithme procède par itérations : à l’itération courante k , le flot courant ϕk est

supposé être un flot de valeur ϕk0 et de coût minimal parmi l’ensemble de tous les flots de valeur

ϕk0 .

Soit ( )ϕkG le graphe d’écart relatif à ϕk ; on attribue aux arcs de ( )ϕkG les coûts γ et les

capacités c suivantes :

- si ( ) Ujiu ∈= , et cuu ≺ϕ , l’arc ( )jiu ,=+ a un coût γγ uu = et une capacité

0ϕucucu −=

52

- si ( ) Ujiu ∈= , et 0ϕu , l’arc ( )iju ,=− a un coût γγ uu −= et une

capacité ϕucu = .

Soit alors ( )ϕkP un chemin de coût minimal relativement aux coûts γ entre s et t sur le

graphe d’écart ( )ϕkG ; on note ε la capacité de ( )ϕkP (minimum des capacités des arcs qui le

composent) et on pose Pkk εϕϕ +=+ 1 où P est le vecteur associé à ( )ϕkP c’est-à-dire tel que

( ) 1=P u si ( )ϕε kPu+ et ( ) 1−=P u si ( )ϕε kPu− . Alors on démontre que ϕ 1+k est un flot de

coût minimal de valeur εϕ +k0 .

III.7.3. Exemple d’un problème de flot à coût minimum

Considérons le problème consistant à approvisionner, au moindre coût, des entrepôts à

partir des unités de production (usines) d'une compagnie. Les données du problème sont:

- le réseau de transport;

- la localisation et la capacité de production des usines (sources);

- la localisation et la demande des entrepôts (destinations);

- les coûts de transport cij sur les arcs du réseau.

Il reste à déterminer les productions des usines ainsi que les chemins utilisés pour

approvisionner les entrepôts. Il semble naturel de formuler ce problème en terme de flots sur les

chemins reliant les sources et les destinations du réseau.

III.8. Recherche d’un flot maximum dans un graphe : algorithme de Ford-Fulkerson [22]

III.8.1. Position du problème

Ce problème ultra classique consiste à maximiser le flot d'une source (origine) s à une

destination t dans un réseau dont les arcs sont munis de capacités cij . Pour résoudre le problème,

il est naturel de trouver un chemin non saturé et d'y pousser le plus grand flot possible.

III.8.2. Principe de l’algorithme

Soit [ ]UXG ,= un graphe orienté dans lequel chaque arc Uu ∈ est muni d’une capacité

0cu , et deux sommets particuliers s (source) et t (puits). Soit [ ]UXG 0,0 = le graphe déduit

53

de G en rajoutant un arc ( )st, dont les extrémités initiale et terminale sont respectivement t et s .

L’arc ( )st, est appelé arc de retour et on convient de lui attribuer le numéro 0 . Les arcs de G0

sont donc numérotés M,...,1,0 .

On dit que le vecteur ( )ϕϕϕϕ MT,...,2,1= , est un flot de s à t et de valeur ϕ0 dans

G si et seulement si le vecteur ( )ϕϕϕϕ MT,...,1,0

' = est un flot dans G0 . Pour le vecteur

( )ϕϕϕϕ MT,...,2,1= les lois de conservation aux nœuds sont donc vérifiées en tous les

sommets de G , sauf aux sommets s et t où l’on a :

∑−∈

==∑+∈ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ tu

usu

uω

ϕϕω

ϕ 0 (III.16)

La quantité ϕ0 est appelée valeur du flot circulant entre s et t dans G muni des

capacités cu ( Uu ∈ ) revient alors à déterminer un flot : ( )ϕϕϕϕ MT,...,1,0

' = dans G0

vérifiant sur chaque arc de G les contraintes de capacité : cuu ≤≤ ϕ0 Mu ,...,1=∀

et tel que la composante ϕ0 sur l’arc de retour ( )st, soit maximale.

III.8.3. Graphe d’écart

Par définition, le graphe d’écart associé à un flot ϕ vérifiant les contraintes de bornes est

le graphe ( ) ( )[ ]ϕϕ UXG ,= ayant le même ensemble de sommets que G et dont l’ensemble des

arcs, ( )ϕU est constitué de manière que à chaque arc Ujiu ∈= ),( de G , on fait correspondre

au plus deux arcs de ( )ϕG :

( )jiu ,=+ si cuu ≺ϕ

( )iju ,=− si 0ϕu

Chacun de ces arcs est muni d’une capacité (capacité résiduelle) égale à :

0ϕucu − pour l’arc u+ (s’il existe)

0ϕu pour l’arc u− (s’il existe)

Le résultat suivant montre l’intérêt de la notion de graphe d’écart pour caractériser un flot de

valeur maximale.

54

Théorème :

Soit ϕ un flot de s à t dans G , compatible avec les capacités cu , et soit ( )ϕG le graphe

d’écart associé à ϕ . Une condition nécessaire et suffisante pour que le flot ϕ soit maximum est

qu’il n’existe pas de chemin de s à t dans ( )ϕG .

