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Mémoire de DEA Prédiction de couverture radio Année 2001/2002

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Eric JULLO

Mémoire de DEA

Prédiction de couverture radio

Tuteur de DEA : Jean Marie GORCE (CITI)


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Table des matières

I. Résumé ................................................................................................................4

II. Présentation du sujet ...........................................................................................4

III. Synthèse bibliographique ....................................................................................5

A. Introduction.................................................................................................................... 5

B. Méthodes macrocellulaires ............................................................................................ 5

C. Méthode microcellulaire – Le Ray-Tracing................................................................. 6

D. Autres méthodes déterministes ..................................................................................... 9

E. Méthodes Multi-résolution ....................................................Erreur ! Signet non défini.

F. Conclusion..................................................................................................................... 10

IV. Description du travail ........................................................................................10

A. La méthode mathématique....................................................Erreur ! Signet non défini.

B. Définition des structures de données .......................................................................... 21

C. Implémentation.......................................................................Erreur ! Signet non défini.

V. Discussion, synthèse et perspectives ..................................................................29

VI. Bibliographie.....................................................................................................31

Mots clés : réseaux sans fil, simulation numérique, modélisation 3D, imagerie multi-résolution


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I. Résumé Les technologies sans fil sont actuellement en plein essor. L’apparition il y a 3 ans de

la technologie IEEE802.11b en France a permis l’explosion de ce marché. Cependant, le déploiement de réseaux sans fil en environnement ‘Indoor’ repose

aujourd’hui sur une approche des plus empiriques. L’augmentation du nombre d’utilisateurs risque de conduire à une baisse de la qualité des transmissions et des services associés.

De nombreuses méthodes de planifications permettant de calculer la puissance de couverture en chaque point de l’espace pour une position d’antenne existent déjà mais nécessitent énormément de ressources. La méthode originale proposée par J.M. Gorce du laboratoire CITI, repose sur un traitement de la propagation bidimensionnelle non plus temporellement mais fréquentiellement ce qui permet d’accélérer le temps de calcul d’un facteur d’échelle. C’est une méthode récursive qui bénéficie des tous les avantages offert par les techniques multi-résolutions.

Durant ce DEA, nous avons mis au point de nouvelles structures de données et de nouveaux algorithmes qui permettent dorénavant l’utilisation d’une pyramide irrégulière. Il est ainsi possible d’obtenir le champ moyen pour chaque pièce. En outre, plus les pièces se ressemblent, plus le calcul est accéléré car on peut réutiliser des calculs d’une pièce à l’autre.

Finalement, nous avons abouti à une bibliothèque mathématique JAVA très modulable qui permet de prédire rapidement la couverture en radio dans un environnement indoor.

II. Présentation du sujet Dans le contexte de la planification de réseaux radio Indoor, un des problèmes

principaux est le positionnement des antennes émettrices. Une solution consiste à effectuer des mesures sur site pour évaluer la zone de couverture. Cependant cette technique demande la mise en place de moyens techniques importants. L’alternative proposée est l’utilisation d’un logiciel de prédiction de couverture radio. Il existe déjà de nombreuses méthodes de prédiction en particulier les méthodes de type lancer de rayons, ou plus communément « ray-tracing ». Ces méthodes sont potentiellement très rapides. Tout dépend de la précision souhaitée. Cependant, la complexité et le temps de calcul augmente avec le nombre d’obstacles, et la simulation de phénomènes comme la diffraction coûte cher. L’utilisation de ces méthodes en environnement Indoor n’est pas actuellement satisfaisante.

La méthode des flux partiels (ParFlow) proposée par Chopard et al. aborde le problème sous un angle différent. C’est une méthode de discrétisation des équations de Maxwell par éléments finis sur une grille régulière. Cette méthode a été appliquée en 1997 [38] dans le contexte de la planification radio, pour un environnement urbain en GSM. Les auteurs ont montré la qualité de prédiction de ce moteur. L’inconvénient majeur de cette méthode réside dans sa complexité en temps de calcul. Dans [39], Chopard et al. ont proposé une implantation sur machine parallèle, pour permettre d’obtenir des temps de calculs acceptables.

Gorce et al. [36] ont proposé de réécrire cette méthode dans le domaine fréquentiel, ce qui permet de ramener le problème à la résolution d’un système linéaire, tel que détaillé ci-après.

Enfin Gorce et al. [37] ont proposé la résolution de ce système par une approche multi-résolution, ou pyramidale, qui permet d’accélérer fortement les temps de calcul. Nous verrons qu’une telle approche permet la réduction du temps de calcul d’un facteur asymptotique


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significatif : pour un espace 2D de taille NxN, on a une complexité de calcul proportionnelle à N2..log2(N), au lieu de N3, pour la méthode initiale dans le domaine temporel.

La seule contrainte de cette approche est de limiter la résolution du problème à l’étude d’une source monofréquentielle, ou harmonique, et de ce fait la différentiation des chemins multiples n’est plus explicite. On notera que dans la méthode initiale de Chopard et al. [38] l’analyse des chemins multiples aurait requis la simulation de sources impulsionnelles, et par là, le stockage de toutes les itérations. Ce n’était pas fait en pratique.

L’objectif de ce DEA est l’implantation, l’évaluation et l’optimisation de cette

méthode dans un environnement de programmation objet, sous JAVA. Nous étudions les différentes structures possibles de pyramides pour accélérer les temps de calcul. Nous formalisons les 2 étapes de calcul : pré-traitement et calcul de couverture.

Nous évaluons la complexité de calcul des méthodes implantées.

III. Synthèse bibliographique

A. Introduction Le but de cette partie n’est pas de recenser l’ensemble des méthodes de propagation

existantes, mais de montrer comment nous en sommes arrivé à adopter la méthode ParFlow afin d’améliorer les performances des méthodes théoriques préexistantes. Dans une première partie nous verrons les premières méthodes statistiques de prédiction. Ensuite nous étudierons quelques méthodes déterministes et en particulier la méthode du lancer de rayon. Enfin, nous évoquerons des solutions possibles au problème central des méthodes temporelles et en particulier à la méthode ParFlow qui est l’accélération du temps de calcul.

B. Méthodes macrocellulaires

Méthodes statistiques

Les premiers modèles de prédiction de couverture radio en mode broadcast destinés à la télédiffusion ou radiodiffusion sont apparus dans les années 60 avec le modèle statistique de Okumura. Ce modèle, encore très populaire du fait de sa simplicité de mise en œuvre, est basé sur un grand nombre de mesures effectuées à différentes fréquences. Il en a été déduit un ensemble de méthodes statistiques permettant de déterminer l’intensité du champ médian dans différent environnements : urbain, semi-urbain, quasi-ouvert, ouvert. Des coefficients d’erreurs permettent d’ajuster les méthodes au type de terrain à analyser en paramétrant le degré de collines, de terrains accidentés, de montagnes isolées, de zones de bord de mer, la direction des rues, etc.

Ce modèle n’est pas recommandé pour des fréquences inférieures à 150 MHz, mais il est fréquemment utilisé pour l’agencement des cellules dans les réseaux mobiles type GSM.

Le modèle de Okumura est particulièrement bien adapté aux milieux urbains. Cependant, les termes urbain, semi-urbain, etc. qui caractérisent entre autre une répartition particulière des immeubles sont à utiliser avec discernement. Ayant été développé au Japon, ce modèle n’est pas parfaitement adapté à nos cités européennes ou américaines.

Les modèles de Okumura ont été repris dans les années 80 par Hata qui en a déduit des expressions analytiques rendant possible leur implémentation. Cependant, il a été obligé de réduire le nombre de paramètres, réduisant du même coup les capacités du modèle. Notamment, la longueur du chemin de propagation a été limitées à 20 km.


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Récemment, Hata et Davidson ont revu ce modèle. Ils ont ajouté le paramétrage de la hauteur de l’antenne de réception, des corrections sur les fréquences ainsi que la possibilité de calculer des chemins allant jusqu’à 300 km.

Il faut également noter que le modèle de Hata/Davidson calcule l’intensité du champ médian en fonction du type de terrain sur lequel se trouve l’antenne d’émission et non pas en fonction de l’intégralité de la topographie suivie par le chemin de propagation. Ceci conduit parfois à des pertes inférieures à celles qui seraient obtenues dans le vide. Dans ce cas, on conserve la valeur du signal qui serait reçu dans le vide.

Bien qu’intéressantes appliquées à leur domaine, ces techniques sont bien trop approximatives dans le contexte de la propagation indoor.

C. Méthode microcellulaire – Le Ray-Tracing Contrairement aux modèles statistiques macrocellulaires qui prédisent une couverture

radio moyenne et pas très précise essentiellement en milieu ouvert, les modèles microcellulaires essaient de prédire une zone de couverture moins étendue mais plus précise. C'est modèles sont essentiellement destinés aux installateurs de réseaux mobiles en environnement urbain ou semi-urbain.

D'après le nombre d'articles trouvés dans la littérature, il semble que le ray-tracing soit la méthode de prédiction de couverture radio la plus en vogue. Cela signifie qu'une méthode alternative devra fournir de meilleurs résultats pour espérer sortir de l'ombre.

Petit Historique

D'après Rajkumar dans [16], c'est McKnown dans [23] qui proposa le premier en 1991 d'associer le ray-tracing et une base de données géométriques pour simuler la propagation des ondes dans un réseau radio. Cependant, McKnown traçait les rayons à partir du récepteur ce qui limitait beaucoup le nombre de récepteurs pouvant être simulés. En 1992, Schaubach et al. dans [24] proposèrent d'y ajouter les caractéristiques électromagnétiques des bâtiments. En 1993, Seidel dans [25] utilisa le ray-tracing pour prédire les phénomènes de diffractions. C'est en 1993 également qu'apparurent les premières simulations en milieu Indoor (Valenzuela [26]). En 1994 Hussmann dans [27] se servit du ray-tracing pour la gestion des ressources radio et en particulier le handover et l'allocation de canaux. En 1994, Wagen dans [28] entama les premières analyses de l'effet du passage d'une zone en vision directe du transmetteur à une zone d'ombre, par exemple le fait de tourner au coin d'une rue. En 1993, Kreuzgruber dans [29] puis dans [30] en 1994 proposa les premiers algorithmes de division des rayons incidents sur une surface afin de maintenir une résolution spatiale minimale.

Présentation du Ray-Tracing

Connaissant les grands principes physiques de la théorie de la propagation ondulatoire, on peut dire que le modèle du lancer de rayon permet de tout modéliser. Seulement, pour se rapprocher de la réalité, de nombreux paramètres doivent être pris en compte et optimisés. L'ensemble des articles parus récemment se focalisent en général sur un point précis et essayent d'améliorer ses performances. Ainsi, il existe de nombreux axes de recherche.

