Mecanique Des Materiaux Composites

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Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Mecanique des Materiaux composites Mecanique des Materiaux composites Version 2, Septembre 2004Page 1/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Page 2/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 20041able des matires 1able des matiresPosition du problme d'lasticit anisotrope...............................................5lments mathmatiques.................................................................................5Formules de changement de base pour un vecteur :..................................5Cas d'une rotation autour de l'axe 3...........................................................5Changement de base pour un tenseur exprim sous forme matricielle......6Description des contraintes..............................................................................7Illustration des contraintes dans un cube lmentaire...............................7Notation.......................................................................................................7Contraintes principales...............................................................................8Notations pour l'ingnieur...........................................................................8Description des dformations...........................................................................9Dformations d'un volume lmentaire.......................................................9Dfinition des dformations......................................................................10Dformations principales..........................................................................10Notations pour l'ingnieur.........................................................................11quations de compatibilit........................................................................11Relation contrainte / dformation...................................................................13Loi de Hooke gnralise...........................................................................13Relations de changement de base.............................................................14Caractrisation de matriaux....................................................................14Expression des constantes Cij d'un matriau orthotrope en fonction desparamtres de l'Ingnieur..........................................................................16Relation Fondamentale de la Dynamique.......................................................19nonc......................................................................................................19Rsolution du problme d'lasticit en petites dformations....................19Thorie Classique des Stratifis.................................................................21tude d'une couche unique dans le cas d'un matriau orthotrope..................21Contexte....................................................................................................21tat de contraintes planes........................................................................21Matrice de rigidit rduite.........................................................................22Dtermination des modules d'lasticit.....................................................23Approche des modules d'lasticit par les lois de Halpin-Tsai..................24Expression des dformations dans le cadre de la Thorie de Plaques...........26Dveloppement limit des dplacements selon la variable x3...................26Expression des dformations....................................................................27Expression des contraintes et des efforts rsultants......................................29Expression des contraintes dans une couche...........................................29Expression des efforts rsultants..............................................................29Page 3/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Relations dformations/rsultantes...............................................................32Expression contraintes/dformations pour une couche...........................32Prise en compte du cisaillement hors plan................................................32Expression des rsultantes dans le plan...................................................33Identification des diffrentes contributions...............................................34Relation Fondamentale de la Dynamique applique un lment de plaque. 35Expression gnrale..................................................................................35Simplifications...........................................................................................36Expressions des Relations Fondamentales des Stratifis tenant compte ducisaillement transverse..............................................................................36Etude de cas..............................................................................................39Position du problme......................................................................................39Ecriture des lois de comportement de diffrentes architectures..............40Rsolution du problme mcanique..........................................................42Etude mcanique des diffrentes architectures........................................45Pour aller plus loin....................................................................................47Problmes d'environnement............................................................................47Analyse tri-dimensionnelle........................................................................47Problme du pli.........................................................................................50Modlisation l'chelle de la plaque.........................................................51Rupture des composites.................................................................................52Rupture d'un matriau unidirectionnel : Aspects micro-mcaniques.......52Critres de rupture d'un pli.......................................................................53Rupture d'une plaque................................................................................56Rfrences bibliographiques......................................................................59Page 4/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Position du problme d'elasticite anisotropeLlements mathematiquesIormules de changement de base pour un vecteur :Soient e1, e2, e3

Rles vecteurs de base du repre R et

e1, e2, e3

R du repreR'.

e1a11 e1a12 e2a13 e3

e2a21 e1a22 e2a32 e3

e3a31 e1a32 e2a33 e3les coordonnes d'un vecteur u u1, u2, u3

R

u1, u2, u3

R sont :

u1 u2 u3 R

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

u1 u2 u3

RAR R'

u1 u2 u3

R(1)Relation de passage inverse : dans le cas d'une base orthonormedirecte, A At, soit AR' RAR R't(2)Cas d'une rotation autour de l'axe 3AR R'

cos sin 0 sin cos 0 0 0 1

(3)Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer par -.Page 5/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Figure 1 : rotation autour de l'axe 3Changement de base pour un tenseur exprime sous forme matricielleSoit le tenseur 1

T11 T12 T13 T21 T22 T23 T31 T32 T33

R dans le repre R.Dans le repre R', si les bases sont orthonormales directes,1'A1 At(4)Page 6/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Description des contraintesIllustration des contraintes dans un cube elementaireFigure 2 : Reprsentation des contraintes sur les faces d'un cubelmentaireNotationLe champ de contraintes au point M d'un solide est un tenseur de rang2 symtrique not ( (( ( ) )) ). M

11

12

13

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23

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R(5)comme ( (( ( ) )) ) est symtrique, ij= == = ji pour tout ij. 6 grandeursPage 7/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004reprsentent donc l 'tat des contraintes en un point M.Contraintes principalesIl existe un repre dans lequel ( (( ( ) )) ) est de la forme :

11 0 0 0 22 0 0 0 33

RprincLes contraintes dans ce repre sont les contraintes principales. Ellescorrespondent aux valeurs propres de la matrice ( (( ( ) )) ) . La recherchedes contraintes principales et du repre principal revient rsoudrel'quation I .Notations pour l'ingenieurOn peut noter les 6 variables du tenseur des contraintes sous laforme :

1

2

3

4

5

6

R

11

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23

13

12

R(6)La matrice de changement de base pour une rotation d'angle autourde l'axe 3 s'crit : 1R R'

cos sin 0 0 0 2 sin 0cos0sin 0 cos 0 0 0 0 -2 sin 0cos00 0 1 0 0 0 0 0 0 cos0 -sin0 0 0 0 0 sin 0 cos0 0 -sin 0cos0 sin 0cos0 0 0 0 cos 0-sin 0(7)Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer par -.Page 8/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Description des deformationsNota Bene : on se contente ici de petites dformations.Deformations d'un volume elementaireFigure 3 : Dformations dans un planEn petites dformations, on note que :12 =1+2 -(cu2cx1+cu1c x2)(8)Page 9/59Mcanique des Matriaux composites J. Molimard, EMSE 2004Definition des deformationsc11=cu1c x1c22=cu2c x2c33=cu3c x3(9)c12=c21=1 2 (cu1c x2+cu2c x1)c31=c13=1 2 (cu1c x3+cu3cx1)c23=c32=1 2 (cu2c x3+cu3cx2)Comme dans le cas des contraintes, le champ de dformations au pointM d'un solide est donc un tenseur de rang 2 symtrique not ( (( ( ) )) ). Il ya donc 6 grandeurs reprsentant les dformations (3 translations et 3rotations).c cc c ( (( ( M

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R(10)Deformations principale