Mécanique du point (II) – Électricité© de Cergy-Pontoise Année 2013-14 Licence L1 – MPI...

Université de Cergy-Pontoise Année 2013-14Licence L1 – MPI 2ème semestre

L1S2 - MPI

Mécanique du point (II) – Électricité

Énoncés des travaux dirigés

voir :

http://www3.u-cergy.fr/trambly/L1S2MecaElec/

TD 1 : Cinématique de rotation

I) Le repère polaire

1) Soit le vecteur. OA Faire un schéma faisant apparaître les cordonnées du point A par

rapport à l’origine situé en O dans les repères cartésien et polaire ainsi que les vecteurs de

base correspondants. Indiquer les composantes du vecteur OA dans les deux bases

On peut interpréter le vecteur OA comme le vecteur position )(tr

d’un point matériel à

l’instant t. Si à l’instant t + dt le point matériel se trouve au point B, indiqué par le vecteur

)( dttrOB

, dessiner les vecteurs des deux bases en B. Quelle différence majeure

observez-vous entre les deux bases ?

2) ) Exprimer en cordonnées polaires: le vecteur r , sa variation élémentaire dr, la vitesse v,

et l’accélération a.

3) Un point matériel effectue un mouvement dans le plan de telle sorte que ses cordonnées

dans le repère cartésien sont )cos( tRx et )sin( tRy où R et sont constantes et t

est le temps.

a) Quelle courbe détermine le mouvement du corps ? Obtenez l’équation de la trajectoire.

b) Quel est le sens physique de la constante ?

c) Obtenez les composantes cartésiennes de la vitesse du point.

Représentez-la schématiquement sur la trajectoire.

d) Idem pour l’accélération.

e) Répétez les points précédents dans le repère polaire.

4) L’orbite de la Terre, même si elle est elliptique, peut être considérée en première

approximation comme un cercle. En considérant la Terre comme un point matériel,

calculez sa vitesse angulaire de rotation autour du Soleil et sa vitesse linéaire moyenne.

Quelle est l’accélération centripète de la Terre dans ce mouvement ?

5) a) Un point matériel est supposé se déplacer sur une spirale d’équation t

bexp ,

où et b sont des constantes positives. Représenter cette spirale

b) Retrouver l’expression générale de la vitesse et de l’accélération en coordonnées

polaires.

c) Déterminer l’expression des vecteur vitesse et accélération ainsi que leurs normes

dans ce cas. On supposera que t , avec Cte .

d) Déterminer l’angle que font entre eux les vecteurs vitesse et accélération. Schéma

avec base polaire et intrinsèque.

e) Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire.

6) Un mobile, supposé ponctuel, décrit la courbe plane d’équation : 0 cos où 0

est une longueur.

a) Allure de la trajectoire ?

b) On choisi l’origine des temps au point où = 0, on suppose que la vitesse angulaire

= cte. Exprimer la vitesse linéaire de la vitesse. (norme, composantes radiales et

orthoradiales

c) De même exprimer l’accélération à l’instant t.

I) Le produit vectoriel

1) a) Calculer la norme de C = A B et représenter le vecteur produit vectoriel dans les deux

cas représentés ci-dessous.

b) Définir un référentiel cartésien et obtenir les composantes de C dans les deux cas.

2) a) En utilisant la définition du produit vectoriel de deux vecteurs, calculer les produits

vectoriels des vecteurs de base du repère cartésien, et cylindrique.

b) En utilisant la propriété distributive du produit vectoriel par rapport à l’addition

montrer que si A = ax i + ay j + aZ k et B = bx i + by j + bZ k, alors

C = A B = ( ay bz- az by) I + ( az bx-ax bz) j + ( ax by- ay bx) k

3) Propriétés géométriques de la direction :

En utilisant les composantes cartésiennes des vecteurs,

a) Vérifiez que si A et B sont parallèles alors A B = 0

b) En partant des composantes cartésiennes des vecteurs, montrez que si A et B ne sont

pas parallèles alors A B est orthogonal au plan (A, B).

