Mecanique Des Materiaux Composites

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004 Version 2, Septembre 2004 Page 1/59

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������������ ������������� ������������� ������������� �

Version 2, Septembre 2004

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�������� ������������ ����

Position du problème d'élasticité anisotrope...............................................5

Éléments mathématiques.................................................................................5Formules de changement de base pour un vecteur :..................................5Cas d'une rotation autour de l'axe 3...........................................................5Changement de base pour un tenseur exprimé sous forme matricielle......6

Description des contraintes..............................................................................7Illustration des contraintes dans un cube élémentaire...............................7Notation.......................................................................................................7Contraintes principales...............................................................................8Notations pour l'ingénieur...........................................................................8

Description des déformations...........................................................................9Déformations d'un volume élémentaire.......................................................9Définition des déformations......................................................................10Déformations principales..........................................................................10Notations pour l'ingénieur.........................................................................11Équations de compatibilité........................................................................11

Relation contrainte / déformation...................................................................13Loi de Hooke généralisée...........................................................................13Relations de changement de base.............................................................14Caractérisation de matériaux....................................................................14Expression des constantes Cij d'un matériau orthotrope en fonction desparamètres de l'Ingénieur..........................................................................16

Relation Fondamentale de la Dynamique.......................................................19Énoncé......................................................................................................19Résolution du problème d'élasticité en petites déformations....................19

Théorie Classique des Stratifiés.................................................................21

Étude d'une couche unique dans le cas d'un matériau orthotrope..................21Contexte....................................................................................................21État de contraintes planes........................................................................21Matrice de rigidité réduite.........................................................................22Détermination des modules d'élasticité.....................................................23Approche des modules d'élasticité par les lois de Halpin-Tsai..................24

Expression des déformations dans le cadre de la Théorie de Plaques...........26Développement limité des déplacements selon la variable x3...................26Expression des déformations....................................................................27

Expression des contraintes et des efforts résultants......................................29Expression des contraintes dans une couche...........................................29Expression des efforts résultants..............................................................29

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Relations déformations/résultantes...............................................................32Expression contraintes/déformations pour une couche...........................32Prise en compte du cisaillement hors plan................................................32Expression des résultantes dans le plan...................................................33Identification des différentes contributions...............................................34

Relation Fondamentale de la Dynamique appliquée à un élément de plaque. 35Expression générale..................................................................................35Simplifications...........................................................................................36Expressions des Relations Fondamentales des Stratifiés tenant compte ducisaillement transverse..............................................................................36

Etude de cas..............................................................................................39

Position du problème......................................................................................39Ecriture des lois de comportement de différentes architectures..............40Résolution du problème mécanique..........................................................42Etude mécanique des différentes architectures........................................45

Pour aller plus loin....................................................................................47

Problèmes d'environnement............................................................................47Analyse tri-dimensionnelle........................................................................47Problème du pli.........................................................................................50Modélisation à l'échelle de la plaque.........................................................51

Rupture des composites.................................................................................52Rupture d'un matériau unidirectionnel : Aspects micro-mécaniques.......52Critères de rupture d'un pli.......................................................................53Rupture d'une plaque................................................................................56

Références bibliographiques......................................................................59

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���� ������������������ ��� ������ ���

����� ��� ���� ����

��������������� ������������ ���

Soient � ��� � ��� � ����� les vecteurs de base du repère R et � ���� � ���� � ���� ��� du repère

R'.

�������� ������� ������� ������� ���� ������� ������� ������� ���� ������� ������� ���

les coordonnées d'un vecteur ���� ��� � ��� � ������� ���

�� ���

�� ���

� ��� sont :

����

���

��

� ��

����� ��� ���

��� ��� ���

��� ��� �����

���

����

����

��������

�����

����

����

(1)

Relation de passage inverse : dans le cas d'une base orthonorméedirecte, ��������

� , soit ������� �

������� �

� (2)

��������� � ����� ��������

�������

������ �� �

��� ��� �

� � � (3)

Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer θ par -θ.

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Figure 1 : rotation autour de l'axe 3

������� ���������� ��������������!����� ������

Soit le tenseur ���� ��� � ��� � ���

� ��� � ��� � ���

� ��� � ��� � ��

dans le repère R.

Dans le repère R', si les bases sont orthonormales directes,

����� �

� (4)

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"����� �������� ���� �

#���� �� �������� ���� ��������������� ���

Figure 2 : Représentation des contraintes sur les faces d'un cubeélémentaire

$� � ���

Le champ de contraintes au point M d'un solide est un tenseur de rang2 symétrique noté σσσσ ((((ΜΜΜΜ)))).

���� ����� ���������� ���� ����

���� ���� ����

���� ���� ���

(5)

comme σσσσ ((((ΜΜΜΜ)))) est symétrique, σσσσ��==== σσσσ�� pour tout i≠j. 6 grandeurs

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représentent donc l 'état des contraintes en un point M.

��� ���� �����������

Il existe un repère dans lequel σσσσ ((((ΜΜΜΜ)))) est de la forme :

���������� � �

� ���� �

� � ���

� ���

Les contraintes dans ce repère sont les contraintes principales. Ellescorrespondent aux valeurs propres de la matrice σσσσ ((((ΜΜΜΜ)))) . La recherchedes contraintes principales et du repère principal revient à résoudrel'équation ��������� ������ ������� .

$� � ������������������

On peut noter les 6 variables du tenseur des contraintes sous laforme :

����

���

���

���

���

� �

��

������

����

����

����

����

����

��

(6)

La matrice de changement de base pour une rotation d'angle θ autourde l'axe 3 s'écrit :

�������

���� ��� �� ��� � � � ���� ���

��� � �� � � � ����� ���� � �� � � �

� � � ��� ��� �

� � �� ��� �

��� ��� �� ��� � � � � �� ���� (7)

Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer θ par -θ.

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"����� �������!���� ����

Nota Bene : on se contente ici de petites déformations.

"�!���� ������������������ ���

Figure 3 : Déformations dans un plan

En petites déformations, on note que :

���� �� �������

� ������

� ��� (8)

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"�!��� �������!���� ����

�������

� ��

�������

� ��

�������

� ��(9)

����������

�� ����

� ������

� �����������

��

�� ����

� ������

� �����������

��

�� ����

� ������

� ���

Comme dans le cas des contraintes, le champ de déformations au pointM d'un solide est donc un tenseur de rang 2 symétrique noté εεεε ((((ΜΜΜΜ)))). Il ya donc 6 grandeurs représentant les déformations (3 translations et 3rotations).

