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TARIFICATION DEGARANTIES PLANCHER

EN CAS DE VIECentre dEtudes Actuarielles - Promotion 2004

Memoire dirige par Christophe Mugnier

Tristan Palerm

5 juin 2006


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REMERCIEMENTS

Je tiens a adresser tous mes remerciements aux nombreuses personnes qui mont guide dans laredaction de ce memoire. Je remercie tout particulierement M. Christophe MUGNIER, directeurdes Comptes et de la Rentabilite dAXA France, pour mavoir offert un sujet riche et novateur, etpour ses precieux conseils qui mont permis de mieux orienter mes etudes. Je remercie egalementMessieurs Antoine DE SARRAU, Pierre-Emmanuel SASSONIA et Alexis DE ROZIERES pour

leurs relectures attentives de ce document. Jadresse enfin ma gratitude a Carole BOUCHER,qui ma autorise a utiliser dans ce document quelques schemas de son cru. Enfin, mes derniersremerciement iront a ma femme, Sandrine PALERM, qui a su maider a mener a bien cetteetude.


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RESUME

Par rapport aux traditionnels contrats dassurance-vie en Euros, les contrats en Unites deCompte presentent un interet certain pour lassureur, en lui permettant dendosser un risquemoindre. Commercialement en revanche, il est parfois difficile pour les clients daccepter lab-sence de garantie sur leur capital, ou meme sur le rendement de leur contrat. Si en temps dehausse sur les marches financiers, les performances obtenues sur les contrats en Unites de Compte

saverent largement superieures a celles trouvees sur des contrats en Euros, les risques de perteen cas de forte baisse des marches peuvent inciter a la circonspection.

On voit donc apparatre depuis plusieurs annees deja, et facon de plus en plus repandue, desoptions supplementaires sur des contrats en Unites de Compte, permettant au client dinvestirson epargne sur des contrats en Unites de Compte, tout en offrant des garanties sur le capitaldetenu par le client. De nombreuses garanties ont ainsi ete definies pour les cas de deces de las-sure. On peut toutefois imaginer des garanties, sappliquant aux contrats en Unites de Compte,dans les cas de survie de lassure. Ce sont ces garanties qui feront lobjet de la presente etude.

Il est toutefois bien evident que lassureur, endossant un nouveau risque, se doit den tenir

compte au moment de letude de la profitabilite du contrat. Se pose alors la question de la tarifi-cation de ces garanties. Comment peut-on modeliser ces garanties de facon actuarielle ? Quellestechniques utiliser pour les evaluer ? Comment traduire levaluation de ces engagements sur leschargements affectes au contrat ?

Les mathematiques financieres viennent au secours de lactuaire : la theorie des options,notamment, permet dapprehender les garanties liees aux Unites de Compte dans un cadretheorique rigoureux. Si lutilisation de formules fermees est bien souvent impossible, du fait dela nature des garanties etudiees, de nombreuses methodes numeriques permettent de rendrecompte de toutes les specificites des garanties lors de lexercice devaluation.


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ABSTRACT

Compared to traditional savings contracts, unit-linked contracts are an opportunity for in-surance companies, since they allow them to have lesser risks in their portfolios. Commercially,though, clients can have a hard time accepting that they could lose part of their capital, or evenof their revenues. When financial markets increase, Unit-Linked contracts have much higher re-venues than traditional savings contracts ; but the risks underrun in case of decrease in financial

markets can frighten potential customers.

Since several years, new options were created for Unit-Linked contracts, which enable clientsto invest on Unit-Linked contracts, and in the same time to have guarantees on their capital.Many guarantees were created to offer security in case of death of the client. You could howeverimagine Unit-Linked guarantees that provide security for the client who is still alive after acertain amount of time. The present document studies this kinf of guarantees.

The insurance company takes a new risk with such guarantees : it has to be taken into ac-count when stuying the contracts profitability. The actuary has thus to solve the problem ofpricing those contracts. How can the actuary modelize those guarantees ? Which methods can we

use to evaluate them ? How will the company translate this cost in the fees related to he contract ?

Financial mathematics can help the actuary : the theory of options, in particular, is a greattool to study Unit-Linked options in a strict framework. Using formulaes is often impossible,due to the very nature of the guarantees, yet numerous mathematical methods exist to evaluateeach specificity of the guarantee.


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Table des matieres

1 Introduction 7

2 Description des garanties plancher en cas de vie 9

2.1 Produits dassurance-vie en Unites de Compte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Produits en Unites de Comptes commercialises dans les pays anglo-saxons . . . . 102.3 Garanties liees aux UC en cas de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 La garantie GMAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 La garantie GMMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 La garantie GMSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 La garantie GMIB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Differentes Definitions Possibles du Montant Garanti . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1 Conversion en rente pour une garantie GMIB . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Tarification Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Formalisation financiere : la garantie envisagee comme option . . . . . . . . . . . 16

2.6.1 GMAB : option europeenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6.2 GMIB ou GMSB : option americaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Elements de finance conditionnelle 183.1 Options : definition et fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.2 Fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Options dependant du chemin suivi par le sous-jacent . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Expressions courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Differents types doptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Deux hypotheses fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.1 Completude des marches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.2 Absence dOpportunite dArbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Principe de valorisation financiere dune option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Parite Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7 Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Valorisation en environnement Risque Neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Methodes de determination du prix dune option 25

4.1 Formules de Black & Scholes pour des options europeennes . . . . . . . . . . . . 254.2 Determination du prix doptions americaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Arbres Binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1 Exemple darbre simple (1 pas) pour un call europeen . . . . . . . . . . . 284.3.2 Generalisation du calcul - Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3.3 Pertinence des prix obtenus - lien avec le modele de Black & Scholes . . . 304.3.4 Rapidite de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

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4.4 Utilisation darbres binomiaux pour la valorisation doptions americaines . . . . . 334.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.5 Methodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.6 Adaptation des methodes de Monte-Carlo a des options americaines : algorithmede Longstaff-Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6.1 Exemple dutilisation de lalgorithme de Longstaff-Schwartz pour une op-

tion americaine simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.6.2 Formalisation mathematique de lalgorithme . . . . . . . . . . . . . . . . 404.6.3 Extension de lalgorithme a des options plus complexes . . . . . . . . . . 42

5 Etude Financiere de la Garantie Plancher en Cas de Vie 43

5.1 Utilisation darbres binomiaux pour une GMSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.1 Initialisation des nuds de larbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.1.2 Denombrement des maxima possibles lorsque le cours est releve de facon

continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.3 Maximum uniquement retenu a certaines dates fixees . . . . . . . . . . . . 475.1.4 Ajout dune revalorisation minimale du capital : Rollup . . . . . . . . . . 505.1.5 Prise en compte du delai de carence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.6 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Comparaison avec les resultats obtenus a laide dune methode de Monte-Carlo . 525.3 Gestion de la courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3.1 Courbe des taux deterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3.2 Modele stochastique de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4 Influence des parametres financiers sur le prix de la garantie . . . . . . . . . . . . 535.4.1 Duree de la garantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.4.2 Influence de la garantie cliquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.3 Revalorisation Minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4.4 Effets combines dun cliquet et dune revalorisation minimale . . . . . . . 575.4.5 Periode de carence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5 Prise en compte des frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.6 Prelevements sur rachats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Etude assurancielle de la garantie plancher en cas de vie 62

6.1 Mortalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.1 Modification de lalgorithme darbre binomial par la prise en compte de la

mortalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.2 Tarification par age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Frais preleves regulierement sur lepargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3 Rachats Statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4 Rachats Dynamiques et Rachats Optimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5 Courbe des Taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5.1 Courbe des taux deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.5.2 Scenario stochastique de taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.6 Analyse des resultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.7 Optionalite sur les parametres de sortie en rente dune GMIB . . . . . . . . . . . 72

7 Conclusion 74


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A ANNEXES 75

A.1 Revue de presse : comment sont percues les garanties liees aux Unites de Compte ? 75A.1.1 Article de smartmoney.com : Whats wrong with variable annuities (extraits 75

A.2 Programmes developpes pour letude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.2.1 Algorithmes darbres binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.3 Methodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.3.1 Fonctions Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.3.2 Methode de Monte-Carlo pour une option de vente europeenne simple . . 81A.3.3 Algorithme de Longstaff-Schwartz pour une option americaine . . . . . . 81A.3.4 Algorithme de Longstaff-Schwartz pour une option americaine lookback 83


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Chapitre 1

Introduction

Les contrats dassurance-vie en Unites de Compte remportent un vif succes depuis plusieursannees ; les assureurs les apprecient tout particulierement, car ils presentent un risque bienmoindre que des contrats classiques en euros (diminution du risque qui saccompagne, qui plus

est, dexigences reglementaires de solvabilite inferieures a celles des contrats en euros). Du pointde vue des clients le constat est plus contraste : si les perspectives de rendement sont largementsuperieures a ce que lon pourra trouver sur les fonds en euros, labsence de garantie de perfor-mance, ou meme de garantie sur le capital investi, peut representer un element dissuasif pour cetype dinvestissements.

Les societes dassurance cherchent donc a proposer a leurs clients de nouveaux produits leurpermettant dinvestir sur des fonds en Unites de Compte, et de ce fait de conserver un profildepargne plus dynamique, tout en apportant une securite suffisante pour limiter les repercus-sions negatives en cas de crise sur les marches financiers.