4) Propriétés géométriques de la norme :

En partant des composantes cartésiennes des vecteurs

a) Montrez que ||A B|| = ||A|| ||B|| sin

b) En déduire que ||A B|| n’est autre que la surface du parallélogramme défini par A et B

5) Le vecteur vitesse angulaire :

Comment faut-il définir le vecteur vitesse angulaire pour que l’on puisse écrire

v = r, où r désigne le vecteur position d’un point P qui tourne à vitesse angulaire

autour d’un axe tel que l’origine O est situé sur l’axe de rotation. La position du point

O sur l’axe de rotation est-elle importante ?

30°A=4

B=5

°

A=2

B=6

Universite de Cergy-PontoiseS2-MPI Physique 2009/10

TD 1b : Revision sur les nombres Complexes

Ex 1. Forme polaire des nombres complexes et representation vectorielle

Exprimer en forme polaire

1. z = 2 + 2√

3i

2. z = −3i

Ex 2. Theoreme de De Moivre

Si z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) et z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) Montrer que:

1. z1z2 = r1r2cos(θ1 + θ2) + i[sin(θ1 + θ2)]

Exprimer ce resultat en utilisant la formule de Euler

2. z1/z2 = r1/r2cos(θ1 − θ2) + i[sin(θ1 − θ2)]


3. Prouver par induction le theoreme de De Moivre:

(cos θ + i sin θ) ∗ ∗n = cos nθ + i sin nθ ou n est un entier positif


Ex 3. Montrer que:

1. cos θ = (exp iθ + exp−iθ)/2

2. sin θ = (exp iθ − exp−iθ)/2i

Ex 4. Donner une interpretation geometrique du nombre complexe z exp(iα) ou α est un nom-bre reel.


TD 2 : Moment cinetique, moment d’une force, systeme

de points materiels

Ex 1. a) Deux masse m1 et m2 sont accrochees a une tige de masse negligeable de longueurl. La tige est attachee O par un fil (figure a). Determiner la position de O pour quela tige soit a l’equilibre.

b) Meme question pour une tige coudee de longueur l + d (figure b).

c) Deux enfants ont a partager un (gros) bonbon en forme de cane (figure c). L’unpropose de l’attacher par une ficelle, jusqu’a trouver son equilibre (la partie rectiligneetant horizontale) et de couper a cet endroit.

Quel morceau choisiriez-vous ?

O1 2m ml O1m

m2

ld

figure a figure b figure c

Ex 2. Pour une particule ponctuelle de masse m, de vecteur position −→r =−−→OM et de quantite

de mouvement −→p , subissant une force−→F , a quelle(s) condition(s) a-t-on:

(i)−→LO = −→r ∧

−→p =−→0 ? (ii)

−→MO(

−→F ) = −→r ∧

−→F =

−→0 ?

Ex 3. Une particule ponctuelle de masse m parcourt une droite verticale d’equation cartesienne

x = x0 a la vitesse −→v = v(t)−→uy. Calculezd−→LO

dt. On suppose que v(t) = a t, avec a une

constante. Trouvez alors la force subie par la particule.

Ex 4. Lesquels des mouvements dont l’allure est representee ci-dessous ne peuvent pas s’effectuersous l’effet d’une unique force centrale de centre O (discussion qualitative uniquement) ?

NB: Une force centrale est dirigee en direction radiale et depend seulement de la distanceau centre de forces

O

OO

O O

Ex 5. Une masse ponctuelle m peut se deplacer sans frottement sur un plan horizontal perced’un petit trou, en O. Cette masse est attachee par une corde, sans masse et inextensiblede longueur l, a une autre masse M > m pendant librement sous le plan.

A t = 0, m est a la distance r0 de O et possede une vitesse de norme v0, orthogonale a−→r0 . On laisse ce systeme evoluer librement.

Determinez la vitesse angulaire ω en fonction de la distance r de m a O.

Comment doit-on choisir M , pour que m ait un mouvement circulaire ?

Ex 6. Une masse ponctuelle m peut se deplacer sans frottement sur un plan horizontal, elleest attachee a un ressort, de raideur k et de longueur a vide l0, lui-meme fixe a l’origineO du plan.