���� ����� ���������� ���� �������� ���� �������� ���� ���

(10)

"�!���� ��������������

Il existe un repère dans lequel εεεε ((((ΜΜΜΜ)))) est de la forme : ���������� � �

� ���� �

� � ���

����

Les déformations dans ce repère sont les déformations principales.Elles correspondent aux valeurs propres de la matrice εεεε ((((ΜΜΜΜ)))) . Larecherche des déformations principales et du repère principal revient àrésoudre l'équation ����� ���������� ������� .

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$� � ������������������

On note le tenseur des déformations sous la forme :

����������������� �

��

��������������

��������� ��������� ���������

��

(11)

La matrice de changement de base pour une rotation d'angle θ autourde l'axe 3 s'écrit :

�������

���� ��� �� ��� � � � �� ���

��� � �� � � � ��� ���

� � �� � � �

� � � ��� ��� �

� � �� ��� �

��� ����� �� ����� � � � � ������ (12)

Pour obtenir la relation de passage inverse, remplacer θ par -θ

Remarque : l'expression de � ����� ��

����

est différente de � �������

����

.

���� ���������� ����� �

Les équations (9) traduisent qu'il existe un lien entre déplacements etdéformations, et entre les déformations elles-même.

������

� ����������

� ������

������� ���� ��

������

� ����������

� ��

����

������� ���� ��

������

� ����������

� ������

������� ���� �� (13)

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������� ���� ��

� �� ����

����� ��

������ ��

������ �� �

������� ���� ��

� �� ����

����� ��

������ ��

������ �� �

������� ���� ��

� �� ����

����� ��

������ ��

������ �� �

Les équations (13) sont appelées les équations de compatibilité.

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%�� ������ ���� &��!���� ���

'���(��)����������

Dans le cadre de ce cours, seuls les problèmes élastiques linéairesseront traités. La relation entre contraintes et déformations peut êtrecaractérisée par :

σσσσ ((((ΜΜΜΜ)))) ====��� �εεεε ((((ΜΜΜΜ))))��������

����

���

���

���

���

� �

��

��� �� � ��� � �� � �� � �� � �

� �� � ��� � �� � �� � �� � �

� �� � ��� � �� � �� � �� � �

� �� � �� � �� � �� � ��� � �

� �� � �� � �� � �� � �� � �

� � � � � � � � � � � �

����������������� �

��

(14)

ou bien εεεε((((ΜΜΜΜ)))) ====��� �σσσσ((((ΜΜΜΜ))))��������

����������������� �

��

����� � ��� ��� � �� ��� � �

��� � ��� ��� � �� ��� � �

��� � ��� ��� � �� ��� � �

��� � �� ��� � �� � ��� � �

��� � �� ��� � �� ��� � �

�� � � �� � � �� � �

����

���

���

���

���

� �

��

(15)

C est la matrice de rigidité; S la matrice de souplesse. C et S sont desmatrices symétriques : il y a donc 21 constantes de rigidité Cij ouconstantes de souplesse Sij.

%�� ������������ ����

On peut exprimer les matrices de rigidité ou de souplesse de différentesmanières selon la base choisie.En reprenant les formules de changement de base précédentes

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(Équations 7 et 12) et les définitions des matrices (Équations 14 et 15),il vient :

�����

����� ��

����� �� �

����� �

���� (16)

�����

����� ��

������� �

������

���� (17)

����� ����� ������ ������

��������������

cas général à matrice complète 21 constantes d'élasticité

�������� � ������

Ce matériau possède un plan de symétrie : l'expression de la matrice depassage ne change pas pour tout changement de repère symétrique parrapport à ce plan. Supposons le plan (e1, e2) plan de symétrie du matériau. Si l'on utiliseles relations de passage (16) entre le repère R=(e1, e2, e3) et le repèresymétrique R'=(e1, -e2, e'3) avec la forme générale (14), on montre que laloi de Hooke se résume à l'expression suivante :

�� �� ���� ��� ��

� �� � ��� � �� � �

� �� � ��� ��� ��

� �� ����

� �� ���

� � � � �� � �

����

(18)

13 constantes d'élasticité

������� �� � ��

Le matériau orthotrope est un matériau à 3 plans de symétrieorthogonaux deux à deux. En pratique, c'est le cas des tissus noyésdans un polymère. La même démarche que précédemment conduit auxexpressions dans un repère défini par les axes d'orthotropie :

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���� � ��� ���

��� � ��� � ��

��� � ��� ���

� ��

� ��

� �

������

(19)

9 constantes d'élasticité

������������� ����

Le matériau unidirectionnel est un matériau possédant un axe desymétrie, par exemple l'axe e1. C'est le cas pour une ensemble de fibresunidirectionnelles dans un substrat. Par géométrie, le matériauunidirectionnel est orthotrope. Il est souvent appelé orthotrope derévolution. Dans le repère d'orthotropie, la matrice s'écrit :

�� �� ���� ���

� �� � ��� � ��

� �� � ��� � ��

� ���� ��

� �

������

(20)

5 constantes d'élasticité

Matériau isotrope :

�� �� ���� ���

� �� ���� ���

� �� ��� ���

�������

� ���� ��

����� ��

��

(21)

2 constantes d'élasticité (coefficients de Lamé ou E, ν)

Exercice :

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1- Soit une rotation d'angle θ autour de l'axe 3. Ecrire alors l'expressionde la matrice de rigidité. Comment peut-on utiliser au mieux le résultat ?

*�������������� �� � � �+������ ������� �� ����!��� ����������� �����#�������

� ������������� �� �������������������!

