Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi...

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Mécanique des Milieux Mécanique des Milieux Continus Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation Contraintes - Déformation J.C. Charmet © 2002

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Mécanique des Milieux Mécanique des Milieux ContinusContinus

I Milieux DéformablesII Forces de ContactIII Contraintes IV Loi Fondamentale de la DynamiqueV DéformationsVI Relation Contraintes - Déformation

J.C. Charmet © 2002

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II Milieux Déformables Milieux Déformables

I-1 Forces Externes et Équilibre MécaniqueI-2 Comportement d’une StructureI-3 Raideur et Rigidité

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I-1I-1 Forces Externes : Forces Externes : Équilibre MécaniqueÉquilibre Mécanique

FF

0

FÉquilibre des Forces

0

MÉquilibre des Moments

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F

l

F

F

I-2I-2 Comportement d’une Structure : Comportement d’une Structure :Essai de TractionEssai de Traction

FR

FM

Élasticité Plasticité Rupture

FE

F

l

l

F

Rigidité de la Structure F=Kl

K

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I-3I-3 Raideur et Rigidité : Raideur et Rigidité : Géométrie de la Structure et Comportement du MatériauGéométrie de la Structure et Comportement du Matériau

Rigidité de la Structure F=Kl

F ~ S <= Expérience

SK ~

lK

1~

F

l

l

l

F1

F2

l

F1 F2

S2l S1

F

l2F

l1

Sl2

l1 S

l

lE

S

F

l1

l1

l2

l2

Acier

Plastique

Raideur du Matériau

Contrainte Déformation

=> l ~ l

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IIII Forces de Contact Forces de Contact

II-1 Forces Internes : Action et RéactionII-2 Forces Internes : Répartition HomogèneII-3 Forces Internes : Répartition non HomogèneII-4 Vecteur Contrainte : État Local

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II-1II-1 Forces Internes : Forces Internes :Action et RéactionAction et Réaction

-FF-F F

F-F

A B

F(A/B) = -F(B/A) La Résultante des Forces Internes est toujours Nulle

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II-2II-2 Forces Internes : Forces Internes :Répartition HomogèneRépartition Homogène

Le Vecteur Contrainte T Force par unité de Surface [MPa]

est indépendant du point dans la section S

TF F

S

FT

F

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II-3II-3 Forces Internes : Forces Internes : Répartition non HomogèneRépartition non Homogène

Le Vecteur Contrainte T dépenddu point M dans la section S

TF F

S

dSMTF )( M

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II-4II-4 Vecteur Contrainte : Vecteur Contrainte : État localÉtat local

T dépend : du point M dans la section S : de l’orientation n de la section S

T

F F

S

dSnMTF ),(

M

TF

M

n

n

Fn

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IIIIII Contraintes Contraintes

III-1 Tenseur des ContraintesIII-2 Représentation des Contraintes

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III-1III-1 Tenseur des Contraintes Tenseur des Contraintes

III-1.1 Repère local : Traction, CisaillementIII-1.2 Tenseur des Contraintes : DéfinitionIII-1.3 Tenseur des Contraintes : SymétrieIII-1.4 Contraintes Principales et Axes PropresIII-1.5 Sollicitations PrincipalesIII-1.6 Invariants du Tenseur des ContraintesIII-1.7 Sphérique et Déviateur des Contraintes

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III-1.1 Tenseur des Contraintes : Tenseur des Contraintes :Repère LocalRepère Local

T(M,n)T

Mnn

rn

n, r, T coplanaires

r

n

t

nn = T n Traction > 0 Compression <0

rn = T r Cisaillement

Trièdre local direct n, r, t

tn = T t = 0

Facette de centre Facette de centre MM et et de normale de normale nn

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x3

x2

x1

x3

x2

III-1.2 Tenseur des Contraintes : Tenseur des Contraintes : Équilibre local des ForcesÉquilibre local des Forces

dS1

x1T1

x1

x2

x3T3

x3

x1

x2

T2

-T2

-T3

T(n)

n-T1

dS2

dS3

dS

332211)( dSTdSTdSTdSnT

3

2

1

333231

232221

131211

321

)(

n

n

n

nT

nTTT

nMnMT

)(),(

Ti=ijnj

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x3

x2

x1

dx1

dx3

dx2

III-1.3 Tenseur des Contraintes : Tenseur des Contraintes : Équilibre local des MomentsÉquilibre local des Moments