Mais la notion de graphe d’écart ne permet pas seulement de vérifier l’optimalité d’une

solution, elle suggère aussi une méthode pour améliorer une solution non optimale. En effet, soit

ϕ un flot de s à t dans G , de valeur ϕ0 , qui ne vérifie pas la condition du théorème ci-dessus.

Il existe donc un chemin P s à t dans le graphe d’écart ( )ϕG , lequel correspond sur G à

une chaîne L joignant les deux sommets s et t . Par définition du graphe d’écart, si la chaîne L ,

parcourue de s vers t , emprunte un arc ( )jiu ,= dans le sens direct, alors nécessairement

cuu ≺ϕ ; si elle emprunte un arc ( )jiu ,= dans le sens inverse (de j vers i ) alors

nécessairement 0ϕu .

Notons L+ l’ensemble des arcs de L parcourus dans le sens direct, et L− l’ensemble des

arcs de L parcourus dans le sens inverse.

Pour 0ε suffisamment petit, effectuons alors les transformations :

εϕϕ += uu' pour Lu +∈

εϕϕ −= uu' pour Lu −∈

ces transformations préservent les conditions de conservation du flot en chaque sommet autre que

s et t . Par ailleurs, pour les sommets s et t , on a :

∑−∈

=+=+∑+∈ ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∑+∈

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ tu

usu su

uuω

ϕεϕεϖ ω

ϕϕ '0

' (III.17)

ce qui montre que la valeur du flot (le flux sur l’arc de retour) a été augmenté de ε .

Le fait que ε puisse prendre une valeur strictement positive sans que les contraintes de

bornes cessent d’être vérifiées résulte de ce que cuu ≺ϕ ( Lu +∈∀ ) et que 0ϕu ( Lu −∈∀ ).

Notons que la valeur maximale possible pour ε n’est autre que la capacité du chemin P

dans le graphe d’écart, c’est à dire { }εε −+ ,Min où :

55

{ }ϕε ucuMinLu

−+∈

=+ et { }ϕε uMinLu −∈

=− (III.18)

III.8.4. Exemple d’un problème de flot maximum

On se donne un graphe représentant les rues d’une ville, et la quantité maximum de

voitures par heure pouvant passer d’un carrefour à l’autre. On choisit deux carrefours et l’on se

demande quel est le nombre maximum de véhicules pouvant passer de l’un à l’autre par heure, et

par où ils peuvent passer.

Résoudre ce problème revient à chercher un flot de valeur maximum dans un graphe

orienté dont les arêtes sont munies d’une capacité. On va voir qu’il existe un flot maximum et

qu’on peut en calculer un, et que si les capacités sont entières, la valeur du flot maximum construit

est entière dans chaque arc.

56

CHAPITRE IV : SIMULATION DE L’OPTIMISATION DES RESEAUX WDM TOUT-

OPTIQUES : WDM SIMULATOR

IV.1. Le langage FORTRAN

IV.1.1. Historique du FORTRAN [24]

Le premier document faisant référence au langage FORTRAN ( FORmula TRANslator )

date du 10 novembre 1954. FORTRAN vient, en fait, de The IBM Mathematical Formula

Translation System. Il a été initialement conçu pour simplifier la programmation de calculs

numériques sur les plates-formes IBM 704.

La première version du FORTRAN n'est apparue qu'au début de l'année 1957 et même si

les programmes obtenus à partir de code FORTRAN étaient plus lents que ceux obtenus à partir de

codes en langage machine, le FORTRAN s'est imposé auprès de la communauté scientifique : il

était bien plus simple à écrire.

Très rapidement, il a été possible de réutiliser des codes FORTRAN sur d'autres plates-

formes que celles d'IBM.

Evidemment, ce langage était appelé à évoluer. C'est ainsi que, successivement, sont

apparus:

- 1957: FORTRAN II

- 1958: FORTRAN III

- 1962: FORTRAN IV

- 1978: FORTRAN V

Durant toute cette évolution, FORTRAN a respecté toutes les anciennes normes de

manière à assurer une transplantation rapide des anciens programmes sur les nouveaux

compilateurs.

IV.1.2. Structure générale

IV.1.2.1. Format des lignes d’instruction

L’écriture d’un programme FORTRAN obéit à un « format carte » ( fossile des temps

anciens où les programmes étaient stockés sur cartes perforées ) :

– une ligne de programme « standard » ne commence en fait qu’à la 7e colonne, les 6

premiers caractères étant remplis par des blancs.

57

– Les instructions ne doivent pas dépasser la 72e colonne. Pour prolonger une

instruction sur plusieurs lignes, il suffit d’introduire un caractère quelconque à la 6e colonne de la

ligne suivante.

– Dans la 1ère colonne, la présence d’un caractère « C » ou « * » signale que la ligne

est un commentaire : elle sera totalement ignorée par le compilateur.

