MecaniqueDuBeton_PART4_VISCO.pdf
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cours de mcanique du bton
notions de visco-lasticit
Pr. Erick Ringot
Universit Paul Sabatier Toulouse III
8 avril 2011
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introduction
ISoumis des charges mcaniques, le bton prsente des
phnomnes dissipatifs associs l'lasticit. Ces eets dirs
sont traduits par une certaine viscosit. De ce fait le temps
intervient dans la loi de comportement et la dissipation se
traduit par l'apparition d'un terme de vitesse de dformation .
ILa thorie de la viscolasticit rend compte des volutions
rversibles des matriaux visqueux.
IEn toute rigueur le bton est un matriau veillissant : les
dformations dires observes sur un bton ancien sont de
moindre amplitude que celles observes sur un bton jeune.
IPar souci de simplication, nous ferons ici abstraction du
phnomne de vieillissement qui aecte le bton.
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formulation de la loi de comportement : Kelvin-Voigt
La formulation de Kelvin-Voigt est une loi de comportement drive
de la loi de Lam-Hooke concernant les solides viscolastiques.
ILoi de Kelvin-Hooke :
= tr()I + 2 (1)
ILoi de Kelvin-Voigt :
= [tr
()
+ tr()]I + 2
[+
](2)
Des termes de vitesse de dformation et de vitesse de contraite
apparaissent. Les coecients et sont deux coecientscaractrisant la viscosit du matriau : ils sont homognes au
temps.
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Kelvin-Voigt : identication
IIdentier un matriau visco-lastique c'est le caractriser par
la quantication de ses coecients , , , .
IPour mesurer ces quatre coecients on se livre des
expriences d'indentication consistant soumettre un champ
de contrainte connu une prouvette ralise dans le matriau
et enregistrer l'volution des dformations.
IComme il y a quatre inconnues, les expriences de mcanique
sont conues de sorte dcoupler les phnomnes et donc
mobiliser une partie des coecients.
ILa dtermination des paramtres de viscosit requiert
l'enregistrement des dformations au cours du temps (on
observe l'coulement du matriau).
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Kelvin-Voigt : identication
torsion
Pour identier les deux coecients et on ralise uneexprience de cisaillement par torsion d'une prouvette cylindrique.
z = 2 [z + z] (3)
ou, en terme de distorsion (G = est le module de cisaillement ) :
torsion
= G [ + ] (4)
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Kelvin-Voigt : exercice torsion
On eectue un test de uage en torsion pure. Le moment de
torsion C est applique instantanment l'extrmit d'une
prouvette cylindrique de rayon R , de longueur L. Dire quelle est
l'volution de la rotation de la section d'extrmit au cours dutemps (tracer la courbe d'volution).
IAN : G = 18750MPa, L = 640mm, R = 40mm, C =235 kN.m, = 25 jours
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Kelvin-Voigt : exercice torsion - rponse 1/2
IEtude cinmatique : on montre que (r) = r la distorsionest proportionnelle au rayon.
ILoi de comportement : = G [ + ] le cisaillement estgalement proportionnel au rayon (r) = rR
IPar intgration : C = pi2
R3
IEt : = G
[ +
]= GR [ + ]
IFinalement : C = GJ [ + ] avec J =1
2
piR4 et = L
IPar consquent on obtient l'quation suivante :
CL
GJ
= +
-
Kelvin-Voigt : exercice torsion - rponse 2/2
La solution gnrale de l'quation homogne
d = dt estln
(k
)= t soit = k .e
t.La solution particulire de
l'quation avec second membre est
CL
GJ
. La solution gnrale est
ainsi :
= k .e t +CL
GJ
Au tout dbut de l'essai, t
0
= 0, la rotation est nulle 0
= 0 donck = CLGJ
. La rotation suit donc la loi suivante :
(t) =CL
GJ
[1 et
]
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Kelvin-Voigt : traction
En traction monoaxiale :
on introduit le coecient de contraction (Poisson) tel que22
= 33
= 11
, d'o :
11
= [ (1 2) + 2] 11
+ [ (1 2) + 2mu] 11 (5)
on pose E = (1 2) + 2 comme en lasticit, et = (1 2) + 2 et donc :
11
= E11
+ 11
(6)
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Kelvin-Voigt : exercice traction
On eectue un test de traction pure sur un matriau viscolastique,
la contrainte de traction est applique instantanment, dterminer
la loi d'volution de la dformation axiale. Montrer que les deux
tests (torsion puis traction) permettent de dterminer les quatre
coecients de la loi de comportement.