Si l'on exerce une traction selon une direction, par exemple selon e2, ilvient : �����et ��� �������� ������������ ���

La relation (20), écrite selon les paramètres de souplesse devient alors :

����� ������

����� ������

����� ������

��������� ��

soit

������

� ���

���

��������

� ���

���

����� ���

� ���

��

d'où

"�����

� ���

����������

� ��

������� ���

� ��

� �������������������� �������������������#

Dans le cas d'un cisaillement, il vient par exemple : � ��� et ��� �������� ��������� �������

La relation (20) devient alors :���������������������

� ��� �� d'où $����� ��

��

����������� ��������������%���������� �� ���� �� � ����������

���������������� �� � ��

Si les raisonnements élémentaires mentionnés ci-dessus sont étendusaux différentes sollicitations du matériau, il vient :

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����������������� �

�������

���� �"� ������"� ������"�

������"� �� �" �� ������"�

������"� �����" � �� �"�

�� �$�� �

�� �$��

�� �$���

������

����

���

���

���

���

� �

�������

Les constantes de rigidités sont déduites en inversant la matrice desouplesse :

� ��������������

" ��"����

� ��������������

"��"����

� ��������������

"��"����(22)

�����������������

" ��"�����������������

"��" ����

�����������������

" ��"�����������������

"��"����

� ����������������

"��"�����������������

"��" ���

�����$��

� ����$��

� ��$�� (22 suite)

avec ��������������������������������������������

"��" ��"�

Dans le cas d'un matériau isotrope, les équations (22) se simplifient à :

����" �����

�����������

����"�

�����������

�������

���

"

�������

(23)

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� ����� �

� Il existe un lien entre les modules d'élasticité et les coefficients de

Poisson : "

�&

�" &

� &

� le comportement élastique est décrit par 9 modules indépendants :3 modules d'Young : E1, E2, E3

3 coefficients de Poisson : ν12, ν13, ν23

3 modules de cisaillement : G12, G13, G23

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%�� ���������� �����",������

������

Si l'on pose que les efforts de volume exercés sur un solide (champ de gravité,de champ magnétique...) sont � ' ��� ' ��� ' ��� , et si le repère choisi est galiléen, laRelation Fondamentale de la Dynamique s'écrit localement :

����

� �������

� �������

� ��� ' ���

�����

� ��

����

� �������

� �������

� ��� ' ���

�����

� ��

����

� �������

� �������

� ��� ' ���

�����

� ��

(24)

%����� ������������������ ��� ��� � ���!���� ����

Le problème d'élasticité est ramené à la résolution simultanée de : � La loi de Hooke généralisée (14)� Les relations déformations/déplacements(9)� Les équations de compatibilité (13)� La Relation Fondamentale de la Dynamique (24)� Les conditions au limites au bord du domaine solide (en

déplacement, déformations, ou contraintes)

La résolution d'un tel problème fait appel à des techniques numériquescomplexes qui ne seront pas abordées ici (éléments finis, éléments frontières,méthode de Rayleigh, ...)

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����������������- �� �!���

� ������������������������������ ������� �� ���

��� �

Dans ce chapitre, nous nous intéressons plus particulièrement auxplaques (et par extension aux coques) qui constituent une très grossepart de l'utilisation des composites techniques : matériaux stratifiés enbois, tissus ou mat imprégnés, structures sandwich (à nid d'abeillespar exemple), ...

Dans tous ces exemples, une dimension est notablement plus faibleque les autres. Nous allons considérer dans la suite qu'il s'agit de l'axe3.

Figure 4 : Système d'axe dans la théorie de plaque

� � ���� ���� ������

L'état de contraintes planes peut être défini par une une contrainte dela forme :

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���� ����� ���������� ���� ���

���� ���� ���

��� ��� � (25)

Il est rencontré si la longueur caractéristique dans une direction (ici ladirection 3) est très faible devant les autres. Dans cette expession, lecisaillement transverse est supposé non nul; le plus souvent on leconsidère comme nul; alors σ13=σ23=0.

�� ���������� ������

En contraintes planes, et pour un tissu ou un matériauunidirectionnel, la loi de Hooke généralisée, exprimée dans un repèrequelconque du plan de la plaque, s'exprime par :

����

���

���

���

� �

��

��� �� � ��� � �� � �

� �� � ��� � �� � �

� �� � ��� � �� � �

� �� � ���

� �� � ��

� � � � � � � �

����������������� �

��

Il vient donc que :

�����

�����

�������

� ��

�� �������� �������� ��� ��

Il est possible d'exprimer σ1, σ2 et σ6 en fonction de ε1, ε2 et ε6 :

������������

��

��������������

�������

������������ �

������

������

������ ���� ���� ��

� ���������� ���

� ���

� ���������� � �

� �����

� �����

� ����� �������

������������ �

� �����

����������� �

��

������

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L'équation de comportement du monopli peut donc s'écrire :

����

���

� �

��(���� (��� (�

(�� (�� (�

(� (� (

��������� �

����������� �

et (26)

���

���

��� ���� � ��

� �� � ��

���������

La matrice symétrique QR est appelée « matrice de rigidité réduite ». Ellereprésente le comportement de la couche anisotrope en contraintesplanes.

Dans le cadre de l'étude des matériaux orthotropes, la matrice QR

devient dans le repère d'orthotropie :

� �������(��� (��

(�� (��

� ( ������������� �

"� ����� ����������������� ��� �

Si le composite subit une traction pure selon chacun de ses axesprincipaux ou un cisaillement plan dans ses axes principaux, onmontre facilement que :

"������

���(���

(��

��

(��

"������

���(���

(��

��

(��

������(���

(��

(27)

������(���

(��

$����� �

� �(

A contrario :

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(����"��

���������

�"��

��" ��

"��

���

(����" ��

���������

�"��

��" ��

"��

���

�(28)

(�������"�

���������

�����(��

( ��$��

.�������������������� ��� �����������(�����/����

Il est possible dans le cas d'un matériau unidirectionnel d'estimer lespropriétés élastiques du composite à partir des propriétés de sesconstituants. Bien que l'homogénéisation soit hors du propos de cecours, les règles suivantes peuvent être retenues en premièreapproximation :

" )�" ' * ' �"� ���* ' ������ ' * '������* ' �et (29)

� �

�����* '

���* '

avec :

� ��� ' �� ����

� ' �� ���

� M : ET, GLT, ou νTT'

� Mm : module correspondant de la matrice� Mf : module correspondant de la fibre� ξ : facteur de renforcement des fibres. Par comparaison avec

un code aux différences finies, ξ=1 pour GLT, ξ=2 pour ET.� Les indices L , T et T' représentent ici les directions des fibres

(L) et transversales (T et T').

���������������������������

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Matériau E (GPa) νννν G (GPa) kf (GPa) Kf (GPa)

Verre E 73 0,22 29,9 43,5 53,4

Verre R 86 0,22 35,2 51,2 62,9

Carbone HM 380 0,33 142,9 375,5 420,2

Carbone HR 260 0,33 97,7 254,9 287,5

kevlar 135 0,37 49,3 173,1 189,5

Matriceépoxide 3,45 0,3 1,33 2,88 3,32

Tableau 1 : Modules d'élasticité pour quelques matériaux

On note : E : module d'élasticitéν : coefficient de Poisson

G : module de cisaillement $�"

�� �����

k : module de compressibilité isostatique +�"

���������

K : module de compressibilité latérale ,�+�$

Exercice :Répondre à la question 1 de l'étude de cas (élasticité réduite pourchaque pli). Que sont les grandeurs Vi données dans le texte ?

