MINES ParisTech

1e`reannee

MECANIQUE

DES

MATERIAUX

SOLIDES

Notes de cours

D. RYCKELYNCK, S. CANTOURNET, M. MAZIERE, H. PROUDHON

P.-O. BOUCHARD, G. CAILLETAUDL. CORTE, J-L. DEQUIEDTA. GAUBERT, S. JOANNESA. ROUABHI, Y. TILLIER

V. YASTREBOV

Mars 2013

ii

Table des matie`res

I COURS 3

1 Elements de theorie des poutres planes 51.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Modelisation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Modelisation des actions mecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Approche par le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Cinematique de la poutre de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Traitement des equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Equations differentielles traduisant lequilibre . . . . . . . . . . . . 121.2.5 Cas particulier des syste`mes isostatiques . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.8 Energie potentielle dans le cas de lelasticite lineaire . . . . . . . . . 16

1.3 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Evaluation des efforts interieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Forme generale des lois de comportement elastiques . . . . . . . . . 21

2 Rheologie 252.1 Les differents types de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Les sources de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Les briques de base du comportement non lineaire . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Plasticite uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Mode`le elastiqueparfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Mode`le de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.3 Ecriture generale des equations de lelastoplasticite uniaxiale . . . . 30

2.4 Viscoelasticite uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Un exemple de mode`le rheologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Etude dun mode`le compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Viscoplasticite uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Un exemple de mode`le rheologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

iv TABLE DES MATIE`RES

2.5.2 Quelques mode`les classiques en viscoplasticite . . . . . . . . . . . . 352.6 Influence de la temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Hyperelasticite 393.1 Lelasticite caoutchoutique, une origine entropique . . . . . . . . . . . . . 393.2 Formalisme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Formalisme des grandes deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.2 Mesure des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Comportement Hyperelastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Hyperelasticite isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2 Representation en elongations principales . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3 Traitement de lincompressibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.4 Quelques formes de densite denergie de deformation . . . . . . . . 51

4 Elements de Mecanique Lineaire de la rupture 574.1 Parame`tres geometriques et parame`tres mecaniques . . . . . . . . . . . . . 584.2 Modes de rupture et facteur dintensite des contraintes . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 Cas du mode I en etat de contraintes planes . . . . . . . . . . . . . 594.2.2 Autres modes de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Taux de restitution denergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1 Crite`re en energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.2 Cas dune charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.3 Quelques valeurs critiques de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.4 Crite`re de propagation en mode I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Analyse de letat de contrainte tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Introduction a` la theorie de stabilite des syste`mes conservatifs 695.1 Evolution et stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Dynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2 Stabilite dun equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.3 Equation de mouvement linearisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Theore`me de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Cas dune energie potentielle strictement convexe localement . . . . . . . . 72

5.3.1 Theore`me de Lejeune Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.2 Conservation de lenergie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.3 Elements de demonstration du theore`me de Lejeune Dirichlet . . . . 74

5.4 Crite`re de seconde variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Synthe`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.6 Analyse de la stabilitee dune barre articulee par le crite`re de seconde variation 755.7 Analyse du flambage dune poutre par le crite`re de seconde variation de

lenergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.7.1 Une methode danalyse qui proce`de par etapes . . . . . . . . . . . . 765.7.2 Parametrage et hypothe`ses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.7.3 Condition dequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.7.4 Etude de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.7.5 Analyse de stabilite du flambage, crite`re de seconde variation . . . . 80

TABLE DES MATIE`RES v

5.8 Analyse du flambage par letude de lequilibre dune configuration deformee 805.8.1 Forme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.8.2 Poutre simplement supportee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.8.3 Autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Exercice 836.1 Flexion sur appui simple : poutre homoge`ne et poutre sandwich . . . . . . 83

6.1.1 Poutre homoge`ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2 Flexion dune poutre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3 Gonflage dun ballon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 Rupture fragile dune poutre en flexion par une approche statistique . . . . 986.5 Evaluation de la charge de flambement dune poutre droite . . . . . . . . . 1036.6 Composites a` fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.6.1 Reservoir sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6.2 Coefficient de dilation dun composite a` fibres longues . . . . . . . . 1106.6.3 Assemblage colle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.7 Etude de la flexion dun bilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.8 Test Biaxial sur elastome`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Notations 125

II Approche experimentale de la mecanique de materiauxsolides 127

8 Approche experimentale et inductive 1298.1 Objectifs et evaluation des mini-projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2 Description des mini-projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2.1 Rupture de billes de verre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2.2 Retour elastique lors du pliage dune tole en acier . . . . . . . . . . 1298.2.3 Etude de la mise en forme dune tole en acier . . . . . . . . . . . . 1308.2.4 Photoelasticite sur une poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.5 Fluage et relaxation dun fil de brasure . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.6 Montages rheologiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.7 Un mecano pour jouer avec les poutres . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.8 Comportement de plaques composites . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.9 Flexion et torsion dun ski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.10 Etude de la bifurcation dune fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.11 Comportement des elastome`res charges . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.12 Comportement dune balle de squash . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.13 Comportement dune balle de ping-pong . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.14 Etude de la tenue dun assemblage frette . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.15 Etude de biomateriaux, les hydrogels . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.16 Contact dune sphe`re et dun plan rigide . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.17 Compression de canettes metaliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.18 Comportement dune mousse rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.19 Resistance au flambement de pots de yaourt . . . . . . . . . . . . . 132

vi TABLE DES MATIE`RES

8.2.20 Etude experimentale et analyse de lessai detirage de films mincesen polyme`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Preambule

La mecanique est la science des mouvements de la matie`re a` toute echelle de tempset pour toute echelle despace. Pour les solides, ces mouvements conduisent a` deschangements de forme. Par ailleurs, un materiau cest de la matie`re que lon sait utiliserou transformer pour lui donner une fonction. La mecanique des materiaux solides a pourbut de matriser les changements de forme des materiaux a` toutes les echelles de temps etdespace, dans les cas ou` lon souhaite que leur forme evolue peu ou dans le cas devolutionsde forme desirees.

Prendre forme cest occuper un domaine geometrique de lespace avec destransformations decrites par des champs de deplacement. Nous nous placons dans le cadredune approche lagrangienne, il est donc question de deplacement de points materiels.

Nous nous limitons ici aux echelles despace pour lesquelles le milieu occupe par lamatie`re peut etre considere comme continu, cest a` dire de facon simple, des milieux pourlesquels les deplacements de matie`re sont des fonctions continues des variables despace(variables de position), ou des fonctions continues presque partout sur le domaine occupepar la matie`re. Ce type dapproche est tre`s largement repandue dans les metiers delingenieur pour des domaines aussi varies que les transports, lenergie, lagroalimentaire...

La rupture est le changement de forme ultime pour les solides. Lorsquune fissure sepropage, de nouvelles surfaces se creent au bord de la matie`re. Mais bien avant de rompre,certains materiaux peuvent supporter des contraintes induisant un changement de formepar deformation elastique, cest a` dire reversible, ou par deformation en partie irreversible.

Les 5 seances de cours magistraux sur la Mecanique des Materiaux Solides ontpour objectif pedagogique de donner des elements de connaissance theorique dans lebut dinterpreter les essais mecaniques realises au cours de mini-projets. Elles sont uneintroduction : (i) a` la theorie des poutres, afin detre capable decrire les equationsdun proble`me de mecanique pour les milieux elances rectilignes simples ; (ii) auxmode`les rheologiques permettant de decrire des lois de comportement liant tenseur decontrainte et tenseur de deformation ; (iii) a` la modelisation de lhyperelasticite ; (iv) a`la mecanique lineaire de la rupture ; (v) a` la stabilite des etats dequilibre dans le cadrede la modelisation du flambage. Ces notions theoriques permettrons de proposer unemodelisation analytique des essais realises en deuxie`me partie du cours.

Lensemble, constitue des cours magistraux et des mini-projets, vise a` donner uncertain nombre declairages sur la mecanique des materiaux solides et les methodesutilisees, tout en offrant des points dentree en vue detudes plus approfondies. Lefait de suivre un tel axe de decouverte fait courir le risque detre parfois troplapidaire. On cherchera donc, dans le temps imparti, a` trouver un juste equilibre danslexpose. On espe`re ainsi montrer que la mecanique des materiaux est un carrefour,

vii

TABLE DES MATIE`RES 1

ou` se croisent mathematiciens et ingenieurs, industriels et universitaires, theoriciens etexperimentateurs.

Le cours lui-meme peut etre prolonge par les exercices corriges qui sont disponibles etpar les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives.Cet entrainement est necessaire a` une bonne assimilation du cours.

Ce polycopie a ete redige sur la base de divers ouvrages dont le polycopie du coursMMS de G. Cailletaud de 2011, que nous remercions vivement pour son aide dans la miseen place la nouvelle formule du cours de Mecanique des Materiaux Solides.

2 TABLE DES MATIE`RES

Premie`re partie

COURS

3

Chapitre 1

Elements de theorie des poutresplanes

La theorie des poutres sapplique sur des solides elances. De facon traditionnelle,le calcul de poutres fait partie du domaine de la resistance des materiaux (RDM) [14].Cette discipline, longtemps enseignee en tant que telle, a permis pendant longtemps decalculer de facon analytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages dart divers.Les memes calculs sont maintenant effectues numeriquement, au moyen de codes de calculpar elements finis.

Neanmoins, malgre le developpement des super calculateurs, linteret pour la resolutionanalytique de proble`mes de mecanique subsiste. En effet, disposer dune solutionanalytique permet dy voir linfluence des differents parame`tres du mode`le, choseessentielle pour prendre des decisions ou pour comprendre un mode`le. Or, la theoriedes poutres, par lajout dhypothe`ses sur lelancement des milieux etudies, est une facon,dans certains cas, dobtenir des solutions analytiques.

1.1 Definitions

1.1.1 Modelisation geometrique

Les poutres ne sont pas forcement des prismes. Le mode`le geometrique qui est employese resume a` :

une ligne moyenne C, de point courant G, avec s, abcisse curviligne a` partir de O.On definit le long de cette ligne (t, n, b), trie`dre de Frenet orthonorme, ainsi que R,rayon de courbure. On rappelle les egalites suivantes :

t =OG

dsn = R

dt

dsb = t n (1.1)

une section droite, S de la poutre, dans le plan (n, b), de contour , de centre degravite G.

