Mécanique quantique 3 Aslangul Corrigés détaillés et ... · est une nouvelle édition très...

Claude Aslangul

Mécanique quantique 3Corrigés détaillés et commentés des exercices et problèmes

ISBN : 978-2-8073-01436

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Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre en France les niveaux : Licence 3, Master 1 et 2, Doctoraten Belgique : Baccalauréat 3, Master 1 et 2, Doctoraten Suisse : Bachelor 3, Master 1 et 2, Doctoratau Canada : Baccalauréat 3, Master 1 et 2, Doctorat

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Licence, Master et Doctorat de physique

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Le tome 3 de Mécanique quantique s’adresse à un large public, allant de la 3e année de Licence au Master, certains développements pouvant de surcroît être utiles aux doctorants. Il intéressera également les étudiants préparant les concours de l’enseignement et les élèves des classes préparatoires aux grandes écoles.

Cet ouvrage, issu d’une expérience d’enseignement en Licence - Maîtrise de Physique et DEA de Physique des solides à l’Université Pierre et Marie Curie et à l’ENS (Ulm), est une nouvelle édition très enrichie des corrigés des problèmes proposés à la fin de chaque chapitre des tomes 1 et 2, originaux pour une bonne part d’entre eux. Les sujets abordés permettent d’une part de se familiariser avec les concepts quantiques et l’inévitable formalisme qui les traduit et assure leur robustesse, d’autre part de voir à l’œuvre l’extraordinaire pouvoir explicatif de la théorie en présentant quelques-unes de ses innombrables applications à la physique de basse énergie (atomes, molécules, matière condensée).

Chaque corrigé, précédé de l’énoncé correspondant, est rédigé en grand détail afin de permettre la vérification minutieuse de toutes les étapes du raisonnement et des calculs. Il implique parfois des connaissances mathématiques avancées que l’on s’est efforcé de présenter de façon graduelle et intuitive, avec également le souci de montrer leur universalité en physique. Le cas échéant, un complément permet d’approfondir un point, ou d’établir un lien avec d’autres questions à première vue quelque peu éloignées du sujet du problème. Enfin, des références sont fournies, qui renvoient tantôt à des ouvrages académiques, tantôt aux revues spécialisées ayant publié les articles originaux dont certains problèmes ont été tirés.

Claude Aslangul est professeur émérite à l’Université Pierre et Marie Curie et a enseigné à l’École Normale Supérieure (Ulm) pendant une quinzaine d’années. Il est membre du Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée (Jussieu).

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EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS

Claude Aslangul

Mécanique quantique 3

Corrigés détaillés et commentés des exercices et problèmes

2e édition

Les « plus » Corrigés très détaillés de tous

les exercices et problèmes

Rappel des connaissancesmathématiques spécialisées

Liste de références bibliographiques

Préparation aux concours del’enseignement et des grandesécoles scientifiques

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Licence Maîtrise Doctorat

PhysiqueAslAngul C., Mécanique quantique. 1. Fondements et premières applicationsAslAngul C., Mécanique quantique. 2. Développements et applications à basse énergie. 3e éd.AslAngul C., Mécanique quantique. 3. Corrigés détaillés et commentés des exercices

et problèmes. 2e éd.BéCherrAwy T., Optique géométriqueBiemont É., Spectroscopie atomique. Instrumentation et structures atomiquesBiemont É., Spectroscopie moléculaire. Structures moléculaires et analyse spectraleChAmpeAu r.-J., CArpentier r., lorgeré i., Ondes lumineuses. Propagation, optique de Fourier,

cohérencemAyet F., Physique nucléaire appliquéerieutord m., Une introduction à la dynamique des fluidestAillet r., Optique physique. Propagation de la lumière. 2e éd.wAtzky A., Thermodynamique macroscopique

ChimieCAChAu-herreillAt d., Des expériences de la famille Acide-Base. 3e éd.CAChAu-herreillAt d., Des expériences de la famille Réd-Ox. 2e éd.ChAquin P., VolAtron F., Chimie organique : une approche orbitalairedepoVere p., Chimie générale. 3e éd.depoVere p., Chimie organique. 2e éd.girArd F., girArd J., Chimie inorganique et générale : des expériences pour mieux comprendre !kiel m., L’oxydoréduction. Du nombre d’oxydation aux diagrammes de PourbaixmArtinAnd-lurin e. et grüBer r., 40 expériences illustrées de chimie générale et organique.

La chimie, une science expérimentalemoussArd C., Biochimie structurale et métabolique. 3e éd.moussArd C., Biologie moléculaire et Biochimie des communications cellulairesrABAsso n., Chimie organique. Généralités, études des grandes fonctions et

méthodes spectroscopiques. 2e éd.rABAsso n., Chimie organique. Hétéroéléments, stratégies de synthèse et

chimie organométallique. 2e éd.

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Claude Aslangul



2e édition

COURS ET EXERCICES

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© De Boeck Supérieur s.a., 2015 Fond Jean Pâques, 4, B-1348 Louvain-la-Neuve

Tous droits réservés pour tous pays. Il est interdit, sauf accord préalable et écrit de l’éditeur, de reproduire (notamment par

photocopie) partiellement ou totalement le présent ouvrage, de le stocker dans une banque de données ou de le communiquer au public, sous quelque forme et de quelque manière que ce soit.

Imprimé en Belgique

Dépôt légal : 2e édition 2015 Bibliothèque nationale, Paris : novembre 2015 1er tirage 2015 Bibliothèque royale de Belgique, Bruxelles : 2015/13647/124 ISBN : 978-2-8073-0143-6

Pour toute information sur notre fonds et les nouveautés dans votre domaine de spécialisation, consultez notre site web : www.deboecksuperieur.com

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A Anaıs, Margaux et Gaia

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L’aubepine en fleur fut mon premier alphabet

(Rene CHAR)

Preface

On presente ici les corriges des exercices et problemes proposes a la fin de chaquechapitre de l’ouvrage Mecanique Quantique, Tomes I et II, dans ses editions les plusrecentes.

Chaque probleme, dont l’enonce est reproduit dans une police differente, est reperecomme suit : le corrige 21.2 correspond au 2e exercice/probleme du chapitre 21, numerote21.6.2 dans le livre de cours, puisqu’il y apparaıt dans la section 21.6 ; la ligne de pointsd’interrogation alternes marque la frontiere entre l’enonce et le corrige – que par facetieon pourra voir comme une chaıne antiferromagnetique de spins 1

2 ! Le rappel de l’enonceest motive par le desir de proposer un livre ferme sur lui-meme mais, inevitablement,il est fait reference a d’autres ouvrages, ou aux deux Tomes dont ce livre se veut lacontinuite ; ainsi, la notation (II-19.210) renvoie a l’equation (19.210) du Tome II.

Les calculs sont detailles a l’extreme afin d’aider le lecteur dans les etapes inter-mediaires, au risque parfois d’une certaine inelegance : on trouvera des expressions quise simplifient a vue, mais dont l’ecriture, premiere et brute, permet de retrouver les dif-ferents elements y ayant conduit ; il n’est pas tres enrichissant de se bagarrer avec unfacteur 2 en trop ou en moins, mais il est utile d’en saisir l’origine.

La difficulte des problemes est tres variable, refletant la progression du niveaude connaissances developpe dans les deux Tomes. Certains d’entre eux sont de simplesapplications de cours, permettant de verifier l’assimilation des points fondamentaux, ense livrant a un travail personnel peu couteux mais irremplacable. D’autres exigent la syn-these ou le rapprochement d’idees exposees ici et la, incitant a une reflexion permettantde structurer la connaissance acquise en realisant la proximite de concepts disjoints aupremier abord. Enfin, certains problemes sont tires d’articles de recherche fondamentauxet/ou recents et sont, de ce fait, assez difficiles. Sans surprise, leur corrige est long, etparfois laborieux, mais c’est le prix a payer pour rendre accessibles des travaux importantspublies dans des revues que les etudiants sont trop peu incites a consulter. L’auteur espereainsi avoir un peu contribue a rapprocher deux domaines de la litterature en Physique, etavoir donne l’envie aux lecteurs hesitants de se familiariser avec un style de publicationd’acces difficile, meme quand on est bien prepare par la lecture approfondie des ouvragesacademiques.

L’un des objectifs a ete que l’ensemble de ces problemes soit d’interet pour unvaste public, de la troisieme annee de Licence aux deux annees de Master, voire a des

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doctorants. Ce spectre large aurait rendu caduque et sans interet toute classification dela difficulte, et c’est pourquoi on y a finalement renonce. L’abord d’un probleme peutse jouer comme une petite aventure, image en reduction mais nullement reductrice, del’audace dont Heisenberg fit preuve en 1925, affirmant plus tard dans ses souvenirs qu’ilfaut parfois faire le “saut dans le vide”.

Remerciements

Tout comme les deux Tomes qui l’ont precede, ce recueil doit beaucoup a celleset ceux que j’ai eu la chance de cotoyer, dans l’activite d’enseignement qu’ils ont en-richie par leur culture et leurs competences, ou dans la vie quotidienne au labora-toire par de precieuses discussions. Que l’on me permette de remercier a nouveauAlexia Auffeves - Garnier, Stephane Boucard, Pierre Charles, Bertrand Delamotte, Del-phine Hardin, Thierry Hocquet, Eric-Olivier Le Bigot, Jean-Marie Maillard, FrancoiseMarsault, Dominique Mouhanna, Nicolas Sator, Philippe Sindzingre et Sofian Teber, nonseulement pour leur eclairage mais aussi pour leurs encouragements.

J’ai connu le bonheur de rencontrer des etudiants exceptionnels, qui ont marquecertaines de mes annees d’exercice a l’Universite Pierre et Marie Curie, et a l’ENS.Ma gratitude va tout particulierement a Fabien Beckers, Eli Ben-Haım, Gaetan Borot,Alexandre Cealis, Olivier Deloubriere, Alexandre Flavier, Isabelle Flory, Celine Laroche,Juliette Reallomble, et Julien Vidal. Qu’ils soient tous remercies pour avoir, chacun asa facon, contribue a donner une autre dimension au devoir de transmettre un peu desavoir.

Monsieur Francis Germain aura ete un collaborateur fidele de tous les instants,dont la patience, la curiosite et la culture m’ont permis d’ameliorer grandement la pre-sentation de ces corriges, et de les enrichir par des remarques ou commentaires. Qu’ilrecoive ici l’expression de mon affectueuse et profonde reconnaissance.

Nota bene

Les Tomes de cours ayant fait l’objet de plusieurs editions, la numerotation des figu-res et/ou des egalites a varie dans le temps ; la structure de l’ouvrage en chapitres,sections et sous-sections etant demeuree inchangee, le lecteur ne devrait pas avoirde reelle difficulte pour identifier convenablement les renvois et references.

Par ailleurs, le symbole designe un probleme ou un complement ajoute depuisles premieres editions des Tomes I et II (par exemple p. 150), entraınant ici et lades modifications de la numerotation ; le corrige de tout probleme etant ici precededu rappel de son enonce, la comparaison precise avec l’enonce figurant dans lesdiverses editions du cours permettra au lecteur de faire le “dictionnaire” et de s’yretrouver.

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Table des matières

Table des Matieres

1 Introduction 1

1.1 Determination du rapport charge/masse de l’electron (methode de Thom-son et Kaufmann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Determination du nombre d’Avogadro N a l’aide du mouvement Brownien 5

1.3 Les experiences de Kappler (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Equilibre d’une atmosphere isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Mesure precise de l’impulsion de particules par focalisation . . . . . . . . 12

1.6 Spectrographe de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Le spectrometre de Bainbridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 La force d’Abraham - Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9 Duree de vie de l’atome de Jean Perrin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 La radioactivite 25

2.1 La radioactivite a l’hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Loi de declin radioactif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Mesure du nombre d’Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Chaınes radioactives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Longueur de parcours d’une particule α dans l’air . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Resolution de l’equation (I-2.15) par la transformation de Laplace . . . . 33

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Mécanique quantiquex Table des Matieres

3 Les experiences de Rutherford 37

3.1 Ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Collision elastique de deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Distance minimale d’approche pour la diffusion Rutherford . . . . . . . . 41

3.4 Section efficace de diffusion par un centre repulsif . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Section efficace de capture par un centre attractif . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6 Diffusion par un puits spherique attractif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7 Passage du repere du centre de masse au repere du laboratoire pour ladiffusion de deux particules en interaction centrale . . . . . . . . . . . . . 55

4 Quantification de l’energie : le rayonnement thermique 61

4.1 Temperature d’un astre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Temperature du filament d’une ampoule a incandescence . . . . . . . . . . 62

4.3 Refroidissement radiatif d’une sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4 Perte de masse du soleil par seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5 Pression de radiation solaire a la surface de la Terre . . . . . . . . . . . . 65

4.6 Pression de radiation sur une surface rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.7 Variations sur la formule de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Quantification de l’energie : le photon 71


5.2 Effet photoelectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Mesure precise de la constante de Planck (Millikan) . . . . . . . . . . . . 74

5.4 Histoire de photoelectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.5 Effet photoelectrique par irradiation thermique . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6 Impossibilite d’absorption d’un photon par un electron libre . . . . . . . . 77

5.7 Reflexion d’un flash de lumiere sur un miroir pendulaire . . . . . . . . . . 78

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Table des matièresTable des Matieres xi

5.8 Diffusion Compton en phase gazeuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.9 Distribution angulaire des electrons Compton . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.10 Irradiation d’une cible par un rayonnement tres dur . . . . . . . . . . . . 82

5.11 Masse gravitationnelle du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.12 Effet Cerenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.13 L’effet Compton inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 Structure atomique, raies spectrales, theorie de Bohr 91


6.2 Transformees de Fourier usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.3 Theoreme du Viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4 Effet photoelectrique sur une vapeur atomique . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5 Diffusion elastique de la lumiere par l’atome classique(modele de Thomson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.6 Largeurs Doppler et naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.7 Mesure de la duree de vie d’un etat excite a l’aide d’un jet atomique . . . 102

6.8 Evolution des populations d’une vapeur atomique excitee a la resonance . 106

6.9 Identification d’une raie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.10 Effet Doppler et recul d’un atome en absorption . . . . . . . . . . . . . . 108

6.11 Series spectroscopiques de l’hydrogene selon Bohr . . . . . . . . . . . . . . 110

6.12 Separation des raies de deux isotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.13 Coıncidences spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.14 Etude energetique d’un atome hydrogenoıde . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.15 Le positronium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.16 Quelques proprietes du modele de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

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Mécanique quantiquexii Table des Matieres

7 L’Ancienne Theorie des Quanta 117

7.1 Particule chargee dans un champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . 117

7.2 Invariance en forme de l’energie cinetique pour des coordonnees cartesiennes . 120

7.3 Equivalence entre equation differentielle et principe variationnel . . . . . . 120

7.4 Oscillateur harmonique traite en Mecanique analytique . . . . . . . . . . . 122

7.5 Oscillateur harmonique dans un champ constant et homogene . . . . . . . 124

7.6 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.7 Action d’une particule chargee uniformement acceleree par un champelectrique constant E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.8 Action d’un oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.9 L’atome d’hydrogene selon Bohr - Wilson - Sommerfeld . . . . . . . . . . 131

7.10 Quantification d’une particule dans un segment de R . . . . . . . . . . . . 138

7.11 Quantification d’une particule dans une boıte carree . . . . . . . . . . . . 140

7.12 Quantification d’un modele atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.13 Corrections relativistes : le doublet Hα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.14 Une expression remarquable de la fonction de partition classiqued’un mouvement periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 Structure du noyau atomique 153

8.1 Puissance X emise par Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2 Emission d’un photon par un noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.3 Facteur de forme d’un noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.4 Desintegration du bismuth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.5 Barriere coulombienne pour deux noyaux de deuterium . . . . . . . . . . . 159

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Table des matièresTable des Matieres xiii

9 L’avenement de la Mecanique quantique 161

9.1 Horizon de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.2 Consequences de l’incertitude sur les conditions initiales sur la predictiond’un mouvement classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

9.3 Particule confinee sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.4 Analyse de Fourier du probleme de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.5 Sur la Mecanique des Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.6 Proprietes ondulatoires des particules materielles . . . . . . . . . . . . . . 186

9.7 Diffraction de neutrons par un cristal d’atomes unidimensionnel . . . . . . 191

9.8 Equation de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

9.9 Propagateur dans un milieu non dispersif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.10 Sur la necessite de la realite de la valeur propre E dans l’equation auxvaleurs propres de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

10 Fonction d’onde 195

10.1 Experiences d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.2 Interpretation probabiliste de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . 197

10.3 Forme locale de la conservation de l’energie en Mecanique quantique . . . 204

10.4 Operateur associe a une grandeur classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.5 Particule chargee dans un champ electrique constant . . . . . . . . . . . . 208

10.6 Relations d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.7 Le microscope de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10.8 D’autres inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

10.9 Une experience mentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11 Magnetisme atomique 217

11.1 Les fonctions de Brillouin BJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

11.2 L’electron est-il une petite bille qui tourne sur elle-meme ? . . . . . . . . . 220

11.3 L’experience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

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Mécanique quantiquexiv Table des Matieres

12 Postulats et structure formelle de la Mecanique quantique 227

12.1 Atome de moment cinetique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.2 Sur le fondamental de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . 229

12.3 Oscillateur harmonique subitement perturbe . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

12.4 Mesures sur un moment cinetique 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

12.5 Mesures successives d’observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

12.6 Mesures de la position et de l’energie d’un oscillateur harmonique . . . . . 244

12.7 Mesure de la position et de l’impulsion d’une particule libre . . . . . . . . 246

12.8 Formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

12.9 Regle de somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

12.10 La vitesse moyenne est nulle dans tout etat. . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13 Operateurs 255

13.1 Relations diverses de l’algebre des operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 255

13.2 Trace d’un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

13.3 Operateur fonction d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

13.4 Operateur unitaire derivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

13.5 Serie entiere d’operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

13.6 Exponentielle du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

13.7 Equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

13.8 Identite de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

13.9 Composantes hermitiques d’un operateur lineaire . . . . . . . . . . . . . . 270

13.10 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

13.11 Resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

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xv

Table des matièresTable des Matieres xv

14 Evolution temporelle d’un systeme quantique 275

14.1 Perturbation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

14.2 Mesure de la position et de l’impulsion d’une particule libre (suite) . . . . 276

14.3 Particule dans un champ constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

14.4 Oscillateur harmonique charge soudainement soumis a un champ electrique . 283

14.5 Intrication de deux systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

14.6 Evolution d’un systeme a trois niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

14.7 Evolution d’un paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

14.8 Mouvement uniformement accelere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

14.9 Exemple de factorisation du propagateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

14.10 La molecule d’ammoniac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

14.11 Allongement du temps de retour avec la densification des etats . . . . . . 306

14.12 Quelques resultats pour l’operateur d’evolution avec un Hamiltoniendependant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

15 Potentiels a une dimension constants par morceaux 317

15.1 Diffusion par un puits de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

15.2 Puits infiniment profond : valeursmoyennes dans un etat non stationnaire . 319

15.3 Expansion soudaine d’un puits infiniment profond . . . . . . . . . . . . . 325

15.4 Puits infiniment profond en representation-p . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

15.5 Puits de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

15.6 Puits en represention-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

15.7 Puits de Dirac comme limite du puits carre . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

15.8 Influence d’un mur infranchissable sur les etats d’un potentiel de Dirac . . 357

15.9 Enrichissement isotopique par reflexion sur une barriere de potentiel . . . 365

15.10 Puits infini avec une barriere centrale de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 368

15.11 Effet-tunnel dans un double puits de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

1 EXMEQUAN_2015.indb 15 24/09/15 14:53

physique

xvi

Mécanique quantiquexvi Table des Matieres

15.12 Effet tunnel dans un double puits carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

15.13 Puits asymetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

15.14 Impurete localisee dans une barriere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

15.15 Penetration de neutrons dans un milieu magnetique . . . . . . . . . . . . 391

15.16 Anti-marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

15.17 Coefficients de reflexion et de transmission d’une double barriere . . . . . 396

15.18 Electron dans un puits excite par un champ electrique impulsionnel . . . 399

15.19 Etats lies du puits − V0

cosh2 αx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

15.20 Variations sur le puits ± V0

cosh2 αx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

15.21 Coefficient de reflexion d’une marche floue . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

16 L’oscillateur harmonique 429

16.1 Relation de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

16.2 Quand le ressort casse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

16.3 Mesures de position et d’energie sur un oscillateur harmonique . . . . . . 430

16.4 Dynamique d’un oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

16.5 Oscillateur confine sur R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

16.6 Expansion ou compression soudaine d’un oscillateur . . . . . . . . . . . . 439

16.7 Oscillateur harmonique force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

16.8 Integration de l’exponentielle d’une forme quadratique . . . . . . . . . . . 457

16.9 A propos des etats coherents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

17 Symetrie et lois de conservation 461

17.1 Produits scalaire et vectoriel de deux operateurs vectoriels . . . . . . . . 461

17.2 Invariance de [q, p] = i1 par symetrie miroir . . . . . . . . . . . . . . . . 462

17.3 Operateur de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

17.4 Transformation de Galilee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

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xvii

Table des matièresTable des Matieres xvii

17.5 Invariance de Galilee de l’equation de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . 466

17.6 Particule sur reseau unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

17.7 Particule sur reseau : une autre approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

17.8 Renversement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

17.9 Dynamique d’un electron dans une cage atomique . . . . . . . . . . . . . . 483

17.10 Groupe des rotations planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

17.11 Dilatations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

17.12 Symetrie par rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

17.13 Un exemple a propos de l’invariance P T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

18 Theorie du moment cinetique 505

18.1 Le vecteur L en coordonnees spheriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

18.2 Quantification d’une variable angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

18.3 Completude des fonctions propres 1√2π

eimφ de Lz. Condition de Vitali . . 514

18.4 Quelques resultats a propos d’un moment cinetique . . . . . . . . . . . . . 516

18.5 Mesures du spin sur une paire intriquee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

18.6 Moment cinetique j = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

18.7 Collision de deux spins discernables J = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535

18.8 Calcul de 〈j1j0|jj〉 et demonstration de 〈j100|j0〉 = 0 . . . . . . . . . . . 539

18.9 Le theoreme de Wigner - Eckart pour les operateurs vectoriels . . . . . . . 541

18.10 Addition de deux moments cinetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

18.11 Moment cinetique total de N spins 12 . Diagramme de branchement. . . . 548

18.12 Oscillateur harmonique a deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

18.13 Matrices de Pauli et vecteur polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

18.14 Dynamique d’un systeme a deux niveaux. Oscillation de Rabi . . . . . . 556

18.15 Etude et mesure d’un spin J = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

18.16 A propos des polynomes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

1 EXMEQUAN_2015.indb 17 24/09/15 14:53

physique

xviii

Mécanique quantiquexviii Table des Matieres

19 Potentiel central et atome d’hydrogene 569

19.1 Demonstration de l’egalite (II-19.26) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

19.2 Champ central dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

19.3 Difficultes du puits δ en dimension D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

19.4 La coquille de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

19.5 Puits “carre” circulaire et limite δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

19.6 Particule libre en coordonnees spheriques dans R3 . . . . . . . . . . . . . 584

19.7 Puits spherique infini dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588

19.8 Piege profond en phase solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

19.9 Desintegration du tritium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

19.10 Etats lies spheriques du deuteron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

19.11 Oscillateur harmonique a trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

19.12 Sur l’atome d’hydrogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

19.13 Une curieuse correspondance entre l’atome d’hydrogeneet un oscillateur harmonique... qui n’existe pas . . . . . . . . . . . . . . . 610

19.14 Complements sur les fonctions radiales hydrogenoıdes . . . . . . . . . . . 613

19.15 Methode de Laplace et fonction hypergeometrique . . . . . . . . . . . . . 622

19.16 A propos du vecteur de Lenz - Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

19.17 Ecart a l’interaction de Coulomb : ecrantage en loi-puissance. Suppres-sion de la degenerescence accidentelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