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*������������!���� �����������������������������

"�������� ���� ����������� ���������������

Dans la théorie de plaques, on ramène le comportement des points dela plaque à celui de la surface moyenne et on suppose un champ dedéplacement selon la variable x3.

��� ����� ���� ��������� ���� �� �� ��������� ���� ������������� ���� �������

������ ���� ������� ����� ���� �������� � ���� �� ���������� ����� �������

����� ����� ������������� ���� ����

��� � ���� ���� �������� ����� �� ���������� � ���� ������������� ���� ����

(30)

L'expression (30) est un développement en série selon x3. Comme x3

reste faible devant les autres dimensions, on supposera qu'un schémadu premier degré est suffisant (hypothèse de Hencky-Medlin). D'autrepart, on notera �������� � � ������

������ ��� , de même pour �������� ��������

������ ���

et �������� ��������

�� ���� ��� . L'expression (30) devient :

��� ����� ���� �������

�� ���� ���������� � ���� ������� ����� ���� �������

�� ���� ���������� � ���� �������� ���� ���� �������

�� ���� ���

(31)

Remarque : La conséquence de cette hypothèse est qu'une section droite restedroite (voir figure 5). En revanche, dans le cadre que nous noussommes fixé, il n'y a pas d'hypothèse sur l'angle ϕ, alors que dans laThéorie Classique des Plaques Stratifiées, le cisaillement hors plan estnégligé, si bien qu'une section normale au plan du stratifié restenormale au plan après déformation (hypothèses de Love-Kirchhoff), cequi se traduit par les conditions :

�������

� �� et ����

���

� ��(32)

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Figure 5 : déformation d'une section dans le cadre d'un schéma aupremier degré

*������������!���� ����

En appliquant les équations (9) et (31), l'expression des déformationsdevient :

�������

� ������

���

� ��

�������

� ������

���

� �������

(33)

������������

� �����

������������

� �����

�������������

� ������

� �����������

� ��

����

� �� �

Les équations (33) montrent que les déformations dans le plan de laplaque sont issues de deux contributions :

� Une déformation « en membrane » :

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���� �������

����

��

������

� ��

���

� ��

���

� ������

� ��

� (34)

� Une déformation « en flexion et torsion » :

� ' �� ������ ��� ��� ��������

���

� �����

� �����

� ������

� ��

� (35)

On notera que dans la théorie classique des plaques stratifiées(hypothèses de Love-Kirchhoff), les équations (32) et (35) donnentl'expression des déformations en flexion et torsion suivante :

� ' �� ������ ��� ���

���������

��� ��

� ���

�����

� ���

!-�����

� ���� ��

� (36)

La déformation totale est de la forme :

��' �� �������

����

��

������ ��� ���

��� (37)

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

*������������� ���� � ��!!�� ������ �� �

*������������� ���� ������������

Hypothèse de la théorie des plaques stratifiées : ����

L'utilisation des équations (56) et de la loi de comportement dans le casd'un tissu on d'un matériau unidirectionnel conduisent à l'expression :

�����

�����

���

����

����

��

��(�� (��� (�

(�� (��� (�

(� (� � (

� �� � ��

� �� � ��

��������� ���

���

���

��

(38)

et ��������

� ���

�� �������� �������� � � ���� (39)

Remarques : � La relation (39) montre que bien que le problème soit plan, ε33

n'est pas nul.� La discontinuité de la loi de comportement entre les couches

implique la discontinuité des contraintes.

*����������!!�� ������ �� �

Objectif : estimer l'effort à l'échelle du stratifié et non des couchesconstituantes.

Les efforts auxquels est soumise la plaque sont donc les sommes descontraintes exercées sur chacune des n couches (indicée k) constituantla plaque. Ils sont représentés figure 6.

Dans le plan de la plaque, les efforts normaux et tranchants sont :

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

� ����� ������. ���

. ��

. �����!��

"�

+��

�+

�����

����

�����

+

� �� (40)

En cisaillement,

� � ���� ������(���

(�����!��

"�

+��

�+

�����

����

+

� ��(41)

De même, on définit les moments de flexion M11 et M22 et de torsionM12 :

� ����� ������� ���

� ��

� �����!��

"�

+ ��

�+

��������

����

�����

+

� �� (42)

Les grandeurs N(x1, x2) et Q(x1, x2) sont exprimées en N/m et lesgrandeurs M(x1, x2) sont exprimées en N.

Figure 6 : Résultantes des efforts sur une plaque stratifiée

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Figure 7 : Moments de flexion et de torsion

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

%�� ������!���� ����&����� �� �

*����������� ���� �&��!���� ���������������

En combinant les équations (37) et (38), il est possible de réécrire larelation contrainte/déformation dans une couche sous la forme :

�����

�����

�����

+

��(�� (��� (�

(�� (��� (�

(� (� � (

+

�����

����

���

��

+

�����(�� (��� (�

(�� (��� (�

(� (� � ( �

+

� ��� ���

����

+

(43)

et

�����

������

+

��� �� � ���

� �� ����

+

� ���

���

��

+

(44)

��������� ����������� ��������

En combinant les équations (41) et (44), il vient :

�(���

(����

�!��

"�

+ ��

�+

�����

����

+

����!��

"�

+ ��

�+

�� �� � ���

� �� ����

+

� ���

���

��

���

et donc

�(���

(����

��!���

��+��+���� ��� !

��

��+��+���� ���

!��

��+��+���� �� !

��

��+��+��������� ���

���

��

d'où :

�(���

(����

��/ ��� / ���

/ �� /���

�� ���

���

��

(45)

avec :

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

/ &�!��

��+��+���� &

+�!��

�+� &

+ pour i, j = 4, 5

*��������������� �� ����������

Selon la même méthode que ci-dessus, il est possible de combiner leséquations (40) et (42) à l'équation (43) pour obtenir une relation entreles composantes du plan de la plaque (efforts et moments) et lesdéformations.

