Mécanique Des Roches 1

Université KASDI MERBAH Ouargla

Faculté des Sciences et Technologie et Sciences de la Matière

Département d’Hydrocarbures et Chimie

Module : La mécanique des roches (cours)

Niveau : 1ère

année mastère – Forage

Enseignante : HADJADJ SOUAD

1

Chapitre I :

Introduction à la mécanique des roches et les principes de la géomécanique

1. La mécanique : couvre la connaissance des forces et leurs effets, déformations,

ruptures et déplacements des corps

2. La géologie : se considère en même temps une science naturelle et historique,

Naturelle → description des matériaux qui constituent la croute terrestre, y compris les

fluides (les eaux sous terraines, le gaz naturel, le pétrole et l’air)

Historique → étude de la genèse et les transformations de ces matériaux

(sédimentologie, tectonique, sismologie, …)

3. La géomécanique : étudie la déformation ou le déplacement de géomatériau, sol, roche

ou fluide souterrain sous l'action de la gravité, à laquelle peuvent se superposer des

contraintes induites. Elle manipule des modèles très schématiques, issus des conditions

aux limites simplistes, qu'impose l'intégration des équations de champs très complexes.

Elle mesure très ponctuellement divers paramètres, sur échantillon ou in situ et prétend

les extrapoler à l'ensemble du site.

Elle réduit l'action de la contrainte qui produit un déplacement, une déformation

instantanée pouvant aller jusqu'à la rupture.

4. La pétrologie : est la science des roches, qui s'attache à décrire, définir et classer les

roches, puis à établir les lois régissant les modes de mise en place, leur origine et leur

évolution. Elle étudie des matériaux se présentant sous les trois aspects de la matière :

solide, liquide et gazeux (mécanismes à l’origine de la formation de la transmormation

des roches).

5. La pétrographie : est la description des roches, définir et mesurer leurs paramètres

caractéristiques (structurales) comme la résistivité électrique, la composition chimique

et minéralogique, la perméabilité, la résistance mécanique, etc.

6. La mécanique des roches : traite les effets des forces (déformation, rupture et

déplacement) appliquées aux roches pour résoudre les problèmes de l'ingénierie à toutes

échelles de longueur et de temps, variant du micromètre (cristaux) au rayon terrestre

(blocs de granite) selon le domaine d'application. En génie civile sont à l'échelle du

mètre et du siècle, en plus petit (à l'échelle de longueur), le forage, le concassage,

l'altération, en plus grand, le stockage, la stabilité des montagnes. A l'échelle du temps,

l'exploitation minière est le jour ou la semaine, tandis que à l'explosif, la milliseconde et

en sens inverse pour le stockage des déchets radioactifs c'est les 1000 siècles.

Elle concerne tantôt les milieux continus tant solides que fluides, tantôt les

discontinuités et les milieux associants solides et fluides.





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2

Dans le domaine pétrolier elle s'applique sur les essais mécaniques en laboratoire et sur

place (en forage), par l'intermédiaire de la similitude et sur la base de la modélisation

numérique.

Elle se base sur la mécanique rationnelle pour comprendre les équilibres et les

mouvements des roches, la mécanique des milieux continus afin d'étudier les

déformations effectuées sur le milieu continu et la mécanique de rupture, en cas de

fissures (concentration des contraintes).

7. L'ingénierie du pétrole : s'intéresse par l'efficacité des outils de forage, la stabilité des

puits, les affaissements de la surface et les réservoirs profonds à hautes pression et

température.

8. Les roches

8.1. Définition : assemblage plus au moins compact de grains cristallins / des

agrégats compacts ou meubles qui constituent l'écorce terrestre et son composés de

minéraux homogènes ou différents.

8.2. Identification : Les roches s'identifient par leurs :

Structure : qui embrasse les particularités de leurs architectures, assurés par les

dimensions, la forme, la nature d'association des minéraux constituants et le degré

de cristallinité de leurs matières.

Texture : (ou l'arrangement, ou l'orientation) est la répartition mutuelle de leurs

éléments constitutifs dans l'espace occupé par ces dernières.

Donc pour mieux comprendre le comportement mécanique des roches on appui sur :

L'anatomie : les changements ou déformations des roches.