Diminuer les erreurs de résolution

a) Sphère d'émission Un transmetteur est modélisé par une source sphérique positionnée dans l'espace et

depuis laquelle sont émis de manière isotrope un ensemble de rayons. Cette sphère n'est pas vraiment une sphère mais plutôt un ballon de football à plus ou moins de faces. Un rayon est dirigé par un vecteur allant du centre de la sphère vers le centre de chaque face. Plus le


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nombre de face est élevé, meilleure est la résolution de la prédiction. Kanatas dans [2] propose quelques relations entre le nombre de rayons émis et la séparation angulaire entre deux rayons adjacents. S. Fortune dans [20] compare les deux méthodes beam-tracing et ray-tracing et conclu que le beam-tracing est plus rapide que le ray-tracing à mesure que la séparation initiale entre les rayons augmente.

Evidemment, chaque cas particulier permet de développer une variante des modèles généraux afin de réduire le temps de calcul. Par exemple, dans le cas d’une antenne posée contre un mur, seuls les rayons situés dans un cône d'émission au-dessus de l'antenne sont pris en compte.

b) Les différents modèles de rayon

De nombreux articles proposent chacun une nouvelle méthode permettant d'améliorer la résolution spatiale. A l'origine, le rayon utilisé en ray-tracing était modélisé par une suite de vecteurs issus de l'émetteur. Le beam tracing polygonal ou conique proposé par Rajkumar dans [16] modélise le front d'onde comme un ensemble de cônes adjacents issus de la sphère d'émission et possédant la même intensité en tout point du polygone ou du cercle inscrit sur le même front d'onde. A l'intersection d'un mur, le cône est divisé en plusieurs sous cônes de manière à conserver la résolution spatiale. Cette technique est bien expliquée par Rajkumar et Lott respectivement dans [16] et [17]. D'après Flores dans [19], le beam-tracing ou tube launching est moins coûteux en temps que le ray-tracing simple et réduit intrinsèquement les erreurs d'échantillonnage. Malheureusement, dans un environnement trop complexe, il approxime les petites irrégularités de l'environnement et fournit une mauvaise prédiction.

c) La réception

Globalement, il existe deux grands modèles : la méthode "brute force" et la méthode image. La première lance des rayons dans toutes les directions. Le chemin de propagation de chaque rayon est calculé jusqu'à ce qu'il ait effectué un certain nombre de réflexions ou que sa puissance soit passée sous un certain seuil. Tous les rayons qui passent au voisinage du récepteur, défini par un cercle en 2D ou une sphère en 3D contribuent au signal reçu. Malheureusement, cette méthode ne permet pas d'affirmer que le récepteur à reçu l'ensemble des rayons possible. De plus, le chemin de beaucoup de rayons inutiles est calculé. Enfin, la précision est très dépendante de la résolution angulaire de la sphère d'émission. La seconde méthode ne considère que les rayons allant de la source au récepteur. Elle a pour avantage de calculer l'ensemble des rayons reçu. Elle est très rapide. Malheureusement, elle est très sensible à la complexité de l'environnement et n'est utilisable que dans certains contextes simples, par exemple, un quadrillage de rues.

d) La diffraction

Prédire les effets de la diffraction est un thème de recherche majeur. Quasiment tous les modèles de ray-tracing utilisent la Théorie Uniforme de Diffraction (UTD) définie par Kouyoumjian et Pathak en 1974 [31] et reprise en 1995 par W. Zhang [32].

De nombreuses études statistiques ont permis de différentier différentes configurations pour lesquelles il est possible d'optimiser les algorithmes de calcul comme le montre Pousset dans [4].

Tout pour optimiser les calculs

Malgré l'augmentation de la puissance de calcul des ordinateurs, le ray-tracing nécessite toujours d'énormes ressources. En outre, plus on aura de ressources, plus on sera


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exigent face aux machines. En conséquence, dans de nombreux articles, les auteurs essayent de faire le plus d'approximations possible pour conjuguer performances et résultats.

Certains comme Zhang ou Kanatas justifient les approximations 2D [6][21]. Won, ou Rajkumar préfère le 2D ½ respectivement dans [1] et [16]. Evidement, plus on fait d'approximation, plus on s'enferme dans un cas particulier. Par exemple Zhang dans [6], pour approximer en 2D, considère l'émetteur et le récepteur plus bas que les bâtiments environnants ainsi les rayons directs et les rayons réfléchis sur le sol suivent à peu près le même chemin optique.

Néanmoins, on remarquera qu'en Indoor, du fait du confinement de l'espace, on préférera rester en 3D.

D'autres comme Valenzuela dans [15] observent comment évolue la précision des prédictions quand on réduit le nombre de réflexions calculées. Il s'avère que dans la majorité des cas, il n'est pas nécessaire de calculer plus de trois réflexions.

La Modélisation de l'espace

Maurer dans [13] a observé que la façon dont on modélisait l'environnement de propagation pouvait permettre de gagner encore un peu de temps. Plutôt que de conserver l'ensemble des faces des bâtiments, on peut ne conserver que celles qui sont en visibilité directes. En effet, ce sont les réflexions sur ces faces qui fournissent la majorité du signal reçu par les récepteurs après les rayons provenant directement de l'émetteur. Pour cela, on projette l'espace en 3D sur le plan de l'émetteur perpendiculaire à l'angle de vue puis on applique l'algorithme de la sweeping-line pour ne conserver que les faces visibles directement par l'observateur. Une transformation inverse reconstitue l'espace 3D nettoyé des faces inutiles.

Une autre technique proposée par Rajkumar dans [16] consiste à construire un arbre binaire de partitionnement de l'espace (bspt). Plus on descend dans l'arbre, plus on atteint un niveau de détail important. Les feuilles contiennent des micro zones de l'espace se situant à l'intérieur ou à l'extérieur des objets. Si l'arbre est bien équilibré, on peut trouver très rapidement dans quelle zone se situe l'origine et l'extrémité du rayon, s'il traverse une face, s'il pénètre dans un objet ou bien s'il en sort. On peut alors ordonner le calcul des différents rayons en privilégiant ceux qui se réfléchissent sur des objets proches.

Un méthode proposée par Won dans [1] vient parfaire toutes les méthodes de ray-tracing. C'est une variante de la méthode image en plusieurs étapes. Premièrement, on considère un arbre dont la racine est l'émetteur. Le niveau inférieur contient les coordonnées de tous les points qui peuvent disperser un rayon : réflexion, diffraction. On descend récursivement dans l'arbre en liant à chaque nœud, tous les points de dispersion en vision directe. On aboutit à un partitionnement de l'espace. Il suffit ensuite de trouver la position d'un récepteur dans cet arbre puis de remonter le chemin optique qui mène à l'émetteur en notant par quel nœud on passe. Cette méthode est semble-t-il très rapide.

Malgré tout, est-il bien nécessaire de vouloir tout modéliser. Dans [7], Layer conclue que l'effet des meubles sur la prédiction de couverture radio est quasiment négligeable comparé au bon positionnement de l'émetteur et du récepteur ainsi qu'à la configuration du sol.


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Temps de calcul

Une comparaison des méthodes de ray-tracing qu’on trouvera en annexes montre que le temps de calcul le plus faible est de quelques secondes et le plus élevé qui correspond à la prédiction de couverture globale sur une ville est de plus d'une heure en 1995.

Evidemment ces résultats sont tous issus de méthodes et d'environnements différents et à ce titre ne donnent qu'une idée approximative des temps de calcul. De plus nous n’avons pas repris chaque méthode mais simplement rassemblé les résultats fournis dans les articles ce qui réduit encore la validité de l’étude. Néanmoins, il ne s’agit pas de déterminer la méthode la plus efficace mais simplement de se faire une idée quant au temps moyen de calcul nécessaire à la prédiction d’une couverture radio par la méthode du lancer de rayons.

Il faut également se souvenir que la puissance des machines est multipliée par 2 chaque année ce qui fait que depuis 7 ans, elle a du être multipliée par 14. Ainsi 1h de calcul en 1995 serait réduit à moins de 5min aujourd'hui.

D. Autres méthodes déterministes

FDTD

Une alternative à la technique du lancer de rayons est la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) basée sur la discrétisation des équations de Maxwell. Il existe deux articles fondateurs sur le sujet,un que Pahlavan présente dans [33] et “FDTD analysis of indoor radio propagation”[34] de J.W.H. Lee. Les champs électromagnétiques E et H sont discrétisé. La propagation des champs suit les équation de propagation de Taflove qui donnent la valeur du champ Ez en fonction des champs H des cellules voisines et de la valeur des incréments temporel et spatial ∆t et ∆. De même Hy est calculé en fonction du champ E des cellules voisines, de H à l’instant précédent et de µ0 la permittivité du vide.

L'avantage de cette méthode est son exactitude. L'inconvénient est son temps de calcul. Elle est donc réservée à l'étude dans des environnements souvent Indoor de petites dimensions (quelques longueurs d’ondes).

Dans [10], Wang tente de combiner le ray-tracing et la méthode FDTD. L'un servant au calcul dans des environnement Outdoor simple, l'autre étant réservé à l'étude à l'intérieures de petites boîtes virtuelles. L'article présente une méthode de propagation qui permet de passer du domaine de la FDTD au domaine du ray-tracing en proposant des relations entre le nombre de rayons incidents sur la surface de séparation des deux domaine et les champs E et H généré en FDTD.

Dans beaucoup d’articles qui se veulent proche de la réalité, la méthode FDTD est la méthode témoin. Les mesures physiques et la prédiction FDTD offrent des résultats quasiment identiques. La seule limitation se situe au niveau de la définition de l'environnement qui ne peut pas être parfaite.

ParFlow

Etant donné les capacités des méthodes temporelles et voyant que le seul obstacle provient du temps de calcul, il est tentant de focaliser son effort sur l'élaboration de nouveaux algorithmes. La méthode des flux partiels (ParFlow) proposée par Chopard et al. dans [38] est une méthode issue de la mécanique des fluides qui consiste à diviser un champ en une somme linéaire de 5 flux est, ouest, sud, nord et un flux réflexif. L'espace est discrétisé régulièrement en cellules comme avec la méthode FDTD. Chaque cellule possède 5 flux. On y fait ensuite évoluer un automate cellulaire pour prédire la couverture radio. Les flux sont propagés vers


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les cellules voisines. La propagation se poursuit jusqu’à atteindre la convergence de la prédiction, c’est à dire que le calcul s’arrête quand les échanges entre les cellules deviennent négligeables, c’est à dire quand la puissance de couverture se stabilise.