– Les colonnes 1 à 5 servent à placer des « étiquettes » qui seront utilisées pour

repérer une ligne. Elles sont utilisées par exemple avec l’instruction goto ou pour les

spécifications de formats d’entrée-sortie.

Remarque :

Le Fortran ne fait aucune distinction entre majuscules et minuscules.

IV.1.2.2. Structure d'un programme

Un programme comporte généralement plusieurs modules. Ces modules peuvent figurer

dans un même fichier ou dans des fichiers différents. Lorsque les modules figurent dans des

fichiers individuels, il est possible, et c'est même fortement conseillé, de les réutiliser dans d'autres

programmes. L'inconvénient (mineur) est la nécessité d'emploi d'un fichier projet chargé de

communiquer à l'éditeur de liens les noms des différents modules à lier.

Un ensemble de modules doit, pour pouvoir être exécuté, comporter un programme

principal. Le programme principal peut faire appel à des procédures et à des fonctions qui

peuvent faire de même.

Un module comporte différentes parties :

- l'entête ou le nom du module. En FORTRAN on peut trouver:

PROGRAM nom du programme pour le programme principal

SUBROUTINE(Liste de paramètres) pour un sous-programme

FUNCTION(Liste de paramètres) pour une fonction

- les déclarations des paramètres, s'il y a lieu

- les déclarations des variables

- les initialisations et déclarations particulières

- les instructions exécutables. C'est la traduction en langage (FORTRAN) de

l'algorithme

- l'instruction FIN de module. En FORTRAN, il s'agit de END

58

Remarque :

Dans un fichier comportant plusieurs modules, il y aura autant d'instructions END que de

modules.

IV.1.3. Modularité [25]

Comme beaucoup d’autre langage, le fortran permet de définir des outils indépendants les

uns des autres et de les réutiliser à volonté avec la possibilité de les imbriquer. On appelle ces

outils routines ou sous-programmes.

Les routines sont aveugles vis-à-vis du programme qui les appelle et ne reconnaissent donc

pas les variables en dehors des siennes ( sauf spécification explicite). Pour communiquer avec le

programme appelant, les routines prennent des arguments qui peuvent être indifféremment des

arguments d’entrée ou de sortie.

En mémoire, les variables arguments sont données à la routine par leur adresse et ne sont

donc pas recopiées. Par contre, toutes les autres variables propres à la routine sont allouées dans la

« pile » ou stack (une zone de mémoire allouée temporairement, le temps d’exécution de la

routine), puis elles sont « desallouées » donc purement et simplement effacées. Le programme

appelant est donc aussi aveugle vis-à-vis des variables internes à la routine.

IV.1.4. Branchement inconditionnel

Le branchement inconditionnel permet de désigner par un numéro ou label une ligne du

programme où aller. Ce type de branchement permet de s’écarter du suivi séquentiel des

instructions. Ceci se fait à l’aide de l’instruction goto.

Remarque :

Lorsqu’on veut brancher sur une ligne sans instruction, on écrit simplement continue.

IV.1.5. Quelques points importants du langage FORTRAN

- un programme doit comporter au moins une unité ( PROGRAM ), les autres sont

optionnelles,

- les noms des unités doivent être différents,

- les noms des différentes unités sont global, ils sont donc connus de toutes les autres

unités,

59

- chaque unité de programme est compilable séparément. Cette souplesse est

intéressante puisqu’elle permet de construire des bibliothèques de sous-programmes réutilisables.

Néanmoins la compilation séparée impose certaines contraintes,

Il est impératif d’effectuer dans chaque unité toutes les déclarations de types nécessaires.

- chaque unité SUBROUTINE/FUNCTION peut appeler d’autres unités sans qu’il

existe une quelconque notion de hiérarchie entre procédure appelante ou appelée. De manière

générale on appliquera le terme de sous-programme à ces deux unités,

- le passage d’arguments entre SUBROUTINE/FUNCTION ne se fait que par

adresse.

IV.1.6. Les avantages du langage FORTRAN [25]

Le langage FORTRAN a les structures avantageuses suivantes :

- c’est un langage de haut niveau ( très lointain du binaire ou de l’assembleur ) donc

il permet d’écrire des programmes portables c’est-à-dire exécutables sur tout ordinateur. ( chaque

ordinateur a son langage d’assemblage, les programmes écrits dans ces langages ne sont plus

utilisables dès que l’on change d’ordinateur. )

- Il est exécuté après compilation (qui produit des programmes binaires).

- Il est très fiable car testé et utilisé depuis très longtemps (les années 60),

- réactualisé tout en restant compatible avec les anciennes syntaxes,

- très performant en calcul numérique,

- très lisible et simple d’utilisation.

IV.1.7. Justification du choix du langage FORTRAN

Le passage entre l’énoncé d’un algorithme dans un formalisme tel que celui qui a été

utilisé ( représentation par pseudo-langage ) dans cet ouvrage et sa traduction sous forme d’une

suite d’instructions d’un langage de programmation est généralement difficile. Cette difficulté

peut se réduire en utilisant le langage FORTRAN qui est un langage algorithmique, c’est-à-dire

plus proche de l’algorithme ( utilisation de l’instruction de branchement inconditionnel goto dans

notre cas ). De plus la réduction de la complexité en temps d’un algorithme nécessite un recours à

des structures de données plus élaborées.