Dans le cas des geometries cylindriques, nous prendrons comme premier axe du repe`rex1 = t. Pour que la theorie soit applicable, il est necessaire que les sections droites soientlentement variables ou constantes en fonction de s, et que la plus grande dimensionde la section droite soit petite devant R, et devant la longueur de la poutre. Ceshypothe`ses permettent dassimiler localement la poutre a` un troncon de prisme. On

5

6 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

s=0

t

n

b

S

Figure 1.1 Representation geometrique dune poutre

conside`re dans la suite une theorie en petites deformations et petits deplacements. Lesactions mecaniques, charges et actions de liaison, sappliquent sur la geometrie simplifiee.Elles sont representees par des torseurs (un vecteur resultant et un moment resultant),que lon definit donc sur la ligne moyenne. On construira egalement une cinematiquesimplifiee, permettant de reconstruire les deplacements approches du milieu continu a`partir de translations et de rotations dun point de la ligne moyenne.

Le but de la theorie des poutres est de remplacer la solution tridimensionnelle parune solution globale, dans laquelle on ecrira des equations dequilibre entre les quantitesmoyennes qui definissent les efforts, une cinematique definissant les deplacements sur lastructure simplifiee, et des lois de comportement qui relient les deux. Il sagit de trouverune solution acceptable pour un proble`me qui est, en toute rigueur, incomplet, puisquonne specifiera pas de facon precise les efforts exterieurs sur la geometrie tridimensionnelle.On ne cherchera a` representer que les moyennes, en termes de resultantes et de moments.

La figure 1.1 montre la forme generale dune poutre. Dans chaque section droite, ondefinit le centre de gravite par :

S

GM dS = 0 (1.2)

On definit le moment quadratique par rapport a` une droite de la section droite, enintroduisant H, projection de M S sur

I(S,) =

S

||HM ||2dS (1.3)

Cette grandeur presente une analogie avec le moment dinertie dun solide autour dunedroite, mais dans le cas present, le solide est plan et la masse surfacique est de 1. Ceciexplique quon parle souvent de moment dinertie de la surface S autour de . On peutdonc construire une matrice des moments quadratiques, qui est symetrique :

(I)

=

I22 =S

x23dS I23 = S

x2x3dS

I32 = S

x2x3dS I33 =

S

x22dS

(1.4)

1.1. DEFINITIONS 7

Elle est diagonalisable. Il existe donc des directions centrales principales, pour lesquelleson definit les moments quadratiques centraux principaux

(I)

=

I2 =S

x23dS 0

0 I3 =

S

x32dS

(1.5)Pour la suite du chapitre, on travaillera dans les axes ainsi definis. Dans le cas ou` lasection presente deux axes de symetrie, ceux-ci correspondent bien entendu aux directionsprincipales.

1.1.2 Principe de Saint-Venant

Le traitement de la theorie des poutres sappuie sur le principe de Saint-Venant formuleen 1855 [4, 1]. Dans le cas de materiaux elastiques lineaires, il sagit dun theore`me donton peut trouver une demonstration dans [12]. Il est alors demontre quune distributiondefforts exterieurs appliquee sur une section a lune des extremites de na quun effetlocalise au voisinage de cette section, si la resultante et le moment des efforts appliquessont nuls.Ce principe peut etre reformule de la facon suivante : pour les milieux elance, letatmecanique en des points suffisamment eloignes des points dapplication des chargesexterieures ne depend que du torseur resultant des efforts exterieurs.On en deduit que seul le torseur des efforts interieurs intervient dans le travail virtuel desefforts interieurs, si lon se place hors de leffet local des conditions aux limites.Dans la pratique, la solution donnee par la theorie des poutres est valable lorsquon aparcouru sur la ligne moyenne une distance qui est de lordre de deux a` trois diame`tres,si bien que la schematisation de type poutre est en general acceptee a` partir dun rapport10 a` 15 entre la longueur et la plus grande dimension de la section droite.

1.1.3 Modelisation des actions mecaniques

Ligne moyenne C

x 1

(x). x1~ _ _S

_

x 1_

x 1_

x 3_G

G

S

(x). x1~ _ _dS

-

-

Figure 1.2 Efforts interieurs transmis par une section droite

8 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

La figure 1.2 definit la manie`re dont on prend en consideration les efforts de cohesion.Il ne sagit plus de considerer les actions transmises par une surface infinitesimale maiscelle transmises par une section droite de la poutre. Dans la mesure ou` la geometrie seresume en fait a` une ligne et des sections droites, la representation de la section elle-memenest presente que de facon indicative. La section droite consideree coupe le domaine endeux parties, = +. Letendue de la surface de coupure netant plus infinitesimale,il est possible dintroduire une description de la rotation de celle-ci. Le plus simple estdintroduire un torseur de vitesse pour decrire la cinematique de la surface de coupure.La puissance des efforts exerces sur cette surface fait alors intervenir le torseur des effortsinterieurs, compose dune resultante et dun moment generalement exprime au point G.

Pour un champ de contrainte donne dans la section courante, il est possible dobtenirles composantes du torseur des efforts interieurs. Elles sont definies de manie`re globalesur la section courante. Les notations seront les suivantes :

une resultante N selon x1, T2 selon x2, T3 selon x3 ; N est leffort normal, T2 et T3les composantes de leffort tranchant

un moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3 un couple de torsion autour de x1, M1.

On definit ainsi un torseur, qui est obtenu en integrant les composantes suivantes dutenseur de contrainte :

N =

S

11dS T2 =

S

12dS T3 =

S

13dS (1.6)

C =

S

(x213 x312)dS M2 =S

x311dS M3 = S

x211dS (1.7)

Par definition, le torseur des efforts interieurs est le torseur des actions de + sur .Il nest pas utile de connatre les composantes 22 et 33 pour calculer les efforts

resultants. Ceci va inspirer la solution de Saint-Venant qui est exposee en section suivante.Il faut noter egalement quil est possible de construire une infinite de champs de contraintesqui redonnent le torseur indique. Dans la pratique, la theorie des poutres ne precise pasla manie`re dont sont distribuees les contraintes dans une section droite (en application duprincipe de Saint-Venant). Neanmoins cette distribution peut etre estimee dans certainscas.

1.2 Approche par le principe des travaux virtuels

On va poursuivre la description des actions mecaniques en appliquant le principe destravaux virtuels a` laide dune description cinematique particulie`re. Pour plus de concision,on se resume a` la resolution dans un plan. La figure 1.3 montre la geometrie et resumeles efforts appliques. La ligne moyenne est laxe x1, la poutre se deforme dans le planx1 x3, qui est plan principal dinertie. Comme laxe x1 est le lieu des centres dinertiesdes sections, on a :

S

x3dS = 0 . (1.8)

1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 9

1x

x3

x2

pP

F

M

t

Figure 1.3 Geometrie et efforts exterieurs consideres

1.2.1 Rappel : le principe des travaux virtuels

La figure 1.4 rappelle les grandeurs fondamentales que lon conside`re sur un milieucontinu.

On introduit les definitions suivantes :

Champ u CCA (cinematiquement admissible) :

u = ud sur u = 0.5(grad

u + grad

Tu)

(1.9)

Champ CSA (statiquement admissible) :

.n = Fd sur F div

+ f

d = 0 dans (1.10)

La notation nindique pas une derivee quelconque, mais un champ virtuel utile aucalcul de travaux virtuels.Levaluation du travail developpe par dans u

conduit a` lenchanement suivant, pourtout CSA et u

CCA non forcement relies par la loi de comportement :

ud

fd

Fd

Deplacement impose ud sur la surface u Force repartie imposee F d sur la surface F Force volumique imposee fd a` linterieur de

Figure 1.4 Notations dans le milieu continu

10 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

ijijd =

1

2ij(ui,j + u

j,i

)d (1.11)

=

ijui,jd (1.12)

=

((iju

i

),j ij,jui

)d (1.13)

=

ijnjuidS

ij,juid (1.14)

ijijd =

FiuidS +

fdi uid (1.15)

(1.16)

Le principe des travaux virtuels senonce alors de la facon suivante : ui, variationautour dun etat dequilibre (ui = 0 sur u)

ijijd = Wint = Wext =

F

F di uidS +

fdi uid (1.17)

Dans la suite, on va appliquer ce principe sur les quantites globales definies sur lapoutre.

1.2.2 Cinematique de la poutre de Timoshenko

Lidee consiste, pour un solide elance, a` postuler une description simplifiee, globale,de la structure, au lieu de chercher une resolution exacte. Les solutions obtenues sontdautant plus satisfaisantes que lelancement est important.

Pour traiter le cas dune poutre plane, on conserve dans la description geometriquedeux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugues(au sens du travail virtuel). Pour le cas dune poutre mince, on negligerait le cisaillement(mode`le N , M , NavierBernoulli).

Sollicitation axe de la poutre perp a` laxe moment de flexionforce N T M

deplacement U V

On calcule donc successivement les deplacements virtuels et les deformations virtuelles,en suivant les notations illustrees par la figure 1.5

u1 = U(x1) + x3 u3 = V

(x1) (1.18)

11 = U,1 +

,1x3 2

13 = V

,1 +

(1.19)

22 = 0 21 = 0

23 = 0

33 = 0 (1.20)

(La notation nindique pas une derivee quelconque, mais un champ virtuel utile aucalcul de travaux virtuels.)