Cette volonte se traduit par lapparition de nouvelles garanties, liees aux Unites de Compte,qui representent en fait autant doptions que le client est libre dadjoindre ou non a son contratdepargne. Cela permet bien entendu, de facon tres directe, doffrir un argumentaire commercialplus efficace en offrant plus de dynamisme et plus de securite. A plus long terme, on peut yvoir une opportunite considerable pour creer des produits dinvestissement presentant un interetau-dela meme de leur regime fiscal.

Les deux dernieres decennies ont vu le paysage de lassurance-vie se modifier considera-blement, les produits dits traditionnels cedant la place a des produits dinvestissement danslesquels lalea viager devenait negligeable. Les assureurs ont mis a profit un regime fiscal tresavantageux pour imposer lassurance-vie comme mode depargne principal en France. La plu-

part des produits offerts sont des produits simples et sans garanties ; cela a dailleurs permis auxbancassureurs de sinserer aisement dans le marche, et de sy tailler la part du lion.

Lelaboration de produits plus sophistiques de protection financiere permettrait aux societesdassurance doperer une differenciation en inflechissant la nature des produits proposes ; dautrepart, en recentrant la conception des produits sur des garanties et non plus sur un regime fiscal,les assureurs peuvent se preparer plus sereinement a faire face a un eventuel remaniement de lafiscalite de lassurance-vie.

Des garanties en cas de deces ont deja ete introduites en France, elles sont meme assez re-pandues. Leur fonctionnement et leur conception sont bien matrises, et ont deja fait lobjet

de multiples etudes. Les garanties en cas de vie sont plus rares, et pour ainsi dire inexistantessur le marche francais ; pourtant, elles sont monnaie courante dans certains pays etrangers. Il

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Chapitre 1. Introduction

nest donc pas inutile de se pencher sur ces nouvelles garanties, qui peuvent representer uneopportunite interessante pour les assureurs francais. Toutefois les risques induits par la creationde ces nouvelles garanties doivent etre etudies ; lexercice de tarification en particulier doit etrematrise de bout en bout. Pour faire face a ces engagements dun nouveau type, les societesdassurance developpent de nouvelles methodes et adoptent de nouveaux outils, entremelant des

techniques traditionnelles dassurance avec des modelisations plus purement financieres, dejalargement adoptees dans les salles de marches.

Le but de la presente etude est de presenter de facon aussi exhaustive que possible, les diffe-rentes garanties en cas de vie que lassureur peut proposer, et detudier les methodes quil peutdeployer pour tarifer ces engagements.

La premiere partie de ce memoire sera consacree a la presentation des diverses modalitesenvisageables dans le cadre de garanties plancher en cas de vie. A linstar des garanties liees auxUnites de Comptes en cas de deces, nous constaterons que ces engagements en cas de vie peuventetre envisagees comme des produits optionnels, et quen consequence nous pouvons utiliser des

techniques financieres de pricingdoptions pour etudier ces garanties.

Au cours des parties suivantes, nous decrirons succinctement les mecanismes de base lies auxoptions, ainsi quun certain nombre de methodes pouvant etre utilisees pour la determinationde leur prix.

Une fois les bases theoriques ainsi posees, nous pourrons appliquer ces outils financiers aletude des garanties considerees. Une approche strictement financiere permettra dans un pre-mier temps de bien comprendre les divers parametres entrant en ligne de compte, et leur influencesur le prix de loption.

Cette premiere approche devra enfin, pour etre realiste, etre completee par laddition deparametres intrinseques a la nature dune garantie dassurance. Nous verrons ainsi comment ilpeut eventuellement etre tenu compte de la mortalite, des rachats, et de prelevements regulierssur lepargne (au titre de la garantie ou au titre des frais de gestion).

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Chapitre 2

Description des garanties plancheren cas de vie

2.1 Produits dassurance-vie en Unites de CompteDepuis pres de vingt ans, les produits depargne occupent une place importante au sein du

marche de lassurance-vie en France. Contrairement a des produits plus classiques, ces contratsreduisent considerablement lalea viager, et se positionnent clairement comme des produits deplacement, tirant profit dune fiscalite avantageuse pour seduire une vaste clientele. Les contratsdepargne peuvent assurer au client une revalorisation minimale de son placement, selon un tauxdefini a lavance par les conditions generales, ou proposer ladossement de lepargne a un supportdont le cours est variable.

On parle dans le premier cas depargneen euro, dans le second cas, depargne en Unites deCompte (UC). Lorsque le client choisit dinvestir dans un produit depargne en UC, la sommequil verse correspond en fait a lachat dun certain nombre de parts dun support defini. Cessupports sont en general des fonds profiles geres par la societe dassurance. Lengagement delassureur porte alors sur le nombre de parts que lassure possede, et non sur leur valorisation,qui depend de levolution du cours du support.

Si lepargne en UC presente des perspectives de rendements largement superieurs a ceuxobtenus sur des produits en euros, elle ne comporte, sauf garantie contractuelle specifique, au-cune securite pour lassure, qui ne peut etre certain, en labsence de garanties supplementaires,dobtenir une performance minimale sur son investissement, ni meme, dans les cas defavorables,de recuperer au terme sa mise initiale. Du point de vue de lassureur, en revanche, le transfertdune grande partie du risque presente un interet evident. Le code des assurances prend dailleursexplicitement en compte cette diminution du risque : le minimum de marge de solvabilite regle-mentaire sur des produits en UC seleve a 1% des provisions mathematiques, contre 4% pourdes produits en euros.

Apres plusieurs annees tres chahutees (voire calamiteuses) sur les marches financiers, de nom-breux clients, echaudes, font preuve dune reticence croissante a assumer lintegralite du risque.Dou lidee, pour les societes dassurance, de proposer pour des contrats en Unites de Compte desgaranties supplementaires apportant une securite au client. Notons des a present que lajout degaranties supplementaires nest en aucun cas un engagement anodin : en effet, les changementsinduits sur la nature du risque couvert peuvent influer sur la classification du produit en euroou Unites de Compte. Les consequences sur les montants reglementaires de marge de solvabilitedevront ainsi etre pris en compte dans letude de la rentabilite de tels contrats.

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Chapitre 2. Description des garanties plancher en cas de vie

Lexemple emblematique de ce type dengagements est celui dune garantie du cumul desprimes versees au deces de lassure. Si lassure decede avant le terme du contrat, lassureursengage a verser au beneficiaire un montant egal au maximum entre lepargne en compte aumoment du deces et le cumul des primes versees par le client.

2.2 Produits en Unites de Comptes commercialises dans les paysanglo-saxons

Dans les pays anglo-saxons, dinnombrables varietes de produits a garanties sur les UC ontete commercialisees. Les plus marquants sont les produits de variable annuities (rentes va-riables) commercialises aux Etats-Unis. Ces produits ont la particularite de combiner une desfacettes les plus traditionnelles de lassurance-vie (la rente) et lun de ses aspects les plus mo-dernes (produit dinvestissement en unites de compte).

Les produits de variable annuitiesproposent au client dinvestir son epargne sur plusieurssupports, et lui donnent la possibilite de convertir son capital en rente (annuities) au termedune periode de carence donnee.

Ces garanties sont novatrices a plusieurs titres :

Elles permettent de ra jeunir les garanties de rentes, dont limportance avait considerable-ment decru dans le paysage de lassurance-vie francais. Cet aspect est loin detre anodin,car, commercialement, il permet a lassureur de differencier ses produits dautres produitsdinvestissement classique. Sur le marche francais, cependant, les produits de rentes res-

tent souvent consideres comme peu attractifs. Le demarrage, moins fulgurant que prevu,du PERP, montre bien la reticence persistente des clients francais a legard de ce typedinvestissements.

Elles saccompagnent souvent de verrous garantissant a lassure un capital ou une perfor-mance minimale au terme du contrat ; cela permet au client deviter de trop grosses pertesen cas de chute des marches financiers.

Dautres types de produits assez semblables aux variable annuitiesont ete commercialises dansdautres pays :

Au Canada, les Segregated Funds sont des produits en Unites de Compte presentantdes garanties de capital en cas de vie et en cas de deces. Le nom de ce type de produitsprovient du fait que les primes versees par lassure sont en general investies dans des fondsqui ne sont pas geres en propre par lassureur.

Au Royaume-Uni, les produits Unit Linkedsont semblables aux produits que lon peuttrouver en France. La plupart proposent une garantie plancher en cas de deces, mais onne trouve presque plus de garanties en cas de vie.

Aux Etats-Unis, les produitsEquity-Indexed Annuities proposent, comme les variableannuities, des sorties en rente ; en revanche le mode de calcul de lepargne du client dif-

fere. Le client beneficie en fait dune participation sur un indice donne. A titre dexemple,un taux de participation de 80% sur lindice se traduirait par une augmentation de 8%de lepargne si lindice augmente de 10%. Ces contrats saccompagnent en general dune

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garantie de rendement minimal sur lepargne.