IAN - Quel est le coecient de viscosit , exprim enMpa.jour , d'un bton dont la dformation instantane sousl'action d'une contrainte de compression = 10MPa vaut0
= 200, la dformation valant 365
= 600 l'issue de365 jours ?
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Modle rhologique de Maxwell
Figure: modle de Maxwell-Zener
Le comportement d'un matriau viscolastique est expliqu par la
juxtaposition de modles rhologiques composs de ressorts et de
dissipateurs.
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Modle rhologique de Maxwell
On tablit les relations suivantes :
= e2
+ a2
(7)
= 1
+ 2
(8)
1
= E1
1
= E1
(9)
2
= a2
= E2
e2
(10)
=> trouver l'quation direntielle liant et ? ?
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Modle rhologique de Maxwell
Etapes de calcul :
= e2
+ a2
= = e2
+ a2
= 2E
2
+2
2
= 1
= E1
= 1E
2
[ E1
] +1
[ E1
]
[E1
+ E2
] +E
1
E
2
= +E
2
(11)
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Formulation fonctionnelle - uage
Cherchons tablir la rponse de uage (t) une sollicitationunidimensionnelle (t) d'un matriau viscolastique l'aide deshypothses suivantes :
1. la dformation (t) est une fonctionnelle de toute l'histoiredu chargement (contrainte) () :
2.
(t) = F ( ()) , < t (12)3. le matriau est non vieillissant ;
4. la fonctionnelle est linaire :F (1
+ k2
) = F (1
) + kF (2
)
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Formulation fonctionnelle - uage
Figure: fonction de Heaviside
Supposons maintenant que l'on applique une sollicitation de uage
sous la forme :
(t) = 0
H (t ) (13)o H est la fonction chelon de Heaviside :
H = 0 si t < H = 1 si t (14)
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Formulation fonctionnelle - uage
Alors la rponse en dformation est de la forme :
(t) = 0
.J (t ) (15)
La fonction J est la fonction de uage (ou complaisance de uage).
Si le matriau n'est pas veillissant, cette fonction est indpendante
de l'instant initial . Si le matriau est vieillissant (sans que ce soitpjoratif) la fonction de uage dpend de l'instant d'application de
la charge.
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Formulation fonctionnelle - uage
Si la solicitation est tage, alors la rponse est reprsente par :
(t) =nj=1
j
.J (t j
) (16)
Figure: rponse une sollicitation tage
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Formulation fonctionnelle - uage
Gnralisation : Si la solicitation est une fonction continue par
morceau et drivable, alors la rponse est donne par :
(t) =
t
0
J (t ) .dd
().d +nj=1
j
.J (t j
) (17)
expression qui est un produit de convolution et qui est not :
(t) = J DDt
(18)
-
Formulation fonctionnelle - uage
EXERCICE
Trouver la fonction de uage correspondant au modle de
Maxwell-Zener.
METHODE
La fonction de uage est la rponse en dformation une
sollicitation chelon unitaire.
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fonction de uage
Le modle visco-lastique de Zener est rgi par l'quation
direntielle :
[E1
+ E2
] +E
1
E
2
= +E
2
La fonction de uage est la rponse en dformation un chelon de
contrainte 0
appliqu l'instant initial t
0
= 0 ; en eet :(t) = 0
.J (t)L'histoire du chargement est rduit (t) = 0
H(t).
