Mémoire dactuariat Modélisation du risque de longévité dans le cadre dune opération de...

Mémoire d’actuariat

Modélisation du risque de longévité dans le cadre d’une opération de titrisation

Par Fatoumata Ndoye

PartnerRe

PROBLEMATIQUE

Le risque de Longévité

Allongement de l’espérance de vie Multiplication des souscriptions de rentes viagères Insuffisance des primes calculées à priori

Étude de solutions

Offre de réassurance sur ce risque La titrisation

3

PLAN

La titrisation

Définitions

La titrisation des risques d’Assurance

La titrisation des risques d’Assurance Vie

La modélisation du risque de longévité

Modèle statistique de longévité des rentiers en France

Tarification d’un Mortality swap et prix du Longevity Bond

Simulation du Longevity Bond dans le portefeuille d’un assureur

La Titrisation

5

La Titrisation : Définitions

Accès à une nouvelle source de financement

Rendre des actifs liquides Accès à tout investisseur à travers le monde Évaluation transparente des risques Investissement sur la base des actifs cédés

Transfert de risques

Risque de perte du portefeuille supporté par les investisseurs Limitation du risque supporté par le cédant Augmentation de la capacité de couverture par rapport à la réassurance

6

La Titrisation : Définitions

Gestion de bilan

Accroissement de l’activité du cédant Nouveaux actifs générés Maintien du bilan du cédant Souscription de nouvelles affaires

Extraction de valeur

Tout actif est titrisable Notion de CDO (Collateralised Debt Obligations)

7

La Titrisation : La titrisation des risques d’Assurance

Le mécanisme de la titrisation

Dissocier le risque d’assurance des autres risques

Les Insurance Linked Securities (ILS)

Modélisation du risque

Probabilité de défaut

La particularité des CATS BONDS

Eléments déclencheurs

Modélisation détaillée : Construction de statistiques d’événements catastrophes.

Evaluation des pertes financières.

8

La Titrisation : La titrisation des risques d’Assurance

Contrepartie du SWAP

Cédante

(AssureurOu

Réassureur)

SPVCompte

DeNantissement

Investisseurs

Paiements conditionnels

Cash

Émission de titres, Paiement

des coupons

Transfert de risques en

portefeuille

Taux placements

TME

9

La Titrisation : La titrisation des risques d’Assurance Vie

Les risques de Mortalité/Longévité

Les Mortality Bonds

Vita Capital

Vita Capital II

Vita Capital III

Tartan Capital

Osiris Capital

Les Longevity Bonds

La modélisation du risque de longévité

11

La modélisation du risque de longévité : Modèle statistique de longévité des rentiers en France

Le modèle de LEE CARTER

Le modèle

μxt= taux instantané de mortalité.

αx= paramètre spécifique à l’âge x, décrivant le comportement moyen des lnμxt au cours du temps.

кt est un indice décrivant l’évolution générale de la mortalité.

βx indique la sensibilité de la mortalité instantanée à l’âge x par rapport à l’évolution générale de la mortalité

Pour rendre le modèle identifiable, deux contraintes sont ajoutées : (A) (B)

xttxxxtLn )(

x

x 1

t

t 0

12



Justification du Modèle Absence d’effets Cohorte pour la population française

1915

-191

9

1925

-192

9

1935

-193

9

1945

-194

9

1955

-195

9

1965

-196

9

1975

-197

9

1985

-198

9

1995

-199

9

20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-6970-7475-7980-8485-8990-9495-99

Cohort effect, Female, France16,00%-17,00%

15,00%-16,00%

14,00%-15,00%

13,00%-14,00%

12,00%-13,00%

11,00%-12,00%

10,00%-11,00%

9,00%-10,00%

8,00%-9,00%

7,00%-8,00%

6,00%-7,00%

5,00%-6,00%

4,00%-5,00%

3,00%-4,00%

2,00%-3,00%

1,00%-2,00%

0,00%-1,00%

-1,00%-0,00%

-2,00%--1,00%

-3,00%--2,00%

1915

-191

9

1925

-192

9

1935

-193

9

1945

-194

9

1955

-195

9

1965

-196

9

1975

-197

9

1985

-198

9

1995

-199

9

20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-6465-6970-7475-7980-8485-8990-9495-99

Cohort effect, Male, France24,00%-25,00%

23,00%-24,00%

22,00%-23,00%

21,00%-22,00%

20,00%-21,00%

19,00%-20,00%

18,00%-19,00%

17,00%-18,00%

16,00%-17,00%

15,00%-16,00%

14,00%-15,00%

13,00%-14,00%

12,00%-13,00%

11,00%-12,00%

10,00%-11,00%

9,00%-10,00%

8,00%-9,00%

7,00%-8,00%

6,00%-7,00%

5,00%-6,00%

13



Estimation des paramètres où et sont les observations de la période retenue : Estimation par la méthode MCO