1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 11

Plan de la ligne neutre

Section

Figure 1.5 Schematisation de la poutre de Timoshenko

1.2.3 Traitement des equations

Travail virtuel des efforts internes

Wint =V

(1111 + 21313)dV (1.21)

=L

(U ,1

S

11dS + ,1

S

x311dS + (V,1 +

)S

13dS

)dx1 (1.22)

On introduit alors naturellement les quantites N , T , M conjuguees de U , V , :

N =

S

11dS T =

S

13dS M =

S

x311dS (1.23)

ce qui donne :

Wint = L

(NU ,1 +M

,1 + T (V

,1 +

))dx1 (1.24)

Traitement du travail des efforts interieurs

A partir de :

Wint = L

(NU ,1 +M

,1 + T (V

,1 +

))dx1 (1.25)

On inte`gre classiquement par parties le travail des efforts interieurs, par exemple :L

NU ,1dx1 =L

((NU ),1 N,1U ) dx1 = [NU ]L0 L

N,1Udx1 (1.26)

dou` :

Wint = L

(N,1U M,1 T,1V + T)) dx1 (1.27)+N(0)U (0)N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) (1.28)+M(0)(0)M(L)(L) (1.29)

12 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

Travail des efforts exterieurs

On suppose que les forces concentrees sont appliquees aux extremites (x1 = 0 etx1 = L), et on inte`gre entre 0 et L les efforts repartis. Les donnees sont :

les forces normales F0 et FL, tangentielles P0 et PL, les moments M0 et ML, les efforts repartis sur la surface, representes par des densites lineiques normales p

et tangentielle t :

Wext = F0U(0) + FLU (L) + P0V (0) + PLV (L) +M0(0) +ML(L) (1.30)

+

L

(pV + tU )) dx1 (1.31)

1.2.4 Equations differentielles traduisant lequilibre

Wint = L

(N,1U M,1 T,1V + T)) dx1 (1.32)+N(0)U (0)N(L)U (L) + T (0)V (0) T (L)V (L) (1.33)+M(0)(0)M(L)(L) (1.34)

Wext = F0U(0) + FLU (L) + P0V (0) + PLV (L) +M0(0) +ML(L) (1.35)

+

L

(pV + tU )) dx1 (1.36)

Comme legalite Wint + Wext = 0 est valable quel que soit le triplet (U, V , ), on

trouve, en identifiant terme a` terme les contributions de Wint et Wext :

N(0) = F0 N(L) = FL T (0) = P0 T (L) = PL (1.37)

M(0) = M0 M(L) =ML (1.38)N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 (1.39)

On pose :

N =

S

11dS T =

S

13dS M =

S

x311dS (1.40)

On obtient :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0 (1.41)

La figure 1.6 illustre la signification physique des equations precedentes pour unetranche de la poutre.

1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 13

T+dT

N+dN

M+dM

p

t

TNM

dN = tdx1 (1.42)dT = pdx1 (1.43)dM = Tdx1 (1.44)

Figure 1.6 Equilibre dune tranche de poutre

1.2.5 Cas particulier des syste`mes isostatiques

Par definition, un syste`me est isostatique si lon peut determiner les efforts interieursen utilisant uniquement les equations dequilibre. Si un syste`me est isostatique, il est alorspossible de determiner les efforts sur toute la frontie`re du syste`me mecanique en ecrivantuniquement des conditions dequilibre. La methode de resolution suivante peut alors etreadoptee : 1- determiner toutes les reactions des appuis (bords a` deplacements imposes),2- considerer lequilibre de differents troncons + pour obtenir lexpression du torseur desefforts interieurs dans la section courante S. Si la premie`re etape echoue, cela signifie quele syste`me nest pas isostatique. Il faut alors tenir compte de lois de comportement pourdeterminer les efforts interieurs.

Pour appliquer letape 2 de la methode, il faut utiliser la propriete suivante : le torseurdes efforts interieurs etant le torseur des actions de + sur , laction de sur + estdonnee par le torseur des efforts interieurs multiplie dun signe moins.

1.2.6 Lois de comportement

Pour etablir les lois de comportement, il faut trouver des relations raisonnables entre lesdeplacements definis sur la ligne moyenne et les efforts globaux. Lapproche par le principedes travaux virtuels laisse le choix du champ de contraintes statiquement admissible quelon conside`re. Dans la suite, on va considerer une theorie tre`s simplifiee, qui naurapas le meme degre de raffinement que la solution de Saint-Venant presentee plus loin :on sinspire en effet directement du champ cinematiquement admissible pour evaluer unchamp de contrainte, qui sera, en fait obtenu au travers de la loi de comportement, et quine sera pas rigoureusement statiquement admissible. On traite successivement les cas de laforce axiale, du moment et de leffort tranchant, en faisant lhypothe`se de transformationsinfinitesimales. Le materiau est suppose homoge`ne, ses caracteristiques elastiques sont desconstantes.

Lois de comportement : force axiale

On evalue la composante 11 du tenseur de contrainte comme E11 = 11(22 +33),et on neglige 22 et 33. Il vient :

N =

S

11dS =

S

E11dS =

S

Eu1,1dS =

S

EU,1dS +

S

E(x3),1dS (1.45)

14 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

Selon lequation (1.8), le deuxie`me terme du developpement est nul, si bien que :

N = U,1ES (1.46)

Lois de comportement : moment

M =

S

x311dS =

S

x3E11dS =

S

x3U,1dS +

S

x3(x3),1dS (1.47)

Selon lequation (1.8), le premier terme du developpement est nul, il vient :

M = ,1

S

x23dS = ,1I (1.48)

avec I =

S

x23 dS, moment quadratique par rapport a` x2, si bien que :

M =

S

x311dS = EI,1 (1.49)

Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =2bh3

3

Lois de comportement : cisaillement

T =

S

13 =

S

213dS =

S

(u1,3 + u3,1)dS =

S

( + V,1) dS (1.50)

si bien que :

T = S( + V,1) (1.51)

Lois de comportement

Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure.

N = ESU,1 T = S( + V,1) M = EI,1 (1.52)

Equations differentielles

Comportement et conditions dequilibre fournissent donc le syste`me dequationsdifferentielles suivant :

U,1 = N/ES (1.53)

V,1 = + T/S (1.54),1 = M/EI (1.55)

N,1 + t = 0 (1.56)

M,1 T = 0 (1.57)T,1 + p = 0 (1.58)

1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 15

flexion cisaillement

Figure 1.7 Forme de la deformee de la ligne moyenne

1.2.7 Remarques

Deformees

La forme de la deformee de la ligne moyenne (fig. 1.7) depend du type de chargement : Le terme de cisaillement, produit une evolution lineaire de la fle`che. La fle`che est obtenue comme solution dun proble`me dordre 4 par rapport aux

efforts appliques :

V,11 = ,1 = MEI

V,111 = M, 1EI

=T

EIV,1111 = p

EI(1.59)

En presence dun moment appliquee, la forme de la ligne moyenne sera circulaire,elle sera de degre 3 en cas deffort concentre, et de degre 4 en cas deffort repartitout au long de la poutre.

Methode de resolution

Le deplacement axial sobtient en integrant la relation :

U,1 = N/ES (1.60)

La rotation relative entre les sections sobtient en integrant la relation :

,1 = M/EI (1.61)

La fle`che est le resultat de la somme de deux termes, lun provenant de la rotation ellememe, et lautre de leffort tranchant T :

V,1 = + T/S (1.62)

Expression des contraintes locales

La connaissance de U , V et permet de remonter aux champs de deformation et decontrainte locaux. (' E11 = Eu1,1) est la somme de deux termes, dus a` lelongation et a`la flexion :

11 = N/S +Mx3/I (1.63)

16 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

Si le cisaillement est negligeable

= V,1 M = EIV,11 (1.64)

Theorie de NavierBernoulli

Dans la theorie qui a ete developpee jusque la`, une section plane reste plane, maispas perpendiculaire a` laxe neutre. Si la plus grande dimension de la section droite estextemement petite devant la longueur de la poutre (poutre mince), ou si les cisaillementssont faibles (effet du moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernie`rehypothe`se. On retrouve alors la theorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dansce cas, il faut assurer 13 = 0, ce qui entrane la condition suivante sur lhypothe`secinematique :

213 = V,1 + = 0 (1.65)

La consequence immediate est que T nest pas calculable par la loi de comportement,mais uniquement accessible par les conditions dequilibre.

1.2.8 Energie potentielle dans le cas de lelasticite lineaire

Theore`me de lenergie potentielle : Pour les milieux elastiques lineaires, il existe uneenergie potentielle. A lequilibre cette energie est stationnaire.

Notons F lenergie potentielle. Pour un troncon de poutre elastique et lineaire, en seplacant dans le cadre de la theorie de NavierBernoulli, on a :

u = (U, V ) cinematiquement admissible F(u) = 12

L

(E S U2,1 + E I V

2,11

)dx1 Wext

(1.66)ou` Wext est le travail des efforts exterieurs appliques au troncon de poutre. Le premierterme correspond a` lenergie de deformation du troncon.Nous montrerons au chapitre sur la stabilite que ce point stationnaire doit etre unminimum local. Il faut donc que le module dYoung soit une grandeur positive.

F est une fonction de fonctions, cest une fonctionnelle. La condition de stationaritesobtient par extraction de la partie lineaire en U et V de la difference F(U + U , V +V )F(U, V ), lorsque U et V sont des perturbations infinitesimales. La differentielle deF en u = (U, V ) est notee F,u(u)[u], avec u = (U , V ). Par le calcul obtient lexpressionsuivante :

(U, V ) , (U , V ) F,u(u)[u] =L

(E S U,1 U

,1 + E I V,11 V

,11

)dx1 Wext (1.67)

La condition de stationnarite secrit donc :

F,u(u)[u] = 0 (U , V ) cinematiquement admissible (1.68)

Ainsi, la stationnarite de F implique que le principe des travaux virtuels est verifie. Lareciproque est vraie egalement.

1.3. SOLUTION DE SAINT-VENANT 17

Prise en compte du gauchissement de section

Comme on peut le constater en se referant a` la solution de Saint-Venant, la methodepresentee ici nest quapprochee, surtout dans le cas ou` le cisaillement est important.Ainsi, il est facile de verifier par exemple que le resultat en contrainte 13 ne verifie pasles conditions aux limites, puisque, 13 etant uniforme, le cisaillement calcule nest pasnul en surface. Par ailleurs, les equations dequilibre non utilisees ne sont pas verifiees.Lapproximation se justifie neanmoins en raison des ordres de grandeur respectifs dechacune des composantes de contrainte mises en jeu. Il est relativement simple dapporterune premie`re amelioration en considerant que la section S peut devenir gauche. Celaconduit a` postuler un champ de deplacement tridimensionnel de la forme, ou` i designele gauchissement longitudinal :

u1(X) = u(s) + (s)x3 + 1(x1, x2, x3)u2(X) = 2(x1, x2, x3)u3(X) = v(s) + 3(x1, x2, x3)

La seule modification a` apporter aux equations consiste a` introduire un coefficient k,dit de section reduite dans lexpression du cisaillement, qui devient :

T = (S/k)( + V,1) (1.69)

Ce coefficient vaut 6/5 pour le cas dune poutre de section rectangulaire.

