Mécanique Des Fluides 2e Année PC-PC PSI-PSI

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NOUVEAUOGRAM

NOUVEAUNOUVEAUNOUVEAUOGRAMMROGRAMROGRAM

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Composition et mise en page : Laser Graphie

Maquette intérieure : S.G. Création et Pascal Plottier

Maquette de couverture : Alain Vambacas

Crédits photographiques

Pages 7, 12, 111, 127, 160, 162, 166 : photos auteur ; 9, 11 : photothèque Hachette ; 14, 16, 52, 182 : ONERA(Office national d’Études et de Recherches aérospatiales – France).

© HACHETTE Livre 2004, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15.www.hachette-education.com

I.S.B.N. 978-2-01-181899-7

Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays.

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Cette collection concerne les nouveaux programmes des classes préparatoires aux Grandes Écoles mis en applicationà la rentrée de septembre 2004 pour les classes de Deuxième année MP, PC, PSI, et PT.

Les auteurs ont choisi d’aborder le programme de physique par matière, et non par filière. Cependant les parties de pro-gramme spécifiques à une ou plusieurs filières sont bien signalées. Ces indications n’empêchent pas un élève souhai-tant approfondir ses connaissances dans un domaine donné, d’étudier une partie non retenue pour sa filière.

Ce découpage présente l’intérêt d’englober un ensemble cohérent et complet de connaissances et d’applications pourune matière, ce qui est un atout pour aborder les TIPE (travaux d’initiative personnelle encadrés) et ADS (analyse dedocuments scientifiques), par exemple.

La physique est une science expérimentale et doit être enseignée en tant que telle. Les auteurs ont particulièrementsoigné la description des dispositifs expérimentaux et des protocoles opératoires qu’ils ont illustrés de nombreuxschémas. Souhaitons que leurs efforts incitent les professeurs à accorder davantage de place aux activités expéri-mentales, toujours très formatrices, dans leurs cours et les élèves à s’y intéresser davantage pour mieux appréhenderles phénomènes.

La physique n’est pas une science désincarnée, uniquement préoccupée de spéculations fermées aux réalités tech-nologiques. Chaque fois que le sujet s’y prête, les auteurs donnent une large place aux applications scientifiques ouindustrielles propres à motiver les futurs chercheurs et ingénieurs.

La physique n’est pas une science aseptisée et intemporelle, elle est le produit d’une époque et ne s’exclut pas duchamp des activités humaines. Les auteurs ont fait référence à l’histoire des sciences, aussi bien pour décrire l’évo-lution des modèles théoriques que pour replacer les expériences dans leur contexte.

La physique étudie des phénomènes naturels et des systèmes dont elle cherche à modéliser les comportements et àprévoir les évolutions. Cette modélisation amène inévitablement à relier des grandeurs physiques entre elles et à opé-rer des traitements mathématiques. Les auteurs ont donné aux mathématiques leur juste place, en privilégiant laréflexion et le raisonnement physique et en mettant l’accent sur les paramètres significatifs et les relations qui lesunissent.

La maîtrise de la physique nécessite un apprentissage et un entraînement : pour cela les auteurs ont sélectionnédes exercices nombreux et variés, extraits des épreuves écrites et orales des concours d’entrée aux Grandes Écoles ;ces exercices s’appuient sur des situations concrètes et conduisent à des applications numériques correspondant àdes dispositifs réels ou des phénomènes quotidiens. Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée. Dans lesexercices commentés, la solution est discutée, et les erreurs à ne pas commettre signalées.

L’équipe d’auteurs, coordonnée par Jean-Marie BRÉBEC, est composée de professeurs très expérimentés de classespréparatoires ; ils possèdent une longue pratique des concours des Grandes Écoles, et leur compétence scientifique estunanimement reconnue.Ces ouvrages de seconde année s’inscrivent dans une parfaite continuité avec ceux de première année, tant dans laforme que dans l’esprit, car le noyau de l’équipe d’auteurs est le même.

Gageons que ces ouvrages constitueront de précieux outils pour les étudiants, tant pour une préparation efficace desconcours que pour l’acquisition d’une solide culture scientifique.

J.-P. DURANDEAU et M.-B. MAUHOURAT

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réface



4

MODÉLISATION D’UN FLUIDE 5

CONSERVATION DE LA MASSE 31

ÉTUDE CINÉMATIQUE DES FLUIDES. TOPOGRAPHIE DE QUELQUES ÉLÉMENTS 51

DYNAMIQUE LOCALE DES FLUIDES PARFAITS 89

VISCOSITÉ D’UN FLUIDE 126

ÉCOULEMENTS RÉELS : NOMBRE DE REYNOLDS 159

BILANS MÉCANIQUES ET ÉNERGÉTIQUES 198

ANNEXE : CHAMPS ET CALCULS VECTORIELS 237

INDEX 269

ommaire


1111

O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S

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1Modélisationd’un fluide

en écoulement 1

Descriptions lagrangienne et eulérienned’un fluide en mouvement.

Dérivation particulaire.

Cinématique du point.

Un écoulement de fluide peut être décrit parla connaissance du mouvement de chacune

des entités élémentaires, en général atomes oumolécules, constituant le fluide. Cependant, leur

nombre étant impressionnant, une telle étuden’est pas envisageable.

L’étude de l’écoulement peut se limiter àla connaissance du mouvement d’ensemble d’un

groupe de ces entités constituant ce quel’on appelle une particule de fluide.

Ce mouvement est alors décrit par la donnée :• soit de la trajectoire de chacune de ces particules

de fluide au cours du temps, connaissant leurposition à une date initiale t0 donnée :

description lagrangienne,du nom du mathématicien français

Louis Lagrange (1736-1813) ;• soit de la vitesse de toutes ces particules de fluide

à tout instant t : description eulérienne,du nom du mathématicien suisse

Léonhard Euler (1707-1783).

Il est possible de travailler avec l’une ou l’autrede ces descriptions, mais celle d’Euler

(champ des vitesses des particules de fluidedépendant des coordonnées d’espace

et du temps) est la plus pratique.

3472_chap_01 27/05/2004 14:55 Page 5 (Noir/Process Black film)

11.1.

1.1.1.

VRTP

= = × =8 31 400

105

,

nM

N* .= = ≈−−ρ

A m10

18 106 10 3 10

3

323 29 3

.. .

Application 1

1.1.2.


Modèle du f luide

Qu’est-ce qu’un fluide ?Nous avons déjà évoqué la notion de fluide (cf. H-Prépa, Thermodynamique,1re année). Les états liquide et gazeux sont des fluides par opposition à l’état solide.

« Frontière » liquide-gaz

Il existe une différence essentielle de comportement entre un liquide et un gaz : ungaz occupe toujours l’ensemble du volume qui lui est proposé, ce qu’un liquide nefait pas.

La frontière liquide-gaz se caractérise par une différence d’ordre de grandeur de lamasse volumique et de la densité particulaire. Pour un liquide, ces grandeurs sontenviron mille fois plus grandes que les grandeurs correspondantes d’un gaz : résul-tat que nous observons dans le cas de l’eau (doc.1).

La masse volumique étant élevée, les particules sont très proches et donc les inter-actions moléculaires dans les liquides sont très importantes.

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lit.

Mécanique des fluides

eau gaz(P ≈ 1 bar

et T ≈ 400 K)eau liquide

rgaz ≈ 0,5 kg . m– 3 r liquide ≈ 1,0 .103 kg . m– 3

n*gaz ≈ 2 .1026 m– 3 n*liquide ≈ 3 .1029 m– 3

Doc. 1. Masses volumiques et densités par-ticulaires de l’eau gaz (vapeur) et l’eauliquide.

Calculer les densités particulaires n* :• de l’eau à l’état liquide ;• de l’eau à l’état gazeux à la température T = 400 K,sous une pression P = 1 bar. Ce gaz est supposé obéirà la loi des gaz parfaits.

Données :Masse volumique de l’eau liquide :r = 1,0 . 103 kg . m–3 .Masse molaire de l’eau : M = 18 . 10–3 kg . mol–1.

Nombre d’Avogadro : NA = 6 . 1023 mol– 1.Constante des gaz parfaits : R = 8,31 J . K–1. mol–1.

• Eau liquide : la densité particulaire est donnée par :

• Eau vapeur : le gaz étant considéré comme parfait, laquantité de matière n = 1 mole occupe le volume :

3,3 . 10–3 m3 pour une mole.

Sachant que NA particules occupent ce volume, nousavons n* = 1,8 . 1026 m–3.

La masse volumique r = = ≈ 0,5 kg .m–3

est effectivement très inférieure à celle de l’eau liquide.

18 .10–3

3,3 .10–3MV

VRTP

= = × =8 31 400

105

,

nM

N* .= = ≈−−ρ

A m10

18 106 10 3 10

3

323 29 3

.. .

Densités particulaires de l’eau

« Frontière » liquide-solide

La « frontière » liquide-solide n’étant pas simple à établir, nous n’essaierons pasde donner une définition rigoureuse d’un fluide par opposition à un solide.

Alors que les solides sont (quasiment) indéformables, nous connaissons tous la capa-cité des liquides (par opposition aux solides) :• à « couler » (plus ou moins suivant leur viscosité !) ;• à épouser la forme du récipient dans lequel ils sont contenus ;• à pouvoir être reconstitués une fois qu’ils ont été « éparpillés » (pensons, parexemple, aux fines gouttelettes d’un brumisateur que nous pouvons récolter dansun verre).


1.2.

1.2.1.

échelle macroscopique milieu continu.

1.2.2.

échelle microscopique fluide discontinu

libreparcours moyen des molécules

1.


Cette différence de comportement entre les solides et les liquides s’interprète parune plus grande mobilité des molécules à l’état liquide.

Une autre différence essentielle entre les liquides et les solides se retrouvera lorsde l’étude cinématique : les vitesses des différents points d’un solide, rigidementliés les uns aux autres, font intervenir le vecteur rotation instantanée W

–du solide.

Ainsi la vitesse de deux points M et P liés à un solide est donnée par :

v(P) = v(M) + W–

∧ MP—

(cf. H-Prépa, Mécanique du solide, 2nd année). Le problème est beaucoup plusdélicat pour des liquides en mouvement.

Pour aborder cette étude cinématique, précisons notre échelle d’étude afin de définirla vitesse macroscopique du fluide.

Le fluide milieu continu

Précisons les longueurs caractéristiques d’observation.

Échelle macroscopique

À l’ , le fluide est un

La longueur L caractéristique d’observation de cette échelle est imposée par le pro-blème étudié (doc. 2).

Prenons divers exemples :

Échelle microscopique

À l’ , le est essentiellement : il est com-posé de molécules en continuelle agitation thermique.

Pour un gaz, la longueur caractéristique associée à cette échelle peut être le(distance moyenne parcourue par une molécule

entre deux chocs, de l’ordre du micromètre dans les conditions usuelles) ou la dis-tance moyenne entre ces molécules (doc. 4).

Les échelles macroscopique et microscopique ne sont bien différenciées que siL >> ; la distinction ne peut plus se faire si est nettement plus élevée (gaz soustrès faible pression), alors que L est faible (canaux d’un milieu poreux, par exemple).

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Modélisation d’un fluide en écoulement

exemple choix de la longueur caractéristique L

écoulement d’un fleuve largeur (et profondeur) du lit du fleuve

écoulement d’un fluide dans une conduite diamètre de la conduite

écoulement d’un fluide autour d’un obstacle taille (« transversale ») de l’obstacle

étude d’un océan profondeur (et étendue) de l’océan

écoulement du sang

diamètre d’une veine ou d’une artère ;une limite inférieure de L pourrait être obtenuedans les capillaires sanguins, par exemple(L est alors de l’ordre d’une fraction de mil-limètre)

Doc. 3. Quelques longueurs caractéristiques L .

Doc. 2. À l’échelle macroscopique, la lon-gueur caractéristique de cet écoulementest la largeur du canal (pont des Soupirsà Venise). Sa profondeur peut aussi êtreutile.

molécules

libre parcours moyendes molécules

longueurcaractéristique

de l’écoulementà l’échelle

microscopique

Doc. 4. À l’échelle microscopique, le fluideest décrit par le mouvement des diversesmolécules. La longueur caractéristique decette échelle peut être représentée par ladistance moyenne entre deux moléculesou leur libre parcours moyen.


1.2.3.

échelle mésoscopique

cellules élémentaireséléments de fluide

valeur macroscopique locale

dRT

PN= = ×

×= ≈− −

A

m35 23

3 273 108 31 400

10 6 1055 10 40 10

,.

.. .

VRTP

= ,

dMN

= =×

= ≈−

− −

ρ A

m3

3

3 233 303 1018 10

10 6 1030 10 3 10

..

. . .

NM

N= ρA

Application 2


Échelle mésoscopique

L’ est l’échelle intermédiaire entre le macroscopique et lemicroscopique, où le fluide est encore un milieu continu.

À cette échelle, le fluide est « découpé » en (ou infinitési-males) appelées , ou particules de fluide (contenant un grandnombre de molécules). L’intérêt d’une description continue du fluide réside dansle fait que des grandeurs macroscopiques peuvent être associées à ces particulesde fluide, qui ont une masse élémentaire constante lors de l’évolution du fluide.

La vitesse d’une particule de fluide, centrée au point M à la date t, est la vitessed’ensemble (vitesse barycentrique) des molécules qu’elle contient. Nous obtenonsainsi une de la vitesse du fluide, c’est-à-dire définieen un point M à l’instant t. Cette vitesse est non nulle si le fluide est macroscopi-quement en mouvement.

À partir de cette notion, il est possible d’étudier, par exemple, la répartition de tem-pérature ou de pression dans le fluide. La validité de ce mode de description, surlequel nous reviendrons, est liée à la valeur de a, taille de la particule de fluide.Cette taille doit être petite au niveau macroscopique, où les grandeurs sont conti-nues, mais grande au niveau microscopique (la particule de fluide contenant alorsun très grand nombre de molécules) pour pouvoir négliger les fluctuations asso-ciées, par exemple, à l’agitation thermique.

La description du fluide à partir du mouvement de ces particules de fluide nouspermettra d’utiliser le calcul intégral. Essayons de préciser les dimensions de la par-ticule de fluide, en l’imaginant cubique, d’arête a : cette longueur caractéristiquedéfinit alors l’échelle mésoscopique.

ExemplePrenons le mouvement de l’eau liquide dans une conduite de 10 cm de diamètre :

• pour cet écoulement, nous avons L ≈ 10– 1 m ;

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Calculer la distance moyenne entre molécules pour :• l’eau à l’état liquide ;• l’eau à l’état gaz à la température T = 400 K, sousune pression P = 1 bar. Ce gaz est supposé obéir à laloi des gaz parfaits.

Données :rliquide = 1,0 . 103 kg . m–3 ; NA = 6 . 1023 mol–1 ;M = 18 . 10–3 kg . mol–1 ; R = 8,31 J . K–1 . mol–1.

• Eau liquide : sachant que particules occu-

pent un volume de 1 m3, la distance moyenne entre deux

particules vérifie : d 3 =N1 .

• Eau vapeur : le gaz étant considéré comme parfait,

NA molécules occupent le volume donc la

distance moyenne entre deux particules est égale à :

dRT

PN= = ×

×= ≈− −

A

m35 23

3 273 108 31 400

10 6 1055 10 40 10

,.

.. .

VRTP

= ,

dMN

= =×

= ≈−

− −

ρ A

m3

3

3 233 303 1018 10

10 6 1030 10 3 10

..

. . .

NM

N= ρA

Distances moyennes entre molécules


2écoulement

approche lagrangienne

10 6 10

18 10

15 23

3

−

−× ≈..

d Am NM

MNA ρ

3 ≈

1.

R(t)


• la masse volumique de l’eau est à r = 103 kg . m– 3 . La masse molaire de l’eau étantM = 18 . 10–3 kg . mol– 1, la distance moyenne entre deux molécules d’eau est de l’ordre

de 3 . 10– 10 m, soit l ≈ 10– 10 m avec NA = 6 . 1023 mol– 1 ;

• choisissons a telle que l << a << L , soit 10– 10 m << a << 10– 1 m. Prenonsa ≈ 10– 6 m = 1 µm.

Un volume de 1 µm3 d’eau contient une masse dm = 10– 15 kg d’eau, donc

molécules d’eau, soit environ 3 . 1010 molécules !

Ainsi la particule de fluide a une masse d m égale à 10– 15 kg , occupe un volumedt = 10– 18m3 (cube d’arête a = 1 µm) et contient environ 1010 particules (doc. 5).

Un choix tout aussi valable pour la situation choisie consisterait à prendre une par-ticule de fluide ayant une masse d m égale à 10– 6 kg, occupant un volumedt = 10– 9 m3 (cube d’arête a = 1 mm) et contenant environ 1016 particules. Maisl’existence de forces de viscosités peut mettre ce choix (a relativement grande) endéfaut au voisinage des obstacles (présence de couches limites, cf. chapitre 5).

À l’échelle mésoscopique, les dimensions caractéristiques de la particule de fluidedoivent être petites devant L et grandes devant (distance moyenne entre deuxmolécules). Un très grand nombre de molécules (1010) doivent constituer cette par-ticule, afin d’avoir accès à des moyennes locales ayant un caractère macroscopique.

Approche lagrangienne

Intéressons-nous à un fluide (macroscopiquement) en mouvement dans le référen-tiel d’étude, mouvement souvent appelé .

Étudier cet écoulement, c’est par exemple décrire le mouvement de chacune desparticules de fluide (définies précédemment) qui le composent. Connaissant la tra-jectoire R

i(t) de chaque particule (placée en R

i(0) à t = 0) que l’on suit dans sonmouvement, nous reconstituons le mouvement d’ensemble du fluide (doc. 6). Cettedescription correspond à l’ , dérivée du nom du mathéma-ticien Louis Lagrange (1736-1813) (doc. 7).

Exemple 1 : Le pêcheur

Au bord d’une rivière, un pêcheur à la ligne regardant dériver au fil du courant desappâts (qu’il a jetés dans l’eau), ou des feuilles à la surface de l’eau, se place impli-citement dans la conception lagrangienne, lorsqu’il suit des yeux le mouvement deces particules entraînées avec l’eau de la rivière (doc. 8).

L’échelle de la particule de fluide, échelle mésoscopique, est intermédiaireentre l’échelle microscopique et l’échelle macroscopique. Elle permet d’as-socier à cette particule des grandeurs macroscopiques qui décrivent le fluidecomme un milieu continu.

10 6 10

18 10

15 23

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−

−× ≈..

d Am NM

MNA ρ

3 ≈

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La

Doc. 5. Écoulement de fluide. À l’échellemésoscopique, les dimensions de la par-ticule de fluide sont petites devant L etgrandes devant , la distance moyenneentre deux molécules.

coordonnées initialesde la particuleà t = 0 : R(0)

trajectoire R(t)de la particule

Doc. 6. Description lagrangienne : le mou-vement macroscopique du fluide est définipar la connaissance des trajectoires dechaque particule de fluide qui le compo-sent.

Doc. 7. Louis Lagrange (1736-1813).

(t = t1)

trajectoired’une feuille

(t = t2)

R(t)

Doc. 8. Le pêcheur suivant des yeux lesfeuilles se place en formalisme lagrangien.


33.1.

description eulérienne


Exemple 2 : Trafic autoroutier

Lors d’un écoulement de véhicules sur une autoroute, il est possible de décrirel’écoulement du trafic grâce à la connaissance de la trajectoire de chacun des véhi-cules : cette description correspond à l’approche lagrangienne (doc. 9).

Le fluide est décrit à chaque instant par l’ensemble des vitesses des particules defluide qui le composent, particules que nous avons « étiquetées » en fixant leurposition initiale R

i(0) à l’instant t = 0, donc l’indice i. Cet ensemble des vitesses

est de la forme ces grandeurs ne dépendant explicite-

ment que du temps pour une particule considérée (R

i (t) est une fonction connue).Ainsi en formalisme lagrangien, la vitesse de chaque particule ne dépend quedu temps t (la trajectoire étant connue) et donc des coordonnées initiales de la par-ticule.

Remarque

Nous garderons cette écriture R(t) (et non r), X(t), Y(t), ..., V

(t) (et non v) pour

des grandeurs « lagrangienne ».

Approche eulérienne

Intéressons-nous au même écoulement de fluide dans le référentiel d’étude.

Description eulérienne d’un écoulement

L’étude du mouvement de toutes les particules est en pratique inaccessible au calcul.Dans ces conditions, nous chercherons à décrire l’évolution du mouvement dufluide, sans référence à une particule particulière : cette approche passe par une

du fluide.


Le même pêcheur, las de ne rien prendre, peut se mettre à rêver en observant untourbillon évoluer au voisinage d’un rocher qui émerge au milieu de la rivière. Cefaisant, il ne s’intéresse plus à une particule de fluide qu’il suit dans son mouve-ment, mais plutôt à un point particulier de l’espace, où transitent sans cesse de nou-velles particules de fluide. Il observe la vitesse de ces particules en un point fixede l’espace au cours du temps ; il se place en formalisme eulérien pour décrire cetécoulement (doc. 10).


Parfois des gendarmes au bord d’une autoroute « observent » la vitesse des véhicules.Ils peuvent décrire l’écoulement du trafic au cours du temps grâce à la connaissancede la vitesse des véhicules existant à l’endroit où ils sont « postés ». Ces gendarmesse placent en formalisme eulérien pour décrire l’écoulement du trafic (doc. 11). Quandleur point de vue devient lagrangien, c’est généralement mauvais signe !

Description lagrangienne d’un écoulement :le mouvement du fluide est défini par les positions R

i (t ) des particules defluides (étiquetées « i ») ;

la vitesse d’une particule V

i (t) = dR

dit(t) est une fonction du temps.

= V

(R

i(t), t),d R

i(t)

d tV

i(t) =

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t1t1

t1

t2

t1 t2

trajectoire

t2

t1

t2

t2

Doc. 9. Lorsque nous observons les tra-jectoires des divers véhicules (entre t = t1et t = t2), nous nous plaçons en forma-lisme lagrangien.

tourbillonau voisinagedu rocher (M)

Doc. 10. Le pêcheur observe comments’écoule le fluide autour du rocher ; il seplace en formalisme eulérien.

PÉ

AG

E

Doc. 11. Les deux gendarmes observantles vitesses des véhicules se sont placésen formalisme eulérien pour décrirel’écoulement du trafic. À la même date t,ils n’observent pas les mêmes véhicules.Les deux gendarmes n’observent pasnécessairement la même vitesse.


3.2.

1.

Application 3

ez


La description eulérienne d’un fluide, dérivée du nom du mathématicien LéonhardEuler (1707-1783) (doc. 12), permet de déterminer, en un point donné de l’espace,les évolutions au cours du temps de certaines caractéristiques du fluide telles quesa vitesse, sa pression, sa température, …

Indépendance des coordonnées d’espaceet de temps

Reprenons les deux exemples précédents.


Le pêcheur, observant un tourbillon évoluer au voisinage d’un rocher qui émergeau milieu de la rivière, ne s’intéresse qu’à l’écoulement en un point particulier del’espace. Il observe la vitesse des particules en un point donné de l’espace au coursdu temps. Il n’y a aucune relation entre les coordonnées de ce point et le temps.


Les gendarmes « observent » la vitesse des véhicules au cours du temps en un pointparticulier du trafic. Il n’y a aucune relation entre les coordonnées de ce point(endroit où ils sont placés) et le temps.

Lors de la description eulérienne d’un écoulement de fluide, l’ensemble des vitessesforme un champ de vecteurs v(r, t) = v(M, t) = v(x, y, z, t), dépendant à la fois del’espace et du temps : r et t (ou x, y, z et t) sont des variables indépendantes.

Ce formalisme peut être appliqué à de nombreuses grandeurs macroscopiques :champ de pression P(M, t), de température T(M, t), de masse volumique ρ(M, t).

Cette approche est implicitement utilisée dans le cours d’électromagnétisme pourdésigner les champs électrique E

(M, t) et magnétique B

(M, t).

Nous conserverons la notation v(M, t) = v(r, t) pour le champ eulérien, et les nota-tions R

(t) et V

(t ) pour la description lagrangienne. La vitesse d’une particule de

position lagrangienne R

(t) est ainsi :

V

(t) = v(r = R

(t), t).C’est la valeur du champ de vitesse, là où elle se trouve, à l’instant t.

Description eulérienne d’un écoulement :• le mouvement du fluide est défini par le champ des vitesses v(M, t ) ;• les coordonnées d’espace et de temps sont des variables indépendantes ;• v(M, t ) est la vitesse de la particule de fluide qui passe au point M, à l’ins-tant t.

11


Doc. 12. Léonhard Euler (1707-1783).

Donner l’expression du champ des vitesses d’un fluidedans un tube vertical sachant que la vitesse est verti-cale et identique, à l’instant t, pour toutes les particules.

La surface libre du fluide dans le tube est repérée parsa cote h(t) (doc. 13a).

Champ des vitesses d’un fluidedans un tube vertical

Doc. 13a. Le niveau de lasurface libre du liquide évo-lue avec la vitesse

·h(t).

h (t)

z

z = 0ez

M

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eest

undé

lit.


4

4.1.

4.1.1.

ez


Représentation et visual isationdes écoulements

Nous allons retrouver la dualité Lagrange-Euler dans la représentation graphiquedes écoulements.

Trajectoires : approche lagrangienneNous nous proposons de trouver les trajectoires des particules (approche lagran-gienne) en utilisant le champ des vitesses d’un fluide (approche eulérienne).

Définition

L’ensemble des trajectoires des particules de fluide au cours du temps apparaîtcomme un premier élément d’information. Ce type de représentation qui suit lesparticules de fluide est évidemment lagrangien.

Nous pouvons avoir à l’esprit l’image du trafic automobile sur un réseau routier :cette image n’est pas entièrement innocente, l’étude de ce trafic s’apparentant àcelle d’un écoulement (on parle d’ailleurs de circulation fluide...). Ainsi, la repré-sentation des trajectoires des véhicules permet-elle d’obtenir des informations sur« l’écoulement » de la circulation (doc. 14). Il est possible de visualiser ces tra-jectoires en prenant une photographie nocturne avec un long temps de pause, lestraces des phares des véhicules sur le cliché matérialisant leurs trajectoires.

Pour visualiser les trajectoires de particules de fluides, il est possible d’ajouter dansce fluide de fines particules d’aluminium et de prendre une photo avec un longtemps de pause (doc. 15).

À partir de la donnée du champ eulérien des vitesses du fluide v(r, t), et en utili-sant la correspondance des vitesses définie au § 3.2. V (t ) = v(r= R

(t), t ) , nous

obtenons la trajectoire R

(t) de la particule présente en r à t par l’intégration tem-porelle d’un système d’équations différentielles à partir d’une position initialeR

0 = R

(t = 0).

Par exemple, en coordonnées cartésiennes, où R

(t) = X(t)ex + Y(t)ey + Z(t)ez, nousaurons :

12

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lit.


La vitesse que nous pouvons exprimer au point M estv(M, t) en formalisme d’Euler. h(t) est la coordonnéedépendant du temps et repérant la hauteur du fluide dansle tube (doc. 13a).

Repérons le point M par sa cote z sur l’axe (z z′) dirigévers le haut (doc. 13b). La vitesse v(M, t) en formalismeeulérien est donnée par l’expression :

v(M, t) = h•(t) ez .

Remarques

Il y a nécessité d’utiliser deux notations h et z, car h(t)représente le niveau du fluide et z la cote du point M.La dépendance de v(M, t) en fonction :

• des coordonnées d’espace, se fait par l’intermédiairede ez ;• du temps, se fait par l’intermédiaire de h

•(t).

h(t) est la coordonnée repérant le niveau du fluide, et zla coordonnée eulérienne.

ez

h (t)

z

z = 0

zM

Doc. 13b. Le niveau de lasurface libre du liquideévolue avec la vitesse h

•(t).

La vitesse en formalismeeulérien est donnée parv(M, t) = h

•(t) ez .

Doc. 14. Trajectoires de particules (ici desvéhicules) . Chaque trajectoire correspondà un véhicule différent.

Doc. 15. Lors de cet écoulement (houle),les particules décrivent des trajectoiresquasiment circulaires.


trajectoire tangente ligne du champ desvecteurs vitesse

4.1.2.

1.

V0

P


= Vx (t) = vx (X(t), Y(t), Z(t), t )

= Vy (t) = vy (X(t), Y(t), Z(t), t )

= Vz (t) = vz (X(t), Y(t), Z(t), t )

Puis, par intégration :

X(t) = X0 +t

t = 0vx (X(t ), Y(t ), Z(t ), t ) dt .

Et de même pour les autres coordonnées. La résolution peut être délicate, et faireappel à des méthodes numériques. Notons qu’à l’instant t, nous avons :

= = = dt.

De sorte que la de la particule est à lav(r, t), au point où elle est située à t.

Exemple

Considérons le mouvement à vitesse constante V

0 d’un cylindre dans un fluide ini-tialement au repos. Plaçons-nous dans le référentiel lié au fluide initialement immo-bile, nous pouvons visualiser les trajectoires de diverses particules de fluide au furet à mesure du déplacement du cylindre (doc. 16).

dZvz (X(t), Y(t), Z(t), t )

dYvy (X(t), Y(t), Z(t), t )

dXvx (X(t), Y(t), Z(t), t )

dZ(t)dt

dY(t)dt

dX(t)dt

13

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0,5

21,5

1

–0,5–1

–1,5–2

–2,5

–4,2 –2,8 –1,4 0 1,4 2,1

y

x

a)

V0

Doc. 16a. Cylindre dans un fluide initia-lement au repos.

2

1,5

1

–0,5

–1

–1,5

–2

–2,5

–4,2 –2,8 –1,4 0 1,4 2,1

y

x0,5

b)

2

1,5

1

–0,5

–1

–1,5

–2

–2,5

–4,2 –2,8 –1,4 0 1,4

y

x0,5

c)

2

1,5

1

0,5

–0,5

–1

–1,5

–2

–2,5

–4,2 –2,8 –1,4 0 1,4

y

x

d)

2

1,5

1

0,5

–0,5

–1

–1,5

–2

–2,5

–4,2 –2,8 –1,4 0 1,4

y

x

P

e)

Doc. 16b, c, d et e. Simulations montrant les trajectoires des particules de fluide lors de la progression d’un cylindre dans un fluideinitialement au repos.


4.2.

4.2.1.

4.2.2.


Quelles remarques et commentaires pouvons-nous faire sur ces simulations ?

• Nous avons pris des particules de fluide régulièrement réparties à t = 0 dans unplan perpendiculaire aux génératrices du cylindre (points Ai). Ces particules neretrouvent par leur place initiale après le passage du cylindre.

• Des trajectoires se recoupent, c’est-à-dire que nous visualisons des points de l’es-pace pour lesquels la vitesse des particules de fluide dépend explicitement du temps :

V

(P, t1) ≠ V

(P, t2) .Le champ des vitesses eulérien dans ce référentiel n’est pas stationnaire : il dépendexplicitement de la variable t.

Lignes de courants : approche eulérienne

Définition

La représentation, à un instant t0 donné, de l’ensemble des lignes de courants (lignesde champ du champ des vitesses eulérien des particules de fluide) d’un fluide enmouvement donne des informations très intéressantes sur l’écoulement du fluide.

Reprenons l’exemple du trafic automobile.

Nous pourrions obtenir un cliché des lignes de courants de la circulation automo-bile : sur une photographie avec un temps de pause bref, les traces des phares sontdes petits segments indiquant, par leur direction et leur longueur, la vitesse dechaque véhicule.

Avec les lignes de champ du champ des vitesses du fluide (lignes de courants),nous retrouvons la conception eulérienne d’un écoulement.

L’équation de ces lignes de courants s’obtient en écrivant qu’un élément d M–

decelle-ci est colinéaire au vecteur vitesse v(M, t0).

L’intégration, à t0 donné, de ce système nous fournit l’équation des lignes de cou-rants à cet instant.

Cette méthode de calcul est identique à celle utilisée en électromagnétisme pourétudier les lignes de champ électrique ou magnétique.

Exemple

Considérons à nouveau l’exemple du mouvement à vitesse constante V

0 d’uncylindre dans un fluide initialement au repos.

Plaçons-nous dans le référentiel du cylindre : nous pouvons visualiser les lignes decourants (doc. 17).

Le document 17b représente une visualisation différente de cet écoulement.

Nous pouvons caractériser l’écoulement d’un fluide par la déterminationdes lignes de courants (ligne de champ du champ des vitesses eulérien desparticules de fluide) à la date t0 , dont l’équation différentielle est donnéepar :

vx(x,dyx, z, t0)

=vy(x,

dyy, z, t0)

=vz(x,

dy,zz, t0)

.

14

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eest

undé

lit.


2

y

x–2

–1–0,5

00,5

1

–2,8 –1,4 0 0,7 1,4 2,8

Doc. 17a. Simulation montrant l’écoule-ment d’un fluide autour d’un cylindre.

Doc. 17b. Écoulement autour d’uncylindre de faible épaisseur et à faiblevitesse. Visualisation à l’aide de filetsd’huile de lin dans de l’huile de vaseline.


ligne de fluide

1.

v v00 0

0

ω ωet de centre X Y, .+

( ) ,X X Y Y− + − −

=

0

20

02

02v v

ω ω

X t X t Y t Y t( ) sin ( ) ( cos ),= + = + −00

00 1

v vω

ωω

ωet

d

d

Yt

t= v0 sinωd

d

Xt

t= v0 cosω

Application 4

v

v (P, t0)

v (M, t0)

M

P


Remarques

• À la lecture de ces simulations ou photos, nous pourrions penser qu’une « lignede fluide », initialement perpendiculaire à l’écoulement initial se déforme peu ; iln’en est rien.

• Sur la simulation ci-contre (doc. 17c), nous avons mis en évidence l’évolutiond’une telle « ». Ces lignes sont tracées à intervalle de temps régu-lier : l’intervalle de temps que met une particule de fluide pour aller de A à B estun invariant lors de la construction de cette simulation. La déformation de la «ligne de fluide » est importante.

15


ligne de fluide ligne de courants

A B

Le champ des vitesses (formalisme eulérien) d’un écou-lement bidimensionnel est de la forme :

v = v0(cosw t ex + sinw t ey) .Déterminer les trajectoires des particules et les lignesde courants.

• Lignes de courantsÀ t0 , le champ des vitesses est uniforme : les lignes decourants sont des droites faisant un angle w t0 avec l’axe(Ox).

• Trajectoires

L’intégration de et

donne :

où X0 et Y0 représentent les coordonnées de la positioninitiale de la particule considérée à t = 0 , soit encore :

c’est-à-dire l’équation d’un cercle de rayon

• Les lignes de courants et les trajectoires sont repré-sentées sur le document 18.

v v00 0

0

ω ωet de centre X Y, .+

( ) ,X X Y Y− + − −

=

0

20

02

02v v

ω ω

X t X t Y t Y t( ) sin ( ) ( cos ),= + = + −00

00 1

v vω

ωω

ωet

d

d

Yt

t= v0 sinωd

d

Xt

t= v0 cosω

Représentations d’un champ tournant : modèle de la houle

Doc. 18a. Les lignes de courants à t0 sont des droites.

y

x

v

t0ω

Doc. 18b. Les trajectoires des diverses particules au coursdu temps sont des cercles de même rayon.

v (P, t0)

v (M, t0)

y

x

X01X02

Y02

Y01

M

P

Doc. 17c. Mise en évidence de la défor-mation d’une « ligne de fluide ». L’intervallede temps que met une particule de fluidepour aller de A à B est un invariant sur cettefigure.

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4.3.

traceurs

ligne d’émission

4.4.

écoulement stationnaire permanent indépendant du temps


Lignes d’émission :approche expérimentale

En pratique, quand nous désirons étudier le mouvement d’un fluide au voisinaged’un obstacle (écoulement d’un liquide autour d’une hélice en rotation, de l’airautour d’une aile d’avion), il n’est pas très simple « d’isoler » chaque particule defluide pour en suivre la trajectoire, ni de représenter les vitesses des particules à uninstant donné.

Pour visualiser l’écoulement, on a recours à des : en des points particu-liers de l’écoulement, il est possible d’émettre (en perturbant le moins possible lemouvement du fluide) une substance entraînée avec le fluide. Il peut s’agir defumées dans un gaz, de bulles ou de gouttes de colorants dans un liquide.

À un instant donné, l’ensemble des particules qui sont passées par ce point sontdonc « marquées » et forment une courbe appelée (ou ligne detraçage).

Sur le document 19, nous visualisons des lignes d’émission lors d’un écoulementautour d’un obstacle. Par de petites ouvertures, un colorant est émis vers l’exté-rieur de cet obstacle sous très faible pression.

Nous verrons, dans l’exercice 1, un exemple de détermination de ligne d’émission.

Remarque

Pour un écoulement quelconque, les trajectoires, les lignes de courants et les lignesd’émission sont des courbes différentes. En un point donné M de l’espace, à l’ins-tant t, la trajectoire de la particule qui s’y trouve, la ligne de courants et la ligned’émission qui passent par M sont toutes trois tangentes entre elles (cf. exercice 5).

Cas des régimes stationnaires

Nous appelons , ou ,un écoulement dont le champ des vitesses eulérien ne dépend pas explicitement dutemps :

v(r, t) = v(r) .

Dans ce type d’écoulement, la vitesse du fluide en un point donné est toujours lamême.

Autrement dit, toutes les particules de fluide passant en un même point à diversinstants auront la même vitesse, caractéristique de ce point. Les lignes de courantssont « figées » et le temps ne joue plus alors aucun rôle (une photographie, prise àun instant quelconque avec un temps de pause quelconque, donnerait une mêmevisualisation de l’écoulement) : il y a donc identité des trois types de courbes.

Un écoulement stationnaire v( r) (indépendant du temps) est tel que lechamp des vitesses du fluide ne dépend pas explicitement du temps : il yalors identité entre les trajectoires, les lignes de courants et les lignes d’émis-sion.

Nous pouvons caractériser l’écoulement d’un fluide par la connaissancedes lignes d’émission à la date t0 , formées par l’ensemble des points de l’es-pace occupés par des particules passées précédemment en un point donnéM0 .

16

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lit.


Doc. 19. Mise en évidence des lignesd’émission. Tourbillons sur un corps fuseléen incidence. Visualisation par émissionscolorées.


4.5.

1.

d dxx

yy

+ = 0d dxkx

yky−

=+

,

d

d

Yt

kY t= + ( ),

d

d

Xt

kX t= − ( ),

Application 5


Importance du référentiel d’étude

Illustrons cette remarque par les observations précédentes relatives à l’écoulementpermanent d’un fluide autour d’un cylindre solide (cf. § 4.1.2. et 4.2.1.).

Rappelons que le cylindre est en translation avec une vitesse V

0 constante dans lefluide initialement au repos (cf. § 4.2.1.).

Référentiel du cylindre

Dans le référentiel du cylindre, le champ des vitesses ne dépend pas explicitementdu temps : nous avons identité entre les lignes de courants et les trajectoires.

Référentiel du fluide initialement au repos

Dans le référentiel du fluide initialement au repos (cf. § 4.1.2.), le champ desvitesses dépend explicitement du temps : il n’y a plus identité entre les lignes decourants et les trajectoires.

17


Considérer un écoulement bidimensionnel dont le champdes vitesses, défini dans un référentiel (O ; x, y, z), dansla région x > 0 et y > 0, est :

v(r, t) = – kx ex + ky ey .

Que peut-on dire de cet écoulement ?

Déterminer les trajectoires des particules et les lignesde courants.

L’écoulement proposé est stationnaire, il y aura doncidentité entre les trajectoires et les lignes de courants.Les trajectoires sont obtenues par :

soit X = X0 e– kt

et soit Y = Y0 e+ kt,

d’où : XY = X0Y0 .

On obtient une famille d’hyperboles équilatères.Les lignes de courants sont obtenues par :

soit donc xy = cte .

Nous retrouvons bien la même famille de courbes, carnous sommes en régime stationnaire.

Les trajectoires et les lignes de courants sont représentéessur le document 20.

Remarque

Connaissant la trajectoire d’une particule de fluide défi-nie par sa position (X0, Y0) à t = 0 :

X(t) = X0 e– kt et Y(t) = Y0 ekt

On peut retrouver sa vitesse :

= – kX0 e– kt et = kY ekt

et enfin son accélération :

= k2X0 e– kt et = k2Y0 e– kt.

Le § 5 va nous permettre de retrouver ce résultat en uti-lisant le champ des vitesses en formalisme eulérien.

d2Ydt2

d2Xdt2

dYdt

dXdt

Doc. 20. Trajectoires et lignes de courants dans un dièdredroit.

d dxx

yy

+ = 0d dxkx

yky−

=+

,

d

d

Yt

kY t= + ( ),

d

d

Xt

kX t= − ( ),

Écoulement dans un dièdre droit

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55.1.

5.1.1.

5.1.2.

variation particu-

laire dérivation particulaire D

D

Tt

d

dparaT

t=

d

dparaT

t= vα

dd

ddparaT

Tz

t= v ,

dd

ddparaT

Tz

Z=

d

dparaT

t= >αv 0.

d

dparaT

t

d

d

Tz

vgrad T


Dérivation particulaire

Signification physique d’une variation particulaire

Considérons le mouvement de chute d’un parachutiste (doc. 21) ayant une vitessev verticale constante v = v ez avec v < 0 dans une atmosphère où la températureest constante, mais dépendante de l’altitude par la loi :

T(z) = T0 + a z avec a < 0 .

Il existe donc un gradient de température

Supposons que le parachutiste souhaite étudier les variations de température

Tpara : qu’il « voit » au cours de sa chute.

Première méthode

Supposons que le parachutiste atteigne le sol à la date t0 , son altitude Zpara(t) estdonnée par :

Zpara = v (t – t0) avec v < 0 .

L’indication du thermomètre étant instantanée, celui-ci indiquera donc la tempé-rature :

Tpara = T0 + a Zpara = T0 + a v (t – t0) .

Nous obtenons donc

Deuxième méthode

Pendant le temps d t, le parachutiste s’est déplacé de d Z = v d t que nous pouvons

encore écrire d OM—

= vd t . La variation de température correspondante est donnée

par que nous pouvons aussi écrire .

Nous nous imposons d Z = v d t , soit , d’où ou

d Tpara = v . grad—

T d t .

Nous obtenons encore qui s’écrit aussi

Cette variation représente la variation locale de température « vue » par le para-chutiste, considéré comme une particule. Elle porte le nom de

, ou , de la température notée « » pour ne pas la

confondre avec la dérivation partielle par rapport au temps : (grandeur nulle

dans le cas qui nous intéresse) ou encore la dérivée partielle par rapport à l’alti-

tude z : (grandeur égale à a dans le cas présent).∂ T∂ z

∂ T∂ t

D

D

Tt

v . grad—

T .d

dparaT

t=

d

dparaT

t= vα

dd

ddparaT

Tz

t= v ,d OM—

= v d t

d T = grad—

T . d OM—

dd

ddparaT

Tz

Z=

d

dparaT

t= >αv 0.

d

dparaT

t

ez = a ez .d

d

Tz

grad—

T =

18

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z

0

thermomètre

vgrad T

Doc. 21. Le parachutiste étudie l’évolu-tion de la température au cours de sa chute(le thermomètre est supposé donner la tem-pérature instantanée Tpara existant à l’al-titude du parachutiste).


1.

5.2.

5.3.

D

D

Pt

= 0D

D

ρt

= 0

D

D

Tt

=

D

D

Tt

v (M, t)


19

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Ainsi un parachutiste, tenant dans sa main un thermomètre et observant la tempé-

rature varier au cours du temps, mesure en fait la dérivée particulaire . Dans

l’exemple considéré (température stationnaire mais non uniforme), le parachutiste

observe une variation (appelée convective)

Supposons maintenant qu’une fois arrivé au sol, la température se mette à varierau cours du temps. Le parachutiste mesurera alors une évolution locale de la

température = au point où il est tombé.

Dans le cas général, on écrira :

= +

Signification physique d’une variation particulairepour un fluide

L’exemple précédent permet de bien comprendre la notion de dérivation particu-laire. Imaginons un individu (doc. 22) « sur » une particule de fluide : les varia-tions des grandeurs qu’il mesure sont des variations particulaires. Par rapport àcette particule, les dérivations d’une grandeur scalaire g (ou vectorielle G

) seront

notées , ou .

La dérivation particulaire d’une fonction scalaire g s’écrit donc :

= avec r = OM—

et dr = v(r, t ) dt

et de même avec une fonction vectorielle G :

= .

Remarque

Supposons que lors de l’écoulement d’un fluide nous soyons en présence des résul-

tats suivants : ou . Quelle en est la signification physique ?

Lorsque nous suivons une particule de fluide, la masse volumique r de cette par-ticule ne varie pas au cours du temps. Cette particule de fluide étant de masseconstante (par définition), son volume ne varie pas au cours du temps, de même lapression P à laquelle est soumise cette particule de fluide ne varie pas au cours dutemps.

Dérivation particulaire d’une grandeur scalaire gÀ l’instant t, la particule est au point M(OM

—= r = R

(t)).

La grandeur g prend alors la valeur du champ g(r, t) au point r à l’instant t.À l’instant t + dt, la particule s’est déplacée en r = R

(t + dt), donc la grandeur g

prend la valeur :g(r = R

(t + dt), t + dt ).

D

D

Pt

= 0D

D

ρt

= 0

G(r + dr, t + dt ) – G

(r, t)dt

DG

Dt

g (r + dr, t + dt ) – g (r, t )dt

DgDt

D G

D tD gD t

v . grad—

T .∂T∂ t

DTDt

∂T∂ t

DTDt

v . grad—

T .D

D

Tt

=

D

D

Tt

cet individu faitdes mesures locales

sur la particulesur laquelle

il est situé

particulede fluide

v (M, t)

Doc. 22. Mise en évidence de la notion devariation ou de dérivée particulaire.


5.4.

D

D

ρt

=


Le déplacement effectué est (à l’ordre 1 en dt ) :R

(t + dt) – R

(t) = V

(t) dt = v(r , t) .dt .La variation de g, pour la particule est donc :Dg = g(x + vx dt, y + vy dt, z + v z dt, t + dt) – g(x, y, z, t)

= vx dt . + vy dt + v z dt + dt .

Elle tient compte de l’écoulement du temps et du déplacement de la particule defluide. Nous en déduisons que :

Nous pourrons ainsi écrire la dérivation particulaire de la masse volumique :

+

Dérivation particulaire d’une grandeur vectorielle G

Conservons les mêmes notations que précédemment, et considérons une grandeurvectorielle G

(r, t) (formalisme eulérien), G

pouvant représenter par exemple la

vitesse v(r, t).

Écrivons G

sous la forme : G

= Gx ex + Gy ey + Gz ez . Les vecteurs ex , ey et ez ,qui représentent les vecteurs unitaires fixes (repère cartésien orthonormé) du réfé-rentiel dans lequel nous travaillons, sont invariants au cours du temps, et donc :

= ex + ey + ez .

En reprenant l’expression symbolique en coordonnées cartésiennes :

= vx + vy + vz et en utilisant le § 5.3.

= + v . grad—

(Gx ex + Gy ey + Gz ez).

En conclusion :

La dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle G

est donnée par :

DDG

t=

∂∂t

+ v . grad—

G

.

Cette dérivée particulaire se décompose encore en :

• (v . grad—

)G

la dérivée convective de G

qui indique un caractère non uni-forme de G

;

• ∂∂G

tla dérivée locale de G

qui indique un caractère non permanent de G

.

∂∂t

D G

D t

∂∂z

∂∂y

∂∂x

(v . grad—

)

D Gz

D t

D Gy

D t

D Gx

D t

D G

D t

v . grad—

r .∂r∂ t

D

D

ρt

=

∂g∂t

∂g∂z

∂g∂y

∂gdx

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La dérivation particulaire d’une grandeur scalaire est égale à :DD

gt

= ∂∂

gt

+ vx∂∂

gx

+ vy∂∂

gy

+ v z∂∂

gz

= ∂∂

gt

+ v . grad—

g =∂∂t

+ v . grad—

g.

Cette dérivée particulaire se décompose en :

• (v . grad—

)g la dérivée convective de g qui indique un caractère non uni-forme de g ;

• la dérivée locale de g qui indique un caractère non permanent de g.∂g∂ t


5.5.

champ d’accélération

1.

er

e

ex

ey

ez

ez

er

er

e

e

ex

ey

ez

er

e

eθ

u

ϕ


• En coordonnées cartésiennes, l’expression développée s’écrit donc :

En coordonnées autres que cartésiennes, l’expression = + v . grad—

G

reste valable, et s’écrit par exemple (doc. 23) :• en coordonnées cylindriques :

= + vr + vq + vz (Gr er + Gq eq + Gz ez ) ;

• en coordonnées sphériques :

= + vr + vq + vj (Gr er + Gq eq + Gj ej) ;

en n’oubliant pas que les vecteurs er , eq et ej sont eux-mêmes dérivables parrapport aux variables d’espace.

Application : accélération d’une particuleL’accélération d’une particule de fluide, de position R

(t), de vitesse V

(t), est :

A

(t) = = .

Tenant compte des positions successives de la particule qui se déplace dedr = v(M, t) dt, nous pouvons écrire en utilisant le champ eulérien des vitesses :

A

(t) = = avec dr = v(M, t) dt.

L’accélération de la particule s’identifie tout naturellement à la dérivée particulairedu champ des vitesses v(r, t). Nous définissons alors le :

a(r, t) = = + (v . grad—

)v.

Nous aurons pour la particule :

A

(t) = a(r = R

(t), t).

En utilisant les coordonnées cartésiennes, on peut démontrer que :

(v . grad—

)v = grad—

+ rot—(v) v,

relation valable quel que soit le système de coordonnées.

Le champ d’accélération du fluide se déduit du champ de vitesse par déri-vation particulaire :

a(r, t ) = DD

v

t= ∂

∂v

t+ (v. grad

—)v.

Cette dérivée particulaire se décompose en :• v. grad

—v, la dérivée convective de la vitesse qui indique un caractère

non uniforme de la vitesse ;

• ∂∂v

t, la dérivée locale qui indique un caractère non permanent de cette

vitesse.

v2

2

∂v

∂tDv

Dt

Dv

Dtv(r + dr, t + dt) – v(r, t)

dt

V

(t + dt) – V

(t)dt

dV

(t)dt

∂∂j

1r sin q

∂∂q

1r

∂∂r

∂∂ t

DG

Dt

∂∂z

∂∂q

1r

∂∂r

∂∂ t

DG

Dt

∂∂ t

DG

Dt

21

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vx + vy + v z

= + vx + vy + v z

vx + vy + v z∂Gz∂z

∂Gz∂y

∂Gz∂x

∂Gz∂ t

DGzDt

∂Gy∂z

∂Gy∂y

∂Gy∂x

∂Gy∂ t

DGyDt

∂Gx∂z

∂Gx∂y

∂Gx∂x

∂Gx∂ t

DGxDt

x

y

erH

e

θ

z

x

yr

ex

ey

ez

ez

er

erH

M

Oe

e

θ

ex

ey

ez

z

x

y

r

H

O

M

ϕ

θ

er

e

eθ

u

ϕ

Doc. 23. Systèmes d’axes utilisés.a. Coordonnées cylindriques.b. Coordonnées sphériques.

a)

b)


aV t

tk X

tk X k X t

aV t

tk Y

tk Y k Y t

xx

ktkt

yy

ktkt

= = − = =

= = = =

−−

+−

d

d

d e

de

d

d

d e

de

( ) ( )( )

( ) ( )( )

.

0 20

2

0 20

2

Application 6


Illustrons le terme convectif par l’exemple d’un rapide de rivière.

Plaçons-nous en régime stationnaire : la vitesse du fluide en chaque point de larivière garde une valeur constante au cours du temps : v(r, t) = v(r). La vitesse

ne dépend pas explicitement du temps donc le terme d’accélération en est nul.

Les lignes de courants s’identifient alors aux trajectoires des particules (doc. 24a).Le lit de la rivière ayant une section plus faible au niveau du point B, nous savons« intuitivement » que la vitesse en B est supérieure à la vitesse en A. Une particulede fluide, suivie de A en B, voit sa vitesse augmenter : elle a nécessairement accé-léré, alors que le champ des vitesses du fluide ne dépend pas explicitement dutemps. En régime stationnaire, l’accélération est purement convective, c’est-à-direliée au mouvement ou convection du fluide.

RemarqueSur le document 24b, nous avons tracé l’évolution d’une ligne de fluide : celle-ciest très déformée, mais le champ des vitesses en section est quasiment uniforme.

∂∂ t

L’accélération A

(t) = a(r = R

(t), t ) de la particule de fluide tient ainsi compte :– du caractère non uniforme du champ des vitesses ;– du caractère non permanent de ce champ.

Remarque : (v. grad—

)v = grad v22

+ rot v v.

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ligne de fluide initiale

ligne de courants

ligne de fluidechamp des

vitesses

Doc. 24b. Évolution des lignes de fluided’un liquide lors d’un rétrécissement.

A

B

Doc. 24a. La conduite subit un rétrécis-sement : le fluide en régime permanent estaccéléré.

Soit l’écoulement bidimensionnel (cf. application 5) dontle champ des vitesses, défini dans la région x > 0 et y > 0,est v(M, t) (– kx, ky) dans un référentiel (O ; x, y, z).

Déterminer l’accélération d’une particule de fluide.

Travail en formalisme eulérien

ax = = – kx + ky (– kx) = k2x

ay = = – kx + ky (+ ky) = k2y

ce qui donne a = k2 OM—

.

Travail en formalisme lagrangienLes trajectoires de cet écoulement sont données par :

X = X0 e– kt et Y = Y0 e+ kt.

Calculons la vitesse V

(t) (formalisme lagrangien) :

Vx(t) = = – kX0 e– kt = – kX(t)

Vy(t) = = + kY0 e+ kt = + kY(t)

et l’accélération a :

Nous obtenons bien les mêmes résultats pour :r = R

(t) = X(t) ex + Y(t) ey .

aV t

tk X

tk X k X t

aV t

tk Y

tk Y k Y t

xx

ktkt

yy

ktkt

= = − = =

= = = =

−−

+−

d

d

d e

de

d

d

d e

de

( ) ( )( )

( ) ( )( )

.

0 20

2

0 20

2

dYdt

dXdt

∂∂y

∂∂x

∂∂ t

DvyDt

∂∂y

∂∂x

∂∂ t

DvxDt

Écoulement dans un dièdre droit


1.


Remarquons qu’un calcul systématique de l’accélération d’une particule de fluideutilisant la dérivation particulaire est parfois inutile, surtout en coordonnées cylin-driques, ce que nous pouvons voir sur l’exemple suivant.

Soit à calculer l’accélération d’une particule de fluide pour un écoulement de fluideplan dont le champ des vitesses en formalisme eulérien est donné par :

v(r, t) = v (r, t) eq .

• L’utilisation de la dérivation particulaire nous donne :

a= + v(r, t) . grad—

(v (r, t ) eq ) = + v (r, t) (v (r, t) eq )

= eq + (eq ) = eq – er ,

car = – er

Remarque : Les variables d’espace et de temps étant des variables indépendantes,il ne faut pas faire intervenir des dérivations par rapport au temps des vecteursunitaires er et eq .

• Les lignes de courants et les trajectoires sont des cercles (vr = 0

). Sur une trajec-toire de rayon R = r (R indépendant du temps), la vitesse lagrangienne de la parti-cule en M est donnée par V

(t) = V(t) eq (t). Cette vitesse dépend explicitement du

temps, l’accélération de la particule est donnée par :

A

(t) = = eq – er ,

expression classique de l’accélération calculée en formalisme lagrangien. Cetteexpression est bien identique à :

a = eq – er ,

Pour s’entraîner : ex. 3, 4, 6 et 7.

v2 (r, t)r

∂v (r, t)∂ t

V 2(t)R

dV(t)dt

dV

(t)dt

∂eq∂q

v2 (r, t)r

∂v (r, t)∂ t

∂∂q

v2 (r, t)r

∂v (r, t)∂ t

∂∂q

1r

∂∂ t

∂∂ t

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DESCRIPTION LAGRANGIENNE D’UN FLUIDE

DESCRIPTION EULÉRIENNE D’UN FLUIDE

CONCLUSION

ÉCOULEMENT D’UN FLUIDE

C Q F R


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L’échelle de la particule de fluide, échelle mésoscopique, est intermédiaire entre l’échelle microscopique etl’échelle macroscopique. Elle permet d’associer à cette particule des grandeurs macroscopiques qui décrivent lefluide comme un milieu continu.

Le mouvement du fluide est entièrement décrit par la connaissance des trajectoires R

i(t) de chacune des

particules du fluide. La vitesse de ces particules est donnée par avec R

i(t) la position à la

date t de la particule initialement en R

i(0) à la date t = 0.

Ces vitesses, associées à des particules de fluide, ne dépendent explicitement que du temps et des coordonnées ini-tiales de la particule, donc de R

(t).

Le mouvement du fluide est entièrement décrit par la connaissance des vitesses des particules de fluide passant enun point M donné de l’espace à la date t : v(M, t).

• Les coordonnées d’espace et de temps sont des variables indépendantes.

• Ce formalisme est utilisé pour décrire l’évolution d’autres grandeurs caractéristiques du fluide au cours du tempstelles que sa pression P(M, t), sa température T(M, t), …

• L’approche eulérienne décrit l’état du fluide en mouvement en lui associant des champs : champ des vitesses,champ de pression, champ de température, …

• En formalisme eulérien : v(M, t) ou v(r, t) avec r = OM—

.

• En formalisme lagrangien : la particule considérée est celle dont la trajectoire est en R(t) = OM

—

à la date t.

• Les deux approches sont cohérentes : V(t) = v(r = R

(t), t).

• L’écoulement d’un fluide se caractérise par :– les trajectoires des particules : la trajectoire d’une particule est formée de l’ensemble des points de l’espacequ’elle occupe au cours du temps ;– les lignes de courants : à t0 donné, une ligne de courants est une courbe à laquelle le vecteur vitesse est tangenten tout point ;– les lignes d’émission : à t0 donné, une ligne d’émission est formée par l’ensemble des points de l’espace occu-pés par des particules passées précédemment par un point donné M0 .

• L’équation différentielle vérifiée par les trajectoires des particules de fluide s’écrit :

= = = d t .

La constante d’intégration permet d’identifier la particule qui passe en M à la date t.

d Z

v z(X(t), Y(t), Z(t), t)

d Y

vy(X(t), Y(t), Z(t), t )

d X

vx(X(t), Y(t), Z(t), t)

d R

(t)d t

V

(t) =

d R

i(t)d tV

(R

i(t), t) =

C Q F R


1.

DÉRIVATION PARTICULAIRE

C Q F R


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• Nous pouvons caractériser l’écoulement d’un fluide par la détermination des lignes de courants (ligne de champdu champ des vitesses eulérien des particules de fluide) à la date t0 , dont l’équation différentielle s’écrit :

= = .

• Un écoulement stationnaire v(r) est tel que le champ des vitesses du fluide ne dépend pas explicitement du temps.Il y alors identité entre les trajectoires, les lignes de courants et les lignes d’émission.

• La dérivation particulaire d’une fonction scalaire g s’écrit :

=

et de même avec une fonction vectorielle G

:

=

avec dans les deux cas r = OM—

et dr = v(M, t) dt.

• La dérivation particulaire d’une grandeur scalaire est donnée par :

= + v . grad—

g = + v . grad—

g.

La dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle G

est donnée par :

= + v . grad—

G

.

Ces dérivées particulaire se décomposent en :

• v . grad—

g la dérivée convective qui indique un caractère non uniforme de la grandeur ;

• la dérivée locale qui indique un caractère non permanent de la grandeur.

Le champ d’accélération du fluide se déduit du champ de vitesse par dérivation particulaire :

a(r, t) = = + (v . grad—

) v.

L’accélération A

(t) = a(r = R

(t), t) de la particule de fluide tient ainsi compte :– du caractère non uniforme du champ des vitesses ;– du caractère non permanent de ce champ.

∂v

∂ tDv

D t

∂g∂ t

∂∂ t

DG

D t

∂∂ t

∂g∂ t

DgD t

G

(r + dr, t + d t) – G

(r, t)d t

DG

D t

g (r + dr, t + d t) – g(r, t)d t

DgD t

dzvz (x, y, z, t0)

dyvy (x, y, z, t0)

dxvx (x, y, z, t0)

C Q F R


Contrôle rapide

Avez-vous retenu l’essentiel ?

Du tac au tac (Vrai ou faux)

Relier les courbes suivantes, leur définition et leur équation différentielle.

L’accélération d’une particule de fluide est donnée par :


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lit.

Qu’est-ce que l’échelle mésoscopique ?

Définir une particule de fluide.

Quel est le point de vue lagrangien ?

Quel est le point de vue eulérien ?

Définir les notions de trajectoire, de lignes de courants et de lignes d’émission.

Savez-vous calculer la dérivée particulaire d’un scalaire et d’un vecteur ?

Exprimer l’accélération d’une particule de fluide.



1.

2.

a. Courbe à laquelle la vitesse esttangente à chaque instant en tout point.

b. Courbe à laquelle la vitesse esttangente en tout point à un instant donné.

c. Ensemble des positions occupées parune particule au cours du temps.

d. Ensemble des points occupés par lesparticules qui passeront par le point M0.

e. Ensemble des points occupés par lesparticules qui sont passées par le point M0.

a. = = = dt.

b. =

= = d t .

g. = = .

d. = = .dzvz (x, y, z, t)

dyvy (x, y, z, t)

dxvx (x, y, z, t)

dZX(t)

dYX(t)

dXX(t)

d Z

v z(X(t), Y(t), Z(t), t)

d Y

vy(X(t), Y(t), Z(t), t )

d X

vx(X(t), Y(t), Z(t), t)

dzv z

dyv y

dxv x

a. a = – grad—

+ rot— v v

b. a = – grad—

+ rot— v v

c. a = + v. (grad—

v)

d. a = + (v. grad—

) v

e. a = – grad—

+ rot— v v

f. a = + grad—

+ rot— v v

Solution, page 28.

v2

2∂v

∂ t

v2

∂v

∂ t

∂v

∂ t

∂v

∂ t

v2

2dv

d t

v2

2∂v

∂ t

1. Trajectoire d’une particule.

2. Ligne de courants.

3. Ligne d’émission.


*

*

θ

er

e

Exercices


Champ des vitesses et accélérationen formalisme eulérien

1) Écrire en formalisme eulérien le champ des vitesses d’unfluide qui s’écoule d’un tube ayant la forme d’un quart decercle de rayon R avec les caractéristiques suivantes :• la vitesse d’une particule est orthoradiale ;• les vitesses des particules, à l’instant t, sont identiques ennorme.

La surface libre du fluide dans le tube est repérée par l’anglea (t).

2) Calculer l’accélération d’une particule de fluide.

Champ eulérien des vitesses d’un fluidedans un tube en U

Donner l’expression duchamp des vitesses d’unfluide dans un tube en Usachant que la vitesse estidentique en norme, àl’instant t, pour toutesles particules.

La surface libre dufluide dans le tube dedroite est repérée par sacote z(t).

Recherche du champ des vitessesen formalisme eulérien

Soit un écoulement défini en formalisme lagrangien sous laforme :

X(t) = X0(1 + b t) avec b constantY(t) = Y0 .

Déterminer l’accélération d’une particule, directement et enutilisant le formalisme eulérien.

Lignes de courants et trajectoires

Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté

vers le haut, défini par v =

Déterminer les trajectoires, les lignes de courants et la ligned’émission issue du point (0, 0).

Champ des vitesses dans un dièdre

Soit un référentiel ′(O′; x′, y′, z′) en translation de vitesseV

0 = V0 ey par rapport au référentiel (O ; x, y, z). Dans′, un écoulement possible d’un fluide dans le dièdre droit

(O′, x′, y′) (les parois (O′x′) et (O′y′) devenant alors mobilespar rapport au référentiel ) est décrit par le champ desvitesses :

Déterminer l’équation dans :

• de la trajectoire de la particule passant à t0 en M0 (x0 , y0) ;

• de la ligne de courant passant à t0 par M0 (x0 , y0) ;

• de la ligne d’émission passant à t0 par M0 (x0 , y0).

Écoulement entre deux cylindres

L’écoulement d’un fluide entre deux cylindres concentriques,de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur axe commun auxvitesses angulaires W1 et W2 peut être décrit par le champ des

vitesses v eq .

1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuitédes vitesses du fluide et des cylindres en R1 et R2 .

2) Commenter le cas W1 = W2 .

3) Déterminer l’accélération d’une particule de fluide.

On donne rot— ( f (r) eq ) = ez .∂(r( f (r))∂r

1r

= +

Ar

Br

′ − ′

x yτ τ

, , .0v′

vv v

== − +

x

z

ugt0

0.

z

z(t)

– z(t)

0

z’

θα (t)

M

surfacelibre

Rx

y

θ

er

e

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Exercices

T

Solution du tac au tac, page 26.1 → cb ; 2 → bd ; 3 → e Vrai : d, f ; Faux : a, b, c, e

Corrigés


Calcul de l’accélération d’une particulede fluide

On considère l’écoulement d’un fluide entre l’infini et le plany = 0 animé d’un mouvement oscillant de la forme :

X = a sin ω t.On propose un champ des vitesses du fluide de la forme :

v(x, y, t) = a w e–ky cos(w t – ky) ux = v (y, t) ex .

Déterminer l’accélération d’une particule de fluide.

y

xy = 0

plan oscillant

fluide

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1) On repère le point M par un système de coordonnées polaires (er , eq ).

Les particules possèdent toutes la même vitesse en norme, égale à Ra•(t). La vitessev(M, t) en formalisme eulérien est donnée par l’expression suivante :

v(M, t) = Ra• (t) eq avec a•(t) = .

Remarque

Il y a ici nécessité d’utiliser deux notations a et q (ou deux systèmes de coordonnées),car a (t) représente le niveau du fluide et q la cote du point M. La dépendance dev(M, t) en fonction des coordonnées d’espace se fait par l’intermédiaire de eq , et dutemps par l’intermédiaire de a•(t). a (t) est la coordonnée repérant le niveau du fluideet q la coordonnée eulérienne.

2) Sachant que v(M, t) = v(r, t) = Ra• (t) eq , l’accélération de la particule est don-née par :

a(r, t) = Ra•• (t) eq – Ra• 2(t) er ,

que le calcul soit effectué en formalisme eulérien ou lagrangien.

On repère le point M par une abscisse curviligne s. La vitesse v(M, t) en for-

malisme eulérien est donné par l’expression suivante :

v(M, t) = z• (t) T

.

Remarques

• Il y a nécessité d’utiliser encore deux systèmes de coordonnées, car z représente leniveau du fluide et s la cote du point M.

• La dépendance de v(M, t) en fonction des coordonnées d’espace se fait par l’in-termédiaire de T

, et en fonction du temps par l’intermédiaire de z• (t).

La vitesse d’une particule est donnée par V

(t) = ce qui donne,

puisque = 0,

V

(t) = ex = X0 bex , soit V

(t) = X0 bex .d X(t)d t

d Y(t)d t

d R

(t)d t

zs

z(t)

– z(t)

0

z’

coordonnéespermettantle repéragedu point M

s = L + z(L représentela longueurde la portionde fluide)

coordonnéespermettantle repéragedu fluide

s = 0

s = z

T

M

dadt

1. 2.


lignes de courant à t = t2

t = t2

1.


Sachant que , l’expression de la vitesse en formalisme eulérien

s’écrit . Le champ des vitesses est non stationnaire.

L’accélération d’une particule est nulle, car V

(t) ne dépend pas du temps.

Le calcul de l’accélération en formalisme eulérien donne a = a (x, t )ex , avec :

a (x, t ) = + v = +

= – + = 0.

On trouve donc le même résultat que précédemment.

Trajectoire

Pour la particule, dX = u0 d t et dZ = (v 0 – gt) dt ,

donc : X = X0 + u0 t et Z = Z0 – gt2 + v0 t .

En éliminant le temps, la trajectoire de la particule qui est passée en (X0 , Z0) à t = 0est la parabole d’équation :

Z = Z0 + (X – X0) – (X – X0 )2 .

Ligne de courantÀ l’instant t, le long d’une ligne de courant :

= ,

donc, par intégration à t donnée, la ligne de courant passant au point (x0 y0) est ladroite d’équation :

z = z0 + (x – x0 ).

Ligne d’émissionPour la particule qui est passée en (X0, Z0) à l’instant t0 , la position à l’instant t est :

X = X0 + u0 (t – t0 ) et Z = Z0 + v 0 (t – t0 ) – (t – t0 )2.

La ligne d’émission est obtenue, à l’instant t, en éliminant l’instant de départ t0, cequi donne :

Z = Z0 + (X – X0) – (X – X0 )2 .

Il se trouve qu’éliminer t0 conduit aussi à éliminer t : les lignes d’émission sont ici« figées » et s’identifient aux trajectoires.Pour la ligne d’émission issue de (X0, Z0) = (0, 0), cette parabole est :

Z = X – X2.

Sur le graphique ci-après, on visualise à la fois les trajectoires et les lignes de cou-rants à diverses dates (t2 t1).

Le champ des vitesses dans s’obtient par composition des vitesses :

v(M)/ = v(M)/ ′ + ve (M), soit v = v′ + V0 ey

(avec x = x ′ et y = y ′ + V0 t), d’où :

Trajectoire

Elle s’obtient par intégration des équations différentielles :

et ,

soit : = et = – .

avec les conditions initiales x(t0 ) = x0 et y(t0 ) = y0 . L’équation paramétrée de la tra-jectoire recherchée est :

x = x0 e+ t–

tt0

(1) et y = V0 t + (y0 – V0 t 0 ) e– t–

tt0

(2)En éliminant t entre les deux équations, on obtient la trajectoire y = f (x) :

La trajectoire est représentée sur la courbe ci-dessous ; elle pourrait être visualisée,pour une particule « marquée », sur une photo à très long temps de pose.

y

x

M0

y V t Vxx

xy V t

x= +

+ −0 0 0

00

0 0 0τ ln .

d tt

d(y – V0 t)y – V0 t

d tt

dxx

d

d

yt

Vy V t= − −

00

τd

d

xt

x=τ

vx y V t

Vτ τ

, , .− − +

00 0

trajectoires

t = 0

lignes de courant à t = t2

lignes decourant à t = t1

t = t1

t = t2

X0, Z0

X0i, Y0i

g

u02

12

v 0u0

g

u02

12

v 0u0

g2

v 0 – gtu0

dzv 0 – gt

dxu0

g

u02

12

v 0u0

12

x b2

(1 + b t)2x b2

(1 + bt )2

∂1

x+

bb t

∂xx b

1 + b t

∂1x+bbt

∂ t∂v∂x

∂v∂ t

bexx

1 + btv(r, t) =

bexX(t)

1 + btV

(t) =

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Corrigés


Ligne de courant

Elle s’obtient par intégration, à l’instant t0 , de l’équation différentielle :

soit x (y – V0(t0 – t)) = cte = x0 (y0 – V0(t0 – t )) .

C’est l’équation d’une hyperbole (qui n’est pas tangente à la paroi mobile !). La lignede courants passant par M0 , à t0 , a été représentée sur la courbe ci-dessous : on peutla visualiser sur une photo à très court temps de pose, prise à l’instant t0 . Des parti-cules marquées laissent alors sur la plaque photo des traces vectorielles proportion-nelles à leur vecteur vitesse instantanée, et dirigées suivant cette vitesse ; il faudraitalors construire une ligne tangente à ces vecteurs partant de M0 .

Ligne d’émission

Elle caractérise, à une date t donnée, l’ensemble des particules étant passées par lepoint M0 à des dates antérieures. On l’obtient donc, à la date t, en éliminant t0 entreles deux équations (1) et (2) qui représentent la trajectoire de toute particule passantpar M0 , avec t0 comme paramètre.

L’équation (1) donne soit :

y = V0 t + y0 – V0 t + V0 t ln .

Cette équation représente, à la date t, l’équation y = g(x) de la ligne d’émission.

On remarque qu’elle n’est valable que pour x > x0 . La partie de la courbe corres-pondant à x < x0 pourrait être appelée « ligne d’absorption » : elle représente l’en-semble des particules qui iraient passer par le point M0 à une date postérieure à t si laligne d’émission ne fluctuait pas.

La ligne d’émission demandée correspond à la date t0 . Son équation est donc :

Elle est représentée sur la courbe ci-dessous et, une source de traceurs colorés ayantété placée en M0 , pourrait être visualisée par une photo à court temps de pose, priseà l’instant t0 .

La superposition des trois simulations précédentes montre que les trois courbes pas-sant par un même point M0 , sont toutes tangentes entre elles en ce point : il n’y a, àl’instant t0 , qu’une seule vitesse en M0 !

1) En écrivant on obtient :

et

2) Si W1 = W2 , v = W

Ÿ r , on a un mouvement de rotation « en bloc » du fluide quis’apparente à celui d’un solide.

3) En adoptant la formule il vient :

On retrouve l’accélération d’un mouvement circulaire uniforme : en effet, les lignesde courants, donc les trajectoires, sont des cercles de rayon r. En conception lagran-gienne, R(t) = r = cte et la vitesse lagrangienne apparaît comme étant de la formeV

= v = v (r) eq , c’est-à-dire indépendante du temps.

On remarque que pour y = 0, v(x, y, t) = a w cos(w t) ux = ex ; c’est-

à-dire que la vitesse du fluide en y = 0 est égale à la vitesse du plan oscillant .

Calcul de l’accélération :

=

L’accélération est purement locale, car les lignes de courants sont des droites coli-néaires à l’axe (Ox) ; de plus, la vitesse ne dépend pas de la variable x .

ex = – a w2e– ky sin(w t – ky) ex .∂ v (y, t)

∂ t∂ v

∂ t= (v. grad

—) v+

D v

D t

d Xd t

er .−+

Ar

Br

r

2

=

er− + +

A rBr

ABr

22

32

er =ArBr

+

er – 2 AA r

Br

22

3−

=

eqArBr

+

er + 2 Aez ∧= +

1

2

2d

d rAr

Br

D v

D t

+ rot—(v) ∧ vv 2

2

(v. grad—

) v= grad—

BR R

R R= −

−Ω Ω1 2 1

222

22

12

( ).A

R RR R

= −−

Ω Ω2 22

1 12

22

12

ARBR

R et ARBR

R11

1 1 22

2 2+ = + =Ω Ω ,

y

M0

x

trajectoire

ligne de courants

ligne d’émission

x

y

M0

y V t y V t Vxx

xx

= + − +

0 0 0 0 0 0

0

0τ ln .

x0x

xx0

t txx0

0

= −

τ ln ,

x

y

M0

d dxx

yy V t V

= −− +0 0 0τ

,

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22

O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S


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Conservationde la masse 2

Écriture d’un bilan massique. Équations de conservation de la masse,intégrales et locales.

Formalisme eulérien. Dérivation particulaire. Calcul du flux d’un vecteur.

Si nous observons l’écoulement d’un fluide sans eninjecter ou en soutirer,sa quantité donc sa masse,

n’est pas modifiée par son déplacement.

En suivant cette évolution, nous devons traduirela conservation de la masse qui doit être

implicitement contenue dans la cinématiquede l’écoulement.

Nous abordons ici cette contrainte,ainsi que les bilans de masse ou volume associés

à l’écoulement d’un fluide.


11.1.

densité volumique de courant de masse

v(P, t)

N

v(P, t)

N

v(P, t)

dS = dSN


Débit massique

Définition

Prenons une surface orientée S

fixe dans le référentiel d’étude. Appelons δ m lamasse élémentaire qui traverse cette surface S

pendant le temps δ t . Par défini-

tion, cette masse δ m est égale à δ m = Dm δ t , où Dm représente le débit mas-sique du fluide à travers cette surface.

Le débit massique Dm s’exprime donc en kg.s– 1.

Déterminons cette quantité Dm .

Les particules de fluide, qui traversent un élément de surface d S

= d S N

(N

repré-sente la normale à cet élément de surface) centré en P, pendant le temps δ t , sontcontenues dans un cylindre de base d S , de génératrice parallèle à v(P, t) et delongueur δ = v(P, t) δ t , donc de volume égal à (doc. 1) :

d t = v(P, t) . d S

δ t = v(P, t) . N

d S δ t .

Ce qui correspond à une masse r (P, t) d t = r (P, t) v(P, t) . d S

δ t , donc à undébit massique élémentaire :

d Dm = r (P, t) v(P, t) . d S

= r (P, t) v(P, t) . N

d S .

Le débit massique à travers une surface S finie orientée (fermée ou non) est donnépar la somme de ces débits élémentaires, et nous obtenons (doc. 2) :– pour une surface non fermée :

Dm = r (P, t) v(P, t) . d S

= r (P, t) v(P, t) . N

d S ,

surface S surface Snon fermée non fermée

le débit étant par définition positif si le fluide s’écoule dans le sens de N

;

– pour une surface fermée :

Dm = r (P, t) v(P, t) . N

d S ;

surface Sfermée

c’est un débit massique (algébrique) sortant, la normale N

étant orientée vers l’ex-térieur de la surface S fermée (doc. 3).

Soulignons l’analogie de cette définition avec celle de l’intensité électrique j

= r v

traversant une surface orientée en définissant le vecteur j

(P, t) = r (P, t) v(P, t) quiest la .

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v(P, t)

N

surface non fermée S

ρ (P, t)

P

Doc. 2. Expressions intervenant dans ledébit massique à travers une surface S nonfermée.

v(P, t)

N

surface S fermée, sanormale étant orientéede l’intérieurvers l’extérieur

ρ (P, t)P

Doc. 3. Expressions intervenant dans ledébit massique sortant de la surfacefermée.

Le débit massique à travers S vaut Dm = j(P, t) . N

d S .

surface Snon fermée

Le débit massique sortant (algébrique) vaut Dm = j(P, t) . N

d S avec

surface Sfermée

j(P, t) = (P, t) v(P, t) la densité volumique de courant de masse.

v(P, t)

dS = dSNN

= v (P, t) tδδ

Doc. 1. Les particules qui traversent d Ssont situées dans le cylindre.


1.2.

1.3.

surface de contrôle

volume de contrôle

22.1.

2.1.1.

2.

un puitsponctuel

une sourceponctuelle

N


Sources et puits

En certains points ou certaines zones d’un écoulement de fluide, il existe parfoisdes apparitions de masse (sources) ou disparitions de masse (puits). Celles-ci sontcaractérisées par un débit massique Dm, sources (souvent défini de manière algé-brique) : ces éléments ponctuels ou linéiques (quelques fois volumiques) fournis-sent une masse Dm, sources δ t pendant le temps δ t .

Exemple de source et de puits

Lors du remplissage (et de la vidange) d’un réservoir à l’aide de deux tuyaux, nouspouvons modéliser la situation avec une source et un puits ponctuels (doc. 4).

Nous conviendrons de désigner ces éléments par le terme de « sources » : ils serontdonc caractérisés par des débits massiques (algébrique) positifs ou négatifs.

Souvent ces sources sont représentables par un flux massique à travers une surfaceS de petite dimension.

Surface de contrôle et volume de contrôle

Une est une surface fixe dans le référentiel d’étude (doc. 5) ;c’est ce que nous avons considéré dans les calculs précédents.

Une surface de contrôle est une surface fermée. Elle délimite donc un certain volumeappelé .

Bilan de masse : équation intégrale

Équation générale dans un milieu sans sources

Considérons un volume V fixe (volume de contrôle) de l’espace occupé par lefluide, délimité par une surface fermée S fixe (surface de contrôle) dans le réfé-rentiel d’étude (doc. 6), la normale N

étant orientée vers l’extérieur.

Dans ce référentiel, la vitesse du fluide est donnée par v(P, t) au point P et à l’ins-tant t.

Supposons qu’il n’existe aucune source (de masse) dans ce volume.

La masse de fluide m(t) contenue à tout instant dans ce volume V s’écrit :

m(t) = r (M, t) d t .

volume V

Du fluide entre et sort continuellement de ce volume V en traversant la surface decontrôle fixe qui le limite : la masse m(t) dépend donc du temps.

Variation de masse d m , pendant le temps d t , du fluidesitué dans le volume de contrôle V fixe

Pour un volume élémentaire dt , contenant la masse d m = r (M,t) d t , la varia-

tion δ (d m) pendant le temps δ t est telle que δ (d m) = d t δ t .∂ r (M, t)

∂ t

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Conservation de la masse

en ce point existecaractérisé par un

débit massique « sortant » D2(négatif)

en ce point existecaractérisée par un

débit massique « entrant » D1(positif)

Doc. 4. Exemple de source et de puits ponc-tuels : remplissage D1 et vidange D2d’un réservoir contenant une certainemasse de fluide à l’aide de deux tuyaux.

z

x O y


Doc. 5. Le fluide traverse la surface decontrôle fixe dans le référentiel d’étude.

N

Md

volume V

surface S

τ

Doc. 6. La surface S fermée (et fixe) déli-mite un volume V fixe. La normale estorientée vers l’extérieur.


variation localedérivation partielle

2.1.2.

N

v(P, t)


Remarque

Il est essentiel de bien comprendre qu’ici nous ne suivons pas une particule, maisqu’ayant « l’œil fixé » sur le volume élémentaire d t fixe entourant le point Mfixe, nous observons la variation de masse qu’il contient au cours du temps. Lavariation de masse volumique est donc bien ici une , à laquellenous associons la par rapport au temps.

La masse totale m(t) du fluide situé dans le volume V a donc varié pendant letemps δ t de :

δ m = d t δ t .

volume V fixe

Quantité de masse d m entrant à travers la surface S fixedélimitant le volume V pendant d t

Cette variation de masse correspond à la masse de fluide qui a traversé la surfacede contrôle S de l’extérieur vers l’intérieur pendant le temps δ t , c’est-à-dire :

δ m = – Dm, sortant δ t .

Elle s’exprime sous la forme :

δ m = – r (P, t) v(P, t) . N

d S δ t .

surface S ferméefixe délimitant V

Ce qui nous donne une équation intégrale de conservation de la masse en égalantles deux expressions de δ m :

d t + r (P, t) v(P, t) . d S

= 0 ,

volume V surface S ferméefixe fixe délimitant V

avec d S

= N

d S et N

orientée vers l’extérieur de la surface fermée.

Pour s’entraîner : ex. 6 et 7.

∂ r (M, t)∂ t

∂ r (M, t)∂ t

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Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V sanssource (doc. 7) se traduit par l’équation intégrale de conservation de lamasse :

d = – Dm, sortant ,

volume V

soit :

d + (P, t) v(P, t) . N

d S = 0


s’il n’existe aucune source dans ce volume.

(M, t)t

(M, t)t

N

v(P, t)

V

S fermée

P

M

Doc. 7. Bilan de masse associé à un volumede contrôle V fixe.


2.2.

2.3.

∂∂

ρt

= 0

2.


Équation générale dans un milieu avec sources

S’il existe des sources (situées dans le volume de contrôle V ) caractérisées par undébit massique algébrique Dm, sources , l’augmentation de masse δ m du volumeV correspond à la masse de fluide qui a traversé la surface fermée S de l’extérieurvers l’intérieur pendant le temps δ t (c’est-à-dire que δ m1 = – Dm, sortant δ t), aug-mentée de la quantité δ m2 = Dm,sources δ t .

Elle s’exprime donc :

δ m = – r (P, t) v(P, t) . N

d S δ t + Dm, sources δ t .

surface S ferméefixe délimitant V

Ce qui nous donne donc une équation intégrale de conservation de la masse :

d t + r (P, t) v(P, t) . N

d S = Dm, sources

volume V surface S ferméedélimitant V

avec d S

= N

d S et N

orientée vers l’extérieur de la surface fermée.

Cas d’un régime stationnaire :conservation du débit massique

En régime permanent indépendant du temps (ou stationnaire), nous avons :

(r ne dépend pas explicitement du temps :

r (M, t) = r (M)).

L’équation de conservation de la masse s’écrit donc :Dm, sortant = Dm, sources .

Il y a conservation du débit massique : tout ce qui arrive dans le volume V (ou enpart) doit traverser la surface fixe délimitant ce volume.

∂∂

ρt

= 0

∂ r (M, t)∂ t

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Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V (decontrôle), contenant des sources, se traduit par l’équation intégrale deconservation de la masse :

d = – Dm, sortant + Dm, sources ,

volume V

soit :

d + (P, t) v(P, t) . N

d S = Dm, sources .


Dm, sources , le débit massique des sources situées dans le volume V, estdéfini de manière algébrique.

(M, t)t

(M, t)t


33.1.

Application 1


Bilan de masse : forme locale

Équation générale

Nous avons vu précédemment que l’équation de conservation de la masse dans unmilieu sans source s’écrit :

d t + r (P, t) v(P, t) . N

d S = 0


avec N

la normale à la surface fermée orientée vers l’extérieur.

Le théorème d’Ostrogradski (cf. Annexe) nous permet de transformer la deuxièmeintégrale et l’équation de conservation prend la forme :

Cette égalité est vérifiée quel que soit le volume V de contrôle fixe. Nous en dédui-sons une relation locale, c’est-à-dire vérifiée en tout point M du fluide :

+ div(r (M, t) v(M, t)) = 0 , soit + div j

(M, t) = 0 .∂ r (M, t)∂ t

∂ r (M, t)∂ t

volume V

∂ ρ(M, t)∂ t

+ div( ρ(M, t) v (M, t)) d τ = 0 .ρ ρ τ

∂ r (M, t)∂ t

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La détente d’un gaz dans une tuyère est assimilée à unécoulement isentropique de gaz parfait de coefficientcaractéristique γ .Le régime de fonctionnement est permanent. Le gaz entredans la tuyère à la vitesse v0 , température T0 , avec lamasse volumique ρ0 .À la sortie, la température du gaz est T1 .

On note α = le rapport des actions de la tuyère en

entrée et en sortie.Quelle est la vitesse v1 du gaz en sortie de tuyère ?On suppose les champs de vecteurs v0 et v1 uniformesrespectivement sur les surfaces d’entrée et de sortie.

L’écoulement est isentropique, donc en utilisant la loide Laplace :

PV γ = cte ou TVγ – 1 = cte.

Ramenée à l’unité de masse, pour laquelle V = , cetteloi s’écrit :

Pρ – γ = cte ou T ρ 1 – γ = cte.

La deuxième expression nous indique :

ρ1 = ρ01–

1g.

En régime permanent, le débit massique est conservé lelong de la tuyère (sans injection de carburant dans celle-ci, ce qui est parfois le cas), donc :

ρ1S1v1 = ρ0S0v0.

Ce qui nous donne :

v1 = . γ –1

1.T1

T0

v0

α

T0

T1

1r

S1

S0

Conservation du débit dans une tuyère isentropique

S0

T0

entrée

sortie

S1

tv1

tv0

T1

Doc. 8. Étude d’une tuyère.


3.2.

iden-tiquement nulle

2.


Remarque

Ces équations sont formellement identiques à celles obtenues en électromagné-tisme sur la conservation de la charge :

+ div j

= 0 ,

où r est la densité volumique de charges et j

le vecteur densité volumique decourant.

Une autre forme de l’équation locale de conservation de masse s’obtient en déve-loppant div(rv) sous la forme :

div(rv) = r div v + grad—

r . v

et sachant que (dérivation particulaire), nous en dédui-

sons l’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source.

Remarque

Posons-nous la question suivante : un fluide est-il incompressible si pour un écou-lement donné nous avons div v = 0 ?

La condition div v = 0 impose que = 0 , c’est-à-dire que localement autour

d’une particule de fluide que nous suivons au cours de sa trajectoire, la masse volu-mique est constante et égale par exemple à r1 . Mais rien ne nous permet de savoirsi au voisinage d’une autre particule de fluide, la masse volumique prend la mêmevaleur r1 (doc. 9). Le fluide n’est donc pas nécessairement incompressible, maisnous parlerons d’écoulement incompressible (cf. § 4).

Cas du régime stationnaire :conservation du débit massique

En régime stationnaire (ou permanent indépendant du temps), = 0 .

Nous obtenons donc div(r v) = 0 .

Nous savons par ailleurs (cf. Annexe) qu’un champ de vecteurs à divergenceest aussi à flux conservatif, soit :

div(r v) = 0 , d’où r v . d S

= 0 ;

S

nous retrouvons alors la conservation du débit massique Dm en régime station-naire.

∂ r∂ t

D rD t

D rD t

+ v . grad—

r =∂ r∂ t

∂ r∂ t

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L’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sanssource s’écrit :

+ div( (M, t) v(M, t)) = 0 ou + div j(M, t) = 0 .(M, t)

t(M, t)

t

L’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sanssource s’écrit :

+ div v = 0 .DD t

pour cette particule de fluide =au cours de son déplacement

ρ ρ1

pour cette particule de fluide =au cours de son déplacement

ρ ρ2

trajectoires

Doc. 9. Écoulement incompressible : ladérivée particulaire de r est nulle :

= 0 .D rD t


44.1.

4.2.

4.3.


Écoulement incompressible

Définition

Notons que la particule considérée doit être suivie au cours du temps, alors qu’ellese déplace : c’est bien la dérivée particulaire qu’il faut ici employer.

Critère d’incompressibilitéPour les écoulements de liquides, par nature très peu compressibles, ce modèled’écoulement semble très raisonnable. Dans le cas de gaz, il apparaît nettementplus contestable.

De fait, il est possible de considérer un écoulement de fluide comme incompres-sible si sa vitesse reste notablement inférieure à la vitesse du son dans le fluide(cf. chapitre 4, § 4.1.).Pour une voiture roulant à 100 km/h = 36 m .s–1, le modèle incompressible est fina-lement assez adapté à la description de l’écoulement d’air autour de la carrosseriepuisque la vitesse du son est de l’ordre de 340 m .s–1. Pour un avion de ligne volantà 800 km/h = 290 m .s–1, le modèle incompressible devient, en revanche, pluscontestable : l’avion est encore subsonique, mais pas de beaucoup.

Conservation de la masse et incompressibilitéUn écoulement incompressible satisfait :

0 = = + v. grad—

r .

D’autre part, la conservation de la masse impose :

0 = + div (rv) = + v. grad r + r div v.

La soustraction membre à membre de ces deux équations nous permet d’affirmer :

Un écoulement incompressible est caractérisé par un champ de vitesses dedivergence nulle :

div v = 0.

∂ r∂ t

∂ r∂ t

∂ r∂ t

D rD t

Le modèle d’écoulement incompressible est généralement bien adapté à ladescription d’un fluide de vitesse très inférieure à la vitesse du son.

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Lors d’un écoulement stationnaire (ou permanent ou indépendant du temps),sans source, le débit massique Dm se conserve. Le vecteur courant de massej(M, t) est à flux conservatif :

div( j(M, t)) = 0 ou div( (M, t) v(M, t)) = 0 .

Un écoulement est incompressible si la masse volumique r d’une particule

de fluide se conserve au cours de son évolution : = 0.D rrD t


4.4.

2.

( ).

=

r rr

K tr

102

22

∂∂

( ).

=

r rr

K tr

10

∂∂

r r12

∂∂

r r1 ∂

∂

Application 2


Débit volumiqueLe champ v de l’écoulement incompressible est de divergence nulle, donc à fluxconservatif :

div v = 0 donc v . dS

= 0.

Σ

Appliquée à un tube de courant (les parois sont parallèles à v ), cette intégraleindique (doc. 10), pour les sections S1 et S2 du tube :

v . dS1

= v . dS2

.

Σ1 Σ2

Nous savons que j

m = ρv est le vecteur densité de flux de masse : son flux indiquela valeur du débit massique Dm. De même, j

v = v n’est autre que le vecteur den-sité de flux de volume : son flux indique le volume de fluide qui traverse une sur-face donnée, c’est-à-dire le débit volumique Dv.