A t = 0, m est au point A, a la distance rA = l0 + ∆l de O, et possede une vitesse denorme vA, orthogonale a −→rA. On laisse ce systeme evoluer librement.

Quelle(s) grandeur(s) se conserve(nt) lors de ce mouvement ?

Si m passe par un point B tel que OB = l0, calculez les vitesses possibles, −→vB, de m enB. A quelle condition m passe-t-elle par un tel point ?

Ex 7. Une barre de longueur L et de masse M peut tourner autour de son centre de symetrieO. Deux masses m sont fixees sur la barre, a une distance H0 de part et d’autre du pointO. Le systeme est horizontal et les frottements negliges. On lance l’ensemble avec unevitesse angulaire initiale θi. Les deux masses se deplacent et la vitesse angulaire devientθi/2. Determiner la nouvelle distance H des masses au centre O.

Ex 8. Deux particules de meme masse m se deplacant avec des vitesses de meme module dansles directions indiquees sur la figure I, entrent en interaction dans la region notee R. Unefois sorties de la region d’interaction une des particules se deplace comme indique sur lafigure II.

a) Analysez quelles grandeurs physiques sont conservees pendant le mouvement et obteneztoutes les informations qualitatives sur le mouvement.

b) Quelle est la vitesse des particules une fois l’interaction finie? Trouver leur trajectoire.

c) Comparez le module de la vitesse v? avec celui a l’instant initial v0. Discutez les casou a > b ; a = b et a < b.


TD 3 : Interaction gravitationnelle

On rappelle : constante universelle de la gravitation G = 6.67 10−11 USI, masse de la terreMT = 5.97 1024 kg, rayon de la terre RT = 6.37 103 km.

Ex 1. On peut considerer que la Terre et Mars decrivent des orbites approximativement cir-culaires. Le rayon de celle decrite par la Terre etant de R0 = 1.5 1011 m et sachant queMars met 687 jours pour parcourir son orbite, calculer le rayon de son orbite.

Ex 2. Obtenir l’expression du poids d’un corps pres de la Terre a partir de l’expression generalede la loi de la gravitation. Donner l’expression de l’acceleration de la pesanteur en fonctiondes parametres terrestres. Sera-t-elle constante en tout point de la surface de la Terre ?

Ex 3. On met on orbite un satellite artificiel geostationnaire (fixe par rapport a la Terre).

a) Montrer que la trajectoire du satellite est dans le plan equatorial et que son orbiteest circulaire.

b) Calculer le rayon de son orbite et sa vitesse.

Ex 4. Quelle est la vitesse necessaire dans un tir a la verticale pour qu’un corps arrive a lahauteur maximale de 600 km ?

Ex 5. On considere un satellite artificiel de masse m

a) Calculer la vitesse de liberation du satellite.

b) Le satellite est place sur une orbite circulaire de rayon r0. Calculer la vitesse dusatellite et sa periode de revolution. Calculer l’energie mecanique, E0 , de ce satellite.

En un point de sa trajectoire, on communique un excedent de vitesse au satellite.

La nouvelle vitesse −→v1 est tangente a l’orbite circulaire.

c) Montrer que la nouvelle trajectoire est contenue dans un plan que l’on determineraet calculer la nouvelle valeur de l’energie mecanique E1.

d) Discuter les differents mouvements du satellite suivant le signe de E1. Calculer enparticulier la distance minimum rmin du satellite dans les deux cas. A quelle(s)condition(s) le satellite sera-t-il perdu ?

Ex 6. Exercice complementaire

Montrer que la nature elliptique de l’orbite d’une planete soumise a une unique forcecentrale (direction radiale et dependant seulement de la distance au centre des forces),implique que cette attraction est newtonnienne.

N.B. : l’equation de l’ellipse en coordonnees polaires peut s’ecrire : r =p

1 + e cos θ, ou

p > 0 et e < 1 (excentricite).


TD 4: Changement de referentiel

Ex 1. Comment une personne se deplacant horizontalement a la vitesse −→v doit-elle inclinerson parapluie pour se proteger au mieux de la pluie qui tombe verticalement a la vitesse−→u ?