1.3 Solution de Saint-Venant

Sous certaines hypothe`ses detaillees ci-dessous, la theorie des poutres et la theoriegenerale des milieux continus coincident.

1.3.1 Contraintes

Lhypothe`se de Saint-Venant consiste a` chercher la solution dun troncon de poutredroite sous la forme dun etat de contrainte contenant uniquement deux cisaillements etun terme de contrainte axiale :

(..)

=

11 12 1321 0 031 0 0

(1.70)Chaque composante depend pour le moment de la position (x1, x2, x3) dun point

courant au sein de la poutre. On cherche a` resoudre le proble`me a` laide dune formulationen contraintes. Le tenseur recherche doit verifier :

les equations dequilibre

11,1 + 12,2 + 13,3 = 0 (1.71)

21,1 = 0 (1.72)

31,1 = 0 (1.73)

(1.74)

18 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

les equations de Beltrami permettant de trouver ulterieurement un champ dedeplacement

11 11,11 = 0 (1.75)(1 + )12 + 11,12 = 0 (1.76)

(1 + )13 + 11,13 = 0 (1.77)

11,22 + 11 = 0 (1.78)11,23 = 0 (1.79)

11,33 + 11 = 0 (1.80)(1.81)

On deduit des equations precedentes la forme generale de la solution, dans laquelle ona introduit une fonction dependant de x2 et x3, telle que = 0 :

11 = a0 + a1x1 + (b0 + b1x1)x2 + (c0 + c1x1)x3 (1.82)

12 = ,3 a12x2 c1x2x3 b1

1 +

x232

(1.83)

13 = ,2 a12x3 b1x2x3 c1

1 +

x222

(1.84)

(1.85)

Lors du calcul des integrales sur la section droite, un certain nombre de termes sont

nuls, dans la mesure ou` les axes x2 et x3 sont des axes principaux. Cest le cas de

S

x2dS,S

x3dS,

S

x2x3dS. On voit par ailleurs apparatre les moments quadratiques principaux.

La forme finale de la solution en contrainte est :

11 =N

S+M2I2x3 M3

I3x2 (1.86)

12 = T3I2x2x3 1

1 +

T2I3

x232

(1.87)

13 = T2I3x2x3 1

1 +

T3I2

x222

(1.88)

(1.89)

La fonction est solution de = A, equation differentielle quil faut resoudre enprenant en compte respectivement une condition aux limites sur le contour de la sectiondroite, et lexpression du moment de torsion :

d =

(T2I3x2x3 T3

2(1 + )I2x22

)dx2 +

(T3I2x2x3 +

T22(1 + )I3

x23

)dx2 (1.90)

C = S

S

dS +

(x3dx2 x2dx3) (1.91)

+T2I3

S

(x2x3 + x

23

2(1 + )

)dS +

T3I2

S

(x3x2 + x

22

2(1 + )

)dS (1.92)

1.3. SOLUTION DE SAINT-VENANT 19

1.3.2 Deplacements

On passe des contraintes aux deplacements par la loi de comportement. Le calcul desdeplacements se fait de facon traditionnelle en calculant dabord les rotations, puis lescomposantes du vecteur deplacement (voir le cours MMC) Les rotations sont calculeesa` laide dun tenseur , partie antisymetrique du gradient de deplacement, dont lescomposantes 12, 23 et 31 verifient des equations differentielles du type :

12,1 = 11,2 12,1 12,2 = 12,2 22,1 12,3 = 13,2 32,1 (1.93)et permutation circulaire.

Les composantes du deplacement sont obtenues par des equations du type :

u1,1 = 11 u1,2 = 12 + 12 u1,3 = 13 + 13 (1.94)

et permutation circulaire.On trouve [7] :

u1 =N

ESx1

(T2EI3

x2 +T3EI2

x3

)(Lx1 x

21

2

)+

(M2EI2

x3 M3EI3

x2

)x1 (1.95)

+T2EI3

(x326 (2 + )x2x

23

2

)+

T3EI2

(x336 (2 + )x3x

22

2

)(1.96)

+1 +

E + x2 x3 + 0 (1.97)

u2 = NES

x3 +

(T2

2EI3(x22 x23) +

T3EI2

x2x3

)(L x1) (1.98)

+

(M3

2EI3(x22 x23)

M2EI2

x2x3

)+

1 +

EAx1x3 (1.99)

+

(M3EI3

+T2EI3

(L x1

3

)) x212 x1 x3 + 0 (1.100)

u3 = NES

x3 +

(T3

2EI2(x23 x22) +

T2EI3

x2x3

)(L x1) (1.101)

+

(M2

2EI2(x23 x22)

M3EI3

x2x3

) 1 +

EAx1x2 (1.102)

+

(M2EI2

+T3EI2

(L x1

3

)) x212

+ x1 x2 + 0 (1.103)(1.104)

1.3.3 Discussion

La solution est bien donc relativement complexe, cependant la solution est adapteepour une large gamme de proble`mes, en flexion et en torsion. Cest la presence de qui rend la resolution analytique delicate (voire impossible), et dependante de la formede la section. Dans le cas general, il y a un couplage entre les sollicitations, cest-a`-direpar exemple quun effort tranchant conduit a` un deplacement en torsion. Les couplagesdisparaissent lorsque les sections presentent des axes de symetrie. On obtient un resultatanalytique dans le cas ou` la section est circulaire. En torsion pure, on trouve tout

20 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

simplement que vaut (R2 x22 x23)/2, et on verifie que la section reste plane ; sousleffet dun effort tranchant T2 uniquement, on trouve :

12 =T2I3

(3 + 2

8(1 + )

(x23 x22 +R2

) x232(1 + )

)13 = T2

I3

(1 + 2

4(1 + )x3x2

)(1.105)

On note que le vecteur contrainte est bien nul sur la surface laterale.Dune facon generale, le deplacement de la ligne moyenne est obtenu pour x2 = x3 = 0.

Les sections droites restent planes sous laction dun effort normal ou dun moment. Dansle cas dun effort tranchant, on a un gauchissement des sections droites, ainsi, sous lactionde T2, en notant U le deplacement selon x1 dun point courant de la ligne moyenne, on a :

u1 U = T2EI3

(x326 (2 + )x2x

23

2

)+

1 +

E(x2, x3) (1.106)

Ce gauchissement reste neanmoins relativement peu important, ce qui encouragera en faita` construire des solutions dans lesquelles on conserve les sections planes.

1.4 Poutre sandwich

On continue ici a` utiliser une approche relativement grossie`re, qui consiste a` evaluer lechamp de contrainte a` partir du champ de deplacement. On suppose donc que, en presencede plusieurs couches, on continue a` avoir la meme cinematique. Contrairement au cas dumateriau homoge`ne, il y a maintenant une distribution spatiale des proprietes elastiques,qui dependent de la cote x3 dans la section. On conside`re une section droite de formerectangulaire. On suppose que la partie centrale de la section droite est en mousse et quela partie superieure ainsi que la partie inferieure sont en metal. Ceci interdit de sortir lesmodules des integrales, et conduit donc a` des moyennes differentes, prenant en compte a`la fois la geometrie et le comportement.

1.4.1 Evaluation des efforts interieurs

Effort normal

N =

S

11 dS (1.107)

La contrainte 11 est discontinue, et : 11(x3) = E(x3)11

11 = E(x3) (U1,1 + 1,1x3) (1.108)

N = U,1

S

E(x3)dS + ,1

S

E(x3)x3dS (1.109)

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et independante de x2 ; la seconde integrale estnulle. On a :

N =< ES > U,1 avec < ES >=

S

E(x3)dS (1.110)

1.4. POUTRE SANDWICH 21

Poutre sandwich : moment

M =

S

x311 dS (1.111)

11 = E(x3) (U1,1 + 1,1x3) (1.112)

M = U,1

S

x3E(x3)dS + ,1

S

E(x3)x23dS (1.113)

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et independante de x2 ; la premie`re integrale estnulle. On a :

M =< EI > ,1 avec < EI >=

S

E(x3)x23dS (1.114)

Poutre sandwich : cisaillement

On ne peut pas comme dans les deux cas precedents accepter devaluer directement lescomposantes de contrainte a` partir du comportement. On commet en effet une grossie`reerreur en ne prenant pas en compte la continuite de la composante 13 a` linterface. Lavaleur de 13 est limitee par le faible module de la mousse a` linterieur de la poutre, etelle doit etre nulle en surface externe, de normale x3, qui est libre. Une pratique couranteadmet tout simplement de negliger la contribution des plaques metalliques externes ; onse limite a` lintegrale sur le cur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est comprisentre h :

T =

S

13 dS b

0

+hh

13dx2dx3 = (V,1 + )

+hh

2b(x3)dx3 (1.115)

T < S >+hh (V,1 + ) (1.116)

1.4.2 Forme generale des lois de comportement elastiques

Si la distribution des modules nest pas paire en x3, il y a un couplage entre tractionet flexion. On doit ecrire :

N

M

T

=

S

EidS

S

Eix3dS 0S

Eix3dS

S

Eix23dS 0

0 0

S

idS

=

U,1

,1

V,1 +

(1.117)

On a introduit les quantites suivantes :

22 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

- ligne moyenne definie par :SEix3dS = 0

- rigidite equivalente de traction : < ES >=SEidS

- rigidite equivalente de flexion : < EI >=SEix

23dS

- rigidite equivalente de cisaillement : < S >=SidS

On a donc etabli des lois de comportement simplifiees :

N =< ES > U,1 T =< S > ( + V,1) M =< EI > ,1 (1.118)

Tout ceci permet de retrouver les contraintes 11 locales :

11 ' Ei(

N

< ES >+

Mx3< EI >

)(1.119)

La composante 11 presente donc a` linterface une discontinuite qui est dans la rapportdes modules dYoung en direction 1. Ceci explique que ce sont les peaux qui assurent laresistance au moment de flexion. Si la poutre est suffisamment epaisse, et la peau mince,les peaux sont pratiquement en traction et en compression simple. Comme lassemblagea permis de les eloigner de la ligne moyenne, la rigidite sera donc nettement plus grande.