Les impératifs suivants sont aussi à considérer pour écrire un programme basé sur les

théories des graphes :

60

- homogénéité : malgré le nombre et la variété des algorithmes étudiés, le maximum

d’unité a été recherché dans les notations, dans la présentation, dans le choix des structures de

données ;

- modularité : recherche du maximum de compatibilité entre les différents sous-

programmes afin de permettre, comme dans un jeu de construction, l’assemblage aisé de ces sous-

programmes en ensembles plus complexes ;

- portabilité : d’où le choix de FORTRAN qui est l’un des langages de programmation

les plus diffusés pour les applications scientifiques ;

- lisibilité et structuration des programmes : la présence de très nombreux

commentaires dans le corps même des programmes ainsi que d’un texte explicatif qui précède

chaque sous-programme afin de donner une description détaillée de l’algorithme et les différentes

données utilisées pour sa mise en œuvre. Une conséquence directe des qualités de lisibilité ainsi

obtenues est de garantir une meilleure évolutivité du programme ;

- efficacité : pour chacun des algorithmes présentés, la recherche de la meilleure

complexité possible a été le critère principal de choix, en particulier pour ce qui concerne les

structures de données.

IV.2. Représentation d’un graphe

IV.2.1. Les tableaux LP et LS

On utilise la représentation dite par listes d’adjacence, nécessitant deux tableaux :

- un premier tableau nommé LP (« liste de pointeurs ») de dimension N+1, N étant le

nombre de sommets du graphe

- un second tableau que nous désignerons par LS (« liste des sommets »), de

dimension M (cas orienté) ou 2M (cas non orienté), M étant le nombre d’arcs ou arêtes dans le

graphe

Pour chaque sommet I la liste des successeurs de I est contenue dans le tableau LS à partir

de la case numéro LP(I). On voit donc que l’ensemble des informations relatives au sommet I est

contenu entre les cases LP(I) et LP(I+1)-1 du tableau LS et on a :

d+(I) = LP(I+1) - LP(I) (cas orienté)

d(I) = LP(I+1) – LP(I) (cas non orienté)

61

( ) ( )∑−=

+ +=1...1

1Ij

jILP d

où d+(I) est le demi-degré extérieur du sommet I dans le cas orienté et d(I) est le demi-degré du

sommet I dans la cas non orienté.

A titre d’exemple, considérons le graphe ci-dessous ( Figure IV.1 ) où N=3, M=6

LP

1 3 5 7

LS

1 3 1 3 2 1

1

5

2 3

4

6

Figure IV.1: Graphe orienté

IV.2.2. Liste des arêtes

Il suffit de définir deux tableaux notés OR (comme « origine ») et EX (comme

« extrémité ») de dimension M donnant pour chaque arc ou arête U = 1,…,M les numéros des

extrémités. Dans le cas d’un graphe orienté, le tableau OR contient le numéro de l’extrémité

initiale et le tableau EX le numéro de l’extrémité finale. Dans le cas d’un graphe non orienté, la

distinction entre extrémité initiale et extrémité finale disparaît, et les tableaux OR et EX

contiendront les numéros des extrémités de chaque arête dans un ordre arbitraire.

Pour le graphe orienté ci-dessus ( Figure IV.1 ), on a :

OR

1 3 2 2 1 3

EX

1 1 1 3 3 2

3

1

2

62

Remarque :

Lorsque le graphe est pondéré, il suffit d’ajouter un tableau P contenant les pondérations,

de dimension M, en correspondance biunivoque avec les tableaux OR et EX.

IV.2.3. Tableau LA

Le tableau LA (« liste des arcs ou des arêtes ») contient le numéro de chaque arc ou arête

du graphe dont les extrémités sont données par les tableaux OR et EX. On a :

LA 1 2 3 4 5 6

Remarque :

En présence des tableaux LP,LA,OR,EX, le tableau LS sera optionnel.

IV.3. Présentation du logiciel WDM SIMULATOR

Lors du lancement du fichier exécutable, une interface graphique apparaît à l’écran. A

travers cette interface graphique, l’utilisateur peut faire entrer les données du réseau WDM à fibres

optiques qui est modélisé par un graphe orienté pondéré. Ensuite il choisit la simulation qu’il veut

y appliquer pour pouvoir visualiser les résultats. Ainsi cette interface graphique est composée de

trois parties : la partie STRUCTURE DU GRAPHE, la partie SIMULATION, la partie

RESULTATS.

Figure IV.2: Interface graphique du logiciel WDM SIMULATOR

63

IV.3.1. La partie STRUCTURE DU GRAPHE

IV.3.1.1. Les données nécessaires

Les valeurs de N et M ainsi que les tableaux LP, LA, OR, EX donnent la structure du

graphe modélisant le réseau WDM à fibres optiques en question.