Ex 2. Vous prenez un ascenseur votre valise a la main. La valise vous paraıt-elle plus lourde,moins lourde ou aussi lourde lorsque : (i) l’ascenseur demarre en descendant ?

(ii) l’ascenseur monte a vitesse constante ?(iii) l’ascenseur demarre en montant ?

Ex 3. Un objet ponctuel de masse m est suspendu verticalement a un fil inextensible, de massenulle et de longueur l. L’extremite du fil est fixee au plafond d’une voiture qui se deplaceen ligne droite. Calculer l’angle α du fil avec la verticale en fonction de l’acceleration dela voiture.

Ex 4. Un manege de fete foraine est constitue d’un enorme cylindre vertical qui tourne autourde son axe. Les passagers penetrent a l’interieur et s’installent contre la paroi du cylindre.Le cylindre est mis en rotation de plus en plus vite. Quand la vitesse de rotation estsuffisamment grande le plancher est retire et les passagers restent colles contre la paroidu cylindre.a) Pourquoi les passagers restent-ils colles contre la paroi ? Que ressent un passager qui

essaie de decoller un bras ?

b) Soit µ le coefficient de frottement des passagers sur la paroi du cylindre. Quelle estla vitesse de rotation minimale a partir de laquelle on peut retirer le plancher ? Quese passe-t-il si la vitesse de rotation est inferieure a cette vitesse minimale ?

Ex 5. Une masse m, supposee ponctuelle, peut glisser sans frottement le long d’une tige hor-izontale (voir figure). A l’instant initial m est a la distance ρ0 de O et sa vitesse estnulle. La tige a un mouvement de rotation a vitesse angulaire ω constante autour de l’axevertical (Oz) du referentiel (Oxyz) suppose galileen.

Determiner l’equation differentielle du mouvement. Verifier que ρ(t) = Aeαt + Be−αt estsolution de cette equation. Quelles sont les valeurs des constantes α, A et B ?

mO

ω

ρ

g Figure 2

Ex 6. Montrer que l’on tire avantage de la rotation de la terre a lancer les satellites artificielsle plus pres de l’equateur et vers l’est. On supposera que la terre est une sphere (memefigure Ex. 7).

Ex 7. En supposant que la terre est une sphere, montrer que le poids apparent d’un objet fixepar rapport a la surface de la terre depend de sa latitude λ.

Determiner l’angle en le vecteur −→g apparent, note −→g ∗, et la verticale.

λ

x

y

z

méridien

(est)

(nord)

ω

A

équateur

Figure 3

(verticale)

O

Ex 8. Force de Coriolis : Deviation vers l’est d’un objet en chute libre

On abandonne sans vitesse initiale un objet ponctuel, de masse m, a l’altitude h = 100 mde la surface de la terre (a la latitude λ). La terre, supposee spherique, est en rotation avitesse angulaire constante ω.a) Dans le repere (Axyz) lie a la surface de la terre, quelles sont les forces qui s’exercent

sur l’objet ? Dans quelle direction l’objet est-il devie par rapport a la verticale ?

b) A l’equateur (λ = 0 ), calculer cette deviation lorsque l’objet arrive sur le sol.

Ex 9. Usure des rails

Un train de masse m = 2 tonnes avance vers le nord, le long d’un meridien, a la vitessede 100 km.h−1, dans une region de latitude λ = 45o de l’hemisphere nord.

Exprimer la valeur et la direction de la force laterale exercee sur les rails.