Pour une bonne conception de lassemblage, il faut verifier que les contraintes decisaillement qui se developpent aux interfaces restent compatibles avec la resistance desjoints de colle entre les differents materiaux.

1.4. POUTRE SANDWICH 23

Resume

La theorie de Timoshenko pour les poutres suppose quune section plane resteplane, mais pas forcement perpendiculaire a` la ligne moyenne. La cinematiqueest :

u1 = U(x1) + x3 u3 = V (x1)

11 = U,1 + ,1x3 213 = V,1 +

Les equations dequilibre global sont :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 T = 0

Les equations de comportement global sont :

N = ESU,1 T = S( + V,1) M = EI,1

Schema de resolution :

T,1 + p = 0 M,1 T = 0 ,1 = M/EI V,1 = + T/S

La theorie de NavierBernoulli sapplique pour les poutres minces qui ne sontpas capables de supporter un cisaillement. Dans ce cas, on a simplement : =V,1 M = EIV,11

Dans le cas de poutre sandwich symetrique, il ny a pas de couplage tractionflexion, et on peut appliquer les memes equations, a` condition deffectuer desmoyennes ponderees par le module de Young sur la section comple`te, et, dans lecas du cisaillement, en premie`re approximation, sur la section de mousse.

24 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

Chapitre 2

Rheologie

La construction des mode`les de comportement non lineaire des materiaux comportedeux volets : letude des proprietes rheologiques et la definition de la forme des equationspour un chargement tridimensionnel. La rheologie, etude des ecoulements, permet derelier les contraintes, les deformations, et leurs derivees, et caracterise la nature descomportements. La caracterisation experimentale a ete evoquee en introduction. Certainscomportements fondamentaux ont ete identifies. Chacun va se caracteriser ici par unebrique elementaire. Les comportements les plus complexes se batissent ensuite a` partir decelles-ci en formant des assemblages qui sont decrits dans ce chapitre. On commencelexamen des differentes classes de mode`le par quelques remarques sur les types dedeformation que peut subir la matie`re.

2.1 Les differents types de deformation

2.1.1 Les sources de deformation

Pour les lois de comportement les plus simples (elasticite, viscosite pure) un seultenseur de deformation permet de caracteriser les changements de forme de lelement devolume. De nombreuses situations pratiques font au contraire intervenir dautres types dedeformations. Avant daborder cette description, on fait le bilan des elements necessairesa` la construction dune loi de comportement.

Un cadre devenu classique, et qui est presente dans le cours de MMC [5] (chapitre 5)suppose que lon definisse un certain nombre de variables detat qui representent a` linstantt le resultat de toute lhistoire du materiau. La deformation elastique est lexemple dunetelle variable. Il faut ensuite introduire des coefficients, ou parame`tres materiau, qui vontporter sur ces variables et definir les grandeurs associees (lapproche thermodynamiqueparle de forces thermodynamiques) quelles gene`rent. Ainsi, le tenseur des modulesdelasticite permet-il de calculer le tenseur des contraintes. Un materiau est egalementsoumis a` laction de parame`tres exterieurs, qui vont creer en son sein des distorsions oudes variations de volume.

Le fait de solliciter le materiau dans des conditions extremes (fortes charges parexemple) fait apparatre des irreversibilites dans le processus de deformation, qui devrontetre caracterisees par de nouvelles variables detat. On entamera au paragraphe suivantletude de ce type de deformation. Il faut auparavant citer le cas des deformationsparametriques. On regroupe derrie`re cette denomination les modes de deformations

25

26 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

additionnels, qui sont pilotes par des parame`tres exterieurs. En toute rigueur lesdistorsions et dilatations produites ne conduisent pas a` un tenseur de deformation, parcequelles ne verifient pas forcement les equations de compatibilite. Lusage a neanmoinsconsacre labus de notation, et on utilise par exemple

th pour designer la dilatationthermique ; on accepte meme parfois de parler de deformation thermique. Parmi les autresparame`tres exterieurs qui fournissent des deformations additionnelles, on peut citer parexemple :

lirradiation dun materiau, qui provoque dans certaines gammes de temperature lagermination et la croissance de cavites, ce qui produit un changement de volume ;

le changement de phase ; les metaux et alliages, mais aussi les roches, peuventchanger de reseau cristallin en fonction de la temperature et de la pression. Cesphenome`nes doivent bien entendu etre decrits a` laide de variables detat, mais,dans la mesure ou` une quantite donnee datomes noccupera pas le meme volume enfonction de sa phase cristallographique (cubique, hexagonale,. . .), un changementde volume specifique accompagnera de facon systematique le changement de phase.

2.1.2 Dilatation thermique

La dilatation thermique est proportionnelle a` la variation de temperature pourune petite variation de celle-ci autour dun point de fonctionnement considere. Cecipermet donc dintroduire un tenseur de dilatation thermique. Sur une large gammede temperature, lexperience montre que les termes de ce tenseur dependent de latemperature. Comme par ailleurs on peut choisir la temperature a` laquelle on prendla dilatation thermique nulle, il faut introduire deux temperatures particulie`res dans ladefinition, T0 temperature a` laquelle

th est nul, et Tr, temperature de reference a` partirde laquelle est mesure . La forme comple`te est alors :

pour le cas anisotrope

th = (T )(T Tr) (T0)(T0 Tr) (2.1)

pour le cas isotrope

th = (T )(T Tr)I (T0)(T0 Tr)I (2.2)

soit

thij = (T )(T Tr)ij (T0)(T0 Tr)ij (2.3)Dans une telle definition, (T ) (dependant de la temperature) est le coefficient de

dilatation secant. Cest lui qui est ordinairement tabule dans les bases de donnees.La deformation totale secrit comme une somme de la part elastique et de la part

thermique :

= e +

th

Lorsque le champ de temperature dans une pie`ce nest pas uniforme, la dilatation variedun point a` lautre. Si le champ applique permet de verifier les conditions de compatibilite,et sil peut se developper une dilatation libre, il ny a pas de contrainte ; dans le cascontraire (champ de temperature trop complexe ou restrictions cinematiques), ceci conduitau developpement de contraintes thermomecaniques.

2.2. LES BRIQUES DE BASE DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE 27

2.2 Les briques de base du comportement non

lineaire

Lallure qualitative de la reponse des materiaux a` quelques essais simples permet deles ranger dans des classes bien definies. Ces comportements de base, qui peuvent etrerepresentes par des syste`mes mecaniques elementaires, sont lelasticite, la plasticite et laviscosite. Les elements les plus courants sont reportes en figure 2.1, ou` le point au-dessusdune variable designe la derivee temporelle :

1. Le ressort, qui symbolise lelasticite lineaire parfaite, pour laquelle la deformationest entie`rement reversible lors dune decharge, et ou` il existe une relation biunivoqueentre les parame`tres de charge et de deformation (figure 2.1a).

2. Lamortisseur, qui schematise la viscosite, lineaire (figure 2.1b) ou nonlineaire(figure 2.1c). La viscosite est dite pure sil existe une relation biunivoque entre lacharge et la vitesse de chargement. Si cette relation est lineaire, le mode`le corresponda` la loi de Newton.

3. Le patin, qui modelise lapparition de deformations permanentes lorsque la chargeest suffisante (figure 2.1d). Si le seuil dapparition de la deformation permanentenevolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, deplus, la deformation avant ecoulement est negligee, le mode`le est rigideparfaitementplastique.

= E

=

= 1/N

y y

a.

b.

c.

d.

Figure 2.1 Les briques de base pour la representation des comportements

Ces elements peuvent etre combines entre eux pour former des mode`les rheologiques.Ceux-ci representent des syste`mes mecaniques qui servent de support dans la definitiondes mode`les. Il ne faut en aucun cas leur accorder un trop grand credit pour ce quiconcerne la representation des phenome`nes physiques qui sont a` la base des deformations.Ils sont neanmoins brie`vement presentes ici, car ils permettent de comprendre la naturedes relations a` introduire pour chaque type de comportement, en pratiquant par exemplelexercice qui consiste a` combiner deux a` deux les mode`les elementaires. Cest aussiloccasion dintroduire lensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas general deschargements tridimensionnels.

28 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

En fonction du type de chargement impose, la reponse de ces syste`mes peut etre jugeedans 3 plans differents :

plan deformationcontrainte, -, pour lessai de traction simple, ou decrouissage,augmentation monotone de la charge ou de la deformation ;

plan tempsdeformation, t-, pour lessai de fluage, sous charge constante ; plan tempscontrainte, t-, pour lessais de relaxation, sous deformation constante.

2.3 Plasticite uniaxiale

a.

(y) (E)

b.

(y)

(H)

p

y

yc.

yH

p

d.

Figure 2.2 Associations en serie ou paralle`le de patin et ressort

2.3.1 Mode`le elastiqueparfaitement plastique

Lassociation dun ressort et dun patin en serie (figure 2.2 a) produit un comportementelastique parfaitement plastique, modelise en figure 2.2 c. Le syste`me ne peut pas supporterune contrainte dont la valeur absolue est plus grande que y.

Pour caracteriser ce mode`le, il faut considerer une fonction de charge f dependant dela seule variable , et definie par :

f() = || y (2.4)Le domaine delasticite correspond aux valeurs negatives de f , et le comportement dusyste`me se resume alors aux equations suivantes :

domaine delasticite si : f< 0 ( = e = /E) (2.5) decharge elastique si : f= 0 et f< 0 ( = e = /E) (2.6) ecoulement plastique si : f= 0 et f= 0 ( = p) (2.7)

En regime elastique, la vitesse de deformation plastique est bien entendu nulle, lavitesse de deformation elastique devenant a` son tour nulle pendant lecoulement plastique.