Le tableau C donne la borne supérieure ou capacité maximale de chaque arc du graphe :

c’est la capacité maximale de chaque lien du réseau WDM à fibres optiques. Par exemple, pour

relier le nœud A au nœud B on utilise k-fibres et pour chaque fibre on utilise n canaux WDM

lors du multiplexage en longueur d’onde. La capacité maximale de ce lien sera donc n fois k.

Le tableau GAMMA présente les coûts unitaires du flot sur les arcs du graphe : c’est le

coût d’utilisation d’un canal WDM d’un lien qui relie deux sommets A et B. Ce coût peut

prendre en compte différents paramètres comme la distance entre les deux sommets, le coût

d’installation des infrastructures,...

Remarque :

En général on utilise des câbles à fibres optiques de même propriétés pour chaque lien. Ce

qui fait que chaque lien aura la même capacité maximale.

IV.3.1.2. La saisie des données

Après le lancement du fichier exécutable, seules sont activées les deux cases supérieures :

N sommets, le nombre de sommets du graphe (nœuds du réseau) et M arcs nombre d’arcs du

graphe orienté (liens de k-fibres du réseau WDM à fibres optiques).

Selon les valeurs de N et M des cases des tableaux LP, LA, OR, EX, C, GAMMA seront

activées tel que :

- LP est de dimension N+1 et l’on aura N+1 cases activées.

Exemple, si N = 5 alors il y a 6 cases activées dans le tableau LP.

- LA, OR, EX, C, GAMMA sont de dimension M et on aura M cases activées.

Exemple, si M = 8, alors il y a 8 cases activées dans les tableaux LA, OR, EX, C ET GAMMA.

Donc pour éviter des erreurs de dimensionnement des tableaux lors de la saisie des

données, l’utilisateur n’a qu’à remplir les cases activées avec les données correspondantes selon le

principe ci-dessus.

64

Remarque :

Toutes les cases du tableau GAMMA restent toujours inactivées car la nécessité du tableau

GAMMA dépend du choix de SIMULATION (flot maximum ou flot à coût minimal) que l’on

veut appliquer au réseau.

IV.3.2. La partie SIMULATION

C’est dans cette étape que l’on détermine la simulation à appliquer au réseau. On a deux

choix dont un seul peut être activé :

- Flot maximal

- Coût minimal

IV.3.2.1. Cas du Flot maximal

Ceci utilise l’algorithme de recherche d’un flot maximum dans le graphe dont la

structure est donnée dans la partie STRUCTURE DU GRAPHE ainsi que la capacité maximale

de chaque lien du réseau. Le tableau GAMMA reste toujours inactivé car on n’a pas besoin du coût

unitaire de chaque arc : le but c’est de trouver le flot maximal entre deux sommets (source et

destination) en tenant compte de la contrainte de la borne supérieure sur chaque arc. Ainsi on a

deux cases à remplir :

- ORIGINE : le numéro du sommet d’origine ou source

- EXTREMITE : le numéro du sommet d’extrémité ou destination

L’algorithme de recherche d’un flot maximum sert à tester l’optimalité d’un réseau dont les

infrastructures sont déjà installées. En effet, étant donnée la topologie physique du réseau avec la

capacité maximale de chaque arc, en appliquant cet algorithme on trouvera le flot maximal que l’on

peut pousser entre deux sommets. A partir des résultats obtenus après la simulation, on peut décider

s’il est possible d’augmenter le flot circulant entre les deux nœuds : ceci se fait sans installer de

nouvelles infrastructures. Dans le cas contraire, c’est à dire que le flot maximal est déjà atteint pour

chaque couple de sommets constituant l’instance de communication, le réseau est déjà optimal.

Dans ce cas on utilise l’algorithme de recherche d’un flot de coût minimal avec bornes

inférieures nulles.

65

IV.3.2.2. Cas du Coût minimal

Cette fois-ci on a besoin des données du tableau GAMMA pour obtenir le coût de passage

d’une unité de flot sur chaque arc du réseau. M cases du tableau GAMMA seront alors activées (M

étant toujours le nombre d’arc du graphe). On va aussi imposer la quantité de flot que l’on veut

pousser entre deux nœuds origine et extrémité. Ainsi on a trois cases à remplir (à part des cases

activées du tableau GAMMA):

- ORIGINE : le numéro du sommet d’origine ou source

- EXTREMITE : le numéro du sommet d’extrémité ou destination

- QUANTITE_DE_FLOT : quantité de flot que l’on veut pousser entre les deux

sommets origine et extrémité

Après l’exécution du programme, deux cas peuvent se produire :

1er cas :

La quantité de flot que l’on a imposé est supérieure à celle du flot maximal qui peut

circuler entre les deux sommets origine et extrémité. Une fenêtre de message est apparue à

l’écran.

Tout en considérant les données saisies dans la partie STRUCTURE DU GRAPHE, on va

afficher les résultats (cf. partie RESULTATS) en tenant compte du fait que la quantité de flot

circulant entre les deux sommets origine et extrémité est la quantité de flot maximal possible, non

pas la valeur imposée par l’utilisateur.