23

3231

21

13

12

21 dx2 dx3 dx1= 12 dx3 dx1 dx2

31 dx3 dx2 dx1= 13 dx2 dx1 dx3

32 dx3 dx1 dx2= 23 dx1 dx2 dx3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

ij =ji

Le Tenseur des Contraintes est Symétrique

)(M

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MN

T

M

III-1.4 Tenseur des Contraintes : Tenseur des Contraintes : Contraintes Principales et Axes PropresContraintes Principales et Axes Propres

I

II

III

X3

X2

X1

x3

x2

x1

n

t

)(M 11 12 13

21 22 23

31 32 33

)(M

nt

NT

A

tAT

nA NAA t

N

tAT

NAn t

AMAM t)()( il = aij jk akl

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III-1.5 Tenseur des Contraintes : Tenseur des Contraintes : Sollicitations Principales Traction - CompressionSollicitations Principales Traction - Compression

TriaxialeUniaxiale 1

2

3

Biaxiale 1

2

1 =2 =

1 =2 = 3 = -p

Hydrostatique

p

-p

-p

-p

1

1

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III-1.6 Tenseur des Contraintes : Tenseur des Contraintes : Les Invariants TensorielsLes Invariants Tensoriels

I

II

III

)(M )(M 11 12 13

21 22 23

31 32 33

I1= I + II + III = kk =3 m =Tr()

I2= I II+ II III + III I = (11 22 - 122) + (11 33 - 13

2) + (22 33 – 232)

I3= I II III = Det()

0322

13 III 032

21

3 IIICaley-Hamilton

6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles d’Euler

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III-1.7 Tenseur des Contraintes : Tenseur des Contraintes : Sphérique et DéviateurSphérique et Déviateur

m

m

m

Sphérique S Tr(S)= Tr()

dmDSM )(

6 Composantes = m + d + µ +3 Angles d’Euler

11- m 12 13

21 22 - m 23

31 32 33 - m

+

Déviateur D Tr(D)= 0

m Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression)

)(Tr3

1 m

1

m

DSM )(

+d

)DTr(3

1 22 d

d Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement)

(µ)

(µ)

(µ)

Tenseur des Directions Tr()=0 et Tr()=3

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III-2III-2 Représentation des Contraintes Représentation des Contraintes

III-2.1 Contraintes OctaédriquesIII-2.2 Espace des ContraintesIII-2.3 Critères de Plasticité et de RuptureIII-2.4 Ellipsoïde des ContraintesIII-2.5 Cercle de Mohr PrincipalIII-2.6 Cercles de Mohr III-2.7 Cisaillement Simple

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nn

III-2.1 Représentation des Contraintes : Représentation des Contraintes : Contraintes OctaédriquesContraintes Octaédriques

DSM )(

m Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression)

Sphérique S Tr(S)= Tr()

)(Tr3

1Sm

1

m

Déviateur D Tr(D)= 0

)DTr(3

1 22 d

D

D

D

+

d Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement)

x1

x2

x3

m

T

r

1

1

1

3

1

n

n

nn = mmnn DSnDnnSnTn )(Tr3

1)(Tr

3

1

2222222 )()(2)()( mmnnnr nDnnDSnnSnnDSnTT

2222 )(Tr3

1)(Tr2)(Tr

3

1dmm DDS

nr = d

nrd

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I

II

III

O

0 MHHO

)(M 1

2

3

III-2.2 Représentation des Contraintes : Représentation des Contraintes : Espace des ContraintesEspace des Contraintes

2

1

3

M

1

1

1

3

1

3

2

1

MO

DSM )(

=

+

HSphérique

Déviateur

d

m

m

m

MH

3

2

1

)(Tr 22

DMH

3m

m

m

m

HO

)(Tr 22

SHO

3

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3P

Limite Plastique enCisaillement P sur

Limite de Rupture R

en Traction sur R

II

I

III

O

III-2.3 Représentation des Contraintes : Représentation des Contraintes : Critères de Plasticité et de RuptureCritères de Plasticité et de Rupture

1

d3

d3

R

Point R 1 (R) = R et d (R) < P

d (P) = P et 1 (P) < R

M(M)

P

Point P

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III-2.4 Représentation des Contraintes : Représentation des Contraintes : Ellipsoïde des ContraintesEllipsoïde des Contraintes