Ces garanties, encore nouvelles pour les assureurs, sont parfois egalement mal comprises parles assures et la presse. Cest bien entendu le prix de ces garanties qui est mis en cause. Lesavis peuvent etre assez tranches sur les garanties liees aux UC ; ainsi le site americain smart-

money.com(equivalent du magazine francais Mieux Vivre Votre Argent, dedie a lepargne desparticuliers), se basant sur les taux de rendement eleves sur les fonds en UC des dernieres annees,affirme que les assures ont autant besoin dune garantie de capital en cas deces (GMDB) quuncanard aurait besoin de rames pour nager. Au sein du meme article, une formule lapidaireresume ce quil faut, selon lauteur, retenir des garanties liees aux UC : des frais, des frais etencore des frais.

Cest faire peu de cas de la securite supplementaire apportee par ces dispositifs ; cest oublierquune diminution du risque a un prix, quil soit preleve directement par le biais dune prime, ouindirectement par le biais dune performance moindre sur lepargne du client. Globalement, cestmeconnatre les principes de base de lactivite dassurance : faut-il considerer que la couverture

dun risque na de valeur que si ce risque se realise? Le debat est infini ; en tout cas, de tellesaffirmations demontrent la complexite de lexercice de tarification, qui doit reussir a concilierviabilite technique et financiere dune part, et efficacite de largumentaire commercial dautrepart.

2.3 Garanties liees aux UC en cas de vie

Les garanties planchers permettent a lassureur doffrir -ou plus exactement de vendre- a sonclient une securite sur son investissement dans le cas ou celui-ci est realise sur des produits enUnites de Compte. Les garanties planchers les plus classiques sont celles en cas de deces. Il est

cependant tout a fait possible denvisager des garanties plancher en cas de vie de lassure.

2.3.1 La garantie GMAB

Lintitule exact de cette option estGuaranteed Minimum Accumulation Benefit; il sagit enrealite du pendant en cas de vie de la garantie plancher traditionnelle en cas de deces.

Au terme dune periode dattente definie par les conditions generales du contrat, lepargnedu client est comparee au montant garanti ; si elle savere inferieure a ce montant, lassureurapporte la difference. Lassure, lui, sengage a prolonger son contrat.

Pour le client il sagit dune garantie de performance a terme, donc dune securite consi-derable pour verrouiller un investissement en unites de compte. Pour la societe dassurance, lecontrat ainsi prolonge reste plus longtemps en portefeuille, ce qui permet daugmenter lespe-rance de la marge realisee.

2.3.2 La garantie GMMB

La Guaranteed Minimum Maturity Benefitoffre au client une garantie de capital a terme,sans prolongement du contrat. En general, elle sassortit en contrepartie dune participation

inferieure a 100% a la performance du support en cas de hausse, donc dune diminution de les-perance de gain du client.

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2.3.3 La garantie GMSB

LaGuaranteed Minimum Surrender Benefit, consiste a offrir au client, au-dela dune periodede carence, une garantie minimale sur la valeur de rachat de son contrat. Les produits com-mercialises au Canada et offrant ce type de garantie proposent une valeur de rachat egale aumontant des primes versees.

Cette garantie est presque identique (du moins sur son principe) a la GMMB. Mais dans uneGMMB, cette garantie ne joue qua une seule date fixee a lavance, celle de lecheance du contrat ;la GMSB, en revanche, peut etre exercee au gre du client a nimporte quelle date au-dela de laperiode de carence.

2.3.4 La garantie GMIB

Une garantie vendue dans certains produits de variable annuitiespropose au client une op-tion de sortie en rente selon des conditions fixees lors de la souscription. Il sagit de la garantieGMIB, abreviation de langlais Guaranteed Minimum Income Benefits, autrement dit garantiede revenu minimal.

Cette garantie permet au client de convertir un montant garanti en rente viagere, calculeeavec une table de mortalite et un taux technique fixes lors de la souscription du contrat.

2.4 Differentes Definitions Possibles du Montant Garanti

Les differents types de garanties presentes au cours de la section precedente permettent dedefinir les prestations qui seront servies, ainsi que les dates auxquelles elles pourront etre versees.Mais des raffinements supplementaires peuvent encore etre pris en compte dans la definition delengagement. En effet, le montant garanti utilise pour le calcul des prestations servies peut etreevalue selon plusieurs mecanismes distincts, la tarification dependant bien sur du mode de calculchoisi par le client.

Garantie de Capital: cest la plus classique, elle consiste a garantir au client un capital

minimal donne au moment de lexercice de la garantie. La forme la plus repandue est cellede garantie du cumul des primes versees.

Garantie de Rendement : beaucoup moins courante en France, elle offre au client untaux de revalorisation minimale de son epargne. La limite entre epargne en euro et epargneen UC est alors extremement tenue, le risque sur lepargne etant reduit a sa plus simpleexpression. Le risque couvert etant loin detre negligeable, limpact tarifaire peut etre im-portant.

La figure suivante illustre le fonctionnement dun contrat offrant une garantie de rende-ment. Nous avons simule levolution du cours du support par un tirage aleatoire dun

processus lognormal, de volatilite 5%. Le taux sans risque est 3%, le taux de revalorisationgaranti est egalement de 3%, le versement initial seleve a 100.

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A titre dexemple, entre les annees 4 et 5, on constate que le cours du support est tel quelepargne du client est largement superieure a son versement initial revalorise : la valeurintrinseque (gain realise en cas dexercice immediat) dune garantie en cas de vie est alorsnulle.

En revanche, on constate quaux alentours du 8eme anniversaire du contrat, le cours dusupport a baisse ; cette fois lepargne est inferieure au montant initial revalorise. Lexercicedune garantie en cas de vie presente un interet a cette date.

Fig.2.1 Exemple de fonctionnement dun contrat avec garantie de rendement.

Effet Cliquet : Garantie du plus haut cours atteint. Le client est assure de sortir avec lavaleur la plus haute atteinte par son epargne. En general, on ne considere que les valeursatteintes a certaines dates (typiquement : plus haut cours atteint a date anniversaire ducontrat). Cela permet evidemment de reduire les tarifs de la garantie ; cela en limite enrevanche linteret pour le client.

La figure suivante, basee sur la meme evolution de cours du support que lexemple prece-dent, illustre le fonctionnement dun cliquet annuel. On constate en particulier que levo-lution du cours entre deux dates anniversaires importe peu ; cest la valeur du cours a ladate de mise a jour du cliquet qui est prise en compte. Ainsi, malgre la hausse tres forte

et quasi-constante du cours entre les annees 3 et 5, le cliquet nest reevalue quannuelle-ment. En revanche, on voit egalement qua partir de lannee 5, une baisse durable affectele support. Le cliquet reste constant jusquau 9eme anniversaire du contrat.

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Fig.2.2 Exemple de fonctionnement dun contrat avec garantie cliquet annuel.

Garantie du maximum entre garantie de rendement et garantie du plus hautcours atteint : en combinant securite et performance, cette garantie peut etre extreme-

ment seduisante. Sa tarification en est evidemment delicate, et les prix demandes peuventsaverer eleves.

Ce troisieme schema, base sur la meme evolution de cours que les deux precedents, montrele fonctionnement dune telle garantie. Entre les annees 2 et 3, le cours et le cliquet sonten-deca de la revalorisation minimale du versement initial ; cest donc cette derniere quiest prise en compte. Entre les annees 5 et 8, cest le cliquet qui est pris en compte. Entreles annees 4 et 5, le cours du support est plus eleve que le cliquet et que le versement initialrevalorise ; sur cette periode, la valeur intrinseque de la garantie est nulle.

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A titre dexemple, en utilisant la table de mortalite TPRV-93 (en supposant un decalagedage nul), etudions les arrerages percus par un assure de 50 ans.

On suppose que le montant garanti est de 100 000 , tandis que la valeur de son epargne

est de 99 000

. La logique voudrait quil exerce sa garantie. Mais supposons a present quela GMIB quil a souscrite garantit une sortie de rente au taux technique de 2,50%. Larrerageannuel auquel il a droit en exercant son option est de 4096,18 .

Si les taux du marche sont passes a 2,60%, la conversion en rente de son epargne aux condi-tions du marche lui permettent dobtenir un arrerage annuel de 4119,85 . Lexercice de lagarantie conduit donc a obtenir un arrerage inferieur a une conversion en rente aux conditionsdu marche. Ainsi dans ce cas, apres examen de toutes les hypotheses, il savere que lassure ainteret a ne pas exercer sa garantie.

2.5 Tarification StochastiqueLes methodes de lactuariat classique en assurance-vie sont basees sur une approche deter-

ministe. La tarification des garanties liees aux UC se prete malheureusement assez mal a cetype dapproche. Garder une approche deterministe reviendrait a se placer implicitement sur unchemin donne pour le cours du sous-jacent. Conserver une hypothese de scenario catastrophepermettrait en theorie de choisir une approche prudentielle, mais les tarifs obtenus risquent fortdaboutir a des chargements commercialement inacceptables.

La meilleure facon de rendre compte de facon satisfaisante de loptionalite de la garantie estde panacher les techniques traditionnelles de lactuariat par des techniques plus proches de lafinance pure.

Cette demarche, consistant finalement a adopter une optique detarification stochastique, esta la source de plusieurs developpements de ce memoire.

2.6 Formalisation financiere : la garantie envisagee comme op-tion

2.6.1 GMAB : option europeenne

La GMAB ne peut sexercer qua une date donnee, a la fin dune periode de carence. Sil est

encore en vie au terme de cette periode, le client voit son epargne reevaluee au niveau de sa plushaute valeur atteinte. Il se comporte donc comme sil vendait son epargne au prix correspondanta la plus haute valeur atteinte.