�. ���

. ���

. ���

� ���

� ���

� ��

���0��� 0��� 0� 1�� 1�� 1� �

0��� 0��� 0� 1�� 1�� 1� �

0� � 0� � 0 1� 1� 1 �

1��� 1��� 1� 2�� 2�� 2� �

1��� 1��� 1� 2�� 2�� 2� �

1� � 1� � 1 2� 2� 2 �

�����

����

���

��� ���

��

� (46)

avec :

� 0&�!��

��+��+��(&

+�!��

(&

+�

+

� 1&���

��!��

���+ ��

���+�����(&

+�!��

(&

+�

+3

+

�2&�

��

��!��

���+ ��

���+�����(&

+�!��

(&

+ ��+ � 3+ ���

���+ �

��

��� Les équations (45) et (46) forment l'équation constitutive de la théoriede plaques avec prise en compte du cisaillement transverse. Lescoefficients Fij, Aij, Bij et Dij font apparaître les variables ek, épaisseur dupli k, et zk, distance de la ligne moyenne du composite à la lignemoyenne du pli k.

#�� �!��� �������!!��� ���� ���� ����

� Aij constituent la matrice de rigidité en membrane� Dij représentent la matrice de rigidité en flexion-torsion� Bij sont les termes de couplage membrane /flexion-torsion

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

� Fij représentent le cisaillement hors-plan.

Comme les différents paramètres Aij, Bij, Dij, Fij ne sont pas de mêmegrandeurs, on définit les valeurs normalisées (exprimées en Pa) :

0&

����

�0 , 1&

����

���

1 , 2&

�����

���

2

Exercices :

1- Répondre à la question 2 de l'étude de cas (Etude de l'influence del'ordre des plis).

2- Répondre à la question 3 de l'étude de cas (Etude de l'influence del'orientation des plis).

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%�� ���������� �����",��������������0������� ������

*���������������

Les équations de la Relation Fondamentale de la Dynamique sontobtenues à partir des équations (24) en intégrant selon x3 (expressionen fonction des résultantes) ou en multipliant par x3, puis en intégrant(expression en fonction des moments).

�. ��

� ����. ��

� ���/ ������� �

�����������

�����

�����

� ����

�����

� ��

�. ��

� ����. ��

� ���/ ������� �

�����������

� ����

�����

� ����

�����

� ��

�(��

� ����(��

� ���/ ������

�����

� ��

(47)

�� ��

� ����� ��

� ���

��� ������ �

�����������

� ������(���������

� ���4 ��

�����

� ��

�� ��

� ��

��� ��

� ���

��� ������ �

�����������

�������(���������

� ���4 ��

�����

� ��

avec :

� �� � � � 4 ���� "�� ��

� ��

���� ���� ��������� où ρ est la masse volumique de

chaque couche.

� F1 : /��� "�� ��

� ��

' ������

� F2 : / ��� "�� ��

� ��

' ������

� F3 : /��� "�� ��

� ��

' ������

� q : ������� �

���������� �

���� P1 : ���� "

�� ��

� ��

��� ' ������

� P2 : ���� "�� ��

� ��

��� ' ������

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

-�����!��� ����

Cette relation générale peut être le plus souvent simplifiée parl'introduction des hypothèses suivantes :

� Les effets d'inertie sont négligeables� Etude d'un problème statique� Pas de force volumique� Pas de cisaillement sur les faces

Il vient alors les expressions :

�. ��

� ����. ��

� ���

�. ��

� ����. ��

� ���

�(��

� ����(��

� ����� (48)

�� ��

� ����� ��

� ���(���

�� ��

� ��

��� ��

� ���(���

Les trois dernières équations peuvent être réécrites sous la forme :

���� ��

� �������� ��

� ������

���� ��

� ���� ��

��� (49)

*�����������%�� ����������� �����- �� �!��� ��� ���� ����������� �������

En reportant les équations (45) et (46) dans les expressions (47) ou(48), on obtient un système d'équations différentielles faisantseulement intervenir comme inconnues les déplacements et les pentes.

Résultantes dans le plan :

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

0���

�����

� ������ 0� �

�����

� ���� ���0 �

�����

� ����0� �

�����

� �����0���0 ��

�����

� ���� ���0� �

�����

� ��

�1���

�����

� �����1� �

�����

� ���� ���1 �

�����

� ��

��1� �

�����

� �����1���1 ��

�����

� ���� ���1�

�����

� ���

!���

�����

� ����

�����

� ��

(50)

0� �

�����

� �����0����0 ��

�����

� ���� ��

�0� �

�����

� ����0 �

�����

� ������ 0�

�����

� ���� ���0���

�����

� ���

�1� �

�����

� �����1����1 ��

�����

� ���� ���1� �

�����

� ����1 �

�����

� ������1�

�����

� ���� ��

�1��

�����

� ���

!���

�����

� ����

�����

� ��

(51)

Résultantes de cisaillement hors plan :

/�������

� ��������

� ��� ��/ �������

� ������

� ����

�����

� ���� ����/ �������

� ��������

� ��

� ���

!���

�����

� ��

(52)

Équation en moments de flexion et torsion :

1���

�����

� �����1� �

�����

� ���� ���1 �

�����

� ��

��1� �

�����

� �����1���1 ��

�����

� ���� ���1� �

�����

� ��

�2���

�����

� ������2� �

�����

� ���� ��

�2 �

�����

� ����2� �

�����

� �����2���2 ��

�����

� ���� ���2�

�����

� ���

"�/����������

� ����/ ����������

� ���!�� �����

� ���4 ��

�����

� ��

(53)

1� �

�����

� �����1����1 ��

�����

� ���� ���1� �

�����

� ��

��1 �

�����

� ������1� �

�����

� ���� ���1���

�����

� ���

�2� �

�����

� �����2����2 ��

�����

� ���� ���2� �

�����

� ����2 �

�����

� ������2� �

�����

� ���� ���2��

�����

� ��

"�/����������

� ����/ ����������

� ���!�������

� ���4 ��

�����

� ��

(54)

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

La résolution du système d'équations (50-54) ne peut être résolu dansle cas général, qui est traité par Éléments Finis, ce qui suppose uneécriture sous forme énergétique de ces équations. Cependant, dessimplifications permettent de déterminer quelques cas analytiquessimples :

� Problème statique� Pas de couplage flexion-membrane

� Cisaillement hors-plan négligeable (donc �������

� ��et

�������

� ��)

Exercice :

Traiter l'analyse mécanique de l'étude de cas.