Dans [18], Guidec et al. partitionnent la zone géographique en bandes. Les bandes adjacentes sont allouées à des processus adjacents pour accélérer les échanges interprocessus. Un processus peut travailler avec plusieurs bandes. En entrelaçant des bandes de faible largeur, on s'assure que tous les processus se mettront à fonctionner juste après le lancement de la simulation. L'avantage de cette technique est qu'elle permet de faire travailler plusieurs ordinateurs en parallèles.

E. Conclusion Aujourd'hui, chaque méthode est associée à un type d'environnement particulier. Les

méthodes statistiques pour les grands espaces ruraux, le ray-tracing pour des environnement urbain ou semi-urbain et les méthodes temporelles pour la prédiction Indoor. Certain essayent de combiner ces domaines pour se rapprocher au plus près de la réalité.

La charge en ressources est un problème récurrent puisqu'on cherche toujours à obtenir de meilleurs prédictions. On s'aperçoit que seule l'entraide entre différents domaines de compétence (informatique, imagerie, physique) permettra d'obtenir des résultats probants.

IV. Description du travail

A. ASPECTS THEORIQUES Tout le travail effectué lors de ce DEA se base sur la méthode originale de prédiction

de couverture radio en environnement indoor proposée par J.M. Gorce dans [37]. Son originalité réside dans sa nouvelle approche du problème de la propagation radio.

Il s’agit d’une variation autour de la méthode ParFlow. Au lieu de travailler dans le domaine temporel par itération successives jusqu’à atteindre l’équilibre de la couverture radio, cette méthode travaille dans le domaine fréquentiel et aboutie directement à l’état d’équilibre.

Comme dans n’importe quel type d’approche de simulation, l’espace doit être discrétisé. Cette dernière doit respecter la loi de Shannon, c’est à dire que la résolution spatiale dr doit être au moins égal à :

E- 1 dtcdr 20 ⋅≤

avec dt la période d’échantillonnage. Approche temporelle ParFlow La méthode ParFlow proposée par Chopard et al. dans

[38] part de la discrétisation des équations de Maxwell pour justifier le découpage d’un champ électromagnétique en 5 flux partiels est, ouest, sud, nord ainsi qu’un flux réflexif f0. On obtient cette relation donnant la valeur du champ en fonction des flux partiels :

E- 2 ),().,(),(),(),(),(),( 00 jifjiYjifjifjifjifji SNEW ++++=Ψ

avec Y0 = 4n² - 4, n étant l’indice du milieu.

Figure1:flux décrivant le champ

électrique.

f -S

fE

fN

f -W

f0 x

Supprimé : <sp>


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En considérant que le champ émis par une cellule à un instant t contribue au champ

reçu par les 4 cellules voisines à l’instant t+dt, on aboutit à la relation suivante donnant les flux entrants dans les cellules voisines à partir des flux entrant dans la cellule de coordonnées (i,j) dans l’environnement.

E- 3

dtt

N

S

W

E

t

N

S

W

E

ij

dtt

N

S

W

E

jis

jis

jis

jis

jif

jif

jif

jif

jif

W

jif

jif

jif

jif

jif

++

+

⋅=

−+

−+

0

),(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

),(

)1,(

)1,(

),1(

),1(

00

Avec

=

ij

ijij

ijij

ijij

ijij

ijij

Y

Y

Y

Y

nW

βα

αα

α

1111

111

111

111

111

2

12

et nij l’indice de réfraction de la cellule et 44 2 −= ijij nY , 221 ijij n−=α , 42 2 −= ijij nβ .

La relation (1) est une relation temporelle pour une cellule. C’est cette équation qui a

constitué la base de l’implantation initiale de la méthode ParFlow. Il s’agit d’une approche itérative qui fait évoluer un champ.

En considérant les 4 flux sortants d’une cellule comme des flux entrants dans les 4 cellules voisines on peut construire une matrice bande de taille 5x5N — avec N le nombre de cellules dans l’environnement — donnant la valeur des 5 flux d’une cellule en fonction des flux des cellules voisines .

Cette matrice bande contient 5 matrices bloc Bk donnant la valeur du flux entrant orienté vers k (E,W,S,N) en fonction des flux entrants de la cellule voisine dans la direction opposée à k à l’instant précédent, qui ont la forme suivante :

=

ij

ijnB

β1111

00000

00000

00000

00000

2

120 ;

=

00000

00000

00000

00000

111

2

12

ijij

ijE

Y

nB

α

;

=

00000

00000

00000

111

00000

2

12

ijij

ijW

Y

nB

α ; etc…

En superposant les matrices bandes de toutes les cellules, on obtient une matrice

5-diagonales bloc W donnant les flux entrants de toutes cellules à partir des flux des cellules voisines et de la cellule elle-même à l’étape précédente. Pour un environnement de NxM cellules, la matrice W associée aura une taille (NxMx5)2 et elle aura la structure suivante :


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E- 4

=

−−−

−−−

)1()1()1(

)2()2()2(

)1()1()1()1(

)0()0(

0

0

0

0

]0[]0[

]0[]0[

]0[)0(]0[

MMM

MMM

BBB

BBB

BBBB

BBB

ES

WS

NWE

NW

OO

OOO

O

W

On omettra dans la suite l’indice de la cellule entre parenthèse m=i+j.Nx pour alléger

l’écriture.

Note : Pour dissocier les matrices –bloc (Wij, …) qui relient uniquement les flux d’une cellule vers ses voisines, et les matrices globales qui travaillent sur l’espace complet, les matrices globales sont représentées par des variables soulignées. De même F est un vecteur contenant les flux de toutes les cellules. Le vecteur S a la taille de F. Il est nul sauf pour les 4 flux sortants de la cellule source. A partir de ce formalisme, on peut écrire :

E- 5 (t)Sdt)-(tFW(t)F +⋅=

Passage au domaine fréquentiel , méthode directe Dans le domaine fréquentiel, la relation (E- 5) s’écrit

E- 6 )(S)(FW)(F ννν πν +⋅= − dtje 2

Pour toutes les fréquences qui composent le signal source. Afin de simplifier les calculs, on ne retient qu’une seule fréquence ν0. On peut faire

cette approximation car une antenne radio fonctionne à une fréquence d’émission fixée. Notre source devient une source permanente continue, c’est à dire qu’on considère qu’elle émet le même champ depuis un temps infini. On ne peut plus simuler d’impulsion.

La relation (E- 6) à la fréquence ν0 peut aussi s’écrire :

E- 7 (Id – W’ ).F(ν0) = S(ν0) avec W’ =W. e-j2πν0.dt

ou encore

E- 8 F(ν0) = M .S(ν0) avec M-1 = (Id – W’ ).

sous condition d’inversibilité de Id – W’ . Du fait de la structure 5-diagonales de W’ , et

du fait que ses coefficients sont tous inférieurs à 1, la matrice Id – W’ est à diagonale dominante et est inversible.

En régime permanent, on perd la notion du temps puisqu’à tout instant t, les flux entrants dans une cellule sont les mêmes. On peut alors exprimer les flux d’une cellule en


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fonction des flux des cellules voisines simplement en terme d’énergie échangée. Le phénomène de propagation se réduit alors à la résolution d’un système linéaire.

Dans la relation (E- 7), l’inversion directe de la matrice M-1 n’est peut-être pas la meilleure façon de procéder. Elle nécessite d’une part un temps de calcul relativement important et d’autre part beaucoup de ressources mémoire. Cependant, on peut remarquer que pour des environnements de petite taille, l’inversion directe fournit immédiatement les 5 flux de toutes les cellules et donc la couverture radio à la fréquence ν0.

Méthode itérative La relation (E- 7) peut encore s’exprimer à l’aide d’une série géométrique :

E- 9 L+⋅+⋅+=⋅=∑∞

=

SWSWSSWF 2k '''0k

Chaque terme W’ k.S de cette somme donne la contribution de la source déphasée de

(2πν0.dt)k par rapport à l’itération précédente ce qui revient à calculer les flux pour des cellules situées de plus en plus loin de la source. A la première itération, on obtient les flux des 4 cellules voisines de la sources puis on ajoute ceux des cellules voisines des voisines et ainsi de suite. A chaque itération, le flux de chaque cellule se précise. On arrête le processus quand les échanges de flux entre cellules deviennent négligeables.

On revient quasiment à la méthode temporelle puisque pour obtenir la couverture, il faut au moins que k soit égal à la taille de l’espace. De plus pour atteindre un équilibre, et tenir compte des réflexions multiples il faut effectuer le calcul sur un nombre d’itération largement supérieur (empiriquement supérieur à 10N).

Regroupement en blocs Le but du regroupement en blocs est de regrouper plusieurs cellules en 1 bloc et de

propager les flux entre ces blocs pour accélérer la propagation par la méthode itérative. Une fois qu’on a la couverture par blocs, on dispose de matrices qui permettent de retrouver les flux des cellules d’un bloc à partir des flux de ce bloc.

On appelle flux internes, les flux entre les cellules à l’intérieur du bloc et flux externes les flux d’échange entre blocs. Nous allons montrer tout d’abord comment supprimer le flux propre f0 d’une cellule puis comment étendre ce procédé à un bloc regroupant 2 cellules. Note : Ne pas confondre un bloc comme regroupement de cellules et comme matrice bloc.

Suppression du flux interne f0

La suppression des flux fo repose sur l’élimination des lignes et colonnes dans la matrice de propagation. Pour ce faire une inversion partielle est nécessaire. On repart de la relation (E- 7) et on sépare la matrice de propagation en 2 matrices, l’une étant une matrice bloc-diagonale :

E- 10 Id – W’ = Id – B’0 - B’ = M -1 – B’ = M -1.(Id – M.B’)

où M-1 = Id – B’0


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B’0 contient uniquement les blocs situés sur la diagonale de W’ qui donnent en régime permanent le flux interne f0 d’une cellule à partir des 5 flux de cette même cellule.

Cette décomposition permet de conduire à l’inversion d’une matrice M-1. Qui est diagonale par blocs de taille 5x5. Son inversion se fera donc par bloc, où chaque bloc correspond aux 5 flux d’une cellule. L’inversion de chaque bloc consiste à donner l’expression en régime permanent du flux f0, en fonction des 4 flux entrants.