2.3. PLASTICITE UNIAXIALE 29

Ceci implique que lexpression de la vitesse de deformation plastique ne peut pas se fairea` laide de la contrainte. Cest au contraire la vitesse de deformation qui doit etre choisiecomme pilote.

Le mode`le est sans ecrouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortirdu domaine delasticite. Il ny a pas denergie stockee au cours de la deformation, etla dissipation en chaleur est egale a` la puissance plastique. Le mode`le est susceptibledatteindre des deformations infinies sous charge constante, conduisant a` la ruine dusyste`me par deformation excessive.

2.3.2 Mode`le de Prager

Lassociation en paralle`le de la figure 2.2b correspond au comportement illustre enfigure 2.2d. Dans ce cas, le mode`le presente de lecrouissage. Il est dit cinematiquelineaire [11], car dependant lineairement de la valeur actuelle de la deformation plastique.Sous cette forme, le mode`le est rigideplastique. Il devient elastoplastique si lon rajouteun ressort en serie. La forme de la courbe dans le plan p est due au fait que, lorsde lecoulement plastique, la contrainte qui setablit dans le ressort vaut X = Hp. Parailleurs, cet ecoulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans lepatin, soit |Hp|, est egale a` y. Pour une deformation donnee, cette contrainte X estune contrainte interne qui caracterise le nouvel etat neutre du materiau.

Ce deuxie`me exemple offre loccasion decrire un mode`le plus complet queprecedemment. La fonction de charge depend maintenant de la contrainte appliquee et dela contrainte interne. Elle secrit :

f(,X) = | X| y (2.8)Il ny aura presence decoulement plastique que si on verifie a` la fois f = 0 et f = 0. Ceciconduit a` la condition suivante :

f

f

XX = 0 (2.9)

Dou` :

signe( X) +signe( X) X = 0 (2.10) = X, et finalement : p = /H (2.11)

Dans ce cas, la contrainte augmente au cours de lecoulement plastique, si bien quellepeut servir de variable de controle. Mais il est aussi toujours possible dexprimer la vitessedecoulement plastique en fonction de la vitesse de deformation totale, en utilisant ladecomposition de la deformation combinee avec lexpression de la vitesse de deformationplastique, le cas ou` H = 0 redonnant bien entendu le cas du materiau parfaitementplastique :

p =E

E +H (2.12)

Il est remarquable de noter que le calcul de lenergie dissipee au cours dun cycleproduit exactement le meme resultat que pour le premier montage, ce qui indique que,pour ce type de comportement, une partie de lenergie est temporairement stockee dans lemateriau (ici, dans le ressort), et entie`rement restituee a` la decharge. Ceci donne une

30 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

illustration physique de la notion decrouissage renversable, alors que dautres re`glesdecrouissage cinematique, nonlineaire, qui ne seront pas considerees dans le cadre dece cours, sont accompagnees dune dissipation denergie.

2.3.3 Ecriture generale des equations de lelastoplasticiteuniaxiale

Dans le cas general, les conditions de chargedecharge sexpriment donc :

domaine delasticite si : f(,Ai)< 0 ( = /E) (2.13) decharge elastique si : f(,Ai)= 0 et f(,Ai)< 0 ( = /E) (2.14) ecoulement plastique si : f(,Ai)= 0 et f(,Ai)= 0 ( = /E + p) (2.15)Dans le cas general, le module H depend de la deformation et/ou des variables

decrouissage. La valeur du module plastique au point (,Ai) sobtient en ecrivant que lepoint representatif du chargement reste sur la limite du domaine delasticite au cours delecoulement. Lequation qui en decoule sappelle la condition de coherence :

f(,Ai) = 0 (2.16)

Ce formalisme peut paratre un peu lourd dans le cadre dun chargement uniaxial, maisil est utile de le mettre en place, car ce sont les memes outils qui seront ensuite utilisesdans le cas plus complexe des chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ontete decrits, le domaine delasticite est soit fixe, soit mobile, sa taille etant conservee.Le premier cas ne necessite bien entendu aucune variable decrouissage, le second faitintervenir une variable X qui depend de la valeur actuelle de la deformation plastique.Cette variable deviendra tensorielle dans le cas general. Comme indique plus haut le typedecrouissage correspondant sappelle ecrouissage cinematique (figure 2.3b).

Une autre evolution elementaire que peut subir le domaine delasticite est lexpansion.Cet autre cas (figure 2.3a) correspond a` un materiau dont le domaine delasticite voit sataille augmenter, mais qui reste centre sur lorigine : il sagit dun ecrouissage isotrope [13].La variable decrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine delasticite,notee R :

f(,R) = || R y (2.17)Levolution de cette variable est la meme quel que soit le signe de la vitesse de deformationplastique. Elle sexprimera donc en fonction de la deformation plastique cumulee, p,variable dont la derivee est egale a` la valeur absolue de la vitesse de la deformationplastique : p = |p|. Bien entendu, il ny a pas de difference entre p et p tant quele chargement est monotone croissant. Dans ce cas, verifier la condition de coherencerevient tout simplement a` exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur lafrontie`re du domaine delasticite. Pour lecrouissage cinematique, cela secrit = X + y,et pour lecrouissage isotrope = R + y. Cela signifie donc que cest la loi devolutionde la variable decrouissage qui determine exactement la forme de la courbe de traction.Les deux mode`les rheologiques invoques donnent des courbes lineaires, avec des modulesplastiques nul ou constant. Il est souvent plus realiste de considerer une courbe qui sesature en fonction de la deformation, soit par exemple une fonction puissance (loi deRambergOsgood, avec deux coefficients materiaux K et m) ou une exponentielle, cette

2.4. VISCOELASTICITE UNIAXIALE 31

dernie`re formulation offrant lavantage dintroduire une contrainte ultime u supportablepar le materiau (deux coefficients materiau, u et b en plus de y) :

=y +K (p)m (2.18)

=u + (y u) exp(b p) (2.19)

Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de definir une formeexplicite de la loi de comportement, et decrivent la courbe de traction point par point.Cela revient implicitement a` considerer un ecrouissage isotrope. Ce type decrouissageest predominant pour les deformations importantes (au-dela` de 10%). Cependant,lecrouissage cinematique continue de jouer un role important lors de decharges, memepour les grandes deformations, et cest lui qui est preponderant pour les faiblesdeformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctementleffet Bauschinger, cest-a`-dire le fait que la contrainte delasticite en compression decrotpar rapport a` la contrainte initiale a` la suite dun preecrouissage en traction. Il estneanmoins moins souvent utilise que lecrouissage isotrope, car son traitement numeriqueest plus delicat.

p

R+y

R+yy

a. Isotrope

Xy

yy

p

b. Cinematique

Figure 2.3 Illustration des deux principaux types decrouissage

2.4 Viscoelasticite uniaxiale

2.4.1 Un exemple de mode`le rheologique

Le mode`le de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en serie (figure 2.4a),celui de Voigt un amortisseur et un ressort en paralle`le (figure 2.4b). Leurs equationsrespectives sont :

Maxwell : = /E0 + / (2.20)Voigt : = H+ , ou encore : = ( H )/ (2.21)

La particularite du mode`le de Voigt est de ne pas presenter delasticite instantanee.Ceci entrane que sa fonction de relaxation nest pas continue et derivable par morceaux,avec un saut fini a` lorigine : lapplication dun saut de deformation en t = 0 produitune contrainte infinie. Ce mode`le nest donc pas utilisable en relaxation, sauf si la mise

32 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

a. Maxwell

() (E0)

b. Voigt

()

(H)

t

0/H

0/E0

Voigt

Maxwell

c. Fluage

Maxwell

E00

t

d. Relaxation

Figure 2.4 Fonctionnement des mode`les de Maxwell et Voigt

en charge est progressive, et sera pour cette raison associe a` un ressort en serie poureffectuer des calculs de structure (mode`le de KelvinVoigt du paragraphe suivant). Sousleffet dune contrainte 0 constante en fonction du temps, la deformation tend vers lavaleur asymptotique 0/H, le fluage est donc limite (figure 2.4c). Par ailleurs, si, apre`s unemise en charge lente, la deformation est fixee a` une valeur 0, la contrainte asymptotiquesera H 0. Il ny a donc pas dans ce dernier cas disparition comple`te de la contrainte.Au contraire, dans le cas du mode`le de Maxwell, la vitesse de fluage est constante(figure 2.4c), et la disparition de contrainte au cours dune experience de relaxation esttotale (figure 2.4d).

Dans le cas de mode`les et de chargement aussi simples, la reponse est obtenueinstantanement par integration directe des equations differentielles. Les formules obtenuessont respectivement, pour le mode`le de Maxwell :

fluage sous une contrainte 0 : = 0/E0 + 0 t / (2.22)relaxation a` la deformation 0 : = E00 exp[t/ ] (2.23)

et pour le mode`le de Voigt :

fluage sous une contrainte 0 : = (0 /H)(1 exp[t/ ]) (2.24)

Les constantes = /E0 et = /H sont homoge`nes a` un temps, designant le temps

de relaxation du mode`le de Maxwell.

2.4.2 Etude dun mode`le compose

Le mode`le de KelvinVoigt (figure 2.5a) presente respectivement les reponses suivantes,pour t > 0, en fluage sous une contrainte 0, en posant f = /H, et en relaxation pour

2.5. VISCOPLASTICITE UNIAXIALE 33

a. KelvinVoigt

(E0)(H)

()

b. Zener

()(E2)

(E1)

Figure 2.5 Exemple de mode`les composes

une deformation 0, en posant r = /(H + E0) :

(t) = C(t)0 =

(1

E0+

1

H(1 exp[t/f ])

)0 (2.25)

(t) = E(t) 0 =

(H

H + E0+

E0H + E0

exp[t/r])E00 (2.26)

Le temps caracteristique en relaxation, r, est plus court que le temps correspondant enfluage, f . Le materiau evolue donc plus vite vers son etat asymptotique en relaxationquen fluage.