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* ������

���� ������������

Une plaque en matériau composite est placée en appui sur deuxréglettes. Elle est soumise à un effort selon la direction e3 de profilquelconque. On se propose d'observer comment le choix del'architecture du composite influence le comportement en flexion de laplaque.

Figure 8 : Géométrie étudiée

Hypothèses de départ :

Analyse mécanique : � L'épaisseur de la plaque est plus petite que ses autres

dimensions (hypothèse des Plaques).� La dimension selon la direction 2 est infiniment grande devant

celle selon la direction 1.� L'effort appliqué selon la direction 3 n'est fonction que de x1. � Cet effort est développable en somme infinie de sinus (série de

Fourier impaire)

Construction de la plaque :� Elle est construite par assemblage de plis d'isotrope,

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

d'unidirectionnel, de tissu ou de mat en fibre de verre R.

Etapes :� Établissement des matrices de raideurs pour chaque pli� Choix de quelques architectures remarquables et

établissement des matrices de comportement� Résolution du problème mécanique� Etude mécanique des différentes architectures

*��� ��������������� �� ���!!��� ������ � ���

"����������������������������������� ������������������������

��5�����

� Matériau isotrope : mousse polyuréthane de densité 30 kg/m3, ν = 0,4G = 3 MPa

soit "���$ ������#���$%&

� Matériau unidirectionnel : fibres de verre E dans une matrice époxide.Concentration de fibres dans la matrice de 40% du volume.

� Tissu, composé de deux couches croisée du matériau unidirectionnelprécédent.

� Mat, décrit comme un empilement de matériaux unidirectionnelsd'orientation aléatoire

Remarque : Pour les deux derniers cas, on donne les termes de rigidité pour unerotation d'angle θ :

(���

��

�* ���* �������* ������

(���

��

�* ���* ������

(� �

��

���

��* ���� ���* ���� �

(���

��

�* ���* �������* ����� � (55)

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

(� �

��

���

��* ���� ���* ���� �

( �

��

�* ���* ������

� ���

��

�� ����������� �����

��

� ���

��

��������� �������������

��

�� ����������������

��

avec :

* �����

#���(����(������(����( ���

* �����

���(���(�����

* �����

#��(���(������(�����( ���

* �����

#��(���(���� �(����( ���

* �����

#��(���(������(����( ���

"��������'������������ ����������

Pour cela, on considère les empilements suivants :mat – pli isotrope – pli isotrope – matmat – pli isotrope – mat – pli isotropepli isotrope – mat – mat – pli isotrope

Donner dans chaque cas la matrice de comportement. On suppose quechaque pli a une épaisseur de 0,1 mm pour le mat et 4 mm pour le pliisotrope. Comparer.

"�����������'������������ ����� �

Pour cela, on considère les empilements de matériaux unidirectionnelssuivants :[-45° – 45° – 45° – -45°][45° – -45° – -45° – 45°]

Donner dans chaque cas la matrice de comportement. On suppose quechaque pli a une épaisseur de 0,1 mm. Comparer.

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%����� ��������������������

2�'�� ������� ��� �������)����

Compte tenu de l'appui simple sur les bords de la plaque, lesconditions aux limites s'écrivent :��� ��������)�����. ��� ����. ����)������ ��� �� ��� ��� �)�� ���

La seconde hypothèse se traduit par : � �� ��

� (56)

Compte tenu de la relation (56), l'application des équations (46) et desexpressions (34) et (35) conduisent à une nouvelle écriture endéplacements des conditions aux limites :

��������)���

0���

���� �� � )���� ��

�0� �

������ � )���� ��

�1���

���� �� � )���� ��

�1� �

���� �� � )���� ��

(57)

1���

������ � )���� ��

�1� �

���� �� � )���� ��

�2���

���� �� � )���� ��

�2� �

���� �� � )���� ��

�� �����' ��� ������' ��������������������� ��� �

Compte tenue de l'hypothèse 3, on peut considérer une chargeélémentaire de la forme :

� �����(-����#���

)���

Des champs de déplacement de la forme suivante satisfont auxconditions aux limites :

��� ���� ����6-� ���#���

)��� (58)

������� ����*-� ���#���

)��� (59)

������� ����7-����#���

)��� (60)

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

������� ����$ � �����#���

)��� (61)

������� ����� � �����#���

)��� (62)

"����� ��������' ��� ��

En reportant les expressions (58) à (62) dans les définitions (33) à (37),les déformations s'expriment par :

����� ����� ������������� ��������6 ����#

���

)���

��*����#���

)��� � (63)

���� � ����� ��������� ��� ��

���������

��$����#���

)���

��� ����#���

)���� (64)

����� ����� ������ ���

������ ������#

���

)���

��7�$������#���

)���� (65)

avec ��#�

)�

On note que les déformations de membrane et de flexion sont

extrémales en ����)��

������������ )

�� et pour ����)��

�.

��������� �

������%��

6�)���$

��

*�)����

��

On note que plus m est grand, plus λ et εεεε��� sont grands.

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

Les déformations hors plan sont maximales si ����� ��������� )

�� , soit :

�����������%� �

�7�$�On remarquera que ces déformations sont constantes sur une sectioncompte tenu de la modélisation adoptée. D'autre part, les déformationsen cisaillement hors plan sont maximales lorsque les déformations enmembrane ou en flexion sont nulles et vis-versa.

"����� ������� ��������������������� ����

L'expression des déformations étant établies, les contraintes peuventêtre exprimées dans chaque couche k en reportant les expressions (63)à (65)dans les équations (43) et (44) :

�����

�����

�����

+

��(�� (��� (�

(�� (��� (�

(� (� � (

+

��� �6����$�����#

���

)���

���*����������#���

)����

+

(66)

et

�����

������

+

��� �� � ���

� �� ����

+ � ������#���

)���

��7�$������#���

)����

+

(67)

4����'��� �������������������������' ��� �

Nous allons chercher les paramètres U, V, W, Θ����Ψ��������������'��&�������

������������(�)�*�(��)�������+'��,�'���

- ������&� ��� �.�������� (�#) * ( �) �&� ��� '��&���� (�) * (��)� �� ������ ���

���/���������&����&����()�����+�����

�0��� 0� � � 1��� 1� �

0� � 0 � � 1� � 1 �

���/��� �/�� �/ ��

���1�� ���

1� � /�� ���2����/�� ���

2� ��/ ��

���1� ���

1 ���/ �� ���

2� ��/ �� ���2 �/ ��

�6

*

7

$����

(

� ( #)

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* ��������������!!��� ������ � ���

Dans l'exemple suivant, nous allons considérer que m=1, et que laplaque a une longueur L1 de 20 mm.