Suite à cela, on peut donc réécrire (E- 7) de la manière suivante :

E- 11 ( ) SFBMM =⋅⋅−⋅− '1 Id

Ou encore sous la forme d’une suite géométrique comme on l’a déjà fait ci-dessus:

E- 12 ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=00

''kk

SMBMSMBMF kk

On remarque ici que comme on a séparé les blocs de calcul des flux internes f0 dans B’0 et les blocs de calcul des flux externes dans B’ , B’ ne contient plus les coefficients permettant le calcul du flux interne de chaque cellule. A la place, on a des 0. Comme une ligne de cette matrice ne contenait que ces 5 coefficients, elle est maintenant vide. Donc le produit B’.M contient des lignes vides. Soit R la matrice de projection unitaire sur le sous-espace des lignes non nulles de B’.M . L’équation de propagation s’écrit alors sans les flux internes :

E- 13 ∑∞

=

⋅=0

)0(

k

SWF k (0)

Où : W(0) = R.B’.M.Rt Le symbole (0) désigne les matrices associées au nouveau système linéaire à résoudre, constitué maintenant de 4 flux par cellule au lieu de 5. Le passage dans le domaine de Fourier a donc permis de réduire la dimension de l’espace de travail, sans aucune approximation sur le résultat final. On va maintenant démontrer qu’il est possible de procéder de même à des niveaux supérieures en regroupant les cellules sur un voisinage donné. On prendra comme exemple le regroupement de cellules par 2, même s’il est facile de généraliser à un regroupement sur un voisinage de taille quelconque. Regroupement en blocs de 2 cellules Le regroupement de cellules en blocs est très similaire au procédé de suppression des flux internes. Pour cela, nous partons de cellules à 4 flux. La structure de la matrice W(0) est :

=

−−

−−

]0[]0[1

]0[

]0[]0[

]0[

]0[)0(]0[]0[

)1()1(

)2()2(

)1()1()1(

)0(

)0(

MM

MM

ES

WS

NWE

NW

BB

BB

BBB

BB

OO

OOO

O

W

Nous allons voir comment regrouper horizontalement 2 par 2 les cellules de l’environnement. Soit le bloc 0 regroupant les deux cellules d’indice 0 et 1 horizontalement.


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On remarque que les flux E1 et W0 sont des flux internes car ils ne contribuent pas directement aux échanges du bloc avec l’extérieur. Les blocs permettant de les calculer, c’est à dire respectivement les blocs BE(1) et BW(0) sont maintenant des blocs de calcul des flux internes. Notons les blocs de niveau 1 suivant : B0 = [ B0(0) BW(0) ] BW = [ [0] [0] ] BN = [ BN(0) [0] ] etc. [ BE(1) B0(1) ] [ BW(1) [0] ] [ [0] BN(1) ] La matrice W(0) est une matrice 5-diagonales par blocs, comme l’était la matrice W’ où cette fois la taille des blocs est de 8x8. Ce bloc au lieu de représenter les échanges de flux internes à une cellule, représente les échanges de flux internes à un bloc de niveau 1. Si, comme précédemment, on décompose la matrice W en deux matrices B0 et B, la première contenant uniquement les blocs situés sur la diagonale. Encore une fois, on peut inverser la matrice Id-B0, par blocs, ce qui permet toujours de travailler localement sur les blocs de niveau 1. On obtient alors le système suivant :

E- 14 ∑∞

=

⋅=0

)1(

k

SWF k (1)

Où : W(1) = R.B’.M (1).Rt Comme précédemment, cette inversion a permis de calculer les flux internes en régime permanent en fonction des flux entrants, et on peut alors résoudre le problème au niveau 1 (regroupement des cellules 2 par 2), sans utiliser les flux internes. Ceci ce caractérise mathématiquement par l’apparition de lignes vides dans la matrice B, autorisant la projection du problème dans le sous-espace des flux d’échange entre blocs de niveau 1. La propagation entre blocs par la méthode itérative est encore plus rapide que dans le cas des cellules à 4 flux car on a supprimé deux lignes supplémentaires par bloc. Ce principe peut s’appliquer à un regroupement quelconque de cellules. Plus le facteur de regroupement est élevé, plus le nombre de flux internes supprimés sera important, mais en contrepartie, plus la taille des matrices associées à chaque bloc sera élevé. On pourrait alors rechercher à optimiser la taille des blocs, en effectuant un compromis entre complexité des calculs et place mémoire. Les cas extrêmes sont : - le regroupement total en un seul bloc, ceci revient à effectuer une inversion directe - le regroupement en bloc d’une seule cellule, comme présenté ci-dessus et conduisant

simplement à la suppression du flux f0. Nous discuterons dans la section suivante des performances relatives de ces 2 méthodes extrêmes. Plutôt que de rechercher cette taille optimale, nous proposons de construire une structure pyramidale, qui regroupe progressivement les blocs 2 à 2.

0 1 E1

W0


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La structure pyramidale On a vu dans la partie précédente comme il était facile de regrouper en blocs les

cellules 2 par 2. Pour des raisons que nous verrons plus tard, nous avons décidé de ne pas nous arrêter au regroupement de cellules mais de regrouper également les nouveaux blocs deux par deux afin de construire des blocs deux fois plus gros. A chaque regroupement, les nouveaux blocs construits constituent un nouveau niveau.

Si on considère un environnement de propagation carré dont la taille d’un côté est un multiple de 2, en regroupant les blocs successivement horizontalement puis verticalement, on aboutit à un bloc qui recouvre tout l’espace.

La méthode pyramidale est une méthode de propagation à part entière. Elle ne nécessite plus l’utilisation de la méthode itérative pour aboutir à la prédiction de couverture. En effet, au lieu de propager les flux de la source à un niveau donné, on les propage vers les niveaux supérieurs jusqu’à atteindre le bloc au sommet de la pyramide. Ensuite, on les propage dans tous les blocs de l’environnement en redescendant dans la pyramide.

De plus, cette méthode possède un énorme avantage. On n’est plus obligé d’effectuer les calculs globalement pour tous les blocs d’un niveau, on peut travailler localement sur un bloc. C’est à dire que chaque bloc possède des sous-matrices des matrices globales qui lui permettent de calculer les flux des blocs des niveaux inférieurs et supérieurs. Ceci réduit énormément l’espace mémoire nécessaire puisque les matrices globales sont généralement très creuses. Cependant, nous présenterons toujours les équations globales pour des raisons de compréhension et de synthèse. En pratique, les calculs sont effectués localement. La méthode pyramidale nécessite des matrices de passages entre niveaux qui doivent être calculées lors d’une phase de preprocessing. A chaque niveau n, la méthode pyramidale impose : • Le calcul d’une matrice de propagation des flux externes entre blocs de même niveau

E- 15 W(n)=R(n).B(n-1).M(n-1).R(n) t

avec R(n) matrice de projection sur le sous-espace des flux d’échange. • Le calcul d’une matrice qui permet de calculer le vecteur source de niveau n+1 à partir

du vecteur source de niveau n.

E- 16 Pup(n)= R(n+1).B’ (n).M(n)

Structure pyramidale et blocs associés Le bloc blanc est un bloc source qui se propage dans la pyramide.


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• Le calcul d’une matrice qui permet de calculer le vecteur des flux de niveau n-1 à partir du vecteur des flux de niveau n.

E- 17 Pdown(n)= M(n-1).R(n) t

Ensuite, le processus de propagation se décompose en 2 phases : • Propagation d’une source du niveau 0 jusqu’au bloc sommital • Propagation des flux du bloc source sommital vers les blocs de niveaux inférieurs

jusqu’au blocs de niveau 0. La propagation de la source vers le bloc sommital se fait de la façon suivante. Si on a un vecteur source à un niveau n, on peut calculer le vecteur source de niveau n+1 grâce à la relation : S(n) = Pup

(n-1).S(n-1) En pratique on propage uniquement le bloc source de niveau n de taille 2nx2n au niveau n+1.

Propager un flux vers un autre bloc entraîne une réaction de la part de ce bloc. Cette réaction se traduit par un flux de réaction. L’échange dure jusqu’à se stabiliser. Grâce au régime permanent et à la méthode fréquentielle, on peut trouver une matrice qui donne la valeur de ces flux de réaction à partir du flux émis à l’origine. Ces flux de réaction sont tout simplement, les flux internes des blocs de niveau n+1. La matrice qui donne les flux internes du niveau n+1 est la matrice inversée M(n+1). La propagation des flux du bloc source sommital vers les blocs de niveaux inférieurs se fait par itération. Si on a le vecteur des flux de niveau n, le vecteur des flux de niveau n-1 est donné par la relation : F(n-1) = Pdown

(n).F(n)+S(n-1) (6) Physiquement, on propage les flux entrants d’un bloc de niveau n+1 vers les flux entrants de 2 blocs de niveau n.

Un bloc se propage donc toujours dans ses blocs fils. La pyramide est donc un arbre binaire dans lequel les nœuds sont des blocs avec leurs matrices de passage au niveau supérieur et inférieur.

S(n)

S(n+1)


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Evaluation des méthodes

Il est fondamental d’évaluer l’intérêt potentiel de cette approche pyramidale par rapport aux autres approches sur deux aspects : la complexité des calculs et la place mémoire.

J’ai donc effectué l’évaluation à partir de 3 critères : • La place mémoire nécessaire • La complexité de la phase de prétraitement • La complexité de la phase de propagation d’une source

Deux méthodes seront prises en référence :

• La méthode directe • La méthode itérative (temporelle ou spectrale) On prend en compte, dans les 2 cas, la méthode dans le domaine fréquentiel, après réduction du nombre de variables intermédiaires aux 4 flux directifs associés à chaque cellule. On se place dans le cas d’un environnement de taille NxxNy avec Nx = Ny = N = 2k

En application numérique, et afin de donner un ordre de grandeur, on prendra un espace de 1024x1024. Pour 1 fréquence de travail de 1GHz, et en utilisant la limite soit dr=λ/6, on obtient une résolution de 5cm. L’espace d’exemple correspond à un environnement de 50mx50m. Ce qui correspond déjà à une taille significative.

Méthode itérative On considère l’approche itérative de base avec des cellules à 4 flux dans le domaine fréquentiel. La méthode temporelle a une complexité de même ordre de grandeur. Pretraitements Il n’y a aucune matrice à inverser. Il n’y a donc pas de prétraitement des données. Mémoire La mémoire utilisée par cette méthode se résume à la mémoire nécessaire au stockage des matrices d’échange par cellule, soit N2matrices de taille 4x4. : 16N2. Cependant, pour la problématique qui nous intéresse, le nombre de cellules de type différent est assez faible (air, béton, …), et le nombre de matrice d’échanges différentes est de quelques unités. En pratique, la place mémoire nécessaire pour stocker la matrice est donc égal à N2 , pour stocker un indice de matériau. On notera qu’il faut également stocker les variables correspondant aux flux à calculer, soit 4N2 variables. Propagation Le calcul de propagation consiste à effectuer le calcul : F(0) = Sum(W(0),0,inf).S(0) tiré de (E.5) En pratique, le produit matriciel est effectué bloc par bloc, tirant ainsi partie de la structure creuse de ces matrices, propre aux problèmes de type Laplacien. Pour chaque cellule le calcul nécessite donc 4x4 multiplications par cellule soit une complexité globale de 16N2. La propagation d’une source à tout l’environnement nécessite au moins sqrt(2).N itérations. Empiriquement, on observe qu’on obtient une bonne stabilité de la couverture et la prise en


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compte de toutes les réflexions pour un nombre d’itérations supérieur à 10N. Ainsi la complexité est de l’ordre de 160.N3. Cependant, cette complexité peut être réduite en tenant compte des symétries au sein des matrices locales, conduisant à une complexité de l’ordre de : 10.N3. Cependant, toutes les simplifications possibles permettent de réduire le facteur multiplicatif (de 160 à 10), mais pas le degré de croissance en fonction de N. Méthode directe

Prétraitement Si on devait inverser directement la matrice M-1, on aurait une complexité de : (4xNxN)3 = 64.N6

Mémoire La mémoire utilisée par cette méthode se résume à la mémoire nécessaire au stockage de la matrice M-1 soit (4xNxN)2 = 16N4. On notera qu’il faut également stocker les variables correspondant aux flux à calculer, soit 4N2 variables.