Il faut donc augmenter la capacité maximale (soit le nombre de fibres dans les câbles soit

le nombre de canaux WDM dans chaque fibre) de l’arc concerné afin que la quantité de flot

imposée puisse être véhiculée du sommet origine au sommet extrémité.

2e cas :

C’est le cas contraire du 1er cas c’est-à-dire que la quantité de flot que l’on a imposé est

inférieure à celle du flot maximal qui peut circuler entre les deux sommets origine et extrémité.

Dans ce cas, on va afficher les résultats (cf. partie RESULTATS) en tenant compte de la quantité

de flot imposée (valeur saisie dans QUANTITE_DE_FLOT)

66

Remarque :

Cet algorithme est utilisé lors de la conception du réseau WDM tout-optique

(dimensionnement) dont l’instance de communication (requêtes de communication) est prévue à

l’avance afin de réduire le coût total du réseau.

IV.3.3. La partie RESULTATS

C’est dans cette partie que les résultats seront affichés. On observe deux types de résultat :

- Flot Max (zone de texte)

- FLOT (tableau)

IV.3.3.1. Le résultat Flot Max (zone de texte)

Sa valeur dépend de l’algorithme que l’on a choisi dans l’étape SIMULATION :

IV.3.3.1.1. Cas du Flot maximal

La valeur du flot maximal pouvant passer (en même temps) du sommet source

(ORIGINE) au sommet destination (EXTREMITE) s’affiche dans la partie RESULTATS.

IV.3.3.1.2. Cas du Coût minimal

1er cas :

Si la quantité de flot que l’on a imposée est supérieure à la celle du flot maximal qui peut

circuler entre les deux sommets origine et extrémité, Flot Max affiche la valeur du flot maximal

pouvant passer (en même temps) du sommet source (ORIGINE) au sommet destination

(EXTREMITE).

2e cas :

Si la quantité de flot que l’on a imposée est inférieure à celle du flot maximal qui peut

circuler entre les deux sommets origine et extrémité, Flot Max affiche la valeur du flot imposée

c’est-à-dire la valeur saisie dans QUANTITE_DE_FLOT.

67

IV.3.3.2. Le résultat FLOT ( Tableau )

Ce tableau est de dimension M (nombre d’arcs du graphe). Il donne la quantité de flots qui

passent en même temps sur chaque arc du graphe. Dans le cas d’un réseau WDM tout-optique,

chaque case représente donc le nombre total des canaux utilisés (en même temps) sur chaque lien

de câble à fibres optiques du réseau.

Remarques :

Pour lancer l’application, on clique sur le bouton VALIDER. Tant que ce bouton n’a pas

encore été cliqué, les cases de la partie RESULTATS restent toujours inactivées.

Pour faire entrer des nouvelles données, on clique sur le bouton NOUVEAU et une

nouvelle interface graphique apparaîtra.

Pour terminer l’application, on clique sur le bouton TERMINER.

V.4. Application du WDM SIMULATOR au cas de MADAGASCAR

ANTSIRANANA

ANTANANARIVO

TOAMASINA

FIANARANTSOA

MAHAJANGA

TOLIARY

6

5

2

4

1

8

7

9

3

Figure IV.3 : Trace des fibres optiques

68

ANTSIRANANA

ANTANANARIVO

TOAMASINA

FIANARANTSOA

MAHAJANGA

TOLIARY

6

5

2

4

1

8

7

9

3

Figure IV.4 : Instance de communication

IV.4.1. Les données du réseau

Nombre de nœuds : N = 6

Nombre d’arcs : M = 9

IV.4.1.1. Les nœuds du réseau

nœud N° 1 : ANTANANARIVO

nœud N° 2 : ANTSIRANANA

nœud N° 3 : FIANARANTSOA

nœud N° 4 : MAHAJANGA

nœud N° 5 : TOAMASINA

nœud N° 6: TOLIARY

IV.4.1.2. Les arcs du réseau

Unités :

[Coût] = Euro

[Capacité maximale] = flots

69

arc1: ANTANANARIVO → MAHAJANGA

- Coût: 2000

- Capacité maximale: 100

arc2 : ANTANANARIVO → TOAMASINA

- Coût: 1500


arc3 : FIANARANTSOA → ANTANANARIVO

- Coût : 1750


arc4 : FIANARANTSOA → TOAMASINA

- Coût: 3000


arc5 : MAHAJANGA → ANTSIRANANA

- Coût: 3500


arc6 : TOAMASINA → ANTSIRANANA

- Coût: 2750


arc7 : TOLIARY → ANTANANARIVO

- Coût : 5000


arc8 : TOLIARY → FIANARANTSOA

- Coût: 2500


arc9 : TOLIARY → MAHAJANGA

- Coût: 7500


IV.4.1.3. Les tableaux

LP 1 3 3 5 6 7 10

70

LA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 OR 1 1 3 3 4 5 6 6 6 EX 4 5 1 5 2 2 1 3 4 C 100 100 100 100 100 100 100 100 100 GAMMA 2000 1500 1750 3000 3500 2750 5000 2500 7500

Figure IV.5: Tableaux représentant les données du graphe

IV.4.2. Traitement des requêtes

IV.4.2.1. Flot maximal

Requête 1 : TOLIARY → ANTSIRANANA

L’origine de la requête 1 est le nœud N° 6 (TOLIARY) la destination est le N° 2

(ANTSIRANANA). On va appliquer la simulation Flot Maximal.