19.18 Un potentiel tres (trop ?) attractif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

20 Le spin 647

20.1 Constantes du mouvement en theorie de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 647

20.2 Homomorphisme SU(2) → SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648

20.3 Harmoniques spheriques spinorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652

20.4 Limite faiblement relativiste de la densite et du courant . . . . . . . . . . 654

1 EXMEQUAN_2015.indb 18 24/09/15 14:53

xix

Table des matièresTable des Matieres xix

20.5 Correction de Darwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655

20.6 Ordres de grandeur des corrections relativistes . . . . . . . . . . . . . . . 657

20.7 Mesure de l’anomalie magnetique de l’electron . . . . . . . . . . . . . . . . 662

20.8 Transformation de Foldy - Wouthuysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667

20.9 Zitterbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

20.10 Puits carre en theorie de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674

20.11 Paquet d’ondes gaussien de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683

21 Illustration des postulats de la Mecanique quantique 693

21.1 Traitement phenomenologique d’un atome a trois niveaux . . . . . . . . . 693

21.2 Effet Zenon sur un neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697

21.3 A propos de la fonction de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699

21.4 Disparition de la coherence spatiale pour une particule libre . . . . . . . . 705

21.5 Evolution de la coherence quantique d’un atome lors de l’emissionspontanee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711

21.6 Deviation d’un atome par un champ classique . . . . . . . . . . . . . . . . 730

21.7 Un exemple d’intrication spin - espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

22 Particules identiques 751

22.1 Retour sur le trou de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

22.2 Etats de spin de trois electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753

22.3 Etude detaillee du groupe des permutations S3 . . . . . . . . . . . . . . . 759

22.4 Quatre spins 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

22.5 Interaction entre deux spins 12 par l’intermediaire d’un boson . . . . . . . 772

22.6 N fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788

22.7 N fermions libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

22.8 Correction quantique a la fonction de partition classique d’un gaz parfait . 796

22.9 Equations du mouvement pour les operateurs de champ . . . . . . . . . . 806

1 EXMEQUAN_2015.indb 19 24/09/15 14:53

physique

xx

Mécanique quantiquexx Table des Matieres

23 Methodes d’approximation pour les etats propres 811

23.1 De l’importance des conditions aux limites pour une fonction approchee . 811

23.2 Methode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

23.3 Champ auto-coherent a une dimension : deux fermions en interaction decontact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837

23.4 La methode de Brillouin - Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845

23.5 Exemples simples de perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848

23.6 Deux oscillateurs couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849

23.7 Effet anharmonique pour un oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853

23.8 Terme de contact pour l’electron dans l’atome d’hydrogene . . . . . . . . 854

23.9 Effet Stark pour l’hydrogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

23.10 Effet de taille finie du noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865

23.11 Role du continuum pour la correction du second ordre . . . . . . . . . . . 868

23.12 Effet Zeeman en champ assez fort : croisements de niveaux ? . . . . . . . 870

23.13 Atome d’hydrogene dans deux champs croises . . . . . . . . . . . . . . . 878

23.14 Effet Zeeman sur un atome alcalin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

23.15 Structure hyperfine de l’atome de Lithium . . . . . . . . . . . . . . . . . 884

23.16 Effet Zeeman sur un oscillateur harmonique isotrope : traitements per-turbatif et exact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894

23.17 Matrice densite de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

24 Theorie des perturbations dependant du temps 907

24.1 Excitation coulombienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907

24.2 Collision de deux spins 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

24.3 Impurete magnetique en phase solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914

24.4 Transitions a deux photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

24.5 Retournement d’un spin par un champ magnetique ephemere . . . . . . . 922

1 EXMEQUAN_2015.indb 20 24/09/15 14:53

xxi

Table des matièresTable des Matieres xxi

24.6 Perturbation electrique transitoire de l’atome d’hydrogene . . . . . . . . . 923

24.7 Retour sur l’oscillation de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930

24.8 Perturbations constante et gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932

24.9 Perturbation d’un oscillateur isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935

24.10 Oscillateur en champ alternatif : traitements approche et exact . . . . . . 937

24.11 Deux spins en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

24.12 Reponse lineaire d’un systeme dans un etat pur : susceptibilite . . . . . . 950

24.13 Reponse lineaire d’un systeme dans un etat mixte : susceptibilite,fonctions de correlation et relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953

24.14 Illustration du theoreme de Gell-Mann et Low . . . . . . . . . . . . . . . 970

25 Introduction a la description purement quantique de l’interactionchamp-matiere 981

25.1 Quelques proprietes du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981

25.2 Hamiltonien spin - boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990

25.3 Etats coherents du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997

25.4 Calcul explicite de l’amplitude (II-25.169) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009

26 Introduction a la theorie de la diffusion 1017

26.1 Equation integrale de la diffusion dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017

26.2 Absence de diffusion pour le potentiel de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 1023

26.3 Analyse de l’approximation de Born en fonction de l’energie . . . . . . . . 1023

26.4 Decroissance avec l’energie de la derivee logarithmiqueβl definie en (26.88) . 1027

26.5 Diffusion de l’onde S par un puits carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029

26.6 Approximation de Born pour le puits carre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035

26.7 Miracle de l’approximation de Born pour le potentiel Coulombien nu . . . 1036

26.8 Approximation de Born pour le potentiel de Yukawa . . . . . . . . . . . . 1037

26.9 Densite en champ moyen pour un gaz d’electrons . . . . . . . . . . . . . . 1037

1 EXMEQUAN_2015.indb 21 24/09/15 14:53

physique

xxii

Mécanique quantiquexxii Table des Matieres

27 Atomes a plusieurs electrons 1043

27.1 Operateur effectif spin - spin pour deux electrons . . . . . . . . . . . . . . 1043

27.2 L’ion H− existe-t-il ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046

27.3 Positivite d’une integrale d’echange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048

27.4 Etats demoments angulaires donnes associes a une configurationelectronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049

27.5 Structure fine du carbone. Effets Zeeman et Paschen - Back . . . . . . . . 1052

27.6 Etude de l’atome d’azote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056

27.7 Interaction de configurations pour l’atome d’helium . . . . . . . . . . . . . 1058

27.8 Structure hyperfine du fondamental de l’ion Be+ . . . . . . . . . . . . . . 1064

27.9 Nature de la transition de la raie 21 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065

28 Introduction a la physique des molecules 1067

28.1 Constantes du mouvement electronique pour une molecule diatomique . . 1067

28.2 Methode LCAO pour l’ion moleculaire H+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069

28.3 Stabilite comparee des molecules He2 et H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074

28.4 La molecule d’hydrogene selon Heitler et London . . . . . . . . . . . . . . 1075

28.5 Le polyacetylene : limite N ∞ et analyse de la correlation electronique . . 1080

28.6 Etats lies du potentiel de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101

28.7 Fonction de partition rotationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105

28.8 Modes normaux de vibration de X3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107

29 Matiere condensee ordonnee 1123

29.1 Molecule de van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123

29.2 Gaz d’electrons dans le modele du jellium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128

29.3 Le jellium : influence de la densite et de la portee des interactions sur lesproprietes magnetiques de l’etat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . 1138

29.4 Diffusion de neutrons par un gaz diatomique . . . . . . . . . . . . . . . . 1149

1 EXMEQUAN_2015.indb 22 24/09/15 14:53

xxiii

Table des matièresTable des Matieres xxiii

30 Electrons dans un cristal 1153

30.1 Modification de la sphere de Fermi pour un alcalin . . . . . . . . . . . . . 1153

30.2 Modulation de l’energie de site pour un reseau en liaisons fortes . . . . . . 1159

30.3 Regle de selection pour un cristal parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166

30.4 Un modele pour le graphite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171

30.5 Etats d’un electron presque libre sur un reseau hexagonalbidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184

30.6 Etats localises dus a une impurete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192

30.7 Variation en temperature de la chaleur specifique d’un solide possedantdes excitations sans gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197

30.8 Magnetisme localise : le modele d’Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198

30.9 Tour d’horizon des proprietes magnetiques des solides . . . . . . . . . . . 1210

30.10 Magnons et etats lies de magnons dans le modele de Heisenberg . . . . . 1223

30.11 Excitations d’un reseau de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1240

30.12 Boıte quantique sous champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1250

30.13 Oscillations de Bloch pour un atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259

30.14 Atomes dans un reseau optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1270

30.15 Competition entre confinement magnetique et interactions dans un reseaude plaquettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288

31 Vibrations d’un solide ordonne 1315

31.1 Vibration d’une chaıne monoatomique 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315

31.2 Vibration d’un reseau unidimensionnel de dimeres . . . . . . . . . . . . . 1324

31.3 Vibration d’un reseau avec des couplages harmoniques a longue portee . . 1326

31.4 Instabilite de Peierls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334

31.5 Identite de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343

1 EXMEQUAN_2015.indb 23 24/09/15 14:53

physique

xxiv

physiqueMécanique quantiquexxiv Table des Matieres

32 Notions de transport dans les solides 1349

32.1 Orbites semi-classiques d’un electron dans un metal . . . . . . . . . . . . 1349

32.2 Variation en temperature du gap supraconducteur (couplage faible) . . . . 1353

32.3 Grandeurs thermodynamiques dans les phases normale et supraconductrice . 1361

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373

1 EXMEQUAN_2015.indb 24 24/09/15 14:53

1

physiqueChapitre 1

IntroductionChapitre 1

Introduction

“Nos sens ne nous permettent pas de percevoirla matiere au-dela d’un certain degre de petitesse.

[...] Nous n’en concluons pas, cependant,que ces details n’existent pas.” [8]

(Jean PERRIN, 1870–1942)

1.1 Determination du rapport charge/masse de l’elec-tron (methode de Thomson et Kaufmann)

La methode de Thomson (1897) consiste a etudier la deviation d’electrons de vitesse initiale

v0 (parallele a Oy) par un champ electrique E et un champ magnetique B, tous deuxconstants, homogenes, paralleles a Ox et agissant dans la region situee entre O et un ecranou sont materialises les electrons (voir figure 1.1). L’impact du faisceau electronique estdetecte sur un ecran place a la distance d de l’origine O. On note e et m la charge et la

masse electroniques et ω = |e|Bm la quantite appelee pulsation synchrotron.

Figure 1.1: Schema de l’experience de Thomson - Kaufmann

1. Principe de l’experience

(a) Dessiner l’allure typique d’une trajectoire electronique.

1 EXMEQUAN_2015.indb 1 24/09/15 14:53

physiqueChapitre 1 Introduction

2

2 Chapitre 1. Introduction

(b) Trouver l’equation parametrique (en fonction du temps) de la trajectoire d’unelectron, en prenant comme origine des temps l’instant ou l’electron passe en O.A quelle condition obtient-on un impact sur l’ecran ?

(c) Soit t1 l’instant d’impact sur l’ecran. Dans l’hypothese ou ωt1 π2 , determiner

l’equation cartesienne de la courbe sur laquelle se trouvent les impacts lorsque lavitesse initiale varie en module. Que se passe-t-il si on inverse le champ electrique ?

(d) Comment cette experience permet-elle de mesurer le rapport chargemasse pour l’elec-

tron ?

2. Corrections relativistes

Peu de temps apres les premieres experiences de Thomson, Kaufmann (apres le premierarticle d’Einstein sur la Relativite Restreinte) s’apercut que la loi parabolique obtenueen 1c n’etait pas verifiee pres de l’origine O, c’est-a-dire la ou l’on trouve les particulesdont la vitesse initiale est tres grande.

(a) Identifier l’origine de cette anomalie.

(b) A l’aide de la conservation de l’energie, determiner la variation dans le temps dela coordonnee x a l’aide de la fonction T (t) definie comme :

T (t)def= γmc2 , γ = (1− β2)−1/2 , β =

v

c. (1.1)

(c) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique (relativiste), trouver le

complexe Z(t)def= y(t) + iz(t) en fonction de T (t)

(d) Trouver la fonction T (t) (poser τ = T (0)c|e|E ). En deduire l’expression des trois

coordonnees d’espace en fonction de la variable φ(τ) definie par sinhφ(t)def= t

τ

(e) Montrer que si v0 → c, les impacts se rapprochent de l’origine O’ suivant unecourbe qui n’est plus tangente a O’z′. Retrouver la pente verticale mise enevidence dans la partie 1 par un passage a la limite convenable.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. Principe de l’experience

(a) On prend les deux champs orientes dans le sens des x positifs. La forceelectrique est dirigee le long de Ox, vers les cotes negatives (la charge e estnegative). Par ailleurs, au moment ou l’electron arrive en O, la force deLorentz est dirigee vers les z positifs. Au total, la trajectoire est une heliced’axe parallele a Oz, situee dans l’octant x < 0, y > 0, z > 0.

(b) La force agissant sur l’electron est F = e( E+v× B) ; la projection sur les troisaxes de l’equation fondamentale de la Dynamique donne (m est la masse del’electron) mx = eE, my = e z B, mz = −e y B. Avec les conditions initiales

precisees, on en deduit d’abord x = eE2m t2. En posant Z(t)

def= y(t) + iz(t),

on voit que Z(t) satisfait Z = iωZ, avec ω = |e|Bm , d’ou Z(t) = Z(0) eiωt,

1 EXMEQUAN_2015.indb 2 24/09/15 14:53

1.1 Détermination du rapport charge/masse de l’électron (méthode de Thomson et Kaufmann)

3

1.1. Determination du rapport charge/masse de l’electron (methode de Thomson et Kaufmann) 3

ou Z(0) = v0. Une deuxieme integration en temps donne y(t) = v0

ω sinωt etz(t)= v0

ω (1− cosωt) .

Pour avoir un impact sur l’ecran, il faut que v0ω soit superieur a d, soit que les

electrons aient une vitesse assez grande, ou que le champ magnetique ne soitpas trop intense.

Figure 1.2: Lignes ou se distribuent les impacts quand la vitesse initiale varie (a gauche,champ electrique dirige comme Ox, a droite, champ dirige en sens contraire de Ox). Plusla vitesse initiale est grande, plus l’impact est proche de O’.

(c) Si t1 est l’instant d’impact sur l’ecran, alors y(t1) = d ; dans l’hypothese ou

ωt1 π2 , on en deduit t1 d

v0, d’ou x(t1) eEd2

2mv20et z(t1) ωd2

2v0.

L’equation cartesienne de la courbe sur laquelle se trouvent les impacts lorsquela vitesse initiale varie en module s’obtient en eliminant v0 entre x et z, soit

z2 = (Bd)2

2Eem x : c’est donc une demi-parabole, dont l’axe est parallele a

O’x′, orientee vers les x′ negatifs si E > 0, (champ electrique dirige vers lesx positifs), vers les x′ positifs si E < 0 (champ electrique dirige vers les xnegatifs, voir figure 1.2).

(d) Cette experience permet de trouver le rapport chargemasse en mesurant les coor-

donnees de quelques points de la demi-parabole

2. Corrections relativistes

(a) L’anomalie observee apparaıt pres de l’origine ; elle concerne les electrons degrande vitesse et resulte du traitement non-relativiste

(b) L’energie totale est γmc2 + eU ≡ T − eEx, a une constante additive pres ;comme c’est une constante du mouvement, T (t)− eEx(t)=T (0), d’ou :

x(t) =1

eE[T (t)− T (0)]

(c) La relation fondamentale de la dynamique relativiste donne par projectionpy = eBvz et pz = −eBvy, d’ou :

md

dt

(γ(t) Z

)= −ieB Z(t) ⇐⇒ mγ(t) Z = −ieB Z(t) +mγ(0)v0 .

Comme T (t) = mγc2, on en deduit l’equation differentielle :

T (t) Z + ieBc2 Z(t) = mc2γ(0)v0 ≡ T (0)v0 ,

1 EXMEQUAN_2015.indb 3 24/09/15 14:53


4


dont la solution est :

Z(t) =T (0)v0ieBc2

[1− exp

(ieBc2

∫ t

0

dt′

T (t′)

)]

(d) On a vx = 1eE T (t) et d

dt (mγvx) = eE, d’ou :

d

dt(c−2T 1

eET ) = eE ⇐⇒ T T = (eEc)2t ,

et T (t) = T (0) coshφ(t) dans les notations introduites de l’enonce. On endeduit :

Z(t) =T (0)v0ieBc2

[1− exp

(− ieBc2

τ

T (0)φ(t)

)],

et les coordonnees de l’electron :

x(t) = −cτ [coshφ(t)− 1]

y(t) = v0τE

Bcsin

[Bc

Eφ(t)

]z(t) = v0τ

E

Bc

(1− cos

[Bc

Eφ(t)

])

(e) Le point d’impact sur l’ecran se produit en t = t1, soit d=v0τEBc sin[Bc

E φ(t1)].

Si v0→c, T (0)→+∞, donc sin[BcE φ(t1)]→0, ainsi que φ(t1)≡φ1. Dans cette

limite :

z(t1) v0τBc

2Eφ21 , x(t1) −cτ

2φ21 .

Figure 1.3: Cas relativiste : lignes ou se distribuent les impacts quand la vitesse initialevarie (a gauche, champ electrique dirige comme Ox, a droite, champ dirige en senscontraire de Ox). Plus la vitesse initiale est grande, plus l’impact est proche de O’.

Les points d’impact se repartissent donc sur la droite z = −BcE x, inclinee de

l’angle ψ par rapport a O’x′, tel que tanψ = BcE (voir figure 1.3). Dans la

limite “c infinie” on retrouve la tangente verticale de la demi-parabole obtenuedans la premiere partie.

1 EXMEQUAN_2015.indb 4 24/09/15 14:53

5

1.2 Détermination du nombre d’Avogadro N à l’aide du mouvement Brownien1.2. Determination du nombre d’Avogadro N a l’aide du mouvement Brownien 5

1.2 Determination du nombre d’Avogadro N a l’aidedu mouvement Brownien

Le mouvement Brownien est le mouvement irregulier de particules (diametre de l’ordre dumicron) en suspension dans un fluide. Il resulte des impacts nombreux incessants des petitesparticules du fluide sur la “grosse” particule et est le revelateur de l’agitation thermique etdes fluctuations thermodynamiques . Dans ce qui suit, on etudie une description dynamiquesimple du mouvement et, la rapprochant de mesures effectuees par Jean Perrin, on donne leprincipe de l’une des toutes premieres determinations precises de N .

1. Modele dynamique pour le mouvement Brownien.

La grosse particule, de masse m, est soumise a deux forces1 de la part du fluide : uneforce de viscosite, proportionnelle a la vitesse, la constante de proportionnalite etantnotee C, et une force F (t) de moyenne nulle fluctuant tres rapidement a l’echelle dumouvement de la particule. Le fluide est suppose etre a l’equilibre thermique a latemperature T .

(a) Notant x(t) la position de la grosse particule2, ecrire l’equation fondamentale dela dynamique. On pose τ = m

C ; quel est le sens physique de τ ?

(b) Apres multiplication membre a membre par x, prendre la moyenne d’ensemblede l’equation et la simplifier en laissant tomber3 les correlations entre F (t) etx(t). Apres transformation du terme contenant la derivee seconde, en deduireune equation differentielle pour 〈xx〉. A quoi est egal4 le terme 〈x2〉 ?

(c) Integrer l’equation differentielle sachant que la quantite 〈xx〉 est nulle a t = 0(quel est le sens physique d’une telle condition ?). En deduire 〈x2〉(t) sachantqu’a t = 0, 〈x2〉 est nul (sens physique ?) et montrer que, pour t τ , la formeasymptotique de 〈x2〉(t) est de la forme 〈x2〉(t) 2Dt, ou D est une constanteappelee constante de diffusion.

(d) Dans le cas de particules spheriques de rayon a = 0.4µm, et pour des faiblesvitesses, on peut ecrire C = 6πηa (loi de Stokes) ou η est la viscosite du fluide(η = 10−3 kg/ms (eau a 27 oC)) ; la densite de la particule est comparable a cellede l’eau, et on prendra ρ = 1g/cm3. En deduire l’expression de 〈x2〉 a retenirdans le cas d’une observation macroscopique (echelle de temps experimentale :une seconde).

2. Releve d’une experience de Jean Perrin (1905) [1] La table p. 6 donne les nombresd’occurrences de la quantite δ(t) definie comme :

δ(t)def= x(t)− x(t− 2) ,

1Ces deux forces ont la meme origine physique et resultent des chocs des particules legeres du fluide.Elles ne sont donc pas sans relation l’une avec l’autre, elles sont meme indissociables.

2On se place a une dimension d’espace pour simplifier.3On peut montrer que cette approximation ne modifie pas le regime a grand temps, qui est le seul

resultat utile ici.4Penser au theoreme d’equipartition de l’energie.

1 EXMEQUAN_2015.indb 5 24/09/15 14:53


6


ou t est en secondes et δ en µm.

(a) Utiliser ce releve d’experience pour calculer 〈x2〉 et en deduire la valeur numeriquede la constante D introduite en 1c.

(b) Par comparaison avec la partie 1, obtenir la valeur numerique du nombre d’Avo-gadro N (la constante des gaz parfaits est R = 8.31 J/K).

δ(t) nombre d’occurrences

< −5, 5 0entre −5, 5 et −4, 5 1entre −4, 5 et −3, 5 2entre −3, 5 et −2, 5 15entre −2, 5 et −1, 5 32entre −1, 5 et −0, 5 95entre −0, 5 et +0, 5 111entre +0, 5 et +1, 5 87entre +1, 5 et +2, 5 47entre +2, 5 et +3, 5 8entre +3, 5 et +4, 5 3entre +4, 5 et +5, 5 0

> +5, 5 0

3. Modele stochastique : la marche de l’ivrogne

Pour finir, il s’agit maintenant de definir un modele simple de marche au hasard sur unreseau unidimensionnel de points regulierement, espaces de la distance a. Une particule(ou un homme emeche) se deplace en effectuant des sauts sur ce reseau de la faconsuivante : tous les ∆t, la particule situee au site d’abscisse pa (p ∈ Z) saute sur l’undes deux sites premiers voisins, vers la droite avec la probabilite p, vers la gauche avecla probabilite q = 1− p. La position de la particule est donc une variable aleatoire Xpouvant prendre les valeurs discretes na. Conventionnellement, le site de depart estcelui fixant l’origine (n = 0) du reseau ; le cas echeant, on posera v = a∆t.

(a) Soit xn(t) la position atteinte par la particule au temps t = N∆t quand elle aeffectue n sauts vers la droite et N −n sauts vers la gauche (0 ≤ n ≤ N). Quelle

est la probabilite Pndef= Prob[X = xn(t)] ?

(b) A l’aide des Pn, ecrire l’expression de l’esperance mathematique de l’aleatoire X.

(c) On introduit la fonction generatrice F (λ)def=

∑Nn=0 λ

nPn. Expliquer comment Fpermet de calculer simplement les moyennes des puissances5 de la position 〈Xk〉.

(d) Utiliser ceci pour trouver :

i. la valeur moyenne de la position a l’instant t, 〈X〉(t). En deduire la vitesse

moyenne definie comme Vdef= 1

t 〈X〉(t) ; verifier qu’elle s’annule si p = q = 12

(marche non biaisee) ;

5Ces quantites sont appelees moments ([3], chapitre 14).

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7


ii. l’ecart quadratique de la position ∆X2 def= 〈X2〉 − 〈X〉2. Comment varie-t-il

en temps ? En deduire l’expression de la constante de diffusion D. Com-menter en comparant avec les resultats de deux parties precedentes.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. Modele dynamique pour le mouvement Brownien.

(a) L’equation fondamentale de la dynamique est mx = −Cx+F (t). En prenantune moyenne d’ensemble, on a 〈x〉 + 1

τ 〈v〉 = 1m 〈F (t)〉 = 0 ; ceci montre que

τdef= m

C est le temps de relaxation de la vitesse moyenne, puisque l’integration

donne 〈v〉(t) = 〈v〉(0) e−t/τ .

(b) En effectuant les operations indiquees, on trouve :

〈xx〉+ 1

τ〈xx〉 = 1

m〈Fx〉 .

En negligeant les correlations entre F (t) et x(t), 〈Fx〉 → 〈F 〉〈x〉 = 0 puisquela force fluctuante a une moyenne nulle. Par ailleurs 〈xx〉 = d

dt 〈xx〉 − 〈x2〉,d’ou l’equation demandee pour 〈xx〉 :

d

dt〈xx〉+ 1

τ〈xx〉 − 〈x2〉 = 0

D’apres le theoreme d’equipartition de l’energie, la particule etant en equilibreavec le bain, on a 1

2m〈x2〉 = 12kBT , d’ou finalement :

d

dt〈xx〉+ 1

τ〈xx〉 = kBT

m. (1.2)

(c) La condition initiale 〈xx〉(0) = 0 signifie, par exemple, que vitesse et positionsont decorrelees au depart – et on peut toujours choisir l’origine de l’axe aupoint de depart. La solution de (1.2) avec cette condition initiale est :

〈xx〉(t) = kBT

C(1− e−

tτ ) .