Propagation

La multiplication F = M.S , la source ayant 4 flux non nuls, nécessite 4N2x4 multiplications, soit une complexité de 16N2. Cette méthode peut donc être considérée comme très rapide, en ce qui concerne la propagation d’une source. La résolution doit être fine au moment du calcul de la matrice M et de son inversion. Cependant, a posteriori, il serait possible de réduire la taille de la matrice, une fois inversée, pour calculer 1 champ moyen, par bloc. Son désavantage majeur concerne la phase d’inversion du problème, qui nécessite une inversion d’une taille considérable. Dans le cas de l’espace de 1024x1024, la taille de la matrice à inverser est de 4.106x 4.106, ce qui n’est pas réalisable en pratique. Toujours pour cet environnement, le temps de calcul pour l’inversion de la matrice serait égal à 108 fois le temps qu’il faut pour réaliser la propagation d’une source par la méthode itérative. Ce n’est donc pas raisonnable. Du fait de la structure pentadiagonale de la matrice, il est possible de réduire le temps de calcul de cette inversion, mais probablement pas de façon significative. Enfin, la place mémoire nécessaire est relativement rédhibitoire, puisqu’il faudrait stocker 1012 coefficients pour l’environnement de taille 1024x1024. On préférera une inversion non explicite, ce que réalise pleinement la méthode pyramidale proposée. Méthode pyramidale :

Prétraitement La phase de prétraitement peut sembler coûteuse puisqu’elle nécessite le calcul des matrices de passage entre tous les niveaux. Le résultat de l’analyse de complexité du prétraitement, dont les détails sont donnés en annexe donne une complexité de 150.N3.


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Ce gain par rapport à la méthode directe (en N6), provient du fait que la plus grosse matrice à inverser dans ce cas est de taille N, au lieu d’une taille de 4N2. Elle correspond au regroupement des 2 blocs fils constituant le bloc unique du dernier niveau. Mémoire Nous évaluons ici la mémoire occupé par les matrices. Il est important de noter qu’aujourd’hui, nous continuons à trouver des singularité au sein des matrices ce qui nous amène à réduire énormément la place mémoire. En outre, toutes les matrices que nous avons présentées sont issus de W à chaque niveau. Elles ne sont donc pas stockées. La place en mémoire utilisée concerne le stockage des matrices de propagation vers le haut ou vers le bas, dans la pyramide. On trouve en annexe le détail qui conduit à une occupation de M=20.log2(N).N2. On remarquera que la place occupée est identique pour chaque niveau de la pyramide (10N2). En travaillant sur cette complexité, nous nous sommes aperçu que calculer et stocker les matrices de propagation pour chaque bloc était coûteux. En particulier, pour les couches basses de la pyramide, il est probable qu’un bloc particulier (par exemple constitué de 4 cellules d’air) soit présent plusieurs fois dans la structure. En exploitant alors ce principe, et en évitant le stockage des matrices de propagation similaires en plusieurs exemplaires, l’occupation mémoire peut se réduire à 40N2, pour un environnement entièrement homogène. Pour un environnement quelconque, nous nous situerons à l’intermédiaire entre ces 2 valeurs. Dans la pratique, ce principe sera intéressant essentiellement dans les couches basses de la pyramide où la probabilité de similitude entre blocs est forte. Par exemple il est fort probable de trouver plusieurs fois un bloc constitué de 2 cellules d’air au niveau 1. Il faut enfin rajouter la place nécessaire au stockage des flux de chaque niveau, soit : Au niveau 0, 4 flux par cellule, soit 4N2. Au niveau 1, 6 flux par bloc, soit 6N2./2 Au niveau 2, 8 flux par bloc, soit 8N2/4. Etc… La place totale est donc égale à 14N2. Propagation La propagation de la source vers le haut de la pyramide n’est effectuée à chaque niveau que pour le bloc source. La complexité de la propagation jusqu’au sommet de la pyramide est de l’ordre de N2/4.avec un coût prépondérant pour les haut niveaux. An contraire, la descente de la pyramide nécessite la rétro-propagation des flux entrants sur l’ensemble des blocs, et coûte pour chaque niveau environ 6N2. On remarque que le coût est identique pour chaque niveau. En effet, en haut de la pyramide le nombre de flux est faible, mais la taille des matrices est importante, alors que en bas de la pyramide, le nombre de flux est important mais la taille des matrices est faible. Le coût global est donc de 12log2(N).N2.


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Comparaison

Le tableau suivant résume les performances des 3 approches.

Méthode itérative Méthode directe Méthode

pyramidale Pré-traitement 0

0 64.N6

8.N4 150.N3

10.N (>80.N3) Propagation d’une source 160N3

10N (>10.N3) 16N2

1 12log2(N).N2

log2(N) Stockage des matrices 16N2 16.N4 20log2(N).N2

(>40.N2) Stockage des flux 4.N2 4.N2 14.N2

On donne en gras, pour les temps de calcul, le facteur multiplicatif relatif à 1 itération. Si la méthode directe nécessite un temps de pré-traitement prohibitif pour des grosses matrices, la méthode pyramidale représente un temps de calcul égal approximativement au calcul de propagation d’une source. Ce coût n’est pas prohibitif, car le pré-traitement est à effectuer indépendamment de la position d’une source. Il n’est donc à reproduire qu’une seule fois lors de l’étude de couverture de plusieurs sources. Comme il est du même ordre de grandeur que la propagation complète d’une seule source par la méthode itérative, le coût de cette étape ne modifie pas l’échelle de complexité du problème. En contrepartie, le bénéfice est de réduire le temps de calcul d’une source de N3 en log2(N).N2. Pour N=1024, le gain est de l’ordre de 1000. L’augmentation de mémoire nécessaire n’est pas non plus dissuasive, car elle reste en N2 pour l’approche pyramidale, comme pour l’approche itérative. Elle est par contre en N4 pour l’approche directe. La méthode pyramidale est donc particulièrement bien adaptée au traitement des grandes zones de couverture. Les valeurs en italique pour la méthode pyramidale présentent la complexité obtenue lorsqu’on a une parfaite réutilisation des blocs de chaque niveau. Le gain en terme de pré-traitement est négligeable (facteur 2), mais le gain en place mémoire peut être significatif pour les grands espaces.

B. Implémentation

Introduction

L’objectif majeur de ce DEA était d’imaginer une structure de données et des algorithmes permettant dans les limites imposées par le modèle théorique de :

• Améliorer la place mémoire • Améliorer le temps de calcul


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Nous avons pu établir les valeurs de référence en complexité d’un point de vue théorique, et nous allons exploiter cette connaissance pour définir les meilleures structures.

Nous voulions aussi une structure souple qui prenne en compte l’agencement des pièces dans le bâtiment. C’est à dire que nous voulions pouvoir simuler le champ moyen dans une pièce. Jusqu’à présent le regroupement régulier des cellules de l’environnement ne tenait pas compte des discontinuités de milieu entre les blocs ce qui conduisait à la construction de blocs non-homogènes. C’est pourquoi, nous avons cherché une structure pyramidale non-régulière.

Les avantages des bloc homogènes sont les suivant : • Réutilisation maximale des blocs similaires • Meilleure interprétation physique des résultats à n’importe quel niveau de la

pyramide • Symétrie au sein des matrices qui permettent de réduire la complexité

De plus, on a choisi une structure de données orientée objets car elle est plus modulable qu’une implémentation procédurale. Elle permettra de vérifier rapidement l’intérêt de diverses améliorations. La bibliothèque numérique à développer est avant tout un outil de validation. Le langage JAVA a été imposé par le CITI. Ce projet est une bonne occasion de tester ses performances. Par ailleurs, nous ne nous sommes pas engagés aveuglément puisque des laboratoires de recherche très renommés tel le CERN ont déjà développé des bibliothèques mathématiques en JAVA et continuent de les améliorer.

Dans un premier temps, l’environnement de propagation se limite à des pièces

rectangulaires. Malheureusement, dans la réalité, les pièces ne font pas la taille des murs et elles ne sont pas agencée régulièrement. Voici par exemple comment serait représenté un même environnement dans un pyramide régulière puis dans un pyramide irrégulière.

On peut observer que le regroupement de cellules dans la pyramide régulière va inévitablement conduire à la constitution de blocs non-homogènes. Il deviendra alors impossible d’obtenir le champ moyen dans un pièce. Généralement, il faut descendre jusqu’au niveau 0 de la pyramide régulière pour pouvoir obtenir ce genre d’information ce qui implique de nombreux calculs de flux internes inutiles.

La structure irrégulière permettra de repousser vers le haut les niveaux au-delà desquels les blocs seront non-homogènes. L’interprétation des calculs pourra alors se faire par bloc jusqu’à un niveau relativement élevé. Il sera d’autrepart possible de sélectionner uniquement les blocs correspondant aux zones libres et de n’analyser les résultats que sur ces zones. Il s’agit de la contribution majeure de ce travail de DEA.

Un étage d’une pyramide régulière Un étage d’une pyramide irrégulière Environnement initial


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Structure pyramidale non-régulière

Nous sommes parti d’une structure en arbre binaire. Chaque nœud de cet arbre a 2 fils. Un nœud contient ses flux, des références sur le nœud parent et sur ses deux nœuds fils et une référence sur un objet contenant les matrices de passage. On navigue entre les nœuds en utilisant le réseau de liens.

Pouvoir naviguer dans l’arbre dans n’importe quel sens est tout à fait adapté à la méthode pyramidale qui impose la propagation des flux d’un bloc source jusqu’au sommet de la pyramide puis sa rétro-propagation dans les blocs fils jusqu’à un niveau de résolution demandé.