Remarque : Comme l’illustre l’application suivante, cette propriété n’est absolu-ment pas liée au caractère permanent ou non de l’écoulement. Comme pour le débitmassique, la présence de sources de volume (injection d’eau dans un écoulement,…)modifiera le bilan local (div v = 0) ou le bilan intégral (Dv (tube) = (cte) qu’ilfaudra corriger en conséquence.

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lit.


Montrer que les champs des vitesses suivants vérifientla condition div(v(M, t)) = 0 :

a) en coordonnées cylindriques ;

b) en coordonnées sphériques.

On donne :

• div A

= (rAr) + + en coordonnées

cylindriques.

• div A

= (r2Ar) + (sin θ Aθ) +

en coordonnées sphériques.

a) Coordonnées cylindriques :

Remarque

Le seul champ de vecteur de la forme f (r)er en coor-données cylindriques, qui vérifie div v = 0 , est bien de

la forme (r ≠ 0). En r = 0 (donc sur l’axe (Oz))

existent des sources.

b) Coordonnées sphériques :

Remarque

Le seul champ de vecteur de la forme f (r)er en coor-données sphériques, qui vérifie div v = 0 , est bien de

la forme (r ≠ 0). En r = 0 (donc en O) existe

une source (cf. Application 3).

erKr2

( ).

=

r rr

K tr

102

22

∂∂

div(v(M, t)) =

erKr

( ).

=

r rr

K tr

10

∂∂

div(v(M, t)) =

∂Aϕ∂ϕ

1r sin θ

∂∂θ

1r sin θr r

12

∂∂

∂Az∂z

∂Aθ∂θ

1rr r

1 ∂∂

erK(t)

r2v(M, t) =

erK(t)

rv(M, t) =

Écoulements incompressibles

Pour un écoulement incompressible, le débit volumique Dv = v . dS

estconservé le long d’un tube de courant.

SS

dS1

dS2

(S2)

(S1)

Doc. 10. Tube de courant.


4.5.

4.5.1.

v

– v

−

+

0

3

3

0

3

3

1

12

( ) cos

( )sin

ar

ar

θ

θ

′′ + ′ − ′

a t a tr

a t a tr

a t a tr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

2

2 4

5

22

′

+ ′ ′

t

a t a tr

a t a tr r

a t a tr

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2

v ( , ) =d

da t

at

,

=d

d

at

d

d

at

:

Application 3

v (r, t)er


Écoulement incompressible et lignes de courantPour un tube de courant qui se resserre, la conservation du débit volumique de l’écou-lement incompressible implique une accélération convective de celui-ci ; la sectiondiminue, donc la vitesse augmente. Illustrons cette propriété par les exemples suivants.

Exemple 1

Écoulement d’un fluide autour d’une sphère de rayon a (doc. 12).

Le tracé des lignes de courant nous indique que le champ est plus intense en moduleau voisinage de la sphère aux points A et B, qu’à l’infini. Ceci est en accord avecl’expression du champ des vitesses :

v

– v

−

+

0

3

3

0

3

3

1

12

( ) cos

( )sin

ar

ar

θ

θv =

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Soit un immense réservoir (de dimensions infinies !)sans source. En son centre O existe une sphère de rayona(t) variable au cours du temps (doc. 11). Les vitessesdu fluide incompressible sont supposées radiales, c’est-à-dire : v(r, t) = v (r, t) er .

1) Quelle est l’expression de v (a, t) ?2) Donner l’expression du champ des vitesses de cefluide.3) Calculer l’accélération d’une particule de fluide.

1) Une particule en contact avec la sphère de rayon a(t)

aura pour vitesse

2) Le fluide étant incompressible, le vecteur vitesse :v(r, t) = v (r, t) er est à flux conservatif, c’est-à-direqu’à une date t donnée le débit volumique Dv(t) (doncle flux de ce vecteur) est indépendant du choix de la sur-face fermée entourant la sphère de rayon a .Cette dernière joue ici le rôle d’une source :

Dv(t) =

S, fermée

v N

dS = Dv, source .

La vitesse étant radiale, calculons son flux à travers unesphère de rayon r : cette expression se limite au produitde v (r, t) par la surface de la sphère 4 π r2 (la vitessev(M, t) est en tout point perpendiculaire à cette sur-face) : Dv(t) = 4 π r2v (r, t) , soit :

Sachant que nous obtenons : =

d’où :

Remarque : Dès que nous sommes en présence d’unécoulement de fluide incompressible ayant la symétriesphérique, nous pourrons écrire (en r ≠ 0) :

3) L’accélération d’une particule de fluide est égale à :

=

=

Remarquons que pour r = a , nous avons bien :

= a′′(t) er .Dv

D t

er .′′ + ′ − ′

a t a tr

a t a tr

a t a tr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

2

2 4

5

22

er ,′

+ ′ ′

t

a t a tr

a t a tr r

a t a tr

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2

Dv

D t

erK(t)

r2v(r, t) =

er .a2(t)

r2

d a

d tv(r, t) =

K(t)

a2

d a

d tv ( , ) =

d

da t

at

,

er .K(t)

r2er =

Dv(t)

4 π r2v(r, t) =

er .=d

d

at

v(a, t)d

d

at

:

Écoulement non stationnaire à symétrie sphérique d’un fluide incompressible

Doc. 11. Étude du champdes vitesses d’un fluide ausein duquel existe unesphère de rayon a(t)variable au cours du temps.

y

x

z

r

O

v (r, t)er

M

C D

A

B

Doc. 12. Écoulement autour d’une sphère.En C et D, la vitesse est nulle.


4.5.2.

4.6.

4.6.1.

4.6.2.

v

– v

−

+ +

0

2

2

0

2

2

1

1

( ) cos

( )sin

ar

ar

θ

θ

v v= 3

2 0

2.


Le module du champ est maximum pour r = a :

sin q, avec q = (ou – ).

Exemple 2 :

Écoulement d’un fluide autour d’un cylindre de rayon a en rotation (doc. 13 a et b).

Le tracé des lignes de courant nous indique que le champ est plus intense en moduleau voisinage du cylindre en A qu’en B. Ceci est en accord avec l’expression duchamp des vitesses :

(avec G > 0)

Intéressons-nous à la vitesse du fluide sur le cylindre (r = a) :

vq = – 2v0 sin q + .

Pour q = – , la vitesse est égale à v(q = – ) = 2v0 + , et pour q = ,

v(q = ) = – 2v0 + . Nous avons bien v(q = – )>v(q = ) .

Écoulements permanents, incompressibles ethomogènes

Il est, a priori, important de bien distinguer les écoulements permanents et les écou-lements incompressibles. Un écoulement permanent de gaz dans une tuyère se faità débit de masse uniforme, mais peut être à vitesse et masse volumique variables.Un écoulement d’eau s’effectue à débit volumique conservé, celui-ci pouvant fluc-tuer dans le temps.

Écoulement permanent

• Les caractéristiques de l’écoulement ne dépendent pas du temps, en particulier :

= 0.

• La conservation de la masse impose : div (ρv) = 0.

• Le débit massique Dm est conservé.


• La masse volumique se conserve au cours de l’écoulement : = 0.

• La conservation de la masse impose div (v) = 0.

• Le débit volumique Dv est, à un instant donné, conservé.

Dans de nombreuses expériences, l’écoulement est incompressible, le fluide étantinitialement homogène : ρ(r, t) = ρ0 à t = 0.

DρDt

∂ρ∂t

Dans un écoulement à flux de vitesse conservatif (div(v) = 0), les zones oùles lignes de courant se resserrent sont des zones de vitesse « élevée ».

π2

π2

C2 π a

π2

π2

G2 π a

π2

π2

G2 π a

G2 π r

v

– v

−

+ +

0

2

2

0

2

2

1

1

( ) cos

( )sin

ar

ar

θ

θv =

π2

π2

v v= 3

2 0

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C D

Doc. 13a. Écoulement autour d’un cylindre(G = 0). En C et D, la vitesse est nulle.

C DB

A

Doc. 13b. Écoulement autour d’un cylindre(G ≠ 0). En C et D, la vitesse est nulle.


DÉBIT MASSIQUE

BILAN DE MASSE

C Q F R


• Le débit massique à travers S vaut Dm =

surface Snon fermée

• Le débit massique sortant (algébrique) vaut Dm = j

(P, t) . N

d S avec j

(P, t) = r (P, t) v(P, t) la densité

surface Sfermée

volumique de courant de masse.

• Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V sans source se traduit par l’équation intégrale

de conservation de la masse d t = – Dm, sortant , soit :

volume V

d t + r (P, t) v(P, t) . N

d S = 0 .


• Le bilan d’évolution de la masse contenue dans un volume fixe V (de contrôle), contenant des sources, se tra-duit par l’équation intégrale de conservation de la masse :

d t = – Dm, sortant + Dm, sources ,

volume V

soit : d t + r (P, t) v(P, t) . N

d S = Dm, sources .


∂ r (M, t)∂ t

∂ r (M, t)∂ t

∂ r (M, t)∂ t

∂ r (M, t)∂ t

j

(P, t) . N

d S .

C Q F R

La conservation de la masse volumique au cours de l’écoulement permet d’assu-rer l’homogénéité du fluide à tout instant ultérieur : ρ devient ici une simple constante.Un écoulement d’eau dans une conduite d’air autour d’un profil de planeur (trèssubsonique) en sont des exemples. Pour de tels écoulements l’incompressibilité estexplicite, mais nous avons aussi div (ρv) = ρ0 div (v) = 0.

Pour un tel écoulement, débits volumique et massique sont conservés, à un instantdonné, avec Dm = ρ0Dv .

Attention, l’écoulement homogène n’est peut-être pas permanent : Dm et Dv, conser-vés à un instant donné le long d’un tube de courant, peuvent ici évoluer au coursdu temps.

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2.

ÉCOULEMENT INCOMPRESSIBLE

C Q F R


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Dm, sources le débit massique des sources situées dans le volume V est défini de manière algébrique.

• En régime stationnaire, ainsi que pour un fluide incompressible, le débit massique Dm, sortant à travers la sur-face S délimitant le volume V est égal au débit massique des sources Dm, sources situées dans ce volume.

S’il n’existe aucune source dans ce volume (Dm, sources = 0), alors le débit massique Dm, sortant à travers la sur-face S délimitant le volume est nul : Dm,sortant = 0 .

• L’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source s’écrit :

+ div(r (M, t) v(M, t)) = 0 ou + div j

(M, t) = 0

ou encore :

• Lors d’un écoulement stationnaire (permanent indépendant du temps), sans source, le débit massique Dm seconserve. Le vecteur courant de masse j

(M, t) est à flux conservatif :

div ( j

(M, t)) = 0 ou div(r (M, t) v(M, t)) = 0 .

• Un écoulement est incompressible si la masse volumique ρ d’une particule de fluide se conserve au cours de sonévolution :

= 0 .

• Le modèle d’écoulement incompressible est généralement bien adapté à la description d’un fluide de vitesse trèsinférieure à la vitesse du son.

• Un écoulement incompressible est caractérisé par un champ de vitesse de divergence nulle :

div v = 00 .

• Pour un écoulement incompressible, le débit volumique Dv = v . dS

est conservé le long d’un tube de courant.

S

• Dans un écoulement à flux de vitesse conservatif (div(v) = 0), les zones où les lignes de courant se resserrentsont des zones de vitesse « élevée ».

DρDt

+ r div v = 0 .D rD t

∂ r (M, t)∂ t

∂ r (M, t)∂ t

C Q F R


Contrôle rapide



L’équation locale de conservation de la masse s’écrit :

Un fluide vérifiant div v = 0 :

Si l’écoulement est stationnaire, alors nécessairement :

Pour un écoulement permanent :

Pour un écoulement incompressible :


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Définir le débit massique à travers une surface S.

Savoir établir un bilan de masse, avec et sans sources.

Savoir écrire l’équation locale de conservation de la masse dans un milieu sans source.

Que se passe-t-il dans les cas particuliers suivants :– l’écoulement est incompressible ?– l’écoulement est stationnaire ?



1.

a. = div (ρv) b. + ρ div v = 0 c. + div (ρv) = 0

d. + div (ρv) = 0 e. = – ρ div v

2. a. a un débit massique constant. b. a un débit volumique constant. c. a des lignes de courant qui s’écartent dans les zones de vitesse élevée. d. a des lignes de courant qui se resserrent dans les zones de vitesse élevée. e. a des lignes de courant parallèles.

3.

a. = 0 et = 0

b. = 0

c. div v = 0 et = 0

4. a. le débit volumique est parfois conservé. b. le débit massique est parfois conservé. c. l’accélération est nulle. d. la masse volumique se conserve le long de l’écoulement.

5. a. s’il est initialement inhomogène, il le restera. b. le débit volumique se conserve au cours du temps. c. la conservation de la masse est assurée par div v = 0. d. ce modèle est bien peu réaliste pour les écoulements gazeux.

Solution, page 46.

∂ r∂ t

D v

∂ t∂ v

∂ t∂ r∂ t

D rD t

D rD t

∂ r∂ t

∂ r∂ t

∂ r∂ t


*

v (r, t)er

V2

V1

V3

V2

V1

V3

Exercices


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Écoulement de fluide incompressibledans une tuyère

Soit un écoulement de fluide incompressible dans une conduitepossédant un rétrécissement.

La section diminue de S1 vers S2 . La vitesse du fluide estsupposée uniforme sur une section, v1 au niveau de S1 etv2 au niveau de S2 .

Quelle relation lie v1 , v2 , S1 et S2 ? Conclure.

Décrire les lignes de courant.

Conservation du débit massique

Soit un écoulement de fluide incompressible dont le champdes vitesses en formalisme eulérien est donné en coordon-nées cylindriques par :

Calculer le débit massique Dm(t) à travers un cylindre d’axe(Oz), de rayon r et de hauteur h. Conclure.

Étude d’une source

Soit un écoulement de fluide incompressible dont le champdes vitesses en formalisme eulérien est donné en coordon-nées cylindriques par :

Montrer qu’il existe une source sur l’axe (Oz).

Écoulement de fluide incompressible

Soit un écoulement de fluide incompressible à travers uncylindre de section S, muni d’une plaque de séparation, déli-mitant la section du cylindre en deux parties égales.

À l’entrée du cylindre, les vitesses du fluide sont V1 et V2 ,

et en sortie, loin de la plaque de séparation, la vitesse du fluideest V3 .

Calculer V3 en fonction de V1 et V2 . Examiner le cas par-

ticulier où V2 = . Dessiner l’allure des lignes de courant

dans ce cas particulier.

Champ des vitesses d’un fluideincompressible

Écrire le champ des vitesses d’un fluide incompressible (demasse volumique ρ) émis, avec un débit massique Dm (dépen-dant ou non du temps), par une source linéique de hauteur hconfondue avec l’axe (Oz) (doc. ci-dessous) sachant que lesparticules sont émises perpendiculairement au fil, c’est-à-direque : v(r, t) = v (r, t) er .

Calculer l’accélération d’une particule de fluide.

Propagation d’un front d’onde

Soit un écoulement de fluide à vitesse constante u dans untuyau supposé indéformable de section S.

y

x

M

Oz

v (r, t)erfil émettant un débitvolumique Dm(t)sur une hauteur h

θ

V2

V1

V3

V2

V1

V3

V1

2

er .Dv(t)2 π rv(r, q, t) =

er .Dv(t)2 π rv(r, q, t) =

v2v1S1

S2


Exercices

*

*

u = u(x, t)ex

u

c u

Solution du tac au tac, page 44.Vrai : c, e ; Faux : a, b, dVrai : b, d ; Faux : c ;Possible : e, a

Vrai : a ; Faux : b, cVrai : a ; Faux : b, c, dVrai : a, c ; Faux : b, d

Corrigés


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À l’aide d’un robinet, on arrête brutalement cet écoulement :une zone de discontinuité de pression et de masse volumiqueremonte alors le tuyau.Exprimer les relations de conservation de la masse :

a) en se plaçant dans le référentiel fixe ;

b) en se plaçant dans le référentiel lié à la zone de disconti-nuité.

Propagation d’une vague

On modélise une vague de la manière suivante. Le front dela vague avance à la vitesse c . Le fluide incompressible,atteint par la vague, a la vitesse u , alors que celui encore nonatteint par la vague est immobile.

Écrire l’équation de conservation de la masse de différentesmanières :

a) dans le référentiel lié au sol ;

b) dans le référentiel lié au front de la vague.

Équation de conservation de la massedans un tuyau de section variable

Soit un écoulement de fluide compressible. En un point decote x , à la date t , la masse volumique du fluide est notéer (x, t) et sa vitesse u(x, t) = u (x, t)ex .

Cet écoulement s’effectue dans un tuyau de section S(x, t)lentement variable en fonction des coordonnées d’espace etdu temps.

Étudier l’équation différentielle liant ces diverses grandeurs.

x0x

section du tuyau S(x, t) vitesse du fluide

u = u(x, t)ex

vitesse du front d’onde = c

vitesse du fluide nulle

vitesse du fluide = u

u

h1

h2

c u

robinet

dans cette zone lefluide est immobile( , P2)

le fluide se déplace àla vitesse u : ( , P1)

zone de discontinuité qui« remonte la canalisation

à la vitesse c » vers la droite2ρ

1ρ

section S

Le fluide étant incompressible, on a conservation des débits massique et

volumique :

Dv = S1v1 = S2v2 et Dm = rDv = rS1v1 = rS2v2 .

Sachant que S2 < S1 , on obtient v2 > v1 .

Les lignes de courant seront donc plus resserrées dans la section S2 que dans la sec-tion S1 .

v1S1

S2

1.2.

3.4.5.


2.

v (r, t)erρ


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À une date t donnée, le flux de r v(M, t) = r vr (r, t) er à travers un cylindre

d’axe (Oz), de rayon r et de hauteur h (doc. 1) est donné par :

Dm(t) = r vr (r, t)2 π r h = r 2 π r h = r h Dv(t) .

Doc. 1. Le flux sortant du vecteur densité volumique de courant de masse r v (r, t) erà travers ce cylindre fermé est égal à r 2 π r h v (r, t) . La contribution des surfaces debase du cylindre est nulle, car v(M, t) est perpendiculaire à la normale à ces sur-faces (± ez).

Ce débit massique est indépendant du rayon r du cylindre : les débits massiques àtravers deux cylindres (doc. 2) de rayon r et r ′ (hauteur h) sont donc identiques.La masse de fluide située entre ces deux cylindres ne varie pas dans le temps : ceciest en relation avec l’incompressibilité du fluide (ρ = cte).Remarquons que le fluide étant incompressible, il ya aussi conservation du débit volu-mique.

Doc. 2. La masse de fluide située entre les deux cylindres de rayon r et r ′ (hauteur h)ne varie pas dans le temps (r = cte), donc les débits massiques à travers ces deuxcylindres sont identiques.

Nous avons vu dans l’exercice 2 que cet écoulement est caractérisé par

un débit massique :

Dm(t) = r v (r, q, t)2 π r h = r 2 π r h = r h Dv(t) ,

indépendant du rayon r du cylindre (hauteur h).Sachant que le fluide est incompressible, cela signifie qu’il existe une source de débitmassique Dm, sources(t) = r h Dv(t), située sur l’axe (Oz) (en appliquant le bilan pré-cédent).

Le fluide étant incompressible, les débits massiques, à travers toute surface fermée(doc. 1) entourant l’axe (Oz), sont identiques. En effet, la masse de fluide située entreces surfaces ne varie pas dans le temps, et dans cet espace, il n’y a pas de sources.

Doc. 1. Les débits massiques (sortants) à travers les surfaces S et S ′ sont iden-tiques (il existe une source située en O).

Il n’en est pas de même pour des surfaces n’entourant pas l’axe (Oz), ainsi (doc. 2) ledébit massique à travers la surface S est nul, alors que celui à travers S ′ est égal àDm, sources .

Doc. 2. Le débit massique (sortant) à travers la surface S est nul, alors que celui àtravers S ′ est égal au débit massique de la source située en O.

Le fluide étant incompressible, on a conservation du débit volumique, d’où :

soit

Dans le cas où on obtient

On considère des tubes de courant tels que le flux du vecteur vitesse soit une constanteindépendante du tube de courant choisi et on appelle δv ce flux (débit volumique dutube de courant choisi).

Si dans la partie de vitesse V1 , le nombre de tubes de courant est N1 , N2 dans lapartie de vitesse V2 et N3 dans la partie de vitesse V3 , alors :

N1δv N2δv et N3dv ,

soit et On vérifie que N1 + N2 = N3 .

Les relations précédentes permettent de trouver une allure des lignes de champ pourun tuyau de section carrée.

NN

313

2= .N

N2

1

2=

SVSV

313

4= =S

VS V

2 2 221= =S

V2 1 =

VV

313

4= .V

V2

1

2= ,

VV V

31 2

2= +

.S

VS

V SV2 21 2 3+ = ,

y

xOΣ Σ’

y

xOΣ Σ’

Dv(t)2 π r

r

r’

z

y

x

O

cylindre de rayon ret de hauteur h

v (r, t)erρ

Dv(t)2 π r


Corrigés

u

u

v (r, t)er


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naut

orisé

eest

undé

lit.

Le fluide étant incompressible, à une date t donnée, le débit massique est

indépendant du choix de la surface fermée, entourant l’axe (Oz), à traverslaquelle l’ensemble du fluide s’écoule : il est égal à Dm(t) .

La vitesse étant radiale, prenons comme surface fermée un cylindre de hauteur h etde rayon r . La contribution au débit massique des surfaces de base de ce cylindre estnulle : la vitesse v(M, t) est dans le plan de la surface (doc. ci-dessous).

Le flux sortant du vecteur r v (r, t)er à travers ce cylindre fermé est égal àr2 π r h v (r, t) . La contribution des surfaces de base du cylindre est nulle, car v(M, t)est perpendiculaire à la normale à ces surfaces.

Le débit massique se limite donc au produit de r v (r, t) par la surface latérale 2 π r hdu cylindre : en effet, la vitesse v(M, t) est en tout point perpendiculaire à cette sur-face.

Soit Dm(t) = r 2 π r h v (r, t) , ce qui nous donne :

Remarque

Dès que nous sommes en présence d’un écoulement de fluide incompressible ayantla symétrie cylindrique, nous pourrons écrire :

pour r ≠ 0

(seule existe une source en coïncidence avec l’axe (Oz) ; r = 0).

L’accélération d’une particule de fluide est égale à :

=

=

soit :

=

=

a) On se place dans le référentiel fixe. Soit une surface fermée fixe

constituée de la surface latérale du tuyau et des deux surfaces S1 et S2 .L’augmentation de masse δ m (pendant δ t) à l’intérieur du volume délimité par cettesurface est égale à la masse entrante à travers cette surface pendant le même temps δ t .

L’augmentation de masse à l’intérieur du volume s’écrit : δ m = m(t + δ t) – m(t)δ m = (r2 – r1) S c δ t .

Le débit massique entrant à travers S1 vaut Dm1, entrant = + r1 S u .Le débit massique entrant à travers S2 vaut Dm2, entrant = 0 .Sachant que δ m = (Dm1, entrant + Dm2, entrant ) δ t , on obtient la relation :

(r2 – r1) S c δ t = + r1 S u δ t , soit (r2 – r1) c = r1 u .

b) On se place dans le référentiel lié à la discontinuité. Soit une surface fermée fixeconstituée de la surface latérale du tuyau et des deux surfaces S1 et S2 .La variation de masse à l’intérieur de cette surface est nulle.En effet, en tout point de l’espace, la masse volumique ne dépend pas explicitementdu temps. Dans ces conditions, le débit massique à travers la surface délimitant ce

la zone de discontinuitése propage à la vitesse c

date t

date t + δt

2Σ

u = 0

( , P2)2ρ ( , P1)1ρ

u

2Σ

1Σ

1Σ

u = 0

( , P2)2ρ ( , P1)1ρ

u

0 c δtx

er .′ −( )

D th r

D t

h rm m( ) ( )

2

1

2

12

2 3π πρ ρ

er′ −

K tr

K tr

( ) ( )2

3

Dv

D t

er ,′ + −

K tr

K tr

K tr

( ) ( ) ( )2

er

+

t

K tr

K tr r

K tr

∂∂

∂∂

( ) ( ) ( )Dv

D t

erK(t)

rv(r, t) =

er .1

rDm(t)

2 π r hv(r, t) =

z

y

x

O

cylindre de rayon ret de hauteur h

v (r, t)er

fil de hauteur hémettant le débitmassique Dm(t)

V1

V1

2

3V1

4

zone perturbée où apparaissentdes forces de viscosité


2.

u u

cdt


49

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orisé

eest

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lit.


volume est nul.

Dans la zone 1, la vitesse du fluide est égale à c + u en module, donc le débit sor-tant à travers S1 est égal à Dm1, sortant = – r1 S (c + u) .

Dans la zone 2, la vitesse du fluide est égale à c en module, donc le débit sortant àtravers S2 est égal à Dm2, sortant = r2 S c .

Sachant que Dm1, sortant + Dm2, sortant = 0 , on obtient r2 S c = r1 S (c + u) , soit :

r2 c = r1 (c + u) , donc (r2 – r1) c = r1 u .

a)

On se place dans le référentiel fixe lié au sol. Soit une surface fermée fixe constituéedu sol, des deux surfaces S1 et S2 , et de la surface supérieure S3 . L’augmentationde masse δ m (pendant δ t) à l’intérieur du volume délimité par cette surface est

égale à la masse entrante à travers cette surface pendant le même temps δ t.

Soit L la dimension transversale de l’écoulement.L’augmentation de masse à l’intérieur du volume s’écrit δ m = r(h1 – h2) L c δ t .Le débit massique entrant à travers S1 vaut :

Dm1, entrant = r h1 L u .Le débit massique entrant à travers S2 vaut :

Dm2, entrant = 0 .Le débit massique entrant à travers S3 vaut :

Dm3, entrant = 0 .

Sachant que δ m = (Dm1, entrant + Dm2, entrant + Dm3, entrant ) δ t , on obtient :r(h1 – h2) L c δ t = r h1 L u δ t , soit (h1 – h2) c = h1 u .

b) On se place dans le référentiel lié au front de la vague. Soit une surface fermée fixeconstituée du sol, des deux surfaces S1 et S2 , et de la surface supérieure S3 .

La variation de masse à l’intérieur de cette surface est nulle. En effet, en tout point del’espace, la masse volumique ne dépend pas explicitement du temps. Dans ces condi-tions, le débit massique à travers la surface délimitant ce volume est nul.

Dans la zone 1, la vitesse du fluide est égale à c – u en module, donc le débit sortantà travers S1 est égal à : Dm1, sortant = r h1 L (c – u) .

Dans la zone 2, la vitesse du fluide est égale à c en module, donc le débit sortant àtravers S2 est égal à : Dm2, sortant = – r h2 L c .

Le flux massique à travers la surface S3 est nul, donc Dm3, sortant = 0 .

Sachant que Dm1, sortant + Dm2, sortant + Dm3, sortant = 0 , on obtient :

r h2 L c = r h1 L (c – u) , soit h2 c = h1 (c – u) .

L’équation intégrale de conservation de la masse s’écrit, en considérant un

volume V fixe, délimité par une surface S :

d t +


On applique cette formule au volume de fluide situé dans une surface fermée fixe Sdélimitée par S1 , S2 et la surface latérale SL . L’augmentation de masse δ m (pen-dant δ t) à l’intérieur du volume délimité par cette surface est égale à la masse entranteà travers cette surface pendant le même intervalle de temps δ t.

r(P, t) v(P, t) . N

d S = 0 .∂ r (M, t)∂ t

0x

vitesse du front de la vague nulle

vitesse du fluideégale à c

vitesse du fluide = c–uh1

h2

1Σ

2Σ

3Σ

zone 1 zone 2

vitesse du front de la vague = cdate t

vitesse du fluide nulle

vitesse du fluide = uh1

h2

1Σ

2Σ

3Σ

date t + dt

vitessedu fluide nullevitesse du fluide = u

u uh1

h2

1Σ

2Σ

3Σcdt

2Σ 1Σ( , P2)2ρ ( , P1)1ρ

0x

dans cette zone,le fluide se déplaceà la vitesse cvers la gauche

la zone de discontinuité est immobile

zone 2 zone 1

dans cette zone,le fluide se déplace

à la vitesse c + uvers la gauche


Corrigés

u(x, t)

u(x + dx, t) u(x, t + t)δ u(x + dx, t + t)δ


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L’augmentation de masse à l’intérieur du volume vaut :

δ m = r(x, t + δ t) S(x, t + δ t) d x – r(x, t) S(x, t) d x ,

quantité qui peut s’écrire :

Le débit massique entrant à travers S1 vaut Dm1, entrant = r S(x, t) u(x, t) .

Le débit massique entrant à travers S2 vaut :

Dm2, entrant = – r S(x + d x, t) u(x + d x, t) .

Le débit massique entrant à travers SL vaut DmL, entrant = 0 .

Le débit massique total entrant est :Dm, entrant = Dm1, entrant + Dm2, entrant + DmL, entrant ,

ce qui donne :Dm, entrant = r(x, t) S(x, t) u(x, t) – r(x + d x, t) S(x + d x, t) u(x + d x, t)

Sachant que δ m = Dm, entrant δ t , on obtient :

ce qui permet d’écrire :

ou

Autre méthodeIl est aussi possible d’envisager ce qui arrive à une « particule » de fluide située entrex et x + dx à l’instant t.

À l’instant t + dt , elle se retrouve entre x + ud t et x + dx + u + dx dt .

On peut donc écrire sa masse de deux façons différentes :• à l’instant t : dm = ρ(x , t)δ(x , t ) d x ;

• à l’instant t + dt : dm = ρ(x + udt , t + dt)δ(x + udt , t + dt) . dx 1 + dt .

Ces expressions ont bien entendu même valeur, donc par soustraction :

0 = ρ(x + ud t , t + d t)δ(x + ud t , t + d t) 1 + d t – ρ(x , t) δ(x , t) ;

et il vient, en annulant l’ordre d t 1 :

0 = δ + ρ + uδ + uρ + ρδ .

L’utilisation d’une surface de contrôle fixe dans le référentiel d’étude est possible :c’est la première méthode.L’utilisation d’une particule de fluide est tout aussi valable, il faut simplement tenircompte de son déplacement entre t et t + d t . C’est la deuxième méthode : nousavons considéré un système fermé.

∂u∂x

∂δ∂x

∂ρ∂x

∂δ∂t

∂ρ∂t

∂u∂x

∂u∂x

∂u∂x

St

St

Sux

uSx

Sux

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ρ ρ ρ ρ ρ+ + + + = 0.

∂∂

∂∂

ρ ρ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

x t S x t

t

x t S x t u x t

x( ) + ( ) = 0

∂∂

δ∂

∂δ

ρ ρ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

x t S x t

tx t

x t S x t u x t

xx t

( ) + ( ) =d d 0

= − ( )∂∂

ρ( , ) ( , ) ( , ).

x t S x t u x t

xxd

0x

section du tuyau S(x, t) surface fermée

vitesse du fluideu = u(x + dx, t)ex

vitesse du fluideu = u(x, t)ex

x x + dx

Σ

1Σ 2Σ

LΣ

δ∂

∂δm

S x t

x t S x t

tS x t x t= ( )

1

( , )

( , ) ( , )( , ) .

ρd

u(x, t)

u(x + dx, t) u(x, t + t)

ρ (x, t)

S(x, t)

x x + dx x x + dxétat à la date t état à la date t + tδ

δS(x, t + t)

δρ (x, t + t)δu(x + dx, t + t)δ


33

O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S


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3Étude cinématiquedes fluides

Topographie dequelques

écoulements

Topographie de quelques écoulements.

Écoulements stationnaires, potentiels,incompressibles, tourbillonnaires, ...

Vortex, tourbillons.

Formalisme eulérien.

Équation de conservation de la masse.

L’examen du champ des vitesses d’un fluide(approche eulérienne du mouvement) permet de

dégager des caractéristiques propresà son écoulement :

dilatation, vorticité (existence possiblede tourbillons), déformation.

Les écoulements peuvent être répertoriés selon leurspropriétés : écoulements stationnaires,

incompressibles, tourbillonnaires, potentiels, ...

Dans une partie plus descriptive, seront détaillésquelques modèles classiques d’écoulements oùles caractéristiques précédentes se retrouvent.


11.1.

1.1.1.

1.1.1.1.

d xL

t1 0+

v δ

v 0 1+ +

x xL

td δ .

v 0 1+

xL

v 0 1+

xL


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Caractérist iques du champdes vitesses d’un f luide

Description locale : dilatation, vorticité

L’évolution d’un volume élémentaire de fluide suivi dans son déplacement permetde caractériser l’écoulement du fluide.

Pour des écoulements plans, plus facilement représentables, nous observerons l’évo-lution d’une « surface » élémentaire de fluide.

Le document 1 montre qualitativement l’évolution d’un volume élémentaire contour-nant un obstacle cylindrique.

Les exemples ci-dessous vont permettre de dégager quelques résultats fondamen-taux.

Évolutions élémentaires : dilatation, rotation, déformation

Exemple 1 : dilatation

Considérons un champ des vitesses d’un fluide de la forme v = ex . C’est

un écoulement unidimensionnel permanent pouvant simuler la détente d’un gazdans une tuyère (doc. 2a). Les trajectoires sont des droites parallèles à ex .

Une cellule de fluide, placée au point M (x, y) à l’instant t , possède une surfaced x d y .

Pendant δ t , la paroi verticale d’abscisse x se déplace de δ t , alors que

la paroi d’abscisse x + d x s’est déplacée de La cellule, de lar-

geur d x à l’instant t , a une largeur à l’instant t + δ t .d xL

t1 0+

v δ

v 0 1+ +

x xL

td δ .

v 0 1+

xL

v 0 1+

xL

Doc. 1a. Écoulement permanent indépendant du temps (station-naire) autour d’un cylindre : cet écoulement d’eau symétrique alieu de la gauche vers la droite. Il peut être visualisé grâce à desfilets d’huile de lin dans de l’huile de vaseline.

Doc. 1b. Simulation numérique de cet écoulement montrant l’évo-lution d’un volume élémentaire.


3.

dilatation

1.1.1.2.

rotation

1.1.1.3.

∂∂v x

x≠ 0

ex


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Étude cinématique des fluides. Topographie de quelques éléments

La cellule se dilate donc dans la direction de x (doc. 2b).La provient ici de la dépendance de la vitesse, colinéaire à l’axe (Ox),vis-à-vis de cette même variable x : la vitesse varie « dans sa direction ».Autrement dit, il y a, dans cet exemple, dilatation d’une cellule de fluide parce que :

. Nous reviendrons sur ce point dans la suite du cours.

Exemple 2 : rotation

Considérons maintenant un champ de vitesses (doc. 3a) de la forme v = A r eq encoordonnées cylindriques.

Ce champ correspond à une modélisation du champ des vitesses à l’intérieur d’unetornade.

À l’intérieur de la tornade, nous assistons à une d’une cellule élémentairede fluide (doc. 3b).

Exemple 3 : déformation

Reprenons l’écoulement dans un dièdre droit de la forme v(– kx, ky, 0) déjà étudiéau chapitre 1. L’évolution d’une cellule, de surface initiale d x d y , le long d’unetrajectoire d’équation xy = x0 y0 est représentée sur le document 4.

∂∂v x

x≠ 0

x1 x2 xO

ex

Doc. 2a. Simulation d’un écoulement dans une tuyère. Doc. 2b. Visualisation de la dilatation d’une cellule.

Doc. 3a. Visualisation du champ des vitesses d’un écoulementdans l’œil d’une tornade.

Doc. 3b. Mise en évidence des transformations d’une cellule lorsde cet écoulement. La cellule « tourne » sans déformation.


déformation

∂∂

∂∂

v vx y

x y+ = 0

Aar

2

Application 1

– k(x + dx)δt

k(y + dy)δt

kydt

– kxδt


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Nous constatons une de cette cellule, sans variation de surface de lacellule, ni rotation.

Remarquons dès à présent que cet écoulement est tel que .∂∂

∂∂

v vx y

x y+ = 0

Remarque : Soit une tornade délimitée par un cylindre vertical de rayon a .

Le champ des vitesses en coordonnées cylindriques est de la forme v = Areq pour :

r < a , et v = eθ pour r > a .Aar

2

Doc. 4a. Lignes de courant de l’écoule-ment bidimensionnel (dièdre droit).

Doc. 4b. Champ des vitesses du mêmeécoulement bidimensionnel (dièdre droit).

Doc. 4c. Déformation d’une cellule danscet écoulement bidimensionnel (dièdre droit).

Soit un écoulement stationnaire dans un dièdre droitdont l’expression de la vitesse en formalisme eulérienest de la forme v(– kx, ky, 0) , vu dans l’exemple de ladéformation.

Vérifier que la cellule définie précédemment gardeune surface constante, en se limitant à des calculsd’ordre 1.

vx ne dépendant que de x , et vy que de y , les paroisde la cellule restent parallèles aux directions (Ox) et(Oy) : il n’y a pas de rotation.

La paroi verticale d’abscisse x se déplace de – kx δ tpendant le temps δ t , alors que la paroi verticale d’abs-cisse x + d x se déplace de – k(x + d x)δ t .

La largeur initiale d x du rectangle (doc. 5) devient :

d x (1 – kδ t) .

De même, la hauteur devient d y (1 + kδ t) .

La surface de la cellule, à l’instant t + δ t , est donc :

d S = d x (1 – kδ t) d y (1 + kδ t) ≈ d x d y

en se limitant à des calculs d’ordre 1.

Remarque

L’exemple choisi montre une déformation, à surfaceconstante, d’une cellule dont les angles restent égale-ment constants. Dans d’autres écoulements, il peut yavoir en plus une déformation angulaire (à surfaceconstante), le rectangle devenant un losange par exemple.

Étude d’une déformation

y

x

y + dy

x + dxxy

– k(x + dx)δt

k(y + dy)δt

kydt

– kxδt

O

Doc. 5. Déformation d’une cellule dans un écoulementbidimensionnel (dièdre droit).


3.


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Remarque : Sur les documents 6, les deux domaines sont délimités par le cercle. Àl’intérieur de la tornade (partie en couleur), nous assistons à une rotation d’unecellule élémentaire de fluide (doc. 6b), mais cette cellule est déformée dès que noussommes à l’extérieur de la tornade. Deux cellules à l’intérieur (r < a) et à l’exté-rieur (r > a) de la tornade donnent l’impression de tourner sur elles-mêmes en sensinverse.

Sur le document 7, nous visualisons la déformation de diverses cellules de fluidelors de la simulation d’un écoulement autour d’une sphère.

Sur le document 8, nous visualisons encore la déformation de diverses cellules defluide lors de la simulation d’un écoulement autour d’un cylindre animé d’un mou-vement de rotation.

Sur ces divers exemples, nous voyons qu’après passage de la « perturbation » lescellules sont très modifiées.

intérieurde la tornade

extérieurde la tornade

Doc. 6a. Champ des vitesses d’un écoulement à l’intérieur et àl’extérieur d’une tornade.

Doc. 6b. Mise en évidence des transformations d’une cellule lorsde cet écoulement.

Doc. 7. Écoulement d’un fluide autour d’une sphère dans un planméridien : visualisation des déformations de diverses cellules.

Doc. 8. Écoulement d’un fluide autour d’un cylindre en rotation :nous visualisons les déformations de diverses cellules.

Pour un écoulement quelconque, l’évolution d’un volume élémentaire defluide combine trois aspects locaux vus séparément : dilatation, rotation etdéformation.


1.1.2.

1 ( )

δδ ∆

∆tτ

τδ ∆

∆( )τ

τ

δ ∆ ∆ ∂∂

∂∂

∂∂

δ( ) –τ τ= ′ ′ ′ ≈ + +

d d d d d dx y z x y zx y z

tx y zv v v

d d′ = +

z zz

tz1∂∂

δv.d d′ = +

y yy

ty1∂∂

δv

d d d d′ = + + + + = +

x x x x x t t x x t t xx

tx xxv v

v( , ) – ( ( , ) ) .δ δ ∂

∂δ1

∂∂v x

x

δ δ δ(d )

d

(d )

d

(d )

d.

xx

yy

zz

+ +

1 ( )

δδ ∆

∆tτ

τ

Application 2

vy(y + dy, t)δt

vx(x + dx, t)δt

vz(z + dz, t)δt

vx(x, t)δtvy(y, t)δt

vz(z, t)δt


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L’analyse de la contribution de chaque aspect (translation, dilatation, rotation, ...)n’est pas évidente. Il est cependant possible de rattacher les phénomènes de dila-tation et de rotation locales au champ des vitesses du fluide.

Champ des vitesses et dilatation : rôle de « div v »

Un écoulement tridimensionnel est supposé tel que chaque composante de vitessene dépend que de la coordonnée correspondante M(x, y, z) :

v(x, y, z, t) = vx(x, t)ex + vy(y, t)ey + vz(z, t)ez .

Pendant le temps δ t , les parois d’une cellule de volume d x d y d z se déplacentorthogonalement à elles-mêmes (doc. 9).

L’arête de longueur d x du cube devient :

De même, et

Le volume élémentaire ∆t a donc varié de δ (∆t) tel que :

= divv ∆t δ t ,

soit = divv δ t ou = divv.

Nous admettrons la généralité de ce calcul reliant le champ des vitesses au phéno-mène de dilatation (cf. Application 2 ).

1 ( )

δδ ∆

∆tτ

τδ ∆

∆( )τ

τ

δ ∆ ∆ ∂∂

∂∂

∂∂

δ( ) –τ τ= ′ ′ ′ ≈ + +

d d d d d dx y z x y zx y z

tx y zv v v

d d′ = +

z zz

tz1∂∂

δv.d d′ = +

y yy

ty1∂∂

δv

d d d d′ = + + + + = +

x x x x x t t x x t t xx

tx xxv v

v( , ) – ( ( , ) ) .δ δ ∂

∂δ1

Démontrer la généralité de la proposition :

= divv

en limitant à l’ordre un les variations des arêtes d x ,d y et d z d’une cellule de volume ∆t .

À la date t , nous avons ∆t (t) = d x d y d z .

À la date t + δ t , nous avons :

∆t ′ = d x′ d y′ d z′ = ∆t (t + δ t)= (d x + δ(d x)) (d y + δ(d y)) (d z + δ(d z)) .

∆t (t + δ t ) − ∆t (t)

= δ(∆t) = d x d y d z

Enfin d x′ – d x = δ (d x)

= (vx(x + d x, y, z, t) – vx(x, y, z, t) ) δ t

= d x δ t ,

et de même (doc. 10a) :

d y′ – d y = δ (d y) = (vy(x, y + dy, z, t) – vy(x, y, z)) δ t

= d y δ t.

d z′ – d z = d z δ t.

D’où (doc. 10b) : δ(∆t) = ∆t divv δ t .

∂vz∂z

∂vy∂x

∂∂v x

x

δ δ δ(d )

d

(d )

d

(d )

d.

xx

yy

zz

+ +

1 ( )

δδ ∆

∆tτ

τ

Signification physique de div v

M

x

y

z

vy(y + dy, t)δt

vx(x + dx, t)δt

vz(z + dz, t)δt

vx(x, t)δtvy(y, t)δt

vz(z, t)δt

Doc. 9. Dilatation d’un cube de fluide.


3.

écoulement incompressible

D

D

ρt

D

D

ρt

= 0.

D

D

ρt

= 0.

ρτ

= ∆∆

m

1.1.3.

ez

er

eθ

ω

v(P, t)δ t

v(Q, t)δ t

δ ∆∆( )τ

τ

v(x, y + dy, z)δ t

v(x, y, z)δ t

v(x, + dx, y, z)δ t


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Remarque

La surface délimitant l’élément de fluide de volume ∆t se déplace avec la vitessedu fluide (volume particulaire), la masse ∆ m de cet élément de volume ∆t estdonc constante.Si div v = 0 , au cours de son déplacement, le volume ∆t de l’élément de fluidene varie pas. Comme sa masse ∆ m est constante, la masse volumique du fluide

est donc constante lorsqu’on suit cet élément de volume, c’est-à-dire que

Si div v= 0 , nous sommes en présence d’un :

Nous retrouvons ainsi ce qui avait été vu au chapitre 2, obtenu à partir de l’équa-

tion de la masse écrite sous la forme +r div v= 0 .D

D

ρt

D

D

ρt

= 0.

D

D

ρt

= 0.

ρτ

= ∆∆

m

Champ des vitesses et rotation : rôle de « rot— v »

Reprenons l’exemple de la tornade (exemple 3). Le champ des vitesses proposé estidentique à celui d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (Oz) (doc. 11).

Tout point M lié au solide a une vitesse de la forme v= w r eq , où w est la vitesseangulaire de rotation autour de l’axe (Oz) et r la distance du point M à l’axe (Oz).Calculons rot— v relatif au champ des vitesses de ce solide (w ne dépend pas descoordonnées d’espace) en tout point.

Localement, le taux de variation relative de volume par unité de temps estégal à la divergence du champ des vitesses :

= divv.

Le champ des vitesses d’un fluide nous renseigne sur sa dilatation par l’in-termédiaire de sa divergence.Si divv= 0 , nous sommes en présence d’un écoulement incompressible :

= 0 .DD t

( )1t

ez

er

eθM

S

O

r

z

z’

ω

Doc. 11. Solide en rotation autour d’unaxe fixe : v(M) = w∧ OM

—= w r eq .

P

Q

P’

Q’

∆τ ’à t + δt

∆τ à t

v(P, t)δ t

v(Q, t)δ t PP’ = v(P, t)δtQQ’ = v(Q, t)δt

Doc. 10b. La variation de volume est telle que :

= divv δ t .δ ∆∆( )τ

τ

y

y + dy

y

Ox x + dx

dx dx’

dy’

x

v(x, y + dy, z)δ t

v(x, y, z)δ t

v(x, + dx, y, z)δ t

Doc. 10a.


vecteur tourbillon


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lit.


En coordonnées cartésiennes :

OM—

= x ex + y ey + z ez et w = w ez .

v = w ∧ OM—

= – w y ex + w x ey

rot— v = 2 w ey = 2w .Le rotationnel de la vitesse en un point du solide nous donne une mesure de lavitesse de rotation du solide autour de l’axe (z z ′).

Ce résultat sera admis sans démonstration pour tout fluide en mouvement, en pré-cisant bien que, contrairement au cas du solide en rotation, rot—v peut varier d’unpoint à un autre du fluide (des éléments de démonstration seront étudiés dans l’exer-cice 2). Par analogie avec le mouvement d’un solide, le estdéfini en tout point du fluide par rot— v = 2 W

–, et mesure la rotation (locale à la

vitesse angulaire W–

) d’une particule de fluide.

Remarque

Nous venons de définir le vecteur tourbillon sous la forme : rot—v. La diver-

gence d’un rotationnel étant nulle, nous avons div W–

= 0 .

On en déduit que W–

représente un champ de vecteur à flux conservatif.

Soit S une surface fermée constituée par deux sections S1 et S2 et un tube de champdu vecteur tourbillon W

–, S3 . S renferme le volume V.

0 = div W–

dV = W–

. ndS d’après le théorème d’Ostrogradski.

V S

Sur S3, W–

. ndS = 0. Il vient :

W–

. ndS + W–

. ndS = 0

S1 S2

W–

. ndS = – W–

. ndS : W–

est à flux conservatif.

S1 S2

Le débit de W–

est constant le long du tube de champ.

On en déduit qu’un tube de champ (ou une ligne de champ) de W–

ne peut pas com-mencer ou se terminer dans le fluide.

Ainsi, trois cas peuvent se présenter pour une ligne de champ W–

:– la ligne a une longueur infinie, même dans un volume restreint :– la ligne suit une courbe fermée :– la ligne commence et se termine aux frontières qui limitent le fluide.

Dans le cas d’un écoulement plan, les lignes de champ de vecteur W–

sont des droitesperpendiculaires à ce plan.

v = vx (x, y, t) ex + vy (x, y, t) ey ⇒ W–

= – ez .∂vx

∂y

∂vy

∂x12

12

W–

=

Localement, le champ des vitesses d’un fluide renseigne sur l’existencede tourbillons dans ce fluide par l’intermédiaire de son rotationnel.

Le vecteur tourbillon mesure la rotation locale du fluide.rot—v12

W–

=

rn

i ii

rn

rn

tubede champ

lignede champtourbillonnaire

S3

S1

Doc. 12. Le vecteur tourbillon W–

repré-sente un champ de vecteur à flux conser-vatif.


3.

1.2.

1.2.1.

écoulement stationnaire

1.2.2.

écoulement incompressible

1.2.3.

A


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Caractéristiques d’un écoulement

Écoulements stationnaires

Rappelons quelques définitions et résultats déjà vus.

En , il y a identité des trajectoires, des lignes de courantet des lignes d’émission. Nous verrons au § 1.3 que les lignes de courant peuventmatérialiser des contours d’obstacle (doc. 13 et Application 4).

Écoulements incompressibles

Si en tout point du fluide, le volume de tous les éléments de fluide est conservé aucours de l’écoulement, ce fluide est en .

D’après le § 1.1.3, la divergence du champ des vitesses nous renseigne sur la varia-tion de volume d’un élément de fluide suivi dans son déplacement. Si cet élémentgarde un volume constant, la divergence est donc nulle.

Rappelons qu’un champ vectoriel à divergence identiquement nulle, c’est-à-direnulle en tout point de l’espace, est également à flux conservatif. Ceci implique quele flux de ce champ est nul à travers toute surface fermée au sein du fluide, ouencore qu’il y a conservation du flux à travers toutes les sections d’un tube dechamp. Or le débit volumique est égal au flux du champ des vitesses. Nous endéduisons une caractéristique intéressante d’un écoulement incompressible.

Dans un écoulement incompressible (cf. Application 3), les lignes de courant seresserrent aux endroits de forte vitesse.

Le document 14 illustre également cette propriété : la vitesse du fluide est plusimportante au voisinage du point A , là où les lignes de champ se resserrent.

Écoulements tourbillonnaires ou non tourbillonnaires

Un écoulement est dit non tourbillonnaire si le vecteur tourbillon est partout nul,autrement dit, si le champ des vitesses du fluide est à rotationnel partout nul.

Remarque

La proposition ci-dessus suppose non seulement que rot— v soit nul en tout pointmais aussi qu’il n’y ait pas de point singulier où la vitesse (et donc rot— v) ne soitpas définie. Ce point délicat sera explicité lors de l’étude du vortex au § 2.2.

Dans un écoulement incompressible, le débit volumique est conservé à tra-vers toute section d’un tube de courant.

Un écoulement incompressible est un écoulement pour lequel div v estnulle partout : div v(M, t) = 0 .

Dans un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à traverstoute section d’un tube de courant.

Un écoulement pour lequel le champ des vitesses eulérien du fluide est indé-pendant de t est appelé écoulement stationnaire (indépendant du temps) :

v = v (M) avec = 0

.v

t

1 2

obstacles

Doc. 13. Matérialisation de lignes de cou-rant.

A

Doc. 14. Pour cet écoulement de fluideincompressible autour d’un cylindre animéd’un mouvement de rotation, les zones deforte vitesse sont situées aux endroits oùles lignes de courant se resserrent.


Dans un écoulement non tourbillonnaire

les lignes de courant sont donc nécessairement ouvertes

1.3.

1.3.1.

DS

v

′

Application 3


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lit.


Par opposition, dans un écoulement tourbillonnaire, il existe au moins un point dufluide où rot— v est non nul.

, le champ des vitesses du fluide estdonc à circulation conservative (la circulation du vecteur vitesse v le long de toutcontour fermé est nulle) : .


Écoulements et conditions aux limites

Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés à l’écoulement du fluide indépen-damment de ses limites. Cependant celles-ci existent : une rivière est limitée parses berges, un fluide est canalisé dans une conduite qui influe sur l’écoulement. Enfait, tout corps solide qui borde l’écoulement ou y fait obstacle va imposer desconditions sur la vitesse du fluide en son voisinage.

Limites à l’infini

Dans le mouvement d’un cylindre en translation dans un fluide, nous avons imposéune condition de repos du fluide « loin » du cylindre (doc. 16). C’est là une condi-tion aux limites du type « limite à l’infini ». Ce modèle sera adopté chaque fois

Dans un écoulement non tourbillonnaire, le vecteur tourbillon est nul entout point de l’espace, v est à circulation conservative et les lignes de cou-rant ne peuvent être fermées.

Si le vecteur tourbillon est non nul en au moins un point donné de l’espace,l’écoulement est dit tourbillonnaire.

Soit une rivière en écoulement (incompressible) sta-tionnaire, unidimensionnel. À un endroit de la rivière,appelé rapide, le lit se resserre ; sa section passe de Sà S¢ (S¢ < S). Le débit volumique en amont d’un rapideest Dv (doc. 15).

Calculer la vitesse de l’eau et le débit D¢v correspon-dant, au niveau du rapide.

Données :S = 100 m2 ; S¢ = 10 m2 ; Dv = 150 m3 . s – 1 .

L’écoulement étant unidimensionnel, Dv = Sv . Puisqu’ilest incompressible :

D′v = Dv = S′v′ ,

soit v′ = = 15 m . s – 1 = 54 km . h – 1 .

La carte d’écoulement de la rivière (doc. 15) montre, auniveau du rapide, un resserrement des lignes de courant,ce qui n’est qu’une autre façon d’exprimer la conser-vation du débit volumique à travers toute section d’untube de courant.

DS

v

′

Rapide d’une rivière

vitesse v

vitesse v’

section S

section S’

Doc. 15. Rapide de rivière.

– 4,2 – 2,8 – 1,4 0 0,7 2,1

x

y

21,5

10,5

0– 0,5

– 1– 1,5

– 2

Doc. 16. Visualisation des trajectoires desparticules de fluide lors du déplacementd’un cylindre : « loin » de ce cylindre, lefluide est immobile.


3.

1.3.2.

1.3.3.

Application 4

N

v(Pfluide)

w(Pobstacle)

N

v


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qu’il sera possible de se placer à des distances grandes devant les distances carac-téristiques du problème envisagé.

La houle est un mouvement de l’océan engendré par le vent à sa surface. Le fondde l’océan, « au repos », correspondra à une profondeur infinie si celle-ci est grandedevant la distance entre deux vagues.

Cas d’un obstacle fixe

Dans le référentiel d’étude, en un point au voisinage immédiat d’un obstacle, lefluide ne peut avoir de composante normale de vitesse par rapport à un obstaclefixe dans ce référentiel (doc. 17).

La vitesse du fluide représente la vitesse d’une particule : si la composante nor-male de cette vitesse était non nulle, cela signifierait que, soit la particule de fluidepénètre dans l’obstacle, soit un vide se crée entre le fluide et l’obstacle.

Nous excluons la première possibilité en supposant l’obstacle « étanche », et laseconde en supposant que le fluide ne se vaporise pas au voisinage de l’obstacle(un tel phénomène, appelé « cavitation », peut intervenir sur les pales d’une tur-bine à vitesse élevée).

Remarque : Aucune contrainte sur la composante tangentielle à l’obstacle n’a étéici établie. Le caractère visqueux des fluides réels l’introduira dans le chapitre 5.

La composante normale de la vitesse d’un fluide par rapport à un obstaclefixe est nulle.


Cas d’un obstacle mobile

Nous rencontrerons parfois des situations où l’obstacle est mobile ; il faudra dansces conditions se placer dans le référentiel P du point P de l’obstacle. Dans ceréférentiel P , le fluide ne peut avoir de composante normale de vitesse par rap-port à cet obstacle, c’est-à-dire que, dans le référentiel du laboratoire, les vitessesnormales à l’obstacle doivent être identiques (doc. 18).

En effet, notons w (Pobstacle, t)/ la vitesse du point P appartenant à l’obstacle.Plaçons-nous dans le référentiel P , en translation à la vitesse w (Pobstacle, t)/par rapport au référentiel , nous avons ainsi :

v(Pfluide, t)/ = v(Pfluide, t)/ P + w (Pobstacle, t)/ .

Un écoulement bidimensionnel a ses lignes de courantreprésentées sur le document 12.Montrer qu’à certaines conditions, il est possible deremplacer les lignes de courant 1 et 2 par des paroisréelles qui en épousent le contour, sans changer la formede l’écoulement.

Si l’écoulement est stationnaire, les lignes de courantsont les mêmes à tout instant. Par définition, la vitesseest tangente à ces lignes en tout point. On peut doncmatérialiser ces lignes par des parois réelles. Les condi-tions aux limites sur ces parois fixes sont respectées etl’écoulement précédent est inchangé.

Matérialisation d’une ligne de courant

vitesse de l’obstacle

obstaclemobile

N

v(Pfluide)

P

vT

vN

wT

wN=

w(Pobstacle)

y

xO

Doc. 18. Dans un référentiel , la com-posante normale de la vitesse d’un fluideest nécessairement égale à la composantenormale de la vitesse du point correspon-dant de l’obstacle.

y

x

obstacle fixedans

N

P

O

v

Doc. 17. Dans un référentiel , la vitessed’un fluide est nécessairement tangente àun obstacle fixe dans ce référentiel.


( ˙ ˙ cos )a t z tC( ) + ( ) θ

∂∂Ft

Application 5

ereeR

θ

eφ

’

vw

N


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Appelons N

la normale à la surface de l’obstacle ; nous devons avoir (cf. § 1.3.2) :

v(Pfluide, t)/ P . N

= 0 .

Ceci nous permet d’écrire :

v(Pfluide, t)/ . N

= w(Pobstacle, t)/ . N

, soit vN = wN .

Examinons l’Application 5 relative au cas général d’un écoulement de fluide autourd’un obstacle mobile et déformable.

Dans le référentiel du laboratoire, un fluide est enécoulement autour d’une surface imperméable, fermée,mobile et déformable (doc. 19). Le champ des vitesseseulérien de ce fluide est donné par v (M, t)/ , et lasurface par une équation de la forme F(M, t) = 0 .

On notera w(P, t)/ la vitesse d’un point P de la sur-face.

1) Montrer que la surface étant imperméable, on doitavoir :

v(P, t)/ . grad—

F = w(P, t)/ . grad—

F .

En déduire que la condition d’écoulement autour de cetobstacle s’écrit dans sous la forme :

+v(P, t)/ . grad—

F = 0 .

2) Soit un obstacle sphérique de rayon a(t) variable,de centre C , de cote zC et de vitesse U

(t) = U(t)ez .

Déterminer diverses expressions de la fonctionF(M, t) dans les référentiels et ′ .

3) En déduire la condition que doit vérifier la vitesse dufluide au voisinage de cet obstacle déformable et mobile.Montrer que la vitesse v(P, t) s’écrit sous la forme géné-rale suivante :

v(P, t) = eR + vq + vj ,

avec eR , eq et ej les vecteurs unitaires du systèmede coordonnées sphériques associés au référentiel

¢ = (C, X, Y, Z).

1) Considérons un point P de la surface F(P, t) = 0 .La normale N

à la surface en ce point est parallèle au

gradient de la fonction F : N

= l grad—

F .

Plaçons-nous dans le référentiel P , en translation parrapport au référentiel , lié au point P de la surface,de vitesse w(P, t)/ . Nous avons ainsi :

v(P, t)/ = v(P, t)/ p + w(P, t)/ .

Le fluide ne peut pas pénétrer dans l’obstacle, soit :

v(P, t)/ p . N

= 0 ;

ce qui nous donne :

v(P, t)/ . N

= w(P, t)/ . N

,

et sachant que N

= l grad—

F (doc. 19) :

v(P, t)/ . grad—

F = w(P, t)/ . grad—

F .

( ˙ ˙ cos )a t z tC( ) + ( ) θ

∂∂Ft

Écoulement autour d’un obstacle mobile et déformable

ereeR

θ

θ

eφM

R

Y

O

Xx

z

r

y

Za(t)

cote zC

’

U(t)Cα

ρ ϕ

Doc. 19. Mise en évidence des référentiels et ′ avecles notations utilisées.

Pv

w

vTwT

vN = wN

grad F

N

obstacle mobile

surface F(P, t) = 0à la date t

Doc. 20. La surface étant imperméable, nous avons :v . grad

—F = w . grad

—F .


3.

22.1.

= erz

) ;

Ω ar

2

( ˙ ˙ cos )a t z tC( ) + ( ) θ

( ˙ cos ˙)z aC θ +

∂∂Ft

z z z aa z a aa

a z a

C C C

C

= − − + = − +

= − +

2 2

2

( ˙ ( ) ˙) ( ˙ cos ˙)

( ˙ cos ˙).

θ

θ

∂∂Ft

∂∂Ft

∂∂Ft

D

D

Ft

=


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Poursuivons l’étude cinématique des écoulements par des exemples mettant, notam-ment, en évidence la topographie du champ des vitesses du fluide.

Écoulement tourbi l lonnaire :la tornade

Champ des vitesses - Topographie

Une tornade est un phénomène météorologique défini comme « un coup de ventviolent et tourbillonnant ». Un modèle simplifié de la tornade la présente commeun écoulement de fluide présentant une symétrie de révolution autour d’un axe ez .Le champ des vitesses associé est de la forme (en coordonnées cylindriques) :

• pour r < a : v(r) = r W eq ;

• pour r > a : v(r) = eq .

C’est un champ orthoradial dont le module ne dépend que de la distance r à l’axe.À l’intérieur d’un cylindre de rayon a , qui constitue « l’œil » de la tornade, lavitesse croît linéairement de 0 à sa valeur maximale quand r varie de 0 à a ,puis décroît jusqu’à l’infini où le fluide est au repos (doc. 21). Notons la continuitéde la vitesse en r = a .

Ce champ, partout de la forme f(r)eq , est à divergence nulle (cf. Annexe) : l’écou-lement est donc incompressible.

Calculons rot— v en tout point de la tornade :

• pour r < a :

rot— v = rot— (r W eq ) = W (r rot— eq + grad—

r ∧ eq ) = 2W ez (car rot— eq = erz

) ;

Ω ar

2

Sachant que F(P, t) = 0 , nous avons :

+w . grad—

F = 0 ,

donc : +v . grad—

F = 0 .

2) Écrivons que le rayon de la sphère est égal à a(t) ,soit, quand M est en P :

CP2 – a(t)2 = 0 , donc R2 – a(t)2 = 0 ,

ou encore r2 + zC2 – 2zC rcosa – a(t)2 = 0 , donc la fonc-

tion F est donnée par :

• expressions dans :

F(P, t) = r2+ zC2 – 2zC r cosa – a(t)2,

F(P, t) = x2 + y2 + (z – zC)2 – a(t)2 ;

• expressions dans ′ :

F(P, t) = R2 – a(t)2 ,

F(P, t) = X2 + Y2 + Z2 – a(t)2.

3) La condition s’écrit + v . grad—

F = 0 .

• Dans le référentiel :

• Le gradient de la fonction F s’écrit très simplement

en fonction des vecteurs unitaires du référentiel ′,sous la forme grad

—F = 2R eR avec R = a , soit :

grad—

F = 2a eR , d’où v . grad—

F = 2avR .

Ce qui nous donne :

vR = eR ,

et donc l’expression générale de la vitesse s’écrit :

v(P, t) = eR + vq + vj .( ˙ ˙ cos )a t z tC( ) + ( ) θ

( ˙ cos ˙)z aC θ +

∂∂Ft

z z z aa z a aa

a z a

C C C

C

= − − + = − +

= − +

2 2

2

( ˙ ( ) ˙) ( ˙ cos ˙)

( ˙ cos ˙).

θ

θ

∂∂Ft

∂∂Ft

∂∂Ft

D

D

Ft

=

Doc. 21. Mise en évidence du champ desvitesses d’une tornade.


( ) )erθ

= 0erθ

Ω ar

e2

θ

3.2.

Ω ar

2

− Ω 2 4

3a

rv 2

2

v 2

2

v 2

2

v 2

2

v 2

2

v 2

2

Ω ar

2

Application 6

vv


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• pour r > a : (car rot—,

(cf. Annexe)

Ce calcul montre l’existence d’un vecteur tourbillon uniforme 2W ez à l’intérieurdu cylindre de rayon a et nul à l’extérieur : l’écoulement est tourbillonnaire, maisle tourbillon est limité au cylindre de rayon a .

L’écoulement est stationnaire, donc les lignes de courant et les trajectoires sontconfondues : ce sont des cercles centrés sur l’axe ez .

( ) )erθ

= 0= 0e

rθ

= W a2 rot—Ω ar

e2

θ

rot— v = rot—

Circulation. Cas limite du vortex

La tornade est un écoulement à symétrie cylindrique, de la forme v = v (r)eq , avecl’existence d’un vecteur tourbillon WW

–, uniforme à l’intérieur d’un cylindre d’axe

(Oz) et de rayon a (doc. 21). La propriété permet de retrouver le

vecteur vitesse en tout point.

Il suffit pour cela de calculer la circulation du vecteur vitesse le long d’une lignede courant (doc. 22).

• Pour r < a : C = soit

C S

• Pour r > a : C = soit :

C S

eq .Ω a

r

2

v =

rot—v . d S

= 2W π a2 ,v . d l

= 2π r v =

v = W r eq .rot—v . d S

= 2W π r2 ,v . d l

= 2π r v =

rot—v12WW

–=

eqr

eq

Dans le modèle de la tornade, le champ des vitesses estde la forme (en coordonnées cylindriques) :

• pour r < a : v(r) = rW eq ;

• pour r > a : v(r) = eq .

Calculer l’accélération d’une particule.

Le régime étant stationnaire, l’accélération se réduit

à v . grad—

v. Utilisons la formule :

• Pour r < a :

• Pour r > a :

= er .− Ω 2 4

3a

rv 2

2

= grad—Dv

D t

= – rW 2 er .

v 2

2

= – grad—

– grad—

v2v 2

2

= grad—

– 2rW 2 erv 2

2

= grad—

+ 2W ez ∧ r W eqv 2

2

= grad—Dv

D t

+ rot— v∧v .v 2

2

v . grad—

v =+ grad—

Dv

D t

Ω ar

2

Accélération d’une particule de fluide dans le modèle de la tornade

Ω

vv

lignede courantde rayon r < a

lignede courantde rayon r > a

Ω

Doc. 22. La circulation du vecteur vitessele long d’une ligne de courant circulairede rayon r dépend du choix de cette ligne(r < a ou r > a).


vortex

2.3.

µ0

2

Irπ

µ0

2

jr

erθ

Cr2π

3.


La circulation le long d’une ligne de courant extérieure à l’œil de la tornade estC = 2π a2W . C’est donc une constante qui peut caractériser la tornade au mêmetitre que la donnée de W . Le cas limite obtenu en faisant tendre a vers 0 tout enmaintenant C constante définit alors un .Le champ des vitesses d’un vortex s’écrit (doc. 23 a et b) :

v(r) = eq avec r ≠ 0 .

Ce nouveau champ des vitesses semble non tourbillonnaire puisque

C’est en fait oublier la singularité en r = 0 , provenant du modèle limite qu’est levortex. Il ne faut plus alors s’étonner de l’apparent paradoxe :

C =

C

puisque cette circulation fait appel à un contour englobant le point singulier r = 0où v n’est plus définie. Les lignes de courant du vortex sont bien fermées et entou-rent l’axe (Oz), lieu de la « singularité ».

Le même problème peut apparaître encore de façon plus subtile avec un champ desvitesses du même type, qui ne serait défini que pour une distance r > R . C’est lecas quand un obstacle cylindrique de rayon R est présent au sein du fluide (doc. 8et 15) : le champ des vitesses est irrotationnel ( rot— v = 0

), mais la circulation de

v est non nulle sur toutes les courbes entourant le cylindre.

Analogie magnétostatique

Le champ des vitesses de la tornade rappelle le champ magnétique créé par uncylindre infini de rayon a , parcouru par des courants volumiques de densitéj

= jez uniforme.Ce champ a en effet la configuration :

• pour r < a : ;

• pour r > a : .

Au cas limite du vortex répond alors le cas d’un fil infini parcouru par l’intensité

I = j π a2 , pour lequel le champ vaut .

Cette correspondance formelle n’est pas fortuite. En effet, pour un écoulementincompressible, le champ des vitesses du fluide obéit en tout point de l’espace auxéquations différentielles :

div v = 0 et rot— v = 2W–

.

Un champ magnétique permanent obéit aux mêmes équations :div B

= 0 et rot— B

= m0 j

.

La première équation décrit un caractère intrinsèque de B

, de même divv = 0représente un caractère intrinsèque du champ des vitesses de tout écoulement incom-pressible.La deuxième équation lie le champ B

à sa source qui est le courant, et rot— v= 2W

–

relie également v à sa source, le vecteur tourbillon W–

.

eqµ0

2

Irπ

B

(r) =

eqm0 ja2

2rB

(r) =

eqµ0

2

jrB

(r) =

v . d

≠ 0 avec rot—v = 0

,

= 0

.erθ

rot—

Cr2π

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Doc. 23a. Champ des vitesses d’un vortexavec la mise en évidence de la déforma-tion d’une particule de fluide.

arrivée d’eau

évacuationde l’eau

tourbilloncentral

Doc. 23b. Réalisation pratique d’un vortex.En régime permanent, l’eau arrive tan-gentiellement par le haut et s’écoule parun trou placé au centre de la surface debase du cylindre.


Ω

d

d

v ( )zz

d

d

v ( )zz

d

d

v ( )zz

Application 7


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Généralisons ce résultat : si deux problèmes, l’un de magnétostatique, l’autre d’écou-lement incompressible, présentent les mêmes symétries, les mêmes conditions auxlimites et les mêmes répartitions de « sources », alors les solutions (c’est-à-direl’expression du champ B

et de la vitesse v) seront formellement identiques.

Cette analogie magnétostatique trouve une illustration amusante dans le « rond defumée » issu du cratère d’un volcan (doc. 24) : celui-ci peut être décrit comme unanneau de tourbillon filiforme analogue à une spire circulaire parcourue par un cou-rant i . L’anneau tourbillon est alors caractérisé par sa circulation C , identiquepour tous les contours fermés entourant une fois l’anneau (doc. 25).

Remarque

Rappelons que le vecteur tourbillon est un vecteur axial défini par

donc sa divergence est nulle : div W–

= 0 . Les lignes de champ du vecteur W–

sontdes lignes fermées. Il en est de même pour des lignes de champ du vecteur densitévolumique de courant j

dans l’approximation des régimes stationnaires :

div j

= 0 .

rot— v ,12W

–=

rond de fumée

volcan

fumée

Doc. 24. Rond de fumée d’un volcan.lignede tourbillon

lignede courant

rond de fumée

spire parcouruepar un courant I

lignede champ de B

champ magnétique créé par une spire

IΩ

Doc. 25. Analogie entre un rond de fumée et le champ magnétique créé par une spire.

Déterminer le champ des vitesses d’un fluide associé àune répartition de tourbillon uniforme finie, entre deuxplans infinis parallèles distants de 2a , le vecteur W

–

étant lui-même parallèle aux deux plans (doc. 26) . Onadmettra la continuité de la vitesse en | z | = a .

Le problème est tout à fait analogue à celui du calculd’un champ B

créé par une distribution de courants du

même type. La topographie de v est en tout point iden-tique à celle de B

, qui est de la forme B

= B(z)ex , où

B(z) est une fonction impaire de z :

• Si | z | < a : , soit v (z) = 2W0 z .

• Si z > a : = 0, soit v (z) = 2W0 a par conti-

nuité de v (z) en z = a .

eyd

d

v ( )zz

= 2W 0 eyeyd

d

v ( )zz

ey .d

d

v ( )zz

rot—v = rot—(v (z) ex) =grad—

v (z) ∧ ex =

Tourbillon uniforme entre deux plans infinis

Ω = 0

Ω = 0

Ω Ω= ey y

z

z = a

z = –a

x0 ey

Doc. 26. Tourbillon uniformeentre deux plans infinis :W = W0 ey pour – a < z < aet nul ailleurs.


3.

3.1.

3.2.

∂∂

∂∂

φ

φ

( , , )

( , , )

x y tx

x y ty

3

d

d

v ( )zz


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Écoulements non tourbil lonnaires

Écoulements potentielsUn écoulement non tourbillonnaire, nous l’avons vu, est tel qu’en tout point de l’es-pace :

2 W–

= rot— v= 0

:

Le vecteur tourbillon W–

est nul en tout point de l’espace. À la vitesse v est alorsassocié un scalaire f tel que v= grad

—f . Ce scalaire est appelé potentiel des vitesses.

Il n’est défini qu’à une constante additive près. Si l’écoulement est de plus incom-pressible, div v= 0 , d’où div(grad

—f) = ∆f = 0 .

Propriétés du potentiel des vitesses

La relation v = grad—

f impose que le champ des vitesses est orthogonal aux sur-faces f = cte (sauf si localement la vitesse est nulle) (doc. 28 et 29).

En fonction de f , les composantes de la vitesse sont (dans le cas d’un écoulementplan par exemple) :

• en coordonnées cartésiennes :ex

ey

∂∂

∂∂

φ

φ

( , , )

( , , )

x y tx

x y ty

v(x, y, t) =

• Un écoulement non tourbillonnaire (W–

= 0–

partout) est dit potentiel : entout point de l’écoulement, le potentiel de vitesses est tel que v = grad

—.

• Si l’écoulement est incompressible, obéit à l’équation dite de Laplace := 0 .

• Si z < a : = 0, soit v (z) = – 2W0 a par conti-

nuité en z = – a .

Ce qui nous donne l’allure du document 27.

Remarque : W–

≠ 0

pour – a z a, mais les lignes decourant sont des droites parallèles !

Discutons l’hypothèse « continuité de la vitesse en| z | = a ».

Le vecteur champ magnétique B

ne subit une disconti-nuité que si, localement, il existe une densité surfaciquede courant j

s non nulle (B

t2 – B

t1 = m0 j

s ∧ N

12 ; cf.H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année).

Or seule une densité volumique de courant j

V infiniesur une petite épaisseur peut créer cette densité surfa-cique de courant j

s . Donc dès qu’une densité volu-mique de courant est partout finie, B

est toujours continu.

L’analogie magnétique précédente nous permet doncd’écrire que v est partout continue, car W

–est partout

fini, en particulier en z = a et z = – a .

d

d

v ( )zz

Ω = 0

Ω = 0

Ω Ω=ey

y

z

z = a

z = –a

x0 ey

Doc. 27. Champ des vitesses relatif à un tourbillon uni-forme entre deux plans infinis.


3.3.


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• en coordonnées polaires : .

Analogie électrostatiqueLes définitions précédentes en rappellent d’autres vues en électrostatique : un champ

électrostatique E

est tel que rot— E

= 0

. Il lui est associé un potentiel électrosta-tique V tel que E

= – grad

—V .

Dans une région vide de charges, div E

= 0 . Dans cette région le potentiel obéitalors également à l’équation de Laplace ∆V = 0 .

Les lignes de champ de E

sont perpendiculaires aux équipotentielles.

Il existe alors une nouvelle analogie formelle liant cette fois le champ des vitessesdu fluide à un champ électrostatique.

er

eqv(r, q, t) =

Doc. 28. Écoulement potentiel dans un dièdre d’angle . a. Les lignes de courant (en couleur) et les lignes f = cte (en noir) sont

orthogonales. b. Allure de la vitesse.

3π4

a) b)

Doc. 29. Écoulement potentiel dans un dièdre d’angle . a. Les lignes de courant (en couleur) et les lignes f = cte (en noir) sont ortho-

gonales. b. Allure de la vitesse.

π3

a) b)

∂f(r,q,t)∂q

1r

∂f(r,q,t)∂r


3.

3.4.

λε2 0π r

.λε

h

0

Er

rλε2 0π


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Par conséquent, deux problèmes associés présentant les mêmes caractéristiquesgéométriques et les mêmes conditions aux limites auront la même solution for-melle. Illustrons ce résultat sur divers exemples.

Exemple d’une sourceou d’un puits bidimensionnels

Le problème du calcul du champ électrostatique E

créé par un fil rectiligne infiniuniformément chargé avec la densité linéique l est classique. La symétrie cylin-drique du problème et les propriétés de tout champ E

(cf. H-Prépa, Électroma-

gnétisme, 1re année) impliquent un champ de la forme E

= E(r) er (doc. 30).

L’application du théorème de Gauss à un cylindre de rayon r et de hauteur h quel-conque aboutit à (doc. 31) :

2π r h E(r) = , soit E(r) =

Ce champ est défini dans tout l’espace hormis le fil lui-même : cet espace est videde charges et E

remplit donc bien les conditions du § 3.3 : div E

= 0 .

λε2 0π r

.λε

h

0

• Champ des vitesses d’un fluide en écoulement potentiel (non tourbillon-naire) et incompressible :

rot— v = 0

, d’où il existe tel que v = grad—

.v est orthogonale aux surfaces = cte .

div v = 0 , soit = 0 .

• Champ électrostatique dans une région vide de charges :

rot— E

= 0

, d’où il existe V tel que E

= – grad—

V .E

est orthogonal aux surfaces V = cte .div E

= 00 , soit V = 0 .

champ E créé par un fil infiniuniformément chargé

champ v créé par une source infiniede débit linéique uniforme

z

E(r) =

z’

z

z’

λλπε2 r0

v (r) = π2 rDv Dv1

Doc. 30. Analogie électrostatique entre une source et le champ électrostatique créé parun fil.

fil infini chargé

cylindrede hauteur h

λ

Er

Doc. 31. L’application du théorème deGauss à un cylindre de rayon r et de hau-

teur h conduit à er .r

λε2 0π

E

(r) =


44.1.

kr


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L’écoulement potentiel analogue de la dynamique des fluides doit avoir un champ

des vitesses du fluide (doc. 32) de la forme v= er avec div v = 0 .

Caractérisons plus concrètement cet écoulement potentiel. La vitesse du fluide tendvers 0 quand r tend vers l’infini : le fluide est au repos « infiniment loin » del’axe (Oz). Le flux de v est bien conservé à travers tout cylindre de hauteur h etde rayon r : F = 2π r hv (r) = 2π h k .

Ce flux non nul semble en contradiction avec div v = 0 . Une fois encore, la vitessen’est pas définie en r = 0 , l’axe (Oz) constituant un ensemble de points singuliers.En fait, de même que le fil chargé constitue la source du champ électrostatique,l’axe (Oz) est à l’origine de l’écoulement considéré : il faut le considérer commeémettant ou recevant du fluide. Le flux de v à travers un cylindre de rayon r quel-conque et de hauteur h constitue alors une caractéristique de l’écoulement, aumême titre que la circulation de v dans le cas du vortex. Ce flux représente undébit volumique par unité de longueur de l’axe (Oz), noté Dv par exemple, et joueun rôle analogue à celui de la densité de charge l dans le modèle électrostatique :

F = hDv = 2π h k , soit v = er .

La carte d’écoulement est identique dans tout plan orthogonal à l’axe (Oz) : sui-vant que Dv est positif ou négatif, cet axe est qualifié de source ou puits bidi-mensionnel. Un fin tuyau d’arrosage percé d’une multitude de petits trousuniformément répartis sur sa surface donne une bonne image de la source étudiée.

À cet écoulement potentiel correspond un potentiel des vitesses f tel que :

d f = v . d r , soit f = ln r + K.

La constante K doit être fixée de façon arbitraire en imposant l’origine f = 0 enune valeur particulière de r.

Construction d’un écoulementpar superposit ion

Principe de superposition

Les modèles simples que nous venons de décrire permettent de construire des écou-lements plus complexes en utilisant une méthode de superposition, suivant un prin-cipe déjà évoqué en électromagnétisme.

La linéarité des équations différentielles régissant un écoulement permet de décom-poser un problème donné en une somme de problèmes simples auxquels corres-pondent des écoulements de vitesses v1 , v2 , ..., vi , ...

L’écoulement répondant au problème global sera alors caractérisé par :

v = v1 + v2 + ... + vi + ...

Dv

2π

Dv

2π r

kr

Doc. 32. Champ des vitesses d’une sourcebidimensionnelle.

Le champ des vitesses d’une source bidimensionnelle de débit linéique Dv

est égal à v = er . Ce champ dérive du potentiel = ln r + K.Dv

2Dv

2 r


3.

4.2.

r r= 0 exp

drr

=d dr r

rv v= θ

θ

1

2π r

Cr2π

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Nous allons développer à présent la même méthode sur un exemple d’écoulementautour d’un obstacle.

Dipôle hydrodynamique (bidimensionnel)

Considérons l’association d’une source bidimensionnelle (débit Dv ) et d’un puitségalement bidimensionnel (débit – Dv ), situés à proximité l’un de l’autre (les deuxdébits sont donc opposés). Le document 34 nous montre une simulation de l’écou-lement obtenu. Nous nous proposons de l’exprimer analytiquement.

Ce champ des vitesses est analogue au champ électrostatique engendré par uneligne bipolaire électrique : deux fils rectilignes infinis et parallèles, portant descharges linéiques – l et et + l, observées à une distance très supérieure à leur écar-tement (doc 35).

Remarques

• Les lignes de champ de la ligne dipolaire sont des cercles, ce qui n’est pas le caspour un dipôle tridimensionnel (deux charges électriques ponctuelles + q et – q ,cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année).

• Ce champ des vitesses ressemble beaucoup à celui du champ électrostatique créépar un dipôle électrostatique constitué de deux charges symétriques (– q et + q)proches l’une de l’autre, vis-à-vis de la distance d’observation, mais dans ce casles lignes de courant ne sont pas des cercles.

Déterminer le champ des vitesses résultant de la super-position d’un puits (débit linéique – Dv ) et d’un vortex(circulation C) de même axe.Représenter les lignes de courant.

• Pour le puits : v1 = – er en considérant Dv > 0.

• Pour le vortex : v2 = eq .

Par superposition :

v = v1 + v2 = (– Dv er + C eq ) .

Les lignes de courant sont données par :

, soit – ,

d’où . On obtient des spirales loga-

rithmiques (doc. 33).

Remarques

• Ce champ vérifie rot— v = 0

pour r > 0 . Mais la cir-culation du vecteur vitesse v sur un cercle de rayonr > 0 est égale à C , non nulle, car il existe une sourcede tourbillon (vortex) en r = 0 !

• Ce champ vérifie div v = 0 pour r > 0 . Mais le fluxsortant F de v à travers un cylindre de hauteur h etde rayon r > 0 est égal à – hDv , non nul, car il existeune source de champ en r = 0 !

Dv qC

r r= 0 exp

Dv dqC

drr

=d dr r

rv v= θ

θ

1

2π r

Cr2π

Dv

2π r

Superposition d’un puits bidimensionnel et d’un vortex

Doc. 33. Lignes de courant lors de la superposition d’unpuits bidimensionnel et d’un vortex.


dipôle hydrodynamique

φ φ φ= + =1 2


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Ce dipôle porte le nom de . Par analogie électrostatique,il s’obtient en superposant deux champs créés par deux lignes infinies chargées– l et + l par unité de longueur, très proches l’une de l’autre devant la distance

d’observation.

En M(r, q) , superposons le champ v1= – , de potentiel :

f1 = – ln r1 + K1 ,

d’un puits bidimensionnel d’axe (Oz), coupant le plan du document 36 en A1

(r1 = A1M—

) , et le champ v2 = + , de potentiel f2 = ln r2 + K2 ,

d’une source bidimensionnelle de même axe, coupant le plan de figure en A2(r2 = A2M

—) avec A1A2 = 2d << r1 et r2 (donc d << r) (doc. 36).

L’écoulement résultant de la superposition de v1 et v2 aura un potentiel f telque :

ln + K .

En prenant l’origine de ce potentiel en O (milieu de A1A2), nous obtenons :

f = ln .

Les lignes f = cte correspondent aux points tels que = cte, c’est-à-dire à des

cercles. Les lignes orthogonales sont donc aussi des cercles, ce que montre le docu-ment 37.

r1 et r2 s’expriment en fonction des coordonnées r et q du point M :

• r22 = r2 + d2 – 2 d r cosq ;

• r12 = r2 + d2 + 2 d r cosq .

r2

r1

r2

r1

Dv

2π

r2

r1

Dv

2πφ φ φ= + =1 2

Dv

2πr

2

r2

Dv

2π r2

Dv

2π

r

1

r1

Dv

2π r1

r q

M

x

y eqer

O

z

Doc. 34. Champ des vitesses relatif à l’écoulement d’un dipôlehydrodynamique (les lignes de courant sont des cercles).

O

M

d

r

y

xq

– l + lz

d

eqer

ez

Doc. 35. Ligne dipolaire. Les fils sont observés à distance r trèssupérieure à leur écartement 2d .

A1 A2

z

d d

y

x

M

O

(–Dv ) (+Dv )

θ

r1 r2

r

Doc. 36. Notations utilisées pour l’étudedu dipôle hydrodynamique (d << r).

lignesde courant

équipotentielle

Doc. 37. Les lignes de courant (en cou-leur) relatives à la superposition d’un puitset d’une source (débits égaux en module)sont des cercles.


3.

4.3.

limr→∞

pr2 2π

θdr

2 cos.ln

cosrr

dr

2

1

2≈ − θ

v0

er

vr

eθ

vθ

v0

v


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En faisant intervenir des développements limités à l’ordre 1 (premier terme nonnul du développement limité), nous obtenons :

r22 = r2 – 2 d r cosq + d2

1/2≈ r 1 – cos q ;

r12 = r2 + 2 d r cosq + d2

1/2≈ r 1 + cos q

donc , d’où f = –

Nous pouvons associer à ce dipôle hydrodynamique bidimensionnel, un « moment » :

p = 2 d Dv ex .

Au potentiel f correspond le champ des vitesses v = v1 + v2 de la forme :

v = (cosq er + sin q eq ) .

Les lignes de courant sont données par :

= , soit =

dont la solution r = k sin q représente l’équation d’un ensemble de cercles tan-gents à l’axe x x au point 0 lorsque k varie (doc. 37).

Écoulement autour d’un obstacle cylindriqueDans un écoulement primitivement uniforme, de vitesse v0 = v0 ex , est immergéun cylindre droit, de rayon a , de longueur infinie, d’axe orthogonal à v0 (doc. 38).Comment cet obstacle modifie-t-il le champ des vitesses du fluide ? Plus précisé-ment, nous cherchons un nouvel écoulement possible en présence de cet obstacle,qui soit de type potentiel.En fait, nous avons introduit une condition supplémentaire aux limites : le fluidene peut avoir de vitesse orthogonale au cylindre, au contact de celui-ci. Avec unchoix de paramétrage en coordonnées polaires dans le plan de figure (doc. 39), cecise traduit par : quel que soit q , v r (r = a, q ) = 0 (le fluide ne peut pas pénétrerdans l’obstacle).« Infiniment » loin de cet obstacle, l’écoulement doit être uniforme, soit :

v = v 0ex .

Cette deuxième condition suggère de « penser » l’écoulement comme la superpo-sition de l’écoulement uniforme primitif noté v1 = v 0 ex et d’un écoulement sup-plémentaire (que nous choisirons potentiel) v2 , la superposition des deux écoulementsassurant les conditions aux limites.L’écoulement v2 recherché doit tendre vers 0 à l’infini et vérifier quel que soit q :

v r (a, q) = 0 = v 0 cosq + v 2r(a, q), soit v 2r(a, q) = – v 0 cosq .

limr→∞

cos q dqsin q

d rr

r d qv q

d rv r

pr2 2π

θdr

2 cos.

Dv

2πln

cosrr

dr

2

1

2≈ − θ

dr

dr

Un dipôle hydrodynamique est constitué par la superposition d’un puits(– Dv ) et d’une source (+ Dv ) bidimensionnels très proches (distance 2d)l’un de l’autre vis-à-vis des distances r d’observation.Le potentiel du champ des vitesses v est donné dans un système de coor-données cylindriques par :

v = grad—; = – .

cosr

Dv dcylindrede rayon a

y

xO

v0

Doc. 38. Dans un écoulement primitive-ment uniforme, de vitesse v0 = v0 ex(vitesse du fluide loin de l’obstacle), estimmergé un cylindre droit, de rayon a, delongueur infinie et d’axe orthogonal à v0 .

M

θ

r

y

xO z

er

vr

eθ

vθ

v0

v

Doc. 39. Système de coordonnées utilisépour représenter le champ des vitesses.


champ dipolaire tridimensionnel

Cr2π

12

2+

ar

12

2−

ar

Cr2π

12

2+

ar

12

2−

ar

pa2 2π

pr2 2π


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Nous avons déjà rencontré précédemment le champ d’un dipôle hydrodynamique,

de la forme v2 = (cosq er + sin q eq ) .

Ce type d’écoulement peut représenter l’écoulement v2 que nous cherchions àcondition que :

= – v0 , d’où p = – 2π a2v0 .

L’écoulement recherché, autour de l’obstacle cylindrique, est donc obtenu en super-posant au champ v1 uniforme le champ v2 d’un dipôle hydrodynamique, demoment p = – 2πa2 v0 . Le champ résultant, en coordonnées polaires, s’écrit alors :

v = v0 cosq er – v0 sinq eq .

L’allure des lignes de courant est représentée sur le document 40. A et B sont despoints de vitesse nulle (ou points d’arrêt).

À ce champ, il est enfin possible de superposer un vortex, tel que v3 = eq .

Le champ devient alors :

v = v0 cosq er + – v0 sinq + eq .

Il représente l’écoulement autour d’un cylindre en rotation, ce dernier ayant ten-dance à entraîner le fluide (doc. 41).La construction, par superposition de champs élémentaires, d’un écoulement ciné-matiquement acceptable autour d’un cylindre, pourrait être répétée pour d’autresobstacles : l’écoulement autour d’une sphère pourrait ainsi être obtenu par la super-position d’un champ uniforme et d’un (champd’un dipôle électrique (– q, + q)).

L’association de champs élémentaires (uniforme, dipolaire, bi ou tridi-mensionnel, etc.) permet de réaliser, par superposition, des écoulementscinématiquement acceptables autour d’obstacles.

Cr2π

12

2+

ar

12

2−

ar

Cr2π

12

2+

ar

12

2−

ar

pa2 2π

pr2 2π

A B

Doc. 40. Écoulement potentiel autour d’un cylindre. Les pointsA et B sont des points de vitesse nulle.

A B

rotation ducylindre

Doc. 41. Écoulement d’un fluide autour d’un cylindre en rota-tion. Les points A et B sont des points de vitesse nulle.


3.

55.1.

écoulements potentiels incompressibles

Cr2π

12

2+

ar

12

2−

ar

− +

+

v 0

2

212

sinθ ar

Crπ

12

2−

ar

Application 9


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lit.


Équation de Laplace en physique

Quelques problèmes associés à l’équationde Laplace

Les introduisent un champ vectoriel, lechamp v des vitesses du fluide, et un champ scalaire, le potentiel des vitesses f ,tels que :

v = grad—

f et ∆f = 0 .

Cette modélisation est en fait commune à de nombreux problèmes en physique :nous avons d’ailleurs déjà évoqué une analogie électrostatique avec le champ vec-toriel E

et le champ scalaire V dans une région vide de charges :

E

= – grad—

V et ∆V = 0 .

Mais ce type d’équation se retrouve aussi dans les problèmes suivants :

• diffusion de particules :– champ scalaire : densité particulaire n ;

Soit le champ des vitesses précédent :

1) Calculer div v et rot— v pour r > 0 .

2) Soit un cylindre de hauteur h , de rayon a et de baseune courbe quelconque entourant ce cylindre.• Quel est le flux sortant du vecteur vitesse à travers cecylindre ?• Quelle est la valeur de la circulation du vecteur vitessesur la courbe ?

1) La vitesse v peut s’exprimer sous la forme :v = v1 + v2 ,

telles que :

,

et : v2 = eq .