La morphologie : l'analyse des formes de la surface, qui renseigne sur ce qu'on va

trouver à l'intérieur

La physiologie : rend compte de ce qui se passe à l'intérieur, naturellement ou sur

intervention humaine.

8.3. Classification des roches : ils existent trois types sont

Roches ignées ou magmatiques (éruptives)

Formées par le refroidissement et la solidification du magma, aux niveaux de surface

(roches volcaniques ou effusives : laves) portent peu de cristaux. Aux profondeurs

(roches plutoniques) portent plus de cristaux. Elles sont généralement enrichies des

silicates (minéraux) tels que le quartz; feldspaths alcalins et plagioclases, amphiboles,

micas, etc. les plus répondues sont les granites.





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3

Roches sédimentaires

Se forment par des phénomènes exogènes, par :

le cumul des dépôts des débris organiques (organogènes), les bitumes et le charbon.

le dépôt des éléments détritiques résultant de la corrosion des roches magmatiques

par l'intermédiaire d'une source :

- mécanique (vents, précipitations, écoulements des fluides, …)

- chimique (réaction chimique entre fluide et roche)

Les roches sédimentaires donnent naissance aux différents grés, argiles, glaises, marnes

et conglomérats. Elles contiennent souvent des impuretés en grandes quantités servant

de ciment pour donner forme à des schistes argileux, des calcaires gréseux, des

calcaires silicifiés, des sables schisteux, …etc. un autre groupes est formé par des

formations où l’eau s’est évaporée, pour donner naissance aux sels, anhydrites, gypses

et potasses

Etant donné leur importance, il est bon de résumer les gites des minéraux sédimentaires,

tels que :

Détritiques → or (dans les alluvions), diamant, oxyde de titane

(Alluvion : Dépôt de sédiments charriés par les eaux d'une rivière, d'un fleuve.. )

Chimiques → par altération (dégradation de quelque chose) sur place (bauxite,

oxyde de fer)

Par transport et précipitation (roches salines : gypse, sel gemme, chlorure de

potassium) ; fer oolithique

Biologique → charbon, hydrocarbures

Biochimique → phosphates

Roches métamorphiques

L'exercice des fortes températures et grandes pressions sur les 02 types précédents des

roches forme les roches métamorphiques, les plus connues sont les schistes et les gneiss.





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4

Chapitre II : Contraintes et contraintes principales dans le massif rocheux

1. Contraintes et contraintes principales

1.1. Continuité du milieu

Un milieu continu est un milieu dont le comportement macroscopique peut être

schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu'il occupe.

Au voisinage d'un point géométrique de coordonnées ( ix , i=1, 2, 3), à l'instant (t) il

existe une distribution de masse volumique 3,2,1),,( itxdv

dmi

La fonction est supposée continue, toutes les autres propriétés physiques de la matière

seront également continues.

Isotropie

Les propriétés mécaniques des matériaux ne changent pas avec la direction autour du

point.

Homogénéité

Les propriétés mécaniques du matériau ne changent pas avec le point dans le corps

Phénomènes de discontinuité

La continuité des transformations doit être absolue, elle n'est pas vérifiée dans les cas

suivants :

Formation de troue : cavitation dans les liquides et les fissures dans les solides

Glissement relatif des parties du milieu : sillage dans les liquides et le glissement

dans les solides

Choc de veines fluides

1.2. Tenseur de contrainte

1.2.1. Vecteur tenseur des contraintes





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Soit D un domaine du milieu, de frontière A. les forces extérieures à D sont :

- Forces volumiques dvf

, dans tout le volume, dont :

f

est une densité de force

dv est un volume élémentaire

- Forces superficielles (de contact) ou de tension dAt

, sur la surface A, frontière de

D, dont :

test une densité de force ; dAn

est un aire élémentaire

Tension > 0 → dirigée vers l'extérieur de D

Tension < 0 → pression

Le vecteur contrainte :

dAnTfd

tn TnTT

Dont :

nT la contrainte normale (algébrique)

tT

la contrainte tangentielle (cisaillement)

Le tenseur des contraintes est une application linéaire de l'espace vectoriel à 3

dimensions 3E dans lui-même

nT

. →

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

n

n

n

T

T

T

Les composantes diagonales 332211 ,, sont

les contraintes normales (normal stress)

Les composantes non diagonales ,....,, 211312

etc, sont les contraintes tangentielles (shear

stress)

La contrainte est homogène à une force par

unité de surface, donc à une pression

1.2.2. Contraintes principales

Les contraintes principales s'obtiennent par

résolution de l'équation caractéristique

0

100

010

001

det0det

333231

232221

131211

IT ; scalaire:





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6

00det 32

2

1

3

332313

232212

131211

III ………….(1)

L'équation (1) aura 3 racines : 332211 ,, , dites les contraintes

principales. On peut aussi déterminer les directions correspondantes de chacune

321 ,, .