Figure IV.6: SIMULATION requête 1

71

Figure IV.7: RESULTATS requête 1

6

5

2

7

9

[100]

ANTSIRANANA

[100]

[100]

[100]

[100]

TOLIARY

Figure IV.8 : Routage de la requête 1

Requête 2 : FIANARANTSOA → ANTSIRANANA

La requête 2 sert à passer des flots allant du nœud N° 3 (FIANARANTSOA) vers le nœud

N° 2 (ANTSIRANANA). Pour voir la quantité de flots maximale possible on va choisir Flot

Maximal dans la partie SIMULATION.


72


ANTSIRANANA

[100]

6

3

4

[100]

[100]

FIANARANTSOA

1[100]

5[100]


IV.4.2.2. Coût minimal

IV.4.2.2.1. 1er cas ( cf. IV.3.3.1.2 Cas du Coût minimal 1er cas )

Requête 3 : TOLIARY → ANTSIRANANA avec QUANTITE_DE_FLOT = 300.

On souhaite transporter 300 flots du nœud N° 6 vers le nœud N° 2 (TOLIARY →

ANTSIRANANA). D’après le résultat de la Requête 1 on constate que cette quantité (300) est

supérieure à celle maximale (200) pouvant circuler entre ces deux nœuds.

73


Figure IV.13: Fenêtre de message requête 4


6

5

4

8

1

7

[100]

ANTSIRANANA

[100]

[100]

[100]

[100]

[100]

TOLIARY


74

IV.4.2.2.2. 2e cas ( cf. IV.3.3.1.2 Cas du Coût minimal 2e cas )

Requête 4 : FIANARANTSOA → ANTSIRANANA avec QUANTITE_DE_FLOT = 175.

On impose une quantité de flots 175 et l’on cherche le parcourt à Coût Minimal pour cette

requête.



2

4

8

7

[75]

[100]

TOAMASINA

[75]

[100]TOLIARY


75

CONCLUSION

A travers ce mémoire, nous avons pu décrire la transmission par fibres optiques tout en

partant des notions indispensables à ce propos. Puis nous avons détaillé les réseaux tout-optiques

utilisant la technologie WDM supportant un débit atteignant le térabit par séconde. Ensuite nous

sommes emmenés à étudier le problème de routage dans le cadre de conception et de

dimensionnement d’un réseau optique pour satisfaire une certaine demande de trafic prévue au

préalable. C’est ainsi que des notions théoriques des graphes sont prises comme support afin de

modéliser les réseaux WDM. Des algorithmes sont donnés en vue de résoudre les problèmes que

nous avons donnés. Ce mémoire a aussi l’intention d’apporter son humble contribution à

l’installation du backbone national à Madagascar et c’est la raison pour laquelle nous avons

appliqué le logiciel WDM SIMULATOR ainsi conçu, par moi-même, au cas de Madagascar.

Notre modélisation théorique tend à simplifier la structure réelle des réseaux de

communication optiques et les objectifs d’optimisation, tout en conservant les caractéristiques

essentielles des problèmes rencontrés en pratique. Des généralisations vers des modèles plus

larges seraient souhaitables. En particulier, nous pourrions considérer des réseaux tout-optiques

possédant des capacités limitées de conversion et des ensembles de longueurs d’onde disponibles

différents selon les liens. De plus, nous pourrions chercher à optimiser des fonctions de coût sur

les routages optiques qui prennent en compte la complexité des nœuds de commutation

nécessaires pour les réaliser.

76

ANNEXES :

ANNEXE 1 : Preuve de la Proposition III.1 [19]

Supposons qu'il existe un routage de ( )M sG, utilisant c couleurs. Considérons une

requête ( ) M sys ∈, et le chemin ( )ysi ,γ correspondant au routage. Dans le graphe auxiliaire

G ck, le chemin se réalise dans la copie Gi du graphe G, et il constitue pour G ck, , en ajoutant au

début du chemin le sommet S et à la fin t y et T, un flot de valeur 1. La contrainte de conservation

est respectée : sur un sommet xi appartenant à ce chemin, différent de la source et du puits, une

unité de flot entrant ressort vers le prochain sommet du chemin.

Le fait que nous ayons un routage implique que par un arc passent au plus k chemins

associés à la même couleur. Donc sur un arc d'une copie Gi, il n'y a pas plus de k unités de flot qui

passent.