La condition 〈x2〉(0) = 0 signifie qu’au depart, il n’y a pas de dispersiondes positions initiales des particules de l’ensemble statistique. En vertu de〈xx〉= 1

2 〈ddtx

2〉= 12

ddt 〈x

2〉, cette derniere quantite s’obtient par integration :

〈x2〉(t) = 2kBT

C[t+ τ(e−

tτ − 1)] 2kBT

Ct ∀ t τ

ceci montre que la constante de diffusion est :

D =kBT

C

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8


Noter qu’avec une force exterieure systematique Fext, on a 〈v〉(t) = 1CFext

(apres un bref transitoire), ce qui permet d’identifier 1C avec la mobilite µ ;

des lors, la relation precedente s’ecrit :

D

µ= kBT

c’est la formule d’Einstein reliant constante de diffusion et mobilite, avatar leplus elementaire du theoreme de fluctuation-dissipation (voir par exemple [4],chapitre 3).

(d) Avec la loi de Stokes (particules spheriques et faibles vitesses), C = 6πηa,

m= 4π3 a3ρ, d’ou τ= 2a2ρ

9η 3.5×10−8 s. Sans aucun doute, l’expression appro-

chee 〈x2〉(t) 2Dt est pertinente pour des experiences faites a l’echelle de laseconde.

2. Releve d’une experience de Jean Perrin (1905)

(a) La table donnee dans le texte permet de calculer la moyenne statistique del’ecart δ2 :

〈δ2〉 = 0 (−5, 5)2 + 1 (−5)2 + 2 (−4)2 + . . .+ 3 (4)2 + 0 (5)2 + 0 (5, 5)2

2 + 32 + 111 + . . .+ 95 + 87 + 8,

soit δ2 = 810401 µm

2 2.02µm2. D’ou 2D × 2 2.02µm2, et :

D 0.505× 10−8 cm2s−1 .

(b) Par ailleurs D = kBTC = RT

NC , d’ou l’expression du nombre d’Avogadro N (al’ambiante, T 293 K) :

N =RT

6πηaD 8.31× 293

6π × 10−3 × 0.4× 10−6 × 0.505× 10−12,

soit :

N 6.4× 1023

3. Modele stochastique : la marche de l’ivrogne

(a) xn(t) est la position6 atteinte par la particule au temps t = N∆t quand ellea effectue n sauts vers la droite et N − n sauts vers la gauche (0 ≤ n ≤ N),donc xn = n(+a) + (N −n)(−a) = (2n−N)a. La probabilite correspondanteest Pn = Cn

Npn(1− p)N−n, d’ou :

Pndef= Prob[X = (2n−N)a] = Cn

Npn(1− p)N−n

on verifie sans peine que∑N

n=0 Pn = 1. Cette distribution est appelee loibinomiale.

6L’origine est prise au point de depart.

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(b) L’esperance mathematique de l’aleatoire X, notee 〈X〉, est par definition :

〈X〉 =N∑

n=0

Pn(2n−N)a = 2a

N∑n=0

nPn −Na .

(c) En derivant F (λ), on obtient dFdλ =

∑Nn=1 nλ

n−1Pn, puis en faisant λ = 1,∑Nn=1(ou 0) nPn =

(dFdλ

)λ=1

. La somme au premier membre est l’une des contri-

butions apparaissant dans 〈X〉. La connaissance de F (λ) permet visiblementde trouver par derivations successives les differentes valeurs moyennes 〈Xk〉,k ∈ N, appelees moments.

(d) L’expression compacte de la fonction generatrice s’obtient en calculant ex-plicitement la somme apparaissant dans la definition (on remarque que c’estle developpement d’un binome) :

F (λ) =N∑

n=0

CnNλnpn(1− p)N−n = [λp+ (1− p)]N ;

comme il se doit F (1) = 1 (c’est la somme des probabilites).

i. la valeur moyenne de la position a l’instant t, 〈X〉(t) est −Na+2aF ′(1) ;le calcul donne 〈X〉(t) = (p − q)Na = (p − q) at

∆t ; elle s’annule bien si

p=q= 12 (marche non biaisee), est positive si p>q et negative dans le cas

contraire. La vitesse est donc V =(p− q) a∆t .

ii. la moyenne du carre de la position 〈X2〉 est a2∑

n(2n−N)2Pn. Un calculsans difficulte donne 〈X2〉 = N2a2+4a2N(N−1)p(p−1). La soustractiondu carre de la valeur moyenne donne l’ecart quadratique :

∆X2 = 4a2Npq = 4a2pqt

∆t;

il croıt lineairement en temps, ce qui signifie que la taille typique dudomaine visite a l’instant t augmente comme

√t, regime de croissance

intermediaire entre du sur-place et un mouvement de type balistique ou lacoordonnee augmente lineairement en temps.L’expression de la constante de diffusion s’obtient par identification avec

Ddef= ∆X2

2t soit :

D = 2a2Npq = pq2a2

∆t

En tant que fonction de p, D est maximum pour p= q = 12 , soit quand

le hasard est le plus grand. La constante D est bien sur nulle pour unemarche non aleatoire (p=1 ou q=1).Tous ces resultats sont en harmonie avec ceux obtenus dans les deuxpremieres parties. Pour en savoir plus sur les marches au hasard et lesprocessus stochastiques, le livre de Montroll et West [2] en propose uneremarquable (et lisible) initiation.

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10


1.3 Les experiences de Kappler (1931)

Il s’agit d’une autre methode precise de determination du nombre d’Avogadro7. Kapplera mesure les fluctuations de la position d’equilibre d’un petit miroir (surface de l’ordre de1mm2), suspendu dans l’air verticalement par un fil de torsion de constante K ; la positiondu miroir peut etre tres precisement reperee par la deviation d’un rayon lumineux. On noteT la temperature de l’air, θ l’ecart a la position d’equilibre, I le moment d’inertie du miroirpar rapport a son axe de rotation. A la force de rappel pres, le miroir est dans une situationtres comparable a celle d’une particule brownienne et, sous les impacts des molecules d’air,effectue des petites oscillations aleatoires autour de sa position d’equilibre.

1. Sachant que le miroir est en equilibre thermodynamique avec l’air ambiant, quellessont les valeurs moyennes de son energie cinetique et de son energie potentielle ?

2. En deduire que N est donne par :

N =RT

K〈θ2〉(1.3)

ou 〈θ2〉 est l’ecart quadratique de la position du miroir.

3. La mesure donne 〈θ2〉 = 4.18 × 10−6 rad2. Trouver la valeur de N sachant queK = 9.4× 10−16 MKSA, R = 8.31 J/K.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. L’energie mecanique du miroir E a pour expression :

E =1

2Iθ2 +

1

2Kθ2 ,

ou les deux termes a droite representent respectivement les energies cinetique et po-tentielle. Tout comme un oscillateur harmonique, la “coordonnee” θ et la “vitesse”θ figurent au carre dans E, d’ou equipartition de l’energie quand on prend lesmoyennes a la temperature T :

〈12Iθ2〉 = 〈1

2Kθ2〉 = 1

2kBT

2. De 〈 12Kθ2〉 = 12kBT et de kB = R

N , on deduit l’expression donnee dans l’enonce :

N =RT

K〈θ2〉(1.4)

〈θ2〉 etant l’ecart quadratique de la position du miroir, puisque la valeur moyennede θ est nulle.

3. L’experience est evidemment menee a l’ambiante, T 293 K ; on trouve :

N 6.20× 1023

7Avant de faire cet exercice, il est recommande d’avoir fait l’exercice 1.2 p. 5, tout particulierementla partie 1.

1 EXMEQUAN_2015.indb 10 24/09/15 14:53

1.4 Équilibre d’une atmosphère isotherme

11

1.4. Equilibre d’une atmosphere isotherme 11

1.4 Equilibre d’une atmosphere isotherme

Jean Perrin [1] a egalement etudie la repartition de la densite d’equilibre d’un gaz dilue degrosses particules de masse M immergees dans un fluide, le tout etant contenu dans un bocalcylindrique vertical. Plus precisement, Jean Perrin a observe que la densite lineaire n desgrosses particules, homogene a l’inverse d’une longueur, variait avec l’altitude z suivant laformule barometrique :

n(z) = n(0) e−βMgz(β =

1

kBT

); (1.5)

g est l’acceleration de la pesanteur, z est l’altitude comptee positivement vers le haut, kB laconstante de Boltzmann.

1. Soit P (z) la pression a l’altitude z. Montrer que la condition d’equilibre mecaniquede la tranche de gaz situee entre les altitudes z et z + dz donne dP

dz = −MgS n(z), S

designant la section droite du bocal cylindrique.

2. Le gaz de grosses particules etant tres dilue, il obeit a une equation d’etat du genre gazparfait PV = NkBT , ou N est le nombre de particules dans le volume V . En deduirela formule barometrique (1.5).

3. Comment N est-il inclus dans les resultats precedents ?

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1. P (z) etant la pression a l’altitude z, la condition d’equilibremecanique de la tranchede gaz situee entre les altitudes z et z + dz est :

−P (z + dz)S + P (z)S −mg = 0 ,

ou m est la masse de la tranche de gaz de grosses particules situe entre les altitudesz et z + dz ; m = Mn dz, ou n(z) est la densite lineaire des grosses particules.Finalement :

dP

dz= −Mg

Sn(z) (1.6)

Cette equation est parfois appelee equation barometrique.

2. Avec l’hypothese du gaz parfait de grosses particules, l’equation d’etat pour lapetite tranche situee entre z et z + dz est PS dz = n dzkBT , d’ou P = n

S kBT et

par derivation P ′ = n′

S kBT ; le report dans (1.6) donne l’equation fermee pour ladensite :

dn

dz+

Mg

kBTn(z) = 0 ,

dont la solution est n(z)=n(0) e−βMgz, avec β= 1kBT .

3. N est inclus dans l’argument de l’exponentielle puisque kB = RN . L’echelle carac-

teristique de decroissance de la densite avec l’altitude est ξ= kBTMg = RT

NMg ; la mesure

de ξ donne N par N = RTξMg . Avec des grains de 0.4µ de rayon et de densite unite,

on a ξ1.6µ, qui est assez aisement mesurable.

1 EXMEQUAN_2015.indb 11 24/09/15 14:53


12


1.5 Mesure precise de l’impulsion de particules parfocalisation

Des electrons d’energie E de l’ordre du keV sont emis par une source S situee au point Oet sont injectes dans la region z > 0 (voir figure 1.4). La vitesse initiale v0 est dans le planxOz et sa direction par rapport a l’axe Oz est caracterisee par l’angle α = 0, en principebien determine. Dans la region z > 0 regne un champ magnetique statique et homogene,parallele a Oz et de module B ; e et m designent la charge et la masse de l’electron8, c lavitesse de la lumiere dans le vide.

Figure 1.4: Schema precisant la geometrie de l’injection des particules

1. Calculer numeriquement le module v0 et le comparer a c.

2. Ecrire l’equation fondamentale de la dynamique projetee sur les trois axes ; en deduireles equations differentielles pour les coordonnees x, y et z d’un electron, exprimees a

l’aide de la pulsation cyclotron ωc =|e|Bm . Combien vaut ωc ?

3. Donner l’expression de z(t), puis celle de la composante de la vitesse suivant Ox, soitvx(t) ; en deduire x(t). Achever l’integration en donnant y(t).

4. Soit r la distance d’un electron a l’axe Oz ; donner l’expression de r en fonction dutemps et en tracer le graphe.

5. On dispose un detecteur D sur l’axe Oz : a quelles distances Lk de O doit-on le placerpour recueillir les electrons ? On designe dans la suite par L1 la plus petite des Lk ;calculer L1 numeriquement quand α = 45o.

6. On deplace le detecteur le long de Oz, designant par d sa distance au point O. A l’aided’un dessin, representer le signal recu sur le detecteur en fonction de d, sachant que dne peut exceder 60 cm. Expliquer en quoi la mesure de L1 constitue une determinationde l’impulsion initiale p0 des electrons.

7. En realite, le signal mesure par D presente une largeur finie, provoquant une incertitudesur la mesure de p0. Sachant que cette largeur ne peut etre expliquee ni par lesinevitables inhomogeneites spatiales du champ magnetique, ni par la valeur (inconnue)de v0 (qui est parfaitement definie), quelle est la cause de l’elargissement ?

8Les valeurs a utiliser pour les applications numeriques sont donnees a la fin de l’exercice.

1 EXMEQUAN_2015.indb 12 24/09/15 14:53

1.5 Mesure précise de l’impulsion de particules par focalisation

13

1.5. Mesure precise de l’impulsion de particules par focalisation 13

8. Il s’agit maintenant de preciser comment on peut modifier l’appareil pour reduire l’erreursur la mesure de p0 = mv0, a condition de pouvoir mettre le detecteur en-dehors del’axe Oz ; dans la suite, d designe la distance entre le detecteur et le plan xOy.

(a) Pour une valeur donnee de l’angle α, exprimer la distance d’un electron a l’axeOz, soit r, en fonction de sa coordonnee z.

(b) Soit deux angles d’injection α′ et α′′ (α′ < α′′) et les deux longueurs L′1 et L′′

1

correspondantes ; quelle est l’inegalite entre L′1 et L′′

1 ? Pour ces deux angles,representer graphiquement la variation de r en fonction z.

(c) Soit α la valeur “nominale” de l’angle d’injection. Pour z fixe, donner l’expressionde la variation δr de r lorsque α varie de δα autour de α ; en deduire qu’il estpossible de choisir d afin que la variation de r par rapport a α ne depende quede termes en (δα)2. Ecrire l’equation fixant cette valeur particuliere de d, soitdm (ne pas chercher a resoudre cette equation, mais en donner une illustrationgraphique).

(d) En deduire la modification a apporter au dispositif pour que la mesure de p0 soitbeaucoup plus precise (l’appareil focalise les electrons dans le plan dm).

Valeurs numeriques :e = −1.6× 10−19 C, E = 1keV, mc2 = 511 keV , B = 10−3 T , α = 45o.

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1. Posant β = v0c , l’energie cinetique est 1

2mβ2c2 et vaut donc 103 keV ; comme

mc2 511 keV, on voit d’emblee que β 1 ; plus precisement β2 2511 soit

β 6.3×10−2. La vitesse v0 est donc voisine de 6.3×10−2×3×108 m/s soit environ19 000 km/s.

2. L’equation fondamentale de la dynamique projetee sur les trois axes donne :

mx = eBy , my = −eBx , mz = 0 .

ωc =1.6×10−19×10−3

9×10−31 1.76× 108 rad/s.

3. Par integration compte tenu des conditions initiales z(0) = 0, vz(0) = v0 cosα,z(t) = (v0 cosα)t. Par ailleurs, on a vx = −ωcvy et vy = +ωcvx, d’ou vx = −ω2

cvx ;avec vx(0) = v0 sinα, vx(0) = −ωcvy(0) = 0, la solution est vx(t) = v0 sinα cosωct,d’ou x(t) = v0

ωcsinα sinωct puisque x(0) = 0. Enfin, compte tenu de vy(t) = − 1

ωcvx,

une integration donne y(t) = v0

ωcsinα(1−cosωct). La trajectoire est donc une helice

d’axe parallele a Oz, coupant l’axe Oy au point d’abscisse y0 = v0

ωcsinα.

4. r2 = x2 + y2 = ( v0

ωcsinα)2(2− 2 cosωct), soit :

r(t) = 2v0ωc

sinα∣∣∣ sin ωct

2

∣∣∣

C’est une sinusoıde rectifiee (voir figure 1.5).

1 EXMEQUAN_2015.indb 13 24/09/15 14:53


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Figure 1.5: Distance r(t) a l’axe Oz.

5. Le detecteur D etant sur l’axe Oz, il faut le placer la ou la trajectoire recoupe l’axeOz, c’est-a-dire en des points correspondant a r = 0 : les distances Lk sont donctelles que Lk = z(t = k 2π

ωc), soit Lk = k 2π

ωcv0 cosα ; numeriquement : L1 47 cm.

6. Le signal est nul tant que d = L1 ; la mesure de L1 permet de trouver la vitessev0, donc ausi p0 ≡ mv0 (voir figure 1.6).

7. Compte tenu des elements donnes dans l’enonce, la cause de l’elargissement dusignal est l’imprecision de l’angle d’injection α, qui provoque une dispersion destrajectoires.

Figure 1.6: Representation schematique du signal recu par le detecteur en fonction de sadistance d par rapport a la fente d’entree.

8. On dispose le detecteur en-dehors de l’axe Oz, d designant la distance entre ledetecteur et le plan xOy

(a) Pour exprimer r, distance d’un electron a l’axe Oz, en fonction de z, il suffitd’eliminer le temps entre les fonctions r(t) et z(t) obtenues ci-dessus. Ontrouve ainsi :

r = 2v0ωc

sinα∣∣∣ sin ωcz

2v0 cosα

∣∣∣ def= f(z) (1.7)

(b) Physiquement, il est evident que L′1 > L′′

1 si α′ < α′′.

(c) Pour reduire l’incidence de l’erreur sur l’angle sur la largeur du signal, il suffitde placer le detecteur en un endroit tel qu’une petite variation δα ne produisequ’une variation d’ordre superieur pour les points d’impact. Les variationsde α provoquent aussi une dispersion des coordonnees x et y, mais on peut

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1.5 Mesure précise de l’impulsion de particules par focalisation

15

1.5. Mesure precise de l’impulsion de particules par focalisation 15

Figure 1.7: Variation de la distance r a l’axe Oz en fonction de z pour deux anglesd’injection voisins α′ < α′′ (voir (1.7)). Le premier zero est a l’abscisse π cosα.

envisager un detecteur de forme annulaire, perpendiculaire a Oz, de rayonegal a la distance r introduite plus haut, et situe a la distance d de O.Afin qu’une petite variation δα autour de la valeur nominale α donne unevariation d’ordre superieur pour r, il faut et suffit que la derivee de r parrapport a α s’annule pour α = α :

(∂r∂α

)α=α

= 0, condition qui s’explicite en9 :

tanX + (tan2 α)X = 0 , Xdef=

πd

L1

,

ou L1 = 2πωc

v0 cosα. Cette equation fixe la valeur de d a choisir, soit dm, d’oula position du plan du detecteur. Cette equation a une infinite de solutions(comme le montre un graphique). La plus petite solution positive est un cer-tain nombre X0 compris entre π

2 et π, d’ou la plus petite valeur X0

π L1 pour dm

(d) L’appareil focalisant les electrons dans le plan dm, il faut disposer dans celui-ci

un detecteur annulaire de rayon egal a rmdef= f(dm) (voir (1.7)).

Les livres de Enge [5] et Smith [6] donnent de nombreux autres exemples d’applicationsde cette technique de focalisation, et constituent une bonne introduction a la Physiquenucleaire.

Figure 1.8: Focalisation des trajectoires pour des petites variations δα autour d’un anglenominal d’injection α.

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1.6 Spectrographe de masse

Un four a haute temperature (T de l’ordre de 1 000K) contient du chlore gazeux. Apresionisation (par un dispositif non-represente), le melange isotopique binaire d’ions Cl− (chargeq = −|e|, masses M1 et M2) issus du four est accelere par une ddp U (de quelques dizainesde kV) avant d’etre injecte dans la fente d’entree S d’un spectro de masse. Le champ magne-tique est horizontal, et perpendiculaire au plan de la figure. P designe une plaque sensibledetectant l’arrivee des ions.

Figure 1.9: Schema d’un spectrographe de masse.

1. Preciser le sens de la ddp U et la direction du champ magnetique B.

2. Donner l’ordre de grandeur de la vitesse d’un ion avant acceleration par U et montrerque l’energie cinetique thermique correspondante peut etre negligee.

3. Soit v la vitesse acquise au point S par un ion de vitesse initiale nulle. La trajectoired’un ion dans la partie ou regne le champ magnetique est un arc de cercle : rappelerpourquoi ; donner l’expression de son rayon R et le calculer numeriquement.

4. Li designe la distance horizontale entre S et le point d’impact d’un ion de masse Mi.Comment varie qualitativement Li en fonction deMi, toutes choses egales par ailleurs ?Exprimer Li en fonction de h et Ri, et en fonction de h, Mi, q, B et U .

5. Calculer numeriquement la distance ∆L separant les deux types d’impacts.

6. Soit δv0 l’incertitude sur la vitesse initiale compte tenu de l’agitation thermique dansle four. Ecrire la condition sur v, Mi, δv0 et ∆M = M1 −M2 pour que les impactsde deux isotopes soient bien separes malgre l’agitation thermique.

Valeurs numeriques :q = −1.6 × 10−19 C, masses atomiques : Mi = 35 et 37 g/mol , U = 10 kV, B = 0.1T,h = 10 cm.

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1. Les ions sont charges negativement : la plaque de droite doit etre a un potentielsuperieur a celui de la plaque d’entree a gauche. Les trajectoires doivent incurvees

vers le bas : le champ magnetique B doit donc etre dirige vers l’arriere du plan defigure.

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1.6 Spectrographe de masse

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1.6. Spectrographe de masse 17

Figure 1.10: A gauche : polarites de la ddp. Au milieu : orientation du champ magnetique(q < 0). A droite : impacts des ions quand M1 > M2.

2. L’ordre de grandeur de l’energie d’un ion avant acceleration par U est celui d’unevitesse thermique, soit ∼ 1 000

293 × 25meV ; l’energie cinetique thermique, environ85meV, est donc negligeable devant les quelques kV acquis grace a la ddp.

3. La force qv× B etant perpendiculaire a la vitesse, il en est de meme de l’acceleration :v a donc un module constant et le mouvement est circulaire uniforme. La relationM v2

R =qvB donne le rayon R du cercle : R= Mv|q|B , d’autant plus petit que la charge

est grande et le champ intense.

4. Une masse elevee correspond a une grande inertie, donc a une faible incurvation dela trajectoire : plus M est grand, plus le rayon de courbure est grand, et c’est bience que dit la formule precedente R ∝ M . Li est donc d’autant plus grand que lamasse Mi est elevee.

Le theoreme de Pythagore donne Li =√R2

i − (Ri − h)2 =√h(2Ri − h).

Par ailleurs 12Miv

2i = |q|U , d’ou vi =

√2 |q|U

Miet Ri =

1B

√2MiU|q| .

5. Numeriquement :

R1 = 10.1

√2×37×10−3×104

6.02×1023×1.6×10−19 87.7 cm, R2 =√

M2

M1 85.2 cm.

L1 40.7 cm, L2 40.1 cm et ∆L 0.6 cm.

6. L est une fonction de R, qui varie si la vitesse initiale varie, et qui depend de lamasse des ions. Comparee a la vitesse acquise sous l’effet de la ddp, δv0 est tres

petit, et vaut environ√

kBTM ; par ailleurs, la difference relative de masse ∆M

M est

elle-meme assez petite (M1∼M2∼M). S’agissant par ailleurs de trouver des ordresde grandeur, il est licite de raisonner par differentiation.

Partant de L =√

h(2Ri − h), on trouve δL = hLδR. La variation δv0 donne une

variation δ1L hL

Mδv0

|q|B ; ∆M donne la variation δ2L hL

∆Mv0

|q|B . On veut δ1Lδ2L,

soit Mδv0v0∆M , ou encore√MkBT

√2|q|UM ∆M , soit :

kBT |q|U(∆M

M

)2

,

condition qui est toujours tres largement satisfaite dans les conditions de l’expe-

rience puisque kBT ∼ 85meV≪ |q|U∼ quelques kV et(∆MM

)23× 10−3.

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1.7 Le spectrometre de Bainbridge

La figure 1.11 donne le schema d’un spectrographe de masse du a Bainbridge. Une sourceemet des ions positifs (masse M , charge q) dont le module de la vitesse initiale, v, est repartisur un grand intervalle. Ces ions sont injectes a travers la fente S1 dans une enceinte a videhaute et etroite, ou existent d’une part un champ electrique E cree par deux plaques P et P’paralleles distantes de d et portees a des potentiels differents (V = VP−VP′ > 0), et d’autrepart un champ magnetique uniforme de module B, perpendiculaire au plan de la figure etpointant vers le lecteur. La vitesse initiale v est parallele a l’axe S1S2.

Figure 1.11: Schema du spectro de masse de Bainbridge.

1. A l’aide d’un dessin, donner les directions des deux forces (electrique et magnetique)agissant sur un ion situe dans l’enceinte.

2. Quel est le module de la force resultante ?

3. B et v etant fixes, montrer que l’on peut ajuster la ddp V de sorte qu’un ion ayantcette vitesse ne subisse aucune deviation dans l’enceinte.

4. Quelle est la vitesse v0 des ions issus de la fente S2 ?

A.N. : V = 100V, d = 2 cm, B = 1T.