1T1

2

T2

T3

3

1

2

3

n1

n2

n3

T1

T2 =T3

12

3

3

2

2

2

2

1

1

TTT

n T

n

n

Tn

Lorsque n appartient à un plan principal, T appartient au même plan

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r

t

Facette de normale x2

x3

x1

x2

r

n

t

r

n

t

III-2.5 Représentation des Contraintes : Représentation des Contraintes : Cercle de Mohr PrincipalCercle de Mohr Principal

1

2

3

)(MFacette de normale x1

x1

x2

x3

T nn= 1

nr= 0

T nn= 2

nr= 0

1

x1

2

x2

C

R

T

nr

nn

nn

nr

n

nn = T n = n n = OC+Rcos2nr = T r = n r = -Rsin2

R=

OC=

221

221

Facette de normale nx3

x1

x2

n

T

Facettes contenant la direction principale x3

de normale au plan x1 x2

O

nr

nn

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Facette dont la normale n appartient à un plan principal (x1 x2)

III-2.6 Représentation des Contraintes : Représentation des Contraintes : Cercles de MohrCercles de Mohr

tr

n

1

2

3

)(Mx1

x2

x3

nn

nr

3 12

Tnr

nn

Facette dont la normale n n’appartient pas à un plan principalx2

x3

n

t

rx1

nn

nr

1

3 2nr nn

T

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III-2.7 Représentation des Contraintes : Représentation des Contraintes : Cisaillement SimpleCisaillement Simple

X1X2

x1

x2

-

-

Le cisaillement est maximal sur les facettes orientées à 45° des facettes principales

-

X1

-X2

nr

nn

x1-

x2

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IVIV Loi Fondamentale de la Loi Fondamentale de la DynamiqueDynamique

IV-1 Conditions aux Limites IV-2 Bilan des Forces : Équilibre Dynamique IV-2 Équation de l’Équilibre Dynamique IV-3 Exemple : Prisme pesant IV-4 Application : Optimisation en Compression

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IV-1IV-1 Loi Fondamentale de la Dynamique : Loi Fondamentale de la Dynamique : Conditions aux LimitesConditions aux Limites

Au Point M de la Surface : n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface)

Mf

nx3

x1

x2

x1

)()( MfnM

f1

f2 f3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

00

1

= =>

11 12 f1

21 22 f2

f1 f2 f3

La normale n à une surface libre de charge est direction principale à valeur propre = 0

0f = 0 0

=>

11 12 0

21 22 0

0 0 0

f

n

11

12

x222

21

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IV-2IV-2 Loi Fondamentale de la Dynamique : Loi Fondamentale de la Dynamique : Bilan des Forces : Équilibre DynamiqueBilan des Forces : Équilibre Dynamique

n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface)

Au Point M en Volume : M Accélération (force / unité de masse) X Force Extérieure Appliquée (/ unité de masse)

X

Au Point P en Surface :

P

fn

V

S)()( PfnP

m=F => dVV

= +dVX

V

S dSf

S dSnS dSf

= dV

V DDiv=

Conditions aux Limites Théorème de la Divergence

DivD+ X =

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IV-3IV-3 Loi Fondamentale de la Dynamique : Loi Fondamentale de la Dynamique : Équilibre Dynamique : Équilibre Dynamique : DivD

dx3dx1

x2

x1

x3

dx2

m=F projection des Forces sur l’axe x1

11 11+ dx111

x1

+(11+ dx111

x1

- 11) dx2 dx3

13

13+ dx313

x3 +( - 13) dx1 dx213+ dx3

13

x312

12+ dx212

x2

+( - 12) dx1 dx312+ dx2

12

x2

1 dx1 dx2 dx3

1

X1 dx1 dx2 dx3=

X1

11

x1

12

x2

13

x3+ + =+X1 1

DivD =

11

x1

12

x2

13

x3+ +

21

x1

22

x2

23

x3+ +

31

x1

32

x2

33

x3+ +

DivD+ X = ij

xj+ =Xi i

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IV-4IV-4 Loi Fondamentale de la Dynamique : Loi Fondamentale de la Dynamique : Exemple : Prisme pesantExemple : Prisme pesant