• Nous savons que v1 est un champ « de nature élec-trostatique », donc rot— v1 = 0

.

Les sources de ce champ sont en r = 0 , donc nous avonsaussi pour r > 0 , divv1 = 0 .

• Nous savons que v2 est un champ « de nature magné-tostatique », donc divv2 = 0 . Les sources de ce champsont en r = 0 , donc nous avons aussi pour r > 0 :

rot— v2 = 0

.

Ainsi, nous obtenons pour r > 0 :

rot—(v1 + v2) = rot— v = 0

et div(v1 + v2) = div v = 0 .

2) Utilisons toujours la même décomposition.• Le flux sortant de v à travers le cylindre est nul, carle débit d’un dipôle hydrodynamique est nul ainsi quecelui d’un vortex.• La circulation de v sur la courbe est égale à C.La circulation est donc non nulle. Ceci est due au faitque nous sommes en présence d’un vortex : la singula-rité est en r = 0 .

Remarques

• Le flux sortant du vecteur vitesse est nul ; il est pos-sible de trouver des champs des vitesses afin que ce fluxsoit non nul, bien que div v = 0 .• La circulation du vecteur vitesse est non nulle pourr > 0 (il existe une singularité en r = 0 , donc lacirculation n’est pas nulle), bien que dans la zoneconsidérée rot— v = 0

.

Cr2π

12

2+

ar

er – v0 sinq12

2−

ar

v1 = v0 cosq

eq .− +

+

v 0

2

212

sinθ ar

Crπ

er +12

2−

ar

v = v0 cosq

Propriétés d’un champ des vitesses


5.2.


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– champ vectoriel associé : j

D = – D grad—

n avec D la diffusivité ;– en régime stationnaire : ∆ n = 0 , en l'absence de sources de particules ;

• diffusion thermique ::– champ scalaire : température T ;– champ vectoriel associé : j

Q = – k grad—

T avec k la conductivité thermique ;– en régime stationnaire : ∆T = 0 , en l'absence de sources thermiques ;

• loi d’Ohm dans un conducteur :– champ scalaire : potentiel V ;– champ vectoriel associé : j

= – g grad

—V avec g la conductivité électrique ;

– en régime stationnaire : ∆V = 0 .

En fait, dans tous ces problèmes, une fonction scalaire g obéit à l’équation deLaplace ∆ g = 0 , et une fonction vectorielle j

appelée courant est associée à g

par la relation :j

= – L grad—

g ,

où L est une constante caractéristique de chaque problème.

La géométrie et les conditions aux limites imposées à un problème physique par-ticulier entraînent l’unicité de la solution de l’équation ∆ g = 0 .

Par conséquent, deux problèmes, associés aux mêmes grandeurs ou à des grandeursanalogues au sens précédemment évoqué, et présentant la même configuration, ontdes solutions identiques ou analogues. Cette analogie a d’ailleurs été abondammentutilisée dans ce qui précède.

L’exemple suivant, commun à tous les problèmes indiqués plus haut, montre l’in-térêt d’une résolution conjointe.

Exemple communLe problème comporte ici une « source » et une condition aux limites bien parti-culière :• la source est bidimensionnelle, infinie et confondue avec un axe (Oz) ;• une première limite est constituée d’un plan infini parallèle à l’axe de la sourceet situé à une distance d de celui-ci ;• la seconde « limite » est l’infini où le milieu est supposé « au repos » (doc. 42).

Plus concrètement, le problème sera constitué par :

• en physique des fluides :– une source bidimensionnelle de débit volumique Dv ;– le milieu sera un fluide parfait de masse volumique r , en écoulement supposépotentiel ;– le plan sera une paroi fixe constituant un obstacle à l’écoulement ;

• en diffusion de particules :– une source de particules émettant une densité n de particules par unité de tempset de longueur de la source ;– le milieu sera caractérisé par la constante de diffusion D ;– le plan sera une paroi imperméable aux particules diffusées ;

• en diffusion thermique :– une source thermique de puissance linéique ;– le milieu sera caractérisé par sa conductivité thermique k ;– le plan sera une paroi parfaitement adiabatique ;

• en électrocinétique :– une source de courant portée au potentiel V et « émettant » un courant de vec-teur j

radial uniforme et d’intensité linéique I ;

source

z d

paroi

Doc. 42. Source bidimensionnelle en pré-sence d’une paroi infinie parallèle à l’axede la source.


3.

j1 j2

j

j


– le milieu sera un conducteur ohmique de conductivité g ;– le plan sera une paroi parfaitement isolante.

À chaque problème peut être associée une fonction scalaire g obéissant à l’équa-tion de Laplace ∆ g = 0 , et une fonction vectorielle appelée courant telle que :

j

= – L grad—

g .

• Dans tout l’espace hormis la source, g obéit à ∆ g = 0 .• Il existe une source bidimensionnelle de courant de débit linéique D .• Le plan limite impose en tous ses points un vecteur courant tangent.• Le courant doit en outre s’annuler à l’infini.

Compte tenu des conditions aux limites, il existe une solution unique identique àtous ces problèmes.

Cette solution unique peut elle-même être obtenue à partir d’un problème formel-lement équivalent, c’est-à-dire qui respecte les mêmes conditions aux limites.

Or, considérons le problème (b) constitué de la superposition de la même sourcebidimensionnelle et d’une deuxième source identique, symétrique de la premièrepar rapport à un plan coïncidant avec la paroi (qui dans ce deuxième problèmen’existe plus) (doc. 43).

Dans le problème (b), le vecteur courant s’obtient par superposition des courantsj

1 et j

2 associés à chaque source. Au niveau du plan de symétrie, le courant résul-tant est tangent au plan, ce qui respecte la condition imposée sur la paroi dans leproblème (a).

Dans le demi-espace situé du côté de la source, les problèmes (a) et (b) ont doncla même solution. Les lignes de courant j

et la grandeur g associées au problème

(a) résultent de la superposition des mêmes grandeurs associées à deux sourcesidentiques symétriques par rapport à la paroi :

j

= + ; g = ln r1r2 + cte.

Concrètement, dans le cas d’un écoulement de fluide :

v

= + ; F = ln r1r2 + cte.

La carte de l’écoulement est représentée sur le document 44.

Dv

2π

er 2

r2

er1

r1

Dv

2π

D

2π L

er 2

r2

er1

r1

D

2π

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Doc. 44. Champ des vitesses de l’écoule-ment d’une source face à un plan.

j1 j2

source 1 source 2

problème (b)

j

j

source

demi-espace 1

problème (a)

paroi

Doc. 43. Équivalence entre les problèmes(a) et (b) dans le demi-espace l.


C Q F R

CHAMP DES VITESSES D’UN FLUIDE

ÉCOULEMENTS NON TOURBILLONNAIRES


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C Q F R

• Pour un écoulement quelconque, l’évolution d’un système élémentaire de fluide combine trois aspects locaux :dilatation, rotation et déformation.

• DilatationLocalement, le taux de variation relative de volume par unité de temps est égal à la divergence du champ des

vitesses : = divv. Le champ des vitesses d’un fluide nous renseigne sur sa dilatation par l’intermédiaire

de sa divergence.

Si nous sommes en présence d’un écoulement incompressible : = 0 .

• Rotation

Localement, le champ des vitesses d’un fluide peut être semblable à celui d’un solide de vecteur rotation instan-tanée

–. Cette rotation particulière (tourbillon) du fluide en un point M existe si le rotationnel du champ des

vitesses : rot— v =2–

(–

représentant le vecteur tourbillon) est non nul.

Localement, le champ des vitesses d’un fluide renseigne sur l’existence de tourbillons dans ce fluide par l’inter-médiaire de son rotationnel.

Le vecteur tourbillon–

= rot— v mesure la rotation locale d’une particule de fluide.

• Caractéristiques d’un écoulement

Un écoulement pour lequel le champ des vitesses eulérien est indépendant de t est appelé écoulement stationnaire(indépendant du temps) :

v = v (M) avec = 0

.

Dans un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d’un tube de courant.

Un écoulement incompressible est un écoulement pour lequel div v est nulle partout : divv(M, t) = 0.

Dans un écoulement incompressible, le débit volumique est conservé à travers toute section d’un tube de courant.

Dans un écoulement non tourbillonnaire, le vecteur tourbillon est nul en tout point de l’espace, v est à circula-tion conservative et les lignes de courant ne peuvent être fermées. Si le vecteur tourbillon est non nul en au moinsun point donné de l’espace, l’écoulement est dit tourbillonnaire.

• La composante normale de la vitesse d’un fluide par rapport à un obstacle fixe est nulle.

• Un écoulement non tourbillonnaire est dit potentiel : en tout point de l’écoulement, le potentiel de vitesses φ esttel que v = grad

—φ .

• Si l’écoulement est incompressible, Φ obéit à l’équation dite de Laplace :

∆φ = 0 .

∂v

∂ t

12

D rD tdiv v = 0 ,

δ (∆τ)∆ τ

1δ t


3.

C Q F R

ANALOGIE ÉLECTROSTATIQUE

ANALOGIE MAGNÉTOSTATIQUE

SOURCES OU PUITS BIDIMENSIONNELS

DIPÔLE HYDRODYNAMIQUE


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C Q F R

• Champ des vitesses d’un fluide en écoulement potentiel (non tourbillonnaire) et incompressible :

rot— v = 0

, d’où il existe φ tel que v = grad—

φ .div v = 0 , soit ∆φ = 0 .

• Champ électrostatique dans une région vide de charges :

rot— E

= 0

, d’où il existe V tel que E

= – grad—

V .div E

= 0 , soit ∆V = 0 .

• Champ des vitesses d’un fluide en écoulement incompressible et tourbillonnaire :

rot— v= 2—

et div v= 0 .

• Champ magnétostatique :

rot— B

= µ0 j

et div B

= 0 .

Le champ des vitesses d’une source bidimensionnelle de débit linéique Dv est égal à :

v = er .

Ce champ dérive du potentiel φ = ln r + K .

Un dipôle hydrodynamique est constitué par la superposition d’un puits (– Dv ) et d’une source (+ Dv ) bidimen-sionnels très proches (distance 2d) l’un de l’autre vis-à-vis des distances r d’observation.

Le potentiel du champ des vitesses est donné dans un système de coordonnées cylindriques par :

Φ = – .

L’association de champs élémentaires (uniforme, dipolaire, bi ou tridimensionnel, etc.) permet de réaliser, parsuperposition, des écoulements cinématiquement acceptables autour d’obstacles.

cosqr

Dv d

π

Dv

2π

Dv

2π r


Contrôle rapide



Un écoulement incompressible est tel que :

Le vecteur tourbillon est défini par :

Un écoulement potentiel est tel que :


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lit.

Donner la relation entre div v et la variation de volume de la particule de fluide.

Quelle est la relation entre le vecteur tourbillon et la vitesse v ?

Définir (sans utiliser d’équations !)– un écoulement stationnaire ;– un écoulement incompressible ;– un écoulement potentiel.



1.

a. = 0 ;

b. div v = 0 ;

c. rot v = 0

;

d. + v . grad—

r = 0

.

2.

a. rot— —= 0

;

b. rot— (2—

) = v ;

c. (2—

) = rot— v ;

d.—

= rot .

3.

a.—

= 0

;

b.—

= grad—

y ;

c. v = grad—

y ;

d. v = rot— y .

Solution, page 83.

v

2

∂ r∂ t

D rD t


*

v

v

2Ω

1Ω v

Exercices


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lit.

Écoulement entre deux cylindresen rotation

L’écoulement entre deuxcylindres, d’axe (Oz), enrotation est donné par lechamp eulérien des vitessessuivant (coordonnées cylin-driques) :

Ce champ des vitesses correspond-il à :• un écoulement stationnaire ?• un écoulement incompressible ?• un écoulement avec tourbillons ?Vérifier si les conditions aux limites sur les deux cylindressont correctes.Existe-t-il un potentiel des vitesses ?

Écoulement au-dessus d’un plan oscillant

L’écoulement entre un planoscillant (y = 0) et l’infini(y infini) est donné par lechamp eulérien des vitessessuivant (coordonnées carté-siennes) :

v = a e– ky cos(w t – ky) ex .

Ce champ des vitesses correspond-il à :• un écoulement stationnaire ?• un écoulement incompressible ?• un écoulement avec tourbillons ?Vérifier si les conditions aux limites sont correctes.Existe-t-il un potentiel des vitesses ?

Écoulement bidimensionnel :v(vx(x, y), vy(x, y), 0)

Le champ eulérien desvitesses d’un écoule-ment bidimensionnelest donné par (en coor-données cartésiennes) :

v = (vx(x, y), vy(x, y), 0) .

On s’intéresse aux troisécoulements suivants :• cas A : v = (kx, ky, 0) ;• cas B : v = (ky, kx, 0) ;• cas C : v = (– ky, kx, 0).

1) Pour chaque cas caractériser l’écoulement (compressible ?tourbillonnaire ?). Existe-t-il un potentiel des vitesses ?Pour cet écoulement, déterminer :a) l’équation des lignes de courant ;b) l’équation des trajectoires. Commenter.2) Calculer l’accélération d’une particule de fluide.3) Représenter l’évolution d’un « carré » de fluide de côté aentre les instants t et t + d t . Commenter.

Fonction de courant d’un écoulementplan incompressible

1) Montrer qu’à tout écoulement plan incompressible définien coordonnées cartésiennes par v(vx, vy) , il est possibled’associer une fonction scalaire y (fonction courant) telleque :

et – , soit v = rot— (y ez )

2) Montrer qu’alors v. grad—

(y) = 0 et en déduire que lescourbes d’équation y = cte s’identifient aux lignes de cou-rant.

3) Appliquer ce résultat aux écoulements définis par les champsde vitesse suivants :a) v(ky, kx) ;b) v(– ky, kx).

Solide de Rankine

1) Une source ponctuelle tridimensionnelle située en O , ori-gine du système de coordonnées sphériques, émet un fluideincompressible dans toutes les directions de l’espace, demanière isotrope, avec un débit volumique Dv constant.

a) Déterminer le champ des vitesses v1 associé à cet écou-lement.b) Cet écoulement est-il stationnaire ?c) Existe-t-il un potentiel j1 des vitesses ?d) L’écoulement est-il incompressible ? Quelle est l’équationdes lignes de courant ?

2) On superpose à l’écoulement précédent un écoulement uni-forme de la forme v2 = v0 ex .a) Déterminer le champ v des vitesses résultant.b) Ce champ des vitesses est-il celui d’un écoulement incom-

sourceponctuelle S

écoulementuniforme

v = v0ex

∂∂ψx y= v

∂∂ψy x= v

v

O

M(x, y)

y

x

v

y

x

eq .ArBr

+

v =

2Ω

1Ω vO

r


Exercices


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pressible en dehors de la source ?c) Existe-t-il un potentiel j (v = grad

—j) des vitesses ?

d) Établir l’équation générale des lignes de courant.e) Montrer qu’il existe un point d’arrêt (point de vitesse nulle).Déterminer l’équation des lignes de courant passant par cepoint.f) Montrer qu’on obtient le même écoulement en introdui-sant dans un écoulement uniforme un solide de révolutionbâti à partir des lignes de courant définies dans la questionprécédente : ce solide est appelé solide de Rankine.

Écoulement rotationnel,évolution d’un rond de fumée

Un rond de fumée exhalé par un « malheureux » fumeur estmodélisé par un tore (de centre C, d’axe (Cz) et de rayonmoyen R) de section circulaire (de rayon e, donc de sections = πe2 ). On admet que e << R. Le fluide qui le constitueforme un « ensemble » qui évolue localement avec une vitesseangulaire constante

—= W eq . Ce fluide peut être considéré

en écoulement incompressible.

A. Champ des vitesses1) Rappeler les équations locales vérifiées par le champ eulé-rien v des vitesses.

2) En faisant une analogie magnétique :a) quel est l’analogue du rond de fumée ?b) quelle relation intégrale lie v et

—?

3) En déduire une expression de la vitesse induite par le rondde fumée en un point M de l’axe (Cz).

B. Évolution de deux ronds de fumée

Le « malheureux » fumeur exhale un rond de fumée de dia-mètre R1, de vorticité W , puis un deuxième de diamètre R2(inférieur à R1) et de même vorticité W , qu’observe-t-on ?

Comment peut-on expliquer le comportement des tourbillonssur les photos précédentes ?

Écoulement le long d’un dièdre

1) Un fluide incompressible de masse volumique uniformer s’écoule selon un écoulement plan (la vitesse reste normaleà la direction de ez ).

a) Montrer qu’il existe une fonction y (M, t) appelée fonc-tion courant telle que :

v = grad—

y ez .

b) Quelle est la propriété vérifiée par y le long d’une lignede courant ?

c) La couche de fluide a une épaisseur h dans la direction del’axe (Oz). Comment exprimer le débit volumique Dvol dansun tube de courant au moyen de la fonction y ?

d) L’écoulement est, de plus, potentiel. Montrer que y (M, t)vérifie l’équation de Laplace.

2) L’écoulement est guidé par un dièdre constitué de deuxparois verticales planes qui se coupent selon l’axe (Oz) ;l’angle du dièdre est a . On suppose que l’écoulement per-manent, incompressible et potentiel a l’allure représentée surle schéma ci-dessus.

a) On cherche une solution de la forme : y (M) = Kr p f (q) enutilisant les coordonnées cylindriques dont l’axe (Oz) coïn-cide avec l’arête du dièdre.Déterminer la constante réelle p et la fonction f (q).

b) Exprimer le champ des vitesses v(r, q ).

c) La vitesse est égale à v0 le long des parois à une distancer0 de l’axe (Oz).Calculer la constante K.

d) Quelle est la valeur de la vitesse au voisinage de l’arêtedu dièdre ? Commenter ce résultat en l’appliquant à une rivière.

On donne : ∆y (r, q ) = r + .∂2y∂q2

1r2

∂y∂r

∂∂r

1r

αx

yez

zM

C

pW

pWla sectiondu tore estun cercle de rayon e


Solution du tac au tac, page 80.Vrai : a, b, d ; Faux : c

Vrai : c, d ; Faux : a, bVrai : a, c ; Faux : b, d.

Corrigés


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L’écoulement caractérise :

• un écoulement stationnaire puisque le champ des vitesses v(r, t) ne dépend pasexplicitement du temps ;

• un écoulement incompressible, car la vitesse est de la forme v(r) = f (r) eq et doncà divergence nulle (cf. Annexe) ;

• un écoulement tourbillonnaire, de vecteur tourbillon W

.

En effet, en appliquant la formule rot—( f A

) = f rot— A

+ grad

—f A

, on obtient :

rot—v = Ar + rot— eq + A – er eq .

D’après le formulaire, rot— eq = ez .

rot—v = 2Aez = 2W

. W

= Aez .

On remarque qu’on a bien div W

= div rot—v = 0.

Cet écoulement respecte les conditions aux limites : la vitesse est bien tangente auxdeux cylindres. Comme W

est non nul, il n’existe pas de potentiel des vitesses.

L’écoulement v = a e– ky cos(w t – ky) ex caractérise :

• un écoulement non stationnaire, puisque le champ des vitesses v(r, t) dépend expli-citement du temps ;

• un écoulement incompressible, car = 0 ;

• un écoulement tourbillonnaire, de vecteur tourbillon W

(dépendant du temps), tel que :

On remarque qu’on a bien div(W

) = 0 .

Cet écoulement respecte en outre les conditions aux limites :• la vitesse est tangente au plan oscillant en y = 0 ;• la vitesse tend vers 0 quand y tend vers l’infini.

Comme W

est non nul, il n’existe pas de potentiel des vitesses.

Cas A : 1) L’écoulement est stationnaire, car le champ des vitesses ne dépend

pas explicitement du temps.

L’écoulement est compressible, car div v = 2k est non nul.

L’écoulement est irrotationnel, car 2 W

= rot

(v) = 0

.

Comme W

est nul, il existe un potentiel f des vitesses tel que v = grad—

f :

et , soit f = k (x2 + y2) + cte .

a) Les lignes de courant s’obtiennent par intégration de l’équation différentielle

, d’où x = Ay , ce sont des droites « radiales », passant par le point

(x = 0, y = 0) .

b) Les trajectoires R

(t) = (X(t), Y(t)) s’obtiennent par intégration des équations sui-vantes :

et

La trajectoire d’une particule, initialement en M0(X0 , Y0) à t = 0 , est donc :X(t) = X0 ekt et Y = Y0 ekt .

Si on élimine t entre ces deuxexpressions, on obtient :

c’est-à-dire qu’on retrouve unedroite radiale passant par lespoints (0,0) et M0(X0 , Y0) . Enrégime stationnaire, les trajec-toires et les lignes de courantsont identiques.

2) L’accélération particulaire peut s’obtenir :• soit par double dérivation par rapport au temps de la trajectoire d’une particule :

et

• soit par application de , qui conduit

aussi à a = (k2x, k2y) .

3) Dans le référentiel lié au sommet O(0,0) du carré, on cherche la position des pointsA(a, 0) , B(0, a) et C(a, a) à l’instant t + d t .

Pendant le temps d t , A s’est déplacé de ka d t sur l’axe (Ox), B de ka d t surl’axe (Oy) et C des deux à la fois. Le carré initial reste un carré à l’instant t + dt .

La surface, primitivement égale à a2 , devient a2(1 + k d t)2 : il y a dilatation, sansdéformation.

Cas B : 1) L’écoulement est stationnaire.

L’écoulement est incompressible, car div v = 0 .

L’écoulement est irrotationnel, car 2 W

= rot

(v) = 0

.

Comme il n’y a pas de tourbillons, il existe un potentiel f des vitesses tel que :

v = grad—

f , d’où et soit f = k x y + cte .∂∂φy

k xy= =v ,∂∂

φx

k yx= =v

B

kadt

kadt

C

AO

y

x

B(0, a) C(a, a)

A(a, 0)O

y

x

vk xx

k yy

∂∂

∂∂

+

+ (v . grad—

)v =∂ v

∂ ta =

aYt

k Y k Y tykt= =d

d= e2

2

2 02 ( ) ;a

Xt

k X k X txkt= =d

d= e2

2

2 02 ( )

X tXY

Y t( ) = 0

0

( ) ,

y

x

d

d=

Yt

k Y .d

d=

Xt

k X

d dxk x

yk y

=

1

2∂∂

φy

k yy= =v∂∂

φx

k xx= =v

ez = ka e– ky [cos(w t – ky) – sin(w t – ky)]ex .− ∂∂v x

y2W

=

∂∂v x

xdiv(v) =

12

1r

Br2

Br

eqArBr

+

v =

1.2.3.


Corrigés


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lit.

a) Les lignes de courant s’obtiennent par intégration de l’équation différentielle

, d’où : x2 – y2 = A ; ce

sont des hyperboles dans le cas oùA ≠ 0.

Si A = 0, y = ± x, on obtient deuxdroites.

b) Les trajectoires s’obtiennent parintégration des équations :

et

d’où soit X(t) = a ekt + b e– kt et Y(t) = a e kt – b e– kt . Sachant

qu’à t = 0 , X(t) = X0 et Y(t) = Y0 , on a X0 = a + b et Y0 = a – b , ce qui donne :

et

On élimine le temps entre ces équations, cela donne :

x2 – y2 = X02 – Y0

2 = cte .

En régime stationnaire, les trajectoires et les lignes de courant sont identiques.

2) L’accélération particulaire peut s’obtenir :

• soit par double dérivation par rapport au temps de la trajectoire d’une particule :

et


aussi à a(k2x, k2y) .

3) Dans le référentiel lié au sommet O du carré, on cherche la position des pointsA(a, 0) , B(0, a) et C(a, a) à l’instant t + d t .

Pendant le temps d t , A s’est déplacé de ka d t sur l’axe (Oy), B de ka d t surl’axe (Ox) et C des deux à la fois. Le carré initial devient un losange à l’instantt + d t : il y a déformation dans l’écoulement.

La surface, primitivement égale à a2 , n’est pas modifiée : l’écoulement est incom-pressible.

Cas C : 1) L’écoulement est stationnaire, car la vitesse ne dépend pas explicitementdu temps.

L’écoulement est incompressible, car div v = 0 .

L’écoulement est tourbillonnaire, car 2 W

= rot

(v) = 2k ez , soit W

= k ez . Il est impos-sible de définir un potentiel des vitesses.

a) Les lignes de courant s’obtiennent par intégration de l’équation différentielle :

d’où x2 + y2 = A ; ce sont des cercles centrés en O .

b) Les trajectoires s’obtiennent par

intégration des équations :

et

d’où :

soit X(t) = a cos(kt) + b sin(kt) etY(t) = a sin(kt) – b cos(kt) . Sachantqu’à t = 0 , X(t) = X0 et Y(t) = Y0 ,on a X0 = a et Y0 = – b , ce qui donne :

X(t) = X0 cos(kt) – Y0 sin(kt) et Y(t) = X0 sin(kt) + Y0 cos(kt) .

On élimine le temps entre ces équations, cela donne :

X2 + Y2 = X02 + Y0

2 = cte .

En régime stationnaire, les trajectoires et les lignes de courant sont identiques.

2) L’accélération particulaire peut s’obtenir :

• soit par double dérivation par rapport au temps de la trajectoire d’une particule :

et


aussi à a(– k2x, – k2y) .

3) Dans le référentiel lié au sommet O du carré, on cherche la position des pointsA(a, 0) , B(0, a) et C(a, a) à l’instant t + d t .

Pendant le temps d t , A s’est déplacé de ka d t sur l’axe (Oy), B de – ka d t surl’axe (Ox) et C des deux à la fois. Le carré initial reste un carré à l’instant t + dt .

Sa surface n’a pas varié (incompressibilité), mais le carré a tourné de l’angle da = kd t autour de l’axe (Oz).

O

y

B

xkadt

kadt

carré à t

C

A

carré à t + dt

αd

v− +

k yx

k xy

∂∂

∂∂

+ (v . grad—

)v =∂∂vt

a =

aY

tk Y ty = =d

d

2

22– ( ) ;a

Xt

k X tx = = −d

d

2

22 ( )

d

d= – 2

2

2X

tk X t( ) ,

d

d=

Yt

k X t( ) ,d

d= –

Xt

k Y t( )

y

x

− =d dxk y

yk x

,

O

y

B

xkadt

kadt

carré à l’instant t

C

A

« carré » à l’instant t + dt

vk yx

k xy

∂∂

∂∂

+

+ (v . grad—

)v =∂ v

∂ ta =

aY

tk Yy = =d

d

2

22 ;a

Xt

k a b k Xxkt kt= = + =−d

de e

2

22 2[ ]

Y tX Y X Ykt kt( ) .= + − − −0 0 0 0

2 2e eX t

X Y X Ykt kt( ) = + + − −0 0 0 0

2 2e e

d

d= 2

2

2X

tk X ,

d

d=

Yt

k X t( ) ,d

d=

Xt

k Y t( )

y

x

d dxk y

yk x

=


3.


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lit.


On remarque que le champ des vitesses de cet écoulement est identique au champ desvitesses d’un solide en rotation à la vitesse angulaire W

autour du point O .

1) La solution est en fait la démonstration de la réciproque. Si le fluide est

incompressible, alors div v = 0 . Il existe donc un champ vectoriel A

tel quev = rot— A

. L’écoulement étant plan, on peut choisir A

= y (x, y) ez , d’où :

et vy = – .

Réciproquement :

On est donc en présence d’un écoulement incompressible.

2)

Les courbes y = cte orthogonales à grad—

y sont donc colinéaires à v : ce sont bienles lignes de courant.

3) a) Le champ des vitesses v(ky, kx) est un champ à divergence nulle ; il est doncpossible de définir la fonction courant y : y (x, y) = k(y2 – x2 ) . On retrouve bienles équations des lignes de courant vues dans l’exercice 3.

b) Le champ des vitesses v(– ky, kx) est un champ à divergence nulle ; il est doncpossible de définir la fonction courant y : y (x, y) = k(y2 + x2) . On retrouve bienles équations des lignes de courant vues dans l’exercice 3.

1) a) L’analogie avec le champ électrique d’une charge ponctuelle est

immédiate. La symétrie sphérique impose un champ des vitesses est de la formev1 = v (r) ur . Par application d’un « théorème de Gauss » de la physique des fluides :

4 π r2v (r) = Dv , soit

b) Cet écoulement est stationnaire, car le champ des vitesses ne dépend pas explici-tement du temps.

c) Le rotationnel de ce champ est nul (c’est un champ de nature électrostatique), donc

il existe un potentiel j tel que avec

d) Ce champ des vitesses est celui d’un écoulement incompressible (sauf en r = 0) :

div si r > 0 ; pour r = 0 , cette quantité est infinie (source du champ).

Les lignes de courant sont des droites passant par le point origine O (q = cte etf = cte) .

2) a) En coordonnées sphériques d’axe (Ox), le problème, invariant par rotation autourde l’axe (Ox), est indépendant de f .

b) Un champ uniforme étant à divergence nulle, ce champ des vitesses est évidem-ment à divergence nulle, sauf en r = 0 .

c) Il existe un potentiel des vitesses. Le potentiel j2 du champ uniforme peut s’écrire

j2 = v0 x , ce qui donne

d) Les lignes de courant sont dans un plan méridien donc f = cte . Dans ce plan,l’équation des lignes de courant est solution de l’équation différentielle :

que l’on peut écrire :

En multipliant cette quantité par r sin q , on obtient :

c’est-à-dire d [ f (r, q)] = 0 ,

(donc f (r, q) = C) avec , équation générale des

lignes de courant présentées sur le schéma ci-après.

e) On sait que .

v = 0 impose donc q = π et

Dans le plan de la figure , la ligne de courant passant par ce point d’arrêt a pour équation :

– cosq + =

soit :

On remarque que si r devient infini, q tend vers 0 (ou π). Loin de la source, leslignes de courant sont des droites.

rD2

022

1= +v

πvcos

sin.

θθ

Dv4π

v0 r2 sin2q2

Dv4π

rD

004

= v

πv.

er – v0 sinq eqD

rv

4 2 0π+

v cosθer =D

rv

4 2πv = v0 ex +

–0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

–0,4

–0,2

0

0,2point d’arrêt source

0,4

y

x

ligne de courant passantpar le point d’arrêt

f rD r

C( , ) cossinθ θ θ= − =v +

4 20

2 2

πv

Dr r rv

02

02

4sin d + sin cos d + sin d

πθ θ θ θ θ θv v = 0 ,

Dr

r rv0 04

d + cos d + sin dπ

θ θ θ θv v = 0 .

d d

v

rD

r

r

4 2 0 0π

+=

−v vcos sin,

θ

θθ

ϕ = − +Dr

xv

4πv0 .

O

yeq

yerrq

M

xyex

er – v0 sinq eq .D

rv

4 2 0π+

v cosθer =D

rv

4 2πv = v0 ex +

= 0erKr

e2

ϕ1 = − Dr

v

4π.grad

—j1v1 =

er .D

rv

4 2πv1 =

+v v v v v vx y x y y xx y∂∂

∂∂

ψ ψ = − + = 0 .v . grad—

y =

= 0.+ +∂∂

∂∂

∂ ∂∂

∂

∂ ∂∂

∂∂

∂ ∂∂

∂ ∂v vx y

x yy

xx

y x y y x=

−

= −

ψ ψψ ψ2 2

divv =

∂y∂x

v x y= ∂ψ

d


Corrigés


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lit.

f) Cette question est une application directe de la matérialisation des lignes de cou-rant en écoulement stationnaire.

Toutes les lignes de courant obtenues à partir de la rotation autour de l’axe (Ox) de laligne de courant passant par le point d’arrêt peuvent être matérialisées : on obtientun obstacle autour duquel s’écoule le fluide, selon des lignes de courant identiques àcelles de l’écoulement obtenu précédemment par superposition.

A.1) Les équations locales vérifiées par le champ eulérien v des vitesses sont

div v = 0 (écoulement incompressible), et rot—v = 2W

(les sources du champ des

vitesses sont les tourbillons).

2) L’analogie avec le champ magnétique est justifiée par la similitude des équationslocales et des conditions aux limites (champ nul à l’infini) ; B

joue le rôle de la vitesse

v, et j

v (densité volumique de courant) celui de W

.

Sachant que rot—v = 2W

, et rot— B

= m0 j

v , il faudra remplacer « m0 » par « 2 ».a) L’analogue du rond de fumée est donc une spire de dimension transversale nonnégligeable, parcourue par un courant I = jv π e2.b) Par analogie avec B

, la relation intégrale liant v et W

est :

v(M) =

sources de W

.

B = sin3a , avec sin a = .

c) On en déduit l’expression de la vitesse induite par le rond de fumée en un point Mde l’axe (Cz) :

v = = .

B. La suite des photos permet de modéliser l’interaction entre les deux ronds de fumée :

Le champ des vitesses créé par le rond de fumée 1 met en mouvement le rond 2. Dèsque 2 est passé devant 1, le même phénomène se produit, les vorticités étant iden-tiques.

1)a) Le fluide étant incompressible : div v = 0. Il existe donc un champ

vectoriel y tel que :v = rot— y .

Comme v est de la forme :v = vx (x, y, t)ex + vy (x, y, t)ey ,

il est donc possible de choisir y de la forme :y = y (x, y, t)ez ;

ez étant un vecteur constant : rot— y = grad—

y ez .On a donc montré l’existence d’une fonction scalaire y (M, t) telle que :

v(M, t) = grad—

y ez .

b) D’après l’expression précédente, v(M) est perpendiculaire à grad—

y , donc paral-lèle aux surfaces y = cte, car grad

—y est perpendiculaire aux surfaces y = cte ;

y = cte définit donc une ligne de courant. On le montre directement :Soit d

le déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant. Par définition :

v d

= 0

.

2

1

oF

π W e2 R2

(R2 + z2)32

R3

(R2 + z2)32

W πe2

R

R6R2 + z2

m0 I2R

W

(P) dt PM

PM31

2π

–0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

–0,4

–0,2

0

0,2

0,4

y

x

lignes = cteϕ

y

x

–0,4

–0,2

0

0,2

0,4

–0,4 –0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8

solide de Rankine

y

x–1,2

–0,9

–0,6

–0,3

0

0,3

0,6

0,9

1,2

–1,2 –0,8 –0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4


3.


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On en déduit : d (grad

—y ez) = 0

.

On développe le double produit vectoriel :(d

. ez) grad

—y – (grad

—y . d

) ez = 0

.d

est ici normal à ez (écoulement plan) et donc :

dy = grad—

y . d

= 0 .y reste constant lors du déplacement le long d’une ligne de courant :

les lignes de courant sont les lignes iso-y .c) On considère le tube de courant, de hauteur h selon ez , défini par les deux lignesde courant correspondant aux valeurs y1 et y2 de la fonction de courant.

Le fluide étant incompressible, le débit volumique Dvol a la même valeur à traverstoutes les sections de ce tube de courant.On considère la section passant par M1 et M2 . L’élément de surface a pour expres-sion :

dS

= h d

ez .

Dvol =M2

M1

v. dS

= hM2

M1

v. ( d

ez) .

On permute les termes du produit mixte :

Dvol = hez .M2

M1

v d

= hez .M2

M1

(grad—

y ez) d

.

On développe le double produit vectoriel :

Dvol = hez .M2

M1

(grad—

y . d) ez = h (y 2 – y1) .

Le débit volumique est égal à la hauteur h multipliée par la variation de la fonction y .

d) v = grad—

y ez = rot—(y ez) , avec maintenant rot—

v = 0

.

Première méthodeD’après les relations de composition des opérateurs vectoriels :

rot—v = rot—

(rot—(y ez)) = grad

—(div(y ez)) – ∆y ez = 0

.

div(y ez ) = 0, car y est indépendant de z. On en déduit que la fonction courant yvérifie donc l’équation de Laplace : ∆y = 0.

Seconde méthodeOn peut calculer directement rot—

v à partir des coordonnées cartésiennes :

vx (x, y, t) =∂∂yy

; vy (x, y, t) = –∂∂yx

.

rot—v = – ez

= – + ez = – ∆y ez .

rot—v = 0

implique donc ∆y = 0.

2) a) Les lignes de courant sont tangentes aux parois solides. y a donc la même valeuren tout point de la paroi.

La fonction courant y (M) doit vérifier, dans le domaine de l’écoulement :• ∆y = 0 ;• y = 0 pour la ligne de courant limite qui longe le dièdre et passe en r = 0 ; en coor-données cylindriques, cette ligne de courant est repérée par q = a , puis q = 0 pourtout r.On cherche une solution de la forme :

y (M) = Krp f (q) .

∆y = r +

= K [ p2 f (q) + f (q)]rp–2 = 0 .

Une telle solution existe si :f (q) + p2 f (q) = 0 ,

soitf (q) = f1 sinpq + f2 cospq .

Les conditions aux limites imposent f (q)]rp indépendant de r pour q = 0 et q = a .La solution p = 0 impliquerait des lignes de courant radiales, ce qui ne correspondpas à la solution cherchée. Il faut donc imposer :

f (0) = f (a) = 0, soit f2 = 0et

pa = kπ (k entier).En fait, seule la valeur k = 1 assure un écoulement de la forme cherchée. k = 2 don-nerait, par exemple :

Finalement, la solution cherchée correspond à p = ;

y (M) = Kr aπ

sin .

b) grad—

y = K aπ –1

sin er + cos eq .

v = grad—

y ez = K r aπ –1

cos er – sin eq .

c) De v = K aπ –1

, on tire la valeur de K. On obtient :

v = v0aπ –1

cos er – sin eq .

d) Si a < π : v tend vers 0 au voisinage de l’arête et vers l’infini loin de l’arête. Leslignes de courant se resserrent lorsque r augmente.

Si a > π : v tend vers l’infini au voisinage de l’arête et vers 0 loin de l’arête. Leslignes de courant se resserrent lorsque r tend vers 0.

Si a = π : v = v0 (cosq ez – sinq eq ) = v0 ex : comme on pouvait s’y attendre, lavitesse est uniforme.

πqa

πqa

rr0

πa

πqa

πqa

πa

πqa

πqa

πa

πqa

πa

α

∂2y∂q2

1r2

∂y∂r

∂∂r

1r

∂2y∂y2

∂2y∂x2

∂vx

∂y∂vy

∂x

z

h

M2

M1

dyS

dy

y2

y1


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Les berges d’une rivière n’ont pas de points anguleux. On peut cependant extrapolerces résultats :

• à l’intérieur d’un coude (a > π), la vitesse est plus grande, d’où une plus forte éro-sion ;

• à l’extérieur du coude, la vitesse est plus faible, et il se dépose des alluvions. Laboucle du fleuve a donc tendance à évoluer si elle n’est pas stabilisée artificiellement.

a = 3π2

lignesde courant

lignesde fluide

a = 2π3


O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S


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Dynamique localedes fluides parfaits

Équation d’Euler. Relations de Bernoulli. Formule de Torricelli. Effet Venturi.

Formalisme eulérien. Champ des vitesses eulérien d’un écoule-ment. Dérivation particulaire. Généralités sur les ondes.

L’étude cinématique d’un fluide en écoulementfournit les outils nécessaires à la description du

mouvement des particules de fluide,indépendamment des actions subies.L’étude dynamique permet de relier

son mouvement aux contraintess’exerçant au sein du fluide.

De l’approche lagrangienne du mouvementd’une particule de fluide est déduite une équation

locale liant les forces volumiques aux champseulériens de pression et de vitesses du fluide :

l’équation d’Euler.

Dans certains cas simples, l’intégrationde cette équation conduit à une équation

de conservation pouvant revêtir différentesformes : les relations de Bernoulli,

aux nombreuses conséquences pratiques.


11.1.

1.1.1.

1.1.2.

force de pression

1.1.3.

force de viscosité

dS NT

dF = –Pc NdS

dS = dSN

N

dF = –Pm NdS

dS = dSN

n

Fext → int

dFT

n


Contraintes dans un f luide

Forces surfaciques

Modélisation des forces surfaciques

Délimitons à l’intérieur d’un fluide une surface fictive fermée S . Que le fluidesoit homogène ou non, les particules de fluide extérieures à S exercent des actionssur les particules intérieures, actions à courte portée et donc situées au voisinagede la surface S . Intéressons-nous à ces interactions.

Soit un élément de surface d S de S : la résultante d F

des forces exercées parles particules externes sur les particules internes possède en général une compo-sante normale d F

N et une composante tangentielle d F

T . Cette force élémentaires’écrit d F

= d F

N + d F

T (doc. 1).

Composante normale

La composante normale est appelée . Elle est proportionnelle àl’élément de surface considéré et est dirigée de l’extérieur de S vers l’intérieur.

La force de pression élémentaire est d F

= – P(M, t) N

d S .

Le scalaire P(M, t) désigne la pression du fluide au point M.

Rappelons (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 1re année) que cette pression est lacontribution de deux termes Pc et Pm (avec P = Pc + Pm) :

• Pc (Pc > 0) est un terme cinétique dû au transfert de quantité de mouvement à tra-vers la surface d S (doc. 2a) ;

• Pm (Pm < 0) est un terme moléculaire dû à l’interaction entre les particules de partet d’autre de la surface (doc. 2b).

Composante tangentielle

La composante tangentielle est appelée (ou de cisaillement).Comme son nom l’indique, elle est caractéristique des fluides réels visqueux, quenous étudierons en détail dans le chapitre 5.

Cette composante n’existe pas dans le modèle du fluide parfait.

Afin de considérer l’ensemble des contraintes existant dans un fluide, précisonsnéanmoins son origine. Une étude plus complète est abordée au chapitre 5.

Supposons qu’à l’échelle mésoscopique, la vitesse du fluide soit tangente à S , lefluide extérieur étant plus rapide que le fluide intérieur. Les particules extérieures« rapides » (ainsi que les particules intérieures « lentes ») traversant la surfaced S (doc. 3) sont responsables d’une augmentation de la quantité de mouvementdes particules à l’intérieur de la surface S .

Ce transfert de quantité de mouvement peut être modélisé par l’action d’une forcetangentielle à la surface d S telle que :

d F

T ext → int = h (grad—

v . n) d S T

si v = v T

.

Les veines de fluides « rapides » ont tendance à accélérer les veines « lentes » etinversement.

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Doc. 1. Contraintes surfaciques au seind’un fluide. d S

= N

d S, d F

N = – PN

d Set d F

T = k d S T

(avec T

⊥ N

).

ΣdS N

T

dFT

dFN

Doc. 2a. Le débit δpN de quantité de mou-vement, dû aux particules qui traversentla surface dS pendant l’intervalle de tempsδ t , est égal à δ pN = d F

N δ t avecd F

N = – Pc d S N

.

Σ

dF = –Pc NdS

dS = dSN

quantité demouvementdes particulestraversant dS

N

Doc. 2b. L’ensemble des interactions élé-mentaires F

ext → int entre les particulesintérieures et extérieures à la surface d Sest décrit par d F

= – Pm d S N

(Pm < 0).

Σ

Σ

dF = –Pm NdS

dS = dSN

particules situées àl’intérieur de la surface

particules situées à l’extérieurde la surface S

n

Fext → int

Doc. 3. Les particules extérieures« rapides » traversant la surface d S sontresponsables d’une diffusion de quantitéde mouvement modélisable par l’actiond’une force tangentielle à la surface d Stelle que, si v = v T

:

d F

T ext → int = h (grad—

v . n) d S T

.

Σ

dFT

surfacedS

particules appartenant à une veinesupposée « rapide » située au-dessusde la surface S

particules appartenant à une veinesupposée « lente » située à l’intérieur de S

n


1.1.4.

P PA

Rext int− = − 2

4.

F = 2AL

F = AL

F = AL

N

g

P PARint = +ext 4

P PARint ext= + 2 .

F


Ouverture : forces de tension superficielle

Les forces de tension superficielle sont hors programme ; mais quelques notionssommaires permettent de justifier très simplement certaines approximations quel’on utilise fréquemment en mécanique des fluides.

À la surface « extérieure » d’un fluide (ou bien à l’interface entre deux fluides dif-férents), il existe d’autres forces surfaciques : tout se passe comme si une mem-brane élastique matérialisait la surface du fluide.

Pour mettre en évidence les effets de tension de surface, réalisons l’expérience sui-vante (doc. 4) : un film d’eau savonneuse supporté par un cadre rectangulaire hori-zontal, dont l’un des côtés est mobile. Ce côté mobile a tendance à se déplacer defaçon à minimiser la surface. Les forces de tension superficielle agissent de manièreà diminuer la surface extérieure du fluide. Ainsi en apesanteur une goutte de fluideest sphérique (doc. 5).

Cette force d F

s’exerçant sur un élément de longueur d L est donnée par laformule d F

= A d L . N

, d F

est perpendiculaire à d L et A représente le coef-

ficient de tension superficielle caractéristique des deux fluides en contact (doc. 4).

Cette petite expérience montre qu’il faut dépenser de l’énergie pour augmenter lasurface d’un fluide (ou la surface de l’interface entre deux fluides). Le travail qu’ilfaut fournir pour augmenter cette surface S de d S (l’opérateur exerce alors laforce – F

) est donnée par la formule δW = A d S .

Cette énergie est liée aux interactions entre particules. En effet, si nous voulonsaugmenter la surface d’un fluide, il est nécessaire d’amener des particules de fluidesur cette surface.

Au sein d’un liquide, la résultante des forces d’interaction s’exerçant sur une par-ticule est nulle. Au voisinage de la surface, elle est non nulle ; la particule a ten-dance à être attirée par le fluide (doc. 6). Pour amener cette particule à la surface,il faut donc dépenser de l’énergie ; cette énergie, proportionnelle au nombre de par-ticules amenées en surface, est proportionnelle à la surface.

Il existe donc une énergie liée à ce type d’interface (cf. H-Prépa, Thermodynamique,2nd année).

Cette force de tension superficielle est aussi responsable d’une différence de pres-sion de part et d’autre d’une interface entre deux fluides distincts, ou le fluide consi-déré et l’extérieur. Cette différence de pression est fonction du rayon de courburede la surface. Ainsi dans le cas d’une sphère de rayon R , cette différence de pres-sion est donnée par la formule de Laplace (doc. 7) à l’interface entre deux fluidesdifférents :

.

Il n’est pas possible de négliger la tension superficielle pour les systèmes de petitesdimensions comme les tubes capillaires ou les gouttelettes.

Dans le cadre du programme, nous négligerons toujours les forces de ten-sion superficielle et l’énergie qui leur est liée. La pression sera donc toujoursune fonction continue des coordonnées spatiales.

P PA

Rext int− = − 2

Dans l’hypothèse du fluide parfait, nous négligeons les forces de viscosité ;les forces surfaciques tangentielles sont nulles.

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Dynamique locale des fluides parfaits

Doc. 4. Les forces de tension superficielleagissent de manière à diminuer la surface2 S du fluide.

Σ

F = 2AL

F = AL

F = ALS

S

L

film d’eau savonneusede surface totale

tige mobile

tige

= 2S

N

Doc. 5. Goutte d’eau dans le champ depesanteur terrestre (à gauche) et en ape-santeur (à droite).

g

Doc. 7. Au voisinage immédiat de la sur-face, la pression intérieure est donnée parla formule de Laplace.

a. Liquide-air :

b. Bulle de savon : (car

il existe deux interfaces).

P PARint = +ext 4

P PARint ext= + 2 .

Pint

Pext

R

aira) air

liquide

bullede savon

b)

Rair

Doc. 6. Au voisinage de la surface, larésultante des forces s’exerçant sur uneparticule est dirigée vers le bas ; il fautdonc dépenser de l’énergie pour l’amenervers cette surface.

cette particule est soumiseà une force F dirigée vers le bas

la résultante des forces s’exerçant surcette particule au sein du fluide est nulle

surfacedu fluide

F


analyse dimensionnelle

analyse dimen-sionnelle

hDD

c= 42

cos( )θ

hDD

= c2

Dc mm= = ≈−

−75 10

10 107 50 10 3

3

36.

.., .

DAgc =

ρ

α β γ= − = − = 1

2,

Application 1

g


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Soit un tube creux de diamètre intérieur D , au-dessusd’un liquide de masse volumique r , dans le champ depesanteur g . Le coefficient de tension superficielle estnoté A . Si le diamètre du tube est « petit », le liquidemonte dans le tube (doc. 8a).

1) Estimer à partir de quel diamètre Dc (diamètre cri-tique) il est possible de négliger l’influence de la ten-sion de surface, en supposant que cette grandeur n’estfonction que de A , r et g .Calculer Dc pour l’eau.

Données :r = 103 kg.m–3 ; A = 75.10–3 kg.s–2 ; g = 10 m.s–2 .

2) Estimer la hauteur h du fluide sachant que celle-ciest inversement proportionnelle au diamètre du tube.Calculer h si D = 1 mm .

1) Utilisons l’ :

[A] = [F].L–1 = M.T–2 ; [r] = M.L–3 ; [g] = L.T–2 ;

nous obtenons (en cherchant Dc sous la formeDc = kAarbgg , k étant un facteur numérique sansdimension, dont on admettra qu’il est de l’ordre de l’unité)une expression devant toujours être homogène :

L = (Ma T–2a )(Mb L–3b )(Lg T–2g )

= Ma+b L–3b+g T–2a–2g ,

ce qui donne a = – b ; a = – g et 1 = g – 3b.

La solution est unique : c’est-à-dire

qu’il est possible de définir le diamètre critique par la

formule (cette quantité est appelée longueur

capillaire).

Pour l’eau :

Avec de l’eau, si le diamètre du tube est très supérieurà 3 mm, il est possible de négliger les interactions desurface.

Remarque

Pour le mercure, nous aurions trouvé Dc = 2 mm . Siles gouttelettes de mercure sont de petit diamètre, ellesont une forme sphérique (prédominance des forces detension superficielles), sinon elles ont une forme aplatie(prédominance des forces de pesanteur) (doc. 9).

2) Posons hD = cte . Par homogénéité, écrivons que

hD = Dc2 , soit ; cela donne h = 3 mm .

Un raisonnement rigoureux nous aurait conduit à :

(loi de Jurin) avec cos(q) < 1 (doc. 8b).

Nous obtenons donc un excellent ordre de grandeur grâceà un raisonnement simple.

Ce type de raisonnement utilisant l’sera développé dans le chapitre 6, § 10.

hDD

c= 42

cos( )θ

hDD

= c2

Dc mm= = ≈−

−75 10

10 107 50 10 3

3

36.

.., .

DAgc =

ρ

α β γ= − = − = 1

2,

Diamètre critique d’un tube (longueur capillaire)

h

diamètre D

eau

g

a) b)

θ

Doc. 8a. Le fluide monte dans un tube de section D faibledevant Dc . b. q est l’angle de raccordement de la sur-face du liquide à la paroi du tube.

prédominance des forcesde tension superficielle prédominance des forces

de pesanteur

Doc. 9. Goutte de mercure sur un sol horizontal.


1.2.

forces de pesanteur

efforts volumiques

1.3.

équivalent volumique

d d dd

d dd

d d dF y z P xx

y z y z P xx

y zPx

x y zx = −

− +

= − ∂

∂2 2, , , , .

4.

zy

x


Forces volumiques. Forces massiques

Un élément de fluide de volume dt est également soumis à des forces volumiques :les par exemple. Ces actions sont ressenties par toutes les par-ticules du fluide. Elles sont proportionnelles au nombre de particules, donc auvolume élémentaire d t considéré. Nous les écrirons sous la forme :

d f

= f

v d t .

Ce sont des . Ainsi au champ de pesanteur g , nous associonsla densité volumique de forces :

f

v = r g .

Ces forces volumiques sont proportionnelles au nombre de particules, donc aussià la masse d m de l’élément de fluide. Nous introduisons ainsi une représentationmassique de ces forces sous la forme :

d f

= f

m d m = f

m r d t ,

d’où l’équivalence :f

v = r f

m .

Aux forces de pesanteur, par exemple, est associée f

m = g .

Équivalents volumiques. Équivalents massiquesdes forces de pression

Nous avons vu (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 1re année, chapitre 3) que lesforces de pression possédaient un . Rappelons-en la démons-tration et son expression.

Calculons la résultante d F

des forces de pression s’exerçant sur le parallélépi-pède élémentaire de fluide de volume d t = d x d y d z représenté sur le document10. La composante de cette force sur la direction de l’axe (Ox) est :

d d dd

d dd

d d dF y z P xx

y z y z P xx

y zPx

x y zx = −

− +

= − ∂

∂2 2, , , , .

Un élément de fluide de volume d et de masse d m est soumis à des forcesde représentation massique ou volumique selon l’expression :

d f

= f

m d m = f

v d avec f

v = f

m .

Pour les forces de pesanteur : f

v = g avec f

m = g .

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Doc. 10. Parallélépipède élémentaire de fluide. Le point M est au centre de cet élé-ment de volume d x d y d z .

–P(x, y, z + )dydzez

P(x, y, z – )dxdyez

P(x, y – , z)dxdzey

P(x – , y, z)dydzex –P(x + , y, z)dydzex

–P(x, y + , z)dxdzey

M

zy

x

dz2

dy2

dx2

dy2

dz2

dx2


nombre de Reynolds

22.1.

1

2

v 2

2

v 2

2

− ∂∂Pz

x y zd d d− ∂∂Py

x y zd d d− ∂∂Px

x y zd d d


Considérant les forces élémentaires exercées sur les six faces, nous voyons que :

Cette force est identique à celle que subirait le volume d t s’il était soumis à uneforce volumique f

v = – grad—

P :

Cet équivalent est utilisable pour calculer la résultante ou le moment des forces depression appliquées à un élément entouré par le fluide.

Dans ce chapitre, nous négligerons les forces de viscosité (hypothèse du fluide par-fait) : les conditions de validité de cette approximation seront exposées dans le cha-pitre 6, grâce à l’utilisation d’un nombre sans dimension, le : Re.

Équation d’Euler. Appl ications

Intéressons-nous à un fluide parfait sans viscosité.

Expression

L’étude faite au §.1.1. permet d’appliquer le principe fondamental de la dynamiquedans un référentiel galiléen à une particule de fluide de masse d m constante (cf. cha-pitre 1, § 1.2.3.).En appelant d F

la résultante des forces extérieures, il vient :

d m

où représente l’accélération de la particule (accélération particulaire).

La résultante d F

de toutes les forces extérieures subies par cet élément de massed m s’écrit : d F

= f

v,totale d t = f

m,totale d m .

Ce qui nous donne :

ou encore, en explicitant les diverses expressions de la dérivée particulaire :

=

=

(en introduisant le vecteur tourbillon W–

= rot—v).1

2

+ 2W–

∧ v = f

m,totalev 2

2

+ grad—∂ v

∂ t

+ rot—v ∧ vv 2

2

+ grad—∂ v

∂ t+ (v . grad

—) v =∂ v

∂ tD v

D t

= f

m,totaleD v

D t

D v

D t

= d FD v

D t

d m .grad—

Pr(r d t) = –

grad—

Prd F

= – grad

—P d t = –

ez .− ∂∂Pz

x y zd d dey− ∂∂Py

x y zd d dex− ∂∂Px

x y zd d dd F

=

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Les équivalents volumique et massique des forces de pression, d’originesurfacique, s’expriment sous la forme :

• d’équivalent volumique : f

v = – grad—

P ;

• d’équivalent massique : .

Ces équivalents volumique ou massique ne sont pas utilisables pour cal-culer le travail des forces de pression.

grad—

Pf

m = –


2.2.

écoulements barotropes

χρ

ρ χρ

ρT

TS

SP P= ∂

∂

= ∂∂

1 1et .

4.


En distinguant les forces massiques et les équivalents massiques dus uniquementaux forces de pression, cette force f

m, totale se met sous la forme :

.

Nous obtenons alors .

Cette équation est appelée équation d’Euler.

Avant d’étudier quelques exemples d’application de l’équation d’Euler, examinonsde façon générale les conditions de résolution d’un problème de dynamique desfluides.

Recherche d’un système complet d’équations

Du point de vue du fluide lui-même, les grandeurs locales a priori inconnues sontla vitesse v(M, t) , la pression P(M, t) et la masse volumique r (M, t) en toutpoint du fluide, soit cinq inconnues scalaires. L’équation d’Euler, vectorielle, fournittrois équations scalaires et la relation locale de conservation de la masse, une équa-tion scalaire : il « manque » alors une équation pour pouvoir résoudre le problème.

Nous pouvons ajouter une équation en introduisant une équation d’état du fluide.Cependant, cette équation, généralement de type thermodynamique, introduit unenouvelle grandeur a priori inconnue, le champ de température T(M, t) . Il est doncnécessaire d’introduire une équation supplémentaire, équation de comportement dufluide au cours de l’écoulement (équation souvent également de nature thermody-namique).

• Si le fluide est incompressible, alors r = cte est connue.

• Dans le cas d’écoulements compressibles, des comportements de type isothermeou isentropique par exemple peuvent être envisagés.Dans ces deux cas, l’expression des coefficients de compressibilité cT ou cSfournit une équation supplémentaire liant P et r , du type :

Remarque

Dans les deux cas précédemment cités, ainsi que dans de nombreux écoulements,le comportement du fluide introduit une relation liant P et r uniquement : de tels

sont dits .

χρ

ρ χρ

ρT

TS

SP P= ∂

∂

= ∂∂

1 1et .

grad—

Prf

m –+ (v . grad—

) v =∂ v

∂ t

grad—

Prf

m, totale = f

m –

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L’équation d’Euler s’applique à un fluide parfait. Elle s’écrit :

Nous obtenons diverses expressions de l’équation d’Euler :

;

;

+ (v . grad—

) v = f

v – grad—

P .v

t

grad—

P+ 2

–∧ v ] = f

m –v 2

2

+ [ grad—v

t

grad—

P+ (v . grad—

) v = f

m –v

t

= f

m, totale .D v

D t


).g

=2

12ω

za

gr= − ω 2 4

22.

zg

r a= −ω 22 2

22( ) ;

P r z P g zar

( , ) .= − −02

4

22ρ ρω

P r z P g z r a( , ) ( ) ;= − + −0

22 2

22ρ ρ ω

− v 2 ( ).)

rr

er

D

D

v

t

0 = −– .ρgPz

∂∂

− = − ∂∂

ρ ωar

Pr

4 2

3 ;

0 = −– ;ρgPz

∂∂

ρ ω ρ ωr rPr

2 22− = − ∂∂

;

v 2

2

ar

2ω

Application 2


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Un liquide homogène, de masse volumique uniforme r,est surmonté d’une atmosphère à la pression uniformeP0 , et soumis au champ de pesanteur g = – guz .L’écoulement du liquide (analogue à celui de la tor-nade) est stationnaire et à symétrie de révolution autourde l’axe (Oz). Son champ de vitesses, en coordonnéescylindriques, est de la forme :• pour r < a : v = r w uq ;

• pour r > a : v = uq (w étant constant) .

La surface libre du liquide est en z = 0, très loin de l’axede révolution.

Déterminer le champ de pression P(r, z) au sein duliquide et en déduire la forme de la surface libre.

L’équation d’Euler, en régime stationnaire, s’écrit ici :

[ .

rot— v = 2 W–

.Deux cas doivent être distingués :

r < a : W–

= w uz et r > a : W–

= 0

.

En projection sur ur et uz , l’équation d’Euler donne :

• r < a : en projection sur ur :

en projection sur uz :

• r > a : en projection sur ur :

en projection sur uz :

(Remarquons que les particules de fluide étant en mou-

vement circulaire uniforme, leur accélération est

bien égale à

• r < a : = – rg s’intègre en P = – rgz + f (r)

D’où : = f (r) = + rrw 2

f (r) = + r + K.

• r > a, p = – rgz + g(r) avec

g (r) = g(r) = – ra4 + K

Pour avoir K , il faut utiliser la condition aux limites :P( , 0) = P0, qui conduit à K = 0.De plus, la pression doit être continue en r = a, d’où :

r + K = – ra4 .

Finalement :

• r < a :

• r > a :

L’équation de la surface libre est P(r, z) = P0 , soit :

• r < a :

• r > a :

Dans le plan (ur , uz), la trace de cette surface a la forme

indiquée dans le document 11 (a = 0,5 ; ).g

=2

12ω

za

gr= − ω 2 4

22.

zg

r a= −ω 22 2

22( ) ;

P r z P g zar

( , ) .= − −02

4

22ρ ρω

P r z P g z r a( , ) ( ) ;= − + −0

22 2

22ρ ρ ω

w2

a212

a2w2

2

w2

r212

a4w2

r3

r2w2

2

∂P∂r

∂P∂z

− v 2 ( ).)

rr

er

D

D

v

t

0 = −– .ρgPz

∂∂

− = − ∂∂

ρ ωar

Pr

4 2

3 ;

0 = −– ;ρgPz

∂∂

ρ ω ρ ωr rPr

2 22− = − ∂∂

;

grad—

Pr+ 2 W

–∧ v] = – guz –

v 2

2

grad—

ar

2ω

Champ de pression dans un vortex de Rankine

formede la surfacelibre

–2 –1,5 –1 –0,5

0–0,6

–1,2

–1,8

–2,4

–3,0

–3,6

– 4,2

– 4,8

–5,4

0,5 1 1,5 2z

r

Doc. 11. Forme de la surface libre du vortex de Rankine.


2.3.

mouvements du fluide longitudinaux

∂∂

∂∂

2

2 0

2

2 0p

xp

tS− =ρ χ .

ρ χ ρ0 0 0Spt x

∂∂

∂∂

+ =v,

χρ

ρρ

µS

SP p=

≈1 1

0

∂∂

.

∂∂µt

.

∂∂µx

v ,

∂∂

∂∂

µ ρt x

+ =0 0v

.∂∂ρt

ρ0∂∂

= − ∂∂

vt

px

;

1

100 000

v ( , )x tc

µρ( , )x t

0

p x tP( , )

,0

4.


Dans la résolution des équations différentielles de l’écoulement, la recherche dessolutions doit tenir compte de conditions aux limites déjà évoquées, tant au niveaude la vitesse que de la pression.

Ondes acoustiques dans les fluides

Soit un fluide parfait compressible, où, au repos, la pression P0 et la masse volu-mique r0 sont constantes et uniformes. À des petits mouvements du fluide serontassociées, en tout point M et à l’instant t , la vitesse v(M, t) , la pression P(M, t)et la masse volumique r (M, t) . Par souci de simplification, le problème sera sup-posé unidimensionnel, dépendant de la seule variable d’espace x (doc. 12) :

P(x, t) = P0 + p (x, t) , r (x, t) = r0 + m (x, t) et v = v (x, t) ux .Les sont donc . Dans l’hypothèse des petits

mouvements, les grandeurs et (c représentant la vitesse

de propagation d’une perturbation, donc la vitesse du son) sont des infiniment petitsdu premier ordre. Pour fixer les idées, la surpression p engendrée par une onde

sonore intense est de l’ordre de quelques pascals, soit un de la pression

de repos P0 ! Tous les calculs seront donc linéarisés au premier ordre.

En négligeant les forces de pesanteur, la linéarisation de l’équation d’Euler :

r [

donne le terme , d’ordre 2, est négligeable.

Linéarisons l’équation de conservation de la masse :

+ div(rv) = 0 donne

Remarque

Dans cette dernière équation, nous avons négligé terme « d’ordre 2 » devant

Une discussion plus approfondie de cette approximation est abordée dans

l’ouvrage sur les ondes (cf. H-Prépa, Ondes, 2de année, chapitre 4). Retenons sim-plement ici que cette approximation est tout à fait légitime.

Ces deux équations sont insuffisantes pour résoudre le problème. L’hypothèse ther-modynamique d’une évolution isentropique et l’utilisation du coefficient cS cor-respondant ajoutent l’équation :

La conservation de la masse donne alors soit, après déri-

vation par rapport à t et report dans l’équation d’Euler :

∂∂

∂∂

2

2 0

2

2 0p

xp

tS− =ρ χ .

ρ χ ρ0 0 0Spt x

∂∂

∂∂

+ =v,

χρ

ρρ

µS

SP p=

≈1 1

0

∂∂

.

∂∂µt

.

∂∂µx

v ,

∂∂

∂∂

µ ρt x

+ =0 0v

.∂∂ρt

(v . grad—

) vρ0∂∂

= − ∂∂

vt

px

;

+ (v . grad—

) v ] = – grad—

P ,∂ v

∂ t

1

100 000

v ( , )x tc

µρ( , )x t

0

p x tP( , )

,0

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Doc. 12. Tuyau sonore de sectionconstante. En M à la date t , nous avons :

P(M, t) = P0 + p (x, t) ;r (M, t) = r0 + m (x, t) ;

v(M, t) = v (x, t) ex .

0 x

M

y

xz


2.4.

e M tM t

A

B

Pm ( , )( , )+

+v 2

2

v 2

2+

ePm

ρv 2

2

ρv 2

2

et avec∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2 2

2

2

2

2 2

2

20

10

10

1px c

pt x c t

cS

− = − = =v vρ χ

.

v (M, t)

v (M, t)


La même équation serait obtenue pour v . Dans ce problème, la surpression p etla vitesse v obéissent à l’équation de d’Alembert :

La surpression et la vitesse ont donc une structure d’onde plane. Une perturbationde pression se propage avec une vitesse égale à c . L’étude détaillée des problèmesassociés aux ondes sonores est traitée dans l’ouvrage sur les ondes (cf. H-Prépa,Ondes, 2de année).

Pour s’entraîner : ex. 3.

Intégration de l’équation d’Eulerle long d’une ligne de courant

L’équation d’Euler est souvent utilisée en l’intégrant le long d’une ligne de cou-rant. Pour ce faire, utilisons la deuxième forme de l’équation en multipliant sca-lairement les deux membres par l’élément d

d’une ligne de courant (d

// v)

(doc. 13) :

Le troisième terme est nul puisque d

est colinéaire à v , ce qui donne :

Très souvent, les forces massiques f

m dérivent d’une énergie potentielle ePm (elle-même massique) de sorte que :

f

m = – grad—

ePm .

Pour les forces de pesanteur, par exemple, f

m = g . Dans le cas d’un champ depesanteur uniforme, et avec le choix d’un axe vertical ascendant (Oz), dont l’ori-gine est également celle des énergies potentielles :

f

m = – grad—

(g z) et ePm = g z .

En rassemblant les deux gradients, l’équation devient :

Or pour une fonction F :

dF = grad—

F . d

.

Donc grad—

+ ePm . d

= d + ePm .

Puis, par intégration à la date t entre deux points A et B d’une ligne de courant(doc. 14) :

. d

= 0 .grad—

P (M, t)r (M, t)

A

B

e M tM t

A

B

Pm ( , )( , )+

+v 2

2. d

+∂ v (M, t)

∂ tA

B

v 2

2v 2

2

. d

= 0 .grad—

Pr. d

+

v 2

2+

ePm. d

+ grad

—∂ v (M, t)∂ t

. d

.grad P

ρfm –

ρ. d

=v 2

2

. d

+ grad—∂ v (M, t)

∂ t

. d

.grad Pρfm –

ρ. d

+ 2(W–

∧ v

) . d

=v 2

2

. d


∂ t

et avec∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2 2

2

2

2

2 2

2

20

10

10

1px c

pt x c t

cS

− = − = =v vρ χ

.

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Doc. 13. L’élément de longueur d

(en M)est choisi parallèle à la vitesse v(M, t) ence point, c’est-à-dire porté par la ligne decourant passant par M à la date t .

v (M, t)

O

M

ligne de courantà la date t

d

y

x

Doc. 14. Ligne de courant entre deuxpoints A et B .

v (M, t)

O

M

A

B


y

x


3

4.

TLg

= 22

π .

10

ρ( ) .P PB A− =

1

ρ

v 2

20

( , );

M t

A

B

=

e M t g z g zAB

AB

Pm ( , ) ( ) ;[ ] = = 2

e M tM t

A

B

Pm ( , )( , )+

v 2

2

Application 3

T


Relations de Bernoul l i

Cherchons s’il existe, moyennant certaines hypothèses, une grandeur qui se conservesur tout ou une partie du fluide.

99


Un fluide incompressible, de masse volumique r , estcontenu dans les deux branches d’un tube en U de sec-tion S . La « longueur » totale de fluide dans le tube estnotée L . À l’équilibre, les deux surfaces libres du fluidedans les deux branches du tube sont à une même altitudechoisie comme origine d’un axe (Oz) vertical ascendant.

Déterminer la période des oscillations du fluide dans letube.

La cote de la surface libre du fluide dans la branchedroite du tube est notée z (doc. 15).

Choisissons pour coordonnée eulérienne d’un point Ml’abscisse curviligne s de ce point (doc. 15). Le fluideétant incompressible, en tout point M, la vitesse s’écrit :

v(M, t) = z•(t) T

.

L’intégrale de l’équation d’Euler s’écrit :

+

Examinons les divers termes, lors d’une intégration surune ligne courant entre les deux surfaces libres situéesen A et B :

• . d

= z••

T

. d s T

= z••d s , ce qui donne :

•

• car la norme de v est la même

en A et en B.

•

=

Nous obtenons l’équation suivante z••

L + 2 g z = 0 , cequi nous donne un mouvement oscillant sinusoïdal de

période T égale à TLg

= 22

π .

10

ρ( ) .P PB A− =

. d

grad—

P

A

B

1

ρ. d

=grad

—P

rA

B

v 2

20

( , );

M t

A

B

=

e M t g z g zAB

AB

Pm ( , ) ( ) ;[ ] = = 2

d s = L ;

A

B

. d

= z••

L , car∂ v (M, t)∂ t

A

B

∂ v

∂ t

. d

= 0 .grad—

P (M, t)r (M, t)

A

B

e M tM t

A

B

Pm ( , )( , )+

v 2

2. d

+

∂ v (M, t)∂ t

A

B

Oscillations d’un fluide dans un tube en U

coordonnée spermettantle repéragedu point M

coordonnéepermettantle repéragede la surface libre

s = L + z(L représentantla longueur de laportion de fluide)

s

s = 0

s = z –z(t)

z(t)

0

A

M

B

T

Doc. 15. À la date t , la vitesse d’un point M du fluideest donnée en formalisme d’Euler par l’expression sui-vante :

v(M, t) = z• (t) T

.©

Hach

etteL

ivre,

H-Pré

paMé

caniq

uede

sflui

des,

2e anné

e,PC

etPS

I,Lap

hoto

copie

nona

utor

iséee

stun

délit.


3.1.

3.2.

3.2.1.

fluide homogène

3.2.2.

Pρ

.

.

∂∂

v( , )M tt

ρv 2

2

v (M, t)d<


Existence d’une énergie potentielleassociée aux forces massiques

Prenons un élément de longueur d

quelconque (doc. 16). En multipliant scalai-rement par d

les termes de l’équation d’Euler, nous obtenons l’équation vue pré-

cédemment :

Supposons qu’il existe une énergie potentielle massique ePm associée aux forcesautres que celles de pression (par exemple ePm = gz pour un champ de pesanteur

uniforme, où z est l’altitude), avec f

m = – grad—

(ePm) .Nous obtenons :

d

= 0.

Écoulement incompressible d’un fluide homogèneet écoulement barotrope

Lors d’un écoulement incompressible = 0, la masse volumique d’une

particule de fluide reste constante lors de son mouvement. Si le fluide est homo-gène, cette masse volumique est uniforme : nous sommes donc en présence d’ununique fluide incompressible :

r(M, t ) = r .Ainsi, pour l’écoulement incompressible d’un , nous avons entout point de l’espace :

Dans le cas où la masse volumique r ne dépend que de la pression P , le

fluide est dit barotrope. Montrons alors que f

m = – est le gradient d’une

fonction j (P).

Posons j (P) =P

P0

. Cette intégrale est bien une fonction de P , dépendant

du paramètre constant P0 et = .

D’après les règles de dérivation des fonctions composées : grad—

j = ddPj grad

—P.

En effet, pour chacune des composantes, nous avons :∂∂jx

= ddPj ∂

∂Px

.

Nous avons donc montré que :

= grad— P

P0

= grad—

[j (P)].

En conclusion = grad—

[j (P)], avec :

• fluide incompressible, homogène : j (P) = Pr

;

• fluide barotrope : j (P) =P

P0

.dur(u)

grad—

Pr

dur(u)

grad—

Pr

1r(P)

djdP

dur(u)

grad—

Pr

Pρ

.= grad—grad

—P

r

DrDt

.grad

—P

r+ ePm ) + 2 W–

∧ v

+v2

2+ grad

—(

∂∂

v( , )M tt

. d

.grad P

ρfm –

ρ. d

+ 2(W–

∧ v

) . d

=v 2

2

. d


∂ t

100

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s,2e an

née,

PCet

PSI,L

apho

toco

pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


Doc. 16. L’élément de longueur (en M)d

est choisi de manière quelconque.

v (M, t)

O

M


d<

y

x


3.3.

3.3.1.

3.3.2.

3.3.3.v 2

2+ +

=e PPm cteϕ( )∂

∂φ( , )M t

t

∂∂

φ ϕ( , )( )

M tt

e P+ + +

=v 2

2 Pm cte

∂∂

φ( , )M tt

v 2

2+ +

e PPm ϕ( )

v 2

20+ +

=e P

A

B

Pm ϕ( ) .

v 2

20+ +

=e

P

A

B

Pm ρ;

v

∂∂

v( , )M tt

v

∂∂

v( , )M tt

4.


L’expression précédente déduite de l’équation d’Euler se transforme alors ainsi :• pour un fluide incompressible :

• pour un fluide barotrope :

Hypothèses supplémentaires

Ajoutons l’une des trois hypothèses suivantes.

Écoulement stationnaire

Si l’écoulement est stationnaire (la vitesse v (M, t) ne dépend pas explicitement

du temps), le terme disparaît de l’équation d’Euler.

L’intégration de cette équation entre deux points quelconques A et B d’une lignede courant donne (d

// v) :

• pour un fluide incompressible :

• pour un fluide barotrope :

Il y a donc conservation de la quantité le long d’une ligne de

courant. Cette expression peut varier d’une ligne de courant à une autre.

Écoulement irrotationnel

Si l’écoulement est irrotationnel, le terme 2 W–

∧ v disparaît, si bien qu’il n’estplus nécessaire d’intégrer le long d’une ligne de courant, mais entre deuxpoints quelconques. Puisque rot—(v) = 0

, v = grad

—f et par conséquent :

(les variables d’espace et de temps sont des variables indépendantes et on peut doncpermuter les dérivations). L’expression pour le liquide barotrope (ou homogèneincompressible) se transforme ainsi :

à une date t sur tout le fluide .

Remarque : Le potentiel des vitesses f est défini à une fonction du temps près, qui

ne modifie pas le champ des vitesses v = grad—

f . Un choix de potentiel (choix dejauge) « convenable » permet éventuellement de prendre cte (t) = 0.

Écoulement irrotationnel et stationnaire d’un fluide barotrope

Alors, nous obtenons, puisque = 0 : dans

tout le fluide et à tout instant.

v 2

2+ +

=e PPm cteϕ( )∂

∂φ( , )M t

t

∂∂

φ ϕ( , )( )

M tt

e P+ + +

=v 2

2 Pm cte

∂∂

φ( , )M tt

= grad—∂ v (M, t)

∂ t

v 2

2+ +

e PPm ϕ( )

v 2

20+ +

=e P

A

B

Pm ϕ( ) .

v 2

20+ +

=e

P

A

B

Pm ρ;

∂ v (M, t)∂ t

. d

= 0 .v

+ ePm + j(P)) + 2 W–

∧v2

2+ grad

—(

∂∂

v( , )M tt

. d

= 0 ;v

) + 2 W–

∧Pr

+ ePm +v2

2+ grad

—(

∂∂

v( , )M tt

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lit.



3.4.

pression dynamique

pression totale pression de stagnationρv 2

2+ P ,

ρv 2

2

Pρ

v 2

2

v 2

2+ +e

PPm ρ

v 2

2+ + =e

PPm cte

ρ


RécapitulationTous ces résultats peuvent se résumer dans le tableau à double entrée représentéci-dessous (doc. 17).

FLUIDES PARFAITS (SANS VISCOSITÉ)

La forme la plus simple de la relation de Bernoulli est bien sûr obtenue avec leshypothèses les plus fortes : écoulement d’un fluide parfait homogène incompres-sible, stationnaire et irrotationnel (elle correspond à la case blanche dans le tableau).

L’équation de Bernoulli n’est autre qu’une équation de conservation de l’énergie.Dans le cas d’un écoulement stationnaire de fluide parfait incompressible homo-gène, l’expression :

peut représenter l’énergie totale massique associée à une particule de fluide :

• est l’énergie cinétique massique ;

• ePm est l’énergie potentielle massique des forces autres que celles de pression ;

• représente une énergie associée aux forces de pression.

L’équation de Bernoulli représente alors une forme locale du premier principe de la

thermodynamique pour un fluide en écoulement permanent : h + + ePm = cte,

où h est l’enthalpie massique (cf. exercice 2).

Pour un écoulement stationnaire homogène incompressible, l’équation de Bernoullis’écrit encore :

+ P + rePm = cte.

Le terme (homogène à une pression) est appelé et la

somme ou .ρv 2

2+ P ,

ρv 2

2

rv2

2

v2

2

Pρ

v 2

2

v 2

2+ +e

PPm ρ

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lit.


différentes formesde l’équationde Bernoulli

écoulementstationnaire

le long d’une ligne de courant

v 2

2+ + =e PPm cteϕ( )


v 2

2+ + =e

PPm cte

ρ

écoulementirrotationnel

(v = grad—

( )) dans tout le fluide

(t )∂∂φ ϕt

e P+ + +

=v 2

2 Pm cte( )

dans tout le fluide

(t )∂∂φ

ρte

P+ + +

=v 2

2 Pm cte


et stationnairedans tout le fluide

v 2


dans tout le fluide

v 2

2+ + =e

PPm cte

ρ

écoulement d’un fluidebarotrope

= grad—

( (P))grad—

P

écoulement d’un fluideincompressible homogène

P

= grad—grad

—P

Doc. 17. Différentes formes de l’équation de Bernoulli.

Relation de Bernoulli

+ epm + cte

pour un écoulement de fluide• parfait,• homogène,• incompressible,• stationnaire,• irrotationnel.

Pr

v2

2


ρv 2

2+ =P PA ,

4.

g

v 2

2+ +

e PPm ϕ( )

P r P rr r

( ) ( )( )

.= + −0

2 202

4

ρ Ω

1

22ρ Ω r

Pr

= d

d,

d mρ

v 2

2+ +

e PPm ϕ( )

Application 4


L’exemple d’un écoulement uniforme horizontal arrivant sur un obstacle permetde mieux comprendre la signification de ces termes (doc. 18).

Écrivons la conservation de :

+ P + rePm

sur la ligne de courant horizontale arrivant en A sur l’obstacle, entre l’infini et A :

• à l’infini, l’écoulement est uniforme, de pression P0 et de vitesse v0 ;

• en A , la vitesse est nécessairement nulle et la pression est notée PA .

La ligne de courant étant horizontale, et en considérant les seules forces de pesan-teur, ePm est identique sur tous les points de la ligne :

d’où les noms de pression totale ou pression de stagnation en A (point d’arrêt).

ρv 2

2+ =P PA ,

rv2

2

103


Doc. 18. Point d’arrêt sur un solide.

point d’arrêt

P0

PA

A

v0

vA = 0

g

Soit un écoulement stationnaire de fluide incompres-sible, de masse volumique r , dont le champ des vitessesest donné en coordonnées cylindriques par la relation :

v(M, t) = W r eq avec W–

= W ez constant .

Ce fluide n’est soumis qu’aux forces de pression (onnéglige les forces de pesanteur).

1) Que représente W–

?2) Calculer la pression P(M) . On supposera P(r0)connu.

3) Montrer que est une constante

sur une ligne de courant, mais dépend de la ligne decourant choisie. Déterminer j (P) .

1) W–

représente le vecteur tourbillon. En effet, en uti-lisant le formulaire (cf. Annexe), il vient :

rot—(Wreq ) = 2W ez = 2W

.

2) Le principe fondamental de la dynamique appliqué àune particule de fluide de masse d m donne :

,

a = + grad—

+ 2W

v ,

a = 0

+ W2 r er – 2W2 r er = – W2 r er ,

soit d’où :

3) Le fluide étant incompressible, on a :

j (P) =P

P0

= (P – P0).

Comme il n’y a pas de force extérieure autre que lesforces de pression, cela nous donne ePm = 0 .De plus, les lignes de courant sont des cercles derayon r.

La quantité s’écrit donc :

+ = +

+ –

constante ne dépendant que de r , c’est-à-dire constantesur une ligne de courant. Cette constante dépend de laligne de courant, car nous sommes à l’intérieur d’untourbillon (W

–≠ 0

) .

W 2r20

4P(r0) – P0

r

W 2r2

4W 2r2

2P – P0

rv2

2

v 2

2+ +

e PPm ϕ( )

1r

dur

P r P rr r

( ) ( )( )

.= + −0

2 202

4

ρ Ω

1

22ρ Ω r

Pr

= d

d,

v2

2∂v∂ t

d mρ

d m a = – grad—

(P)

v 2

2+ +

e PPm ϕ( )

Écoulement stationnaire tourbillonnaire

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44.1.

4.2.

jet homocinétique

v 2

2+ =P

ρcte

v max .2 21<<

χ ρ

P P P Pmax min minmax .= + = +∆ ρ v 2

2

χρ

ρ= 1 d

dP.

v


Applications de la relation de Bernoul l i

Écoulement permanent et lentd’un fluide compressible

Prenons un écoulement stationnaire et irrotationnel.

Pouvons-nous, en première approximation, appliquer la relation de Bernoulli soussa forme la plus simple à un fluide compressible comme l’air ?

Supposons que, dans les conditions de l’expérience, il existe une relation entre

P et r , qui se traduit par l’existence d’un coefficient de compressibilité :

Fréquemment, l’écoulement est approximativement isentropique, et c ≈ cS .

Supposons qu’il soit possible de négliger les variations de r pour un écoulementpermanent où la vitesse varie entre 0 et vmax . D’après la relation de Bernoulli,

la pression varierait entre Pmin et Pmax avec

Un telle variation de pression est compatible avec l’hypothèse si la variation de rqui lui est liée est faible en valeur relative, soit si :

∆ r ≈ c r ∆ P << r ou encore

D’après le résultat du § 2.3, cette condition équivaut à vmax << cson .

Jet homocinétique à l’air libre

Considérons l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible sous forme :

• d’un jet libre, c’est-à-dire sans aucun contact avec une surface rigide ou un autrefluide ;

• de vitesse v = v ex , constante.

Ce est dit (doc. 19).

Supposons que les seules forces intervenant sont les forces de pression ; la relationde Bernoulli s’écrit dans tout le jet :

.

La vitesse étant la même en tout point du jet, il en est de même de la pression. Auxbords du jet, au contact de l’atmosphère, la pression vaut P0 (on néglige la ten-sion superficielle). C’est donc la pression en tout point du jet.

v 2

2+ =P

ρcte

Il est donc possible d’appliquer la relation de Bernoulli la plus simple :

r v2

2+ P + ePm ≈ cte

à un fluide compressible en écoulement stationnaire et irrotationnel, dansla mesure où la vitesse d’écoulement reste très inférieure à la vitesse de pro-pagation du son dans ce fluide, dans les conditions de l’expérience : l’écou-lement est alors un écoulement incompressible.

v max .2 21<<

χ ρ

P P P Pmax min minmax .= + = +∆ ρ v 2

2

χρ

ρ= 1 d

dP.

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Doc. 19. Jet homocinétique à l’air libre.

P0

P0

v


4.3.

4.3.1.

un fluide homogène incompressible

effetVenturi

4.3.2.

4.3.2.1.

4.3.2.2.

P P1 12

2 22

2 2ρ ρ+ = +v v

.

4.

v1 v2


Effet Venturi

Principe de base de l’effet Venturi

Un écoulement stationnaire d’ , soumis auxseules forces de pression, est limité par une conduite de section variable (doc. 20).Le problème sera en outre supposé unidimensionnel : toutes les grandeurs ont unevaleur uniforme sur une section droite de la conduite.

La conservation du débit volumique entre les sections d’aires S1 et S2 implique :S1v1 = S2v 2 (écoulement incompressible).

L’application de la relation de Bernoulli entre deux points de ces sections entraînealors :

Si S1 > S2 , alors v1 < v2 et P1 > P2 . Ce phénomène est connu sous le nom d’.

Remarquons que cet effet Venturi est très bien vérifié pour des fluides compres-sibles comme l’air : cette approximation est valable tant que la vitesse du fluide esttrès inférieure à la vitesse de propagation du son dans le fluide considéré (cf. § 4.1).

Applications ou conséquences pratiques

Expérience avec des feuilles de papier

En soufflant sur une feuille de papier tenue horizontalement, la feuille se soulève.En effet, la vitesse du fluide non nulle au-dessus de la feuille donnera naissance àune pression plus faible qu’au-dessous de celle-ci, là où le fluide est immobile(doc. 21).

Une expérience identique consiste à prendre deux feuilles verticales, légèrementécartées l’une de l’autre : en soufflant, elles ont tendance à s’attirer pour les mêmesraisons que précédemment (doc. 22).

Il est aussi possible d’aspirer une feuille en soufflant dessus (doc. 23).

Effet de sol

Nous retrouvons une forme de l’effet Venturi dans « l’effet de sol » : l’écoulementd’un fluide comme l’air sous une plaque inclinée (ou les feuilles vues précédem-ment) a tendance à la plaquer au sol. Cet effet est utilisé pour augmenter la tenuede route des voitures de compétition (doc. 24).

Remarque

Pour analyser simplement ce phénomène, il faut se placer dans les conditions d’unécoulement permanent, donc dans le référentiel de la voiture.

Les régions de faible section, donc de grande vitesse, sont aussi des régionsde basse pression. C’est l’effet Venturi.

P P1 12

2 22

2 2ρ ρ+ = +v v

.

Dans un jet homocinétique à l’air libre, la pression, uniforme, est égale àcelle existant dans le milieu « extérieur ».

Nous admettons ce résultat pour tout jet à l’air libre.

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Doc. 20. Effet Venturi : P1 > P2 .

P1

P2

S1 S2

v1 v2

Doc. 21. En soufflant, la feuille de papier(maintenue fixe en A) se soulève (elleprend l’aspect d’un dessus d’aile d’avion,extrados).

fluide enmouvement

fluide immobile

A

Doc. 22. En soufflant entre deux feuillesmaintenues fixes aux points A et B , lesdeux feuilles semblent s’attirer.

les deux feuillesde papier semblent s’attirer

B

A

Doc. 23. La feuille de papier se soulève.

la présencedu rétrécissementfait que la feuille

est aspirée

position initialede la feuillede papier

surface plane

disque plancirculaire

sens d’écoulement du fluide

Doc. 24. Effet de sol pour un véhicule decompétition : PA > PB .

sol

A

B


4.3.2.3.

4.3.2.4.

4.3.2.5.


Aspiration d’une balle de ping-pong

L’expérience de la balle de ping-pong, aspirée vers une région de faible section(vers le sommet de l’entonnoir), constitue une autre illustration spectaculaire del’effet Venturi (doc. 25).

Pour des raisons identiques, il est possible de maintenir une balle de ping-pong en« lévitation » (doc. 26).

Principe de la trompe à eau

Une dépression est donc observée au niveau du rétrécissement d’une conduite : ceteffet a de nombreuses applications. Citons, par exemple, la trompe à eau où unétranglement d’une conduite d’eau est relié à un récipient dans lequel on souhaitefaire le vide (doc. 27).

Principe des vaporisateurs

Le principe des vaporisateurs et de certains pistolets à peinture est basé toujourssur le même schéma (doc. 28).

Soumis à un vent violent, le toit d’une maison peut se soulever pour les mêmes rai-sons (doc. 29).

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Doc. 28. Principe de fonctionnement d’unvaporisateur ou d’un pistolet à peinture.

le rétrécissementdonne naissanceà une dépression

qui permetl’aspirationdu fluide, et

ainsi dele pulvériser

sensd’écoulementde l’air

Doc. 29. Les lignes de courant au voisi-nage d’un toit sont plus « serrées ». Lapression sur le toit est plus faible que lapression à l’intérieur de la maison.

sol

Doc. 25. Expérience de la balle de ping-pong : la balle initialement posée sur latable est aspirée.

rétrécissement : dans ceszones, la vitesse du fluideest importante

entonnoir

table

sensde l’écoulementdu fluide

sèche-cheveux

aspiration

balle deping-pong

Doc. 27. Principe de la trompe à eau.

le rétrécissementimportant

provoque unedépression, donc

une aspirationdans le tube B

écoulementde fluide

tube B

phénomèned’aspiration

Doc. 26. La forme des lignes de courantau voisinage de la balle de ping-pongpermet d’expliquer pourquoi cette ballepeut rester en équilibre, même si le fluxd’air n’est pas vertical (il est possible demaintenir cet équilibre avec un angle de20 à 30°).


4.3.3.

homogène

4.4.

4.4.1.

4.4.2.

pression de stagnation

v AA B

A

B

g h h

SS

= −

−

2

12

( ).

P PSSA B

A A

B− =

−

ρ v 2 2

21 .

P PA A B B

ρ ρ+ = +v v2 2

2 2,

v v vBA

BA A

SS

= > .

4.

g

v


Mesure d’un débit avec un tube de Venturi

Le tube de Venturi (doc. 30) constitue une autre application permettant de mesurerdes débits. Nous nous plaçons ici dans le cas d’un écoulement stationnaire de fluideincompressible .• Le tube possède un rétrécissement au niveau du point B, si nous supposons que

la vitesse est uniforme sur les sections SA et SB , alors Sur la

ligne de courant allant de A à B , la relation de Bernoulli en régime stationnairepour un fluide incompressible s’écrit :

d’où :

• Les tubes latéraux sont ouverts à l’air libre. Dans ces tubes qui ne perturbent quetrès peu l’écoulement (si leur section est petite devant la section de l’écoulement(mais pas trop, cf. Application 1), et s’ils sont placés « loin » du rétrécissement),le fluide est au repos, nous avons donc (doc. 30 et 31) :

PA – PA0= PA – P0 = rg (zA0

– zA ) et PB – PB0= PB – P0 = rg (zB0

– zB ).

• L’écoulement est unidirectionnel sur les sections SA et SB . Le rotationnel de v

y est nul, et donc, d’après la relation de Bernoulli pour un fluide incompressibleen régime stationnaire :

PA – PA′′ = r g (zA′′ – zA) et PB – PB′′ = r g (zB′′ – zB) .

• Il existe entre A′ et A′′ (et entre B′ et B′′ ) une petite zone de turbulences ; larelation de Bernoulli n’est donc pas applicable entre ces deux points. La variationde pression est cependant négligeable à travers cette petite couche.

zA′ ≈ zA′′ ; PA′ ≈ PA′′ ; zB′ ≈ zB′′ ; PB′ ≈ PB′′ .

Avec une bonne approximation, nous avons :PA = P0 + r g hA , PB = P0 + r g hB et PA – PB = r g (hA – hB) .

En identifiant les deux expressions de PA – PB , nous obtenons :

On en déduit le débit Dv = vASA.

Mesure de la vitesse d’écoulement

Mesure d’une pression locale (prise « dynamique »)

La mesure d’une pression locale s’effectue au moyen d’un manomètre simple enutilisant une pression de référence (doc. 32). Si les dimensions du trou sont petites(mais pas trop !), nous avons continuité de la pression au niveau de l’orifice : lapression locale est donc accessible.

Mesure d’une pression en un point d’arrêt

Pour mesurer une pression en un point d’arrêt, c’est-à-dire la pression totale ou(cf. § 3.4), il est commode d’utiliser un tube de Pitot

(doc. 33) : l’ouverture du tube de mesure est « dirigée face au jet ».

v AA B

A

B

g h h

SS

= −

−

2

12

( ).