5. Dans la region situee au-dessous du plan de trace xx′ existe un champ magnetiqueuniforme B ′ dirige comme indique. Dessiner la trajectoire d’un ion. Quelle est l’ex-pression du rayon de celle-ci, en fonction de q, M , v0 et B′ ?

A. N. : trouver la valeur approximative de R sachant que les ions constituent unmelange isotopique de 37Cl+ et de 35Cl+ et que B′ = 10−3 T.

6. Dessiner deux trajectoires pour deux ions de meme charge et de masses M1 et M2

(M1 < M2).

7. Soit ∆l = 1mm la resolution lineaire de la plaque sensible (voir figure 1.11). Quelleest la condition sur B′ assurant que l’on peut separer les impacts de deux ions dont la

1 EXMEQUAN_2015.indb 18 24/09/15 14:53

1.8 La force d’Abraham – Lorentz

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1.8. La force d’Abraham - Lorentz 19

difference des masses est ∆M ? Peut-on separer les isotopes du chlore avec la valeurde B′ choisie en 5 ?

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1. Les deux forces sont horizontales, la force magnetique est dirigee vers la gauche, laforce electrique vers la droite.

2. Le module de la force resultante est |q(E − vB)| = q|Vd − vB|.

3. Un ion de vitesse v n’est pas devie dans l’enceinte si V = qdB.

4. v0 = VdB = 100

2×10−2 m/s = 5 km/s.

5. Dans la region situee au-dessous du plan de trace xx′, la trajectoire d’un ion est

un demi-cercle de rayon R = Mv0

qB′ = 36×10−3×5×103

1.6×10−19×6×1023×10−3 1.87m.

6. Les deux trajectoires pour deux ions de meme charge et de masses M1 et M2(M1<M2) sont tracees sur la figure 1.12

Figure 1.12: Trajectoires circulaires de deux ions apres selection de vitesse.

7. On a 2∆R = 2∆Mv0

qB′ . Pour que cette distance soit superieure a ∆l, il faut que

B′ soit plus petit que 2∆Mv0

qδl

def= B′

max 0.25T ; avec la valeur indiquee en 5., la

separation des deux types d’impact est tres nette.

Remarque

Le chlore est tres electronegatif et acquiert la structure de l’argon en fixant unelectron et devenant un ion Cl−. On peut neanmoins facilement fabriquer et mani-puler des ions Cl+ en s’assurant de l’absence d’electrons baladeurs.

1.8 La force d’Abraham - Lorentz

La force de freinage Frad ecrite en (I-1.30) est conceptuellement pathologique, comme lemontre l’analyse qui suit. En reprenant les notations de la section 1.5, Tome I, l’equation

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d’Abraham - Lorentz pour une particule de charge e et de masse m soumise a une force10 Fest (v ≡ r ) :

mv = mτv + F ; (1.8)

ou le temps τ 6.4 × 10−24 s est defini en (I-1.22). Comme deja mentionne, une premierebizarrerie de cette equation est l’apparition d’une derivee troisieme de la position de la par-ticule (definie par le rayon-vecteur r), censee representer l’effet du freinage par rayonnement.De surcroıt, la perturbation du mouvement provoquee par cet effet est fondamentalementsinguliere, au sens ou elle modifie l’ordre de l’equation differentielle du mouvement, lequelpasse de 2 a 3 des que la charge est non-nulle. En fait, c’est bien parce que le petit parametreest en facteur de la plus haute derivee que la perturbation est dite singuliere, par definition11.

Ces avertissements etant donnes, il s’agit maintenant d’examiner les consequences del’equation (1.8) telle qu’elle est, precisement pour bien mettre en evidence les tres gravesdifficultes de fond qu’elle souleve.

1. En utilisant la methode connue pour integrer une equation differentielle telle que (1.8),

ecrire l’expression generale de l’acceleration v(t), supposant connue l’acceleration a un

certain instant t0, v(t0).

2. En examinant le cas particulier F =0, montrer que cette solution est aberrante physi-quement.

3. Revenant a la solution generale obtenue en 1 dans le cas F = 0, montrer que l’onpeut formellement eliminer les solutions divergentes par un choix convenable de t0.Commenter ce choix – qui, sur le plan technique, exprime une condition aux limitesplutot qu’une condition initiale.

4. En deduire l’expression regularisee de la solution obtenue en 1. Revenant un cranen arriere et en analysant le noyau integral figurant dans cette expression, verifierque l’equation du mouvement redonne bien, dans la limite de charge nulle, l’equationordinaire de la dynamique.

5. Afin d’exhiber clairement la violation annoncee d’un grand principe physique, effectuerun changement de variable d’integration tres simple pour obtenir :

v(t) =1

m

∫ +∞

0

e−s F (t+ τs) ds . (1.9)

Commenter cette derniere equation et montrer qu’un principe physique y est viole.

10Dans le modele de Thomson, cette force n’est autre que −mω20r, voir (I-1.31).

11Le meme phenomene se produit pour l’equation aux valeurs propres de Schrodinger, ou c’est cettefois la constante de Planck qui est en facteur de la plus haute derivee. Il existe un traitement perturbatifspecifique pour ce genre de question, appele methode BKW (ou WKB) dans le contexte quantique (voirchapitre 9).

1 EXMEQUAN_2015.indb 20 24/09/15 14:53

1.8 La force d’Abraham – Lorentz

21

1.8. La force d’Abraham - Lorentz 21

6. Afin de mettre en evidence cette violation de facon encore plus spectaculaire, traiter lecas d’une particule de vitesse nulle en t = −∞ et soumise a une force echelon :

F (t) =

0 si t < 0F0 si t > 0

. (1.10)

Resumer ces resultats en tracant la variation en fonction du temps de l’acceleration etde la vitesse. Noter que la particule se met en mouvement. . . avant l’application dela force12 !

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

L’equation d’Abraham - Lorentz pour une particule de charge e et de masse m

soumise a une force F est (v ≡ r ) :

mv = mτv + F ,

ou τ 6.4 × 10−24 s est le seul temps que l’on peut fabriquer avec m, e et la vitessede la lumiere c. Tres schematiquement, c’est le temps mis par la lumiere pour parcourir

la distance e′2

mc2 , longtemps consideree comme etant l’ordre de grandeur du rayon del’electron (qui est en fait ponctuel).

1. L’equation a resoudre est v − 1τ v = − 1

mτF , dont la solution, generale est :

v(t) = v (t0) et−t0

τ − 1

mτ

∫ t

t0

et−t′τ F (t′) dt′ (1.11)

2. Si F = 0, l’expression (1.11) montre clairement que l’acceleration diverge exponen-tiellement aux grands temps.

3. On peut formellement eliminer les solutions divergentes en prenant t0 = +∞. Ils’agit d’une condition aux limites qui elimine de fait la “condition initiale”.

4. En faisant t0 = +∞ dans (1.11) :

v(t) =1

m

∫ +∞

t

1

τe

t−t′τ F (t′) dt′ ≡ 1

m

∫ +∞

t

K(t− t′)F (t′) dt′ . (1.12)

Toutes les solutions de (1.12) sont aussi solutions de (1.11), mais (1.12) n’introduitpas de solutions aberrantes : en ce sens, il s’agit de la forme regularisee de (1.11),et ce d’autant plus que la limite de charge nulle reproduit bien l’EFD.

En effet, dans la limite e→ 0, le temps τ tend vers zero et le noyau K(t − t′) secomporte comme une fonction de Dirac (voir chapitre 12, sous-section 12.2.3) ; on

obtient alors v(t) = 1mF (t).

12Un phenomene inacceptable, que l’on appelle parfois preacceleration d’une particule chargee...

1 EXMEQUAN_2015.indb 21 24/09/15 14:53


22


5. Il est deja visible sur (1.12) que l’acceleration a l’instant t depend des valeurs dela force a des instants ulterieurs : cette equation viole le Principe de causalite. Lechangement de variable suggere met ceci en lumiere ; on obtient la forme :

v(t) =1

m

∫ +∞

0

e−s F (t+ τs) ds

6. Avec une force echelon :

t < 0 : v(t) =1

mτ

∫ +∞

0

et−t′τ F0 dt

′ =1

mF0 e

tτ ,

t > 0 : v(t) =1

mτ

∫ +∞

t

et−t′τ F0 dt

′ =1

mF0 .

Pour en savoir plus sur ce sujet, voir le livre de Jackson [7].

Figure 1.13: Preaccelereration d’une particule chargee : la particule se met en mouvement. . . avant l’application a t = 0 de la force constante !

1.9 Duree de vie de l’atome de Jean Perrin

Il s’agit de developper un argument semi-quantitatif illustrant l’instabilite electrodynamique del’atome selon Jean Perrin [8]. Dans ce modele, l’electron (masse m, charge e) tourne autourdu noyau de charge |e| suppose fixe et, d’un point de vue strictement mecanique, reste enequilibre sur sa trajectoire grace a l’attraction electrostatique du noyau. A un instant donne,l’electron se trouve a la distance r de ce dernier et le module de sa vitesse est v.

1. L’acceleration centrale a pour expression v2

r ; ecrire la relation entre acceleration etforce et en deduire que la quantite mv2r est une constante du mouvement.

2. Soit T la periode du mouvement circulaire uniforme de rayon r ; donner l’expressionde T en fonction de r, re (rayon classique de l’electron) et c (vitesse de la lumiere).

3. Ecrire l’expression de l’energie mecanique totale de l’electron, E.

4. Donner une expression de E ne faisant intervenir que e′2 et r. La tracer en fonctionde r.

1 EXMEQUAN_2015.indb 22 24/09/15 14:53

1.9 Durée de vie de l’atome de Jean Perrin

23

1.9. Duree de vie de l’atome de Jean Perrin 23

5. En deduire la variation d’energie dE lorsque r varie de dr.

6. La puissance rayonnee par l’electron accelere est :

P =2e′ 2

3 c3v 2 (e′2 =

e2

4πε0) . (1.13)

En assimilant v 2 et le module carre de l’acceleration centrale, montrer que la deriveede r est donnee par :

r =K

r2. (1.14)

Preciser la constante K en fonction de c et de re.

7. En deduire la valeur de r a l’instant t, r(t), connaissant sa valeur initiale r0. Donnerl’expression du temps τ au bout duquel la distance au noyau a ete divisee par 21/3.Calculer numeriquement τ avec r0 = 3 A.

8. Comparer τ et la periode T0 calculee avec r0. Avec un dessin, donner l’allure de latrajectoire de l’electron.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. m v2

r = e′2

r2 donne mv2r = e′2.

2. T = 2πRv , re =

e′2

mc2 , d’ou T = 2πrc

√rre.

3. E = 12mv2 − e′2

r .

4. E = 12r (mv2r)− e′2

r = − e′2

2r . E tend vers −∞ si r → 0. . .

5. dE = e′2

2r2 dr.

6. L’assimilation recommandee dans l’enonce donne P= 2e′ 2

3 c3

(v2

r

)2= 2e′ 2

3 c3

(e′2

mr2

)2. Par

ailleurs P=−dEdt =− e′2

2r2 r d’ou r=− 4r2ec3r2 .

7. r2r=− 43r

2ec donne par integration r(t)=(r3(0)− 4r2ect)

1/3. Le temps τ est tel que

4r2ecτ=12r

3(0), d’ou τ=r30

8r2ec. Comme re3F=3× 10−5 A, on trouve τ×10−9 s.

8. Comme τT0∼2×10−16 s, la trajectoire de l’electron est une spirale tres “dense” :au debut du mouvement, d’un tour a l’autre, la variation de la distance electron -

noyau est δr∼− 4r2ec

r20T ∼−2× 10−7 A.

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physique24 Chapitre 1. Introduction

1 EXMEQUAN_2015.indb 24 24/09/15 14:53

25

physiqueChapitre 2

La radioactivité

Chapitre 2

La radioactivite

“On peut se demander si l’humanite a avantagea connaıtre les secrets de la nature,

si elle est mure pour en profiter ou sicette connaissance ne sera pas nuisible.” [9]

(Pierre CURIE, 1859–1906)

2.1 La radioactivite a l’hopital

On injecte dans le sang d’un malade un volume v0 = 1 cm3 d’une solution contenant l’isotoperadioactif 24Na, dont l’activite est a0 = 2000 s−1. Au bout de ∆t = 5 heures, l’activite de1 cm3 de sang est egale a a = 16mn−1. La periode du 24Na est egale a 15 heures.

En deduire le volume de sang du malade.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

Peu apres l’injection, le marqueur ayant diffuse dans l’organisme du patient,l’activite d’un cm3 de sang est v0

V a0. L’activite a(t) varie comme v0

V a0e−λt, d’ou :

a(∆t) =v0V

a0 e− ln 2 ∆t

T .

Le volume V de sang du malade est donc :

Vcm3 = 1× 2000

(16/60)e− ln 2 5

15 5 950 cm3 6 litres .

2.2 Loi de declin radioactif

1. L’isotope 213Po se desintegre en emettant une particule α dont l’energie Eα est egalea 8.34MeV. Trouver l’energie totale ∆E liberee par cette desintegration.

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physiqueChapitre 2 La radioactivité

26

26 Chapitre 2. La radioactivite

2. La photographie ci-dessous represente les trajectoires dans une chambre a bulles desparticules X emises par une source radioactive. Pouvez-vous identifier X ?

Figure 2.1: Photographie des traces de la particule a identifier

3. Montrer que la loi de declin radioactif peut se mettre sous la forme :

N(t) = N0 2−t/T , (2.1)

ou T designe la periode. Un echantillon de 214Pb (periode = 3.05 minutes) emetinitialement 352 particules β par seconde. Au bout de combien de temps l’activitesera-t-elle egale a 10 par seconde ?

4. Un noyau de plutonium 239Pu (periode = 24 000 ans) se desintegre en emettant uneparticule α d’energie Eα = 5.3MeV. Trouver la quantite de chaleur produite en uneannee par 1 cm3 de 239Pu, sans tenir compte des produits d’une telle desintegration.La densite du plutonium est ρ = 19 g/cm

3 ; 1 cal = 4.18 J.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. L’isotope 213Po se desintegre en emettant une particule α et devient un noyau de209Pb. L’energie totale liberee est la somme de l’energie de la particule α et del’energie de recul Erecul du noyau-fils. Si M est la masse de ce dernier, V sa vitesse,

on a mαvα+MV = 0, d’ou Erecul =12M

(mα

M vα)2. L’energie totale ∆E liberee par

la reaction est donc 12mαv

2α

(1 + mα

M

), soit 8.34× 213

209 8.5 MeV.

2. La photographie montre clairement que toutes les particules parcourent la memedistance, a de tres petites fluctuations pres. Selon les explications fournies Tome I,p. 37, il s’agit donc de particules α.

3. Par definition de la periode radioactive T , on a N(T ) = N0

2 , d’ou e−λT = 12 , soit

e−λt≡ (e−λT )t/T =(12

)t/T= 2−t/T . L’intervalle de temps t1 au bout duquel l’acti-

vite de l’echantillon est passee de 352 s−1 a 10mn−1 est donc tel que :

t1T

=ln(60× 352/10)

ln 2 11 ⇐⇒ t1 33mn

01 EXMEQUAN_2015.indd 26 2/10/15 09:15

2.4 Chaînes radioactives

27

2.3. Mesure du nombre d’Avogadro 27

4. 1 cm3 de 239Pu a une masse de 19 g ; au depart, il y a donc N0 = 19239 N noyaux

actifs ; la population a l’instant t est N(t) = N0 e−λt.

Comme 1 an 24 000 ans, le nombre de desintegrations, N0(1 − e−λt) est a (tres)peu presN0λt, soit

19239 N ln 2 t

T ; chaque desintegration fournit l’energie Eα. L’ener-gie liberee au bout d’un an est donc :

19

239× 6× 1023 × 0.693

1

24 000× 5.3× 1.6× 10−19 × 106 J 1 170 kJ 280 kcal .

2.3 Mesure du nombre d’Avogadro

Une source radioactive emettant de facon isotrope un rayonnement α est situee a la distanceD = 2m d’un detecteur muni d’une fenetre circulaire F de rayon r = 1 cm ; l’activite de lasource est A = 1.25× 1017 s−1 (voir figure 2.2).

En n = 30 jours1, on recueille dans l’enceinte du detecteur un volume v d’helium egala 70mm3 (mesure dans les conditions normales). Donner l’expression du nombre d’Avogadro,N , en fonction de A, D, r, n, v et V0 = 22, 4 litres, et le calculer numeriquement.

Figure 2.2: Schema de l’experience permettant de trouver N par etude d’une sourceradioactive.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

Le nombre de particules α rentrant dans le detecteur par seconde est πr2

4πD2 A ; le

nombre recu en n jours est donc 86 400n r2

4D2 A. Chaque particule α donne un atomed’helium apres recombinaison ; par reference avec le volume molaire normal V0, on a

donc vV0N = 86 400n r2

4D2 A, d’ou N = 86 400n 22.4×10−3

(70×10−3)3r2

4D2 A :

N = 86 400nV0

v

r2

4D2A 6.5× 1023

2.4 Chaınes radioactives

1. Soit la suite de reactions nucleaires A→B→C ou C est un isotope stable. λA etλB sont les constantes relatives a A et B, NA(t) et NB(t) les nombres de noyauxnon-desintegres a l’instant t.

1La duree de la mesure est tres petite par rapport a la periode de la source.

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28


(a) Trouver NA(t) et NB(t) sachant qu’a l’instant pris comme origine, seule l’especeA est presente en nombre egal a NA0. A quel instant tmax NB est-il maximum ?

(b) Examiner en detail les cas particuliers :

i. λA < λB mais du meme ordre de grandeur ; montrer en particulier qu’il existeun equilibre transitoire ou λANA = λBNB ;

ii. λA λB (exemple : A est de l’uranium 238U, TA = 4, 5 × 109 ans, B estdu thorium 234Th, TB = 24 jours) ; une telle situation conduit a ce qui estappele l’equilibre seculaire ;

iii. λA λB.

(c) On suppose que λA < λB. Montrer qu’au bout d’un certain temps (a preciser),le rapport NA

NBest quasiment constant.

(d) Calculer tmax dans le cas ou : A est du polonium 21884 Po, periode = 3mn (RaA) ;

B est l’isotope 21482 Po, periode = 27mn (RaB). Comment s’appelle la radioactivite

engendrant B ? Identifier C sachant que B se desintegre suivant la radioactivite β.

2. Au bout d’une suite de reactions (filiation radioactive), l’uranium 238 fournit du plomb206 :

23892 U → ?? → ??. . . → 206

82 Pb

ou tous les ?? ont une periode tres courte par rapport a celle de l’uranium. Un echan-tillon de 1 g de granite contient 0, 16µg de 238 U et 0.13µg de 206 Pb. Estimer l’agedu minerai (TU = 4, 5milliards d’annees).

3. Une source radioactive contient initialement N0 noyaux excites. La probabilite pourqu’un noyau excite a t = 0 soit encore excite a l’instant t est p(t) = e−λt. Soit Pn(t)la probabilite pour qu’il y ait n noyaux survivants a l’instant t (0 ≤ n ≤ N0) ; on a :

Pn(t) = CnN0

[p(t)]n[1− p(t)]

N0−n (loi binomiale) . (2.2)

(a) Trouver 〈N〉(t), valeur moyenne2 du nombre de survivants a l’instant t.

(b) Trouver l’ecart ∆N(t) =√〈N2〉(t)− [〈N〉(t)]2 et analyser le comportement du

rapport ∆N〈N〉 pour t λ−1 et t λ−1.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. Il s’agit de l’exemple le plus elementaire de filiation radioactive qui, malgre sasimplicite, est assez riche pour permettre la mise en evidence de differents regimesde grande importance en pratique.

2ou : esperance mathematique.

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2.4 Chaînes radioactives

29

2.4. Chaınes radioactives 29

(a) La dynamique des populations est decrite par un systeme d’equations differen-tielles que l’on obtient en faisant le bilan de ce qui se passe entre deux instantst et t + δt aussi voisins que l’on veut. On a d’abord δNA(t) = −(λAδt)NA,puis δNB(t) = +(λAδt)NA − (λBδt)NB : le terme positif au second membrecorrespond aux A qui se sont desintegres pour donner des B, le second termedecrivant l’extinction des B qui produisent des C. Pour les memes raisons, ona enfin δNC(t) = +(λBδt)NB.Chaque facteur (λIδt) represente la probabilite de reaction de l’espece I entreles deux instants ; les variations des nombres NI en resultent, pourvu que l’onassimile les nombres d’individus avec leurs valeurs moyennes, en s’appuyantsur une loi des grands nombres3. En divisant par δt et en prenant la limiteδt → 0, on en deduit le systeme differentiel :

dNA

dt= −λANA

dNB

dt= λANA − λBNB

dNC

dt= +λBNB

la somme des trois NI(t) est bien constante, comme il se doit (elle vaut NA0).Avec la condition initiale prescrite (a l’instant pris comme origine, seule l’es-pece A est presente), on en deduit d’abord NA(t) = NA0 e

−λAt, puis :

NB(t) =λA

λB − λANA0 (e

−λAt − e−λBt) . (2.3)

NB(t) part de zero lineairement, NB(t) λAtNA0, puis passe par un maxi-mum a l’instant tmax = 1

λB−λAln λB

λAet finalement decroıt exponentiellement

aux grands temps. Enfin :

NC(t) =1

λB − λANA0 [λB(1− e−λAt)− λA(1− e−λBt)] . (2.4)

NC(t) demarre quadratiquement et tend vers NA0. On a aussi :

NB

NA=

λA

λB − λA[1− e−(λB−λA)t] ,

NC

NA= eλAt − λB − λAe

(λA−λB)t

λB − λA. (2.5)

(b) Cas particuliers :

i. λA λBL’equilibre transitoire correspond a λANA = λBNB et survient strictementa tmax ; c’est a ce moment que l’activite de B est maximum.

ii. λA λB

Tant que t λ−1A (qui est donc un temps geologique) :

NB

NA0 λA

λB(1− e−λBt) ,

le rapport NB

NA0exhibe un tres long plateau pour t λ−1

B : c’est l’equilibre

seculaire (puisqu’il dure pendant des siecles) – voir figure 2.3 –, ou NB

NA0

est pratiquement constant et egal a λA

λB.

3Comme discute dans le Tome I, les NI sont en realite les valeurs moyennes des variables aleatoiresmesurant les populations de chaque espece a l’instant considere – voir section 2.2.

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30


Figure 2.3: Variation du rapport NB

NA0dans le cas λA λB, montrant le plateau carac-

teristique de l’equilibre seculaire ; avec le choix de λB, le temps en abscisse est en secondes.

iii. λA λB Dans ce cas, la population de B monte tres vite sur une echellede temps λ−1

A , avant de decliner a l’echelle λ−1B : on a a peine le temps de

voir A qui disparaıt tres vite.

(c) L’expression (2.5) montre que quand t 1λB−λA

, le rapport NB

NAa quasiment

atteint sa valeur finale et vaut a peu pres λA

λB−λA.

(d) tmax = 1ln 2

11

TA− 1

TB

ln TA

TB; si A est du polonium 218

84Po, et B l’isotope 21482Po,

tmax = 1ln 2

3×273−27 ln

327 10, 7 mn 10 mn 42 s.

La radioactivite engendrant B est du type α. Le nombre de charge de C estZ = 82 + 1 = 83, c’est du bismuth (plus precisement, c’est l’isotope 214

83Bi).

2. L’uranium 238 joue le role de A de l’exercice precedent, le plomb 206 celui de C,tous les ??? sont rassembles dans B ; on est dans le cas λB λA. A l’instantdu dosage, les nombres de noyaux d’uranium et de plomb sont respectivement

NU = 0,16×10−6

238 N et NPb = 0,13×10−6

206 N ; leur rapport est donc 13×23816×206 0, 94.

Selon (2.4), avec λA ≡ λU λB ≡ λ???, on a approximativement :

NPb 1

λ???NU0[λ???(1− e−λUt)] ⇐⇒ NPb(t)

NU(t) eλUt − 1 ,

soit eλUt = 1.94 et t = ln 1.94ln 2 TU 4.3 milliards d’annees.

3. On retrouve la loi binomiale rencontree a propos de la marche de l’ivrogne (voirp. 8). Les calculs se transposent immediatement, et on trouve :

(a) 〈N〉(t)=N0 e−λt, qui est l’esperance mathematique du nombre de survivants

a l’instant t ;

(b) ecart ∆N(t)=√N0e−λt(1− e−λt). Le rapport ∆N

〈N〉 vaut donc N− 1

20

√eλt − 1,

soit a peu presN− 1

20

√λt pour tλ−1, et environN

− 12

0 e+λt/2 pour tλ−1 : lesfluctuations relatives divergent toujours aux grands temps, d’ou la possibilitede bouffees dangereuses, meme avec une tres vieille source.