: (x,y)n=0

ax+by+r kx+ly +t

kx+ly +t cx+dy +s

(x,y ) =

x

y

g

hn

C.L. en x=0 by +r ly+t

ly +t dy +s

-1

0=

0

0

n

C.L. en y=h-xcotg cos

sin=

0

0

ax kx

kx cx+dy +s=>

Équilibre Statique : DivD+ X = 0

a

k+d

0

g= a = 0

k+d = g =>

0 kx

kx cx+dy +s=> 0 0

0 -g(h-xcotg-y)

=>

0 kx

kx cx+dy +s

k = 0, d = g s = - gh c = gcotg

=>

C.L. en y=0

F

: (0,y)n=0 yb = l = 0r = t = 0=>

P

L =

1

= g

0

htg

(h-xcotg) dx0

P

0 = g h htg 1

2

0 =: F =

0

htg

(x,0)ndx

n

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P

P = ghl

l

h

1

IV-5IV-5 Loi Fondamentale de la Dynamique : Loi Fondamentale de la Dynamique : Application : Optimisation en CompressionApplication : Optimisation en Compression

Profil évolutif

S

S

P0(h)

(h) =P0

l

(0)

(0) =P0+P

l

< S

(0) = (h)+ gh

Contrainte maximale admissible S

= S

S l(z) + g l(z)dz = S l(z+dz)

P0

P

l

h

S

S

(h) = (0) = S

l(z) = l egS

z-l(z+dz)

dzl(z)

g

Équilibre de la tranche dz

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VV Déformations Déformations

V-1 ‘Ut Tensio sic Vis’V-2 Tenseur des DéformationsV-3 Représentation des Déformations

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V-1V-1 ‘Ut Tensio sic Vis’ ‘Ut Tensio sic Vis’

V-1.1 Robert Hooke V-1.2 Translation, Rotation et Déformation V-1.3 Conservation de la Masse V-1.4 Champ de déplacement V-1.5 Exemple : le Glissement Simple V-1.6 Les Grandes Déformations V-1.7 Petites Déformations et Superposition V-1.8 Séparer Rotation et Déformation V-1.9 Continuité et Compatibilité des Déformations

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V-1.1V-1.1 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Robert Hooke

l

Pour supporter un chargement un milieu matériel doit se déformer

A l’échelle macroscopique

l+l

A l’échelle microscopique

Extension l

lGlissement

l+l

l

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V-1.2V-1.2 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Translation, Rotation et Déformation

Seule la Déformation modifie les Longueurs et les Angles

Rigide Déformable

l

Translation

l

Rotation

l

Déformation

l+l

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V-1.3V-1.3 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Conservation de la Masse

dvdV

x = F (X)

xX

Xx

dX

dx

dx = GradF(X) dX = dX

=

x1

X1

x1

X2

x1

X3

x2

X1

x2

X2

x2

X3x3

X1

x3

X2

x3

X3

=

dvdV

m m m = dV = dv

=

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V-1.4V-1.4 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Champ de Déplacement

dX

dx

Xx

dx = dXx = F (X)

X x

u(X)

u(X+dX)

u u = x - X

du

= ( - ) = (X) Gdu dX dX

=

u1

X1

u1

X2

u1

X3

u2

X1

u2

X2

u2

X3u3

X1

u3

X2

u3

X3

G

Tenseur Gradient de Déplacement

u(X+dX) = u(X) + (X)G dX

Translation + Rotation Déformation

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V-1.5V-1.5 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Exemple : Glissement Simple

x

y

=1

= G+ +=1

X

X =X00

x = X

u = G X

x

x =X00

=000

u

Y

Y =0Y0

y

y =YY0

=Y00

u

u

u

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V-1.6V-1.6 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Les Grandes Déformations

x

y

1 2 30

1

2

3 =½ 1

00

2G

1=

0 0

½

G

G 1

G 2

G = +½ 1

½

=

Les Grandes Déformations ne sont pas Additives

=( ) G+ x = X X xX

1=

0 0

½

G =½ 1

00

2G

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V-1.6V-1.6 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Petites Déformations et SuperpositionPetites Déformations et Superposition

Principe de Superposition : les Petites Déformations sont Additives

=( ) +G’’ x = ’’x’ x’ =( ) + G’ G’’+ ( )X = X X+(G’’ G’+ +G’’G’)

+=( ) G’ x’ = ’X X

Xx’ x

+=( )G’’ x = ’’x’ x’

u’ = G’X

u’u’’

u’’ = G’’x’