P PSSA B

A A

B− =

−

ρ v 2 2

21 .

P PA A B B

ρ ρ+ = +v v2 2

2 2,

v v vBA

BA A

SS

= > .

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Doc. 30. Principe du tube de Venturi.

A

B

A’

A”

A0

hA

z

section SA

section SB

B’B”

B0

hB

g

Doc. 31. Si la section du tube (diamètref) est faible devant la section de l’écou-lement (diamètre D), la zone de turbu-lence est de dimension réduite, et nousavons PA¢ = PA¢¢ .

zonede turbulences

diamètre

diamètre D

φ

A’

A”

écoulement du fluide

Doc. 32. La pression est continue au niveaude l’orifice, et P = PB – reau g h . La pres-sion PB est à peu près la même à la sur-face de l’eau et à l’extérieur du tubemanométrique.

air

eau(masse volumique )

manomètre

P v

P

h

eauρ

PB

Doc. 33. Tube de Pitot : la pression estcontinue au niveau de l’orifice (v = 0), etP0 = PB + reau g h′ .

air lignede courant

manomètre

point d’arrêt

eau

P0

P0, v = 0

P∞, U∞

PB

h’


4.4.3.

4.5.

v0

Ω

F


Mesure de vitesse dans un écoulement incompressible

Nous savons que P0 (pression totale) et P (pression locale où existe une vitessev) sont liées par la relation suivante (pour un écoulement sans tourbillon d’un fluide,incompressible homogène, stationnaire et à z constant) :

P0 = P + r .

Connaissant r , il est aussi possible de mesurer v .

Pour cela, nous pouvons utiliser une variante du tube de Pitot, le tube de Prandtl(doc. 34). Rappelons que ces diverses mesures sont possibles dans l’air tant quev < c (cf. § 4.1).

Effet Magnus : portancePlaçons-nous à nouveau dans le cas d’un écoulement stationnaire homogène d’unfluide incompressible sans tourbillon : la relation de Bernoulli s’applique donc surtout le fluide, et en particulier sur une ligne de courant.

L’écoulement, supposé uniforme à l’infini, est perturbé par un obstacle bidimen-sionnel. Cette dénomination n’implique pas nécessairement que l’obstacle soit plan,mais qu’on puisse se ramener à une étude dans le plan. Ce sera, par exemple, le caspour un cylindre placé dans un écoulement dont les lignes de courant sont conte-nues dans des plans orthogonaux à l’axe du cylindre, de sorte que le problème estidentique dans chacun de ces plans.

L’écoulement autour d’un cylindre à base circulaire a été étudié dans le chapitre 3,§ 3.4. La symétrie de la figure (doc. 35) implique l’égalité des vitesses et des pres-sions aux points A et B :

vA = vB = v et PA = PB .

Le cylindre est à présent en rotation de vecteur W–

autour de son axe. Le caractèreréel (c’est-à-dire visqueux) du fluide entraîne sa rotation au contact du cylindre.Procédons par superposition : l’écoulement résultant est la somme de l’écoulementprécédent et d’un écoulement de type vortex dû à la rotation du cylindre (doc. 36) ;la nouvelle carte d’écoulement est étudiée dans l’exercice 8.

Il en résulte qu’en A et B , les vitesses sont à présent :

v ′A = v + ∆ v ux et v ′B = v – ∆ v ux .

v2

2

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Doc. 34. Tube de Prandtl :

P0 – P = reau gH = rair .v2

2

manomètre

P0

P

eau

H

lignede courant

P0, v = 0

P,vA

A

Doc. 35. Écoulement autour d’un cylindreimmobile.

A0

B0

A

B

v0

p0

x

Doc. 36. Mise en évidence de l’effet Magnus, quand le cylindreest en rotation.

y

x

Ω

F A

B

force à laquelleest soumisle cylindre

vitesse « élevée»pression « faible »

vitesse « faible »pression « élevée»

Doc. 37. Mise en évidence de l’évolution des lignes de fluide :la vitesse la plus rapide est située au-dessus du cylindre.

y

x

pointd’arrêt


effet Magnus

4.6.

gh ghAA

B+ = +v v2 2

2 2.

4.

F

F

v v

v


La relation de Bernoulli peut être écrite sur les lignes de courant allant de A0 à Aet B0 à B . A0 et B0 , très éloignés de l’obstacle, sont caractérisés par des mêmesvaleurs de vitesse et de pression :

vA > vB entraîne alors PA < PB .

Cette différence de pression engendre une force verticale (donc perpendiculaire àl’écoulement en l’absence d’obstacle) ici ascendante étant donné le sens de rota-tion supposé : ce phénomène est appelé (cf. exercice 8). L’effetMagnus affecte également un obstacle supposé mobile dans un fluide au repos loinde l’obstacle (il suffit de se placer dans le référentiel lié à l’obstacle pour retrouverle cas précédent) : l’obstacle subit alors une force orthogonale à son déplacementprincipal (doc. 36 et 37).

Cet effet explique alors les trajectoires incurvées de balles qu’on a frappées en leurimprimant un mouvement de rotation : balles « brossées » au football (doc. 38),balles « liftées » ou « coupées » (suivant le sens de rotation) au tennis. Pour ana-lyser qualitativement le document 39, il faut se souvenir que la relation de Bernoullila plus simple ne peut s’appliquer que si l’écoulement est permanent. Cela supposeque le référentiel d’étude est lié au centre de la balle, et que la vitesse à l’infini estv0 = – v .

Remarque

De même, la portance d’une aile est assurée par une circulation non nulle de champde vitesses autour du profil.

Vidange d’un réservoir : formule de Torricelli

Un réservoir est muni d’un orifice par lequel un fluide incompressible peut s’écouler :nous cherchons à déterminer la vitesse v d’éjection du fluide au niveau de cet ori-fice.

L’écoulement étudié n’est pas rigoureusement stationnaire, mais si la section s del’orifice est petite devant la surface libre S (doc. 40), l’accélération locale est négli-geable devant l’accélération convective et la relation de Bernoulli des écoulementsstationnaires s’applique (cf. exercice 9).

La pression du jet libre en B est égale à la pression atmosphérique (cf. § 4.2).L’application entre A et B , points d’une même ligne de courant, de la relation deBernoulli donne directement :

La conservation du débit volumique implique SvA = sv .

L’hypothèse S >> s implique donc également :

vA << v ,

d’où, avec h = hA – hB :

v2 = 2 g h .

La formule de Torricelli s’écrit :v2 = 2 g h .

Elle correspond à la vitesse d’éjection d’un fluide au niveau d’un orificesurmonté d’une hauteur h de fluide.

gh ghAA

B+ = +v v2 2

2 2.

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trajectoiredu ballonsoumis àl’effet Magnus

Doc. 38. Un ballon peut contourner le« mur ».

Doc. 39. Mise en évidence de l’effet Magnussur une balle en rotation.

Ω

F

O

ΩF

Ov v

Doc. 40. Vidange d’un récipient (hypo-thèse : S >> s . L’écoulement peut êtreconsidéré comme stationnaire, indépen-dant du temps).

h

S

A

B

sv


4.7.

4.7.1.

4.7.2.

λ = 2πk

.

′′ = − ′′ −−

=f zf z

g x ctg x ct

A( )

( )

( )

( ),

′′ = − ′′ −−

f zf z

g x ctg x ct

( )

( )

( )

( )

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0φ φ

x z+ = .


Ondes de gravitation à l’interface de deux fluides(modèle de la houle)

Un fluide parfait incompressible (l’océan par exemple), de masse volumique r ,est en contact avec l’atmosphère selon le plan z = 0 lorsqu’il est au repos. Ce fluides’étend en outre jusqu’à l’infini vers les z négatifs (océan de profondeur « infinie »)(doc. 41).

Hypothèses

Étudions son mouvement (sous l’action du vent par exemple) avec les hypothèsessimplificatrices suivantes.

• Le mouvement des particules est plan. En un point M(x, z) du fluide, la vitesse est :v(M, t) = u(x, z, t) ux + w(x, z, t) uz .

• Intéressons-nous à des petits mouvements, l’amplitude des vagues est « faible » :seuls seront gardés les termes de premier ordre en v .

• L’écoulement du fluide est potentiel : v(M, t) = grad—

f (M, t) .

• Le potentiel est cherché sous la forme f = f(z) g(x – ct) : il s’agit donc d’une ondese propageant à la célérité c dans la direction x avec une amplitude dépendantde z (v << c).

• À la surface libre du fluide, en contact avec l’atmosphère, la pression est uniformeet égale à P0 .

Nous cherchons à déterminer la forme des fonctions f et g , la valeur de c , lestrajectoires des particules de fluide et la forme de la surface libre...

Recherche du potentiel des vitesses

L’écoulement étant potentiel et incompressible, le potentiel des vitesses f vérifie

l’équation de la place ∆f = 0 , soit Avec la forme supposée de f :

f(z) g′′(x – ct) + f ′′(z) g(x – ct) = 0 ,

soit, en divisant par le produit f(z) g(x – ct) qui n’est pas identiquement nul, onobtient :

.

Cette égalité doit être vérifiée pour tout x, z et t, donc :

où A est une constante.

f ′′(z) – Af(z) = 0 et la fonction f(z) est de la forme ekz , exponentielle réelle oucomplexe, avec k2 = A.

Le fluide doit être au repos loin de la surface libre, c’est-à-dire quand z tend vers– ∞. Ceci impose à l’exponentielle d’être réelle, c’est-à-dire d’avoir A > 0 et donc :

f(z) = f0 ekz , k étant réel positif.

Nous en déduisons g′′(x – ct) + k2 g(x – ct) = 0 , d’où g(x – ct) = g0 cos(k x – w t) ,avec un choix correspondant de l’origine des temps et en posant w = k c : c’est

une onde sinusoïdale progressive de pulsation w et de longueur d’onde

Le potentiel f est de la forme :

f (x, z, t) = f0 ekz cos(k x – w t) .

Remarquons que f′(x, z, t) = f (x, z, t) + C(t) donne le même champ de vitesses.

λ = 2πk

.

′′ = − ′′ −−

=f zf z

g x ctg x ct

A( )

( )

( )

( ),

′′ = − ′′ −−

f zf z

g x ctg x ct

( )

( )

( )

( )

∂∂

∂∂

2

2

2

2 0φ φ

x z+ = .

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Doc. 41. Océan de profondeur « infinie ».

profondeur infinie

océan

surface libre au reposP = P0z

x


4.7.3.

4.7.4.

d

de

Z tt

k k X t tk Z t( )cos( ( ) ) .( )= + −φ ω0

d

de

X tt

k k X t tk Z t( )sin( ( ) )( )= − −φ ω0

∂∂φ

ρtg z

PB+ + + =v 2

2.

∂∂φ

ρtg z

P+ + + =v 2

2

4.

( ) .aλ

= <<1

1501


Recherche d’un invariant

L’écoulement est irrotationnel, non permanent, et le fluide incompressible. La rela-tion de Bernoulli s’applique sous la forme :

B(t) ,

grandeur fonction du temps et indépendante des coordonnées d’espace, c’est-à-direuniforme dans tout le fluide. Le membre de gauche dépend de la variable (x – ct)pour un phénomène de propagation et ne peut dépendre du temps sans dépendrede x. Le membre de droite ne peut donc dépendre du temps, et nous avons :

Recherche des trajectoires de particules

La vitesse d’une particule de fluide est donnée par les composantes :

u(x, z, t) = ∂∂xf = – kf0 ekz sin(kx – w t) et w(x, z, t) = ∂

∂fz

= kf0 ekz cos (kx – w t)

Les trajectoires X(t) et Z(t) des particules de fluide (connaissant leur position X0et Z0 à t = 0) s’obtiennent par intégration des équations différentielles :

et

Il est délicat de résoudre rigoureusement ces équations différentielles. La simula-tion numérique des solutions de ce système d’équation montre que si l’amplitudea des « oscillations » est petite devant la longueur d’onde l (ou k a << 1), et uni-quement dans ce cas, les trajectoires sont quasiment des cercles (doc. 42).

d

de

Z tt

k k X t tk Z t( )cos( ( ) ) .( )= + −φ ω0

d

de

X tt

k k X t tk Z t( )sin( ( ) )( )= − −φ ω0

∂∂φ

ρtg z

PB+ + + =v 2

2.

∂∂φ

ρtg z

P+ + + =v 2

2

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lit.


(X0, Y0)

x

z

les

«ra

yons

»de

traj

ecto

ires

dim

inue

ntlo

rsqu

'on

s’él

oign

ede

lasu

rfac

e

il existe un « déphasage » entre lesdivers trajectoires

Doc. 42a. Les trajectoires sont quasiment des cercles :

( ) .aλ

= <<1

1501 Doc. 42b. Photo faisant apparaître les trajectoires de diverses

particules d’un fluide soumis à des ondes de gravitation.


Rk=ω

φ0 .

Rk k Z=ω

φ00e .

Z t Zk

k X t k Xk Z( ) (sin( ) sin ) .= − − −0 0 0 00

ωφ ωe

X t Xk

k X t k Xk Z( ) (cos( ) cos )= − − −0 0 0 00

ωφ ωe

d

de

Z tt

k k X tk Z( )cos( ) .= + −φ ω0 0

0d

de

X tt

k k X tk Z( )sin( )= − −φ ω0 0

0

4.7.5.

∂∂

= −φ ω φ ωt

k x tsurface

0 sin( )

k zz π = <<2

1λ

,


Revenons à l’approximation au premier ordre en v . L’amplitude des trajectoiresest faible ; ekZ et k X variant peu, nous les assimilerons respectivement à ekZ0 etk X0 . Les équations différentielles deviennent alors (forme beaucoup plus simpleà résoudre) :

et

Les trajectoires des particules de fluide sont donc :

Nous vérifions bien qu’à t = 0 , X(t) = X0 et Z(t) = Z0 . Posons

Les trajectoires sont des cercles d’équation :

[X – (X0 + R cos(k X0)]2 + [Z – (Z0 + R sin(k X0)]2 = R2 .

Nous pouvons comparer sur le document 43 l’écart entre la solution trouvée et lasolution complète de l’équation différentielle. Sur le document 44, nous visuali-sons l’écart au bout de quelques périodes.

Ainsi les particules de la surface libre décrivent des cercles de rayon

Le rayon des trajectoires décroît avec la profondeur. Ainsi, si la longueur d’ondeest 20 m, pour des « creux » de 2 m en surface (ce qui correspond à un rayon de1 m), les trajectoires ont des rayons de 3,9 cm et 0,43 cm à des profondeurs res-pectivement égales à 3 m et 10 m : à cette dernière profondeur, la houle est quasi-ment insensible.

Rk=ω

φ0 .

Rk k Z=ω

φ00e .

Z t Zk

k X t k Xk Z( ) (sin( ) sin ) .= − − −0 0 0 00

ωφ ωe

X t Xk

k X t k Xk Z( ) (cos( ) cos )= − − −0 0 0 00

ωφ ωe

d

de

Z tt

k k X tk Z( )cos( ) .= + −φ ω0 0

0d

de

X tt

k k X tk Z( )sin( )= − −φ ω0 0

0

Étude de la surface libre

Pour tous les points de la surface libre, nous avons z << l , c’est-à-dire

donc ekz = 1 .

Dans ces conditions, nous pouvons écrire :

.∂∂

= −φ ω φ ωt

k x tsurface

0 sin( )

k zz π = <<2

1λ

,

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lit.


Doc. 43. Écart entre la solution approchéeet la solution « réelle » au bout de t = 0,9 T .

trajectoire « réelle »,solution de l’équationdifférentielle complète

trajectoireapprochéecirculaire

trajectoire «réelle»par résolution complète

de l’équation différentielletrajectoirecirculaire

Doc. 44. Écart entre la solution approchée et la solution « réelle » au bout de quelquespériodes.


zg

k x tsurface = − −ω φ ω0 sin( ) .

ω φ ωρ00sin( ) ,k x t g z

PB− + + =surface

∂∂φ

ρtg z

PB+ + =surface

0 ,

4.

4.7.6.

∂∂

∂∂

∂∂

δδ

φ φ φt t

gz

tN t t M t M t

−

+

=+, , ,

.0

z z w M t t zz

tN M MM t

= + = +

( , ) ,,

δ ∂∂

δφ

Bt

g zP

tg z

P

M tM

N t tN=

+ + =

+ ++

∂∂

∂∂ δ

φρ

φρ

, ,

.0 0


Nous savons de plus qu’en un point de la surface nous devons vérifier, en négli-geant les termes d’ordre 2 :

soit indépendant de x .

Il nous faut donc écrire :

L’allure de cette surface (avec mise en évidence des trajectoires) est représentéesur le document 45 à des instants successifs, régulièrement espacés. Nous visuali-sons bien une onde de surface (sinusoïdale) qui se propage.

zg

k x tsurface = − −ω φ ω0 sin( ) .

ω φ ωρ00sin( ) ,k x t g z

PB− + + =surface

∂∂φ

ρtg z

PB+ + =surface

0 ,

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Recherche de la célérité des ondes

Écrivons que cette grandeur B garde la même valeur pour deux positions d’uneparticule de fluide de la surface supérieure, en deux instants voisins : M à l’ins-tant t et N à l’instant t + δ t (doc. 46).

Nous nous imposons donc MN—

= d M–

= v(M, t)δ t .

• Nous nous limitons à l’ordre 1 et nous négligeons le terme en v2 .

• M à l’instant t et N à l’instant t + δ t représentent des points de la surface libredu fluide. Comme nous négligeons les forces de tension superficielle, la pressiony est égale à la pression atmosphérique P0 . Nous obtenons donc :

• M et N représentent deux positions voisines d’une même particule du fluide,donc :

d’où :∂∂

∂∂

∂∂

δδ

φ φ φt t

gz

tN t t M t M t

−

+

=+, , ,

.0

z z w M t t zz

tN M MM t

= + = +

( , ) ,,

δ ∂∂

δφ

Bt

g zP

tg z

P

M tM

N t tN=

+ + =

+ ++

∂∂

∂∂ δ

φρ

φρ

, ,

.0 0

surface du fluide

trajectoires

déplacement de l’onde

t

Doc. 45. Une onde se propage à la surface du fluide.

Doc. 46. M et N sont sur une trajectoirede fluide à la surface de celui-ci.

surface du fluide

Nt + dtt

x

M


ω φ ω φ ω2

0 0gkx t k kx tcos( ) cos( ),− = −

zg

kx t

kkx t

surface = − −

= − −

ω φ ω

ωφ ω

0

0

sin( )

sin( ) .

ck

gk

g= = =ω λ2π

.

∂∂

∂∂

2

2 0φ φ

tg

zM t M t

+

=, ,

.

∂∂φt

M t

.v( , ) ,

∂∂

δ ∂∂

∂∂

δ2

2 0φ φ φ

tt

tM g

zt

M t M t

+

+

=, ,

grad d.

∂∂φt

,


Le terme entre crochets représente la différentielle de la fonction soit :

Le terme du deuxième ordre, peut être éliminé, et :

Cette relation (approchée) est vérifiée en tout point de la surface, donc en z = 0, soit :

– w2f (x, 0, t) +k g f (x, 0, t) = 0 ,

d’où : w2 = k g donc :

Nous obtenons des ondes de gravité décrivant le phénomène de houle (nous revien-drons sur cette relation de dispersion dans le chapitre 6). La longueur d’onde lreprésente la période spatiale des vagues de houle dans la direction (Ox) .

Remarquons que pour des vagues de houle dont la distance crête à crête (longueurd’onde) est égale à 80 m, la célérité c est d’environ 11 m . s–1 ; pour l = 20 m ,cette vitesse est divisée par deux, soit c = 5,5 m . s–1 .

Cette expression de la célérité nous permet d’écrire :

Remarque

zsurface est ici une variable lagrangienne, telle que :

≈ w(x, 0, t), soit

ce qui est correct, car w2 = g k .

ω φ ω φ ω2

0 0gkx t k kx tcos( ) cos( ),− = −

∂zsurface

∂ t

zg

kx t

kkx t

surface = − −

= − −

ω φ ω

ωφ ω

0

0

sin( )

sin( ) .

ck

gk

g= = =ω λ2π

.

∂∂

∂∂

2

2 0φ φ

tg

zM t M t

+

=, ,

.

∂∂φt

M t

.v( , ) ,grad—

avec d M–

= v(M, t) δ t .∂∂

δ ∂∂

∂∂

δ2

2 0φ φ φ

tt

tM g

zt

M t M t

+

+

=, ,

grad d.

∂∂φt

,

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— –


4.

C Q F R

HYPOTHÈSE DU FLUIDE PARFAIT

ÉQUATION D’EULER

RELATIONS DE BERNOULLI


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C Q F R

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lit.

• Forces surfaciques

Dans l’hypothèse du fluide parfait, nous négligeons les forces de viscosité ; les forces surfaciques tangentiellessont nulles.

Nous négligerons toujours les forces de tension superficielle et l’énergie qui leur est liée. La pression est donc tou-jours une fonction continue des coordonnées spatiales.

• Un élément de fluide de volume d et de masse dm est soumis à des forces de représentation massique ou volu-mique selon l’expression :

d f

= f

m d m = f

v d avec f

v = f

m .

Pour les forces de pesanteur : f

v = g avec f

m = g .

• Équivalents volumiques et massiques

Les équivalents volumique et massique des forces de pression, d’origine surfacique, s’expriment sous la forme :

• d’équivalent volumique : f

v = – grad—

P ;

• d’équivalent massique : .

Ces équivalents volumique ou massique ne sont pas utilisables pour calculer le travail des forces de pression.

Les lois de la dynamique appliquées à une particule de fluide d’un fluide parfait donnent l’équation d’Euler ; elles’écrit :

Les diverses expressions de l’équation d’Euler pour un fluide parfait sont :

;

;

• La forme la plus simple de la relation de Bernoulli : + ePm + = cte dans tout le fluide est obtenue avec

les hypothèses les plus fortes : l’écoulement du fluide doit être homogène, stationnaire, incompressible etirrotationnel.

Pr

v2

2

+ (v . grad—

) v = f

v – grad—

P .v

t

grad—

P+ 2

–∧ v ] = f

m –v2

2+ [ grad

—v

t

grad—

P+ (v . grad

—) v = f

m –v

t

= f

m, totale .D v

D t

grad—

Pf

m = –


C Q F R

EFFET VENTURI

FORMULE DE TORRICELLI

v 2

2+ + =e

PPm cte

ρ


116

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Prépa

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PCet

PSI,L

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toco

pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


C Q F R

• Il est possible d’appliquer la relation de Bernoulli la plus simple :

r + P + ePm ≈ cte

à un fluide compressible, dans la mesure où la vitesse d’écoulement (stationnaire et potentiel) reste très inférieureà la vitesse de propagation du son dans ce fluide, dans les conditions de l’expérience.

• Dans un jet homocinétique à l’air libre, la pression, uniforme, est égale à celle existant dans le milieu « exté-rieur ».Nous admettons ce résultat pour tout jet à l’air libre.

Les régions de faible section, donc de grande vitesse, sont aussi des régions de basse pression.

La formule de Torricelli s’écrit :

v2 = 2 g h .

Elle correspond à la vitesse d’éjection d’un fluide au niveau d’un orifice surmonté d’une hauteur h de fluide.L’orifice doit être de section petite devant la surface S du récipient qui contient le fluide.

v2

2

FLUIDES PARFAITS

différentes formesde l’équationde Bernoulli

écoulementstationnaire


v 2



v 2

2+ + =e

PPm cte

ρ


(v = grad—

( )) dans tout le fluide

(t )∂∂φ ϕt

e P+ + +

=v 2

2 Pm cte( )

dans tout le fluide

(t )∂∂φ

ρte

P+ + +

=v 2

2 Pm cte


et stationnairedans tout le fluide

v 2


dans tout le fluide

v 2

2+ + =e

PPm cte

ρ

écoulement d’unfluide barotrope

= grad—

( (P))grad—

P

écoulement d’un fluideincompressible homogène

P

= grad—grad

—P


4.

Contrôle rapide



Une densité volumique de force s’exprime en :

La densité massique des forces de pesanteur est :

L’équation d’Euler pour un fluide parfait s’écrit :

Pour un écoulement de fluide homogène parfaitincompressible irrotationbel et stationnaire,l’équation de Bernoulli s’écrit :


117

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lit.


Quel est l’équivalent volumique des forces de pression ?

Quel est leur équivalent massique ?

Savez-vous écrire l’équation d’Euler pour un fluide parfait ?

Exprimer l’équation de Bernoulli pour un fluide parfait homogène, barotrope, irrotationnel et stationnaire. Quedevient-elle si l’écoulement n’est plus irrotationnel ?

Quelle est la formule de Torricelli ? Dans quelles conditions s’applique-t-elle ?



1.

a. N .kg–1

b. kg .m–3

c. N.s–1

d. N.m–3

e. kg .m–2.s–2

2.

a. f

m = rg

b. f

m = g

c. f

m = .

3.

a. = f

m –

b. + grad—

+ 2W

v = f

m – .

c. = f

m –

d. + (v. grad—)v = f

v – grad—

P.

4.

a. – ePm + = cte

b. r – ePm + P = cte

c. + ePm + P = cte

d. + ePm + = cte.

Solution, page 121.

Pr

v2

2

v2

2

v2

2

Pr

v2

2

∂v

∂ t

grad—

Pr

Dv

Dt

grad—

Pr

v2

2∂v

∂ t

grad—

Pr

∂v

∂ t

g

m


Exercices

*

*

v2v1F

Exercices


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lit.

Champ de pression dans un écoulementunidirectionnel

Dans un écoulement unidirectionnel horizontal, la vitesse estde la forme v = v (x, t) ex . Les seules forces volumiquesconsidérées seront les forces de pesanteur (l’axe (Oy) étantpris vertical ascendant).

Montrer que le champ de pression, transversalement à l’écou-lement horizontal, obéit aux lois de la statique des fluides.

Relation de Bernoulli et premierprincipe de la thermodynamique

Un fluide considéré comme un gaz parfait est en écoulementstationnaire et isentropique.

1) Montrer que l’écoulement est barotrope.2) En déduire que l’équation de Bernoulli prend la forme :

, le long d’une ligne de courant, où h est

l’enthalpie massique du fluide.

3) Montrer que cette relation est en fait vérifiée pour un fluidequelconque en écoulement isentropique et stationnaire.

Célérité du son dans l’air

L’air est supposé se comporter comme un gaz parfait, de rap-port g , de masse molaire M , de température au repos T0et de pression au repos P0 . En reprenant les hypothèses clas-siques associées à l’étude des ondes acoustiques, exprimer,en fonction de ces données, la célérité du son dans l’air.

Données : g = 1,4 ; T0 = 298 K ; M = 29.10–3 kg.mol–1 ;P0 = 105 Pa.

La comparer à la célérité du son dans l’eau pour laquellecS = 5.10–10 Pa–1 .

Théorème d’Hugoniot

Un gaz parfait est en écoulement unidimensionnel permanentdans une tuyère possédant un axe (Ox) de révolution, de sec-tion variable S (x).

À une variation élémentaired S de la section correspon-dent des variations d P dela pression P , d r de lamasse volumique r , d v de la vitesse v , d h de l’enthalpiemassique h et d T de la température T du gaz.

1) Exprimer la relation liant d S , d r et d v .

2) L’écoulement étant supposé isentropique, déterminer unerelation liant d P , d r , et la célérité c du son dans le gaz.Relier en outre d h , d P et r .3) Dans la tuyère, le gaz n’effectue aucun échange énergétiqueavec l’extérieur. En déduire une relation liant d h et d v .

4) Déduire des résultats précédents une relation directe entred S et d v faisant intervenir la célérité c : cette relationconstitue le théorème d’Hugoniot.

5) Le gaz est détendu dans une tuyère, la vitesse d’entrée dugaz dans la tuyère étant faible devant la célérité c . Montrerque la section de la tuyère doit d’abord diminuer (tuyèreconvergente). Cette section passe en fait par un minimum(tuyère convergente-divergente), encore appelé col. Discuterde la valeur de la vitesse après le col.

Temps de vidange d’un récipient

1) Calculer le temps de vidange T d’un récipient ayant laforme d’un cylindre de hauteur H et de rayon R , complè-tement rempli d’un fluide parfait qui s’écoule par un orificecirculaire de rayon r situé dans le fond du cylindre .

Données : R = 10 cm, r = 0,5 cm et H = 50 cm.

2) Le récipient n’est pluscylindrique, mais possèdetoujours un axe de révo-lution vertical. Quelledevrait être l’équationz = f(R) d’une génératricepour que la hauteur defluide restant dans le réci-pient soit proportionnelleau temps écoulé ?Quelle est l’application d’un tel système ?

Force exercée sur une seringue

on négligeles turbulencesde cette zone

section S1

section S2

atmosphère à P0

écoulementhomocinétique

à l’air libre

v2v1F

O

z

Rz(R)

h(t)

xS

v 2

2+ + =e hPm cte


4.

**

*


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lit.


Une seringue est formée d’un corps de section constante S1et d’une aiguille dont l’extrémité a une section S2 (S2 << S1 ).Cette seringue contient un liquide de masse volumique r quiest éjecté en appuyant sur un piston mobile sans frottements.Quelle force un opérateur doit-il exercer sur le piston pourassurer un débit volumique Dv d’éjection ?

Évolution d’une bulle de vide

Dans un fluide homogène incompressible au repos apparaîtune bulle sphérique vide de rayon initial a0 . Les forces depesanteur seront négligées et la continuité de la pression àl’interface vide-fluide admise (on néglige donc les forces detension superficielle). Le fluide sera supposé au repos à l’in-fini, à la pression uniforme P0 . On intégrera l’équation d’Eulersur une ligne de courant allant de la surface de la bulle à l’in-fini. Pour résoudre l’équation obtenue, on procédera au chan-

gement de variable y (a) =2, en notant a le rayon de

la bulle à l’instant t.

Déterminer le temps T au bout duquel la bulle aura disparu.

Données

a0 = 5 mm, r = 103 kg.m–3 et I =1

0

1/2dx ≈ 1,29.

Effet Magnus

1) Un écoulement permanent, incompressible, uniforme estcaractérisé par la vitesse v = v0 ex , loin d’un cylindre immo-bile, d’axe (Oz) et de rayon a .Rappeler l’expression du champ des vitesses autour de cecylindre (cf. chapitre 2).2) Le cylindre est maintenant en rotation autour de son axefixe. Cette rotation induit à l’extérieur du cylindre un champ

de vitesse supplémentaire de la forme

a) Représenter, pour différentes valeurs de w , la carte deslignes de courant du fluide, en précisant les points d’arrêt oupoints de vitesse nulle .

b) Déterminer la pression P(a, q) en tout point du cylindreet en déduire la force exercée par le fluide sur le cylindre, parunité de longueur de ce dernier.

c) Calculer la circulation G du champ des vitesses du fluidele long d’une courbe fermée quelconque entourant le cylindreet exprimer la force précédente en fonction de G .

Vidange en régime non stationnaire

Pour mieux comprendre la validité de l’approximation d’unrégime stationnaire lors de l’étude de la vidange d’un réci-pient, le modèle non stationnaire suivant est proposé.

L’orifice du récipient est relié à une canalisation horizontale,de longueur L , de section constante s (très petite devantla section S du récipient) dans laquelle la vitesse du fluideest de la forme v = v (x, t) ex .

À t = 0 , la vanne permettant au fluide de s’écouler est ouverteen B . La mise en vitesse du fluide est étudiée avec les hypo-thèses suivantes :• la hauteur h dans le récipient varie très peu pendant cettephase transitoire (s << S) ;• l’accélération locale du fluide n’est importante que dans lacanalisation et une petite région du récipient proche de l’ori-fice ;• le fluide est incompressible et homogène de masse volu-mique r .

1) Montrer que v ne dépend que de t dans la canalisation.

2) Déterminer l’équation différentielle à laquelle obéit v (t) .

3) Intégrer cette équation en faisant apparaître une vitesselimite v l .

4) Évaluer le temps au bout duquel v ne diffère que de 5 %de v l . Données : h = 2 m et L = 1 m .

5) À la lumière de ces résultats, commenter la validité de laformule de Torricelli.

Modèle météorologique

Un point M situé dans l’atmosphère est repéré par ses coor-données (x, y, z) dans le repère terrestre local (Oxyz) dontl’origine O se trouve dans un plan méridien à la latitude λ

(doc. 1) avec 0 λ π2

pour l’hémisphère Nord, l’axe (Ox)

étant dirigé vers l’Est, l’axe (Oy) étant dirigé vers le Nord,l’axe (Oz) étant dirigé suivant la verticale ascendante.

h

A

S

L

S B

v= ωθ

ar

e2

.

x3

1 – x3

dadt


Exercices


On prendra W = rad/s.

L’air est assimilé à un fluide parfait incompressible de massevolumique r .

Doc. 1.

1) Quelle est l’expression du gradient de pression verticaldans une atmosphère calme ?Par la suite, on supposera cette relation vérifiée et on ne s’in-téressera qu’aux mouvements horizontaux de l’air.

2) Soit la situation météorologique schématisée sur le docu-ment 2 dans laquelle l’axe anticyclone-dépression AD fait unangle q avec la direction (Ox). La distance entre les isobares1 020 et 1 000 est notée d (d est de l’ordre de 500 km), lespressions étant mesurées en hectopascals. On supposera legradient de pression uniforme sur l’axe AD, sa norme étantnotée a. La vitesse du fluide est de l’ordre de 10 m . s–1.

N.B. : Au niveau de l’axe AD les isobares sont perpendicu-laires à cet axe et sont localement assimilables à des segmentsde droite.Le référentiel géocentrique étant supposé galiléen, on se placedans un référentiel terrestre. Quelles sont les forces qui agis-sent sur une particule de fluide ? Qu’appelle-t-on poids de laparticule ? Écrire l’équation d’Euler dans le référentiel ter-restre.

Doc. 2.

3) Projeter l’équation sur les axes (Ox) et (Oy) et montrerqu’en régime de « vitesse constante », le fluide atmosphé-rique s’écoule au niveau de l’axe AD suivant une direction etun sens que l’on précisera avec soin sur le document 2.Comment modifier ces conclusions dans l’hémisphère Sud ?

4) Chercher la norme du vecteur vitesse du vent ; calculer savaleur numérique.d = 400 km ; l = 42° Nord ; r = 1,3 kg .m–3 .Conclure

0

d

x

A

D

1000

1020

Ouest

Sud

Nord

q

W

l

z0

O0

Oz

x

y

2π86 164

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g

v (M, t) = v (x, t)ex

Solution du tac au tac, page 117.Vrai : d, e ; Faux : a, b, cVrai : b ; Faux : a, c

Vrai : b, c ; Faux : a, dVrai : d ; Faux : a, b, c

Corrigés


L’équation d’Euler s’écrit

Le premier membre a une projection nulle sur les axes (Oy) et (Oz) orthogonaux auxlignes de courant. En projection sur ces axes, l’équation d’Euler se réduit à :

• en projection sur (Oy) : 0 = – rg – ;

• en projection sur (Oz) : 0 = – .

On obtient donc les lois de l’hydrostatique dans un plan vertical, perpendiculaire auxlignes de courant.

1) L’équation d’évolution du gaz est donnée par la loi de Laplace PVγ = cte

(transformation isentropique, c’est-à-dire adiabatique et réversible, d’un gaz parfait),soit sous forme massique Puγ = cte , où u est le volume massique du fluide.

Or , et la loi devient :

ce qui donne

On retrouve les propriétés d’un écoulement barotrope : r ne dépend que de P (ouinversement) pour la particule suivie dans son mouvement.

2) Le long de la ligne de courant, on a :

. d

= =– 1

g dP et = d

g –g

1

.

En utilisant la loi des GP sous forme massique : P0 = r0 r T0 , où r est la constante

massique des GP, et en remarquant que , cela donne, avec la loi de Laplace

P1 – g T g = P01 – g T 0

g :

. d

= d = cp dT = dh

car, pour un gaz parfait h = cp (T – T0) + h0 .

L’équation de Bernoulli d + ePm + = 0 le long de la ligne de courant prend

bien la forme v22

+ ePm + h = cte sur cette ligne.

3) Pour un fluide quelconque, on peut écrire en grandeurs massiques (identité ther-modynamique pour un fluide quelconque) :

Pour un écoulement isentropique ds = 0 le long d’une ligne de courant, décrite parune particule de fluide pour ce régime stationnaire.Dans ces conditions, le long d’une ligne de courant :

. d

= = dh = grad—

h . d

.

Par intégration entre deux points de la ligne, on en déduit :

v22

+ ePm + h = cte,

le long de la ligne de courant.

On reprend la formule Or, pour un GP,

une évolution isentropique se traduit par P r– g = cte (équation de Laplace) dont ladifférentielle logarithmique donne :

soit

L’expression de la vitesse du son est donc

Pour l’eau c ≈ 1400 m . s–1 , soit une valeur quatre fois plus grande que dans l’air.

1) La conservation du débit massique en régime permanent s’écrit :

ρ S v = cte , d’où + + = 0 (1)

en prenant une différentielle logarithmique.

2) • D’après le cours d’où

ce qu’on peut encore écrire pour cette transformation : d P = c2 d r .

• dh = + T ds = = c2 (2).

3) D’après le premier principe (cf. exercice 2) : dh + d = dh + v dv = 0 (3)

(c’est-à-dire

4) Les relations précédentes (2) et (3) permettent d’écrire d’où

(en utilisant (1)) on obtient le théorème d’Hugoniot :

.d dSS c

+ −

=vv

v1 0

2

2

c2 dd

ρρ

= −v v ,

h + =v 2

cte ).2

v2

2

drr

dPr

dPr

cP2 =

∂∂ ρ

s

,cPs

ss

= ≈

1 1

0 0ρ χχ

ρρ

avec∂∂

,

dvv

dSS

drr

cP R T

M= = ≈γ

ργ0

0

0 346 m s–1. .

χγ γs P P

= ≈1 1

0

.d dPP

− =γ ρρ

0 ,

cPs

ss

= =

1 1

0ρ χχ

ρρ

avec∂∂

.

dPr

grad—

Pr

d d dd

dh u P T sP

T s= + = +ρ

.

Pr

v2

2

TT0

P0r0

gg – 1

grad—

Pr

cr

p =−γ

γ 1

PP0

P0r0

gg – 1

dPr

PP0

1r0

dPr

grad—

Pr

PP

ρ ρ γ−

=

.0

0

1

P Pρ ργ γ− −= =cte 0 0 ,

u = 1

ρ

g

v (M, t) = v (x, t)ex

écoulement du fluide

z

y

x

∂P∂z

∂P∂y

grad—

P.ρ ρ ρ∂∂

∂∂

vv

vt

ux

u gx x + = −

1.2.

3.4.

121

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v

Corrigés


5) Au début de la tuyère v < c , et v augmente quand S diminue : la tuyère estd’abord convergente. Deux cas sont ensuite à envisager :• S passant par un minimum (col de la tuyère ), v étant toujours inférieure à c , vpasse, elle, par un maximum : l’écoulement est toujours subsonique ;• si v = c au col, il est encore possible d’avoir dv = 0 (cas précédent), mais aussidv > 0 : la vitesse continue alors à augmenter dans la partie divergente de la tuyère :l’écoulement devient supersonique.

1) On néglige la zone de turbulence ; l’écoulement entre les points A et B

représente donc un écoulement quasiment stationnaire (si r << R), sans turbulencede fluide incompressible. La formule de Bernoulli donne :

En B , on a un écoulement homocinétique à l’air libre (c’est-à-dire sans contrainteextérieure), donc PB = Pextérieur = PA .La conservation du débit volumique (fluide incompressible) entre la surface libre, oùla vitesse est V , et le fond du récipient, fournit l’équation R2 V = r2 v ; de pluszA – zB = h .

On obtient donc cette formule correspond à la formule de

Torricelli dans le cas où R >> r .

Enfin (h diminue quand t augmente). D’où :

– = 62gh, soit – = 42g dt, d’où

donc T = 4 = 128 s.

2) Si h (t) est proportionnelle au temps écoulé, En écrivant la

conservation du débit volumique entre le fond et la surface libre, cercle de rayon Rvariable, on obtient :

d’où

C’est aussi l’équation générale de la génératrice du récipient : z = A R4 .Une échelle verticale peut être linéairement graduée en temps ainsi facilement mesu-rable (clepsydre).

En régime permanent, avec un fluide incompressible, il y a conservationdu débit volumique : S1 v1 = S2 v2 = D .La relation de Bernoulli écrite entre un point du piston et un point de la section desortie (le problème étant supposé unidimensionnel, et les forces de pesanteur étantnégligées) fournit la relation :

où P est la pression au niveau du piston et P0 la pression atmosphérique (jet homo-cinétique en sortie de la seringue).Le piston avance à vitesse constante v1 sous l’action de la force F exercée par l’opé-rateur et des forces de pression.Dans un référentiel galiléen, on peut donc écrire :

F + P0 S1 ux – PS1 ux = 0

en notant ux le vecteur tel que v1 = v1 ux .

D’où F = F ux avec :

soit

Remarque : La force que l’on vient de calculer représente la force exercée sur lepiston, sachant que le corps de la seringue est maintenu fixe.

Le problème est à symétrie sphérique. La bulle de vide va imploser et la

vitesse du fluide sera notée :v = v (r, t) er .

Par continuité, v (r, t) r= a( t ) = et v (r, t ) r→ tend vers 0.

L’écoulement étant incompressible, la conservation du débit volumique impose quele flux de v, à travers une sphère de rayon r, soit une constante à une date t donnée :

v (r, t ) 4πr2 = k(t), soit (cf. chapitre 2).

Sachant qu’en cela donne = ou encore f(t) = a2 ,

d’où :

On peut utiliser l’équation d’Euler, intégrée sur une ligne de courant (radiale) allantdu rayon de la bulle jusqu’à l’infini, avec d

= d r er . Le caractère d’incompressi-

bilité implique que :

. d

= . d

=

d’où : . d

+ +

=

∞v2

20

P

aρ

.∂ v

∂ tr = a

∞

P

A

B

ρ

,grad

—P

A

B

1

ρ

grad—

P

rA

B

v

( , )( ) d ( )

d.r t

a tr

a tt

e r=2

2

dadt

f(t)a2

dadt

r aat

= =, ,vd

d

( , )( )

v

r tf tr

e r= 2

dadt

FDS

SS

=

−

ρ V2

1

2

1

2

21 .F P P S

S SS

= − =

−

( )0 1

1 12

2

1

2

21

ρ v,

P P+ = +ρ ρv v12

022

2 2,

hKgr

R AR= =2

44 4

2.R K r gh2 2 2= ,

Vht

K= − = =d

dcte .

zone de turbulence

HA

B

h

écoulementhomocinétiqueà l’air libre

section de rayon R

orifice courtde rayon r

dans cette zone,le fluide esten écoulementquasi stationnaire

v

2Hg

R2

r2

d,

hh

rR

g T=2

2 2

0

H

r2

R2dh2h

r2

R2dhdt

Vht

= − d

d

v =( )2gh ,

= 2 1– ;4

4v ghrR

v vAA

A BB

Bg zP

g zP2 2

2 2+ + = + +

ρ ρ.

122

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4.


Or . d

= dr = a2 dr, d’où :

a2 + –2

= 0, soit a + +2

= 0.

L’équation se résout en faisant le changement de variable :

= 2 = 2 .D’où :

Cette équation est à variables séparables.

= – .

Compte tenu des conditions initiales (a = a0 , v (a, 0) = 0), son intégration donne :

En revenant à et en remarquant que il vient :

Le temps T recherché est celui mis par la bulle pour passer du rayon a0 au rayon nul :

T =0

a0

–1/2

.

Soit x = .

T =0

1–

1/2

T = a01/2

I = 0,9 ms.

1) Le champ de vitesses construit au chapitre 2, représentant l’écoulement

du fluide autour du cylindre, en l’absence de rotation de celui-ci, est donné par :

2) a) On peut y superposer un champ des vitesses induit par la rotation du cylindre,sous la forme :

Ce champ respecte bien la condition d’incompressibilité du fluide (car ,

et les conditions aux limites : v∞ = 0 et vr (a) = 0 (vitesse radiale du fluide nulle surle cylindre).

On obtient le champ résultant :

Les points d’arrêt cherchés doivent être tels que v= 0

, d’où :

Premier cas

r = a et w a – 2v 0 sinq = 0, ce qui donne

Il existe alors deux points d’arrêt A et B sur le cylindre, symétriques par rapport àl’axe (Oy) (cf. schéma) .

Au cas particulier correspond un point d’arrêt sur le cylindre en

(cf. schéma).

y

x

cylindre

θ = π2

ω =2 0v

a

y

x

cylindre

A B

sia

<ω 2 0v.sinθ ω= a

2 0v

v v v = −

+ − +

0

2

2

2

0

2

21 1cos sinθ ω θ θar

ear

ar

er .

diverθ

= 0)

v2

2 = ω

θar

e .

v v v1 0

2

2 0

2

21 1 = −

− +

cos sinθ θ θar

ear

er .

3r2P0

dx a0

x13

– 11/2

3r2P0

aa0

daaa0 3

– 11/2

3r2P0

d

d

at

P aa

= −

−

2

310

1

20

31

2

ρ.

d

d

at

< 0 ,y aat

( )d

d=

2

yP

a aP

+

=2

3

2

30 3

03 0

ρ ρ.

daa

dy

3y +2

rP0

aya

Py

d

d+ + =

23 00

ρ.

d2adt2

dtda

dadt

d2adt2

dyda

y aat

( )d

d=

2

dadt

32

P0r

d2adt2

dadt

12

P0r

dadt

ddt

1a

dadt

ddt

1r2

∂v (r, t)∂t

∂v

∂ t

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n

Corrigés


Deuxième cas

Si w il existe alors un point de vitesse nulle à l’extérieur du cylindre

(cf. schéma).

En effet, on a alorsv r = 0 pour cosq = 0

vq = 0 pour sin q = .

Donc q = et r + = , d’où r = a + 7 – 1 .

b) L’écoulement est permanent et incompressible. Hors du cylindre, il est irrotation-nel :

• le premier écoulement est v1 = grad—

v 0 cosq r + , superposition d’un champ

uniforme et d’un champ dipolaire (à deux dimensions) ;• le second est analogue au champ magnétique d’un fil rectiligne infini, de rotation-nel nul pour r > 0.On applique donc la relation de Bernoulli entre un point très éloigné du cylindre(P = P0 , v = v 0) et un point de la surface du cylindre (P(a, q ), v (a, q )) :

d’où P(a, q ) = P0 + (v20 – (w a – 2v0 sinq )2 ) .

Cette distribution de pression engendre sur le cylindre des forces de pression dont larésultante est dirigée suivant l’axe (Oy) , vers les y décroissants.Elle se calcule à partir de la force élémentaire :

d F

= – P n d S , d’où d Fy = – P d S sinq

avec, pour une partie de longueur h quelconque du cylindre, d S = h a d q .Les termes uniformes de P donnent une contribution nulle à cette résultante, il reste :

Fy = – 2rv0 (w a sinq – v0 sin2q) sinq ha d q = – 2πw a2rv0h ,

soit :

On obtient donc une force proportionnelle à w .

c) Seul le champ v2 (champ de vortex) présente une circulation non nulle autour ducylindre. La circulation G du vecteur vsur le contour w entourant une fois le cylindredans le sens direct est :

G = Ow

v. d

= Ow

v2 . d

=2π

0r dq = 2πw a2

(avec d

= dr er + r dq eq ).

D’où L’existence d’une force orthogonale à l’écoulement (force de

portance) est directement liée à celle d’une circulation non nulle du champ des vitessesdu fluide autour de l’obstacle : c’est l’effet Magnus.

1) Le fluide étant incompressible div v = 0 se réduit à

La vitesse du fluide est uniforme dans la canalisation, c’est aussi la vitesse d’éjectiondu fluide en B , notée v (t) .

2) L’équation d’Euler s’intègre sur une ligne de courant allant d’un point A de lasurface libre du récipient au point B :

B

A. d

+ – + – – gh = 0.

Or PB = PA = P0 . Avec les hypothèses de l’énoncé, vA est négligeable devant v (t) ;

est non nul uniquement sur la partie CB , cela permet d’écrire :

B

A. d

=

B

C. d

=

L

0dx = L ,

d’où Lt

tgh

d

d

( )v v+ − =2

20 .

dvdt

dvdt

∂v

∂ t∂v

∂ t

∂∂v

t

h

turbulences négligées

écoulement stationnaire

écoulement instationnaire

jet homocinétiqueà l’air libreA

C

0

B

x

v A2

2v (t)2

2PAr

PBr

∂v

∂ t

= 0 .∂∂vx

x

F

hy = −Γ ρv0 .

wa2

r

F

hay = −2 2πω ρv0 .

0

2π

n

C x

dS

y

ρ2

P P a a0 02

02

2

2

2ρθ

ρω θ+ = + −v v( ) sin, ( )

,

ar

y

x

cylindre

point d’arrêt

w 2a2

4v 02

w a2v 0

w a2

v 0

a2

rπ2

w a2

v 0 r + ar

2

2 0va

,

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4.


On obtient bien une solution particulière de cette équation en faisant = 0 et

v 21 = 2gh : formule de Torricelli.

En introduisant vl dans l’équation différentielle, il vient :

3) Après intégration et compte tenu de v (0) = 0 :

v (t) = v 1th avec t = .

4) Le temps t recherché est tel que th = 0,95, soit t ª 0,74 t ª 0,12 s .

5) La phase transitoire de mise en vitesse du fluide, pendant laquelle la vitesse d’éjec-tion diffère de la valeur asymptotique donnée par la formule de Torricelli est icisuffisamment faible pour que cette formule soit à tout instant applicable, dès quet >> t .

1) L’équation de la statique des fluides s’écrit rg – grad—

P = 0

donc = – pg où g est le champ de pesanteur.

2) Les forces volumiques exercés sur la particule de fluide sont :• le poids, qui comprend la force de gravitation et la force d’inertie d’entraînementdu référentiel terrestre : r g ;• la force de Coriolis – 2rW

∧ v ;

• l’effet des forces de pression, se ramenant à – grad—

P .L’équation d’Euler conduit donc à :

+ v. grad—

v = g – 2W

∧ v – .

On ne s’intéresse qu’aux mouvements horizontaux de l’air, donc :

+ v. grad—

v = – 2 W sin l uz ∧ v – . (1)

en notant grad—

⊥ P le gradient de P dans le plan (Oxy).

3) Examinons les ordres de grandeur des quatre termes de l’équation (1) :

• ≈ avec v la vitesse caractéristique du fluide et T la durée de la situation

souvent supérieure à 24 heures : ainsi (en régime de vitesse constante) :

1,2 . 10– 4 m . s–2.

• v. grad—

v ≈ avec v = 10 m . s– 1 et d = 500 km, cela donne :

v. grad—

v ≈ 2 .10– 4 m . s–2.

• 2 W sin l uz ∧ v ≈ 12 W v ≈ 2 . 10– 3 m . s–2.

• ≈ ≈ ≈ 3 .10–3 m . s–2.

Les deux premiers termes étant négligeables, l’équation d’évolution du fluide devient :

2 W sin l uz ∧ v + = 0. (2)

Avec les rotations de l’énoncé, on a :

W

= W cos l uy + W sin l uz (d’après le document 1 de l’énoncé)

grad—

P = a cos q ux + a sin q uy (perpendiculaire aux isobares).

Soit (2) en projection sur :

x : a cros q + 2W sin l vy = 0

y : a srin q – 2W sin l vx = 0

d’où v = (sin q ux – cos q uy ).

La vitesse est orthogonale au gradient de pression : l’écoulement se fait le long desisobares (et non perpendiculairement).

hémisphère Nord hémisphère Sud(sin l 0) (sin l 0)

4) A.N. : v = 39,4 ms–1 = 140 km/h.Les ordres de grandeur sont bien corrects ; on pourrait penser que le terme env. grad

—v est seize fois plus grand, donc non négligeable : en réalité ce terme est

nul car v est uniforme au voisinage de AD.

A

D

Ograd P

tv

A

DOgrad P

tv

a2rW sin l

grad—

⊥ Pr

(1 020 – 1 000)102

1,3 5.105∆ Pr d

grad—

⊥ Pr

v 2

d

∂v

∂ t

vT

∂v

∂ t

grad—

⊥ Pr

∂v

∂ t

grad—

Pr

∂v

∂ t

∂P∂z

tt

2Lv 1

tt

d dvv v1

2 2 2−= t

L.

dvdt

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O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S


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Viscositéd’un fluide

Jusqu’à présent, nous nous sommes limitésau cas des fluides parfaits, soumis aux seulesforces de pression. Ce modèle ne peut décrirede façon satisfaisante que certains typesd’écoulements bien particuliers. En effet,il ne fait pas de différence entre l’huile et l’eau,alors que ces deux fluidesne s’écoulent pas de la même manièredans un tuyau de petite section.

Dans le chapitre 4, nous avons vu très rapidementla notion de fluide visqueux. Rappelons simplementqu’en présence d’un fluide visqueux,en écoulement laminaire,les veines de fluides rapides ont tendanceà accélérer les veines lentes, et inversement lesveines lentes à ralentir les veines rapides.Il existe donc une diffusion de quantitéde mouvement dans ces fluides.

Nous allons étudier dans ce chapitre la notionde viscosité (liée aussi aux effets de« cisaillement » dans un fluide),avec toutes ses conséquences.Cela nous permettra une meilleure compréhensiondes écoulements de fluides réels,étudiés dans le chapitre 6.

Introduction qualitative de la viscosité. Introduction quantitative de la viscositédans quelques cas élémentaires. Évaluation des ordres de grandeur carac-téristiques.

Cinématique des fluides. Dynamique des fluides parfaits.


11.1.

mouvement se propage

5.

1

2


Nous savons que des produits tels que la mayonnaise, le beurre, la pâte dentifriceet les peintures sont des fluides dont le comportement lors d’un écoulement (s’ilexiste !) est différent de celui de produits tels que l’eau, l’huile, le miel et la gly-cérine (doc. 1). Nous « classerons » ces divers fluides dans le chapitre 6, § 9, maisprécisons néanmoins que nous étudions, dans ce chapitre, des fluides (qualifiés denewtoniens) tels que l’eau, l’huile, le miel et la glycérine.

Expériences avec un fluide réel

Expérience

Un récipient cylindrique, rempli d’eau et initialement immobile, est mis en rota-tion autour de son axe (doc. 2). Pour étudier la mise en mouvement du fluide, nouspouvons faire flotter des petites particules sur le liquide et observer leur mouve-ment. Nous constatons alors les résultats suivants (doc. 3).

• Comme le laisse prévoir la symétrie du système, le mouvement des particules(donc des éléments correspondant de fluide) est circulaire.

• À la périphérie, la vitesse devient rapidement proche de celle de la paroi, alorsque dans la zone centrale le fluide ne se met en mouvement que très progressive-ment.

• Le de la périphérie vers le centre. Lorsque l’état sta-tionnaire est atteint, après quelques minutes, le système fluide est en rotation uni-forme, et tous ses éléments sont immobiles par rapport au récipient.

• Si la rotation du récipient cesse brusquement, le fluide retourne progressivementvers un état stationnaire de vitesse nulle. Les particules situées à la périphérie sontfreinées tout d’abord, et la modification du mouvement se propage de la périphérievers le centre.

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Viscosité d’un fluide

Doc. 1. L’huile et la pâte dentifrice sontdeux fluides « différents ».a. Écoulement de l’huile (ou de l’eau) àl’aide d’un verre.b. Même renversé, le tube de pâte denti-frice ne se vide pas.

a) b)dentifrice

Doc. 2. Système d’un fluide en rotation.

z

x

y

vitesse de rotation

plateautournant

axe de symétrie

liquide

ω0

Doc. 3. Mesure des vitesses. Le récipient a un diamètre d = 9,5 cm et une hauteur h = 14 cm . Sa vitesse de rotation estw0 = 45 tours . min–1 .Les deux photographies ont été prises respectivement à 30 secondes et à 150 secondes après le début de la rotation. Le temps de

pose étant de s , un mobile solidaire du récipient décrirait un arc de cercle d’ouverture 135°.1

2


1.2.

forcesde viscosité

1.3.


Remarques

• Si le récipient n’est pas parfaitement centré, ou si le plateau tournant n’a pas unmouvement parfaitement plan, le mouvement n’est pas réellement circulaire.• Il faut de plus que les particules flottantes soient espacées : si deux particules serapprochent trop, des forces dues à la tension superficielle modifient leurs trajec-toires.

Forces internes de viscosité

L’équation d’Euler, qui traduit la relation fondamentale de la dynamique pour unfluide parfait, est-elle vérifiée dans cette expérience ?

La symétrie de rotation impose, en coordonnées cylindriques :

v = v (r, z, t) eq et P = P(r, z, t) .

Si l’équation d’Euler était vérifiée, nous aurions :

r = – grad—

P + r g , avec :

= + (v. grad—

)v = eq + (v eq ) et = – er .

Cette équation donne par projection :

r = 0 (sur eq ) ; – r = – (sur er) ; 0 = – – rg (sur ez ).

La première de ces équations est, bien entendu, incompatible avec l’expérience.En raison de l’absence de forces orthoradiales, un fluide parfait resterait immobilepar rapport au référentiel du laboratoire.

Les éléments de fluide ne sont soumis qu’à l’action verticale de la pesanteur, et auxactions internes. Comme le gradient de pression est radial, l’accélération orthora-diale ne peut s’expliquer que par d’autres forces internes, différentes des forces depression, dont nous n’avons pas tenu compte jusqu’ici et que nous appelons

.

Ces forces sont d’autant plus importantes que le fluide est visqueux (au sens usuel).Si le récipient en rotation avait été rempli d’huile, le régime permanent aurait étéatteint beaucoup plus rapidement.

Continuité de la vitesse

Dans l’expérience présentée (cf. § 1.1), les éléments de fluide situés près de la paroitournent presque instantanément à la même vitesse que cette paroi et lors du régimetransitoire, la vitesse de rotation varie continûment de la périphérie vers le centre.Plus généralement, toutes les expériences montrent que :

• la vitesse d’écoulement d’un fluide réel est toujours une fonction continue dutemps et des coordonnées d’espace ;

• les éléments de fluide qui sont au contact d’un solide ont, à tout instant, une vitesserelative nulle par rapport à ce solide.

Remarque

Le modèle du fluide parfait n’interdit pas la discontinuité spatiale de la vitesse.Deux pellicules (ou veines) d’un fluide parfait pourraient glisser l’une sur l’autreavec des vitesses différentes.

∂P∂z

∂P∂r

v 2

r∂v∂ t

∂eq∂q

∂∂q

vr

∂v∂ t

∂v

∂ tDv

D t

Dv

D t

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1.4.

22.1.

force de cisaillement

dissipation

2.2.

5.

F

v

v

v

F


Viscosité et dissipation d’énergie

Si, dans l’expérience décrite, le fluide était parfait, il continuerait de tourner indéfini-ment après l’arrêt du plateau tournant et son énergie cinétique resterait constante. Plusgénéralement, un fluide visqueux en écoulement, contrairement à un fluide parfait,dissipe l’énergie mécanique tant que la vitesse relative de ses éléments n’est pas nulle.

Force de viscosité (ou cisai l lement)dans un f luide réel

Cisaillement et pression

Dans le modèle du fluide parfait, nous avons réduit la force de contact entre deuxéléments de fluide à la seule force de pression, qui est normale à leur surface deséparation. Les observations sur les fluides réels ne peuvent s’expliquer que parune composante tangentielle de la force de contact, appelée(doc. 4).

Par ailleurs, toutes les expériences montrent que l’équation de la statique des fluidesgrad—

P = f

vol , qui ne prend en compte que la pression, s’applique indifféremmentaux fluides visqueux ou non visqueux. Les forces internes de cisaillement, en effet,s’opposent à la déformation des éléments de fluide, et deviennent nulles lorsqueceux-ci ne se déforment plus au cours du temps.

Ces forces, opposées aux vitesses relatives des éléments de fluide, ont une puissancetotale négative, ce qui correspond bien à une d’énergie mécanique.

Champ de vitesse unidirectionnel de la forme :v = v (y, t)ex

Étudions le cas simple où les plans parallèles à (Ox, Oz) glissent les uns sur lesautres. Ce cas, a priori irréaliste, peut être une bonne approximation d’un écoule-ment laminaire réel, si les dimensions selon (Ox) et (Oz) sont très grandes devantl’épaisseur selon (Oy).Cette situation existe lors d’un écoulement au voisinage d’un obstacle, où le pro-fil de vitesse a l’allure du document 5.

Comme div(v) = 0 , cet écoulement peut être celui d’un fluide incompressible.

Considérons deux éléments de fluide, S1 et S2 , séparés par la surface S , d’aireS , normale à (Oy) (doc. 6).

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Doc. 4. Forces de pression (en noir) et decisaillement (en couleur).

y

obstacle fixex

tv

Vmax

Doc. 5. Profil de vitesses au voisinage d’unobstacle.

Doc. 6. v est ici une fonction croissante de y . La force de cisaillement F

exercée parS1 sur S2 s’oppose à la déformation du système constitué par S1 et S2 , ou encoreempêche S2 de glisser sur S1 .

y

xz

F

v

v

v

S2

S1

Σ F


vitesse relative

∂∂

vy

,


La force de cisaillement, exercée à travers S par S1 sur S2 , est tangente à S .Elle doit s’opposer au glissement de S2 par rapport à S1 . Elle est donc :

• proportionnelle à S (aire de S) ;

• de sens opposé à ex si v (y, t) est une fonction croissante de y .

Si la force de cisaillement est une fonction linéaire de la dérivée le fluide est

dit newtonien (nous définirons plus précisément cette notion dans le chapitre 6, § 9).Ce modèle est très satisfaisant pour la plupart des fluides, et nous en donneronsune justification microscopique sommaire pour les gaz.

Sur le document 7, nous avons quelques ordres de grandeur du coefficient de vis-cosité dynamique h pour divers fluides.

Remarques• Le rotationnel de la vitesse est ici non nul. Rappelons que le caractère rotationnelde l’écoulement n’est pas lié à la courbure des lignes de courant, mais à l’évolu-tion des éléments de fluide.• Cette loi est une des nombreuses lois approximatives linéaires qui relient la cause(dérivée non nulle de la vitesse) et l’effet (force de cisaillement). Cette loi estphénoménologique. La loi d’Ohm j

= s E

(j

: densité volumique de courant etE

= – grad—

V

: champ électrique) est un autre exemple.• Les forces de viscosité tendent, dans ce cas, à uniformiser la vitesse : freinagedes parties les plus rapides et accélération des plus lentes.• Le coefficient de viscosité peut varier fortement avec la température et la pression.

Examinons la signification physique du terme «∂∂v

y».

Dans la situation décrite (écoulement unidirectionnel v = v (y) ex ), la quantité

«∂∂v

y» représente la variation de entre deux nappes de fluides

planes et voisines (doc. 8a).

Sur le document 8b, les vitesses des divers éléments de fluides sont données par

v(M) = w ∧ OM—

. Comme w est un vecteur constant, il n’y a pas mouvementrelatif de S2 par rapport à S1 ; il n’y a donc pas de forces de viscosité, bien que

∂∂vr

≠ 0 ! Ce cas sera examiné dans l’Application 1, en faisant intervenir une vitesse

relative de glissement.

Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v = v (y, t) ex , la force de sur-face tangentielle F

, appelée force de cisaillement, ou de viscosité, qui s’exerce

à travers une surface d’aire S normale à ey , est portée par ex .

La norme de cette force est égale à :

F = ∂∂vy

S .

Cette force F

tend à accélérer les veines rapides, et à ralentir les veines

lentes. Elle s’écrit donc F

= – ∂∂vy

S ex (action de S1 sur S2 , doc. 6).

Le coefficient appelé viscosité dynamique du fluide peut, avec une bonneapproximation, être considéré comme une constante caractéristique dufluide à une température et une pression données.

L’unité de viscosité dans le Système International est le poiseuille (Pl) telque 1 Pl = 1 Pa . s .

∂∂

vy

,

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fluidecoefficient de viscositédynamique h (en P )

10–6

air (1,7 . 10–5

dans les conditionsnormales)

eau 10–3

huile 1

glycérine 1

graisse 103

Doc. 7. Ordres de grandeurs de quelquescoefficients de viscosité dynamique h (enP ).


5.

2.3.

2.3.1.

F Sy

ey y

x1

0

= − ∂∂

=

η v

d dFy

S= η ∂∂

v

v

v


Sur le document 8c, en revanche, on a envisagé un mouvement relatif S2 par rap-port à S1 : il existe des forces de viscosité.

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Doc. 8a. M et M′ ne restent pas sur la même normale à la surface de séparation entreS1 et S2 . Il y a glissement de S2 sur S1 ; il existe des forces de viscosité, car la vitesserelative de S2 par rapport à S1 est non nulle.

y

x

M’

M

S2

S1

champ des vitesses du fluide

instant t instant t + t∆

M’

M

M’

M

Doc. 8b. Au cours de la rotation oùv(M) = w ∧ OM

—, M et M′ restent sur la

même normale à la surface de séparationentre S1 et S2 . Il n’y a pas glissement deS2 par rapport à S1 ; il n’existe pas deforces de viscosité, bien que v(M) ≠ v (M′).

date t date t + dt

S1

S1

MM’

S2 S2

Doc. 8c. Il y a glissement de S2 par rap-port à S1 , donc déplacement relatif de S2par rapport à S1 : il existe des forces deviscosité.

date t + dt

M

M’

S1S2

En résumé, la formule « simple » donnant la force sous la forme

n’est valable que pour un écoulement unidirectionnel, c’est-à-dire un écoulementplan.

Équivalent volumique de la force de cisaillement

Nous savons que la force surfacique de pression est équivalente à une force volu-mique égale à – grad

—P . Cherchons un tel équivalent pour la force de cisaillement

ou de viscosité.

Champ de vitesse : v = v (y, t) ex

Considérons le parallélépipède élémentaire de volume : dt = S dy (doc. 9). Il estsoumis, à travers ses faces d’aire S , à deux forces de cisaillement :

• (cf. § 2.2.) ;F Sy

ey y

x1

0

= − ∂∂

=

η v

d dFy

S= η ∂∂

v

Doc. 9. v = v (y, t) ex . Forces de cisaille-ment sur un volume élémentaire dans lecas d’un écoulement unidirectionnel.

y

y0

y0 + dy

x

v

v

F1 = – Sηy = y0

ex

vF2 = Sηy = y0 + dyy ex

∂∂

vy

∂∂


2.3.2.

n représente la viscosité cinématique.

fy

excisvol

= ∂∂

η2

2v

.

dcisd

F Sy y

ey

S yey y y y y

x x = − ∂

∂

− ∂∂

= ∂∂= = +

η ηv v v

0 0

2

2 ,

F Sy

ey y y

x2

0

= ∂∂

= +

η v

d


• , conformément au principe des actions réciproques puis-

qu’il s’agit ici de l’action de la particule située au-dessus de la particule qui nousintéresse sur cette particule.Les forces de cisaillement sur les faces normales à ez sont nulles (absence de glis-sement ou de cisaillement). L’écoulement étant invariant par une translation paral-lèle à (Ox), les forces de cisaillement exercées sur S , à travers les deux dernièresfaces, sont opposées. La résultante des forces de cisaillement est donc :

ce qui correspond à une force volumique

Cas d’un écoulement incompressible : généralisation

Dans le cas particulier précédent, l’écoulement est incompressible, car div v = 0.De plus :

∆v = ∆(v (y, t) ex = ex .

D’où : f

cisvol= h ∆v .

Une étude plus approfondie des fluides newtoniens montre que nous pouvons géné-raliser la relation précédente pour tous les écoulements incompressibles.

Cherchons l’équivalent massique :

dF

= f

cisvoldt = f

cismdm avec dm = r dt .

Ainsi l’équivalent

fcism= n ∆v avec n = .

La viscosité cinématique a la dimension d’un coefficient de diffusion :

[n] = = = L2 T–1 .

Cette grandeur caractérise la diffusion de la quantité de mouvement dans un fluide(cf. § 3.2.).

La viscosité cinématique se mesure en m2. s–1.

ML–1 T–1

ML–3[h][r]

Dans un écoulement de fluide incompressible homogène, les forces de cisaille-ment sont équivalentes à une force massique dont l’expression est :

f

cism = n Dv ,

avec n = hr

, viscosité cinématique du fluide.

hr

Dans un écoulement de fluide incompressible homogène, les forces de cisaille-ment sont équivalentes à une force volumique dont l’expression est :

f

cisvol = h Dv .

∂2v∂y2

fy

excisvol

= ∂∂

η2

2v

.

dcisd

F Sy y

ey

S yey y y y y

x x = − ∂

∂

− ∂∂

= ∂∂= = +

η ηv v v

0 0

2

2 ,

F Sy

ey y y

x2

0

= ∂∂

= +

η v

d

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lit.



5.

∂∂ωr

,∂∂v rel

r,

ω( , )( , )

r tr tr

= v

Application 1


Sur le document 10, nous avons quelques ordres de grandeur du coefficient de vis-cosité cinématique.

La viscosité cinématique n dépend aussi des paramètres température et pression.Ainsi, la viscosité cinématique de l’eau varie de 1,3 .10–6 m2 . s– 1 à 10 °C, à0,4 .10–6 m2.s–1 à 60 °C (doc. 11).

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Doc. 10. Ordres de grandeurs de quelquescoefficients de viscosité cinématique( 10– 6 m2. s– 1).

fluide coefficient de viscosité cinématiquen ( 10– 6 m2 . s– 1)

air 15,6 (dans les conditions normales)

eau ≈ 1

huile ≈ 103

graisse ≈ 106

Doc. 11. Variations de la viscosité cinématique n de l’eau en fonction de la tempéra-ture.

1

0,5

0 10 20 30 40 50 60 T(°C)

n (10–6 m2.s– 1)

0

On se propose de déterminer les forces de cisaillement,en procédant par analogie avec l’écoulement plan étudiéprécédemment.L’écoulement du fluide (supposé newtonien et de vis-cosité h ) peut être décrit comme un ensemble decylindres emboîtés, tournant à des vitesses différentes(doc. 12). Pour chaque valeur de r , nous pouvons définir

une vitesse angulaire de rotation (on

utilise les coordonnées cylindriques).

1) Quelle est la forme de lafonction w (r, t) lorsqueles forces internes decisaillement sont nulles ?

2) Par rapport au cylindrede rayon r0 , quelle est lavitesse relative :

vrel = vrel eqd’un point du cylindre derayon r ?

3) Par analogie avec le cas de l’écoulement plan,exprimer la force de cisaillement exercée par le fluideintérieur sur le fluide extérieur, à travers une surfaceélémentaire d’aire dS normale à er , en fonction de la

dérivée puis en fonction de puis enfin à

partir de la fonction v (r, t) .

4) Déterminer l’équivalent volumique du moment parrapport à l’axe (Oz) des actions de cisaillement. Montrerque cette expression est compatible avec une force volu-mique de cisaillement égale à f

cis = h ∆v .

1) Les forces de cisaillement doivent s’annuler lorsquetous les cylindres tournent comme un seul solide, c’est-à-dire si w est uniforme.

2) D’après la relation de composition des vitesses :

vrel = v – ve .

∂∂ωr

,∂∂v rel

r,

ω( , )( , )

r tr tr

= v

Champ de vitesse : v = v (r, t) e

ez

r

r0

Doc. 12. Champ de vitesses :v = v (r, t) eq .


=

∂ ∂∂

∂

1r

rr

re

( )

.

v

θ

cisvol=

η 1

3

r

r rr

r

∂∂

∂

∂

v

.

d d d .r

r rr

rr r z=

η θ

∂∂

∂

∂

3

1

v

d d d d( )Oz

r rr

rr z= +

η θ

∂∂

∂

∂

3

v

d d d13

( ) .Oz

r r

r rr

z= −

=

η θ∂

∂

v

d d d d dF r rr

r z e r rr

z e

r r r r

12 = −

= −

= =

η θ η θθ θ

∂

∂

∂

∂

v v

.

d dFr

e S = −η θ

∂∂v

d d d drelFr

e S rr

e S r rr

e S = − = − = −

η η ω ηθ θ θ∂∂

∂∂

∂

∂v

v

.

∂∂v rel

r,

∂∂

vr

,

∂∂

∂∂

∂∂

v vrel

rr

rr

r rr

=

=

ω.

d d drelv = + − =

[ ( ) ( )] ,ω ω ωθ θr r r r e

rr r e

r

∂∂


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lit.


La vitesse d’entraînement ve , en un point du cylindrede rayon r , est égale à la vitesse d’un point de mêmeposition, fixe par rapport au cylindre de rayon r0 :

ve = w (r0)r eq .

D’où il vient vrel = (w (r) – w (r0))r eq = vrel eq .

3) Prenons deux cylindres voisins de rayon r etr + d r , la vitesse relative élémentaire est alors :

dvrel = [w (r + dr) – w (r)](r + dr) eq .

w (r + dr ) – w (r) = dr .

Soit, en restant au premier ordre en dr,

soit :

Remarquons que cette expression est bien différente de

valable uniquement pour des écoulements unidi-

rectionnels.

La force de cisaillement, proportionnelle à dS et à

s’écrit :

Remarques

• Nous retrouvons bien une force en

lorsque r tend vers l’infini.• Pour un élément de surface non normal à er , l’ex-pression de la force de cisaillement est beaucoup pluscomplexe.

4) Considérons un volume élémentaire de dimensionsdr , r dq et dz (doc. 13).

Seules les forces de cisaillement, qui s’exercent à tra-vers les deux faces normales à er , ont un moment nonnul par rapport à l’axe (Oz).

• À travers la face interne de rayon r :

Soit un moment :

• À travers la face externe de rayon r + d r :

d 2 (Oz) = h r3

r= r + dr

dq dz .

Au total, on obtient :

Nous obtenons donc un moment volumique de cisaille-ment :

Supposons que les forces de cisaillement soient équi-valentes à la force volumique f

cis = h ∆v .

Le moment appliqué au volume élémentaire est :

d (Oz) = (rer ∧ h∆v) . ez r dr dq dz .

Pour cet écoulement, div(v) = 0 et donc (cf. Annexe,relations concernant les opérateurs vectoriels) :

=

∂ ∂∂

∂

1r

rr

re

( )

.

v

θ∆v = – rot—(rot—(v))

cisvol=

η 1

3

r

r rr

r

∂∂

∂

∂

v

.

d d d .r

r rr

rr r z=

η θ

∂∂

∂

∂

3

1

v

d d d d( )Oz

r rr

rr z= +

η θ

∂∂

∂

∂

3

v

∂ vr

∂r

d d d13

( ) .Oz

r r

r rr

z= −

=

η θ∂

∂

v

d d d d dF r rr

r z e r rr

z e

r r r r

12 = −

= −

= =

η θ η θθ θ

∂

∂

∂

∂

v v

.

d dFr

e S = −η θ

∂∂v

d d d drelFr

e S rr

e S r rr

e S = − = − = −

η η ω ηθ θ θ∂∂

∂∂

∂

∂v

v

.

∂∂v rel

r,

∂∂

vr

,

∂∂

∂∂

∂∂

v vrel

rr

rr

r rr

=

=

ω.

d d drelv = + − =

[ ( ) ( )] ,ω ω ωθ θr r r r e

rr r e

r

∂∂

∂w∂r

r + dr

r

dF2

dF1

Doc. 13. Forces de cisaillement.


2.4.

+η ∂∂

2

2v

yex

.ρ ∂∂vt

ex =

∂∂v

t

5.

∂∂

∂

∂

∂ ∂∂

∂

r rr

rr

rrr

r

3

2

1

v

v

=

( )

.d d d

)

.rr

rr

rr z

2

1∂ ∂(∂

∂

v

θ


Équation de Navier-StokesIl s’agit de l’équation locale pour un écoulement de fluide incompressible homo-gène. Cette équation s’obtient en ajoutant, dans l’équation d’Euler, la force volu-mique de cisaillement.

Dans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la forme v = v (y, t) ex ,nous pouvons vérifier que (v . grad

—) v = 0

(la dérivée convective de la vitesse est

nulle) ; l’accélération particulaire se confond alors avec et l’équation localedevient :

Pour un écoulement incompressible de fluide homogène, on peut encore écrire :

Nous supposerons désormais qu’il n’y a pas d’autre force volumique que la pesan-teur. Si Z représente l’altitude, nous pouvons poser :

qP = P + rgZ( qP est parfois appelée pression motrice ou pression effective) ,

et : r DD

v

t.= – grad

—qP+ h∆v

L’équation locale de la dynamique (ou équation de Navier-Stokes) est pourun écoulement incompressible de fluide homogène :

DD

v

t= f

m – grad— P

r+ n Dv .

Dans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la forme v = v (y, t)ex ,l’équation locale devient :

∂∂v

t= f

m – grad— P

r+ n

∂∂2

yv2 ex .

+η ∂∂

2

2v

yex

.– grad—

P + f

volρ ∂∂vt

ex =

∂∂v

t

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lit.


En remplaçant ∆v par cette expression, nous obtenons :

d (Oz) = h

Il est ensuite aisé de vérifier que :Les deux expressions du moment sont donc identiques.

∂∂

∂

∂

∂ ∂∂

∂

r rr

rr

rrr

r

3

2

1

v

v

=

( )

.d d d

)

.rr

rr

rr z

2

1∂ ∂(∂

∂

v

θ

L’équation locale de la dynamique, ou équation de Navier-Stokes, est pourles écoulements incompressibles homogènes :

r DD

v

tDans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la formev = v (y, t) ex , l’équation locale devient :

, avec viscosité dynamique.2

2v

yex= f

vol – grad—

P +vt

ex

= f

vol – grad—

P + v .


33.1.

la quantité de mouvement trans-

férée

3.2.

transfert internediffusion

d

d

pt

F

= .

DG

tG =d

dtraversant Σ .

n

ey

ex

Fx v = v(y)ex

grad vx


Remarques

• Dans le cas général d’un fluide visqueux compressible, il faut encore introduired’autres termes. En fait, l’approximation du fluide incompressible est souvent suf-fisante lorsque la vitesse d’écoulement est faible devant celle du son.

En effet, la variation relative de r dans un écoulement peut être reliée au coeffi-cient de compressibilité cs du fluide.

cs =s

≈ .

• L’ordre de grandeur de ∆P dans le fluide est r .v 2. Donc ∆rr ≈ cs r0v 2.

<< 1 ⇔ cs r0v 2 << 1, soit v << = C .

• Nous n’aborderons pas la résolution de l’équation de Navier-Stokes en dehorsdu cas simple de l’écoulement unidirectionnel.


Viscosité et transfer t de quantitéde mouvement

Débit de quantité de mouvement

Rappelons tout d’abord la définition d’un débit.

Soit G une grandeur extensive quelconque (nombre de particules, énergie, masse,etc.). Le débit DG de G (encore appelé flux de G), à travers une surface orientéeS , est égal à la quantité de G qui traverse S par unité de temps (doc. 14) :

Pour un système S , de quantité de mouvement p soumis à une force F

, on a

l’équation La force F

représente

par unité de temps de l’extérieur vers S .

Une force de surface peut s’interpréter comme un débit de quantité de mouvementà travers cette surface (doc. 15).

Ainsi, dans l’écoulement tel que v = v (y, t) ex , la force de cisaillement exercéepar S1 sur S2 (doc. 5) est égale au débit Dpx de la composante px de la quantitéde mouvement transférée à travers S (doc. 16).

Diffusion de quantité de mouvement

Nous avons déjà signalé que la viscosité a pour effet, dans un écoulement unidi-rectionnel, d’accélérer les éléments lents et de freiner les éléments rapides. Il s’agitdonc d’un de quantité de mouvement, qui présente les caracté-ristiques d’une .

Ce transfert est irréversible et il s’effectue dans le sens de l’uniformisation de lavitesse. On peut donc, par ces aspects, le comparer à un transfert thermique, ou àune diffusion de particules.

d

d

pt

F

= .

DG

tG =d

dtraversant Σ .

18cs r0

∆rr

∆r∆P

1r

∂r∂P

1r

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lit.


surface

transfert de Gà travers

Σ

Σ

n

Doc. 14. La quantité dG traversant pen-dant dt la surface S suivant n s’ex-prime en fonction du débit DG par :

dGtraversant S = DG d t .

transfert dequantité demouvementà travers

Σ

Σ

S

p(t + dt)dp = Fdt

p(t)

Doc. 15. La quantité de mouvement dp

traversant pendant dt la surface ferméeS s’exprime en fonction de D

p = F

par :dp = F

dt .

veine rapide

veine lente transfert de px

p = px ex

y

x

ey

ex

Fx v = v(y)ex

grad vx

Σ

Doc. 16. La quantité de mouvement dpxtraversant pendant dt la surface S s’ex-prime en fonction de Fx par :

dpx = Fx dt .Une veine rapide étant ralentie par uneveine lente, px diminue et donc Fx < 0 .


ν ∂∂

∂∂

2

2v v

y t=

ηρ

∂∂

∂∂

2

2v v

y t=

5.

n

n

n

Application 2


La densité volumique de quantité de mouvement est égale à rv .

Nous pouvons alors écrire, si r est une constante, la force de cisaillement sous laforme (doc. 16) :

Dpx = Fcis = – n S .

Si nous posons ey = n (vecteur unitaire normal à la surface S d’aire S), cetteéquation devient :

Dpx = – n grad—

(rvx ) . nS .

Nous retrouvons une équation de cette forme dans tous les phénomènes de diffu-sion (doc. 17).

• La loi de Fick (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2e année) exprime la diffusionde particules dont la concentration est inhomogène. Si n* représente la densité departicules, le débit de particules, à travers une surface d’aire S et de vecteur uni-taire normal n , est donné par :

DParticules = – D grad—

(n*) . n S .

• La loi de Fourier (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2de année) décrit les transfertsthermiques par conduction. Si T est la température, le débit d’énergie (ou fluxthermique F), transféré par conduction à travers une surface, est donné par :

F = – k grad—

(T) . n S .

Si, pour tous les éléments de fluide, les forces autres que les forces de cisaillements’équilibrent, la densité volumique de quantité de mouvement ne varie plus que pardiffusion. Nous avons vu (§ 3.1) que, si de plus l’écoulement est de la forme :

v = v (y, t) ex ,

l’équation de la dynamique s’écrit :

,

ou encore en faisant intervenir la viscosité cinématique n .

Cette équation aux dérivées partielles est caractéristique des phénomènes diffusifs.Il n’en existe pas de solution analytique simple en général, mais une résolutionnumérique (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2de année) permet d’en connaître lasolution pour chaque cas particulier.

ν ∂∂

∂∂

2

2v v

y t=

ηρ

∂∂

∂∂

2

2v v

y t=

∂(rvx)∂y

137


aire S

a)

b)

c)

Dparticule

Σ

n

aire SΣ

n

aire SΣ

n

v = vx(y)exey

exez

Φ

Doc. 17. Différents phénomènes de diffu-sion.a. Diffusion de particules.b. Diffusion de quantité de mouvement.c. Diffusion de température.

On reprend l’expérience du § 1.1 et on essaie de faireune exploitation quantitative.

On considère, dans un fluide incompressible de massevolumique r et de viscosité h , un écoulement cylin-drique tel que v = v (r, t) eq .

On posera v (r, t) = w (r, t) r . On note L(r, t) le momentcinétique par rapport à l’axe (Oz), du fluide situé à l’in-térieur d’un cylindre de rayon r .

1) Déterminer DL(r) , débit sortant de L à travers lecylindre de rayon r .

Diffusion de moment cinétique

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∂∂

∂∂

∂∂

2

23f f f

uξ ξ ξ+ = .

τ ρη

= a2 .

BC= −2

ω = +ABr2

∂∂ωr

Cr

= 3 ,

∂∂

∂∂r

rr

3 0ω

= ,

ηρ

ωω1

3

3

r

rr

r t

∂ ∂∂

∂∂∂

= .

2 23

3

π ∂∂

π∂ ∂

∂∂

r h rt

hr

rr

rd dρ ω η

ω

=

,

D h rrL = − 2 3π ∂

∂η ω

.

∂∂

Lt

∂∂

Lt

= .

= 2 3π ∂∂

h rr

η ω.

( )ηρ

= − −10 6 2 1m s.

∂∂

∂∂

∂∂

2

23f f f

uξ ξ ξ+ =


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lit.


2) Écrire l’équation aux dérivées partielles vérifiée parw (r) .

3) Un récipient cylindrique de rayon a et de hauteurh contient du fluide initialement au repos. h est trèsgrand devant a , ce qui permet de supposer que l’écou-lement est de la forme v = v (r, t) eq .

À l’instant initial, le récipient est brusquement mis enrotation avec une vitesse angulaire W .a) Déterminer la vitesse du fluide (dans le référentieldu laboratoire) lorsque le régime permanent est atteint.b) Évaluer l’ordre de grandeur de la durée d’établis-sement du régime permanent pour un récipient plein

d’eau (n = et de rayon a = 4,7 cm.

Comparer avec l’expérience décrite en début de cha-pitre.

1) Le fluide contenu dans le cylindre de rayon r estsoumis, de la part du fluide extérieur, à une action decisaillement, dont le moment par rapport à l’axe (Oz)est (cf. Application 1) :

L(r, t) étant le moment cinétique par rapport à l’axe(Oz) du fluide contenu dans le cylindre de rayon r , nous

écrivons

Le cylindre de rayon r ne reçoit de moment cinétique

que par les forces surfaciques de cisaillement. repré-

sente donc un débit entrant de moment cinétique.

Le moment cinétique étant échangé à travers la surfacecylindrique, est égal au débit entrant de momentcinétique, soit un débit sortant :

2) Appliquons le théorème du moment cinétique au fluidecompris entre les cylindres de rayons r et r + dr . Sonmoment cinétique est :

dL = r 2π r h dr r v (r, t) = r 2π r3 h dr w (r, t) .La variation de dL est égale à la différence du momentcinétique entrant par le cylindre de rayon r et du momentcinétique sortant par le cylindre de rayon r + dr , soitl’égalité :

soit encore :

3) a) En régime permanent, soit

qui admet pour solutions :

avec .

Les conditions aux limites sont w (a) = W .w (0) ne pouvant être infini, cela implique B = 0 et doncA = W . En régime permanent, nous retrouvons bien quele fluide est au repos dans le référentiel du récipient.

b) Pour déterminer la durée caractéristique du régimetransitoire, effectuons le changement de variable :

w = f W ; r = x a et t = u t avec

L’équation devient

Pour une telle équation aux dérivées partielles, dont lescoefficients sont voisins de l’unité, la durée caractéris-tique (avec la variable u) d’établissement du régimepermanent est de l’ordre de 1.t = 2 200 s représente donc la constante de temps dusystème.

Les courbes du document 18 ont été obtenues par inté-gration numérique et tracées à u constante.

Sur le graphique obtenu (doc. 18), nous observons qu’aprèsune durée de l’ordre de 0,1 t , la vitesse est égale à 65 %de sa valeur finale en r = 0,5 a et à 45 % pour r = 0,1a.

∂∂

∂∂

∂∂

2

23f f f

uξ ξ ξ+ = .

τ ρη

= a2 .

BC= −2

ω = +ABr2

∂∂ωr

Cr

= 3 ,

∂∂

∂∂r

rr

3 0ω

= ,

ηρ

ωω1

3

3

r

rr

r t

∂ ∂∂

∂∂∂

= .

2 23

3

π ∂∂

π∂ ∂

∂∂

r h rt

hr

rr

rd dρ ω η

ω

=

,

D h rrL = − 2 3π ∂

∂η ω

.

∂∂

Lt

∂∂

Lt

= .

= 2 3π ∂∂

h rr

η ω.

( )ηρ

= − −10 6 2 1m s.

f =

x =

0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

ra

ωΩ

u augmente

Doc. 18. Intégration numérique de l’équation :

En pointillés figurent les résultats expérimentaux.

∂∂

∂∂

∂∂

2

23f f f

uξ ξ ξ+ =


44.1.4.1.1.

4.1.2.

écoulement de Couette

η ∂∂

2

2v

yex

.ρ ∂∂vt

ex

5.

v v(M, t) = ( y, t) ex

g


Appl ication à quelques écoulementsunidirectionnels et l iquides

Champ des vitesses : v = v (y, t)ex

Cas général

Dans ce cas simple (doc. 19), la relation fondamentale de la dynamique se traduitpar l’équation locale (P = P(x, y, z, t) :

Supposons ce fluide incompressible. Par projection, nous obtenons :

= n – ; = – g et = 0.

Nous en déduisons que P = – rgy + p(x, t) , avec p ne dépendant que de x et t .La première projection nous permet de poser :

F(x, t) = – et G(y, t) = – n .

Comme F(x, t) = G(y, t) pour toutes valeurs de x , y et t , F et G sont iden-tiques et ne dépendent que du temps :

– n = – = C(t) avec P(x, y, t) = – rgy + p(x, t) .

Intéressons-nous à deux cas particuliers indépendants du temps C(t) = 0 etC(t) = C0 .

Cas particulier où C(t) = 0

La constante C est nulle, lorsque p a la même valeur pour deux abscisses diffé-rentes, c’est-à-dire p(x, t) = p(t) . Dans ces conditions, v (y, t) est solution de

l’équation de diffusion à une dimension – n = 0, soit :

= n (équation de diffusion).

Cette équation a déjà été rencontrée dans l’étude des phénomènes de diffusion departicules et de diffusion thermique (cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2nd année).Cet écoulement peut correspondre à l’ entre deux plansinfinis de vitesses différentes traité dans ce qui suit.

∂2v∂y2

∂v∂ t

∂2v∂y2

∂v∂ t

∂P∂x

1r

∂2v∂y2

∂v∂ t

∂2v∂y2

∂v∂ t

∂P∂x

1r

∂P∂z

1r

∂P∂y

1r

∂P∂x

1r

∂2v∂y2

∂v∂ t

η ∂∂

2

2v

yex

.= – grad—

P – rg ey +ρ ∂∂vt

ex

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luide

s,2e an

née,

PCet

PSI,L

apho

toco

pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


Si nous reprenons la deuxième photographie du docu-ment 3, nous mesurons approximativement, pour unedurée de l’ordre de 0 ,07 t :

w = 0,65 w0 pour r = 0,25 a ,et w = 0,8 w0 pour r = 0,45 a .

Ces résultats concordent qualitativement avec ceux ducalcul. Quantitativement, il faut s’accorder une marged’erreur de l’ordre de 50 %, tant sur les durées que surles longueurs, pour faire coïncider les deux résultats.

Il y a à cela plusieurs raisons :

• la profondeur n’est pas infinie et le fluide estentraîné par le fond ;

• la déformation de l’interface eau/air met en jeu desforces de surface dont nous n’avons pas tenu compte ;

• le récipient n’est pas parfaitement centré. Onconstate du reste sur l’image que les deux cerclesne sont pas rigoureusement concentriques.

y

z x

v v(M, t) = ( y, t) ex

g

Doc. 19. Écoulement d’un fluide visqueuxincompressible dont les lignes de courantsont parallèles à (Ox).


v v( , ) exp cos .z tz

tz= −

−

0 2 2

α ω α

v = +

+ − +

A

jz B

jz j texp exp exp( ).

1

2

1

2α α ω

∂∂

2

22vv

zj= α

Application 3

zz

t zz

= −

−

exp cos2 20

0

0

π π v


140

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lit.


On considère, dans un récipient rempli d’un liquide demasse volumique r et de viscosité dynamique h , unplateau vibrant de surface S et de cote z = 0 . Ce pla-teau oscille horizontalement, avec une vitessev0(t) = v0 cos(w t) ex (doc. 20).