Le mode`le de Zener (figure 2.5b) peut se ramener au mode`le de KelvinVoigt, a` laidedu double changement de variable 1/E1 = 1/E0 +1/H, et E2 = E0 +H, ce qui prouve queles deux mode`les sont en fait identiques. La meme observation peut etre faite en fluage.Ce mode`le correspond au comportement du beton frais. Les mode`les indiques peuventetre encore ameliores :

le mode`le de KelvinVoigt generalise est obtenu en ajoutant en serie dautres modulesamortisseur-ressort (H, ) dans le cas du premier mode`le ; ce mode`le represente engeneral correctement le comportement des polyme`res fortement reticules ;

le mode`le de Maxwell generalise est obtenu en ajoutant en paralle`le dautres modulesamortisseur-ressort (E2, ) au second mode`le ; ce mode`le represente qualitativementle comportement des polyme`res thermoplastiques.

2.5 Viscoplasticite uniaxiale

2.5.1 Un exemple de mode`le rheologique

La figure 2.6a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possiblede passer tre`s simplement dun mode`le ayant un comportement plastique independant dutemps a` un mode`le viscoplastique : le mode`le obtenu est le mode`le de Bingham generalise.On retrouverait loriginal de ce mode`le en enlevant le ressort en serie (E , pasdelasticite instantanee, on obtient alors un mode`le rigide viscoplastique), et en supprimantle ressort en paralle`le, (H = 0, pas decrouissage). La deformation elastique se lit auxbornes du ressort de caracteristique E, la deformation viscoplastique, que lon nommeravp, aux bornes de lassemblage en paralle`le. La determination des equations de ce mode`leseffectue en considerant les equations de comportement individuelles de chacun deselements :

X = Hvp v = vp p 6 y (2.27)

34 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

a. Schema du modele

(E)

(H)

()

(y)vp

y

b. Comportement en traction

Figure 2.6 Mode`le de Bingham generalise

ou` X, v et p sont respectivement les contraintes dans le ressort de caracteristique H,dans lamortisseur et dans le patin, et :

= X + v + p (2.28)

Il y a donc comme pour le mode`le plastique un domaine delasticite, dont la frontie`re estatteinte lorsque |p| = y. On distingue alors trois regimes de fonctionnement, selon quela vitesse de deformation viscoplastique est nulle, positive ou negative :

(a) vp = 0 |p|= | Hvp| 6y (2.29)(b) vp> 0 p = Hvp vp =y (2.30)(c) vp< 0 p = Hvp vp = y (2.31)

Le cas (a) correspond a` linterieur du domaine delasticite (|p| < y ) ou a` un etatde decharge elastique (|p| = y et |p| 0), les deux autres cas a` de lecoulement(|p| = y et |p| = 0 ). En posant < x >= max(x, 0), les trois cas peuvent se resumerpar une seule expression :

vp = | X| y signe( X) (2.32)

ou encore :

vp =< f >

signe( X) avec f(,X) = | X| y (2.33)

La nature du mode`le a maintenant comple`tement change, puisque le point representatifde letat de contrainte courant peut se trouver dans la zone f > 0, et que la vitessedecoulement est maintenant regie par le temps : elle peut etre non nulle sans quil y aitdincrement de contrainte ou de deformation. Ceci explique quen figure 2.6b la courbede traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande, plus la contrainte visqueuse vsera elevee, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors dune decharge, le pointde fonctionnement ne pene`tre pas immediatement dans le domaine delasticite (on peutdonc avoir un ecoulement positif a` contrainte decroissante). Par ailleurs, il est possible desimuler des experiences de fluage ou de relaxation.

En fluage (figure 2.7), en supposant quon applique un echelon de contrainte (de 0 a`o > y) a` partir dun etat de reference ou` toutes les deformations sont nulles, le mode`le

2.5. VISCOPLASTICITE UNIAXIALE 35

prevoit que la deformation viscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t,avec un temps caracteristique f = /H (figure 2.7a) :

vp =o yH

(1 exp

( tf

))(2.34)

La figure 2.7b montre, dans le plan contraintedeformation viscoplastique, les evolutionsrespectives de la contrainte interne X et du seuil X + y. Lorsque ce dernier rejoint lacontrainte appliquee o, la vitesse de deformation viscoplastique sannule.

t

0yH

vp

a.

X

y

y

0

vp

b.

Figure 2.7 Fluage avec le mode`le de Bingham

En relaxation, la reponse a` un echelon de deformation (de 0 a` o tel que Eo > y)fait cette fois intervenir un temps caracteristique de relaxation r = /(E +H) :

= yE

E +H

(1 exp

( tr

))+

EoE +H

(H + E exp

( tr

))(2.35)

La figure 2.8a montre le trajet parcouru par le point representatif de letat de contrainteau cours de la relaxation (pente E puisque vp + /E = 0). La figure 2.8b representequant a` elle le trajet caracteristique au cours dune experience deffacement , ou encorede recouvrance. En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer apre`sdecharge une vitesse decoulement negative ou nulle, mais en aucun cas on ne pourraramener la deformation viscoplastique a` zero, sauf dans le cas particulier ou` la contraintey est nulle. Il ny a alors plus de seuil initial, et on concoit bien quil nest plus necessairedans ce cas de definir une decomposition de la deformation : on retrouve dailleurs lemode`le de KelvinVoigt, donc une approche viscoelastique.

2.5.2 Quelques mode`les classiques en viscoplasticite

Dans lexemple precedent, la vitesse de deformation viscoplastique est proportionnellea` une certaine contrainte efficace, difference entre la contrainte appliquee et le seuil,qui represente la distance entre le point de fonctionnement actuel et la frontie`re dudomaine delasticite, qui nest rien dautre que la valeur de la fonction f au point defonctionnement courant. La relation lineaire peut etre remplacee par une forme plusgenerale, en introduisant une fonction de viscosite, , qui fournit alors en traction simple :

vp = (f) (2.36)

36 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

E

H

vp

y

a.

O

A

B

CD

vp

y

OA : transitoireAB : relaxationBC : dechargeCD : effacement

incomplet

b.Figure 2.8 Fonctionnement du mode`le de Bingham a` deformation imposee

Pour un mode`le qui comporterait a` la fois de lecrouissage isotrope et cinematique, cetterelation sinverse sous la forme suivante, toujours en traction simple :

= y +X +R + 1(vp) = y +X +R + v (2.37)

La courbe de traction est determinee par levolution du seuil, exactement comme dans lecas dun mode`le de plasticite (au travers de X et R), mais egalement par la fonction deviscosite, qui pilote la valeur de la contrainte visqueuse v . Pour des raisons physiquesevidentes, on conside`re que (0) = 0, et on suppose egalement que est une fonctionmonotone croissante. Dans le cas ou` v sannule, le mode`le reproduit un comportementplastique independant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente, etplus la contrainte atteinte pour une deformation donnee sera elevee.

Dans le cadre dun mode`le viscoplastique, il y a donc deux possibilites pour introduirede lecrouissage. On conserve les possibilites daction sur des variables de type X et R, eton peut egalement jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquementmode`les a` ecrouissage additif ceux qui jouent sur les variables de type plasticite et mode`lesa` ecrouissage multiplicatif ceux qui jouent sur la contrainte visqueuse, une approche ou` lesdeux mecanismes sont presents etant bien entendu egalement envisageable. Par ailleurs,contrairement au cas de la plasticite, on peut ici considerer un mode`le dans lequel ledomaine delasticite se reduit a` lorigine ( = 0), et qui ne posse`de pas decrouissage.Ainsi le mode`le le plus courant estil le mode`le de Norton (avec deux coefficients materiauK et n) :

vp =

( ||K

)nsigne() (2.38)

On peut le generaliser pour en faire un mode`le a` seuil sans ecrouissage, ou reintroduireX et R aux cotes de y, ce qui conduit a` un mode`le a` ecrouissage additif.

vp =

|| yK

nsigne() (2.39)

vp =

| X| R yK

nsigne( X) (2.40)

Il y a egalement une grande liberte pour choisir dautres formes que la fonction puissance,ainsi un sinus hyperbolique dans le mode`le de Sellars et Teggart (loi sans ecrouissage,

2.6. INFLUENCE DE LA TEMPERATURE 37

coefficients A et K) :

vp = A sinh

( ||K

)signe() (2.41)

Pour obtenir des lois a` ecrouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction nedepend pas uniquement de f , ainsi la loi de Lemaitre (coefficients materiau K, m et npositifs) :

vp =

( ||K

)npn/m signe() avec p = |vp| (2.42)

2.6 Influence de la temperature

Tous les coefficients caracteristiques qui ont ete definis cidessus sont susceptibles dedependre de la temperature. Les dependances se definissent en general par des tables, apre`sexamen du comportement isotherme. Dans certains cas, lorsque les mecanismes physiquessont bien definis, il est possible de preciser explicitement linfluence de la temperature. Laloi la plus couramment utilisee pour cela est la loi dArrhenius. Elle est valide en fluage.Elle introduit une energie dactivation thermique Q, et R, constante des gaz parfaits (lerapport Q/R est homoge`ne a` une temperature), et indique que plus la temperature estelevee pour une charge donnee, plus la vitesse de deformation est grande :

vp = o exp(Q/RT ) (2.43)

Ceci permet de construire des equivalences tempstemperature, et, en menant enlaboratoire des essais a` temperature plus elevee que la temperature de fonctionnementvisee dans les applications, dobtenir en un temps limite des informations sur lecomportement a` long terme. Cette approche doit bien entendu etre manipulee avecprecaution dans le cas de materiaux vieillissants, et elle ne peut etre etendue a` de tropgrandes plages de temperature.