=( ) G+ x = X X

u

u = G X

G G’’ + G’ + G’’G’==>

G G’’ + G’Gij < 1% =>

Page 43: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-1.7V-1.7 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Séparer Rotation et Déformation

x1

x2

X

x

+=( ) G x = X X x x = X ( + )( + )GtG X

= X( + )tG G X X X GtG X X++

g11L

g12L

L

u

u = G X

l

l2 = L2(1+g11)2+(g12L)2

l L(1+g11)

G = +tG = -

tG Déformation Symétrique=2 G +Rotation Antisymétrique=2 G - tG

u

X u = G X = ( )+

l =L {(1+g11)2+g122}

l

Page 44: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-1.8V-1.8 ‘Ut Tensio sic Vis’ : ‘Ut Tensio sic Vis’ : Continuité et Compatibilité des Déformations

=>

soit RotD = 0G

= ( ) dX du = G dX +

Continuité => du intégrable

Vecteur tourbillon dX = dX=RotD -RotD =tGrad RotG = Grad =>

d = Grad dX intégrable si RotD(Grad ) = 0

Inc( )= RotD(RotG ) = RotG(RotD ) = 0

[Inc( )]rl= rmilkj = 0 km

ij

xx 2

Avec DivDInc()=0

Page 45: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-2V-2 Tenseur des Déformations Tenseur des Déformations

V-2.1 Repère local : Extension, DistorsionV-2.2 Tenseur des Déformations : DéfinitionV-2.3 Déformations Principales et Axes PropresV-2.4 Invariants du Tenseur des DéformationsV-2.5 Sphérique et Déviateur des DéformationsV-2.6 Changement de Volume et de Forme

Page 46: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-2.1 Tenseur des Déformations : Tenseur des Déformations : Repère local

ll

rl

l, r, u coplanaires

r

t

ll = u l Extension > 0 Contraction < 0

rl = u r Distorsion

Trièdre local direct l, r, t

tl = u t = 0

M

l

Au point Au point MM segment segment unitaire direction unitaire direction ll

u(M,l)(M,l ) =u l(M)

Page 47: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-2.2 Tenseur des Déformations : Tenseur des Déformations : DéfinitionDéfinition

332211)( lulululu

3

2

1

333231

232221

131211

321

)(

l

l

l

lu

luuu

(M,l ) =u l(M)

Le Tenseur des Déformations est Symétrique

u1

x2ij =ji

x1

u(l)

l2

l1

l3

l

x1

x3

x2M

u2

u3

u1l1

l1u2l2

l2

u3l3

l3

1

1

1

Page 48: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

ML

U

V-2.3 Tenseur des Déformations : Tenseur des Déformations : Déformations Principales et Axes PropresDéformations Principales et Axes Propres

I

II

III

X3

X2

X1

x3

x2

x1

u

)(M 11 12 13

21 22 23

31 32 33

)(M

lu

LU

A

uAU

lA

LAA t

L

uAU

LAl t

AMAM t)()( il = aij jk akl

lM

Page 49: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-2.4 Tenseur des Déformations : Tenseur des Déformations : Les Invariants TensorielsLes Invariants Tensoriels I

II

III

)(M )(M 11 12 13

21 22 23

31 32 33

I1= I + II + III = kk =3 m =Tr()

I2= I II+ II III + III I = (11 22 - 122) + (11 33 - 13

2) + (22 33 – 232)

I3= I II III = Det()

0322

13 III 032

21

3 IIICaley-Hamilton

6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles d’Euler

Page 50: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-2.5 Tenseur des Déformations : Tenseur des Déformations : Sphérique et DéviateurSphérique et Déviateur

m

m

m

Sphérique S Tr(S)= Tr()

dmDSM )(

6 Composantes = m + d + µ +3 Angles d’Euler

11- m 12 13

21 22 - m 23

31 32 33 - m

+

Déviateur D Tr(D)= 0

m Déformation Normale Moyenne (Extension ou Contraction)

)(Tr3

1 m

1

m

DSM )(

+ d

)DTr(3

1 22 d

d Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion)

(µ)

(µ)

(µ)