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fonction de uage
Par consquent : = 0 t > 0 donc :
[E1
+ E2
] +E
1
E
2
=E
2
0
Posons E
0
= E1
+ E2
, alors :
+E
1
E
2
E0
=E
2
E0
0
Solution :
(t) = 0
1E
1
[1 E2E
0
e
t]avec =E
1
E
2
E0
(19)
Fonction de uage :
J(t) =1
E
1
[1 E2E
0
e
t](20)
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fonction de relaxation
Rciproquement, on impose une dformation permanente :
(t) = 0
.H(t) ; par consquent : = 0 t > 0 donc :
[E1
+ E2
] +E
1
E
2
= +E
2
+E2
=E
1
E
2
0
Solution :
(t) = 0
[E
1
+ E2
e
E2t
](21)
Fonction de relaxation :
R(t) = E1
+ E2
e
E2t
(22)
-
rponse une histoire de contrainte quelconque
Supposons l'histoire de chargement dnie par une fonction (t)pouvant prsenter des discontinuits de valeurs i
aux instant t
i
.
On cherche la rponse du matriau (systme rholgogique) en
dformation :
Il faut rsoudre l'quation direntielle gnrale :
[E1
+ E2
] +E
1
E
2
= +E
2
La solution gnrale de l'quation sans second membre est connue :
(t) = A.et avec =E
1
E
2
E0
(23)
La constante A est obtenue par la mthode de la variation de la
constante, tout calcul fait, on obtient :
(t) =
t
0
d
d.J(t ).d + i
.J(t ti
) (24)
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rponse une histoire de contrainte quelconque
L'expression
(t) =
t
0
d
d.J(t ).d + i
.J(t ti
) (25)
est note :
(t) =
t
0
D
D.J(t ).d (26)
o la notation
Df
Dt
(ou simplement f ) exprime aussi bien les
variations continues que discontinues de la fonction f .
Cette intgrale est un produit de convolution et on note :
(t) = (J ) (t) (27)
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rponse une histoire de dformation quelconque
De la mme faon la rponse en contrainte une exprience de
relaxation, o l'histoire des dformations (t) est impose, estdonne par le produit de convolution impliquant la fonction de
relaxation :
est note :
(t) =
t
0
D
D.R(t ).d = (R ) (28)
PROPRIETE DE RECIPROCITE des fonctions de uage et de
relaxation :
J R = R J = H (fct de Heaviside)
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commutativit du produit de convolution
Soient f et g deux fonctions du temps t. On dnit le produit de
convolution de f par g par l'expression :
(f g) (t) =t
0
f ().g(t ).d (29)
posons u = t alors du = d et = t u, d'o :
(f g) (t) =0
t
f (tu).g(u).(du) =t
0
f (tu).g(u).du (30)
par consquent :
(f g) (t) = (g f ) (t) (31)
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transforme de Laplace-Carson
Soit f une fonction du temps t. On considre la transformation Ltelle que :
f Lf+tq f
+(p) =
0
p.f (t).ept .dt (32)
f
+est dite image de f par la transforme de Laplace-Carson.
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image d'un produit de convolution
Soient f et g deux fonctions du temps t. On considre le produit
de convolution g f tel que :(g f
)(t) =
t
0
f ().g(t ).d (33)
Puis l'image de ce produit de convolution :
(g f
)+, on montre
que : (g f
)+= g+.f + (34)
La transforme de Laplace-Carson transforme un produit deconvolution en produit simple de deux fonctions.
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transforme de fonctions standard
Fonction Transforme Fonction Transforme
f (t) f +(p) t 1p
.f (t) .f +(p) tn n!p
n
Df
Dt
p.f +(p) eat pp+a
H(t) 1 1 eat ap+a
H(t ) ep cost p2p
2+2
f (t ) f +(p).ep sint pp
2+2
si f (t) = 0 pour t 0 f (t).eat pp+a f
+(a + p)(Df
Dt
g) (t) f +(p).g+(p) (t)m.f (t) p dmdp
m
(f
+(p)p
)
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transforme de la fonction de uage de Maxwell
J(t) =1
E
1
(1 E2E
0
e
t)(35)
J
+(p) =1
E
1
(1 E2E
0
p
p +
)=E
2
E
0
1
+p
E
2
p + (36)
Rciproquement :
J R = R J = H (fct de Heaviside) R+.J+ = 1 (37)
R+(p) = 1J
+(p)(38)
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application pratique
La transforme de Laplace Carson permet de transformer un
problme de viscolasticit en un problme d'lasticit. On opre
selon le schma suivant :