La GMAB peut donc dinterpreter, en termes financiers, comme une option de vente (put)europeenne dont le sous-jacent serait lepargne du client. Lassureur est le vendeur de loption,lassure son acheteur. Le prix dexercice de ce put depend du chemin suivi par la valeur delepargne : on parle doptionpath dependant

2.6.2 GMIB ou GMSB : option americaine

Du point de vue du client, si lon considere un versement unique sur lequel ninterviendrait

aucun mouvement (rachat partiel, arbitrage, reversement), on peut envisager la garantie GMIB

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ou GMSB comme une option de vente (put), exercable a nimporte quel moment (option ame-ricaine), dont le sous-jacent serait le montant de larrerage obtenu par le client.

Cette interpretation appelle bien entendu plusieurs remarques :

le comportement du client est dans un premier temps occulte ; il sagit bien entendu duneapproximation quon ne peut accepter lors de letude dun produit dassurance-vie. Tou-tefois dans le debut de la presente etude, nous conserverons cette hypotheses afin de nousconcentrer sur les mecanismes purement financiers de la garantie. Une fois ces rouages bienetudies, nous devrons naturellement inclure le comportement du client dans la modelisa-tion de la garantie.

les facteurs influencant le sous-jacent sont ici extremement nombreux, ce qui rend letudedautant plus complexe. Parmi ces facteurs, je citerais :

La volatilite du cours du support choisi par le client

Le taux de revalorisation minimal (rollup) garanti

La mortalite

Le taux technique garanti pour la rente, et sa position par rapport aux taux techniquesque le client obtiendrait en sortant aux conditions de marche.

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Chapitre 3

Elements de finance conditionnelle

Nous avons esquisse, au chapitre precedent, une premiere approche des garanties liees auUnites de Compte comme produits financiers optionnels.

Ce chapitre, ainsi que le suivant, sattachent a rappeler de facon fort succincte les principesde base des instruments optionnels et des techniques de valorisation pouvant etre utilisees pourevaluer leur prix. On essaiera autant que faire se peut demployer des termes francais ; neanmoins,comme dans tous les domaines financiers, lusage dune terminologie anglo-saxonne est souventinevitable.

3.1 Options : definition et fonctionnement

3.1.1 Definition

On nomme optionun produit financier donnant a lacheteur le droit dacheter ou de vendre

a une date donnee un actif sous-jacent, selon des conditions determinees lors de la conclusiondu contrat.

Une option est definie par :

le sous jacent : actif pouvant etre achete ou vendu par le detenteur de loption.

lecheance : date a laquelle le contrat doption expire.

les dates dexercice possibles : il peut sagir dune date unique, ou dune periode limi-tee ou illimitee dans le temps.

le prix dexercice ou strike : prix dachat ou de vente du sous jacent, defini a lachatde loption. Ce prix de vente peut etre un montant fixe, ou au contraire varier au cours dutemps.

la prime : prix de loption resultant de la confrontation des ordres dachat et de ventepresentes sur le marche.

3.1.2 Fonctionnement

Exemple :Option dachat de type europeenLe sous-jacentde loption est une action de la societe X, cotee S a linstant 0. Lacheteur deloption possede le droit dacheter a lhorizon T le sous-jacent auprix dexercice - oustrike -E.

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Chapitre 3. Elements de finance conditionnelle

Il sagit donc dune option dachat - on parle couramment de call.

A linstant T, si le cours St de laction X est superieur au prix dexerciceE, lacheteur exercerason option, en faisant valoir son droit. Lachat dune action a un prix inferieur a son cours luipermettra denregistrer un gain economique egal a St E.

Si en revanche a linstantTle coursStest inferieur au prix dexercice, le detenteur de loptionnaura aucun interet a lexercer et la valeur de loption sera nulle.

Loption presente une forte asymetrie : la perte maximale de lacheteur du call se limitea la prime quil aura payee pour lacquerir. Le vendeur du call, en labsence de couverture, silenregistre au maximum un gain egal a cette prime, peut enregistrer une perte infinie (le coursSt netant pas limite a la hausse a priori).

Le schema ci-dessous illustre bien lasymetrie du produit pour lacheteur et le vendeur. Onrepresente graphiquement, en fonction du cours atteint par le sous-jacent a la date dexercice,

les gains et les pertes realisees sur un call dont le prix dexercice est 22, et la prime 0,18.

Lorsque le cours est inferieur a 22, lacheteur nexerce pas son option ; il realise une perteegale a la prime quil a payee pour lacquerir (0,18). Le vendeur, de facon symetrique, encaisseun gain egal a cette prime.

Lorsque le cours est superieur a 22, lacheteur exerce son option. Toutefois, il ne commence agagner de largent sur loperation qua partir du moment ou le gain realise lors de lexercice couvrela prime de loption. Ici, cest lorsque le cours vaut 22,18 que cet equilibre est atteint. Entre 22et 22,18, lexercice de loption permet a lacheteur de diminuer sa perte. Les gains realises par levendeur decroissent de facon totalement symetrique, et au-dela de 22,18, le vendeur enregistre

une perte sur loperation.

Fig.3.1 Diagramme des gains et pertes pour lacheteur et le vendeur dun call.

A linverse, lasymetrie dune option de vente ou putest illustree par le schema suivant :

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Fig.3.2 Diagramme des gains et pertes pour lacheteur et le vendeur dun put.

Lorsque le cours du sous-jacent est superieur au strike a la date de maturite, loption nestpas exercee, et lacheteur enregistre une perte egale a la prime (gain egal a la prime pour le ven-deur). Lorsque le cours decroit en deca du prix dexercice, la perte realisee sur loption decroitelle aussi. Lorsque le cours du sous-jacent devient inferieur au strike diminue de la prime, lache-teur realise un gain sur la globalite de loperation (symetriquement, le vendeur realise une perte).

On peut des lors sinterroger sur linteret dune telle operation pour le vendeur, qui, dans tousles cas, endosse les risques les plus importants. Le vendeur fait en realite le pari que loptionne sera pas exercee, et compte donc ainsi enregistrer des gains grace aux primes payees parlacheteur. Ce type doperations portant en general sur un grand nombre de titres, les montantsen jeu peuvent saverer considerables.

3.2 Options dependant du chemin suivi par le sous-jacent

Les exemples fournis jusquici comportaient le plus souvent un prix dexercice fixe des laconclusion du contrat. Lestimation de la valeur intrinseque de loption a tout instant est doncextremement aisee puisquil suffit de comparer le prix dexercice au cours du sous-jacent a lins-

tant t.

Dautres options presentent des modalites plus complexes : dans certains cas, le prix dexer-cice ne sera plus une constante, mais une fonction dun certain nombre de parametres lies ausous-jacent.

Lorsque le prix dexercice a linstantt depend du chemin suivi par le cours du sous-jacent, laterminologie anglo-saxonne classique parle doptionpath-dependant. On peut par exemple imagi-ner une option de vente dont le prix dexercice serait le cours maximum atteint par le sous-jacentau cours de la periode de vie de loption.

Il ny a pas de limite a priori a la sophistication que lon peut mettre en oeuvre dans ladefinition dune option. En revanche, la determination du prix reste une contrainte inevitable,

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dont il faut pouvoir sacquitter au mieux.

3.3 Terminologie

3.3.1 Expressions courantes

Valeur intrinseque dune option: il sagit de la valeur que cette option aurait si lon pou-vait lexercer a linstant considere. Pour une option de vente europeenne simple sur un sous-jacentdont le cours estS(t), par exemple, cette valeur intrinseque est, a tout instant :M ax(ES(t);0).

Valeur temporelle dune option: cest le complement de la valeur intrinseque a la valeurde la prime de loption. Elle sannule a lecheance

Le vocabulaire courant concernant les options comporte aussi des termes specifiques pourcaracteriser la position du cours du sous-jacent par rapport au prix dexercice.

Option a la monnaie : option dont le prix dexercice est egal au cours du sous-jacent.Dans ce cas la valeur intrinseque de loption est nulle.

Option dans la monnaie : option dont le prix dexercice est inferieur au cours du sous-jacent. La valeur intrinseque de loption est strictement positive.

Option hors de la monnaie : option dont le prix dexercice est superieur au cours dusous-jacent. La valeur intrinseque de loption est nulle.

Enfin nous parlerons a plusieurs reprises dans la suite de cette etude de payoff. Ce termeanglo-saxon designe le gain engendre par lexercice de loption. Il sagit donc dune fonction du

temps, dans le calcul de laquelle intervient au moins le cours du sous-jacent. Dans le cas dunput europeen decheance T, cette fonction prend une forme simple : M ax(K St; 0). Mais surdes produits plus sophistiques, la fonction de payoff peut etre beaucoup plus complexe.

3.3.2 Differents types doptions

Loption decrite ci-dessus ne peut etre exercee qua une date precise : on parle dune optioneuropeenne.

Les options dites americaines peuvent au contraire etre exercees a nimporte quel instantavant la date decheance.

Les options decrites ci-dessus sont dites vanille(plain vanilla optionsen anglais) ; ce sont lespremieres apparues, les plus repandues et les plus simples.