Remarque :

La connaissance des contraintes principales, leurs positions et directions, est importante

pour le calcul des structures en résistance des matériaux.

Exp : possibilités de rupture, une pression hydrostatique s'exerçant sur un fluide idéal

au repos

1.2.3. Etats particuliers de contraintes

Tension ou compression hydrostatique

00

00

00

T

si > 0 → tension

< 0 → compression

Les 3 contraintes principales sont égales. Toutes

les directions sont principales.

S'exerce une contrainte purement normale

Exp : L'état des fluides à l'équilibre

Contraintes de révolution (triaxiale)

2

2

1

00

00

00

T

2 contraintes principales coïncident

2 directions principales, 11 pourx et toutes autres

directions 232 , pourxx (direction fixe)

Exp : L'état de contrainte dans le sol en profondeur

( 1 < 2 < 0)





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7

Traction ou compression uniaxiale

000

000

00

T

si > 0 → tension

< 0 → compression

Lorsque 02 du cas précédent (pas de contrainte

latérale)

Exp : l'état le plus facile des contraintes, peut se réaliser

expérimentalement

Exercer une force longitudinale sur un barreau

Essais de traction pour l'acier et la compression pour une roche

Cisaillement pur

000

00

00

T

Contraintes purement déviatrices

Les directions principales sont 033 x , les bissectrices des

axes 21 , xx (contraintes principales

et )

Plan de contraintes

000

0

0

2212

1211

T ou

33

2212

1211

00

0

0

T

Les directions principales sont : 3x et les 2 directions

perpendiculaires du plan 21 , xx

Lorsque n varie dans le plan 21 , xx le vecteur de contrainte se

limite dans le plan





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2. Les contraintes dans les massifs rocheux

2.1. Le massif rocheux : assemblage de blocs ou de feuillets, séparés plus ou moins

complètement par des joints

2.2. Les contraintes qui influent sur le massif rocheux

Les contraintes naturelles

Existent dans le massif rocheux, avant toutes perturbations artificielles, en résultant de

diverses manifestations dans son historique (primitives). Par conséquent, elles

pourraient être le résultat de l’application de plusieurs états antérieurs de contraintes.

La contrainte gravitationnelle (overburden stress) : Est due aux poids du massif

rocheux

Les contraintes tectoniques : Sont dues aux déplacements relatifs des plaques

lithosphériques

Les contraintes thermiques : Sont dues aux changements de températures

Les contraintes physico-chimiques : Changements du massif rocheux dues aux

effets physiques et/ ou chimiques (cristallisation)

Les contraintes induites : La perturbation des contraintes naturelles par

l’ingénierie

Les contraintes résiduelles : Restent dans le massif rocheux, comme-ci le corps

est préservé de toutes tractions externes (contrainte rémanente)

Les contraintes régionales : Relatives à un large domaine géologique

Les contraintes locales : Relatives à un petit domaine géologique (échelle

d’ingénierie)

Les contraintes près du domaine (near field stress)

Existantes dans le voisinage, perturbé par l’hétérogénéité généralement causé par

l’ingénierie

Les contraintes loin du domaine (far field stress)

Existantes dans la région au-delà du champ proche (voisinage), où aucune perturbation

significative en raison de l’hétérogénéité

Les contraintes Palaeo

Existantes dans le massif rocheux qui peuvent être déduites mais ne se déterminent pas

par les techniques de mesures





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2.3. Les contraintes principales dans un massif rocheux

La définition des contraintes dans le massif rocheux (milieu tridimensionnel indéfini)

est difficile et inaccessible à l'expérimentateur.

Considérons IIIIII ,, les contraintes principales, qui sont rangées par valeurs

décroissantes (les compressions étant toujours comptées positives en mécanique des

roches), selon I contrainte majeure, II contrainte intermédiaire et III contraintes

mineure.