Il est suffisamment large pour pouvoir négliger les phé-nomènes qui se produisent au niveau des bords, et onpeut admettre qu’en régime permanent, le liquide au-dessus du plateau oscille avec une vitesse :

v(z, t) = vm(z) cos [w t + j (z)] ex .On suppose également que le niveau supérieur du liquideest « largement » au-dessus du plateau et que la pres-sion est indépendante de x .

1) Déterminer v (z, t) .

2) Définir une profondeur de pénétration des vibrations,et préciser la dernière hypothèse.

1) La pression étant indépendante de x , v (z, t) est solu-tion de l’équation de diffusion :

= n avec n = .

Exprimons v (z, t) au moyen de son image complexe :

v (z, t) = e(v) avec v = vm exp[ j(w t + j (z)] .

L’équation de diffusion devient :

avec a 2 = .

Cette équation différentielle du second ordre a pour solu-tion générale :

car j =2

ou encore j = ej π

2 = ej π

42

.

Le milieu étant supposé infini vers les z positifs, lesconditions aux limites imposent A = 0 et B = v0 . Enrepassant en notation réelle, nous obtenons :

Les courbes du document 21 représentent la vitesse dufluide en fonction de la profondeur z , pour

différentes valeurs de w t, où = .

2) L’amplitude des vibrations décroît exponentiellementavec une profondeur de pénétration :

δ = 3 = 3 .

Il est légitime de considérer le milieu infini si l’épais-seur de fluide, au-dessus du plateau, est très supérieureà δ. Pour une vibration à 50 Hz dans l’eau, δ est del’ordre de 0,1 mm.

Remarque

Nous rencontrons des situations formellement iden-tiques lors de l’étude de la diffusion d’une variation detempérature dans un sol homogène, ou de la pénétra-tion d’un champ électromagnétique oscillant dans unconducteur ohmique. L’équation de diffusion s’appliqueà des systèmes dans de nombreux domaines de la phy-sique.

2hrw

2nw

a12

2πz0

v v( , ) exp cos .z tz

tz= −

−

0 2 2

α ω α

1 + j12

v = +

+ − +

A

jz B

jz j texp exp exp( ).

1

2

1

2α α ω

wn

∂∂

2

22vv

zj= α

hr

∂2v∂y2

∂v∂ t

Oscillations forcées

z

z = 0x

le plateau oscillehorizontalement

Doc. 20. Plateau vibrant horizontalement dans un fluidevisqueux.

–0,8–0,6–0,4–0,2

00,20,40,60,81,0

0,20 0,4 0,6 0,8 1,0

wt = 0wt = 0,1

wt = 0,2

wt = 0,3

wt = 0,4wt = 0,5

vv0

zz0

Doc. 21. .zz

t zz

= −

−

exp cos2 20

0

0

π π vvv0


4.1.3.

4.2.

4.2.1.

écoulement de Couette

4.2.2.

∂∂

2

2 0v

y= ;

5.

v ( y, t) ex


Cas particulier où C(t) = C0 (non nulle)

Prenons le cas particulier important du régime stationnaire (pas de dépendanceexplicite du temps), nous obtenons :

= h = – C0 .

Les solutions sont :

P(x, y) = – rgy – C0 x + P0

et v (y) = – y2 + By + v0 .

Remarquons que les isobares sont des plans inclinés (doc. 22).

Cet écoulement peut correspondre à l’écoulement de Poiseuille entre deux plansparallèles (cf. § 4.3) de vitesse identique.


Écoulement de Couette plan

Description

Un plan est celui d’un fluide délimité par deux plans paral-lèles solides, et de vitesses constantes, mais différentes (doc. 23). Le cas rigoureuxde plans infinis est évidemment théorique, mais des écoulements réels peuvent s’enrapprocher. En particulier, l’écoulement entre deux cylindres coaxiaux et de vitessesde rotation différentes peut localement se représenter par un écoulement plan, siles rayons R1 et R2 des cylindres sont très voisins ( R2 – R1 << R1). Une étude del’écoulement de Couette cylindrique est proposée dans l’exercice 8.

Nous supposons, par hypothèse, que :• la vitesse en tout point est de la forme v = v (y, t) ex ;• le plan inférieur, de cote y = 0 , a une vitesse constante v1 ;• le plan supérieur, de cote y = e , a une vitesse constante v2 ;• la pression P (ou, plus généralement P

∧= P + rgy) ne dépend pas de x (et éven-

tuellement de t).

D’après les hypothèses, v (y, t) vérifie l’équation de diffusion à une dimension :

= n .

Régime stationnaire

Étudions tout d’abord la distribution des vitesses en régime stationnaire (pas dedépendance explicite du temps).

L’équation précédente devient :

v est donc une fonction affine de y .

Les vitesses du fluide en y = 0 et y = e étant imposées par celles des plans (puis-qu’un fluide visqueux « colle » à la paroi, il ne peut y avoir de discontinuité devitesse entre le fluide et le plan), nous obtenons (doc. 24) :

v = v1 + y .v2 – v1e

∂∂

2

2 0v

y= ;

∂2v∂y2

∂v∂ t

C02h

d2vdy2

∂P∂x

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y

xisobares

champdes vitesses

C0 > 0

P1 > P2

P = P2

P = P1

Doc. 22. Pour cet écoulement, les isobaressont des plans inclinés. Le champ desvitesses est parabolique.

y

x

y = e

vitesse v1 du plan

vitesse v2 du plan

plan solide

v ( y, t) ex

plan solide

Doc. 23. Écoulement de Couette entre deuxplans parallèles « infinis ».

y

x

y = e

vitesse v1 du plan

plan solide

plan solide

Doc. 24. Champ des vitesses en régimepermanent.


4.2.3.

∂∂

∂∂

ut

u= 1 2

2τ ζ

ye

vv2

Application 4

v ( y, t) ex

F


Régime transitoire

Limitons-nous à un cas particulier :

• v1 = 0 ;

• le fluide est initialement au repos ;

• le plan supérieur acquiert brusquement la vitesse v 2 à l’instant t = 0 .

Posons v = u v 2 et y = ζ e . L’équation de diffusion devient :

avec t = .

La constante t , homogène à un temps, est la durée caractéristique de l’établisse-ment du régime permanent. Le document 25 montre la répartition des vitesses (obte-nues par résolution numérique) pour différentes valeurs de t .

e2

n∂∂

∂∂

ut

u= 1 2

2τ ζ

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régime permanent

0,5

1

0 0,5 1

vv2

ye

t = 0,1τt = 0,2τt = 0,3τ

t = τ

Doc. 25. Évolution de la vitesse réduite

( ) en fonction de la longueur réduite

( ) à différentes dates : 0,1 t ; 0,2 t ;

0,3 t ; ... ; 0,9 t ; t .

ye

vv2

Une surface plane S1 , d’aire S, entraînée par un moteur,est en translation de vitesse constante v1 = v1 ex . Unesurface plane parallèle S2 entraîne un mécanisme quiexerce une force résistante constante F

= – F ex .

L’espace entre les deux plans est rempli par un fluideincompressible de viscosité h et de masse volumiquer . Leur écartement est e (doc. 26). Les dimensions laté-rales sont très grandes devant e , et on admet que cesystème peut se modéliser par un écoulement de Couetteplan. En particulier, la pression ne dépend pas de x.

1) Déterminer, en régime stationnaire, la vitesse v 2 deS 2 .

2) 1 représentant la puissance fournie par S1 aufluide, et 2 la puissance fournie par le fluide à S 2 ,définir et calculer le rendement énergétique e de latransmission.

3) Faire les applications numériques.Données :n = 1,3 .10 – 4 m2. s– 1 ; r = 0,9.103 kg .m–3 (huile) ;v1 = 10 m . s–1 ; F = 0,47 N ; S = 100 cm2 et la constantede temps du régime transitoire est de t = 0,1 s .

Ce dispositif peut-il servir de principe pour la construc-tion d’un embrayage hydraulique ?

1) L’équation de Navier-Stokes s’écrit :

+ (v.grad—

)v = – grad—

P + n ∆v + g .

v = v (y, t) ex donc (v.grad—

)v = 0

.

∆v = ex .

En projection sur l’axe des x, puisque P ne dépend pasde x, il vient :

= n .

En régime stationnaire = 0, soit = 0.

est donc constante dans l’écoulement et égale à :

v 2 –e

v 1 .

Sur la plaque située en y = e, qui se déplace à vitesseconstante, la somme des forces appliquées par unité desurface est nulle.

dvdy

d2vdy2

∂v∂ t

∂2v∂y2

∂v∂ t

∂2v∂y2

1r

∂v

∂ t

Étude d’une transmission

y

x

y = e

vitesse v1 du plan

v ( y, t) ex

F

vitesse v2 du plan plan solide

liquide

2Σ

1Σ

Doc. 26. Écoulement de Couette plan.


4.3.

écoule-ment de Poiseuille plan

écoulement de Poiseuille cylindrique

4.3.1.

v = −∆ ˆ( ).

Pl

ey y2

2

η

5.

εη

= = −vv v

2

1 1

1eFS

.

FS

emax .= ηv1

Jean-Louis Marie Poiseuille (1797-1869)entre en 1815 à l’École polytechnique, puisétudie la circulation sanguine et plus parti-culièrement la pression du sang dans lesartères.

v ( y, t)


Écoulements de Poiseuille

Un écoulement de Poiseuille est un écoulement laminaire permanent dans un domainelimité par une paroi cylindrique, de section quelconque, immobile.

• Si la section du cylindre est un rectangle très long, on peut négliger les effets debord et supposer que l’écoulement existe entre deux plans infinis : c’est l’

.

• Si la section du cylindre est circulaire, c’est l’ .

Écoulement de Poiseuille entre deux plans parallèles

Cet écoulement entre deux plans parallèles d’ordonnées fixes est tel que v = v (y) ex(doc. 27). Des dispositifs externes imposent entre les sections x = 0 et x = unechute de « pression motrice » (rappelons que qP = P + rgZ , Z étant l’altitude) :

∆qP = qPx=0 – qPx= .

Déterminons la structure du champ des vitesses du fluide ainsi que la relation entrele débit et la chute de pression.

D’après les relations générales établies plus haut, qP est une fonction affine de x ,et en régime permanent :

= ; h = – .

v (y) est un polynôme du second degré qui s’annule en 0 et en e (doc. 28) :

Pour une largeur L , dans la direction (Oz), le débit massique Dm de fluide est :

Dm = rLe

0v (y) dy, soit Dm = ∆qP = ∆qP ,

ce qui correspond à un débit volumique Dvol = ∆qP .Le3

12h

Le3

12ur Le3

12h

v = −∆ ˆ( ).

Pl

ey y2

2

η

∆ qPd2vdy2

qPx= – qPx=0∂ qP∂x

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On doit donc avoir :

– h – = 0.

= – = , donc v2 = v1 – .

Le mouvement de S 2 n’est possible que si v 2 > 0 (laforce F est résistante), c’est-à-dire si :

F < Fmax avec

2) La force motrice appliquée au plan supérieur est égaleà la force du cisaillement, elle-même égale à F .

1 = Fv 1 et 2 = Fv 2, soit :

3) La constante de temps t du régime transitoire

t = = r permet de calculer e : e = 3,6 mm et

ensuite Fmax = 3,33 N .

F = 0,47 N donne e = 86 % et donc v2 = 0,86 v1 .Un embrayage est destiné à amortir les « à-coups »,comme, par exemple, une brusque variation de v1 , cequi implique que la constante de temps du régime tran-

sitoire t = soit suffisamment grande. Nous consta-

tons qu’une grande valeur de t (donc une faible valeurde h ou forte valeur de e) entraîne un faible rendement.

La constante de temps est assez faible : la mise en mou-vement est donc relativement rapide (d’autres élémentsde transmission pourraient être éventuellement ajoutéssi un amortissement de la secousse s’avérait nécessaire).

e2

n

e2

he2

u

εη

= = −vv v

2

1 1

1eFS

.

FS

emax .= ηv1

eFhS

v2 – v1

eFSh

∂v∂y

FS

∂v∂y

yx

z

v ( y, t)

e

Doc. 27. Écoulement de Poiseuille entredeux plans parallèles fixes, infinis.

y

x

y = e

y = 0

v (y)

Doc. 28. Répartition parabolique de lavitesse dans un écoulement de Poiseuilleplan.


régime laminaire permanent

4.3.2.

4.3.2.1.

v ( r)

g


Nous admettrons que la proportionnalité entre débit et chute de pression peut segénéraliser à toute conduite cylindrique. Notons bien que cette relation suppose un

, c’est-à-dire un régime où les lames de fluide glis-sent les unes sur les autres parallèlement à l’axe. Nous verrons au chapitre 6 quesi le débit devient trop important, cette solution n’est plus stable, et l’écoulementdevient turbulent.

Ceci peut s’illustrer de la manière suivante. Lors d’un écoulement lent dans un tubehorizontal de section constante, muni de « prises de pression » (doc. 29), on observeque les maxima de niveau dans les différents tubes verticaux sont alignés.

Écoulement de Poiseuille dans un cylindrede section circulaire

Jean-Louis-Marie Poiseuille, qui était médecin, a étudié expérimentalement la cir-culation des liquides dans des tuyaux cylindriques. Il a énoncé en 1844 la loi sui-vante, qui porte son nom.

Pour la démonstration de la loi de Poiseuille, on pourra se reporter à l’exercice 8.

Le champ de vitesse de cet écoulement est encore parabolique (doc. 30).

Pour faire circuler une huile (h voisin de 1 Pl) dans un tuyau de 1 cm de diamètreet de 1 m de longueur, avec un débit volumique de 0,1 litre par seconde, il fautexercer en amont une surpression voisine de 4 bars.

Pour un même débit et dans la même conduite, la perte de charge serait environ1 000 fois plus faible pour l’eau.

Mise en évidence expérimentale

Pour un liquide en écoulement laminaire dans un tube de longueur et desection S , le débit volumique (et donc le débit massique) est proportionnel à la

quantité pour un ∆qP imposé (doc. 31) :

Dvol = k ∆qP .

Cette loi peut être vérifiée expérimentalement de la manière suivante (doc. 32).

Prenons deux tubes de section identique (de l’ordre de quelques mm2), mais delongueur (quelques dizaines de cm) double l’une de l’autre, par exemple :

• tube 1 : section S ; longueur 1 ;

• tube 2 : section S ; longueur 2 , avec 2 = 2 1 .

S 2

S 2

En régime laminaire permanent, le débit massique Dm d’un fluide dans uneconduite cylindrique à section circulaire et la perte de charge sont liées par :

Dm =8pna4

D qqP , soit aussi Dvol =8pha4

DqqP

où r est la masse volumique, h la viscosité dynamique, n la viscosité ciné-matique, a le rayon et la longueur.

En régime laminaire permanent, le débit massique d’un fluide visqueuxdans une conduite de section constante est proportionnel à la perte de charge,c’est-à-dire la différence de la quantité qqP = P + gZ entre ses sections d’en-trée et de sortie (où P est la pression et Z l’altitude).

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"prises de pression"

tube de sectionconstante

arrivéed’eausouple

écoulementà l’air libre

Doc. 29. Les maxima de niveau dans lesdifférents tubes verticaux sont alignés.

r

z

v ( r)

Doc. 30. Répartition parabolique de lavitesse dans un écoulement de POISEUILLE.Le système est à symétrie de révolutionautour de l’axe (Oz).

horizontale

pression P1

pression P2

sectioninterned’aire S

longueur l

gH1

H2

Doc. 31. Le débit volumique de liquide enécoulement laminaire, dans ce tube de sec-tion S et de longueur , est de la forme :

Dvol = k S2∆qP , avec

∆qP = qP1 – qP2 = P1 – P2 + rg (H1 – H2 ).


4.3.2.2.

5.

Application 5P1

P0 P0


En les plaçant à la même hauteur à la base d’un réservoir, ces deux tubes sont sou-mis à la même variation de pression motrice ∆qP ; si les tubes sont horizontaux,∆qP est égale à r g H en appelant H la hauteur de fluide dans le réservoir.

Les débits volumiques étant inversement proportionnels à la longueur des tubes,on doit avoir :

Dvol2 = 0,5 Dvol1 , c’est-à-dire H2 = .

Réalisons une manipulation en suivant ce protocole.

Prenons deux tubes de longueur 15 cm et 30 cm (les rayons a des tubes étantégaux à a = 1,2 mm ; donnée du constructeur). La pression motrice imposantl’écoulement est équivalente à 20 cm d’eau ; le rapport mesuré est plus voisinde 0,66 que de 0,5 !

Plusieurs raisons peuvent expliquer l’écart entre ce résultat expérimental et la théo-rie. Tout d’abord, l’écoulement de Poiseuille ne s’établit pas dès le début de l’écou-lement dans les deux tubes (doc. 33).

De plus, les rayons des deux tubes ne sont pas connus très précisément et sont unesource importante d’erreur.

Ceci explique aussi pourquoi il est délicat de mettre en évidence la relation exis-tant entre le débit et le rayon des tubes.

Pour s’entraîner : ex. 3, 5 et 8.

Remarque : Cette loi présente des similitudes avec la loi d’Ohm. Le débit (de masseou de charge) est, pour un « conducteur » donné, proportionnel selon le cas à latension ou à la surpression. L’analogie n’est cependant pas complète, car la« conductance hydraulique » n’est pas, comme la conductance électrique, pro-portionnelle à la section.


Comparaison entre les écoulements de Poiseuille et de Couette

Dans un écoulement de Couette, la pression (motrice) qP est uniforme le long d’uneligne de courant, et l’écoulement est provoqué par un déplacement des parois. Lasituation est inversée pour un écoulement de Poiseuille : les parois sont immobiles,et l’écoulement est provoqué par un gradient de qP .

H12

145


H2

2 = 2 1

H1

fluide

1

Doc. 32. Pour ces deux écoulements de

Poiseuille, si 2 = 2 1 alors H2 = .H12

Doc. 33. À l’extrémité du tube, il existeune longueur transitoire sur laquellel’écoulement tend à devenir un écoule-ment de Poiseuille.

longueurtransitoire Lc

écoulementde POISEUILLE

début de tube

coucheslimites

Un tuyau cylindrique, dediamètre intérieur d1 ali-mente deux tuyaux de dia-mètre d2 et de longueur

2 , dont l’extrémité est àla pression atmosphé-rique P0 (doc. 34).

Le système est à l’hori-zontale, vu de dessus.

Soit P1 la pression en amont (au point A) . La distanceentre le point A et la première dérivation, ainsi que ladistance entre les deux dérivations est 1 . On consi-dérera que les dérivations sont des petits volumes iso-bares, et que le régime d’écoulement est laminaire. Onadmettra la loi de Poiseuille donnant le débit volumiqueD pour un tuyau à section circulaire :

D = , ∆qP .πra4

8h

Distribution d’eau

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P1

P0 P0

1 1

22

A

d1

d2

Doc. 34. Distribution d’eau.


I IR

R R2 02

1 22=

+.

I IR R

R R1 01 2

1 22= +

+

I ER R

R R R R01 2

12

1 2 22

2

3= +

+ +;

ηρ

= − −10 6 2 1m s. .


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Faire un schéma électrique équivalent, et déterminer ledébit de chaque tuyau.

Données :P1 – P0 = 1 bar ; d2 = 4 mm ; 1 = 2 = 5 m ;

d1 = 10 mm, puis d1 = 6 mm et n =

Les grandeurs analogues sont :P1 – P0 et E ; D1 et I1 ; D2 et I2 ;

on peut faire un schéma électrique équivalent (doc. 35)et calculer :

I0 =

et

Pour le circuit hydraulique, une résistance R est à

remplacer par soit 2,04 10–4 d–4 .

Soit :

D1 = (P1 – P0 )

D2 = (P1 – P0 )

L’application numérique donne :

• pour d1 = 10 mm :

D1 = 0,120 kg . s–1 et D2 = 0,117 kg . s–1 ;

• pour d1 = 6 mm :

D1 = 0,092 kg . s–1 et D2 = 0,077 kg . s–1 .

Dans le premier cas, R1 est très inférieur à R2 , et lesdeux débits sont presque égaux.

d2–4

d1–8 + 3(d1d2)–4 + d2

–81

2,04 10–4

d1–4 + d2

–4

d1–8 + 3(d1d2)–4 + d2

–81

2,04 10–4

8hπra4

I IR

R R2 02

1 22=

+.

I IR R

R R1 01 2

1 22= +

+

I ER R

R R R R01 2

12

1 2 22

2

3= +

+ +;

E

R1 +R2

R(

1

R+1 +

2RR

2

2)

ηρ

= − −10 6 2 1m s. .

E

R1I0

I1 I2

R1

R2R2

Doc. 35. Analogie électrocinétique.


5.

VISCOSITÉ

LOI DE POISEUILLE

C Q F R


147


• Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v = v (y, t) ex , la force de surface tangentielle F

, appelée force decisaillement, ou de viscosité, qui s’exerce à travers une surface d’aire S normale à ey , est portée par ex .

La norme de cette force est égale à : F = S .

Cette force F

tend à accélérer les veines rapides, et à ralentir les veines lentes.

Le coefficient appelé viscosité dynamique du fluide peut, avec une bonne approximation, être considéré commeune constante caractéristique du fluide, à une température et une pression données.

L’unité de viscosité dans le Système International est le Poiseuille (Pl) tel que 1 Pl = 1 Pa . s .

• Dans un fluide incompressible, les forces de cisaillement sont équivalentes à une force volumique dont l’ex-pression est f

cisvol= h∆v .

• Dans un écoulement de fluide incompressible homogène, les forces de cisaillement sont équivalentes à une force

massique dont l’expression est f

cism= n∆v, avec n =

r, viscosité cinématique du fluide.

n se mesure en m2.s–1.

• L’équation locale de la dynamique, ou équation de Navier-Stokes, est pour les fluides en écoulement incom-pressible :

r = f

vol – grad—

P + h∆v .

Dans le cas simple d’un écoulement de la forme v = v (y, t) ex , l’équation locale devient :

r ex = f

vol – grad—

P + ex .

• L’équation locale de la dynamique (ou équation de Navier-Stokes) est pour un écoulement incompressible defluide homogène :

= f

m – grad—

+ n∆v .

Dans le cas simple d’un écoulement unidirectionnel de la forme v = v (y, t) ex , l’équation locale devient :

= f

m – grad—

+ n ex .

• En régime laminaire permanent, le débit massique d’un fluide visqueux dans une conduite de section constanteest proportionnel à la perte de charge, c’est-à-dire la différence de la quantité qP = P + gZ entre ses sections d’en-trée et de sortie (où P est la pression et Z l’altitude).

• En régime laminaire permanent, le débit massique d’un fluide dans une conduite cylindrique à section circulaireet la perte de charge sont liées par :

D = ∆ qP

où est la masse volumique, la viscosité, a le rayon et la longueur de la conduite.

πra4

8h

∂2v∂y2

Pr

∂v

∂ t

Pr

Dv

D t

∂2v∂y2

∂v∂ t

Dv

D t

∂v∂y

C Q F R

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lit.


Contrôle rapide



L’équivalent volumique des forces de viscositédans un écoulement incompressible est :

L’expression de l’équation de Navier-Stokes est :

Dans un écoulement de Couette selon l’axe des x :

Dans un écoulement de Poiseuille selon l’axedes x :


148

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Pour un écoulement unidirectionnel, tel que v = v (y, t)ex , exprimer la force de viscosité agissant sur unesurface S normale à ey de la part du fluide situé en dessous de S.

Quelle différence y a-t-il entre la viscosité dynamique et la viscosité cinématique ?

Pour un fluide en écoulement incompressible, quel est l’équivalent volumique des forces de cisaillement ?

Savez-vous écrire l’équation de Navier-Stokes pour un écoulement incompressible homogène ?

Qu’est-ce qu’un écoulement de Couette ? Un écoulement de Poiseuille ?



1.

a. – h rot— v

b. h rot— v

c. – h rot— (rot— v)

d. + h ∆ v

2.

a. r = f

vol – grad—

P – h∆v

b. r = f

m – + h∆v

c. r = f

vol – grad—

P + h∆v

d. r = f

vol – grad—

P + h∆v

e. = f

m – + n ∆v

f. = f

m – grad— + n ∆v

3.

a. la pression dépend de x

b. les parois sont immobiles

c. une des parois est mobile par rapport à une autre.

4.

a. la pression dépend de x

b. les parois sont immobiles

c. une des parois est mobile par rapport à une autre.

Solution, page 155.

Pr

Dv

D t

grad—

Pr

Dv

D t

∂v

∂ t

Dv

D t

grad—

Pr

Dv

D t

Dv

D t


ÉNONCÉ

Frottement entre deux disques

séparés par un liquide visqueux

E

CONSEILS SOLUTION

v rel d d = + − =( ( , ) ( , )) .ω ω ωθ θz z t z t r e

zr z e

∂∂


149

Deux disques, de même rayon a , tournent autour de leur axe commun vertical(Oz). L’espace entre les disques est occupé par un fluide incompressible, de massevolumique r et de viscosité h . La distance entre les disques e étant très petitedevant a , on convient de négliger l’interaction entre le fluide et la paroi latéraleen r = a , et on admet qu’en régime laminaire, le champ des vitesses est tel que :

v = w (z, t)r eq .

La vitesse d’un point du fluide est donnée par v(M, t) = v(r, z, t) = r w (z, t) eq .w1 est la vitesse angulaire de rotation du disque D1 de cote 0, et w2 celle dudisque D2 de cote e .

1) Justifier brièvement la forme retenue pour le champ des vitesses.

2) En appliquant le théorème du moment cinétique à un élément de fluide, déterminer l’équation aux dérivées partielles véri-fiée par w (z, t) .

3) En régime permanent w1 et w2 sont constantes.

a) Déterminer la fonction w (z) en régime permanent.

b) Calculer le couple G exercé par le fluide sur le disque D2 . Définir et calculer un coefficient de frottement pour le sys-tème des deux disques.

c) Données :Pour l’huile de ricin à 50° C : h = 0,12 Pl ; r = 0,9 . 10+3 kg . m–3 ; n = 1,3 10–4 m2.s–1 ; a = 10 cm ; e = 0,1 mm ;w2 – w1 = 2 000 tr . min–1 .Calculer le coefficient de frottement avec de l’huile de ricin à 50° C.

4) Régime transitoireLe système est initialement au repos (w nul partout). w2 étant maintenue nulle, w1 passe brusquement de 0 à W à l’ins-tant t = 0 . Évaluer tc , durée caractéristique d’établissement du régime permanent.

5) On admet que tc est du même ordre pour tous les régimes transitoires. À quelle condition peut-on simplifier le systèmepour supposer qu’il existe entre les disques un couple de frottement proportionnel à w2 – w1 fonction du temps ?

xercice commenté

z

e

x

yMz

r

vitesse angulaire

θ

2ω

vitesse angulaire1ω

Quelles sont les forces appliquées à unélément de fluide ?

La force de cisaillement qui s’exerce àtravers une surface dépend de la vitesserelative des couches de fluide.

1) Cette forme respecte l’invariance par rotation et les conditions aux limites surles disques. Elle est, de plus, compatible avec l’incompressibilité (divv = 0).

2) On applique le théorème du moment cinétique, par rapport à l’axe (Oz), à unélément de fluide de volume r dr dq dz . Seules les composantes des forces seloneq sont à prendre en compte.

• Deux pellicules de fluide, parallèles aux disques et de cotes z et z + dz , glissentl’une sur l’autre avec une vitesse relative :

v rel d d = + − =( ( , ) ( , )) .ω ω ωθ θz z t z t r e

zr z e

∂∂

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Cae

= η π 4

2.

( )Ozae

= − −η ω ωπ 4

2 12( ).

d d dcis(Oz)= − −η ω ω θr

er3 2 1 .

d d d dcisFz

e S re

r e = − = − −η η ω ω θθ θ

∂∂v 2 2 1

ω ω ω ω= + −1

2 1

ez .

∂∂

∂∂

ω ηρ

ωt z

=2

2 .∂∂

ˆ,

Pθ

= 0

∂∂Pθ

ρ ωθ

η ωr

tP

rz

2 22

2∂∂

∂∂

∂∂

= − +ˆ

.

d d d d dˆ

ˆ ˆ.

Pr

rP

rP

r z= −

= −1 ∂

∂∂∂θ

τθ

θ

Pdτd FP

=

d d d d d dcisd

=

−

=

+

η ω ω θ η ω θrz z

r r rz

r zz z z z

2 32

2∂∂

∂∂

∂∂

.

d dcisFz

r e S = η ω

θ∂∂

E


150

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lit.

Comme cela a été fait dans le cours, ilconvient de regrouper les forces de pres-sion et de pesanteur dans un termeunique (P

∧).

La rotation s’effectuant autour de (Oz),il suffit d’utiliser le théorème scalairedu moment cinétique. On rappelle larègle simple :

moment par rapport à un axe= force × bras de levier .

Peut-on prévoir comment P∧

varie avecq ? L’équation déduite du théorème dumoment cinétique doit permettre de l’éta-blir.

Quelle relation y a-t-il entre les couplesexercés par le fluide sur les deuxdisques ? Pourquoi peut-on alors consi-dérer qu’il y a une interaction directeentre eux ? On remarquera bien que celan’est plus vrai en régime transitoire(question 5).

La force de cisaillement, qui s’exerce à travers une surface élémentaire d’aire dSet parallèle aux disques, est donc :

avec dS = rdrdq.

• Les éléments de fluide situés sur un même rayon ont une vitesse relative nulle.La force de cisaillement, qui s’exerce à travers une surface élémentaire d’aire dSet normale à er , est donc nulle.

• Le moment résultant de cisaillement par rapport à (Oz) est :

• Z étant l’altitude et P la pression, on écrit P∧

= P + r g Z ((Oz) est orienté sui-vant la verticale ascendante).

Les forces de pression et de pesanteur, appliquées à un élément de volume dt ,

sont équivalentes à et leur moment par rapport à (Oz) est :

• Le moment cinétique par rapport à (Oz) est :

dL(Oz) = r dt w r2 = r r3 w dr dq dz .

Donc

En conclusion, est indépendant de q . Et comme P∧(q + 2π) = P

∧(q) , on en

déduit que et donc

3) a) En régime permanent, w (z) est une fonction affine :

b) La force et le moment de cisaillement pour un élément de D2 sont :

et :

Après intégration sur le disque :

Ce moment est équivalent à un moment de frottement opposé à la rotation relativede D2 par rapport à D1 :

(Oz) = – C(w2 – w1) avec

c) Avec l’huile de ricin : C = 0,19 N . m . rad–1 . s .

Cae

= η π 4

2.

( )Ozae

= − −η ω ωπ 4

2 12( ).

d d dcis(Oz)= − −η ω ω θr

er3 2 1 .

d d d dcisFz

e S re

r e = − = − −η η ω ω θθ θ

∂∂v 2 2 1

ω ω ω ω= + −1

2 1

ez .

∂∂

∂∂

ω ηρ

ωt z

=2

2 .∂∂

ˆ,

Pθ

= 0

∂∂Pθ

ρ ωθ

η ωr

tP

rz

2 22

2∂∂

∂∂

∂∂

= − +ˆ

.

d d d d dˆ

ˆ ˆ.

Pr

rP

rP

r z= −

= −1 ∂

∂∂∂θ

τθ

θ

Pdτ– grad—

d FP

=

d d d d d dcisd

=

−

=

+

η ω ω θ η ω θrz z

r r rz

r zz z z z

2 32

2∂∂

∂∂

∂∂

.

d dcisFz

r e S = η ω

θ∂∂

xercice commenté


5.

1

τ c

,ττ c

= ∞

∂∂

2 fζ 2 0= ;

∂∂

∂∂

2fu

f= ττ ζc

2

∂∂

∂∂

fu e

f= τ ηρ ζ2

2

2


151


On obtient les constantes caractéris-tiques de l’évolution, à partir de l’équa-tion aux dérivées partiellesadimensionnée. Il n’est pas nécessairede la résoudre pour connaître l’ordre degrandeur de ces constantes.

Cette méthode de recherche sera déve-loppée au chapitre 6.

4) En posant :

w = fW ; z = z e et t = ut ,

(t représentant un temps caractéristique de l’expérience, par exemple l’inverse dela fréquence de la question 5)), on obtient l’équation d’évolution adimensionnée :

= tpour laquelle les gran-deurs caractéristiques f , z et u sont de l’ordre de l’unité.

Il apparaît donc un temps caractéristique tc tel que

avec tc = = .

A.N. : tc = 0,08 ms .

5) L’interaction entre les disques se réduit à un frottement de coefficient C , s’ilest possible de considérer que le régime permanent est toujours atteint, c’est-à-dire(les trois propositions sont équivalentes) :

• la durée caractéristique d’évolution des vitesses doit donc être grande devant tc ;

• l’équation réduite s’écrit

• soit t >> tc .

Ainsi pour un mouvement périodique, la fréquence du mouvement périodique doit

être très inférieure à soit à 1 300 Hz, ce qui est le cas des systèmes mécaniques

usuels.

1

τ c

,ττ c

= ∞

∂∂

2 fζ 2 0= ;

re2

he2

n

∂∂

∂∂

2fu

f= ττ ζc

2

∂2 f∂z 2

ue2

∂∂

∂∂

fu e

f= τ ηρ ζ2

2

2

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g

g

V

V2

V1

V3

V2

V1

V3

Exercices


Écoulement de fluide incompressible

Soit un écoulement de fluide incompressible permanent, indé-pendant du temps, à travers un cylindre de section S , munid’une plaque de séparation, séparant la section du cylindreen deux parties égales.

À l’entrée du cylindre, les vitesses du fluide sont V1 et V2 ,et en sortie, loin de la plaque de séparation, la vitesse du fluideest V3 .

Calculer V3 en fonction de V1 et V2 .Existe-t-il une déperdition d’énergie ? Commenter.

Examiner le cas particulier où

Écoulement laminaire sur un plan incliné

Une couche mince de fluide (viscosité h , masse volumiquer) d’épaisseur e coule le long d’un plan incliné, dont la lignede plus grande pente fait un angle a avec l’horizontale.

Le champ des vitesses, sup-posé indépendant du temps,est de la forme v = v (y)ex .

On néglige les forces de vis-cosité sur l’interface air/eau.

Déterminer la forme dev (y) , ainsi que, pour une lar-geur L , la relation entrel’épaisseur e et le débit massique D .

Calculer la vitesse maximale pour e = 1 mm et a = 45° dansles cas du tableau.

Détendeur constitué d’un réseaude tranches minces

1) Un tuyau horizontal de section carrée de côté a et de lon-gueur L est divisé en tranches fines et égales par un grandnombre de lamelles d’épaisseur négligeable.

• L’entrée est en contact avec un réservoir qui contient unfluide de masse volumique r , de viscosité h ; l’entrée estmaintenue à la pression P1 .

• À la sortie, le fluide est à la pression extérieure P0 (P1 > P0).

L’écoulement est supposé laminaire et permanent : déterminerle débit, et la vitesse moyenne de sortie du fluide.

Application numérique : le fluide est de l’huile.

Données : h = 1,0 Pl ; r = 0,9 . 103 kg . m–3 ; P1 = 1,5 bar ;P0 = 1 bar ; L = a = 1 cm ; N = 50 .

Commenter.

2) Le tuyau est maintenant placé verticalement, et la diffé-rence de pression ∆P = P1 – P0 correspond à une hauteurde fluide voisine de L .

Application numérique : le fluide est de l’eau.

Données : h = 1,0 . 10–3 Pl ; r = 1,0 . 103 kg . m–3 ; a = 1 cm ;L = 20 cm ; N = 50.

Commenter.

Surfaces isobares

Déterminer la forme des surfaces isobares pour les écoule-ments suivants d’un fluide incompressible :

a) v = v (y, t)ex dans unchamp de pesanteurg = – g ez ;

b) v = v (r)eq (régimepermanent), pour r com-pris entre a et l’infini,dans un champ de pesan-teur g = – g ez avec v(a) = v0 .

z

y

x

g

a

La

Z

ey

x

atmosphèreP = P0

g

α

V

V2

V1

V3

V2

V1

V3

VV

21

2= .

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fluidecoefficient de viscosité coefficient de viscosité masse volumique

dynamique (Pl) cinématique n (m2 . s–1 ) (kg . m–3 )

eau h = 1,0 . 10–3 Pl n = 10–6 m2.s–1 r = 1,0 . 103 kg . m–3

huile h = 1,0 Pl n ≈ 10–3 m2.s–1 r ≅ 1,0 . 103 kg . m–3


*

*

*

ereθ

5.


On admettra que la force volumique de cisaillement est égaleà h ∆ v , avec dans ce cas :

car les deux champs de vitesse vérifient ici div v = 0 .

Puissance volumique de viscosité

Un fluide de masse volumique r et de viscosité h est enécoulement permanent de la forme :

v = v (y)ex .

1) Déterminer la puissance volumique vol des forces inté-rieures de viscosité.

2) Application à un écoulement de CouetteLe fluide, dont la pression ne dépend pas de x , est entre deuxplans horizontaux distants de e . Le plan inférieur est immo-bile et le plan supérieur est animé d’un mouvement de trans-lation de vitesse v0 = v0 ex . Calculer la puissance dissipéedans un parallélépipède de longueur L selon (Ox) et de lar-geur a selon (Oz).

3) Application à un écoulement de Poiseuille planDe l’eau s’écoule entre deux plans horizontaux immobilesdistants de e = 0,5 mm , avec une vitesse moyenne de1 m . s–1 . Calculer la puissance dissipée dans le même paral-lélépipède. Si on négligeait tout transfert thermique, calculeren kelvin par seconde quelle serait l’augmentation de tem-pérature aux points où la puissance est maximale.

Données : eau : h = 1,0 .10–3 Pl ; r = 1,0 .103 kg .m–3 ; capa-cité thermique massique : c = 4,2 kJ . kg–1 . K–1 .

Formule de Stokes

Pour des vitesses faibles, en régime linéaire et permanent, lechamp des vitesses autour d’une sphère d’un fluide incom-pressible a pour expression (en coordonnées sphériques) :

1) Vérifier que ce champest solution de l’équationlocale linéarisée, et res-pecte les conditions auxlimites.

2) Déterminer les forces de pression et de cisaillement sur lesparois de la sphère, puis la force s’exerçant sur cette sphère.

La force de cisaillement exercée par le fluide sur un élémentde sphère est donnée par :

dF

cis = – dq dj eq .

On donne :

div v = (r2vr) + (sinq vq) +

et rot— (rot— v) = grad—

(div v) – ∆v avec,

dans le cas du champ étudié :

rot— (rot— v) = – (cos qur + uq).

On négligera les effets du champ de pesanteur.

Viscosimètre de Couette

Cet appareil a été construit par Couette pour mesurer la vis-cosité d’un liquide. Il se compose de deux cylindres coaxiaux,de rayons R1 (rayon intérieur du cylindre externe) et R2(rayon extérieur du cylindre interne). L’espace entre lescylindres est rempli d’un liquide dont on veut mesurer la vis-cosité h . Le cylindre extérieur est immobile, et le cylindreintérieur est en rotation uniforme, de vitesse angulaire W .La hauteur h du liquide est suffisante pour pouvoir négligerles effets d’extrémités, et notamment l’action du fond sur leliquide.On suppose donc que le champ des vitesses est permanent etde la forme :

v = rw (r) eq .

1) Par rapport au référentiel lié au cylindre de rayon r0 , quelleest la vitesse (relative) vrel = vrel eq d’un point du cylindrede rayon r ?2) Par analogie avec le cas de l’écoulement plan, exprimer laforce de cisaillement exercée par le fluide intérieur sur lefluide extérieur à travers une surface élémentaire d’aire dS

normale à er , en fonction de la dérivée puis en fonc-

tion de On considère dv rel vitesse relative du cylindre

de rayon r + dr par rapport au cylindre de rayon r.

3) Calculer le moment par rapport à l’axe de rotation desforces de cisaillement exercées sur le volume de fluide com-pris entre le cylindre extérieur et un cylindre de rayon r(R1 < r < R2). En déduire la fonction w (r) .

4) Exprimer le moment G du couple moteur qui entraîne lecylindre extérieur en fonction de R1 , R2 , W et h .

d

d

ωr

.

d

drelvr

,

sinq2

3V Rr 3

∂Nj∂j

1r sinq

∂∂q

1r sinq

∂∂r

1r2

3h v R sin2q2

z

R

O

ereθ

v vθ θ= − − +

∞ sin .1

3

4 4

3

3Rr

Rr

v vrRr

Rr

= − +

∞ cos ;θ 1

3

2 2

3

3

d

d

d

dr rrr

e1 ( )

,v

θ

∆v = – rot—(rot— v) =

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–


*

*

v = v (r)ez

Exercices


5) Étudier le cas où R1 = R2 – e , avec e << R1 .

Données : R2 = 50 mm ; e = 3 mm ; h = 200 mm ;W = 1 tour . s–1 .

Pour mesurer une viscosité voisine de 1 Pl, quel est l’ordrede grandeur du couple moteur ?

Loi de Poiseuille pour des tubesde section circulaire

Un fluide incompressiblede masse volumique r etde viscosité h s’écouledans un tuyau cylindriquede section circulaire derayon a , de longueur Let d’axe (Oz).

On admet qu’en régimelaminaire permanent :

• la vitesse du fluide dansle tube est de la formev = v (r) ez (en coordon-nées cylindriques) ;

• si P est la pression et Z

l’altitude, P∧

= P + r g Z ne dépend que de z ; on poseraP(z = 0) = P0 + ∆ P et P(z = L) = P0 .

1) Par analogie avec un écoulement unidirectionnel, déter-miner la force de cisaillement exercée par le fluide extérieursur le fluide intérieur à travers une surface élémentaire d’airedS et normale à er .

2) En appliquant la relation fondamentale de la dynamiqueau système constitué, à un instant t donné, par le fluidecontenu dans un cylindre de longueur et de rayon r , cal-

culer puis v (r) .

3) En déduire la relation de proportionnalité entre débit Dmet chute de pression.

Analogie avec l’électrocinétique

Un liquide réfrigérant, de viscosité h = 1,0 . 10–3 Pl , circuledans le circuit suivant constitué de tubes cylindriques.

Pour les deux groupes de 50 tubes : rayon a1 = 0,5 mm etlongueur 1 = 50 cm .

Pour les tubes de liaison : rayon a2 = 3 mm et longueur

2 = 2,0 m .

Une pompe assure la circulation du fluide avec un débit volu-mique Dvol = 0,1 L . s–1 .

1) Représenter un circuit électrique équivalent.

2) La pression à l’entrée de la pompe (point A) est de 1,1 bar.Calculer la pression en B , C , D et E .

3) Calculer la puissance fournie par la pompe au fluide.

On admettra la loi de Poiseuille : Dvol = pour un

tube cylindrique de rayon a.

πa4∆∧P

8h

BA

pompe

C

DE

d

d

vr

,

za

v = v (r)ez

r

yxP0 + ∆P

P0

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Solution du tac au tac, page 148.Vrai : c, d ; Faux : a, bVrai : c, e, f ; Faux : a, b, d

Vrai : c ; Faux : a, bVrai : a, b ; Faux : c

Corrigés


Le fluide étant incompressible, on a conservation du débit volumique, donc :

soit

Dans le cas où l’allure des lignes de champ est la suivante (cf. cha-

pitre 2, exercice 2).

Dans la zone perturbée, des forces de viscosité agissent de façon qu’à la sortie, lechamp des vitesses soit uniforme. Ces forces sont responsables d’une déperditiond’énergie :• puissance cinétique à l’entrée :

• puissance cinétique à la sortie :

Cela donne une perte d’énergie cinétique par unité de temps égale à :

Cette quantité est toujours positive ou nulle (elle est nulle pour V1 = V2 = V3 ).

RemarqueLes forces de viscosité dissipent bien de l’énergie ; mais pour un bilan complet, il fauttenir compte du travail des forces de pression.

Se reporter au § 4.1 du cours.

La relation fondamentale de la dynamique se traduit par l’équation locale :

r =

Ici

Le fluide est incompressible ; par projection, on obtient :

• sur ex :

• sur ey :

• sur ez :

On en déduit que P = – r g y cosa + p(x, t) , p ne dépendant que de x et t .p(x, t) est solution de :

Cette égalité devant être vérifiée pour toutes les valeurs de x , y et t , elle est doncégale à une constante C(t) dépendant du temps t , mais indépendante des coordon-nées d’espace x et y . Cela donne :

et h = + C(t) .

On peut écrire p(x, t) = x r g sin a + C(t) x + D0 (D0 étant une vraie constante), soit :

Pour y = e , la pression doit être égale à P0 , c’est-à-dire indépendante de x , ce quipermet de déterminer C(t) et D0 :

• h = – r g sina = + C(t) = + C0 , vraie constante, soit pour la vitesse l’ex-

pression suivante = y (2e – y) car en

y = e (absence de force de cisaillement sur l’interface fluide-air) et v = 0 en y = 0.

Le débit est alors égal à D = r v (y) L dy =

• P(x, y, t) = P(x, y) = – r g(y – e) cosa + P0 : les isobares sont parallèles au planincliné, et font donc un angle a avec l’horizontale.La vitesse est maximale en y = e.

1) Chaque tranche est très large par rapport à son épaisseur. On peut négliger

l’influence des bords et appliquer le résultat concernant l’écoulement de Poiseuilleplan.

D = avec e = et = a .

Pour chaque tranche

Au total soit vmoy = −aLN

P P2

2 1 012η( ) .D

aLN

P P= −ρη

4

2 1 012( ) ,

DaLN

P Ptranche = −ρη

4

3 1 012( ) .

aN

∆ qPL

r e3

12h

ρ αη

2 3

3

g Lesin.

e

0

d

d

vy

= 0g sina

2nv = ρ α

ηg

y e ysin

( – )2

2

∂2v (y, t)∂y2

P x y t g y xy t

yx D( , , ) – ( cos – sin )

( , ).= + +ρ α α η ∂

∂

2

2 0v

∂2v (y, t)∂y2

∂∂

p x tx

g C t( , )

sin ( )− =ρ α

∂∂

∂∂

p x tx

gy t

y( , )

sin( , )

.− =ρ α η2

2v

∂∂

Pz

= 0 .

∂∂

Py

g+ =ρ αcos ;0

η ρ α∂∂

∂∂

2

2 0v

yPx

g− + =sin ;

D

D

v

t= 0 .(v . grad

—)v = 0

, et donc

∂∂v

t= 0 ,

ρ α α ηg e ey

ex y x(sin cos ) . − + ∂

∂

2

2v

– grad—

P +Dv

D t

ρ ρ ρSV V

SV

SV V

V V4 2 4

221

323

33

13

23 1 2

3

( ) .+ − = + − +

ρ ρSVV S

V332

33

2 2= .

ρ ρ ρSV

V SV

V SV V

2 2 2 2 4112

222

13

23+ = +( ) ;

V1

V1

2

3V1

4

zone perturbée où apparaissentdes forces de viscosité

VV

313

4= ;V

V2

1

2= :

VV V

31 2

2= +

.S

VS

V SV2 21 2 3+ = ,

1.2.

3.4.

155

liquide vmax (m . s–1) commentaires

huile ≈ 2,5 . 10–3 m . s–1 les hypothèses ont de fortes chancesd’être correctes

l’écoulement est trop rapide pour queeau 2,5 m . s–1 les hypothèses d’écoulement laminaire

soient valables©

Hach

etteL

ivre,

H-Pré

paMé

caniq

uede

sflui

des,

2e anné

e,PC

etPS

I,Lap

hoto

copie

nona

utor

iséee

stun

délit.


Corrigés


Pour l’huile, on obtient :D = 1,5 . 10–3 kg . s–1 = 1,5 g . s–1 = 5,4 kg . h–1

correspondant à une vitesse vmoy = 1,7 10–2 ms–1 .L’hypothèse d’écoulement laminaire (nécessaire pour l’application de la formule pré-cédente) est donc justifiée.

2) La formule précédente est identique pour l’eau, mais l’écart de pression est nette-ment inférieur, voisin de r g L :

soit

ce qui donne D = 3,3 . 10–3 kg . s–1 = 3,3 g . s–1 , correspondant à une vitesse :vmoy = 3,3 . 10–2 m . s–1 .

Cette vitesse étant faible, l’hypothèse de l’écoulement laminaire est sûrement véri-fiée.

Dans les deux cas, la divergence de la vitesse est nulle. On est en présence

d’écoulements incompressibles, compatibles avec l’hypothèse du fluide incompres-sible.a) L’équation de Navier-Stokes s’écrit :

r + (v. grad—

) v = – grad—

P + rg + h∆v

(v. grad—

) v = 0

.On obtient par projection sur les axes de coordonnées :

; et

Les surfaces isobares sont donc des surfaces non nécessairement planes parallèles à

l’axe (Oy), car mais peut dépendre de y et de t .

b) • Les éléments de fluide décrivant des cercles à vitesse constante, l’accélérationparticulaire est :

• D’après les règles de calcul des opérateurs vectoriels (cf. Annexe) :

L’écoulement étant invariant par rotation d’axe (Oz), la pression est indépendante deq . L’équation locale de la dynamique fournit donc :

• en projection sur er : = r ;

• en projection sur eq : (le coefficient de viscosité h n’intervient

pas, mais les forces de viscosité imposent cette solution ! )Soit rv = cte = av0 avec la condition aux limites en r = a.

v = v0

= r

Soit P = – + f (z) .

• en projection sur ez :

= – rg = f (z) .

D’où P = – – rgz + cte .

Les surfaces isobares sont donc engendrées par la rotation de la famille de courbes :

1) Se reporter au § 4 du cours. Pour un tel écoulement, P est une fonction

affine de x et donne

Soit le parallélépipède élémentaire de bases (d’aire S = a L) parallèles au plan (xOz)et d’ordonnées y et y + dy . Il est soumis sur ses deux bases à des forces de cisaille-ment :

et

et, en amont et en aval à des forces de pression :

d F

x = P(x) a dy ex et d F

x+L = – P(x + L) a dy ex .

(On remarque que car

L’énergie cinétique du fluide étant constante, la puissance totale des forces intérieureset extérieures est nulle :

d visc + F

y+dy . ( v (y + dy) ex ) + F

y . ( v (y) ex ) + (P(x) – P(x + L)) v (y) a dy = 0 ,

ce qui donne :

S dy étant le volume du parallélépipède :

2) est uniforme ; visc = – hLa

3) Avec l’origine dans le plan de symétrie y = 0 :

et vol = – y2 .

visc = L a vol dy = .

La puissance volumique dissipée est maximale au voisinage des parois :

soitd

dK s

Tt

= 3 4 10 2 1, .– –. .moy d

d= =

36 2

2

ηρ

v

ec

Tt

,vol max

– 12hLav 2moy

e

+ e/2

– e/2

144hv 2moy

e4v v( ) maxy yd = 2

3

+ e/2

– e/2

vmoy = 1

e

v v= −

max .1

4 2

2y

e

ev0

2

.vol = −η v02

2ev v= 0

ye

;

vold

d= −

η vy

2

.

d

ddd

dd

d

ddvisc +

− =η ηSy

yy S

yy

vv

vv2

2 0 .

d

d

d

dcte

Px y

= =η2

2v

.)P x L P xPx

Ly

L( ) ( ) ,+ − = =d

d

d

dη

2

2v

F Sy

ey

yx

= −

η d

d

vF S

yey y

y yx

+

+

= +

d

d

d

dη v

d

d

d

dcte

Px y

= =η2

2v

.

zagr

= +2

02

22

vcte .

v 20 a2

r2

r2

∂P∂z

v 20 a2

r2

r2

v 20 a2

r3∂P∂r

ar

d

d

d

dr rrr

10

( )v

=

v2

r∂P∂r

d

d

d

dr rrr

e1 ( )

.v

θ

∆v = – rot—(rot—v) =

D

D

v v

t rer= −

2

.

∂∂

Px

∂∂

Pz

= cte ,grad—

P . ey = 0 ,

∂∂

Pz

g= − ρ .ρ η∂∂

∂∂

∂∂

v vt

Px y

+ =2

2∂∂

Py

= 0

∂v

∂ t

vmoy = =aLN

g Lga

N

2

2

2

212 12ηρ ρ

η;D

aLN

g Lga

N= =ρ

ηρ ρ

η

4

2

2 4

212 12,

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lit.


5.


1) L’écoulement proposé est bien stationnaire.

div v = v cosq r2 – r +

+ – v sin2q 1 – – .

div v = v cosq – – – + + = 0.

L’écoulement est incompressible.L’équation de Navier-Stokes s’écrit :

r (v. grad—

) v = rg – grad—

P + h∆v .

Ici, on néglige le terme rg et le terme r (v. grad—

) v puisque la vitesse de l’écou-lement est faible (nous sommes en présence d’un écoulement rampant (cf. chapitre 6)).Il reste : grad

—P = h∆v .

Pour ce qui est des conditions aux limites, on peut vérifier que pour :r = R v = 0

r → v → v = v uz .

2) Il faut d’abord établir l’expression de la pression.

grad—

P = h∆v = + cosq ur + uq en utilisant l’énoncé.

D’où = + cosq ; P = – cosq + f (q ) car P ne dépend

pas de j et = sinq = sinq + f (q) .

Donc f (q) = 0 f (q) = cte.Si r → P → P0 donc :

P = – cosq + P0 .

• Calcul de la résultante des forces de pression sur la sphèreSur un élément de surface :dF

pres = – P(R, q ) R2 sinq dq dj er .Or er = cosq ez + sinq (cosj ex + sinj ey) .On voit que seule la composante sur l’axe des z de la force de pression sera non nulle.De plus, le terme en P0, uniforme, donne une résultante nulle.

F

pres = 2ππ

0sinq cos2q dq ez .

F

pres = 2π hRv ez .

• Calcul de la résultante des forces de cisaillement sur la sphère

dF

cis = – v Rsin2q dq dj eq avec eq = – sinq ez + cosq (cosj ex + sinj ey).

Donc :

F

cis = hv R 2ππ

0sin3q dq ez ;

π

0sin3q dq =

π

0(1 – cos2q ) sinq dq = .

F

cis = 4πhv Rez .

• Résultante des forces de pression et de cisaillementF

= F

cis + F

pres

F

= 6πhRv ez .

On obtient la formule de Stokes (cf. chapitre 6).Remarque : Si on tenait compte de la pesanteur, on aurait une force supplémentairesur la sphère : la poussée d’Archimède.

1) vrel = (w (r) – w (r0)) r eq = vrel eq (cf. Application 1).

En particulier, la vitesse relative d’un élément à distance r + dr par rapport aux élé-ments à distance r est :

dvrel = w (r + dr) – w (r)(r + dr) eq ≈ r dr eq .

2) La force de cisaillement est proportionnelle à dS , et à soit :

3) Le moment exercé sur le fluide considéré par la paroi extérieure est :

(force surfacique × surface × bras de levier),

soit :

De même, le moment exercé par le fluide intérieur est :

En régime permanent, le moment total appliqué au système fluide (compris entre deuxcylindres de rayons quelconques) est nul, soit :

Cette relation s’intègre en

Les conditions aux limites donnent w (R1) = W ; w (R2 ) = 0 .

Soit :

4) Le cylindre extérieur est immobile, il est donc soumis à un couple extérieur tel que :

G – 2πhh r3

r= R2= 0 .

D’où G = 4πhh W .

5) Après un développement limité à l’ordre 1 :

et G = W .

Avec les valeurs indiquées : G ≈ 3 N . m .

2πhh R32

eω = −−

Ω R rR R

2

2 1

R21 R2

2

R21 – R2

2

dwdr

ω =−

−

Ω RR R

Rr

12

22

12

22

2 1 .

ω = +Ar

B2 .

rr

3 d

dcte

ω

= .

( ) .r hrr

= −

2 3πη ωd

d

( ) .R h rr r R

232

2

=

=

πη ωd

d

( )R Rr

R h Rr R

2 2 2 2

2

2=

=

η ωd

dπ

dd

dd

d

ddrelF

re S r

re S

= − = −η η ωθ θ

v.

d

drelvr

,

dwdr

43

32

3h2

3v Rh2

3v Rh2r2

3v Rh2r2

1r

3v Rh2r3

∂P∂q

1r

3v Rh2r2

3v Rhr3

∂P∂r

sinq2

3v Rhr3

R3

2r43R2r2

2r

R3

2r43R2r2

2r

R3

4r33R4r

∂∂q

1r sinq

R3

2r3R2

∂∂r

1r2

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undé

lit.



Dvol

Corrigés


1) La vitesse relative des points du cylindre de rayon r par rapport au

cylindre de rayon r0 est :

vrel = v (r) – v (r0 ) , d’où

2) Si on fait le bilan des forces extérieures :

• forces de pression : F

P = π r2(Pz=0 – Pz=L) ez ;

• forces de pesanteur : F

g = – π r2 L r g ez .

Ce qui donne comme P∧

= P + r g z , forces de pression et de pesanteur :

• force de cisaillement : F

cis = + h2πrL ez ;

En régime permanent, la résultante des forces appliquées est nulle :

= r et comme v (a) = 0 :

3) D = r v (r) 2 π r dr , soit :

ou encore : Dm = ∆P∧

= (∆P – rgL) .

On remarque que si ∆ P = r g L , il n’y a aucun débit.

1) On a les analogies suivantes entre :

• pression et potentiel ;• débit volumique et courant.

Pour un tube nous pouvons écrire ∆ P = R Dvol avec R = et pour une résis-

tance ohmique U = RI .

Le schéma électrique équivalent est :

Avec :

R1 = = 2,0 . 1010 Pa .m–3. s , donc = 4,0 . 108 Pa .m–3. s ;

R2 = = 6,3 . 107 Pa .m–3. s .

2) La « résistance » totale du circuit est : R = 2R2 + 2 = 9,3 108 Pa .m–3. s .

Sachant que le débit volumique est de 0,1 litre par seconde, Dvol = 10–4 m3 . s–1 ,l’écart de pression PB – PA est égal à PB – PA = 0,93 bar , ce qui donnePB = 2,03 bar .

La différence de pression aux « bornes » de est égale à 0,4 bar .

La différence de pression aux « bornes » de R2 est égale à 0,06 bar .

On en déduit donc les diverses pressions :

3) Soit le système formé par le fluide présent dans la pompe à l’instant t .Sa variation d’énergie cinétique étant très faible, on peut considérer que la puissancetotale reçue est nulle, soit :puissance des forces de pression en amont et en aval + puissance de la pompe = 0 .D’où pompe = (PB – PA) S v = (PB – PA) Dvol .L’analogie avec l’électrocinétique vaut donc aussi pour la puissance :

pompe = 9,3 W .

R1

50

R150

8h 2

πa42

R150

8h 1

πa41

PA PB PC

PDPE

R2R2

R1/50

R1/50Dvol

8hπa4

πa4

8u Lπa4

8u L

DaL

PaL

P g L= = −π ∆ π ∆ρη

ρη

ρ4 4

8 8ˆ ( ) .

a

0

v ( )ˆ

( ) .rPL

a r= −∆4

2 2

η– ∆P

∧

2h Ldvdr

dvdr

F r P P e r P P g L e r P g L e

r Pe

P z z L z z z L z z

z

ˆ ( ˆ ˆ ) ( ) ( )ˆ ;

= − = − − = −

== = = =π π π ∆

π ∆

20

20

2

2

ρ ρ

Fr

Sez

cisd

dd= η v

.

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lit.

PA PB PC PD PE PA

1,1 bar 2,03 bar 1,63 bar 1,57 bar 1,17 bar 1,1 bar


66

O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S


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lit.

Écoulements réels :nombre

de Reynolds

Dans certaines conditions, ou danscertaines zones d’écoulement,

le fluide parfait (en écoulement éventuellementpotentiel) est un modèle assez simple

et malgré tout satisfaisant, qui peut êtreemployé en aéronautique.

Les fluides usuels sont cependant tous visqueux…et les écoulements parfaits, par nature instables,

ne peuvent rendre compte de la réalité.Un nombre sans dimension, le nombre de

Reynolds Re, permet de caractériser un écoulementfluide, en indiquant les importances relativesdes transferts de quantité de mouvement par

viscosité ou par convection au sein du fluide.

6

Classification des écoulements à partir dunombre de Reynolds.

Évaluation des ordres de grandeurs carac-téristiques.

Analyse dimensionnelle.

Cinématique des fluides.

Dynamique des fluides parfaits.

Viscosité d’un fluide.


11.1.

1.1.1.

écoulement laminaire

écoulementturbulent

1.1.2.


Nous nous sommes jusqu’à présent limités à des cas idéalisés d’écoulements (lami-naires avec des fluides visqueux, potentiels avec des fluides parfaits) représentablespar des expressions (ou des modèles) mathématiques simples.

Quelques expériences simples nous montrent que les écoulements réels sont pluscomplexes.

Études expérimentales de l’écoulementd’un fluide réel

Écoulements laminaires et turbulents

Premier exemple : expérience de Reynolds

Un réservoir d’eau (ou de liquide en général) alimente un tube horizontalallongé ; un dispositif permet d’envoyer un filet de colorant dans le tube (doc. 1).

L’expérience montre que :

• aux faibles vitesses, le filet de colorant reste rectiligne, et parallèle à la paroidu tube (doc. 2). Les lignes de courant se côtoient sans enchevêtrement, et glis-sent les unes sur les autres : l’ est dit . C’est le cas detous les exemples étudiés jusqu’à présent ;

• aux grandes vitesses, le filet de colorant se disperse, et se mélange au fluide(doc. 3) : il y a enchevêtrement des lignes de courant. L’ dans letube est .

Ainsi la valeur de la vitesse, pour un fluide donné, dans un tube donné, permet dedistinguer un écoulement laminaire d’un écoulement turbulent.

Second exemple

Observons le jet d’eau qui sort d’un tuyau (doc. 4). Si le débit est faible, unfilet d’eau transparent s’écoule régulièrement. Il ne se rencontre que lorsquela vitesse est faible (donc pas trop loin du bout du tuyau), ou lorsque le fluideest très visqueux (au sens usuel qualitatif de ce terme).

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KMnO4

Doc. 1. Le robinet permet de régler ledébit, et le colorant permet de visualiserl’écoulement dans le tube.

Doc. 2. À vitesse faible, l’écoulement estlaminaire.

Doc. 3. À vitesse élevée, l’écoulement estturbulent.a. Aspect obtenu avec une photo classique.b. Aspect obtenu avec une vue instanta-née (photo très rapide).

a)

b)

Doc. 4. Écoulements a. laminaire b. turbulent. Le diamètre intérieur du tuyau est de12 mm, les débits sont respectivement de 0,2 litre par minute et de 10 litres par minute.La structure du jet turbulent (photographié ici avec un temps de pose de 1/500 s) évo-lue trop rapidement pour être observée visuellement ou enregistrée.

a) b)


1.1.3.

22.1.

2.2.

6.


Poursuivons notre expérience, en augmentant progressivement le débit : lasurface du jet n’est plus parfaitement lisse et son aspect varie dans le temps,puis il perd sa transparence. Les lignes de courant n’ont plus la forme régu-lière du régime laminaire. Elles forment un réseau complexe, enchevêtré et,en l’absence de régime permanent stable, elles changent perpétuellement ettrès rapidement de forme. Il n’est plus possible de prévoir l’évolution des lignesde courant et l’écoulement, chaotique, est alors turbulent.

L’apparition de la turbulence au-delà d’une certaine vitesse d’écoulement est unphénomène très général.

Autres situations

Si nous soufflons très doucement dans un sifflet, aucun son n’est émis : l’airs’écoule de façon laminaire et permanente. À partir d’un certain débit, l’ins-trument émet un son. Cette expérience prouve l’existence de phénomènes nonpermanents : l’écoulement est devenu turbulent (doc. 5).

Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds va nous permettre de déterminer de manière quantitativela « frontière » entre un écoulement laminaire et un écoulement turbulent.

Choix des paramètresNous nous proposons de déterminer les paramètres intervenant dans les deux expé-riences précédentes.

La transition laminaire-turbulente pour les écoulements considérés est fonction de :

• la vitesse moyenne V du fluide (c’est évident) : c’est surtout ce paramètre quenous avons mis en évidence dans les deux expériences précédentes ;

• la viscosité h du fluide : des turbulences sont beaucoup plus difficiles à obteniravec de l’huile qu’avec de l’eau ;

• le diamètre du tube D : pour un fluide de vitesse donnée, il est plus facile d’en-visager l’apparition de quelques tourbillons dans un tuyau large que dans un tuyauétroit ;

• la masse volumique r du fluide : la masse volumique intervient dans les équa-tions d’évolution.

Approche dimensionnellePour pouvoir faire de manière quantitative la distinction entre un écoulement lami-naire et un écoulement turbulent, construisons à partir de ces paramètres une gran-deur sans dimension.

Un écoulement est laminaire si les lignes de courant « glissent » les unes surles autres en restant parallèles : un écoulement laminaire existe générale-ment si la vitesse est « faible ».

Dans le cas contraire, pour une vitesse moyenne élevée, l’écoulement estturbulent. Il est instable, et sa structure est chaotique.

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Écoulements réels : nombre de Reynolds

Doc. 5. Il faut un débit minimum pour quedes turbulences existent et qu’un son soitémis.


Ce nombre sans dimension est appelé nombre de Reynolds :

3

3.1.

VDD

DD

= ≈42 2

vol vol

π.

Re = ρηVD

ρηVD


Les équations aux dimensions des divers paramètres choisis sont :

[V] = L . T –1 ; [h] = M . L–1 . T –1 ; [D] = L ; [r] = M . L–3 .

La quantité est la seule grandeur sans dimension que nous pouvons construire

avec ces paramètres (cf. § 10). Cette quantité est donc un nombre caractérisantl’écoulement.

.

Calculons un ordre de grandeur du nombre de Reynolds pour les deux écoulements,présentés au § 1.1.2.

Notant Dvol le débit volumique, et D le diamètre du tube, la vitesse moyenne V

de l’écoulement est donnée par

L’expérience est réalisée avec de l’eau : r = 103 kg . m–3 ; h = 10–3 Pl . Cela nousdonne :

• pour l’observation d’un écoulement laminaire : V ≈ 2,5 cm . s–1 et Re ≈ 300 ;

• pour l’observation d’un écoulement turbulent : V ≈ 1,2 m . s–1 et Re ≈ 14 000 .

Ces valeurs sont caractéristiques d’un écoulement laminaire et d’un écoulementturbulent.

Le document 6 nous donne quelques ordres de grandeur des valeurs possibles dunombre de Reynolds et un exemple (doc. 7).

Signif ication du nombre de Reynolds

Mettons en évidence les notions importantes sur l’interprétation du nombre deReynolds en considérant uniquement un fluide incompressible, de masse volumiquer et de viscosité h , en écoulement à la vitesse moyenne V autour (ou dans) unobstacle de dimension caractéristique L (doc. 8).

Évolution au sein du fluideL’équation du mouvement d’un fluide visqueux est :

D

D

gradm

vv

tf

P= − +ρ

ηρ

∆ ,

VDD

DD

= ≈42 2

vol vol

π.

Re = ρηVD

ρηVD

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lit.


• Le nombre de Reynolds est un nombre sans dimension, carac-

térisant un écoulement d’un fluide (masse volumique , viscosité ) devitesse moyenne V , autour d’un obstacle (ou dans une conduite) de dimen-sion caractéristique L .

• Transition laminaire-turbulente

Si le nombre de Reynolds est faible (Re <≈ 2 000, valeur généralementadmise), l’écoulement est souvent laminaire ; pour Re grand (Re > 2 000),il est souvent turbulent.

Re = VL

description nombre deReynolds Re

évolutiondu manteau terrestre 10–20

glacier 10–11

bactéries dans l’eau 10–5

spermatozoïdesdans le liquide séminal 10–3

billequi tombe dans du miel 10–2

poisson d’aquarium 102

nageur dans l’eau 105

serpent dans l’eau 106

oiseau 106

gros poisson dans l’eau 108

Doc. 6. Exemples de valeurs du nombrede Reynolds.

Doc. 7. Un exemple d’écoulement ram-pant à nombre de Reynolds très inférieurà 1 (Re ≈ 10–11).


convectiondiffusion

3.2.

3.2.1.

un transfert de quantité de mouvement par convection

3.2.2.

diffusion

ρvL

)

6.

v

gradvx( y)

d d ddpL

S t ex = η v


que nous pouvons encore écrire :

Nous pouvons interpréter les termes présents comme suit :

Dans l’équation d’évolution, nous voyons apparaître deux termes :

• l’un lié à la (nous lui donnerons l’indice « c ») ;

• l’autre lié à la (nous lui donnerons l’indice « d »).

Le nombre de Reynolds, permet de comparer les importances relatives de ces deuxtermes…

Rapport entre deux transfertsde quantité de mouvement

Transfert convectif de quantité de mouvement

La masse d m qui traverse la surface d S pendant le temps d t (doc. 9a) est égaleà d m = r v d S d t . La quantité de mouvement massique étant égale à v , il y a donc

.

Transfert diffusif de quantité de mouvement

Dans un écoulement de fluide visqueux incompressible, il existe une contraintesurfacique tangentielle entre deux veines de fluides en contact, si la vitesse rela-tive entre ces deux veines est non nulle :

Il y a donc un transfert de quantité de mouvement par à traversla surface d S (doc. 9b) (cf. chapitre 5). Le transfert de quantité de mouve-ment par diffusion à travers la surface dS pendant le temps dt est donné pard pd = d F// ex d t , soit :

Cette relation permet d’écrire (en estimant l’ordre de grandeur de || grad—

(rv) || à

la quantité l’expression suivante.ρvL

)

d grad d ddp S tx= || ( )|| .ηρ

ρv

d d grad dFF e Sx x ex

= =// || ( )|| .ηρ

ρv

∂∂

∆vv v v

tf

P+ − = −( ..grad)grad

mηρ ρ

163


∂∂

∆vv v v

tf

P

+ + −

= −( .grad)grad

mηρ ρ

variation locale de la vitesse

variation convective de la vitesse

variation diffusive de la vitesse

terme « moteur »

.

v

v dt

dm dS

transfertconvectif dpcde quantitéde mouvement

Doc. 9a. Transfert convectif de quantitéde mouvement. La masse dm qui traversed S pendant le temps d t est égale à :

d m = Dm d t = r v d S d t .

y + dyy

y

x

transfert diffusif dpdde quantitéde mouvement

vx(y + dy)ds

vx(y)

gradvx( y)

Doc. 9b. Transfert diffusif de quantité demouvement :

v(M) = vx(y) ex et d d ddpL

S t ex = η v

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orisé

eest

undé

lit.

Le transfert de quantité de mouvement par convection est égal à :

d pc = v2d Sd t .

obstacle

vitesse du fluide à l’infini,loin de la perturbation

L

Doc. 8. Un fluide incompressible, de massevolumique r et de viscosité h , est en écou-lement à la vitesse moyenne V autour d’unobstacle de dimension caractéristique L .


3.2.3.

3.2.4.

3.3.

3.3.1.

3.3.2.

convection

diffusion


Nombre de Reynolds

Le rapport de ces deux transferts nous permet de retrouver le nombre de Reynolds :

= = = = Re .

Interprétation

Rapport entre deux temps caractéristiques

Temps caractéristiques d’évolution

Si l’équation d’évolution d’une grandeur F est : =

nous savons que les variations de F sont notables à l’échelle du temps t . Lorsqueplusieurs phénomènes font varier la grandeur F, par exemple :

= + + …

Il est clair que le terme prépondérant est associé au temps tn le plus court : c’estcelui qui fait varier F le plus vite.

Le rapport des temps caractéristiques t i et t j nous donne de plus l’importance rela-tive des phénomènes « i » et « j » qui font varier F.

Temps t i associé au transfert convectif de quantitéde mouvement

Observons l’équation du mouvement du fluide visqueux incompressible :

+ (v.grad—

)v – ∆v = f

m – .

Au terme convectif (v.grad—

)v, nous pouvons associer le temps tc défini par :

= v , soit tc =

si la vitesse de l’écoulement est de l’ordre de v , et la taille de l’obstacle de l’ordrede L.

Constatons que tc = représente le temps mis par le fluide pour parcourir la

distance L.

Lv

Lv

vL

vtc

grad—

Pr

hr

∂v

∂t

Ft2

Ft1

∂F∂ t

Ft

∂F∂ t

r Lvh

(rv2)hLv

pc

pd

transfert de quantité de mouvementpar

transfert de quantité de mouvementpar

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lit.


nombre de Reynolds faible nombre de Reynolds élevéRe << 1 ⇔ pd >> pc Re >> 1 ⇔ pc >> pd

prédominance des transferts prédominance des transfertsde quantité de mouvement de quantité de mouvement

par diffusion par convection

Le transfert de quantité de mouvement par diffusion est :

d d d d ddpL

S tL

S t= =v v.


3.3.3.

3.3.4.

3.4.

6.


Temps td associé au transfert diffusif de quantitéde mouvement

De même, le temps td est donné par :

= , soit td = .

Ce lien entre temps et (distance)2 est usuel pour les phénomènes de diffusion :

n = =

est le coefficient de diffusion (en m2. s–1) associé à la viscosité du fluide. Rappelonsque le coefficient n est la « viscosité cinématique », h est la « viscosité dynamique ».

Temps caractéristique et nombre de Reynolds

Nous retrouvons naturellement le nombre de Reynolds, caractérisant les impor-tances relatives des transferts convectif et diffusif de quantité de mouvement :

Re = = = .

Si, par exemple, Re est grand, alors td tc pendant que le fluide passe l’obs-tacle de dimension L, donc pendant environ tc , le transfert par diffusion n’a presquepas le temps de s’effectuer : la convection prédomine dans les transferts de quan-tité de mouvement. Comme la viscosité est à peu près négligeable, le modèle dufluide parfait peut, ici, donner une idée assez correcte des efforts exercés par lefluide sur l’obstacle contourné.

Remarque : La réalité expérimentale est plus complexe. Nous verrons plus loin quesi Re est vraiment très grand, l’écoulement est cependant instable. La limite Re∞du fluide parfait n’est donc pas accessible en pratique…

Écoulements à haut et bas nombre de ReynoldsLes raisonnements précédents nous permettent de séparer les écoulements à grandou petit nombre de Reynolds comme suit :

tdtc

v Ln

r Lvh

hr

L2

td

r L2

hvL2

hr

vtd

165


nombre de Reynolds faible nombre de Reynolds élevéRe << 1 ⇔ td << tc Re >> 1 ⇔ tc << td

le temps caractéristique de transportde quantité de mouvement par diffu-sion étant très court, ce seront les phé-nomènes prédominants :

prédominance de la diffusion

le temps caractéristique de transportde quantité de mouvement par convec-tion étant très court, ce seront les phé-nomènes prédominants :

prédominance de la convection

• À nombre de Reynolds élevé, les transferts de quantité de mouvement parconvection sont plus importants que ceux par diffusion ; cela signifie quele temps caractéristique associé à ces transferts par convection, est pluscourt que celui par diffusion.

• À nombre de Reynolds faible, les transferts de quantité de mouvementpar diffusion sont plus importants que ceux par convection ; le temps carac-téristique associé à ces transferts par diffusion est plus court que celui parconvection.

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44.1.


Ces comportements limites ont des conséquences pratiques importantes et identi-fiables (doc. 10) :– pour un nageur (ou un serpent) évoluant dans l’eau, Re est élevé. La bonne tech-nique de propulsion consiste à éjecter de la quantité de mouvement par convection ;– pour un spermatozoïde, la nage du serpent conduirait à un échec… pour évoluerdans un fluide très visqueux, il vaut mieux prendre appui sur celui-ci à la façond’un tire-bouchon : le spermatozoïde avance « en vrille ». Pour le nageur évoluantdans un miel, il y aurait à peu près autant de recul au moment où il replie ses membresque d’avancement lorsqu’il se détend.

Ouverture : lois de simil itude

Équations locales adimensionnées pour un fluideincompressible

Considérons l’écoulement d’un fluide incompressible autour d’un obstacle.

Pour un écoulement donné, la solution de l’équation de Navier-Stokes dépend :• des paramètres caractéristiques du fluide (r, h) ;• des conditions aux limites imposées à la pression et à la vitesse ;• des caractéristiques de l’obstacle (sa forme et ses dimensions).

Nous retrouvons donc les paramètres définis précédemment.

Par un changement de coordonnées, il est possible de réduire le nombre de para-mètres pertinents.

Imaginons donc un fluide incompressible, supposé infiniment étendu, qui, loin del’obstacle, a une vitesse uniforme v∞ = v∞ ex donnée (doc. 11). Soit L une lon-gueur caractéristique de l’obstacle (par exemple, le diamètre pour une sphère).

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obstacle

vitesse du fluide à l’infini,loin de la perturbation

L

Doc. 11. Un fluide de masse volumique ret de viscosité h arrive avec la vitessev∞ sur un obstacle de dimension carac-téristique L .

Doc. 10. Les nombres de Reynolds associés à ces écoulements sont très différents.

Re ≈ 10–11

écoulement rampantprédominance de la diffusion

Re ≈ 105

écoulement turbulentprédominance de la convection

Re ≈ 10–3

écoulement laminaireprédominance de la diffusion


coordonnées adimensionnées

4.2.

lenombre de Reynolds

′ =ω 1

2

= ′ ′1

Re∆ ω∂

∂′′

+ω

t

D

D′′

= ′ ′+ω ω

t1

Re∆= ′ ′1

Re∆ ω∂

∂′′

+ω

t

′ + ′

= ′ ′ˆRe

.Pv

v2

2

1 ∆ ∂∂

′′

+ ′∧ ′+vv

t2ω

′ =ω 1

2

v ′′t

D

D

L= ∞ρηv

η vv∞ ′ ′

L2 ∆ .ρ ρv v v∞ ∞′′

= −2 2

L t LD

D

∂∂

∂∂

∂∂

′′

+ ′′

+ ′′

Px

ePy

ePz

ex y z

.

Lv ∞

6.

t tL= ′∞v


Les unités « naturelles » du problème sont L pour les longueurs, v∞ pour les

vitesses, pour les durées et r v∞2 pour les pressions (au sens large du terme,

en notant toujours P∧

= P + rgz comme au chapitre 5).

Posons donc :

Les nouvelles coordonnées x′ , y′ , z′ et t′ sont des nombres sans dimension ;nous les appelons .

Nous noterons également grad—

′ , rot—′ , etc. les opérateurs vectoriels définis dansce nouveau système, comme par exemple :

Avec ce nouveau système de variables, l’équation de Navier-Stokes devient :

Posons Re , le nombre de Reynolds de l’écoulement, et explicitons

à l’aide de , le vecteur tourbillon :

• L’incompressibilité se traduit toujours par div′v′ = 0 .• Pour éliminer la pression, nous prenons le rotationnel des deux membres de cetteégalité. En appliquant les règles de composition des opérateurs vectoriels (cf. cha-pitre 8), et en tenant compte de div′v′ = 0 , nous obtenons :

ou

Loi de similitude pour l’écoulementautour d’un obstacle

Le champ des vitesses est déterminé par :• les équations aux dérivées partielles :

et ;

• les conditions aux limites :v′ = ex à l’infini et v′ = 0

sur l’obstacle.

En coordonnées adimensionnées, pour un obstacle de forme et d’orientation don-nées, la vitesse adimensionnée v′ ne dépend donc que du seul paramètre Re ,

. Si nous modifions les dimensions de l’obstacle, ou si nousutilisons un autre fluide, tout en conservant le même nombre de Reynolds, lesécoulements sont similaires, c’est-à-dire identiques, à un facteur d’échelle près.

rot—′(v′)′ =ω 1

2div′v′ = 0

= ′ ′1

Re∆ ωrot—′(w ′ ∧ v′)

∂∂

′′

+ω

t

(w ′. grad—

′)v′ .D

D′′

= ′ ′+ω ω

t1

Re∆= ′ ′1

Re∆ ωrot—′(w ′ ∧ v′)

∂∂

′′

+ω

t

′ + ′

= ′ ′ˆRe

.Pv

v2

2

1 ∆ grad—

′∂∂

′′

+ ′∧ ′+vv

t2ω

rot—′(v′)′ =ω 1

2

v ′′t

D

D

L= ∞ρηv

η vv∞ ′ ′

L2 ∆ .grad—

′(P∧′) +ρ ρv v v∞ ∞′′

= −2 2

L t LD

D

∂∂

∂∂

∂∂

′′

+ ′′

+ ′′

Px

ePy

ePz

ex y z

.grad—

′(P′) =

Lv ∞

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x = x′ L y = y′ L z = z′ L

v = v′v∞ P∧

= P∧

′r v∞2t t

L= ′∞v


vv

réelmaquette=

75.

ˆˆ

P PP P

réelmaquette− =

−0

0

25

vv

réelmaquette=

5

ηρ

= −1 5 10 5, .

ηρ

= −1 0 10 6, .

Application 1


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1) Des essais concernant un futur sous-marin sont faitssur une maquette au 1/5ème, immobile dans un bassinoù est entretenu un courant constant.Déterminer les facteurs d’échelle qu’il faut appliquer àla vitesse, à la pression et aux forces résultantes, pourtransposer les valeurs mesurées sur la maquette à laréalité.

2) On imagine que les essais sont faits dans une souf-flerie à air. En supposant l’air incompressible, déter-miner la vitesse d’écoulement de l’air. Cette méthodeest-elle utilisable ?

On prendra pour l’eau et pour l’air

SI.

1) Le sous-marin étant complètement immergé dansl’eau, incompressible, nous supposons que l’égalité desnombres de Reynolds suffit à assurer la similitude.

• Soit v0 = – v0 ex la vitesse du sous-marin réel. Dansle référentiel du sous-marin, cela correspond à un écou-lement tel que v∞ = v0 . Pour obtenir le même nombrede Reynolds, le courant dans le bassin doit avoir unevitesse égale à 5v0 . Les écoulements sont alors simi-laires, et pour tout couple de points correspondants :

.

• Pour les variations de pression P∧

– P0 = (P∧ ′ – P ′0)rv∞

2 .Si la pression est égale à P0 à l’altitude 0 dans les deuxcas, alors :

.

• Si on élimine l’influence de la pesanteur, P∧

= P et lasurpression due à l’écoulement est 25 fois plus grandesur la maquette. Par rapport au sous-marin réel, la vitesseest multipliée par 5, et les distances divisées par 5. Ceciimplique que le gradient des composantes de la vitessey est multiplié par 25. Comme les éléments de surfacesont 25 fois plus petits sur la maquette, les résultantesdes forces de pression et de cisaillement, donc de vis-cosité, dues à l’écoulement ont donc la même valeur surune partie de la maquette et sur la partie correspondantede l’engin réel.

2) Les nombres de Reynolds sont égaux si

Si par exemple vréel = 10 m . s–1 , alors

vmaquette = 750 m . s–1 supérieure à la vitesse du son.

L’hypothèse de l’air incompressible est donc irréaliste,et la similitude des écoulements est impossible.

Remarques

• L’égalité des forces ne concerne pas la composante« force d’Archimède » (due à la pesanteur) de la résul-tante des forces de pression.

• Le bassin d’essai ne peut reproduire parfaitement lesconditions aux limites d’une mer quasi illimitée. Aussi,les résultats doivent être corrigés pour tenir compte dela présence des parois.

vv

réelmaquette=

75.

ˆˆ

P PP P

réelmaquette− =

−0

0

25

vv

réelmaquette=

5

ηρ

= −1 5 10 5, .

ηρ

= −1 0 10 6, .

Facteurs d’échelle pour un essai de maquette

La structure de l’écoulement d’un fluide incompressible, autour d’un obs-

tacle de forme donnée, ne dépend que du nombre de Reynolds

Les écoulements de deux fluides différents autour de deux solides de mêmeforme, mais de dimensions différentes, sont similaires, si les nombres de

Reynolds sont égaux. La vitesse adimensionnée prend alors la même

valeur aux points correspondants des deux écoulements.

En particulier, le régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) dépend,pour une forme donnée, de la valeur de Re .

vv∞

Re .= Lv


4.3.

4.3.1.

4.3.2.

6.


Remarques

• La définition du nombre de Reynolds contient une part d’ambiguïté. En effet, pourun solide de forme quelconque, seul l’ordre de grandeur de la longueur caracté-ristique L a un sens. Il faut donc préciser quelle est la définition de L (par exemple :la plus grande longueur).• La similitude ne s’applique que lorsque le solide est complètement immergé dansun fluide incompressible et illimité. S’il est incomplètement immergé, comme unnavire, il faut tenir compte des vagues de surface qui n’obéissent pas aux mêmeslois de similitude. De plus, s’il faut tenir compte de la compressibilité (c’est le casdes écoulements gazeux lorsque la vitesse n’est plus négligeable devant celle duson), l’égalité des nombres de Reynolds ne suffit plus à assurer la similitude.• La pression adimensionnée n’intervient dans les équations que par son gradient.Ce sont donc les écarts

∧P′(M) –

∧P ′(O) par rapport à un point de référence O , qui

ont la même valeur pour tous les écoulements similaires.

Régimes d’écoulements

Régime linéaire permanent

Pour les faibles nombres de Reynolds, le terme convectif (non linéaire) est négligé,et l’équation du mouvement devient linéaire :

En régime permanent, la vitesse adimensionnée en tout point est donc déterminéepar les équations locales et conditions aux limites :

rot—′(∆′v′) = ∆′(rot—′v′) = 0

et div′(v′) = 0

(en se servant de rot—(grad—

P ) = 0

) avec v′ = e

x à l’infini, et v′ = 0

sur l’obstacle.

Le champ v′(M) est alors indépendant du nombre de Reynolds. En revenant auxcoordonnées initiales, on écrit :

v(M) = v∞ v′(M) .

Comme v(M) est un vecteur constant pour chaque point M , nous avons :

Pour les écoulements à très faibles nombres de Reynolds (Re << 1), l’équationd’évolution nous permet de prévoir un établissement très rapide du régime perma-nent : l’écoulement est donc le plus souvent linéaire et permanent ; c’est une carac-téristique des écoulements rampants.

Non-linéarité, turbulences et chaos

Si le nombre de Reynolds augmente, il faut prendre en compte les termes nonlinéaires. Les solutions ne sont plus superposables, et la répartition des lignes decourant évolue avec Re .

Il est très complexe d’étudier quantitativement l’évolution des solutions de Navier-

À faible nombre de Reynolds (Re << 1), dans l’écoulement linéaire et per-manent, la vitesse est en tout point proportionnelle à v• . Cet écoulementest appelé rampant.

∂∂

∆′′

− ′ ′ = − ′vv

t1

Reˆ .grad P

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lit.


55.1.1.

force de traînée

coefficient de traînée

F Cx Straînée = ∞1

22ρv

Ftraînée


22ρv


Stokes. Lors d’un écoulement de fluide, il est possible de distinguer diverses phases :lorsque nous augmentons la vitesse (donc le nombre de Reynolds) d’un écoule-ment, nous observons :

• pour Re très faible (typiquement Re < 1), l’écoulement est laminaire, approxi-mativement linéaire. Il est stable, car quasiment insensible aux petites perturba-tions. C’est ce que nous avons vu au § 4.3.2.

• Si Re devient plus important (la valeur dépend fortement du profil de l’obs-tacle ou de la forme du tuyau), l’écoulement peut avoir plusieurs configurationsrelativement stables. De petites perturbations le font passer de l’une à l’autre.C’est ce que nous observons en ouvrant progressivement un robinet ; des structuresgéométriques changeantes apparaissent sur le jet à partir d’un certain débit.

• Pour des valeurs plus grandes de Re , il n’est plus possible de décrire simple-ment l’écoulement qui devient turbulent. Le moindre écart dans les conditions ini-tiales, et la moindre perturbation changent radicalement la solution. L’évolutiond’une ligne de courant est imprédictible et l’écoulement devient chaotique. La tur-bulence se manifeste essentiellement par l’impossibilité d’un régime permanentstable et par l’existence fugitive de structures périodiques (bifurcation), au niveauspatial et au niveau temporel.

Écoulement autour d’un obstacle

Force de traînée, coefficient de traînée

Par définition, la traînée, ou , est la composante parallèle à v∞ dela résultante des forces dues à l’écoulement du fluide. Nous l’avons déjà rencon-trée en la qualifiant de force de frottement.

Cette force ne prend pas en compte les effets de la pesanteur. Éliminons celle-ci

des équations : cela revient à confondre P et∧P .

Le Cx d’un solide est un nombre sans dimension défini par :

.

Le « maître-couple » S est l’aire de la surface obtenue en « projetant » le solidesur un plan perpendiculaire à l’écoulement (doc. 12).

Ce résultat peut être obtenu par analyse dimensionnelle (cf. § 9), et vérifié par toutesses conséquences ou observations expérimentales.

Pour un obstacle de forme et d’orientation données, le coefficient de traînéeCx ne dépend que du nombre de Reynolds Re :

Cx = f(Re) .


22ρv

La turbulence est liée au caractère non linéaire des équations de la méca-nique des fluides. Elle apparaît pour les nombres de Reynolds élevés, et secaractérise par un écoulement chaotique et dépendant du temps.

Un écoulement rampant est stable, et quasiment insensible aux petites per-turbations.

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champ de vitesse uniforme v∞

maître couple SL

Ftraînée

Doc. 12. Le coefficient de traînée Cx estun nombre sans dimension défini par :


22ρv


5.1.2.

5.1.2.1.

écoule-ment rampant

la formule de Stokes

FR

R Rx = =∞

∞∞24

2 26

22η

ρρ η

vv

vπ π .

CxR

=∞

242

ηρ v

,F Cx Sx = ∞ρv 2

2,

Re ,= ∞ρηLv24

Re

Re = ∞ρη

2R v

6.

Re .= ∞ρη

2R v


Nous nous proposons d’étudier les divers écoulements existant autour d’une sphèreen étudiant les données expérimentales concernant cet écoulement.

Évolution expérimentale de Cx (Re) pour une sphère lisse

La courbe du document 13 reproduit l’évolution (selon l’expérience) du coefficient

de traînée Cx en fonction de pour une sphère de rayon R .

Les valeurs numériques particulières sont indiquées sur le document 14.

Cette courbe fait apparaître quatre zones caractéristiques :

Intéressons-nous aux zones 1 et 3.

Zone 1 (Re < 1) : force de traînée en régime linéaire permanent

Le coefficient de traînée Cx est voisin de avec et L = 2 R .

Calculons la force de traînée Fx .

avec et S = π R2 , soit :

A priori, le régime linéaire est une bonne approximation pour Re << 1 (). En fait, pour la plupart des formes d’obstacle, l’approximation

reste acceptable pour Re < 1 .

L’expression de cette force de traînée pour une sphère à bas nombre de Reynolds(Re < 1) Fx = 6 π h R v∞ constitue .

Dans l’eau, (h ≈ 10–3 Pl) , il est possible d’appliquer la formule de Stokes à unepetite sphère de 0,1 mm de diamètre qui se déplace à 1 mm . s–1 (Re = 0,1).

Pour une sphère de 1 cm de diamètre se déplaçant à 1 cm . s–1 dans l’eau, Re = 100 :la formule de Stokes n’est pas applicable. Si ce déplacement avait lieu dans unfluide plus visqueux comme une huile pour laquelle h ≈ 1 Pl, Re ≈ 0,1 la formuleest applicable. Cette formule est démontrée (cf. exercice 6, chapitre 5).

FR

R Rx = =∞

∞∞24

2 26

22η

ρρ η

vv

vπ π .