Cependant, les besoins de couverture tres divers ont favorise lapparition doptions plus com-plexes, comme par exemple :

options asiatiques : aussi dites options sur moyenne, elles sappuient non pas sur le coursinstantane du sous-jacent, mais sur une moyenne de ce cours sur une periode.

options bermudeennes (bermuda option) : options a dates dexercices multiples mais fixees

a lavance

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options lookback : option dont le prix dexercice nest pas une constante, mais representeun extremum atteint par le cours du sous-jacent. Pour un putlookback, le vendeur garantitainsi au detenteur de loption quil achetera le sous-jacent au prix le plus eleve atteint parce dernier sur la periode.

Ces options sont souvent regroupees sous le terme generique doptions exotiques.

3.4 Deux hypotheses fondamentales

Nous rappelons ici deux conditions qui doivent imperativement etre realisees pour que lonpuisse correctement evaluer un prix de marche pour les instruments traites.

3.4.1 Completude des marches

Les marches doivent pouvoir etre consideres comme complets : cest-a-dire quil doit existerdes actifs financiers dependant de tous les etats de la nature possibles.

3.4.2 Absence dOpportunite dArbitrage

LAbsence dOpportunite dArbitrage est une des hypotheses les plus frequemment uti-lisees dans les travaux financiers. Elle nest pas propre aux instruments optionnels, mais il estimportant de la mentionner, car tous les developpements financiers de cette etude sappuieront,explicitement ou non, sur cette hypothese.

Lhypothese dAbsence dOpportunite dArbitrage consiste a supposer quil ne peut y avoir decreation de richesse sans risque a partir dun capital nul. Ses traductions pratiques sont mul-tiples ; elle implique notamment que la fonction dactualisation soit une relation dequivalence.

Pour des flux financiers certains, lAbsence dOpportunite dArbitrage implique quil nexistequune seule valeur, au comptant ou a terme fixe, du taux de remuneration sans risque pour uneecheance donnee. Sous lhypothese dAOA, deux operations debouchant sur le meme flux futurcertain doivent donc avoir la meme valeur initiale.

Si ce netait pas le cas, la valeur actuelle dun flux futur dependrait du chemin suivi. Il suffi-rait alors de vendre lactif de valeur actuelle la plus chere et dacheter simultanement lactif devaleur actuelle la moins chere pour realiser un arbitrage, et mettre a defaut lhypothese.

Cest lAbsence dOpportunite dArbitrage qui permet en particulier detablir les relations

deterministes entre les taux comptant et les taux a terme ; grace a ces relations, la connaissance dela structure des taux comptant (cest-a-dire de la courbe des taux) nous permettra de determinertous les taux a terme de meme date destimation.

3.5 Principe de valorisation financiere dune option

On considere que le prix dune option correspond au cout de mise en place dun portefeuillequi delivrerait exactement les memes flux que loption quel que soit letat du marche. Un tel por-tefeuille est appele portefeuille de replication. Lenjeu est donc en general de reussir a construirece portefeuille de replication de sorte quil se comporte comme loption quelle que soit levolutiondu marche.

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Cette formulation peut paratre anodine : on constatera au cours des diverses demonstrationspresentees dans cette etude que ce principe est en fait une methode generale, a lorigine de laplupart des arguments utilises pour les calculs de prix doptions.

3.6 Parite Call-Put

Un resultat classique et interessant permet detablir une relation entre le prix dun put etdun call (dans le cas doptions europeennes). Cette relation est nommee parite Call-Put.

Soit Ct le prix dun call europeen et Pt le prix du put sur le meme sous-jacent de cours St,de meme maturite T et de meme prix dexercice K. On note r le taux sans risque.

En t, on achete un call et on vend un put.

Le prix du portefeuille ainsi constitue est Ct Pt.

A linstantt +T, le call nous permettra dencaisser M ax(St+TK; 0), et le put nous obligeraa verser M ax(K St+T;0).

Si St+T > K, on exercera le call, ce qui permettra denregistrer un gain de St+T K. Leput, en revanche, ne genere aucun flux car il nest pas exerce.

Si St+T < K, le call ne sera pas exerce, en revanche le put obligera a acheter au prix K desactifs dont le prix est St+T. On enregistre dans ce cas une perte de (K St+T).

On constate que dans tous les cas, la valeur finale de ce portefeuille est St+T K.

Si lon achetait en t une action St et que lon effectuait un emprunt au taux sans risqueremboursable en t+T dun montant KerT, on aurait egalement un portefeuille dune valeurfinale St+T K.

Lhypothese dabsence dopportunite darbitrage impose donc que les prix initiaux des deuxportefeuilles prenant la meme valeur finale soient egaux a linstant t.

On en deduit donc que :

Ct Pt= St KerT .

3.7 Volatilite

Le plupart des techniques de valorisation doptions sappuient largement sur la notion devolatilite. Il sagit dune mesure de linstabilite du cours dun actif financier. La volatilite ducours dune action permet de mesurer le niveau dincertitude sur levolution future de ce cours.

Plus la volatilite augmente, plus les probabilites pour que le cours augmente ou baisse forte-ment sont grandes.

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Pour le detenteur dune action, ces deux risques sont symetriques, et cest a lui darbitrerentre des opportunites de gains plus importantes (volatilite elevee) et des pertes limitees en casde baisse du cours (volatilite basse).

Pour le detenteur dune option, en revanche, lasymetrie fondamentale du produit change

completement lapproche. Ainsi pour le detenteur dun call europeen, lorsque la volatilite dusous-jacent augmente, la probabilite pour que son cours excede largement le prix dexercice crotegalement. Les opportunites de gain sont plus elevees, en revanche les pertes potentielles sonttoujours limitees a la prime de loption. On sattend donc naturellement a ce que le prix ducall augmente avec la volatilite du sous-jacent.

De la meme facon, le detenteur dun put beneficiera egalement dune hausse de la volati-lite, puisque la probabilite pour que le cours du sous-jacent baisse fortement devient plus forte.Comme les pertes sont ici aussi limitees a la prime de loption, on en deduit que le prix du putaugmente lui aussi avec la volatilite du sous-jacent.

La volatilite peut sinterpreter comme lecart-type du rendement continu du sous-jacent surune annee. Des methodes statistiques permettent ainsi de calculer, en fonction de mesures ducours, une valeur historique de la volatilite. Il est bien entendu assez risque de considerer cesmesures comme des predictions valables pour lavenir : la volatilite nest en effet pas une donneefigee et peut evoluer au cours du temps pour une action donnee. Neanmoins de telles etudesretrospectives fournissent une base danalyse interessante lors de letude du prix dune option.

Comme nous le verrons au chapitre suivant, la plupart des modeles devaluation de prixdune option reposent sur des hypotheses fortes concernant la volatilite.

3.8 Valorisation en environnement Risque NeutreLa notion denvironnement risque neutre est un autre element fondamental utilise pour les

calculs de prix doptions.

Un environnnement dit risque neutreest un environnement au sein duquel tous les interve-nants sont indifferents au risque. Dans un tel environnement, aucune compensation nest neces-saire a la prise de risque, et, quel que soit le support, le rendement attendu est le meme : cestle taux sans risque.

Faire lhypothese quon evolue dans un monde risque neutre est bien entendu la source denombreuses simplifications pour levaluation des produits derives, et des options en particulier.

Dans la pratique, la valorisation en environnement risque neutre passe par la constructiondune mesure de probabilite specifique, fort opportunement designee comme probabilite risqueneutre, ponderant les differents etats futurs possible de lunivers de facon a ce que tous les actifsaient le meme rendement. Lexistence et lunicite de la mesure de probabilite risque neutre sontdes resultats fondamentaux, quon se contentera de mentionner ici, leur demonstration depassanttres largement le cadre de cette etude.

Le modele propose par Black et Scholes, ainsi que les modeles darbres binomiaux, sappuientainsi sur des calculs en environnement risque neutre.

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Chapitre 4

Methodes de determination du prixdune option

Nous abordons ici de facon tres generale les methodes les plus largement utilisees pour leva-

luation de prix doptions.

Les formules de Black & Scholes nous fourniront des prix de reference, auxquels nous pour-rons comparer les prix obtenus par dautre methodes sur des options similaires. La validationdes algorithmes developpes par la suite en sera grandement facilitee.

Pour nous permettre delargir le champ daction de notre etude, nous utiliserons des algo-rithmes dapproximation des prix doptions, qui saverent beaucoup plus versatiles et flexibles.Cest notamment le cas des algorithmes darbres binomiaux.

4.1 Formules de Black & Scholes pour des options europeennesLes formules de Black et Scholes, publiees en 1973, sont probablement lun des resultats les

plus celebres de la finance. Elle permettent dobtenir, pour des options europeennes dachat oude vente dun unique sous-jacent, une formule analytique de calcul du prix.Nous rappelons ici uniquement les conclusions, leur demonstration (par ailleurs disponible danstout manuel de finance digne de ce nom) depassant le contexte de letude.

Le modele se base sur les hypotheses suivantes :

Absence dopportunites darbitrage

Le sous-jacent ne verse pas de dividende

Laction suit un processus lognormal : dS=Sdt + Sdz ou z represente un mouvementbrownien standard. Rappelons quun mouvement brownien est un processus gaussien aaccroissements independants et stationnaires. Laccroissement zt zs ou 0 s < t suitune loi gaussienne centree de variance (t s)

Le taux sans risque r est constant au cours du temps, et est identique quelle que soit lamaturite consideree

La volatilite du sous-jacent est constante dans le temps.