Pour les sommets de G ck, correspondant à un destinataire y de G, un seul reçoit du flot,

celui correspondant à la couleur du chemin. Une unité de flot passe alors entre lui et t y .

Ainsi chaque t y reçoit une unité de flot, et donc T reçoit autant d'unités de flot qu'il y a de

destinataires, soit M s unités de flot.

Inversement supposons qu'il existe un flot de quantité M s entre S et T. Du fait de la

contrainte de capacité qui veut que sur chaque arc ( )Tt y , il y ait au plus une unité de flot, et du

fait que le cardinal de M s est égal au cardinal de l'ensemble des t y , on en déduit, grâce à la

contrainte de conservation, que chaque sommet t y reçoit une unité de flot. Comme le flot est

entier, il ne peut provenir pour chaque t y que d'une copie Gi. A ce flot correspond un chemin

dans G affecté de la couleur donnée par le numéro de la copie. Pour chaque requête ( )ys, , un

chemin associé à une couleur est ainsi construit dans G. Le flot respecte la contrainte de capacité,

donc sur un arc d'une copie Gi il n'y a pas plus de k unités de flot qui passent, et pour cette raison,

il n'y a pas plus de k chemins ayant la même couleur qui passent par l'arc correspondant dans G.

Nous obtenons ainsi un routage de ( )M sG, .

77

ANNEXE2 : Preuve de la proposition III.2 [19]

Supposons qu'un routage de ( )IG, existe. Chaque multicast est traité comme

précédemment. Nous obtenons un ensemble de flots suivant les chemins du routage affectés à des

copies dans G ck, selon leur couleur. Les puits Tl reçoivent un flot de quantité égale au cardinal

du multicast qui leur est associé. Les contraintes de conservation sont respectées, il suffit de

considérer chaque flot séparément et de se ramener au cas du multicast. La contrainte de capacité

est aussi respectée, pour la même raison que précédemment : il n'y a pas plus de k chemins ayant

la même couleur qui passent par un même lien dans G. La quantité totale des flots qui passe par un

arc de G ck, n'excède donc pas k. Le multiflot voulu est construit.

Supposons qu'un multiflot passe dans G ck, . Un flot détermine un ensemble de chemins,

qui rapportés dans G, satisfont un multicast de I. Ainsi I est satisfait par l'ensemble des chemins

déterminés à partir du multiflot. La contrainte de capacité est respectée, comme précédemment. La

somme des quantités de flots passant par un arc est plus petite que k, donc il n'y a pas plus de k

chemins de même couleur qui passent par un même arc. Le problème du routage est résolu avec au

maximum c couleurs.

78

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Sopena, professeur à l' I.U.T de Technologie de l'Université Bordeaux 1.

[20] Éléments de théorie des graphes Compte rendu issu d'une présentation réalisée par Éric

Sopena, professeur à l' I.U.T de Technologie de l'Université Bordeaux 1. Août 2004

[21] Dimensionnement des réseaux WDM : Modélisation et approximation. Hervé Rivano,

MASCOTTE (CNRS-I3S-INRIA) FRANCE TELECOM R&D (DMI/ISE)

SEMINAIRE DU LIP, LYON, 29 OCTOBRE 2002

[22] GRAPHES ET ALGORITHME par M. GONDRAN ET M. MINOUX.

DUNOD informatique - 1978.

[23] THEORICAL IMPROVEMENTS IN ALGORITHMIC EFFICIENCY FOR NETWORK

FLOW PROBLEMS , J. EDMONDS ET R.M.KARP. DUNOD informatique - 1978.

[24] http ://www.softndesign.org/?page=manuels/fortran.php

[25] Fortran 90 une introduction J.P. Vilotte te P. Favreau December 5, 2002

Nom : RANDRIANANDRASANA

Prénoms: Ndrianaja

Adresse de l’auteur : LOT 3604 / IV / 021 bis Bateravola

FIANARANTSOA - 301

Madagascar

Tél : 033 14 080 82

e-mail : [email protected]

Titre de mémoire : OPTIMISATION DES RESEAUX WDM TOUT-OPTIQUES

Nombre de pages : 79

Nombre de figures : 51

Mots clés :

- fibres optiques,

- réseaux tout-optiques,

- WDM,

- optimisation,

- graphe,

- flot,

- routage optique,

- FORTRAN.

Directeur de mémoire : RATSIHOARANA Constant

Résumé : Ce mémoire traite le problème de l’optimisation des réseaux tout-optiques utilisant la

technologie WDM et ayant comme objectif de minimiser le nombre de longueurs d’onde utilisées.

Il a aussi l’intention d’apporter son humble contribution à l’installation du backbone national en

fibres optiques à Madagascar.

Abstract:

This memory treats the problem of the all - optics networks optimization using the WDM

technology and having like objective to minimize the number of wave lengths used. He also has

the intention to bring his humble contribution to the installation of the national backbone in optic

fibers in Madagascar.

MEMOIRE DE FIN D’ETUDES en vue de l’obtention du DIPLOME D ...

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