Si on considère la direction verticale comme principale vI , les deux autres

contraintes redeviennent, HII la composante horizontale maximale et hIII la

composante horizontale minimale.

L'orientation de ces contraintes dépend du :

- Contexte tectonique générale

- La proximité éventuelle de surfaces libres (surface du sol ou cavité souterraine)

- Les éléments structuraux importants tels que les failles, les plis, les

hétérogénéités, …

2.3.1. Contrainte verticale : Généralement les géo-mécaniciens désignent une

contrainte verticale, dite contrainte géostatique, par analogie à la contrainte

hydrostatique (suivant l'hypothèse de pression isotrope de Heim):

gHv ; si varie dHHgH

v 0

…………………………………. (2)

Dont :

v : la contrainte verticale (géostatique)

g : la gravité

: la masse volumique (fluides inclus) de la roche

H : l'épaisseur de la couverture

Donc cette contrainte dépend de la masse volumique des roches situées entre la surface

du sol et le point considéré, suivant la profondeur et la nature des sédiments on en

réalité : mHmbaràv )/25.021.0(

En approximation : mHmbarv )/23.0(

Il est notamment fréquent d'admettre que la direction verticale est principale,

cette supposition est vérifiée en absence d'effets dus au relief si le matériau est

homogène ou stratifié (disposé par des couches superposées) horizontalement, dans ces

conditions l'équation (2) est vérifiée.

En présence de relief (montagne), cette contrainte peut être plus petite que ce

poids, donc il faut définir la profondeur au-delà de laquelle la direction verticale

redevient principale.





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2.3.2. Contraintes horizontales

Au début ils ont cru quelles peuvent être déduites de la composante verticale par

l'effet de coefficient de Poisson , ce qui n'a de sens que pour une variation de charge

sans déformation latérale en régime élastique, dont :

vh

1 ………………………………………………………………..(3)

Généralement, la direction de la contrainte horizontale maximale H devient plus

homogène à partir de 300/400 m de profondeur (effet de la tectonique régionale), en

absence de reliefs importants et d'effets de structures (selon la carte mondiale des

contraintes, proposée par Zoback, qui définit les grandes provinces tectoniques avec

l'orientation des directions principales associées). Au voisinage de la surface (< 300 m)

d'autres effets que l'effet de la tectonique régionale influe sur cette direction.

Les deux contraintes horizontales peuvent être égales, si le réservoir est tectoniquement

au repos (isotropie des contraintes dans le plan horizontale)

Souvent on trouve que les deux contraintes horizontales sont inférieures à la

contrainte verticale, mais dans des cas particuliers on trouve l’inverse, dont les

contraintes horizontales sont plus fortes que la verticale (sous effet d’hétérogénéités des

terrains, déformations tectoniques, érosion …,)

La contrainte horizontale la plus faible h peut être déterminée lors d’un test le

leak-off, ainsi que son orientation est importante pour ajuster les pressions d'injection

lors de la stimulation du puits par la fracturation hydraulique.

2.4. Composantes des contraintes principales dans le massif rocheux

Les contraintes principales dans le massif rocheux se partagent entre la pression

(interstitielle) du fluide contenue dans les pores et la contrainte effective de la roche

Pi

Pi

Pi

hh

HH

vv

2.4.1. Pression interstitielle (pression du fluide de la couche ou pression de pore)

Pression exercées par les fluides à l’intérieure des pores d’une roche, elle est de l’ordre

de grandeur et souvent inférieure à la pression hydrostatique à une certaine profondeur.

Elle joue un rôle de première importance dans la considération des propriétés

mécaniques des roches, en donnant lieu aux effets mécaniques et physico-chimiques.

Effets mécaniques de la pression interstitielle Pi sur les caractéristiques de la

mécanique des roches

Prenons un pore de forme géométrique simple, dont ses parois sont mises sous l’effet de

2 contraintes normales de compression F1(verticale correspond au poids de la couche

sédimentaire) et F2 (est latérale)





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L’état de contraintes résultantes sera :

F1-Pi → vertical

F2- Pi → latéral

Le déviateur défini par la différence de F1et F2, égale à :

F1- F2 → roche sèche (Pi = 0)