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Chapitre 4. Methodes de determination du prix dune option

Volatilite = 15%

Fig.4.2 Tirages aleatoires dun processus lognormal - Volatilite = 15%

Dans ce cadre, le prix dun call secrit :

C=S0N(x1) KerTN(x2)

Et celui dun put :

P =K erTN(x2) S0N(x1)

avec :

x1= ln(

S0K)+(r+

2

2 )T

T

et

x2= ln(

S0K)+(r

2

2 )TT

ou Nest la fonction de repartition de la loi normale standard.

On verifie que la parite Call-Put est bien respectee.

Les formules de Black et Scholes sont une reference incontournable, a tel point quon estimeparfois que les prix du marche ont tendance a sen inspirer. Une representation de la realite sertdonc de reference influencant la realite meme.

Une autre remarque dimportance concerne la volatilite implicite. Pour un prix donne, lin-

version des formules de Black et Scholes permet de retrouver une valeur (unique) de la volatilite.Le calcul de cette volatilite dite implicite permet de cerner les opinions quant au sous-jacent deplusieurs acteurs livrant un prix different pour une meme option.

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4.2 Determination du prix doptions americaines

La determination du prix des options americaines pose un certain nombre de problemes ;fondamentalement, la complexite de cette operation provient du fait que lexercice ne se fait pasa une date donnee, mais peut seffectuer a tout instant avant lecheance.

Pour pouvoir evaluer le prix de ces options, il est donc capital de pouvoir determiner quandseffectuera lexercice. Pour ce faire, la demarche utilisee est de considerer que le detenteur deloption exercera celle-ci lorsque son esperance de gain sera optimale.

Partant de cette hypothese fondamentale, plusieurs types de mecanismes de calcul peuventetre employes. Dans la plupart des cas, a linverse de ce que lon peut trouver sur des optionseuropeennes, il sera impossible de determiner une formule exacte devaluation de la prime ; lesmethodes decrites dans la suite de ce chapitre sont des methodes numeriques.

4.3 Arbres Binomiaux

Les formules de Black and Scholes ont de nombreuses vertus : leur expression analytiquepermet un calcul simple, fiable, aise a mettre en place et peu consommateur de ressources.

Elles ont en revanche plusieurs limites : elles ne sont valables que pour un certain typedoptions, et sous certaines hypotheses tres restrictives. Elles sont en particulier inadaptees parnature a levaluation doptions americaines.

Dautres algorithmes permettent en revanche de mener des evaluations sur des options pluselabores, et saverent plus versatiles, quoique consommateurs de ressources. Cest notammentle cas des algorithmes dits darbres binomiaux que nous allons presenter maintenant. Cette

methode a ete exposee par Cox, Ross et Rubinstein dans un article publie en 1979.

4.3.1 Exemple darbre simple (1 pas) pour un call europeen

On tente devaluer le prix dun call de type europeen (une seule date dexercice possible),offrant le droit dacheter une action au prix de 21 dans 3 mois. Le cours de laction a la datedevaluation est de 20 .

On suppose que seuls deux etats sont possibles au terme : a la fin des trois mois, lactionconsideree vaudra soit 18 , soit 22 . Dans le premier cas, loption dachat nest pas exercee etloption vaut 0 au terme ; dans le second cas elle sera exercee, sa valeur au terme est de 1 .

1ere etape: on calcule la composition dun portefeuille sans risque.

On compose un portefeuille en achetant actions et en vendant 1 call. On cherche a deter-miner tel que la valeur du portefeuille au terme soit assuree quel que soit letat de luniversau terme.

Dans le premier cas, laction vaut 18 , tandis que la valeur de loption est de 0, la valeur duportefeuille est donc de 18.

Dans le second cas laction vaut 22

et loption vaut 1

, donc la valeur du portefeuille est

de 22 1. La valeur du portefeuille etant la meme dans les deux cas, on peut facilement de-terminer la valeur de ; on trouve = 0, 25.

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2eme etape :

On connait la composition de ce portefeuille ; sa valeur au terme, quelle que soit la valeur delaction, sera de 22 0, 25 1 = 18 0, 25 = 4, 5

Le rendement de ce portefeuille sans risque est egal au taux sans risque. La valeur initiale duportefeuille se deduit donc facilement de sa valeur au terme : 4, 5 erT avec T=0,25 (3 mois).Si le taux sans risque est egal a 12%, la valeur initiale du portefeuille est donc de 4,367.

On en deduit le prix f de loption : a linstant initial, le cout du portefeuille est egal a0, 25 20 f.

On trouve ainsi f= 0, 633.

4.3.2 Generalisation du calcul - Formalisation

Le calcul precedent peut etre generalise a un put, ou plus largement a une option europeennepour laquelle seules deux issues sont possibles, chaque issue etant caracterisee par un payoffspecifique. On considere donc une option portant sur un sous-jacent de cours S0 a linstantinitial. La duree de loption est T, et au terme de cette periode, le cours du sous-jacent a pu soitaugmenter dun facteur u soit diminuer dun facteur d. Dans le premier cas, le payoff est notePu, dans le second cas Pd.

Comme precedemment on determine la valeur de qui permet dimmuniser un portefeuillecompose dune position longue de sur le sous-jacent et courte dune option. La valeur finale

du portefeuille en cas de hausse est S0uPu. La valeur finale du portefeuille en cas de baisseest S0d Pd. La valeur de permettant dimmuniser le portefeuille est donc :

= Pu Pd

S0u S0d

Dans ce cas le portefeuille est sans risque et doit donc rapporter le taux dinteret dans risque.La valeur du portefeuille a linstant initial est donc (S0u Pu) e

rT.

Le prix initial du portefeuille etant egal aS0f oufest le prix de loption, il sensuit quef=S0 (S0u Pu) e

rT.

En reportant lexpression litterale de , on trouve :

f= (pPu+ (1 p)Pd) erT

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avec :

p= erT d

u d

N.B. : Cette formule ne fait pas intervenir les probabilites respectives dun mouvement a lahausse ou a la baisse du sous-jacent. On remarquera cependant que p pondere les deux etatspossibles du monde a la date decheance :p est en fait la probabilite dun mouvement a la haussedans lenvironnement risque neutre.

4.3.3 Pertinence des prix obtenus - lien avec le modele de Black & Scholes

Composition de lalgorithme pour une option europeenne

Larbre a deux issues propose est une simplification bien imprecise de la realite lorsque lesous-jacent considere est une action ou une part dOPCVM (ce qui sera le plus souvent le casdans le cadre de la garantie GMSB). En effet le cours de la part dOPCVM peuta prioriprendre

une infinite de valeur a la date dexercice T.

Une modelisation plus pertinente consiste a utiliser les resultats du paragraphe precedentspour des periodes courtes, correspondant a des subdivisions de la periode T.

Sur chaque intervalle elementaire t le cours du sous-jacent na que deux evolutions pos-sibles : Su ou Sd.

Lexemple ci-dessous montre comment le schema elementaire peut etre compose sur plusieursperiodes.

Fig. 4.3 Composition de lalgorithme darbre binomial sur plusieurs periodes

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On constitue ainsi un treillis de chemins possibles pour le cours du sous-jacent ; la precisiondu maillage temporel ainsi realise sera determinante pour la precision de levaluation du prix deloption.

Il est evident que lutilisation dun algorithme binomial pour la valorisation dun call ou

dun put europeen na pas vraiment dinteret puisque lon dispose dune formule fermee (Black& Scholes), qui permet une estimation plus fiable tout en reduisant la charge de calculs. Toutefoisla comparaison effectuee a le merite de prouver la pertinence des resultats obtenus par le biaisdun arbre binomial. Ce resultat est dautant plus important que ce type dalgorithme va etreun des outils principaux de la suite de cette etude ; la methode de larbre binomial est en effetun moyen tres naturel de valoriser une option americaine.

Justification de la convergence des resultats

Lobjet de ce paragraphe nest pas de donner une justification mathematique precise de cetteconvergence, mais daider a comprendre les mecanismes en jeu.

Au nud de coordonnees (i, j) la valeur du support est S0ujdij . Le nombre de chemins

possibles pour atteindre cette valeur est Cji .

Dans le modele choisi la volatilite du sous-jacent est . On suppose que pour le pas de tempst, on choisit les coefficients :

u= et

d= 1u

=et

Pour un nud donne a linstant t, il ne peut par definition y avoir que deux issues possiblesa linstantt+t, determinees par une evolution de u ou de 1

u. Levolution du sous-jacent pour

un pas de temps elementaire correspond donc a une variable aleatoire de Bernoulli.

Ainsi le cours de laction a un instant donne correspondant a i intervalles elementaires estle produit de i variables aleatoires pouvant prendre les valeurs u ou 1

u. Si lon considere le lo-

garithme de levolution du cours, on trouve la somme de i variables aleatoires pouvant prendredeux valeurs (ln(u) et ln(d)). Ce sont des variables dites de Bernoulli ; si lon considere de plusque ces variables sont independantes - ce qui revient a considerer que levolution du cours delaction a un instant donne ne depend pas des mouvements passes, cette somme est une variable

aleatoire binomiale.