01 EXMEQUAN_2015.indd 30 2/10/15 09:15

31

2.5 Longueur de parcours d’une particule α dans l’air2.5. Longueur de parcours d’une particule α dans l’air 31

2.5 Longueur de parcours d’une particule α dans l’air

Des particules α non-relativistes, d’energie initiale E0 et de vitesse initiale v0, sont emises parune source radioactive et perdent peu a peu leur energie par interaction avec les moleculesd’air, tout en ayant une trajectoire rectiligne. Le mecanisme principal responsable de cetteperte graduelle d’energie est l’ionisation des molecules d’air (et donc la creation de pairesd’ions de charges opposees) ; chaque ionisation coute l’energie EI. On designe par n la den-site4 de l’air (dans les conditions normales) et par σ la section efficace totale d’ionisation ; σdepend de la vitesse v de la particule α.

1. Exprimer, pour une particule α, le nombre d’ionisations dNi entre t et t+dt en fonctionde v, n, σ et dt.

2. En deduire la perte d’energie dE de la particule α entre ces deux instants et etablirl’equation differentielle satisfaite par la vitesse v(t) (on posera k = nEI

M , M designantla masse d’une α).

3. On suppose que σ est de la forme : σ = avβ ou a et β sont des parametres. Donnerl’expression de la vitesse a l’instant t (on prendra t = 0 quand v = v0) et situerl’exposant β par rapport a 1.

4. Soit t1 l’instant ou la vitesse s’annule. Exprimer t1 en fonction de v0, β, a et k.

5. En deduire, en fonction des memes variables, la distance l parcourue par une particuleα avant d’etre stoppee (thermalisee, plutot).

6. On trouve experimentalement : l = Av30 ou A est une constante ; en deduire l’exposantβ et l’expression de v(t) en fonction de A, v0, et t.

7. Tracer le graphe de la section efficace en fonction de la vitesse et commenter. Calculernumeriquement σ(v0).

8. Soit t 12l’instant auquel une α a parcouru la distance l

2 . Donner l’expression de t 12.

9. Exprimer a l’aide du rapport E0

EIle nombre de paires d’ions creees sur la premiere moitie

du parcours d’une particule α.

Valeurs numeriques : A = 0.98 10−27 pour l en cm et v0 en cm/s, E0 = 7MeV,EI = 34 eV, Mc2 = 3744MeV. Volume molaire dans les conditions normales : 22.4 l.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

1. Pour une α incidente dans le milieu ambiant contenant n molecules ou atomesjouant le role de cibles (diluees) par unite de volume, le nombre de collisions estdNi = (1× v)nσdt.

4C’est-a-dire le nombre de molecules par unite de volume.

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32


2. dE = −EIvnσdt ; dE est aussi egal a Mv dvdt , d’ou l’equation differentielle satisfaite

par la vitesse dvdt = −kσ ou k = nEI

M . Comme dit dans l’enonce, σ est une fonctionde la vitesse de la particule α.

3. Avec l’hypothese σ = avβ , l’integration de l’equation differentielle donne :

v(t) = v0

[1− (1− β)ka vβ−1

0 t] 1

1−β

(2.6)

Si β > 1, la vitesse s’annule seulement a l’infini ; or on sait que les α “s’arretent” (enfait : sont thermalisees) au bout d’un temps fini, apres avoir parcouru une distancefinie, presque parfaitement determinee (au sens ou leurs fluctuations statistiquessont tres petites). L’hypothese sur σ n’est donc physiquement sensee que si β < 1.

Figure 2.4: Variation de la vitesse de la particule α en fonction du temps pour quelquesvaleurs de l’exposant β. La courbe de gauche, β =−1, est celle que l’on deduit ici desdonnees experimentales.

4. La vitesse s’annule a l’instant t1 =v1−β0

(1−β)ka .

5. La distance l parcourue est egale a∫ t10

v(t) dt ; le calcul de l’integrale avec l’expres-

sion (2.6) donne l =(1−β)v2−β

0

(2−β)ka .

6. Du resultat experimental l = Av30 , on deduit :

β = −1 A =1

3akv(t) =

√v20 −

2t

3A(2.7)

La vitesse initiale v0 est egale a c√

2×73744 1.7×107 m/s, d’ou la distane parcourue

l = 0.98× 10−23(1.7×105)3 0.05m=5 cm.

7. σ(v) ∝ 1v : plus la vitesse est petite, plus la particule α a le temps d’interagir avec

une molecule donnee, et donc plus la probabilite d’ionisation de celle-ci est elevee.

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2.6 Résolution de l’équation (I-2.15) par la transformation de Laplace

33

2.6. Resolution de l’equation (I-2.15) par la transformation de Laplace 33

Avec a = 13kA , on a σ(v0) = 1

3kAv0= 1

3nEIM Av0

; en traitant l’air comme un gaz

parfait5 (PV = NkBT ), n = PkBT , on obtient l’expression de σ(v0) :

σ(v0) =1

3P

kBT EI

M Av0

=kBT

EI

M

3AP√

2E0

M

;

l’application numerique dans les conditions normales donne :

σ(v0) =0.025

34

4×1.67×10−27

3 0.98×10−231.013×105 3×108√

143 744

9× 10−20 m2 ,

soit σ(v0) 9 A2, de l’ordre du carre d’une longueur atomique.

8. Par integration de la vitesse v(t), la distance parcourue par la particule α depuis

son emission est x(t)=A[v30 −

(v20 − 2t

3A

)3/2]; elle vaut l

2 lorsque t= t 12, d’ou l’on

tire t 12=

v20

2ak (1−1

22/3)=

3Av20

2 (1− 122/3

)1.6×10−9 s.

9. Le nombre de paires d’ions creees sur la premiere moitie du parcours d’une particule

α estE0−E(t1/2)

EI; E(t1/2) =

12Mv2(t1/2) =

12Mv20

122/3

, d’ou N1/2 = (1 − 122/3

) E0

EI

soit N1/2 0.36 E0

EI: sur la premiere moitie de son parcours, la particule α cree

moins de la moitie du total des ionisations, puisque sa vitesse est alors elevee etque la section efficace est petite si la vitesse est grande.

On retiendra que le nombre de paires d’ions creees est de l’ordre de 105 : si cenombre N est une variable essentiellement aleatoire, ses fluctuations (relatives)sont tres faibles (elles sont ∼ N−1/2) ; c’est la raison pour laquelle la distance deparcours d’une particule α est presque certaine6.

2.6 Resolution de l’equation (I-2.15) par la transfor-mation de Laplace

Cet exercice est purement technique, et constitue un exemple simple de resolution d’uneequation aux derivees partielles utilisant la transformation de Laplace7, qui transforme celle-ci en simple equation differentielle. Soit :

F (z, s)def=

∫ +∞

0

e−zt f(t, s) dt , (2.8)

f(t, s) etant la fonction generatrice des probabilites definie en (I-2.14).

5ou en ecrivant n= N22.4×10−3 .

6Il en va de meme de la duree de parcours en voiture en ville, a condition que la distance a parcourirsoit assez grande.

7Voir [3], chapitre 9.

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34


1. Combien vaut f(t, 1) ?

2. En deduire F (z, 1).

3. La condition initiale est f(0, s) = sN0 ; ecrire l’equation differentielle satisfaite par latransformee de Laplace F (z, s).

4. Trouver l’expression de la solution generale de cette equation.

5. Fixer la constante d’integration en utilisant l’expression de F (z, 1) obtenue en 1.

6. Effectuer la transformation de Laplace inverse pour retrouver l’expression (I-2.17) def(t, s).

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

La definition (I-2.14) de f(t, s) montre bien qu’il s’agit d’un polynome en s dedegre N0.

1. Par definition f(t, 1) est la somme des probabilites et vaut donc 1.

2. F (z, 1) =∫ +∞0

e−zt dt = 1z .

3. On sait que si f(t) a pour transformee de Laplace F (z), la transformee de Laplacede la derivee f ′(t) est egale a zF (z) − f(0). En utilisant ce resultat, l’equation

transformee satisfaite par F (z, s) est zF (z, s)− sN0 = λ(1− s)L[∂f∂s

]. On voit sur

(2.8) que L[∂f∂s ] =∂F∂s , d’ou l’equation differentielle satisfaite par F (z, s) :

∂F

∂s− z

λ(1− s)F (z, s) = − sN0

λ(1− s). (2.9)

4. Cette equation est une equation differentielle (par rapport a la variable s), dupremier ordre, lineaire et inhomogene. La solution generale de l’equation homogeneest proportionnelle a (1 − s)−z/λ. Afin de “faire varier la constante”, on poseF (z, s) = A(s, z) (1− s)−z/λ, d’ou l’equation pour la fonction A :

∂A

∂s= −sN0

λ(1− s)(z/λ)−1 .

Pour resoudre commodement cette equation, introduisons une autre fonction B par

B(σ = 1− s, z)def= A(s, z) ; B(σ, z) satisfait l’equation :

−∂B

∂σ= − (1− σ)N0

λσ(z/λ)−1 .

En developpant le binome et en integrant membre a membre, on en deduit :

B(σ, z) =

N0∑n=0

CnN0

(−1)n

z + nλσn+ z

λ +K(z) ,

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2.6 Résolution de l’équation (I-2.15) par la transformation de Laplace

35

2.6. Resolution de l’equation (I-2.15) par la transformation de Laplace 35

ou K(z) est une constante d’integration, d’ou, revenant a A(s, z) puis a F (z, s) :

F (z, s) =

N0∑n=0

CnN0

(−1)n

z + nλ(1− s)n +K(z)(1− s)−z/λ . (2.10)

5. La fonction F (z, s) est analytique en s (c’est un polynome !), et analytique danstout le demi-plan z > 0, eu egard a sa definition integrale (2.8). On sait queF (z, s = 1) = 1

z ; c’est aussi la valeur de la sommation au second membre de (2.10)pour s = 1 ; il faut donc :

lims→1

[K(z)(1− s)−z/λ] = 0 ∀z > 0 ;

ceci n’est possible, quel que soit z a partie reelle positive, que si K(z) ≡ 0, ceque l’on aurait pu prevoir puisque F (z, s) est un polynome de degre N0 en s. Endefinitive :

F (z, s) =

N0∑n=0

CnN0

(−1)n

z + nλ(1− s)n

6. La transformation de Laplace inverse effectuee terme a terme sur cette expressionde F (z, s) donne8 f(t, s) :

f(t, s) =

N0∑n=0

CnN0

(−1)n e−nλt (1− s)n ≡ [1− (1− s)e−λt]N0 ,

qui est bien l’expression donnee en (I-2.17).

8L−1[

1z+z0

]= e−z0t.

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physique36 Chapitre 2. La radioactivite

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37

physiqueChapitre 3

Les expériences de Rutherford

Chapitre 3

Les experiences de Rutherford

“The vortex theory [of the atom] is only a dream.Itself unproven, it can prove nothing,and any speculations founded upon it

are mere dreams about dreams.”

(William THOMSON (Lord Kelvin), 1824–1907)

3.1 Ordres de grandeur

1. Une particule α d’energie Eα = 0.27MeV est diffusee a 60 o par une feuille d’or. Quelest le parametre d’impact, b ?

2. Lors d’une collision frontale (parametre d’impact nul), trouver la distance minimaled’approche, dmin, entre un noyau (initialement immobile) de la cible et une particuleα d’energie initiale Eα = 0.4MeV selon que :

(a) la cible est du plomb metallique (ZPb = 82),

(b) la cible est du lithium gazeux 7Li (ZLi = 3).

3. Sachant que le rayon du noyau est de quelques Fermi (1 F= 10−15 m), au-dela dequelle energie incidente E0 le calcul de Rutherford devient-il insuffisant (raisonner dansle cas d’une collision frontale) ?

4. Des particules α d’energie Eα = 6MeV sont diffusees par une feuille d’or d’epaisseurl. Soit ε la fraction de particules diffusees sous un angle θ superieur a θ0. Trouverl’expression de l et faire l’application numerique.

ρAu = 19 g/cm3, ZAu = 79, MAu = 197 g, N 6× 1023, θ0 = 60o, ε = 2× 10−5.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

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physiqueChapitre 3 Les expériences de Rutherford

38

38 Chapitre 3. Les experiences de Rutherford

1. On sait que tan θ2 = qQ

4πε0b1

2E0(voir (I-3.37)), d’ou b = e2

4πε0ZAu

E0 tan θ2

, soit :

b = (1.6× 10−19)2 × 9× 10979

0.27× 106 × 1.6× 10−19 × 1√3

730F .

2. Si la cible (de nombre de charge Z) est rigidement liee a un systeme de masseinfinie, elle reste immobile. La conservation de l’energie n’implique alors que le

projectile (de masse m, de vitesse initiale v0) et s’ecrit E0 = 12mv2 + 2Ze′2

r . Aupoint d’approche minimale lors d’une collision frontale, la vitesse du projectile

s’annule, et il reste E0 = 2Ze′2

dmin(qα = 2|e|), d’ou :

dmin =2Ze′

2

E0(3.1)

C’est la situation pour une cible de plomb metallique, avec l’hypothese du reseaurigide ; numeriquement, dmin=590F.

Pour une cible (de masse M) a l’etat gazeux, il faut tenir compte de son recul ; sielle est initialement immobile, la conservation de l’energie s’ecrit :

1

2(m+M)V 2

G +1

2

mM

m+Mv 2 +

2Ze′2

r= E0 ≡ 1

2mv20 ,

ou VG est la vitesse du centre de gravite, qui est une constante et vaut aussi mv0m+M .

Au point d’approche minimale, la vitesse relative v s’annule, et il reste :

1

2(m+M)

( mv0m+M

)2

+2Ze′

2

dmin=

1

2mv20 ⇐⇒ dmin =

2Ze′2

E0

(1 +

m

M

)

La distance minimale d’approche est plus grande quand la cible peut reculer,puisqu’une partie de l’energie cinetique du projectile est consommee pour deplacercelle-ci. Avec m

M =0 (M infinie), on retrouve bien la formule (3.1). Pour le lithium

gazeux 7Li, dmin=2×3 e2

0.4×106|e| (1 +47 )34F.

3. Le calcul de Rutherford devient incorrect quand la distance minimale d’approchedevient de l’ordre du rayon nucleaire puisqu’alors la particule α entre dans le do-maine d’action de l’interaction forte. Pour un ordre de grandeur, on peut se con-tenter de considerer le cas d’une collision frontale avec une cible immobile ; enchoisissant dmin ∼ 1 F, l’energie a partir de laquelle les forces nucleaires commen-

cent a se manifester est E0 = 2Ze′2

dmin∼ 9× 109 2Z(1.6×10−19)2

10−15 J ∼ 2.8ZMeV.

4. Avec une seule cible, le nombre de collisions est nv0σd(θ)dΩ ; si la feuille a uneepaisseur l et une densite nc, le nombre de cibles soumises a un faisceau de pro-jectiles cylindrique de section S est egal a ncSl. Le nombre total de collisions estdonc ncSlnv0σd(θ)dΩ ; nv0S etant le courant incident, le taux de collision dans la

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3.2 Collision élastique de deux particules

39

3.2. Collision elastique de deux particules 39

direction θ est εd(θ)def= nclσd(θ). Le taux de diffusion dans un angle compris entre

θ0 et π est donc l’integrale :

εθ0 =

∫ π

θ0

εd(θ) dΩ = ncl

∫ π

θ0

σd(θ) dΩ ,

ou σd(θ) est donnee par la formule de Rutherford (I-3.51), d’ou :

εθ0 = ncl(2|e|)2(Z|e|′)2

16E20

∫ π

θ0

1

sin4 θ2

2π sin θdθ ;

l’integrale se calcule sans peine et vaut 4π cot2 θ02 , d’ou

εθ0 = nclZ2e′4

4E20

4π cot2θ02

= πnclZ2e′

4

E20

cot2θ02

;

La mesure de εθ0 est une facon de trouver l’epaisseur l de la cible. Pour l’applicationnumerique proposee, on utilise nc =

ρAu

MAu/N , d’ou :

l =εθ0MAuE

20

πρAuN (Ze′2)2tan2

θ02

avec les valeurs numeriques indiquees, on trouve l 0.1µm.

3.2 Collision elastique de deux particules

On considere la collision elastique de deux particules ponctuelles, sans structure interne, demasses m1 et m2. Les impulsions initiales et finales sont notees respectivement pi et p

′i.

1. Ecrire les equations de conservation pour l’energie et l’impulsion.

2. Dans toute la suite, on se place dans la situation ou la particule 2 (cible) est initialementau repos. La conservation de l’impulsion se traduit geometriquement comme indiquesur la figure 3.1 a gauche. Calculer les pi

′2 en fonction de p1, x =AH et y =BH.

Figure 3.1: Geometrie utilisee dans l’exercice 3.2.

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physiqueChapitre 3 Les expériences de Rutherford

40

40 Chapitre 3. Les experiences de Rutherford

3. En deduire que le point B se trouve sur un cercle dont on precisera le centre et lerayon R.

4. L’angle θ entre les impulsions apres collision depend de la redistribution de l’energieentre le projectile et la cible. Toutefois, que se passe-t-il dans le cas particulierm1=m2 ?

5. Un faisceau de noyaux de deuterium de haute energie (quelques MeV) est envoye atravers une vapeur atomique formee d’un melange isotopique d’hydrogene naturel a latemperature ambiante.

(a) Expliquer pourquoi cette situation releve bien de l’analyse theorique precedente.

(b) Representer les trois types de collisions a l’aide de schemas du type indique sur lafigure 3.1 a droite, en precisant dans chaque cas les valeurs possibles de l’angle θ.

=============== ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ¿ ? ===============

Pour une collision entre deux particules ponctuelles sans structure interne, la seuleenergie a prendre en compte est l’energie cinetique ; pour une collision elastique, cetteenergie est la meme avant et apres collision.

1. p1 + p2 = p ′1 + p ′

2 ,p 21

2m1+

p 22

2m2=

p ′ 21

2m1+

p ′ 22

2m2.

2. Par le theoreme de Pythagore : p ′ 21 = (p1 − x)2 + y2, p ′ 2

2 = x2 + y2.

3. En reportant ces expressions dans la conservation de l’energie (avec p2 = 0), on ap 21

2m1= (p1−x)2

2m1+ x2+y2

2m2, soit (x− m2

m1+m2p1)

2+y2 = ( m2

m1+m2p1)

2 : le point B est surle cercle centre en ( m2

m1+m2p1, 0), de rayon R = m2

m1+m2p1. Si la cible est infiniment

massive, on retrouve bien que les deux vecteurs p1 et p ′1 ont meme module.

Figure 3.2: Construction geometrique traduisant la conservation de l’energie et del’impulsion. Le cercle de rayon R est centre en un point situe sur p1, a la distanceR = m2

m1+m2p1 de l’origine de p1.

4. Dans le cas particulier de deux masses egales, p1 est un diametre du cercle lieu deB : le triangle ABC est donc rectangle. Les deux particules partent a angle droit.

5. (a) L’energie incidente (quelques MeV) est gigantesque par rapport a l’energiethermique des atomes de la vapeur : on peut bien considerer que les ciblessont immobiles avant collision.

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1373

Index

Aaction

d’un oscillateur harmonique, 129d’une particule acceleree, 128

activite d’une source, 25–27addition

de N spins 12, 548

de moments cinetiques, 545des amplitudes de probabilite, 232, 233des probabilites, 166

agitation thermique, 5, 16, 159, 1248aimantation spontanee, 1210, 1244algebre, 650, 759, 762, 765, 1113, 1117

associative, 759, 762amortissement, 96amplitude

de diffusion, 910, 1023, 1024, 1029, 1031,1149, 1150

de probabilite, 232, 290, 292, 485, 907,909, 912, 916, 918, 922, 930, 932,934, 944, 1293

de transition, 290, 292, 907, 909, 912, 916,918, 922, 930, 932, 934, 944

analyse de Fourier, 172–175, 178Ancienne Theorie des Quanta, 117, 131, 138,

178anisotropie, 1252, 1258, 1274anomalie magnetique de l’electron, 662anti-marche de potentiel, 367, 393–395anticommutateur, 767antiferromagnetisme, 1080, 1098, 1233, 1279,

1280, 1282approximation

adiabatique, 943de Born, 1018, 1021, 1023, 1024, 1026,

1027, 1035–1040, 1149, 1151de Born et Oppenheimer, 1067, 1068de champ moyen, 1080, 1083, 1084, 1088,

1089, 1092, 1097, 1198, 1201, 1209,1214, 1215, 1221–1223, 1244, 1361,1365

de l’atome a deux niveaux, 992des electrons presque libres, 474, 1156des liaisons fortes, 476, 477, 479, 1172,

1176, 1214, 1221, 1299dipolaire electrique, 937, 992

atmosphere isotherme, 11atome

a deux electrons, 1200a deux niveaux, 990, 992, 1044a trois niveaux, 693, 919alcalin, 91, 629, 818, 881d’argent, 221, 222, 227, 391d’azote, 1056, 1058d’helium, 1047, 1059, 1062d’hydrogene, 131, 173, 186, 569, 593, 601,

820, 832, 854, 856, 870, 871, 878de carbone, 1052, 1055, 1173de Jean Perrin, 22de Rydberg, 91, 92de Thomson, 20, 96, 142, 866de tritium, 593, 594exotique, 113hydrogenoıde, 91, 94, 112, 613

avance du perihelie, 148axiome (relation) de Bayes, 232

BBainbridge, K.T., 18bande

d’energie, 473–477, 665, 1099, 1130, 1166,1181, 1196, 1198, 1211, 1215, 1217,1250, 1265, 1266, 1300, 1312, 1337–1339, 1341

interdite, 470, 473, 1266permise, 473pleine, 1181, 1196vide, 1181

barriere, 342, 345, 347, 359–362, 368–370, 376,381, 384, 392, 396

coulombienne, 159, 160de Dirac, 340

base de Fourier, 249bifurcation, 1145, 1206bilan, 29, 63bleu du ciel, 97Bloch F., 901, 902, 904, 1159, 1162, 1167, 1168,

1173, 1177, 1185, 1188, 1192, 1221,1242, 1259, 1260, 1267, 1269, 1290,1299

boıte quantique (quantum dot),1250,1251, 1253,1256, 1258

1373

1 EXMEQUAN_2015.indb 1373 24/09/15 17:17

physique

1374

Mécanique quantique1374 Index

Bohr N., 131, 132, 136, 140, 143, 145Boltzmann L., 159Borel E., 168Born M., 162bosons, 765, 796, 798, 800, 804–807, 810, 983,

988, 992, 1109, 1248, 1271, 1276–1278

de cœur dur, 1248Bragg W.L., 475, 1153, 1155, 1156, 1159, 1172,

1189, 1259branche

acoustique, 1325d’hyperbole, 136d’une fonction multiforme, 624, 695, 904,

1293, 1359optique, 1325

branchement adiabatique, 963Brillouin L., 168, 218, 219, 845, 847, 1159, 1187,

1214, 1225, 1249, 1316, 1319, 1339,1341

brisure de la symetrie de spin, 838

Cc-vecteurs, 782cage

atomique, 483de Aharonov-Bohm, 1293

capture, 45, 46, 48–50caracteres d’une representation, 759, 760, 764,

765, 766, 768, 1109, 1116cas

mixte, 706, 709, 711, 712, 715, 717, 719,720, 727, 789

pur, 700, 702, 705, 706, 708, 712, 713, 715,717, 719, 720, 789

chaıne radioactive, 27chaleur specifique, 1197, 1361–1365chambre de Wilson, 79, 186, 209champ

central, 145, 569, 570, 607moyen, 838, 840, 1037, 1038, 1080, 1083,

1085, 1088, 1092, 1198, 1210, 1214,1215, 1221–1223, 1244, 1361, 1365

changement de jauge, 1298coefficient

de reflexion, 318, 340, 345, 365, 366, 392–394, 396, 398, 1018, 1021

de transmission, 318, 340, 345, 392, 393,396, 397, 399, 1018, 1021

coefficientsde Clebsch-Gordan, 539

coherenceglobale, 708, 709spatiale, 705, 718, 719, 726, 728

coherences, 711, 717coıncidences spectrales, 112

collisionelastique, 39, 56, 58, 59de deux spins, 535, 911

commutateur, 206, 236, 255, 282, 314, 378, 628,807, 953, 957, 1237, 1255

fondamental, 179, 180, 185, 260, 261commutateurs du moment cinetique, 289, 290,

505, 647completude, 514composantes

de L en coordonnees spheriques, 505hermitiques d’un operateur lineaire, 270

condensation de Bose, 806condition de Vitali, 514conditions

aux limites, 20, 21, 121, 366, 438, 471, 492,494, 508, 589, 595, 599, 617, 655,675, 678, 811, 1018–1020

cycliques (de Born - von Karman), 508,795, 1083, 1128

de raccordement, 225, 318, 319, 368, 370,378, 379, 383, 392, 393, 396, 397,583, 675, 680, 681

initiales, 20, 21, 122, 125, 134, 140, 143,162, 163, 320, 433, 445, 694, 982,1316, 1319

normales, 189conducteur, 1161, 1166, 1173, 1193, 1196, 1291,

1301, 1302cone Cerenkov, 86conique, 132, 135, 136, 173conservation

de l’energie, 38, 40, 42, 43, 53, 81, 84,87, 100, 101, 105, 109, 148, 155, 188,190, 204, 205, 1169

en Mecanique quantique, 295de l’impulsion, 57, 80, 100, 109, 725, 1169de la charge, 164de la norme, 301de la probabilite, 165, 318, 397, 1028du courant, 397du moment cinetique, 41–43, 46, 53, 133,