Tenseur des Directions Tr()=0 et Tr()=3

Page 51: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

1dx1

2dx2

3dx3

dx1

dx3

dx2

dV= dx1 dx2 dx3

V-2.6 Tenseur des Déformations : Tenseur des Déformations : Changement de Volume et de FormeChangement de Volume et de Forme

x1

x2

x3

1

2

3

dv=(1+1) dx1 (1+2)dx2 (1+3)dx3

dv

dVdv

Changement de Volume

à Forme Constante

Changement de Forme

à Volume Constant

Sphérique S Déviateur D

Variation Relative de Volumedv- dV

dV = 1 + 2 + 3 = Tr() = Div u

Page 52: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-3V-3 Représentation des Déformations Représentation des Déformations

V-3.1 Déformations OctaédriquesV-3.2 Ellipsoïde des DéformationsV-3.3 Cercle de Mohr PrincipalV-3.4 Cercle de Mohr et DéformationV-3.5 Cercles de Mohr V-3.6 Glissement Pur et Glissement Simple

Page 53: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

ll

V-3.1 Représentation des Déformations : Représentation des Déformations : Déformations OctaédriquesDéformations Octaédriques

DSM )(

)(Tr3

1Sm

m Déformation Normale Moyenne (Extension - Contraction)

Sphérique S Tr(S)= Tr()

1

m

)DTr(3

1 22 d

Déviateur D Tr(D)= 0

D

D

D

+

d Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion)

x1

x2

x3

m

u

r

1

1

1

3

1

l

l

ll = mmll DSlDllSlul )(Tr3

1)(Tr

3

1

2222222 )()(2)()( mmlllr lDllDSllSllDSlTT

2222 )(Tr3

1)(Tr2)(Tr

3

1dmm DDS

lr = d

lrd

Page 54: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-3.2 Représentation des Déformations : Représentation des Déformations : Ellipsoïde des DéformationsEllipsoïde des Déformations

1u1

2

u2

u3

3

1

2

3

l1

l2

l3

u1

u2 =u3

12

3

3

2

2

2

2

1

1

uuu

l u

l

l

un

Lorsque l appartient à un plan principal, u appartient au même plan

Page 55: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

r

t

Direction x2

x3

x1

x2

r

l

t

r

l

t

V-3.3 Représentation des Déformations : Représentation des Déformations : Cercle de Mohr PrincipalCercle de Mohr Principal

1

2

3

)(MDirection x1

x1

x2

x3

ll= 1

lr= 0

u ll= 2

lr= 0

1

x1

2

x2

C

R

u

lr

ll

ll

lr

l

ll = u l = l l = OC+Rcos2lr = u r = l r = -Rsin2

R=

OC=

221

221

Direction lx3

x1

x2

l

u

Directions à la direction principale x3

au plan x1 x2

O

lr

ll

Page 56: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-3.4 Représentation des Déformations : Représentation des Déformations : Cercle de Mohr et DéformationCercle de Mohr et Déformation

X u

ll

lr 1

2

X x

C

u

u

x

u

xX

ll

lr

1 2

ll

lr

1

2

1

ll

lr

2

X

x

x = X + u

x1

x2

1

2

3

=

Plan principal x1 x2

2

Page 57: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

Direction l appartenant à un plan principal (x1 x2)

V-3.5 Représentation des Déformations : Représentation des Déformations : Cercles de MohrCercles de Mohr

tr

l

)(M 1

2

3

x1

x2

x3

ll

lr

3 12

ulr

ll

Direction l n’appartenant pas à un plan principalx2

x3

l

t

rx1

ll

lr

1

3 2lr ll

u

Page 58: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

V-3.6 Représentation des Déformations : Représentation des Déformations : Glissement Pur et Glissement SimpleGlissement Pur et Glissement Simple

x1

x2

La distorsion est maximale sur les directions orientées à 45° des directions principales

Le glissement est le double de la distorsion = 2

-

lr

llX1

X2

X2

-X1

x2-

x1

X1

X2

-

x1

x2x2

x1

-

X1

X2

2

G

La rotation = -

Page 59: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

VIVI Relation Contraintes - Déformation Relation Contraintes - Déformation

VI-1 Contraintes et DéformationsVI-2 Lois de ComportementVI-3 et Nominales et NaturellesVI-4 Le Travail de Déformation

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VI-1 Contraintes et Déformations Contraintes et DéformationsDescription de l’État Mécanique Local