(F1 – Pi) – (F2 – Pi) = F1 – F2 → roche imprégnée

→ La présence d’une pression interstitielle dans la roche ne modifie pas la valeur de

déviateur des contraintes qui lui est appliquée

2.4.2. Contrainte effective

Principe de la contrainte effective (du a Terzaghi, c'est le principe de base de la

Mécanique des Sols Moderne)

Au point O, la contrainte totale est : satAw HHH

Avec :

satwet : Poids volumique ou spécifique [ 3mN ]

Cette contrainte totale peut être décomposée en deux composantes essentielles :

- La première composante est supportée par l'eau interstitielle circulant á l'intérieur

de l'espace poreux, c'est la pression interstitielle. Elle est identique quelque soit la

direction prise

- Le reste est supporté par la phase solide (les grains solides), c'est la contrainte

effective.

- La contrainte effective correspond aux efforts transmis par les grains du squelette

minéral du sol, au niveau de leurs points de contact.

- Le squelette solide est assimilé à un ressort. La variation de volume du sol ainsi

que sa résistance au cisaillement sont en fonction de la charge supportée par les

grains solides et indépendamment de la pression hydrostatique.





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La contrainte effective est, d’après la loi de Terzaghi, est la contrainte totale (σ) à

laquelle on soustrait la contrainte neutre (u), soit la pression de l’eau remplissant les

interstices du sol : σ’ = σ – u ………………………………………………….. (3)

Alors :

Contrainte totale (σ) = contrainte effective (σ') + contrainte neutre (u)

wsatA

wAsatAw

HH

HHHHu

NB : la contrainte neutre est la pression interstitielle

Contrainte tangentielle

Le principe de la contrainte effective ne s'applique que pour les contraintes normales en

ce sens que l'eau ne supporte pas de contrainte de cisaillement.

Interprétation physique de la contrainte effective (Lambe et Whitman, 1979)

Remarque :

Pratiquement nous raisonnerons surtout avec les contraintes effectives

3. Mesure des contraintes in-situ Les principales méthodes de mesure in-situ sont :

Relâchement des contraintes

Rétablissement des contraintes après relâchement (vérin plat)

Fracturation hydraulique

Réouvertures des fissures préexistantes





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Dans le forage pétrolier profond, l'observation des ovalisations des forages et des

ruptures en paroi constitue la méthode la moins couteuse pour estimer la direction et la

valeur des contraintes.

3.1. Procédé de fracturation hydraulique

Dans un milieu isotrope poreux et perméable, la contrainte principale mineure s'exerce

sur la surface de moindre résistance.

Exp :

L'injection sous forte pression d'un fluide dans un puits, peut provoquer la rupture du

terrain encaissant suivant la surface la plus faible.

Cas de stimulation des puits en production

Etapes :

1- Isoler une portion de découvert (puits non tubé) entre 2 obturateurs annulaires

gonflables, ou entre un obturateur et le fond.

2- Injecter un volume limité d'un fluide à débit constant puis mesurer la pression

d'injection (phase de montée en pression "build up")

3- Le passage de cette pression par le maximum → début de propagation de fracture

4- Arrêter l'injection, fermer le puits, continuer l'enregistrement de pression en

fonction du temps

5- Purger le puits de ce fluide à débit constant et enregistrer la chute de pression

(phase "fall off")

6- Répéter 2 et 5

Remarque : il est préférable de réaliser cette méthode en forage vertical, si la contrainte

verticale est supposée principale et majeure

Interprétation :

Jusqu'au maximum de pression et au-delà : la pression enregistrée dépend de la

contrainte du paroi et la mécanique de propagation

En suite : cette pression est de plus en plus régie par la contrainte minimale dans

le massif (le champ loin du puits)

Lors de la fermeture : la pression instantanée de fermeture équilibre cette

contrainte minimale en place.

hfP (dans un puits vertical)

Avec : fP est la pression instantanée de fermeture (ISIP : Instantaneous Shut-In

Pressure) ; n'est pas facile à déterminer car elle rejoint rapidement la pression du pore.

En roche imperméable

iHhfondfrac PP 3

Avec : iP est la pression de pore





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En roche perméable

1212/1213 bPbP iHhfondfrac

Avec : b est le coefficient de Biot

Cette analyse n'est valable que pour des roches idéales (c-à-d non fissurée et pénétration

du fluide dans la fracture est parfaite). En effet l'erreur absolue est de l'ordre de 0.5

MPa.