TD 5 : Mouvement Oscilatoire

Questions

a) Supposez qu’on dispose un bloc de masse inconnue et un ressort de constante elastique aussiinconnue. Comment peut-on predire la periode d’oscilation du systeme masse+ressort ?

b) Peut-on avoir un oscillateur qui soit non-harmonique meme pour des amplitudes d’oscillationarbitrairement petites ?

c) En utilisant un raisonnement qualitatif pouvez vous predire si un pendule qui oscille avecune grande amplitude aura une periode superieure ou inferieure a celle correspondant auxoscillations de petite amplitude ? (Pensez a des cas extremes)

d) Pourquoi croyez vous que dans les machines soumises a vibration on integre souvent undispositif amortisseur ?

e) Sous quelles conditions la courbe de resonance d’un oscillateur aura un pic plus prononceet plus etroit ?

f) La masse se deplace avec vitesse angulaire constante, dans un cercle de rayon R situe dansun plan comme le montre la figure. Indiquer dans quels points du mouvement ella aura lememe deplacement que la particule oscillante correspondante.

Idem pour le module de la vitesse et de l’acceleration.

Exercises

Ex 1. Un bloc de masse m1 = 4 kg accrochee a un ressort vertical,produit un etirement de16cm a partir de sa longueur au repos. On retire le bloc, on met le ressort en positionhorizontal sur une surface sans frottement avec une extremite accrochee a un mur. Onaccroche l’autre extremite a une masse m2 = 0.5 kg du Si l’on met ce nouvel systeme enmouvement, quelle sera la periode d’oscillation ?

Ex 2. Deux particules sont en mouvement harmonique simple sur la meme direction. Ellesont la meme amplitude et la meme frequence. Elles se croissent lorsqu’elles se deplacent

en sens oppose chaque fois que leur etirement est egale a la moitie de l’amplitude. Quelleest leur difference de phase ?

Ex 3. Deux ressorts sont connectes comme le montre la figure.

Une masse m est accrochee a l’extremite libre, en negligeant les frottements montrer quela frequence d’oscillation de la masse m est:

f =1

2π

√

k1k2

m(k1 + k2)

Ex 4. Deux ressorts sont connectes comme le montre la figure.

En negligeant les frottements montrer que la frequence d’oscillation de la masse m est:

f =1

2π

√

(k1 + k2)/m

Ex 5. Un bloc de masse M est suspendu d’un ressort de constante k. On effectue un tir vertical,au depart du sol juste en dessous du bloc, d’un projectile de masse m avec une vitesseinitiale de norme v0 . Le projectile reste incruste dans le bloc apres le choc. On supposeraM ≫ m.

a) Calculer l’amplitude du mouvement oscillatoire resultant

b) Quelle fraction de l’energie cinetique initiale du projectile reste emmagasinee dans lesysteme projectile+masse+ressort ?

Dans ce processus l’energie est-elle conservee? Expliquez.

Ex 6. Un pendule simple de longueur l = 1 m effectue 100 oscillations completes en 204 secdans un certain lieu. Que vaut l’acceleration de la pesanteur dans ce lieu ?

Ex 7. Une masse ponctuelle m se deplace sans frottement a l’interieur d’une coquille spheriquede rayon R. Montrer que le mouvement de la masse pour des petits ecarts a l’equilibreest harmonique simple.

Ex 8. Une masse de m = 2 kg oscille attachee a un ressort de constante k = 400 N/m avecune amplitude initiale AO = 3 cm.

a) Calculer la periode et l’energie initiale totale.

En supposant que l’amortissement est faible :

b) Exprimer la puissance moyenne sur une periode en termes de l’energie.

c) Calculer la constante d’amortissement b, sachant que le systeme perd 1% de son energiepar periode.

Ex 9. Un oscillateur est soumis a une force externe F = F0 sin(ωt). On se placera dans lasituation du regime permanente dans le cas d’amortissement faible. En supposant queω < ω0, montrer que la puissance introduite par la force externe est :

P =F 2

0ω

2m(ω20 − ω2)

sin 2ωt

Ex 10. Une masse m est posee sur un plan horizontal sans frottement. Elle est soumise a uneunique force horizontale de direction constante et d’intensite F (t) = F0 sin(ωt).

a) Calculer l’acceleration, la vitesse et la position de m en fonction du temps, sachantque a t = 0 la masse etait au repos en x = 0.

b) Quelle est l’amplitude de ce mouvement oscillatoire ?

c) Si maintenant on attache la masse m a un ressort de constante k quel est le mouvementresultant si la masse est toujours soumise a la meme force externe F (t) ?