Lorsque leffectif est suffisamment eleve, il est classique didentifier le comportement dunevariable discrete binomiale a celui dune variable continue normale.

Le rendement du sous-jacent suivant une loi de distribution normale, la distribution des va-leurs du cours des sous-jacent suit ici une variable aleatoire lognormale.

Ainsi lorsque le nombre de nuds est suffisamment important (i.e. lorsque le pas de tempselementaire est suffisamment petit), le modele choisi pour levolution du sous-jacent dans lemodele darbre binomial se rapproche de celui retenu par Black et Scholes.

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4.3.4 Rapidite de la convergence

A titre dexemple, on considere un put europeen ainsi defini :

Duree : 1 an

Le cours initial du sous-jacent est 100

Le prix dexercice est 110

La volatilite du sous-jacent est de 20%

le taux sans risque est de 3%

Le prix de cette option calcule par la formule de Black et Scholes est 12,0424.

Le graphique suivant montre, pour la meme option, la convergence des resultats obtenus parlalgorithme darbre binomial vers le prix Black et Scholes, en fonction du nombre diterations.

On obtient une approximation de ce prix a 1% pres a partir de 9 iterations.

Une precision de 0,50% sobtient des la 23eme iteration.

Pour reduire lerreur a moins de 0,10%, il faut pousser le nombre diterations a 160.

A titre de comparaison, meme en effectuant 1 000 000 tirages a laide dune methode deMonte-Carlo, on ne parviendra pas a certifier une precision de 0,10% sur un tel put.

Fig.4.4 Convergence du prix obtenu par arbre binomial vers le prix Black and Scholes

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tion est, en revanche, plus difficile a evaluer.

Supposons, par exemple, que nous tentions dutiliser un algorithme de Monte-Carlo tradition-nel pour un put americain. Nous considerons ainsi n tirages pour la trajectoire du sous-jacent.Dans la methode de Monte-Carlo, un tirage aleatoire de cette trajectoire est une construction

dun scenario possible du futur. Si nous nous placons sur une trajectoire donnee, nous pouvonsa chaque instant calculer la valeur dexercice de loption. En revanche, estimer sa valeur deconservation en utilisant levolution future du cours telle quelle est simulee dans la trajectoireconsideree serait une erreur. En effet cela reviendrait a supposer que le detenteur de loptionprend sa decision en connaissant deja a lavance la totalite de la trajectoire. Dans la realite, ilna connaissance que dune partie de linformation, a savoir levolution du cours jusqua la dateou lon se trouve. Evaluer le prix de loption en supposant que son detenteur connait la totalitede linformation conduirait a une surevaluation de la prime.

Pour annuler ce biais important, nous pourrions imaginer un algorithme de Monte-Carlocompose, dans lequel la valeur de conservation de loption pour chaque point de chaque trajec-

toire ferait elle-meme lobjet dune evaluation par la methode de Monte-Carlo. Cette demarchesavererait theoriquement exacte. Sa mise en place dans la realite est impossible, car la quantitede calculs necessaires a levaluation de loption devient enorme.

Une methode alternative consiste a sappuyer sur une loi dexercice approchee. La methodedite de Longstaff-Schwartzpropose par exemple de supposer une relation polynomiale dordre2 entre le cours du sous-jacent et la valeur de conservation de loption. Cet algorithme a etepropose par les deux mathematiciens dont il porte les noms dans un article paru en 2001.

4.6.1 Exemple dutilisation de lalgorithme de Longstaff-Schwartz pour uneoption americaine simple

Algorithme

Nous considerons ici une option de vente (put) americaine, basee sur une action ne distri-buant pas de dividende. Les hypotheses supplementaires sont les suivantes :

La duree de loption est de 3 ans

Loption peut etre exercee a chaque fin dannee

Le cours initial du sous-jacent est 1

Le prix dexercice de loption est 1,1

La volatilite du sous-jacent est 20%

Le taux sans risque est de 3%

La premiere etape est de generer des tirages aleatoires de la trajectoire du sous-jacent.

Supposons que lon ait garde 10 tirages de levolution deStresumes dans le tableau suivant :

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Nous utilisons ces valeurs pour calculer la valeur de conservation de loption et la compareravec sa valeur intrinseque en t=2.

Tirage Valeur intrinseque Valeur de conservation Exercice anticipe ?

1 0,00 0,00 Non

2 0,28 0,1823 Oui3 0,34 0,2096 Oui4 0,29 0,1854 Oui5 0,00 0,00 Non6 0,00 0,00 Non7 0,00 0,00 Non8 0,24 0,1756 Oui9 0,20 0,1780 Oui

10 0,13 0,2042 Non

Tab. 4.4 Comparaison de la valeur de conservation et de la valeur intrinseque en t=2

Nous pouvons a present resumer les benefices lies a lexercice de loption si celui-ci est possibleet t=2 ou en t=3.

Tirage t=2 t=3

1 0,00 0,002 0,28 0,003 0,34 0,004 0,29 0,005 0,00 0,006 0,00 0,007 0,00 0,00

8 0,24 0,009 0,20 0,00

10 0,00 0,23

Tab. 4.5 Gains en cas dexercice uniquement en t=2 ou t=3

t=1

Nous appliquons une demarche similaire en nous placant a la date t=1. A cet instant, loptionest dans la monnaie pour les chemins 2,3,9 et 10. Les valeurs de conservation correspondantessont 0, 28e3%, 0, 34e3%, 0, 20e3%, 0, 23e3%2.En supposant de nouveau une relation polynomiale dordre 2 entreV et S, et en recherchant les

nouvelles valeurs des coefficients a, b et c, on trouve :

V = 0, 688 0, 699S+ 0, 235S2

On peut donc a present calculer les valeurs de conservation en t=1 et les comparer avec lesvaleurs intrinseques dans les differents cas retenus.

Les benefices lies a la detention de loption dans les divers cas simules sont ainsi resumesdans le tableau suivant :

t=0

Levaluation du prix de loption etudiee sobtient en calculant la moyenne ponderee desbenefices actualises en t=0 pour les differents chemins simules.Ainsi le prix retenu dans cet exemple secrit :

1

10

0, 28e3%2 + 0, 45e3% + 0, 29e3%2 + 0, 24e3%2 + 0, 20e3%2 + 0, 23e3%3

= 0, 1598

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2eme etape : calcul de la valeur de loption au dernier pas de temps tM.

Ce calcul est ici tres simple, puisque le cours du sous-jacent et le prix dexercice sont connus.Pour chaque chemin i, on remplit donc les flux de la matrice Cpour le pas de temps M :

Ci,M =M ax(0, E Si,M)

La matrice C prend au terme de cette etape la forme suivante (en supposant ici que le prixdexercice est egal a 1,1) :

j = 0 j = 1 j = 2 ... j= M

i= 0 0 0 0 ... 0i= 1 0 0 0 ... 0, 07i= 2 0 0 0 ... 0, 11... 0 ... ... ... ...i= N 0 0 0 ... 0, 32

3eme etap e : iterations

Il sagit de mettre en place une boucle descendant du pas de temps M1 jusquau pasde temps initial. A chaque pas (correspondant au pas de temps j et donc a linstant tj), lesoperations suivantes sont menees :

Determination des chemins pour lesquels loption est dans la monnaie a tj . Pour chaquechemin i, si la valeur dexercice de loption est strictement positive, la valeur du sous-jacentSi,Mest ajoutee a un vecteur, note A.

Pour le chemin i considere, on recherche la valeur de conservation de loption : il sagit deer(mj)tCi,m, ou m est lunique indice tel que m > j et pour lequel Ci,m est non nul.Cette valeur est entree dans un vecteur note B .

En supposant une relation polynomiale entre le cours du sous-jacent S et la valeur deconservation V de loption, par exemple V = a+bS+ cS2, on determine les coefficientsa,b,cqui minimiseront

V a bS cS2

2, pour les elements Sde A et V de B .

La fonction de regression obtenue est utilisee pour calculer les valeurs de conservationestimees pour les chemins examines. Pour chaque chemin, si la valeur dexercice est supe-rieure a la valeur de conservation estimee, on considere que loption sera exercee de facon

anticipee. La valeur Ci,m est ramenee a 0, tandis que Ci,j est placee a la valeur dexerciceanticipee.

Au terme de ces iterations, chaque ligne de la matriceCcontient au plus un seul flux stric-tement positif.

4eme etap e : Calcul de la prime.

Cette evaluation seffectue en connaissant tous les flux non nuls de la matriceCainsi que ladate a laquelle ils surviennent. La somme de tous ces flux, actualises a linstant initial, divisee

par le nombre total de chemins echantillonnes, donne lestimation du prix de loption par lamethode de Longstaff-Schwartz.

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Remarques :

La forme de la fonction de regression peut etre modifiee, par rapport a cet exemple. On peutpar exemple retenir une relation polynomiale de degre superieur a 2, ce qui aurait a prioripour effet de donner une meilleure approximation. Toutefois, le nombre de parametres a

determiner lors des calculs doptimisation sera plus eleve, et le temps de traitement seraplus long.

Les variables a mettre en relation doivent etre choisies avec soin. Dans lexemple, nousavons suppose une relation entre cours du sous-jacent et la valeur de conservation deloption. On aurait pu choisir de mettre en relation la valeur dexercice anticipee et lavaleur de conservation. Les resultats obtenus auraient ete similaires. Limportant est dedeterminer avec soin combien de variables detat conserver pour bien decrire le problemesans generer de redondance dinformation.