Afin d’économiser de la place, on ne conserve qu’une seule instance par type de bloc de l’objet contenant les matrices. C’est à dire que si 2 blocs sont identiques (même taille, même milieu de propagation), ils référencent tout les deux le même objet blocType. Comme on travaille avec des blocs homogènes, ce cas est très fréquent.

En plus de contenir les matrices de passage pour un type de bloc, l’objet blocType contient également des références sur ses blocTypes enfants. En effet, comme on l’a vu dans la partie théorique, la construction des matrices de niveau n nécessite la connaissance des matrices de niveau n-1.

La base de blocTypes Conceptuellement, on peut ranger les blocTypes dans un tableau de blocTypes à 2

entrées. Les flèches désignent une référence sur un blocType. Un blocType est rangé dans la

base suivant la taille des blocs qu’il caractérise. La zone entourée montre typiquement une hiérarchie de blocTypes réguliers. Un blocType à deux références sur le même blocType fils.

Par contre, dans le cas non régulier, un blocType 0 a une référence sur deux blocType enfants A et B. A et B ont la même hauteur ce qui signifie qu’ils sont regroupés horizontalement.

1

1

2 4 N

2

4

N

Largeur du blocType

Hauteur du blocType

nx1

ny

nx2

0

A B

Base de blocTypes


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Bien plus qu’une représentation des données, cette base de blocTypes permet de rechercher un découpage d’un environnement quelconque optimal en fonction des blocType déjà contenus dans la base ce qui évite de les recalculer. Ce principe potentiellement intéressant n’a pas été mis en œuvre mais le développement fait permettra de le faire facilement.

Algorithmes de construction de la partition de l’espace en blocs à une résolution donnée

Pour l’instant, nous reconstruisons la base de blocTypes à chaque preprocessing. Pour cela, nous utilisons un algorithme de partitionnement de l’espace en zones homogènes que nous allons vous présenter.

Repérage des zones homogènes

a) Méthode par inondation On part d’un point quelconque de l’image. A partir de ce point on fait croître un

rectangle. On arrête sa croissance dans une direction quand un côté du rectangle atteint une discontinuité du milieu, par exemple une discontinuité air – mur.

Chaque rectangle constitue un bloc homogène. On obtient un découpage du type suivant.

L’existence de petites ouvertures dans les murs (portes, fenêtres, etc.) pose problème.

Suivant la position du point de départ à l’inondation, on obtient des blocs qui ne recouvre pas bien les pièces. On a donc pensé à introduire un nouveau matériau appelé ouverture qui aura les mêmes propriété physiques que l’air mais qui sera considéré comme une discontinuité au moment de l’inondation et donc stoppera la croissance des blocs.

b) Méthode par découpage en maillage

Pour chaque ligne et chaque colonne de l’image, on compte le nombre de discontinuités. En balayant l’image dans le sens des colonnes (vertical), la rencontre avec une discontinuité conduit à tracer une ligne horizontale sur l’image. De même quand on balaye l’image ligne par ligne. L’intersection de toutes ces traits de discontinuités est un maillage ancré sur la disposition des murs.

D

A B C

E F

Ouverture

Mur


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Ce maillage devient rapidement très fin quand la disposition des murs n’est pas très

régulière ou quand il y a beaucoup de murs. On obtient un grand nombre de blocs de petite taille. On remarque que les blocs sont rangés en lignes, colonnes. Il est alors facile de les regrouper 2 par 2 afin de constituer des blocs rectangulaires qui recouvrent les pièces du bâtiment.

c) Utilisation du fichier SVG

Le langage SVG est un langage de description d’objets en XML. L’agencement des pièces peut être décrit dans ce langage. En repérant les balises XML donnant la position de chaque objet, on peut repérer les discontinuités de l’espace pour aboutir au maillage régulier de la méthode précédente. Cependant, l’algorithme de lecture du fichier SVG et de repérage des discontinuités serait plus long à développer que de se baser directement sur le tableau d’index dont on dispose déjà associant une cellule à un matériau.

Construction de la pyramide irrégulière

a) L’inefficacité des méthodes montantes Les méthodes montantes sont les méthodes qui partent des cellules de niveau 0 pour

aboutir à un bloc qui recouvre tout l’espace, comme le fait la méthode par inondation. Une fois les blocs homogènes repérés, comment les regrouper pour aboutir à un bloc

qui recouvre tout l’espace ? Nous nous sommes demandés s’il était toujours possible de regrouper 2 par 2 un pavage de blocs rectangulaires. Nous avons finalement trouvé un cas particulier qui restait insoluble :

Les méthodes montantes ne convergent donc pas forcément vers un bloc unique.

Aucun bloc ne peut être associé un son voisin pour former un nouveau bloc rectangulaire.


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b) La méthode descendante Nous avons pris le problème dans l’autre sens, c’est à dire que nous sommes partis

d’un bloc qui recouvre tout l’espace et que l’on découpe en deux pour construire 2 blocs fils. En choisissant de partir du sommet de la pyramide, nous sommes sûrs de ne jamais

rester bloqués. Par contre, un nouveau problème se pose : comment retrouver des blocs homogènes qui coincident avec la disposition des pièces ?

La méthode descendante nous laisse libre quant à l’endroit du découpage entre deux blocs fils. Comme on privilégie la création de blocs homogènes, on va découper le bloc sur la ligne ou la colonne qui contient le plus de discontinuités de milieux.

Comme il peut y avoir plusieurs lignes ou colonnes de séparation qui ont le même nombre de discontinuités, on choisit celle qui se trouve le plus au centre du bloc afin d’augmenter au maximum la symétrie entre les blocs fils et donc la réutilisabilité des matrices. En effet, plus deux blocs se ressemblent, plus ils auront de chance de référencer le même objet blocType et donc moins on aura de matrices de propagation à calculer.

On évitera au maximum des blocs rectangulaires trop allongés qui de par leur forme particulière nécessiteront le calcul de matrices particulières donc un accroissement des ressources mémoires et du temps de calcul.

Algorithmes

Voici les algorithmes de construction de pyramide auxquels nous avons abouti.

Algorithme de construction de la pyramide Partir d’un bloc qui recouvre tout l’environnement Faire

Déterminer la plus grande longueur du bloc Si c’est la largeur (width) Alors Trouver la colonne qui contient le plus de discontinuités Si il y a plusieurs colonnes candidates Alors Choisir celle qui est la plus centrée dans le bloc S’il n’y a pas de discontinuité Alors Marquer le bloc comme homogène horizontalement Découper le bloc selon la ligne de discontinuité en 2 blocs enfants A et B Sinon Trouver la ligne qui contient le plus de discontinuités Si il y a plusieurs lignes candidates Alors Choisir celle qui est la plus centrée dans le bloc S’il n’y a pas de discontinuité Alors Marquer le bloc comme homogène verticalement Découper le bloc selon la ligne de discontinuité en 2 blocs enfants A et B Marquer le sens de découpage du bloc (Horizontal ou Vertical) dans blocType Descendre dans le bloc A puis dans le bloc B et refaire le découpage

Tant que tous les blocs ne sont pas homogènes horizontalement et verticalement Pour chaque bloc homogène Déterminer la plus grande longueur du bloc. Si c’est la largeur

Découper le bloc horizontalement en deux zones Créer un bloc enfant A dans la zone à gauche Sinon


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Découper le bloc verticalement en deux zones Créer un bloc enfant A dans la zone du haut Marquer le sens de découpage du bloc (Horizontal ou Vertical) dans blocType

Descendre dans le bloc A et refaire le découpage Jusqu’à ce que la taille du bloc soit 1x1. Algorithme pour trouver le bloc type de la source en partant du sommet de la pyramide

Partir du bloc du sommet de la pyramide Descendre dans le bloc enfant qui contient la source (comparaison des positions) Refaire jusqu’à ce qu’on soit dans un bloc homogène verticalement et horizontalement Déterminer dans le bloc homogène si la source est dans un bloc A ou dans un bloc B à son

niveau de résolution. A partir du bloc homogène Si la source est dans la zone couverte par le bloc A

Descendre dans le bloc enfant existant (bloc A) Sinon Créer un bloc enfant B Descendre dans ce bloc enfant Refaire jusqu’à ce que le bloc créé ait la même taille que la source. Récupérer le blocType associé à ce bloc dans la BlocTypeDB.

Algorithme pour calculer la contribution de la source jusqu’au sommet de la pyramide Partir de la source et du blocType associé. Si le bloc enfant dans lequel est la source est issu d’un découpage vertical

Si le bloc source est égal au bloc enfant A du bloc parent Calculer la contribution de la source dans le bloc parent (A, VERTI)

Sinon Calculer la contribution de la source dans le bloc parent (B, VERTI) Sinon

Si le bloc source est égal au bloc enfant A du bloc parent Calculer la contribution de la source dans le bloc parent (A, HORIZ)

Sinon Calculer la contribution de la source dans le bloc parent (B, HORIZ) Passer au bloc parent Refaire jusqu’à ce que le bloc parent soit le bloc du sommet de la pyramide. Algorithme pour calculer les flux à un niveau de résolution donné Partir d’un nouveau bloc au sommet de la pyramide Ajouter deux blocs enfants dans un ensemble de blocs de niveau inférieur Calculer les flux de ces 2 enfants à partir des matrices du blocType associé au bloc parent Ajouter les flux internes aux 2 blocs enfants qui sont issus d’un bloc source. Calculer seulement les flux des blocs qui sont dans la zone d’intérêt spécifiée par l’utilisateur Supprimer les blocs enfants qui ne sont pas dans la zone. Algorithme de création de la carte de propagation Initialiser un tableau de la taille de l’environnement


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Partir du sommet de la pyramide Descendre jusqu’aux blocs feuilles qui contiennent des flux calculés Remplir la zone de tableau que le bloc recouvre avec la valeur du champ pour ce bloc

Structure de données

Les objets sont relativement indépendants. Dans la phase de preprocessing, on créer un objet BlocType de la taille de

l’environnement puis on le divise en sous blocType enfants grâce à la méthode splitBloc() qui réutilise l’algorithme de découpage vu plus haut. Tous les blocTypes créés sont sauvegardés sur le disque dans une base de donnée liés à l’environnement de propagation.

Dans une seconde étape du preprocessing, les matrices de l’objet BlocMatrix de chaque blocType sont calculées en partant des blocType de plus petite taille et en remontant jusqu’au blocType le plus gros. Nous sommes obligé de procédé de cette façon car la méthode mathématique ne permet le calcul des matrices qu’en partant du bas de la pyramide.


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Dans la phase de propagation, on utilise l’objet pyramide qui contient les méthodes propagUpSource et propagDownFlow qui sont les deux étapes de la propagation.