Conclusion :

- La fracturation hydraulique est susceptible de fournir une estimation,

généralement par excès, de l’une des contraintes principales s’exerçant sur le

réservoir.

3.2. HTPF (le Test Hydraulique sur Fracture Préexistantes) (Hydro-fracturing

Test on Preexisting Fractures) proposée par Cornet et Valette en 1984

En cas où le milieu est peu perméable et fissuré, les fissures préexistantes (repérées par

diagraphie) sont aussi des plans de faiblesse susceptibles d'orienter l'amorce d'une

fracture hydraulique.

On met les fractures isolées entre 2 obturateurs annulaires gonflables, on injecte le

fluide jusqu'à l'ouverture de la fracture, on assimile la pression d'ouverture.

L'ensemble des mesures obtenues est traité par une méthode de problèmes inverses pour

caractériser soit le tenseur de contrainte moyen s'exerçant dans le volume testé, soit le

champ de contrainte et ses variations dans l'axe du forage. On disposera d'un système

linéaire surdéterminé pour calculer les valeurs cherchées par modélisation numériques.

3.3. Procédé des ruptures à la paroi du puits (en forage)

L'observation (par le BHTV : BoreHole TeleViewer ou le microrésistivimètre de

paroi) des ruptures -dans la roche- durant le forage, est la méthode la moins couteuse

pour évaluer la direction de la contrainte principale majeure au sein de la formation

encaissante, en obtenant l'ordre de sa grandeur.

Le forage annule la contrainte qui s'exerçait sur la future paroi, ou la diminue en cas

d'utilisation de la boue. Dans le cas d'un forage à boue dans une roche poreuse, la

contrainte P exerçait par la boue est purement normale donc principale, dont :

iboue PPP ………………………………………………………………(4)

Avec :

boueP est la pression de la boue

iP est la pression interstitielle (de pore)

Cette diminution peut causer l'endommagement de la paroi, en impliquant de graves

conséquences telles que la production du sable ou de fragment, coincement de l'outil,

perte de boue …etc.





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3.3.1. Caractéristiques mécaniques des roches aux conditions du front de taille

- La résistance des roches augmente avec la pression exercée sur elles

- La résistance des roches dépend de la pression environnante

Exp

Le sable de Miocène (en Golf Coast), carotté à 10 cm/h, la carotte s’écrasait sous

les doigts sous la pression atmosphérique (au sol)

Il existe des particularités concernant les formations géologiques, telle que les

formations siliceuses ou quartzitiques, qui sont très peu influencées par les

pressions environnantes quelque soit leurs profondeurs

- La forabilité des roches est inversement proportionnelle à sa profondeur

3.3.2. Contraintes effectives à la paroi du puits

Soit autour d'un futur forage vertical, une contrainte principale verticale v et H , h

les contraintes horizontales à l'infini, différentes de v et plus petites.

Le forage définis des contraintes effectives radiales r et tangentielles agissant dans

le plan horizontal qui ont pour valeur :

),5.....(..................................................2cos3

12

12

),5......(........................................2cos43

12

12

2

2

4

4

2

2

2

2

4

2

4

4

2

2

br

aPµ

r

a

r

a

ar

aP

r

a

r

a

r

a

hHhH

hHhH

r

La composante verticale prend la valeur

),5(..............................................................................................................2cos2

chH

vz

dont : a est le rayon du puits

r : distance d’un point quelconque du milieux poreux à l’axe du puits

φ : angle que fait le rayon vecteur du point avec la direction de la plus grande

contrainte principale horizontale

sur les parois du puits, où r = a

- La contrainte normale r exercée par la boue P , l’équation (4)

- La contrainte ortho-radiale ( perpendiculaire à la précédente et à l'axe du puits)

- La contrainte verticale z .