Algorithmes de minimisation

Les techniques doptimisations numeriques mises en oeuvre dans le cadre des calculs de mini-misation ne seront pas detaillees ici ; en effet, des modules dedies a ce type de recherche existentdeja.

Ainsi, on a utilise dans cette etude le celebrissime solveur dExcel, dans les cas les plussimples. Pour les calculs plus complexes, les programmes ont ete developpes en langage Py-thon, un langage interprete disponible gratuitement (logiciel libre), et en utilisant le moduleNumerical Python. On pourra pour plus dinformation se reporter aux sites www.python.orget numeric.python.org.

4.6.3 Extension de lalgorithme a des options plus complexesLa meme methode pourra etre utilisee pour levaluation de produits beaucoup plus sophis-

tiques. Pour obtenir des resultats satisfaisants, il faut en revanche definir avec soin les variablesdetat prises en compte dans le calcul.

Par exemple dans le cas dune option americaine de type lookback, il faudra tenir comptede deux variables detat a chaque pas de temps : le cours de laction a linstant considere, et lemaximum historique de ce cours depuis de debut de la vie de loption.

Plus le nombre de variables detat sera eleve, plus la fonction a minimiser saverera complexe,et, naturellement, plus les temps de traitement seront importants. Ainsi, bien quextremement

adaptable et versatile, cet algorithme pourra rapidement trouver ses limites dans la pratique.

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Chapitre 5

Etude Financiere de la GarantiePlancher en Cas de Vie

Si lon simplifie un certain nombre dhypotheses, la garantie GMSB peut sapparenter a une

option americaine de type lookback.

5.1 Utilisation darbres binomiaux pour une GMSB

Lors du precedent chapitre, nous avons introduit les principes de bases utilises pour la va-lorisation doptions par arbres binomiaux. Les raffinements propres a la garantie etudiee nousconduisent a amener plusieurs modifications dans lalgorithme. Nous allons commencer par de-crire precisement la methode retenue.

Notons que ce systeme ne pourra pas etre conserve avec succes tout au long de letude, pour

des raisons qui seront detaillees dans la suite de ce chapitre. Mais un algorithme darbre binomialpeut etre conserve dans un premier temps, notamment si lon suppose que les frais ne sont paspreleves sur lepargne. En effet on peut facilement garder dans ce cas legalite u = 1

d. Si cette

egalite nest plus respectee, le nombre de maxima possibles a linstant t peut devenir extreme-ment grand, et le nombre de chemins a considerer peut exceder les capacites de la machine - oula patience de lutilisateur.

Nous allons tout dabord nous pencher sur une option de type americain, presentant uni-quement une garantie de cliquet, dont la periodicite est donnee. On definit donc une variableintmaxdonnant en annees lintervalle de temps separant deux releves du cours du sous-jacent.

On formule egalement les hypotheses suivantes :

Le cours initial du support est S0

La duree de loption est T

La volatilite du cours du support est

Le nombre detapes de simulation utilisees pour larbre est n

Le taux sans risque est note r

Le pas de temps elementaire est note t. On a t= Tn

.

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Chapitre 5. Etude Financiere de la Garantie Plancher en Cas de Vie

Conformement a ce que nous avons deja vu dans le chapitre precedent, nous allons introduireles coefficients u et d correspondant aux taux devolution du cours a la suite dun mouvement ala hausse (u) ou a la baisse (d). Afin de rester dans le paradigme des modeles classiques (Blacket Scholes ou Cox, Ross et Robinson), nous considererons que :

u= et

d= 1

u =e

t

Enfin nous utiliserons la variablenbmaxdesignant le nombre de pas de temps separant deuxreleves du cours dans le cadre de la garantie cliquet : nbmax = intmax

t . Une des contraintes

necessaires au bon fonctionnement de lalgorithme est de verifier que cet intervalle correspondbien a un nombre entier de pas de temps ; dans le cas contraire, le programme ignorerait cer-tains releves du cours, ce qui tendrait a sous-estimer le maximum atteint par ce cours, et donca sous-estimer egalement le prix de loption.

La methode devaluation par arbre binomial peut de facon generale se decomposer en plu-sieurs etapes distinctes, que nous amenagerons en fonction de nos besoins :

Initialisation des nuds de larbre: pour chacun des nuds, on calcule les differentesvariables qui devront intervenir pour levaluation de la valeur intrinseque de loption aunud considere : pour une option americaine simple, seul le cours du sous-jacent est a cal-culer. Pour une option de typelookback, nous devrons calculer le cours du sous-jacent et lemaximum atteint par ce cours jusqua linstant considere. Ce denombrement des maximaest letape cruciale et, pour ainsi dire, la plus delicate de lalgorithme ; nous y accorderonsune attention particuliere.

Initialisation dune matrice de Cash-Flows: nous y consignerons les valeurs de lop-tion aux differents nuds (et pour les differents chemins)

Calcul des Cash-Flows au terme de loption: la fonction de payoff de loption etantconnue, nous pouvons calculer sa valeur dans le cas ou le detenteur la conserve jusqua sonterme

Iteration descendante sur le pas de temps : en partant de lavant-dernier pas detemps, calcul du prix de loption a chaque nud, en tenant compte de la valeur calculeelors de literation precedente pour chaque issue possible (hausse ou baisse du sous-jacent)

On construit un arbre binomial, comptant n+1 etapes, correspondant aux dates 0, tn

, 2tn

,...,t.

5.1.1 Initialisation des nuds de larbre

Le schema ci-dessous montre linitialisation des cours et des maxima possibles aux differentsnuds dun arbre binomial sur 4 pas de temps. Les resultats generaux demontres par la suitepourront etre verifies sur cet exemple.

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Tout maximum superieur a uj est egalement impossible a atteindre puisquil serait impos-sible datteindre la valeur finale du cours dans le nombre de periodes considere.

Pour k [0 :j ], on peut atteindre le maximum uk en suivant le parcours uk (du)...(du) dij(jk) (on repete j k fois le schema (du)).

Si i j < j :

On a ujdij >1. Les maxima possibles sont u2ji, ... , uj1, uj .

Tout maximum inferieur a u2ji est impossible, puisque cette valeur represente le cours dusous-jacent a la periode consideree.

Toute valeur superieure a uj est egalement impossible puisquon ne pourrait pas ainsi at-teindre le cours constate dans le nombre de pas de temps considere.

Enfin pour k ij, on peut atteindre le maximum ujk par le parcours ujk(du)...(du)dijk(on repete k fois le schema (du)).

Mise en place de lalgorithme :

Pour chaque nud de larbre, on va en fait creer un vecteur de dimension n+ 1 (indices kvariant de 0 an). Pour chaquek, la valeur de lelement du vecteur sera egale auk si cette valeurcorrespond a un maximum possible au nud (i, j), a 0 sinon.

Cela revient a creer un tableau tridimensionnel V alMax, de dimensions (n + 1, n + 1, n +1),defini par :

V alMax(i,j,k) = uk si cette valeur correspond a un maximum pouvant etre retenu aunud (i, j).

V alMax(i,j,k) = 0 sinon.

5.1.3 Maximum uniquement retenu a certaines dates fixees

La precedente modelisation serait applicable au cas de la GMSB si les pas de temps etaientannuels. En effet la garantie GMSB retient en general la valeur maximale du support non pas au

cours du temps, mais simplement a date anniversaire. Si chaque nud de notre arbre corresponda une date anniversaire, lalgorithme precedent continuera a fonctionner. Il semble cependanttres risque de se limiter a un pas de temps annuel.

Le schema ci-dessous presente un exemple simple illustrant la marche a suivre dans ce casprecis. Il sagit dune option dune duree de 2 ans, pour laquelle le cliquet est annuel. Le relevedu cours du sous-jacent, et donc la mise a jour eventuelle du maximum, interviennent aux pasde temps 2 et 4 ; les pas de temps 1 et 3 sont des intermediaires permettant daffiner le resultatpar rapport a un pas de temps annuel (meilleure approximation de levolution du cours), maisne conduisent pas a une modification du cliquet.

Nous allons devoir modifier lalgorithme de facon a ne plus actualiser le cours maximal du

sous-jacent qua date anniversaire. De formulation anodine, cet amenagement oblige en realite arevoir lalgorithme en profondeur. Nous allons pour cela utiliser les grandeurs intmax, intervallede temps separant deux releves du cours pour actualisation du maximum, et nbmax, nombre de

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pas de temps separant ces deux releves.

Determination des maxima possibles

Comme precedemment, nous allons remplir un tableau tridimensionnel V alMax, mais la

methode utilisee pour alimenter ce tableau nest plus aussi directe quauparavant. Nous devonsseparer deux cas, selon que le pas de temps considere correspond a une date anniversaire ou non.

Si le pas de temps i correspond a une date anniversaire

(Cest-a-dire si i est tel que le module de tiintmax

est nul).

Sij = 0, on se trouve sur la branche la plus basse de larbre : le sous-jacent na subi quedes mouvements a la baisse ; le seul maximum admissible est 1 (correspondant au coursinitial), donc V alMax(i,j, 0) = 1, et V alMax(i,j,k) = 0 si k = 0.

Si0 < j < i :Pour k


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