La méthode propagUpSource crée les objet Bloc nécessaire à la propagation de la source et la méthode propagDownFlow crée les objet Bloc à chaque niveau qui reçoivent les calculés à partir des flux du Bloc parent.

C. Résultats

V. Discussion, synthèse et perspectives

A. Synthèse Dans ce rapport, nous avons repris et reformulé d’un point de vue théorique les 3

méthodes de propagation proposée par JM Gorce et al. dans [37] qui sont l’inversion directe, l’approche itérative et la méthode pyramidale. L’objectif de ces méthodes est d’aboutir le plus rapidement possible et pour un coût le plus faible possible à la couverture radio dans un environnement indoor donné à partir de la connaissance d’une source.

Suite à cette présentation théorique nous avons effectué une évaluation en terme de complexité de calcul et de d’occupation de mémoire pour chaque méthode. Nous avons abouti aux conclusions suivantes.

La méthode directe est la plus efficace pour des environnements de petite taille mais elle devient très vite inutilisable quand le nombre de cellules augmente.

La méthode pyramidale quant à elle est très compétitive face à la méthode itérative telle qu’elle avait été pensée par Chopard et al. dans [38]. Les places mémoire occupée sont équivalentes. En outre, on pourrait penser en observant la complexité totale de la méthode pyramidale et la complexité totale de la méthode itérative que la méthode pyramidale est plus lourde. Si cette conclusion est vrai pour une source, elle est fausse dès qu’on propage deux sources distinctes dans le même environnement. En effet, dans la méthode pyramidale le prétraitement est indépendant de la source. La propagation d’une source par la suite est beaucoup plus rapide.

Ainsi, la méthode pyramidale semble la plus prometteuse ce qui justifie les travaux de recherche en cours.

Par ailleurs, aujourd’hui, nous disposons d’un outil de test très modulable écrit en

JAVA qui met en œuvre cette méthode pyramidale. A la suite de ce DEA, nous avons abouti à l’écriture de plusieurs algorithmes de partitionnement de l’espace en blocs homogènes. Le plus efficace d’entre eux adopte une technique descendante, c’est à dire qu’on part d’un bloc qui fait la taille de l’environnement et qu’on divise successivement en deux blocs fils. On crée ainsi progressivement un arbre binaire qu’on appelle pyramide irrégulière car la taille des blocs d’un même niveau n’est pas la même.

Cette technique offre de nombreux avantages qui sont : Sa souplesse : on aboutit à des blocs homogènes très rapidement à partir de n’importe

quel environnement. Le découpage en blocs rectangulaire. Les inversions de matrices restent relativement

simples et rapides. La réutilisation des blocs. Le découpage en blocs homogène converge généralement

vers une correspondance totale entre un bloc homogène et une pièce. Comme dans un


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bâtiment, les pièces sont semblables, il est très probable que plusieurs blocs homogènes utilisent les mêmes matrices de propagation ce qui réduit leur temps de calcul.

Amélioration de l’interprétation physique de la propagation dans un bâtiment. Du fait de la correspondance entre bloc homogène et pièce, il est très facile d’obtenir le champ moyen dans une pièce non bruité par la présence d’un mur. Ainsi, il suffit de quelques multiplications pour se faire une idée de la couverture radio finale.

B. Discussion Comme nous l’avons vudans la synthèse bibliographique, l’idée d’utiliser les

équations de Maxwell discrétisée pour prédire la couverture radio n’est pas nouvelle. Plusieurs méthodes telles que la FDTD proposée par Pahlavan et al. dans [33] et par Lee dans [34] ou la méthode ParFlow proposée par Chopard et al. dans [38] ont tenté de percer. Malheureusement, toutes souffraient de leur lourdeur et ne pouvaient pas concurrencer les méthodes de lancer de rayons. Ces dernières souffrent cependant d’un handicap important au niveau de la qualité de la prédiction en environnement indoor. Pour palier ce défaut, les chercheurs sont obligés de d’ajouter de plus en plus de complexité. A l’opposé, la méthode de JM Gorce et al. présentée dans [37] propose une méthode discrète simplifiée. Elle bénéficie de la qualité de prédiction des méthodes discrètes et d’un ensemble d’améliorations qui la rend très compétitive vis à vis des méthodes de lancer de rayons classiques.

C. Perspectives Planification de positionnement d’antennes Le moteur de calcul développé lors de ce DEA a déjà été repris dans le cadre de la

planification du positionnement d’antennes. Le possibilité de connaître le champ moyen dans une pièce sans avoir à déterminer le champ dans tout l’environnement donne une idée rapide de l’endroit où il faut placer les sources pour obtenir le débit requis aux endroits demandés. Réseau radio Par ailleurs, il est prévu d’utiliser ce moteur pour faire de la prédiction de lien radio entre un émetteur et un récepteur. De par la structure pyramidale, on peut ne calculer le champ qu’en un seul point de l’espace. Il suffit pour cela de propager la source jusqu’au sommet de la pyramide puis de propager les flux uniquement vers la feuille de la pyramide qui contient le récepteur. Evidemment, en environnement ouvert, le lancer de rayon offre un résultat instantané mais ce cas est très rare en indoor.

Optimisation des performances La méthode elle même peut encore être améliorée. Récemment, nous avons découvert

que les matrices de propagation d’une source vers un niveau supérieur étaient la transposée des matrices de propagation des flux vers le niveau inférieur. Ceci permettra de réduire encore la place mémoire et potentiellement les calculs. En outre, on a remarqué que généralement pour les gros blocs, les flux sur chaque face peuvent être regroupés en seulement cinq classes. En éliminant des flux négligeables, on accélère encore le temps de calcul.

Implantation JAVA A plus long terme, on essaiera de tirer au mieux parti de la base de blocTypes. D’un

point de vue théorique, elle permettra de sélectionner le plan de découpage optimal de


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l’environnement en fonction des blocTypes préexistants dans la base évitant ainsi des calculs d’inversion inutiles.

Par la suite, cette base de blocTypes pourrait être situées sur un serveur de calcul. Un poste client enverra une description de l’environnement au serveur qui répondra à la requête en envoyant les blocTypes et les matrices de passage associées permettant un découpage optimal de l’environnement.

Evaluation et tests Prochainement, nous allons utiliser l’implémentation de la méthode pour évaluer

différentes performances : • Evaluation du coût des objets JAVA par rapport au coût incompressible des

données obtenu suite à l’étude de complexité. • Evaluation des temps de calcul et de la mémoire nécessaire en circulant de

différentes façon dans la pyramide, c’est à dire calcul de propagation à partir de plusieurs sources à des résolutions différentes et calcul de propagation à des résolutions finales différentes.

• Comparaison avec les méthodes de lancer de rayons.

VI. Bibliographie

1 Hea-Won Son and Noh-Hoon Myung, “A Deterministic Ray Tube Method for Microcellular Wave Propagation Prediction Model,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 47, No. 8, August 1999, pp 1344-1350.

2 X A.G. Kanatas and P. Constantinou, “A Propagation Prediction Tool for Urban Mobile Radio Systems,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 49, No. 4, July 2000, pp 1348-1355.

3 X John Greenstadt, “Solution of wave propagation problem by Cell Discretization method,” Computer. Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 174, 1999, pp 1-21.

4 Y. Pousset and R. Vauzelle, “Statistical optimization of a Slope UTD model for the determination of coverage zones,” in 49th IEEE International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Communications, Boston, September 1998.

5 Nuno C. Gonçalves and Luis M. Correia, “Propagation Model for Urban Microcellular Systems at the UHF Band,” in 49th IEEE International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Communications, Boston, September 1998.

6 X Wei Zhang, “Fast Two-Dimensional Diffraction Modeling for Site-Specific Propagation Prediction in Urban Microcellular Environments,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 49, No. 2, March 2000, pp 428-436.


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8 G. Lombardi, V. Degli-Esposti, C. Passserini, “Wideband Measurement and Simulation of the DECT Indoor Propagation Channel,” in Proceedings of IEEE VTC’98, Atlanta, GA, Apr. 27 – May 2, 1998, pp. 11-15.

9 G. Franceschetti, S. Marano and F. Palmieri, “Propagation Without Wave Equation Toward an Urban Area Model,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 47, No. 9, September 1999, pp. 1393-1404.

10 X Ying Wang, S. Safati-Naeini and S. K. Chaudhuri, “A Hybrid Technique Based on Combining Ray Tracing and FDTD Methods for Site-Specific Modeling of Indoor Radio Wave Propagation,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 48, No. 5, May 2000, pp. 743-754.

11 T. Fritsch, K. Tutschku and K. Leibnitz, “Field Strength Prediction by Ray-Tracing for Adaptive Base Station Positioning in Mobile Communication Networks,” presented at the 2nd ITG Conference on Mobile Communication ’95, Neu Ulm, Germany, Sep. 26–28, 1995.

12 A. Neskovic, N. Neskovic, and G. Paunovic, “Modern Approaches in Modeling of Mobile Radio Systems Propagation Environment,” IEEE Communications Surveys, Internet URL : http://www.comsoc.org/pubs/surveys, Third Quarter 2000.

13 J. Maurer, O. Drumm, D. Didascalou and W. Wiesbeck, “A Novel Approach in the Determination of Visible Surfaces in 3D Vector Geometries for Ray-Optical Wave Propagation Modeling,” Proceedings IEEE Vehicular Technology Conference VTC'2000-Spring, Tokyo, Japan, May 2000, pp. 1651-1655, also COST 259, TD(00)014, Valencia, Spain, Jan. 2000

14 Samuel P. Morgan, “Prediction of Indoor Wireless Coverage by Leaky

Coaxial Cable Using Ray Tracing,” IEEE Transactions on Vehicular Technology, vol. 48, No. 6, November 1999, pp. 2005-2014.

15 R. A. Valenzuela, S. Fortune and J. Ling, “Indoor Propagation Prediction Accuracy and Speed Versus Number of Reflections in Image-Based 3-D Ray-Tracing,” in Proceedings of IEEE VTC’98, Atlanta, GA, Apr. 27 – May 2, 1998, pp. 539–543.

16 X A. Rajkumar, B.F. Naylor, F. Feisullin, and L. Rogers, “Predicting RF Coverage in Large Environments using Ray-Beam Tracing and Partitioning Tree Represented Geometry,” ACM Journal of Wireless Networks, Vol. 2, No. 2, June 1996.

17 X M. Lott, “On the Performance of an Advanced 3D Ray-Tracing Method,”, In Proceedings European Wireless (EW'99) , Munich, Germany, p.449-453, October 6-8, 1999


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18 X F. Guidec, P. Kuonen, P. Caligari, “Radiowave Propagation Simulation on the Cray T3D,” Future Generation Computer System (FGCS), N.H. Elsevier, 13(4-5), p. 279-289, March 1998.