Ces deux contraintes n’étant pas égale, il en résulte une contrainte de cisaillement, son

maximum sera égale à :

2

r

On remarque que la rupture de la roche à la paroi du puits, se fait par traction,

compression, cisaillement et écaillage





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3.4. Mesure des carottes

- Mesures de recouvrance et de recompression des carottes

Les carottes se déforment souvent en parties différées, après la surpression des

contraintes et l'annulation de la pression interstitielles. Dès l'extraction de ces dernières

du carottier, on mesure ces déformations différées, en essayant d'en déduire –au moins

l'orientation- des contraintes en place, avant environ 72 heures, où les déformations

différées perdent leurs effets sur les carottes

Interprétation :

Le carottage produit des microfissures, leurs densités varie avec l’amplitude de la

contrainte normale à la direction du plan considéré (ce résultat devient flagrant lorsque

la roche est anisotrope et/ ou fissurée)

NB : Cette technique est devenue peu employée avec le développement des techniques

d’observation des parois

- Etude de discage des carottes « selle de cheval »

Les carottes connaissent une rupture spontanée sous forme d’un empilement de disques,

lorsque les roches sont soumises à des fortes contraintes.

Contraintes in-situ plus fortes → disques plus minces

Les selles de cheval → informations sur l’orientation des directions principales

3.5. Variations de contraintes au cours de l'exploitation du gisement Dans un réservoir tectoniquement au repos, on observe que la contrainte effective

horizontale 'h dépend de la contrainte effective verticale 'v , en sorte que :

'33.025.0' vh à

Cette relation ne présente pas un caractère général, dont on observe parfois que :

'' vh (exp : réservoir Hassi Messaoud)

D'après les études effectués depuis les années 1970, il apparaît que chaque site à ces

caractéristiques propres à lui traduite dans la valeur K, dont :

Kv

h

(K dépend de la loi de comportement de la roche ainsi que d'autres facteurs

moins clairement identifiables)

Les gisements exploités deviennent des zones perturbées, car le remplacement des

matières fossiles produites par des réinjections d'eau perturbe les contraintes au

voisinage, en créant d'éventuelles ruptures stables, instables ou déférées.

L'abaissement de pression interstitielle dans le gisement pétrolier diminue les

contraintes horizontales.





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Chapitre III : Les déformations

On appelle déformation un changement de distance entre deux points matériels d'un

milieu. Elle s'accompagne donc d'un déplacement ainsi que d'un changement de forme

1. Gradient de déformation et de déplacement

Le vecteur déplacement de R

à r

est défini par :

Xxu

………………………………………………………………….. (1)

Le vecteur de déplacement u

peut être exprimé en fonction de X

(représentation

Lagrangienne) :

ijiiji etxuetXUu ,,

…………………………………………………. (2)

Exps :

le cisaillement simple

Les plans // 02 X glissent avec une amplitude tf proportionnelle à 2X dans la

direction 1

03

22

211

tx

Xtx

XtfXtx

ou

03

22

211

tx

Xtx

xtftxX

Le vecteur de déplacement

0,

0,

,

3

2

2111

tXU

tXU

XtfXxtXU

j

j

j

ou

0,

0,

,

3

2

2111

txu

txu

xtfXxtxu

j

j

j

la dilatation uniforme

33

22

11

XtgtxXtgtxXtgtx

avec tg une fonction de proportionnalité





Niveau : 1ère



18

Le vecteur de déplacement

1,

1,

1,

33

22

111111

tgXtXU

tgXtXU

tgXXXtgXxtXU

j

j

j

1, tgXtXU iji

Ou

23

22

111111

11,

11,

11

1,

xtg

txu

xtg

txu

xtg

xtg

xXxtxu

j

j

j

iji xtg

txu

11,

le gradient de déformation

Soit XN l'ensemble des points constituants le voisinage d'un point X appartenant à un

milieu continu et Y un autre point proche de X appartenant à XN . Le mouvement des

points matériels dans XN peut être décrit par un développement de série de Taylor.

...

jj

j

iii XY

X

xxy

j

j

ii dX

X

xdx

ou encore j

j

ii dx

x

XdX

……………………………………… (3)

Les composantes j

i

X

x

définissent le tenseur des gradients de déformation au point X.

Il est noté : ijFF , sa connaissance permet donc de représenter le mouvement dans le

voisinage X.