Estimation des βx et кt avec le critère d’optimalité au sens des moindres carrés

et

et avec

Extrapolation de la tendance temporelle

кt sera modélisé par une série chronologique = processus ARIMA

Limites

t

xtt

x Lnn

ˆ1

ˆ

xxtxtz ˆˆln

i

it

ii uZ i

i

i Zu

1

max

maxˆ

maxmax

*ˆ max u maxmax

xt

xtxt er

d̂

xtd xter

14


Le modèle de POISSON LOG-BILINEAIRE

Le modèle Amélioration du modèle de LEE CARTER Modélisation de la survenance d’événements rares pendant un laps de temps

défini Modélisation le nombre de décès constatés à l’âge x –noté- Dxt- par une loi de

poisson en spécifiant :

avec Approximation du modèle naturel

Estimation des paramètres Technique du maximum de vraisemblance pour les {αx}, {βx}, {κt}

))(( tEPoissonD xxtst

)exp()( txxx t

);( qxtNxtBinomialeDxt

tx

txxxttxxxt teconsEDl,

tan)]exp()([),,(

15


Études sur la population française

Passage de mortalité générale à mortalité population assurée Modèle de COX : Ln μx=f (ln μref

x) avec f(ε) = ln θ +ε Construction des tables prospectives TGHF05

Cadre d’analyse Population française : Hommes et Femmes Période d’observation relativement longue Ne pas tenir compte d’événements exogènes (Deux guerres mondiales,

Canicule) Etude de plusieurs périodes : [1950;2004], [1962;2000] Choix des âges

xtxrefxxx btat )(lg)(lg

16



Etude sur la période [1962 – 2000]

Programmation à partir du logiciel R Calcul des paramètres du modèle de LEE Carter Calcul des paramètres du modèle de Poisson Modélisation du κt par un processus ARIMA

Etude sur la stationnarité de la série Sélection de modèles ARIMA Rétropédalage Choix du modèle ARIMA(0,1,1)

κt= κt-1+c+ εt+b* εt-1 avec ),0( 2 t

17



Étude sur la période [1962 – 2000]

Simulation des taux de mortalité Construction de la table moyenne des taux de mortalité Application des coefficients de passage du Modèle de Cox

avec

Modélisation des aléas

Aléa statistiqueSimulation du κt par un processus ARIMA (0,1,1) avec et

)ln()ln( : HMDxx

HTGFx xHMD

xHTGF

x qq )(/

ts

ttt macoef *_11 ),0( 2F

Ft t

FtF

HH

t 21

18



Etude sur la période [1962 – 2000]

Modélisation des aléas Aléa sur les paramètres

Simulation de nouveaux nombre de décès avec Obtention de nouveaux couples de paramètres ( )

Aléa de ModèlePrise en compte de l’erreur de modèle

Ct suit une loi lognormale : Ct= Ct-1*exp(Xt) avec Xt qui suit une loi normale N(m,σ²)

ttxxxt CLn *)*()(

)( xtxtsxt erPoissonD )exp( txxxt

sx

sx ,

19



Fermeture des Tables de mortalité

Modèle de Denuit Goderniaux

avec Contrainte de fermeture

q130=1 et q’130=0

Comparaison des tables moyennes avec les tables prospectives

Comparaison avec les taux TGHF05 Comparaison avec les taux HMD

xx cxbxaq 2ln iidNx ),0( 2

20



Comparaison des tables moyennes avec les tables prospectives Comparaison avec les taux TGHF05

2%année 2000

âge 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95LC 28,513 26,374 23,803 20,906 17,766 14,484 11,26 8,37 6,031 4,325TGF 28,406 25,956 23,302 20,397 17,289 14,087 10,96 8,155 5,893 4,294

Taux technique

Comparaison des capitaux constitutifs

0

5

10

15

20

25

30

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 Age

ax LC TGF

21

La modélisation du risque de longévité : Tarification d’un Mortality Swap et prix du Longevity Bond

Le Longevity Bond de BNP Paribas

Motivations Protection des Fonds de pension anglaises Mauvaise performance des marchés financiers

Structure

Caractéristiques générales Cadre d’étude: Hommes anglais et néo-zélandais âgés de 65 ans en 2003 Bond lié à un indice de survie Taux de survie donnés par l’Office National de Statistique