145, 174, 176, 909constante

d’Euler, γ ou C, 583, 1361de Boltzmann, 11de diffusion, 5, 7, 9, 706de normalisation, 66, 103, 123, 197, 199,

230, 235, 251, 294, 321, 350, 353,358, 363, 383, 435, 438, 439, 484,486, 513, 586, 621, 685, 788, 790,817, 820, 831, 835, 869, 897, 1115,1177, 1225, 1229, 1301

de Rnl, 614de Planck, 74, 92, 138, 161, 210, 220de Rydberg, 110de Sommerfeld, 1362, 1364, 1365de Stefan, 63, 67, 68

1 EXMEQUAN_2015.indb 1374 24/09/15 17:17

1375

Index1374 Index

Bohr N., 131, 132, 136, 140, 143, 145Boltzmann L., 159Borel E., 168Born M., 162bosons, 765, 796, 798, 800, 804–807, 810, 983,

988, 992, 1109, 1248, 1271, 1276–1278

de cœur dur, 1248Bragg W.L., 475, 1153, 1155, 1156, 1159, 1172,

1189, 1259branche

acoustique, 1325d’hyperbole, 136d’une fonction multiforme, 624, 695, 904,

1293, 1359optique, 1325

branchement adiabatique, 963Brillouin L., 168, 218, 219, 845, 847, 1159, 1187,

1214, 1225, 1249, 1316, 1319, 1339,1341

brisure de la symetrie de spin, 838

Cc-vecteurs, 782cage

atomique, 483de Aharonov-Bohm, 1293

capture, 45, 46, 48–50caracteres d’une representation, 759, 760, 764,

765, 766, 768, 1109, 1116cas

mixte, 706, 709, 711, 712, 715, 717, 719,720, 727, 789

pur, 700, 702, 705, 706, 708, 712, 713, 715,717, 719, 720, 789

chaıne radioactive, 27chaleur specifique, 1197, 1361–1365chambre de Wilson, 79, 186, 209champ

central, 145, 569, 570, 607moyen, 838, 840, 1037, 1038, 1080, 1083,

1085, 1088, 1092, 1198, 1210, 1214,1215, 1221–1223, 1244, 1361, 1365

changement de jauge, 1298coefficient

de reflexion, 318, 340, 345, 365, 366, 392–394, 396, 398, 1018, 1021

de transmission, 318, 340, 345, 392, 393,396, 397, 399, 1018, 1021

coefficientsde Clebsch-Gordan, 539

coherenceglobale, 708, 709spatiale, 705, 718, 719, 726, 728

coherences, 711, 717coıncidences spectrales, 112

collisionelastique, 39, 56, 58, 59de deux spins, 535, 911

commutateur, 206, 236, 255, 282, 314, 378, 628,807, 953, 957, 1237, 1255

fondamental, 179, 180, 185, 260, 261commutateurs du moment cinetique, 289, 290,

505, 647completude, 514composantes

de L en coordonnees spheriques, 505hermitiques d’un operateur lineaire, 270

condensation de Bose, 806condition de Vitali, 514conditions

aux limites, 20, 21, 121, 366, 438, 471, 492,494, 508, 589, 595, 599, 617, 655,675, 678, 811, 1018–1020

cycliques (de Born - von Karman), 508,795, 1083, 1128

de raccordement, 225, 318, 319, 368, 370,378, 379, 383, 392, 393, 396, 397,583, 675, 680, 681

initiales, 20, 21, 122, 125, 134, 140, 143,162, 163, 320, 433, 445, 694, 982,1316, 1319

normales, 189conducteur, 1161, 1166, 1173, 1193, 1196, 1291,

1301, 1302cone Cerenkov, 86conique, 132, 135, 136, 173conservation

de l’energie, 38, 40, 42, 43, 53, 81, 84,87, 100, 101, 105, 109, 148, 155, 188,190, 204, 205, 1169

en Mecanique quantique, 295de l’impulsion, 57, 80, 100, 109, 725, 1169de la charge, 164de la norme, 301de la probabilite, 165, 318, 397, 1028du courant, 397du moment cinetique, 41–43, 46, 53, 133,

145, 174, 176, 909constante

d’Euler, γ ou C, 583, 1361de Boltzmann, 11de diffusion, 5, 7, 9, 706de normalisation, 66, 103, 123, 197, 199,

230, 235, 251, 294, 321, 350, 353,358, 363, 383, 435, 438, 439, 484,486, 513, 586, 621, 685, 788, 790,817, 820, 831, 835, 869, 897, 1115,1177, 1225, 1229, 1301

de Rnl, 614de Planck, 74, 92, 138, 161, 210, 220de Rydberg, 110de Sommerfeld, 1362, 1364, 1365de Stefan, 63, 67, 68

Index 1375

de structure fine α, 112, 133, 143, 149,188, 192, 220, 559, 657, 662, 985,1013

de Wien, 61, 67du mouvement, 3, 22, 44, 46, 47, 131, 134,

147, 149, 168, 202, 235, 238, 277,287, 332, 354, 431, 440, 565, 654,683, 702, 870, 911, 955, 958, 966,994, 1066, 1068, 1234, 1238, 1264

construction de Maxwell, 328, 844contamination Stark, 862continuum, 187, 313, 594, 713, 720, 725, 861,

868, 869, 1171, 1201, 1239contre-tension, 74conversion interne, 306, 1171convolution, 163, 166, 248, 905, 959, 1049

de deux gaussiennes, 163, 166, 284coordonnees

cartesiennes, 120, 126, 174, 176, 461, 462,569, 598, 600, 936

elliptiques, 1075spheriques, 156, 505, 508, 584

coquille de Dirac, 582corps noir, 61, 63, 64, 76corpuscles de Newton, 65, 66correction du second ordre pour l’etat fonda-

mental, 859corrections

quantiques pour la fonction de partition,796

radiatives, 662, 919relativistes, 3, 113, 147, 655, 657–659, 661,

667, 883correlations

angulaires, 1061radiales, 1061

courantd’atomes, 104d’energie, 65, 66, 72, 204, 205de charge, 164, 1006de probabilite, 198, 206, 317, 318, 327,

342, 362, 365, 366, 392–394, 397, 654,655, 1018, 1028

de saturation, 72crochet de Poisson, 126, 127, 165, 206, 208, 626–

628croisement

de niveaux, 870, 871, 900, 919, 996evite, 1127, 1337

cycloıde, 1206

DDalgarno A., 857decalage

vers le bleu, 371vers le rouge, 84, 85, 100

declin radiatif, 696, 1171

decoherence, 699, 705, 710degenerescence, 137, 140, 141, 286, 321, 341,

551, 600, 629, 662, 764, 833, 880,1051, 1053, 1056, 1057, 1247, 1254,1256, 1311

accidentelle, 578, 599, 629, 659densification des etats, 306densite

d’etats, 1211de probabilite, 198, 208

marginale, 163, 166radiale, 601, 604

dephasages δl, 1023, 1033derivee

d’un operateur, 256, 263, 268discrete, 178logarithmique, 583, 1027, 1029, 1031, 1033

descriptionde Heisenberg (Heisenberg picture), 664,

665, 670, 673, 1326de Schrodinger (Schrodinger picture), 298,

300, 433, 435, 953semi-classique, 83, 693, 998, 1260

desintegrationα, 25–27, 157β, 28, 593, 594

determinant de Slater, 756, 789, 1039deuterium, 40, 41, 108, 111, 159, 365, 595deuteron, 593, 595developpement

asymptotique, 945de Mittag - Leffler, 309

diagrammede branchement, 548, 549, 754, 1121de Feynman, 994, 1126, 1167, 1169

diamagnetisme, 120difference de marche, 196diffraction, 210

de Bragg, 1172, 1176de neutrons, 191de particules par une fente, 210

diffusionde la lumiere, 96de neutrons par un gaz diatomique, 1149,

1151elastique, 1023, 1024par le puits “carre”, 1029, 1035par un potentiel

de Dirac, 1017, 1020par un puits de potentiel, 317Rayleigh, 290Rutherford, 41Thomson, 97, 290vers l’avant, 908, 910

Dirac P.A.M., 21, 168, 169, 185, 193, 248, 280,311, 312, 330, 331, 347, 351, 353,357, 388, 455, 463, 469, 471, 510,

1 EXMEQUAN_2015.indb 1375 24/09/15 17:18

physique

1376


513, 580, 581, 584, 601, 647, 658,702, 868, 966, 1024

dissipation, 710distance

focale, 173Terre - Soleil, 61

distributionbinomiale, 8, 28, 30de Boltzmann, 91, 95, 107, 218, 804, 964,

1105, 1217de Bose, 997, 999–1001, 1005de Poisson, 437, 451, 453, 455, 999, 1001Gamma, 587marginale, 701

dosage du sang, 25double barriere de potentiel, 396double puits

de Dirac, 372duree de vie

d’un etat excite, 100, 102–104, 154, 694,696, 697, 728, 919

de l’atome, 22de l’etat 2S∗

1/2, 919

du positronium, 113du Soleil, 64non-radiative, 307radiative, 693, 696

Dyson F.J., 267, 714, 1192, 1202

Eecart quadratique, 7, 10, 215

de l’impulsion, 229, 277de la position, 198, 229, 277

ecart-type, 122echange de photons, 1126echelles de Wannier - Stark, 1267ecrantage, 603, 629, 1027, 1047, 1070effet

-tunnel, 372, 377, 1280centrifuge, 590, 607Cerenkov, 85Compton, 71, 79, 80, 82

inverse, 88, 89destabilisant d’une barriere, 357de taille finie du noyau, 865Doppler, 95, 96, 108, 111, 209, 726Mossbauer, 155Paschen - Back, 1052, 1055photoelectrique, 72–76, 80, 82, 95Stark, 856, 880Zenon, 559, 697, 1064Zeeman, 545, 870, 1052, 1055

sur un alcalin, 881sur un oscillateur harmonique, 894

effetsde surface, 1131, 1132, 1134, 1221Stark et Zeeman conjoints, 878

egalite de Snider, 314, 446, 448Ehrenfest P., 436Einstein A., 2, 467, 710elargissement

balistique, 167, 482diffusif, 167

electron de recul, 79–81element de matrice, 179, 181–183, 252, 253, 255,

258, 267, 304, 319, 336, 376, 385,403, 435, 462, 463, 481, 510–512, 517,542, 543, 553, 659, 716, 722, 724,727, 762, 792, 799, 809, 846, 857,858, 865, 867, 871, 875, 878, 879,909, 912, 918, 931, 932, 936, 944,985, 994, 1010, 1012, 1070,1125,1126,1141, 1142, 1163, 1167, 1169, 1172,1173, 1177, 1178, 1180, 1185, 1186,1190, 1194, 1212, 1213, 1237, 1258,1261, 1266, 1273, 1279, 1284, 1290,1297, 1307

emission, 100, 101, 103, 209β, 594par un noyau, 154, 158spontanee, 106, 211, 711, 715, 716, 726,

728, 729, 994stimulee (induite), 106

energied’ionisation, 31, 95, 594

de l’hydrogene, 92, 100, 101, 137, 594de localisation, 381, 409, 823, 825de Planck, 161de point zero, 819, 984de recul, 26, 75, 76, 81, 100, 101, 726

Compton, 80, 83libre de Helmholtz, 798, 802, 805, 1365propre, 98, 343, 348, 438, 439, 493, 495,

578, 689, 1040, 1227, 1256, 1258,1270, 1273, 1295, 1307, 1336

enrichissement isotopique, 365ensemble

de mesure nulle, 1182statistique, 7, 162–164, 167, 719

entropie, 805, 1362de Shannon - Wiener, 789, 792des phases normale et supraconductrice,

1363, 1365maximale, 902

equationaux derivees partielles (EDP), 33, 208,494,

709, 1322, 1334aux valeurs propres, 120, 185, 194, 229,

230, 307, 308, 318, 320, 339, 340,348, 349, 378, 385, 386, 391, 394,458, 476, 560, 575, 589, 602, 652,1022, 1038, 1070, 1101, 1102, 1195,1260, 1264

barometrique, 11

1 EXMEQUAN_2015.indb 1376 24/09/15 17:18

1377

Index1376 Index

513, 580, 581, 584, 601, 647, 658,702, 868, 966, 1024

dissipation, 710distance

focale, 173Terre - Soleil, 61

distributionbinomiale, 8, 28, 30de Boltzmann, 91, 95, 107, 218, 804, 964,

1105, 1217de Bose, 997, 999–1001, 1005de Poisson, 437, 451, 453, 455, 999, 1001Gamma, 587marginale, 701

dosage du sang, 25double barriere de potentiel, 396double puits

de Dirac, 372duree de vie

d’un etat excite, 100, 102–104, 154, 694,696, 697, 728, 919

de l’atome, 22de l’etat 2S∗

1/2, 919

du positronium, 113du Soleil, 64non-radiative, 307radiative, 693, 696

Dyson F.J., 267, 714, 1192, 1202

Eecart quadratique, 7, 10, 215

de l’impulsion, 229, 277de la position, 198, 229, 277

ecart-type, 122echange de photons, 1126echelles de Wannier - Stark, 1267ecrantage, 603, 629, 1027, 1047, 1070effet

-tunnel, 372, 377, 1280centrifuge, 590, 607Cerenkov, 85Compton, 71, 79, 80, 82

inverse, 88, 89destabilisant d’une barriere, 357de taille finie du noyau, 865Doppler, 95, 96, 108, 111, 209, 726Mossbauer, 155Paschen - Back, 1052, 1055photoelectrique, 72–76, 80, 82, 95Stark, 856, 880Zenon, 559, 697, 1064Zeeman, 545, 870, 1052, 1055

sur un alcalin, 881sur un oscillateur harmonique, 894

effetsde surface, 1131, 1132, 1134, 1221Stark et Zeeman conjoints, 878

egalite de Snider, 314, 446, 448Ehrenfest P., 436Einstein A., 2, 467, 710elargissement

balistique, 167, 482diffusif, 167

electron de recul, 79–81element de matrice, 179, 181–183, 252, 253, 255,

258, 267, 304, 319, 336, 376, 385,403, 435, 462, 463, 481, 510–512, 517,542, 543, 553, 659, 716, 722, 724,727, 762, 792, 799, 809, 846, 857,858, 865, 867, 871, 875, 878, 879,909, 912, 918, 931, 932, 936, 944,985, 994, 1010, 1012, 1070,1125,1126,1141, 1142, 1163, 1167, 1169, 1172,1173, 1177, 1178, 1180, 1185, 1186,1190, 1194, 1212, 1213, 1237, 1258,1261, 1266, 1273, 1279, 1284, 1290,1297, 1307

emission, 100, 101, 103, 209β, 594par un noyau, 154, 158spontanee, 106, 211, 711, 715, 716, 726,

728, 729, 994stimulee (induite), 106

energied’ionisation, 31, 95, 594

de l’hydrogene, 92, 100, 101, 137, 594de localisation, 381, 409, 823, 825de Planck, 161de point zero, 819, 984de recul, 26, 75, 76, 81, 100, 101, 726

Compton, 80, 83libre de Helmholtz, 798, 802, 805, 1365propre, 98, 343, 348, 438, 439, 493, 495,

578, 689, 1040, 1227, 1256, 1258,1270, 1273, 1295, 1307, 1336

enrichissement isotopique, 365ensemble

de mesure nulle, 1182statistique, 7, 162–164, 167, 719

entropie, 805, 1362de Shannon - Wiener, 789, 792des phases normale et supraconductrice,

1363, 1365maximale, 902

equationaux derivees partielles (EDP), 33, 208,494,

709, 1322, 1334aux valeurs propres, 120, 185, 194, 229,

230, 307, 308, 318, 320, 339, 340,348, 349, 378, 385, 386, 391, 394,458, 476, 560, 575, 589, 602, 652,1022, 1038, 1070, 1101, 1102, 1195,1260, 1264

barometrique, 11

Index 1377

caracteristique, 236, 305, 350, 863, 1062,1166, 1273, 1280, 1298, 1309

cartesienne, 2, 3d’une ellipse, 173, 175de van der Waals, 328, 844

d’Abraham - Lorentz, 21d’etat, 11d’Euler - Lagrange, 118de Bessel, 588

spherique, 675de bilan, 106, 164de Bloch, 901, 903–905de Dirac, 657, 667de Dyson, 267, 268, 714, 721, 1192de Fokker - Planck, 962de Hamilton - Jacobi, 128, 129

relativiste, 147de Helmholtz, 1334de Laplace, 613, 616, 622, 623, 626, 1101,

1103de Liouville, 165, 953, 955, 956de Mathieu, 1264de Poisson, 571, 656, 657, 829, 999de propagation, 98, 1317, 1321, 1333de Ricatti, 130de Schrodinger, 192, 204, 223, 289, 291,

330, 466–468, 901, 902, 938, 941,1027, 1261, 1267, 1268, 1334

effective, 694en representation-p, 208, 277, 279en seconde quantification, 810en temps imaginaire, 902

differentiellehypergeometrique, 412, 421

gyroscopique, 554, 555, 665integrale de la diffusion, 1017, 1018locale de conservation, 164, 202

de l’energie, 204, 205maıtresse, 962radiale, 572, 881

pour le puits “carre” spherique (Dirac),674

SCF, 839equations

de conservation, 192, 194de Hamilton, 123, 125, 131, 134, 162, 165,

178, 179de Hartree - Fock (SCF), 810, 837, 838,

840de Heisenberg, 179, 276–278, 294, 295, 299,

433, 440, 664, 665, 687, 806, 964pour a et a†, 664, 998

de Lagrange, 122, 134, 147, 148, 1318,1328

equilibreseculaire, 28–30thermique, 5, 7, 10, 11, 62, 76, 102, 109,

186, 189, 210, 706, 710, 954–956, 982,

988–990, 998, 1005, 1105, 1106transitoire, 28, 29

espacede Fourier, 472des etats, 227, 234, 285, 464, 477, 484,

545, 549, 560, 652, 756, 990, 991,993, 1067, 1068, 1108, 1113, 1119,1225, 1229, 1261, 1268, 1271

de spin, 754des fonctions 2π-periodiques, 505, 509des impulsions, 466des parametres, 501des phases, 48, 162, 164, 702reciproque, 1186, 1187support, 1109, 1115

esperance mathematique, 6, 9, 28, 30, 332, 451,565, 594, 602

etata deux photons, 987a un photon, 715, 725a zero photon, 725, 981, 1011antiliant, 996, 1071coherent, 448, 450, 451, 455, 458, 459, 700,

704du champ, 997, 998, 1001, 1003, 1005,

1007, 1008d’equilibre

canonique, 956, 982, 988, 990de Bloch, 1159, 1162, 1167, 1168, 1177,

1185, 1187, 1269, 1290etendu, 1080, 1193, 1198, 1291, 1308excite, 91, 100, 102, 103, 106, 154, 158,

209, 286, 287, 307, 312, 319, 369, 371,374, 438, 452, 559, 694–696, 715, 725,819, 851, 921, 935, 936, 1061, 1123,1125, 1126, 1167, 1169, 1255, 1258,1280

metastable, 693triplet, 1059

fondamental, 91, 95, 100, 106, 113, 157,158, 209, 215, 227, 285, 287, 290,313, 326, 351, 369, 371, 374, 382,383, 400, 438, 456, 550, 552, 559,599, 602, 604, 659, 693, 695, 820,823, 834, 837, 838, 845, 846, 852,855, 861, 895, 907, 915, 917, 921,936, 983, 991, 994, 1123–1126, 1271

d’un cristal, 1167, 1168, 1214, 1291,1301, 1336

d’un reseau d’atomes, 1274, 1276, 1282d’un reseau de spins, 1214, 1218, 1224,

1225, 1228, 1231, 1235, 1240, 1241,1243, 1245, 1282

d’une boıte quantique, 1258d’une paire d’atomes, 1274de l’atome d’helium, 1058, 1061–1063de l’atome d’hydrogene, 819, 832, 1047,

1048, 1070

1 EXMEQUAN_2015.indb 1377 24/09/15 17:18

physique

1378


de l’atome de carbone, 1053–1056de l’ion Be+, 1064de l’ion H+

2 , 1073de l’oscillateur harmonique, 244, 246,

283, 284, 430, 431, 433, 435, 447,450, 452, 704, 825, 895, 899, 942

de l’oscillateur harmonique confine, 438de la chaıne polyacetylenique, 1081de la molecule d’hydrogene, 1076du champ (vide), 715, 725du gaz d’electrons, 1128, 1129, 1131,

1133, 1138, 1139, 1141, 1146du polyacetylene, 1083, 1089, 1099du tritium, 593

intrique (enchevetre), 223, 286, 288, 521,533, 753, 756

liant, 1071, 1073lie, 340, 341, 346–348, 351, 353, 357, 359,

361, 362, 373, 375, 386, 582, 658,819, 840, 855, 868, 869, 1022, 1030,1046, 1048

de deux magnons, 1225–1227, 1235,1238, 1239

localise, 1291, 1308paramagnetique, 1148separe, 286, 287, 528, 533singulet, 713, 720, 752, 753, 758, 1043–

1045, 1048, 1051, 1059, 1063, 1065,1076, 1213, 1220, 1274, 1277, 1282,1295, 1307, 1309

spherique, 582, 583stationnaire, 194, 241, 244, 253, 298, 355,

435, 482, 563, 673, 938, 941, 952,1027, 1028

triplet, 751, 752, 758, 1043–1045, 1048,1051, 1065, 1213, 1220, 1277

vide, 715, 981–985, 998, 1007, 1008, 1141Euler L., 118, 565, 583, 623, 626, 676, 1303,

1361evolution

d’un oscillateur raidi, 445d’un paquet d’ondes, 223, 225

gaussien, 294d’un reseau de spins, 1234d’un systeme a trois niveaux, 289des populations, 27, 29, 106irreversible, 167, 306periodique, 140, 311, 326, 401, 433pseudo-periodique, 170, 852reversible, 165temporelle, 275

excentricite, 132, 135, 173excitation

a la resonance, 106 290, 293basse frequence, 558, 559coulombienne, 907thermique, 1243, 1248

excitations elementaires, 313, 1082, 1197, 1213,1238, 1240, 1244, 1246, 1362

experience d’Young, 195experiences

de Jean Perrin, 5, 8, 11de Kappler, 10de Rutherford, 37de Stern et Gerlach, 221, 391de Thomson et Kaufmann, 1

expansion soudaine d’un puits infini, 325expansion/compression d’un oscillateur, 439exposant de champ moyen, 1097, 1209, 1357,

1361, 1365extinction de raie (de Bragg), 1172, 1176

Ffacteur

de Boltzmann, 218, 804, 1217de forme, 155–157de Lande, 545, 874, 992, 1055, 1064, 1212,

1217, 1222de structure, 1149, 1172gyromagnetique, 114, 115, 118, 120, 217,

221, 231, 391, 913, 922, 945, 948,1227, 1228

effectif, 992factorisation du propagateur, 301fentes d’Young, 195fermions, 751, 758, 765, 769, 788, 789, 794–796,

798, 800, 804–807, 810, 837, 838, 840,901, 903, 1039, 1051, 1082, 1109,1121, 1133, 1141, 1271, 1276, 1337

sans masse (massless fermions), 1190ferromagnetisme, 1146, 1210, 1213, 1220, 1224,