Niveau : 1ère



19

j

iij

X

xFF

j

iij

x

XFF

11 (tenseur inverse)

Exps :

le cisaillement simple

000

010

01

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

tf

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

F et

000

010

011

tf

F

la dilatation uniforme

ijtgtg

tg

tg

tg

F

100

010

001

00

00

00

et ijtg

F 11

La relation entre le déplacement et le gradient de déformation

Divisons les équations (1) et (2) sur X , on aura :

ijijij

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i FX

x

X

X

X

x

X

U

X

u

Donc :

j

iij

j

iij

X

U

X

xF

ou

j

iij

j

iij

x

u

x

XF

1 ………………………….. (4)

2. Tenseur de déformation et déplacement

Soient dL et dl respectivement les longueurs des éléments Xd

et xd

.

mmdXdXXdXddL

.2

De l'équation (3), on aura :

ji

j

m

i

mj

j

mi

i

m dxdxx

X

x

XdLdx

x

Xdx

x

XdL

22

De la même manière on a :

mmdxdxxdxddl

.2

ji

j

m

i

mj

j

mi

i

m dXdXX

x

X

xdldX

X

xdX

X

xdl

22

Le tenseur de déformation de Green ijG

FFX

x

X

xGG

T

j

m

i

mij

…………………………………………………… (5)





Niveau : 1ère



21

Le tenseur de déformation de Cauchy ijg

11

FF

x

X

x

Xgg

T

j

m

i

mij ……………………………………………….. (6)

On peut écrire donc :

jiij

jiij

dxdxgdL

dXdXGdl2

2

Le tenseur de Green nous permet la détermination de la longueur déformée dans la

configuration finale en fonction des composantes dans la configuration initiale, tandis

que l'inverse est réalisé par le tenseur de Cauchy

Mais généralement on s'intéresse à 22 dLdlD qui traduit le changement de

configuration suite à une déformation.

mmjiij dXdXdXdXGdLdlD 22

jiijjiij dXdXdXdXGdLdlD 22

jiijij dXdXGdLdlD 22

Donc : ijijij G 2 est le tenseur de Lagrange ……………………………….. (7)

De la même manière, on aura :

jiijmm dxdxgdxdxdLdlD 22

jiijjiij dxdxgdxdxdLdlD 22

jiijij dxdxgdLdlD 22

Donc : ijijij g2 est le tenseur d'Euler ………………………………………..(8)

Relation tenseur déformation-déplacement

De l'équation (5) et l'équation (7) on a :

ij

j

m

i

mijijij

X

x

X

xG

2

On aussi l'équation (4) :

j

iij

j

iij

X

U

X

xF

On peut écrire alors :

ij

j

mmj

i

mmiij

j

m

i

mij

X

x

X

x

X

x

X

x

2

j

m

i

m

i

j

j

i

ijX

U

X

U

X

U

X

U

2

1 ………………………………………………. (9)





Niveau : 1ère



21

De la même manière, on obtient :

j

m

i

m

i

j

j

i

ijx

u

x

u

x

u

x

u

2

1 …………………………………………………(10)

3. Hypothèse des petits déplacements et des petites déformations

Si on néglige les termes d'ordres 2 qui introduisent la linéarité, on obtient les tenseurs de

déformations infinitésimales :

i

j

j

i

ijX

U

X

U

2

1 et

i

j

j

i

ijx

u

x

u

2

1

On peut aisément vérifier la symétrie de ces deux tenseurs, cette simplification n'aura un

sens que si les déplacements sont très petits.

Les conséquences ce cette hypothèse :

- remplacement des dérivées partielles / iX par celles / ix : ii xX

- ije peut être utilisé à la place de ij et ij , dit tenseur de.

Petits déplacements → petites transformations → petites déformations

De l'équation (4) on peut mettre :

SYMETRIQUEANTISYMETRIQUE

UgradH

022

20

2

220

22

22

22

2

3

3

2

1

3

3

1

3

2

2

3

1

2

2

1

3

1

1

3

2

1

1

2

3

3

2

3

3

2

1

3

3

1

3

2

2

32

2

1

2

2

1

3

1

1

3

2

1

1

21

1

3

3

3

2

3

1

2

3

2

2

2

1

1

3

1

2

1

1

SYMETRIQUE

ije

3

3

2

3

3

2

1

3

3

1

3

2

2

32

2

1

2

2

1

3

1

1

3

2

1

1

21

1

22

22

22

ijee est nommé aussi le tenseur des déformations linéaires. Lorsqu'il s'annule →

mouvement rigide





Niveau : 1ère



22

SYMETRIQUEANTI

ij

022

20

2

220

2

3

3

2

1

3

3

1

3

2

2

3

1

2

2

1

3

1

1

3

2

1

1

2

ij est nommé aussi le tenseur de rotation infinitésimales.

Mécanique Des Roches 1

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