CxR

=∞

242

ηρ v

,F Cx Sx = ∞ρv 2

2,

Re ,= ∞ρηLv24

Re

Re = ∞ρη

2R v

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Re 0,1 1 10 102 103 104 105 Rec 106

Cx 245 28 4,4 1,1 0,47 0,43 0,47 0,14

Rec ≈ 5 . 105

Doc. 14. Quelques valeurs du coefficient de traînée Cx pour une sphère lisse en fonc-

tion de Re .= ∞ρη

2R v

zone 1 : zone 2 : zone 3 : zone 4 :Re < 1 1 < Re < 103 103 < Re < Rec Re > Rec ≈ 5.105

Cx ≈ 24Re

Cx = A 1 +2

avec a = 9,06et Aa2 = 24

(formule d’Abraham)

a4Re

Cx presque constant

Cx chute lorsquel’écoulement devientturbulent. Il évolueassez peu ensuite.

Re

24Re

100

zone 1 zone 2 zone 3 zone 4

10

0,1

1

0,11 10 102 103 104 105 106

Rec ≈ 5.105

Cx =

Cx

Doc. 13. Coefficient de traînée Cx(Re)pour une sphère lisse.

Doc. 15. Différentes zones de comporte-ment du document 13.


5.1.2.2.

66.1.

6.2.

CxK=Re


Remarques

• La force de traînée n’est proportionnelle à la vitesse d’écoulement que si l’obs-tacle est unique dans un fluide d’extension infinie. La présence de parois, ou d’autresobstacles, rend le problème plus complexe (cf. § 8).

• Pour tout écoulement à nombre de Reynolds Re faible, autour d’un obstaclequelconque de dimension finie, le coefficient de traînée est inversement propor-tionnel à Re . Il est ainsi possible de montrer que la force de traînée a la formegénérale suivante (le maître-couple S étant proportionnel à L2) :

⇔ Ftraînée = K h v∞ L .

Les facteurs numériques K et K′ sont généralement de l’ordre de l’unité ; ilsdépendent de la forme et de l’orientation de l’obstacle. Ils peuvent être déduits del’expérience ou se calculer pour certaines géométries simples.

Zone 3 (103 < Re < 105) : force de traînée en régime turbulent

Pour les nombres de Reynolds compris entre 103 et 105 , Cx est approximative-ment constant : sa valeur est de l’ordre de 0,5 pour une sphère.

Dans ce domaine, la traînée (ou force de frottement) est approximativement pro-portionnelle au carré de la vitesse.

Il est alors possible d’écrire :Fx = k r v2

∞ R2 ,avec k ≈ 1.

Des valeurs plus faibles de Cx sont atteintes pour des profils « aérodynamiques » :ainsi Cx < 0,2 pour une automobile.


Cas l imite du f luide parfait

Nombre de Reynolds

Pour un fluide parfait, h = 0 , et donc Re est infini. Si nous extrapolons sans pré-caution les résultats précédents, un écoulement de fluide parfait devrait être tou-jours turbulent.

Ce paradoxe tient au fait que le modèle du fluide parfait n’est pas une extrapola-tion d’un fluide réel de faible viscosité. La vitesse d’un fluide réel, même de trèsfaible viscosité, est nulle au contact du solide, alors que celle d’un fluide parfaitest non nulle et tangente à la surface du solide.

Couche limiteAu voisinage d’un obstacle, les profils de vitesse sont très différents si l’on consi-dère le modèle du fluide parfait ou le fluide visqueux, donc réel (doc. 16). Alors

Lorsque le nombre de Reynolds est très faible (typiquement Re < 1), l’écou-lement autour d’un obstacle est linéaire, et la force de traînée est propor-tionnelle à la vitesse d’écoulement.

Pour une sphère de rayon R , la traînée est donnée par la formule de Stokes :

Ftraînée = 6 R v• .

CxK=Re

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lit.


δ

zone 2

zone 1(a)O

(b)

y

x

y =

Doc. 16. La différence est importante entreles deux profils de vitesse (attention : lesdimensions linéaires sont fortement aug-mentées suivant y). (a) : profil qui existe-rait avec un fluide parfait ; (b) : profil réel.


couche limite

épais-seur de la couche limite

′∆ ′v

Re

6.


que la vitesse est non nulle avec le modèle du fluide parfait, elle est nulle pour lefluide réel.

Sur le document 16, nous observons deux zones très différentes :

• zone 1 : pour y < δ , les deux profils sont très différents ;

• zone 2 : pour y > δ , les deux profils sont quasi identiques.

Il existe une transition située à la distance δ de l’obstacle : nous venons de mettreen évidence la , correspondant à la zone dans laquelle les profils desvitesses sont très différents.

La quantité δ (« limite » supérieure de la couche limite) est souvent appelée. Cette épaisseur peut varier le long d’un profil : ainsi,

nous pouvons avoir la situation suivante obtenue avec un obstacle (doc. 17), quipeut représenter une partie du profil des vitesses tel que celui existant à proximitéd’un point d’arrêt (doc. 18).

Cette couche limite est une couche limite laminaire. Une couche limite laminairepeut devenir turbulente ; dans ce cas le profil des vitesses a l’allure représentée surle document 19.

Revenons (doc. 20) sur les deux zones apparaissant sur le document 16.

Zone 1

Dans la zone 1, correspondant au cas réel, nous pouvons écrire v = v (y)ex : lavitesse varie rapidement suivant y , mais peu suivant x (rappelons-nous que lesdimensions sont très dilatées suivant y !). Les forces de viscosité, donc les trans-ferts de quantité de mouvement par diffusion, sont prédominants.

Zone 2

Dans cette zone, nous pouvons écrire v = v∞ ex : la vitesse varie très peu en fonc-tion des grandeurs d’espace.

Il est parfois utile de modéliser le profil des vitesses par une loi linéaire ou para-bolique ou exponentielle (doc. 21).

La viscosité intervient, dans l’équation locale de la dynamique, dans le terme

(équation adimensionnée).

′∆ ′v

Re

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« limite » supérieurede la couche limite

lignesde courant (x)

y

x

δ

Doc. 17. L’épaisseur d’une couche limiten’est pas nécessairement constante.

x = 0

y

couche limite

obstacle

pointd’arrêt

x

x’

Doc. 18. Mise en évidence de la couchelimite au voisinage d’un point d’arrêt.

couche limite

obstacle

tourbillonssupplémentaires

Doc. 19. La couche limite laminairedevient turbulente : des tourbillons sup-plémentaires se forment dans une zonedont l’épaisseur peut soit augmenter, soitdiminuer. Ici on est en présence d’un décol-lement de couche limite laminaire.

y

x

couchelimite

obstacle

zone 2, où la vitessevarie peu en fonctiondes grandeursd’espace

zone 1, oùla vitessevarie beaucoupsuivant y

δ

Doc. 20. La vitesse du fluide est de la forme v = v (y)ex dansla zone 1, alors que dans la zone 2 elle est de la forme v = v∞ ex .

y

xobstacle

zone 2

zone 1δ linéaire

parabolique

Doc. 21. La vitesse du fluide peut être modélisée dans la zone 1par un profil linéaire (vecteur tourbillon W uniforme) ou unprofil parabolique (le vecteur W varie linéairement en fonctionde y) ou exponentiel.


6.3.

écoulements potentiels

6.4.

D

D′′

=ω

t

1

Re

D

D′′

=ω

t

′∆ ′v

Re


Un fluide de faible viscosité se comporte, du fait de la grande valeur de Re , commeun fluide parfait lorsque le laplacien de la vitesse n’est pas trop intense. Mais, auvoisinage de l’obstacle, la vitesse passe très brusquement de la valeur nulle à une

valeur de l’ordre de v∞ . De ce fait, n’y est plus négligeable.

Domaine de validité des écoulements potentiels

En dehors de la couche limite, il est possible de négliger le terme de viscosité, etle modèle du fluide parfait donne une bonne approximation.

Nous avons à plusieurs reprises, dans des applications ou des exercices, considérédes (ou irrotationnels) de fluides parfaits. Pour justifier lebien-fondé de cette hypothèse, rappelons l’équation d’évolution du vecteur tour-billon :

∆′w′ +

En dehors de la couche limite, ≈ 0

et

Cette relation a une conséquence importante : l’écoulement étant irrotationnel àl’infini, le vecteur tourbillon reste quasiment nul le long de toutes les lignes de cou-rant qui ne traversent pas la couche limite. Il est généralement possible de consi-dérer que l’écoulement est potentiel en dehors de la couche limite et du sillageconstitué, en aval de l’obstacle, par les lignes de courant qui ont traversé la couchelimite.

Rappelons qu’une couche limite peut, en fonction du nombre de Reynolds, êtrelaminaire ou turbulente (cf. § 8).

Intéressons-nous maintenant à une couche limite laminaire.

Épaisseur d’une couche limite laminaire

Nous pouvons, par des considérations dimensionnelles, évaluer l’ordre de gran-deur de l’épaisseur de la couche limite, lorsque celle-ci est laminaire.

En régime permanent, la vitesse est solution de l’équation :

Re rot—′(w′ ∧ v′) = ∆′w′ .

Imaginons que, sur une couche mince d’épaisseur δ′ le long de l’obstacle de lon-gueur unité (en coordonnées adimensionnées, doc. 22), la vitesse et le vecteur tour-billon sont de la forme :

v′ = v′(x′, y′) ex et w′ = w ′(x′, y′) ez .

Les dérivées par rapport à x′ sont négligeables devant les dérivées par rapport à y′ .

∆′w ′ est de l’ordre de (on peut le vérifier en supposant par exemple un profil

exponentiel pour la fonction w ′(y′)).

w ′δ 2

L’écoulement d’un fluide de faible viscosité autour d’un solide est voisin decelui d’un fluide parfait, à l’exception d’une zone située au voisinage dusolide, appelée couche limite. Les effets de la viscosité, et en particulier lacréation de tourbillons, sont quasiment limités à cette couche limite.

(w′. grad—

′)v′ .D

D′′

=ω

t∆′w′Re

(w′. grad—

′)v′ .1

Re

D

D′′

=ω

t

′∆ ′v

Re

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y’

z’x

δ’

x’= 0 x’= 1

’ = 0

v’= 1

ω

’ω

Doc. 22. Mise en évidence des coordon-nées adimensionnées.


ηρ

≈

−10 5 2 1m s. – ,

≈ LRe

.

≈ 1

Re.

∂∂

′′

≈ ′ω ωx

e ez z

.

6.

Application 2


La vitesse étant de l’ordre de l’unité, w′ ∧ v′ est de l’ordre de w ′ ey .

Dans la direction (Ox′), la distance typique de variation de w ′ est 1, et donc :

En introduisant ces ordres de grandeur dans l’équation aux dérivées partielles, nous

obtenons δ′

Si L est la dimension caractéristique de l’obstacle, cela correspond à δ

Pour une sphère de 1 cm de rayon, en translation dans l’air

l’épaisseur de la couche limite est de l’ordre de quelques dixièmes de millimètrespour une vitesse de 1 m . s–1.

On peut proposer une autre méthode pour évaluer δ . Dans la couche limite, les phé-nomènes dus à la viscosité sont prépondérants et l’équation de Navier-Stokes seréduit dans cette hypothèse à :

= ∆v

∆v ≈ et ≈ d’où : = .

Le temps t correspond au temps tc déjà calculé, égal à . D’où :

d = 2 = 3 = , et donc δ ≈ .L5Re

L5Re

hLrv

htr

Lv

hrδ 2

1t

v

t∂v∂ t

v

δ2

hr

∂v

∂ t

ηρ

≈

−10 5 2 1m s. – ,

≈ LRe

.

≈ 1

Re.

∂∂

′′

≈ ′ω ωx

e ez z

.rot—′(w′ ∧ v′) =

175


Déterminer, par un raisonnement dimensionnel, quelleserait l’allure de la loi de variation du coefficient detraînée Cx , s’il existait sur tout le solide une couchelimite laminaire de faible épaisseur δ .

La force de traînée est :

Ftraînée = rSv 2 .Cx .

La contrainte liée à la viscosité est proportionnelle à lasurface sur laquelle glisse le fluide (que nous prenons del’ordre de L2, comparable au maître couple TS ), et augradient de la composante tangentielle de la vitesse, soit :

Ftraînée = h .L2 .

Dans ces conditions, Cx est de l’ordre de :

≈ ≈ .

Le coefficient Cx apparaît approximativement propor-

tionnel à : il décroît avec Re, comme sur le docu-

ment 13. Ce comportement n’est pas en accord avec

Cx ≈ pour Re < 1, ni même avec la formule

d’Abraham (cf. § 1.2.). Le modèle d’une couche limited’épaisseur constante sur le profil reste naïf.

24Re

14Re

24Re

4ReL

2hrv

2hL2

rSv δ

vδ

12

Étude du coefficient de traînée

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6.5.

7


Évolution de la pressiondans une couche limite laminaire

Intéressons-nous à une couche limite laminaire, stationnaire, de fluide incompres-sible. Utilisons les notations du document 23 où le profil de vitesse est indiqué.

L’écoulement hors de la couche limite est connu : il est non visqueux, et obéit doncà la théorie potentielle. Dans cette zone, la vitesse ne dépend que de x . La pres-sion est également connue ou calculable par le théorème de Bernoulli (fluide incom-pressible en écoulement permanent dans une zone sans tourbillon).Dans la couche limite, la vitesse v obéit à l’équation de conservation de la masse

(div(v) = 0)), et à l’équation de Navier-Stokes les ordres de gran-

deurs des différents termes apparaissant dans ces équations, conduisent aux résul-tats suivants (nous ne ferons pas la démonstration).

Description de quelques écoulementsautour d’un obstacle

Les caractéristiques d’un écoulement autour d’un obstacle évoluent lorsque lenombre de Reynolds augmente :

• après l’observation d’un écoulement laminaire visqueux, rampant ;

• une couche limite laminaire se développe ;

• qui pour un nombre de Reynolds élevé (de l’ordre de Re ≈ 106) devient turbu-lente (valeur critique), provoquant alors une diminution importante (nous pouvonsparler de discontinuité ou de « saut » du Cx) ;

• au-delà de cette valeur critique, le Cx varie peu.

avec = 0∂ v∂ t

13

13

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y

xL

δ

Doc. 23. Variables utilisées pour une étudede la pression dans la couche limite.L’obstacle est d’une longueur caractéris-tique L , avec L >> d .

Pour un écoulement incompressible, stationnaire, à nombre de ReynoldsRe élevé, autour d’un obstacle de dimension caractéristique L :• il existe une couche limite, supposée laminaire, dont l’épaisseur d esttelle que :

≈

• dans la couche limite :– la pression est constante suivant y (perpendiculairement à la paroi) :

≈ 0 ;

– la variation de pression suivant x (tangentiellement à la paroi) est imposéepar l’écoulement non visqueux à l’extérieur de la couche limite.

Ces résultats justifient les calculs d’efforts faits avec les écoulements defluides parfaits, en particulier les écoulements potentiels.

∂P∂y

<<1Re

1 ;dL

0,1

1

10

100

0,1 1 10 102 103 104 105

Cx

Re ~ 5.105

106

Re

Re24Cx =

–

Doc. 24. Coefficient de traînée Cx(Re)pour une sphère lisse.


7.1.

Re .= ∞ρη

2Rv

6.


Description de l’écoulement autour d’une sphère

Pour une sphère de rayon R , le coefficient de traînée Cx est défini par :

Fx = Cx rv 2 (πR2) ;

et le nombre de Reynolds Re par :

Rappelons la forme de l’évolution du coefficient de traînée Cx(Re) d’une sphèrelisse (doc. 24).

Nous pouvons observer expérimentalement les écoulements suivants.

• Pour les valeurs de Re inférieures à 1, l’écoulement est laminaire et approxi-mativement linéaire. Les lignes de courant ont l’allure représentée sur le document25. Cx est inversement proportionnel à Re .

• Pour des valeurs de Re supérieures à 1 (de l’ordre de Re ≈ 20), il apparaît untourbillon torique stable derrière la sphère (doc. 26). Les dimensions de ce tour-billon augmentent avec le nombre de Reynolds.

• Ce tourbillon finit par occuper toute la partie arrière de la sphère, pour des nombresde Reynolds de l’ordre de 300 à 450 (doc. 27).

• À partir de Re voisin de 450, le tourbillon se détache, en prenant une forme héli-coïdale (doc. 28). Ce tourbillon a pour conséquence l’existence d’une force trans-versale « tournante » s’exerçant sur la sphère.

• Pour Re ≈ 1 000 , l’écoulement n’est plus régulier : il se forme un sillage, zoneturbulente et chaotique derrière la sphère (doc. 29).

• Pour une valeur critique Rec (≈ 5 .105), la couche limite effectue une « transitionlaminaire-turbulent » :– le point de décollement de la couche limite change brutalement de position (ilrecule, doc. 30) ;– le coefficient de traînée Cx chute lors de cette transition (doc. 24).

Si Re augmente encore (Re > 5 .106 ), le sillage se rétrécit. Les tourbillons sontchaotiques. Le coefficient Cx évolue assez peu.

Re .= ∞ρη

2Rv

12

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Re < 0,5

v∞

Doc. 25. Pour un nombre de Reynoldsfaible, l’écoulement est laminaire et quasilinéaire.

Re ~ 20–

v∞

Doc. 26. Le tourbillon apparaissant der-rière la sphère est torique.

Re ~ 300–

v∞

Doc. 27. Quand Re augmente, le tour-billon finit par occuper la partie aval dela sphère.

Re ~ 450–

v∞

Doc. 28. Le tourbillon torique précédentse détache en prenant une forme hélicoï-dale.

point de décollementde la couche limite

Re –~ 103

sillage

Doc. 29. L’écoulement n’est plus régulier.La couche limite est laminaire, mais unezone turbulente se développe derrière lasphère. Le point de décrochement de lacouche limite est situé en « avant ».

Re > 5.105point de décollementde la couche limite

sillage

Doc. 30. La couche limite laminaire pré-cédente est devenue turbulente : elle sedécroche à l’« arrière » de la sphère.


7.2.

Re .= ∞ρηDv

F Cx D Cx Rx = =∞∞

ρ ρvv

22

2;


Description de l’écoulement autourd’un cylindre infini

Pour un obstacle cylindrique de dimension infinie, il nous faut définir une force detraînée par unité de longueur, et donc un coefficient de traînée par unité de lon-gueur. Ainsi pour un cylindre circulaire de rayon R , donc de diamètre D = 2R ,

Cx est défini par il s’exprime donc en m–1 .

Le nombre de Reynolds Re est défini par

L’allure de la variation de Cx pour un cylindre en fonction de Re , est donnée surle document 31a.

Re .= ∞ρηDv

F Cx D Cx Rx = =∞∞

ρ ρvv

22

2;

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10

1

0,110–1 10 103 105 107

Re =v∞ Dρη

Cx

Doc. 31a. Variations du coefficient detraînée avec le nombre de Reynolds pourun cylindre d’allongement infini.

Re 10–2 10–1 1 10 102 103 104 105 5.105 106 107

Cx 400 60 11 3 1,2 1,1 1,12 1,23 discontinuité 0,4 0,6

Doc. 31b. Cx en fonction de Re pour uncylindre, lisse et infini.

Re < 5

v∞

Doc. 32 Écoulement laminaire et quasilinéaire.

5 < Re < 40

v∞

Doc. 33. Des tourbillons stables apparaissent derrière le cylindre. L’écoulement estcylindrique.

• Pour les valeurs de Re faible, de l’ordre de l’unité, l’écoulement est laminaire etapproximativement linéaire. Les lignes de courant ont l’allure représentée sur le docu-ment 32. Nous sommes en présence d’un écoulement laminaire visqueux non décollé.• Pour des valeurs de Re de quelques dizaines, il apparaît des tourbillons stablesderrière le cylindre (doc. 33). L’écoulement est toujours symétrique ; il existe undécollement laminaire symétrique.• Pour Re de l’ordre de 100, des tourbillons se « détachent » périodiquement ducylindre, alors que d’autres se forment. L’écoulement est périodique, mais les lignesde courant sont encore identifiables (doc. 34). Nous visualisons une allée tour-billonnaire alternée de Bénard-Karman.

40 < Re < 150 à 300

v∞

Doc. 34. Allée tourbillonnaire alternée de Bénard-Karman.

300 < Re < 5.105

v∞

Doc. 35. Le décollement de la couchelimite laminaire se fait de plus en plus enarrière du cylindre.

Re –~ 100

v∞


6.

v∞

F C Lz z= ∞ρv 2

2

88.1.

réversibilité cinématique


• Pour Re compris entre Re = 300 et Re ≈ 5 . 105 , le décollement de couchelimite s’effectue toujours à partir d’une couche limite laminaire. Les tourbillons sedétachent du cylindre et deviennent turbulents (doc. 35).

• Pour 5 . 105 < Re < 5 . 106 , le décollement s’effectue à partir d’une couche limiteturbulente, d’où le « saut » de Cx (doc. 36).

• Au-delà de cette valeur de Re (> 107), Cx reste quasiment constant (doc. 37).

Remarquons que l’écoulement autour d’une aile d’avion, considérée comme uncylindre de longueur infinie, présente les mêmes comportements (doc. 38). Ledécollement de la couche limite laminaire provoque une baisse de la portance. Lacréation d’une couche limite turbulente (grâce à des petites aspérités sur l’aile)permet de réduire ce décollement (cf. § 8) pour retrouver une efficacité des com-mandes de pilotage.

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5.105 < Re < 5.106

bullev∞

Doc. 36. La couche limite est devenue tur-bulente.

Re > 5.106

v∞

Doc. 37. Il existe un sillage turbulent etchaotique derrière le cylindre.

v∞Fz

Cz

i

i

b

décollement de lacouche limite laminaire

résultatsexpérimenraux

b

a

0

a

Doc. 38. Évolution du coefficient de por-tance en fonction de l’angle d’incidence.

avec Cz le coefficient de

portance.

F C Lz z= ∞ρv 2

2

Ouverture : écoulements à très petitet très grand nombre de Reynolds

Écoulements à très faible nombre de Reynolds(écoulements rampants)

Lorsque le nombre de Reynolds est faible (Re < 2 000), l’écoulement est laminaire(non turbulent).

Il existe des évolutions à très faible nombre de Reynolds (Re << 1) tels le mouve-ment d’un glacier, l’évolution de la couche terrestre, le déplacement des sperma-tozoïdes dans le liquide séminal, … (ces fluides ne sont pas, en toute rigueur,newtoniens).

À très faible nombre de Reynolds (Re << 1) :• les forces de viscosité sont nettement prépondérantes devant les forces d’inertie,que l’on peut négliger ;• les évolutions étant très lentes, il est aussi possible de négliger les variations tem-porelles locales de la vitesse.

Dans ces conditions, les équations d’évolution ne dépendent donc pas du temps :elles sont invariantes par rapport à cette variable.

À très faible nombre de Reynolds (Re << 1), les évolutions des fluides sontpurement cinématiques, s’effectuant à vitesse (souvent constante) faible. Letemps n’intervenant pas, ces évolutions sont à la limite de la réversibilité :on parle de .


8.1.1.

8.1.2.

4

33πR gρB

; 64

33π πR R gη ρ ρv = −( )B F

g


Les écoulements à très faible nombre de Reynolds sont donc observés pour dessystèmes :• de petites dimensions ;• (et/ou) placés dans un fluide de forte viscosité.

Prenons divers exemples.

Réversibilité cinématique d’un écoulementà très bas nombre de Reynolds

Envisageons l’expérience suivante décrite sur le document 39. Une goutte de fluideteinté (sirop) est située dans un liquide incolore de même densité (glycérine), placéentre deux cylindres.

Sur le document 39a, nous observons la position initiale de la goutte. Nous réali-sons l’écoulement (donc l’étalement) de la goutte (doc. 39b) en imposant environquatre tours lents (1 tour en 10 s) au cylindre intérieur (le cylindre extérieur res-tant fixe) ; la goutte reprend quasiment sa forme initiale (doc. 39c) après quatretours lents (même vitesse) en sens inverse imposé au cylindre intérieur.

La réversibilité de cette transformation (purement cinématique) est possible, car lenombre de Reynolds de cet écoulement est très faible.

Vitesses limites à très bas nombre de Reynolds

Prenons deux billes de même matériau (densité identique), mais dont les rayonssont dans un rapport 2 : placées dans un fluide (glycérine) de densité voisine,mais légèrement plus faible, ces billes atteignent rapidement une vitesse limite dechute dans un rapport 4, c’est-à-dire proportionnelle au carré de leur rayon (doc. 40).

En effet, une bille de rayon R et de masse volumique rB , placée dans un fluidede masse volumique rF et de viscosité h , est soumise à trois forces (doc. 41) :

• la force de pesanteur4

33πR gρB

;

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Doc. 39. Réversibilité des forces de viscosité lors d’un écoulement à très faible nombre de Reynolds (Re < 10–2) :a. position initiale de la goutte ;b. étalement de la goutte après quatre tours lents du cylindre intérieur ;c. la goutte reprend quasiment sa forme initiale après quatre tours lents en sens inverse du cylindre intérieur.

4 tours

goutte

4 tours

a) b) c)

avant

les rayons sontdans un rapport 2

après

Doc. 40. Lors d’un déplacement à basnombre de Reynolds d’une bille dansun fluide de densité équivalente, lavitesse de chute est proportionnelle aucarré de son diamètre.

Doc. 41. Lorsque la vitesse limite estatteinte :

64

33π πR R gη ρ ρv = −( )B F

g

6πR

πR3( – )g43

ηv

Bρ Fρ


8.1.3.

8.1.4.

4

33π R g( )ρ ρB F−

− 4

33πR gρF

.

6.

g

F = F⊥ F = F⁄ ⁄ v⊥

v//

v


• la poussée d’Archimède La vitesse très faible nous permet d’uti-

liser cette expression, normalement valable en statique (la résultante

de ces deux forces « impose » le mouvement) ;

• la force de résistance au mouvement (force de traînée), due à la viscosité du fluide.À très faible nombre de Reynolds, cette force est – 6 π R h v .

Ainsi, alors que la force « imposant le mouvement » est proportionnelle à R3

(doc. 42), la vitesse limite (lorsque la somme de ces trois forces est nulle) est pro-portionnelle à R2 , ce qui correspond bien à l’expérience.

Influence d’une paroi

Lors de son mouvement de chute, une bille est ralentie si elle est proche de la paroi(doc. 43). Ceci s’explique par le fait que les veines de fluide ayant tendance à« suivre » la sphère sont freinées par la paroi.

Cet effet peut se mettre en évidence lors de l’observation de la sédimentation d’unensemble de particules, de densité voisine de celle du fluide dans lequel elles setrouvent : la surface de gradient particulaire élevé n’est pas horizontale.

Mouvement de chute d’un cylindre

Prenons deux cylindres identiques (même dimension et même densité), que nousplaçons dans de la glycérine de densité voisine, mais légèrement inférieure.

Le cylindre placé verticalement se déplace plus vite que le cylindre placé hori-zontalement.

La vitesse limite de déplacement parallèlement à ses génératrices (v//) est le doublede la vitesse limite perpendiculairement à celles-ci (doc. 44 et 45) dans le cas d’uncylindre très allongé.

Si ce même cylindre est placé de manière quelconque, il n’évolue pas suivant uneverticale (doc. 46). La force (« motrice ») F

imposant le mouvement du cylindre

peut se décomposer en deux forces F

// et F

⊥ :

F

= F

// + F

⊥ .

La vitesse se décompose alors en deux composantes v// et v⊥ telles que :

v// = 2a F

// et v⊥ = a F

⊥ avec v = v// + v⊥ .

4

33π R g( )ρ ρB F−

− 4

33πR gρF

.

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Doc. 42. Alors que la force « motrice,imposant le mouvement » est proportion-nelle à R3 , à très faible nombre deReynolds, la vitesse limite est proportion-nelle à R2 .

Doc. 43. Lors du mouvement à bas nombrede Reynolds de deux billes dans un fluidede masse volumique équivalente, cellesituée près de la paroi est ralentie lors desa chute.

sens de la forceinitialeimposantle déplacement

R = 2r

vitesses limites( 4)

forces « motrices »( 8)

g

paroi fixe

deux sphèresidentiques

Doc. 45. Les vitesses limites sont diffé-rentes suivant que le mouvement s’effectueperpendiculairement (⊥) ou parallèlement(//) aux génératrices du cylindre :

v// = 2aF// et v⊥ = aF⊥ .

vitesseslimites

forces motrices identiquesdans l’expérience précédente

F = F⊥

⊥ ⊥

F = F⁄ ⁄

v = 2 F⁄ ⁄ ⁄ ⁄α

v = Fα

Doc. 44. À très faible nombre de Reynolds,la vitesse limite de chute dépend de l’orien-tation du cylindre. Ces vitesses sont dansun rapport 2 :

v// = 2v⊥ .

avant après

Doc. 46. La force (« motrice ») F

peutse décomposer en deux forces F

// et F

⊥ :

F

= F

// + F

⊥ .

v⊥

v//

v

F⊥

F//

F


8.1.5.

8.2.

8.2.1.

8.2.2.


Cellule de Hele-Shaw

Une cellule de Hele-Shaw (doc. 47) est constituée de deux plaques transparentes(Plexiglas) très proches l’une de l’autre : la distance les séparant est de l’ordre dumillimètre.

Il est possible de placer des obstacles entre ces deux plaques ; ceux-ci ont des dimen-sions transversales de l’ordre de quelques cm, mais leur hauteur est égale à la dis-tance séparant les deux plaques.

La vitesse d’écoulement imposée au fluide entre ces deux plaques est très faible,de l’ordre du mm . s–1.Évaluons le nombre de Reynolds avec de l’eau :

Le nombre de Reynolds est donc faible.

Entre les plaques, le profil des vitesses est parabolique (écoulement de Poiseuilleentre deux plans) (doc. 48).

En régime permanent, il est possible de matérialiser les lignes de courant d’un écou-lement par l’emploi de colorants (doc. 49).

L’intérêt d’une cellule de Hele-Shaw est le suivant :

Écoulements à très grand nombre de Reynolds

Remarques

À très grand nombre de Reynolds, les écoulements sont turbulents : ces turbulencesexistent lorsque la vitesse est supérieure à une limite au-delà de laquelle la visco-sité ne suffit plus à régulariser les mouvements.

Dès que la vitesse de déplacement d’un mobile dans l’air est grande (avion, ballede golf, ...), ces turbulences existent.

Les turbulences peuvent être néfastes par les vibrations qu’elles créent, mais ellespossèdent aussi des effets intéressants :

• la turbulence améliore le mélange du carburant et de l’air dans un moteur ;

• la turbulence permet à certains avions d’aller plus vite (Cx plus faible).

Pourquoi une balle de golf n’est-elle pas lisse ?

Dans les conditions normales d’utilisation, le nombre de Reynolds Re d’une ballede golf est supérieur à Re = 106 . Les balles de golf sont bosselées de façon à aug-menter les turbulences, pour leur permettre d’aller plus loin.

Ainsi dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf peut atteindre unedistance de 150 m, alors que cette distance ne serait que de 100 m avec une ballelisse (doc. 50).

Pour un obstacle donné, les lignes de courant obtenues à faible nombre deReynolds, dans une cellule de Hele-Shaw, sont identiques à celles obtenuesthéoriquement en supposant le fluide parfait (c’est-à-dire sans viscosité),donc correspondant à un écoulement à nombre de Reynolds infini !

Re = = 1 .=ρ

ηLv

10–3103 . 10–3 . 10–3

182


Doc. 47. La cellule de Hele-Shaw estconstituée de deux plaques distantes de1 mm environ, entre lesquelles se déplaceun fluide à vitesse faible, de l’ordre dumm . s–1.

Doc. 48. Allure du champ des vitesses d’unfluide dans une cellule de Hele-Shaw.

Doc. 49. Écoulement autour d’un cylindrede faible épaisseur (1 mm) et à faiblevitesse (1 mm . s–1). Visualisation à l’aidede filets d’huile de lin dans de l’huile devaseline.

obstacle

écoulementdu fluide

épaisseur del’ordre

du millimètre

champs desvitesses

1 mm

écoulementdu fluide

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Doc. 50. Dans les mêmes conditions delancement, une balle de golf (bosselée) vaplus loin qu’une balle lisse.

balle de golf

balle lisse

100 m 150 m


6.

v∞ v∞ v∞


Les irrégularités permettent d’obtenir autour de la sphère une couche limite turbu-lente (doc. 51), alors que celle-ci est laminaire pour une surface lisse (doc. 52).Lorsque la couche limite est turbulente, la résistance au mouvement est plus faible(doc. 53).

Il est possible de visualiser ces turbulences en ajoutant sur une sphère lisse uneaspérité circulaire.

Ainsi pour un écoulement caractérisé par un nombre de Reynolds Re donné (maisgrand : Re > 105), les couches limites sont très différentes sans ou avec ces aspé-rités (doc. 54).

Étudions les représentations graphiques du document 54.

• Dans les cas a) (la sphère est lisse) et b) (un mince fil a été placé sur la sphèrelisse), les nombres de Reynolds sont identiques (Re = 2 . 105), mais les coefficientsde traînée sont différents :

a) Cx = 0,4 ; b) Cx = 0,1.

Ceci est dû à la présence de la couche limite turbulente engendrée par la présencedu fil dans le cas b).

• Dans le cas c) la sphère est lisse, et Re = 4 . 105. Dans ces conditions, Cx = 0,1.

• Le point (1) correspond à un décollement de la couche limite laminaire, et le point(2) à une transition laminaire turbulente.

• Le point (3) correspond à une transition laminaire-turbulente dans la couche limite.

• La région indiquée par (4) correspond à un décollement turbulent.

• Alors qu’une couche limite laminaire se décroche d’un profil a), une couche limiteturbulente a tendance à s’accrocher plus à ce profil b), ce que l’on observe aussisur le document 56. Ceci a pour effet de diminuer le coefficient de traînée Cx .

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Doc. 51. Autour d’une balle de golf, ilexiste une couche limite turbulente.

Doc. 52. Autour d’une balle lisse, il existeune couche limite laminaire.

Doc. 53. Différence entre les coefficientsde traînée Cx(Re) d’une balle lisse et d’uneballe de golf, lors d’un mouvement ànombre de Reynolds Re élevé.

écoulement autourd’une balle de golf

couche limiteturbulente

couche limitelaminaire

Re

balle degolf

sphère lisse

10 5 10 6

0,1

0

0,20,30,40,50,6

coefficient de traînée Cx

Doc. 54. Divers écoulements (à nombre de Reynolds élevé : Re > 105) autour d’une sphère.

a) b) c)

43

21

v∞ v∞ v∞


99.1.

9.2.

9.2.1.


Ouverture : uti l ités de l ’analysedimensionnel le

Bases de l’analyse dimensionnelle

L’analyse dimensionnelle permet souvent, assez facilement, de trouver l’allure oula loi de variation de certaines grandeurs physiques. Il suffit d’exprimer la gran-deur cherchée sous la forme d’un polynôme faisant intervenir les variables dési-rées, et d’écrire ensuite que la formule cherchée est homogène.

Les notations sont celles du document 57.

Ainsi pour les diverses grandeurs classiques, nous avons les écritures du document 58.

Situations classiques simples

Détermination d’une grandeur caractéristique

Dans le chapitre consacré à la dynamique des fluides parfaits, nous avons calculéle diamètre critique d’un tube, c’est-à-dire la longueur capillaire, lorsque noustenons compte des forces de tension superficielles.

Prenons un tube creux de diamètre D ; lorsque celui-ci est placé au dessus d’unliquide de masse volumique r , de coefficient de tension superficielle A , dans lechamp de pesanteur g , le liquide monte dans le tube si son diamètre est faibledevant Dc diamètre critique (doc. 59).

Pour trouver un ordre de grandeur de Dc , nous avons utilisé l’analyse dimen-sionnelle, et cherché Dc sous la forme Dc = k Aa r b gg , k étant sans dimension.

Rappelons que :

[Dc] = L ; [A] = [F] . L–1 = M . T–2 ; [r] = M . L–3 ; [g] = L . T –2 .

Une expression devant toujours être homogène, cela donne :

L = (Ma T –2a )(Mb L–3b )(Lg T –2g ) = Ma+b L–3b +g T –2a–2g ,

c’est-à-dire :

a = – b ; a = – g et 1 = g – 3b .

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Doc. 55. Divers écoulements autour d’une sphère lisse ou non.

cas sphère Re Cx

a sphère lisse Re = 2.105 0,4

b fil mince placé sur une sphère lisse Re = 2.105 0,1

c sphère lisse Re = 4.105 0,1

Doc. 56. Alors que la couche limite tur-bulente b) s’accroche au profil, la couchelimite laminaire s’en détache a).

a)

b)

unités de abréviation

masse M

longueur L

temps T

Doc. 57. Abréviation des unités de base.

grandeur équationaux dimensions

vitesse [v] = L . T –1

masse volumique [r] = M . L–3

force [F] = M . L . T –2

pression [P] = M . L–1 . T –2

énergie [E] = M . L2 . T –2

viscosité [h] = M . L–1 . T –1

Doc. 58. Équations aux dimensions desgrandeurs classiques.

Doc. 59. Le fluide monte dans un tube dediamètre D faible devant Dc .

eau

g

h

diamètre D


9.2.2.

Pρv 2

2

.

Φ( ) sin ,θ θ=

4

2

F S= Φ( ) .θ ρv 2

2

ρv 2

2

DAg

c

ρ

.

DAgc =

ρ

1

2;

6.

F S= Φ ( ) .θ ρv 2

2

F


La solution est unique : a = – b = – g = il est alors possible de définir un dia-

mètre critique par la formule (en prenant k = 1) :

(cette quantité est appelée longueur capillaire).

• Pour l’eau Dc ≈ 3 mm : si le diamètre du tube est très supérieur à 3 mm, il estpossible de négliger les interactions de surface, et inversement si le diamètre esttrès inférieur à 3 mm, les interactions de surface sont non négligeables et le liquidemonte dans le tube.

• Pour le mercure Dc = 2 mm : si les gouttelettes de mercure sont de petit diamètre,elles ont une forme sphérique (prédominance des forces de tension superficielles),sinon elles ont une forme aplatie (prédominance des forces de pesanteur) (doc. 60).Remarquons que nous avons construit une grandeur sans dimension (grandeur adi-

mensionnelle) :

Force exercée par un coude sur un fluide

Calculons la force exercée par un coude (angle q et section S) sur un fluide incom-pressible de masse volumique r , en mouvement à la vitesse v (doc. 61).

Intuitivement, cette force F est d’autant plus importante que la vitesse v du fluideest grande, sa masse volumique r est grande, la section S du coude importante,ainsi que q . Supposons que cette force ne dépende que de ces variables.

Utilisons à nouveau l’analyse dimensionnelle, en cherchant F sous la forme :

F = F (q ) ra S b v g .Rappelons que :

[F] = M . L . T –2 ; [r] = M . L–3 ; [S] = L2 ; [v] = L . T –1

(q étant un nombre sans dimension, il en est de même de F (q )) .

Une expression devant toujours être homogène, cela donne :

M . L . T –2 = (Ma . L–3a )(L2b )(Lg . T –g ) = Ma . L–3a+2b +g . T– g .

La solution est encore unique :

a = 1 ; g = 2 et donc b = 1 .

La force est de la forme (seule solution possible) :

r S v 2 .

En hydrodynamique, il est préférable de faire intervenir l’expression rv2 sous la

forme (pression dynamique), et ainsi écrire :

Le dernier chapitre de cet ouvrage consacré aux bilans nous permettra de déter-

miner la fonction ainsi que l’orientation de F

.

Nous avons à nouveau construit une grandeur adimensionnelle :

, ou encoreP

ρv 2

2

.F

Sρv2

2ρ

Φ( ) sin ,θ θ=

4

2

F S= Φ( ) .θ ρv 2

2

ρv 2

2

DAg

c

ρ

.

DAgc =

ρ

1

2;

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Doc. 60. Gouttes de mercure sur un solhorizontal.

prédominancedes forces de pesanteur

prédominancedes forcesde tension superficielle

Doc. 61. La force à exercer sur ce fluidepour le dévier est de la forme :

F S= Φ ( ) .θ ρv 2

2

fluide de massevolumique

vitesse v

section S

Fρ

θ


9.2.3.

9.2.4.

R

t E25

ρ

.

5

2log( )R

5

2

1

2log( ) log log( ) .R K

Et= +

+ρ

t E25

ρ

α β γ= = − =2

5

1

5

1

5; ;

c

λg.

c = k gλ ,

α = 1

2.

γ = 1

2

c = k gλ .

g

5 2 2log( ) log log( ) .R KE

t= +

+ρ

5

2log( )R


Célérité des ondes de gravité

Expérimentalement les ondes à la surface d’un fluide de masse volumique r , deprofondeur infinie (y < 0) , se propagent à une vitesse c ne dépendant que de lalongueur d’onde l et de l’accélération de la pesanteur g (doc. 62).

Par un raisonnement identique aux précédents, en posant c = kla r b gg , nousdevons avoir :

LT –1 = La . Mb L–3b . Lg T –2g .

Cela nous donne b = 0 (la masse volumique du fluide n’intervient pas), et

donc

La vitesse est de la forme k étant un facteur sans dimension.

C’est cette forme que nous avons obtenue lors de l’étude de la houle (chapitre 4),avec les hypothèses suivantes : les équations sont linéarisées et la profondeur de lamer infinie. Avec une profondeur finie, il est impossible d’obtenir c par analysedimensionnelle : k n’est pas un facteur constant.

Nous avons encore construit une grandeur adimensionnelle

Dynamique de l’onde de choc produite par une explosion

Lors d’une explosion à la surface du sol, où l’état initial de l’atmosphère est carac-térisé par la masse volumique r , la détonation d’énergie E s’accompagne d’uneonde de choc en forme de demi sphère de rayon R variant avec le temps t (doc. 63).

En supposant que l’évolution du rayon R ne dépend que des paramètres E , r ett , étudions R sous la forme R = kta rb Eg .

Nous obtenons donc :

L = Ta . Mb L–3b . Mg L2g . T –2g ,

ce qui donne :

a – 2g = 0 ; b + g = 0 et – 3b + 2g = 1 .

La solution est unique :

,

c’est-à-dire R = k , ou encore

Ce raisonnement que nous venons de présenter est dû à G.I. Taylor. Le résultatthéorique de ce calcul obtenu par l’analyse dimensionnelle est en accord parfaitavec des mesures obtenues en utilisant des prises de vues d’un essai nucléaire aux

États-Unis. L’évolution de en fonction de log(t) est une droite de pente 1

(doc. 64). Ces observations permirent à G.I. Taylor d’évaluer l’énergie dégagée aucours de l’explosion correspondante.

Remarquons que nous avons encore une grandeur adimensionnelleR

t E25

ρ

.

5

2log( )R

5

2

1

2log( ) log log( ) .R K

Et= +

+ρ

t E25

ρ

α β γ= = − =2

5

1

5

1

5; ;

c

λg.

c = k gλ ,

α = 1

2.

γ = 1

2

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Doc. 62. La célérité des ondes est donnéepar c = k gλ .

surfacede l’eau

fluide de massevolumique ρ

λ

g

y

Ox

Doc. 63. L’évolution du rayon de l’ondede choc de cette explosion est de la forme :

5 2 2log( ) log log( ) .R KE

t= +

+ρ

sol

R (t)

énergiedégagée par

l’explosion : E

atmosphère demasse volumique ρ

Doc. 64. L’évolution de en fonc-

tion de log(t) est une droite de pente 1.

5

2log( )R

droite depente 1

log(t)

5 log(R)2


9.3.

F Cx U DL = ∞(Re)1

22ρ

1

′= =∞

kU Dρη

Re

0 0 1 11 1 3 10 1 0 1

−− −

− −

6.

FL


Situations plus délicates

Dans les situations précédentes, la détermination de la fonction cherchée étaitunique. Envisageons le cas où cette détermination n’est pas unique.

Nous nous limiterons aux cas de la mécanique des fluides.

Prenons l’exemple (doc. 65) du calcul de la force FL s’exerçant par unité de lon-gueur sur un cylindre circulaire de diamètre D , ce dernier étant placé dans un écou-lement de fluide incompressible de masse volumique r , de coefficient de viscositéh , et de vitesse uniforme à l’infini U∞ .

Cherchons toujours la force FL sous la forme FL = k Da U∞b rγ hd .

L’équation aux dimensions :

[FL] = M . L . T–2 . L–1 = M . T–2 = La . (L . T–1)b . (M . L–3)g . (M . L–1 . T–1)δ

nous conduit à l’ensemble des relations suivantes :

g – δ = 1 ;

a + b – 3g – δ = 0 ;

– b – δ = – 2 .

Il nous faudrait donc résoudre :

Il est impossible de trouver a , b , g et δ , car nous n’avons que r = 3 relationspour déterminer N = 4 inconnues (la matrice est de rang 3).

La méthode consiste en trois étapes.

• D’abord choisir r variables dimensionnellement indépendantes : longueur carac-téristique D ou fonctions de champ r(M, t) , P(M, t) , U(M, t) , ... Ici nous pren-drons par exemple D, U∞ et r .

• Ensuite chercher N – r coefficients adimensionnels, reliant les variables restanteset les variables indépendantes. Ici, il existe nécessairement une relation unique entreh et l’ensemble des variables D , U∞ et r .

La recherche de cette relation conduit à h = k′ Dp U∞q rr , ce qui donne, par équa-

tion aux dimensions, la solution unique :

h = k′ D U∞ r .

Remarquons que :

(nombre de Reynolds) .

• Enfin, exprimer la grandeur cherchée en fonction des variables dépendantes, lecoefficient de proportionnalité dépendant alors de la (ou des) grandeur(s) adimen-sionnelle(s) précédente(s).

Ici il est donc possible d’écrire FL = k(Re)Da U∞b r g , k(Re) est une fonction sans

dimension du nombre de Reynolds Re . Elle nous donne immédiatement a = 1 ;b = 2 ; g = 1 (la solution est encore unique).

Ainsi nous obtenons :

.F Cx U DL = ∞(Re)1

22ρ

1

′= =∞

kU Dρη

Re

ab

=1

g 0.

δ 2

0 0 1 11 1 3 10 1 0 1

−− −

− −

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Doc. 65. La force FL s’exerçant par unitéde longueur sur le cylindre est fonction deU∞ (vitesse uniforme du fluide à l’infini),r (masse volumique du fluide), h (visco-sité du fluide) et D (diamètre du cylindrecirculaire).

FL

champ des vitessesuniformes loindu cylindre : U∞

cylindre dediamètre D

fluide de masse volumiqueet de viscosité

ρη


′ =GGG2

1

2

′ =G G G1 1 2

G CxF

U D2

212

= =∞

L

ρ.G

U D1 = = ∞Re

ρη

Re .= ∞ρη

U D

CxF

U D=

∞

L12

2ρ

Re .= ∞ρη

U D

CxF

U D=

∞

L12

2ρ


Ainsi est fonction uniquement du nombre de Reynolds

Cette loi est confirmée par de multiples expériences, et tous les résultats s’alignentsur la courbe suivante (doc. 66).

Remarques

• Dans cette représentation, nous avons en réalité été amené à « construire » deux(plus précisément N + 1 – r) grandeurs adimensionnelles G1 et G2 , entre les-quelles existe une relation « compliquée », déduite de l’expérience. Les deux gran-deurs choisies sont :

et

• Ce choix des grandeurs n’est pas unique ; nous aurions pu, tout aussi bien,prendre :

et .

Une autre relation relie les grandeurs adimensionnelles G ′1 et G ′2 .

′ =GGG2

1

2

′ =G G G1 1 2

G CxF

U D2

212

= =∞

L

ρ.G

U D1 = = ∞Re

ρη

Re .= ∞ρη

U D

CxF

U D=

∞

L12

2ρ

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Doc. 66. Évolution de

(FL = force par unité de longueur) en fonc-tion du nombre de Reynolds Re , relatif àun cylindre de diamètre D en mouvementavec la vitesse U∞ par rapport à un fluide

de masse volumique r : Re .= ∞ρη

U D

CxF

U D=

∞

L12

2ρ

10

1

0,110–1 10 103 105 107

Re =v• Dρη

Cx


6.

C Q F R

ÉCOULEMENTS LAMINAIRE ET TURBULENT

NOMBRE DE REYNOLDS

ÉCOULEMENT AUTOUR D’UN OBSTACLE

COUCHE LIMITE


189


C Q F R

• Un écoulement est laminaire si les lignes de courant « glissent » les unes sur les autres en restant parallèles : unécoulement laminaire existe généralement si la « vitesse » est faible.

• Dans le cas contraire, pour une « vitesse » élevée, l’écoulement est turbulent. Il est instable, et sa structure estchaotique.

• Le nombre de Reynolds Re = est un nombre sans dimension caractérisant un écoulement d’un fluide (masse

volumique r , viscosité h) de vitesse moyenne V , autour d’un obstacle (ou dans une conduite) de dimension

caractéristique L .

• Transition laminaire-turbulente : si le nombre de Reynolds est faible (Re <≈ 2 000 , valeur généralement admise),l’écoulement est souvent laminaire ; pour Re grand, il peut devenir turbulent.La structure de l’écoulement d’un fluide incompressible, autour d’un obstacle de forme donnée, ne dépend que du

nombre de Reynolds Re = .

• Les écoulements de deux fluides différents autour de deux solides de même forme, mais de dimensions diffé-

rentes, sont similaires, si les nombres de Reynolds sont égaux. La vitesse adimensionnée prend alors la même

valeur aux points correspondants des deux écoulements. En particulier, le régime d’écoulement (laminaire ou tur-bulent) dépend, pour une forme donnée, de la valeur de Re .

À faible nombre de Reynolds (Re < 1), en régime linéaire permanent, la vitesse est en tout point proportionnelleà v∞ . Cet écoulement est appelé rampant.

Un écoulement rampant est stable, et quasiment insensible aux petites perturbations.

La turbulence est liée au caractère non linéaire des équations de la mécanique des fluides. Elle apparaît pour lesnombres de Reynolds élevés, et se caractérise par un écoulement chaotique et dépendant du temps.

Pour un obstacle de forme et d’orientation données, le coefficient de traînée Cx ne dépend que du nombre deReynolds Re : Cx = f (Re) .

Lorsque le nombre de Reynolds est très faible (typiquement Re < 1), l’écoulement autour d’un obstacle est linéaire,et la force de traînée est proportionnelle à la vitesse d’écoulement.

Pour une sphère de rayon R , la force de traînée est alors donnée par la formule de Stokes :

Ftraînée = 6 π h R v∞ .

L’écoulement d’un fluide de faible viscosité autour d’un solide est voisin de celui d’un fluide parfait, à l’excep-tion d’une zone située au voisinage du solide, appelée couche limite. Les effets de la viscosité, et en particulier lacréation de tourbillons, sont quasiment limités à cette couche limite.

vv∞

rLv∞h

rVLh

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Contrôle rapide



Le nombre de Reynolds est défini par :

L’expression de la force de traînée est donnée par :

La formule de Stokes qui donne la force de traî-née agissant sur une sphère de rayon R est appli-cable avec :

Si un écoulement de fluide de masse r , de vis-cosité h et de vitesse moyenne V rencontre unobstacle de dimension caractéristique L, on peutformer le nombre de Reynolds sans dimension :

Si Re < ≈ 2 000, l’écoulement est souvent :

Lorsque la couche limite est laminaire, son épais-seur est voisine de :


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Qu’est-ce qu’un écoulement laminaire ? Un écoulement turbulent ?

Donner l’expression du nombre de Reynolds.

Qu’appelle-t-on force de traînée ? De quoi est-elle fonction ?

Définir la couche limite.



1.

a. le rapport de vitesse de convection sur la vitessede diffusion

b. le rapport du transfert de quantité de mouvementpar convection sur le transfert de quantité de mouve-ment par diffusion

c. le rapport de deux temps caractéristique, l’un étantlié au transport de la quantité de mouvement par diffu-sion, l’autre au transport de quantité de mouvement par

convection avec Re = .

2.

a. Ftraînée = Cx r v L

b. Ftraînée = Cx r v 2 L

c. Ftraînée = Cx r v 2 S

d. Ftraînée = Cx v 2 S .

3.

a. Re > 100

b. Re < 2 000

c. Re < 1.

4.

a. Re = r

b. Re = r Vh

c. Re = r

d. Re = r .

5.

a. laminaire

b. turbulent.

6.

a. δ =

b. δ =

c. δ =

Solution, page 194.

L4Re

LRe2

LRe

VLh

VLh2

VL2

h

12

12

12

12

tdtc


g

g

V

Exercices


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Force de frottement sur une sphère

Le schéma ci-dessous représente le coefficient de traînéeCx(Re) pour une sphère. À très bas nombre de Reynolds,

Cx

Il est usuel de modéliser le frottement qui s’exerce sur unesphère en translation dans un fluide, par l’une des deux for-mules :

• F

frot = – K S v v ;

• F

frot = – f v ;

avec S le maître-couple, K le coefficient dépendant du fluideet f le coefficient dépendant du fluide et du rayon.

À partir du schéma déterminer la loi de frottement appro-priée, et la valeur des constantes pour les cas :

1) d’une bille de fer de diamètre 1 cm en chute libre :a) dans l’air (h ≈ 2 . 10–5 Pl),b) dans l’eau (h ≈ 1 . 10–3 Pl),c) dans l’huile (h ≈ 1 Pl),

la masse volumique du fer est voisine de 7,8 . 10+3 kg . m–3 ;

2) d’une goutte d’eau sphérique en chute libre dans l’air :a) de diamètre 10 µm,b) de diamètre 0,4 mm.

Écoulement laminaire sur un plan incliné

Une couche mince de fluide(viscosité h , masse volu-mique r), d’épaisseur e ,coule le long d’un planincliné, dont la ligne de plusgrande pente fait un angle aavec l’horizontale.

En écoulement laminaire, le champ des vitesses, indépendantdu temps, est de la forme (cf. exercice 2, chapitre 5) :

.

Calculer la vitesse maximale pour e = 1 mm et a = 30° :

Conclure.

Diamètre d’une canalisation

Un château d’eau alimente une canalisation cylindrique dontl’extrémité est ouverte à la pression atmosphérique.

Données :• profondeur du réservoir : h0 = 3 m ;• dénivelé de la canalisation : h1 = 13 m ;• longueur de la canalisation : L = 100 m ;• viscosité de l’eau : h = 1,0 . 10–3 Pl ;• débit volumique : 1) Dvol = 1 L . s–1 ; 2) Dvol = 0,5 L .min–1 ;

On admet la formule de Poiseuille donnant le débit massiqueDm d’un fluide de masse volumique r et de viscosité h ,dans une canalisation cylindrique de diamètre d et de lon-

gueur L , soumise à la chute de pression ∆ P∧

:

La vitesse à une distance r de l’axe est de la forme :

Déterminer le diamètre de la canalisation en supposant l’écou-lement laminaire.Un tel écoulement est laminaire si Re < 2 000 . L’hypothèseest-elle pertinente ?

g

h0

h1

B

A

v v( ) .rrd

= −

0

2

21 4

Dd

LPm = π ∆ρ

η

4

128ˆ .

Vg

y e y ex = −ρ α

ηsin

( )2

2

Z

ey

x

atmosphèreP = P0

g

α

V

0,1

100

0,1 1 102 104

Cx

10

1

106

ReRe24Cx =

= 24Re

.

fluide coefficient de viscosité masse volumique

huile h = 1,0 Pl r ≈ 1,0 . 103 kg . m–3

eau h = 1,0 . 10–3 Pl r = 1,0 . 103 kg . m–3


Exercices

g


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Détendeur constitué d’un réseaude tranches minces

Un tuyau horizontal de section carrée de côté a et de lon-gueur est divisé en tranches fines et égales par un grandnombre de lamelles d’épaisseur négligeable.

L’entrée est en contact avec un réservoir qui contient un fluidede masse volumique r et de viscosité h , maintenu à la pres-sion P1 . À la sortie, le fluide est à la pression extérieureP0 (P1 > P0) .

Si le régime d’écoulement est laminaire et permanent, déter-miner le débit, la vitesse moyenne de sortie ainsi que le nombrede Reynolds de l’écoulement.

Données : P0 = 1 bar ; P1 = 1,5 bar ; = a = 1 cm ; N = 50 .

Si les hypothèses sont justifiées, calculer le débit dans les cassuivants :

a) eau : h = 1,0 . 10–3 Pl ;

b) air : h = 1,7 . 10–5 Pl et r ≈ 1,3 gL–1 ;

c) huile : h = 1,0 Pl et r = 0,9 . 103 kg . m–3 .

Étude d’un viscosimètre

Un type de viscosimètreest schématisé sur leschéma ci-contre. Il estconstitué d’un tube capil-laire C reliant deuxboules B1 et B2 . Laboule B1 est remplie jus-qu’au niveau a (indexa) d’un liquide incom-pressible, de masse volu-mique r et de viscositéh . On mesure le temps t mis par la surface du liquide pourpasser de ce niveau, au niveau b (index b).

Ce viscosimètre est utilisé pour faire des mesures relatives.

1) Montrer que si l’on prend deux fluides de masse volumiquer1 et r2 , de viscosité h1 et h2 , les temps de transit t1 ett2 sont tels que :

2) Les masses volumiques respectives de l’acétone et de l’eauà 293 K sont :racétone = 792,0 kg . m–3 et reau = 998,2 kg . m–3 .

La viscosité de l’eau est de heau = 1,0050 . 10–3 Pl à 293 K.Il faut teau = 120,5 s à l’eau, pour s’écouler entre les deuxindex du viscosimètre.S’il faut tacétone = 49,5 s à l’acétone, quelle est la viscositéhacétone de l’acétone ?

Portance de l’aile d’un Boeing

Le but est d’évaluer la portance d’une aile en fonction de sasurface S , de la masse volumique r du fluide et de la vitesseV de l’avion.

1) En utilisant l’analyse dimensionnelle, déterminer le typede dépendance de la portance par unité de surface de l’ailed’un avion en fonction des grandeurs suivantes : V la vitessede l’avion, r la masse volumique du fluide dans lequel l’avionse déplace.

2) Un Boeing dont la masse est voisine de 1,5 . 105 kg , et lasurface des ailes d’environ 2,8 . 102 m2 , vole à une altitudede 11 km (où la densité de l’air est voisine de 0,37 kg . m–3)avec une vitesse de croisière de l’ordre de 2,5 . 102 m . s–1 .

Préciser la réponse de la question 1).

Diamètre d’une molécule par analysedimensionnelle

Le coefficient de viscosité h d’un gaz est fonction de lamasse m des molécules de ce gaz, de leur diamètre F et deleur vitesse quadratique moyenne U .

surface S de l’aile

ηη

ρ τρ τ

1

2

1 1

2 2

= .

index a

index bboule B1

bouleB2

C

g

tubecapillaire

a

la


6.


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À partir du tableau suivant, estimer le diamètre de la molé-cule de méthane (CH4) . On considérera les gaz comme desgaz parfaits.

Écoulement autour d’une aile d’avionD’après ENSIPC

L’air sera considéré comme un fluide parfait incompressiblede masse volumique r en écoulement stationnaire sur lequella pesanteur aura une influence négligeable. On se limitera àune étude bidimensionnelle dans le plan (xOy), les phéno-mènes étant invariants par translation selon (Oz).

1) Écoulement tourbillonnaireOn considère un écoulement orthoradial d’axe polaire (Oz)appelé tourbillon tel que :

• pour r < a, rot—[v(M)] = g .ez où g est une constante algébrique

• pour r > a, rot—[v(M)] = O

.

Ce tourbillon est dit ponctuel dans le plan (Oxy) si l’on consi-dère que si a → 0 et g → , le produit πa2g demeure égalà la valeur finie G que l’on nomme intensité du tourbillon.

Établir l’expression de v(M) en coordonnées polaires (r > a)avec G comme paramètre.

À quelle distribution électromagnétique peut-on éventuelle-ment comparer cet écoulement ?

2) Écoulement de l’air autour d’une aile modéliséeOn modélise une aile d’avion par une plaque rectangulairede largeur L que l’on appelle corde et de profondeur h quel’on appelle envergure. Cette plaque présente un angle decabrage a , angle géométrique positif dont la valeur sera tou-jours considérée comme faible. Les résultats littéraux serontsimplifiés en tenant compte de cette hypothèse.

L’épaisseur a de cette plaque est négligeable.

La face supérieure de la plaque s’appelle l’extrados et la faceinférieure l’intrados.Elle est placée dans un écoulement d’air qui, loin de cet obs-tacle, se fait à vitesse uniforme U

= Uex et à la pression P0 .

Pour étudier l’effet de l’aile, nous supposerons que la vitessev(M) peut être obtenue en introduisant une singularité de typetourbillonnaire sur la plaque. Cette singularité est définie parrot—[v(M)] = w (X) .ez de sorte que le produit aw(X) demeurefini et égal à g (X) quand on suppose a infiniment petite.

On obtient ainsi dans le plan de la figure une nappe tour-billonnaire à intensité répartie sur une longueur L le long del’axe (OX).

Si l’on désigne par vT(M) la vitesse de l’air autour de l’aileengendrée par le tourbillon, alors la vitesse de l’écoulementa pour expression v(M) = vT(M) + U

.

Une investigation plus approfondie permet d’aboutir à :

g (X) = – 2Ua4 .

Donnée complémentaire :L

05 dX = .

a) La singularité tourbillonnaire évoque une analogie avec lamagnétostatique.Illustrer par un dessin et sans faire de calcul le champ magné-tique B

produit par une nappe surfacique plane de courant

uniforme. Quelle est la symétrie de ce champ magnétique ?Quelle est sa discontinuité à la traversée de la nappe de cou-rant ?Quelle symétrie présente le champ des vitesses vT(M) parrapport au plan (OXZ ) ? Quelle est sa discontinuité à la tra-versée de la singularité tourbillonnaire ?

b) Si l’on note v T, t,e(X) la composante tangentielle (indicet) sur le vecteur de base ux de vT(M) à la surface de l’ex-trados (indice e) donner en fonction de v T, t,e(X) et en utili-sant la symétrie de ce champ des vitesses, l’expression de lacomposante tangentielle v T, t, i (X) de vT(M) sur ux à la sur-face de l’intrados (indice i ).

c) De la discontinuité du champ des vitesses, déduire v T, t,e(X)et v T, t, i (X) en fonction de g (X).

d) Donner les composantes tangentielles v t,e(X) et v t, i (X)de la vitesse totale de l’écoulement de l’air à la surface res-pectivement de l’extrados et de l’intrados en fonction de Uet g (X). Exprimer en fonction de U et a les composantes nor-males v T,n,e(X) et v T,n, i (X) de vT(M) sur uy au niveaude l’extrados et de l’intrados.

e) Tracer pour X variant de 0 à L l’allure des courbes repré-sentatives de v T, t, e (X) et v T, t, i (X). Préciser notammentl’existence éventuelle de points d’arrêt et donner s’il y a lieuleurs abscisses Xae et Xai .

πL2

L – XX

L – XX

uU

O

y

x

Y

extrados

intradosX

L

a

diamètre masse molaire viscosité(m) M (kg . mol–1) (kg . m–1. s–1)

hélium (He) 2,1.10–10 4.10–3 2,0.10–5

méthane (CH4) ?? 16.10–3 1,1.10–5


Exercices

Solution du tac au tac, page 190.Vrai : b, c ;Faux : a*

* On ne peut parler que de transfert dequantité de mouvement par diffusion etpas de vitesse de diffusion.

Vrai : c ; Faux : a, b, dVrai : c ; Faux : a, bVrai : d ; Faux : a, b, cVrai : a ; Faux : bVrai : c ; Faux : a, b.

Corrigés


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f) On donne ci-dessous la reproduction d’une photographiedes lignes de courant d’un écoulement d’huile autour d’unprofil d’aile présentant un angle de cabrage de 13°.

Commenter cette photographie en se référant à l’étude théo-rique précédente.

g) Exprimer les pressions Pe(X) et Pi(X) au niveau de l’ex-trados et de l’intrados en fonction de U, r , g (X) et P0 .

h) Exprimer la composante Fy de la résultante de l’action

de l’air sur l’aile en fonction de h, U, r , et G =L

0g (X) dX,

puis finalement en fonction de h, U, r , L et a .

i) Application

Un petit avion possède une masse totale m de 700 kg. On sup-pose que la portance s’exerce uniquement sur les ailes dontl’envergure est h = 5 m et la corde L = 1,5 m. L’angle decabrage a vaut 12°.

Quelle doit être la vitesse minimale (en km/h) de l’avion audécollage ?

On prendra g = 9,8 ms–2 et on rappelle que r = 1,3 kg .m–3

pour l’air.

j) Dans la réalité, les résultats précédents sont bien vérifiéspour des angles de cabrage inférieurs à 16°. Au-delà, onconstate une diminution brutale de Fy. Interpréter.

F

frot s’exprime par : F

frot = Cx r v 2 S .

• Si F

frot = – K S v v , alors on doit se situer dans la partie quasi horizontale de

la courbe, c’est-à-dire pour des nombres de Reynolds tels que : 103 < Re < 105 lorsqueles vitesses limites sont atteintes. Sachant que dans cette zone Cx ≈ 0,5 , on a K ≈0,25 rfluide . Avec S = π R2 , la vitesse limite est donnée par :

et

• Si F

frot = – 6 π h R v , alors on doit se situer dans la partie linéaire de la courbe :

conduisant à cette expression, c’est-à-dire dans la zone Re < 1 .

Le coefficient f est égal à f = 6 π h R . La vitesse limite est donnée par :

et on a toujours

Pour choisir entre les deux modèles, on calcule le nombre de Reynolds Re pour lavitesse limite obtenue :

Re .lim= ρη

Dvv lim = m g

R6πη

Cx ≈ 24

Re

Re .lim= ρη

Dvv lim = m g

K Rπ 2

12

1.2.3.4.5.6.

coefficients vitesse nombref (N.m–1.s) limite de commentaire

et K (kg.m–3) (m.s–1) Reynolds

laminaire f = 1,9.10–6 2,1.10+4 1,4.10+7 incorrectRe >> 1

turbulent K = 3,3.10–1 4,0.10+1 2,6.10+4 modèle correct103 < Re < 105

laminaire f = 9,4.10–5 4,3.10+2 4,3.10+6 incorrectRe >> 1

turbulent K = 2,5.10+2 1,4 1,4.10+4 modèle correct103 < Re < 105

modèlelaminaire f = 9,4.10–2 4,3.10–1 3,8 quasi correct

Re ≈ 1

turbulent K = 2,3.10+2 1,5 14incorrect

Re << 10+3

laminaire f = 1,9.10–6 2,7.10–3 1,8.10–3 modèle correctRe << 1

turbulent K = 3,3.10–1 4,5.10–1 2,9.10–1 incorrectRe << 10+3

laminaire f = 7,5.10–8 4,4 1,1.10+2 incorrectRe >> 1

turbulent K = 3,3.10–1 2,8 74incorrect

Re << 10+3

cas 1) a)bille de ferdans l’air

cas 1) b)bille de ferdans l’eau

cas 1) c)bille de ferdans l’huile

cas 2) a)goutte d’eau dediamètre 10 µm

cas 2) b)goutte d’eau de

diamètre 0,4 mm


6.


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La vitesse est maximale pour y = e :

Vmax =

Re = .

On calcule le nombre de Reynolds Re relatif à cet écoulement en prenant Vmax ete comme grandeurs caractéristiques de l’écoulement.

Avec de l’huile, l’hypothèse d’écoulement laminaire a de fortes chances d’être cor-recte.

Pour l’eau, l’hypothèse d’écoulement laminaire est certainement inexacte ; des tur-bulences ou instabilités vont apparaître. Il est possible que des instabilités du type dela suivante se développent.

Au niveau de l’interface fluide-air, il existe une discontinuité de la vitesse : dans lefluide v(y = e–) = v ex est maximale, alors que dans l’air v(y = e+) = 0 . Il existedonc une nappe de tourbillon en y = e . Des instabilités (cf. schéma) peuvent se déve-lopper dans cette nappe tourbillonnaire si le nombre de Reynolds est grand.

L’écoulement dans le bassin étant très lent, on suppose donc que la pression

y varie selon les lois de la statique des fluides : P(A) = Patm + rgh0 .

La formule de Poiseuille permet aussi d’écrire

D’où on déduit

La vitesse maximale v0 est telle que :

Dvol = 2 π r v (r) dr avec

Cela donne avec

Le nombre de Reynolds est donné par

• Le débit de 1 Ls–1 s’effectue à travers un tube de diamètre d = 1,27 cm , avec unevitesse maximale égale à v0 = 15,8 m . s–1 , ce qui donne un nombre de Reynolds égalà Re ≈ 2 . 10+5 . Le régime est turbulent et le calcul de d inexact.

• Le débit de 0,5 L . min–1 s’effectue à travers un tube de diamètre d = 0,38 cm ,avec une vitesse maximale égale à v0 = 1,4 m . s–1 , ce qui donne un nombre deReynolds égal à Re ≈ 5 500 . Le régime est encore turbulent et le calcul de d inexact.L’hypothèse n’est donc pas adaptée à ce type d’écoulement.

Chaque tranche est très large par rapport à son épaisseur. On peut négliger

l’influence des bords et appliquer le résultat concernant l’écoulement de Poiseuilleplan.

Pour chaque tranche (cf. chapitre 5, exercice 3), le débit massique est :

Dtranche = (P1 – P0), soit vmoy = (P1 – P0).

Au total : D = (P1 – P0).

La longueur caractéristique est et Re = (P1 – P0) =

a) Eau : Re = 3,3 . 103 .b) Air : Re = 1,5 . 104 (en négligeant la compressibilité).c) Huile : Re = 3 . 10–3 .

L’hypothèse d’écoulement laminaire est fausse pour l’eau et l’air, et justifiée pourl’huile, pour laquelle l’écoulement se réduit à un léger suintement :

D = 1,5.10–3 kg . s–1 = 1,5 g . s–1 .

1) Dans un tube capillaire, le débit volumique est donné par (cf. chapitre 5,

exercice 8) :

La force imposant le mouvement du fluide à travers le capillaire est directement fonc-tion de l’écart de pression ∆P dû à une hauteur donnée de fluide, donc directementproportionnelle à la masse volumique r .

Le débit volumique à travers ce capillaire à nombre de Reynolds très faible est constantau cours du temps. Le temps t de l’expérience est inversement proportionnel au débitvolumique.

Cela donne t = = b , où b est une constante de l’expérience indépendante

du fluide. On a donc :

2) L’application numérique donne :

η η ρ τρ τacétone eau

acétone acétone

eau eau

Pl= = −0 328 10 3, ..

ηη

ρ τρ τ

1

2

1 1

2 2

= .

hr

KDv

DaL

PP

v = =π ∆ ∆4

8ηα

η.

.η

Datranchera3

12h2 N3aN

ra4

12h N2

a2

12h N2ra4

12h N3

Re .= ρηv0 d

dL D

g h h=

+128

0 1

4η

ρvol

π ( ).v0 2

8= Ddvol

π

v v( ) .rrd

= −

0

2

21 4

d2

0

ρ ηg h h

L Dd

( ) .0 1 4128+ = vol

π

P A P ghL Dd

( ) .= − +atmvolρ η

1 4128

π

e +–

nappetourbillonnaire

+–

+–

y

reVmaxh

rg sinae2

2h

fluide vitesse maximale nombre de Reynoldsvmax (m . s–1) Re

huile vmax ≈ 2,5 mm . s–1 Re ≈ 2,5.10–3

eau vmax = 2,5 m . s–1 Re = 2 500


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1) La force par unité de surface étant homogène à une pression, elle est

donnée par la formule si les seules grandeurs qui interviennent sont

r et V . Ce qui donne k étant une grandeur adimensionnelle, c’est-

à-dire un nombre sans dimension, fonction de l’écoulement de fluide existant autourde l’avion.

2) À l’aide des valeurs numériques, on calcule k dans le cas d’un Boeing.

L’avion volant à altitude constante, la portance F doit être opposée à son poids ;négligeant les variations de g avec l’altitude, cela donne F ≈ 1,5 . 106 N .

Tous calculs faits, on obtient k = 0,46 .

Pour la majorité des avions, le coefficient k est compris entre 0,2 et 0,6 .

Pour un Boeing, on peut écrire :

On cherche h sous la forme h = k ma F b Ug , k étant une grandeur

adimensionnelle. Cette relation devient :

[h] = [m]a . [F]b . [U]g , soit M . L–1 . T–1 = Ma . Lb. Lg . T–g .

On trouve a = 1 , g = 1 et donc b = – 2 . On a donc

U étant la vitesse quadratique moyenne, pour un gaz parfait à la température ambiante :

.

Soit ce qui donne encore

On remarque que NA étant le nombre d’Avogadro.

On suppose k′ identique pour les deux gaz (ainsi que les températures), on obtient

alors K étant une constante identique pour les deux gaz.

On peut écrire 2,1 . 10–10 × 1,9 = 4,0 . 10–10 m .

Cette valeur est cohérente avec la valeur généralement admise de 300 pm.

1) Écoulement tourbillonnaire

• v = v (r ) u0 problème à symétrie cylindrique.

• En utilisant le théorème de Stokes sur un cercle d’axe (Oz) de rayon r.

v. d

= rot—v. dS

soit r < a 2πrv (r) = g πr2

r > a 2πrv (r) = g πa2 = G

donc pour r > a : v(M) = uq .

Le champ des vitesses est analogue au champ magnétique créé par un fil infini recti-

ligne : l’analogie étantv ↔ B

g ez ↔ m0 j

G ↔ m0 I

2) Écoulement autour d’une aile modélisée

a)

Le plan (XOz) est un plan de symétrie des courants donc d’antisymétrie de B

.Le plan (XOY) est un plan d’antisymétrie des courants donc de symétrie de B

.

L’envergure h est supposée grande.Donc B

est dans le plan (XOY) et BX (Y) = – BX (– Y ).

La composante X de B

est discontinue à la traversée de la plaque.La discontinuité de B

est donnée par :

B

(Y = 0+ ) – B

(Y = 0– ) = m0 j s

uY= – m0 j s . uX

Comme BX(Y ) = – BX(– Y ) BX(Y = 0+) = – .

L’analogie de 1) se fait ici entre g (X) et m0 js :V

T et B

.V

T est donc antisymétrique par rapport au plan (XOZ) et :V

T (Y = 0+ ) – V

T (Y = 0– ) = – g (X) uX .

b) Comme VTX (Y ) = – VTX (– Y ), VTte (X) = – VTti(X).

c) VTte (X) – VTti(X) = – g (X)

d’où VTte (X) = – VTti(X) = – .

d) V

= V

T + U

.Donc :

• en projection sur (OX) : Vt e (X) = – + U cos a ≈ – + U

Vt i (X) = + U cos a ≈ + U

• en projection sur (OY) : Vne (X) = Vn i (X) = 0 0 < X < L

La vitesse normale s’annule sur l’obstacle,d’où : O = vNe (X) + U sina = vNi (X) + U sina ,soit : VNe (X) = VNi (X) ≈ – aU

e) VTt

VTti

VTte

XL10,80,60,40,2

g (X)2

g (X)2

g (X)2

g (X)2

g (X)2

m0 j s

2

tJS

Y

X

G2πr

Φ ΦCH HeHe

CH

CH

He4

4

4=

=ηη

12

14M

M

η = K MΦ 2 ,

mMN

=A

,

η = ′kT mΦ 2 .U

k Tm

= 3 B ,

1

2

3

22mU k T= B

η = kmUΦ 2 .

F SV V= =0 462

1302

2 2

, .ρ ρ

F k SV= ρ 2

2,

FS

kV= ρ 2

2,


6.


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points d’arrêt V

= 0

soit :

• extrados : Vt e = 0 d’où g (X) = 2U impossible ;

• intrados : Vt i = 0 d’où g (X) = – 2U.

Soit a4 = 1 ou Xai = ≈ a2 L .

f) On a un point d’arrêt sur l’intrados.

• Sur l’extrados quand X croît Vt décroît (lignes de courant qui s’écartent).• Sur l’intrados pour X > Xai si X croît Vt croît (lignes de courant qui se resserrent).

g) L’écoulement est permanent, incompressible et irrotationnel en dehors des singu-larités. Le fluide est parfait. Il est donc possible d’appliquer le théorème de Bernoulli :

P0 + r = P + r en ne tenant pas compte de la pesanteur. Soit :

Pe (X) = P0 + U 2 – U –2

= P0 + Ug (X) –

Pi (X) = P0 + – Ug (X) – .

h)

F

= (Pi – Pe ) dS . U

Y

= hL

0– r Ug (X) dX . U

Y

= πr hLa U 2 U

Y

d’où, comme a est petit,une portance :

Fy = πr hLa U 2 .

i) La portance doit compenser le poids soit Fy > mg, ou :

U >5 U > 118 km/h.

Cette valeur est en bon accord avec l’expérience.

j) Au-delà de 16°, il y a décollement de la couche limite. La chute brutale de la por-tance conduit au « décrochage » de l’avion.

mgπr hLa

y

x

Y

X

uF

g 2(X)4

r2

g 2(X)4

r2

g (X)2

r2

v 2

2U2

2

L

1 +a12

L – XX


O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S


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Bilans mécaniqueset énergétiques

Nous connaissons les lois de la mécaniquedes systèmes matériels, ou les loisde la thermodynamique appliquéesà des systèmes fermés.Le but de ce chapitre est de montrer, à partird’exemples, comment il est possible de les traduirepour les appliquer à des systèmes ouverts.

Nous pourrons alors répondreà des questions telles que :• quelle est la poussée d’un réacteur ?• quelle est la puissance fournie par la détented’un gaz dans une turbine ?

Appliquer les lois de la dynamique et dela thermodynamique à un fluide en écou-lement.

Descriptions lagrangienne et eulérienned’un écoulement.

Pour un système matériel, théorèmes :• de la résultante cinétique ;• du moment cinétique ;• de l’énergie cinétique.

Premier et deuxième principes de la ther-modynamique.


7.

11.1.

échangeur thermique

*

1.2.

1.2.1.


*


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Bilans mécaniques et énergétiques

À propos d’un échangeur thermique :général ités et déf init ions

Description de l’échangeur

Un est constitué de deux canalisations 1 et 2 en contactthermique, de sections uniformes d’aires S1 et S2 , dans lesquelles circulent deuxfluides F1 et F2 de températures différentes (doc. 1).

Nous adoptons les hypothèses simplificatrices suivantes :

• l’ensemble est isolé thermiquement de l’extérieur ;

• les fluides sont des liquides incompressibles ;

• l’énergie interne d’une masse m de fluide ne dépend que de sa température Tet peut, au voisinage de T0 , s’exprimer par :

U = m c (T – T0)

en fixant, par convention, l’énergie interne nulle à la température T0 (cf. Application1).

• La capacité thermique massique c en chaque point est connue.

• Il y a un « bon conducteur thermique » entre les tuyaux guidant les deux fluides.

• L’écoulement est unidimensionnel : les caractéristiques thermodynamique et méca-nique du fluide sont supposées uniformes sur une section droite de la canalisation .

• La vitesse de chaque écoulement est indépendante du temps.

• Le fluide est supposé parfait, et nous négligeons les faibles variations d’altitude.D’après la relation de Bernoulli, les pressions P1 et P2 sont uniformes pour chaquecanalisation (sections uniformes).

Le fluide F1 entre à la température T1e dans l’échangeur et en ressort à T1s . Demême, le fluide F2 entre à T2e et ressort à T2s . Nous supposerons T1e > T2e :le fluide F1 se refroidit et F2 s’échauffe dans l’échangeur.

Système ouvert et système fermé

Ces définitions ont déjà été vues en thermodynamique et en mécanique.

Définitions (rappel)

Concrètement :

• un système ouvert n’est pas défini par un ensemble déterminé de particules maté-rielles, mais par une frontière, éventuellement traversée par un courant de matière(doc. 2a). La frontière S délimitant un système ouvert, appelée ,est immobile dans le référentiel d’étude (cf. chapitre 2, § 1.3) ;

Un système est fermé s’il n’échange pas de matière avec l’extérieur.

Un système ouvert, par opposition, peut échanger de la matière avec l’ex-térieur.

matériau isolant thermique

matériau « bon conducteur thermique »

F1

F2

F1

F2

Doc. 1. Échangeur thermique : nous sup-poserons que dans l’échangeur le fluideF1 se refroidit, et le fluide F2 s’échauffe.

surfacede contrôle

z

x O y

R

Doc. 2a. Le fluide traverse la surface decontrôle fixe dans le référentiel d’étude.

Rappelons que l’écoulement unidi-mensionnel est une idéalisation des écou-lements réels : la vitesse du fluide estnulle contre la paroi du tuyau, et il existeune couche limite (dont l’épaisseurdépend de la viscosité du fluide) au seinde laquelle la vitesse est inhomogène.


surface parti-culaire

1.2.2.

surface decontrôle

système fermé coïncident

1.3.

1.3.1.

v (M, t) δ t

v (P, t) δ t


• un système fermé, est défini par un ensemble déterminé de particules matérielles(doc. 2b). La frontière S* délimitant un système fermé, appelée

, est mobile dans le référentiel d’étude : les points de S* se déplacent à lavitesse locale du fluide.

L’échangeur thermique que nous étudions constitue un système ouvert. Il est constituéà chaque instant par les tuyaux et par le fluide qui se trouve à l’intérieur, et il estdélimité par l’enveloppe adiabatique et par les sections d’entrée et de sortie desdeux canalisations (doc. 3).

Système ouvert et système fermé coïncident *

Notons le système délimité par la surface fermée fixe S appelée(doc. 3) ; il est constitué de l’échangeur, des tuyaux et du fluide qu’ils

contiennent. est un système ouvert, car il y a transfert de matière à travers lasurface fixe S .

À l’instant t0 , les tuyaux et le fluide qui se trouvent dans peuvent définir unsystème matériel fermé que nous notons * ; ce système est déterminé par unesurface particulaire S* , dont les points se déplacent à la vitesse du fluide.

et * sont confondus à l’instant t0 (ils coïncident), mais évoluent ensuite dif-féremment :

• reste délimité par une frontière immobile S , et les éléments de fluide qui leconstituent sont progressivement remplacés par d’autres ;

• * est constitué par les tuyaux immobiles et par le fluide mobile. Sa frontière sedéforme au cours du temps, mais il reste constitué des mêmes éléments de fluide(doc. 3).

Nous avons rencontré une situation similaire en cinématique du point. Pour exprimerla relation entre les vitesses d’un point mobile, mesurées par des observateurs liésà deux référentiels, nous avons introduit la notion de point coïncident. Le pointmobile M et son point coïncident lié au référentiel ′ sont confondus à l’instantt , mais leurs trajectoires ultérieures diffèrent.

Par analogie, nous appellerons * au système ouvertà l’instant t .

Les lois de la mécanique et de la thermodynamique sont relatives à des systèmesfermés, qui relèvent d’une description lagrangienne.

Or, comme nous l’avons vu au chapitre 1, la description naturelle d’un écoulement,celle qui est déduite des informations issues de capteurs fixes, est eulérienne. Ilnous faut donc traduire l’évolution de * en données eulériennes.

Énergie interne massique et débit convectif

Énergie interne massique

L’écoulement est défini par un ensemble de grandeurs locales, définies en chaquepoint, comme la pression, la vitesse et la température. Ces grandeurs sont appeléesintensives, par opposition aux grandeurs extensives, qui sont, elles, définies pourun système déterminé.

Dans le cas étudié, nous ne pouvons pas définir de « température du système »,car celle-ci évolue continûment d’un point à un autre. Pour déterminer l’énergieinterne de (ou de *) , il nous faut « découper » en un très grand nombre de

Le système fermé * qui, à l’instant t , est constitué des mêmes élémentsmatériels que le système ouvert , est appelé système fermé coïncident de .

200

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surface particulaire à la date t + δt

surface particulaire à la date t

v (M, t) δ t

v (P, t) δ t

P

P’M

M’

Doc. 2b. Évolution d’une surface parti-culaire : elle est « entraînée » par le fluide.La masse M de fluide, délimitée par cettesurface en mouvement, est invariante dansle temps.

Σ

F1

F2

Doc. 3. Le système ouvert est délimitépar la surface de contrôle fixe S en poin-tillé. a. Système ouvert et système fermécoïncident * à la date t0 . b. À la datet0 + dt , ils ne coïncident plus.

a)

ΣΣ

F1

F2

transfert de matièreà travers la surface fixedélimitant le système S

b)


7.

1

ρ.

Pρ

Pρ

∆ ∆ ∆h c T Pm m= + 1

ρ.

h uP= +m ρ

.

eKm= 1

22v

δ δK = 1

22v m

Application 1


201


sous-systèmes définis à l’échelle mésoscopique, suffisamment petits pour qu’ils soienthomogènes, et suffisamment grands pour que la notion de température ait un sens.

Considérons au voisinage du point M un élément mésoscopique de matière demasse δm . Ce système a un volume δV , une énergie interne δU et une tempé-rature T . Remarquons bien que nous avons noté δV et δU mais pas δT : lorsquela quantité de matière considérée devient très petite, les grandeurs extensives ten-dent vers 0, alors que les grandeurs intensives restent invariantes.

Pour un élément du fluide F1 par exemple : δU = δm c1 (T – T0) .

Nous pouvons donc définir une variable intensive, l’énergie interne massique um(δU = um δm) qui dépend des conditions locales et non de la « taille » (masse ouvolume) de l’élément de matière. Ainsi, pour le fluide F1 : um = c1 (T – T0) .

L’énergie interne de s’écrit :

U = um(M)dm = r(M)um(M)dt .

Remarque

Nous pouvons, de même, définir d’autres grandeurs massiques, comme le volumemassique v , inverse de la masse volumique r : δm = r dt ou dt = v δm .Il est usuel de noter les grandeurs massiques par des minuscules. En mécaniquedes fluides, pour éviter la confusion avec la vitesse d’écoulement v , nous note-

rons le volume massique1

ρ.

1) Exprimer l’énergie cinétique massique et l’énergiepotentielle massique de pesanteur d’un fluide, en fonc-tion de sa vitesse d’écoulement v et de son altitude z .

2) Montrer sur l’exemple de l’eau que les variationsd’énergie interne et d’enthalpie massiques d’un liquideincompressible sont quasiment égales. Les exprimer enfonction de la chaleur massique c du liquide.Pour l’eau, c = 4,2 kJ . K–1. kg–1 .

1) L’énergie cinétique d’un élément mésoscopique est

et son énergie potentielle de pesanteur :

δ P = g z δm (si, par convention, P = 0 pour z = 0).

Les énergies massiques correspondantes sont donc :

et ePm= g z .

2) L’énergie interne U d’un système fluide dépend dedeux variables : U(T, V). S’il est incompressible, V est

constant, et l’énergie interne ne dépend plus que de T .Ce qui se traduit (pour une masse m de fluide), dansun domaine limité de températures par une loi affine :

U = m c (T – T0) , soit ∆um = c ∆T .

H = U + PV ou Donc, puisque r est

constant :

Dans le cas de l’eau, r = 1,00 .103 kg.m–3 .

Si ∆T = 1K : ∆um = 4,2 kJ.kg–1 .

On obtient une variation égale de pour :

∆P = 42 . 105 Pa .

Nous pouvons donc, pour les applications usuelles,

négliger les variations de et ∆hm ≈ ∆um ≈ cm ∆T .Pρ

Pρ

∆ ∆ ∆h c T Pm m= + 1

ρ.

h uP= +m ρ

.

eKm= 1

22v

δ δK = 1

22v m

Grandeurs massiques

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lit.


1.3.2.

débit massique

1.3.3.

1.3.4.

1.4.

1.4.1.

débit convectif

vdt

N


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Débit massique (rappel)

Rappelons que le Dm d’un fluide en écoulement à travers unesurface S est égal à la masse qui la traverse par unité de temps, ce qui s’écrit encorepour un intervalle de temps δ t : δ m = Dm δ t .

Si l’écoulement est unidimensionnel, le débit massique à travers une section droited’aire S d’un fluide, de masse volumique r et de vitesse d’écoulement v , a pourexpression (doc. 4) Dm = r v S .

Dans l’exemple étudié, et d’après cette relation, les vitesses v1 et v2 des fluidessont uniformes pour chaque canalisation.

Débit convectif d’énergie interne

Le fluide en écoulement transporte avec lui de la masse, mais aussi de l’énergie.

Le débit d’énergie interne DU à travers une section S est égal à la quantitéd’énergie interne qui la traverse par unité de temps.

Cette distinction est importante, car il peut exister d’autres formes de transfertd’énergie à travers une surface : la conduction et le rayonnement.

Relation avec le débit massique

Considérons la masse δm de fluide, d’énergie interne δU , qui traverse une sec-tion donnée pendant δt .

Nous avons δU = um δm = um Dm δt et nous en déduisons la valeur du débit DUde U :

DU = um Dm .

Dans le cas étudié, le débit entrant d’énergie interne à travers la section d’entréedu fluide F1 est :

DU1e= c1(T1e – T0)Dm1

.

Pour simplifier les notations, nous omettons l’indice m ; u désignera désormaisl’énergie interne massique.

Bilan énergétique

Premier principe de la thermodynamique

Effectuons, d’après le premier principe de la thermodynamique (qui est relatif auxsystèmes fermés), un bilan énergétique pour le système fermé * entre deux ins-tants voisins t et t + dt .

L’énergie totale de * est définie par = U + K + P avec U l’énergieinterne, K l’énergie cinétique macroscopique et P l’énergie potentielle macro-scopique.

Le bilan énergétique s’écrit, pour * , d = δW + δQ , où δW est le travail desforces extérieures qui ne dérivent pas de P et δQ l’énergie reçue par * partransfert thermique.

• Dans le cas étudié, l’énergie cinétique est constante et nous négligeons les varia-tions d’énergie potentielle de pesanteur, soit :

dU = δW + δQ en se souvenant que ce bilan concerne * .

Nous appelons , un débit associé au transport de matière.

S

vdt

N

Doc. 4. Débit massique. Le fluide qui tra-verse la section droite d’aire S pendantdt est contenu dans un cylindre de volumeS v dt (S perpendiculaire à la vitesse dufluide v).


7.

1.4.2.

1.4.3.

d

d

d

d m s e m s e

variationlocale

variationconvective

1 2

Ut

Ut

D u u D u u* ( ) ( ) .= + − + −

+ 1 1 2 2

c MT M t

tm( )

( , )∂∂

dd

d

Ut

=


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• Les parois extérieures des tuyaux de sont adiabatiques. Si, de plus, nous négli-geons le transfert thermique par conduction dans les fluides à travers les sectionsd’entrée et de sortie, le terme d’échange thermique δQ est nul.

• Les forces extérieures susceptibles de fournir du travail à * se limitent aux forcesde pression exercées sur les sections d’entrée et de sortie. Leurs puissances sont :

P1 S1 v1 et P2 S2 v2 , positives, au niveau des sections d’entrée ;

– P1 S1 v1 et – P2 S2 v2 , négatives, au niveau des sections de sortie.

La puissance totale et le travail δW sont donc nuls. Donc dU * = 0 puisque δWet δQ sont nuls.

Il nous reste à expliciter dU pour * avec des variables eulériennes.

Variation d’énergie interne de

U peut s’exprimer comme la somme des énergies internes de ses éléments :

U = Utuyaux + conducteur thermique + Ufluide 1 + Ufluide 2 .

Soit, en fonction de la température T(M, t) et de la capacité thermique massiquec(M) en chaque point :

U = c(M)T(M, t)dm avec c(M) = c1 dans F1 , etc.

D’où :

( est délimité par une surface de contrôle S fixe).

L’intégrale est étendue à tout le volume du système constitué des tuyaux, duconducteur thermique, et du fluide contenu à l’instant t .

Variation d’énergie interne de *

et * coïncident à l’instant t , mais sont décalés à l’instant t + dt (doc. 5).

À l’instant t : U *(t) = U (t) .