Description Indépendante du Comportement du Matériau

Symétrieij= ji ij= ji

Conservation de la Masse : Continuité

Inc( )= RotD(RotG ) = 0

[Inc( )]rl= rmilkj = 0 km

ij

xx 2

Conditions aux limites

Loi Fondamentale de la Dynamique

ij

xj+ =Xi i

(M) f n(M) =

DivD+ X =

Contraintes Déformations

Définition (M,l ) =u l(M)(M, n ) =T n(M)

TM

n

Ml

u

dV

V = Tr() = Div u

2= Grad + tGraduu

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VI-2 Lois de Comportement Lois de ComportementÉquation d’État du Matériau

Description du Comportement du Matériau

Élasticité Plasticité Rupture

Viscosité

Déformations Contraintesddt

, , ddt, }= 0F{

Solution du Problème

=>

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VI-3 et et Nominales et Naturelles Nominales et Naturelles

La Loi de Comportement du Matériau relie et Vraies

Élasticité Plasticité Rupture

lF

l0S0 Nominales

Vraies

n

n

l0S0

Nominales

n=FS0

n=ll0

lF

dl

l S

Naturelles ou Vraies

=FS

d=dll

=l0

l0+ldll

= Ln(1+ )l

l0

= Ln(1+ n)

n

nn

n

Page 63: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

VI-4VI-4 Le Travail de Déformation Le Travail de Déformation

VI-4.1 Travail des Forces ExternesVI-4.2 Champs admissibles et Travaux virtuelsVI-4.3 Relation avec la ThermodynamiqueVI-4.4 Réversibilités Thermique et Mécanique

Page 64: Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

VI-4.1 Le Travail de Déformation : Le Travail de Déformation : Travail des Forces ExternesTravail des Forces Externes

n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface)

Forces de Volume : - Force d’Inertie

X Force Extérieure Appliquée (/ unité de masse)

X

Forces de Surface : f

n

V

S )()( MfnM

= dVuV

+ dVuXV

+

SdSuf

u

+ => Champ de déplacement u

dVWV

= V

dV))(( Tr + V

dVuDDiv

=dVWV dVuX

V

)( DDiv +

VdV)( Tr + V

dV)( Tr

W = Tr()

S

dSuf

VdVu)(

Div=

Équilibre Dynamique Anti Symétrie

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VI-4.2 Le Travail de Déformation : Le Travail de Déformation : Champs admissibles et Travaux virtuelsChamps admissibles et Travaux virtuels

Dynamiquement admissible*+* X* *DivD =n = f**

Loi de Comportement

Inc( )0*=F{ }

**

*X* f** * Virtuels

f

Solution réelle

X

Cinématiquement admissible’u’ Continu dérivable

Inc( ) =0’

u’ ’’ Virtuels

=F{ }

’ ’Loi de Comportement

n f’et DivD’+ X

W = Tr()

* ’

u’=*= W = Tr()

Récupérable (Élasticité)

Dissipé (Viscosité Rupture)

Bloqué (Plasticité){

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VI-4.3 Le Travail de Déformation : Le Travail de Déformation : Relation avec la ThermodynamiqueRelation avec la Thermodynamique

1er principe

VEdV V

WdV= VQdV+

SdSnq-

E = Tr()+Q-Divq

2ème principe VSdV V

dVT

Q

SdSn

T

q

- 0+

)( TrW VS

dVqdSnq

Div et

E densité volumique d’énergie interneF densité volumique d’énergie libreS densité volumique d’entropieW densité volumique de travail reçuQ densité volumique de chaleur reçue

V

Sq flux de chaleur sortant

n

TF=E-TS

et VS

dVT

qdSn

T

q

Div 2

1

T

Tqq

TT

q GradDivDiv

)()(

)()(

TSF

ESTqQST

Tr

TrDiv

et

1 = Tr() – (F+ST)

2 = –( GradT)qT

intrinsèque

thermiqueIncréments de dissipation volumique = 1 + 2 0

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VI-4.4 Le Travail de Déformation : Le Travail de Déformation : Réversibilités Thermique et MécaniqueRéversibilités Thermique et Mécanique

1 = Tr() – (F+ST)

2 = –( GradT)qT

Mécanique

Thermique

Dissipation volumique = 1 + 2

Réversibilité thermodynamique = 0

Réversibilité Thermique = 0

GradT =0qT

En particulier

T = Cte Isotherme

q = 0 Adiabatique

Réversibilité Mécanique = 0

dF = Tr(d) – SdT

En Isotherme :

Élasticité parfaite

dF = Tr(d)