1228, 1233, 1244, 1245, 1277, 1361,1366

feuillet de Riemann, 1194Feynman R.P., 842, 984, 1289, 1298filiation radioactive, 28fission du neutron, 594fluctuation, 1223fluctuations, 26, 32, 710, 982, 986, 988, 1366

d’energie, 1364des champs, 990du nombre de photons, 1001du vide, 355, 982, 986et theoreme de Mermin -Wagner, 1174quantiques, 210, 215, 355, 387relatives, 30, 610, 997, 1001thermiques, 5, 10, 1174

flux solaire, 62, 65focalisation de particules, 12Fock V., 810, 838fonction

a variation bornee, 509analytique, 35, 267, 284, 333, 335, 441,

567, 616, 624, 630, 852, 950, 953

1 EXMEQUAN_2015.indb 1378 24/09/15 17:18

1379

Index1378 Index

de l’atome de carbone, 1053–1056de l’ion Be+, 1064de l’ion H+

2 , 1073de l’oscillateur harmonique, 244, 246,

283, 284, 430, 431, 433, 435, 447,450, 452, 704, 825, 895, 899, 942

de l’oscillateur harmonique confine, 438de la chaıne polyacetylenique, 1081de la molecule d’hydrogene, 1076du champ (vide), 715, 725du gaz d’electrons, 1128, 1129, 1131,

1133, 1138, 1139, 1141, 1146du polyacetylene, 1083, 1089, 1099du tritium, 593

intrique (enchevetre), 223, 286, 288, 521,533, 753, 756

liant, 1071, 1073lie, 340, 341, 346–348, 351, 353, 357, 359,

361, 362, 373, 375, 386, 582, 658,819, 840, 855, 868, 869, 1022, 1030,1046, 1048

de deux magnons, 1225–1227, 1235,1238, 1239

localise, 1291, 1308paramagnetique, 1148separe, 286, 287, 528, 533singulet, 713, 720, 752, 753, 758, 1043–

1045, 1048, 1051, 1059, 1063, 1065,1076, 1213, 1220, 1274, 1277, 1282,1295, 1307, 1309

spherique, 582, 583stationnaire, 194, 241, 244, 253, 298, 355,

435, 482, 563, 673, 938, 941, 952,1027, 1028

triplet, 751, 752, 758, 1043–1045, 1048,1051, 1065, 1213, 1220, 1277

vide, 715, 981–985, 998, 1007, 1008, 1141Euler L., 118, 565, 583, 623, 626, 676, 1303,

1361evolution

d’un oscillateur raidi, 445d’un paquet d’ondes, 223, 225

gaussien, 294d’un reseau de spins, 1234d’un systeme a trois niveaux, 289des populations, 27, 29, 106irreversible, 167, 306periodique, 140, 311, 326, 401, 433pseudo-periodique, 170, 852reversible, 165temporelle, 275

excentricite, 132, 135, 173excitation

a la resonance, 106 290, 293basse frequence, 558, 559coulombienne, 907thermique, 1243, 1248

excitations elementaires, 313, 1082, 1197, 1213,1238, 1240, 1244, 1246, 1362

experience d’Young, 195experiences

de Jean Perrin, 5, 8, 11de Kappler, 10de Rutherford, 37de Stern et Gerlach, 221, 391de Thomson et Kaufmann, 1

expansion soudaine d’un puits infini, 325expansion/compression d’un oscillateur, 439exposant de champ moyen, 1097, 1209, 1357,

1361, 1365extinction de raie (de Bragg), 1172, 1176

Ffacteur

de Boltzmann, 218, 804, 1217de forme, 155–157de Lande, 545, 874, 992, 1055, 1064, 1212,

1217, 1222de structure, 1149, 1172gyromagnetique, 114, 115, 118, 120, 217,

221, 231, 391, 913, 922, 945, 948,1227, 1228

effectif, 992factorisation du propagateur, 301fentes d’Young, 195fermions, 751, 758, 765, 769, 788, 789, 794–796,

798, 800, 804–807, 810, 837, 838, 840,901, 903, 1039, 1051, 1082, 1109,1121, 1133, 1141, 1271, 1276, 1337

sans masse (massless fermions), 1190ferromagnetisme, 1146, 1210, 1213, 1220, 1224,

1228, 1233, 1244, 1245, 1277, 1361,1366

feuillet de Riemann, 1194Feynman R.P., 842, 984, 1289, 1298filiation radioactive, 28fission du neutron, 594fluctuation, 1223fluctuations, 26, 32, 710, 982, 986, 988, 1366

d’energie, 1364des champs, 990du nombre de photons, 1001du vide, 355, 982, 986et theoreme de Mermin -Wagner, 1174quantiques, 210, 215, 355, 387relatives, 30, 610, 997, 1001thermiques, 5, 10, 1174

flux solaire, 62, 65focalisation de particules, 12Fock V., 810, 838fonction

a variation bornee, 509analytique, 35, 267, 284, 333, 335, 441,

567, 616, 624, 630, 852, 950, 953

Index 1379

caracteristique, 198d’essai, 819, 854, 855d’Euler

de deuxieme espece Γ(z), 565, 623, 676,817

de premiere espece B(p, q), 565, 568,623, 626, 817, 821

d’onde, 197, 200, 203, 205, 208, 214, 245,246, 249, 250, 277, 298, 300

en representation-p, 248, 277, 279, 280,298, 299

en representation-q, 246de Brillouin BJ , 217, 219, 1212, 1218de correlation

d’equilibre, 954, 961du vide, 982

de diffraction, 336de Dirac, 21, 168, 169, 193, 248, 280, 312,

330, 331, 342, 347, 369, 455, 463,511, 580, 584, 601, 658, 702, 867,966, 986, 1003, 1024, 1216

de Green, 309, 903, 1007, 1017–1020, 1022,1038, 1321

de Kubo, 955, 963, 964, 969de Kummer, 579, 616de Langevin L, 219de partition, 218, 796, 988, 1088, 1105,

1107canonique, 797, 799, 804

de reponse, 97, 950, 953, 963de Riemann, 68, 324, 1249, 1329, 1358,

1360de Wigner, 699–705, 998, 1002, 1003echelon-unite, θ(t), 932elliptique complete

de deuxieme espece E, 1081, 1090, 1336,1341

de premiere espece K, 1081, 1089, 1090,1098

gaussienne, 229, 230, 586generatrice, 6, 9, 620

des polynomes associes de Laguerre,614, 619

des polynomes de Laguerre, 614, 618des polynomes de Legendre, 565, 566des probabilites, 33

holomorphe, 953, 963, 1332hypergeometrique, 405, 406, 411, 412, 415,

421, 423, 616, 622, 623, 1101, 1103multiforme, 623, 624radiale, 572, 582, 584, 588, 590, 595, 598,

600, 601, 604, 608, 613, 621, 630,659, 828, 856, 864, 867, 881, 882,1028, 1063, 1177

relativiste, 674, 683translatee, 280

fonctionnelle, 121, 825, 828, 830, 837, 839

fonctionsde Bessel, 174–177, 571, 582, 588, 675

modifiees, 635, 676ordinaires, 481, 1320spheriques, 156, 584, 588, 613, 615, 676,

794, 795, 1029, 1035, 1038, 1040, 1150de Brillouin, 217de Hankel, 1029, 1030de Mathieu, 1264propres, 357

forced’Abraham-Lorentz, 19de Lorentz, 2, 117

formalisme de Dirac, 248, 249forme

anti-normale, 997normale, 997

forme canonique de l’equation de Laplace, 1101,1103

formulebarometrique, 11d’Euler quantique, 534d’inversion de Fourier, 960, 961, 1048, 1049de Brillouin - Wigner, 845, 847de Cardan, 849de Cauchy, 565, 567de Compton, 71, 72de Doppler, 211de doublement pour Γ(z), 565, 568de Glauber, 268, 277, 282, 434, 436, 450,

465, 997, 998, 1002, 1004, 1008, 1269,1344

de Larmor, 23, 99, 153de Leibniz, 567, 618, 619, 701de Rodrigues, 565, 567de Ruthertford, 39, 1036de Snider, 314, 446, 448de Stirling, 437, 452, 601, 605, 797, 802,

1000des complements, 413, 424, 1330du residu, 618

formules d’Euler, 1303

Fourier J., 92, 93, 169, 171–173, 175, 176, 178,180, 198, 200, 201, 223, 225, 248,249, 295, 299, 301, 311, 330, 332,348, 350, 435, 451, 469, 471, 509,512, 580, 616, 690, 705, 706, 716,950, 953, 954, 960, 966, 984, 998,1005, 1019, 1022, 1048, 1143, 1146,1154, 1185, 1190, 1192, 1325, 1333

foyer d’une conique, 136frequence

de Larmor, 222, 992de Rabi, 559

frottement, 98, 706, 710fusion froide, 159

1 EXMEQUAN_2015.indb 1379 24/09/15 17:18

physique

1380


Ggap, 473–475, 1087, 1101, 1164, 1181, 1185,

1189, 1196, 1258, 1266, 1291, 1301,1302, 1324, 1326, 1338, 1341, 1342

d’excitations, 1082, 1099supraconducteur, 1353–1355, 1362, 1366

Gauss C.F., 142, 144, 332, 435, 602, 866, 1072gaz d’electrons en champ moyen, 1037gaz parfait, 796

d’electrons, 803, 1128, 1131, 1211, 1363,1364

d’electrons sur reseau, 1334, 1337, 1338,1341, 1342

d’excitations, 1362d’hydrogene, 186, 803de bosons, 796, 988de fermions, 795, 796, 903de magnons, 1243, 1248de photons, 983, 1362de spins, 946, 949, 955, 965, 967

Gerlach W., 217, 221Gibbs J.W., 802Glauber R.J., 268, 269, 277, 464, 465, 997, 998,

1008, 1269, 1344grandes composantes, 675grands nombres quantiques, 114, 139, 140, 179,

181, 610, 997, 1001, 1218graphene, 743, 1174graphite, 80, 192, 1171, 1173, 1174, 1181, 1182groupe

abelien (commutatif), 488, 1108, 1112des dilatations, 493des permutations, 489, 490, 752, 755, 1107,

1109S3, 759, 763, 766, 1110

des rotations, 489, 490SO(3), 648, 651SU(2), 648

HHamilton W.R., 123, 125, 128, 129, 134, 162,

178, 179, 562Hamiltonien, 118, 119, 122, 123, 125, 126, 128,

131, 134, 178, 179, 200, 204, 208,222, 228, 229, 231, 233, 234, 251,272, 275, 277, 278, 281, 284, 286,289, 291, 298, 299, 301, 302, 304,306, 308, 313, 341, 343, 378, 391,392, 396, 397, 400, 433, 446, 447,456, 459, 460, 469, 478, 482, 484,485, 492, 501, 549, 551, 553, 554,556, 557, 561, 563, 593, 600, 626,655, 670, 697, 789, 792, 799, 806,807, 819, 843, 851, 854, 868, 882,901, 953, 955, 964, 965

electrostatique, 1061a noyaux fixes, 1070, 1076a une particule, 903atome + champ, 715, 725avec spin-orbite, 870, 871champ + sources classiques, 1006, 1007,

1045d’Anderson, 1198d’un electron sur reseau, 1172, 1173, 1177,

1178d’un electron sur un reseau de plaquettes,

1288d’un oscillateur en champ variable, 935d’un oscillateur en presence d’un champ

magnetique, 894d’un spin en champ variable, 922d’une boıte quantique, 1251d’une impurete en matrice solide, 916d’une molecule de van der Waals, 1123de champ moyen, 1081, 1084, 1085, 1198de deux spins en interaction, 945de Dirac, 647de Heisenberg, 1045, 1210, 1213, 1214,

1220, 1221, 1223, 1227, 1240de liaisons fortes, 1159, 1335, 1338de spins en champ magnetique, 911, 913dependant d’un parametre, 843du champ Coulombien, 626du champ libre, 981, 983, 987effectif, 657, 874, 1061, 1210, 1213, 1220,

1272–1274, 1279, 1282d’un electron sur reseau, 1185

en presenced’un champ electrique, 857d’un champ magnetique, 870, 873de champs electrique etmagnetique, 878

quadratique, 1085relativiste, 657spin - boson, 990, 992

harmoniques spheriques, 594, 613, 615, 864, 867,879, 1060, 1061

spinorielles, 652Hartree D., 810, 838Heisenberg W., 114, 178, 179, 182, 212, 278,

294, 295, 299, 338, 433, 664, 665,670, 673, 687, 806, 964, 998, 1045,1210, 1214, 1220, 1221, 1223, 1240

horizon de Planck, 161Hubbard J., 1080, 1082, 1198, 1294, 1297, 1306,

1307, 1309hybridation, 862, 918hypothese

d’adiabacite, 1268d’uniformite, 1363de Planck, 183des petites vibrations, 1315harmonique, 1317

1 EXMEQUAN_2015.indb 1380 24/09/15 17:18

1381

IndexIndex 1381

Iidempotence, 1109, 1115, 1117idempotents primitifs, 760, 765, 767, 769identite

de Bloch, 1343de Jacobi, 255, 257, 517

importance de l’ordredes limites, 425des mesures, 235, 239, 288

impulsion de l’electron dans le cristal (pseudo-impulsion), 1169, 1184

impurete localisee dans une barriere, 388incertitude sur les conditions initiales, 162independance lineaire

de matrices, 650de vecteurs, 769, 1110, 1118, 1186des solutions, 318, 343, 623, 626, 676

indiscernabilite, 802, 805, 1066, 1242, 1246instabilite

de Peierls, 1093, 1094, 1097, 1334du gaz d’electrons sur reseau a demi-rem-

plissage, 1094electrodynamique de l’atome classique, 22

integraled’echange, 1044, 1048, 1129, 1134, 1135,

1141, 1213, 1220de Feynman, 984, 1289de Fresnel, 458de recouvrement, 827, 1069directe, 1044, 1062, 1129, 1134, 1142, 1213,

1220gaussienne, 93, 166, 245, 284, 296, 333,

432, 457, 704, 705, 802, 913, 949,1346, 1347

interactiona longue portee, 1139, 1143, 1145antiferromagnetique, 1279aux premiers voisins, 1223, 1241, 1245,

1246, 1338aux seconds voisins, 1178bilineaire, 849centrale, 55, 1238champ-matiere, 981, 990de configurations, 1058de contact, 191, 657, 837, 838, 854, 902,

1139, 1146, 1147, 1149, 1151, 1271,1277, 1295, 1307, 1309

de Dirac, 1139, 1146de Hubbard, 1080, 1082, 1083, 1198, 1294,

1297, 1306, 1307, 1309de van der Waals, 1079dipolaire

electrique, 305magnetique, 120, 391, 911, 913, 916

ecrantee, 1128effective, 804, 839, 1271, 1272, 1277electrostatique dipole-dipole, 1123, 1125

electrostatique vs.magnetique, 1045, 1200entre magnons, 1226, 1237forte, 38, 159proton - neutron, 595spin-orbite, 871, 882, 883, 1213

interferences des probabilites, 233interfrange, 196interpretation probabiliste, 197intrication, 286, 757, 758invariance

P T , 501de [q, p] par symetrie miroir, 462de jauge, 1289, 1298de la norme, 318de la trace, 261, 957, 961, 969des valeurs moyennes, 560en forme de l’energie cinetique, 120galileenne, 560

de l’equation de Schrodinger, 466par renversement du temps, 167, 337, 472,

482, 858, 1189par rotation, 461, 551, 599, 1040, 1066,

1068, 1240, 1255par transformation de Galilee, 466, 468par translation dans le temps, 167, 284,

955inversion de population, 452, 961ion

H−, 1046H+

2 , 1069irradiation thermique, 76isolant, 1161, 1166, 1173, 1181, 1182, 1191, 1196,

1197, 1212, 1214, 1217, 1222, 1291,1301, 1338

isomorphisme, 649–651, 1108, 1111, 1113, 1121de groupe, 1121

isotopes, 16, 19, 108, 111isotropie, 1135, 1218, 1255

JJacobi C.G.J., 128, 129, 255, 257, 457, 1003Jacobien, 150, 151, 457, 1003, 1143jauge de Lorentz, 1321, 1322jellium, 1128, 1131, 1138jet atomique, 102

KKapteyn J.C., 175Kramers H.A., 602, 607, 609, 966Kronig R., 469, 966

LLagrange J.L., 118, 121, 122, 134, 147, 148Lagrangien, 118, 119, 122, 131, 133, 134, 138,

664, 1289, 1298, 1317, 1327, 1328

1 EXMEQUAN_2015.indb 1381 24/09/15 17:18

physique

1382


d’une particule chargee dans un champelectromagnetique, 117–119

de l’atome d’hydrogene, 131de l’oscillateur harmonique, 122relativiste, 147

Lamb W.E., 662, 726, 1202Lamb shift, 662, 726, 1202Langevin P., 218Laplace P.S., 33–35, 272, 273, 613, 616, 622,

623, 694, 695, 1101, 1103largeur

d’un paquet d’ondes, 226, 294, 674de bande, 1130, 1137Doppler, 100, 108naturelle, 100, 101, 155, 1201

lemmede Jordan, 335, 350, 451, 714, 728, 953,

1194de rearrangement, 761, 763, 765, 1108,

1112, 1116levee de degenerescence, 371, 662, 850, 851, 862,

865, 880, 919, 1044, 1056, 1252, 1256,1337

Lewis J.T., 857liaison chimique, 834, 1067, 1069, 1074, 1102limite

δ du puits “carre” circulaire, 582classique, 218, 219, 448, 602, 610, 955, 964

des fonctions de Brillouin, 219du commutateur, 206, 207

d’une cible infiniment massive, 56des grands nombres quantiques, 114, 139,

178, 179, 181, 338, 610du spectre continu, 306thermodynamique, 797, 802

loi-puissance, 201, 629, 842, 949, 1079, 1234,

1244binomiale, 8, 28, 30de Cauchy, 949de composition interne, 1108, 1112, 1113de Curie, 966, 967, 1212, 1219, 1240de declin radioactif, 25, 26de Fermi - Dirac, 1211, 1216de Gauss, 1334de Lenz, 120de Levy, 1334de Pareto, 324de Planck, 67, 76, 89, 983, 989, 1362de Poisson, 437, 451, 453, 455, 999–1001de repartition, 186, 189de Stokes, 5, 8de Wien, 61, 67, 69des aires, 133des grands nombres, 29horaire, 702large, 949normale, 946, 949

longueurd’onde associee, 186d’onde Compton, 98d’onde thermique, 187, 189d’onde-seuil, 73, 74, 153de diffusion, 1030, 1033, 1271, 1272, 1277de parcours d’une particule α, 31de Planck, 161

lorentzienne, 93, 99, 199, 294, 310, 350, 1034,1203

Mmagneton de Bohr, 115, 1211

nucleaire, 115, 697, 698magnetoresistance, 1291magnons, 1223, 1225, 1226, 1230, 1235, 1237,

1239, 1243, 1244, 1247–1249, 1309maille

de Wigner - Seitz, 1153, 1155, 1156, 1159,1184, 1186

primitive, 1160, 1163, 1172, 1175, 1176,1184, 1186, 1187, 1270, 1276

marche de l’ivrogne, 6, 8marche de potentiel, 365–367, 391, 392

floue, 420, 423masse

du Soleil, 64effective, 474gravitationnelle du photon, 83reduite, 108, 113, 173, 595, 868, 1127, 1271

matrice densite de Bloch, 901, 902matrices

de Dirac, 667de Pauli, 518, 534, 553, 554, 649, 650, 697,

914, 918, 930, 990, 995, 1081, 1084,1227

Maxwell J.C., 159, 328Mecanique

analytique (oscillateur harmonique), 122des Matrices, 114, 178, 180statistique, 610

mer de Fermi, 1201Mermin N.D., 1174mesure

d’un moment cinetique, 222, 228, 229, 231,233, 560

de l’energie, 244, 283, 284, 286–288, 320,322, 325, 332, 430, 434, 436, 960

de l’impulsion, 246, 248, 276, 277de la duree de vie d’un etat excite, 102de la position, 229, 244–246, 276, 277, 283,

430, 432, 729ideale, 713

mesures successives d’observables, 229, 232, 234,235, 238–242, 430

methodede Bethe - Peierls, 1366

1 EXMEQUAN_2015.indb 1382 24/09/15 17:18

1383

IndexIndex 1383

de Dalgarno et Lewis, 857de Heitler et London, 1073, 1079de la fonction de Green, 1007de Laplace, 613, 622de perturbation, 836, 848, 851, 854, 856,

862, 865, 866, 869, 873, 879, 883,894, 898, 901, 1126, 1190

de Thomson et Kaufmann, 1des caracteristiques, 494des repliques, 262du col (saddle-point method), 1292LCAO, 1069SCF, 837, 838variationnelle, 817–820, 825, 835, 854, 855,

861, 1059, 1275, 1283microscope a effet tunnel, 420microscope de Heisenberg, 212Millikan R.A., 74moderateur, 56modele

d’Ising, 1223de Bohr, 91, 94, 110, 112, 113de Heisenberg, 1210, 1213, 1214, 1220,

1221, 1223, 1240, 1274, 1282de Hubbard, 1080, 1198, 1294de Jaynes et Cummings, 990de Kronig - Penney, 469, 471de Rabi, 990globulaire, 20spin - boson, 990, 992

modesetendus, 1080normaux de vibration, 1107, 1108, 1110,

1119molecule

d’ammoniac, 302, 376d’hydrogene, 1075, 1077, 1135de polyacetylene, 1080, 1089, 1099de van der Waals, 1123–1125, 1127diatomique, 647, 1067, 1101, 1102, 1105,

1324dissociee, 1074

momentcinetique, 42, 173, 227

orbital, 505conjugue, 119, 138, 164, 168, 180, 184,

266, 278, 280, 509, 664, 667, 688,706, 1260

dipolaireelectrique, 907

magnetique, 114, 120, 218, 391, 563, 664,698, 874, 882, 1064, 1217, 1256

moments, 9motif (base), 1172, 1173, 1176, 1178, 1288, 1291,

1297, 1300mouvement Brownien, 5, 10, 168, 982, 984

quantique, 986multiplet, 548

multiplicateur de Lagrange, 121

Nneutron, 154, 188, 391, 392, 697, 698

polarise, 391, 392niveau de Fermi, 665, 1138, 1154, 1157, 1159,

1182, 1198, 1200, 1204, 1210, 1215,1342

nombred’Avogadro, 5, 6, 10, 27d’occupation, 898, 983, 987, 990, 1001,

1082, 1204de charge, 30, 38de multiplets pour N spins 1

2, 549

de representations irreductibles, 767moyen

d’electrons, 1199de photons, 988, 989, 997

total de noyaux dans l’univers, 160nombres de Bernoulli, 446normalisabilite, 121, 701normalisation, 204, 218, 235, 251, 288, 294, 309,

321, 342, 345, 350, 353, 358, 383,435, 484, 486, 491, 493, 513, 586,621, 658, 685, 755, 788, 843, 869,1018, 1229, 1278, 1301

des probabilites, 50, 66, 103, 218norme, 120, 260, 301, 318, 328, 442, 443, 445,

459, 481, 489, 502, 503, 753, 799,845, 1092, 1187, 1285

noyau, 23, 26, 28, 37, 78, 131, 136, 154, 155,157–160, 186, 188, 191, 593, 629, 655,832, 837, 842, 854, 865, 1046, 1064,1067, 1070, 1076, 1271

d’un operateur, 250noyau (kern, kernel), 20, 21, 300, 719, 791, 903,

1005, 1018, 1038, 1343, 1346nucleation, 210

Oobservable, 206, 208, 229, 232, 235, 236, 238,

240, 242, 303, 304, 391, 433, 435,482, 483, 541, 560, 670, 673, 684, 686

observablescompatibles, 528, 532incompatibles, 232, 239, 528

ondede densite de charge (CDW), 1083de densite de spin (SDW), 1082

operateurQ, 674d’echange, 1245d’evolution, 275, 289, 295, 301, 353, 354,

400, 446–450, 478, 480, 485, 487, 556,557, 698, 713, 909, 912, 932, 1007,1233, 1292

en representation-p, 201

1 EXMEQUAN_2015.indb 1383 24/09/15 17:18

physique

1384


d’annihilation a, 123, 257, 807, 895, 915,916, 990, 993, 997, 998, 1002, 1007,1011, 1141, 1250, 1251, 1253, 1344

de creation a†, 123, 257, 458, 807, 895,915, 916, 981, 990, 993, 998, 1007,1091, 1141, 1250, 1254, 1344

de rotation, 290, 484, 518, 560, 562de translation, 267, 285, 462, 465, 472,

479, 1162, 1237, 1260, 1294densite, 700, 711, 713, 717, 719, 726, 789,

953, 956, 982, 997, 1001canonique, 700, 953, 964, 969, 982, 988,

1005, 1343, 1346reduit, 715, 720, 726, 727, 789, 986sur etats coherents, 1003

derivable, 263fonction d’une variable, 263hermitique, 255, 256, 265, 270, 271idempotent, 248, 250, 271, 490, 711, 717,