À l’instant t + dt : U *(t + dt) = U (t + dt) + δU1s + δU2s – δU1e – δU2e , ennotant δU1s l’énergie interne contenue dans l’élément de F1 de masse δm1 quiest sorti de l’échangeur pendant dt , δU1e celle de l’élément de F1 de masse δm1qui est rentré dans l’échangeur pendant dt , etc. (doc. 5).

Nous pouvons expliciter les δU en fonctions des débits massiques Dm 1et Dm 2

et des énergies internes massiques des fluides à l’entrée et à la sortie de l’échan-geur :

δU1e = δm1 u1e = Dm 1u1e dt , etc.

On obtient :

U *(t + dt) – U *(t) = U (t + dt) – U (t) + [Dm 1(u1s – u1e) + Dm 2

(u2s – u2e)]dt ,

ou :d

d

d

d m s e m s e

variationlocale

variationconvective

1 2

Ut

Ut

D u u D u u* ( ) ( ) .= + − + −

+ 1 1 2 2

c MT M t

tm( )

( , )∂∂

dd

d

Ut

=

F1

F2

Doc. 5. Évolution du système fermé * ;δm1 = Dm1 dt ; δm2 = Dm2 dt avec Dm1et Dm2 les débits massiques sortants.a. À la date t .b. À la date t + dt .

a)

F1

F2

b)


1.4.4.

1.4.5.

∂∂Tt

= 0.

c MT M t

tm D c T T D c T T( )

( , )( ) ( )

∂∂

d m s e m s e1 2+ − + − =1 1 1 2 2 2 0

d

d

d

d m s e m s e1 2

Ut

Ut

D u u D u u* ( ) ( )= + − + − =1 1 2 2 0

d

d

d

d

Ut

Ut

* = +

d

d

d

d m s e m s e1 2

Ut

Ut

D c T T D c T T* ( ) ( ) .= + − + −1 1 1 2 2 2

Application 2


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En fonction des températures :

Dm 1(u1s – u1e) + Dm 2

(u2s – u2e) représente la somme (algébrique) des débitsconvectifs sortants d’énergie interne, et nous en déduisons :

(débit convectif total sortant d’énergie interne).

Expression eulérienne du bilan énergétique

En regroupant ces résultats, nous pouvons exprimer le bilan énergétique au moyende grandeurs eulériennes :

,

ou encore, en fonction de la température :

(les fluides sont supposés incompressibles).

Cas du régime permanentLe régime d’écoulement est permanent si toutes les grandeurs eulériennes sont

constantes au cours du temps ; cela se traduit ici par

Notons bien que le caractère permanent est relatif à et non à * : les différentséléments de fluide de * voient leur température évoluer au cours du temps.

Le bilan énergétique devient :

Dm 1c1 (T1s – T1e) + Dm 2

c2 (T2s – T2e) = 0 .

Du point de vue du seul fluide F1 , l’opération revient à faire passer, pendant unedurée dt , la température d’une masse δm1 = Dm 1

dt , de T1e à T1s .Dm 1

c1 (T1s – T1e) dt et Dm 2c2 (T2s – T2e) représentent donc les accroissements

d’énergie interne des fluides F1 et F2 pendant dt .

L’application 2 propose un modèle d’échanges thermiques entre les fluides pourdéterminer les températures de sortie.

∂∂Tt

= 0.

c MT M t

tm D c T T D c T T( )

( , )( ) ( )

∂∂

d m s e m s e1 2+ − + − =1 1 1 2 2 2 0

d

d

d

d m s e m s e1 2

Ut

Ut

D u u D u u* ( ) ( )= + − + − =1 1 2 2 0

d

d

d

d

Ut

Ut

* = +

d

d

d

d m s e m s e1 2

Ut

Ut

D c T T D c T T* ( ) ( ) .= + − + −1 1 1 2 2 2

Deux liquides 1 (chaud) et 2 (froid) s’écoulent ensens inverses dans deux canalisations séparées et encontact thermique (doc. 6) . Nous repérons une sectionpar son abscisse x , comprise entre 0 (point A) et L(point B).

1 , de capacité thermique massique c1 , circule deA à B , avec un débit massique Dm 1

et sa tempé-rature varie, en régime permanent, selon une loiT1(x) . On définit de même c2 , Dm 2

et T2(x) pour 2(doc. 6).

Échangeur à contre-courant


7.

TT

LT

LA

A B

2

1 2

1=

−

+λ

λ

.

θ ψ ψ θλ

constante et = −0 2 x .

λ ψ θd

dx= − 2 ,λ θd

dx= 0

λ = = =D c

G

D c

GDcG

m m1 21 2

D cTx

G T Tm2

d

d22

1 2= − −( )

D cTx

G T Tm1

d

d11

1 2= − −( ).

δ δmcTx

t G T x T x x22

2 2 1d

dd( ) ( ( ) ( ))− = − −v

δ δmcTx

t G T x T x x11

1 2 1d

ddv = −( ( ) ( ))

v


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undé

lit.


1 pénètre en A à la température T1A , connue, etressort en B à la température T1B . 2 pénètre en Bà la température T2B , inférieure à T1A et connue, etressort en A à la température T2A .

Les échanges thermiques entre les deux canalisationssont supposés suivre une loi linéaire. La puissance ther-mique d th cédée par 1 à 2 au niveau d’unetranche de longueur dx est égale à :

d th = G (T1 – T2) dx .

La viscosité est négligée, et l’écoulement des deuxliquides (incompressibles) est isobare.

1) Écrire les deux équations différentielles couplées enT1(x) et T2(x) .

2) On se place dans le cas où Dm 1c1 = Dm 2

c2 = D c .

a) Déterminer T2A et vérifier qualitativement le résultaten faisant varier les paramètres L , D , c et G .

b) Déterminer la puissance thermique reçue par 2 auniveau de l’échangeur.

1) Le régime permanent étant établi, la température desfluides ne dépend plus que de x . Écrivons le bilan éner-gétique pour le système fermé constitué d’un élémentde 1 (respectivement 2), de masse δm , de longueurδx (doc. 7).

À l’instant t , son abscisse est x , et son énergie interneest (en posant u(T0) = 0) :

δU1(t) = δm c1 (T1(x) – T0)

(respectivement δU2(t) = δm c2 (T2 (x) – T0)).

À l’instant t + dt , son abscisse est x + v1 dt , et sonénergie interne est :

δU1(t + dt) = δm c1 (T1(x + v1 dt) – T0)

(respectivement δU2(t) = δm c2 (T2 (x – v2 dt) – T0)).

Le travail des forces de pression est nul (même pressionet même volume balayé en amont et en aval, et la varia-

tion de δU n’est due qu’au transfert thermique sur lalongueur δx :

dt

(respectivement :

dt,

attention aux signes !).

Si S est l’aire de la section de la canalisation :

δm v1 = r1 S δx v1 = r1 S v1 δx = Dm 1δx ,

d’où l’équation différentielle :

Nous obtenons de même

(attention aux signes !).

2) a) Posons (homogène à

une longueur), q = T1 – T2 et y = T1 + T2 .

En effectuant la somme et la différence des deux équa-tions précédentes, nous obtenons :

et

ce qui donne

T1(x) = (q + y) et T2(x) = (y – q)

En écrivant T1 (0) = T1A et T2 (L) = T2B , nous obte-nons q , puis T2A = T1A – q , soit :

T2A se rapproche de T1A si l tend vers 0 . Il est clairque cette situation se produit si les échanges thermiquessont favorisés, ce qui peut s’obtenir avec L grand,

TT

LT

LA

A B

2

1 2

1=

−

+λ

λ

.

12

12

θ ψ ψ θλ

constante et = −0 2 x .

λ ψ θd

dx= − 2 ,λ θd

dx= 0

λ = = =D c

G

D c

GDcG

m m1 21 2

D cTx

G T Tm2

d

d22

1 2= − −( )

D cTx

G T Tm1

d

d11

1 2= − −( ).

δ δmcTx

t G T x T x x22

2 2 1d

dd( ) ( ( ) ( ))− = − −v

δ δmcTx

t G T x T x x11

1 2 1d

ddv = −( ( ) ( ))

Σ

A B

1

L x0

L

2L

Doc. 6. Échangeur à contre-courant.

x

instant t

instant t + dt

δx

x

v

x + dtv

Doc. 7. Évolution d’un élément de 1 .

+


1.5.

1.5.1.

1.5.2


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Généralisation

Les méthodes utilisées pour le bilan d’énergie interne de l’échangeur peuvent setransposer à d’autres grandeurs extensives comme l’énergie mécanique, ou desgrandeurs vectorielles comme la quantité de mouvement et le moment cinétique.

Grandeur volumique

À toute grandeur extensive, nous associons la grandeur volumique correspondantescalaire ou vectorielle ; nous obtenons ainsi le document 8.

. Grandeur massique

À toute grandeur extensive, nous associons la grandeur massique correspondantescalaire ou vectorielle ; nous obtenons ainsi le document 9.

G grand, ou D petit. Ces considérations intuitives cor-respondent bien au résultat du calcul.

b) Pour 2 , pendant dt , l’opération correspond à fairepasser une masse δm = Dm 2

dt de la température T2B

à la température T2A , soit un gain d’énergie deDm 2

c2 (T2A – T2B) dt .

La puissance thermique reçue par 2 est donc :

th = Dm 2c2 (T2A – T2B).

grandeur G grandeur volumique gv G = gv

énergie interne U uv δU = uv δt

enthalpie H hv δH = hv δt

entropie S sv δS = sv δt

énergie cinétique K δ K =

quantité de mouvement p rv δ p = rvδt

moment cinétique L

0 r r∧v δ L

0 = r(r∧v) δt

δ

ρ τv 2

2

ρv 2

2

Doc. 8. Grandeur volumique.

grandeur G grandeur massique g G = g m

énergie interne U um δU = um δm

enthalpie H hm δH = hm δm

entropie S sm δS = sm δm

énergie cinétique K δ K =

quantité de mouvement p v δ p = vδm

moment cinétique L

0 r∧v δ L

0 = (r∧v)δm

δ

v 2

2m

v 2

2

Doc. 9. Grandeur massique.


7.

1.5.3.

1.5.4.

22.1.

2.1.1.

p mi ii

N =

=∑ v

1

.


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Débit convectif d’une grandeur extensive

La masse δm de fluide qui traverse une section S pendant dt est égale à Dm dt .Par définition de gm (massique), la quantité de G transportée par δm estδG = gm Dm dt . Nous en déduisons la valeur du débit de G : DG = gm Dm .


Bilan

Nous allons devoir, comme pour l’exemple traité précédemment, appliquer les loisde la mécanique ou de la thermodynamique qui sont énoncées pour des systèmesfermés, alors que nos données concernent un système ouvert .

Nous considérerons alors le système fermé * , coïncident au système à l’ins-tant t , puis nous effectuerons un bilan de l’évolution de la quantité de la grandeurextensive G (scalaire ou vectorielle) contenue dans * entre deux instants infi-niment voisins. Nous ne tenterons pas d’établir une loi générale, mais nous effec-tuerons un bilan adapté à chaque exemple particulier.

Seule la méthode (et non une quelconque formule ! !) est à retenir.

Bilans de quantité de mouvement

Théorème de la résultante cinétique

Rappelons le théorème de la résultante cinétique pour un système matériel.

Quantité de mouvement ou résultante cinétique

La quantité de mouvement (ou résultante cinétique) d’un système matériel est égaleà la somme des quantités de mouvements de ses éléments.

• Pour un système contenant N particules de masses mi et de vitesses vi , la quan-tité de mouvement est :

• Pour un système continu, comme un fluide, un élément de volume situé au voi-sinage d’un point M possède une quantité de mouvement élémentaire telle qued p = v(M) dm et sa quantité de mouvement est :

système

v(M) dm .p =

p mi ii

N =

=∑ v

1

.

Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel, le débit convectif d’une gran-deur extensive G s’exprime en fonction du débit massique et de la gran-deur massique gm par DG = gm Dm .

Le débit DG à travers une surface de la grandeur extensive G est égalà la quantité de G traversant par unité de temps.

Nous appelons débit convectif, le débit de G associé au transport de matière.


2.1.2.

système maté-riel

2.2.

2.2.1.

D Dp

= v m .

D Dp xx= v m


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• Si tous les points du système, dont la masse totale est m , ont la même vitesse v :

p = m v .

• La quantité de mouvement massique en un point est égale à la vitesse d’écoule-ment en ce point. Le débit convectif de quantité de mouvement à travers une sur-face s’exprime donc en fonction du débit massique Dm et de la vitesse v .

Pour chaque composante cartésienne : , ou vectoriellement :

Énoncé du théorème

La dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement d’un(système fermé) est égale à la résultante des forces extérieures appliquées à ce

système.

• Si le référentiel d’étude est galiléen, les forces extérieures sont dues à l’interac-tion avec d’autres systèmes. Dans le cas contraire, il faut y adjoindre les forcesd’inertie.

• La résultante des forces intérieures est nulle.

Exemple de bilan de quantité de mouvement :poussée d’un turboréacteur

Modèle simplifié

Le turboréacteur est fixé sur un avion (doc. 10), qui est en translation par rapportà l’atmosphère : vavion = – v1 ex est constante. Exprimons dorénavant toutes lesgrandeurs dans le référentiel de l’avion, supposé galiléen.

L’air pénètre donc dans le réacteur avec une vitesse v1 = v1 ex , puis il est com-primé. Les gaz issus de la combustion sont détendus dans une tuyère. Ils fournis-sent l’énergie nécessaire au fonctionnement du compresseur, puis sont finalementéjectés à une vitesse v2 = v2 ex .

Dans notre modèle simplifié, v1 et v2 sont supposées uniformes sur les sectionsd’entrée et de sortie S1 et S2 (doc. 11).

Nous adoptons un modèle d’écoulement des fluides permanent (dans le référentieldu turboréacteur), pour lequel la pression est assimilée à la pression atmosphériqueambiante sur les faces d’entrée et de sortie.

Notons Dm air le débit massique entrant en air, c’est-à-dire la masse d’air entrantdans le turboréacteur par unité de temps.

Le carburant est du kérosène, que nous supposerons constitué de dodécane C12H26de masse molaire M = 170 g.mol–1 . L’air étant composé de 20 % de dioxygèneO2 et de 80 % de diazote N2 ; 18,5 moles de dioxygène, soit 2,664 kg d’air sontnécessaires à la combustion de 1 mole de C12H26 .

Si nous supposons, de plus, que le débit de kérosène est égal à la moitié de celuiqui existerait avec des proportions stœchiométriques, on aura 1 mole de C12H26pour 37 moles d’air. Soit :

Dm carb = Dm air = a Dmair avec a = 0,032 .17037 144

D Dp

= v m .

D Dp xx= v m

xx’

v vturboréacteur

vitesse 1 = – 1 exde l’avion

Doc. 10. Turboréacteur fixé sur un avion.

Σ

liaison avec l’avion

air entrant

carburant

compresseur

1

Σ 2

tuyère

chambrede

combustion

Doc. 11. Turboréacteur.


7.

2.2.2.

2.2.3.

d

d m air extérieurp

tD e Rx

*

*[( ) ] .= + − = →1 2 1α v v

D

D

pt

).

d

d m airp

tD ex

* [( ) ] ,= + −1 2 1α v v


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Dans ces conditions, le débit massique sortant est, en raison de la conservation dela masse des réactifs (régime permanent) :

Dm sortant = (1 + a) Dm air = 1,032 Dm air .

Notre problème est de déterminer, en fonction des données (vitesses et débits), laforce exercée par le turboréacteur sur l’avion.

Bilan de quantité de mouvement

Considérons le système ouvert constitué par le turboréacteur, le carburant, etpar les gaz situés à l’instant t entre S1 et S2 .

Remarque

Nous savons que le bilan de quantité de mouvement du système (ouvert ou fermé)est uniquement dû au fluide, mais il est souvent très utile pour des raisons de sim-plicité, dans le bilan des forces par exemple, d’inclure dans le système « l’enve-loppe matérielle » ou « l’enceinte » dans laquelle évolue le fluide.

La quantité de mouvement de est constante, car les grandeurs ne dépendent pasexplicitement du temps :

• l’écoulement des fluides étant permanent, r(M)v(M) est constant en tout pointde ;

• le mouvement des pièces mobiles du réacteur (compresseur, etc.) peut être sup-posé permanent.

Considérons le système fermé * , coïncident à à l’instant t . Soit δm1 lamasse d’air entrant dans et δm2 la masse de gaz sortant de pendant la duréeélémentaire d t (doc. 12).

La quantité de mouvement de * est, elle, variable. Effectuons un bilan de quan-tité de mouvement entre les instants t et t + d t :

p *(t) = p (t)

p *(t + dt) = p (t + dt) + δm2 v2 ex – δm1 v1 ex .

p étant constant :

p (t + dt) = p (t)

et p *(t + dt) – p *(t) = (δm2 v2 – δm1 v1) ex .

En explicitant les δm :

p *(t + dt) – p *(t) = (Dm sortant v2 – Dm air v1) ex dt ,

soit :

(expression que nous aurions pu écrire

Poussée du réacteur

Appliquons le théorème de la résultante cinétique au système fermé * dans leréférentiel de l’avion, galiléen :

Par la suite, nous négligerons le poids du réacteur.

d

d m air extérieurp

tD e Rx

*

*[( ) ] .= + − = →1 2 1α v v

D

D

pt

).

d

d m airp

tD ex

* [( ) ] ,= + −1 2 1α v v

δm2

Σ

réservoir

1 Σ 2

δm1

S

Doc. 12. À l’instant t + dt , * s’iden-tifie à diminué de δm1 et augmentéde δm2 .


Fpression

Fpression

Favion → réacteur

Fext


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Les forces exercées par l’extérieur sur * sont :

• les forces exercées par l’atmosphère sur la paroi extérieure, qui comprennent desforces de pression et des forces de cisaillement (ou de frottement) ;

• la force exercée par l’avion sur le réacteur.

Les systèmes et * étant confondus à l’instant t , les forces qui leur sontappliquées sont égales, et nous appelons poussée F

P , l’opposée de R

ext→ * .

Nous pouvons donc écrire, pour :

F

avion→ + F

atmosphère→ + F

P = 0

.

Nous obtiendrions une expression identique si le réacteur était un système ferméauquel nous appliquerions, en plus de F

avion→ et de F

atmosphère→ une forceégale à F

P .

La poussée est donc équivalente à une force appliquée au réacteur, et qui a pourexpression :

F

P = – Dm air[(1 + a)v2 – v1] ex .

En remarquant que a << 1 :

FP = | F

P | ≈ Dm air(v2 – v1) .

À titre d’exemple, considérons un avion qui se déplace à 300 m.s–1 à haute alti-tude, où la masse volumique de l’air est de 0,3 kg . m–3 . Si la surface d’entrée S1a une aire de 1 m2 , Dm = 90 kg . s–1 .

Avec nos hypothèses, si v2 = 800 m . s–1 , la poussée du réacteur est de 4,5 . 104

N (« 4,5 tonnes »), et il consomme 2,9 kg de carburant par seconde.

Remarques

• La valeur de v2 peut être obtenue à partir du taux de compression, et des consi-dérations thermodynamiques.

• Nous avons inclus le turboréacteur dans le système ouvert . Nous aurions puconsidérer le système ¢ constitué du seul fluide contenu dans le réacteur. Maisdans ce cas, l’analyse des forces extérieures aurait été différente :

R

extérieur→ ′ = F

réacteur→ ′ + Patm (S1 – S2) ex

= Dm air [(1 a )v2 – v1] ex .

Écrivons l’équilibre mécanique du réacteur seul (sans fluide) :

0

= – F

réacteur→ ′ + F

ext + F

avion→réacteur ,

où F

ext représente la résultante des forces exercées par l’air sur la paroi exté-rieure du réacteur (doc. 13).

En combinant ces bilans, nous obtenons la même expression pour la poussée, équi-valente à une force appliquée au réacteur :

F

P = – (F

avion→réacteur + F

atmosphère→ )

= – Dm air[(1 + a)v2 – v1] ex .

Ces considérations montrent que le choix du système, s’il ne modifie pas, bien évi-demment, le résultat, influe sur la complexité des calculs et des raisonnements.

avion

Fpression

Fpression

Favion → réacteur

Fext

Doc. 13. Bilan des forces extérieures.


7.

D

Dm

m

2 1

2= − sin

.αD

Dm

m

1 1

2= + sinα

D D Dm m m= +1 2

,D D Dm m msinα = −1 2

Application 3

F0

v

v2

v1


211


Un jet d’eau est envoyé sur une plaque plane avec unevitesse v , un débit massique Dm et un angle d’inci-dence a .Les grandeurs vectorielles seront exprimées dans la baseorthonormée (ex , ey , ez), ez étant normal à la plaqueet ex dans le plan d’incidence, défini par ez et la vitessedu jet incident (doc. 14).

Nous admettons les hypothèses suivantes :• la viscosité de l’eau est négligée ; il n’y a donc aucuneperte d’énergie mécanique ;• après l’impact sur la plaque, la vitesse de l’eau restetangente à celle-ci ;• le jet et la plaque sont soumis à la pression atmo-sphérique ;• l’influence de la pesanteur est négligeable ;• le jet incident se sépare en deux jets unidimensionnels,dont les vitesses sont dans le plan d’incidence.Déterminer :a) les vitesses v1 et v2 des jets émergeants ;b) leurs débits massiques Dm 1

et Dm 2;

c) la force de poussée. Nous pouvons la définir commeopposée à la force supplémentaire F

0 qui est appliquéepour maintenir la plaque immobile.

a) Le fluide est parfait et l’écoulement permanent dansle référentiel d’étude. Nous pouvons donc appliquer larelation de Bernoulli à chaque ligne de courant. Commela pression extérieure est partout égale à la pressionatmosphérique, les vitesses des deux jets émergents sontégales à v : || v1|| = || v2 || = || v || = v .

b) Considérons le système ouvert constitué par laplaque et par le fluide contenu entre une section du jetincident et une section de chaque jet émergent.L’écoulement étant permanent, la quantité de mouve-ment contenue dans est constante.

δm = Dm dt , δm1 = Dm 1dt et δm2 = Dm 2

dt repré-sentent les quantités d’eau qui traversent les frontièresde pendant la durée élémentaire dt .

Considérons le système * qui coïncide avec àl’instant t et effectuons un bilan de quantité de mou-vement pour * entre les instants t et t + dt .

À l’instant t : p *(t) = p (t) .

À l’instant t + dt :

p *(t + dt) = p (t + dt) – δm v (sina ex – cosa ez )+ (δm1 v – δm2 v) ex .

En régime permanent p (t) = p (t + dt) , d’où :

p *(t + dt) – p *(t) = + Dm v cosa dt ez

+ [– Dm v sina + Dm 1v – Dm 2

v] dt ex ,soit :

= + Dm v cosa ez + [– Dm sin a + Dm1– Dm2

] v ex

= F

0 + F

pression .

• La pression étant égale à la pression atmosphérique entout point de la frontière de (c’est pour cette raisonque nous avons choisi d’inclure la plaque dans le sys-tème), la résultante des forces de pression est nulle.

En effet – P0 dS

= – P0 dS

= 0

.

• Considérons maintenant l’équilibre de la plaque seule :

0

= F

eau→plaque + F

air→plaque + F

0 .

En l’absence de forces de cisaillement (fluide sans vis-cosité), l’action de la plaque sur l’eau est normale à laplaque, comme celle des forces de pression atmosphé-rique ; F

0 est donc normale à la plaque. Nous dédui-sons alors du bilan de quantité de mouvement :

avec

(conservation du débit)

soit et

c) Du bilan de quantité de mouvement, nous en dédui-sons également :

F

0 = + Dmv cosa ez , d’où F

poussée = – Dmv cosa ez .

D

Dm

m

2 1

2= − sin

.αD

Dm

m

1 1

2= + sinα

D D Dm m m= +1 2

,D D Dm m msinα = −1 2

dp*

dt

Jet d’eau sur une plaque

débit Dm1x

z

F0

débit Dm2

débit Dm

v

v2

v1

0

surface Sdélimitant

α

Doc. 14. Le jet d’eau exerce une force opposée à F

0 .

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33.1.

3.1.1.

3.1.2.

des forcesextérieures

3.2.

3.2.1.

3.2.2.

eK = 1

22v .

K = 1

22mv .

v


212

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Bilans de moment cinétiqueet d’énergie cinétique

Théorème scalaire du moment cinétique (rappel)

Moment cinétique par rapport à un axe

Le moment cinétique d’un objet ponctuel par rapport à un axe ∆(O, e∆) est :

L∆ = e∆ . (OM–

∧ m v) .

En coordonnées cylindriques d’axe ∆ : L∆ = m r2q•.

Si v est normale à l’axe ∆ (doc. 15) : L∆ = e m v d .

• Le moment cinétique d’un système matériel quelconque par rapport à l’axe ∆ estégal à la somme des moments cinétiques de ses éléments.

Si le système est un solide en rotation autour de ∆ : L∆ = J∆w .

• Le moment cinétique massique en un point d’un fluide en écoulement est en coor-données cylindriques :

l∆ = r2 q•.


La dérivée par rapport au temps du moment cinétique par rapport à un axe fixe d’unsystème matériel est égale au moment résultant, par rapport à cet axe,

appliquées à ce système.

Si le référentiel d’étude est non galiléen, il faut inclure les forces d’inertie dans lesforces extérieures.

Théorème de l’énergie cinétique

Énergie cinétique

• L’énergie cinétique d’un objet ponctuel est

• L’énergie cinétique d’un système matériel quelconque est égale à la somme desénergies cinétiques de ses éléments.

• Si le système est un solide en rotation autour d’un axe fixe ∆ :

K = J∆ω2

• L’énergie cinétique massique en un point d’un fluide en écoulement est :


Pour un point matériel de masse m, nous avons :

ma = F

, donc mv2 = F

.v =

où est la puissance des actions subies par le point matériel.

12

ddt

eK = 1

22v .

12

K = 1

22mv .

d

Mv

∆

Doc. 15. Moment cinétique par rapport àl’axe D : LD = e m d v .e = + 1 si M « tourne » autour de D dansle sens positif (cas de la figure).


7.

système fermé

tant inté-rieures qu’extérieures

3.2.3.

3.2.4.

3.3

3.3.1

ω

v1

v2


213

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Pour un ensemble de points matériels, * suivi dans son mouve-ment, nous aurons, par superposition :

K = = int + ext

en comptant la puissance de toutes les actions subies au sein du système,.

Puissance des actions subies

Si les actions extérieures sont connues, ainsi que le mouvement du système, il estpossible d’exprimer ext . Par exemple, pour un solide en rotation autour d’un axe∆ fixe, la puissance des forces extérieures, dont le moment par rapport à ∆ vaut

∆ , s’écrit :

ext = ∆w .

La puissance des actions intérieures est souvent difficile à exprimer directement,sauf peut-être dans quelques cas simples, qui peuvent heureusement modéliser assezconvenablement des situations fréquentes :

– pour un solide indéformable, la puissance des actions intérieures est nulle ;

– pour un fluide, il y a mouvement relatif des particules et les actions intérieurestravaillent (pression, viscosité). Le cas d’un fluide « parfait » incompressible per-met cependant de simplifier l’étude…

Écoulement de fluide parfait incompressible

Dans un fluide en écoulement incompressible, les distances entre particules restent(statistiquement) constantes : les forces de pression ne travaillent pas (pas de terme« – P dV ».

L’effet de la viscosité est souvent assez faible, de sorte que nous négligerons soninfluence en première approximation : le fluide est considéré comme parfait. Lecas échéant, il faudrait peut-être tenir compte aussi de l’échauffement au sein dufluide : une étude thermodynamique s’impose alors.

Nous voyons que dans le cas général, un bilan énergétique complet devient néces-saire (cf. § 4.).

Pour étudier le bilan énergétique lors de la circulation d’eau dans une turbine, uneapproximation de fluide parfait incompressible reste assez satisfaisante :

int ≈ 0 et d K ≈ d K macro .

C’est ce que nous utiliserons dans l’exemple qui suit.

. Exemple : étude d’une turbine

. Description du modèle

Une turbine, entraînée par un jet d’eau, tourne autour de son axe fixe ∆ à la vitesseangulaire w (doc. 16).

Hypothèses et notation

• Par moment cinétique, ou moment de forces, nous entendons les moments parrapport à l’axe de rotation ∆ .

ddt

ω

v1

v2

∆

Doc. 16. Turbine entraînée par un jetd’eau.


3.3.2.

d

d

d

dmL

tD a J

t* ( ) .= − − + = −v v1 2

ω Γ

d

d extérieurL

t*

* .= →

d

d

d

dmL

tD a J

t* ( ) .= − − +v v1 2

ω

ω

v1

v2


214

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lit.


• Le jet incident et le jet émergent sont unidimensionnels et d’épaisseur négli-geable. Ils entrent et sortent tangentiellement à un cercle d’axe ∆ et de rayon a .Le débit massique d’eau est Dm , la vitesse du jet incident est v1 (module v1) etcelle du jet émergent v2 (module v2). La valeur de v1 est connue, mais celle dev2 dépend de w .

• Le moment cinétique par rapport à ∆ de la turbine et de l’eau qu’elle contientest Jw . On suppose que J est constant.

• La machine entraînée par la turbine et les frottements sur l’axe exercent un momentrésistant de valeur absolue G . On suppose G constant, indépendant du régime.

• L’action de la pesanteur est négligée.

Bilan de moment cinétique

Considérons le système ouvert , constitué par la turbine et le fluide contenu entrela section d’entrée S1 et la section de sortie S2 ainsi que le système fermé *coïncidant à l’instant t (doc. 17).

Le choix de ce système se justifie parce qu’il va nous permettre d’appliquer defaçon assez simple le théorème du moment cinétique. En effet, comme il est entiè-rement soumis à la pression extérieure, uniforme, le moment des forces de pres-sion est nul. De plus, nous n’avons pas à exprimer les forces intérieures d’interactionentre le jet et la turbine.

Pendant la durée élémentaire dt , une masse δm = Dm dt d’eau entre par S1 avecun moment cinétique :

δL1 = δm v1 a ;

et une masse égale sort par S2 avec un moment cinétique :

δL2 = δm v2 a .

• Effectuons, pour * , un bilan de moment cinétique entre les instants t et t + dt :

L *(t) = L (t) ;

L *(t + dt) = L (t + dt) + Dm v2 a dt – Dm v1 a dt ;

L (t) = Jw (t) et L (t + dt) = Jw (t + dt) ,

d’où :

L *(t + dt) – L *(t) = – Dm a (v1 – v2) dt + J[w(t + dt) – w(t)] ,

soit :

• Appliquons maintenant le théorème du moment cinétique au système fermé* dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :

Le moment par rapport à ∆ des forces extérieures de pression étant nul, nous obte-nons l’équation différentielle :

d

d

d

dmL

tD a J

t* ( ) .= − − + = −v v1 2

ω Γ

d

d extérieurL

t*

* .= →

d

d

d

dmL

tD a J

t* ( ) .= − − +v v1 2

ω

ω

v1

v2

Σ 1

Σ 2

Doc. 17. Le système ouvert est constituépar la turbine et l’eau comprise entre S1et S2 .


7.

3.3.3.

3.3.4.

Jt

D a ad

d mω ω− − + =2 01( ) .v Γ

v v1 2− = +ΓD a

JD a tm m

d

d

ω.

v v12

22 2 2− = +Γω ω ω

DJ

D tm m

d

d


215

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lit.


• Le signe « – » devant G rend compte du caractère résistant du moment ; cetteéquation n’a donc de sens que pour w > 0 .

• En fait, v2 dépend de l’interaction entre le jet et la turbine. Il faut donc faire deshypothèses supplémentaires pour obtenir une équation différentielle de la fonctionw (t) .

Bilan d’énergie mécanique

Une hypothèse sur l’énergie dissipée par les frottements va nous permettre de déter-miner v2 en fonction de w , G et v1 . En effet, le théorème de l’énergie cinétiqueappliqué à * s’écrit :

K *(t + dt) – K *

(t) = ( ext + int) dt.

La puissance des forces extérieures est ici :

ext = – G w .

La puissance des forces intérieures ne dépend pas du référentiel pour la turbine(solide) et l’eau (incompressible) qui y circule, en négligeant les phénomènes dis-sipatifs, nous prendrons :

int = 0 .

Effectuons un bilan d’énergie cinétique (de fait, macroscopique, cf. § 3.2.4.) pour* :

K *(t + dt) – K *

(t) = Dmd tv22 + K (t + dt) – Dmd tv2

1 – K (t) ;

K (t + dt) – K (t) = d Jw2 = Jw dw .

Donc :

– Gw = Dm (v 22 – v 2

1) + Jw ,

soit :

v 22 = v 2

1 – – .

Équation différentielle du mouvement de la turbine

À partir des équations déduites des deux bilans, nous pouvons éliminer v2 , etobtenir une équation différentielle en w (t) :

,

Nous en déduisons v1 + v2 = 2 w a et finalement :

Cette équation différentielle est vérifiée si w > 0 .

Jt

D a ad

d mω ω− − + =2 01( ) .v Γ

v v1 2− = +ΓD a

JD a tm m

d

d

ω.

v v12

22 2 2− = +Γω ω ω

DJ

D tm m

d

d

dwdt

2JwDm

2GwDm

dwdt

12

12

12

12


3.3.5.

3.3.6.

ω ωτ

= − −

p 1 exp ,t

d

dpω ω ω

τt+

−= 0 .

τ = JD a2 2

m

.

ωp = v1

2a

fournie pm

= = −

Γ Γ Γω v

v1

1

12a D a

ωpm

= −

vv

1

1

12a D a

Γ

d

d

ωt

= 0,


216

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lit.


Étude du régime permanent

• En régime permanent, et nous obtenons après quelques calculs la valeur

wp de w :

si wp > 0 .

Si G est trop grand, cette expression fournit une valeur négative de wp , incom-patible avec l’hypothèse selon laquelle w est opposée au moment résistant.

Dans ce cas, le moment des forces extérieures est inférieur (en valeur absolue) àG (doc. 18) :

wp = 0 si G > 2 Dm a v1 .

Dans le cas limite G = 0 , les vitesses v2 et v1 sont égales. Le fluide conserveson énergie cinétique et « ignore » la turbine.

• La puissance fournie par la turbine en régime permanent est :

ou encore (doc. 19) :

fournie = 2 Dm a wp (v1 – wp a) .

Cette puissance est maximale si et G = v1 Dm a , ce qui correspond à

v2 = 0 .

La puissance fournie est bien maximale si le fluide perd la totalité de son énergiecinétique initiale.

Comme nous avons négligé la dissipation d’énergie, cette situation correspond àun rendement énergétique optimal, égal à 100 %.

Régime transitoire

Posons

L’équation différentielle en w (t) devient :

Si la vitesse de rotation est nulle à l’instant initial, la solution est :

où t représente la durée caractéristique de l’établissement du régime permanent.

ω ωτ

= − −

p 1 exp ,t

d

dpω ω ω

τt+

−= 0 .

τ = JD a2 2

m

.

ωp = v1

2a

fournie pm

= = −

Γ Γ Γω v

v1

1

12a D a

ωpm

= −

vv

1

1

12a D a

Γ

d

d

ωt

= 0, pω

Γ

v1a

2Dmav1

Doc. 18. Régime permanent : couple résis-tant et vitesse de rotation.

pωv1

2av1

a

Dmv12

2

P

Doc. 19. Régime permanent : puissanceet vitesse de rotation.


7.

sin[ ( )]

αρ ρ

= − = −+ +

AD a

S gc m S a bm2

1 2

− + + =[ ( )] sinm S a b gcD a

S1

2

2ρ αρ

m

v = DSm

ρ.

d

d

Lt

*

d

d

Lt

* .=

Application 4

g


217



Un tuyau T1 peut tourner librement autour de son axehorizontal ∆ . Il alimente en eau un tuyau T2 , en « T »,soudé à T1 . L’extrémité de l’une des branches du T estbouchée, l’eau s’écoulant par l’autre branche (doc. 20).

En fonction des dimensions de T2 , déterminer la valeurde l’angle a à l’équilibre. On pourra, en les justifiant,faire des hypothèses simplificatrices.

Données :• masse du tuyau T2 : m1 = 200 g ;• dimensions de T2 : a = 1,0 m et b = 20 cm ;• distance du centre d’inertie G de T2 rempli d’eau àl’axe de rotation : c = 64 cm ;• section (uniforme) de T2 : S = 1,0 cm2 ;• masse volumique de l’eau : r = 103 kg . m–3 ;• débit massique : Dm = 0,20 kg . s–1 .

Nous supposerons que les écoulements sont unidimen-sionnels et filiformes (d’épaisseur négligeable).

Considérons le système ouvert constitué par le tuyauT2 et par l’eau qu’il contient, ainsi que le système fermécoïncident * à l’instant t . S1 est la section d’entrée(à la jonction entre T1 et T2) et S2 la section de sortie.

Le tuyau étant en rotation autour de ∆ , nous allonseffectuer un bilan de moment cinétique.

Les actions extérieures sur * sont :

• la pesanteur, équivalente à une force m g appliquéeau centre d’inertie G . La masse d’eau contenue dans

est m2 = r S (a + 2b) et le moment par rapport à Ddes forces de pesanteur est = – (m1 + m2) g c sina ;

• la pression : le système est soumis à la pressionambiante sur toute sa surface extérieure, à l’exceptionde la section d’entrée S1 , où la pression est supérieure.La résultante des forces de pression est non nulle, maiscomme la force due à la surpression en S1 est appli-quée sur l’axe de rotation ∆ , le moment des forces depression par rapport à ∆ est nul ;

• l’action de T1 , dont le moment par rapport à ∆ estnul.

Le théorème du moment cinétique s’écrit

Déterminons par un bilan de moment cinétique

entre deux instants voisins.

L’eau s’échappe avec une vitesse

δm = Dmdt est la masse d’eau qui entre dans pen-dant dt .

Le moment cinétique massique est nul pour l’eauentrante, et égal à av pour l’eau sortante.

À l’instant t : L *(t)= L (t) .

À l’instant t + dt :

L *(t + dt) = L (t + dt) + Dmdt (av – 0) .

À l’équilibre : L (t) = L (t + dt)

et donc : = Dmav .

D’où ou :

si A < 1 .

Si le débit est trop important, A > 1 , et le tuyau tourneautour de ∆ sans position d’équilibre possible.

A.N. : a = 11° .

sin[ ( )]

αρ ρ

= − = −+ +

AD a

S gc m S a bm2

1 2

− + + =[ ( )] sinm S a b gcD a

S1

2

2ρ αρ

m

v = DSm

ρ.

d

d

Lt

*

d

d

Lt

* .=

Équilibre d’un tuyau

gα

c

aG

2b

T1

T2partiebouchée

Doc. 20. L’angle a dépend du débit.

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44.1.

4.2.

4.3.4.3.1.

eK2= 1

2v .


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Bilans d’enthalpie et d’entropie

Hypothèses et notations

Nous allons appliquer les principes de la thermodynamique à un fluide qui s’écouledans une canalisation. Nous supposons pour simplifier que l’écoulement est unidi-mensionnel et que la seule énergie potentielle macroscopique est due à la pesanteur.Appelons le système ouvert constitué par le fluide compris entre deux sectionsde la canalisation SA et SB , et * le système fermé coïncident à l’instant t .À l’instant t + d t , le système fermé * se trouve entre les sections SA et SB(doc. 21).Le fluide est dans l’état A entre SA et SA′ , et dans l’état B entre SB et SB ′ .Nous notons PA , PB , vA , vB , etc., les grandeurs relatives aux états A et B .

Échanges d’énergiePour le système fermé * , d’après le premier principe de la thermodynamique :

∆ * = W + Q avec = U + K + P ,

où W est le travail reçu par * et Q l’énergie reçue par * par transfert thermique.

À l’énergie interne U correspond l’énergie interne massique u .

À l’énergie cinétique macroscopique K correspond l’énergie cinétique massique :

À l’énergie potentielle macroscopique P correspond l’énergie potentielle mas-sique eP . Comme l’énergie potentielle est celle de la pesanteur :

eP = gz avec z l’altitude .

* peut recevoir de l’extérieur de l’énergie par transfert thermique Q (conductionet rayonnement) ; soit th la puissance thermique. Il peut aussi recevoir un tra-vail W des forces qui ne dérivent pas de P , qui peut se décomposer en :• travail « utile », cédé par une machine (compresseur, hélice, ...). Soit u la puis-sance mécanique utile, encore appelée puissance indiquée i ;• travail des forces de pression en amont et en aval.

Remarque : La puissance des forces de viscosité n’a pas à être prise en comptedans ce bilan thermodynamique :• sur les parois, la vitesse d’un fluide visqueux est nulle et la puissance corres-pondante s’annule ;• les forces intérieures de viscosité ont été prises en compte dans U ;• pour un fluide non visqueux, la vitesse, tangente à la paroi, est orthogonale àl’action exercée par l’élément de paroi sur le fluide, et la puissance est nulle.

Bilan énergétique pour *Variation d’énergie de *

Effectuons un bilan énergétique pour * entre deux instants voisins :

• à l’instant t : *(t) = (t) ;

• à l’instant t + dt : *(t + dt) = (t + dt) + δ B – δ A .

Nous utilisons l’extensivité de l’énergie et nous notons δ B l’énergie de l’élé-ment de fluide de masse δmB qui est sorti par la section SB pendant dt , et δ Acelle de l’élément de fluide de masse δmA qui est rentré par la section SA pen-dant d t .

eK2= 1

2v .

S

AΣ A’Σ BΣ B’Σ

Doc. 21. Entre les sections SA et SB , lefluide peut échanger de l’énergie sousforme de travail utile et sous forme detransfert thermique.


7.

4.3.2.

4.3.3.

enthalpie massique

4.4.

4.4.1.

h uP= +ρ

:

m mP

DP

DA

AA

B

BB−

ρ ρ,m mu gz D u gz DB B B B A A A A+ +

− + +

=1

2

1

22 2v v

m m−PD

PDA

AA

B

BBρ ρ

.

m m .u gz D u gz DB B B B A A A A+ +

− + +

1

2

1

22 2v v


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Les variations de * et entre t et t + dt sont donc reliées par :

d * = d + δ B – δ A ,

ou, en introduisant les énergies massiques et les débits en A et en B :

= +

Puissance des forces de pression

Reprenons la méthode utilisée à propos de l’échangeur thermique, au § 1.

Notons SA et SB les aires des sections SA et SB . Si l’écoulement se fait dansle sens de A vers B , la puissance des forces de pression est positive en A et néga-tive en B .

Au total, pres = PA SA vA – PB SB vB ou encore pres =

Puissance utile et enthalpie massique

Le premier principe se traduit par le bilan d’énergie = th + u + pres ,

soit :

+ th + u +

ou encore, en introduisant l’

th + u = hB + v 2B + gzB DmB – hA + v 2

A + gzA DmA + .

Nous pouvons donc ne plus faire explicitement référence au travail des forces depression en amont et en aval, en utilisant la fonction enthalpie massique.

Bilan enthalpique pour un écoulement permanent

Puissance mécanique utile et puissance thermiqueSi, de plus, l’écoulement est permanent, les débits massiques sont égaux(DmA = DmB = Dm) et :

= 0.

Remarques

• Le fonctionnement d’une machine n’est jamais strictement permanent, maiscyclique : une hélice, par exemple, est mobile, et elle revient à chaque tour à lamême position. L’expression précédente est valable, à condition de prendre lesvaleurs moyennes de la puissance, du débit, de h et de v .

dd t

dd t

12

12

h uP= +ρ

:

m mP

DP

DA

AA

B

BB−

ρ ρ,m mu gz D u gz DB B B B A A A A+ +

− + +

=1

2

1

22 2v vd

d t

d *d t

m m−PD

PDA

AA

B

BBρ ρ

.

m m .u gz D u gz DB B B B A A A A+ +

− + +

1

2

1

22 2v v

dd t

d *d t

Dans le cas d’un écoulement permanent unidimensionnel, la puissance méca-nique utile et la puissance thermique, reçues par le système entre deux pointsA et B , s’expriment simplement au moyen de la fonction enthalpie mas-

sique

th u m+ = − + − + −

( ) ( ) ( ) .h h g z z DB A B A B A12

2 2v v

h uP= + .


D ii

m =∑ 0.th u m+ = + +

∑D h gzi i i i

i

1

22v

η =P

Pu

combustion

,

m +

D h∆ 1

2 12v ,

Application 5


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• Cette relation ne fait aucune hypothèse sur la viscosité du fluide, donc sur laréversibilité de l’évolution du fluide.• Nous pouvons étendre aisément cette relation à un système ouvert comportantplus de deux entrées/sorties comme, par exemple, l’échangeur thermique étudié endébut de chapitre. Repérons-les par l’indice i . À chacune, est affecté un débit, quenous prenons positif pour une entrée et négatif pour une sortie, une enthalpie mas-sique, une vitesse, etc. En reprenant les mêmes méthodes, on obtient :

et D ii

m =∑ 0.th u m+ = + +

∑D h gzi i i i

i

1

22v

Une turbine à gaz est alimentée par un mélange homo-gène de méthane et d’air dont les proportions volumiquessont CH4 : 5 % ; O2 : 19 % et N2 : 76 % .

Le mélange initial, dont la vitesse est négligeable, estdans les conditions atmosphériques (P0 , T0). Il est intro-duit dans la chambre de combustion. Le mélange gazeuxqui en est issu est accéléré dans une tuyère, puis ilactionne une turbine avant d’être rejeté avec une vitessev1 , une température T1 et une pression P1 (doc. 22).

Déterminer la puissance mécanique fournie à la tur-bine, ainsi que le rendement du moteur, avec les don-nées et hypothèses suivantes :

• T0 = 298 K ; T1 = 1 100 K ; P1 = P0 = 1 bar ;v1 = 20 m . s–1 ;

• consommation en CH4 : 16 g . s–1 ;

• pour tous les constituants, assimilés à des gaz par-faits : CP = 30 J . K–1. mol–1 ;

• on néglige les échanges thermiques avec l’extérieur ;

• enthalpies molaires à 298 K et sous 1 bar :

CH4 : – 75 kJ . mol–1 ; H2Ovap : – 242 kJ . mol–1 ;CO2 : – 393 kJ . mol–1 .Pour un mélange initial constitué à partir de 1 mole deCH4 , nous pouvons déterminer la variation d’enthalpieà partir du document 23.

Le débit de CH4 est de 16 g .s–1, soit 1 mole s–1.CH4 représente 5 % du mélange gazeux, il passe donc20 moles par seconde dans la turbine.

La réaction de combustion :CH4 + 2 O2 → CO2 + 2 H2O

conserve la quantité de gaz, soit 20 moles pour uneseconde de fonctionnement. La capacité calorifique dusystème considéré est donc CP = 600 J . K–1 .∆Hcombustion = – 393 + 2(– 242) – (– 75)

pour 1 mole de CH4 ;∆Hcombustion = – 802 kJ ;∆Htotal = ∆Hcombustion + CP (T1 – T0) ;∆Htotal = – 802 + 0,60 × 802 = – 321 kJ .

Le système considéré, constitué initialement de 1 molede CH4 , 3,8 moles de O2 et 15,2 moles de N2 , a unemasse de 0,563 kg , donc :

∆h = – 0,57 MJ . kg–1 et Dm = 0,563 kg . s–1 .

Le bilan enthalpique s’écrit (avec th = 0) :

u = soit u = – 320 kW .

La puissance thermique dissipée par la combustion à300 K de 1 mole de CH4 par seconde serait de 802 kW.Nous pouvons donc définir le rendement par :

soit h = 40 % .η =P

Pu

combustion

,

m +

D h∆ 1

2 12v ,

Bilan d’une turbine à gaz

CH4

air

chambrede

combustion tuyère turbine

Doc. 22. Schéma d’une turbine à gaz.

réactifs298 K, 1 bar

produits298 K, 1 bar

combustion

produits1 100 K, 1 bar

Doc. 23. Calcul de ∆ H .


7.

4.4.2.

δ δq w h g z+ = + +u d d d1

22( ) .v

θ θ θ θλ

= + − −

0 0( )exp ,A

x

λ = =D cKm P m5

d

d

θλ

θ θx

= − −10( )

Application 6


221


Travail utile et échanges thermiques

Soient wu et q , le travail utile et la chaleur reçue massiques, reçus par l’unité demasse du fluide lorsqu’il passe de A à B .

Pendant une durée t , il passe dans la machine une masse m = Dmt , qui reçoit untravail utile Wu = u t = wu m . Donc u = Dm wu et, de même th = Dmq .

Nous pouvons alors éliminer Dm dans l’expression du bilan enthalpique.

Entre deux sections voisines :

En dehors du cas des tuyères, dont la fonction est de fournir un jet à grande vitesse,les variations de v2 sont presque toujours négligeables. Il en va de même pour lesvariations de gz . Le bilan enthalpique se réduit donc souvent expérimentalementà δq + δwu = dh .

δ δq w h g z+ = + +u d d d1

22( ) .v

Le travail utile massique wu (encore appelé travail massique indiqué wi ),et la chaleur reçue massique q , reçus par le fluide entre deux sections d’unécoulement unidimensionnel permanent s’expriment par :

.q w h h g z zB A B A B A+ = − + − + −u ( ) ( ) ( )12

2 2v v

De l’air comprimé chaud circule à une vitesse de l’ordredu m . s–1 dans un tuyau en cuivre, de section constanteet de longueur L . Cet air entre en A , d’abscisse 0, àla température qA , et ressort en B , d’abscisse L , à letempérature qB . Les échanges thermiques (à travers letuyau) entre l’air chaud, de température q (x) et lemilieu ambiant, de température q0 , suivent une loilinéaire. La puissance thermique d th cédée par l’airsur une tranche de tuyau de longueur dx est :

d th = K (q (x) – q0) dx .

Données et hypothèses :L’air est assimilé à un gaz parfait :cP = 1,0 kJ . K–1. kg–1 ; Dm = 0,010 kg . s–1 ;K = 2,0 W . K–1. m–1 ; qA = 200 °C ; q0 = 20 °C ;L = 10 m .

Déterminer la température qB ainsi que la chaleur échan-gée par kg d’air chaud. On vérifiera que la variation d’éner-gie cinétique est effectivement négligeable.

• Effectuons un bilan enthalpique pour une longueur dxdu tuyau :

Dm [ h(x+ dx) – h(x)] = d th = – K (q (x) – q0) dx ,

d’où l’équation différentielle avec

(longueur caractéristique).

La solution qui tient compte des conditions aux limitesest :

qB = q (L) , soit qB = 44 °C .

• Effectuons le bilan pour l’ensemble du tuyau :hB – hA = cP (qB – qA) = q , soit q = – 156 kJ . kg–1 .

• Avec des vitesses de l’ordre du m . s–1 , la variationd’énergie cinétique massique est de l’ordre du J . kg–1,ce qui est négligeable par rapport à ∆h .

θ θ θ θλ

= + − −

0 0( )exp ,A

x

λ = =D cKm P m5

d

d

θλ

θ θx

= − −10( )

Circuit de refroidissement


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4.5.

4.5.1.

4.5.1.1.

v B AB

Ac T

PP

= −

−

2 1

1

P

γγ

.

T TPPB A

B

A=

−γγ

1

.P PAA

BB

1 1

ρ ρ

γ γ

=

d

d dcréée

mS

tS

tD s sB A

* ( ) .= = −δ

d

d

d

d mS

tSt

D s sB A* ( )= + −

cRMP =

−γ

γ 1.

01

2

1

22 2= − + = − +h h c T TB A B A Bv vP ( ) ,

cc

P

V


222

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naut

orisé

eest

undé

lit.


Bilan entropique

Exemple d’une tuyère

Une tuyère est une canalisation de section variable, dans laquelle un gaz se détenden étant accéléré. Une étude sommaire de la forme de la tuyère est proposée dansl’exercice 11.Nous pouvons supposer qu’en régime permanent, l’écoulement est unidimensionnelet adiabatique. Nous supposons, en outre, que le fluide est un gaz parfait dont le

rapport est égal à g .

Le fluide est admis dans la tuyère en A , à la pression PA , à la température TA ,et à une vitesse négligeable. Il en ressort en B , à la pression PB (la pression exté-rieure par exemple), à la température TB et à la vitesse vB (doc. 24).

Le gaz étant parfait, le bilan enthalpique entre A et B s’écrit :

puisque th = 0 (évolution adiabatique) et u = 0 .

On pourra vérifier que la variation de gz est négligeable devant les autres termes,

d’où : vB = 92cP(TA – TB) .

En utilisant la relation de Robert-Mayer, Cp mol – Cv mol = R , nous pouvonsexprimer cP en fonction de la masse molaire M et du rapport g du gaz :

Un bilan entropique va permettre de préciser TB .

Effectuons un bilan d’entropie S pour * entre deux instants voisins :• à l’instant t : S *(t) = S (t) ;• à l’instant t + dt : S *(t + dt) = S (t + dt) + δSB – δSA .

δSB est l’entropie de l’élément de fluide de masse δmB qui est sorti par la sectionSB pendant dt .

Si s est l’entropie massique, δSB = Dm sB dt . De même, δSA = Dm sA dt .

Nous pouvons donc écrire le bilan entropique :

.

L’écoulement étant permanent, l’entropie contenue dans est constante. De plus,l’énergie reçue par * par échanges thermiques étant nulle, la variation d’entropiese limite au terme de création :

Premier cas : écoulement isentropique

Scréée = 0 et sB = sA . Pour un gaz parfait ou

En conclusion, v B AB

Ac T

PP

= −

−

2 1

1

P

γγ

.

T TPPB A

B

A=

−γγ

1

.P PAA

BB

1 1

ρ ρ

γ γ

=

d

d dcréée

mS

tS

tD s sB A

* ( ) .= = −δ

d

d

d

d mS

tSt

D s sB A* ( )= + −

cRMP =

−γ

γ 1.

01

2

1

22 2= − + = − +h h c T TB A B A Bv vP ( ) ,

cc

P

V

A B

Doc. 24. Tuyère.


7.

4.5.1.2.

v B AB

Ac T

PP

< −

−

2 1

1

P

γγ

.

T TPPB A

B

A>

−γγ

1

,P PB B A Av vγ γ> ,

d dPP

k− =ρρ

0

d d d d

d d

VVu c T

McR

PP

PP

= = − +

=−

− +

ρρ

ρ

γ ρρ

ρ

2

2

1

1

1

1,

T s P u Pd d d d=

= +

λρ ρ1 1

.

ρBB

B

M PRT

= = −0 92 3, .kg m.

v = −

=

−

−2 1 665

1

1c TPPA

B

AP m s

γγ

. .

T s Pd d=

λρ1

Application 7


223


Deuxième cas : écoulement non isentropique

Si nous tenons compte de l’irréversibilité des transformations subies par les élé-ments de fluide, il y a création d’entropie à l’intérieur de la tuyère.

sB > sA , donc ou encore soit :

v B AB

Ac T

PP

< −

−

2 1

1

P

γγ

.

T TPPB A

B

A>

−γγ

1

,P PB B A Av vγ γ> ,

De l’air comprimé se détend dans une tuyère.Les données et hypothèses sont les suivantes.• L’air est assimilé à un gaz parfait, de chaleur mas-sique à pression constante cP = 1,0 kJ . K–1. kg–1 , derapport g = 1,4 , et de masse molaire 29 g. mol–1.• À l’entrée de la tuyère, sa vitesse est négligeable, et ilest dans un état A : TA = 600 K et PA = 5,0 bar.• À la sortie de la tuyère, sa pression est PB = 1 bar.• La section de sortie de la tuyère est a = 1 cm2 .

1) La détente est isentropique. Déterminer la vitesse desortie et le débit massique.

2) On modélise l’irréversibilité de la détente par :

avec l = 0,1 .Déterminer à nouveau la vitesse et le débit.

1) D’après l’étude précédente :

TB = 379 K

et

D’où le débit massique Dm = rB v a = 61 g . s–1 .

2) Montrons que l’hypothèse revient à écrire Pr–k = cte(détente polytropique).

Bilan entropique :

Le gaz est parfait ; si M est sa masse molaire :

P = r , d’où :

d’où

d’où avec k = g – l (g – 1) .

Il suffit de remplacer g par k dans les expressions don-nant TB et v .

Nous obtenons :

k = 1,36 ; TB = 392 K ; v = 645 m . s–1 ;rB = 0,89 kg . m–3 ; Dm = 57 g . s–1 .

d dPP

k− =ρρ

0

d d d d

d d

VVu c T

McR

PP

PP

= = − +

=−

− +

ρρ

ρ

γ ρρ

ρ

2

2

1

1

1

1,

RTM

T s P u Pd d d d=

= +

λρ ρ1 1

.

ρBB

B

M PRT

= = −0 92 3, .kg m.

v = −

=

−

−2 1 665

1

1c TPPA

B

AP m s

γγ

. .

T s Pd d=

λρ1

Détente polytropique dans une tuyère


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lit.


4.5.2.

*

4.5.3.

perte de charge

v vA AA

B BB

Pgz

Pgz

2 2

2 20+ +

− + +

=ρ ρ

ϖρ

.

1

ρ ρdP

P PB A= −.

1

ρdP ;

1

22 2( ) ( ) ;v vB A B Ag z z− + −

1

ρdP .w g z zu B A B A

1

22 2( ) ( )v v− + − +

δw g z Pu d d1

2

12d( ) .v + +ρ

d d d d duh P T s q w g z= + = + − −1 1

22

ρδ δ ( ) .v

d d dh P T s= +1

ρ

h uP= +ρ

*

Ths P

=

∂∂

.1

ρ=

∂∂

hP s


224

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Bilan d’énergie mécaniquepour un écoulement permanent unidimensionnel

La fonction enthalpie massique peut donc être considérée comme une

fonction des deux variables d’état P et s , dont la différentielle est

.

Identifions la différentielle de la fonction h(P, s) et l’expression du bilan enthal-pique :

D’après le deuxième principe, T ds δq , soit

Donc, entre deux points A et B d’un écoulement :

Pour interpréter ce résultat, nous pouvons considérer que le travail utile est uti-lisé pour :

• augmenter l’énergie mécanique du fluide : terme

• « transvaser » le fluide depuis l’état A jusqu’à l’état B : terme

• compenser l’énergie dissipée par les frottements internes si le fluide est visqueux,ce qui explique le sens de l’inégalité.

Nous aurions pu établir directement cette expression en effectuant un bilan d’énergiemécanique.

Écoulement pur d’un liquide

On entend par écoulement pur, un écoulement sans travail utile, c’est-à-dire sansmachine. Pour un liquide, supposé incompressible, nous pouvons simplifier l’ex-pression précédente :

Le travail utile étant nul, il reste :

La grandeur v , homogène à une pression, est appelée .

• Si le fluide est non visqueux, l’écoulement ne créée pas d’entropie, et la perte decharge est nulle. Nous retrouvons alors l’équation de Bernoulli.

• Si le fluide est visqueux, la perte de charge est positive. Cela signifie en particu-lier qu’à vitesse et altitude égales, la pression diminue d’amont en aval.

v vA AA

B BB

Pgz

Pgz

2 2

2 20+ +

− + +

=ρ ρ

ϖρ

.

1

ρ ρdP

P PB A= −.

A

B

1

ρdP ;

A

B

1

22 2( ) ( ) ;v vB A B Ag z z− + −

1

ρdP .

A

B

w g z zu B A B A1

22 2( ) ( )v v− + − +

δw g z Pu d d1

2

12d( ) .v + +ρ

d d d d duh P T s q w g z= + = + − −1 1

22

ρδ δ ( ) .v

d d dh P T s= +1

ρ

h uP= +ρ

Rappelons que cette expression ne faitaucune hypothèse sur la nature, réver-sible ou non, de la transformation subiepar le fluide. Elle est équivalente àaffirmer qu’il existe une fonction d’étath(P, s) , avec :

et Ths P

=

∂∂

.1

ρ=

∂∂

hP s

Doc. 25. Perte de charge lors d’un écou-lement de fluide réel incompressible dansun tuyau de section constante.


7.

C Q F R

SYSTÈMES OUVERTS ET SYSTÈMES FERMÉS

systèmes fermés

DÉBIT CONVECTIF D’UNE GRANDEUR EXTENSIVE

BILANS

BILANS ENTHALPIQUES


225


C Q F R

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lit.

Un système est fermé s’il n’échange pas de matière avec l’extérieur.

Un système ouvert, par opposition, peut échanger de la matière avec l’extérieur.

• Un système ouvert n’est pas défini par un ensemble déterminé de particules matérielles, mais par une frontièreappelée surface de contrôle, choisie fixe.

• Un système fermé est défini par un ensemble déterminé de particules matérielles. La frontière * délimitant unsystème fermé, appelée surface particulaire, est mobile dans le référentiel d’étude : les points de * se déplacentà la vitesse locale du fluide.

Les lois de la mécanique et de la thermodynamique sont relatives à des .

• Le débit DG à travers une surface de la grandeur extensive G est égal à la quantité de G traversant parunité de temps.

Nous appelons débit convectif, le débit de G associé au transport de matière.

• Dans le cas d’un écoulement unidimensionnel, le débit convectif d’une grandeur extensive G s’exprime en fonc-tion du débit massique et de la grandeur massique gm par DG = gm Dm .

Par exemple, l’énergie cinétique massique est eKm= v2, et le débit d’énergie cinétique est D = Dmv 2 .

Soit un système ouvert et * le système fermé coïncident avec à l’instant t .

La dérivée par rapport au temps d’une grandeur extensive relative à * s’obtient à partir d’un bilan entre deuxinstants voisins. Par exemple, pour l’énergie cinétique :

( int + ext) dt = K *(t + dt) – K *

(t) = K (t + dt) – K (t) + δ K2– δ K1

,

avec δ K1l’énergie cinétique de la matière entrant dans pendant dt et δ K2

l’énergie cinétique de la matièresortant de pendant dt .

En régime permanent, l’état de est invariable, et le bilan se simplifie :

( int + ext) dt = δ K2– δ K1

.

• Dans le cas d’un écoulement permanent unidimensionnel, la puissance mécanique utile et la puissance thermique,reçues par le système entre deux points A et B , s’expriment simplement au moyen de la fonction enthalpie

massique h = u + Pr

.

th + u = (hB – hA) + (v 2B – v 2

A) + g (zB – zA) Dm .

• Le travail utile massique wu (encore appelé travail massique indiqué wi), et la chaleur reçue massique q , reçuspar le fluide entre deux sections d’un écoulement unidimensionnel permanent s’expriment par :

q + wu = (hB – hA) + (v 2B – v 2

A) + g (zB – zA) .12

12

12

12


Contrôle rapide


Pour un écoulement permanent unidimensionnel, la puissance mécanique utile et la puissance ther-mique reçues par le système entre deux points A et B s’expriment au moyen de l’enthalpie massique :

Les théorèmes fondamentaux de la mécanique et de la thermodynamique s’appliquent à :

Le débit d’énergie cinétique est :• à travers une surface S fixe : • dans le cadre d’un écoulement unidimensionnel :



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lit.


3.

a. h = u +

b. h = u + rP

c. par la relation th + u = hB + hA + (v 2B + v 2

A) + g(zB + zA) Dm

d. par la relation th – u = hB – hA + (v 2B – v 2

A) + g(zB – zA) Dm

e. par la relation th + u = hB – hA + (v 2B – v 2

A) + g(zB – zA) Dm

Solution, page 234.

12

12

12

Pr

1.

a. un système ouvert b. un système fermé c. un système délimité par une surface de contrôle fixe dans le référentiel d’étude.

2.

a. v 2v. dS

b. rv 2v. dS

c. rv 2 . dS

d. Dm v 2

e. rSv 2

f. rSv 312

12

12

12

12

12

Qu’appelle-t-on système fermé et système ouvert ?

Quel lien a-t-on entre grandeur massique et débit massique pour un écoulement unidimensionnel ?

Comment s’exprime le bilan d’énergie cinétique pour un système ouvert ?

Donner le bilan thermodynamique obtenu en régime permanent pour un écoulement unidimensionnel.



ÉNONCÉ

Rendement d’une hélice

E


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lit.

Une hélice d’éolienne, dont on négligera l’épaisseur, tourne autour d’un axe (Ox), fixe dans le référentiel d’étude. Elle estimmergée dans l’air, fluide de masse volumique r que l’on supposera incompressible et dont on néglige la viscosité. Loinde l’hélice, le fluide est animé d’une vitesse constante et uniforme, parallèle à l’axe de rotation de l’hélice (Ox) . Le tube decourant qui englobe l’hélice a une section droite d’aire variable A(x) .

Nous admettons les hypothèses simplificatrices suivantes :• à l’extérieur de ce tube de courant, la pression est uniforme et égale à P0 ;• la vitesse et la pression du fluide sont uniformes sur une section droite du tube ;• en amont de l’hélice, et suffisamment loin, la pression est P0 , la vitesse du fluide est V

g = vg ex , et la section gauche a uneaire Ag ;• en aval de l’hélice, et suffisamment loin, la pression est P0 , la vitesse du fluide est V

d = vd ex , et la section droite a uneaire Ad ;• au voisinage immédiat de l’hélice, et de part et d’autre de son plan (respectivement en amont et en aval) :– les pressions sont désignées par P– et P+ ;– les sections droites du tube de courant ont une aire AH– = AH+ = AH ;– les vitesses sont désignées par vH– ex et vH+ ex ;• les tourbillons sont supposés être localisés uniquement dans l’espace situé entre AH– et AH+ .

1) De la conservation du débit, déduire des relations reliant les aires et les vitesses. On posera vH = vH– = vH+ .

2) Peut-on appliquer la relation de Bernoulli à certaines parties de l’écoulement ? En déduire une relation liant P+ , P– , vg ,vd et r .

3) Déterminer de deux façons la force F

= F ex exercée par le fluide sur l’hélice. En déduire vH en fonction de vg et vd ,puis F en fonction de r , AH , vg et vH .

4) Déterminer la puissance cédée par le fluide à l’hélice.On pose vH = vg u . Déterminer, pour AH et vg données :• la valeur uF de u qui rend F maximale, et les expressions Fm et F correspondantes de la force et de la puissance ;• la valeur u de u qui rend maximale, et les expressions F et m correspondantes de la force et de la puissance.

Tracer les courbes F(u) et (u) . Commenter.

5) Définir le rendement énergétique r de l’hélice. Exprimer r en fonction de u et préciser la valeur numérique du rende-ment maximal rm .

6) On suppose que l’on a pu construire une hélice de rendement optimal.Données : AH = 3 m2 , vg = 10 m . s–1 et r = 1,2 kg . m–3 (air atmosphérique).Déterminer la force exercée par l’air sur l’hélice et la puissance reçue.

vH–

vH+

Vg = vg

Vd

ex

tube de courantde section variable A(x)

support de l’hélice

hélice

xx’

P– P+P0

P0

Ad

AgAH– AH+

AH

D’après Mines-Ponts.

xercice commenté


CONSEILS SOLUTION

F F F P P A ex

fluide hélice hélice pres H→ → → − += − = = −1 1

( ) .

F F

pres hélice→ →+ =1 1

0 .

,0=

D t ex

( ) .+ −dm sortie entréev v

( ),∂∂

=t

0

P P+ −− = −1

22 2ρ( ) .v vg d

P P+ − = −02 21

2ρ( ) .v vH d

P P− − = −02 21

2ρ( )v vH g

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lit.

Il est clair que la relation de Bernoulline s’applique pas sur la totalité d’uneligne de courant. Si cela était le cas,nous aurions vd = vg , Ad = Ag et l’hé-lice n’échangerait ni quantité de mou-vement, ni énergie cinétique avec lefluide. En revanche, il est possible del’appliquer sur certains tronçons de lignede courant. Commencer par énoncertoutes les conditions d’application decette relation.

Peut-on envisager que le mouvement estindépendant du temps au niveau de l’hé-lice ? Où est la zone de tourbillon ?

Cette question délicate utilise les résul-tats des questions précédentes. Il fautpouvoir exprimer cette force en fonctiondes pressions P+ et P– d’une part, eten fonction des vitesses vg et vd d’autrepart.

De quelle grandeur extensive faut-il faireun bilan pour déterminer une force ?

1) Le fluide étant incompressible, le débit massique (Dm = r A v) a la même valeurà travers toutes les sections ; cela nous donne :

Ag vg = AH– vH– = AH+ vH+ (= AH vH) = Ad vd .

2) En amont (entre Ag et AH–) et en aval (entre AH+ et Ad) :

• l’écoulement est indépendant du temps. Remarquons qu’il est aussi irrotationnel(sans tourbillon) ;• le fluide est incompressible et non visqueux.

Nous pouvons donc appliquer la relation de Bernoulli dans ces deux domaines, enparticulier sur la ligne de courant, qui coïncide avec l’axe de symétrie de l’écou-lement :

• en amont : ;

• en aval :

D’où :

En revanche, il est difficile de modéliser l’écoulement dans l’espace situé entreAH– et AH+ .

En effet, même si nous faisons l’hypothèse que le mouvement est permanent

il existe un transfert d’énergie entre le fluide et l’hélice . La relation de

Bernoulli n’est donc pas applicable dans cette zone. Il y a des tourbillons au niveaude l’hélice.

3) Premier calcul

Soit le système ouvert 1 formé par le fluide compris entre les deux plans, situésen amont (AH– ) et en aval (AH+ ), très près de l’hélice.

Effectuons un bilan pour la quantité de mouvement du système fermé *1 coïnci-

dent à l’instant t :

p *1(t) = p

1(t) et p *

1(t + dt) = pp

1(t + dt)

Nous savons que p est constant pour le système ouvert 1 et que :vsortie = ventrée = vH .

Donc soit

Connaissant les pressions sur les deux faces de :

Second calcul

Soit le système ouvert 2 formé par le fluide compris entre les deux plans éloi-gnés repérés par les indices g et d .

F F F P P A ex

fluide hélice hélice pres H→ → → − += − = = −1 1

( ) .

F F

pres hélice→ →+ =1 1

0 .

,0=p *

1

dt

D t ex

( ) .+ −dm sortie entréev v

( ),∂∂

=t

0

P P+ −− = −1

22 2ρ( ) .v vg d

P P+ − = −02 21

2ρ( ) .v vH d

P P− − = −02 21

2ρ( )v vH g

xercice commenté


7.

H g8

273ρ A v .AH g

4

92ρ v ;u u= =

m

2

3;

H g1

43ρ A v .F Am H g= 1

22ρ v ;u u= =Fm

1

2;

f uF uA

u u( )( )

( )= = −ρ H gv 2 2 1

1

21< <u )

u1

2

v v v vH g d g= +1

2

1

2( ) .

−2 13 2ρ A u uH gv ( ) .F A u u= −2 12ρ H gv ( )

v v vH g d= +1

2( )

v v vg dm

HH+ = =2 2

DAρ

,

D P P A Am g d H H g d( ) ( ) ( ) ,v v v v− = − = −− +1

22 2ρ

F F D ex

fluide hélice hélice m g d→ →= − = −2

( ) .v v

d

dpres hélice m d g

p

tF F D ex

* ( ) .2

2 2= + = −→ → v v

p t t p t t D t ex

* ( ) ( ) ( ) .2 2

+ = + + −d d dm d gv vp t p t

* ( ) ( )2 2

=


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De quelle grandeur extensive faut-il faireun bilan pour déterminer une puissancemécanique ?

Quand on explicite une fonction, et,avant d’en représenter le graphe, il estindispensable d’en donner le domainede définition. Les limitations de cedomaine peuvent être de nature mathé-matique, ou physique : f(u) peut êtremathématiquement définie pour desvaleurs de u qui n’ont pas de sens phy-sique.

Effectuons un bilan de p pour le système fermé *2 :

et

Comme p est constant pour le système ouvert 2 , nous pouvons écrire :

2 est entièrement plongé dans un milieu de pression P0 donc F

pres→ 2= 0

,

et :

Identifions les deux expressions de la force

d’où soit :

et F = 2 r AH (vg – vH) vH .

4) Effectuons un bilan d’énergie cinétique pour le système *1 défini à la ques-

tion 3).

L’énergie cinétique de 1 est constante (régime permanent), et l’énergie cinétiqueentrante est égale à l’énergie cinétique sortante, donc :

= pres + hélice = 0.

La puissance fournie par le fluide à l’hélice, opposée à hélice , est donc :

= pres = AH vH (P– – P+) = 2 r AH (vg – vH) vH2 .

En utilisant la variable adimensionnée u :

et =

vd est positif et Les fonctions F(u) et (u) ne sont

définies que pour et u < 1 .

Les courbes tracées page suivante (pour correspondent à :

et p(u) = = 2u2 (1 – u) .

• F est maximale pour Fm =

• est maximale pour F m = m = H g8

273ρ A v .AH g

4

92ρ v ;u u= =

m

2

3;

H g1

43ρ A v .F Am H g= 1

22ρ v ;u u= =Fm

1

2;

(u)r AHv3

gf u

F uA

u u( )( )

( )= = −ρ H gv 2 2 1

1

21< <u )

u1

2

v v v vH g d g= +1

2

1

2( ) .

−2 13 2ρ A u uH gv ( ) .F A u u= −2 12ρ H gv ( )

d K *1

dt

v v vH g d= +1

2( )

v v vg dm

HH+ = =2 2

DAρ

,

D P P A Am g d H H g d( ) ( ) ( ) ,v v v v− = − = −− +1

22 2ρ

F F D ex

fluide hélice hélice m g d→ →= − = −2

( ) .v v

d

dpres hélice m d g

p

tF F D ex

* ( ) .2

2 2= + = −→ → v v

p t t p t t D t ex

* ( ) ( ) ( ) .2 2

+ = + + −d d dm d gv vp t p t

* ( ) ( )2 2

=


u = 2

3.rm = 16

27

u u= −4 12 ( ) .

m g H g=1

2

1

22 3D Av vρ .

1

22v g .

u = 2

3.

1

2,

A Ag H= 1

2.

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toco

pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.

Un rendement, en général, est défini parle rapport entre la quantité « récupérée »et la quantité « disponible » d’une mêmegrandeur. Quelle serait, en l’absenced’hélice, la quantité d’énergie dispo-nible par unité de temps, pour un appa-reil occupant la même surface quel’hélice ?

Remarques

• Si u = uF , vd = 0 et La totalité de la quantité de mouvement du

fluide est cédée à l’hélice. La force est donc bien égale au débit entrant de quan-

tité de mouvement : F = Dmvg = r AH v 2g .

• Si u augmente au-delà de vd augmente et la quantité d’énergie cinétique

cédée par chaque élément de fluide diminue ; mais, la section d’entrée augmen-tant, le débit augmente et le produit (énergie cinétique massique perdue × débit)

passe par un maximum pour

5) En l’absence d’hélice, l’air garde la vitesse vg et son énergie cinétique mas-

sique est La puissance disponible sur un appareil de même encombrement

que l’hélice est égale au débit d’énergie cinétique à travers la surface AH , soit :

disponible =

Le rendement est alors r =

Le rendement maximal est obtenu pour La puissance disponible

étant une constante, le rendement et la puissance sont proportionnels.

6) = 1,07 kW avec F = 160 N .

u = 2

3.rm = 16

27

u u= −4 12 ( ) .disponible

m g H g=1

2

1

22 3D Av vρ .

1

22v g .

u = 2

3.

1

2,

12

A Ag H= 1

2.

2,82,4

21,61,20,80,4

0 0,2 0,6 0,8 1

p × 0,1

u0,4

4,84,23,6

32,41,81,20,6

0 0,2 0,6 0,8 1

f × 0,1

u0,4

xercice commenté


g

v0 v

Exercices


Compteur de gaz

Le méthane, principal constituant du gaz naturel, peut céderpar combustion à 300 K une énergie Qmol = 890 kJ . mol–1 .

Quel est le débit volumique à 300 K en m3. h–1 d’une cana-lisation qui alimente un brûleur dont la puissance théoriqueest de 20 kW ?

Force sur un tuyau coudé

De l’eau s’écoule avec un débit massique Dm à partir d’unorifice fixe dans un tuyau horizontal, rigide, de sectionconstante S . Le tuyau est coudé, et la direction moyennesubit une rotation a . La face extérieure du tuyau est dansl’atmosphère, de pression P0 ; le tuyau est maintenu en placepar des colliers et des boulons.

En aval, l’eau est rejetée dans l’atmosphère, et en amont, lapression est P1 , supérieure à P0 .

La perte de charge suit une loi linéaire P1 – P0 = K Dm .

Calculer :

a) la force exercée par l’eau sur le tuyau ;

b) la résultante des forces R

exercée par les colliers, lesboulons et la partie fixe sur le tuyau pour maintenir l’en-semble en place.

A.N : D = 1 kg . s–1 ; S = 10 cm2 ; K = 0,2 bar . kg–1 ; a = 90° .

Jet sur une plaque mobile

Une plaque, perpendiculaireà la direction horizontale(Ox) , est en translation, devitesse constante v = v ex .Elle est « poussée » par un jetd’eau, dont la vitesse estv0 = v0 ex et le débit massique Dm . Un déflecteur dévie lejet d’un angle dont la valeur est a indiqué sur le schéma

dans le référentiel de la plaque P . Le jet garde une sec-tion uniforme, sa pression reste égale à la pression atmo-sphérique et on néglige toute viscosité.

1) Calculer le débit D/P du jet dans le référentiel P .

2) Calculer la force exercée sur la plaque.

Puissance d’une pompe

Une pompe aspire l’eaud’un puits, et la transvasedans un réservoir pres-surisé avec un débit mas-sique Dm constant. Leniveau supérieur de l’eaudans le réservoir est à unealtitude h au-dessus decelui du puits, et la pres-sion y est égale à P1 ,supérieure à la pressionatmosphérique P0 .

Calculer la puissance fournie par la pompe au fluide :

a) si on néglige toute viscosité ;

b) si la perte de charge ∆P dans les tuyaux est proportion-nelle au débit, c’est-à-dire ∆P = K Dm .

On admettra que la puissance des forces de viscosité ne dépendque du débit, et non de h et P1 .

Mélangeur

Un robinet mélangeur admet de l’eau froide (température T1 ,débit massique D1 ), et de l’eau chaude (T2 , D2 ).

Déterminer la température Tf de l’eau sortant du robinet.Préciser les hypothèses.

Compresseur

Un compresseur adiabatique amène de l’air de l’état 1 atmo-sphérique (P1 = 1 bar, T1 = 300 K) jusqu’à l’état 2 (P2 = 6 bar,T2). La puissance du moteur qui l’entraîne est de 1,5 kW,et le débit massique est de 6,5 g . s–1. Pour l’air, assimilé àun gaz parfait : cp = 1,0 kJ . kg–1. K–1 et g = 1,4 .

1) Calculer la température T2 .

2) Calculer l’entropie créée par unité de temps.

3) Quel serait le débit si l’évolution de l’air était isentropique ?

P1

h

g

v0 v

α

exey

colliers et boulonsde fixation du tuyau

pression atmosphérique P0

pression P1

partie fixe

αex

ey

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+

ω

u

Exercices


Réfrigérant

De l’air chaud (P1 = 6 bar, T1 = 500 K) est refroidi de façonisobare jusqu’à la température T0 de 300 K, dans un échan-geur parfaitement calorifugé. Le fluide réfrigérant est constituépar de l’eau (chaleur massique c = 4,18 kJ .kg–1.K–1) quientre à la températureqe = 12 °C et qui sortà qs . Le débit d’eauest d = 100 g . s–1 etcelui de l’air 6,5 g . s–1.On donne :cP air = 1,0 kJ .kg–1.K–1).Calculer qs .

Force sur une lance d’incendie

Un tuyau souple, desection S se terminepar un embout dont lasection terminale sest très petite devantS . La pression dans letuyau est P1 et le jetsort dans l’atmosphèreà la pression P0 .L’embout fait un angledroit avec la partie antérieure du tuyau. La vitesse du jet serasupposée très grande devant la vitesse du fluide dans le tuyau.L’eau étant assimilée à un fluide parfait, calculer le débit mas-sique Dm et Fy , composante parallèle au jet de la force F

exercée par la personne qui tient la lance.Données : P1 = 10 bars ; P0 = 1 bar ; s = 1 cm2 .

Fusée

Une fusée, dont la masse à l’instant t est m , éjecte vers l’ar-rière les gaz issus de la combustion du carburant et du com-burant qu’elle contient. On suppose qu’elle est en translation,de vitesse v par rapport au référentiel d’étude, galiléen, etque la vitesse u des gaz éjectés dans le référentiel f dela fusée est uniforme et constante. Dm représente leur débitmassique.

1) Calculer la poussée de la fusée, c’est-à-dire la force F

Pqu’il faudrait appliquer à un système fermé soumis aux mêmesforces extérieures pour obtenir la même accélération.

2) La fusée, de vitesse initiale nulle, n’est soumise à aucuneinteraction extérieure. Le débit est constant et la masse finaleest une fraction a de la masse initiale m0 .

Calculer l’énergie cinétique finale K finale de la fusée. Lamasse initiale étant fixée, pour quelle valeur am de a ,

K–finale est-elle maximale ? Définir le rendement énergé-tique mécanique r et le calculer pour a = am .

Tourniquet d’arrosage

Un tourniquet d’arrosage est constitué d’un tube vertical d’axe(Oz) , et d’un tube horizontal constitué de deux bras de lon-gueur a , terminés par des embouts dont la section terminaleest S . Le tube horizontal peut tourner autour de l’axe fixe(Oz) . On néglige l’épaisseur des tubes, et on suppose lesécoulements unidimensionnels.

Le moment d’inertie par rapport à l’axe (Oz) du tourniquetet de l’eau qu’il contient est J , et, lorsqu’il tourne à la vitesseangulaire w , il est soumis à un couple résistant constant devaleur absolue G .

Le débit massique d’eau est Dm .

1) Établir l’équation différentielle en w (t).

2) Calculer wp , valeur de w en régime permanent.

3) w étant nul à l’instant initial, étudier le régime transitoire.

Profil d’une tuyère

On suppose, pour simplifier, que l’écoulement du gaz dansune tuyère est unidimensionnel, permanent, adiabatique etisentropique. Le but de l’exercice est de relier la vitesse d’écou-lement v (x) à la section S(x) de la tuyère.Le gaz entre dans la tuyère en x = 0 , avec une vitesse v (0)négligeable, une pression P(0) = PA , une températureT(0) = TA et une masse volumique r(0) = rA .

Le gaz est supposé parfait, de masse molaire M . Le rapportg est supposé constant et connu.

er

– u u

ez

e

A

+

B

Dm

O

θ

αα

ω

tuyère chambrede combustion

réservoirs

u

section s << S

pression P0

pression P1

ex

ey

eau

air

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7.


1) Exprimer la relation qui existe entre la vitesse v (x) et lamasse volumique r(x) .

2) Exprimer la relation entre le débit massique D, v (x) etS(x) .

3) Discuter, selon la vitesse d’éjection du gaz vB , l’allure duprofil de la tuyère.

Moteur à turbineD’après ENSAM.

On schématise un moteur. Le fluide qui circule est de l’air,assimilable à un gaz parfait.Données : cp = 1,0 kJ . K–1. kg–1 et g = 1,4 .Le débit massique de l’air est Dm = 0,9 kg . s–1.

Les éléments ont les caractéristiques suivantes.

• Turbocompresseur (T.C.)Rendement mécanique hm = 0,95 ;

air aspiré : t1 = 10 °C et p1 = 1,0 bar ; compres-

sion adiabatique ; rendement indiqué par rapport à l’isentro-pique : hsc = 0,9 .

Par définition, avec Wi le travail indiqué et Wi′

le travail indiqué d’une isentropique fictive entre l’état 1 etla pression P2 .

• Turbine (T.U.)Rendement mécanique hm = 0,95 ; température d’admis-

sion : t4 = 927 °C ; détente adiabatique, avec

La turbine entraîne le turbocompresseur et la transmission duvéhicule.

• Échangeur adiabatique (E)

Efficacité

• Chambre de combustion (C.H.)Parois adiabatiques ; combustion isobare ; rendementhc = 0,97 .

Par définition,

On néglige :• les pertes de charge, d’où P2 = P3 = P4 et P5 = P6 = P1 ;• les variations d’énergies cinétique et potentielle ;• les variations de température dans les canalisations reliantles différents éléments ;• les variations de débit dues au combustible injecté.

1) Calculer la température t2 ainsi que la puissance Cfournie à l’arbre du compresseur.

2) Calculer la température t5 ainsi que la puissance T dis-ponible sur l’arbre de la turbine. En déduire la puissance ureçue par la transmission du véhicule.

3) Calculer la température t3 , le rendement global h , et ledébit massique horaire Dh du combustible, dont le pouvoircalorifique est égal à 4,0 . 104 kJ . kg–1.

4) Calculer la température t6 à la sortie de l’échangeur.

transmission

2

1

6 5E

T.C.

C.H.

T.U.

3

4

ηc(chaleur reçue par le fluide)

(chaleur de combustion)= .

ε = −−

=t tt t3 2

5 2

0 74, .

ηsti

i

=′=W

W0 81, .

ηsci

i

= ′WW

pp

2

1

4= ;

xx’ O

AS(x) B

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Solution du tac au tac, page 226.Vrai : b ; Faux : a, c

Vrai : b, d, f ; Faux : a, c, eVrai : a, e ; Faux : b, c, d

Corrigés


Le volume molaire est de 24,6 L (en

supposant le gaz parfait) et Dvol = 1,99 m3. h–1 .

a) En effectuant un bilan de quantité de mouvement pour le fluide contenu

à l’instant t dans le tuyau, dont la vitesse est on obtient :

F

tuyau→eau + P1 S ex – P0 S (cosa ex + sina ey ) = Dm [v (cosa ex + sina ey ) – v ex] .

On en déduit :

b) On étudie l’ensemble des forces s’exerçant sur le tuyau.

La résultante des forces dues à un champde pression uniforme sur une surfacefermée est nulle. Pour calculer la résul-tante des forces de pression atmosphériqueR

0 s’exerçant sur l’extérieur du tuyau, onimagine donc une situation où le systèmeserait tout entier plongé dans un milieu depression P0 .La résultante des forces de pression serait nulle, donc :

R

0 + P0 S ex – P0 S (cosa ex + sina ey ) = 0

,

soit R

0 = – P0 S [(1 – cosa) ex – sina ey ] .

Pour le tuyau fixe, on a (en négligeant son poids) :

R

0 + R

+ F

eau→tuyau = 0

,

ce qui donne R

= – R

0 – F

eau→tuyau , soit :

+ P0 S [(1 – cosa)ex – sina ey ]

=

Cette force ne dépend pas de la pression atmosphérique. Ce résultat peut aussi s’éta-blir par un bilan de quantité de mouvement relatif au système tuyau + eau.

A.N : Rx = – 21 N et Ry = + 1 N .

1) D/P = r S (v0 – v) et Dm = r S v0 , donc si v < v0 .

2) P est galiléen. La conservation de l’énergie dans P implique que la vitesse(scalaire) de l’eau est constante dans P (on ne tient pas compte de la pesanteur).

La vitesse du jet incident dans P est V

/P = (v0 – v)ex .

La vitesse du jet émergent dans P est V

′/P = (v0 – v) (– cosa ex + sina ey ) .

Le système plaque + eau en contact avec le déflecteur est soumis à la pression atmo-sphérique (de résultante nulle) et à une force – F

qui compense la force exercée par

le jet. Un bilan de quantité de mouvement pour ce système donne :

a) On effectue un bilan d’énergie mécanique pour le système * constituépar l’eau comprise, à l’instant t , dans un tube de courant qui relie la surface supé-rieure du puits à celle du réservoir. L’origine des énergies potentielles est choisie auniveau de la surface du puits.

• Les énergies cinétiques massiques entrante et sortante sont négligeables.

• L’énergie potentielle massique entrante est nulle (z = 0).

• L’énergie potentielle massique sortante est égale à g h .

Donc :

Le régime étant permanent, on sait que

La puissance des forces de pression est :

pres = P0 Spuits vpuits – P1 Sréservoir vréservoir = (P0 – P1)

d’où

b) Il faut ajouter dans le bilan la puissance des forces intérieures de viscosité.

On suppose que le moteur ne fonctionne pas, avec h = 0 et P1 = P0 – ∆P . Alors, le

bilan d’énergie donnerait

Comme visc est indépendante de h et de P1 :

Hypothèses

On peut supposer le robinet adiabatique (du moins en régime permanent, lorsque lestuyaux sont chauds). De plus, la capacité thermique massique à pression constante cde l’eau ne dépend pas de la température dans l’intervalle considéré.

En régime permanent, l’enthalpie entrant dans le robinet pendant dt est égale à l’en-thalpie sortant pendant la même durée.

rCm D1 T1 dt + rCm D2 T2 dt = rCm (D1 + D2)Tf dt , soit

1) Le gaz étant parfait, = Dm ∆h = Dm cp (T2 – T1) , d’où T2 = 531 K .

2) Pour un gaz parfait, dh = cp dT = T ds + v dP et ∆ s cTT

PP

=

− −

p ln ln .2

1

2

1

1γγ

TD T D T

D Df = ++

1 1 2 2

1 2

.

= + −

+D ghP P

KD

mm1 02

ρ ρ.

visc pression mm= − = − = −D

PK

D∆ρ ρ

2

.

= + −

D ghP P

m1 0

ρ.M M presd d

* *( ) ( ) ( ) ,t t t t+ − = +

Dm

ρ.

M Md( ) ( ) .t t t+ =

M M M M m md d d d* *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .t t t t t t D t gh D t gh+ − = + − + − = −0 0

[(1 + cosa)ex – sina ey ] .10

2

−

vv

– F

= D/P (V

′/P – V

/P), soit F

= Dm v0

D D/P m= −

10

vv

[(1 – cosa)ex – sina ey ] – K Dm S ex .−

DSm2

ρ

[(1 – cosa )ex – sina ey ] – K Dm S ex− +

DS

P Sm2

0ρR

=

P0atmosphérique

S

S

[(1 – cosa) ex – sina ey ] + K Dm S ex .D

SP Sm

2

0ρ+

F

eau→tuyau =

v = DSm

ρ,

= = =q D Q D QDVm mol mol mol

vol

mol

.

1.2.3.

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7.


On effectue un bilan d’entropie pour le système fermé * coïncident avec le sys-tème ouvert constitué par le compresseur et le gaz qu’il contient :

L’entropie de étant constante et * en évolution adiabatique, ce bilan d’entropieconduit à :

3) À l’issue d’une isentropique, la température serait de 501 K et le débit de 7,5 g . s–1.

Les puissances thermiques reçues par les deux fluides entre l’entrée et la

sortie sont opposées. Pour chaque fluide, un bilan enthalpique donne :

Dm(hsortie – hentrée) = th .

Donc d ∆heau + Dm ∆hair = 0 , soit d’où qs = 15,1 °C .

Le fluide étant parfait, incompressible et en régime permanent, on peut

calculer le débit en utilisant la relation de Bernoulli le long d’une ligne de courant.

et Dm = r s vjet .

Sachant que cela donne :

et

Un bilan de quantité de mouvement appliqué au système formé par l’embout, le coudedu tuyau et le fluide qu’il contient donne :

F

+ F

pression + F

= Dm (vjet – vtuyau), F

pression = P1 S ex +restedu système

– P0 dS

Or : – P0 dS

= + P0 S ex +restedu système

– P0 dS

= 0

D’où : F

+ (P1 – P0 ) S ex + F

′ ≈ Dm (vjet – vtuyau ) ,

F

représentant la force cherchée à exercer sur l’extrémité du tuyau, etF

′ = F ′ ex représentant les forces de cohésion du tuyau en amont.

Comme vjet >> vtuyau , on a :

F

+ (P1 – P0 ) S ex + F

′ ≈ Dm (vjet – 0

) .

On en déduit Fy = 2 s (P1 – P0) .