19 X S.J. Flores, L.F. Mayorgas, F.A. Jiménez, N. Cardona, “Comparation between 2 Geometric Indoor Propagation Models : Tube Launching vs Ray-Launching Ray-Tracing,” in Proceedings of PIMRC’98, p. 635-639, 1998.

20 X S. Fortune, “Algorithms for Prediction of Indoor Radio Propagation,” manuscript,1998

21 X A.G. Kanatas, I.D. Kountounis, G.B. Kostaras, P. Constantinou, “A UTD Propagation Model in Urban Microcellular Environments,” in IEEE Translation on Vehicular Technology, Vol. 46, pp. 185-193, February 1997.

22 X R. Hoppe, R. Wertz, G. Wolfle, F.M. Landstorfer, “Wideband propagation modelling for Indoor Environments and for Radio Transmission into Buildings,” RIMRC 2000.

23 J.W. McKnown, R.L. Hamilton, Jr., "Ray Tracing as Design Tool for Radio Networks," IEEE Network Magazine, Vol. 5, Nov. 1991, pp. 27-30.

24 K.R. Schaubach, N.J. Davis IV, and T.S. Rappaport, "A Ray Tracing Method for Predicting Path Loss and Delay Spread in Microcellular Environments," 42nd IEEE Vehicular Technology Conference, Denver, Co, May 1992, pp. 932-935.

25 S.Y. Seidel, K.R. Schaubach, T.T. Tran, T.S. Rappaport, "Research in Site-Specific Propagation Modeling for PCS System Design," Proceedings of the 43rd IEEE Vehicular Technology Conference, May 1993, pp. 261-264.

26 R.A. Valenzuela, "Ray-Tracing Approach to Predicting Indoor Wireless Transmission," Proceedings of the 43rd IEEE Vehicular Technology Conference, May 1993, pp. 214-218.

27 H. Hussmann, "Performance Analysis of Handover and Channel Management Schemes for Indoor Scenarios based on Ray Tracing Techniques," Proceedings of the 44th IEEE Vehicular Technology Conference, June 1994, pp. 843-847.

28 J.F Wagen, and K.Rizk, "Ray Tracing based Prediction of Impulse Responses in Urban Microcells," Proceedings of the 44th IEEE Vehicular technology Conference, June 1994, pp. 210-214.


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29 P. Kreuzgruber, P. Unterberger, and R. Gahleitner, "A Ray splitting model for indoor radio propagation associated with complex geometries," Proceedings of the 43rd IEEE Vehicular Technology Conference, May 1993, pp 227-230.

30 P. Kreuzgruber, T. Brundl, W. Kuran, and R. Gahleitner, "Prediction of Indoor Radio Propagation with the Ray Splitting Model Incluging Edge Diffraction and Rough Surfaces," Proceedings of the 44th IEEE Vehicular Technology Conference, June 1994, pp. 878-882.

31 R.G. Kouyoumjian and P.H. Pathak, "A uniform geometrical theory of diffraction for an edge in a perfectly conducting surface," Preoceedings IEEE, vol. 62, pp. 1448-1461, Nov. 1974.

32 W. Zhang, "A more rigorous UTD-based expression for multiple diffractions by buildings," Proceedings Microwaves, Antennas and Propagation, vol. 142, No. 6, pp. 481-484, Dec. 1995.

33 K. Pahlavan and A.H. Lavesque, "Wireless information networks," in Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing. New York: Wiley, 1995, pp. 195-196.

34 J.W.H. Lee and A.K.Y. Lai, "FDTD analysis of indoor radio propagation," in IEEE Antennas Propagat. Soc. Int. Symp., vol. 3, Atlanta, GA, June 1998, pp. 1664-1667.

35 L.Balmelli, J. Kovačević and M. Vetterli, “Quadtrees for embedded Surface Visualization : Constraints and Efficient Data Structures”, in IEEE International Conference on Image Processing (ICIP), Vol. 2, p. 487-491, October 1999.

36 J.M. Gorce and S. Ubéda, “Propagation simulation with the ParFlow method : fast computation using a multi-resolution scheme,” in IEEE 54th Vehicular Technology Conference Fall 2001, Atlantic City, NJ, USA, October 2001.

37 J.M. Gorce, S. Frénot, V. Crespo, S. Ubéda, “Modélisation de la propagation en environnement Indoor dans la bande de fréquences UHF,” in Internal Conference on Image and Signal Processing (ICISP), Agadir, 2001.

38 B. Chopard, P.O. Luthi, and J.F. Wagen, “A lattice boltzmann method for wave propagation in urban microcells,” IEEE Proceedings – Microwaves, Antennas and Propagation, Vol. 144, p. 251-255, 1997

39 B. Chopard, P. Luthi and J.F. Wagen, “A multi-cell coverage prediction : a massively parallel approach based on the ParFlow method”, IEEE Personnal, Indoor and Mobile Radio Communication conference, 1998.


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Annexes

Ref Année Machine Temps de calcul Remarque

16 1995Outdoor Manhattan

512x512 00.32.00Non dépendant de la géométrie

1024x1024 01.13.00Indoor 512x512 01.07.60

1024x1024 01.25.60

6 2000Outdoor le long d'une rue

<1minCalcul très ponctuel, Algorithme FORTRAN

15 1998Sun SPARC Model 30, 300MHz

Indoor 740 murs, 340 locations

110 s Pour 3 réflexions


20 s


500 s

1 1999DEC Alpha Workstation

Outdoor 130 bâtiments, 614 murs

12508 Locations, 5m résolution

arbre : 297 s comp: 934 s

2 2000Pentium 200 Mhz 128 MB RAM

24 Bâtiments, 109 murs

72 locations, 40962 rays

62 min Méthode image

23 bâtiments, 128 murs


19 min 3D C++

20 bâtiments, 100 murs


7 min

10 2000 Pentium 450 MHz FDTD 20Cell/lm 4400 loc 20 s 2D FDTD 25Cell/lm 8800 loc 1' 32

lm = Lambda Box 2lmx5.5lm 4400 loc 19 sHouse 4lm/5.5lm 8800 loc 2' 31


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Calcul de la complexité du préprocessing dans la méthode pyramidale La complexité de calcul provient de l’inversion de la matrice M-1= (Id – W’). On a vu

que cette matrice est une matrice 5-diagonales par blocs. Avant le regroupement horizontal de 2 blocs voisins A et B, on a une portion de M-1

qui ressemble à cela :

La taille de chaque bloc dépend du niveau n de la pyramide. Dans une pyramide

régulière, le nombre de flux par bloc est donné par : n=2m-1 : Lx=2m-1 ; Ly=2m pour m>0 n=2m : Lx=Ly=2m. pour m>0 L’inversion s’effectue uniquement sur les flux internes, soit sur une matrice 2Lx, telle

que présentée ci-dessous, où les lettres (E,W,S,N) désignent la direction des flux entrants dans les blocs A ou B. Bwe désigne la matrice qui donne les flux sortants de B orientés vers l’ouest en fonction des flux entrants dans B orientés vers l’est.

E_a W_a S_a N_a E_b W_b S_b N_b

E_a [ Id ] W_a [ Id -Bwe -Bww -Bws -Bwn ] S_a [ Id ] N_a [ Id ] E_b [ -Aee -Aew -Aes -Aen Id ] W_b [ Id ] S_b [ Id ] N_b [ Id ] Après permutation vers le bas des flux internes au nouveau bloc, on obtient la matrice

M-1 à inverser :

E_a W_b S_a S_b N_a N_b W_a E_b E_a [ Id ] W_b [ Id ] S_a [ Id ] S_b [ Id ] N_a [ Id ] N_b [ Id ] W_a [ [0] -Bww [0] -Bws [0] -Bwn Id -Bwe ] E_b [ -Aee [0] -Aes [0] -Aen [0] -Aew Id ]

A B E_b

W_a

L L

L


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Pour inverser cette matrice, on profite de sa structure originale. Premièrement, on inverse le bloc des flux internes [W_a E_b ; W_a E_b], qui peut se réduire à l’inversion d’une matrice LxL, suivi de 2 produits ,soit un coût de 3L3.

L’inverse de la ligne [W_a ; E_b] donne une ligne positionnée au même endroit dont les coefficients peuvent être calculés par multiplication avec le bloc inversé des flux internes. On a 4 blocs de taille LxLx et 8 blocs de taille LxLy à calculer soit une complexité de Lx2(4Lx+8Ly).

On observe que le coût le plus important n’est pas celui de l’inversion, mais bien celui des produits de matrices blocs.

Il reste alors à calculer le produit de la matrice locale M par la matrice B, pour obtenir la matrice W(n). Le coût de ce produit est évalué à 16Lx

3 pour les niveaux impairs, et 12Ly3

pour les niveaux pairs. Ainsi, la complexité globale pour un bloc de niveau n, est de c = 39.23(m-1), pour les

niveaux impairs et de c=27.23m , pour les niveaux pairs. Le nombre de blocs au niveau n, est égal à :

Nb=NxN/2n.

On obtient alors une complexité par niveau égale à : C=Nb.c Soit : C=39.N2.2(m-1) pour les niveaux impairs. C=27.N2.2m pour les niveaux pairs. Le coût maximal est donc obtenu pour le dernier niveau, avec un coût en N3. Le coût total est majoré par 150.N3. Ce coût peut être réduit en tenant compte des blocs similaires à un niveau donné. Par exemple, pour un environnement entièrement homogène (cas peu intéressant en pratique, mais constitue une limite), on n’aurait plus qu’un bloc par niveau à traiter. Dans ce cas, on obtient un coût approximativement égal à 80.N3. Calcul de la place mémoire utilisée pour la struture pyramidale : Le stockage en mémoire de la structure pyramidale est consommée par le stockage des matrices associées à chaque bloc : Pour un bloc de taille Lx.Ly, les matrices de propagations sont au nombre de 10 (les matrices de descente sont symétriques par rapport aux matrices de montée). On a 6 matrices de taille Lx.Lx, et 4 matrices de taille Lx.Ly. En utilisant les résultats précédents sur le nombre de blocs par niveau, et la taille des blocs, on obtient : M=Nb.14.22(m-1) =14N2. pour les niveaux impairs M=Nb.10. 22m =10.N2 . pour les niveaux pairs


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Dans la version hétérogène (tous les blocs sont différents), la place mémoire est donc identique pour chaque niveau, et approximativement égale à 10N2.La place totale est donc égale à 20.log2(N).N2. En exploitant la redondance des blocs à un niveau donné, on peut réduire la place à celle qu’occuperait un bloc par niveau (cas d’un milieu homogène), soit approximativement 40N2.

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