TD 6 : Electricite - I

Ex 1. Champ electrique

Deux charges ponctuelles q1 et q2 se trouvent a une distance d l’une de l’autre, q1 etantsituee a l’origine des coordonnees et q2 sur l’axe positif (Ox). Pour les valeurs q1 = 10−6 C,q2 = 3 × 10−6 C et d = 10 cm, calculer et representer graphiquement le champ electrique−→E en tout point x de l’axe (Ox) du a ces deux charges. On considera que E est positifsi la direction du champ est vers la droite et negatif dans le cas contraire.

Ex 2. Potentiel electrique

Une charge ponctuelle a pour valeur q = 1, 16µC et se trouve a l’origine d’un axe Ox.Soient un point A d’abcisse xA = 2.06 m et un point B d’abcisse xB = −1, 17 m. Calculerla difference de potentiel VA − VB. Refaire le calcul lorsque B se trouve sur l’axe (Oy)avec yB = 1, 17 m.

Ex 3. Condensateur

Un condensateur de capacite C = 26, 0µF est vide initiallement. Une batterie fournitune difference de potentiel 125 V aux bornes de ce condensateur pendant un temps treslong, quelle est la charge passee dans le condensateur ?

Ex 4. Resistance electrique

Une piece en fer a pour dimensions 1, 2 cm ×1, 2 cm×15 cm. La resistivite du fer estρ = 9, 68 × 10−8 Ω.m. Calculer la resistance electrique entre deux faces carrees de cettepiece. Calculer ensuite la resistance electrique entre deux faces rectangulaires de cettepiece.

Ex 5. Courant electrique

Un courant de 4.82 A passe dans une resistance de 12, 4 Ω pendant 4, 60 min. Quelle est lacharge electrique et combien d’electrons sont passes dans une section da cette resistancependant ce temps? Charge de l’electron e = 1, 6 × 10−19 C.

Ex 6. Charge de condensateur

Une resistance R = 6, 2 Ω et un condensateur C = 2, 4µF (initialement decharge) sontrelies en serie a une batterie de 12 V. Quelle est la constante de temps τ de ce circuit ?A quel moment la difference de potentiel aux bornes du condensateur est egale a 5, 6 V ?


TD 7 : Electricite - II

Ex 1. Un circuit est fait de cinq resistances reliees a une batterie de 12 V (voir fig. 1). Trouverla difference de potentiel aux bornes de la resistance de 5 Ω.

Ex 2. Dans la figure 2, on donne R1 = 112 Ω, R2 = 42 Ω, R3 = 61, 6 Ω, R4 = 75, 0 Ω etE = 6, 22 V. Trouver la resistance equivalente de ce circuit. Calculer ensuite le courantdans chaque resistance.

Ex 3. Trouver la resistance equivalente du systeme de resistances de la figure 3

a) entre les bornes F et H,

b) entre les bornes F et G.

Ex 4. Calculer le courant a travers l’amperemetre dans le circuit suivant (fig. 4). On supposeraque l’amperemetre a une resistance interne nulle.

Ex 5. Dans le circuit suivant (fig. 5) on donne R1 = 1.20 Ω, R2 = 2, 3 Ω, E1 = 2, 0 V, E2 = 3.8V et E3 = 5, 0 V.

a) Calculer le courant a travers chaque f.e.m.,

b) Calculer la difference de potentiel entre les points A et B: VB − VA.

Ex 6. Soit le circuit de la figure 6 avec R0 = 0, et R1 = R2 = R. Si les bornes A et B sontreliees par une resistance r, montrer que le courant dans cette resistance est

i =E(Rs − Rx)

(R + 2r)(Rs + Rx) + 2RsRx

6

4

12

53

12 V

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

fig. 1

E

R

R RR

1

23

4

fig. 2

Ω

R R

R

RR

F

H

fig. 3

G E

R

R R

R

A

fig. 4

E

E

E

R R

R

R

1 1

1

R1

23

1

2

fig. 5

R

RR

R

R E

A

B

A

B

0

12

s

x

fig. 6

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