A.N : Dm = 4,2 kg . s–1 et Fy = 180 N .

1) On se place dans le référentiel non galiléen f .

Soit le système ouvert constitué par la fusée, le carburant et les gaz qu’elle contient,et le système fermé coïncident * . Ce système est soumis à une force d’interactionF

0 (pesanteur, frottements, etc.). p est constante (nulle), et le bilan de quantité demouvement donne :

F

0 + F

inertie = Dm u – 0

(le débit entrant est nul) .

D’après la définition : F

0 + F

P = m a = – F

inertie , soit F

P = – Dm u .

(L’analyse peut aussi être menée dans le référentiel d’étude, sans force d’inertie.)

2)

Cette équation s’intègre en

Donc vfinale = – u ln a et

La fonction f(a) = a (ln a)2 admet un maximum pour ln a + 2 = 0 . K finale estdonc maximale pour a = a m = 0,14 .La combustion dans le réacteur permet de créer, pour une masse dm qui va être

éjectée : de l’énergie cinétique macroscopique dm 12

u2, et de l’énergie interne (les

gaz éjectés sont chauds). Si le premier terme, utile pour la propulsion, est prépondé-rant, l’énergie que doit fournir la combustion est au total :

comb = m0 (1 – a ) u2

et alors : r = = . Si a = a m , alors r = 0,63 .

1) Soit le système ouvert constitué par le tourniquet et l’eau qu’il

contient (il est plus simple d’inclure le tourniquet dans le système, car les forces exté-rieures sont dans ce cas faciles à déterminer) et * le système fermé coïncident àl’instant t . L représentant le moment cinétique par rapport à l’axe de rotation, oneffectue un bilan de moment cinétique dans le référentiel d’étude, supposé galiléen.

• Pendant dt , une masse sort par chaque embout, avec une vitesse

dont la composante selon eq est

• La masse 2 δm qui entre dans le tube vertical a un moment cinétique nul.

d’où :

si w > 0 et .

Si w > 0 , avec et

2) wp = w0 si ou wp = 0 si

3) ω ωτ

= − −

p 1 exp .t

Γ D aS

m2

ραcos .Γ < D a

Sm2

ραcos

τ = JD am

2 .ωρ

α0 2= −DS a D am

m

cosΓτ ω ω ωd

dt+ = 0

d

d

d

d

d

d

Lt

Jt

Jt

= =( )ω ωd

d

Lt

* = −Γ

d

d

d

d mm

L

t

L

tD a a

DS

* cos .= + −

ωρ

α

L t t L t L t t L t m a aD

S* *( ) ( ) ( ) ( ) cos ,+ − = + − + −

d d m2δ ωρ

α

ωρ

αaD

S− m cos .

δm D t= 1

2 m d

r =−

α αα

(ln )2

1Kfinale

comb

12

K finale = 1

2 02 2m u α α(ln ) .

v ( ) ln .t um

m D t− =

−0 0

0 m

m tt

m D tt

D u( ) ( ) .d

d

d

dm mv v= − =0

D s s P Pm jet= = −ρ ρv 2 1 0( ) .ρ v jet2

1 02= −( )P P

v vjet tuyau2 2>> ,

v vjet tuyau2

02

1

2 2+ + = + +P

g zP

g zρ ρ

θ θs em p

d= + −

D c

cT T( ),1 0

d

dJ K scréée

mS

tD s= = − −∆ 0 38 1 1, .. .

d

d

d

d m sortie m entréeS

tSt

D s D s* .= + −

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Corrigés


1) L’écoulement est adiabatique et sans travail utile donc v2 = 2(hA – h) .

Le gaz est parfait, d’où (hA – h) = cp (TA – T) .

La détente est isentropique, donc et

Après calculs, on trouve r = rA 1 –g –

11

.

2) Le débit massique Dm = r v S est constant, car le régime est permanent,

soit : v (x)S(x) 1 –g –

11

= cte.

3) On dérive l’expression précédente :

v (x) est une fonction croissante et S ′ s’annule pour :

Le tableau des variations de S est donc (si vB > v0 ) :

• S(0) serait infinie ! Le modèle qui suppose v (0) = 0 ne s’applique donc pas enx = 0 .

• Appelons T0 la température en x0 .De 1) on tire :

v 20 = 2cp (TA – T0) = 2 (TA – T0)

et v 20 = 2 TA .

D’où : T0 = .

Il se trouve que c’est aussi l’expression de la vitesse du son à la tem-

pérature T0 du gaz en x0 .• Si vB (déterminée par la pression PB ) est inférieure à v0 , alors S(x) est seulementdécroissante.ConclusionPour une faible vitesse d’éjection (vB < v0 ) , la tuyère est convergente.Pour une grande vitesse d’éjection (supersonique), la tuyère est convergente (accélé-ration jusqu’à v0 ), puis divergente.

1) Soit T2′ la température d’une compression isentropique fictive :

Le bilan enthalpique s’écrit

d’où t2 = 163 °C .Dm (h2 – h1) = Cu

= hm C

d’où C = 145 kW .

2) Par un raisonnement identique : T5′ = 807,5 K ; T5 = 882 K ; t5 = 609 °C .

T = – hm Dm (h5 – h4) et T = 269 kW .

T = c + u

La puissance disponible est donc u = 124 kW .

3) D’après l’efficacité de l’échangeur, t3 = 493 °C .Le bilan enthalpique pour CH s’écrit h4 – h3 = cp (T4 – T3 ) = 434 kJ . kg–1 .La puissance thermique fournie par le combustible est donc :

D’où : h = = 0,28.

et :

4) L’échangeur est adiabatique, donc h3 – h2 + h6 – h5 = 0 , soit t6 = 279° C.

Dh kg h= = −447 10

4 103 600 40 2

3

71.

.., .

u

th

th mc

kW= − =Dh h4 3 447

η.

Cm

m

= −D h h( ),2 1

η

h h c T T w wc

T T2 1 2 1 12 12 2 11− = − = = ′ = ′ −p i i

p( ) ( ) ,η η

′ =

=

−

T TPP2 1

2

1

1

420 5

γγ

, .K

v00= γ RT

M.

2TAg + 1

RM

gg + 1

g R(g – 1)M

v v= = −+

=+0 2

1

12

1

γγ

γγ

c TRM

TA Ap .

′ + ′ +−

− ′

=SS

c T

c T

A

A

vv

vv

v1

12

02γp

p

1–.

v 2 (x)2cp TA

v 2

2cp TA

ρ ργ

=

A

A

PP

1

.T TPPA

A=

−γγ

1

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eest

undé

lit.

x 0 x0 xB

vBv v0

0

SBS

S0


O B J E C T I F S

P R É R E Q U I S

Annexe

3472_Annexe 27/05/2004 15:31 Page 237 (Cyan/Process Cyan film)

237

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Champs etcalculs vectoriels

Ce chapitre particulier, placé en fin d’ouvrage,présente de façon aussi simple et aussi physique

que possible les principaux outils mathématiquesutiles à l’étude de la physique

des champs.

Le but de ce chapitre n’est pas de tout démontrer ;nous présentons néanmoins les liens importants

existant entre ces divers opérateurs.

Dans cet ouvrage,ce chapitre est constamment rappelé en référence.

De plus, il est aussi un complément utilepour l’étude de l’électromagnétisme.

Maîtrise des outils mathématiques néces-saires à l’étude de la physique des champs.

Opérations mathématiques simples.

3472_Annexe 27/05/2004 15:01 Page 237 (Noir/Process Black film)

11.1.

ez

eyex

dz

dx

dy

M + dM dz

dy

dx

1.2.

ez

eer

θez

er

eθ

ez

ereθ


Coordonnées d’espace

Coordonnées cartésiennesCe sont les plus simples à utiliser. Les vecteurs unitaires e

x , e

y et e

z forment untrièdre direct. Un point M est défini par ses trois coordonnées x , y et z (doc. 1).À un déplacement élémentaire de M correspond le vecteur d M

–, tel que (doc. 2) :

d M–

= d x e

x + d y e

y + d z e

z .

À ces coordonnées sont associés des éléments de surface et de volume (doc. 3).

Toute grandeur scalaire g (ou vectorielle G–

) dépendant du point M sera notée

g(M) = g(x , y , z) (respectivement G–

(M) = G–

(x , y , z)) .

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Doc. 1. Système de coordonnées cartésiennes.Les coordonnées de M sont x , y et z :

M(x , y , z) .

coordonnée y

coordonnée z

y

z

x coordonnée x

O

M

ez

eyex

Doc. 2. Le vecteur dM–

a pour composantesd x , d y et d z , c’est-à-dire :

d M–

= d x ex + d y ey + d z ez .

y

z

x

M

dz

dx

dy

M + dM

Doc. 3. L’élément de volume dt = dx dy d zest délimité par six surfaces élémentairesplanes, dont d S1 = d x d y , d S2 = d x d z etd S3 = d y d z .

y

z

x

dz

dS1

dS2dS3

M(x, y, z)

dy

dx

Coordonnées cylindriquesUn point M est défini par ses trois coordonnées r , q et z (doc. 4). À ce type decoordonnées sont associés les vecteurs unitaires e

r , e

q et e

z , qui forment unebase de projection orthogonale dépendant elle-même de M . Les vecteurs e

r , e

qet e

z forment un trièdre direct (doc. 4).

Doc. 4a. Système de coordonnées cylin-driques. Les coordonnées de M sont r , qet z : M(r , q , z).

θ

coordonnée z

ez

eer

yr

H

M

K

O

z

xθ

coordonnée r

Doc. 4b. Disposition des vecteurs er , eqet ez .

ez

er

eθ

rO

z

K

r

M

H

Doc. 4c. Dans le plan (xOy), nous retrou-vons un système de coordonnées polaires.

θ

r

ez

ereθ

H

xz

y

À un déplacement élémentaire de M correspond le vecteur d M–

= d(rer + zez).

En coordonnées cylindriques (doc. 5) : d M–

= d r er + r d e + d z ez .


ANNEXE :

dM

1.3.er

eθeϕ

eϕ

u

ez

er

ueϕ

eϕ u

eθ

dM


À ces coordonnées sont associés des éléments de surface et de volume (doc. 6).Toute grandeur g dépendant du point M sera notée g(M) = g(r , q , z) (ouG–

(M) = G–

(r , q , z)) .

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Champs et calculs vectoriels

Doc. 5. En coordonnées cylindriques :d M

–= d r er + r d q eq + d z ez .

θy

z

x

dz

dr θrd

θd

dMz + dz

z

r

MDoc. 6. Mise en évidence des surfaces (etvolumes) élémentaires dans le cas descoordonnées cylindriques :d S1 = d r d z ; d S2 = (r + d r) d q d z ;dS3 = r dq d r et le volume a pour expres-sion d t = r d r d q d z .

dS1

dS2

dS3dr

θy

z

x θd

z + dz

z

r

Coordonnées sphériques

Un point M est défini par ses trois coordonnées r , q et j . À ce type de coor-données sont associés les vecteurs unitaires er , eq et ej , qui forment une basede projection orthogonale dépendant elle-même de M . Les vecteurs er , eq et ejforment un trièdre direct (doc. 7). À un déplacement élémentaire de M correspondle vecteur d M

–= d(r er).

À ces coordonnées sont associés des éléments de surface et de volume (doc. 9).Toute grandeur g dépendant du point M sera notée g(M) = g(r , q , j) (ouG–

(M) = G–

(r , q , j)) .

En coordonnées sphériques (doc. 8) :

d M–

= d r er + r d e + r sin d e .

Doc. 7a. Cas des coordonnées sphériques.

er

eθθeϕ

ϕ eϕ

u

r

r

z

y

x

M

O

Doc. 7b. Mise en évidence de la présencede deux systèmes de coordonnées polaires.H est le projeté orthogonal de M sur leplan xOy.

ϕθ

ez

er

ueϕ

eϕ

H

xz

y

u

H

M

z

rr sin

eθ

θ

Doc. 8. Coordonnées sphériques :d M

= d r er + r d q eq + r sinq d j ej .

z

yr

dr

drrd

r

x

ϕ

θ

θ

rsinθdM

dϕ

dϕ

dθ

Doc. 9. Surfaces élémentaires (et volumes)en coordonnées sphériques :d S1 = r d r d q ; d S2 = r sinq d r d j ;d S3 = (r + d r)2 d q sinq dj et le volumea pour expression dt = r2 sinq dr dq dj .

z

yr r

dr

drdS1

r

x

ϕ

θ

dϕ

dθ

dS3

dS2

dr

Remarque : Les grandeurs r et θ définies ici diffèrent de leurs homonymes descoordonnées cylindriques. La coordonnée ϕ , et le vecteur unitaire eϕ corres-pondant, s’identifient en revanche aux grandeurs θ et e

θ des coordonnées cylin-driques !


22.1.

2.2.

T

dM

dMdS = dSN


Contours et surfaces

Définitions

Soit une courbe reliant deux points A et B de l’espace (doc. 10). Lorsque Aet B sont confondus, la courbe est dite fermée : elle définit un contour (doc. 11).Ce contour, non nécessairement plan, délimite alors une surface S non unique. Lessurfaces S1 et S2 s’appuient sur le même contour (doc.12).

Une surface fermée est une surface limitant un volume V ( doc. 13).

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Doc. 10. Courbe non orientée de A à B .

A

B

Doc. 11. Contour avec une surface asso-ciée, s’appuyant sur ce contour.

A = B

Σ

Doc. 12. Les deux surfaces S1 et S2 s’ap-puient sur la même courbe fermée (oucontour) .

2Σ

1Σ

Doc. 13. Surface S fermée délimitant levolume V associé.

surface fermée volume VΣ

Conventions d’orientation

À un contour, nous associons un sens de parcours : un élément de longueur sca-laire d permet de construire le vecteur d M

–= d T

–, où T

–est le vecteur uni-

taire tangent à la courbe (doc. 14 a et b).

À une surface, nous associons une orientation : un élément de surface scalaire d S ,et sa normale N

–définissent un vecteur d S

–, de norme d S et dirigé par la nor-

male N–

tel que d S–

= d S N–

(doc. 14c).

Doc. 14a. Courbe orientée de A à B.A

BT

dM

dMdS = dSNa) b) c)

N

Σ

Doc. 14b Courbe orientée fermée, oucontour orienté.

Doc. 14c. Contour orienté avec une sur-face associée.

Dans le cas d’un contour, les éléments vectoriels T–

et N–

obéissent à une conven-tion d’orientation :

• il n’y a pas de convention absolue d’orientation pour un contour (doc. 14b) ;

• mais il existe une convention d’orientation entre un contour et les surfaces s’ap-puyant sur ce contour. La convention relative d’orientation est indiquée sur lesdocuments 15 et 16.


ANNEXE :

N

N

N

N

N

N

N

2.3.2.3.1.


Une surface fermée est conventionnellement orientée positivement vers l’extérieurdu volume qu’elle limite (doc. 17).

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Doc. 15. Convention d’orientation des surfaces s’appuyant sur une courbe fermée(contour) orientée donnée.

N

N

Doc. 16. Les deux surfaces S1 et S2 s’ap-puient sur la même courbe fermée(contour) orientée .

N

N2Σ

1Σ

Doc. 17. Surface S fermée délimitant le volume V associé. Le volume V peut êtredélimité par deux surfaces fermées Sint et Sext .

N

N

la surface totale Σ fermée est constituéede deux surfaces fermées Σ int et Σext volume V

surface fermée

volume V

N

Σ

Intégrales associéesIntégrale d’un champ de scalaires

Soit une courbe et une surface S , fermées ou non. Nous rencontrerons des inté-grales scalaires ou vectorielles construites à partir de champs scalaires :

• intégrales scalaires : g d et g d S ;

• intégrales vectorielles : g d et g .

Les deux premières intégrales, scalaires, sont bâties à partir du champ scalaire g .Les deux suivantes, bâties à partir du même champ, sont vectorielles.

Il est très important de distinguer intégrales scalaires et vectorielles. Ainsi sur uncontour (dans ce cas, il faut mettre un cercle sur le signe intégral), il est possiblede définir les deux intégrales suivantes :

d l et d

La première intégrale représente la longueur du contour , alors

que la deuxième est nulle .

contour

d = 0 (doc. 18)

contour

d l = L

l

.

contourcontour

d S–

Σ

Σ


2.3.2.

circulation flux

2.3.2.1.

dS

n

dl

M + dM

1

2

1

2


Remarques

• Dans le cas d’une surface fermée S , l’intégrale est nulle, alors que

S

n’est pas nulle (doc. 19).

S

• Pour une surface non fermée, le vecteur surface S–

associé à S , s’appuyant surun contour est unique, et est calculable en utilisant l’intégrale suivante :

contour

indépendante du choix du point P (doc. 20). L’unicité peut être montrée en utili-sant le théorème de Green-Ostrogradski (§ 4.2). Ce vecteur, dont l’orientation obéità la convention relative entre la normale à la surface S et le sens de circulationsur le contour , est aussi le vecteur surface de toute surface s’appuyant sur ,ce qui montre bien qu’on ne doit pas le confondre avec le scalaire, dépendant du

choix de la surface : d S .

S

Intégrale d’un champ de vecteurs G–

(M)

Il est possible de définir deux intégrales scalaires, bâties à partir d’un champ G–

vectoriel, qui sont très importantes en physique : la et le .

Circulation d’un vecteur

PM—

∧ d M–

,12

S–

=

d S

d S–

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dS

dS

dSn

a) b)

Σ Σ

Doc. 18a. Courbe de longueur L : d l = L .

b. Courbe orientée : d l

= 0

.

dl

a) b)

Doc. 19a. dS = S (aire de la surface S). b.

S S

d S

= 0

.

La circulation C d’un champ vectoriel G–

sur une courbe orientée (fer-mée ou non) est définie par (doc. 21) :

C = ou C = G–

(M) . d M–

.G–

(M) . d M–

courbeA

B

contour

P

MM + dM

C

Doc. 20. L’aire du triangle hachurée est

égale à la norme de

L’aire S

est donc calculable par :

S =

contour

PM—

∧ d M–

.1

2

PM—

∧ d M–

.1

2


2.3.2.2.

ANNEXE :

G(M) G(M)

dM

dM

ndS

ndS

G(M)

G(M)

N

N

33.1.


Remarque

La circulation d’un vecteur le long d’un contour est liée à l’opérateur rotationnel(cf. § 5).

La circulation d’un vecteur est un outil important en électromagnétisme et en méca-nique des fluides.

Flux d’un vecteur à travers une surface

Remarque

Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée S est lié à l’opérateur diver-gence (cf. § 4).

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Le flux d’un champ vectoriel G–

à travers une surface , qui doit êtreorientée, est défini par (doc. 22) :

= ou

(fermée)

G–

(M) . d S

.G–

(M) . d S

Doc. 21. Définition de la circulation d’un vecteur.

G(M) G(M)

G(M) . dMB

AG(M) . dM

dM

dM

A

courbe

M

M

B

C =C =

Doc. 22. Définition du flux d’un vecteur.

ndS

ndS

G(M)

G(M)

N

N

G(M) . ndSΦ = G(M) . ndSΦ =

MM

S

dS

dS

Σ

Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée ou non est un outil important en :

• électricité (vecteur densité volumique de courant j

V) ;

• électromagnétisme (flux des champs E–

, B–

, P–

, …) ;

• mécanique des fluides (flux du vecteur vitesse, …).

Intéressons-nous maintenant à des opérateurs qui s’appliquent à des champs sca-laires ou vectoriels en les transformant en d’autres champs. Ils ont un caractèreintrinsèque mais peuvent être exprimés dans les différentes coordonnées spatialesprécédemment définies, en utilisant les dérivées partielles par rapport aux coor-données spatiales.

Opérateur gradient

Définition

Considérons un champ scalaire g(M). À un déplacement élémentaire d M–

estassociée une variation élémentaire d g de g : d g = g(M + d M

–) – g(M).


3.2.

dM1dM2

grad g

(grad g)N

(grad g)M

3.3.3.3.1.

dM

grad g


L’opérateur gradient s’applique à un champ scalaire qu’il transforme en un champvectoriel.

Propriétés

Le gradient est une grandeur locale.

L’ensemble des points tels que g = cte définit une surface (doc. 23).

• Si, à partir d’un point de la surface, nous nous déplaçons de d M–

1 sur cette sur-face, c’est-à-dire dans le plan tangent à celle-ci au point considéré, d g = 0 . Ceciimplique que le vecteur grad

—g est orthogonal à tout d M

–sur la surface, donc aux

surfaces g = cte .

• Si nous nous déplaçons maintenant suivant la normale, d g est positif si grad—

get d M

–2 sont de même sens : grad

—g est donc dirigé vers les g croissants.

L’opérateur gradient (local en M ) est défini par :

d g = g(M + d M–

) – g(M) = grad—

M(g) . d M–

.

Souvent, nous écrirons d g = grad—

(g) . d M–

.

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Doc. 23. grad—

g est perpendiculaire aux surfaces g = cte etorienté dans le sens des g croissants.

dM1dM2

y

xO

grad g

g = g2 = cte

g = g1 = cte

g2 > g1

Doc. 24. Plus les variations spatiales de g sont grandes et plusle gradient a une valeur importante.

N

M

y

xO

(grad g)N

(grad g)M

courbes« g » = cte

Circulation d’un gradientLa circulation d’un gradient de A à B est indépendantedu chemin suivi

Étudions la circulation d’un gradient, c’est-à-dire la quantité avec

G–

= grad—

g . Sachant (par définition du gradient) que dg = grad—

g. d M–

= G–

. d M–

,nous pouvons écrire (doc. 25) :

G–

. d M–

A

B

Le vecteur grad—

g :

• est orthogonal aux surfaces g = cte ;

• est dirigé vers les « g » croissants (il indique donc dans quelle direction etdans quel sens la grandeur g(M) varie) ;

• indique l’importance de la variation spatiale de la grandeur « g » (doc. 24).

Doc. 25. L’intégrale :

est indépendante de la courbe allantde A à B .

grad—

g(M) . d M

= g(B) – g(A)

A

B

dMMC

grad g

A

B


3.3.2.

3.4.

3.4.1.

3.4.2.

3.4.3.

3.4.4.

3.4.5.

ANNEXE :

dM

grad g

grad n

grad vx(y) grad vx(y)


Le résultat est indépendant de la courbe allant de A vers B .

La circulation d’un gradient sur un contour est nulle

Reprenons l’expression précédente, si B = A , nous obtenons (doc. 26) :

Ceci est en relation avec l’identité suivante que nous ne démontrerons pas.

Le gradient en physique

Gradient de potentiel : champ électrostatique

Nous avons vu en électrostatique, qu’un champ de nature électrostatique dérived’un potentiel V par la relation E

–= – grad

—V (cf. H-Prépa, Électromagnétisme,

1re année) ; le champ est perpendiculaire aux équipotentielles et dirigé suivant lespotentiels décroissants.

Gradient de concentration : diffusion de particules

Dans un milieu où la densité de particules n n’est pas uniforme (donc lorsqu’il existeun gradient de concentration), apparaît un phénomène de diffusion de particules(cf. H-Prépa, Thermodynamique, 2e année), c’est-à-dire une densité volumique deflux de particules proportionnelle au gradient local de concentration :

j

n = – D grad—

(n) (loi de Fick).

Gradient de température : diffusion thermique

Dans un milieu où la température n’est pas uniforme (donc lorsqu’il existe un gra-dient de température), apparaît un phénomène de diffusion thermique (cf. H-Prépa,Thermodynamique, 2de année), c’est-à-dire une densité volumique de flux ther-mique proportionnelle au gradient local de température :

j

Q = – k grad—

(T) (loi de Fourier).

Gradient d’indice optique : déviation d’un rayon lumineux

Nous avons vu en optique géométrique (cf. H-Prépa, Optique, 1re année) qu’ilexiste un gradient d’indice optique n dans un milieu non homogène. Cet indiceest responsable de la concavité d’un rayon lumineux (doc. 27).

Gradient de vitesse : diffusion de quantité de mouvement

Dans un écoulement unidimensionnel dont le champ des vitesses en formalismeeulérien est, par exemple, de la forme v(M , t) = vx(y) ex , il existe un gradient dela composante de vitesse vx(y) : grad

—[vx(y)] parallèle à (Oy) (doc. 28). Ce gra-

dient est responsable d’une diffusion de quantité de mouvement, donc d’une forcesurfacique de la forme (cf. chapitre 5) :

d F

= h |grad—

[vx(y)]| dS ex .

Si G–

est un gradient G–

= grad—

g , alors rot— G–

= 0

en tout point de l’es-pace (cf. § 5).

dg = 0 .grad—

g. d M–

=

contour

G–

. d M–

=

A

B

dg = g(B) – g(A) .

A

B

grad—

g . d M–

=

A

B

G–

. d M–

=

A

B

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Doc. 26. grad—

g . d M–

= 0. .

dM

grad g

A = B

Doc. 27. Tracé du rayon lumineux dansun milieu non homogène, où existe un gra-dient d’indice n (origine de l’effet demirage).

y

xO

grad n

courbes iso – n

Doc. 28. Dans cet écoulement de fluide,le gradient de vitesse vx est non nul :

grad—

vx(y) ≠ 0

.

y

xO

grad vx(y) grad vx(y)


3.4.6.

3.5.

3.5.1.

3.5.2.

g rf rr

( )( )

.= d

d

12r

er

r

= −

1

PM

1 1 1 12 2PM r rr

rf r r f r

r=

= − = = −, ( ) , ( ) ,d

dd soit

1

PMf r er

= ( )

1

PM

1

PM1

PM

1

PM1

PM

1PM

ρ D

D

v

t=

1

PM

gradM1

PM( )

f rf r

r( )

( )=

d

d

grad f ( r)


Équivalent volumique des forces de pression

Un champ de pression P(M) dans un fluide peut être décrit sous la forme d’unéquivalent volumique (doc. 29) (cf. chapitre 4) :

d F

= – grad—

(P) dt .

Cet équivalent apparaît dans l’équation d’Euler sous la forme :

(équation d’Euler).

Exemples de calcul de gradientCalculons directement le gradient de champs scalaires simples et fréquents en phy-sique.

Calcul de grad—

M

Pour calculer grad—

M , intéressons-nous à la variation de la grandeur .

Lorsque P reste fixe, le grad—

est perpendiculaire à la surface = cte ,

donc à une sphère de centre P et de rayon PM . Le gradient est porté par PM—

.

Ce gradient est orienté dans le sens de croissant, donc PM décroissant, soit

de M vers P (doc. 30), et il sera de même d’autant plus important que M estproche de P .

Posons grad—

M (avec PM—

= rer et f (r) < 0) .

Sachant que on a donc :

grad—

M = – , ce que nous écrirons plus couramment en coordonnées

sphériques sous la forme :

grad—

.

Champ de scalaires à symétrie cylindrique


f (r) (en coordonnées cylindriques), intéressons-nous à la varia-tion de la grandeur f (r) . Le grad

—f (r) est perpendiculaire à la surface f (r) = cte ,

donc à un cylindre d’axe (Oz) et de rayon r . Le gradient, porté par KM—

(doc. 31)peut s’écrire grad

—f (r) = g (r) er . Sachant que d f (r) = g (r) d r , nous obtenons :

g rf rr

( )( )

.= d

d

12r

er

r

= −

PM—

PM31

PM

1 1 1 12 2PM r rr

rf r r f r

r=

= − = = −, ( ) , ( ) ,d

dd soit

1

PMf r er

= ( )

1

PM

1

PM1

PM

1

PM1

PM

1PM

f

v – grad—

(P)ρ D

D

v

t=

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desf

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s,2e an

née,

PCet

PSI,L

apho

toco

pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


grad—

M = – = – grad—

P .1

PM

PM—

PM31

PM

En coordonnées cylindriques, nous obtenons grad—

er .f rf r

r( )

( )= dd

Doc. 29. La résultante des forces de pres-sion s’exercant sur un élément de volumedx dy d z est égale à – (grad

—P) dx dy d z .

z P(x, y, z)dy dz

y

x

O

–P(x + dx, y, z)dy dz

Doc. 30. Disposition du vecteur :

grad—

M .1

PM

gradM1

PM( ) M

P

Doc. 31. Coordonnées cylindriques :

grad— er .f r

f r

r( )

( )=

d

d

grad f ( r)z

y

x

O

K

M


3.5.3.

3.5.4.

3.5.5.

3.6.

3.6.1.

∂∂∂∂∂∂

gx

gy

gz

.

d d d dggx

xgy

ygz

z= + +∂∂

∂∂

∂∂

.

12r

er

r

= −

g rf rr

( )( )

.= d

d

ANNEXE :

f rf r

r( )

( )=

d

d

grad f ( r)


Champ de scalaires à symétrie sphérique


f (r) (en coordonnées sphériques), intéressons-nous à la varia-

tion de la grandeur f (r) . Le grad—

f (r) est perpendiculaire à la surface f (r) = cte ,

donc à une sphère de centre O et de rayon r . Le gradient, porté par OM—

(doc. 32)

peut s’écrire grad—

f (r) = g (r) er . Sachant que d f (r) = g (r) d r , nous obtenons :

Nous retrouvons bien grad—

(cf. § 3.5.1).

Calcul de grad—

(ab)

De l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes (cf. § 3.6.1) résulte la for-mule simple suivante :

grad—

(ab) = a grad—

b + b grad—

a .

Cas où g est aussi fonction du temps t

Si la grandeur g dépend également du temps g(M, t) , nous devons écrire la rela-tion ci-dessous.

Ceci nous permet en mécanique des fluides, connaissant le champ des vitessesv(M , t) en formalisme eulérien, d’introduire la notation de variation particulaireDg dans le cas où nous nous imposons d M

–= v(M , t) d t .

Expressions analytiques

Coordonnées cartésiennes

En coordonnées cartésiennes, écrivons Dans ce

système de coordonnées l’expression du gradient est donc :

∂∂∂∂∂∂

gx

gy

gz

.grad—

g =

d d d dggx

xgy

ygz

z= + +∂∂

∂∂

∂∂

.

12r

er

r

= −

g rf rr

( )( )

.= d

d

247

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undé

lit.


En coordonnées sphériques, nous obtenons grad—

er .f rf r

r( )

( )= dd

La variation totale de g est d g = grad—

g . d M–

+gt

td .

La variation particulaire de g s’écrit Dg = grad—

g . d M–

+ avec

d M–

(d x , d y , d z) = v (M , t) d t .

gt

td

Doc. 32. Coordonnées sphériques :

grad— er .f r

f r

r( )

( )=

d

d

grad f ( r)z

y

x

O

M OM = rer


3.6.2.

3.7.3.7.1.

D

D

ρt

+

D

D

ρ ρ( , ) ( , )M tt

M tt

= ∂∂

g Ar

Ar

Az

g r zr z= + +

∂∂

∂∂

∂∂θ θ

θ1( , , ) .

g Agx

Agy

Agzx y z= + +∂

∂∂∂

∂∂

.

∂∂

∂∂

∂∂

gr

rg

rg

1

1

θ

θ ϕsin

.

∂∂

∂∂

∂∂

gr

rg

gz

1

θ

d d d dggr

rg g

zz= + +∂

∂∂∂

∂∂θ

θ ,

B = B0 ez


Il est possible de montrer à partir de cette relation que grad—

(B–

. OM—

) = B–

, si lechamp de vecteurs B

–est uniforme : un calcul simple consiste à prendre B

–= B0 ez ,

et d’appliquer la relation précédente (doc. 33).

Coordonnées cylindriques et sphériques

En explicitant les différentielles de g en coordonnées cylindriques :

nous obtenons immédiatement l’expression du gradient dans ce système de coor-données (attention, d M

–= d r ez + r dq eq + d z ez). Il s’écrit :

et de même en coordonnées sphériques, nous avons :

Opérateur «

A.grad—

»Opérateur «

A . grad

—» appliqué à un scalaire

À un champ scalaire g , nous pouvons associer l’expression A

. grad—

g , où A

estun champ vectoriel. Exprimons le résultat en coordonnées cartésiennes :

(A

. grad—

)

Remarquons que cette expression écrite en coordonnées cartésiennes peut s’écriredans d’autres systèmes de coordonnées. Prenons le cas des coordonnées cylin-driques, nous avons :

(A

. grad—

)

Cet opérateur se rencontre en mécanique des fluides lors du calcul de la dérivationparticulaire d’un scalaire, lorsque A

(M , t) = v

(M , t) , champ des vitesses eulérien

d’un fluide. Ainsi la dérivation particulaire de la masse volumique s’écrit :

+ v

(M , t) . grad—

r(M , t) ,

équation qui conduit à l’équation de conservation de la masse (cf. chapitres 1 et 2) :

r div v = 0 .D

D

ρt

+

D

D

ρ ρ( , ) ( , )M tt

M tt

= ∂∂

g Ar

Ar

Az

g r zr z= + +

∂∂

∂∂

∂∂θ θ

θ1( , , ) .

g Agx

Agy

Agzx y z= + +∂

∂∂∂

∂∂

.

∂∂

∂∂

∂∂

gr

rg

rg

1

1

θ

θ ϕsin

.grad—

g =

,

∂∂

∂∂

∂∂

gr

rg

gz

1

θgrad—

g =

d d d dggr

rg g

zz= + +∂

∂∂∂

∂∂θ

θ ,

248

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s,2e an

née,

PCet

PSI,L

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pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


Doc. 33. Les surfaces telles que B

.OM—

soit constant sont des plans orthogonauxà (Oz). Donc grad

—(B

.OM—

) est portépar B

.

z

y

x

O

M

K

B = B0 ez


3.7.2.

a M tM tt

M tt

( , )( , ) ( , )= = +D

D

v v∂∂

∂∂

∂∂

ee

eer

r

θ θθθ= = −et .

Ar

Ar

Az

G e G e G er z r r z z∂

∂∂

∂∂

∂+ +

+ +

θ θ θθ

1 ,

Ax

Ay

Az

G

G

Gx y z

x

y

z

∂∂

∂∂

∂∂

+ +

.

Ax

Ay

Az

G

Ax

Ay

Az

G

Ax

Ay

Az

G

x y z x

x y z y

x y z z

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+ +

+ +

+ +

AGx

AGy

AGz

AG

xA

G

yA

G

z

AGx

AGy

AGz

xx

yx

zx

xy

yy

zy

xz

yz

zz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+ +

+ +

+ +

ANNEXE :


Opérateur «A . grad

—» appliqué à un vecteur

À partir d’un champ vectoriel G–

, étudions l’expression (A

. grad—

) G–

, où A

est

un champ vectoriel. Le champ vectoriel G–

possède en coordonnées cartésiennes

trois composantes Gx , Gy et Gz . Si nous associons à ces trois nouveaux champs

scalaires les expressions A

. grad—

Gx , A

. grad—

Gy et A

. grad—

Gz , alors elles consti-

tuent les trois composantes d’un nouveau champ vectoriel, noté par définition

(A

. grad—

) G–

.

En pratique, (A

. grad—

) G–

s’écrit en coordonnées cartésiennes :

qui est encore égal à :

ou :

Remarquons qu’en coordonnées cylindriques, nous pouvons écrire :

en n’oubliant pas que

Cet opérateur se rencontre :

• en mécanique des fluides lors du calcul de la dérivation particulaire d’un scalaire,lorsque A

(M , t) = v(M , t) , champ des vitesses eulérien d’un fluide.

Ainsi l’accélération d’une particule de fluide est donnée par l’expression (cf. cha-pitre 1) :

(v(M , t) . grad—

) v(M , t) ;

• en électromagnétisme lors du calcul de la résultante des forces s’exerçant sur undipôle électrique (ou magnétique) rigide, placé dans un champ extérieur perma-nent :

F–

= (p . grad—

) E–

avec p = cte–

(cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 1re année).

a M tM tt

M tt

( , )( , ) ( , )= = +D

D

v v∂∂

∂∂

∂∂

ee

eer

r

θ θθθ= = −et .

Ar

Ar

Az

G e G e G er z r r z z∂

∂∂

∂∂

∂+ +

+ +

θ θ θθ

1 ,(A

. grad—

) G–

=

Ax

Ay

Az

G

G

Gx y z

x

y

z

∂∂

∂∂

∂∂

+ +

.(A

. grad—

) G–

=

,

Ax

Ay

Az

G

Ax

Ay

Az

G

Ax

Ay

Az

G

x y z x

x y z y

x y z z

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+ +

+ +

+ +

(A

. grad—

) G–

=

,

AGx

AGy

AGz

AG

xA

G

yA

G

z

AGx

AGy

AGz

xx

yx

zx

xy

yy

zy

xz

yz

zz

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+ +

+ +

+ +

(A

. grad—

) G–

=

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lit.



44.1.

v 2

2

A2

2

N

N

N

N

G(M)

4.2.


Remarque

Dans le cas où l’opérateur (A

.grad—

) s’applique au vecteur A

, nousavons l’identité suivante :

Cette formule s’obtient rapidement en travaillant en coordonnées cartésiennes.Elle est utile en mécanique des fluides en remplaçant A

par v (cf. § 5.4.2) :

.

Opérateur divergence

Définition - InterprétationConsidérons un champ vectoriel G

–et l’élément de volume dt associé à un point

M de l’espace. Le flux élémentaire d F (par convention sortant) du champ G–

àtravers la surface fermée élémentaire d S , délimitant le volume dt , s’exprime enfonction de la divergence du champ de vecteur G

–sous la forme (doc. 34) :

d F = div (G–

) dt .

L’opérateur divergence, défini de façon intrinsèque, transforme donc un champvectoriel en un champ scalaire. La signification physique de l’opérateur divergenceest intimement liée à la notion de flux : un champ de vecteurs « diverge » en unpoint si son flux à travers un volume élémentaire associé à ce point est non nul .Manifestement, en M , le champ (1) diverge et le champ (2) ne diverge pas (doc. 35).

L’opérateur divergence en M du champ G–

est alors défini par la relation :

d = div G–

d .

+ rot— v ∧ v avec rot— v = 2 W–v 2

2(v .grad

—) v = grad

—

+ rot— A

∧ A

.A2

2(A

.grad—

) A

= grad—

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Doc. 34. Le flux sortant dF de G , à tra-vers la surface élémentaire dS délimitantle volume dt , centré en M est égal à :

dF = div G–

dt .

Σ

M

surface ddélimitantle volume dτ

N

N

N

N

G(M)

Doc. 35. • Cas 1 : le champ de vecteurs diverge à partir d’une « source » en M (atten-tion : il peut être à divergence nulle partout, sauf en M).• Cas 2 : ce champ orthoradial est toujours à divergence nulle.

1)

M

2)

M

Théorème de Green-OstrogradskiLa définition de l’opérateur divergence introduit l’égalité :

d F = div G–

d t = « G–

. d S–

» ,

où d S–

est la surface fermée élémentaire délimitant le volume élémentaire d t . Enintégrant cette égalité sur un volume V quelconque, nous obtenons (à condition


4.3.

4.3.1.

4.3.2.

4.3.3.

4.3.4.

ANNEXE :

NQ


que le champ de vecteur G–

ne présente pas de discontinuité sur une surface ferméeou non située à l’intérieur du volume V ) le théorème de Green-Ostrogradski(doc. 36).

Champs à flux conservatif

Définition

Un vecteur à flux conservatif est un rotationnel

Nous verrons (mais nous ne ferons pas la démonstration) que la condition néces-saire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif, est qu’il soit un champde rotationnel.

Conservation du flux le long d’un tube de champ

Construisons une surface fermée S à partir d’un tube de champ (ensemble de lignesde champ s’appuyant sur un contour) et de deux sections S1 et S2 orientées de cetube (doc. 37) ; un champ à flux conservatif a un flux nul à travers S ; ce flux estnul à travers la surface latérale de S par construction : ainsi FS 1 = FS 2 comptetenu des orientations. Il en résulte que le flux du champ de vecteurs est le même àtravers S1 et S2 , surfaces ouvertes identiquement orientées.

Applications

• Examinons le champ de vecteur représenté sur le document 38, de la formev(M) = vx(y) ex (champ eulérien des vitesses d’un fluide) : ce champ est à diver-gence nulle.

Examinons le tube de champ de longueur H et de section constante dS . Sachantque v (x1) = v(x1 + H) , le flux de v à travers la surface d S en x1 est égal auflux de v à travers la même surface d S en x1 + H , et ceci quel que soit H . Leflux étant constant à travers tout tube de champ, le champ des vitesses est à fluxconservatif, nous retrouvons donc que la divergence de ce champ de vecteurs estnulle : div (v) = 0 . C’est un écoulement incompressible.

En revanche, ce champ n’est pas à rotationnel nul (cf. § 5.5.1).

div (B

) = 0 équivaut à B

= rot—(A

).

Tout champ à divergence identiquement nulle a donc un flux nul à traverstoute surface fermée : il est dit à flux conservatif.

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Le flux sortant d’un champ vectoriel G–

(ne présentant pas de discontinuitésur une surface fermée ou non, située à l’intérieur du volume V ) à traversune surface fermée est égal à l’intégrale, sur le volume V limité parcette surface, de sa divergence :

surface volume Vfermée

divM (G–

(M)) d M .G–

(Q) . N–

Q d S =Doc. 36. Théorème de Green-Ostrogradski.

Σ

Q

MV

dS

d M

NQ

τ

2Σ

1ΣdS

Bn1 n2

Σ

Doc. 37. Dans une zone à flux conserva-tif, le flux se conserve le long d’un tube dechamp : FS 1 = FS 2.


4.4.

4.4.1.

4.4.2.

div( )jt

+ =∂

∂ρ

div( )jntn

+ =∂

∂

( ))( )

.MM= ρ

ε0

qi= ∑ε0

n


• Pour un champ à flux conservatif, les portions de l’espace où les lignes de champse resserrent (doc. 39) nous indiquent que, dans ces zones, le champ est plus intense(c’est-à-dire de module plus élevé).

Opérateur divergence en physique

Sources de champ électrique

En électrostatique, les sources de champ sont les charges ; l’équation locale liantle champ électrique et les charges de densité volumique r (doc. 40) est (cf. H-Prépa,

Électromagnétisme, 2de année) : divM (E–

Les conséquences de cette équation sont :

• dans une zone sans charge, le vecteur E–

est à flux conservatif ;

• le vecteur E–

obéit au théorème de Gauss : le flux sortant de E–

à travers unesurface fermée est égal à la somme des charges intérieures à cette surface, diviséepar e0 (doc. 41).

Équations de conservation

Il existe en physique de nombreuses équations de conservation :

• équation de conservation du nombre de particules de densité volumique n(M , t) ,en présence d’une densité volumique de débit de particules j

n (M , t) (cf. H-Prépa,Thermodynamique, 2e année) :

0 ;

• équation de conservation de la charge de densité volumique r (M , t) , en pré-sence d’une densité volumique de courant j

(M , t) (cf. H-Prépa, Électromagné-

tisme, 2de année) :

0 ;div( )jt

+ =∂

∂ρ

div( )jntn

+ =∂

∂

( ))( )

.MM= ρ

ε0

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Doc. 38. Le champ de vecteurs de la forme vx(y)ex est à diver-gence nulle, mais à rotationnel non nul.

sectiondS

y

z xx1 + Hx1

Doc. 39. Le champ des vitesses de ce fluide en écoulement incom-pressible est uniforme loin de la perturbation (cylindre).La vitesse est « importante » dans les zones où les lignes de champse resserrent.

–2

–1,5

–1

–0,5

0

0,5

1

1,5

2

–2,8 –2,1 –1,4 –0,7 0 0,7 1,4 2,1 2,8

y

x

Doc. 40. Soit une charge « ponctuelle »dans l’espace.div E

–= +∞ en O (r = +∞) ;

div E–

= 0 en M (r = 0) .

O

M

z

x

qy

Doc. 41. Soit E–

le champ électrostatiquetotal créé par toutes les charges intérieures(qi) et extérieures (q′i ) à S . Le théorèmede Gauss donne :

.

S

qi= ∑ε0

E–

. n dS

n

Σ

q’1

q’3

q’2

q1

q3

q2


4.4.3.

4.5.

4.5.1.

1

rrA r t

r∂

∂( , )

.[ ]

∂∂

rA r tr

r( , )[ ]

d

∂∂

rA r tr

r( , )

.[ ]

d

D

D

ρt

= 0

ρ ρdiv

D

D( )v

+ =t

div( )ρ ρv + =∂

∂ t

div( )ρ ρv + =∂

∂ t

+ = −∂∂

ut

j E

.

= E B^µ0

uE B= +ε

µ0

2 2

02 2

ANNEXE :

d dΦ = 2π ∂∂

hr

rA r( ) .


• équation de conservation de l’énergie électromagnétique, de densité volumique

, en présence d’une densité volumique de débit de puissance

(vecteur de Poynting : ) et d’une densité volumique de courant j

(cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2de année) :

;

• équation de conservation de la masse de densité volumique r (M , t) , en présenced’une densité volumique de débit massique j

(M , t) = r (M , t) v(M , t) (cf. cha-

pitre 2) :

0 .


L’équation de conservation de la masse donne 0 ; équation

qu’il est encore possible d’écrire (en faisant intervenir la dérivation particulaire)

0 (cf. chapitre 2). L’écoulement incompressible, défini par la

relation , implique que div (v) = 0 . Lors d’un écoulement incompressible,

dans un milieu sans source, le vecteur v est à flux conservatif (doc. 42).

Exemples de calcul

Calculons la divergence de champs vectoriels simples, et fréquents en physique.

Champ de vecteurs à symétrie cylindrique

Soit un champ de vecteurs (en coordonnées cylindriques) de la forme :

A(r , t) = A(r , t) er .

Pour calculer la divergence de ce champ de vecteurs en symétrie cylindrique, consi-dérons un volume élémentaire situé entre deux cylindres de hauteur h , de rayonsr et r + d r (doc. 43). Le flux de A

à travers la surface fermée associée à ce volume

est égal à :

d F = – (A(r , t) 2πrh) + (A(r + d r , t)2π(r + d r) h) = 2πh

Par définition de l’opérateur divergence, nous avons :

d F = div (A(r , t)) dt = div (A

(r , t)) 2π r d r h ,

ce qui donne par identification :

d F = 2πh = div (A(r , t)) 2π r d r h ,

soit div (A(r , t)) = 1

rrA r t

r∂

∂( , )

.[ ]

∂∂

rA r tr

r( , )[ ]

d

∂∂

rA r tr

r( , )

.[ ]

d

D

D

ρt

= 0

ρ ρdiv

D

D( )v

+ =t

div( )ρ ρv + =∂

∂ t

div( )ρ ρv + =∂

∂ t

+ = −∂∂

ut

j E

.div P–

= E B^µ0

P–

P–

uE B= +ε

µ0

2 2

02 2

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Doc. 42. Soit un écoulement stationnaire,indépendant du temps. Si r = cte le longd’une ligne de champ, l’écoulement estincompressible et vérifie div v = 0 .

O

y

x

ρ = ρ2

ρ1 ≠ ρ2

ρ = ρ1

( )

Doc. 43. Le flux dF de A

à travers lasurface fermée délimitant le volume situéentre deux cylindres de rayons r et r + d r,et de hauteur h , est égal à :

d dΦ = 2π ∂∂

hr

rA r( ) .

O

h

r + drrz

x

y


4.5.2.

12

2

r

r A r t

r

∂

∂

( , ).

[ ]

∂

∂

r A r t

rr

2 ( , )[ ]d

∂

∂

r A r t

rr

2 ( , ).

[ ]d

div diver

rr

r

=

2

er

rr

r

= 2 ,

1

r

err

err

d dΦ = 4 2π ∂∂r

r A r( ) .

Next

Next


Ce dernier résultat apporte deux commentaires importants.

• Il est essentiel puisqu’il montre qu’un champ à symétrie cylindrique en est à

divergence nulle : c’est en fait le seul cas d’un champ radial à symétrie cylindrique

à divergence nulle.

• Ce résultat peut paraître en contradiction avec la topographie du champ (doc. 44).

En effet, le flux du vecteur à travers une surface cylindrique d’axe (Oz) ,

de hauteur h et de rayon r est non nul et égal à 2πh , alors que la divergence dece vecteur est nulle ! Ceci est dû à la singularité en r = 0 , pour laquelle

est infinie, et l’intégrale :

,

surface S volume Vfermée

est alors non nulle.

Champ de vecteurs à symétrie sphérique

Soit un champ de vecteurs (en coordonnées sphériques) de la forme :

A(r , t) = A(r , t) er .

Pour calculer la divergence de ce champ de vecteurs en symétrie sphérique, consi-dérons un volume élémentaire situé entre deux sphères de rayons r et r + d r(doc. 45). Le flux de A

à travers la surface fermée associée à ce volume est égal à :

d F = – (A(r , t) 4πr2 ) + (A(r + d r , t) 4π (r + d r)2 ) = 4π

Par définition de l’opérateur divergence, nous avons :

d F = div (A(r , t)) dt = div (A

(r , t)) 4π r2 d r ,

ce qui donne par identification :

d F = 4π = div (A(r , t)) 4π r2 d r ,

soit div (A(r , t)) = 1

2

2

r

r A r t

r

∂

∂

( , ).

[ ]

∂

∂

r A r t

rr

2 ( , )[ ]d

∂

∂

r A r t

rr

2 ( , ).

[ ]d

divM (G–

(M)) d MG–

(Q) . N–

Q d S =

div diver

rr

r

=

2

er

rr

r

= 2 ,

1

r

254

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s,2e an

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PCet

PSI,L

apho

toco

pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


En coordonnées cylindriques, nous obtenons :

• div (er) = ;

• div (r er ) = 2 ;

• div (O––––

M ) (r) = div (r er + z ez ) = 3 ;

• 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie).div diver

r

rr

=

=2

1r

Doc. 44. Topographie du champ en

coordonnées cylindriques. La divergence

de ce vecteur est nulle (div = 0) bien

que le flux sortant à travers un cylindre derayon r et hauteur h soit non nul et égalà 2π h !

err

err

y

zO

x

P

Σ

Doc. 45. Le flux sortant dF de A

à tra-vers la surface fermée délimitant le volumesitué entre deux sphères de rayons r etr + d r est égal à :

d dΦ = 4 2π ∂∂r

r A r( ) .

z

r

r + dr

yO

x

Next

Next


4.5.3.

divkr

ek

rk

rr2 3 3

2 2

= −

Akr

e r = 2 ,

er r

r f r t

rr

2 2

21=

[ ]∂

∂

( , ).div

er

r

2

er

r

2

=2 ( , )

+( , )

,f r t

rf r t

r∂

∂

div diver

rr

r

2 3

=

er

rr

r

2 3= ,

12r

ANNEXE :

diver

r

2 0=

er

r

2


Ce dernier résultat apporte à nouveau deux commentaires très importants.

• Il montre qu’un champ à symétrie sphérique en est à divergence nulle ; c’est

en fait le seul cas d’un champ radial à symétrie sphérique à divergence nulle.

• Ce résultat peut paraître en contradiction avec la topographie du champ (doc. 46).

En effet, le flux sortant du vecteur à travers une surface sphérique de

centre O et de rayon r , est non nul et égal à 4π , alors que la divergence de cevecteur est nulle ! Ceci est dû à la singularité en r = 0 , pour laquelle

est infinie, et l’intégrale :


est alors non nulle.

Calcul de div (u A)

L’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes (cf. § 4.6.1) permetd’établir une nouvelle formule importante (car très pratique) :

Cette formule permet de voir un autre calcul possible de la divergence d’un champà symétrie sphérique de la forme f (r , t) er . En effet :

div [ f (r , t) er] = f (r , t) div er + grad—

[f (r , t)] . er

ou encore :

div [ f (r , t) er]= div [r2 f (r , t) ]

= r2 f (r , t) + grad—

[r2 f (r , t)] .

Dans le cas d’un champ newtonien de la forme en coordonnées sphé-riques, nous obtenons :

= 0 ,

ce qui est conforme au résultat précédent.

divkr

ek

rk

rr2 3 3

2 2

= −

Akr

e r = 2 ,

er r

r f r t

rr

2 2

21=

[ ]∂

∂

( , ).div

er

r

2

er

r

2

=2 ( , )

+( , )

,f r t

rf r t

r∂

∂

div (uA)= u div A

+ grad—

u . A

.

divM (G–

(M)) d MG–

(Q) . N–

Q d S =

div diver

rr

r

2 3

=

er

rr

r

2 3= ,

12r

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lit.


En coordonnées sphériques, nous obtenons :

• div (er) = ;

• div (r) = div (r er) = 3 ;

• 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie).div dive

r

r

rr

2 3

=

=

2r

Doc. 46. Topographie du champ en

coordonnées sphériques. La divergence

de ce vecteur est nulle , mais

le flux sortant à travers une sphère derayon r est non nul et égal à 4π .

diver

r

2 0=

er

r

2

z

yO

x


4.5.4.

4.5.5.

4.6.

4.6.1.

∂∂

∂∂

∂∂

Gx

G

yGz

x y zx y z+ +

d d d

dz

dy

dx


Calcul de div (A

∧ B)

La divergence d’un produit vectoriel est donnée par la formule suivante :

Il est possible de vérifier cette formule en utilisant les résultats du § 4.6.1 et § 5.5.1.

Champ orthoradial

Un autre exemple intéressant est celui du vecteur eq des coordonnées cylindriques.Les lignes de champ de eq sont des cercles d’axe (Oz) . Les tubes de champ sontdonc des tores (de section constante) d’axe (Oz) (doc. 47). La norme de eq étantconstante et égale à 1, cela signifie que le flux de ce vecteur est conservatif, doncque la divergence de ce champ de vecteurs est nulle.

Cette démonstration simple peut être étendue à tout champ de vecteurs :

A

(r) = f (r) eq .

Expression analytique


En coordonnées cartésiennes, elle s’obtient à partir de la définition. En explicitantsur l’élément d t = d x d y d z le calcul du flux d F du champ G

–à travers les six

faces du cube élémentaire, il vient (doc. 48) :

d F1 = – Gx(x , y , z) dy dz + Gx(x + d x , y , z) dy dz (faces 1 et 2)

d F2 = – Gy(x , y , z) dx dz + Gy(x , y + d y , z) dx dz (faces 3 et 4)

d F3 = – Gz(x , y , z) dx dy + Gz(x , y , z + d z) dx dy (faces 5 et 6),

soit :

d F = = div G–

dt = div G–

dx dy dz ,

d’où : div G–

= + + .∂Gz∂z

∂Gy∂y

∂Gx∂x

∂∂

∂∂

∂∂

Gx

G

yGz

x y zx y z+ +

d d d

En coordonnées cylindriques, div [ f (r) e ] = 0 : le champ de vecteursf (r) e est à flux conservatif.

En particulier, e est un champ de vecteurs à flux conservatif.

div (AŸ B

) = – A

. rot—B

+ B

. rot—A

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undé

lit.


Doc. 48. Mise en évidence des six faces permettant le calcul du flux élémentaire.

y

z

x

dz

face 6

face 1

face 2

face 5

M

dy

dx

face 4

face 3

O

Doc. 47. Le tube de champ de eq estconstitué de tores d’axe (Oz) . Sachant queeq = 1 , cela signifie que div eq = 0 .

z

y

tube de champde

x

O

eθ


4.6.2.

4.6.3.

55.1.

A ( )r

kr

er= 2

= + +1 1 12

2

rr G

r rG

r

Gr∂∂

∂∂

∂∂

( )

sin

(sin )

sin.

θθθ θ ϕ

θ ϕ

1 1

r

rG

r rG G

zr z∂

∂∂∂

∂∂

( )+ +θ

θ.

1 1

rr G

r rG G

zr r zr z∂

∂∂∂

∂∂

( )( )+ +

θθ

θd d d

ANNEXE :

1 1

rr G

r rG G

zr z∂

∂∂∂

∂∂

( ) + +

θθ

dS

dP

G(M)

G(P)


Remarque : Nous avons vu sur deux exemples précédents (cf. § 4.1) que l’examend’une carte de champ pouvait donner des indications sur la divergence en un pointd’un champ de vecteurs. Il faut rester prudent et éviter une interprétation troprapide. Ainsi, le champ du document 49 n’est pas à divergence nulle, bien que leslignes de champ soient toutes parallèles : il est en effet de la forme f(x) ex et sadivergence en tout point vaut f¢(x) .

Coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques, l’expression analytique de la divergence s’obtientaussi à partir de la définition en explicitant sur l’élément dt = r d r dq d z le calculdu flux d F du champ G

–à travers les six faces du « cube » élémentaire, il vient

(doc. 50) :

d F1 = – Gr(r , q , z)(r d q d z) + Gr(r + d r ,q , z)((r + d r) d q d z) (faces 1 et 2)

d F2 = – Gq(r , q , z)(d r d z) + Gq(r , q + d q , z)(d r d z) (faces 3 et 4)

d F3 = – Gz(r , q , z)(r d q d r) + Gz(r , q , z + d z)(r d q d r) (faces 5 et 6),

soit :

d F = = div G–

dt = div G–

(r dr dq dz)

donc : div G–

=


L’expression de la divergence en coordonnées sphériques est plus délicate. Ellesera donnée sans démonstration. Pour indication, nous avons :

div G–

Remarque : Si nous reprenons, en coordonnées sphériques le champ radial

son flux à travers toute sphère de rayon r centrée sur l’origine vaut

4πk : il est donc indépendant de r , constant et non nul. Il est possible de s’étonnerque ce flux à travers la surface fermée (sphère de rayon r) soit non nul, bien quela divergence soit nulle. Mais nous l’avons déjà vu, il ne faut pas oublier que lechamp n’est pas défini à l’origine qui constitue alors un point singulier où il estimpossible de calculer ni le champ, ni sa divergence. Le paradoxe apparent estainsi levé.

Opérateur rotationnel

Définition - Interprétation

Soit un champ vectoriel G–

et une surface élémentaire d S d’aire d S–

associéeà un point M de l’espace ; soit d C la circulation élémentaire du champ le longdu contour élémentaire lui-même associé à d S

–(doc. 51). Les orientations rela-

tives de d C et de d S–

obéissent aux conventions d’orientation du § 2.2.

L’opérateur rotationnel en M du champ G–

(M) est donc défini par la relation :

d C = rot— (G–

) . d S–

.

A ( )r

kr

er= 2

= + +1 1 12

2

rr G

r rG

r

Gr∂∂

∂∂

∂∂

( )

sin

(sin )

sin.

θθθ θ ϕ

θ ϕ

1 1

r

rG

r rG G

zr z∂

∂∂∂

∂∂

( )+ +θ

θ.

1 1

rr G

r rG G

zr r zr z∂

∂∂∂

∂∂

( )( )+ +

θθ

θd d d

257


Doc. 49. Ce champ n’est pas à divergencenulle.

x’x

Doc. 50. Le flux dF de G

à travers cettesurface fermée élémentaire est égal à :

dF = r dr dq dz .1 1

rr G

r rG G

zr z∂

∂∂∂

∂∂

( ) + +

θθ

face 3

face 2

face 6

face 4dr

face 5

θy

z

x θd

z + dz

z

O

rface 1

Doc. 51. La circulation élémentaire d Cde G

–sur la courbe d est égale à :

d C = rot—M G

–(M) . d S

(d C = G–

(P) . d P

).

d

P

M

dS

dP

G(M)

G(P)d

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NdS

rot G . N

rot G

5.2.

NQ

dP


L’opérateur rotationnel transforme donc un champ de vecteurs en un autre champde vecteurs. Il y a corrélation entre le rotationnel d’un champ de vecteurs et sa cir-culation le long d’un contour : la projection sur la normale à une surface élémen-taire du rotationnel d’un champ vectoriel est égale à la circulation, par unité desurface, de ce champ le long du contour associé.

Cette relation définit donc, à partir de la circulation élémentaire d C , la compo-sante de rot—(G

–) sur la direction de la normale N

–(orientée dans le sens direct par

rapport au sens de circulation) à l’élément d S (doc. 52). En prenant trois surfacesorthogonales dont les normales forment elles-mêmes un système orthogonal, il estpossible d’en déduire les trois composantes de ce rotationnel. Ici encore, il s’agitd’une définition intrinsèque.

Il apparaît donc qu’un champ de vecteurs, dont le rotationnel est non nul en un point,« effectue une rotation » autour de ce point puisque sa circulation sur tout contourassocié au point est non nulle. De même que pour la divergence, la topographie d’unchamp de vecteurs permet de comprendre l’origine de la dénomination « rotationnel ».Les champs (1) et (2) représentés dans le document 53 sont, pour (1) , à rotationnelnul en M et pour (2) , à rotationnel non nul.

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Doc. 53. • Cas 1 : ce champ de vecteur est à rotationnel toujours nul.• Cas 2 : le champ de vecteur est en rotation autour du point M (attention : ce champpeut être à rotationnel nul partout, sauf en M).

MM

1) 2)

Doc. 52. La composante de rot—MG

–sui-

vant N

est égale à :dC = dS rot— G

–. N

.

z

yOx

NdS

rot G . N

rot G

dC

Théorème de Stokes-Ampère

Soit une courbe fermée orientée délimitant une surface S non fermée et orientée.Il résulte de la définition de la circulation élémentaire d C que la circulation lelong d’un contour d’un champ vectoriel est égale au flux de son rotationnel à tra-vers toute surface s’appuyant sur ce contour (nous supposons que G

–est partout

continu).

Le théorème de Stokes-Ampère s’énonce de la manière suivante.

Remarque : D’après le théorème de Stokes, le résultat est indépendant du choixde la surface S s’appuyant sur le contour .

Prenons deux surfaces S1 et S2 s’appuyant sur un même contour ; associons-les pour construire une surface fermée S .

La circulation d’un champ vectoriel G–

le long d’un contour est égale auflux de son rotationnel à travers toute surface s’appuyant sur ce contour( G–

est supposé continu) (doc. 54) :

contour surface

rot—(G–

(Q)) . N–

Q d S .G–

(P) . d P–

=

Doc. 54. Théorème de Stokes-Ampère :

S

rot—QG

–(Q). N

Q d S .G–

(P).dP

=

P

dSQ

NQ

dP

Σ


5.3.

5.4.

5.4.1.

ANNEXE :

Σ

ΣN2

N

N

N1

I


Le flux de rot—(G–

) à travers S sera identiquement nul (doc. 55), car les flux derot—(G

–) à travers S1 ou S2 sont identiques quand elles sont non fermées (et cor-

rectement orientées vis-à-vis de ), et opposées quand S1 et S2 forment la surfacefermée S. Un rotationnel est donc un vecteur à divergence nulle.

En réalité, nous avons l’équivalence que nous ne démontrerons pas.

Champs à circulation conservative

Ceci peut également s’énoncer en disant que la circulation du champ vectoriel d’unpoint à un autre est indépendante du chemin suivi. Ceci se comprend aisémentpuisque, d’après une identité précédemment écrite, tout champ de vecteur à rota-tionnel nul s’écrit sous la forme d’un gradient. Donc :

C = G–

(M) . d M–

= grad—

g . d M–

= d g = g(B) – g(A) .

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ vectoriel soit à circula-tion conservative est qu’il se mette sous la forme d’un gradient : on parle alors dechamp de gradient.

Rappelons l’identité écrite précédemment.

Opérateur rotationnel en physique

Sources de champ magnétostatique

En magnétostatique, les sources de champ sont les courants ; l’équation locale liantle champ magnétique et les courants (densité volumique j

) est (doc. 56)

(cf. H-Prépa, Électromagnétisme, 2de année) rot—

M B–

(M) = m0 j(M) .

Les conséquences de cette équation sont :

• dans une zone sans courant, le vecteur B–

est à circulation conservative ;

G–

est un gradient : G–

= grad—

g équivaut à rot— G–

= 0

en tout point de l’es-pace.

Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ vectoriel soit àcirculation conservative est qu’il se mette sous la forme d’un gradient.

Tout champ de vecteurs à rotationnel nul est à circulation conservative : sacirculation le long de tout contour est nulle et sa circulation entre deuxpoints est indépendante du chemin suivi.

A

B

A

B

A

B

Un champ à rotationnel partout nul voit sa circulation sur tout contourfermé identiquement nulle : ce champ de vecteurs est dit à circulation conser-vative.

• R–

= rot— G–

équivaut à div R–

= 0 en tout point de l’espace.

• La condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conser-vatif est qu’il soit un champ de rotationnels.

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Doc. 55. Quelles que soient les surfacesS1 et S2 qui délimitent un volume V ,nous avons :

0 = +

=

donc div(rot— G–

) = 0 .

div(rot— G–

) dt ,

V

rot— G–

Q2. d SS

2

S2

rot— G–

Q1. d SS

1

S1

2Σ

1ΣΣ

ΣN2

N

N

N1

Q1

Q2

Doc. 56. Soit un fil, confondu avec (Oz) ,parcouru par un courant I .

• rot—P B

P = + ∞ , car j

→ + ∞ .

• rot—M B

M = 0

, car j

= 0

.

z

x

yO

P

MI


5.4.2.

5.5.

5.5.1.

1

2

dM

5.5.2.

5.5.2.1

f rg r

r( )

( )= d

d

− ∂∂v x

y

− [ ]h

y

yyxd

dd

v ( ),


• le vecteur B–

obéit au théorème d’Ampère. La circulation de B–

sur une courbefermée est égale à la somme des courants qui traversent toute surface (dans le sensdirect) s’appuyant sur la courbe de circulation, multipliée par m0 (doc. 57).

Vecteur tourbillon d’un fluide

Le vecteur tourbillon d’un fluide est défini par la relation (doc. 58) :

W–

(M) = rot—(v(M)) .

Exemples de calcul


Examinons le champ de vecteur, représenté sur le document 59, de la forme :

v(M) = vx(y)ex .

1

2

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Doc. 57. Soit B

le champ magnétiquetotal créé par l’ensemble des courants Ii,qui traversent une surface s’appuyant surC , et les courants I′i ne traversant pas cettesurface.Le théorème d’Ampère nous donne :

B

.d M–

= m0 Σ Ii

= m0 (I1 + I2 – I2) = m0 I1.

I’2

I’1

M

I1

I2

dM

Doc. 58. Champ des vitesses à l’intérieuret à l’extérieur d’un tourbillon uniformede rayon a .

Ω

a

Doc. 59. Ce champ de vecteurs de la forme vx (y) e

x est à divergence nulle, mais à rota-tionnel non nul. La circulation sur le contour ABCDA est non nulle.

y

dy

z

sectiondS

(Oz)CD

A B

xx1 + Hx1x2 + hx2

• Ce champ est à divergence nulle (cf. § 4.3.4).

• En revanche, ce champ n’est pas à rotationnel nul. Examinons la circulation d Cde v sur le contour ABCDA fermé ; son expression est égale à :

d C = h (vx(y) – vx(y + d y)) =

expression non nulle à partir du moment où v dépend explicitement de y .

Sachant que d C = rot—v . d S–

= rot—v . hd y ez , cela donne rot—v = ez (seulecette composante est non nulle, cf. § 5.6).


. Champ en f (r) er

Soit un champ de vecteurs de la forme f (r) er .

Posons g(r) tel que g(r) = f (r) d r + g(a) , c’est-à-dire .

Cela signifie que f (r) er est un gradient : f (r) er = grad—

(g(r)) . Le rotationneld’un gradient étant nul, le rotationnel de f (r) er est nul.

f rg r

r( )

( )= d

da

r

− ∂∂v x

y

− [ ]h

y

yyxd

dd

v ( ),


5.5.2.2.

5.5.3.

erθ

erθ

erθ

= [ ] = ( )

21π

d

dd

d

d

r f rr

rr

r f rr

( ) ( )

ANNEXE :

θθ e

θf(r)e

N = ez


La démonstration n’est pas générale, mais le résultat est toujours vrai.

Champ en f (r) e

La seule composante non nulle du rotationnel d’un champ de vecteur de la formef (r) eq est suivant l’axe (Oz). Pour calculer ce champ, étudions son flux d F àtravers une couronne située entre deux cercles de rayon r et r + d r (doc. 60) :

d F = rot—[f (r) eq] . 2πr dr ez = f (r + dr) 2π (r + dr) – f (r) 2π r

2πr dr .

Ce dernier résultat apporte deux commentaires importants.

• Il montre qu’un champ invariant par rotation autour de l’axe (Oz), , est à rota-

tionnel nul : c’est en fait le seul cas de champ orthoradial à rotationnel nul.

• Ce résultat peut paraître surprenant. En effet, la circulation de sur un cercle

de rayon r (et d’axe (Oz)) est égale à 2π , donc constante et non nulle, alors queson rotationnel est nul ! Ceci est dû à la singularité en r = 0 (donc sur l’axe (Oz)!)

pour laquelle est infini, et l’intégrale :

,

est alors non nulle lorsque l’axe(Oz) « traverse » la courbe .

Calcul de rot—

(u A

)

De l’expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes (cf. § 5.6), il est pos-sible d’établir une nouvelle formule importante (car très pratique) :

rot—(G–

(Q)) . N–

Q d S

surface S

G–

(P) . d P–

=

contour

erθ

rot—

erθ

erθ

= [ ] = ( )

21π

d

dd

d

d

r f rr

rr

r f rr

( ) ( )


rot—[ f (r) er] = 0

, et ainsi rot— er = 0

.

261



rot—[ f (r) e ] =

d’où :

• rot—

• rot— (c’est-à-dire que c’est un vecteur uniforme. Ainsi tout vec-

teur uniforme–

pouvant être mis sous la forme–

= ez , nous obtenons

rot—(–

Ÿ r) = 2–

pour–

uniforme) ;

• rot— (sauf en r = 0 , où le rotationnel est infini).er

= 0

( )r e ez = 2

( ) ;ee

rz

=

1r

r f r

rez

dd

( )( ) ,

Doc. 60a. Étude d’un champ orthoradialen f (r) eq .

z

x

y

lignede champ O

K

M

Hθθ e

θf(r)e

Doc. 60b. Le flux de rot— G–

à travers lasurface d S

= N

d S délimitée par deux

cercles 1 et 2 est égal à la somme descirculations de G

–sur les deux contours :

rot— G–

2πr dr N

= G–

1 d M–

1 + G–

2 d M–

2.

21

z

O

r + dr

dS = 2πrdr

r

N = ez

1

2

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née,

PCet

PSI,L

apho

toco

pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


5.6.

1

1

rG G

z

Gz

Gr

r

r G

rG

z

r z

r

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

θ

θ

θ

θ

−

−

( )−

.

∂∂

∂∂

G x y z

xG x y z

yy x( , , ) ( , , )

.−

∂∂

∂∂

G x y z

xG x y z

yx yy x( , , ) ( , , )−

d d

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Gy

G

z

Gz

Gx

G

xGy

z y

x z

y x

−

−

−

.

[ ]1

rr f r t

rez

∂∂( , )

,

erθ

erθ

erθ

[ ( , )]( , ) ( , )

f r t ef r t

rf r t

rez∧ = +

θ

∂∂

ez


Cette formule permet de voir un autre calcul possible du rotationnel d’un champorthoradial en coordonnées cylindriques : f (r , t) eq . En effet :

rot—[ f (r , t) eq ] = f (r , t) rot—eq + grad—

ou encore :

rot—[ f (r , t) eq ]= rot—[r f (r , t) ] = r f (r , t) rot— + grad—

[r f (r , t) ]∧

= ce qui est conforme aux résultats précédents.

Expression analytique

L’expression analytique s’obtient en coordonnées cartésiennes en explicitant lescirculations de G

–sur des contours associés aux faces du cube d’aire d x d y , d y d z

et d x d z (doc. 61) :

En effet, appliquons la définition du rotationnel pour calculer sa composante surl’axe (Oz) en considérant la circulation élémentaire dC du vecteur G

–sur le contour

ABCDA :

d C = Gy(x + dx , y , z) dy – Gx(x , y + dy , z) dx – Gy(x , y , z) dy + Gx(x , y , z) dx

= Gy(x + dx , y , z) dy – Gy(x , y , z) dy + Gx(x , y , z) dx – Gx(x , y + dy , z) dx

=

= rot—z (G

–) dx dy ez ,

ce qui nous donne bien (en coordonnées cartésiennes) :

rot—z(G–

) =

Comme pour la divergence, l’expression du rotationnel en coordonnées cylindriqueset sphériques est plus complexe. Pour information, les deux expressions complètessont indiquées.

1

1

rG G

z

Gz

Gr

r

r G

rG

z

r z

r

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

θ

θ

θ

θ

−

−

( )−

.• En coordonnées cylindriques : rot— (G

–) =

∂∂

∂∂

G x y z

xG x y z

yy x( , , ) ( , , )

.−

∂∂

∂∂

G x y z

xG x y z

yx yy x( , , ) ( , , )−

d d

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Gy

G

z

Gz

Gx

G

xGy

z y

x z

y x

−

−

−

.rot— G–

=

[ ]1

rr f r t

rez

∂∂( , )

,

erθ

erθ

erθ

[ ( , )]( , ) ( , )

f r t ef r t

rf r t

rez∧ = +

θ

∂∂

rot—(u A

) = u rot—A

+ grad—

u Ÿ A

.

262

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s,2e an

née,

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orisé

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undé

lit.


Doc. 61. Choix de la surface pour pouvoircalculer la composante de rot— G

–suivant

l’axe (Oz) .

ez

z

y + dyy

x + dx

xO

A B

CD


66.1.

6.1.1.

6.1.2.

1

1 1

1

r

G G

rG r G

r

r

r G

rG

r

r

sin

(sin )

sin

( ).

θθθ ϕ

θ ϕ

θ

ϕ θ

ϕ

θ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

−

( )−

1

r

r G r z

rG r zr∂

∂∂

∂θ θ θ

θ( , , ) ( , , )

.[ ] −

1

r

r G r z

rG r z

r rr∂∂

∂∂

θ θ θθ

θ( , , ) ( , , )[ ] −

d d

− ++[ ]∂

∂∂

∂G r z

rr G r z

rrr ( , , ) ( , , )θ

θθ

θ θθθd d

dd d

ANNEXE :

ez


Appliquons la définition du rotationnel pour calculer sa composante sur l’axe (Oz)en considérant la circulation élémentaire d C du vecteur G

–sur le contour ABCDA

(doc. 62) :

d C = Gr( r , q , z) dr + Gq (r + dr, q , z) (r + dr) d q – Gr(r , q + dq , z) dr– Gq (r , q , z) r dq

= Gr(r , q , z) dr – Gr(r , q + dq , z) dr + Gq (r + dr , q , z) (r + dr) dq– Gq (r , q , z) r dq

=

=

= rot—z (G

–) . r dr dq ez ,

ce qui nous donne bien rot—z (G

–) =

Opérateurs laplacien

Laplacien scalaire

Définition

Le laplacien scalaire s’applique sur un champ de scalaire g ; il est noté conven-tionnellement par le symbole ∆ et défini de manière intrinsèque par la relation :

Il transforme donc un scalaire en un scalaire.

Le laplacien en physique : l’équation de Laplace

L’équation de Laplace est ∆g = 0 ; cette équation est présente dans de nombreuxdomaines de la physique :• électrostatique : le potentiel V vérifie l’équation ∆V = 0 dans une zone sanscharge ;• diffusion thermique : la température T vérifie l’équation ∆T = 0 lors de trans-ferts thermiques par diffusion, indépendants du temps ;• mécanique des fluides : ∆j = 0 , où j représente le potentiel dont dérive le

champ des vitesses (v = grad—

j) dans un écoulement irrotationnel.

g = div (grad—

g).

1

1 1

1

r

G G

rG r G

r

r

r G

rG

r

r

sin

(sin )

sin

( ).

θθθ ϕ

θ ϕ

θ

ϕ θ

ϕ

θ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

−

−

( )−

• En coordonnées sphériques : rot— (G–

) =

1

r

r G r z

rG r zr∂

∂∂

∂θ θ θ

θ( , , ) ( , , )

.[ ] −

1

r

r G r z

rG r z

r rr∂∂

∂∂

θ θ θθ

θ( , , ) ( , , )[ ] −

d d

− ++[ ]∂

∂∂

∂G r z

rr G r z

rrr ( , , ) ( , , )θ

θθ

θ θθθd d

dd d

263

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PCet

PSI,L

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pieno

naut

orisé

eest

undé

lit.


Doc. 62. Choix de la surface élémentairepour pouvoir calculer la composante derot— G

suivant (Oz) en coordonnées cylin-

driques.

OA

B

CD

z

z rdr

z + dz

d y

x

ez

θθ


6.1.3.

6.1.3.1.

6.1.3.2.

6.1.4.

6.1.4.1.

6.1.4.2.

6.1.4.3.

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g rg

r rgr r r

rgr r

rgr

( )( )

.= + =

=2

2 2 21 12 2

2

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

gg

r rgr r

gr

g= +

2

2 2 2 2

2

2+1

sinsin +

1

sin

2

θ θθ

θ θ ϕ;

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g rg

r rgr r r

rgr

( ) .= + =

2

211

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2 2g

gr r

gr r

g gz

= + + +2

21 1

2 2 2θ;

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

gg

xg

yg

z= + +

2

2

2

2

2

2 .

( ( ) )( ( ))

.g r er

r g rrr =div

d

d 1

2

2

( ( ))f rfr

er= d

d

( ( ) )( ( ))

.g r er

r g rrr =div

d

d 1

( ( ))f rfr

er= d

d

∆ f rr r

rfr

( ) .=

1 d

d

d

d

∆ f rr r

rfr

( ) .=

12

2d

d

d

d


Exemples de calcul


Soit un champ de scalaires en coordonnées cylindriques f (r) (doc. 63) ; calculons∆ f (r) :

grad—

et


Soit un champ de scalaires en coordonnées sphériques f (r) (doc. 64) ; calculons∆ f (r) :

grad—

et

Expressions


L’expression analytique du laplacien en coordonnées cartésiennes est :


remarquons que :


remarquons que ∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g rg

r rgr r r

rgr r

rgr

( )( )

.= + =

=2

2 2 21 12 2

2

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

gg

r rgr r

gr

g= +

2

2 2 2 2

2

2+1

sinsin +

1

sin

2

θ θθ

θ θ ϕ;

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

g rg

r rgr r r

rgr

( ) .= + =

2

211

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2 2g

gr r

gr r

g gz

= + + +2

21 1

2 2 2θ;

∆ ∂∂

∂∂

∂∂

gg

xg

yg

z= + +

2

2

2

2

2

2 .

( ( ) )( ( ))

.g r er

r g rrr =div

d

d 1

2

2

( ( ))f rfr

er= d

d

( ( ) )( ( ))

.g r er

r g rrr =div

d

d 1

( ( ))f rfr

er= d

d

264

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née,

PCet

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undé

lit.


En coordonnées cylindriques, nous obtenons avec en

particulier (ln(r)) = 0 .

f rr r

rfr

( ) =

1 dd

dd

En coordonnées sphériques, nous obtenons :

avec en particulier1

0r

= .

f rr r

rfr r

r f

r( )

( )=

=1 12

22

2d

ddd

dd

Doc. 63. En coordonnées cylindriques :

∆ f rr r

rfr

( ) .=

1 d

d

d

d

M

courbe f = ctez

z

r

ry

xθ

Doc. 64. En coordonnées sphériques :

∆ f rr r

rfr

( ) .=

12

2d

d

d

d

O

M

z

r

y

x

θ

sphère f = cte

ϕ


6.2.

6.2.1.

6.2.2

6.2.2.1.

6.2.2.2.

6.2.3.

∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2 2

2 2 2A

r r rr A

rA A

z rA

r r rr A

rA A

z rA

r rr

Ar

rr r

r

z

=

( )

+ + −

( )

+ + +

+

1 1 1

1 1 2

1

2 2 2 2

2 2 2 2

θ θ

θ θ

θ

θθ θ

112 2 2r

A Az

z z∂∂

∂∂

2 2

θ+

.

∆ ∂∂

Ec

Et

= 12

2

2 .

ANNEXE :


Laplacien vectoriel

Définition

Le laplacien d’un champ de vecteurs G–

est un champ de vecteurs noté ∆G–

. Sonexpression, en coordonnées cartésiennes, est :

Dans ce type de coordonnées (et uniquement dans celui-ci), il suffit d’appliquer lelaplacien scalaire à chacune des composantes du champ vectoriel de départ.

Contrairement aux autres opérateurs aux noms plus imagés (« divergence », « rota-tion »), le laplacien, qui doit son nom au mathématicien Laplace, n’a pas d’inter-prétation physique immédiate. L’identité qui le lie aux autres opérateurs précédemmentdéfinis permet d’en donner une définition intrinsèque.

. Le laplacien vectoriel en physique

Propagations d’ondes

Les équations de propagation de grandeurs vectorielles obéissent souvent à l’équa-tion de d’Alembert. Ainsi l’équation de propagation du champ électrique dans levide (ni charges, ni courants) s’écrit :

L’équivalent de l’équation de Laplace en magnétostatique

En magnétostatique, le champ magnétique B

est un vecteur à flux conservatif ; ilpeut donc s’écrire sous la forme B

= rot—(A

) , où A

s’appelle le potentiel vecteur.

Ce vecteur vérifie, dans une zone sans courant, l’équation :

∆ A

= 0

.

Expressions

Voici les expressions des laplaciens vectoriels (que nous utiliserons rarement !) encoordonnées cylindriques :

∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2 2

2 2 2A

r r rr A

rA A

z rA

r r rr A

rA A

z rA

r rr

Ar

rr r

r

z

=

( )

+ + −

( )

+ + +

+

1 1 1

1 1 2

1

2 2 2 2

2 2 2 2

θ θ

θ θ

θ

θθ θ

112 2 2r

A Az

z z∂∂

∂∂

2 2

θ+

.

∆ ∂∂

Ec

Et

= 12

2

2 .

rot—(rot— A

) = grad—

(div A

) – A

.

G–

= Gx ex + Gy ey + Gz ez .

265

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lit.


∂Ar∂q


COORDONNÉES D’ESPACE

CONTOURS ET SURFACES

OPÉRATEUR GRADIENT

CALCUL DE GRADIENT

C Q F R


266

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lit.


• En coordonnées cylindriques : d M–

= d r er + r d e + d z ez .

• En coordonnées sphériques : d M–

= d r er + r d e + r sin d e .

• La circulation C d’un champ vectoriel G–

sur une courbe orientée (fermée ou non) est définie par :

C = ou C =

La circulation d’un vecteur le long d’un contour est liée à l’opérateur rotationnel.

• Le flux d’un champ vectoriel G–

à travers une surface , qui doit être orientée, est défini par :

= ou

(fermée)

Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée est lié à l’opérateur divergence.

• L’opérateur gradient (local en M) est défini par :

d g = g(M + d M–

) – g(M) = grad—

M(g) . d M–

.

Souvent, nous écrirons d g = grad—

(g) . d M–

.

• Le vecteur grad—

g est orthogonal aux surfaces g = cte ; il est dirigé vers les « g » croissants (il indique dansquelle direction et dans quel sens la grandeur g(M) varie) ; et il indique l’importance de la variation spatiale dela grandeur « g » .

• Si G–

est un gradient G–

= grad—

g , alors rot—

G–

= 0

en tout point de l’espace.

• grad—

M = – = – grad—

P .

• En coordonnées cylindriques, nous obtenons f (r) =

• En coordonnées sphériques, nous obtenons f (r) =

• La variation totale de g est d t .

La variation particulaire de g s’écrit :

d t avec d M–

(d x , d y , d z) = v (M , t) d t .∂g∂ t

Dg = grad—

g . d M–

+

∂g∂ t

d g = grad—

g . d M–

+

er .d f (r)

drgrad—

er .d f (r)dr

grad—

1PM

PM—

PM31

PM

G–

(M) . d S

.G–

(M) . d S

G–

(M) . d M–

.

courbe

G–

(M) . d M–

B

Acourbe

C Q F R


ANNEXE :

OPÉRATEUR DIVERGENCE

OPÉRATEUR ROTATIONNEL

C Q F R


267


• L’opérateur divergence en M du champ G–

est alors défini par la relation :

d = div G–

d .

• Le flux sortant d’un champ vectoriel G–

(ne présentant pas de discontinuité sur une surface fermée ou non, situéeà l’intérieur du volume V ) à travers une surface fermée est égal à l’intégrale, sur le volume V limité par cettesurface, de sa divergence :


• Champs à flux conservatif

div (B

) = 0 équivaut à B

= rot—

(A

) .

• En coordonnées cylindriques, nous obtenons , et :

div = div = 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie).

• En coordonnées sphériques, nous obtenons div (er) = , div (r) = div (r er) = 3 et :

div = div = 0 (sauf en r = 0 où la divergence est infinie).

• div (uA) = u div A

+ grad

—u . A

.

• div (A∧ B

) = – A

. rot—

B

+ B

. rot— A

.

• En coordonnées cylindriques, div ( f (r) e ) = 0 : le champ de vecteurs f (r) e est à flux conservatif. En parti-culier, e est un champ de vecteurs à flux conservatif.

• d C = rot—

(G–

) . d S–

.

• Théorème de Stokes-Ampère

La circulation d’un champ vectoriel G–

le long d’un contour fermé est égale au flux de son rotationnel à traverstoute surface s’appuyant sur ce contour ( G

–est supposé continu) :

contour surface

• R–

= rot—

G–

équivaut à div R–

= 0 en tout point de l’espace.

rot—

(G–

(Q)) . N–

Q d S .G–

(P) . d P–

=

r

r3

er

r2

2r

r

r2

err

div (r) = div (r er) = 21r

div (er) =

divM(G–

(M)) d M .G–

(Q) . N–

Q d S =

C Q F R

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lit.


OPÉRATEUR LAPLACIEN

C Q F R


268

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lit.


• La condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ soit à flux conservatif est qu’il soit un champ de rota-tionnels.

• Tout champ de vecteurs à rotationnel nul est à circulation conservative : sa circulation le long de tout contour estnulle et sa circulation entre deux points est indépendante du chemin suivi.

• G–

est un gradient : G–

= grad—

g équivaut à rot—

G–

= 0

en tout point de l’espace. Une condition nécessaire et suf-fisante pour qu’un champ vectoriel soit à circulation conservative est qu’il se mette sous la forme d’un gradient.

• En coordonnées cylindriques, nous obtenons :

rot—

[ f (r) er] = 0

, et ainsi rot—

er = 0

.


rot—

[ f (r) e ] = ez ,

d’où rot—

(e ) = , rot—

(r e ) = 2ez (c’est-à-dire que c’est un vecteur uniforme).

Ainsi tout vecteur uniforme–

pouvant être mis sous la forme–

= ez , nous obtenons :

rot—

(–

∧ r) = 2–

rot—

= 0

(sauf en r = 0, où le rotationnel est infini).

• rot—

(u A

) = u rot—

A

+ grad—

u ∧ A

.

• g = div (grad—

g) .


∆ f (r) = r

avec en particulier (ln(r)) = 0 .

• En coordonnées sphériques, nous obtenons :

∆ f (r) = r2 =

avec en particulier ∆ = 0 .

• Laplacien vectoriel

• G–

= Gx ex + Gy ey + Gz ez .

• rot—

(rot—

A

) = grad—

(div A

) – A

.

1r

d2 (r f )dr2

1r

d fdr

ddr

1r2

d fdr

ddr

1r

e

r

ezr

d(r f (r))dr

1r

C Q F R


A

B

C

D

E

3472_Index 27/05/2004 15:27 Page 269 (Cyan/Process Cyan film)

269

©Ha

chet

teLiv

re,H

-Prép

aMéc

aniqu

edes

fluide

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lit.

Autodiffusion 6Accélération d’une particule 21Analogie

électrostatique 68magnétostatique 65

Analyse dimensionnelle 184Approche

eulérienne 10, 14lagrangienne 9, 12

Bilande masse 33, 36de moment cinétique 212de quantité de mouvement 207énergétique 202enthalpique 219entropique 222

Calcul de gradient 246Célérité des ondes 113Cellule de Hele-Shaw 182Champs

à circulation conservative 259à flux conservatif 251

Circulationd’un gradient 244d’un vecteur 242

Cisaillement 129Coefficient de traînée 170Conditions aux limites 60Contraintes dans un fluide 90Coordonnées

cylindriques 238d’espace 238

Couche limite 172laminaire 173

Critère d’incompressibilité 38Cx(Re) pour une sphère lisse 171

Débit convectif 200d’énergie interne 202d’une grandeur extensive 207

Débitmassique 32volumique 39

Décollement de couche limite laminaire 173Déformation 52Densité volumique de courant de masse 32Dérivation particulaire 18Description eulérienne 10Détente polytropique 223Diffusion

de particules 75de quantité de mouvement 136thermique 76

Dilatation 52

Échanges thermiques 221Échangeur thermique 199Échelle

macroscopique 7mésoscopique 8microscopique 7

Écoulementà très petit et très grand nombre de Reynolds 179autour d’un cylindre infini 178autour d’un obstacle 167autour d’une sphère 177barotrope 100d’un fluide réel 160de Couette plan 141incompressible 38, 57, 59irrotationnel 101non tourbillonnaire 59, 67potentiel 67, 174rampant 171, 179stationnaire 59, 101tourbillonnaire : 59, 63

Écoulement de Poiseuille 143dans un cylindre de section circulaire 144entre deux plans parallèles 143

EffetMagnus 108Venturi 105

Énergiecinétique 212interne massique 200

ndex

3472_Index 27/05/2004 14:51 Page 269 (Noir/Process Black film)

F

G – H – I

L

M – N – O

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lit.

Équationd’Euler 94de diffusion 139de Laplace 263,75de Navier-Stokes 135

Équivalent massique des forces de pression 93Équivalent volumique 93

de la force de cisaillement 131

Facteurs d’échelle 169Flux d’un vecteur 243Fonction de courant 81Force de traînée 170

en régime linéaire permanent 171en régime turbulent 172

Forcede viscosité 129interne de viscosité 128massique 93surfacique 90volumique 93

Formulede Laplace 91de Stokes 153, 171de Torricelli 109

Grandeur caractéristique 184Hélice 227Intégration de l’équation d’Euler 98

Laplacienscalaire 263vectoriel 265

Ligne de courants 14Loi

d’Ohm dans un conducteur 76de Fick 137de Fourier 137

Lois de similitude 166Longueur capillaire 92

Modèlede la houle 110du fluide 6

Nombre de Reynolds 161, 172Obstacle

fixe 61mobile 61

Ondesacoustiques 97de gravitation 110

Opérateur« A

. grad—

» 248divergence 250laplacien 263rotationnel 257rotationnel en physique 259

Particule de fluide 8Perte de charge 224Point d’arrêt 107, 173Potentiel des vitesses 67Premier principe de la thermodynamique 202Pression

dynamique 102effective 135motrice 135totale 102

Principe de superposition 70Puissance volumique de viscosité 153Puits 33

bidimensionnels 69

Régime linéaire permanent 168Relation de Bernoulli 99, 104Réversibilité cinématique 179, 180Rotation 52

Signification du nombre de Reynolds 162Solide de Rankine 81Source 33, 69


T V


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lit.

Surfacede contrôle 33, 199particulaire 200

Systèmefermé 199fermé coïncident 200ouvert 199

Temps caractéristiques d’évolution 164Tension superficielle 91Théorème

de Green-Ostrogradski 250de l’énergie cinétique 212de Stokes-Ampère 258

Tornade 54, 63Tourbillon uniforme 66Tourniquet d’arrosage 232Trajectoire 12

Transfertconvectif de quantité de mouvement 164de quantité de mouvement 136diffusif de quantité de mouvement 165

Travail utile 221Trompe à eau 106Tube de Pitot 107

Vaporisateur 106Variation particulaire 19Vecteur tourbillon 58Viscosimètre de Couette 153Viscosité

cinématique 132dynamique 130

Volume de contrôle 33Vortex de Rankine 96Vorticité 52


ISBN : 978-2-01-181899-7

Mécanique Des Fluides 2e Année PC-PC PSI-PSI

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