Donner l'expression des déplacements, puis des déformations et enfindes contraintes dans chaque pli.

Comparer et analyser les résultats obtenus.

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����������������111

�������������������

Deux grandes familles de contraintes internes peuvent s'exercer sur lesmatériaux composites.

� Tout d'abord, ils sont fabriqués à chaud (180°C à titreindicatif : la polymérisation peut encore élever cettetempérature). Leur solidification est donc suivie d'un fortrefroidissement. Ainsi, des contraintes résiduelles d'originethermique sont produites. Elles peuvent être suffisammentfortes pour provoquer la rupture du matériau avant touteutilisation.

� Ensuite, les matériaux constitutifs de chaque pli absorbentfacilement de l'eau, à cause de la structure moléculaire desrésines (plastique), de la présence de porosités (et donc deréservoirs potentiels) et enfin des fibres qui agissent, d'aprèscertaines théories, comme des drains.

Dans ce paragraphe, nous allons prendre en compte dans lamodélisation précédente ces effets thermiques ou hygrométriques.

Hypothèses :� les matériaux sont orthotropes� Problème élastique� Contraintes planes avec prise en compte des effets transverses� La température ou l'hygrométrie est constante dans le milieu

(respectivement le pli ou la plaque)

.���,� ��/�����������

� ������ �������''������������� ����% �������

Pour un matériau orthotrope, l'effet thermique ou hygrométrique setraduit par une dilatation. Elle peut être exprimée par :

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Mécanique des Matériaux composites J. Molimard, EMSE 2004

����������������� �

�������

���������

���&�'��

'��

'��

�������

dans le cas d'un problème thermique.

����������������� �

�������

0�1���

���&�(��

(��

(��

�������

dans le cas d'un problème hygrométrique.

On note α1, α2, α3 les coefficients de dilatation thermique et β1, β2, β3 lescoefficients d'expansion hygrométrique selon les directionsd'orthotropie du matériau. On observe que les écritures décrivant ladéformation thermique ou hygrométrique sont identiques. Dans ce quisuit, seul le problème thermique sera développé. Pour obtenir lesexpressions correspondantes du problème hygrométrique, il conviendrade remplacer ∆H par ∆c, et les coefficients αi par des coefficients βi.

Matériau

(Unidirectionnel)

Composition

(% vol. defibre)

longitudinal

transversal

Carbone/époxyde 60 % 3,4 10-5 -0,12 10-5

kevlar/époxyde 60 % 5,8 10-5 -0,4 10-5

Verre/époxyde 60 % 1,8 10-5 0,55 10-5

Tableau 2 : Dilatations thermique pour quelques composites

"����� ��������' ��� ������������������ �� � ��

La déformation totale d'un milieu soumis à un chargementthermomécanique est donnée par l'expression suivante :

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����������������� �

�������

���&��

��� �� � ��� � ��

� �� � ��� � ��

� �� � ��� � ��

� ��

� ��

� �

������

����

���

���

���

���

� �

�������

���&�'��

'��

'��

�������

Il vient une nouvelle expression la contrainte appliquée sur le milieu :

����

���

���

���

���

� �

�������

����� � ��� ���

��� � ��� ���

��� � ��� ���

� ��

���

� �

������

������������������ �

�������

���&�'��

'��

'��

�������

� (69)

On observe que la contrainte est modifiée par l'apparition d'un termesupplémentaire lié à la variation de température, que l'on peut qualifierde « contrainte thermique ».

����

��

���

��

���

��

���

��

���

��

� �

��

�������

��� ���� � ��� ���

��� � ��� ���

��� � ��� ���

� ��

���

� �

������

&�'��

'��

'��

�������

tel que :

����

���

���

���

���

� �

�������

�����

��

���

��

���

��

���

��

���

��

� �

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Nous allons nous placer, comme précédemment, dans le cadre d'un pli,c'est à dire d'un milieu dont l'épaisseur (dans la direction e3) est faibledevant les autres dimensions. Dans ce cas, la contrainte thermiquedevient :

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Dans un repère quelconque (par exemple celui du stratifié), l'utilisationde la relation (55) conduit à l'expression de la contrainte pour touterotation selon l'axe e3. Il vient :

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(71)

On remarquera qu'aucun cisaillement hors plan n'est possible.

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Dans le cas du problème de plaque, l'expression des résultantes (40) à(42) est modifiée par l'apparition d'un terme supplémentaire lié à l'effetthermique, ce qui donne :

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L'effet thermique apparaît dans cette description comme un effortsupplémentaire appliqué sur un volume élémentaire de plaque. A partirde la matrice de comportement du stratifié (46), on détermine lesdéformations de la plaque conformément au schéma au premier degrédéveloppé dans le cours (31). Des contraintes faisant apparaître lecouplage entre les différents plis sont alors calculées en utilisant lamatrice de raideur de chaque pli.

On note que les contraintes thermiques, selon les empilements choisis,peuvent engendrer de la traction et du cisaillement en membrane, maisaussi de la flexion et de la torsion. Cependant, il est important dementionner que si le stratifié est symétrique, il n'a pas de moment deflexion ou de torsion induit par un effet thermique ou hygrométrique.

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Un essai de traction sur une éprouvette de matrice pure ou sur desfibres seulement, conduit à une contrainte maximale et unedéformation maximale, comme le montre la figure 9.

Figure 9 : Courbes de traction si ��

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Si des fibres (unidirectionnelles) sont placées dans la matrice, unecontrainte trop importante provoque une déformation des fibres plusgrande que leur déformation maximale admissible ��

' : les fibrescassent. La déformation maximale admissible des fibres, combinée aumodule d'élasticité longitudinal EL, détermine donc la contraintemaximale admissible pour le pli unidirectionnel, lorsque l'effort estdans le sens des fibres.

Dans cet exemple, nous avons supposé que la déformation maximalede la matrice est supérieure à celle des fibres. Dans le cas contraire, lalimite de déformation admissible pour le composite unidirectionnel, etdonc la contrainte maximale admissible, serait donnée par ladéformation maximale admissible de la matrice ��

� .