38 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

Resume

Les equations tre`s generales qui ont ete ecrites pour le moment mettent en evidencela nature des mode`les de viscoelasticite, de plasticite et de viscoplasticite. Ces deuxderniers ont en commun lexistence dun domaine delasticite (eventuellement reduita` lorigine pour le mode`le viscoplastique) et de variables decrouissage. Par contre,il faut aussi retenir que lecoulement plastique est instantane, alors que lecoulementviscoplastique est retarde :

dp = g(, . . . )d dvp = g(, . . . )dt (2.44)

Ceci aura des consequences importantes pour lecriture du comportement elasto-(visco)-plastique tangent, qui est la caracteristique utilisee par les codes de calculde structures.On ne conside`re dans ce cours que des formes tre`s naves decrouissage, dans lamesure ou` lobjectif est avant tout de mettre en place les structures des theories. Ladescription de formes plus realistes necessiterait bien plus de temps. On retiendrapour memoire les effets des chargements cycliques, des trajets de chargementmultiaxiaux non proportionnels, des changements de phase, le vieillissement, lesinteractions avec lenvironnement, etc. . . La plupart de ces effets sont maintenantbien documentes, et font lobjet de modelisations specifiques.En labsence de deformations parametriques, les principales equations sont doncles suivantes (en adoptant a` partir de maintenant la meme notation, p, pour ladeformation viscoplastique comme pour la deformation plastique) :

Viscoelasticite : le mode`le est une combinaison des deformations, des contraintes,et de leurs vitesses :

Maxwell : = /E0 + /Voigt : = H+ , ou encore : = ( H )/

Plasticite et viscoplasticite : = e + p

Plasticite :

domaine delasticite si : f(,Ai)< 0 ( = /E) decharge elastique si : f(,Ai)= 0 et f(,Ai)< 0 ( = /E) ecoulement plastique si : f(,Ai)= 0 et f(,Ai)= 0 ( = /E + p)

En traction a` contrainte imposee :

p =

H

En traction a` deformation imposee :

p =

E +H

Viscoplasticite :

domaine delasticite si : f(,Ai)6 0 ( = /E) ecoulement plastique si : f(,Ai)> 0 ( = /E + p)

En traction a` contrainte et a` deformation imposee, une forme possible est :

p =

( yK

)n

Chapitre 3

Hyperelasticite

3.1 Lelasticite caoutchoutique, une origine entro-

pique

Les metaux, les polyme`res rigides et les elastome`res presentent tous une deformationelastique pur dans un domaine de deformation propre a` chaque materiau. Pourtant cesmateriaux sont tre`s differents, leurs differences portent non seulement sur leurs valeursde modules de Young et de leurs limites elastiques ( 100 GPa et 1,2% pour les metaux,quelques GPa et de 3% a` 5% pour les polyme`res et quelques MPa et de 500% a` 1000%pour les elastome`res) mais surtout sur la nature meme de leurs caracte`res elastiques.

Soit une eprouvette soumise a` une charge ~f uniaxiale qui produit une extension, un etatde contrainte et un etat de de deformation (pour simplifier, on ne fait pas apparaitre iciles difficultes theoriques liees aux grandes deformations. Etudions la variation de lenergieinterne. Selon le premier principe de la thermodynamique, elle est egale a` la variation dechaleur au cours de la deformation plus le travail fourni par la force de rappel :

dU = dQ+ dW (3.1)

Pour un materiau elastique, on peut donc considerer du point de vue thermodynamiqueque les phenome`nes sont reversibles, ainsi la variation entropique est dapre`s le secondprincipe de la thermodynamique :

dQ = TdS (3.2)

On deduit donc des equations (3.1) et (3.2), la relation suivante :

dU = TdS + dW (3.3)

Dans des conditions isothermes, il vient donc :

(W )T = (U)T T (S)T (3.4)

Dautre part, lenergie libre dun syste`me est donnee par F = U TS, par consequentla variation denergie libre est dF = dU TdS SdT . De plus si le processus seffectuedans des conditions isothermes, dT = 0, il vient :

(F )T = (U)T T (S)T (3.5)

39

40 CHAPITRE 3. HYPERELASTICITE

En combinant (3.4) et (3.5), on obtient :

(F )T = (W )T (3.6)

On en deduit que pour un phenome`ne reversible et isotherme, la variation denergie libreest egale au travail fourni. Reprenons notre cas dextension uniaxiale d, le travail fourniest egal a` :

dW = : d (3.7)

Or on obtient pour un processus isotherme : (F )T = (W )T = ( : d)T Ainsi :

=

(F

)T

(3.8)

En exprimant 3.5 par rapport a` d, on obtient :

=

(F

)T

=

(U

)T

T(S

)T

(3.9)

Par consequent la thermodynamique classique permet donc de dire que la force de rappelassocie a` la deformation elastique reversible rele`ve de deux contributions, lune associee a`la variation denergie interne, lautre a` la variation entropique.

Le proble`me consiste donc a` evaluer limportance des deux contributions

(U

)T

et(S

)T

en fonction de .

En premie`re approximation, on peut supposer que si lon a une variation de temperatureT , le volume reste constant. Donc de F = U TS, on derive et on obtient :

(F )V = (U)V T (S)V S (T )V (3.10)

De plus, de lexpression (3.9) , on extrait :

: ()V = (U)V T (S)V (3.11)

Par consequent en combinant (3.10) et (3.11), on obtient :

(F )V = : ()V S (T )V (3.12)

Comme F est une fonction detat, la differentielle est totale et exacte et il vient :

(S

)T

=

(

T

)

(3.13)

Cette relation simple, est connue sous le nom de la relation de Maxwell en traction. Ellemontre que si le deuxie`me terme est positif, une augmentation de la deformation produitune diminution de lentropie. Cette diminution du desordre moleculaire est consecutivea` lalignement des chanes. De plus si on soumet lelastome`re a` une charge constante,dapre`s la relation (3.13), une augmentation de temperature produit une diminution de la

3.1. LELASTICITE CAOUTCHOUTIQUE, UNE ORIGINE ENTROPIQUE 41

deformation de lechantillon. Cette relation explique donc lexperience de Cough. De plusen substituant lequation (3.13) dans lequation (3.9), on obtient :

=

(U

)T

+ T

(

T

)

(3.14)

Donc si lon mesure, pour un allongement maintenu constant, la contrainte en fonctionde la temperature, on doit en principe obtenir une droite passant par zero et dont la pente

nest que le terme :

(

T

)

. On peut donc experimentalement determiner la variation

dentropie grace a` la relation (3.13).Les experiences de Meyer et Ferry (1935) ont mis en evidence la predominance des effetsentropiques dans le caoutchouc naturel vulcanise avec 8% de souffre grace a` une experiencede traction simple sur une eprouvette. Ils ont observe figure 3.1 que la force de rappeldans un echantillon maintenu a` deformation constante est bien une fonction lineaire dela temperature avec un changement de pente a` la temperature de transition vitreuse ducaoutchouc naturel Tg = 213

oK. On en conclut que pour un caoutchouc, la variation

Figure 3.1 Effet entropique de lelasticite caoutchoutique

denergie interne lors de lallongement est nulle ou proche de zero pour T > Tg.

= T

(

T

)

= T(S

)T

(3.15)

Avant la transition vitreuse, lenergie libre du caoutchouc est dominee par les effetsdenergie interne du fait de la forte cohesion du materiau. Les points de reticulationimmobiles empechent les chanes de glisser les unes par rapport aux autres et desorienter selon laxe de traction. Au-dela` de la temperature de transition vitreuse leseffets entropiques apparaissent du fait de la mobilite des chanes. La temperature eleveepermet aux points de reticulation de se deplacer. Ainsi lors de lextension des chanes, unordre apparat qui diminue lentropie du materiau. Dou` crot avec la temperature : lemodule des elastome`res augmente donc avec la temperature.La predominance des effets entropiques a donc ete demontre et explique la grande

42 CHAPITRE 3. HYPERELASTICITE

difference du comportement elastique des caoutchoucs et des metaux dont lenergie libreest dominee par les effets denergie interne.

3.2 Formalisme thermodynamique

Pour determiner levolution dun syste`me deformable, il est necessaire detablir unerelation entre contrainte et deformation : la loi de comportement. Elle doit en outre obeiraux crite`res suivants :

le principe dobjectivite ou dindifference materielle : la loi de comportement doitetre invariante par tout changement de referentiel,

la compatibilite avec les symetries materielles : dans le cas dun materiau isotrope,la loi de comportement doit etre invariante dans toute rotation de la configurationde reference.

Sous lhypothe`se de letat local, la loi de comportement est construite de manie`rephenomenologique en partant de linegalite de Clausius-Duhem que lon obtient a` partirdes premier et second principes de la thermodynamique. En introduisant lenergie librespecifique de HELMHOLTZ (, 0) (notation usuelle en physique F voir section ( 3.1),les anglo-saxons pre`ferent la notee A), linegalite de Clausius-Duhem traduit la positivitede la dissipation (,0). La mise en equation de la dissipation peut secrire de faAonequivalente sous differentes formes, selon la configuration de reference. En effet selonle formalisme des grandes deformations, domaine de deformation des elastome`res, lesconfigurations initiales et actuelles ne sont pas superposables, elles font donc appel a` unformalisme different.

3.2.1 Formalisme des grandes deformations

Le mouvement dun solide est decrit par la fonction x = x (X, t) donnant la positionx a` linstant t de la particule qui occupait la position X avant deformation. A linstantt donne, cette configuration decrit la deformation du solide entre sa configuration dereference Co et sa configuration deformee C(t). Les coordonnees relatives au repe`re dela configuration de reference sont dites lagrangiennes. Celles relatives au repe`re de laconfiguration deformee sont dites euleriennes.Le champ de deplacement u (X, t) est defini comme :

x (X, t) = X + u (X, t) (3.16)

La fonction x (X, t) definit le mouvement global du solide.

La difficulte en transformation finie est de definir des tenseurs de contraintes et dedeformations independants de lobservateur puis de construire une loi de comportement,relation reliant les deformations aux contraintes, egalement independante de lobservateur.Ce principe est appele objectivite ou indifference materielle. Pour le satisfaire,le plus simple est decrire la loi de comportement comme une relation entre lestenseurs de contraintes et de deformations ecrits dans la configuration initiale. La loiest automatiquement objective. Sinon on doit verifier que la loi de comportement estinvariante par changement de referentiel dobservation.

3.2. FORMALISME THERMODYNAMIQUE 43

Pour decrire les deformations locales, on introduit le tenseur gradient de deformationF tel que :

dx = F dX avec Fij =xiXj

(3.17)

Ce tenseur gradi