22


Caractéristiques générales du Longevity Bond

Indice Lié à une cohorte d’hommes français âgés de 65 ans en 2008 Calculé à partir des taux de mortalité donnés par l’INSEE I(0) = 1 et I(t)= I(t-1)* (1- )

Paiement des Coupons Nx rentiers; Montant annuel de rente= M euros Lié à un montant initial de rentes S(0)

S(0)= Nx*M Coupon payé à la date t par le SPV

S(t+1)= S(t)*(1- )

pttxq 2008

pttxq 2008

23


Mécanisme du Longevity Bond

Intervenants

Prix du bond

Calcul de la prime

P = Prix du LB =

S = S(0) = Nx*M est le taux de survie donné par les TGHF05 δ représente le coût de la variabilité de l’obligation

=

Assureur SPV Réassureur

INSEEt p65

INSEEt p65

tt

TGHFt

TME

Sp

)1(

65

TGHFt p65

tt

TGHFt

TME

Sp

)1(

65

t

t

reasst

TME

Sp

)1(

65

65REASS

t p

24


Tarification du Longevity Bond

Calcul des engagements et profits Chargement des taux de mortalité Calcul de la prime de réassurance

Prime de réassurance = *Nombre d’assurés durant année t-1*M Equilibre Actif-Passif du Réassureur Introduction de la notion de scénario RAC Remboursement au pair

%)1(*])%)^1(*%)1(*[1( 6565 ytzxQp reasst

reasst p65

26


Calcul des coupons prévus

Calcul des coupons prévus Calcul du coupon initial: V0 = S(0) = Nx*M =

Prime versé par l’assureur :

Calcul du Capital Restant Du CRDt=CRDt-1(1+TFLB)-Coupon prévut

Intérêtt= Coupon prévut- Capital remboursét

65Assureur

t p ),( 056565TGHF

tGCap

t ppMax

tt

t

i

prévuCouponime

)1(

_Pr

27


Les Obligations Indexées sur l’Inflation (OATi)

Définitions Protection contre l’inflation

Caractéristiques générales Principal indexé Coupon à taux réel fixe Garantie de remboursement au pair Référence d’inflation de base = Taux d’inflation le jour à l’émission

Traitement comptable des obligations indexées sur l’inflation

Comparaison avec une obligation classique

28


Gestion du Bilan

Valorisation des ActifsMéthode de comptabilisation des OATi

Rentabilité des Actifs

Calcul de la Provision Mathématique

30*)*(_

tCRDCRD

p

pCRDTactifVal ttTGH

xt

reelxt

tt

)_

___(_

1_

1

t

tttt actifVal

reelCouponactifValactifValactifRdt

1_*)1(

)(

t

tktk

TGHxk

TGHxt

reelxt erevalorisérente

i

p

p

prevaloavantPM

%)1(*)_()_( arevaloavantPMrevaloaprèsPM

29


Gestion du Bilan

Calculs du Résultat de l’assureur

Calculs de la Participation aux Bénéfices (PB)

PB = PR – Intérêts techniques

Taux de revalorisation =

Calcul du Taux Technique Moyen (TTM)

ttttt techniqueIntérêtdébutPMrevaloavantPMSinistresimePBavantR _)]()_([Pr)_(

tttttt PBtechniqueIntérêtPMSinistreimePBaprèsR _Pr)_(

%85*_Pr%90*)_()_( financiersoduitsPBavantRreportavantPR t

)_( revaloavantPM

PBa

t

t

imedébutPM

techniqueIntérêtTTM

Pr)(

_

30


Gestion du Bilan

Calcul de la Provision pour Aléas Financiers (PAF)Déclenchement de la PAF : si TTM < 80%*Taux de Rendement du Bond

Calcul du Résultat de l’assureur en cas de PAF

Comparaison résultat avec/sans Longevity Bond

Scénario moyen Scénario catastrophe : scénario RAC

ttt PAFRR

1 ttt PAFPAFPAF


Scénario Moyen

Courbe de survie

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Pricing

Real

Résultats technique et financier Assureur

-1 000 000 €

0 €

1 000 000 €

2 000 000 €

3 000 000 €

4 000 000 €

5 000 000 €

6 000 000 €

Avec longevity Bond

Sans Longevity Bond


Scénario RAC

Courbe de survie

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Pricing

Real

Résultats technique et financier Assureur

-8 000 000 €

-6 000 000 €

-4 000 000 €

-2 000 000 €

0 €

2 000 000 €

4 000 000 €

6 000 000 €

Avec longevity Bond

Sans Longevity Bond

Conclusion

34

La modélisation du risque de longévité : Conclusion

Restriction des Modèles à des projections à Moyen terme

Présence du risque de base

Évaluation des conséquences monétaires

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