La contrainte maximale admissible pour le composite soumis à unetraction dans le sens des fibres peut donc être évaluée par une loi demélange :

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Le tableau 3 répertorie les limites en déformation et en contraintes dequelques composés. Il ne faut pas perdre de vue la grande dépendancede ces valeurs au procédé de fabrication et à la température.

Matériau E εεεεu σσσσu

Fibres de carboneHS

220 GPa 1,4 à 1,8 % 3000 à 4000MPa

Fibres de carboneHM

400 GPa 0,5 % 2200 MPa

Fibres de verre 70 GPa 3,4 à 4,8 % 2400 à 3400MPa

Polyester 2,8 à 3,5 GPa 2 à 5 % 50 à 80 MPa

Résinesphénoliques

3 GPa 2,5 % 40 MPa

Résines époxydes 3 à 5 GPa 2 à 5 % 60 à 80 MPa

Tableau 3 : Quelques grandeurs typiques de contraintes et déformationà la rupture

Dans la direction transversale, la rupture d'un compositeunidirectionnel se produit lorsque la contrainte est supérieure à lacontrainte admissible par la matrice ou à la contrainte admissible parl'interface fibre/matrice. Plus généralement, nous pouvons dire que larupture dans un pli unidirectionnel apparaît si la fibre ou la matrice oul'interface fibre/matrice se rompt.

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Intuitivement, on peut supposer que la rupture d'un matériauorthotrope se produit lorsque que la contrainte maximale est atteinte,soit en traction soit en cisaillement. Dans le repère principal, il vientalors l'expression :

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avec : Xt et Xc la résistance longitudinale en traction et en compression.Yt et Yc la résistance transversale en traction et en compression.SLT la résistance en cisaillement suivant 1-2.

On note que la résistance en traction et en compression sontdifférentes dans cette expression. Usuellement, la résistance encompression est de l'ordre de la moitié ou des deux tiers de larésistance en traction.

D'autre part, l'expression ci-dessus est dite « critère de contraintemaximale ». Dans l'espace des contraintes, les valeurs admissiblessont limitées par un parallélépipède rectangle. Dans l'espace desdéformations, ce parallélépipède devient oblique du fait de l'effet dePoisson. Il existe également un critère de déformation maximale,dont la représentation dans l'espace des déformations est unparallélépipède rectangle, qui ne coïncide évidemment pas avec lecritère précédent.

Enfin, bien qu'il soit très souvent utilisé, ce critère doit être réservé àdes cas très simples car les effets de couplage ne sont pas pris encompte. On considère généralement que le critère de contraintemaximale devrait être réservé à un état de contraintes planes, et lecritère de déformation maximale à un état de déformation plane.

Lorsque le chargement n'est plus un chargement simple, il faut utiliserun critère énergétique analogue au critère de Von Mises de l'élasticitéisotrope. Nous retiendrons ici le critère de Tsai et Wu.

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Avec les paramètres Fij :

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Ces 5 premiers paramètres sont issus d'expérience de traction etcompression dans les deux directions d'orthotropie et de cisaillementpur (dans le repère d'orthotropie). Le paramètre de couplage F12 estquant à lui beaucoup plus difficile à déterminer. Il nécessite un essaide traction biaxial selon les directions d'orthotropie ou un essai detraction à 45° des directions d'orthotropie. En pratique, ce coefficientest le plus souvent considéré comme un paramètre empirique, ajustéen fonction des résultats expérimentaux.

On définit le paramètre de résistance d'interaction normalisé /��

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. Si aucune donnée n'est disponible, la valeur par défaut de /��

� est -1/2. Le critère de Tsai Wu prend alors la forme du critère de Hoffman.Si, de plus, la résistance en traction est égale à la résistance encompression, on retrouve le critère de Tsai-Hill qui s'écrit encontraintes planes :

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Cette formulation montre que l'on retrouve un ellipsoïde decontraintes, conformément à la représentation de Von Mises. Dans lecas de la formule de Tsai et Wu, l'ellipsoïde n'est plus centré du fait dela différence de contrainte à la rupture en traction et en compression.

Le tableau 4 montre quelques valeurs typiques de résistance à larupture dans le cas ou le paramètre de résistance d'interaction est de-0,5.

Paramètres derésistance

Carbone / époxyde Verre E / époxyde

F11 (GPa-2) 0,45 1,55

F22 (GPa-2) 100 275

F12 (GPa-2) -3,36 -10,25

F66 (GPa-2) 216 195

F1 (GPa-1) 0 0,70

F2 (GPa-1) 20,1 23,8

Tableau 4 : Valeurs de résistance pour des plis unidirectionnelsorthotropes (Vf=0,6)

Remarques : � Le critère précédent est valable dans le repère d'orthotropie. Pour les

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plis dont les axes d'orthotropie et les directions de sollicitation nesont pas identiques, il faut de se ramener au repère d'orthotropie.Cela revient à faire une rotation de l'ellipsoïde des contraintes dedeux fois l'angle de pli.

� Souvent, on préfère utiliser le critère de Tsai et Wu dans l'espace desdéformations car le champ de déformation est beaucoup plusaccessible pour une plaque stratifiée.

� Il ne faut pas perdre de vue le caractère microscopique des ruptureset leur lien avec les défauts de fabrication présents dans lastructure.

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A l'échelle du stratifié, les critères de résistance doivent être appliquésà chaque couche. Chacune produit une enveloppe de résistance.L'enveloppe de résistance de la plaque est l'intersection des différentesenveloppes correspondant à chaque pli (figure 10).

Figure 10 : Représentation ( in [Tsai]) des déformations admissibles(FPF)

pour une plaque stratifiée en utilisant le critère de Hoffman (Tsai et Wuavec /���

� ���� ).

Lorsqu'une couche rompt, le champ de contraintes est modifié et l'ondoit se poser la question de la tenue des couches encore intègres dumatériau. Cela pose la question de la modélisation mécanique de lacouche rompue.

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Enfin, les effet thermiques et hygrométriques vont avoir pour effet detranslater l'ellipsoïde (ou le parallélépipède) des contraintes, sans enchanger la forme toutefois.

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J.M. Berthelot – Matériaux composites : Comportement mécanique etanalyse des structures, 3ème édition – Paris : Editions Tec&Doc, 1999.

Y. Surrel, A. Vautrin, G. Verchery – Analyse et conception desstructures en matériaux composites – Pluralis, 1990

D. Gay – Matériaux composites, 3ème édition revue et augmentée –Paris : Hermès 1991

S. Tsai – Composite Design – Dayton : Think Composites, 1988

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