1109, 1115, 1117, 1133metrique, 1109nombre de particules, 1007, 1254parite, 343, 374, 378, 438, 501, 858scalaire, 461, 505, 507, 516, 541transforme, 263, 282, 302, 557unitaire, 255, 256, 265, 270

derivable, 265vectoriel, 461, 516, 518, 541, 544

operateurs de champ, 806orbitale, 751–753, 757, 789, 791, 794, 795, 797,

800, 1044, 1157, 1177, 1198, 1213,1272, 1273, 1278, 1279, 1288, 1295,1297

oscillateur anharmonique, 853oscillateur harmonique, 10, 94, 122, 124, 179,

209, 244, 430, 551, 598, 700, 825,897, 899, 914, 941, 997, 1258

a deux dimensions, 549, 1250, 1253a trois dimensions, 597charge, 231, 283, 894, 937, 939confine sur R+, 437force, 446osculateur, 1105

oscillationde Bloch, 1259, 1263, 1270de Rabi, 556, 558, 559, 696, 930, 932, 948,

996a trois niveaux, 293

oscillations de Friedel, 1038, 1041

Ppaires de Cooper, 1195paquet d’ondes, 170, 197–199, 203, 209, 223,

225, 226, 245, 279, 430, 436, 445,514, 712, 717, 719, 1292, 1302, 1321,1323

accelere, 283

gaussien, 294, 584, 587, 683, 684, 702de Dirac, 671, 683

harmonique, 433lorentzien, 296

paradoxede Gibbs, 802EPR, 758

paramagnetisme, 217, 218, 1076de Langevin, 217, 219, 1146, 1210, 1212de Pauli, 1211, 1217, 1219de van Vleck, 1212

parametred’impact, 37, 41, 42, 48, 51, 53, 54, 58,

907, 909d’une conique, 132, 173

parite, 205, 343, 347, 372, 374, 378, 385, 438,501, 552, 840, 856, 858, 879, 899,1125, 1341

paroi rugueuse, 65particule

libre, 128, 130, 138, 143, 146, 197, 206,246, 276, 277, 294, 295, 335, 343,430, 464, 466, 467, 470, 571, 573,574, 584, 601, 654, 670, 673, 675,682, 683, 700, 701, 705, 707, 901,903, 1333, 1334

uniformement acceleree, 209, 277, 283, 298particules

identiques, 751, 792, 796, 801, 806, 1110,1121

independantes, 983, 1213partie

d’espace de la fonction d’onde, 752, 757,1044, 1059, 1121, 1273, 1278, 1295,1307

de spin de la fonction d’onde, 755, 757principale de Cauchy, 344, 364, 714, 723,

966, 1019, 1020Pauli W., 534, 553, 554, 649, 650, 697, 914, 918,

930, 990, 995, 1200, 1227peigne de Dirac, 169, 311, 330, 469, 471, 476,

479, 481, 510, 512, 513, 1319penetration de neutrons dans un milieu magne-

tique, 391Penney W.G., 469perihelie, 148periode radioactive, 26, 27permutations, 489, 755, 759, 761, 762, 765, 768,

791, 797, 800, 804, 1060, 1107, 1109,1111, 1133

circulaires, 290, 490, 958, 959, 1170Perrin, J., 5, 11perte d’information, 167perturbation

adiabatique, 447constante, 932de Dirac, 275, 453de duree tres courte, 453, 454

1 EXMEQUAN_2015.indb 1384 24/09/15 17:19

1385

IndexIndex 1385

gaussienne, 932harmonique, 454, 455impulsionnelle, 447singuliere, 20

petites composantes, 675, 679, 683phase reentrante, 844phase stationnaire, 226, 1292, 1303, 1304phonons, 1096, 1171

acoustiques, 1197photocathode, 72photon, 65, 67, 69, 71–73, 75–77, 80–86, 88, 90,

96, 98, 101, 109, 113, 153, 154, 195–197, 209, 212, 213, 313, 693, 715,725, 726, 728, 919, 983, 988, 989,991, 992, 994, 997, 999, 1001, 1016,1126, 1171, 1201

π- pulse, 557, 559plan de Bragg, 1153, 1155, 1156, 1159, 1189Planck M., 20, 67, 68, 74, 76, 89, 138, 161, 180,

467, 1362poids de Boltzmann, 91, 95, 107, 218, 804, 964,

1105, 1217point fixe, 1205point quantique (quantum dot), 1250, 1251,

1256, 1258, 1299points

de branchement, 624, 852, 1359de Dirac, 743

Poisson S.D., 127, 165, 206, 208, 437, 451, 453,455, 571, 626, 628, 656, 657, 999,1001

polarisabilite, 836, 857, 859, 1072, 1260polariseur, 392polyacetylene, 1080, 1083, 1089, 1099, 1100, 1201polynomes

associesde Laguerre, 608, 614, 619

de Hermite, 429, 440, 441, 600, 941de Laguerre, 613, 617de Legendre, 565, 613, 1059, 1061

populations, 91, 95, 106, 158, 696, 711, 717,1216, 1251, 1255

positivite d’une integrale d’echange, 1048positronium, 113potentiel, 117, 124, 133

anharmonique, 853centrifuge, 572, 603de confinement, 146, 435, 902, 1252de contact, 854, 905, 1017, 1020de Coulomb, 855, 1132

en dimension D, 571de Dirac, 357, 905, 1017, 1020, 1023de Morse, 1101, 1102de reseau, 469, 474, 476, 1154, 1155, 1185,

1188de Yukawa, 447, 819, 832, 1023, 1026, 1037,

1048, 1049, 1139, 1143gaussien, 1026

potentiel-vecteur, 1251, 1289preacceleration d’une charge, 21, 22precession, 555

de Larmor, 222premiere

orbite de Bohr, 92zone de Brillouin (BZ1), 1153, 1155, 1159,

1163, 1169, 1173, 1177, 1184, 1187,1225, 1230, 1249, 1262, 1263, 1270,1291, 1316, 1319, 1337, 1339, 1341

pression de radiation, 64–66principe

de causalite, 22, 952de correspondance, 114, 178de Pauli, 754, 756, 1045, 1053, 1200, 1337variationnel, 120, 854, 855, 1063

probabiliteconditionnelle, 481, 488d’emission, 103d’ionisation, 32de Boltzmann, 218de capture, 50de desexcitation, 104de reaction, 29de transition, 919, 922, 930des survivants, 28

problemea N corps, 794de Kepler, 173

processusde Ornstein - Uhlenbeck, 709virtuel, 1074, 1125, 1126

produittensoriel, 287, 550, 756, 1131, 1225, 1271scalaire, 99, 245, 248, 250, 257, 271, 292,

344, 345, 353, 376, 431, 461, 478,480, 502–504, 510, 518, 542, 544, 706,708, 717, 790, 798, 800, 942, 987,1012, 1070, 1092, 1108, 1109, 1113,1116, 1120, 1134, 1141, 1186, 1220,1231, 1236, 1244, 1267, 1280, 1284,1303, 1344

projecteur, 248–250, 271, 272, 490, 542, 544,757, 768, 789, 797, 845, 846, 1109,1115, 1116, 1118, 1129, 1133, 1271,1277

prolongement analytique, 1194propagateur, 272, 299–301, 332, 334, 335, 902,

922, 936, 947, 1011, 1289, 1298, 1321,1322, 1330, 1332, 1333

avance, 273, 1194d’une particule libre, 901, 903dans un milieu non dispersif, 192, 193retarde (causal), 721

proton, 188, 655

pseudo-potentiel de Fermi, 191, 1151, 1271

puissance moyenne instantanee, 959

1 EXMEQUAN_2015.indb 1385 24/09/15 17:19

physique

1386


puits“carre” circulaire, 574, 577

avec champ magnetique, 582“carre” spherique, 51

en theorie de Dirac, 674avec une barriere de Dirac, 368carre, 351, 368carre double, 377de Dirac, 339, 351, 353, 357, 388, 580–582,

868en dimension D, 584

infini, 380, 381, 383spherique, 588–590

Qquantification, 1255

d’une variable angulaire, 509de Bohr - Wilson - Sommerfeld, 131, 132,

140, 143, 145, 146, 149, 178–180de l’energie, 61, 71, 172, 177, 178, 1104du moment cinetique, 136, 177, 217, 1218,

1240

Rradioactivite, 25radiometre de Crookes, 65raie

21 cm, 1065Hα de l’hydrogene, 100, 102, 155, 658interdite, 1053jaune du sodium, 108Lyα de l’hydrogene, 100, 662, 919spectrale, 91

raies d’isotopes, 111rayon

classique de l’electron, 96, 97, 143, 192,220, 221

de la sphere de Fermi, kF, 795, 1131, 1138,1140, 1147, 1156

de la spheremoyenne par electron rs, 1131,1137, 1140

des orbites de Bohr, 92, 94, 138du noyau, 155, 865du Soleil, 61, 64

rayonnementfossile, 67, 69thermique, 77, 998

recouvrement, 284, 432, 827, 1070, 1080, 1099entre les bandes, 1174, 1181, 1182

recul de l’atome, 108recurrences (revivals), 306, 312reduction du paquet d’ondes, 712, 719reflexion

de Bragg, 475, 1259, 1270regime stationnaire, 73regle

de Bohr, 178, 183

de Hund, 1056, 1057de multiplication des matrices, 181de somme, 251–253, 910

Regle d’or de Fermi, 313regles

de Hund, 1052de selection, 115

dipolaires electriques (E1), 1053dipolaires electriques (E1), 1057pour un cristal parfait, 1166

regularisation, 336relation

d’Einstein, 8, 710d’incertitude, 196, 209, 210, 229de conservation locale, 204de de Broglie, 468de dispersion, 193, 473, 475, 1164, 1165,

1169, 1185, 1188, 1189, 1197, 1215,1225, 1230, 1249, 1260, 1265, 1266,1300, 1308

de fermeture, 249, 261, 340, 346, 347, 359,364, 429, 463, 502, 504, 716, 717,729, 902

des etats coherents, 458–460de Kramers, 602de Parseval - Plancherel, 201, 249, 251de Planck, 468de Riemann, 1360

relation locale de conservation, 162relations

de commutation canoniques, 509, 1085de Kramers - Kronig, 966

relaxation thermique, 64rendement photoelectrique, 72renversement du temps, 165, 337, 472, 482, 483repere

du centre de masse, 55, 58du laboratoire, 55

representation-p, 197, 200, 201, 203, 208, 209, 246, 248,

266, 277, 279, 298–300, 335–337, 348,463, 482, 505, 508, 613, 686, 702,712, 717, 719, 1268

-q, 200, 247, 266, 267, 279, 349, 351, 462,463, 492, 494, 505, 613, 655, 699,700, 702, 704, 712, 719, 807, 897,898, 1007, 1162

-interaction, 449integrale

de la fonction de Dirac, 463, 1003de la fonction hypergeometrique, 622,

623de Schafli, 565des fonctions de Bessel, 174, 177des polynomes de Hermite, 441des polynomes associes de Laguerre, 608des polynomes de Laguerre, 613, 617du propagateur, 336

1 EXMEQUAN_2015.indb 1386 24/09/15 17:19

1387

IndexIndex 1387

interaction, 916, 950, 954irreductible, 760, 767lineaire des groupes, 759, 763, 1107, 1109,

1114reguliere d’un groupe, 759, 763, 1115, 1119standard, 670

reseaude Bravais, 1167, 1172, 1175, 1184, 1186,

1188, 1192, 1213, 1220, 1241, 1245optique, 1270

direct, 1153, 1155reciproque, 1153, 1155, 1159, 1169, 1171,

1176, 1187, 1263, 1307reservoir, 698resolvante, 272, 713, 714, 724, 845, 846, 1192,

1194, 1198, 1201, 1202resonance, 83, 97, 99, 100, 102, 106, 155, 191,

192, 268, 290, 293, 337, 342, 399,454, 455, 556, 558, 559, 914, 916,917, 919, 921, 931, 932, 939, 942,944, 948, 967, 993, 996, 1194, 1260

a basse energie, 342, 1031optique, 100–102, 729

resonances de diffusion, 1034, 1037revivals, 312Riemann B., 1194, 1360rosette, 148, 648rotating wave approximation (RWA), 992rugosite du champ, 984Rutherford E., 37

Ssaturation (egalite des populations), 943saut de chaleur specifique, 1362, 1364, 1365schema en zones reduites, 1188, 1265, 1336, 1337Schrodinger E., 185, 192, 204, 208, 223, 228,

277, 278, 291, 433, 670, 810, 847,901, 941, 953, 1007, 1027, 1261

Seconde quantification, 810, 1140section efficace, 31, 72, 99, 1029, 1031, 1035,

1036a basse energie, 1024d’absorption, 72dans le repere du laboratoire, 55de capture, 45, 48de diffusion, 42de resonance, 100differentielle, 44, 52, 56, 97, 1023, 1024,

1033, 1035Rutherford, 1036Thomson, 98, 100totale d’ionisation, 31

self-energy, 220, 309, 601, 603, 714, 722, 1070,1130, 1135, 1138, 1202

semi-conducteur, 1193, 1196, 1302

semi-metal, 1174, 1183, 1191

separationdes variables, 552, 757du mouvement du centre de masse, 131

seriede Balmer, 100, 102, 108, 110, 113, 154,

155du positronium, 113

de Brackett, 110de Fourier, 169, 170, 172, 173, 175, 311,

332, 435, 469, 471, 472, 481, 509,510, 512

de Gauss, 332, 401, 404, 435de Kapteyn, 175de Lyman, 100, 102, 110de Paschen, 110entiere, 179, 206, 207, 266hypergeometrique, 406, 411

series spectroscopiques, 110Shannon C., 789, 792signature d’une permutation, 1109, 1133singularite

apparente, 1015, 1357essentielle, 1096, 1100, 1332, 1333logarithmique, 1093, 1136

singularites, 201, 311, 330, 331, 609, 623, 624,902, 906, 953, 958

des limites, 805Slater J.C., 268, 756, 789, 1039somme de Darboux, 335Sommerfeld A., 131, 132, 136, 140, 143, 145,

147, 1364spectre, 306, 489, 763, 1194, 1247, 1280

continu, 153, 306, 313d’absorption, 920, 921d’energie, 306, 313, 368, 370, 378, 381,

384, 433, 440, 473, 917des photoelectrons, 82

spectrographie de masse, 16spectrometre de Bainbridge, 18sphere

de Fermi, 1131, 1140, 1141, 1153, 1156,1157

dure, 43, 44spin-orbitale, 756, 757, 788, 789, 792, 797, 809,

1157stabilite de l’equilibre thermodynamique, 710statistique

de Bose - Einstein, 988, 997, 999, 1001,1005, 1006

de Fermi - Dirac, 1216de Maxwell - Boltzmann, 159

Stern O., 217, 221structure

de groupe, 759, 761, 1112fine, 158, 545, 870, 1052, 1054, 1055, 1058,

1066hyperfine, 884, 1064–1066, 1271

structure fine, 157, 870–874, 876

1 EXMEQUAN_2015.indb 1387 24/09/15 17:19

physique

1388


supraconductivite, 1096, 1353surface

d’equiaction, 129, 130de Fermi, 1154, 1156, 1157, 1181, 1201de l’ellipse, 138de la sphere unite dans RD, 581, 828, 829,

1215lisse, 67rugueuse, 65

susceptibilite, 97, 98, 941, 950, 953, 954, 957,959, 966, 1211, 1212, 1217, 1219, 1240

symetriebrisee, 125, 475, 501, 838, 858, 1162de rotation, 858de translation, 470, 473, 475, 838, 1162miroir, 462spherique, 51, 125, 144, 156, 584, 586, 602,

603, 605, 795, 828, 860, 866, 871,883, 984, 1024, 1030, 1074

Ttaux de remplissage d’une bande, 1161temperature

de Curie, 966de fusion du tungstene, 63de l’atmosphere terrestre, 61de la surface

d’une etoile, 61, 95du Soleil, 61

negative, 961temps

de Planck, 161de vol d’un photon, 728, 1079

temps imaginaire, 902tenseur completement antisymetrique (ou de

Levi-Civita), 127terme de Darwin, 655–660, 667, 670termes

anti-resonnants, 736, 850d’echange, 793directs, 793

theoremed’addition des harmoniques spheriques,

613, 1061d’Ehrenfest, 436, 739d’equipartition de l’energie, 7, 10de Bertrand, 175de Bloch, 1173, 1188, 1192, 1221, 1242,

1247, 1260, 1264, 1267, 1299de Cauchy, 273de Cauchy - Lipchitz, 438de Cayley, 489, 490, 1107, 1111de Cayley - Hamilton, 290, 291, 488, 489,

562, 1297de convolution, 432, 699, 902, 905, 1005,

1048, 1049de Dirichlet, 509

de fluctuation - dissipation, 8, 710de Gauss, 142, 144, 866, 1069–1072, 1074de Gell-Mann et Low, 456, 970de Hellmann - Feynman, 842, 844, 1073de Mermin - Wagner, 1174de Miss van Leeuwen, 219de Wick, 1346de Wigner - Eckart, 541, 870, 873, 884,

888, 1217des residus, 198, 201, 272, 273, 307, 309,

313, 347, 350, 359, 442, 447, 470,472, 606, 618, 619, 714, 716, 721,724, 728, 950, 953, 958, 1009, 1014,1015, 1019, 1022, 1194, 1354, 1357

du Viriel, 92–94, 112, 133, 493, 644, 657,829, 831, 1047, 1073

limite central, 910, 949theorie

de Coster - Slater, 268de Dirac, 647, 659, 670, 674de Weiss, 1361, 1366des perturbations

de Brillouin - Wigner, 845de Rayleigh - Schrodinger, 845, 847

Thomson J.J., 1, 96, 142trace

d’un commutateur, 260d’un operateur, 260

trajectoire brownienne, 984transformee

de Fourier d’une gaussienne, 93de Laplace, 272

transformationde Foldy - Wouthuysen, 667, 670de Fourier, 92, 200, 280, 299, 301, 348,

350, 451, 471, 580, 616, 690, 705,706, 708, 716, 724, 729, 950, 953,954, 960, 962, 966, 984, 998, 1003–1005, 1019, 1022, 1048, 1049, 1083,1143, 1146, 1185, 1190, 1192, 1318

de Galilee, 464, 466, 468de Hilbert, 966de Kummer, 613, 617de Laplace, 33–35, 273, 622, 694, 695, 902,

904, 906unitaire, 991, 993, 995

transitiona deux photons, 919, 921, 1053a un photon, 921de Mott, 1087dipolaire

electrique (E1), 253, 305, 1052,1053,1056, 1057

magnetique (M1), 917, 918, 1065du premier ordre, 1287, 1288liquide - gaz, 1366non-radiative, 313ordre - desordre, 1222

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1389

IndexIndex 1389

para - ferromagnetique, 1088virtuelle, 992, 1074, 1125

transpositions, 761, 763, 765, 792, 800, 804,1113

travail de sortie, 74–76trou de Fermi, 751, 753, 1053, 1057, 1076, 1082,

1139, 1220, 1306

U - Vvaleur moyenne

de l’energie, 204, 205, 285, 287, 303, 304,320–322, 324, 587, 817, 818, 830, 840,1081

de l’impulsion, 301, 336, 337, 688de l’interaction spin-orbite, 661de la magnetisation, 218de la position, 246, 247, 276, 671, 684, 685,

820, 834de la vitesse, 253, 825, 1270du terme de contact, 855

valeurs propres, 123, 194, 228, 229, 231, 235,236, 248, 258, 262, 272, 304, 307,310, 321, 343, 379, 457, 470, 472,473, 479, 486, 488, 502, 563, 653,825, 843, 848, 851, 876, 881, 896,995, 996, 1061, 1070,1071, 1077, 1111,1120, 1163–1165, 1177, 1180, 1189,1191, 1195, 1220, 1229, 1254, 1259,1266, 1280, 1296, 1300, 1309, 1311,1340

d’un operateur unitaire, 270variable

aleatoire, 6gaussienne, 1347

cyclique, 134muette, 77, 200, 334, 465, 615, 1169

variablesbinaires, 1229conjuguees, 1316, 1319

vecteur-caractere, 760, 768de Lenz - Runge, 626polarisation, 553

vecteurspropres, 227, 232, 235, 251, 255, 270, 272,

391, 435, 478, 484, 486, 502, 503,652, 667, 711, 713, 759, 763–765, 825,864, 875, 881, 915, 918, 992, 995,1007, 1110, 1221, 1229, 1247, 1254,1289, 1291, 1295, 1297, 1300

communs, 270, 545, 764, 768, 882, 883,917, 1213, 1229, 1255

primitifs, 1168, 1170, 1172, 1175, 1176,1184, 1186, 1187, 1263

vent solaire, 65vertus predictives de la Mecanique classique,

162

vitessede groupe, 203, 294, 295, 327, 1185, 1316,

1317, 1320–1323de phase, 1316, 1320, 1322, 1333

WWagner H., 1174Wiener N., 789, 792Wigner E.P., 541, 699, 700, 703, 845, 847, 873,

884, 998, 1153, 1156, 1159, 1184, 1217Wilson W., 131, 132, 136, 140, 143, 145Wronskien, 315

des fonctions de Bessel, 971

X - Y - ZYoung T., 195Zitterbewegung, 670

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Claude Aslangul

Mécanique quantique 3Corrigés détaillés et commentés des exercices et problèmes

ISBN : 978-2-8073-01436

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www.deboecksuperieur.com

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Dans le cadre du nouveau Système Européen de Transfert de Crédits (E.C.T.S.), ce manuel couvre en France les niveaux : Licence 3, Master 1 et 2, Doctoraten Belgique : Baccalauréat 3, Master 1 et 2, Doctoraten Suisse : Bachelor 3, Master 1 et 2, Doctoratau Canada : Baccalauréat 3, Master 1 et 2, Doctorat

L1L2

L3

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M2

M1

Licence, Master et Doctorat de physique

LMD

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3

9 782807 301436

Le tome 3 de Mécanique quantique s’adresse à un large public, allant de la 3e année de Licence au Master, certains développements pouvant de surcroît être utiles aux doctorants. Il intéressera également les étudiants préparant les concours de l’enseignement et les élèves des classes préparatoires aux grandes écoles.

Cet ouvrage, issu d’une expérience d’enseignement en Licence - Maîtrise de Physique et DEA de Physique des solides à l’Université Pierre et Marie Curie et à l’ENS (Ulm), est une nouvelle édition très enrichie des corrigés des problèmes proposés à la fin de chaque chapitre des tomes 1 et 2, originaux pour une bonne part d’entre eux. Les sujets abordés permettent d’une part de se familiariser avec les concepts quantiques et l’inévitable formalisme qui les traduit et assure leur robustesse, d’autre part de voir à l’œuvre l’extraordinaire pouvoir explicatif de la théorie en présentant quelques-unes de ses innombrables applications à la physique de basse énergie (atomes, molécules, matière condensée).

Chaque corrigé, précédé de l’énoncé correspondant, est rédigé en grand détail afin de permettre la vérification minutieuse de toutes les étapes du raisonnement et des calculs. Il implique parfois des connaissances mathématiques avancées que l’on s’est efforcé de présenter de façon graduelle et intuitive, avec également le souci de montrer leur universalité en physique. Le cas échéant, un complément permet d’approfondir un point, ou d’établir un lien avec d’autres questions à première vue quelque peu éloignées du sujet du problème. Enfin, des références sont fournies, qui renvoient tantôt à des ouvrages académiques, tantôt aux revues spécialisées ayant publié les articles originaux dont certains problèmes ont été tirés.

Claude Aslangul est professeur émérite à l’Université Pierre et Marie Curie et a enseigné à l’École Normale Supérieure (Ulm) pendant une quinzaine d’années. Il est membre du Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée (Jussieu).

LM

D

EXERCICES ET PROBLÈMES CORRIGÉS

Claude Aslangul



2e édition

Les « plus » Corrigés très détaillés de tous

les exercices et problèmes

Rappel des connaissancesmathématiques spécialisées

Liste de références bibliographiques

Préparation aux concours del’enseignement et des grandesécoles scientifiques

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